Pàgina 190Descripció d’una gràfica1. La solució és en el mateix exercici.2. Solució gràfica.

Pàgina 1913. • f (x) = –1

• f (x) = – ∞

• f (x) = +∞

• f (x) = +∞

• f (–9) = 0; f (0) = 0; f (8) = 0• f' (0) = 0• f (4) = 4; f' (4) = 04. Solució gràfica.5. • f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 1; f (–7) = 1f (12) = 0; f (– 400) = 0; f (13) = 1; f (– 199)= 1(En general, f (4k) = 0; f (4k + 1) = f (4k – 1) == 1 i no existeix f (x) en x = 4k + 2,amb k ∈Z).• La funció no està definida en els puntsde la forma x = 4k + 2, amb k ∈Z.• Només caldria conèixer la funció per ax ∈ [0, 2), si sabéssim que és parell i queés periòdica de període 4.• Simetria → És una funció parell (simètri-ca respecte a l’eix Y ).Periodicitat → És periòdica de període 4.

Pàgina 1921. a) D = Á; b) D = Á – {1, 4}; c) D = Á2. a) D = (– ∞, 0] U [2, +∞); b) D = Ác) D = (– ∞, –1) U (1, +∞); d) D = Á – {0}

Pàgina 1931. a) És una funció parell, no és periòdicai és contínua i derivable en Á.b) No és simètrica, no és periòdica, éscontínua en el seu domini i és derivableen (– ∞, 0) U (2, +∞).c) És senar, No és periòdica i és contínua iderivable en el seu domini.

d) No és simètrica, no és periòdica i éscontínua i derivable en el seu domini.e) No és simètrica, és periòdica de període2π., és contínua i derivable en Á.

Pàgina 1944. a) • f (x) = – ∞

• f (x) = +∞

b) • f (x) = +∞; = – ∞

• f (x) = +∞; = +∞

• f (x) = +∞; f (x) = – ∞

• f (x) = – ∞; f (x) = +∞

c) • f (x) = – ∞; f (x) = +∞

• f (x) = +∞; f (x) = +∞

d) • f (x) = +∞

• f (x) = +∞

e) • f (x) = +∞, • f (x) = +∞

f) • f (x) = 0, • f (x) = +∞;

Pàgina 1955. a) Màxim en (1, 9). Mínim en (3, 5).Punt d’inflexió en (2, 7).b) Mínim en (0, 0). Punt d’inflexió en (–1,ln 2) i en (1, ln 2).6. a) Màxim en (–2, 64). Mínim en (2,–64). Punt d’inflexió en (0, 0).b) Màxim en (0, 0).c) Punt d’inflexió en (0, 0) i mínim en

(6, ).d) No hi ha punts singulars.

272

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → –∞

límx → ∞

límx → 2+

límx → 2–

límx → +∞

límx → – ∞

límx → 1+

límx → 1–

límx → –1+

límx → –1–

f (x)x

límx → +∞

límx → +∞

f (x)x

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → – 3+

límx → – 3–

límx → +∞

límx → – ∞

27Unitat 9. Representació de funcions

UNITAT 9. REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS

Pàgina 1977. a) • Simetries: Parell.• Branques infinites:

f (x) = +∞; f (x) = +∞

• Punts singulars: x = 0, x = –2, x = 2• Talls amb els eixos: Punts: (– , 0);(–1, 0); (1, 0); ( , 0), (0, 7)• Punts d’inflexió:

Punts (– , ) i ( , )• Gràfica: Solució gràfica.b) • Simetries: No és simètrica.• Branques infinites:

f (x) = +∞; f (x) = +∞

• Punts singulars: Punts: (0, 0); (2, –64);(–3, –189)• Talls amb els eixos: Punts: (0, 0);(2,86; 0); (– 4,19; 0)• Punts d’inflexió: Punts: (1,12; –34,82)i (–1,79; –107,22)• Gràfica: Solució gràfica.c) • Simetries: No és simètrica.• Branques infinites:

f (x) = +∞; f (x) = +∞

• Punts singulars: Punts (1, 7); (–1, –9);(3, –9)• Talls amb els eixos: Punts: (0, 0); (2, 0);(3,65; 0); (–1,65; 0)• Punts d’inflexió: Punts: (2,15; –1,83) i(–0,15; –1,74)• Gràfica: Solució gràfica.8. a) • Simetries: No és simètrica.• Branques infinites:

f (x) = +∞; f (x) = +∞

• Punts singulars: Punts: (0, –16); (1, –17)• Talls amb els eixos: Punts (2, 0) i (k,0), amb k entre –2 i –1. Punt (0, –16).

