Unidad II: probabilidades

Los administradores (y también los futuros ingenieros del ITSS) sustentan sus decisiones en un análisis de incertidumbres como las siguientes:

1. ¿Qué posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los precios?

2. ¿Qué posibilidad hay de que un método nuevo de ensamblado aumente la productividad?

3. ¿Cuáles son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo?

4. ¿Qué oportunidad existe de que una nueva invención sea rentable?

5.- Posibilidad de faltar a los exámenes ( ¡ohhh!)

• La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento.

• Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento.

• Otras probabilidades entre cero y uno representan distintos grados de posibilidad de que ocurra un evento. Por ejemplo, si considera el evento “que llueva mañana”, se entiende que si el pronóstico del tiempo dice “la probabilidad de que llueva es cercana a cero”, implica que casi no hay posibilidades de que llueva. En cambio, si informan que la probabilidad de que llueva es 0.90, sabe que es muy posible que llueva. La probabilidad de 0.50 indica que es igual de posible que llueva como que no llueva.

• En la figura 4.1 se presenta la probabilidad como una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.

• En el contexto de la probabilidad, un experimento es definido como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación se dan varios ejemplos de experimentos con sus correspondientes resultados:

• Al especificar todos los resultado experimentales posibles, está definiendo el espacio muestral de un experimento.

• A un resultado experimental también se le llama punto muestral para identificarlo como un elemento del espacio muestral.

• Considere el primer experimento presentado en la tabla anterior, lanzar una moneda. La cara de la moneda que caiga hacia arriba —cara o cruz— determina el resultado experimental (puntos muestrales). Si denota con S el espacio muestral, puede emplear la notación siguiente para describir el espacio muestral.

S {Cara, cruz }

• En el segundo experimento de la tabla –tomar una pieza para revisarla– puede describir el espacio muestral como sigue:

S {Defectuosa, no defectuosa}

• Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales. A continuación tres reglas de conteo que son muy utilizadas.

• Experimentos de pasos múltiples La primera regla de conteo sirve para experimentos de pasos múltiples. Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas. Defina los resultados experimentales en términos de las caras y cruces que se observan en las dos monedas.

• ¿Cuántos resultados experimentales tiene este experimento? El experimento de lanzar dos monedas es un experimento de dos pasos: el paso 1 es lanzar la primera moneda y el paso 2 es lanzar la segunda moneda. Si se emplea H para denotar cara y T para denotar cruz, (H, H) será el resultado experimental en el que se tiene cara en la primera moneda y cara en la segunda moneda.

• Si continúa con esta notación, el espacio muestral (S) en este experimento del lanzamiento de monedas será el siguiente:

S {(H, H ), (H, T ), (T, H ), (T, T )}

• Por tanto, hay cuatro resultados experimentales. En este caso es fácil enumerar todos los resultados experimentales.

• La regla de conteo para experimentos de pasos múltiples permite determinar el número de resultados experimentales sin tener que enumerarlos.

• Si considera el experimento del lanzamiento de dos monedas como la sucesión de lanzar primero una moneda (n1 2) y después lanzar la otra (n2 2), siguiendo la regla de conteo (2)(2) 4, entonces hay cuatro resultados distintos. Como ya se mostró, estos resultados son S {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}. El número de resultados experimentales de seis monedas es (2)(2)(2) (2)(2)(2) 64.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. En la siguiente figura se detalla el diagrama:

• En cada paso, los dos resultados posibles son cruz o cara. Observe que a cada uno de los resultados posibles en el paso 1 pertenecen dos ramas por los dos posibles resultados en el paso 2. Cada uno de los puntos en el extremo derecho del árbol representa un resultado experimental. Cada trayectoria a través del árbol, desde el nodo más a la izquierda hasta uno de los nodos en el extremo derecho del árbol, muestra una secuencia única de resultados.

Caso: proyecto de expansión de la empresa Kentucky Power & Itss

(KP&I). Kentucky Power & Itss ha empezado un proyecto que tiene como objetivo

incrementar la capacidad de generación de una de sus plantas en el norte de Kentucky.

El proyecto fue dividido en dos etapas o pasos sucesivos:

• etapa 1 (diseño)

• y etapa 2 (construcción).

A pesar de que cada etapa se planeará y controlará con todo el cuidado posible, a los administrativos no les es posible pronosticar el tiempo exacto requerido en cada una de las etapas del proyecto. En un análisis de proyectos de construcción similares encuentran que la posible duración de la etapa de diseño es de 2, 3, o 4 meses y que la duración de la construcción es de 6, 7 u 8 meses. Además, debido a la necesidad urgente de más energía eléctrica, los administrativos han establecido como meta 10 meses para la terminación de todo el proyecto.

• Se pide:

Representar en un diagrama de árbol los resultados posibles (punto muestrales) del caso anterior

¿qué alternativa representa menor tiempo (entre diseño y construcción) ?

