UNIDAD V

POBLACIÓN

5.1 Población futura 5.2 Cálculo de la población futura 5.3 Método Racional 5.4 Método Aritmético 5.5 Método de Interés Simple 5.6 Método Geométrico 5.7 Método de Incremento Variable 5.8 Método de la Parábola de 2do. Grado 5.9 Método de la Parábola de 3er. Grado 5.10 Método Gráfico 5.11 Otros métodos

UNIDAD V

POBLACIÓN

5.1 Población futura5.2 Cálculo de la población futura5.3 Método Racional5.4 Método Aritmético5.5 Método de Interés Simple5.6 Método Geométrico5.7 Método de Incremento Variable5.8 Método de la Parábola de 2do. Grado5.9 Método de la Parábola de 3er. Grado5.10 Método Gráfico5.11 Otros métodos

5.1 POBLACIÓN FUTURA

Otro factor importante en el abastecimiento de agua, es el desarrollo de la población, que puede producirse un crecimiento o decrecimiento futuro de la población, prever un determinado número de años en los diseños de abastecimientos de agua potable, para que no exista déficit de su infraestructura instalada o por instalar.

Es importante el periodo de diseño, dependiendo del

estándar de vida y el tamaño de la población. El diseño se puede tomar para 5, 10, 15, 20, 25 y 30 años;

generalmente los planes maestros están en el rango de 25 y 30 años.

Para los diseños de estos periodos grandes, se debe programar etapas para su construcción de tal manera que conforme crece la población la infraestructura sanitaria es adecuada; además, se debe tomar en cuenta que la infraestructura sanitaria es muy costosa.

5.2 CÁLCULO DE LA POBLACIÓN FUTURA

Para determinar la población futura debe utilizarse estadísticas de crecimiento, como: los datos de nacimientos y defunciones; la cantidad de migración interna o extranjera de habitantes; por los datos de censos realizados en la ciudad o cualquier otra estadística que tengan las entidades Públicas y de Servicio.

Para el cálculo del crecimiento de la población, se puede

utilizar diferentes métodos matemáticos, gráficos o estadísticos, el más conveniente, que el profesional debe elegir con un previo estudio de las condiciones de la ciudad, como: social, costumbres, clima, factores de desarrollo y fuente de agua.

5.2.1 MÉTODOS DE CÁLCULO

Existe mucho métodos para el cálculo de la población futura, los mas usados son:

a) Método Racional

b) Método Aritmético

c) Método de Interés Simple

d) Método Geométrico

e) Método de Incremento Variable

f) Método de la Parábola de 2° grado

g) Método de la Parábola de 3er. Grado

h) Método Gráfico

5.3 MÉTODO RACIONAL El método racional es el más efectivo y lógico, se necesita

conocer el crecimiento vegetativo de la población y la cantidad de la migración interna o extranjera de personal.

Para calcular la razón del crecimiento vegetativo, debe

tomarse la diferencia de nacidos y de defunciones por año, dividido por el número de habitantes de la ciudad; cuando existe estadística de varios años, se calcula para cada año y la razón de crecimiento es el promedio.

La razón de crecimiento por migración es la diferencia de

inmigrantes y emigrantes dividido por el número de habitantes de la ciudad; para varios años también se toma el promedio.

La suma de estas dos razones de crecimiento, se obtiene la razón total de crecimiento anual, y se aplica la fórmula del método de interés simple o del método geométrico

Interés simple P = p [1 + r (t – to)] Geométrico P = p (1 + r)(t – to)

En la que: P Es la población futura p Es la población inicial r La razón de crecimiento vegetativo y de migración t- to Es el tiempo en años para método de interés

simple y geométrico

EJEMPLO:Una población de 7500 habitantes en el 2013, el promedio obtenido de nacimientos es de 160 habitantes y de fallecidos es 40. Calcular la población para un periodo de 20 años, por el método racional.

Taza de crecimiento r = 160 nacidos – 40 fallecidos = 0,016 7500Usando el método geométrico P = p (1 + r)(t – to)

P2032 = 7500 (1 + 0,016)20 = 7500 x 1,31 = 9825 habitantes

Usando el método Interés Simple P = p [1 + r (t – to)]

P2033 =7500[1+0,0136x20]=7500 x 1,374 = 10305 habitantes

5.4 MÉTODO ARITMÉTICO

Este método representa una ecuación lineal, se le usa para poblaciones que están en pleno crecimiento.