• Punts d’inflexió: Punts: (0, –16) i ( ,

)• Gràfica: Solució gràfica.b) • Simetries: Senar.• Branques infinites:

f (x) = – ∞; f (x) = +∞

• Punts singulars: Punts: (–1, 2); (1, –2)

• Talls amb els eixos: Punts: (0, 0);(– , 0); ( , 0)• Punts d’inflexió: x = 0 → Punt (0, 0)• Gràfica: Solució gràfica.c) • Simetries: Parell.• Branques infinites:

f (x) = +∞; f (x) = +∞

• Punts singulars: Punts: (0, 0); (–2, –4);(2, –4)• Talls amb els eixos: Punts: (0, 0);(–2 , 0); (2 , 0)

• Punts d’inflexió: Punts: (– , – );( , – )• Gràfica: Solució gràfica.

Pàgina 1999. a) • Simetries: Senar.• Asímptotes verticals: en x = –1 i en x = 1.• Asímptota obliqua: y = –x.• Punts singulars: Punts: (0, 0); (– ,

); ( , – )• Talls amb els eixos: Talla els eixos en(0, 0).• Gràfica: Solució gràfica.b) • Simetries: No és simètrica.• Asímptotes verticals: x = 0.• Asímptota obliqua: y = x – 2.• Punts singulars: No té punts singulars.• Talls amb els eixos: Punts: (–2, 0) i(4, 0)• Gràfica: Solució gràfica.10. a) • Simetries: Parell.• Asímptotes verticals: x = –2 i x = 2.• Asímptota horitzontal: y = 1.

• Punts singulars: Punt (0, )• Talls amb els eixos: Punts: (–3, 0) i

(3, 0). Punt (0, )• Gràfica: Solució gràfica.b) • Simetries: Senar.• No té asímptotes verticals.• Asímptota obliqua: y = x.• Punts singulars: No hi ha punts singu-lars.

94

94

3√32

√33√32

√3

209

2√33

209

2√33

√2√2

límx → +∞

límx → – ∞

√3√3

límx → +∞

límx → – ∞

– 44827

23

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

–179

2√33

–179

2√33

√7√7

límx → +∞

límx → – ∞

28Unitat 9. Representació de funcions

• Talls amb els eixos: Punt (0, 0).• Punts d’inflexió: Punts: (0, 0); (– ,

– ); ( , )• Gràfica: Solució gràfica.

Pàgina 20111. a) • Domini: Á.• Simetries: Parell.• Asímptotes: y = 0.• Punts singulars: Punt (0, e).• Punts d’inflexió: Punts d’inflexió: (–0,7;1,65), (0,7; 1,65)• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: D = Á – {0}.• No és simètrica.• Asímptotes verticals: en x = 0.• Asímptotes horitzontals: en y = 0.

• Punts singulars: Punt (2, ).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: D = Á.• Simetries: Parell.• No té asímptotes verticals.• Branques infinites:

f (x) = f (x) = +∞

No té asímptotes de cap tipus.• Punts singulars: Punt (0, ln 4).• Punts d’inflexió: Punts: (–2, ln 8) i(2, ln 8).• Gràfica: Solució gràfica.12. a) • Domini: D = (– ∞, –1) U (1, +∞).• Simetries: Parell.• Asímptotes verticals: x = –1 i x = 1.• Asímptotes horitzotals: No en té.• Punts singulars: No en té.• Punts d’inflexió: No té punts d’infle-xió.• Punts de tall amb els eixos: Punts:(–√

–2, 0) i (√

–2, 0).

• Gràfica: Solució gràfica.b) Període 2π.No té asímptotes.• Punts de tall amb els eixos:

Punts ( , 0); ( , 0)

• Punts singulars:

• Punts d’inflexió: Els punts d’inflexiósón els de tall amb l’eix X.• Gràfica: Solució gràfica.

