UNIDAD III - Líneas Rectas

7/23/2019 UNIDAD III - Lneas Rectas

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UNIDAD III: LNEAS RECTAS COORDENADAS CARTESIANAS

Una relacin entre dos variables por loregular se expresa por medio de una ecuacinalgebraica que contiene a las dos variables.Ejemplo : si x es la cantidad de artculos (en miles)que se producen y se vende en una fbrica,entonces la relacin entre x y y = R (ingreso) a unprecio de $6, se expresa por la ecuacin y = 6 x .Para cada valor de x, el valor respectivo de y se

obtiene multiplicando el precio de $6 por el valorde x.Una ecuacin algebraica de este tipo se

puede representar en forma geomtrica medianteuna grfica.


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Las grficas se construyen utilizando lasllamadas coordenadas cartesianas .

Dibujamos dos rectas perpendicularesdenominadas ejes de coordenadascartesianas, una horizontal y otravertical, interceptndose en un punto O.La lnea horizontal se denomina eje x,la Vertical eje y O es el origen.Un plano de tales ejes decoordenadas se denomina planocartesiano o plano x y.Seleccionamos una unidad delongitud a lo largo de los ejes,

pero no necesariamente iguales,partiendo del origen O que hace lasveces de cero, marcamos escalasnumricas como en el grfico.Los nmeros positivos se disponen a la derecha de O sobre el eje x ypor encima de O a lo largo del eje y.

y

A

B

0

4 -

5 -

3 -

1 -

2 -

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

P(x, y) x

x

y

x

y

O


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Sea cualquier punto P sobre el plano trazamos lasperpendiculares PA al eje x y PB al eje y. El punto Arepresenta al nmero x sobre el eje x, el punto Brepresenta el punto y sobre el eje y, entonces x y y sedenominan las coordenadas cartesianas del punto P, sedenota por el par ordenado (x, y). Existe una correspondencia de cada punto P del plano con

un nico par ordenado de nmeros reales (x, y) que sonlas coordenadas del punto, x se llama abscisa ocoordenada x, a y se denomina ordenada o coordenada ydel punto P.La abscisa y la ordenada de P se conoce como las

coordenadas cartesianas rectangulares del punto P, lanotacin P(x, y) se utiliza para denotar al punto P concoordenadas (x, y). Esta representacin de puntos en elplano por parejas de nmeros reales se llama sistema decoordenadas cartesianas.


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Los ejes de coordenadas dividen al plano xy en cuatrocuadrantes:

y

x

Segundo cuadrantex < 0, y > 0 Primer cuadrantex > 0, y > 0

Tercer cuadrante

x < 0, y < 0Cuarto cuadrantex > 0, y < 0

O +

+

-

-


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TEOREMA: (Frmula de la distancia)

Si P( x1, y1 ) y Q( x 2, y2 ) son dos puntos cualesquiera enel plano, entonces la distancia d entre P y Q est dadopor

EJEMPLOS: 1) La ordenada de un punto es 6 y sudistancia al punto ( 3, 2) es 5Grfica: La grfica de una ecuacin con dosincgnitas, tales como x y y , es el conjunto detodos los puntos cuyas coordenadas ( x, y) satisfacen la ecuacin.

212

212 )y(y)x(xd


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1) Dibuje la grfica de 3x y + 5 = 02) Dibuje la grfica de las relaciones de demandap + q 2 = 12 , donde p denota el precio por unidady q es la cantidad demandada.LNEAS RECTAS Y ECUACIONES LINEALES

Pendiente: La pendiente de una recta sedefine como la razn de la elevacin alrecorrido, se denota por lo general por la

letra m.m =

12

12

xxyy

recorridoelevacin

QRPR


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Siempre que x2 x1 0 , es decirque la lnea no sea vertical, la

pendiente no est definida para lneasverticales. La pendiente de una lnearecta es la misma, no importando lasposiciones de los puntos P y Q sobrela lnea .

