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8/16/2019 UNIDAD3corregido20-10.doc

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Modelado de Sistemas Unidad 3

UNIDAD III

MODELADO Y DINAMICA DE SISTEMAS FISICOS LINEALES

Objetivos particulares de la unidad

Modelación de sistemas físicos lineales, mediante la aplicación de leyes físicas, y

analizará la respuesta temporal de estos sistemas, como un modelo de validación del

modelo.

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Introduccin

MODELO MATEMATICO

Es obtener una ecuación matemática que sirva para definir el comportamiento físico de un

sistema considerado.

Los sistemas físicos a modelar son de naturaleza Eléctrica, Mecánica, Hidráulica,

eumática y !érmica.

"l aplicar las leyes que ri#en el comportamiento de los sistemas físicos, se obtienen

modelos de ecuaciones cuya forma matemática puede ser diversa. $ependiendo de esta

forma, los sistemas se pueden clasificar en dos #randes #rupos%

&istemas lineales.

&istemas no lineales.

Los sistemas lineales son los que se representan mediante modelos matemáticos que se

ri#en ba'o el (rincipio de &uperposición, el cual establece que las salidas producidas por

un &istema que )a sido e*citado por +arias entradas &imultáneamente son i#uales a la

&uma de la &alida que produce el &istema cuando se aplican las Entradas en formaindividual.

Se pueden distin!uir dos tipos de Siste"as Lineales#

nvariantes en el tiempo

+ariables en el tiempo.

Los &istemas Lineales nvariantes en el tiempo están representados por Ecuaciones

$iferenciales -rdinarias con oeficientes constantes, por e'emplo%

t sen ydt

dy

dt

yd 4104

2

2

=++

)()(12162

2

3

3

4

4

t f t g z dt

dz

dt

z d

dt

z d

dt

z d +=++++

Los &istemas Lineales +ariantes en el !iempo, están representados por Ecuaciones

$iferenciales -rdinarias cuyos coeficientes son funciones del tiempo, por e'emplo%

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03 =+ xt dt

dxt

)(cos4

4

t r adt

d t k

dt

d =++ α

α ω

α

Los sistemas no Lineales son todos los demás/ re#idos por Ecuaciones no Lineales, por

e'emplo% Ecuaciones $iferenciales con coeficientes función de la variable dependiente,

Ecuaciones $iferenciales (arciales o cualquier otro tipo de Ecuaciones 0uncionales, esto

es%

015)1( 2 =+− xdt

dx x

0=−+u

x

u

x

t

x

δ

δ

δ

δ

δ

δ

02

2

=+ θ θ

ksendt

d

$%&% Modelado de Siste"as El'ctricos%

&on esencialmente redes y circuitos eléctricos en los cuales se encuentran dos tipos de

elementos% pasivos y activos.

Los primeros acumulan ener#ía que en un momento dado puede ser devuelta a la red, en

tanto que los activos proporcionar ener#ía e*terna al sistema.

E'emplos de los primeros son las resistencias, inductancias e capacitancías y de los

se#undos las fuentes de tensión y de corrientes.

En la si#uiente tabla se pueden observar estos elementos, con sus relaciones tensión1

corriente.

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Siste"as El'ctricos

SIM(OLO

Y

UNIDAD

)*INCI)IOS Y LEYES F+SICAS

FUNDAMENTALES )A*A

)LANTEA* LAS ECUACIONES DEE,UILI(*IO

-A*IA(LES

DE INTE*ES

-OLTA.ELEY DE CO**IENTES DE

/IC00OFF

LEY DE -OLTA.E DE /I*C00OFFCO**IENTE

ELEMENTOS

(1SICOS

*ESISTENCIA

CA)ACITANCIA

INDUCTANCIA

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ECUACIONES DE E,UILI(*IO

Estas ecuaciones se plantean con base en las leyes de 2irc))off. Estas leyes relacionan

las variables de interés, en este caso, corriente y volta'e entre los diversos elementos que

inte#ran el sistema.

∑∑ = salientes I tesentran I ∑∑ = tensiondeCaidasSubidas

42531 I I I I I +=++ dt

di L RiV V B A +=−

042531 =−−++ I I I I I 0=−−−dt

di L RiV V B A

Metodolo!2a para la obtencin de "odelos "ate"3ticos de siste"as 42sicos%

&e propone un procedimiento sistemático que consta de cuatro etapas%

.1 &elección de las variables que intervendrán en el modelo matemático.

.1 Leyes de elementos o ecuaciones de los elementos.

.1 Leyes de con'unto o ecuaciones de equilibrio.

+.1 -btención del modelo matemático.

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$%&%&% *epresentacin en ecuacin di4erencial5 trans4or"ada de Laplace5 dia!ra"a a

blo6ues5 variables de estado%

E3EM(L- $E &&!EM"& ELE!4-&

-btener el modelo matemático del sistema eléctrico formado por una resistencia, una

inductancia y una capacitancia, alimentadas por una fuente de volta'e como se muestra

en la 0i#ura 5.6.6.

Fi!ura $%&%&

&%7 &elección de las variables%

a7 En función del volta'e en el capacitor 8+c7

b7 En función de la corriente en la inductancia 8L 7

8%7 Leyes de elemento%

)3(

)2(

)1(

dt

dV C I

dt

dI LV

RI V

C C

L L

L R

=

=

=

$%7 Leyes de con'unto%

Aplicando LC/#

I R = LC = I L 897

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Aplicando L-/#

V R + V L + V C = V(t) 8:7

9%7-btención de modelos%

a7 En función de +c%

$e las ecuaciones 867, 8;7 y 897%

)6(dt

dV RC V C

R =

$e las ecuaciones 8;7, 857 y 897%

)6(dt

dV RC V C

R =

)7(2

2

dt

V d LC V C L =

&ustituyendo en la ecuación 8:7 los valores de las ecuaciones 87

dt dt 2

Ordenando : nor"ali;ando la ecuacin#

d 2 vc + R dvc + 1 Vc = 1 V(t) 8>7

dt 2 L dt 2 Lc Lc

b< En 4uncin de IL

De las ecuaciones =&< : =9


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De las ecuaciones =$< : =9


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( )2

2

1 1 L L

C L

dv t d I dI V R I

dt dt LC L dt + + = 8657

M'todo de trans4or"ada de Laplace#

onsidere un sistema de primer orden, representado mediante la ecuación diferencial%

-btener la solución #eneral%

a7 (or el método de transformada de Laplace.

b7 (or el método de coeficiente indeterminados 8solución )omo#énea y la solución

particular7.

&olución%

ormalizando con respecto a la derivada de mayor orden se tiene%

El método de solución mediante la transformada de Laplace resulta ser más simple y

rápido que el de otro método de solución de la ecuación diferencial que representa un

sistema.

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6 dy A ;y B cost, siendo y 8@7B6; dt

Estado inicial de lavariable en eltiempo cero.

dy+ 4y = 2 cost . 867

dt


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"plicando la transformada de Laplace a cada uno de los términos de la ecuación 867, se

obtiene%

&ustituyendo estas transformadas en la ecuación 867, se tiene%

En donde y(0) B 6/ es el estado inicial de la ecuación diferencial.

