Apuntes de Clculo Numrico (Unidad I)Teora Elemental de ErroresLicdo. Deybis Boyerdeyboyazacol@yahoo.esUNEFMOctubre-2014

CUAN IMPORTANTE PUEDEN SER LAS UNIDADES DE MEDIDAS?

Viernes 24 de septiembre de 1999. Noticia de la BBC de Londres: Los potentes radiotelescopios de la Red de Comunicacin y Rastreo de Sondas Interplanetarias de la NASA estn llevando a cabo un ltimo registro en las inmediaciones de Marte, en un intento desesperado de recuperar la nave Mars Climate Orbiter. El error cometido? Un programa de ordenador encargado de controlar una de las maniobras de correccin de la trayectoria, hizo que el satlite antes de llegar a Marte se saliera de orbita (perdiendo el control del satlite) esto debido a que los clculos escrito estaban con unidades de medida del sistema ingls (milla, libra) y la NASA estaba tomando estos datos en el sistema mtrico (metros, kg). La confusin de unidades de medida le cost a la NASA 125 millones de dlares.

Medida y Error.

Aquellas propiedades de la materia que son susceptibles de ser medidas se llaman magnitudes; son las propiedades que estudia la fsica mediante el mtodo cientfico. Medir una magnitud fsica es compararla con un valor de la misma que, por convenio, tomamos como patrn o unidad. Como resultado obtenemos el nmero de veces que esta unidad est contenida en nuestra magnitud, as que siempre tenemos que referirnos a esa unidad empleada, de lo contrario la medida no tiene sentido.

Por ejemplo, Una masa puede ser . Pero no

Ahora bien, Qu clase de nmeros deberan ser los resultantes de la operacin de medir?; evidentemente deberan de ser nmeros reales, es decir, nmeros con infinitos dgitos decimales. Por otro lado nos hacemos las siguientes preguntas, Cuntos de esos dgitos nos dar a conocer del valor de la magnitud?, Podramos obtener tantas magnitudes cmo quisiramos?, Qu podemos entonces obtener en un proceso de medida? Todas estas interrogantes nos ayudan a comprender que slo podemos determinar un intervalo en que es probable que est el verdadero valor de la magnitud.

Por ejemplo, Si decimos que una masa es de , queremos decir realmente que es probable que est entre . y .

Este intervalo de valores no tiene por qu ser siempre igual, as lo expresaremos en general como:

(Valor del centro del intervalo la mitad de la longitud del intervalo) unidad

Cuanto ms estrecho es el intervalo, mejor conocemos el verdadero valor de la magnitud que medimos. Siguiendo con el ejemplo de la masa escribiramos (Los parntesis son necesarios ya que la unidad multiplica a los dos nmeros):m = (21.3 0.1) g.La forma de calcular ese intervalo de valores se denomina clculo de errores.

Errores cometidos por la calculadora.

A las calculadoras les resulta imposible almacenar todos los nmeros reales (dada su capacidad finita de memoria), es por esto que para manipular y operar nmeros, utiliza un conjunto finito de nmeros, al que se le llama Sistema Numrico de Punto Flotante. En cada calculo que se realice, generalmente, se introducen errores que afectan sustancialmente los resultados y por ende los procesos pertinentes. Los errores son de diferente ndole y provienen de diversas fuentes y surgen por medio de distintos mtodos. Veamos un ejemplo que convenientemente busca minimizar la incidencia negativa de ellos.

EJEMPLO 1:

Solucin:

EJEMPLO 2:

Solucin:Considere la expresin:

Solucin:Si hacemos,

Al considerar solo 6 cifras tenemos

Entonces Qu error tan grande?

Los clculos hechos por las calculadoras nos llevan solo a aproximaciones y por tanto, en los resultados obtenidos solo se pueden tomar unos pocos, ya que existen representaciones de cantidades con un infinito nmero de dgitos como es evidente que se comete un mnimo error al tomar un determinado nmero de dgitos significativos por lo que las operaciones que se realicen con ellos van a ser solo aproximaciones.

