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Estadstica
Licenciatura en Radiologa
INSTITUTO SUPERIOR DE TECNOLOGA MDICA
Unidad 3: Medidas de tendencia central y
variabilidad
Profesores: Javier Bussi, Fernanda Mndez
Parmetros y estadsticos
Parmetro: Es una cantidad numrica calculada sobre una
poblacin
La altura media de los individuos de un pas
La idea es resumir toda la informacin que hay en la poblacin en
unos pocos nmeros (parmetros).
Estadstico: dem (cambiar poblacin por muestra)
La altura media de los que estamos en este aula.
Somos una muestra (representativa?) de la poblacin.
Si un estadstico se usa para aproximar un parmetro tambin se le
suele llamar estimador.
Normalmente nos interesa conocer un parmetro, pero por la
dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la poblacin, calculamos
un estimador sobre una muestra y confiamos en que sean prximos. Ms
adelante veremos como elegir muestras para que el error sea
confiablemente pequeo.
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2
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3
Un brevsimo resumen sobre estadsticos
Posicin
Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la
misma cantidad de individuos.
Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,...
Centralizacin
Indican valores con respecto a los que los datos parecen
agruparse.
Media, mediana y moda
Dispersin
Indican la mayor o menor concentracin de los datos
con respecto a las medidas de centralizacin.
Desviacin tpica, coeficiente de variacin, rango, varianza
Forma
Asimetra
Apuntamiento o curtosis
Estadsticos de posicin
Se define el cuantil de orden a como un valor de la variable por
debajo
del cual se encuentra una frecuencia acumulada a.
Casos particulares son los percentiles, cuartiles, deciles,
quintiles,...
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Estadsticos de posicin
Percentil de orden k = cuantil de orden k/100
La mediana es el percentil 50
El percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las
observaciones. Por encima queda el 85%
Cuartiles: Dividen a la muestra en 4 grupos con
frecuencias similares.
Primer cuartil = Percentil 25 = Cuantil 0,25
Segundo cuartil = Percentil 50 = Cuantil 0,5 = mediana
Tercer cuartil = Percentil 75 = cuantil 0,75
Ejemplos
El 5% de los recin nacidos tiene un peso demasiado bajo. Qu peso
se considera demasiado bajo?
Percentil 5 o cuantil 0,05
Percentil 5 del peso
Peso al nacer (Kg) de 100 nios
fre
cu
en
cia
1 2 3 4 5
05
10
15
20
25
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5
Ejemplos
Qu peso es superado slo por el 25% de los individuos?
Percentil 75 o tercer cuartil
Percentil 75 del peso
Peso (Kg) de 100 deportistas
fre
cu
en
cia
50 55 60 65 70 75 80 85
05
10
15
20
25
30
Ejemplos
El nivel de colesterol se distribuye simtricamente en la
poblacin. Supongamos que se consideran patolgicos los valores
extremos. El 90% de los individuos son normales Entre qu valores se
encuentran los individuos normales?
Percentiles 5 y 95
Colesterol en 100 personas
fre
cu
en
cia
180 200 220 240 260
05
10
15
20
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6
Ejemplos
Entre qu valores se encuentran la mitad de los individuos ms
normales de una poblacin?
Entre el cuartil 1 y 3
Percentiles 25 y 75
Altura (cm) en 100 varones
fre
cu
en
cia
150 160 170 180 190
05
10
15
20
Diagramas de caja
Resumen con 5 nmeros: Mnimo, cuartiles y mximo.
Suelen dar una buena idea de la distribucin.
La zona central, caja, contiene al 50% central de las
observaciones. Su tamao se llama rango
intercuartlico (R.I.)
Es costumbre que los bigotes, no lleguen hasta los extremos,
sino hasta las observaciones que se separan de la caja en no ms de
1,5 R.I. Ms all de esa distancia se
consideran anmalas, y as se marcan.
Diagrama de cajas de Tukey: Resumen en 5 nmeros
Velocidad (Km/h) de 200 vehculos en ciudad
de
nsid
ad
40 45 50 55 60 65
0.0
00
.02
0.0
40
.06
0.0
8
40 45 50 55 60 65
Mn. P25 P50 P75 Mx.
Diagrama de cajas de Tukey: Resumen en 5 nmeros
Velocidad (Km/h) de 200 vehculos en autova
de
nsid
ad
80 90 100 110 120 130 140
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
4
80 90 100 110 120 130 140
Mn. P25 P50 P75 Mx.