"#rupando y factorizando los términos comunes en y8s7 se obtiene%

y(s) [s+ 4] = 2s + 1

s2

+1

En donde y(s) es i#ual%

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L dy = S y(s) – y(0) dt

L {4y} = 4y(s)

L {2cost} = 2s s2 +1

2sS y(s) – 1 + 4y(s) =

S2 +1


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s2 +2 s +1

y(s) =

(s + 4)(s2 +1)

(ara encontrar la solución #eneral “y(t)” es necesario obtener la transformada inversa de

Laplace de y8s7, esto es%

X( t )=L-1 {y(s)}

o es posible obtener la transformada de Laplace de y8s7 directamente, por lo que esnecesario )acer una e*pansión en fracciones parciales, para y8s7, esto es%

s2+2s+1 !s + C 8;7

y(s) = = +

(s+ 4)(s2 +1) s+ 4 s2 +1

(ara obtener los valores de ", C y se puede aplicar los métodos%

67 "l#ebraico 8sustitución o eliminación7

;7 Matrices

57 4esiduos

(or cualquiera de estos métodos, los valores de ", C, y son%

" # 2

= C = C =

1$ 1$ 1$

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&ustituyendo los valores de ", C, y en la ecuación 8;7%

s2+2 s + 1 "%1$ (#%1$)s + 2%1$

y(s) = = +

(s+ 4)(s2 +1) s + 4 s2 +1

4eordenando la ecuación anterior, es posible obtener la solución #eneral del sistema,

aplicando la transformada de inversa de Laplace, esto es%

y( t ) = L-1 "%1$ + L-1 #%1$s L-1 2%1$

S+4 s2 +1 s2 +1

" &-4t + # cost + 2 s&'t (II)

y( t ) =

6= 6= 6=

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La representación #ráfica se muestra a continuación%

D8t7

;

6

t

1;

8E!4"$"7 8&"L$"7

Utilización de diagramas de bloques:

Co'sd&*& el c*cto &,ct*co .& s& /&st* &' , *.5.;, s& 3&d& d&t&*/'* ''c' d& t*'s&*&'c 3* I(s)% V(s) 5V R (s) % V(s)5 o Vc (s)% V (s)

0i#ura 5.; En modelo elFctrico.

6(t)

v(t) L

R

C

(t)

$eterminar la función de transferencia I(s) % V(s)7

Solucin% El modelo de ecuación diferencial es

6 (t)v(t) L R C

(t) (t)d

dt (t) dt

1v (0)c

t

0

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&istema


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y la transformada de este modelo es

6I(t)V(s) sLI L (0) I(s)(s) RI(s)c

s

La función de transferencia del sistema es entonces%

( R - 6 )V(s)s8

L

I(s)

s1

Ls

El modelo función de transferencia es un modelo al#ebraico y un dia#rama de bloques es

una representación #ráfica de relaciones al#ebraicas. $os vistas diferentes de laoperación del circuito RLC del E'emplo 5.9, se representan utilizando dos dia#ramas de

bloques tal como se muestran en la 0i#ura 5.:. El primer modelo se su#iere utilizando la

Ecuación 5.5@ 8con condiciones iniciales i#ual a cero7 y el se#undo modelo es una

representación de la Ecuación 5.56.

"unque la formación de los dos dia#rama su#iere conceptos diferentes, los dos modelos

son por supuesto representaciones equivalentes del modelo al#ebraico.

( R - 6 )s8

1

LC Ls

1

Ls

9* :7: ) ;' d*/ d&


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información en un dia#rama de bloques que puede proporcionar un conocimiento rápido

de las características operacionales. La interacción de polos, ceros y factores de #anancia

de los diferentes subsistemas se pueden evaluar y las características de comportamiento

del sistema #lobal se pueden estudiar con respecto a la contribución de los diversos

componentes del sistema.

Modelos de estado#

Introduccin%7 n modelo de estado es un modelo de ecuación diferencial que se

e*presa en un formato especial que ofrece un método unificado para el estudio de

sistemas de control. El modelo de estado es particularmente venta'oso cuando se aplica a

simulación y el modelo de estado lineal proporciona fundamento matemático para un

importante con'unto de técnicas de análisis y diseGos. &i un sistema es lineal, el sistema

de estado se puede e*presar utilizando una ecuación matriarcal que mantiene el mismoformato sin tomar en consideración el orden del sistema.

na característica particularmente importante y til de los modelos de estado es la

facilidad relativa con la que la descripción del sistema se convierte a un modelo

equivalente en tiempo discreto cuando se requiere en cálculos di#itales. "demás de

proporcionar una interacción eficaz con las técnicas di#itales, la utilización de este modelo

permite la consideración simultanea de entradas mltiples, salidas mltiples y condiciones

iniciales no nulas.

La selección de variables de estado.- Ls n v*'co d& v*


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tensión en un condensador, etc. Los valores iniciales de las variables de estado son

entonces las condiciones iniciales tal como se definen normalmente. omo el valor de un

con'unto de variables de estado que e*iste en un instante particular de tiempo se

describen como el &stdo del sistema, el con'unto de valores iniciales se conoce como el

&stdo 'c, del sistema.

Ejemplo de un modelo matricial vectorial:

onsidere el circuito RLC en serie tal como se muestra en la 0i#ura 5.9 &eleccionando las

variables que están relacionadas directamente al almacenamiento de ener#ía, las dos

variables de estado deseadas son (t) y v c (t). El si#uiente paso es obtener dos ecuaciones

de primer orden que contienen la primera derivada de las variables de estado

seleccionadas. La ecuación de malla está cuidadosamente limitada a una relación de

primer orden%

0i#ura 5.9 En circuito RLC serie.

v (t)

L

R

(t)

C v (t)c

v (t) L R (t)(t) v (t)c

omo la ecuación anterior no incluye la relación entre la tensión y la corriente en el

condensador, se requiere también de otra ecuación diferencial de primer orden. uya

e*presión es la si#uiente ecuación diferenciales%

(t) C v (t)c

4ea#rupando las ecuaciones y despe'ando las respectivas derivadas se obtiene%

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(t) (t) v (t)c v (t)c

(t)7v (t)c

E*presando las relaciones combinadas de las Ecuaciones anteriores utilizando notación

matricial%

-R%L

1%C

-1%L

0 v c

v c

1%L

0 v c

El desarrollo del modelo se puede e*tender rápidamente a un sistema de orden '.

&uponiendo que D 1(t) D 2 (t)5 777 D '(t) son variables de estado y 1(t)5 2 (t)5 777 /(t) son

entradas, un sistema lineal de orden ' con coeficientes constantes se puede describir

como ' ecuaciones de primer orden tal que%

D 6 D ;

D n

66 D 6 6; D ; 6n D n


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que se puede describir simplemente como

* B "* A Cu

on la adición de una ecuación de salida, el modelo de estado completo es

* B "* A Cu

y B * A

$onde y es el vector de salida. El nmero de filas que presentan C y D se determina por

el nmero de variables de salida deseadas. &i se consideran v L8t7 y v 48t7 como variables

de salida, la ecuación de salida para el circuito RLC del e'emplo es%

-R

R

-1

0 v R

v c

1

0 v

v L

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$%&%8% Solucin del "odelo "ediante "'todo nu"'rico5 usando entradas de prueba

t2picas%

*espuesta de siste"as de pri"er orden%

En !eneral la respuesta de un siste"a depende de sus caracter2sticas propias5 su

estado inicial : la ecitacin eterna o entrada aplicada a este5 en 4or"a

es6ue"3tica esta es#

Sst&/(t) y(t)

y(0)

$onde%

u8t7% Es la e*citación e*terna o entrada aplicada al sistema.

y8@7% Es el estado inicial del sistema en el tiempo inicial t B@

y8t7% Es la salida producida por el sistema.

Los tipos de respuesta con base en las condiciones mencionadas son%

- !otal.

- (ermanente.

- !ransitoria.

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ada una de las respuestas están en función de los parámetros propios del sistema y de

las condiciones a las que ésta sometido 8estado inicial y entrada7.

Respuesta total

Es a6uella producida por el siste"a cuando la entrada o ecitacin eterna aplicada

: su entrada inicial son distintas de cero5 esto es#

Sst&/(t)=0 y(t) EFEL

y(0)=0

(or lo tanto, la respuesta total del sistema depende de la entrada aplicada y de su estado

inicial.

(or otra parte, la respuesta total del sistema se obtiene resolviendo la ecuación

diferencial.

*espuesta per"anente%Este tipo de respuesta5 deno"inada ta"bi'n respuesta en estado estableB es la 6ue

produce el siste"a despu's de 6ue a transcurrido un cierto tie"po =!eneral"ente

!rande


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Es a6uella 6ue produce el siste"a antes de alcan;ar su estado estable% Se conoce

6ue la respuesta total es la su"a al!ebraica de la per"anente : la transitoria5 esto

es#

D8t7!-!"LB D8t7!4" A D8t7(E4M

Entonces, de la e*presión anterior se tiene que la respuesta transitoria esta dada por%

D8t7!4" B D8t7!-! 1 D8t7(E4

En este caso también se tiene que la repuesta transitoria depende de la e*citación

e*terna aplicada y el estado inicial del sistema.