EJEMPLO 3:

Considere la expresin:

Solucin:1) Al calcular el valor de la expresin para x = 0.3334, resulta (Usando software matemtico) (Usando la calculadora)2) Al factorizar la expresin resulta y al evaluar para x = 0.3334 (Usando software matemtico) (Usando la calculadora)3) Redondeando las fracciones , y sustituyendo en la expresin original resulta (Usando software matemtico) (Usando la calculadora)4) Ahora redondeando y sustituyendo en el resultado anterior Qu error tan grande?

Las causas del error son varias. Existen aquellas debidas a la conceptualizacin, los datos introducidos en el proceso; las debidas a una operacin o conjunto de operaciones que se realizan en el proceso y las debidas a la interpretacin.EJEMPLO 4:

Use la calculadora para realizar la siguiente operacin

Solucin: (Usando la calculadora)Pero usando operaciones de agrupacin de trminos semejantes

(El cual era el resultado esperado)EJEMPLO 5:Use la calculadora para realizar la siguiente operacin

Solucin: (Usando la calculadora)Aproximando cada cifra, , , As,Qu error tan grande?EJEMPLO 6:Solucin:

Fuente y Clasificacin de los errores.

La resolucin de cualquier problema de ingeniera est conformada de dos grandes pasos o etapas: La formulacin del modelo que responde al fenmeno fsico real que se quiere estudiar y la resolucin del modelo. Cada una de estas etapas es fuente de distintos errores. En la figura siguiente se muestran las distintas fuentes de errores por etapas en la modelacin de un problema de ingeniera.

Error del Modelo.

Para resolver un problema en ingeniera es necesario primeramente plantear o formular el problema. En esta primera etapa es necesario definir o precisar las leyes fsicas que intervienen en el fenmeno a estudiar y despus formular dichas leyes en trmino de ecuaciones matemticas. En la formulacin del problema se hacen suposiciones y simplificaciones del fenmeno con lo cual se est introduciendo un error llamado error del modelo.

Error de los Datos de Entrada.

En la resolucin de todo problema intervienen datos de entrada los cuales no estn exentos de errores producto de las distintas formas de obtencin de los mismos. A estos errores se les llaman errores de los datos de entrada.

Error del mtodo o de aproximacin.

En la resolucin de un problema se pueden utilizar distintos mtodos para obtener la solucin. Estos mtodos pueden ser mtodos aproximados los cuales conducen a soluciones aproximadas de la solucin real o exacta. En dependencia del mtodo seleccionado la solucin aproximada estar ms cerca de la solucin exacta del problema por lo que aqu se introduce un error en la resolucin del problema. A este error se le llama error del mtodo o de aproximacin.

Error de redondeo.

Para obtener la solucin de un problema generalmente es necesario efectuar numerosos clculos numricos y para esto frecuentemente se necesitan algoritmos de clculos que pueden conducir a programas de computacin. Si estos clculos fueran hechos con todas las cifras decimales se obtendran los resultados exactos de dichos clculos pero esto generalmente no sucede ya que los clculos son redondeados. Esto puede provocar resultados errneos debido a que se pueden amplificar los errores de redondeo. Este es el llamado problema de la estabilidad. El problema de la estabilidad es el nico error que se puede evitar o reducir su efecto.

Clasificacin de los errores.

1. Errores inherentes o inevitables 1.1. Error del modelo1.2. Error en los datos 2. Errores evitables 2.1. Error del mtodo 2.2. Error de redondeo

El Clculo de Errores.

La manera de calcular los errores depende del tipo de medida. Distinguiremos:

MEDIDAS DIRECTAS: Las que se obtienen comparando la magnitud con el patrn directamente o mediante un aparato calibrado. As se suelen medir la longitud, la masa, el tiempo, el voltaje, etc.MEDIDAS INDIRECTAS: Las que se calculan mediante una frmula a partir de magnitudes medidas directamente. As suelen obtenerse la velocidad, la superficie, etc. El que una medida sea directa o indirecta no depende de la magnitud en s, sino del experimento que empleamos para determinarla. Lo que en un experimento se mide de manera directa, en otro puede determinarse de manera indirecta.Tipos de Errores en Medidas Directas.

