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Unidad didáctica 2: Interpolación 1. Diferencias divididas. Diferencias

finitas.

Israel Cañamón ValeraDto. de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

E.T.S.I. Minas

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3. Diferencias finitas. Tablas.

ÍNDICE

1. Planteamiento del problema.

2. Diferencias divididas. Fórmula de Newton. Tablas.

4. Ejercicios. Talleres 2-1 y 2-2.

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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1. Podemos resolver el sistema de ecuaciones (no recomendado).

Objetivo: Hallar el polinomio interpolador de la función f(x) sobre el soporte {x0, x1, …, xn}.

( ) ( ) nixfxp iin ,,1,0 K==( ) ,nn Pxp ∈

2. Podemos determinar los polinomios de base de Lagrange.

Problema: una vez calculado el polinomio interpolador para el soporte {x0, x1, …, xn}, pn(x) , si añadimos un punto al soporte, xn+1, tendremos que repetir todos los cálculos para obtener el nuevo polinomio pn+1(x).Estrategia: tratemos de aprovechar el polinomio pn(x) para obtener el nuevo polinomio pn+1(x).

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2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

• Sea el soporte {x0, x1, …, xn-1}, su polinomio interpolador será: ( ) ( ) )1,,1,0(, 11 −==−− nifxpxp iinin K

• Creamos el polinomio qn(x) = pn(x) – pn-1(x) ∈ Pn, que cumple:

• Con un punto más {x0, x1, …, xn-1, xn}, el polinomio seráahora:

( ) )1,,1,0(0 −== nixq in K

( ) ( ) ( ) =−= − xpxpxq nnn 1

( ) ( )( )∏

−

=

−

−

−= 1

0

1n

jj

nnn

xx

xpxpC

( )( ) ( ) =−−− −110 nn xxxxxxC K ( )∏−

=

−1

0

n

jjn xxC

evaluamos en xn ( )( )∏

−

=

−

−

−= 1

0

1n

jjn

nnnn

xx

xpfC

( ) ( ) ( )∏−

=− −+=

1

01

n

jjnnn xxCxpxp

( ) ( ) ),1,,1,0(, nnifxpxp iinin −== K

xi son las raíces de qn(x)

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2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Definición: a la constante Cn dada por la expresión:

se le denomina diferencia dividida de la función f(x) el soporte {x0, x1, …, xn -1, xn} y se representa como f [x0, x1, …, xn -1, xn].

( )( )∏

−

=

−

−

−= 1

0

1n

jjn

nnnn

xx

xpfC

• Propiedad 1: el orden de los puntos del soporte no altera el valor de la diferencia dividida en ellos:

[ ] [ ]011110 ,,,,,,,, xxxxfxxxxf nnnn KK −− =EP: demostrarlo.

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2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

• Soporte:DEMOSTRACIÓN:

{ }0x

• Propiedad 2: se verifica la siguiente relación entre las diferencias divididas:

[ ] [ ] [ ]0

11021110

,,,,,,,,,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnn −

−= −−

KKK

• Polinomio:( ) 000 Cfxp ==

{ }10 , xx ( ) ( )0101 xxCCxp −+={ }nxxx ,,, 10 K

{ }nx ( ) 00 ~~ Cfxp n =={ }1, −nn xx

{ }01 ,,, xxx nn K− ( ) ( ) ( )∏=

−++−+=1

10~~~~

njjnnn xxCxxCCxp K

( ) ( )nxxCCxp −+= 101~~~

KKK KKK

KKK KKK

( ) ( ) ( )∏−

=

−++−+=1

0010

n

jjnn xxCxxCCxp K

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2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

• Por tener solución única nuestro problema, sabemos que:

( ) ( ) ( )∏−

=

−++−+=1

0010

n

jjnn xxCxxCCxp K

( ) ( ) ( )∏=

−++−+=1

10~~~~

njjnnn xxCxxCCxp K

( ) ( )xpxp nn ~=luego podemos igualar los coeficientes de los términos de

grado n: nn CC~

= …(demostración de propiedad 1)y también los coeficientes de los términos de grado n-1:

( ) ( )1111101~~ xxxCCxxxCC nnnnnnn −−−−+=−−−−+ −−−− KK

( ) ( )∏∏−

=

−

=− −+−+

1

0

2

01

n

jjn

n

jjn xxCxxC

( ) ( )∏∏==

− −+−+12

1~~

njjn

njjn xxCxxC

( ) 110~

−− −=− nnnn CCxxC ( )011

~

xxCCC

n

nnn −

−= −−

c.q.d.[ ] [ ] [ ]0

11021110

,,,,,,,,,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnn −

−= −−

KKK

[ ] [ ] [ ]0

11011110

,,,,,,,,,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnnn −

−= −−−

KKK

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2. FÓRMULA DE NEWTON. TABLAS

TABLA DE FRASSER-LOGENZE

Definición: a la expresión:

se le denomina Fórmula de Newton.

