UNIDAD - ivanacal | A topnotch site · PDF file3.2 Definición de una armadura ... Los elementos de una armadura, por lo general, so n delgados y ... Los pesos de los elementos de

U N I D A D

Análisis de estructuras

UNIDAD 3 3.1 Introducción

3.2 Definición de una armadura

3.3 Armaduras simples

3.4 Análisis de armaduras por el método de los nodos

3.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga

3.6 Análisis de armaduras por el método de secciones

3.7 Armaduras formadas por varias armaduras simples

3.8 Estructuras que contienen elementos sujetos a fuerzas múltiples

3.9 Análisis de un armazón

3.10 Armazones que dejan de ser rígidos cuando se separan de sus soportes

3.11 Máquinas

3.12 Método del trabajo virtual

3.13 Principio del trabajo virtual

3.14 Aplicaciones del principio del trabajo virtual

Competencia específica Analizar y resolver problemas que impliquen estructuras planas.

3.1. INTRODUCCION

L o s p r o b l e m a s c o n s i d e r a d o s e n l a s u n i d a d e s a n t e r i o r e s e s t u v i e r o n r e l a c i o n a d o s c o n e l e q u i l i b r i o d e u n s o l o c u e r p o rígido y t o d a s l a s f u e r z a s i n v o l u c r a d a s e r a n e x t e r n a s a e s t e último. A continuación s e e s t u d i a n p r o b l e m a s q u e t r a t a n s o b r e e l e q u i l i b r i o d e e s t r u c t u r a s f o r m a d a s p o r v a r i a s p a r t e s q u e están c o n e c t a d a s e n t r e sí. E s t o s p r o b l e m a s , además d e d e t e r m i n a r l a s f u e r z a s e x t e r n a s q u e actúan s o b r e l a e s t r u c t u r a , i m p l i c a n c a l c u l a r l a s f u e r z a s q u e m a n t i e n e n u n i d a s a l a s d i v e r s a s p a r t e s q u e l a c o n s t i t u y e n . D e s d e e l p u n t o d e v i s t a d e l a e s t r u c t u r a c o m o u n t o d o , e s t a s f u e r z a s s o n fuerzas internas.

P o r e j e m p l o , considérese l a grúa m o s t r a d a e n l a figura 3 . 1 a ) , l a c u a l s o p o r t a u n a c a r g a W. L a grúa c o n s t a d e t r e s v i g a s AD, CF y BE q u e están c o n e c t a d a s p o r m e d i o d e p e r n o s s i n fricción; l a grúa está a p o y a d a p o r u n p e r n o e n A y u n c a b l e DG. L a figura 3.1¿>) r e p r e s e n t a e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l a grúa. L a s f u e r z a s e x t e r n a s q u e s e m u e s t r a n e n e l d i a g r a m a i n c l u y e n e l p e s o W , l a s d o s c o m p o n e n t e s A r y A ^ d e l a reacción e n A y l a f u e r z a T e j e r c i d a p o r e l c a b l e e n D. L a s f u e r z a s i n t e r n a s q u e m a n t i e n e n u n i d a s l a s d i v e r s a s p a r t e s d e l a grúa n o a p a r e c e n e n e l d i a g r a m a . S i n e m b a r g o , s i s e d e s a r m a l a grúa y s e d i b u j a u n d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e p a r a c a d a u n a d e l a s p a r t e s q u e l a c o n s t i t u y e n , l a s f u e r z a s q u e m a n t i e n e n u n i d a s a l a s t r e s v i g a s también e s tarán r e p r e s e n t a d a s , p u e s t o q u e d i c h a s f u e r z a s s o n e x t e r n a s d e s d e e l p u n t o d e v i s t a d e c a d a u n a d e l a s p a r t e s q u e f o r m a n l a grúa [ f i g u r a 3 . 1 c ) ] .

S e d e b e señalar q u e l a f u e r z a e j e r c i d a e n B p o r e l e l e m e n t o BE s o b r e e l e l e m e n t o AD s e h a r e p r e s e n t a d o c o m o i g u a l y o p u e s t a a l a f u e r z a e j e r c i d a e n e s e m i s m o p u n t o p o r e l e l e m e n t o AD s o b r e e l e l e m e n t o BE; l a f u e r z a e j e r c i d a e n E p o r e l e l e m e n t o BE s o b r e e l e l e m e n t o CF s e m u e s t r a i g u a l y o p u e s t a a l a f u e r z a e j e r c i d a p o r e l e l e m e n t o CF s o b r e e l e l e m e n t o BE y l a s c o m p o n e n t e s d e l a f u e r z a e j e r c i d a e n C p o r e l e l e m e n t o CF s o b r e e l e l e m e n t o AD s e p r e s e n t a n i g u a l e s y o p u e s t a s a l a s c o m p o n e n t e s d e l a f u e r z a e j e r c i d a p o r e l e l e m e n t o AD s o b r e e l e l e m e n t o CF. L o a n t e r i o r está s u j e t o a l a t e r c e r a l e y d e N e w t o n , l a c u a l e s t a b l e c e q u e las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos. C o m o s e señaló e n l a u n i d a d 1 , e s t a l e y , q u e está b a s a d a e n l a e v i d e n c i a e x p e r i m e n t a l , e s u n o d e l o s s e i s p r i n c i p i o s f u n d a m e n t a l e s d e l a mecánica e l e m e n t a l y s u aplicación e s e s e n c i a l p a r a l a solución d e p r o b l e m a s q u e i n v o l u c r a n a c u e r p o s q u e están c o n e c t a d o s e n t r e sí.

D D D

a) b) c)

Figura 3.1

E n e s t a u n i d a d s e considerarán t r e s categorías a m p l i a s d e e s t r u c t u r a s d e ingeniería:

1 . Armaduras, l a s c u a l e s están diseñadas p a r a s o p o r t a r c a r g a s y p o r l o g e n e r a l s o n e s t r u c t u r a s e s t a c i o n a r i a s q u e están t o t a l m e n t e r e s t r i n g i d a s . L a s a r m a d u r a s c o n s i s t e n e x c l u s i v a m e n t e e n e l e m e n t o s r e c t o s q u e e s tán c o n e c t a d o s e n n o d o s l o c a l i z a d o s e n l o s e x t r e m o s d e c a d a e l e m e n t o .

154 P o r t a n t o , l o s e l e m e n t o s d e u n a a r m a d u r a s o n elementos sujetos a dos

fuerzas, e s t o e s , e l e m e n t o s s o b r e l o s c u a l e s actúan d o s f u e r z a s i g u a l e s y o p u e s t a s q u e están d i r i g i d a s a l o l a r g o d e l e l e m e n t o .

2 . Armazones, l o s c u a l e s están diseñados p a r a s o p o r t a r c a r g a s , s e u s a n t a m bién c o m o e s t r u c t u r a s e s t a c i o n a r i a s q u e están t o t a l m e n t e r e s t r i n g i d a s . S i n e m b a r g o , c o m o e n e l c a s o d e l a grúa d e l a figura 3 . 1 , l o s a r m a z o n e s s i e m p r e c o n t i e n e n p o r l o m e n o s u n elemento sujeto a varias fuerzas, e s t o e s , u n e l e m e n t o s o b r e e l c u a l actúan t r e s o más f u e r z a s q u e , e n g e n e r a l , n o están d i r i g i d a s a l o l a r g o d e l e l e m e n t o .

3 . Máquinas, l a s c u a l e s están diseñadas p a r a t r a n s m i t i r y m o d i f i c a r f u e r z a s , s o n e s t r u c t u r a s q u e c o n t i e n e n p a r t e s e n m o v i m i e n t o . L a s máquinas, a l i g u a l q u e l o s a r m a z o n e s , s i e m p r e c o n t i e n e n p o r l o m e n o s u n e l e m e n t o s u j e t o a v a r i a s f u e r z a s .

ARMADURAS

3.2. DEFINICIÓN DE UNA ARMADURA

L a a r m a d u r a e s u n o d e l o s p r i n c i p a l e s t i p o s d e e s t r u c t u r a s q u e s e u s a n e n l a ingeniería. E s t a p r o p o r c i o n a u n a solución práctica y económica p a r a m u c h a s s i t u a c i o n e s d e ingeniería, e n e s p e c i a l p a r a e l diseño d e p u e n t e s y e d i f i c i o s . E n l a figura 3 . 2 a ) s e m u e s t r a u n a a r m a d u r a típica. U n a a r m a d u r a c o n s t a d e e l e m e n t o s r e c t o s q u e s e c o n e c t a n e n n o d o s . L o s e l e m e n t o s d e l a a r m a d u r a sólo están c o n e c t a d o s e n s u s e x t r e m o s ; p o r t a n t o , ningún e l e m e n t o continúa más allá d e u n n o d o . P o r e j e m p l o , e n l a figura 3 . 2 a ) n o e x i s t e u n e l e m e n t o AB, s i n o q u e e n s u l u g a r e x i s t e n d o s e l e m e n t o s d i s t i n t o s AD y DB. L a m a y o ría d e l a s e s t r u c t u r a s r e a l e s están h e c h a s a p a r t i r d e v a r i a s a r m a d u r a s u n i d a s e n t r e sí p a r a f o r m a r u n a a r m a d u r a e s p a c i a l . C a d a a r m a d u r a está diseñada p a r a s o p o r t a r a q u e l l a s c a r g a s q u e actúan e n s u p l a n o y , p o r t a n t o , p u e d e n s e r t r a t a d a s c o m o e s t r u c t u r a s b i d i m e n s i o n a l e s .

L o s e l e m e n t o s d e u n a a r m a d u r a , p o r l o g e n e r a l , s o n d e l g a d o s y sólo p u e d e n s o p o r t a r c a r g a s l a t e r a l e s pequeñas; p o r e s o t o d a s l a s c a r g a s d e b e n e s t a r a p l i c a d a s e n l o s n o d o s y n o s o b r e l o s e l e m e n t o s . C u a n d o s e v a a a p l i c a r u n a c a r g a c o n c e n t r a d a e n t r e d o s n o d o s o c u a n d o l a a r m a d u r a d e b e s o p o r t a r u n a c a r g a d i s t r i b u i d a , c o m o e n e l c a s o d e l a a r m a d u r a d e u n p u e n t e , d e b e p r o p o r c i o n a r s e u n s i s t e m a d e p i s o , e l c u a l , m e d i a n t e e l u s o d e t r a v e s a n o s y l a r g u e r o s , t r a n s m i t e l a c a r g a a l o s n o d o s ( f i g u r a 3 . 3 ) .