• Investigar:

• Combinaciones

• permutaciones

Asignación de probabilidades

Métodos Comúnmente utilizados

método clásico

método de la frecuencia relativa

método subjetivo

es apropiado cuando todos los resultados experimentales tienen la misma posibilidad. Si existen n resultados experimentales, la probabilidad asignada a cada resultado experimental es 1/n.

cuando existen datos para estimar la proporción de veces que se presentarán los resultados si el experimento se repite muchas veces.

cuando no es factible suponer que todos los resultados de un experimento sean igualmente posibles y, además, cuenta con pocos datos relevantes

Asignación de probabilidades

Probabilidades para el proyecto KP&L

De acuerdo con la experiencia, los administrativos concluyen que los resultados experimentales no son todos igualmente posibles. Por tanto, no emplean el método clásico de asignación de probabilidades. Entonces deciden hacer un estudio sobre la duración de los proyectos similares realizados por KP&L en los últimos tres años. En la tabla 4.2 se resume el resultado de este estudio considerando 40 proyectos similares.

• Después de analizar los resultados de este estudio, los administrativos deciden emplear el método de frecuencia relativa para asignar las probabilidades. Los administrativos podrían haber aportado

probabilidades subjetivas, pero se dieron cuenta de que el proyecto actual era muy similar a

los 40 proyectos anteriores. Así, consideraron que el método de frecuencia relativa sería el mejor.

• hallar las probabilidades de los nueve resultados experimentales por el método de frecuencias relativas

Solución:

Ejercicios:

1Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces.

a. Elabore un diagrama de árbol de este experimento.

b. Enumere los resultados del experimento.

c. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados?

• INTERPRETING PROBABILITIES

• 2Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente posibles: E1, E2, E3, E4 y E5. Asigne probabilidades a los resultados y muestre que satisfacen los requerimientos expresados por las ecuaciones (4.3) y (4.4). ¿Qué método empleó?

• 3Un experimento que tiene tres resultados es repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20 veces, E2 13 veces y E3 17 veces. Asigne probabilidades a los resultados. ¿Qué método empleó?

• 4La persona que toma las decisiones asigna las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1) 0.10, P(E2) 0.15, P(E3) 0.40 y P(E4) 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidades? Argumente.

• 5. capitulo4,

• Estadística para administración y economía

• autores: Anderson, Sweeney…introducción a la prob

5. En una ciudad las solicitudes de cambio de uso de suelo pasan por un proceso de dos pasos: una revisión por la comisión de planeación y la decisión final tomada por el consejo de la ciudad. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la solicitud de cambio de uso de suelo y hace una recomendación positiva o negativa respecto al cambio. En el paso 2 el consejo de la ciudad revisa la recomendación hecha por la comisión de planeación y vota para aprobar o desaprobar el cambio de suelo. Suponga que una empresa dedicada a la construcción de complejos departamentales presenta una solicitud de cambio de uso de suelo. Considere el proceso de la solicitud como un experimento. ¿Cuántos puntos muestrales tiene este experimento? Enumérelos. Construya el diagrama de árbol del experimento.

Más ejercicios de probabilidad

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo

moderado al paquete?

• b) ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector seleccionado al azar del grupo sondeado esté indeciso

respecto al paquete?

• c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector) seleccionado al azar del grupo

sondeado dé un apoyo fuerte o moderado al paquete?

Experimento Variable aleatoria (x)

Valores posibles para la variable

Tipo de variable (discreta o continua)

Operar un banco Personas en la fila para el cajero en una determinada hr

0,……20 discreta

Llamar a cinco clientes Numero de clientes que contestan

0,1,2,3,4,5 Discreta

Inspeccionar un envío de 50 chicharrones al ITSS

Cantidad de chicharrones enviados

0… 50 Discreta

Hacerse cargo de un restaurante durante un día

Cantidad de comensales que llegan en un día

0……infinito y más allá discreta

Llenar una lata de refresco (máx. 12.1 onzas)

Cantidad de onzas contenidas en una lata

0 <= x <= 12.1 Continua

Vender un automóvil Consumidores por dia

0…10 Discreta

Construir una biblioteca en 6 meses en el ITSS (¡subirá la colegiatura!

Porcentaje del proyecto terminado

Va de 0 a 100% continua

Distribuciones de probabilidad

• Distribuciones de probabilidad discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria

describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de la variable aleatoria. En el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad está definida por una función de probabilidad, denotada por f(x). La función de probabilidad da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria.

Ejemplo:

• Considere las ventas de automóviles en DiCarlo Motors en Tacotalpa, Tab. (propiedad del maestro Velasco) Durante los últimos 300 días de operación; los datos de ventas muestran que hubo:

54 días en los que no se vendió ningún automóvil (ha de haber estado cerrado),

117 días en los que se vendió 1 automóvil, 72 días en los que se vendieron 2 automóviles, 42 días en los que se vendieron 3 automóviles, 12 días en los que se vendieron 4 automóviles y 3 días en los que se vendieron 5 automóviles.

automoviles dias

0 54 0.18

1 117 0.39

2 72 0.24

3 42 0.14

4 12 0.04

5 3 0.01

300

Suponga que considera el experimento de seleccionar un día de operación en DiCarlo Motors y se define la variable aleatoria de interés como:

x = número de automóviles vendidos en un día.

