Geometra Analtica

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NUCLEO MERIDA INTRODUCCION AL CLCULO

GEOMETRIA ANALITICA

Elaborado por: Marichal, Francisco V-17.340.996 Pea, Rossana V- 20.432.370 Lulo, Idmon V- 8.010.048 Martinez, Irwuim V-16.655.876 Carrera: Educacin Mencin Informtica Mrida, Noviembre de 2011

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TABLA DE CONTENIDO Introduccin Contenido DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO ECUACION DE UNA RECTA EN EL PLANO DISTANCIA DE PUNTO A RECTA LAS CONICAS Elipse Parbola Hiprbola Circunferencia FUNCIONES Dominio Rango Representaciones grficas FUNCIONES ELEMENTALES Polinmica Exponencial Logartmica Trigonomtricas ALGEBRA DE FUNCIONES Resumen Referencias Consultadas 25 21 17 04 08 11 12 Pg.

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INTRODUCCION

La rama de las matemticas cuyo objeto de estudio son las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio recibe el nombre de geometra. Esta disciplina apela a los sistemas axiomticos para representar la realidad; de esta manera, utiliza artificios matemticos formados por smbolos que le permiten crear cadenas, que, a su vez, se relacionan mediante ciertas reglas y generan nuevas cadenas. Existen distintas clases de geometras, como la descriptiva, la proyectiva, la plana y la geometra del espacio.

En el caso de la geometra analtica, se encarga del estudio de las figuras a partir de un sistema de coordenadas, utilizando los mtodos propios del anlisis matemtico y del lgebra. Por lo tanto la geometra analtica se encarga del estudio de ciertas lneas y figuras geomtricas aplicando determinado sistema de coordenadas.

Teniendo una visin ms clara de sobre el objeto de estudio de la Geometra Analtica se podrn explicar un poco ms en profundidad algunas teoras aplicadas en este campo.

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I.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relacin:

Para demostrar esta relacin se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un tringulo rectngulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitgoras.

Supongamos que tenemos estos 2 puntos en el plano cartesiano u ortogonal. A (2 , 4) y B (3 , 6 )

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Hallar la distancia entre esos puntos:

Entonces le damos nombre a esas coordenadas. x = 2 y = 4

x = 3 y = 6

Empleando la frmula de la distancia entre 2 puntos:

d = (x - x) + (y - y)

Reemplazo el valor de cada nombre que le colocamos

d = (3 - 2) + (6 - 4)

Resolvemos lo que est dentro de parntesis d = (1) + (2)

Elevamos ambos trminos al cuadrado

d=1+4 d=5

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La distancia es la raz de 5 es decir 2. 236067...

Otro ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =

esta dada por:

(1)

En la figura 1.0. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) asi como tambin el segmento de recta

Fig. 1.0.

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Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, stas se interceptan en el punto R, determinado el tringulo rectngulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relacin pitagrica:

Pero: Luego,

;

y

Observaciones: i. ii. iii. En la frmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativo. Ntese adems que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P 1 y P2 no afecta el valor de la distancia. Si el segmento rectilneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x (Fig.1.1.) entonces puesto que y1 = y2

fig. 1.1. Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 4.2. (b)), entonces puesto que x2 = x1

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II.

ECUACION DE UNA RECTA EN EL PLANO

Una recta es el lugar geomtrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el clculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante. La ecuacin general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la Funcin lineal de la forma:

Como expresin general, sta es conocida con el nombre de ecuacin pendienteordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, ser porque es paralela a l. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la funcin sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el b se denomina ordenada en el origen.

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Rectas horizontales Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0,y0). La ecuacin de dichas rectas es:

Rectas verticales

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Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto (x0,0). La ecuacin de dichas rectas es:

La ecuacin vectorial de la recta tiene la siguiente forma: t un nmero real.

con

es un punto de la recta (A) y un vector director de la recta. Estos dos elementos forman la determinacin lineal de la recta, es decir, que para representar una recta de forma analtica los necesitaremos. Una aclaracin antes de continuar. Vector director significa que tiene la misma direccin que la recta a la que determina. Para aclararnos bien en este tema tenemos que saber extraer el punto y el vector director de cada una de las formas de la ecuacin de la recta, Para pasar a la forma paramtrica simplemente hay que convertir la anterior ecuacin vectorial en dos ecuaciones algebraicas:

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III.

DISTANCIA DE PUNTO A RECTA

En Geometra euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia ms corta entre ese punto y un punto de una lnea o recta, esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Dada una recta r:Ax+By+C=0 y P=(p1,p2) un punto no contenido en ella. La distancia entre el punto y la recta viene dada por:

Sean A un punto y D una recta:

Se define la distancia entre A y D como la distancia mnima entre A y un punto M de D.