L o s p e s o s d e l o s e l e m e n t o s d e l a a r m a d u r a l o s c a r g a n l o s n o d o s , aplicánd o s e l a m i t a d d e l p e s o d e c a d a e l e m e n t o a c a d a u n o d e l o s n o d o s a l o s q u e éste s e c o n e c t a . A p e s a r d e q u e e n r e a l i d a d l o s e l e m e n t o s están u n i d o s e n t r e sí p o r m e d i o d e c o n e x i o n e s r e m a c h a d a s o s o l d a d a s , e s común s u p o n e r q u e l o s e l e m e n t o s están c o n e c t a d o s p o r m e d i o d e p e r n o s ; p o r t a n t o , l a s f u e r z a s q u e actúan e n c a d a u n o d e l o s e x t r e m o s d e l e l e m e n t o s e r e d u c e n a u n a s o l a f u e r z a y n o e x i s t e u n p a r . D e e s t a f o r m a s e s u p o n e q u e l a s únicas f u e r z a s

Figura 3.2

156 Análisis de estructuras q u e actúan s o b r e u n e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a s o n u n a s o l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e x t r e m o s d e l e l e m e n t o . E n t o n c e s , c a d a e l e m e n t o p u e d e t r a t a r s e c o m o s o m e t i d o a l a acción d e d o s f u e r z a s , m i e n t r a s q u e l a a r m a d u r a , c o m o u n t o d o , p u e d e c o n s i d e r a r s e q u e e s u n g r u p o d e p e r n o s y e l e m e n t o s s u j e t o s a d o s f u e r z a s [ f i g u r a 3.2b)]. S o b r e u n e l e m e n t o i n d i v i d u a l p u e d e n a c t u a r f u e r z a s , c o m o l a s q u e s e m u e s t r a n e n c u a l q u i e r a d e l o s c r o q u i s d e l a figura 3 . 4 . E n l a figura 3 . 4 a ) l a s f u e r z a s t i e n d e n a e s t i r a r a l e l e m e n t o y éste s e h a l l a e n tensión; e n l a figura 3.4b) l a s f u e r z a s t i e n d e n a c o m p r i m i r a l e l e m e n t o q u e está e n compresión. E n l a figura 3 . 5 s e m u e s t r a n a l g u n a s a r m a d u r a s típicas.

P r a t t H o w e A r m a d u r a s típicas p a r a t e c h o

F i n k

P r a t t H o w e W a r r e n

B a l t i m o r e A r m a d u r a K

A r m a d u r a s típicas p a r a p u e n t e s

E s t a d i o

Figura 3.5

P a r t e d e u n a a r m a d u r a e n v o l a d i z o

O t r o s t i p o s d e a r m a d u r a s

B a s c u l a n t e

Fotografía 3.2 Dos armaduras K se usaron como los principales componentes del puente móvil que se muestra en la foto, el cual se movía por encima de un gran montón de mineral de reserva. El cubo que se encuentra debajo de las armaduras levantaba mineral y lo redeposltaba hasta que el mineral estuvo completamente mezclado. Después, el mineral se envió al molino para incorporarlo a un proceso de producción de acero.

3.3. ARMADURAS SIMPLES

C o n s i d e r e l a a r m a d u r a m o s t r a d a e n l a figura 3 . 6 a ) , l a c u a l está c o n s t i t u i d a p o r c u a t r o e l e m e n t o s c o n e c t a d o s p o r m e d i o d e p e r n o s e n A, B, C y D. S i s e a p l i c a u n a c a r g a e n B, l a a r m a d u r a s e deformará h a s t a p e r d e r p o r c o m p l e t o s u f o r m a o r i g i n a l . P o r e l c o n t r a r i o , l a a r m a d u r a d e l a figura 3.6b), l a c u a l está c o n s t i t u i d a p o r t r e s e l e m e n t o s c o n e c t a d o s p o r m e d i o d e p e r n o s e n A, B y C, sólo s e deformará l i g e r a m e n t e b a j o l a acción d e u n a c a r g a a p l i c a d a e n B. L a única deformación p o s i b l e p a r a e s t a a r m a d u r a e s l a q u e i n v o l u c r a pequeños c a m b i o s e n l a l o n g i t u d d e s u s e l e m e n t o s . P o r t a n t o , s e d i c e q u e l a a r m a d u r a d e l a figura 3.6¿>) e s u n a armadura rígida; aquí e l término rígida s e h a e m p l e a d o p a r a i n d i c a r q u e l a a r m a d u r a no se colapsard.

C o m o s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 6 c ) , s e p u e d e o b t e n e r u n a a r m a d u r a rígida más g r a n d e s i s e a g r e g a n d o s e l e m e n t o s BD y CD a l a a r m a d u r a t r i a n g u l a r básica d e l a figura 3.6b). E s t e p r o c e d i m i e n t o s e p u e d e r e p e t i r t a n t a s v e c e s c o m o s e d e s e e y l a a r m a d u r a r e s u l t a n t e será rígida s i c a d a v e z q u e s e a g r e g a n d o s n u e v o s e l e m e n t o s , éstos s e u n e n a d o s n o d o s y a e x i s t e n t e s y además s e c o n e c t a n e n t r e sí e n u n n u e v o n o d o . * U n a a r m a d u r a q u e s e p u e d e c o n s t r u i r d e e s t a f o r m a r e c i b e e l n o m b r e d e armadura simple.

1 L o s t r e s n o d o s n o d e b e n s e r c o l i n e a l e s .

S e d e b e señalar q u e u n a a r m a d u r a s i m p l e n o e s t a h e c h a n e c e s a n a m e n - 3 4 A n á | | S I S d e armaduras por - j 5y i . . , i t , í i i i i c n n j \ e l método de los nodos

t e a p a r t i r d e triángulos. P o r e j e m p l o , l a a r m a d u r a d e l a f i g u r a ó.od) e s u n a a r m a d u r a s i m p l e q u e f u e c o n s t r u i d a a p a r t i r d e l triángulo ABC y s e a g r e g a r o n s u c e s i v a m e n t e l o s n o d o s D,E,Fy G. P o r o t r a p a r t e , l a s a r m a d u r a s rígid a s n o s i e m p r e s o n a r m a d u r a s s i m p l e s , i n c l u s o c u a n d o p a r e c e n e s t a r h e c h a s d e triángulos. P o r e j e m p l o , l a s a r m a d u r a s d e F i n k y B a l t i m o r e m o s t r a d a s e n l a figura 3 . 5 n o s o n a r m a d u r a s s i m p l e s , p u e s t o q u e n o p u e d e n c o n s t r u i r s e a p a r t i r d e u n s o l o triángulo e n l a f o r m a d e s c r i t a e n e l párrafo a n t e r i o r . T o d a s l a s demás a r m a d u r a s q u e s e m u e s t r a n e n l a figura 3 . 5 s o n a r m a d u r a s s i m p l e s , l o c u a l s e p u e d e v e r i f i c a r fáci lmente. ( P a r a l a a r m a d u r a K s e d e b e c o m e n z a r c o n u n o d e l o s triángulos c e n t r a l e s . )

a) b) c) d) Figura 3.6

E n l a figura 3 . 6 s e o b s e r v a q u e l a a r m a d u r a t r i a n g u l a r básica d e l a figura 3 . 6 ¿ ) t i e n e t r e s e l e m e n t o s y t r e s n o d o s . L a a r m a d u r a d e l a figura 3 . 6 c ) t i e n e d o s e l e m e n t o s y u n n o d o a d i c i o n a l e s , e s t o e s , c i n c o e l e m e n t o s y c u a t r o n o d o s e n t o t a l . S i s e t i e n e p r e s e n t e q u e c a d a v e z q u e s e a g r e g a n d o s n u e v o s e l e m e n t o s e l número d e n o d o s s e i n c r e m e n t a e n u n o , s e e n c u e n t r a q u e e n u n a a r m a d u r a s i m p l e e l número t o t a l d e e l e m e n t o s e s m = 2 n — 3 , d o n d e n e s e l número t o t a l d e n o d o s .

3.4. ANALISIS DE ARMADURAS POR EL METODO DE LOS NODOS

E n l a sección 3 . 2 s e v i o q u e u n a a r m a d u r a p u e d e s e r c o n s i d e r a d a c o m o u n g r u p o d e p e r n o s y e l e m e n t o s s o m e t i d o s a l a acción d e d o s f u e r z a s . P o r t a n t o , l a a r m a d u r a d e l a figura 3 . 2 , c u y o d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 7 a ) , s e p u e d e d e s a r m a r y d i b u j a r u n d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e p a r a c a d a p e r n o y p a r a c a d a e l e m e n t o [ f i g u r a 3.7b)]. C a d a e l e m e n t o está s o m e t i d o a l a acción d e d o s f u e r z a s , u n a e n c a d a u n o d e s u s e x t r e m o s ; e s t a s f u e r z a s t i e n e n l a m i s m a m a g n i t u d , l a m i s m a línea d e acción y s e n t i d o s o p u e s t o s (sección 2 . 2 6 ) . Además, l a t e r c e r a l e y d e N e w t o n i n d i c a q u e l a s f u e r z a s d e acción y reacción e n t r e u n e l e m e n t o y u n p e r n o s o n i g u a l e s y o p u e s t a s . P o r t a n t o , l a s f u e r z a s e j e r c i d a s p o r u n e l e m e n t o s o b r e l o s d o s p e r n o s a l o s c u a l e s s e c o n e c t a d e b e n e s t a r d i r i g i d a s a l o l a r g o d e e s e e l e m e n t o y d e b e n s e r i g u a l e s y o p u e s t a s . C o n f r e c u e n c i a s e h a c e r e f e r e n c i a a l a m a g n i t u d común d e l a s f u e r z a s e j e r c i d a s p o r u n e l e m e n t o s o b r e l o s d o s p e r n o s a l o s q u e s e c o n e c t a c o m o l a fuerza en el elemento b a j o consideración, a p e s a r d e q u e e s t a c a n t i d a d e n r e a l i d a d e s u n e s c a l a r . C o m o l a s líneas d e acción d e t o d a s l a s f u e r z a s i n t e r n a s e n u n a a r m a d u r a s o n c o n o c i d a s , e l análisis d e u n a a r m a d u r a s e r e d u c e a c a l c u l a r l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s q u e l a c o n s t i t u y e n y a d e t e r m i n a r s i c a d a u n o d e d i c h o s e l e m e n t o s está e n tensión o e n compresión.

