Unidad III: Vigas y Columnas

Flexión pura de vigas de sección simétrica

Las vigas son elementos estructurales cuyo principal objeto es transportar cargas a través de

su sección transversal. Cuando las cargas flexionan a la viga, estas en su interior producen

momentos flectores y fuerzas cortantes en la sección trasversal que son los que mantienen el

equilibrio del sistema.

El objetivo principal de esta unidad es establecer la relación que existe entre el momento

flector que actúa en la sección transversal y la distribución de tensiones normales que se

producen en ella, basándonos en las siguientes suposiciones:

El material de la viga es homogéneo, isótropo y obedece la ley de Hooke.

El módulo de elasticidad “E” es el mismo a tracción que a compresión.

Las secciones transversales de la viga permanecen planas después de la flexión.

La sección transversal de la viga es simétrica con respecto al plano de aplicación de las

cargas y constante en toda su longitud.

Las cargas no ocasionan torsión ni pandeo en la viga.

Restricciones iníciales: Por lo general, cuando una viga de sección transversal arbitraria se

sujeta a la acción de cargas transversales, la viga se flexionara. Además puede ocurrir

torsión y pandeo, y un problema en el que figuren efectos combinados de flexión, torsión y

pandeo puede llegar a ser bastante complicado. A fin de poder investigar únicamente los

efectos de la flexión se impondrán ciertas restricciones sobre la geometría de la viga y sobre

el modo de carga.

Se supondrá primero que la viga es recta, de sección transversal constante, está hecha de

material homogéneo y su sección tiene un plano longitudinal de simetría. En segundo lugar,

se considerara, que la resultante de las cargas aplicadas esta en este plano de simetría. Estas

condiciones eliminaran la posibilidad de que la viga sufra torsión. Así mismo, se supondrá

también que la configuración geométrica de todo el elemento estructural considerado es tal

que la flexión y no el pandeo es el modo primario de falla.

Flexión Pura.

Definición: Cuando un elemento es sometido a pares iguales y opuestos que actúan en el

mismo plano longitudinal, se dice que está a flexión pura. Veamos:

A C A B

M

´

M`

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

A C

M` M

´

Como, se puede observar si se hace un corte en el elementó AB de la figura 1, las condiciones

de equilibrio de la porción AC del elemento requieren que las fuerzas elementales ejercidas

sobre AC por la otra porción sean equivalentes al par M (figura 3). Así, las fuerzas internas

en cualquier sección transversal de un elemento sometido a flexión pura son equivalentes a

un par. El momento M de ese par se conoce como momento flector de la sección. Seguiremos

la convención usual y asignaremos signos positivos a M cuando el elemento es flexado tal

como se muestra en la figura 1 y signo negativo cuando los sentidos de los pares M y M´ son

contrarios.

El estudio de la flexión pura desempeña un papel importante en el análisis de vigas, es

decir, en el estudio de elementos prismáticos sometidos a cargas transversales. Consideremos,

por ejemplo, una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P en su extremo

libre (figura 4). Si hacemos un corte a través del punto C a una distancia x de A, notamos en

el D.C.L de AC (figura 5) que las fuerzas internas en la sección consisten en una fuerza P

igual y opuesta a P y un par M de magnitud M= P. x

Elemento Estructural Viga

Probablemente el tipo más común de miembro estructural es la viga. Una viga puede

definirse como un elemento estructural cuya longitud es relativamente grande en

comparación con su espesor (o ancho) y su altura (o peralte), y que soporta cargas

transversales que producen efectos significativos de flexión, a diferencia de los de torsión o

axiales. En estructuras reales es posible hallar vigas con una variedad infinita de tamaños,

formas y orientaciones.

Clasificación de las Vigas

Las vigas se clasifican por lo general según su configuración geométrica y la manera en que

están apoyadas. La clasificación geométrica comprende características tales como forma de

la sección transversal, si la viga es rectangular o curva, si es de sección uniforme o no

uniforme (ahusada) y otras. Las vigas se pueden clasificar fácilmente según la forma de sus

apoyos. Por ejemplo, una viga simplemente apoyada esta soportada por un pasador en un

extremo y por un rodillo en el otro (figura 6), una viga en voladizo esta empotrada en un

extremo y libre en el otro (figura 7), y una viga con voladizo tiene uno o ambos extremos

libres situados más allá de los soportes (figura 8).

L

A B

P

C

P

P´

x

C A

Fig. 4 Fig. 5

Diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flector

Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento

flexionante internos que, en general, varían de punto a punto a lo largo del eje de la viga.