Pàgina 203

13. a) y = .

Solució gràfica.b) • Domini Á.• No asímptotes verticals.• Branques infinites: Asímptota obliquaen y = x + 2 quan x → ∞.Asímptota obliqua en y = –x – 4 quan x→ –∞.• No té simetria.• Talls amb eixos: (0, 0), (–3, 0).• Punts singulars: (–1, –1) mínim.• Monotonia: f (x) creix si x ∈ (–1, +∞).f (x) decreix si x ∈ (–∞, –1).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini Á.• No té asímptotes verticals.• Branca infinita:

f (x) = ∞

• No té simetria.• Talls amb eixos: (0, 0) i (5, 0).

• Punts singulars: ( , ) màxim.

• Monotonia: f (x) creix si x ∈ (–∞,5/2) ∪ (5, +∞).f (x) decreix si x ∈ (5/2, 5).• Gràfica: Solució gràfica.

Pàgina 210Per practicarDescripció d’una gràfica14. Solució gràfica.15. Solució gràfica.16. Solució gràfica.17. a) • Asímptota vertical: x = 0. Asímp-tota horitzontal: y = 2

254

52

límx → ∞

x – 4 si x < –13x – 2 si –1 ≤ x ≤ 3x + 4 si x > 3

Punt ( , –2)4π3

Punt ( , 2)π3

11π6

5π6

límx → +∞

límx → – ∞

e2

4

5√34

√35√34

√3

29Unitat 9. Representació de funcions

• f (x) no té punts singulars.• Decreix en (– ∞, 0) i creix en (0, +∞).b) • Asímptota vertical: x = –2. Asímpto-ta horitzontal: y = –2Màxim en (0, –1)• Creixent en (– ∞, –2) U (–2, 0) i decrei-xent en (0, +∞).c) • Asímptota horitzontal si x → +∞: y = 0Mínim en (0, 0)Màxim en (2, 1)• Decreixent en (– ∞, 0) U (2, +∞) i crei-xent en (0, 2).d) • Asímptota vertical: x = 2Asímptota obliqua: y = x• Punts singulars: no en té.• Creixent en (– ∞, 2) U (2, +∞).

Funcions polinòmiques18. a) Branques infinites: f (x) = –∞;

f (x) = –∞

• Punts singulars: ( , ) màxim

Solució gràfica.b) Branques infinites: f (x) = ∞;

f (x) = ∞

• Punts singulars: (2, –3) mínim.Solució gràfica.c) Branques infinites: f (x) = ∞;

f (x) = ∞

• Punts singulars: (–1, 3) mínim.Solució gràfica.d) Branques infinites: f (x) = –∞;

f (x) = –∞

• Punts singulars: (3, 9) màxim.Solució gràfica.e) Branques infinites: f (x) = –∞;

f (x) = ∞

• Punts singulars: ( , –6 ) mínim.

(– , 6 ) màxim.Solució gràfica.e) • Punts d’inflexió: x = 0 punt d’inflexió.Solució gràfica.f) Branques infinites: f (x) = +∞;

f (x) = –∞

• Punts singulars: (0, 0) màxim.(–4, –32) mínim.• Punts d’inflexió: (–2, –16)Solució gràfica.19. a) • Branca: f (x) = –∞

f (x) = ∞

• Punts singulars: Talls amb els eixos (0,11) (3,442, 0).(2, 3) punt d’inflexió.• Monotonia f (x) decreix si x ∈ (–∞,+∞).• Gràfica: Solució gràfica.b) • Branca: f (x) = –∞

f (x) = –∞

• Punts singulars: Talls amb eixos (1,811,0) (4,190, 0) (0, –79).(3, 2) màxim.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (–∞, 3).f (x) decreix si x ∈ (3, +∞).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Branca: f (x) = ∞

f (x) = ∞

• Punts singulars: Talls amb els eixos(–2,308, 0) (0,0308, 0) (0, –4).(–1, –5) mínim.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (–1, +∞).f (x) decreix si x ∈ (–∞, –1).• Gràfica: Solució gràfica.d) • Branca: f (x) = ∞

f (x) = –∞

• Punts singulars: Talls amb els eixos(–0,442, 0) (0, 2).(1, 3) punt d’inflexió.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (–∞, +∞).• Gràfica: Solució gràfica.20. a) • No té simetria.• Branca infinita: f (x) = ∞

f (x) = –∞

• Punts singulars.Talls amb els eixos (–3, 0) i (0, 0).