( ) [ ] ( )∑ ∏=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

n

i

i

jjin xxxxffxp

1

1

000 ,,K

0x

1x2x

2−nx

1−nx

nx

K

0f

1f2f

2−nf

1−nf

nf

K

[ ]01

0110 , xx

ffxxf−−

=

[ ]12

1221, xx

ffxxf−−

=

[ ]21

2112,

−−

−−−− −

−=

nn

nnnn xx

ffxxf

[ ]1

11,

−

−− −

−=

nn

nnnn xx

ffxxf

[ ] [ ] [ ]02

1021210

,,,,xx

xxfxxfxxxf−−

=

[ ] [ ] [ ]2

12112

,,,,−

−−−−− −

−=

nn

nnnnnnn xx

xxfxxfxxxf

[ ] [ ] [ ]0

1010

,,,,,,xx

xxfxxfxxfn

nnn −

−= −

KKKK K

K

K

90 0.5 1 1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy

funciónpol. interpolador

2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS. EJEMPLO

Ejemplo 2-1. a) Hallar el polinomio interpolador de la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π/2], tomando como soporte de interpolación {0, π/4, π/2}. Tenemos que calcular las diferencias divididas:

{x0, x1, x2}

[ ] ;,01

0110 xx

ffxxf−−

= [ ] ;,12

1221 xx

ffxxf−−

= [ ] [ ] [ ]02

1021210

,,,,xx

xxfxxfxxxf−−

=

Lo hacemos mediante la Tabla de Frasser-Logenze:

y el polinomio interpolador será:

( ) ( ) ( )( )( )402180220 22 πππ −−−⋅

+−+= xxxxp

0x

1x

2x

0f

1f

2f

[ ]01

0110 , xx

ffxxf−−

=

[ ]12

1221, xx

ffxxf−−

=

[ ] [ ] [ ]02

1021210

,,,,xx

xxfxxfxxxf−−

=0

4π

0

1

π22

( )π

222 −

2π

21

( )2

218π−

0 0.5 1 1.50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03|y(x)-p(x)|

x

10

0 0.5 1 1.50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

x

|y(x)-p(x)|

04π

0

1

π22

( )π

222 −

2π

( )2

218π−

21

2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS. EJEMPLO

Ejemplo 2-1 (cont.). b) Se desea mejorar la interpolación anterior añadiendo al soporte los puntos π/6 y π/3. Calcular el nuevo polinomio interpolador. {0, π/4, π/2, π/6, π/3}Lo hacemos aprovechando la Tabla de Frasser-Logenzeanterior:

y el polinomio interpolador será:( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) =−−−−+−−−−= 6240029.0240121.024 πππππ xxxxxxxxpxp

0785.0571.1

901.0373.0

336.0−

1

0707.0

6π233π

21477.0699.0

423.0−

524.0

047.1 866.0

500.0

399.0− 091.0−121.0− 029.0

0 0.5 1 1.50

1

2

x 10-4

x

|y(x)-p(x)|

( ) ( )( ) ( )( )( )624029.024121.04336.0901.00 ππππππ −−−+−−−−−+= xxxxxxxxxx 432 x0.029+x.2050x0.021+x.9960 −=

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3. DIFERENCIAS FINITAS

• Sea el soporte equidistante de n+1 puntos en [a, b] definido por: ( ) nabhnjhjax j −==⋅+= con),,1,0( K

Definición: se denomina diferencia finita progresiva de orden m de f(x) en xi a:

con

),,1,0(111 mnifff i

mi

mi

m −=Δ−Δ=Δ −+− K

),,1,0(0 niff ii K==Δ

0f1f2f

2−nf

1−nf

nf

KK

0101 fff −=Δ

1211 fff −=Δ

2121

−−− −=Δ nnn fff

111

−− −=Δ nnn fff

01

11

02 fff Δ−Δ=Δ

21

11

22

−−− Δ−Δ=Δ nnn fff

K

K

K

01

11

0 fffnnn −− Δ−Δ=Δ

TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS PROGRESIVAS

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3. DIFERENCIAS FINITAS

Definición: se denomina diferencia finita regresiva de orden m de f(x) en xi a:

con

),,1,(111 nmmifff i

mi

mi

m K+=∇−∇=∇ −−−

),,1,0(0 niff ii K==∇

0f1f2f

2−nf

1−nf

nf

KK

0111 fff −=∇

1221 fff −=∇

2111

−−− −=∇ nnn fff

11

−−=∇ nnn fff

11

21

22 fff ∇−∇=∇

1112

−∇−∇=∇ nnn fff

K

K

K

111

−−− ∇−∇=∇ n

nn

nn

n fff

TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS REGRESIVAS

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3. DIFERENCIAS FINITAS. PROPIEDADES