*espuesta escaln%

En !eneral la respuesta escaln de un siste"a se puede obtener si se satis4acen las

si!uientes condiciones#

- El estado inicial del sistema es nulo.

- La entrada o e*citación e*terna aplicada al sistema es una fusión escalón u8t7.

Sst&/ d& 3*/&* o*d&'

y(0)=0

0 t

(t)=GH(t)

0 t

y(t)

6

La respuesta escalón tiene aplicaciones en el análisis y diseGo de sistemas dinámicos.

E.EM)LO%7 onsidérese un sistema eléctrico formado por dos resistencias, una

capacitancia y una fuente de corriente como se muestra en la fi#ura. Encuentre la

respuesta escalón.

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(t)

R

C

R 1

2

&-LI%

La ecuación si#uiente representa el modelo matemático del sistema es%

dvc A 6 +c B 46 i8t7

dt c846 A4;7 c846 A4;7

La respuesta total del sistema cuando es e*citado con la seGal escalón es%

+c8t7B146 e16J c846A4;7 t A 46

&ustituyendo los valores 46, 4; y en la ecuación anterior, se tiene%

+c8t7B6@@861e1@.@6t7 t K@

Esta ltima es la respuesta escalón del sistema.

&iendo esta ltima la respuesta escalón del sistema y se puede representar #ráficamente

como se muestra a continuación%

Vc (t)

100

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R 1=100ΩR 2=560K Ω= 180!"

i(t)=!(t)


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Constante de tie"po. n concepto que se puede obtener a partir de la respuesta

escalón, es la constante de tiempo del sistema. Esta se define como el tiempo necesario

para que la respuesta escalón de un sistema de primer orden adquiera el


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"plicando los lo#aritmos naturales en ambos miembros de la ecuación%

Ln 8e1mt7 B Ln [email protected]

$onde se obtiene%

1mtB 16

(or lo tanto, el tiempo requerido para que la respuesta escalón alcance el @NΩ / B:@@@u0

b7 46B9=@Ω / 4;B6mΩ / B9=@u0

c7 4;B;;@Ω / 46B6@@NΩ % B;;@u0

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1


&í mB c846A 4;7

!B c846A 4;7

&ustituyendo los valores de 46, 4; y en la ecuación anterior, se tiene%

a7 tB9?;5.:s

b7 tB9=@ s

c7 tB;;: s

CONCLUSIN.1 " través de este e'emplo se puede observar que es posible modificar la

rapidez con la cual un sistema responde dependiendo de los parámetros propios del

sistema. Es decir, el valor que tienen los elementos que lo inte#ran.

Respuesta impulso.

La función impulso unitaria llamada también O$elta de $iracP, es muy til porque muestra

como responde el sistema a seGales muy rápida/ y en #eneral, la respuesta impulso de un

sistema se puede obtener si se satisfacen las si#uientes condiciones%

El estado inicial del sistema es nulo.

La e*citación e*terna o entrada aplicada al sistema es la función impulso unitaria f8t7.

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Este resultado se puede interpretar

de la si!uiente "anera# El valor del

capacitor alcan;a el $%8 de su

valor 4inal en una ora con 88

"inutos% Inciso =a


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Sst&/ d&

3*/&* o*d&'

y(0)=0

0 t 0 t

y(t)=(t)

8t7 y(t)

8t7

S (t) =

>E=0

t=0 0

> >

(ara obtener la respuesta del sistema cuando la e*citación es &8t7, se resuelve la

ecuación diferencial que representa al sistema.

E3EM(L-%

-btener la respuesta del si#uiente sistema, formado por dos resistencias, una inductancia

y una fuente de corriente, interconectadas como se muestra en la fi#ura si#uiente%.

(t)R

L

R 12

Empleando como variable la corriente que fluye a través de la inductancia, el modelo

matemático que representa al sistema es%

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i=t


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o también%

"plicando la transforma de Laplace a ambos miembros de la ecuación, se tiene la

respuesta impulso del sistema%

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diL A 46 A 4; iLB 46 S(t)dt L L


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Q4R0"ME!E%

0 t

1

8t7

*espuesta de siste"as de se!undo orden#

En !eneral5 un siste"a de se!undo orden se puede representar "ate"3tica"ente

por ecuaciones di4erenciales ordinarias de se!undo !rado de la 4or"a#

( )t g C xbdt

dxb

dt

xd 0012

2

=++

Debido a 6ue la ecuacin caracter2stica de una ecuacin di4erencial de se!undo

orden es una ecuacin cuadr3tica de la 4or"a#

0012 =++ xbmbm

Eisten dos valores de " 6ue la satis4acen5 esto es5 la ecuacin tiene dos ra2ces :

est3n dadas por#

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S(t)Be1;6t t≥o

t02ms4ms8ms12ms

16ms

4 012

1 bb −+=

4 012

1 bb −−=


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)uesto 6ue son dos valores de " 6ue satis4acen a la ecuacin caracter2stica5

eisten cuatro posibles casos para las ra2ces5 estos son#

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6. 4aíces 4eales $iferentes ( obb 42

1 >

;. 4aíces 4eales #uales ( obb 4

2

1 =

5. 4aíces omple'as ( obb 4

2

1 <

9. 4aíces ima#inarias ( )01 =b

Es decir5 un siste"a de se!undo orden puede tener cuatro tipos de co"porta"iento

dependiendo del tipo de sus 4recuencias naturales =*a2ces de la ecuacin

caracter2stica


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#d W &e denomina frecuencia natural amorti#uada

#nW &e denomina frecuencia natural no amorti#uada

ξ % Es el factor de amorti#uamiento relativo del sistema

"l sustituir estos parámetros en la ecuación diferencial tenemos%

02 2

2

2

=++ xW dt

dxW

dt

xd nnξ

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A partir de esta representacin "ate"3tica se obtiene la ecuacin caracter2stica : a

su ve; las ra2ces del siste"a#

02 22

=++nn

W mW m ξ

)ara esta ecuacin las *a2ces son#

τ

ξ

τ

ξ 12

2$1

−±−=m

Qenerando cuatro casos de respuesta, donde cada una depende del valor de ξ . En la

tabla si#uiente se representan estas posibilidades.

4espuesta de los sistemas de se#undo orden

+alor de ξ 4aíces $escripción

ξ S 6 omple'as

&ubamorti#uado

ξ B 6 4eales repetidas

ríticamente

amorti#uado

ξ T 6 4eales $iferentes

&obreamorti#uado

ξ B @ ma#inarias

o amorti#uado

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La respuesta del sistema para un comportamiento subamorti#uado ( )1ξ , está dada

por la ecuación%

( )t mt m

t ek ek x 21

21

−− +=

La respuesta del sistema para un comportamiento no amorti#uado ( )0=ξ , está dada por

la ecuación%

( ) t senk t k x t β β 21 cos +=

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!(-& $E 4E&(E&!"& $E &&!EM"& $E &EQ$- -4$E.

En !eneral para siste"as din3"icos del se!undo orden se pueden reali;ar diversos

an3lisis para conocer su co"porta"iento : tipo de respuesta% En 4or"a si"ilar 6ue

para los siste"as de pri"er orden se pueden obtener sus tipos de respuesta en

4uncin de su estado inicial : la ecitacin eterna aplicada a 'stos%

A partir de estas condiciones se pueden obtener las respuestas#

Total

)er"anente

Transitoria

*espuesta Escaln

*espuesta I"pulso%

4espuesta Escalón.

A partir de esta respuesta se pueden conocer las caracter2sticas "3s

representativas de un siste"a de se!undo orden%

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)ara obtener la respuesta escaln5 es necesario 6ue el estado inicial del siste"a

sea nulo : 6ue la ecitacin eterna aplicada sea la 4uncin escaln unitario%

En !eneral la respuesta escaln de un siste"a de se!undo orden5 varia de acuerdocon el 4actor de a"orti!ua"iento relativo5 por lo tanto es posible acer !r34icas

nor"ali;adas para di4erentes valores de este 4actor5 co"o se "uestran en la

si!uiente 4i!ura si!uiente#

Fi!ura $%@% E3o d& *&s3&sts d& ' sst&/ d& S&'do o*d&'7

C(t)

t

U=270

U=0

@.6

@.;

@.9

@.<

@.>

6.@

("4RME!4- $E $&EV-.