C o m o l a a r m a d u r a e n s u t o t a l i d a d está e n e q u i l i b r i o , c a d a p e r n o d e b e e s t a r e n e q u i l i b r i o . E l q u e u n p e r n o esté e n e q u i l i b r i o s e e x p r e s a d i b u j a n d o s u d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e y e s c r i b i e n d o d o s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o ( s e c -

a)

b) Figura 3.7

-J Análisis de estructuras

Fotografía 3.3 Las armaduras para techo, como las que se muestran en la foto, requieren apoyo sólo en los extremos. Gracias a esto es posible realizar construcciones con grandes áreas libres de obstáculos en el piso.

ción 1 . 1 2 ) . P o r t a n t o , s i u n a a r m a d u r a t i e n e n p e r n o s , habrá 2 n e c u a c i o n e s d i s p o n i b l e s , l a s c u a l e s podrán r e s o l v e r s e p a r a 2 n incógnitas. E n e l c a s o d e u n a a r m a d u r a s i m p l e , s e t i e n e q u e m = 2n — 3 , e s t o e s , 2 n = m + 3 , y e l número d e incógnitas q u e s e p u e d e n d e t e r m i n a r a p a r t i r d e l o s d i a g r a m a s d e c u e r p o l i b r e d e l o s p e r n o s e s m + 3 . E s t o s i g n i f i c a q u e l a s f u e r z a s e n t o d o s l o s e l e m e n t o s , l a s d o s c o m p o n e n t e s d e l a reacción R A y l a reacción R B s e d e t e r m i n a n a l c o n s i d e r a r l o s d i a g r a m a s d e c u e r p o l i b r e d e l o s p e r n o s .

E l h e c h o d e q u e l a a r m a d u r a c o m o u n t o d o s e a u n c u e r p o rígido q u e está e n e q u i l i b r i o s e p u e d e u t i l i z a r p a r a e s c r i b i r t r e s e c u a c i o n e s a d i c i o n a l e s q u e i n v o l u c r a n a l a s f u e r z a s m o s t r a d a s e n e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l a figura 3 . 7 a ) . P u e s t o q u e e s t a s e c u a c i o n e s n o c o n t i e n e n n i n g u n a información n u e v a , s o n i n d e p e n d i e n t e s d e l a s e c u a c i o n e s a s o c i a d a s c o n l o s d i a g r a m a s d e c u e r p o l i b r e d e l o s p e r n o s . S i n e m b a r g o , l a s t r e s e c u a c i o n e s e n cuestión s e p u e d e n e m p l e a r p a r a d e t e r m i n a r l a s c o m p o n e n t e s d e l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s . E l a r r e g l o d e p e r n o s y e l e m e n t o s e n u n a a r m a d u r a s i m p l e e s t a l q u e s i e m p r e será p o s i b l e e n c o n t r a r u n n o d o q u e i n v o l u c r e únicamente a d o s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s . E s t a s f u e r z a s s e d e t e r m i n a n p o r m e d i o d e l o s m é t o d o s d e l a sección 1 . 1 4 y s u s v a l o r e s s e t r a n s f i e r e n a l o s n o d o s a d y a c e n t e s tratándolos c o m o c a n t i d a d e s c o n o c i d a s e n d i c h o s n o d o s ; e s t e p r o c e d i m i e n t o s e r e p i t e h a s t a d e t e r m i n a r t o d a s l a s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s .

C o m o e j e m p l o s e a n a l i z a l a a r m a d u r a d e l a figura 3 . 7 , e n l a q u e s e c o n s i d e r a s u c e s i v a m e n t e e l e q u i l i b r i o d e c a d a p e r n o ; s e i n i c i a c o n e l n o d o e n e l c u a l sólo d o s f u e r z a s s o n d e s c o n o c i d a s . E n d i c h a a r m a d u r a t o d o s l o s p e r n o s están s u j e t o s p o r l o m e n o s t r e s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s . P o r t a n t o , p r i m e r o s e d e b e n d e t e r m i n a r l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s c o n s i d e r a n d o a t o d a l a a r m a d u r a c o m o c u e r p o l i b r e y u t i l i z a n d o l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o p a r a u n c u e r p o rígido. D e e s t a f o r m a , R A e s v e r t i c a l y s e d e t e r m i n a n l a s m a g n i t u d e s d e R A y R f l .

E n t o n c e s e l número d e f u e r z a s d e s c o n o c i d a s e n e l n o d o A s e r e d u c e a d o s y e s t a s f u e r z a s s e p u e d e n d e t e r m i n a r s i s e c o n s i d e r a e l e q u i l i b r i o d e l p e r n o A. L a reacción R A y l a s f u e r z a s F A C y F A D e j e r c i d a s s o b r e e l p e r n o A p o r l o s e l e m e n t o s AC y AD, r e s p e c t i v a m e n t e , d e b e n f o r m a r u n triángulo d e f u e r z a s . P r i m e r o s e d i b u j a R 4 ( f i g u r a 3 . 8 ) ; l u e g o , s i F A C y F A D están d i r i g i d a s a l o l a r g o d e AC y AD, r e s p e c t i v a m e n t e , s e c o m p l e t a e l triángulo d e f u e r z a s y s e d e t e r m i n a n l a m a g n i t u d y e l s e n t i d o d e F A C y F A D . L a s m a g n i t u d e s FAC y FAD r e p r e s e n t a n l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s AC y AD. C o m o F A ( , está d i r i g i d a h a c i a a b a j o y h a c i a l a i z q u i e r d a , e s t o e s , hacia e l n o d o A , e l e l e m e n t o AC e m p u j a e l p e r n o A y, p o r c o n s i g u i e n t e , d i c h o e l e m e n t o está e n compresión. C o m o FAÜ está d i r i g i d a alejándose d e l n o d o A , e l e l e m e n t o AD j a l a e l p e r n o A y , p o r c o n s i g u i e n t e , d i c h o e l e m e n t o está e n tensión.

A h o r a s e p r o c e d e a c o n s i d e r a r e l n o d o D e n e l c u a l sólo d o s f u e r z a s , F D f . y F D B , aún s o n d e s c o n o c i d a s . L a s o t r a s f u e r z a s q u e actúan s o b r e d i c h o n o d o s o n l a c a r g a P, l a c u a l e s u n d a t o , y l a f u e r z a ¥ D A e j e r c i d a s o b r e e l p e r n o p o r e l e l e m e n t o AD. C o m o s e señaló a n t e s , e s t a última f u e r z a e s i g u a l y o p u e s t a a l a f u e r z a F A D e j e r c i d a p o r e l m i s m o e l e m e n t o s o b r e e l p e r n o A. C o m o s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 8 , s e p u e d e d i b u j a r e l polígono d e f u e r z a s c o r r e s p o n d i e n t e a l n o d o D y d e t e r m i n a r l a s f u e r z a s F D C y F D B a p a r t i r d e d i c h o polígono. S i n e m b a r g o , c u a n d o están i n v o l u c r a d a s más d e t r e s f u e r z a s , e s más c o n v e n i e n t e r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o 2 F x = 0 y E F ^ = 0 p a r a l a s d o s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s . C o m o s e e n c u e n t r a q u e a m b a s f u e r z a s s e a l e j a n d e l n o d o D, l o s e l e m e n t o s DC y DB j a l a n e l p e r n o y s e c o n c l u y e q u e a m b o s están e n tensión.

Después s e c o n s i d e r a e l n o d o C , c u y o d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 8 . S e o b s e r v a q u e t a n t o F r D c o m o F C 4 s o n c o n o c i d a s a p a r t i r d e l análisis d e l o s n o d o s a n t e r i o r e s y q u e sólo F C B e s d e s c o n o c i d a . C o m o e l e q u i l i b r i o d e c a d a p e r n o p r o p o r c i o n a s u f i c i e n t e información p a r a d e t e r m i n a r d o s incógnitas, s e o b t i e n e u n a comprobación d e l análisis r e a l i z a -

d o e n e s t e n o d o . S e d i b u j a e l triángulo d e f u e r z a s y s e d e t e r m i n a l a m a g n i t u d y e l s e n t i d o d e F C B . C o m o F C B está d i r i g i d a h a c i a e l n o d o C , e l e l e m e n t o CB e m p u j a e l p e r n o C y , p o r t a n t o , está e n compresión. L a comprobación s e o b t i e n e a l v e r i f i c a r q u e l a f u e r z a F C B y e l e l e m e n t o CB s o n p a r a l e l o s .

E n e l n o d o B t o d a s l a s f u e r z a s s o n c o n o c i d a s . P u e s t o q u e e l p e r n o c o r r e s p o n d i e n t e está e n e q u i l i b r i o , e l triángulo d e f u e r z a s d e b e c e r r a r , y s e o b t i e n e d e e s t a f o r m a u n a comprobación a d i c i o n a l d e l análisis r e a l i z a d o .

E s i m p o r t a n t e señalar q u e l o s polígonos d e f u e r z a m o s t r a d o s e n l a fig u r a 3 . 8 n o s o n únicos. C a d a u n o d e e l l o s podría r e e m p l a z a r s e p o r u n a configuración a l t e r n a . P o r e j e m p l o , e l triángulo d e f u e r z a s c o r r e s p o n d i e n t e a l n o d o A podría d i b u j a r s e c o m o e l d e l a figura 3 . 9 . E l triángulo m o s t r a d o e n l a figura 3 . 8 s e o b t u v o a l d i b u j a r l a s t r e s f u e r z a s R A , F A C y F A D u n i e n d o l a p a r t e t e r m i n a l d e u n a c o n l a p a r t e i n i c i a l d e o t r a , e n e l o r d e n e n q u e s e e n c u e n t r a n s u s líneas d e acción, a l r e a l i z a r u n d e s p l a z a m i e n t o e n e l s e n t i d o d e l m o v i m i e n t o d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j , a l r e d e d o r d e l n o d o A. L o s o t r o s polígonos d e f u e r z a s e n l a figura 3 . 8 s e d i b u j a r o n d e l a m i s m a f o r m a ; p o r e l l o , s e p u e d e n r e u n i r e n u n s o l o d i a g r a m a , c o m o s e i l u s t r a e n l a figura 3 . 1 0 . U n d i a g r a m a d e e s t e t i p o , c o n o c i d o c o m o diagrama de Maxwell, f a c i l i t a e n g r a n m e d i d a e l análisis gráfico d e p r o b l e m a s q u e i n v o l u c r a n a r m a d u r a s .