1. A continuación se presenta la distribución de probabilidad de una variable aleatoria x.

2. Los datos siguientes se obtuvieron contando el número de salas de operaciones de un hospital que fueron usadas en un periodo de 20 días. Tres de estos 20 días sólo se usó una sala de operaciones, cinco de estos 20 días se usaron dos, ocho de estos 20 días se usaron tres salas de operaciones y cuatro de estos 20 días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.

a. Use el método de las frecuencias relativas para elaborar una distribución de probabilidad para el número de salas de operaciones usadas en un día.

b. Elabore una gráfica a partir de la distribución de probabilidad.

Aplicaciones

En la tabla 5.4 se muestra la distribución de frecuencias porcentuales para la puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo en el ITSS por una muestra de directivos en sistemas de información de nivel alto y de nivel medio. Las puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5 (muy satisfecho).

¿Cómo?

a. Elabore una distribución de probabilidad con las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel alto.

b. Elabore una distribución de probabilidad con las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel medio.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho?

e. Haga una comparación entre la satisfacción con el trabajo de los ejecutivos de nivel alto y la que tienen los ejecutivos de nivel medio.

• Pueden salir

Distribución binomial

• Requisitos o propiedades

Cómo identificar si un problema es binomial.

• Un sistema de detección de alarma para aviones de cuatro unidades de radar idénticas que operan de manera independiente entre sí. Suponga que cada una tiene una probabilidad de 0.95 de detectar un avión intruso. Cuando un avión intruso entra en escena, la variable aleatoria de interés es X , el número de unidades de radar que no detecta el avión. ¿Es este un experimento binomial?

• Redactar el éxito o fracaso en cada uno de los siguientes experimentos: – La probabilidad de que un paciente en el hospital de

Tacotalpa no se recupere de una operación particular es de 0.1

Éxito= fracaso=

– Un artillero antitanque (de los que se usan en la guerra pues) tiene una posibilidad de 70% de dar en el blanco cada vez que dispara desde una distancia de 200 m

– La probabilidad de que un vendedor de seguros (que estudió en el ITSS) efectúe la venta en su primer visita a un cliente nuevo es de .25

• Suponga que de un lote de 5000 fusibles eléctricos contiene 5% de unidades defectuosas. Si se prueba una muestra de 5 fusibles encuentre la probabilidad de hallar al menos uno defectuoso.

• Utilizar las tablas de distribución binomial

• resolver:

Con base en la experiencia anterior,, el 15% de las facturas del ITSS están incorrectas (y eso que hay ISO 9000). Si selecciona una muestra aleatoria de tres facturas actuales, ¿cuál es la probabilidad de que.

a) Exactamente 2 facturas estén incorrectas?

b) No más de 2 facturas estén incorrectas

c) Cuando menos 2 facturas estén incorrectas

• Éxito= facturas incorrectas • Fracaso= facturas correctas • P= 0.15 • q= (1-p) ; por lo tanto, es 1-0.15= 0.85 n= 3 X= 2 = P( x=2/n=3, p=0.15) =a) 0.0574 P( x <,= 2/ n= 3, p= 0.15) =b) 0.9966 P(>.= 2 / n=3, p=0.15)= c) 0.0608

Usarán Poisson

• El número promedio de llamadas por minuto recibidas en un taller de servicio de televisión es de 1.2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado:

a. Se reciban menos de dos llamadas?

b. Se reciban más de tres llamadas?

c. Menos de 2 llamadas o más de 3 llamadas?

5.74%

• El director del ITSS desea formar un comité ejecutivo de 5 entre los 40 catedráticos de tiempo completo. Si la elección va a ser aleatoria y en la facultad hay 8 catedráticos de tiempo completo para contabilidad (el maestro Velasco no es PTC). ¿cuál es la probabilidad de que el comité incluirá: a) Ninguno de ellos

b) Cuando menos uno de ellos

c) No más de uno de ellos

• Distribución de probabilidad de Poisson: La distribución de probabilidad de Poisson suele emplearse para modelar las llegadas aleatorias a una línea de espera (fila).

• Problema de las llamadas

Solución:

1. El número promedio de reclamaciones por hora presentadas a una compañía de seguros por pérdidas sufridas durante las mudanzas es de 3.1. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier hora dada:

a) Se presenten menos de tres reclamaciones?

b) Se presenten exactamente 3 reclamaciones?

c) Se presenten 3 o más reclamaciones?

• reactivo examen unidades 2 y 3

2. Una de cada 100 lámparas incandescentes fabricadas por una compañía se funde antes del final de su periodo de una semana si se dejan encendidas todo el tiempo. Se instala una lámpara en cada uno de los 50 pisos de un edificio muy grande. ¿cuál es la probabilidad aproximada de que:

A. se funda una lámpara al final de la semana? B. más de 3 lámparas se fundan al final de la semana? C. menos de 3 lámparas se fundan al final de la semana?