En el estudio : an3lisis de un siste"a de se!undo orden5 a partir de su respuesta

escaln5 se pueden deter"inar al!unas caracter2sticas deno"inadas par3"etros de

diseHo% Estos son utili;ados en el diseHo de siste"as din3"icos de se!undo orden5

:a 6ue re4lejan directa"ente la rapide; con la 6ue el siste"a responde%

35 de 104


36/104


Los par3"etros de diseHo son#

a) !iempo de retardo% Es el tie"po 6ue tarda la respuesta en alcan;ar por

pri"era ve; la "itad del valor 4inal : se representa por d t %

b7 !iempo de crecimiento%

Es el tie"po re6uerido para 6ue la respuesta cre;ca del &? al >?5 del @ al

>@ o del ? al &?? de su valor 4inal : se representa por r t % )ara siste"as

de se!undo orden suba"orti!uados nor"al"ente se utili;a el tie"po de

creci"iento de ?7&??% )ara siste"as sobrea"orti!uados se acostu"bra

usar el tie"po de creci"iento de &?7>?%

c7 &obrepaso o má*imo sobreimpulso 8por ciento7%

Es el valor pico "3i"o de la curva de respuesta "edido desde la unidad :

se representa "ediante p M %

d7 !iempo de sobrepaso o tiempo pico%

Es el tie"po re6uerido por la respuesta para alcan;ar el pri"er pico del

sobrei"pulso : se representa por pt %

!iempo de asentamiento o tiempo de establecimiento%Es el tie"po re6uerido por la curva de respuesta para alcan;ar : "antenerse

dentro de deter"inado ran!o alrededor del valor 4inal de di"ensin

especi4icada en porcentaje absoluto del valor 4inal =abitual"ente @ o 8


37/104


)ar3"etros de la curva de respuesta en siste"as suba"orti!uados =ξ &


38/104


uando%

1−= A 21 ξ

ξ

−

−= B 21 ξ β −= n

nξ α −=

&ustituyendo estos valores en ( )t x , la respuesta escalón de un sistema subamorti#uado

es%

( )

−−+−−=

−

t sent e x nnt

t

n 2

2

2

111cos1 ξ ξ

ξ

ξ ξ

0≥t

Qráficamente%

C

ts

to,&*'cd/s


39/104


En este caso es posible deducir epresiones !enerales para deter"inar los

par3"etros de diseHo5 estableci'ndose las si!uientes ecuaciones#

álculo del tiempo de sobrepaso% 21 ξ

π

−

=n

p

t

álculo del sobrepaso%π

ξ

ξ

21−

−

= e M p

álculo del tiempo de crecimiento% 21 ξ

θ π

−

−=

n

r

t siendo% ξ θ 1cos−=

álculo del tiempo de asentamiento%n

s

t ξ

3=

0inalmente para determinar el tiempo de retardo r t , es difícil el obtener una e*presión

#eneral, por lo tanto, este tiempo se determina al resolver la si#uiente ecuación en forma

numérica%

−

−+−−= − r nr n

t t sent e r n

2

2

21

11cos5%00 ξ

ξ

ξ ξ

ξ

Eje"plo del c3lculo de los par3"etros de la curva de un siste"a usando "'todo

nu"'rico a una entrada escaln unitaria#

onsiderar un sistema de se#undo orden, en el que el factor de amorti#uamiento relativo

&s

2

2=ξ

39 de 104


40/104


y la velocidad an#ular no amorti#uada del sistema es%

Wn B ;

$eterminar los si#uientes parámetros%

a7 a7 tiempo de retardo, td.

b7 b7 tiempo de sobrepaso, tp.

c7 sobrepaso, Mp.

d7 tiempo de levantamiento, tr.

e7 tiempo de asentamiento ts.

&olución%La ecuación diferencial para obtener la respuesta escalón del sistema es%

)(448 12

2

t u xdt

dx

dt

xd −=++ X 867

por lo tanto, de la ecuación 8+7 y de las e*presiones 8+7, la respuesta escalón del sistema

está dada por%

02

22

2cos1)( 2 ≥

+−= − t t sent t et x X 8;7

a< C3lculo del tie"po de retardo%

&ustituyendo los valores de Y, y Zn en la ecuación 87, se tiene que la ecuación a

resolver para calcular tr es%

02

22

2cos5%0 2 =

+− − tr sent tr e ... 857

en este caso%

+−= − t sent tr et !

2

2

2

2cos5%0)( 2 X 897

40 de 104


41/104


y su derivada con respecto al tiempo es%

t tsenet !

2

2

2

4)( 2& −= ... 8:7

La e*presión #eneral para el "'todo de NeJton 7 *apson es%

$%%%$3$2$1$0')(

)(&1 =−=

− n

tn !

t ! tnt η

η 8


42/104


( )

716%04

2

)716%0(2

2tan4

2

)716%0(2

28

2716%03

)716%0(2

=+

+

−= sen

et

debido a que los valores de t; y t5 son i#uales, éstos satisfacen a la ecuación 857, por lotanto el tiempo de retardo es%

S tr 716%0=

b< C3lculo del tie"po de sobrepaso%

&ustituyendo los valores de Y y Zn en la ecuación 8+7, se tiene que el tiempo de

sobrepaso es%

c< C3lculo del sobrepaso%

&ustituyendo el valor de Y en la ecuación 8+7 se tiene que el sobrepasoes%

0432%0

2

221

22

==

−

−

e Mp

o simplemente el sobrepaso en porciento es%

32%4 = Mp

d< C3lculo del tie"po de levanta"iento%

&ustituyendo los valores de Y y Zn en la ecuación 87, se tiene que el tiempo de

levantamiento es%

42 de 104

tp 22%2

2

212

2=

−

= π


43/104


rad rad 4

7854%0cos 1 π

ξ θ === −

S t 66%1

2

212

42 =

−

−

=

π π

e< C3lculo del tie"po de asenta"iento%

&ustituyendo los valores de Y y Znen la ecuación 87, se tiene que el tiempo de

asentamiento es%

( )

S ta 12%2

22

2

3 =

=

43 de 104


44/104


$%8% SISTEMAS MECANICOS

E*isten dos tipos%

Los traslacionales y Los rotacionales

&istemas mecánicos traslacionales.1 Es el movimiento que se realiza a lo lar#o de una

línea recta

En la si#uiente tabla se pueden observar los elementos básicos y las variables de interés,

con sus respectivas relaciones fuerza1desplazamiento de este tipo de movimiento.

44 de 104


45/104


SI!"L"

Y

;?IMM

)*INCI)IOS Y LEYESFISICAS FUNDAMENTALES

)A*A )LANTEA* LAS

ECUACIONES DE

E,UILI(*IO

-A*IA(LES

DE

INTE*ES

FUE*KA

TE*CE*A LEY DE NETON

)*INCI)IO DE DALEM(E*T

DES)LAKAMIENTO

-ELOCIDAD

ACELE*ACIN

ELEMENTOS

(ASICOS

AMO*TIUADO*ES

T*ASLACIONAL D

!? s/

0

MASA O LA

T*ASLAIONAL

*ESO*TE

T*ASLACIONAL

45 de 104

SISTEMAS MECÁNICOS TRASLACIONALES


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Siste"as "ec3nicos rotacionales Es el movimiento que se realiza en forma circular

tomando como referencia en punto fi'o

" continuación se muestra en la si#uiente tabla los elementos básicos y las variables de

interés, con sus respectivas relaciones par1desplazamiento an#ular de este tipo de

movimiento.

