Unidad No. 7 Productos y Cocientes Notables

Conoceris la Verdad y La Verdad Os Har Libres Juan 8:32 Pgina 0

FACULTAD DE ARQUITECTURA UNIVERSIDAD MARIANO GLVEZ DE GUATEMALA

FUNDAMENTOS DE MATEMTICA

UNIDAD 7 7.1 PRODUCTOS NOTABLES 7.2 COCIENTES NOTABLES

UNIVERSIDAD MARIANO GLVEZ Facultad de Arquitectura

Fundamentos de Matemtica 1er. Semestre, Ao 2016


7.1 PRODUCTOS NOTABLES

En la resolucin de los polinomios hay expresiones que se presentan

frecuentemente y por eso tienen un estudio especial. Saber identificarlos y

resolverlos nos dan un ahorro de tiempo cuando se factorizan dichas

expresiones.

Los productos notables son los que cumplen ciertas reglas para su resolucin y

el resultado puede ser por simple inspeccin, sin necesidad de hacer la prueba

correspondiente.

7.1.1 PRODUCTO DE LA FORMA (x a)(x b)

PASOS PARA RESOLVERLO:

Cuadrado del primer trmino ( sera la variable x )

Ms el producto del primer trmino por la suma algebraica de a

con b

Ms el producto de a con b

Ejemplos resueltos:

1) (x + 3)(x + 5)

Sigamos los pasos:

x + x(3+5) +(3x5)

x + 8x +15 Este es el resultados, ntese que es de

tres trminos (trinomio). La prueba consiste en factorizar este

resultado para que de la expresin inicial. (Factorizacin o

descomposicin factorial unidad 9)

2) (z + 3)(z 2)

Sigamos los pasos:

z + z(3-2) + (3x(-2))

z + z 6 Este es el resultado




3) (y - 3y)(y + 8y)

Sigamos los pasos:

(y) + (y)(-3y + 8y) + (-3y)(8y)

(y) + (y)(5y) + (-24y) Multiplicar signos ( + x - = - )

Y + 5y - 24y Esta es el resultado

Nota:

(y) Se multiplican las potencias, entonces y

(y)(5y) Se suman las potencias, entonces 5y

4) (- x )(- x - )

Sigamos los pasos:

(- x) + (- x )( - - ) + ( - )( - )

x + ( - x )( - 37/24 ) + ( 7/12 )

x + 37/24 x + 7/12 Este es el resultado

Ejercicios propuestos con respuesta:

1) (b 1)(b + 1) R// b - 1

2) (c + 0.3 )(c + 0.5) R// c + 0.8c + 0.15

3) (- 3 + x)(x + 1) R// x - 2x - 3

4) (x + y 1)(x + y 3) R// (x+y) - 4(x+y) + 3

5) (x - 2x)(x + 5x) R// x + 3x - 10x

6) (1 3ax)(3ax + 1) R// 1 9ax

7) (x + a)(x - a) R// x - a

8) (x + y + z)(x + y z) R// (x+y) - z

9) (x - 5x + 6)(x + 5x 6) R// x+25x+60x-36




10) (2a b c)(2a b + c) R// (2-b)-c

11) (t +3)(t + 7) R// t+10t+21

12) (x - )(x - ) R// x- x + 2/9

13) (x - x)(x + x) R// x- x

14) (y)(y 2) R// y- 2y

15) (m + 2n y)(m + 2n y) R// (m+2n) -

2y(m+2n) + y

7.1.2 PRODUCTO DE LA FORMA ( x a) CUADRADO DE UN BINOMIO PASOS PARA RESOLVERLO:

Cuadrado del primer trmino ( variable x) Si es positivo ms, si es negativo menos; el doble producto del primer

trmino por el segundo Ms el cuadrado del segundo trmino

( x + a ) x + 2ax + a

El primer y tercer trmino siempre sern

positivos

( x a ) x - 2ax + a

El primer y tercer trmino siempre sern

positivos.