Su fórmula general es: P = p + r (t – to)

De esta fórmula se calcula: r = (P-p) / (t-to)

Para facilitar el cálculo se puede usar los censos de una ciudad con el siguiente cuadro y tomar el promedio de r:

Censos P (P – p) (t – to) r = (P-p) / (t-to)

EJEMPLO:

Una población de 4510 en el año 2004 tiene 4510 habitantes y en el año 2013 tiene 6000 habitantes Calcular la población para 20 años por el método aritmético

P = p + r (t – to)

r = P – p = 6000 – 4510 = 165,56 t – to 9

P2033=6000 +165,56x20 = 6000 + 3311,2 = 9311 habitantes

5.5 MÉTODO DE INTERÉS SIMPLE Se aplica la fórmula del capital a interés simple, se usa para

poblaciones que están en el límite de saturación. Su fórmula general es: P = p [1 + r (t – to)] De esta fórmula se calcula: r = P- p p(t-to)

Para facilitar el cálculo se puede usar censos de una ciudad con el siguiente cuadro y tomar el promedio de r :

Censos

P (P – p) (t – to) p (t-to)r = P-p

p(t-to)

EJEMPLO:Calcular la población para el año 2022 de una ciudad; si se tiene los siguientes censos1993 9200 habitante2003 13000 “2013 17500 “ P = p[1 + r(t – to)] r = (P – p) /p(t – to)

P2023 = 17500 [1 + 0,02747 x 10] = 22307 habitantes

Censos

P (P – p) (t – to) P (t-to) r = (P-p) / p(t-to)

1993 9200

2003 13000 3800 10 130000 0,02923

2013 17500 4500 10 175000 0,02571

∑ 0,05494

Promedio 0,02747

5.6 MÉTODO GEOMÉTRICO Este método usa la fórmula para el capital a interés compuesto, se usa para ciudades jóvenes con industria rápidamente expansiva, condiciones que pueden existir cuando se produce en tiempos cortos. Su fórmula general es: P = p (1 + r)(t – to)

Para el cálculo (t – to) se toma en décadas, si se tienen censos hay que hacer el ajuste de la población P en décadasDe esta fórmula se calcula: r = - 1

Luego con el promedio de (r) se calcula la población futura con la fórmula general Para facilitar el cálculo se tiene el siguiente cuadro:

– to)(t p

P

P (t – to)

r = - 1– to)(t

pP – to)(t

pP

EJEMPLO:

Se quiere calcular la población para el año 2023 de una ciudad, que tiene los siguientes datos censales

1993 4715 habitantes

1994 4812 “

2013 6000 “

Se debe calcular por décadas, se necesita la población para el año 2003.

6000 - 4812 = 1188 hab. dividido por 19 años = 62,53

2003 – 1994 = 9

Para el año 2003 = 4812 + 62,53 x 9 = 5375 habitantes

P2023 = p (1 + r)(t – to)= 6000 (1+ 0,012)10 = 6000 x 1,127 = 6762 habitantes

P2022 = p (1 + r)(t – to)= 6000 (1+ 0,0122)10 = 6000 x 1,129 = 6774 habitantes

P (t – to)

r = -1

4715

5475 10 1,015 0,015

6000 10 1,009 0,009

∑ 0,024

Promedio 0,012

– to)(t p

P – to)(t p

P

5.7 MÉTODO DE INCREMENTO VARIABLE Se asume que el incremento de la población es variable y

constante, para este método se necesita mínimo cuatro censos en decadas, el intervalo de tiempo (n) en décadas.

Su fórmula general es: P = p + n Δ1 + n (n - 1) Δ2

2 El valor de Δ1 es el incremento de población entre las

décadas; el valor de Δ2 es el incremento de población entre los valores de Δ1

Con los valores promedios de Δ1 y Δ2 se reemplaza en la fórmula general para obtener la población futura

Para facilitar el cálculo se tiene el siguiente cuadro:

AÑOS POBLACIÓN Δ1 Δ2

EJEMPLO:Calcular la población de una ciudad para el año 2023, que

tiene los siguientes censos:1983 30 000 hab.1993 33 000 “ 2003 35 000 “2013 36 500 “

AÑOS POBLACIÓN Δ1 Δ2

1932 30 000

1993 33 000 3 000

2003 35 000 2 000 (-) 1 000

2013 36 500 1 500 (-) 500

∑ (+) 6 500 (-) 1 500

promedio (+) 2 167 (-) 750

P = p + n Δ1 + n (n - 1) Δ2

2P2023 = 36 500 + 1x2167 + 1(1-1)(-750) = 38 667 hab. 2

5.8 MÉTODO DE LA PARÁBOLA DE 2° GRADO Se aplica con la ecuación de segundo grado con intervalos

de tiempo en décadas y de preferencia los tres últimos datos de censos.

Su fórmula general es: P = Ax² + B x + p Para calcular los valores de A y B, se debe crear dos

ecuaciones de segundo grado, en la que “x” será de 10 años para la primera ecuación, y el valor de “P” es la población final de la primera década, y “p” es el valor de la población al comienzo de la década.