~ ~ 7

Figura 3.9

Figura 3.10

160 Análisis de estructuras 3.5. NODOS BAJO CONDICIONES ESPECIALES DE CARGA

O b s e r v e l a figura 3 . 1 1 a ) , e n l a c u a l e l n o d o c o n e c t a a c u a t r o e l e m e n t o s q u e están u b i c a d o s s o b r e d o s líneas r e c t a s q u e s e i n t e r s e c a n . E l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l a figura 3 . U f e ) m u e s t r a q u e e l p e r n o A está s u j e t o a d o s p a r e s d e f u e r z a s d i r e c t a m e n t e o p u e s t a s . P o r t a n t o , e l polígono d e f u e r z a s d e b e s e r u n p a r a l e l o g r a m o [ f i g u r a 3 . 1 1 c ) ] y las fuerzas en elementos opuestos deben ser iguales.

a) b) c) Figura 3.11

A continuación c o n s i d e r e l a figura 3 . 1 2 a ) , e n l a c u a l e l n o d o m o s t r a d o c o n e c t a t r e s e l e m e n t o s y s o p o r t a u n a c a r g a P. D o s d e l o s e l e m e n t o s s e e n c u e n t r a n u b i c a d o s s o b r e l a m i s m a l ínea y l a c a r g a P actúa a l o l a r g o d e l t e r c e r e l e m e n t o . E l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l p e r n o A y e l polígono d e f u e r z a s c o r r e s p o n d i e n t e serán c o m o s e m u e s t r a n e n l a f i g u r a 3.11¿>) y e ) , r e e m p l a z a n d o a F A £ p o r l a c a r g a P. P o r t a n t o , las fuerzas en los dos elementos opuestos deben ser iguales y la fuerza en el otro elemento debe ser igual a P. E n l a figura 3 . 1 2 Z ? ) s e m u e s t r a u n c a s o d e e s p e c i a l interés, e n e l q u e n o h a y u n a f u e r z a e x t e r n a a p l i c a d a e n e l n o d o , s e t i e n e q u e P = 0, y l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o AC e s i g u a l a c e r o . P o r t a n t o , s e d i c e q u e e l e l e m e n t o AC e s u n elemento de fuerza cero.

Figura 3.12

C o n s i d e r e a h o r a u n n o d o q u e c o n e c t a sólo d o s e l e m e n t o s . A p a r t i r d e l a sección 1 . 1 2 s e s a b e q u e u n a partícula s o b r e l a q u e actúan d o s f u e r z a s estará e n e q u i l i b r i o s i l a s d o s f u e r z a s t i e n e n l a m i s m a m a g n i t u d , l a m i s m a línea d e acción y s e n t i d o s o p u e s t o s . E n e l c a s o d e l n o d o d e l a figura 3 . 1 3 a ) , e l c u a l c o n e c t a a d o s e l e m e n t o s AB y AD q u e s e e n c u e n t r a n s o b r e l a m i s m a línea, las fuerzas en los dos elementos deben ser iguales p a r a q u e e l p e r n o A esté e n e q u i l i b r i o . E n e l c a s o d e l n o d o d e l a figura 3 . 1 3 ¿ ) , e l p e r n o A n o p u e d e e s t a r e n e q u i l i b r i o a m e n o s q u e l a s f u e r z a s e n a m b o s e l e m e n t o s s e a n i g u a l e s a c e r o . P o r t a n t o , l o s e l e m e n t o s c o n e c t a d o s c o m o s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 1 3 ¿ ) d e b e n s e r elementos de fuerza cero.

i

/ /

b)

3.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga

L a identificación d e l o s n o d o s q u e s e e n c u e n t r a n b a j o l a s c o n d i c i o n e s e s p e c i a l e s d e c a r g a m e n c i o n a d a s e n l o s párrafos a n t e r i o r e s permitirá q u e e l análisis d e u n a a r m a d u r a s e l l e v e a c a b o más rápido. P o r e j e m p l o , c o n s i d e r e u n a a r m a d u r a t i p o H o w e c a r g a d a , c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 3 . 1 4 ; t o d o s l o s e l e m e n t o s r e p r e s e n t a d o s p o r líneas e n c o l o r serán r e c o n o c i d o s c o m o e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o . E l n o d o C c o n e c t a a t r e s e l e m e n t o s , d o s d e l o s c u a l e s s e e n c u e n t r a n s o b r e l a m i s m a línea y n o está s u j e t o a c a r g a s e x t e r n a s ; p o r t a n t o , e l e l e m e n t o BC e s u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e r o . S i s e a p l i c a e l m i s m o r a z o n a m i e n t o a l n o d o K, s e e n c u e n t r a q u e e l e l e m e n t o JK también e s u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e r o . A h o r a , e l n o d o J está e n l a m i s m a situación q u e l o s n o d o s C y K; e n t o n c e s e l e l e m e n t o IJ d e b e s e r u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e r o . L a observación d e l o s n o d o s C , J y K r e v e l a q u e l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s AC y CE s o n i g u a l e s l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s HJ y JL s o n también i g u a l e s , así c o m o l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s IK y KL. R e g r e s a n d o l a atención a l n o d o I, d o n d e l a c a r g a d e 2 0 k N y e l e l e m e n t o HI s o n c o l i n e a l e s , s e o b s e r v a q u e l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o HI e s d e 2 0 k N (tensión) y q u e l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s Gl e IK s o n i g u a l e s . D e e s t a m a n e r a , s e c o n c l u y e q u e l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s GI, IK y KL s o n i g u a l e s .

Figura 3.14

2 5 k N | 2 5 k N i

\ " o

5 0 k N

\ J

2 0 k N 1 r I

Fotografía 3.4 Las armaduras tridimensionales o espaciales se usan para las torres de transmisión de energía eléctrica y señales en estructuras de techo y para aplicaciones a naves espaciales, como en los componentes de la Estación Espacial Internacional.

S e d e b e o b s e r v a r q u e l a s c o n d i c i o n e s d e s c r i t a s e n e l párrafo a n t e r i o r n o p u e d e n a p l i c a r s e a l o s n o d o s B y D d e l a figura 3 . 1 4 y sería erróneo s u p o n e r q u e l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o DE e s d e 2 5 k N o q u e l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s AB y BD s o n i g u a l e s . L a s f u e r z a s e n e s t o s e l e m e n t o s y e n l o s r e s t a n t e s s e e n c u e n t r a n c o n e l análisis d e l o s n o d o s A , B, D, E, F, G, H y L e n l a f o r m a h a b i t u a l . P o r t a n t o , h a s t a q u e s e esté f a m i l i a r i z a d o c o n l a s c o n d i c i o n e s q u e p e r m i t e n a p l i c a r l a s r e g l a s e s t a b l e c i d a s e n e s t a sección, s e d e b e d i b u j a r e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e t o d o s l o s p e r n o s y e s c r i b i r l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o c o r r e s p o n d i e n t e s ( o d i b u j a r l o s polígonos d e f u e r z a s c o r r e s p o n d i e n t e s ) s i n i m p o r t a r s i l o s m e d i o s c o n s i d e r a d o s s e e n c u e n t r a n b a j o u n a d e l a s c o n d i c i o n e s e s p e c i a l e s d e c a r g a q u e s e d e s c r i b i e r o n a n t e r i o r m e n t e .

U n c o m e n t a r i o final e n relación c o n l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o : e s t o s e l e m e n t o s n o s o n inútiles. P o r e j e m p l o , a p e s a r d e q u e l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o d e l a figura 3 . 1 4 n o s o p o r t a n n i n g u n a c a r g a b a j o l a s c o n d i c i o n e s m o s t r a d a s , e s p r o b a b l e q u e l o s m i s m o s e l e m e n t o s podrían s o p o r t a r a l g u n a s i s e c a m b i a r a n l a s c o n d i c i o n e s d e c a r g a . Además, i n c l u s o e n e l c a s o c o n s i d e r a d o , e s t o s e l e m e n t o s s o n n e c e s a r i o s p a r a s o p o r t a r e l p e s o d e l a a r m a d u r a y p a r a m a n t e n e r a e s t a última c o n l a f o r m a d e s e a d a .

2 0 0 0 Ib 1 0 0 0 I b tl 2 ft >}« 1 2 ft

, Til

PROBLEMA RESUELTO 3.1 C o n e l u s o d e l método d e l o s n o d o s , d e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s d e l a a r m a d u r a m o s t r a d a .