46 de 104


47/104


SIM(OLO Y

UNIDAD

)*INCI)IOS Y LEYES

FISICAS

FUNDAMENTALES

)A*A )LANTEA* LAS

ECUACIONES DE

E,UILI(*IO

-A*IA(LES

DE

INTE*ES

)A*

TE*CE*A LEY DE

NETON )*INCI)IO DE

DALEM(E*T

DES)LAKAMIENTO

ANULA*

-ELOCIDAD

ANULA*

ACELE*ACIN

ANULA*

ELEMENTOS

(1SICOS

AMO*TIUADO*

*OTACIONAL

INE*CIA

*ESO*TE*OTACIONAL

47 de 104

SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALES


48/104


ECUACIONES DE E,UILI(*IO

Estas ecuaciones se plantean con base en la tercera ley de movimiento de eZton y en el

principio de $["lembert

La tercera ley de eZton establece que%

" toda acción siempre e*iste una reacción i#ual y de sentido contrario.

El principio de $["lembert establece que%

Las fuerzas aplicadas a un elemento, 'unto con las fuerzas de inercia forman un sistema

en equilibrio.

M

C

N

9(t)

3C

N

E(t) \(t)

\

\

a) &istema mecánico b7 &istema mecánico

traslacional. rotacional.

El dia#rama de cuerpo libre para el inciso 8a7, queda establecido por la tercera ley de

neZton, que dice% el amorti#uador 8C7 y el resorte 8N7 e'ercen una fuerza sobre la masa

8M7 y esta a su vez e'erce una fuerza sobre ambos elementos.

f C

N

(t)

M

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49/104


"plicando el principio de $["lembert se tiene%

4 i G ?

Esto es%

1f M 1 f C 1 f N A f 8t7 B @ Ec. $e equilibrio de sistema.

El dia#rama de cuerpo libre para el inciso 8b7, queda establecido de acuerdo a la tercera

ley de neZton, que dice% el resorte y el amorti#uador e'ercen un par sobre la inercia y esta

a su vez e'erce un par sobre estos dos elementos.

E(t)

!N!3

C \!

"plicando el principio de $["lembert se tiene%

Σ!i B @

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Esto es%

1!3 1 !C0 1 !N0 A !8t7 B @Ec. $e equilibrio del sistema.

$%8%&% *epresentacin en ecuacin di4erencial5 trans4or"ada de Laplace5 dia!ra"a a


Eje"plo de un siste"a "ec3nico#

Obtener un "odelo "ate"3tico 6ue represente el co"porta"iento del siste"a"ec3nico de la 4i!ura5 4or"ado por dos resortes5 un a"orti!uador5 dos "asas : una

4uer;a eterna 4=t


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9 61=6 1 X 1 867

9 !2 = !1 dD 1 8;7

dt

9 62 =6 2 X 62 % El desplazamiento al que está sometido el resorte 2; es una

diferencia de desplazamiento, esto es, el resorte 2; esta conectado a la

masa m6 y a la masa m; y debido a que las masas tienen diferente

desplazamiento, la fuerza del resorte 2; depende de 2;, ; y 6.

onsiderando que ; T 6, la fuerza del resorte dos está dada por laecuación%

9 G2 =G 2 (X 2 - X 1 ) 857

9 H1=H 1 d 2 D 1 897

dt 2

9 H2 =H 2 d 2 D 2 8:7

dt 2

5. Leyes de con'unto.1 $ibu'ando los dia#ramas de cuerpo libre respectivamente se

tiene%

$..L. M6 %

f C6 9(t)9

m6

C;9

N69 N;9

N;9 N;9

51 de 104


52/104


"sí la primera ecuación de equilibrio es%

- 9 61 - 9 !1 - 9 H1 + 9 62 = 0 8


53/104


-6 1 X 1 - !1 dX 1 - H 1 d 2 X 1 + G 2 (X 2 -X 1 ) = 0 8>7

dt dt 2

o bien%

H 1 d 2 D 1 + !1 dX 1 +(6 1+6 2 ) X 1 = 6 2 X 2 8?7

dt 2 dt

&ustituyendo las ecuaciones 857 y 8:7 en la 8=7%

-6 2 (X 2 -X 1 ) - H 2 d 2 X 2 + (t) = 0 86@7

dt 2

o bien%

H 2 d 2

D 2 + -6 2 X 2 -6 2 X 1 = (t) 8667 dt 2

a7 En función del desplazamiento 6.

$e la ecuación 8?7%

2

1 1 1 1 1 2 12 2

2 2 2

M d " B d" # # # "

# dt # dt #

= + +

86;7

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54/104


&ustituyendo la ecuación 86;7 en la 8667, y a#rupando los términos se tiene%

( )4 3

1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 11 14 3

2 2 2

( ) M M d " M B d " M # M # # d" # " f x

# dt # dt # dt

+ ++ + + =

Esta ecuación es el modelo matematico en función de *6, normalizando%

( )4 3

1 1 1 2 2 1 1 21 14 3

2 1 2 1 2

( )d " B d " # # # d" # # " f x

dt M dt M M dt M M

+ ++ + + =

54 de 104


55/104


b7 En función del desplazamiento *; de la ec. 8667%

X 1 = H 2 d 2 X 2 + X 2 - 1 (t) 8697 6 2 dt 2 6 2

&ustituyendo la ec. 8697 en la 8?7 y a#rupando los términos se tiene%

( )4 3 2

1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 14 3 22 2 2 2 2 2

( ) M M d " M B d " M # M # # d" M d " B # # # " f t

# dt # dt # dt # dt # #

+ + ++ + + = + +

Esta ecuación es el modelo matemático en función de *;.

ormalizando.

( )4 3

2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

4 3

1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2

( ) 1d " B d " # # # d" B # # # B # # d" f t

dt M dt M M dt M M dt M M M M M M M

+ ++ + + + = + +

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56/104


Eje"plo de un siste"a "ecanico rotacional%

-btener un modelo matemático que represente el comportamiento del sistema mostradoen la fi#ura si#uiente%

Nn

3

Cn!n

6. &elección de variable.1 La variable a modelar es la velocidad an#ular 8N 8t 77.

;. Leyes de elemento.

E O = O d 2 η 867

dt 2

E !η = !η d η 8;7

dt

E 6 = 6 η η 857

5. Leyes de con'unto.

56 de 104


57/104


$ia#rama de cuerpo libre para 36%

n8t7!8t7!Nn

!Nn

!Cn

!Cn

!3

La ecuación de equilibrio para el sistema es%

Σ E 2 = 0

-E O - E !η - E 2 + E(t) = 0 897

9. obtener el modelo.

O d 2 η + !η d η + 6 η η = E(t)

dt 2 dt

(or otra parte, recordemos que la velocidad an#ular es i#ual a la primera derivada delán#ulo de #iro, con respecto al tiempo, esto es, N= d ⊗ %dt .

57 de 104


58/104


Entonces%

0

t dt η = ∫

(or lo tanto, el modelo matemático del sistema estará dado por%

0( )

t d $ B W # Wdt % t

dt η η + + =∫

La ecuación inte#ro1diferencial convertida a diferencial es%

2

2

( )d d% t $ B W # W

dt dt η η + + =

ormalizando%

2

2

1 ( ) B # W d d d% t

dt $ dt $ $ dt

η η + + =

"plicando Laplace%

2 1( ) ( ) ( ) ( ) B #

s W s sW s W s s% t $ $ $

η η + + =

58 de 104


59/104


2 1( ) ( ) B #

W s s s s% t $ $ $

η η + + =

2

1( )

( )

sW s $

B # % t s s

$ $

η η

=

+ +

59 de 104


60/104


Un eje"plo espec24ico para Fi!ura $%85 en donde el "odelo de ecuacin di4erencial

es#

!8t7 B 3 8t7 1 C 8t7

donde E(t) es una función de par de entrada no especificado y P(t) es una función

respuesta. !ransformando la ecuación.

E(s) = sOQ(s) – O(0) + !Q(s)7

3

8t7!8t7

La razón de C(s)%E(s) no es obviamente posible a menos que P(F) sea cero. &i se supone

que la velocidad inicial es cero 8ener#ía cinética nula7, la función de transferencia es

La función de la respuesta se puede determinar entonces si se especifica una función dee*citación. &i el par de entrada es una función escalón i#ual a 150s(t) 1m y si los valores

de O y ! son @,: N#.1m; y 6.@ 1m para radJs. entonces.

60 de 104

BsO + !E(s)

B1

s + !%O 1%O F(s)

BsO + !