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Ejemplo
Nmero de aos de escolarizacin
5 ,3 ,3
5 ,3 ,7
6 ,4 1,1
12 ,8 1,9
25 1,7 3,5
68 4,5 8,0
56 3,7 11,7
73 4,8 16,6
85 5,6 22,2
461 30,6 52,8
130 8,6 61,4
175 11,6 73,0
73 4,8 77,9
194 12,9 90,7
43 2,9 93,6
45 3,0 96,6
22 1,5 98,0
30 2,0 100,0
1508 100,0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Total
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
acumulado
Estadsticos
Nmero de aos de escolarizacin
1508
0
12,90
12,00
12
9,00
11,00
12,00
12,00
12,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,00
16,00
Vlidos
Perdidos
N
Media
Mediana
Moda
10
20
25
30
40
50
60
70
75
80
90
Percentiles
20%?
90%?
Estadsticos de centralizacin Aaden unos cuantos casos
particulares a las medidas de posicin. En este caso
son medidas que buscan posiciones (valores) con respecto a los
cuales los datos muestran tendencia a agruparse.
Media (mean) Es la media aritmtica (promedio) de los valores de
una variable. Suma de los valores dividido por el tamao
muestral.
Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5
Conveniente cuando los datos se concentran simtricamente con
respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos.
Centro de gravedad de los datos
Mediana (median) Es un valor que divide a las observaciones en
dos grupos con el mismo nmero de individuos (percentil 50). Si el
nmero de datos es par, se elige la media de los dos datos
centrales.
Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5
Mediana de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5,5
Es conveniente cuando los datos son asimtricos. No es sensible a
valores extremos. Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. La media es
117,7!
Moda (mode) Es el/los valor/es donde la distribucin de
frecuencia alcanza un mximo.
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Altura mediana
Variabilidad o dispersin
Los estudiantes de Bioestadstica reciben diferentes
calificaciones en la asignatura (variabilidad). A qu puede
deberse?
Diferencias individuales en el conocimiento de la materia.
Podra haber otras razones (fuentes de variabilidad)?
Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo
nivel de conocimiento. Las notas seran las mismas en todos?
Seguramente No.
Dormir poco el da del examen, el croissant estaba
envenenado...
Diferencias individuales en la habilidad para hacer un
examen.
El examen no es una medida perfecta del conocimiento.
Variabilidad por error de medida.
En alguna pregunta difcil, se duda entre varias opciones, y al
azar se elige la mala Variabilidad por azar, aleatoriedad.
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Miden el grado de dispersin (variabilidad) de los datos,
independientemente de su causa.
Amplitud o Rango (range): Diferencia entre observacines
extremas.
2,1,4,3,8,4. El rango es 8-1=7
Es muy sensible a los valores extremos.
Rango intercuartlico (interquartile range):
Es la distancia entre primer y tercer cuartil.
Rango intercuartlico = P75 - P25
Parecida al rango, pero eliminando las observaciones ms extremas
inferiores y superiores.
No es tan sensible a valores extremos.
150 160 170 180 190
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
150 160 170 180 190
25% 25% 25% 25%
Mn. P25 P50 P75 Mx.
Rango intercuartlico
Rango
Medidas de dispersin
Varianza S2 (Variance): Mide el promedio de las desviaciones (al
cuadrado) de las observaciones con respecto a la media.
Es sensible a valores extremos (alejados de la media).
Sus unidades son el cuadrado de las de la variable. De
interpretacin difcil para un principiante.
La expresin es fea, pero de gran belleza natural (fsicamente).
Contiene la informacin geomtrica relevante en muchas situaciones
donde la energa interna de un sistema depende de la posicin de sus
partculas.
Energa de rotacin (va el coeficiente de inercia): patinadores
con brazos extendidos
(dispersos) o recogidos (poco dispersos)
Energa elstica: Muelles estirados con respecto a su posicin de
equilibrio (dispersos) frente a muelles en posicin cercana a su
posicin de equilibrio (poco dispersos)
i
i xxn
S 22 )(1
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Desviacin tpica (standard deviation) Es la raz cuadrada de la
varianza
Tiene las misma dimensionalidad (unidades) que la variable.
Versin esttica de la varianza.
Cierta distribucin que veremos ms adelante (normal o gaussiana)
quedar completamente determinada por la media y la desviacin
tpica.
A una distancia de una desv. tpica de la
media hay ms de la ms de la mitad.
A una distancia de dos desv. tpica de la media las tendremos
casi todas.