2 0 0 0 I b 1 0 0 0 I b tl 2 f t >{« 1 2 ft

P

SOLUCION Cuerpo libre: armadura completa. S e d i b u j a u n d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e

d e t o d a l a a r m a d u r a . L a s f u e r z a s q u e actúan e n e s t e c u e r p o l i b r e c o n s i s t e n e n l a s c a r g a s a p l i c a d a s y e n l a s r e a c c i o n e s e n C y e n E . S e e s c r i b e n l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o s i g u i e n t e s :

+"®MC = 0 : ( 2 0 0 0 l b ) ( 2 4 f t ) + ( 1 0 0 0 l b ) ( 1 2 f t ) - £ ( 6 f t ) = 0

£ = + 1 0 0 0 0 I b E = 1 0 0 0 0 I b f

-±>2F = 0 :

+ T S F = 0 : I 1/

- 2 0 0 0 I b - 1 0 0 0 I b + 1 0 0 0 0 I b + C . = 0

C Y = - 7 0 0 0 1 b

C = 0

C = 7 0 0 0 I b |

Í2 0 0 0 I b

3 X F , „

2 0 0 0 I b * 5 N

Cuerpo libre: nodo A. E l n o d o está s u j e t o a d o s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s , e s t o e s , a l a s f u e r z a s e j e r c i d a s p o r l o s e l e m e n t o s AB y AD. S e u s a u n triángulo d e f u e r z a s p a r a d e t e r m i n a r F A B y F A D . S e o b s e r v a q u e e l e l e m e n t o AB j a l a a l n o d o y , p o r t a n t o , d i c h o e l e m e n t o está e n tensión. Además, e l e l e m e n t o AD e m p u j a e l n o d o y , p o r t a n t o , d i c h o e l e m e n t o está e n compresión. L a s m a g n i t u d e s d e l a s d o s f u e r z a s s e o b t i e n e n a p a r t i r d e l a proporción

2 0 0 0 I b F A B F A D

FW = 1 5 0 0 I b T <

F A D = 2 5 0 0 I b C <

2500 I b Cuerpo libre: nodo D. C o m o l a f u e r z a e j e r c i d a p o r e l e l e m e n t o AD y a s e

determinó, a h o r a sólo s e t i e n e n d o s incógnitas i n v o l u c r a d a s c o n e s t e n o d o . D e n u e v o s e u s a u n triángulo d e f u e r z a s p a r a d e t e r m i n a r l a s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s e n l o s e l e m e n t o s DB y DE:

V = F DB DA

FDE = 2 ( - g - ) F D A

F D B = 2 5 0 0 I b 4

F D E = 3 0 0 0 I b C <*

162

Cuerpo libre: nodo B. C o m o e n e s t e n o d o actúan más d e t r e s f u e r z a s , s e d e t e r m i n a n l a s d o s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s F B r y F B Í a l r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o 1,Fx = 0 y 2 F ^ = 0 . D e m a n e r a a r b i t r a r i a s e s u p o n e q u e a m b a s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s actúan h a c i a f u e r a d e l n o d o , e s t o e s , q u e l o s e l e m e n t o s están e n t e n sión. E l v a l o r p o s i t i v o o b t e n i d o p a r a F B f , i n d i c a q u e l a suposición h e c h a f u e c o r r e c t a ; p o r t a n t o , e l e l e m e n t o BC está e n tensión. E l v a l o r n e g a t i v o d e Fb¡. i n d i c a q u e l a suposición h e c h a f u e i n c o r r e c t a ; p o r t a n t o , e l e l e m e n t o BE está e n compresión.

+ t ZFy = 0 : - 1 0 0 0 - - f ( 2 5 0 0 ) - -íf-Fgj = 0

FBF = - 3 7 5 0 I b FBE = 3 7 5 0 I b C <

A S F i = 0 : FBC - 1 5 0 0 - - f - ( 2 5 0 0 ) - -§-(3 7 5 0 ) = 0

FBC = + 5 2 5 0 I b F B C = 5 2 5 0 I b T 4

Cuerpo libre: nodo E. S e s u p o n e q u e l a f u e r z a d e s c o n o c i d a F £ C actúa h a c i a f u e r a d e l n o d o . S i s e s u m a n l a s c o m p o n e n t e s x, s e e s c r i b e

-*&FZ = 0 : fFFC + 3 0 0 0 + - f ( 3 7 5 0 ) = 0

FEC = - 8 7 5 0 I b F[:c = 8 7 5 0 I b C <

A l s u m a r l a s c o m p o n e n t e s y, s e o b t i e n e u n a comprobación d e l o s cálculos r e a l i z a d o s

+ t 2 F S = 1 0 0 0 0 - f(3 7 5 0 ) - ^ - ( 8 7 5 0 )

= 1 0 0 0 0 - 3 * 0 0 0 - 7 0 0 0 = 0 ( q u e d a c o m p r o b a d o )

Cuerpo libre: nodo C . C o n l o s v a l o r e s d e F C B y F C £ , c a l c u l a d o s p r e v i a m e n t e , s e p u e d e n d e t e r m i n a r l a s r e a c c i o n e s Cx y C c o n s i d e r a n d o e l e q u i l i b r i o d e e s t e n o d o . C o m o d i c h a s r e a c c i o n e s y a s e d e t e r m i n a r o n a p a r t i r d e l e q u i l i b r i o d e t o d a l a a r m a d u r a , s e obtendrán d o s v e r i f i c a c i o n e s d e l o s cálculos r e a l i z a d o s . También s e p u e d e n u s a r l o s v a l o r e s c a l c u l a d o s d e t o d a s l a s f u e r z a s q u e actúan s o b r e e l n o d o ( f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s y r e a c c i o n e s ) y c o m p r o b a r q u e éste s e e n c u e n t r a e n e q u i l i b r i o :

4 * S F i = - 5 2 5 0 + ^ - ( 8 7 5 0 ) = - 5 2 5 0 + 5 2 5 0 = 0

+ | 2 F = - 7 0 0 0 + - f ( 8 7 5 0 ) = - 7 0 0 0 + 7 0 0 0 = 0

( q u e d a c o m p r o b a d o )

( q u e d a c o m p r o b a d o )

Desarrolle su competencia

3.1 a 3.8 U t i l i c e e l método d e l o s n o d o s p a r a d e t e r m i n a r l a f u e r z a e n c a d a

Figura P3.6 Figura P3.7 Figura P3.8

3.9 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a P r a t t p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n c o m presión.

164

9 . 6 k N

5 . 7 k N

Desarrolle su competencia -| gg

[»—3.8 m Figura P3.9

3.10 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a p a r a v e n t i l a d o r d e t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o j ^ e n compresión.

1 . 5 m

3.11 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a H o w e p a r a t e c h o A q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n c o m - ^ presión.

2 k N

1 . 5 m 1 . 5 m

2 k N

1 . 5 m

2 k N

1 . 5 m

2 k N

1 . 5 m

2kN

C

Figura P3.10

H

k N

2 m

6 0 0 I b

6 0 0 I b

3 0 0 I I

6 0 0 I I

3 0 0 I b

Figura P3.11

3.12 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a G a m b r e l p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n f t — * \ ~ — 8 f t compresión. F t g u r a P 3 1 2

3 . 1 3 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura.

1 6 f t

1 2 . 5 k N 1 2 . 5 k N 1 2 . 5 k N 1 2 . 5 k N

compresión. Figura P3.Í4

3.15 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a W a r r e n p a r a p u e n t e q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

166 Análisis de estructuras

5.76 ft , 5.76 ft , 5.76 ft 5.76 ft

6.72 ft

Figura P 3 . 1 7 y P3.18

1 k N

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

Figura P3.19 y P3.20

6 k i p s 6 k i p s

3.16 c a d a e n E.

Figura P3.15

R e t o m e e l p r o b l e m a 3 . 1 5 y a h o r a s u p o n g a q u e s e e l i m i n a l a c a r g a a p l i -

3 . 1 7 E n l a a r m a d u r a H o w e i n v e r t i d a p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o DE y e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s a l a i z q u i e r d a d e DE. Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3 . 1 8 E n l a a r m a d u r a H o w e i n v e r t i d a p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s a l a d e r e c h a d e l e l e m e n t o DE. Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.19 E n l a a r m a d u r a d e t i j e r a s p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s a l a i z q u i e r d a d e l e l e m e n t o F G . Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.20 E n l a a r m a d u r a d e t i j e r a s p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o F G y e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s a l a d e r e c h a d e F G . Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.21 E n l a a r m a d u r a p a r a t e c h o d e e s t u d i o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s a l a i z q u i e r d a d e l a línea FGH. Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

6 ft 6 ft 6 ft

Figura P3.21 y P3.22 6f t ' 6 ft ' 6 f t

i m. 1.6 m , 1.6 m , 1.6 m 1.6 m 1.6 m

1.2 k N

!.4 m 1.8 m

Figura P3.23

3.22 E n l a a r m a d u r a p a r a t e c h o d e e s t u d i o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o F G y e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s a l a d e r e c h a d e F G . Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.23 E n l a a r m a d u r a a b o v e d a d a p a r a t e c h o q u e s e m u e s t r a e n l a figura, d e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s q u e c o n e c t a n l o s n o d o s d e l A a l F . Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.24 L a porción d e l a a r m a d u r a m o s t r a d a r e p r e s e n t a l a p a r t e s u p e r i o r d e u n a t o r r e p a r a líneas d e transmisión d e energía eléctrica. P a r a l a s c a r g a s m o s t r a d a s , d e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s p o r e n c i m a d e HJ. Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.25 P a r a l a t o r r e y l a s c a r g a s d e l p r o b l e m a 3 . 2 4 , a h o r a s e s a b e q u e FCH = FEJ

= 1 . 2 k N C y FEH = 0 ; d e t e r m i n e l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o HJ y e n c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s l o c a l i z a d o s e n t r e HJ y NO. Además, e s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

r

-2.21 m -1.60 m

-2.21 m — H

0.60 m

0.60 m

1.20 m

0.60 m

0.60 m

1.20 m

0.60 m

0.60 m

1.2 kN

Figura P3.24

3.26 R e t o m e e l p r o b l e m a 3 . 2 4 y a h o r a s u p o n g a q u e l o s c a b l e s q u e c u e l g a n d e l l a d o d e r e c h o d e l a t o r r e s e c a e n a l s u e l o .

3.27 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

3.28 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura. E s t a b l e z c a s i l o s e l e m e n t o s están e n tensión o e n compresión.

4.5 m

Figura P3.28

3.29. D e t e r m i n e s i l a s a r m a d u r a s d e l o s p r o b l e m a s 3 . 3 1 a ) , 3 . 3 2 a ) y 3 . 3 3 a ) s o n a r m a d u r a s s i m p l e s .

3.30 D e t e r m i n e s i l a s a r m a d u r a s d e l o s p r o b l e m a s 3 . 3 1 & ) , 3.32¿>) y 3.33¿>) s o n a r m a d u r a s s i m p l e s .

3.31 P a r a l a s c a r g a s d a d a s , d e t e r m i n e l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o e n c a d a u n a d e l a s d o s a r m a d u r a s q u e s e m u e s t r a n e n l a figura.