Ejemplos resueltos:

1) ( w + 5 ) Sigamos los pasos: w + 2(w)(5) + 5 w + 10w + 25 Este es el resultado




2) ( 4x - 2y )

Sigamos los pasos (4x) - 2(4x)(2y) + (2y) 16x - 16xy + 4y Este es el resultado

3) (3z + 5z)

Sigamos los pasos (3z) + 2(3z)(5z) + (5z) 9z + 30z + 25z Este es el resultado

4) ((x - x) (y + y))

Sigamos los pasos (x - x) - 2(x - x)(y + y) + (y + y) Producto Multiplicacin Producto Notable Algebraica Notable (x)-2(x)(x) + x - 2(xy + xy - xy - xy) + (y) + 2(y)(y) + (y) x - 2x + x - 2xy - 4/3xy + 2xy + 4/3xy + y + 4/3y + 4/9y Este es el resultado


1) ( x + y ) R// x + 2xy + y

2) ( y 2 ) R// y - 4y + 4

3) ( z - z ) R// z - 2z + z

4) ( x + ) R// x + 4/3x + 4/9

5) ( y + y 1 ) R// y + 2y - y - 2y + 1

6) ( -z + 3 ) R// z - 6z + 9




7) ( x - 2x + 3y - y ) R// x - 4x + 4x + 6xy 2xy -

12xy + 4xy + 9y - 6y + y 8) ( a 2 ) R// a - 4 + 4

9) ( x y + 2 ) R// x - 2xy + y + 4x 4y + 4

10)( y 0.2 ) R// y - 0.4y + 0.04

11)( 0.3x + 0.5 ) R// 0.09x + 0.3x + 0.25

12)( 1 2x + 3x ) R// 1 4x + 10x - 12x + 9x

13)( x 1 + x - x ) R// x - 2x - x + 4x - x - 2x + 1

14)( 1 2a ) R// 1 4a + 4a

15)( y - y ) R// y - 2y + y

7.1.3 PRODUCTO DE LA FORMA ( x a ) CUBO DE UN BINOMIO

PASOS PARA RESOLVERLO:

Cubo del primer trmino ( variable x ) Ms o menos tres veces el cuadrado del primer trmino por el segundo Ms o menos tres veces el primer trmino por el cuadrado del segundo Ms o menos el cubo del segundo trmino

Si este signo es positivo en el resultado todos son positivos ( x + a ) x + 3xa + 3xa + a Si este signo es negativo se van intercalando los signos, ms menos ms menos ( x a ) x - 3xa + 3xa - a Ejemplos resueltos:

1) ( x + 3 ) Sigamos los pasos: x + 3((x)(3)) + 3((x)(3)) + 3 x + 9x + 27x + 27 Este es el resultado




2) ( x y ) Sigamos los pasos: x - 3((x)(y)) + 3((x)(y)) - y x - 3xy + 3xy - y Este es el resultado

3) ( x + x ) Sigamos los pasos: (x) + 3((x)(x)) + 3((x)(x)) + x x + 3x + 3x + x Este es el resultado

4) ( 3x 2)

Sigamos los pasos: (3x) - 3((3x)(2)) + 3((3x)(2)) - 2 27x - 54x + 36x 8 Este es el resultado

Ejercicios propuestos con respuestas:

1) ( x - 1 ) R// x - 3x + 3x 1

2) ( y + 3 ) R// y + 9y + 27y + 27

3) ( z - z ) R// z - 3z + 3z - z

4) ( 3x 2y ) R// 27x - 54xy + 36xy - 8y

5) ( a + bc ) R// a + 3bc + 3bc + bc

6) ( x + ) R// 1/27x + 2/9x + 4/9x +8/27

7) ( y - 3y ) R// y - 9y + 27y - 27y

8) ( y - ) R// y - 21/8y + 147/64y 343/512

9) ( x + 11 ) R// x + 33x + 363x + 1331

10)( y 0.2 ) R// y - 0.6y + 0.12y 0.008




11)( 0.01x + 0.3 ) R// 0.000001x + 0.00009x +

0.0027x + 0.027

12)( y + 0.5 y ) R// y + 1.5y + 0.75y + 0.125y

13)( x 2 ) R// x - 6x + 12x 8

14)( ab + cy ) R// ab + 3abcy + 3abcy + cy

15)( 0.2a 0.3b ) R// 0.008a - 0.036ab + 0.054ab

- 0.027b

7.2 COCIENTES NOTABLES Son divisiones algebraicas, que siguiendo reglas establecidas se puede llegar al resultado en forma rpida y sencilla. La forma general de los cocientes notables sera la siguiente: a b Numerador o dividendo a b Denominador o divisor Donde n es cualquier nmero entero. Reglas bsicas:

El numerador o dividendo debe de ser de mayor grado (mayor potencia) que el denominador o divisor.