La segunda ecuación se tomará “x” para dos décadas, o

sea, 20 años, el valor de “P” es la población final de la segunda década, y “p” es el valor de la población inicial de la primera década, o sea, el mismo valor de la primera ecuación.

Para facilitar la creación de las dos ecuaciones se puede usar el siguiente gráfico:

Desarrollando las dos ecuaciones se obtiene A y B, que da

los valores para la fórmula general Con un valor de x = n años, con los valores de A y B

obtenidos y tomando “p” la población del primer censo, se obtiene la población futura para “n” años

EJEMPLO:

Calcular la población de una ciudad para el año 2023, por el método de la parábola de 2° grado, que tiene los siguientes censos:

1993 33 000 “

2003 35 000 “

2013 36 500 “

P = A x² + B x + C

P2003 = A10² + B10 + 33 000

35 000 = 100A + 10B + 33 000 (1)

P2013 = A20² + B20 + 33 000

36 500 = 400A + 20B + 33 000 (2)

La ecuación (1) se multiplica por (2) y la ecuación (2) por (-1)Ecuación (1) 70 000 = 200A +20B + 66 000 Ecuación (2) -36 500 = - 400A - 20B - 33 000 Se suma: 33 500 = - 200 A + 33 000 335 = - 2A + 330 A = - 2,5Se remplaza en la (1) el valor de A 35 000 = 100(-2,5) + 10B + 33 000 35000 = - 250 + 10B + 33000 B = 225 P2023 = (-2,5)x100 + 225x10 + 36500 P2023 = -250 + 2250 + 36500 P2023 = 38 500 habitantes

5.9 MÉTODO DE LA PARÁBOLA DE 3er. GRADO Se utiliza para periodos cortos y es necesario tener cuatro

censos como mínimo. Su fórmula general es: P = A x³ + B x² + C x + p El procedimiento de cálculo es el mismo de la parábola de

2do. grado, agregando una tercera ecuación para x = 30 años; la tercera ecuación tendrá como valor de “P” la población final de la tercera década, y el valor de “p” la población inicial de la primera década, o sea, que este valor será igual para las tres ecuaciones.

Con tres ecuaciones se obtiene A, B y C, valores que servirán

para el cálculo de la población futura que se desea y el valor de “p” será el de la última década.

Para facilitar la creación de las tres ecuaciones se puede usar el siguiente gráfico:

Con un valor de x = n años, con los valores de A, B y C y tomando “p” la población del último censo, se obtiene la población futura para “n” años.

EJEMPLO:

Calcular la población de una ciudad para el año 2023, por el método de la parábola de 3er. grado, que tiene los siguientes datos censales

1983 30 000 hab.

1993 33 000 “

2003 35 000 “

2013 36 500 “

P1993 = A10³ + B10² + C10 + 30 00033 000 = 1000A + 100B + 10C + 30 000 (1) P2003 = A20³ + B20² + C20 + 30 00035 000 = 8000A + 400B + 20C + 30 000 (2)P2013 = A30³ + B30² + C30 + 30 00036 500 = 27000A + 900B + 30C + 30 000 (3)

La ecuación (1) se multiplica por (2) La ecuación (2) se multiplica por (-1) Ecuación (1) 66000 = + 2000A + 200B + 20C + 60000Ecuación (2) -35000 = - 8000A - 400B – 20C - 30000

Se suma: 31000 = - 6000A – 200B + 30000 310 = - 60A - 2B + 300 B = -5 – 30A (4)

La ecuación (1) se multiplica por (3) La ecuación (3) se multiplica por (-1) Ecuación (1) 99000 = 3000A + 300B + 30C + 90000Ecuación (3) -36500 = - 27000A - 900B –30C - 30000Se suma: 62500 = -24000A – 600B + 60000 625 = -240 A- 6 B + 600 B = - 40A - 4,17 (5)

Igualando resultados de (4) y (5) -5-30A = -40A- 4,17 A = 0,083

Reemplazando A en la ecuación (4) B = -5 – 30A B = -5 – 30 x 0,083 B = - 7,49 Reemplazando los valores A y B en la ecuación (1) 33000 = 1000x 0,083 + 100x(- 7,49) + 10C + 30000 33000 = 83 - 749 + 10C + 30000 C = 366,60

P2023= 0,083x10³ + (-7,49)x10²+ 366,60x10+36500 P2023 = 83 – 749 + 3666+36500 P2023 = 39500 habitantes

5.10 MÉTODO GRÁFICO

Es un método muy impreciso, se traza la curva de los valores de población de los censos y siguiendo la tendencia de la curva hasta el año buscado.

Aplicando un ejemplo se tiene:

5.11 OTROS MÉTODOS

Existen otros métodos de cálculo como:

Método de la Curva Normal Logístico.

Método de los Mínimos Cuadrados.

Método Comparativo.