3.32 P a r a l a s c a r g a s d a d a s , d e t e r m i n e l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o e n c a d a u n a d e l a s d o s a r m a d u r a s q u e s e m u e s t r a n e n l a figura.

Desarrolle su competencia -J gy

5 f t

Figura P3.27

Figura P3.31

«Si k l | m| n

Figura P3.32 b)

3 . 3 3 P a r a l a s c a r g a s d a d a s , d e t e r m i n e l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o e n c a d a u n a d e l a s d o s a r m a d u r a s q u e s e m u e s t r a n e n l a figura.

Figura P 3 . 3 3

3 . 3 4 D e t e r m i n e l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o e n l a a r m a d u r a : a) d e l p r o b l e m a 3 . 2 3 , y b) d e l p r o b l e m a 3 . 2 8 .

3.6. ANÁLISIS DE ARMADURAS POR EL MÉTODO DE SECCIONES

E l método d e l o s n o d o s e s e l más e f i c i e n t e c u a n d o s e d e b e n d e t e r m i n a r l a s f u e r z a s e n t o d o s l o s e l e m e n t o s d e u n a a r m a d u r a . S i n e m b a r g o , s i sólo s e d e s e a e n c o n t r a r l a f u e r z a e n u n e l e m e n t o o e n u n número m u y r e d u c i d o d e e l e m e n t o s , e l método d e s e c c i o n e s e s e l más e f i c i e n t e .

S u p o n g a q u e s e d e s e a d e t e r m i n a r l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o BD d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 1 6 a ) . P a r a l l e v a r a c a b o e s t a t a r e a , s e d e b e d e t e r m i n a r l a f u e r z a c o n l a c u a l e l e l e m e n t o BD actúa s o b r e e l n o d o B o s o b r e e l n o d o D . S i s e u t i l i z a r a e l método d e l o s n o d o s , s e seleccionaría e l n o d o B o e l n o d o D c o m o e l c u e r p o l i b r e . S i n e m b a r g o , también s e s e l e c c i o n a c o m o c u e r p o l i b r e u n a porción más g r a n d e d e l a a r m a d u r a , c o m p u e s t a p o r v a r i o s n o d o s y e l e m e n t o s , s i e m p r e y c u a n d o l a f u e r z a d e s e a d a s e a u n a d e l a s f u e r z a s e x t e r n a s q u e actúan s o b r e d i c h a porción. Además, s i s e s e l e c c i o n a l a porción d e l a a r m a d u r a d e m a n e r a q u e s o l a m e n t e s e t e n g a u n t o t a l d e t r e s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s q u e actúan s o b r e l a m i s m a , l a f u e r z a d e s e a d a s e p u e d e o b t e n e r a l r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o p a r a l a porción d e l a a r m a d u r a e n cuestión. E n l a práctica, l a porción d e l a a r m a d u r a q u e d e b e u t i l i z a r s e s e o b t i e n e al pasar una sección a través d e t r e s e l e m e n t o s d e l a a r m a d u r a , d e l o s c u a l e s u n o d e b e s e r e l e l e m e n t o d e s e a d o , e s t o e s , d i c h a p o r ción s e o b t i e n e a l d i b u j a r u n a línea q u e d i v i d a a l a a r m a d u r a e n d o s p a r t e s c o m p l e t a m e n t e s e p a r a d a s p e r o q u e n o i n t e r s e q u e a más d e t r e s e l e m e n t o s . C u a l q u i e r a d e l a s d o s p o r c i o n e s d e l a a r m a d u r a q u e s e o b t e n g a después d e q u e l o s e l e m e n t o s i n t e r s e c a d o s h a n s i d o r e m o v i d o s p u e d e u t i l i z a r s e c o m o e l c u e r p o l i b r e . '

E n l a figura 3 . 1 6 a ) s e h a p a s a d o l a sección nn a través d e l o s e l e m e n t o s BD, BE y CE y s e h a s e l e c c i o n a d o l a porción ABC d e l a a r m a d u r a c o m o e l c u e r p o l i b r e [ f i g u r a 3 . 1 6 f e ) ] . L a s f u e r z a s q u e actúan s o b r e e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e s o n l a s c a r g a s P¡ y P 2 q u e están a p l i c a d a s e n l o s p u n t o s A y B y l a s t r e s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s F B D , F g £ y F c £ . C o m o n o s e s a b e s i l o s e l e m e n t o s r e m o v i d o s e s t a b a n e n tensión o compresión, d e m a n e r a a r b i t r a r i a s e d i b u j a r o n l a s t r e s f u e r z a s y s e a l e j a r o n d e l c u e r p o l i b r e c o m o s i l o s e l e m e n t o s e s t u v i e r a n e n tensión.

' E n e l análisis d e c i e r t a s a r m a d u r a s , s e p a s a n s e c c i o n e s q u e i n t e r s e c a n a más d e t r e s e l e m e n t o s : e n t o n c e s s e p u e d e n d e t e r m i n a r l a s f u e r z a s e n u n o , o p o s i b l e m e n t e e n d o s , d e l o s e l e m e n t o s i n t e r s e c a d o s s i s e p u e d e n e n c o n t r a r e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o q u e i n v o l u c r e n únicamente a u n a incógnita (véanse l o s p r o b l e m a s 3 . 5 3 a 3 . 5 6 ) .

E l h e c h o d e q u e e l c u e r p o rígido ABC está e n e q u i l i b r i o s e p u e d e e x p r e s a r c o n t r e s e c u a c i o n e s , l a s c u a l e s p u e d e n r e s o l v e r s e p a r a e n c o n t r a r t r e s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s . S i sólo s e d e s e a d e t e r m i n a r l a f u e r z a F B D , sólo s e n e c e s i t a e s c r i b i r u n a ecuación, s i e m p r e y c u a n d o d i c h a ecuación n o c o n t e n g a a l a s o t r a s incógnitas. P o r t a n t o , l a ecuación 2 M £ = 0 p r o p o r c i o n a e l v a l o r d e l a m a g n i t u d FBn d e l a f u e r z a FBD [ f i g u r a 3 . 1 5 ¿ ) ] . U n s i g n o p o s i t i v o e n e l r e s u l t a d o indicará q u e l a suposición o r i g i n a l e n relación c o n e l s e n t i d o d e F B D

f u e c o r r e c t a y q u e e l e l e m e n t o BD está e n tensión; u n s i g n o n e g a t i v o i n d i cará q u e l a suposición o r i g i n a l f u e i n c o r r e c t a y q u e BD está e n compresión.

P o r o t r a p a r t e , s i sólo s e d e s e a e n c o n t r a r l a f u e r z a F C £ , s e d e b e e s c r i b i r u n a ecuación q u e n o i n v o l u c r e a F g D o a F B £ ; e n e s t e c a s o , l a ecuación a p r o p i a d a e s 2 M B = 0 . U n s i g n o p o s i t i v o p a r a l a m a g n i t u d FCE d e l a f u e r z a d e s e a d a m u e s t r a q u e l a suposición h e c h a f u e c o r r e c t a , e s t o e s , q u e e l e l e m e n t o está e n tensión y u n s i g n o n e g a t i v o i n d i c a q u e l a suposición f u e i n c o r r e c t a , e s t o e s , q u e e l e l e m e n t o está e n compresión.

S i sólo s e d e s e a e n c o n t r a r l a f u e r z a F B £ , l a ecuación a p r o p i a d a e s 1.Fy = 0 . D e n u e v o , a p a r t i r d e l s i g n o d e l r e s u l t a d o s e d e t e r m i n a s i e l e l e m e n t o está e n tensión o e n compresión.

C u a n d o s e d e t e r m i n a únicamente l a f u e r z a d e u n s o l o e l e m e n t o , n o s e t i e n e d i s p o n i b l e u n a f o r m a i n d e p e n d i e n t e d e c o m p r o b a r l o s cálculos r e a l i z a d o s . S i n e m b a r g o , c u a n d o s e h a n d e t e r m i n a d o t o d a s l a s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s q u e actúan s o b r e e l c u e r p o l i b r e , s e p u e d e n v e r i f i c a r l o s cálculos s i s e e s c r i b e u n a ecuación a d i c i o n a l . P o r e j e m p l o , s i F B D , F B £ y F C £ s e d e t e r m i n a n d e l a m a n e r a señalada e n l o s párrafos a n t e r i o r e s , l o s cálculos p u e d e n c o m p r o b a r s e a l v e r i f i c a r q u e 1iFx = 0 .

3.7. ARMADURAS FORMADAS POR VARIAS ARMADURAS SIMPLES

C o n s i d e r e d o s a r m a d u r a s s i m p l e s ABC y DEF. S i e s t a s a r m a d u r a s están c o n e c t a d a s p o r t r e s b a r r a s BD, BE y CE, c o m o s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 1 6 a ) , e n t o n c e s formarán e n c o n j u n t o u n a a r m a d u r a rígida ABDF. L a s a r m a d u r a s ABC y DEF también s e p u e d e n c o m b i n a r e n u n a s o l a a r m a d u r a rígida s i s e u n e n l o s n o d o s B y D e n u n s o l o n o d o B y s i s e c o n e c t a n l o s n o d o s CyE p o r m e d i o d e u n a b a r r a CE [ f i g u r a 3 . 1 6 f c ) ] . L a a r m a d u r a q u e s e o b t i e n e d e e s t a f o r m a s e c o n o c e c o m o armadura Fink. S e d e b e señalar q u e l a s a r m a d u r a s d e l a figura 3 . 1 6 a ) y b) no s o n a r m a d u r a s s i m p l e s ; éstas n o s e p u e d e n c o n s t r u i r a p a r t i r d e u n a a r m a d u r a t r i a n g u l a r a l a q u e s e a g r e g a n s u c e s i v a m e n t e p a r e s d e e l e m e n t o s e n l a f o r m a d e s c r i t a e n l a sección 3 . 3 . S i n e m b a r g o , e s t a s a r m a d u r a s s o n rígidas, c o m o s e v e r i f i c a a l c o m p a r a r l o s s i s t e m a s d e c o n e x i o n e s e m p l e a d o s p a r a m a n t e n e r j u n t a s l a s a r m a d u r a s s i m p l e s ABC y DEF ( t r e s b a r r a s e n l a figura 3 . 1 6 a ) y u n p e r n o y u n a b a r r a e n l a figura 3 . 1 6 ¿ ) c o n l o s s i s t e m a s d e a p o y o s p r e s e n t a d o s e n l a s s e c c i o n e s 2 . 2 4 y 2 . 2 5 . L a s a r m a d u r a s q u e están h e c h a s a p a r t i r d e v a r i a s a r m a d u r a s s i m p l e s c o n e c t a d a s rígidamente s e c o n o c e n c o m o armaduras compuestas.