E(s)A

s + !%O 1%O

F(s)


61/104


y la función correspondiente del tiempo es

La premisa que las condiciones iniciales son todas i#uales a cero no es normalmente una

restricción no deseable. &in embar#o, si es necesario la inclusión de una condición inicial

distinta de cero. &e puede aGadir como una e*citación adicional. 4ea#rupando la

Ecuación 5.;6 se obtiene

y el resultado se muestra en la 0i#ura 5.5. El dia#rama. tal como se presenta en la 0i#ura

5.5, utiliza símbolos de dia#ramas de bloques convencionales. Las variables se muestran

como líneas 8con flec)as que indican la dirección de transmisión de la seGal7 y las

funciones de transferencia se representan como bloques rectan#ulares. La suma

al#ebraica de seGales se representa utilizando un círculo con si#nos sobre las flec)as de

entrada.

Fi!ura $%O ;' /od&,o d& 'co' d& t*'s&*&'c co' &'&* 'c,

sO + !

1F(s)E(s)

A (0)

+

+

n modelo de función de transferencia puede devolverse para el correspondiente modelo

de ecuación diferencial sin nin#una dificultad particular. &upon#a, por e'emplo que la

función de transferencia para el e'emplo anterior se conoce pero el modelo de ecuación

diferencial es desconocido. La función de transferencia con coeficientes numéricos es%

61 de 104

BsO + !

E(s) AsO + !O (0)F(s)

B (1 - & )


62/104


y efectuando la multiplicación en cruz para rea#rupar la ecuación produce%

on el conocimiento de que la función de transferencia describe un sistema inicialmente

rela'ado, una e*presión equivalente en el dominio temporal es

y este resultado 8con valores numéricos sustituidos para O y C7 es idéntico al modelo de la

ecuación diferencial ori#inal 8Ecuación 5.;@7. Esta técnica se e*tiende rápidamente a

funciones de orden superior.

Ejemplo de un odelo de estado para un sistema mec#nico:

L o


63/104


C

O

Fi!ura $%>%

, \

;' sst&/ /&cT'co

! 8t7

1 O 2 6 2 6 :6 1

6666

C;, \! 8t7

;;;

Solucin. omo )ay dos masas que #iran con ener#ía cinética almacenada, la selección

de variables de estado que están directamente relacionada con el almacenamiento de

ener#ía conduce a D 6 B (1)6 y D ; B (1);. Es aparente que debería e*istir una variable que

estuviese relacionada con la ener#ía potencial almacenada para cada uno de los tres

resortes de torsión% pero dos de los resortes están fi'os por un e*tremo, y el conocimiento

de la defle*ión an#ular de dos es suficiente para determinar el tercero. (or lo tanto, el

utilizar D 5 B @6 y D 9 B @; completa la selección de las variables de estado. &umando los

pares sobre las dos masas con las variables seleccionadas produce las ecuaciones de

primer orden%

(ara completar el modelo debe )aber dos ecuaciones más que relacionan las derivadas

de @6 y @; con las otras variables de estado, y esas relaciones son simplemente%

El modelo matricial vectorial es entonces

63 de 104

B O E 6 dt 6 + !6 6+ 6 6\6+ 6 ;8\ 1 \ 7;6

BE ;d ; + !; ; + 6 5\;+ 6 ;8\ 1 \ 76;

6

O ;

B6 6dU

y Bdt

;;


64/104


D 6

D ;

D 9

!6

D 5

O 6- 0

0 ! ;O ;

-

0

0

1

1

0 0

0 0

(6 + 6 );O 6

-6 ;O 6

6 ;O ;

-

6

(6 + 6 )5

O ;- ;

=

D 6

D ;

D 9

D 5+

0

0

0

0

0

0

1O 6

1O ;

E ;

E 6

&i la defle*ión an#ular del centro del resorte se denota por @c entonces y B @c B D 5 ] D 9 y la

ecuación de salida es

y 0 0 1 -1=

D 6

D ;

D 9 D 5

+ 0 0 E 6

E ;

$%$% Modelado de siste"as Electro"ec3nico

Es di42cil encontrar en las plantas industriales siste"as pura"ente el'ctricos5

"ec3nicos5 idr3ulicos o t'r"icos5 desde un punto de vista estricto%

Lo 6ue encontra"os son siste"as 4or"ados por la co"binacin de subsiste"as de

distintos tipos5 por eje"plo#

Electro"ec3nicos

Ter"oel'ctricos

Electro neu"3ticos entre otros

Estos tipos de sistemas son llamados%

&istemas Híbridos

" continuación se presentan la descripción de al#unos elementos )íbridos y con e'emplos

de sistemas que incluyen elementos de este tipo.

64 de 104


65/104


Siste"a de en!ranes =reductor


66/104


V X

X HX

V 0

+

-

&u comportamiento físico está dado por la ecuación%

+@B +

M"

$onde%

+@% Es el volta'e medido entre la posición del cursor y la referencia en 8+7.

% Es el desplazamiento del cursor del potenciómetro en _M`.

P"a# Es el valor "3i"o 6ue despla;a el cursor en QMR%

-# Es el voltaje de ali"entacin al potenci"etro en Q-R%

Motor el'ctrico ideal de corriente directa% En este elemento encontramos dos variables

eléctricas 8volta'e y corriente de armadura7 y dos variables mecánicas 8el par producido en

la flec)a del motor y la velocidad an#ular7 asociados entre sí%

66 de 104


67/104


68/104


! , W

(

q

! !

*E)*ESENTACION DE UNA )LANTA ENE*ADO*A DE ENE*IA ELECT*ICA =DEL

TI)O 0ID*OELECT*ICA


69/104


La relacin entre variables est3 de4inida por las ecuaciones#

(B N6 !!

W!BN; q

$onde%

( y q% &on la presión que tiene el fluido a la entrada de la

turbina y el #asto a través de ésta e*presados en _(a`y _m5Js` respectivamente.

!! y W!% &on el par producido en la flec)a de la turbina y, la

velocidad an#ular e*presados en _.m` y _radJs`

respectivamente.

N6 y N;% &on parámetros propios de la turbina e*presados en

_(aJ.m` y _radJm5

` respectivamente.

$%$%&% *epresentacin en ecuacin di4erencial5 trans4or"ada de Laplace5 dia!ra"a a


Eje"plo siste"a electro"ec3nico% Motor de corriente directa controlado por campo,

obtener su modelo matemático en función del desplazamiento an#ular θ 8t7%

69 de 104


70/104


O

Fi!ura $%&?% Hoto* d& co**&'t& d*&ct co't*o,d 3o* c/3o7

C\

\8t7

cte B ia

e8f7

A

1

f

Lf

4f

4a

70 de 104


71/104


En este siste"a se e"plea un "otor de CD5 para posesionar la orientacin an!ular

de una plata4or"a% La plata4or"a puede encontrar apuntando un telescopio acia

una estrella5 o una antena o un sat'lite un caHn a un blanco% Al "otor se le

puede lla"ar actuador =puesto 6ue en este caso proporciona la ener!2a paraobtener la respuesta deseada


72/104


Entonces%

dt

d B

dt

d $ #mIf θ θ θ +=

2

2

dt

d

#m

B

dt

d

#m

$ If

θ θ θ +=

2

2

&ustituyendo if en la ecuación 867%

++

+=

dt

d

#m

B

dt

d

#m

$

dt

d L

dt

d

#m

B

dt

d

#m

$ Rf t &

θ θ θ θ θ θ 2

2

2

2

)(

(ara obtener el modelo matemático de la función%

dt

d

#m

B L

dt

d

#m

$ L

dt

d

#m

B Rf

dt

d

#m

$ Rf t &

θ θ θ θ θ θ +++=

2

2

2

2

)(

ormalizando la ecuación multiplicando cada termino * 8 $L

#m7

dt

d

$L

R B L

dt

d B

dt

d Rf

dt

d

$L

t #m& f θ θ θ

θ θ θ +++=2

2

2

2

3

3)(

72 de 104


73/104


A traves del dia!ra"a de blo6ues se puede obtener ta"bi'n la ecuacin 6ue "odelaal siste"a