Si la pendiente m de una lnea es positiva, la lnea asciendehacia la derecha. Entre ms grande sea el valor de m, lainclinacin de la lnea es mayor con respecto a lahorizontal. Si m es negativa, la lnea desciende hacia laderecha. Si m = 0, la lnea es horizontal.

x 2 x 1

y 2 y1

Q

P R

y

x


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Pendientepositivagrande

Pendiente

indefinida

Pendientenegativagrande

Pendientepositivapequea

Pendientenula

Pendientenegativapequea


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Ejemplo: Encuentre la pendiente de la lnea que une lospuntos (3, 2) y ( 7, 5)

Diversas formas por la ecuacin de una lnea recta

EJERCICIOS

Nombre de la frmula EcuacinFrmula punto y pendiente y y1 = m ( x x1)

Frmula pendienteordenada al origen y = m x + b

Frmula general A x + B y + C = 0, A y B no son ceros a la vez

Lnea horizontal y = bLnea vertical x = a


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Rectas paralelas y perpendicularesDos rectas con pendiente m 1 y m 2

Son paralelas si m 1 = m 2 Son perpendiculares si m 1 m2 = 1Ejemplos: 1) Encontrar la ecuacin de la recta que pasapor ( 3, 7) y es perpendicular a 6 x 8 y 24 = 0Graficar ambas rectas

2)Una compaa fabrica dos tipos de cierto producto. Cadaunidad del primer producto requiere 3 horas mquina ycada unidad del segundo requiere 4 horas mquinasdisponibles cada semana.

Si x unidades del primer tipo y y unidades del segundo

tipo se fabrican cada semana, encuentre la relacin entrex y y si se emplean todas las horas mquina. Cual es la pendiente de la ecuacin? Qu representa? Cuntas unidades del primer producto pueden fabricarsesi se producen 30 unidades del segundo en una semana?


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SISTEMAS DE ECUACIONESDefinicin: Un sistema de ecuaciones lineales condos variable x y y consta de dos ecuaciones del tipo:a1 x + b 1y = c1 , a2 x + b 2y = c2 donde a 1, b 1, c1, a 2,b2 y c2 son 6 constantes. La solucin de ste sistema es el conjunto de valores dex y y que satisfacen ambas ecuaciones.

Existen diferentes mtodos para resolver unsistema de dos ecuaciones con dos incgnitas1.Mtodo de sustitucin

2.Mtodo de igualacin3.Mtodo de eliminacin4.Mtodo de Gauss5.Mtodo de matrices


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Las grficas de las dos ecuaciones del sistemageneral de ecuaciones lineales: a1 x + b 1 y = c1,a2 x + b 2 y = c2 constan de dos lneas rectas en el planoxy, dado que cualquier ecuacin representa una lnea recta.Cualquier pareja de valores x, y que satisfaga a la vez lasecuaciones deben corresponder a un punto (x, y) que estsituado en ambas lneas. Surgen entonces tres posibilidades:

Las lneas L y M se interceptan en el punto (x0 , y0 ) ysatisfacen las ecuaciones de ambas lneas, dan una solucinal sistema dado. Esta solucin es nica, porque si las dos seinterceptan, lo hacen en un solo punto.Las lneas L y M son paralelas, las lneas no se cortan y no

hay ningn punto sobre ambas, pues no habr valores de xy de y que satisfagan ambas ecuaciones, la ecuacin notiene solucin.Las lneas rectas coinciden, cada punto sobre la lnea Ltambin est sobre la lnea M, el sistema tiene un nmeroinfinito de soluciones, cada pareja ordenada (x, y) estsobre L = M.


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L, M

(x0, y 0)

y

0x

L

M

x

y

0x

y

0

M

L

x0

y0


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APLICACIN AL ANLISIS EN LA ADMINISTRACI1.Modelos de costo lineal: En la produccin decualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos decostos; costos fijos y costos variables . A los costosfijos hay que enfrentarse sin importar la cantidadproducida del artculo, no depende del nivel de produccin.Los costos variables dependen del nivel de produccin, osea, de la cantidad de artculos producidos.

Costo total = Costos variables + costos fijos

Cuando el costo variable por unidad del artculo, m, esconstante, entonces los costos variables totales al producirx unidades de artculos son de m x. Si los costos fijos sonde b dlares. El costo total yc ( en dlares) de producirx unidades est dado por yc = mx + b .