límx → –∞

límx → ∞

límx → –∞

límx → ∞

límx → –∞

límx → ∞

límx → –∞

límx → ∞

límx → –∞

límx → ∞

límx → ∞

límx → – ∞

√3√3

√3√3

límx → ∞

límx → – ∞

límx → ∞

límx → – ∞

límx → ∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

494

32

límx → ∞

límx → – ∞

30Unitat 9. Representació de funcions

(0, 0) mínim.(–2, 4) màxim.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (–∞, –2) ∪(0, +∞).f (x) decreix si x ∈ (–2, 4).(–1, 2) punt d’inflexió.• Gràfica: Solució gràfica.b) • No té simetria.• Branca infinita: f (x) = ∞

f (x) = –∞

• Punts singulars.Talls amb eixos (–1, 0) i (0, 5).(0, 5) màxim.(2, 1) mínim.(1, 3) punt d’inflexió.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (–∞, 0) ∪(2, +∞).f (x) decreix si x ∈ (0, 2).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Té simetria parell.• Branca infinita: f (x) = ∞

• Punts singulars:Tall amb eixos (–3,925, 0) (–1,612, 0)(1,612, 0) (3,925, 0) (0, 10).(–3, –10) mínim.(0, 10) màxim.(3, 10) mínim.(– , –1,25) punt d’inflexió.

( , 1,25) punt d’inflexió.• Monotonia: f (x) creix si x ∈ (–3, 0) ∪(3, +∞).f (x) decreix si x ∈ (–∞, –3) ∪ (0, 3).• Gràfica: Solució gràfica.d) • No té simetria.• Branca infinita: f (x) = –∞

f (x) = ∞ Branca parabòlica.

• Punts singulars: Talls amb eixos (0, 0).(0, 0) màxim.(4, 4) mínim.(3, 5/2) punt d’inflexió.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (0, 4).f (x) decreix si x ∈ (–∞, 0) ∪ (4, +∞).• Gràfica: Solució gràfica.e) • Té simetria senar.

• Branca infinita: f (x) = ∞

f (x) = –∞

• Punts singulars: Talls amb eixos (– ,0) (0, 0) ( , 0).

(– , 6 ) màxim.(0, 0).( , –6 ) mínim.(0, 0) punt d’inflexió.• Monotonia f (x) creix si x ∈ (–∞, – )∪ ( , +∞).

f (x) decreix si x ∈ (– , ).• Gràfica: Solució gràfica.f) • No té simetria.• Branca infinita: f (x) = +∞

f (x) = –∞

• Punts singulars.Talls amb eixos (3,104, 0).(0, –1) màxim.(2, –5) mínim.(1, –3) punt d’inflexió.• Gràfica: Solució gràfica.

Funcions racionals21. a) • Domini: Á – {–1, 1}.• Asímptotes:y = 0 és asímptota horitzontal.x = –1 és asímptota verticalx = 1 és asímptota vertical• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: Á.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.Asímptota horitzontal en y = 0.• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: Á – {–1, 1}.• Asímptotes:y = 0 és asímptota horitzontal.x = –1 és asímptota vertical.x = 1 és asímptota vertical.• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á – {0}.• Asímptotes:x = 0 és asímptota verticaly = x és asímptota obliqua.• Gràfica: Solució gràfica.

límx → –∞

límx → ∞

√3√3

√3√3

√3√3

√3√3

√5√5

límx → –∞

límx → ∞

límx → –∞

límx → ∞

√3

√3

límx → ∞

límx → –∞

límx → ∞

31Unitat 9. Representació de funcions

e) • Domini: Á.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = 0 és asímptota horitzontal.• Gràfica: Solució gràfica.f) • Domini: Á.• Asímptotes:y = 1 és asímptota horitzontal.• Gràfica: Solució gràfica.22. a) • Domini: Á – {0}.• Asímptotes:x = 0 és asímptota verticaly = 2x és asímptota obliqua.f (x) és creixent en (– ∞, –2) U (2, +∞)és decreixent en (–2, 0) U (0, 2)té un màxim en (–2, –8)té un mínim en (2, 8)• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: Á – {–1}.• Asímptotes:y = 0 és asímptota horitzontalx = –1 és asímptota vertical• Creixement, decreixement, extremsrelatius:f (x) és decreixent en (– ∞, –1) U (1, +∞)creixent en (–1, 1)

té un màxim en (1, )• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: Á – {–2, 2}.• Asímptotes:x = –2 és asímptota verticalx = 2 és asímptota verticaly = x és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:creixent en (– ∞, – ) U ( , +∞)decreixent en (– , –2) U (–2, 2) U

