8/3/2019 Unit 5 - El padre del lgebra

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Si por alguna razn la matemtica es conocida, si existe algn concepto matemtico que gocede general conocimiento y respeto, se es el de ecuacin. El trmino en s recoge tantas y tan dis-tintas acepciones que han cambiado a lo largo de la Historia, que resulta imposible poder en-globar en una sola definicin todo lo que se dice y se ha dicho sobre las ecuaciones. En el ori-gen de su tratamiento sistemtico se haya una palabra mgica: el lgebra, smbolo de generali-dad y abstraccin, y, por ello, de utilidad.

por Lolita Brain

www.lolitabrain.com

E l lgebra es el corazn dela matemtica. Salpica to-dos sus rincones. En suorigen nace como respues-ta a la necesidad de resolverecuaciones sistemtica-mente. Es decir, como labsqueda de mecanismosque permitan solucionar pro-blemas que aparecen unay otra vez bajo la misma for-ma, y a los que se debe pro-porcionar idnticos proce-dimientos de resolucin. Al-Khwarizmi fue un brillanteastrnomo y bibliotecario dela Casa de la Sabidura y delObservatorio Astronmicode Bagdad. Su brillantez re-side en reconocer la simili-tud formal de mltiples fe-nmenos y dar solucin co-mn a ellos.

La principal obra de Al-Khwarizmi se titula Al-Muj-tasar fi hisab Al-jabr wal-Muqabala. Ambos tr-minos son de difcil traduccin y corresponden alos dos mecanismos que utiliza el autor para resol-ver las ecuaciones, y que se relacionan con las tc-nicas que hoy utilizamos nosotros. En sus pginasse estudian las soluciones de los seis tipos distin-tos de ecuaciones de segundo grado que l consi-der.

A l-Khwarizmi utiliza hbiles mtodos geomtricos para encontrar lasolucin. Cada forma de ecuacin requiere una tcnica distinta parasu solucin. No se consideran las cantidades negativas. Recuerda quelos negativos no llegarn hasta muy avanzado el siglo XVI.

A l-Khwarizmi clasifica las ecuaciones de segundo gradoen seis tipos distintos. Estudia cada caso de modo sepa-rado. Aunque nosotros no las catalogamos de igual for-ma, se hizo as hasta el siglo XVI.

EL PADRE DEL LGEBRA QU ES UNA ECUACIN?

LA SOLUCIN

OTRO CASO

ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSAAL-KHWARIZMI

(hacia 780-850)

x 29 1 0

L a definicin de ecuacin puede ser tan simple como una igualdad en la que algunostrminos son desconocidos. Resolver la ecuacin significa, por tanto, encontrar los va-lores de esos trminos desconocidos. Sin embargo, hay tantos tipos de ecuacionesque esta definicin no basta, aunque es perfectamente vlida para la poca de Al-Khwa-rizmi. Desde tiempos de los babilonios, el hombre se plante problemas cotidianos en losque deba encontrarse algn valor nmerico. El lgebra aparece cuando esos problemasparticulares se estudian con una visin generalista. Hasta bien entrado el siglo XVI, las ecua-ciones tenan un significado geomtrico heredado de los griegos.

PGINA DEL TEXTO DE AL-KHWARIZMI, AL-MUJTA SAR FI HISAB AL-JABR WA L -MUQABALA. FUE TRADUCIDO AL LATN PORROBERTO DE CHESTER EN TOLEDO, EN 1145

Muqabala significa comparacin y se relaciona con nuestra tcni-ca de agrupar trminos semejantes.

Al-jabr proviene dejabr, que significa restaurar, insertar. Los mdicosque reparaban los huesos se llamaban algebristas. En las ecuacio-nes se corresponde con lo que nosotros denominamos pasar al otromiembro. Nuestra palabra lgebra proviene de este trmino.

PASO 2Podemos completar la figura anterior con cua-tro cuadrados de lado 5/2. As podemos po-ner:CUADRADO GRANDE = 39U2+ 4 CUADRADOSPE-QUEOS

CUADRADO PEQUEO = (5/2) X (5/2) = 25/4U2CUADRADO GRANDE = 39U2+ 4 X 25/4U2 = 64U2entonces ya hemos completado el cuadrado yLADO CUADRADO GRANDE = 8 (8X8 = 64)LADO CUADRADO GRANDE = X + 5/2 + 5/2 = X + 5.

SOLUCIN: X = 3

2 52 5

2 52 5

Dividimos el rectngulo 10x endos partes iguales.

Obtenemos de una mitad el cuadra-do amarillo x2. Formamos un cuadra-do agregando el rectngulo azul y elcuadrado naranja a la otra mitad.

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La ecuacin anterior se interpreta geomtricamete del siguiente modo: un cuadra-do de lado desconocido x tiene una superficie que mide x2. Un rectngulo que tuvieraun lado x como el del cuadrado y el otro de 10 unidades tendra un rea de 10x. Aspues, la suma de las reas de esas dos figuras debe resultar igual a 39. El proble-ma es determinar el lado del cuadrado original.

AL-JABR Y AL-MUQABALA

1

x

EL PADREDEL LGEBRA

Si observamos la igualdad entre las reas de las diferentes figuras en las quedescompusimos el diagrama inicial, ya casi tenemos la solucin.

Basta observar que el cuadrado naranja tiene de lado 5 -X (5 menos el valor bus-cado). Es sencillo ver que x ha de valer 1.

Partimos de la versin geomtrica de la ecuacin, distinta de la anterior.

AULAD E E L PMU N D O

8

5

5-x

PASO 1Dividimos el rectngulo en cuatro partes iguales manteniendo el lado de medidax. Se coloca alrededor del cuadrado cuyo lado desconocemos. La figura de la de-recha debe tener por tanto un rea de 39 unidades cuadradas (u 2).