• Propiedad 1: se verifica la siguiente relación entre las diferencias finitas progresivas y las regresivas:

( ) ( ) ( )( )kni

nkff ki

ki

k

−==

∇=Δ + ...,,1,0...,,1,0

• Propiedad 2: se verifica la siguiente relación entre las diferencias finitas progresivas y las diferencias divididas:

[ ]miiimim xxxfhmf ++=Δ ,,,! 1 K

[ ]imimimim xxxfhmf ,,,! 1 K+−−=∇

y análogamente, se verifica la siguiente relación entre las diferencias finitas regresivas y las diferencias divididas:

EP: demostración (sugerencia: por inducción).

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4. EJERCICIOS. TALLERES 2-1 Y 2-2

Taller 2-1.

Taller 2-2. a) Deducir la expresión dada por la propiedad 1, que relaciona las diferencias finitas progresivas y regresivas de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )kni

nkff ki

ki

k

−==

∇=Δ + ...,,1,0...,,1,0

a) Calcular el polinomio interpolador de la función

en el intervalo [-2, 2], con un soporte equidistante de 5 puntos, mediante el procedimiento de Newton.

b) Hallar la expresión del error y una cota válida del mismo. Evaluar el error producido en x =1.5.

( ) 5xxf =

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Taller 2-1. a) Calcular el polinomio interpolador de la función

en el intervalo [-2, 2], con un soporte equidistante de 5 puntos, mediante el procedimiento de Newton.

( ) 5xxf =

3111

31

2−1−

012

0

32−1−

321

55 015−

015

( ) [ ] ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∑ ∏

=

−

=

4

1

1

0004 ,,

i

i

jji xxxxffxp K

( ) ( )( ) ( )( ) =+++⋅+++⋅−+⋅+−= 0125121523132 xxxxxx xx 45 3 −

Y por la fórmula de Newton:

Por la tabla de Frasser-Logenze tenemos:

-2 -1 0 1 2

-30

-20

-10

0

10

20

30

x

y

funciónpol. interpolador

-2 -1 0 1 20

1

2

3

4

x

|f(x)

-p(x

)|

4. EJERCICIOS. TALLERES 2-1 Y 2-2

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Taller 2-1. b) Hallar la expresión del error y una cota válida del mismo. Evaluar el error producido en x =1.5.

Aplicamos la expresión del error a nuestro caso particular:

( ) 1205( =xf

y sustituyendo en la expresión del error:

( ) ( )( ) ( ) [ ]2,2!54

0

5(

−∈−= ∏=

cxxcfxi

iε

Cota máxima de f (5(c):

Cota máxima del productorio: ( ) ( )( ) ( )( )2112 −−++= xxxxxxπ

( ) 0' =xπ

( ) ( ) 63.364.1120120

max ==≤ πε Ex

[ ]( )( ) 120max 5(

2,2=

−xf

⎩⎨⎧

±=

±=

544.0644.1

4,3

2,1

xx ( )

( )⎩⎨⎧

±=±=±

419.1544.0631.3644.1

ππ m

Por otro lado, el error cometido en x =1.5 es:

( ) ( ) ( ) =−= 5.15.15.1 4pfε ( ) 28.35.145.155.1 35 =⋅−⋅− maxE<

4. EJERCICIOS. TALLERES 2-1 Y 2-2

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4. EJERCICIOS. TALLERES 2-1 Y 2-2

Taller 2-2. a) Deducir la expresión dada por la propiedad 1, que relaciona las diferencias finitas progresivas y regresivas de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )kni

nkff ki

ki

k

−==

∇=Δ + ...,,1,0...,,1,0

( ) ( )iii fff =∇=Δ

00

Haremos la demostración por inducción:Para k = 0 se cumple:

( ) ( )1

11

1++ ∇=−=Δ iiii ffffy para k = 1:

Si suponemos que esta relación se verifica para k - 1:( ) ( )

111

−+−− ∇=Δ ki

ki

k ffdemostramos que también se cumple para k:

( ) ( ) ( ) =Δ−Δ=Δ −+−

ik

ik

ik fff 11

1 ( ) ( ) =∇−∇ −+−

+−

111

kik

kik ff ( ) ki

k f +∇ c.q.d.

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¿QUÉ HEMOS VISTO?.

• Cómo calcular el polinomio interpolador de Lagrange mediante diferencias divididas.

• Cómo calcularlas mediante la Tabla de Frasser-Logenze.

• Diferencias finitas progresivas y regresivas para un soporte equidistante.

RESUMEN

¿QUÉ VEREMOS?.

• Relación entre las diferencias divididas y las finitas.

• Fórmula de Newton-Gregory progresiva y fórmula del error para un soporte equidistante.• Soporte de Tchebycheff.