Para diseñar apropiadamente una viga es necesario primero determinar la fuerza cortante

máxima y el momento flexionante máximo en la viga. Una manera de hacerlo es expresar V

y M como funciones de la posición “x” a lo largo del eje de la viga. Esas funciones de “fuerza

cortante (V)” y “momento flexionante (M)” pueden trazarse y representarse por medio de

graficas llamadas.

Fuerza Cortante (V)

Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje de la viga (o

elemento estructural) que actúan a un lado de la sección considerada.

La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la sección tiende a

subir con respecto a la parte derecha V.

Momento Flector (M)

Es la suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un

mismo lado de la sección respecto a un punto de dicha sección.

El momento flector es positivo cuando considerada la sección a la izquierda tiene una

rotación en sentido horario M.

Fig. 6 Fig. 7

Fig. 8

Diagrama de Cortante y de Momento Flexionante.

Los valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas gráficas. Además, como los

diagramas de cortante y momento dan información detallada sobre la variación de la fuerza

cortante y del momento flexionante, a lo largo de la viga, estos son usados por los ingenieros

para decidir dónde colocar material de refuerzo dentro de la viga o para determinar el

tamaño de la viga en varios puntos a lo largo de la longitud.

De lo anteriormente expuesto resulta que el diseño de una viga debe comenzar con la

determinación de las secciones críticas en donde los valores absolutos del momento flector y

de la fuerza cortante son máximos y con la determinación de los valores correspondientes

max y max. Estos cálculos serán considerablemente más sencillos si elaboramos los

gráficos de la fuerza cortante V y del momento flector M en las diferentes secciones, contra

la distancia x medidas desde un extremo de la viga.

En los problemas modelos de esta sección, obtendremos los diagramas de V y M,

determinando de estos en puntos escogidos de la viga. Estos valores se encontraran en la

forma usual, es decir, haciendo un corte por el punto en donde deben ser determinados y

considerando el equilibrio del segmento de viga localizado a un lado de la sección.

Convenio de Signo para V y M.

La fuerza cortante V y el momento flector M en un punto dado de una viga son positivos

cuando las fuerzas y pares internos que actúan en cada porción de la viga están dirigidos

como en la figura 9.

1. La fuerza cortante en C es positiva cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que

actúan en la viga, tienden a cortar la viga en C, como se indica en la figura 10.

2. El momento flector en C es positivo cuando las fuerzas externas que actúan en la viga

tienden a flexionar la viga en C como se indica en la figura 11.

Sección considerada.

P2

V ̀RB

M

`

Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11

P1

RA V

M

W P1 P2

W

A B C

L

Observación:

Estos permiten la representación gráfica de los valores de “V” y “M” a lo largo de los ejes de

los elementos estructurales.

Se construyen dibujando una línea de base que corresponde en longitud al eje de la viga

(Elemento Estructural, ee) y cuyas ordenadas indicaran el valor de “V” y “M” en los puntos

de esa viga.

La Fuerza cortante (V) se toma positiva por encima del eje de referencia.

Los valores de momento flector (M) se consideran positivos por debajo del eje de referencia,

es decir los diagramas se trazan por el lado de la tracción.

Los máximos y mínimos de un diagrama de momento flector corresponden siempre a

secciones de fuerza cortante nula. Para poder obtener la distancia (X, Y o d) donde el

momento flector es máximo o mínimo se igualará a cero la expresión de Fuerza cortante,

luego se despeja dicha distancia (X, Y o d).

Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de inflexión sobre la

elástica.

Relaciones entre Carga y Fuerza Cortante.

El incremento de la fuerza cortante con respecto a la distancia (X, Y o d) en una sección

cualquiera de una viga o elemento estructural (situada a una distancia, x, y o d, de su

extremo izquierdo) es igual al valor del área de la carga de dicha sección.

Si en un tramo del elemento estructural (viga, columna, inclinado) no actúa ninguna carga

la curva de la fuerza cortante permanecerá recta y paralela al eje del elemento estructural.

Cuando en un tramo del elemento estructural se aplique una carga distribuida

uniformemente, la línea de la fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente

constante con respecto al eje del elemento.

Para Carga distribuida con variación lineal de su intensidad, la curva de fuerza cortante

será una línea curva de segundo grado.

En los puntos de aplicación de cargas concentradas (puntuales) EXISTIRÁ una

discontinuidad en el diagrama de fuerza cortante.

Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector.

El incremento del momento flector con respecto a la distancia (X, Y o d) en una sección

cualquiera del elemento estructural situada a una distancia (X, Y o d) de su extremo

izquierdo es igual al valor del área del diagrama de fuerza cortante en la correspondiente

sección.