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2. Anlisis del punto de equilibrio: Si el costototal yc de produccin excede al de los ingresos yi

obtenidos por las ventas, entonces el negociosufre una prdida. Por otra parte, si los ingresossobrepasan a los costos, existe una utilidad. Si elcosto de produccin es igual a los ingresosobtenidos por las ventas, no hay utilidad niprdidas, de modo que el negocio est en el puntoequilibrio.

El nmero de unidades producidas y vendidascuando el costo de produccin yc es igual a losingresos obtenidos por las ventas yi sedenomina punto de equilibrio . ( yc = yi ).


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3)Depreciacin lineal: Cuando una compaa compraequipo o maquinaria registra el valor de tal equipo comouno de los activos en su balance general. Al pasar de losaos este valor debe decrecer porque el equipo lentamentese desgasta o se hace obsoleto. Esta reduccin gradual enel valor de un activo se conoce como depreciacin . La depreciacin lineal es uno de los mtodos ordinarios

para calcular la cantidad de depreciacin, ste mtodosindica reducir el valor de un equipo por una cantidadconstante cada ao, de tal manera que el valor se reduzcaa valores de desecho al trmino de la vida til estimadapara el equipo.

Valor despus de x aos = valor inicial ( Depreciacin porao) (nmero de aos)

aos en til vidadesecho de valor inicial valor )aopor ( ndepresiaci de Tasa


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4) Oferta y Demanda: Las leyes de la oferta y lademanda son dos de las relaciones fundamentales encualquier anlisis econmico.

La cantidad x de cualquier artculo que ser adquirida porlos consumidores depende del precio en que el artculoest disponible. Ley de la demanda: Es la relacin que especifica lacantidad de un artculo determinado que los

consumidores estn dispuestos a comprar, a variosniveles de precios. p = mx + b , m < 0 , p es elprecio por unidad del artculo y m y b son constantes. Lagrfica se conoce como curva de demanda.La cantidad de un artculo determinado que susproveedores estn dispuestos a ofrecer depende del precioal cual puedan venderlo. Ley de la oferta: Es la relacin que especifica la cantidadde cualquier artculo que los fabricantes (o vendedores)puedan poner en el mercado a varios precios. p = mx + b m > 0 . La grfica se conoce como curva de oferta.


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Punto de equilibrio del mercado: si el preciode cierto artculo es demasiado alto, los

consumidores no lo comprarn, mientras que si esdemasiado bajo, los proveedores no lo vendern.En un mercado competitivo, cuando el precio porunidad depende slo de la cantidad demandada yde la oferta, siempre existe una tendencia delprecio a ajustarse por s mismo, de modo que lacantidad demandada por los consumidores igualela cantidad que los proveedores estn dispuestos aofrecer. El punto de equilibrio del mercado ocurre enun precio cuando la cantidad demandada es igual ala cantidad ofrecida.


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5) Impuestos especiales y punto de equilibrio del mercado: Confrecuencia, el gobierno grava con impuestos adicionales ciertos artculoscon el propsito de obtener ms ingresos o dar ms subsidios a los

productores para que hagan accesibles estos artculos a losconsumidores a precios razonables.

Consideremos el efecto de un impuesto adicional o subsidio sobre elpunto de equilibrio del mercado con las suposiciones siguientes :La cantidad demandada por los consumidores slo depende del precio;

es decir la ecuacin de la demanda no cambia. La cantidad ofrecida por los proveedores est determinada por el preciorecibido por ellos. El precio recibido por el proveedor es igual al preciopagado por el consumidor menos la cantidad gravada . Si p denota el precio aceptado por unidad por el proveedor y si con tdenotamos el impuesto por unidad, entonces la cantidad pagada por

unidad por el consumidor es p1 = p + t . Si p es el precio recibido por los proveedores y p2 es el precio delmercado y t denota el subsidio por unidad para elevar el punto deequilibrio de la demanda, entonces la cantidad pagada por elconsumidor es p2 = p t .


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