En este caso La ecuacin de /irco44 para el circuito de ca"po es#

1L I (s) + R I (s) = B (s)s B (s) L S + R

La ecuación de eZton para la car#a mecánica es%

1Os8 U(s) + ! sU(s) = E(s)

\(s)Os8 + ! s\

\

E(s)

73 de 104


74/104


y la relación entre el par y la corriente de campo%

)()( s I #m s% f = (orque )( s I a B cte

I G/f E(s)

&ubsistemas conectados%

1\(s)

Os8 + ! s\

E(s)G/

I f 1L S + R f f

B f8s7

$ia#rama de bloques #lobal normalizado%

\(s)B f8s7!O

(s8 + \ s)R L

(s + f f )

6/L O f

-btención del modelo matemático%

74 de 104


75/104


)(

23

)(

)(

s

f f s &f

s Lf$

B R s

$

B

Lf

R s

Lf$ #m•

+++=

θ θ

θ

- también%

)()()()( 23 s & $Lf

#m s s

Lf$

B R s s

$

B

Lf

Rf s s f

f =+

++ θ θ θ θ θ

"plicando la 1− L obtenemos el modelo matemático en función del tiempo%

)()()(

)(2

2

3

3

t & $Lf

#m

dt

t d

$ Lf

B Rf

dt

t d

$

B

Lf

Rf t

dt

d f =•

•+

++ θ θ θ θ θ

Un "odelo de siste"a de control por "odelo de estado%

-tra ilustración de un desarrollo de modelo de estado se obtiene al considerar un sistema

de control realimentado, formado por un motor de imán permanente para controlar laposición de una pequeGa antena., el modelo de estados sustituye al modelo de función

de transferencia tal como se presenta en la fi#ura 9.5. La antena esta acoplada al motor

mediante un sistema de en#rana'es. E*isten dos entradas al sistema porque )ay una

seGal eléctrica que indica el án#ulo deseado y también )ay un par de perturbación como

entrada producido por el viento sobre la antena. &i se escribe la ecuación diferencial que

modela el circuito del inducido se obtiene una ecuación de primer orden%

$onde m es la velocidad an#ular del rotor. La suma de los pares produce otra ecuación

de primer orden con%

75 de 104

V (t) = L (t) AR (t) 1 6


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A1

A1

AA

FINU*A &?%&& ;' sst&/ d& co't*o, co' d&s3,/&'to ',*7

',od&s&do

!48s7

''c d&, d&t&cto* d&

',o

Co't*o,do*

Hoto* CC y c*

S&'so*

6@@ N!

V(s)

',od& 't&'

Nt

Nb

6,@

* d&, v&'to

EP(s)

H(s)

?

?

1

2

?

?

1

2

1s

1

sA + !&. &.

1

sL + R

El si#no que se postula para !W8t7 se puede seleccionar como se desee porque el par del

viento es una entrada, y el asumir la dirección positiva es independiente de cualquier otra

suposición. El momento de inercia equivalente, 3eq, y la fricción viscosa equivalente, Ceq,

representa la inercia total y la car#a de fricción con la car#a de salida refle'ada en el e'e

del motor. omo la posición del sensor #enera y transmite una variable del sistema

proporcional a la posición an#ular, se necesita una relación diferencial adicional en el

modelo de estados que relacione la posición an#ular con la velocidad an#ular. (or tanto,

se obtiene una tercera ecuación de primer orden que relaciona la velocidad del motor con

la posición de la antena%

( ) ( )%1

2 t dt

d

'

' t ym θ ω = 89.6=7

76 de 104

6 (t) A (t) Bt ? 1E P O &.

dt N /(t)


77/104


on respecto a la selección de las variables de estado, la corriente en el inducido y la

velocidad an#ular del e'e del motor son selecciones posibles ] ambas variables estánrelacionadas con el almacenamiento de ener#ía 1.sin embar#o, se debe aGadir una

variable de estado adicional para introducir la relación de la ecuación 9.6=. na elección

razonable de variables de estado es ia, m y ^y.

on esta selección de variables de estado, resta un problema% la ecuación 9.6: contiene

una variable 8+a7 que no es ni una entrada ni una de las variables de estado

seleccionadas. &in embar#o, el volta'e aplicado al inducido del motor se e*presa

inmediatamente como una función al#ebraica de las variables de estado seleccionadas y

de la entrada. La relación deseada 8vease fi#ura 9.57 es%

( ) ( ) ( )[ ]%100 t t # t V ( Roa θ θ −= 89.6>7

na ecuación de estado aceptable se obtiene entonces combinando las ecuaciones 9.6:

a 9.6>, y el modelo de estado es%

+

−

−−−

=

W

R

e)

a

o

(

m

a

e)

e)

e)

t

aa

b

a

a

(

m

a

% $ '

'

L

#

i

'

'

$

B

$

#

L

#

L

#

L

R

iθ

θ

ω

θ

ω

00

0

0100

00

0

100

2

1

2

1

0

89.6?7

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78/104


$%9% Modelado de siste"as de 4luidos%

La )idráulica se ocupa del estudio de los líquidos en repaso. La neumática se ocupa del

estudio de los #ases en reposo.

$ebido a sus características físicas, que aunque muy similares, estos sistemas, son

utilizados en diferentes situaciones. (or e'emplo, los sistemas )idráulicos encuentran

e*tensa aplicación en procesos en donde se requiere una potencia de traba'o más

elevada, por lo que son más resistentes físicamente y por lo mismo su mantenimiento

debe ser más constante.

(or otra parte los sistemas neumáticos son más compactos, debido a que mane'an

presiones menores que las que utilizan los sistemas )idráulicos, son más accesibles en

su mane'o, pero su principal desventa'a es, que pierden fácilmente su potencia, 8debido a

fu#as de aire en cualquier parte del sistema7.

En la si#uiente tabla se resumen las variables de interés, las leyes fundamentales y los

elementos básicos con sus respectivas relaciones para estos tipos de sistemas

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79/104


S+M(OLO

Y

UNIDAD

)*INCI)IOS Y LEYES F+SICA

FUNDAMENTALES )A*A

)LANTEA* LAS ECUACIONEDE E,UILI(*IO

-A*IA(LES

DE INTE*ES

ALTU*A DE LA COLUMNA DEL

FLUIDO LED $E C"L"E $E

(4E&-E&

LEY DE CONSE*-ACIN DE L

MASA

)*ESIN

-OLUMEN

ASTO

*ESISTENCIA 0ID*1ULICA

79 de 104

SIS$E%S &I'R(ULI)"S * +EU($I)"S


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ELEMENTOS

(1SICOS

CA)ACITANCIA 0ID*1ULICA

INDUCTANCIA 0ID*1ULICA

- H"D

4E(4E&E!"I

&MC-L"

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&&!EM"& !E4M-&.1 Estudian la trans4erencia de ener!2a de los cuerpos

calientes a los 4r2os%

En la si#uiente tabla se resumen las variables de interés, las leyes fundamentales y los

elementos básicos, con sus respectivas relaciones para estos tipos de sistemas.

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S+M(OLO

Y

UNIDAD

)*INCI)IOS Y LEYES F

FUNDAMENTALES )

)LANTEA* LAS

ECUACIONES DE E,U

-A*IA(LES DE

TEM)E*ATU*A

83 de 104

SISTEMAS TÉRMICOS


84/104


INTE*ES )*IME*A LEY DE LA

TE*MODINAMICA

FLU.O DE CALO*

ELEMENTOS

(1SICOS

*ESISTENCIA T*MICA

CA)ACITANCIA

T*MICA

INDUCTANCIA T*MICA NO TIENE INTE*)*ETA

F+SICA

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85/104


ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Estas ecuaciones se derivan a partir de un caso particular de la primera Ley de la

termodinámica 8conservación de la ener#ía7, la cual relaciona temperatura y flu'o de calor,

que son las variables de interés en los sistemas térmicos.

(or otra parte, establecer un postulado preciso de la primera Ley de la termodinámica en

forma breve es una tarea un tanto difícil por lo que, no se tratara de )acer.

&in embar#o para un sistema, esta Ley puede ser e*presada como%

W +, d d d −≡

$onde%

% Es la ener#ía interna del sistema.

% Es la cantidad de calor transferida al sistema.