Para recta definida por su ecuacin reducida forma A = (xA,yA)

y siendo A un punto de la

Obsrvese que

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IV.

LAS CONICAS

Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a todas las curvas interseccin entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vrtice, se obtienen las cnicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parbola e hiprbola y un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vrtice

Elipse: es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

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Ecuacin analtica de la elipse: Supongamos para simplificar que los focos estn situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF + PF' = 2a Elevando al cuadrado y uniendo trminos semejantes obtenemos que : (a2-c2)x2 + a2y2 - (a2-c2)a2 = 0 a partir del dibujo y aplicando Pitgoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuacin se puede quedar : b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuacin debera de ser : Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0 Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuacin : Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 Donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los trminos A y B no tienen porqu ser iguales.

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Parbola: es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuacin analtica de la parbola: Supongamos que el foco est situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = -c (por lo tanto el vrtice est en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto cualquiera P(x , y) de la parbola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que : PF = PQ

elevando al cuadrado : x2 = 4cy si la parbola no tiene su vrtice en (0,0) si no en (p,q) entonces la ecuacin sera : (x-p)2 = 4c(y-q) desarrollando la ecuacin tendremos : x2 + p2 - 2xp - 4cy + 4cq = 0 si hacemos D = -2p , E = -4c , F = p2 + 4cq obtendremos que es : x2 + Dx + Ey + F = 0 en la que podemos observar que falta el trmino de y2 Nota : como se pudo el trmino xy no aparece nunca , esto es porque hemos supuesto que los ejes de simetra de las cnicas son paralelos a los ejes coordenados , en caso

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contrario aparecera este trmino , que como es lgico depender del ngulo de inclinacin de los ejes .

Hiprbola: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hiprbola.

Ecuacin analtica de la hiprbola: Supongamos para simplificar que los focos estn situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF - PF' = 2 elevando al cuadrado y uniendo trminos semejantes obtenemos que : (c2-a2)x2 - a2y2 - (c2-a2)a2 = 0 a partir del dibujo y aplicando Pitgoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuacin se puede quedar : b2x2 - a2y2 = a2b2

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dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuacin debera de ser : Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que : b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0 Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuacin : Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0 donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los trminos A y B no son del mismo signo.

Circunferencia: Se llama al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

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Ecuacin analtica de la circunferencia: Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :

pasando la raz al otro miembro :

desarrollando los trminos cuadrticos obtenemos que : si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

V.

FUNCIONES

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que ms nos interesan dentro del clculo son las funciones. En matemticas, se dice que una magnitud o cantidad es funcin de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Y es un trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades. Una funcin es una regla de asociacin que relaciona dos o ms conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociacin dos conjuntos las funcin se define como una regla de asociacin entre un conjunto llamado dominio con uno llamado condominio, tambin dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociacin no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del condominio.

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En la imagen anterior: Definicin de funcin que se ampara bajo una regla de asociacin de elementos del dominio con elementos del condominio, imponiendo la restriccin de relacionar un elemento del dominio con uno del condominio, sin importar si los elementos del condominio puedan estar relacionados con dos o ms del condominio.

Domino: El dominio de una funcin est dado por el conjunto de valores que puede tomar una funcin. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restriccin, entonces su dominio esta compuesto por todos los nmeros Reales. Como los valores de la funcin estn dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la funcin son aquellos para los cuales al evaluar la funcin para un valor de x, su resultado nos da un nmero Real. Por ejemplo la funcin: f(x) = ,

Para buscar el dominio de la funcin, se debe analizar para qu valores de x la funcin produce como resultado un nmero Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un nmero negativo, la expresin se nos presenta como una raz cuadrada de un nmero negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un nmero que satisfaga la expresin; por lo tanto el dominio de la funcin est constituido por todos los nmeros mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una funcin o de una expresin algebraica:

No puede haber una raz cuadrada ( cualquier raz par ) negativa, pues se tratara de un nmero imaginario que no hace parte de los Reales. Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresin queda indeterminada.

El dominio de una funcin es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la funcin est definida. Dicho de otra forma, si el conjunto de existencia es vaco entonces no existe la funcin.

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Se denomina rango o recorrido de una funcin al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Rango: El rango de una funcin, est determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una funcin. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). Tambin se puede expresar como todos los valores de salida de la funcin.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y as podemos hacerlo con cualquier nmero, positivo o negativo. Como x est elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango est conformado por el cero y todos los nmeros positivos.

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Representaciones graficas: En matemticas, la grfica de una funcin:

Es la visualizacin de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representacin iconogrfica. Tambin puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la funcin f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano XY.