E n u n a a r m a d u r a c o m p u e s t a , e l número d e e l e m e n t o s m y e l número d e n o d o s n aún están r e l a c i o n a d o s p o r l a fórmula m = 2n — 3 . E s t o p u e d e

c o r r o b o r a r s e a l o b s e r v a r q u e , s i u n a a r m a d u r a c o m p u e s t a está a p o y a d a p o r u n p e r n o s i n fricción y u n r o d i l l o ( i n v o l u c r a n d o así t r e s r e a c c i o n e s d e s c o n o c i d a s ) , e l número t o t a l d e incógnitas e s m + 3 y d i c h o número d e b e s e r i g u a l a l número 2 n d e e c u a c i o n e s q u e s e o b t i e n e n a l e x p r e s a r q u e l o s n p e r n o s están e n e q u i l i b r i o ; p o r t a n t o , s e c o n c l u y e q u e m = 2 n — 3 . L a s a r m a d u r a s c o m p u e s t a s q u e están a p o y a d a s p o r u n p e r n o y u n r o d i l l o , o p o r u n s i s t e m a e q u i v a l e n t e d e a p o y o s , s o n estáticamente determinadas, rígidas y completamente restringidas. E s t o s e r e f i e r e a q u e t o d a s l a s r e a c c i o n e s d e s c o n o c i d a s y l a s f u e r z a s e n t o d o s l o s e l e m e n t o s p u e d e n d e t e r m i n a r s e m e d i a n t e l o s métodos d e l a estática y q u e l a a r m a d u r a n o s e colapsará n i s e moverá. S i n e m b a r g o , n o t o d a s l a s f u e r z a s e n l o s e l e m e n t o s s e p u e d e n d e t e r m i n a r p o r e l método d e l o s n o d o s , a m e n o s q u e s e r e s u e l v a u n g r a n número d e e c u a c i o n e s simultáneas. P o r e j e m p l o , e n e l c a s o d e l a a r m a d u r a c o m p u e s t a d e l a figura 3 . 1 6 a ) , e s más e f i c i e n t e p a s a r u n a sección a través d e l o s e l e m e n t o s BD, BE y CE p a r a d e t e r m i n a r l a s f u e r z a s e n l o s m i s m o s .

A h o r a s u p o n g a q u e l a s a r m a d u r a s s i m p l e s ABC y DEF están c o n e c t a d a s p o r cuatro b a r r a s BD, BE, CD y CE ( f i g u r a 3 . 1 7 ) . A h o r a , e l número d e e l e m e n t o s m e s m a y o r q u e 2 n — 3 ; p o r t a n t o , r e s u l t a u n a armadura hi-perestática y s e d i c e q u e u n o d e l o s c u a t r o e l e m e n t o s BD, BE, CD o CE e s redundante. S i l a a r m a d u r a está a p o y a d a p o r u n p e r n o e n A y p o r u n r o d i l l o e n F , e l número t o t a l d e incógnitas e s m + 3 . C o m o m > 2n — 3 , a h o r a e l número m + 3 d e incógnitas e s m a y o r q u e e l número 2 n d e e c u a c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s q u e s e t i e n e n d i s p o n i b l e s ; e n c o n s e c u e n c i a , l a a r m a d u r a e s estáticamente indeterminada.

P o r últ imo, supóngase q u e l a s d o s a r m a d u r a s s i m p l e s ABC y DEF e s tán u n i d a s p o r u n p e r n o , c o m o s e m u e s t r a e n l a figura 3 . 1 8 a ) . E l n ú m e r o d e e l e m e n t o s m e s m e n o r q u e 2 n — 3 . S i l a a r m a d u r a está a p o y a d a p o r u n p e r n o e n A y u n r o d i l l o e n F , e l n ú m e r o t o t a l d e incógnitas e s m + 3 . C o m o m < 2n — 3 , a h o r a e l número m + 3 d e incógnitas e s m e n o r q u e e l número 2 n d e e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o q u e s e d e b e n c u m p l i r ; p o r t a n t o , l a a r m a d u r a no es rígida y s e colapsará b a j o s u p r o p i o p e s o . S i n e m b a r g o , s i s e u s a n d o s p e r n o s p a r a a p o y a r l a , l a a r m a d u r a s e v u e l v e rígida y n o s e colapsará [ f i g u r a 3 . 1 8 f e ) ] . A h o r a s e o b s e r v a q u e e l número t o t a l d e incógnitas e s m + 4 y e s i g u a l a l número 2 n d e e c u a c i o n e s . E n términos más g e n e r a l e s , s i l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s i n v o l u c r a n r incógnitas, l a condición p a r a q u e u n a a r m a d u r a c o m p u e s t a s e a estát icamente d e t e r m i n a d a , rígida y p o r c o m p l e t o r e s t r i n g i d a e s m + r = 2 n . S i n e m b a r g o , a u n q u e e s t a condición e s n e c e s a r i a , n o e s s u f i c i e n t e p a r a e l e q u i l i b r i o d e u n a e s t r u c t u r a q u e d e j a d e s e r rígida c u a n d o s e s e p a r a d e s u s a p o y o s (véase sección 3 . 1 0 ) .

B B

Figura 3.18 a) b)

2 8 k i p s 2 8 k i p s

K 1 6 k i p s

PROBLEMA RESUELTO 3.2

D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s EF y GI d e l a a r m a d u r a m o s t r a d a e n l a figura.

8 f t ' 8 f t

2 8 k i p s 2 8 k i p s

A \c E \G I

T 10 f t J B

B / V • A Y i

F H\ i Y i l8ñ' < 8 f t ' ' < 8 f t ' 8 f t '

SOLUCION K 1 6 k i p s

Cuerpo libre: armadura completa. S e d i b u j a u n d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e t o d a l a a r m a d u r a ; l a s f u e r z a s e x t e r n a s q u e actúan s o b r e e s t e c u e r p o l i b r e c o n s i s t e n e n l a s c a r g a s a p l i c a d a s y l a s r e a c c i o n e s e n B y J. S e e s c r i b e n l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o :

+" ¡2M B = 0 :

- ( 2 8 k i p s ) ( 8 f t ) - ( 2 8 k i p s ) ( 2 4 f t ) - ( 1 6 k i p s ) ( 1 0 f t ) + / ( 3 2 f t ) = 0

/ = + 3 3 k i p s J = 3 3 k i p s f

2 8 k i p s 2 8 k i p s

1 i m ±»2F_ = 0 : Bi + 1 6 k i p s = 0

16 kips

Bx = - 1 6 k i p s B X = 1 6 k i p s *

2 8 k i p s

l

1 6 k i p s

í D

2 o k i p s

"¡2M ; = 0 :

( 2 8 k i p s ) ( 2 4 f t ) + ( 2 8 káps)(8 f t ) - ( 1 6 l d p s ) ( 1 0 f t ) - 5 ^ ( 3 2 f t ) = 0

B = + 2 3 k i p s B , = 2 3 k i p s f

F u e r z a en el elemento EF. S e p a s a l a sección nn a través d e l a a r m a d u r a d e m a n e r a q u e sólo i n t e r s e q u e a l e l e m e n t o EF y a o t r o s d o s e l e m e n t o s a d i c i o n a l e s . Después d e q u e s e h a n r e m o v i d o l o s e l e m e n t o s i n t e r s e c a d o s , l a porción d e l l a d o i z q u i e r d o d e l a a r m a d u r a s e s e l e c c i o n a c o m o e l c u e r p o l i b r e . S e o b s e r v a q u e están i n v o l u c r a d a s t r e s incógnitas; p a r a e l i m i n a r l a s d o s f u e r z a s h o r i z o n t a l e s , s e e s c r i b e

+ 1 lFy = 0 : + 2 3 k i p s - 2 8 k i p s - F E F = 0

FEF = — 5 k i p s

E l s e n t i d o d e F £ F s e seleccionó a l s u p o n e r q u e e l e l e m e n t o EF está e n tensión; e l s i g n o n e g a t i v o o b t e n i d o i n d i c a q u e e n r e a l i d a d e l e l e m e n t o está e n compresión.

10 ft

FFF = 5 k i p s C 4

Fuerza en el elemento Gí. S e p a s a l a sección mm a través d e l a a r m a d u r a d e m a n e r a q u e sólo i n t e r s e q u e a l e l e m e n t o GI y a o t r o s d o s e l e m e n t o s a d i c i o n a l e s . Después d e q u e s e h a n r e m o v i d o l o s e l e m e n t o s i n t e r s e c a d o s , s e s e l e c c i o n a l a p o r ción d e l l a d o d e r e c h o d e l a a r m a d u r a c o m o e l c u e r p o l i b r e . O t r a v e z están i n v o l u c r a d a s t r e s f u e r z a s d e s c o n o c i d a s ; p a r a e l i m i n a r l a s d o s t u e r z a s q u e p a s a n a través d e l p u n t o H s e e s c r i b e

+" ¡2M H = 0 : ( 3 3 k i p s ) ( 8 f t ) - ( 1 6 k i p s ) ( 1 0 f t ) + F C I ( 1 0 f t ) = 0

- 1 0 . 4 k i p s Fe, 1 0 . 4 k i p s C ^

171

1 k N

fc = 8r

5 k - N 5 k N 5 k N 6 p a n e l e s @ 5 m = 3 0 m -

PROBLEMA RESUELTO 3.3

D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s FH, GH y GI d e l a a r m a d u r a p a r a t e c h o m o s t r a d a e n l a figura.

SOLUCION Cuerpo libre: armadura completa. A p a r t i r d e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e

p a r a t o d a l a a r m a d u r a s e e n c u e n t r a n l a s r e a c c i o n e s e n A y L:

A = 1 2 . 5 0 k N f L = 7 . 5 0 k N |

S e o b s e r v a q u e

t a n a = FG GL

8 m 1 5 m

0 . 5 3 3 3 a = 28.07°

1 2 . 5 0 k N

1 k N

'H

j|gi¡il¡l§ij

1 k N

7

J s»»^

í F c " X = 5 . 3 3 m

1 .