Clasificaremos los errores segn su comportamiento, independientemente de donde provenga, en errores sistemticos y errores accidentales.

a) ERRORES SISTEMTICOS: Se deben a causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas. Generalmente se deben a falta de calibracin de los aparatos o a un mal hbito del experimentador. Su caracterstica es que se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numricamente

Por ejemplo, Una lectura de realizada con un voltmetro que marca . Cuando sus extremos estn cortocircuitados (y debera por tanto marcar 0), indica que la tensin es de

b) ERRORES ACCIDENTALES: Si medimos dos veces consecutiva la misma cantidad y en las mismas condiciones, es probable que no coincidan todos los dgitos de la medida.Esto se debe a causas que actan de forma imprevisible, aleatoria, unas veces aumentando, otras disminuyendo la medida, y en cantidades diferentes en cada intento de medir. Pueden deberse a pequeas variaciones en la magnitud a medir, a la limitada fidelidad de los aparatos y a un experimentador poco hbil. Su caracterstica principal es que no podemos hacer ms que acotarlos en valor absoluto utilizando la teora estadstica de errores.

Cifras significativas.

Cuando se emplea un nmero en un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos.1.- Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qu tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos nmeros representan nmero especficos, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de cifras.

El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitos que se puede usar con plena confianza. Las cifras significativas se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico.Muchos de los clculos contenidos en los problemas de la vida real tratan con valores aproximados, entendindose que en toda medicin existen errores, que la precisin en las mediciones y en los clculos es casi imposible.Los dgitos significativos se encuentran contando los nmeros de izquierda a derecha, partiendo del primer digito no cero y terminando en el ltimo digito presente.Es conjunto de dgitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras significativas es independiente de la posicin del punto decimal.Los ceros a la izquierda de dgitos no nulos, nunca sern cifras significativas, mientras que los ceros intermedios de dgitos no nulos, siempre sern cifras significativas.

Por ejemplo,

1.- Longitud km (dos cifras significativas)2.- Estatura(tres cifras significativas)3.- (cinco cifras significativas)4.- (cuatro cifras significativas)5.- (tres cifras significativas)

Redondeo de un nmero.

Con el redondeo de un numero lo que se pretende es escribir un numero con menor cantidad de dgitos significativos, representando dicha cantidad con el menor error posible. Para redondear un nmero se fija a que cifra significativa se va a redondear dicho nmero. Si el nmero a la derecha de la cifra fijada es mayor o igual a 5, se suma uno en el lugar donde se quiere redondear, si es menor a 5, se deja el nmero donde se quiere redondear sin agregarle nada.

EJEMPLO 7:

Redondea los siguientes nmeros a tres dgitos significativos:

Solucin:

EJEMPLO 8:

Redondea las siguientes cantidades a nmeros enteros:

Solucin:

EJEMPLO 9:

Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales:

Solucin:

Truncamiento de un nmero.

El truncado de un nmero consiste en el corte simple del resultado de una operacin al nmero de cifras significativas que se estn utilizando. Por ejemplo, s se trunca a cuatro cifras significativas se tiene 0.4285.Cmo calcular los Errores?

Consideremos el valor exacto de una variable o magnitud y un valor aproximado de X entonces se definen:

Error:

Error absoluto:

Error Relativo:

Error Porcentual: Observacin:Definimos la tolerancia como y siempre se cumple que

EJEMPLO 10:Calcular el error relativo y el error absoluto que se comete cuando se escribe como Solucin: Recordemos que = Error Absoluto: Error Relativo:

900% (si hablamos de error porcentual)EJEMPLO 11:Calcular El mximo intervalo donde debe esta para que aproxime a 7 con un error relativo a lo sumo de 0.00001 con un truncamiento de 5 cifras.Solucin:Recordemos que Ahora bien, Si tolerancia entonces para y tolerancia=0.00001 se tiene0.000010.00001*0.0000