Para dibujar, construir o representar la grfica de una funcin f se pueden seguir los pasos siguientes: 1. Buscar el dominio de la funcin, Dom f(x) 2. Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estn definidos en el dominio, y se procede a estudiar los lmites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dnde tiende la funcin cuando pasa cerca del punto x. 3. Buscar los lmites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cundo en el eje de abscisas se tiende al resultado del lmite. 4. Estudio de la monotona. Calculando la primera derivada f'(x) e igualndola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la funcin. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos. 5. Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obtenindose los posibles puntos de inflexin. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y as, sea x uno de estos puntos: Si f(x) es negativa, entonces f(x) es cncava Si f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

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VI.

FUNCIONES ELEMENTALES

Una funcin elemental es una funcin construida a partir de una cantidad finita de exponenciales, logaritmos, constantes, variables, y races de ecuaciones mediante composicin y combinaciones utilizando las cuatro operaciones elementales (+ ). Las funciones trigonomtricas y sus inversas son consideradas dentro del grupo de funciones elementales ya que se pueden obtener mediante el uso de variables complejas y sus relaciones entre las funciones trigonomtricas y las funciones exponencial y logaritmo. Las funciones elementales son un subconjunto de las funciones especiales.

Funcin polinmica: En matemticas, una funcin polinmica es una funcin asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo). Formalmente, es una funcin: Donde es un polinomio definido para todo nmero real ; es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

Funciones polinmicas bsicas Grado 0 1 2 Nombre Expresin

funcin constante y = a funcin lineal funcin cuadrtica funcin cbica y = ax + b es un binomio del primer grado y = ax + bx + c es un trinomio del segundo grado

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y = ax + bx + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

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Funcin exponencial: La funcin exponencial, es conocida formalmente como la funcin real ex, donde e es el nmero de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta funcin tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma funcin. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la funcin inversa del logaritmo natural.

En trminos generales su expresin matemtica tiene la forma:

siendo nmeros reales, . As pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Propiedades: Las funciones exponenciales (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. Son las nicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

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Funcin Logartmica: El logaritmo de un nmero es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho nmero.

Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 101010.

De la misma manera que la operacin opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicacin la divisin, la logaritmacin es la operacin inversa a la exponenciacin. Su expresin Matemtica es la siguiente:

(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; s y slo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 x tiene que ser un nmero positivo n puede ser cualquier nmero real . .

.

Identidades logartmicas Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritmticas muy tiles a la hora de realizar clculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

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El logaritmo de una raz es igual al producto entre la inversa del ndice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin ms que hacer:

Funciones Trigonomtricas Se definen comnmente como el cociente entre dos lados de un tringulo rectngulo asociado a sus ngulos. Las funciones trigonomtricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razn trigonomtrica en un tringulo rectngulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

Funcin Seno

Abreviatura Equivalencias (en radianes) sin (sen)

Coseno

cos

Tangente

tan

Cotangente ctg (cot)

Secante

sec

Cosecante

csc (cosec)

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VII.

ALGEBRA DE FUNCIONES

El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y condominios, entre otros, esta combinacin de operaciones algebraicas de las funciones: Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones: Suma: Producto: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) Diferencia: Cociente: (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Si dos funciones f y g estn definidas para todos los nmeros reales, entonces es posible hacer operaciones numricas reales como la suma, resta, multiplicacin y divisin (cociente) con f(x) y g(x). La suma, resta, multiplicacin y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

Cada funcin est en la interseccin de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la funcin cociente.

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RESUMEN

Una vez desarrollado y definidos algunos teoremas envueltos dentro del contenido la Geometra Analtica se puede sintetizar sealar que permite representar figuras geomtricas mediante frmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una funcin u otro tipo de expresin matemtica.

La idea que llev a la geometra analtica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de nmeros y a cada par ordenado de nmeros le corresponde un punto en un plano.

Sin embargo aun existen muchas ms teoras que complementan el estudio de ste tema que en profundidad permite el desglose mayor en cuanto a representaciones se refiera.

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REFERENCIAS CONSULTADAS

Enlaces WEB

UDEA: http://huitoto.udea.edu.co Argumentos de Bsqueda: Distancia entre dos puntos del plano.

EL BLOG DE ED: http://bitacoraed.wordpress.com/ Argumentos de Bsqueda: Ecuacin de una recta en el plano.

WIKIPEDIA: http://es.wikipedia.org/ Argumentos de Bsqueda: Distancia de un punto a una recta.

RINCON DEL VAGO: http://html.rincondelvago.com Argumentos de Bsqueda: Geometra Analtica.

Consultas Bibliogrficas Apostol, T. M., Calculus. Tomo I. Clculo con funciones de una variable, con una introduccin al lgebra lineal. Editorial reverte, 2005