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8/16/2019 UNIDAD v Algebra Lineal..
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UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEALES.
5.1 Introducción a la tran!or"acion# lin#al#.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con
una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar
por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha
estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Más adelante
mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en trminos
de matrices, y viceversa. !e denomina transformación lineal a toda función cuyo
dominio e ima"en sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones
necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el
ál"ebra lineal y en otras ramas de las matemáticas.
D#!inicion#$ #%#"&lo ' &ro&i#dad# ()ica.
Tran!or"acion# lin#al#.
D#!inición:
!ean # y $ espacios vectoriales reales. Una transformación lineal % de # en $ es
una función que asi"na a cada vector v # un vector &nico %v $ y que satisface,
para cada u y v en # y cada escalar.
%'u ( v) * %u ( %v
+
%'av)*a %v
TRES O*SERVACIONES SO*RE NOTACI+N
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1. !e escribe % v $ para indicar que % toma el espacio vectorial real # y lo lleva al
espacio vectorial real $- esto es, % es una función con # como su dominio y un
subconjunto de $ como su ima"en.
,. !e escriben indistintamente %v y % 'v). enotan lo mismo- las dos se leen /% de
v0. Esto es análo"o a la notación funcional '1), que se lee / de 10. ʄ ʄ
-. 2ran parte de las definiciones y teoremas en este cap3tulo tambin se cumplen
para los espacios vectoriales complejos 'espacios vectoriales en donde los
escalares son n&meros complejos).
D#!inición: !ean '#, (#, 4#) y '$, ($, 4$) dos 56espacios vectoriales. Una
función f # 7 $ se llama una transformación lineal 'u homomorfismo, o
simplemente morfismo) de # en $ si cumple i) f 'v (# v 8) * f 'v) ($ f 'v 8) ∀ v,
v8 ∈ #. ii) f '9 4# v) * 9 4$ f 'v) ∀ 9 ∈ 5, ∀ v ∈ #.
E%#"&lo.
:allar, si es posible, una transformación lineal f ; < 7 ; < que verifique f '=, =) *
'8, =) y f '=, 8) * ').
ado '1=, 1
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D#!inición: !i f # 7 $ es una transformación lineal, entonces f '8#) * 8$. En
efecto, puesto que f'8# ) * f'8# ( 8# ) * f'8# ) ( f'8# ), entonces 8$ * f'8# ) (
'?f'8# )) * D f'8# ) ( f'8# ) ( '?f'8# )) * * f'8# ) ( D f'8# ) ( '?f'8# )) * f'8# ) (
8$ * f'8# )
ro&oición
!ea f # 7 $ una transformación lineal. Entonces =. !i ! es una subespecie de
#, entonces f'!) es una subespecie de $.
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E/EMLOS: 0alla la r#&r##ntación "atricial AT ' #l rano d# latran!or"ación lin#al dada:
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Ejemplo:
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5., N2cl#o # i"a#n d# una tran!or"ación lin#al.
En esta sección se desarrollan al"unas propiedades básicas de las
transformaciones lineales.
T#or#"a 1. !ea % # $ una transformación lineal. Entonces para todos losvectores u, v, v=, v
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Entonces, del inciso iii) del teorema =, %=v * %='O= v= ( O
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Entonces
!ur"e otra pre"unta- si G=,G
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Vbservación . K&cleo e ima"en de la transformación cero!ea %v * 8 para todo v #'% es la transformación cero).ϵ Entonces un % * v e m %
* F8I.
Ejemplo W K&cleo e ima"en de la transformación identidad
!ea %v * v para v #'% es la transformación identidad).ϵ Entonces un %* F8I e m %
* #.
Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos e1tremos. En la primera
todo se encuentra en el n&cleo. En la se"unda sólo el vector cero se encuentra en
el n&cleo. Los casos intermedios son más interesantes.
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E%#"&lo 5 N2cl#o # i"a#n d# un orador d# &ro'#cción
!ea % ;> ;> definida por
% es el operador de proyección de ;> en el plano 1y.