EJEMPLO 12:Al medir las dimensiones de un tanque cisterna que tiene la forma de un paraleleppedo se obtuvo la siguiente informacin: Largo L = 3 m con un error de 4 cm, Ancho A = 4 m con un error de 3 cm Altura H = 2 m con un error de 2 cm. a) Determine el error relativo en la medicin de cada dimensin. b) Determine el valor aproximado del error cometido en la medicin del volumen de la cisterna. Compare con el valor exacto del error. c) Determine el nmero de cifras significativas exactas que tiene el valor aproximado del volumen. d) Determine el valor aproximado del error cometido en la medicin del rea lateral de la cisterna. Compare con el valor exacto del error. e) Determine el nmero de cifras significativas exactas que tiene el valor aproximado del rea lateral.

Solucin:2m

3m

4m

Volumen=Ancho x Largo x AlturaValores aproximados Valores realesAncho: 4 m Ancho: (40.03) mLargo: 3 m Largo: (30.04) mAltura: 2 m Altura: (20.02) mParte a) Calculemos los errores relativos para cada medidaAncho: Largo: Altura: Parte b) Calculemos el volumenVolumen aproximado = (4.03) x (3.04) x (2.02) = 24.747424Volumen real = 4 x 3 x 2 = 24 Error absoluto del volumen calculado

Parte c) Volumen aproximado = 24.747424Numero de cifras significativas: 8Parte d)rea lateral = (2 x Ancho + 2 x Largo) x Altura

rea lateral (Aproximada) = (2 x 4.03 + 2 x 3.04) x 2.02 = 28.5628rea lateral (Real) = (2 x 4 + 2 x 3) x 2 = 28Error absoluto del rea lateral calculada

Parte e)rea lateral (Aproximada) = 28.5628Numero de cifras significativas: 6

UNIDAD CURRICULAR: MATEMTICA V MODALIDAD: PRESENCIAL CODIGO: 220501 CREDITOS: 4Licdo. Deybis Boyerdeyboyazacol@yahoo.esUNEFMOctubre-2014

OBJETIVO GENERAL.Ofrecer al estudiante una introduccin prctica a las tcnicas actuales de aproximacin numrica dando a conocer cmo, cundo y por qu se espera que estas tcnicas funcionen adecuadamente, y as poder hallar soluciones a los problemas de ingeniera traducidos en modelos matemticos, cuya solucin analtica resulta compleja o no existe, mediante mtodos numricos. Adems se estudiaran la interpretacin de los errores cometidos en cada estimacin particular proporcionando una base firme para la resolucin de problemas matemticos desde un enfoque numrico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS.Al finalizar el curso el estudiante estar en capacidad de:1. Comprender la importancia del clculo numrico en la solucin de problemas matemticos aplicados a la ingeniera civil en los que no es posible o es muy difcil hallar soluciones en forma analtica y/o exacta.1. Comprenda y maneje los conceptos y problemas bsicos del clculo numrico. 1. Comparar los resultados obtenidos a travs de clculo numrico con resultados exactos cuando sea posible.1. Comprender y aplicar los mtodos utilizados para la obtencin de soluciones aproximadas.1. Reconocer la utilidad de la obtencin de resultados aproximados. 1. Aplicar los conceptos y algoritmos de clculo numrico a la resolucin de problemas matemticos aplicados a la ingeniera civil.1. Comprender la aplicacin del clculo numrico con problemas de otras ramas de las matemticas y otras disciplinas.1. Explorar aplicaciones del clculo numrico al aula.

CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA.