1 k N

'H

j|gi¡il¡l§ij

1 k N

7

J s»»^

•«—5 m — — j

- - 5 m — * - |

F u e r z a en el elemento G I . S e p a s a l a sección nn a través d e l a a r m a d u r a , c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a . C o n e l u s o d e l a porción HLI d e l a a r m a d u r a c o m o e l c u e r p o l i b r e , s e o b t i e n e e l v a l o r d e FCI a l e s c r i b i r

+*¡2M H = 0 : ( 7 . 5 0 k N ) ( 1 0 m ) - ( 1 k N ) ( 5 m ) - F G Í ( 5 . 3 3 m ) = 0

FG¡ = + 1 3 . 1 3 k N Fc¡ = 1 3 . 1 3 k N T *

. 5 0 k N

F f « eos a F p H sen a

- 5 m » « 5 m -

1 k N

1 k N

F u e r z a en el elemento F H . E l v a l o r d e FFH s e o b t i e n e a p a r t i r d e l a e c u a ción 2 M C = 0 . S e m u e v e F F H a l o l a r g o d e s u línea d e acción h a s t a q u e actúe e n e l p u n t o F , d o n d e s e d e s c o m p o n e e n s u s c o m p o n e n t e s x y y. A h o r a , e l m o m e n t o d e F y H

c o n r e s p e c t o a l p u n t o G e s i g u a l a (FFH e o s a)(8 m ) .

+ 1 S M G = 0 :

( 7 . 5 0 k N ) ( 1 5 m ) - ( 1 k N ) ( 1 0 m ) - ( 1 k N ) ( 5 m ) + (FFH e o s a ) ( 8 m ) = 0

-«—5 m — ^ |

a= 28.07° - 1 3 . 8 1 k N FFH = 1 3 . 8 1 k N C -i

. 5 0 k N F u e r z a en el elemento G H . P r i m e r o s e o b s e r v a q u e

GI 5 m t a n / 3 HI 1 ( 8 m ) 0 . 9 3 7 5 8 = 43.15°

tf cftseu 4

tfGH e o s P

E n t o n c e s , e l v a l o r d e FGH s e d e t e r m i n a a l d e s c o m p o n e r l a f u e r z a F G H e n s u s c o m p o n e n t e s x y y e n e l p u n t o G y a l r e s o l v e r l a ecuación 2 M L = 0 .

+ R ) S M L = 0 : ( 1 k N ) ( 1 0 m ) + ( 1 k N ) ( 5 m ) + (FCH e o s B)(15 m ) = 0

5 0 k N FGH = - 1 . 3 7 1 k N FCII = 1 . 3 7 1 k N C 4

Desarrolle su competencia 6.25 ft 12.5 f t 12.5 f t . 12.5 f t . 12.5 f t

3.35 U n a a r m a d u r a W a r r e n p a r a p u e n t e s s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s CE, DE y DF.

3.36 U n a a r m a d u r a W a r r e n p a r a p u e n t e s s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s EG, FG y FH.

3.37 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s BD y DE d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura.

135 kN A

12.5 ft 12.5 f t 12.5 ft 12.5 ft

6 0 0 0 I b 6 0 0 0 I b



3.38 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s DG y EG d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura.

3.39 U n a a r m a d u r a p a r a p i s o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s CF, EF y EG.

¡ k N 4 k N 4k.N 3 k N 2 k N 2 kN 1 kN

i , 8 m i lo.8 m i q . 8 m 10.8 m 10.8 m 10.8 m 10.

T DT I T c ; f fjf J l


3 . 4 0 U n a a r m a d u r a p a r a p i s o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s FI, HI y HJ.

3.41 U n a a r m a d u r a d e t i r o p l a n o p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s CE, DE y DF.

3.42 U n a a r m a d u r a d e t i r o p l a n o p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s EG, GH y HJ.

3.43 U n a a r m a d u r a H o w e t i p o t i j e r a p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s DF, DG y EG.

3.44 U n a a r m a d u r a H o w e t i p o t i j e r a p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s GI, HI y HJ.

2.4 m 2.4 m


173

1.5 kN

8 f t 8 f t 8 f t 8 f t 8 f t Figura P3.43 y P3.44

3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m


3.45 U n a a r m a d u r a P r a t t p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s CD, DE y DF.

3.46 U n a a r m a d u r a P r a t t p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s FH, FI y GI.

3.47 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s AD, CD y CE d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura.

3 6 k N 0 . 9 k

- 4 . 5 m - • — 4 . 5 m -

2 0 k N

- 4 . 5 m -2 0 k N

>G

o- F o E H

! 2 . 4 m

3 1 . 5 f t


3.48 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s DG, FG y FH d e l a a r m a d u r a q u e 1 4 f t -*\ s e m u e s t r a e n l a figura.

3.49 U n a a r m a d u r a p a r a t e c h o d e e s t a d i o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s AB, AG y FG.

3.50 U n a a r m a d u r a p a r a t e c h o d e e s t a d i o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s AE, EF y FJ.

3 . 5 1 U n a a r m a d u r a p o l i n e s i a , o d e d o s t i r o s , p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s DF, EF y EG.

Figura P3.49 y P3.50 6 f t 6 f t 6 f t 6 f t , 6 f t

3 5 0 I b

4 0 0 I b 4 0 0 I b

2 0 0 I

6 f t

3 0 0 I b

6 f t

3 0 0 I b ,

6 f t

t l b 4 f t

3 m 3 r a 3 m 3 m

Ése C E 3

G j t

; L

iaiBiiBxStSimi

' ' 9 . 6 f t ' 8 . 4 f t 6 f t 6 f t 8 . 4 ft ' 9 . 6 ft

4 . 5 f t



3.52 U n a a r m a d u r a p o l i n e s i a , o d e d o s t i r o s , p a r a t e c h o s e c a r g a e n l a f o r m a q u e m u e s t r a l a figura. D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s HI, GI y GJ.

3.53 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s AF y EJ d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura, c u a n d o P , = Q = 1 . 2 k N . (Sugerencia: U s e l a sección aa.)

3.54 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s AF y EJ d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura, c u a n d o P = 1 . 2 k N y Q = 0 . (Sugerencia: U s e l a sección aa.)

3.55 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s EH y GI d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura. (Sugerencia: U s e l a sección aa.)

Desarrolle su competencia -| ~JC

1 5 ft * 1 5 ft 4 1 5 ft é 1 5 ft

1 2 k i p s 1 2 k i p s 1 2 k i p s


3.56 D e t e r m i n e l a f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s HJ e IL d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s t r a e n l a figura. (Sugerencia: U s e l a sección hb.)

3.57 y 3.58 L o s e l e m e n t o s d i a g o n a l e s e n l o s p a n e l e s c e n t r a l e s d e l a t o r r e d e transmisión q u e s e m u e s t r a e n l a figura s o n m u y d e l g a d o s y sólo p u e d e n a c t u a r e n tensión; a t a l e s e l e m e n t o s s e l e s c o n o c e c o m o contravientos. P a r a l a s c a r g a s d a d a s , d e t e r m i n e : a) cuál d e l o s d o s c o n t r a v i e n t o s m e n c i o n a d o s actúa, y b) l a f u e r z a e n e s e c o n t r a v i e n t o .

3.57 C o n t r a v i e n t o s CJ y HE.

3.58 C o n t r a v i e n t o s IO y KN.

1 . 2 0 m

0 . 6 0 m

0 . 6 0 m

0 . 6 0 m

0 . 6 0 m

1 . 2 0 m

0 . 6 0 m

0 . 6 0 m


4 . 8 k i p s 4 . 8 k i p s 4 . 8 k i p s 2 . 4 k i p s 2 . 4 k i p s

U - i i f t — | — u f t " ^ 1 1 ft-^*~11 ñ~~\

^>s>.

F\

Figura P3.59

9 . 6 ft

a:s. ."

3.59 y 3.60 L o s e l e m e n t o s d i a g o n a l e s e n l o s p a n e l e s c e n t r a l e s d e l a s a r m a - 4 . 8 k i p s 4 . 8 k i p s 4 . 8 k i p s 2 . 4 k i p s 2 . 4 k i p s d u r a s q u e s e m u e s t r a n e n l a s figuras s o n m u y d e l g a d o s y sólo p u e d e n a c t u a r e n tensión; a t a l e s e l e m e n t o s s e l e s c o n o c e c o m o contravientos. D e t e r m i n e l a s f u e r z a s e n l o s c o n t r a v i e n t o s q u e actúan b a j o l a s c a r g a s d a d a s . A

¡ 4.» k i p s 4.» K i p s B . 4 K i p s J£.4 K

1 1 tt —|— 1 1 ft^*|" 1 1 ft"*J^** " " " i

3.61 C l a s i f i q u e c a d a u n a d e l a s e s t r u c t u r a s m o s t r a d a s e n l a figura c o m o c o m p l e t a , p a r c i a l o i m p r o p i a m e n t e r e s t r i n g i d a ; s i l a e s t r u c t u r a está c o m p l e t a m e n t e r e s t r i n g i d a , clasifíquela c o m o estáticamente d e t e r m i n a d a o i n d e t e r m i n a d a . ( T o d o s l o s e l e m e n t o s p u e d e n a c t u a r t a n t o e n tensión c o m o e n compresión.) Figura P3.60

> I 9 . 6 ft

•J yg Análisis de estructuras

3.62 a 3.66 C l a s i f i q u e c a d a u n a d e l a s e s t r u c t u r a s m o s t r a d a s e n l a s figuras c o m o c o m p l e t a , p a r c i a l o i m p r o p i a m e n t e r e s t r i n g i d a ; s i l a e s t r u c t u r a está c o m p l e t a m e n t e r e s t r i n g i d a , clasifíquela c o m o estáticamente d e t e r m i n a d a o i n d e t e r m i n a d a . ( T o d o s l o s e l e m e n t o s p u e d e n a c t u a r t a n t o e n tensión c o m o e n compresión.)

r r r r r r

a) b) c) Figura P3.66

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