2SS
Peso recin nacidos en partos gemelares
3.300
2.900
2.500
2.100
1.700
1.300900
500
50
40
30
20
10
0
Desv. tp. = 568,43
Media = 2023
N = 407,00
Dispersin en distribuciones normales
Centrado en la media y a una desv. tpica de distancia hay
aproximadamente el 68% de las observaciones.
A dos desviaciones tpicas tenemos el 95% (aprox.)
150 160 170 180 190
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
x s
68.5 %
150 160 170 180 190
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
x 2s
95 %
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Datos casi normales. Eje x medido en desviaciones tpicas
Encuentras relacin entre rango intercuartlico y desviacin
tpica?
Y entre los bigotes y dos desviaciones tpicas? Podras
caracterizar las observaciones anmalas?
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
densid
ad
-3 -2 -1 0 1 2 3
x s
66 %
x 2s
95 %
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
densid
ad
-3 -2 -1 0 1 2 3
x s
71 %
x 2s
94 %
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
densid
ad
-3 -2 -1 0 1 2 3
x s
68 %
x 2s
94 %
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
densid
ad
-3 -2 -1 0 1 2 3
x s
70 %
x 2s
94 %
Coeficiente de variacin
Es la razn entre la desviacin tpica y la media.
Mide la desviacin tpica en forma de qu tamao tiene con respecto
a la media
Tambin se la denomina variabilidad relativa.
Es frecuente mostrarla en porcentajes Si la media es 80 y la
desviacin tpica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad
relativa)
Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la
variabilidad de diferentes variables. Si el peso tiene CV=30% y la
altura tiene CV=10%, los individuos presentan ms
dispersin en peso que en altura.
No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o
donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente
Por ejemplo 0C 0F
Los ingenieros electrnicos hablan de la razn seal/ruido (su
inverso).
x
SCV
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Asimetra o Sesgo
Una distribucin es simtrica si la mitad izquierda de su
distribucin es la imagen especular de su mitad derecha.
En las distribuciones simtricas media y mediana coinciden. Si
slo hay una moda tambin coincide
La asimetra es positiva o negativa en funcin de a qu lado se
encuentra la cola de la distribucin.
La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos
(colas).
Las discrepancias entre las medidas de centralizacin son
indicacin de asimetra.
x
8 10 12 14 16 18 20
0.0
00.0
50.1
00.1
50.2
0
8 10 12 14 16 18 20
x s
78 %
x
-2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-2 -1 0 1 2 3
x s
66 %
x
0 2 4 6 8 10 12 14
0.0
00.0
50.1
00.1
50.2
0
0 2 4 6 8 10 12 14
x s
78 %
Estadsticos para detectar asimetra
Hay diferentes estadsticos que sirven para detectar
asimetra.
Basado en diferencia entre estadsticos de tendencia central.
Basado en la diferencia entre el 1 y 2 cuartiles y 2 y 3.
Basados en desviaciones con signo al cubo con respecto a la
media. Los calculados con ordenador. Es pesado de hacer a mano.
En funcin del signo del estadstico diremos que la asimetra es
positiva o negativa.
Distribucin simtrica asimetra nula.
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Apuntamiento o curtosis
En el curso sern de especial
inters las mesocrticas y
simtricas (parecidas a la normal).
La curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento)
de una
distribucin con respecto a la distribucin normal o gaussiana.
Es
adimensional.
Platicrtica (aplanada): curtosis < 0
Mesocrtica (como la normal): curtosis = 0
Leptocrtica (apuntada): curtosis > 0
Aplanada
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x s
57 %
Apuntada como la normal
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x s
68 %
Apuntada
-2 -1 0 1 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-2 -1 0 1 2
x s
82 %
Descripcin de los participantes de un estudio
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Descripcin de los participantes de un estudio
Qu hemos visto?
Parmetros
Estadsticos y estimadores
Clasificacin Posicin (cuantiles, percentiles,...)
Diagramas de cajas
Medidas de centralizacin: Media, mediana y moda Diferenciar sus
propiedades.
Medidas de dispersin con unidades: rango, rango intercuartlico,
varianza, desv.
tpica
sin unidades: coeficiente de variacin Qu usamos para comparar
dispersin de dos poblaciones?
Asimetra positiva
negativa Podemos observar asimetra sin mirar la grfica?
Cmo me gustan los datos?
Medidas de apuntamiento (curtosis) Cmo me gustan los datos?