La asignatura de Calculo numrico, es una asignatura que proporciona las herramientas necesarias para resolver problemas matemticos y de ingeniera que resulta tediosos o cuya solucin por mtodos analticos rigurosos resultan muy complicadas o que son imposibles. De esta manera posibilita al ingeniero civil para adquirir competencia como disear, seleccionar, adaptar y escalar equipos y procesos en los que se aprovechen de manera sustentable.Su importancia radica en que a travs de los mtodos numrico por media de simuladores comerciales o programados por el propio usuario, el ingeniero civil puede realizar el modelamiento, simulacin y control y optimizacin de equipos y procesos reales y no conformarse con ejercicios simplificados de libro de texto.Esta asignatura tiene relacin con las asignaturas como son las matemtica I a la IV y posteriores con todas las asignaturas del ares de ingeniera, donde frecuentemente aparece problemas cuya solucin requiere el uso de la computadora.

INTENCION DIDACTICA.

El temario de esta materia est organizado en cinco unidades. En las unidades I y II se aborda el tema de la programacin. Se espera que sta sea el pilar que permita la programacin posterior de los diferentes mtodos numricos que se abordarn en las unidades subsecuentes. En la Unidad I se revisa el tema de la teora elemental de errores. En las otras dos unidades se revisan otros mtodos numricos bsicos.La idea es abordar los fundamentos de cada uno de los mtodos numricos, que permita al estudiante conocer el potencial y las limitaciones de cada mtodo, y aprovechando la herramienta de la programacin, el estudiante puede generar una biblioteca con los diferentes mtodos, que le sean de utilidad en sus cursos posteriores.La intencin de unir estos dos temas, la programacin y los mtodos numricos, en un solo curso es prevenir el hecho que los mtodos numricos se vean aislados e independientes de la herramienta de la programacin, que es realimente lo que potencia su utilidad.

CRITERIOS DE EVALUACION DE RESULTADOS:

Objetivo 1: El estudiante debe demostrar el conocimiento de los algoritmos y herramientas bsicas del clculo numrico y grfico. [Exmenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prcticos con ordenador].

Objetivo 2: El estudiante debe demostrar suficiencia en la seleccin y aplicacin de las herramientas de clculo aplicada a la resolucin de problemas de ingeniera civil. [Exmenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prcticos con ordenador].

Objetivo 3: El estudiante debe demostrar su capacidad para utilizar de forma autnoma el ordenador y las aplicaciones ofimticas bsicas para la realizacin de clculos y la elaboracin de informes. [Exmenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prcticos con ordenador].

METODOLOGIA.El fundamento terico y la estructura algortmica pertinente se exponen en forma de clases magistrales, apoyadas en ejemplos reales que se resuelven en clase de forma participativa para el desarrollo de conocimiento relativo a conceptos sobre teora elemental de errores, solucin de ecuaciones de una variable, interpolacin polinomial, integracin y derivacin numrica, as como la solucin de ecuaciones diferenciales con condicin inicial utilizando mtodos numricos. Para cada uno de los captulos el estudiante dispone de una coleccin de ejercicios propuestos para su resolucin individual o bien en grupo. Tras la exposicin de la teora, se realizan talleres de resolucin y discusin de los problemas propuestos. Para cada uno de los algoritmos expuestos, los estudiantes elaboran, tanto en clase como fuera de horario lectivo, plantillas de clculo sobre Scilab que deben validar frente a ejercicios resueltos, de forma que al final del curso cada estudiante puede disponer de un conjunto de herramientas de clculo contrastadas aptas para su utilizacin posterior. CONTENIDOINTRODUCCION TEMA 1. TEORIA ELEMENTAL DEL ERROR.TEMA 2. SOLUCIN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE.TEMA 3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Y APROXIMACION.TEMA 4. INTERPOLACIN POLINOMIAL.TEMA 5. AJUSTE DE CURVAS. TEMA 6. DIFERENCIACIN E INTEGRACIN NUMRICAS.BIBLIOGRAFA.CHAPRA Steven y CANALE Raymond. Mtodos Numricos para Ingenieros, McGraw Hill. 2006. Texto gua.BURDEN, Richard y FAIRES Douglas. Mtodos Numricos. Thomson. 2004.KINCAID David y CHENEY Ward. Anlisis Numrico: las matemticas del clculo cientfico. Addison-WesleyIberoamericana. 1994.

Clculo Numrico y sus Aplicaciones Octubre-2014 Pgina 19