Los dos trminos en el numerador deben de tener la misma potencia y los dos trminos en el denominador deben de tener la misma potencia.

Pasos para resolverlos: a - b R// a - b a + b

Dividimos a y nos da a, ntese que se restan los exponentes de la a expresin del numerador menos la expresin en el denominador.

Si el signo de la expresin del denominador de + entonces en la respuesta el signo es intercalado ms menos ms menos mas, as sucesivamente.

Si el signo de la expresin del denominador - entonces en la respuesta el signo es ms en todos sus trminos.

Por ltimo dividimos b y nos da b, ntese que se restan los exponentes b




de la expresin del numerador menos la expresin del denominador. a + b R// a + ab + b a - b

Dividimos a y nos da a, ntese que se restan los exponentes de la a expresin del numerador menos la expresin en el denominador.

Si el signo de la expresin del denominador de + entonces en la respuesta el signo es intercalado ms menos ms menos mas, as sucesivamente.

Si el signo de la expresin del denominador - entonces en la respuesta el signo es ms en todos sus trminos.

Copiamos el primer trmino de la respuesta y le restamos una unidad a la potencia multiplicada por el segundo trmino con potencia uno, ntese que el primer trmino va disminuyendo la potencia hasta que se hace cero y el segundo trmino va en aumento hasta llegar a la misma potencia que el primer trmino.

Por ltimo dividimos b y nos da b, ntese que se restan los exponentes b de la expresin del numerador menos la expresin del denominador. Ejemplos resueltos:

1) x - y x + y Sigamos los pasos: x - y x y x y Este es el resultado

2) x + y x y Sigamos los pasos: Disminucin de potencia en el primer trmino x + xy + xy + y Este es el resultado Aumento de potencia en el segundo trmino




3) a + b

a + b Sigamos los pasos:

a ab + b Este es el resultado

4) x - y

x y Sigamos los pasos:

x + xy + xy + xy + y Este es el resultado

5) a - 729

a 3 a + a(3) + a(3) + a(3) + a(3) + 3 a + 3a + 9a 27a + 81a + 243 Este es el resultado

6) 64m - 729n

2m + 3n Sigamos los pasos:

(2m) - (2m)(3n) + (2m)(3n) - (2m)(3n) + (2m)(3n) - (3n) 32m - 48mn + 72mn - 108mn + 162mn - 243n Este es el resultado


1) 1 + a R// 1 a + a 1 + a

2) 1 - a R// 1 + a + a 1 a

3) x - 27y R// x + 3xy + 9y x - 3y

4) m - n R// m + mn + mn + mn + n m - n

5) x - y R// x + xy + xy+ xy + y

x - y




6) x - 256 R// x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x + 128

x 2

7) 1 - x R// 1 + x + x 1 - x

8) 27x + 1 R// 9x - 3x + 1 3x + 1

9) 8a - 1 R// 4a + 2a + 1 2a -1

10) x - 128 R// x + 2x + 4x + 8x +16x + 32x + 64 x 2

11) a + b R// a - ab + ab - ab + b a + b

12) ( a + x ) - y R// a + x + y ( a + x ) y

13) 25 36x R// 5 + 6x 5 6x

14) 64a + b R// 16a - 4ab + b 4a + b

15) x - 16 R// x + 2x + 4x + 8 x - 2

BIBLIOGRAFA

BALDOR A. (2007) lgebra. Mxico. Grupo Editorial Patria.

SWOKOWSKI E. y COLE J. (2007) lgebra y Trigonometra con Geometra

Analtica. Mxico: Edamsa impresiones S.A. de C.V.

MORALES ALDANA, DR. LEONEL (2000) Introduccin a la Matemtica

Universitaria. Guatemala: Sper aprendizaje.

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