Entonces 1 * y * 8. Bs3, nu % * F'1,y,z)1 * y * 8, z ;I, es decir, el eje z, e m % *ϵ
F'1,y,z) z * 8I, es decir el plano 1y. Vbserve que dim un % * = y dim m % *
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5.- La "atri d# una tran!or"ación lin#al.
!i B es una matriz de mZn y % ;n6;m está definida por %1 * B1, entonces, % es una
transformación lineal. Bhora se verá que para toda transformación lineal de ;n en
;m
e1iste una matriz B de mZn tal que %1 * B1 para todo 1 ϵ ;n
. Este hecho es de
"ran utilidad. !i %1 * B1. Entonces un % * K B e m % * ; B. más aun, v'%) * dim un %
* v'B) y p'%) * dim m % * p'B). Bs3 se puede determinar el n&cleo, la ima"en, la
nulidad y el ran"o de una transformación lineal de ;n6;m determinando el espacio
nulo y la ima"en de la matriz correspondiente. Bdicionalmente, una vez que se
sabe que %1 * B1. !e puede evaluar %1 para cualquier 1 en ;n mediante una
simple multiplicación de matrices.
Cero esto no es todo. Tomo se verá, cualquier transformación lineal entre
espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una
matriz.
%eorema =
!ea %;n 6;m una transformación lineal. E1iste entonces una matriz &nica de mZn,
B% tal que
emostración
!ea G= * %e=,G
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Entonces
e esta forma, B%ei * Gi para i * =,
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%EV;EMB < sea B% la matriz de transformación correspondiente a la
transformación lineal %. entonces.
i)m % * m B * T B%
ii)C'%) * p'B%)
iii)Un % * K B%
iv) v '%) * v 'B%
Ejemplo = ;epresentación matricial de una transformación de proyección
Encuentre la matriz de transformación B% correspondiente a la proyección de un
vector en ;> sobre el plano 1y.
!olución
%eorema W
!ean # y $ espacios vectoriales de dimensión finita con dim # * n. sea % #6$
una transformación lineal y sea B% una representación matricial de % respecto a las
bases Q= en # y Q< en $. entonces
i. p'%) *p'B%) ii. #'B) * v'B%) iii. #'a) ( p'%) * n
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e manera similar, una e1pansión a lo lar"o del eje y es una transformación lineal
que multiplica la coordenada y de todo vector en ;
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2raficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación
lineal de un conjunto de puntos. E1isten ciertas propiedades básicas de las
transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al
momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La
notación "eneral utilizada para una transformación lineal es % ;n ◊ ;m.
1. R#!l#6ión: Tuando un conjunto de puntos dados es "raficado desde el espacio
euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isomtrico al espacio
euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la refle1ión del conjunto
de puntos dado. Esto puede realizarse tambin con respecto a la matriz, en tal
situación la matriz de salida es llamada la matriz de refle1ión. La refle1ión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje 1 o el eje y. Esto escomo producir la ima"en espejo de la matriz actual.
,. E6&anión: Bl i"ual que en la refle1ión, tambin es posible e1pandir los puntos
dados en una dirección particular. La e1pansión se realiza habitualmente para un
cierto "rado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos
del conjunto de puntos dados con un trmino escalar hacia la dirección donde
tiene que ser e1pandido. !ea para un punto ') si el "rado de e1pansión < es la
dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es '
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Tomo ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de
la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano 16y a travs
de la recta y * '?).
El primer paso para esto es determinar los vectores base.
Cor lo tanto, podemos afirmar que,
ado que y pertenece a ;
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Esto produce,
e manera similar, la ima"en del vector base resulta ser
+ tenemos la matriz de transformación lineal final como,
ZQiblio"raf3a.
67ro"an$ Stanl#' I. ' Flor# 7odo'$ /o# /o(. Bl"ebra Lineal, !ptima
Edición, Tiudad de M1ico Mc2raG :ill,