W% Es el traba'o realizado por el sistema.

La ecuación 867 también puede ser escrita como%

ddt +duv '&% −≡)( ρ

$onde%

ρ % Es la densidad

v% Es el volumen del sistema.

u% Es la ener#ía interna del sistema por unidad de masa.

net% Es la tasa neta de flu'o de calor dentro del sistema.

t% Es el tiempo.

En sistemas puramente de transmisión de calor, no se realiza traba'o, por lo que la

primera Ley de la termodinámica puede ser escrita como%

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86/104


dt +duv net ≡)( ρ

- bien%

'&% +dt

duv ≡)( ρ

(or otra parte los cambios de temperatura son proporcionales a los de ener#ía interna por

unidad de masa, es decir%

du-

d% 1≡

donde%

% Es el calor específico.

De las ecuaciones anteriores pode"os obtener#

net +dt

d% v- ≡)( ρ

El término 8 v- ρ 7 de la ecuación anterior se define como la capacitacia térmica 8!7, así

se obtiene%

net +

dt

d% v- ≡)( ρ

$onde%

net% &e define como la diferencia entre el flu'o de calor suministrado al sistema y

el cedido por éste.

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87/104


La ecuación de equilibrio para los sistemas térmicos puede ser escrita como%

! d! B Σe 1 Σs

dt

Esta ecuación se interpreta como%

El calor absorbido por el sistema es la diferencia del calor que recibe menos el que

emana.

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88/104


$%9%&% *epresentacin en ecuacin di4erencial5 trans4or"ada de Laplace5 dia!ra"a a


Eje"plo de un siste"a idr3ulico : neu"3tico

-btener un modelo matemático para el sistema )idráulico que se muestra en la fi#ura

si#uiente%

.o 3o

@ R W 3o

31 .1

C W 3=31-3o

&olución%

6. &elección de variables. En este sistema )idráulico son dos las variables que se

pueden emplear para modelarlo/ una es la altura del fluido y la otra es el incremento

de presión en el tanque.

(ara este e'emplo se obtendrá primero un modelo en función de la altura del fluido y otro

en función del incremento de presión en el tanque.

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89/104


;. Leyes de Elementos. Las ecuaciones de los elementos para el sistema considerado

son%

.1R W = 31-3o 867

C W d ∆ 3 = .'&t 8;7

dt

5. Leyes de con'unto. &on ecuaciones de equilibrio. son%

.'&t = Σ .& - Σ .s 857

Σ .& = .o 897

Σ .s = .1 8:7

(or otra parte )aciendo la suma de presión se tiene%

1 3o-3@ = 0 8


90/104


.1 = 1 (31 - 3o7 8>7

R W

$e las ecuaciones 87%

.1 = 1 3@ 86@7

R W

- bien%

.1 = @ 8667

R W

$onde%

ψ % es el peso específico del fluido.

90 de 104


91/104


&ustituyendo las ecuaciones 8667 en 8:7%

Σ .s = @ 86;7

R W

&ustituyendo las ecuaciones 897, 86;7 en 8;7%

C W d3 = .o - @ 8657

dt R W

4ecordando que ∆= 1 - F y de que la ecuación 8?7 nos dice%

3 = 31-3o = 3@

- bien%

3=@

(or tanto, la ecuación 8657, nos queda%

C W d@ + @ = .o 8697

dt R W

91 de 104


92/104


ormalizando%

d@ + 1 @ = 1 .o 87dt R W C W C W

La ecuación 87 representa el modelo matemático del sistema en función de la

altura del nivel del fluido en el tanque 8)7.

b7 En función de las variables de presión en el tanque.

$e las ecuaciones 8;7 y 857 se tiene%

C W d3 = .o-.1 86:7

dt

D sustituyendo la ecuación 8>7 en la 86:7%

C W d3 = .o - 1 (31-3o ) 86


93/104


C W d3 + 1 3=.o 86:7

dt R W

ormalizando%

d3 + 1 3 = 1 .o 87

dt R W C W C W

$e esta ecuación se tiene el modelo matemático en función de ∆ .

omo se estableció con anterioridad, los coeficientes del primer miembro de ambas

ecuaciones 87 y 8@7 deben ser idénticos.

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94/104


Eje"plo de un siste"a t'r"ico

-btener un modelo matemático del sistema térmico formado por tres resistencias y una

capacitancia térmica, como se muestra en la si#uiente fi#ura%

R E2

E&

CE

R E1 E R E:

H"C!"-Y(t)

H-4-

&olución%

6. &elección de variables. (ara este sistema se empleará como variable la temperatura

en el interior del cuarto 8!7, además se considera que la temperatura en el e*terior es

!e.

94 de 104


95/104


;. Ley de elementos.

Y2 R 2

Y1 C E Y:

RE 1 E R :

Y(t)

64!6 B ! 1 !e 867

;4!; B ! 1 !e 8;7

54!5 B ! 1 !e 857

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5. Leyes de con'unto. " partir de la primera ley de la termodinámica se establece la

ecuación de equilibrio para este sistema.

C E dE =Σ Y& - Σ Ys 897

dt

Σ Y&=Y(t) 8:7

Σ Ys=Y1+Y2 +Y: 8


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&ustituyendo las ecuaciones 8>7, 8?7, 86@7 en la 8=7

CE dE = Y(t) - 1 (E-E&) - 1 (E-E&) - 1 (E-E&)

dt R E1 R E2 R E:

4eordenando y normalizando se obtiene el modelo matemático que describe la

variación de la temperatura en el interior de la )abitación.

( )1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1

% % % % % % % % % % %

d% % + t %e

dt R C R C R C C C R R R

+ + + = + + +

( )1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

% % % % % % % % %

d% % + t %e

dt C R R R C C R R R

+ + + = + + +

8 7

97 de 104


98/104


Eje"plo de un siste"a idr3ulico de dos tan6ues#

.o 3o 3o

.1

@1 @2 3o

31 32 .2

C 1 R 1 R 2

&i se modifica el sistema a#re#ando un se#undo tanque como en la fi#ura anterior, y

considerando qo como la entrada y q; como la salida, las ecuaciones que describen el

nuevo sistema, son%

.o-.1 = C 1 d (.1 - .o )

dt

.1 = 1 (.1 - .2 )

R 1

.2 = 1 (.2 - .0 )

R 2

(ero como%

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99/104


@1= 1 (.1 - .o )

@2 = 1 (.2 - .o )

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como%

.0 - .1 = C 1 d%dt @1

.1 = %R 1(@1 - @2 )

.1 - .2 = yC 2 d%dt @2

.2 = @2 %R 2

Eliminando .1 y .2 de las cuatro ltimas ecuaciones, se obtiene%

d@1 + 1 (@1 - @2 ) = 1 .o

dt R 1C 1 C 1

d@2 + 1 + 1 @2 = 1 @1

dt R 2 C 2 C 2 R 2 C 2 R 1

omo la salida .2 está relacionada con @2 mediante%

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.2 = @2

R 2

$%@% Analo!2as de siste"as%

Ca'o cierto principio se pueden )acer analo#ías entre los diferentes tipos de sistemas

analizados.

(or e'emplo se puede determinar el modelo matemático de un sistema mecánico

resolviéndolo por su análo#o.

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$%@%8%7 Se pueden reali;ar las tablas de analo!2as para siste"as "ec3nico el'ctrico5

co"o se "uestra en las si!uientes tablas de 4uer;a voltaje%

El'ctrico Mec3nicov 4 i vl "r 4

& c /

Tabla de analo!2a 4uer;a corriente%

El'ctrico Mec3nicoi 4 v vc "

&r 4 &l

Tabla de analo!2a 4uer;a voltaje%

El'ctrico Mec% Translacional Mec% *otacional- F TI - L M .* F F

&c /

Tabla de analo!2a 4uer;a corriente%

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103/104



El'ctrico Mec% Translacional Mec% *otacionalv& 4& t&v8 48 t8n& i8 n&n8 i& n8i8 v& J8i& v8 J&


El'ctrico Mec% Translacional Mec% *otacionaln8 i8 n&n& i& n8v8 v& J8v& v8 J&i& 4& t&i8 48 t8

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Documents

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