(2, )màxim en (– , –3 )mínim en ( , 3 )• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á – {1}.• Asímptotes:x = 1 és asímptota verticaly = x – 1 és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:

creixent en (– ∞, 0) U (2, +∞)decreixent en (0, 1) U (1, 2)màxim en (0, –2)mínim en (2, 2)• Gràfica: Solució gràfica.

Funcions «a trossos»23. • Extrems:x = –1.x = 1.• Creixement:creix si x ∈ (–∞, –1) ∪ (1, + ∞).decreix si x ∈ (–1, 1).• Punt d’inflexió:En x = 0.Solució gràfica.24. a) • Punts singulars:(0, 0) → màxim• Talls amb els eixos:(0, 0), (2, 0)• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (–∞, 0) ∪ (1, +∞)f (x) decreix si x ∈ (0, 1)Solució gràfica.b) • Punts singulars:(0, –1) mínim• Talls amb els eixos:(–1, 0), (1, 0)• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (0, +∞)f (x) decreix si x ∈ (–∞, 0)Solució gràfica.c) • Punts singulars:No hi ha punts singulars.• Talls amb els eixos:(0, 1). No talla l’eix x.• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (–∞, 1)f (x) decreix si x ∈ (1, +∞)Solució gràfica.d) • Punts singulars:No hi ha punts singulars.• Talls amb els eixos:(0, e ), (1, 0)• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (1, +∞)f (x) decreix si x ∈ (–∞, 1)Solució gràfica.25. • Extrems:(–1, 3) màxim.

√3√12

√3√12

√12

√12

√12√12

12

32Unitat 9. Representació de funcions

(1, 0) mínim.• Creixement:f (x) creix si x ∈ (–∞, –1) ∪ (1, +∞).f (x) decreix si x ∈ (–1, 1).• Curvatura:x < 0 → tram convexx > 0 → tram còncauSolució gràfica.26. a)

f (x) =

• Punts singulars:(1, –1) mínimSolució gràfica.b) • Punts singulars:

( , ) màxim

Solució gràfica.c)

f (x) =

• Branques infinites: (x2 – 1) = ∞;

(x2 – 1) = ∞

• Punts singulars:(0, 1) màximSolució gràfica.d)

f (x) =

• Branques infinites: (x2 – 4x) = ∞;

(x2 – 4x ) = ∞

• Punts singulars:(2, 4) màximSolució gràfica.e)

f (x) =

• Branques infinites:asímptota horitzontal en y = 0 quan x →→ –∞

asímptota horitzontal en y = 0 quan x →→ +∞asímptota vertical en x = 0• Punts singulars:No n’hi ha.Solució gràfica.f)

f (x) =

• Branques infinites:asímptota horitzontal en y = 0 quan x →→ –∞asímptota horitzontal en y = 0 quan x →→ +∞asímptota vertical en x = 2Solució gràfica.27. Resol amb el 26.28. a) • Domini: Á – {2}.• Asímptotes:y = 0 és asímptota obliqua.x = 2 és asímptota vertical• Creixement, decreixement, extremsrelatius:decreixent en (– ∞, 2) U (4, +∞)creixent en (2, 4)màxim en (4, 1)• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: Á – {2}.• Asímptotes:y = 0 és asímptota horitzontal.x = 2 és asímptota vertical.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:decreixent en (– ∞, –2) U (2, +∞)creixent en (–2, 2)

mínim en (–2, )• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: Á – {2}.• Asímptotes:x = 2 és asímptota vertical.y = x – 2 és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:f (x) no té extrems relatius.f (x) és creixent en tot el seu domini.• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á – {–3, 3}.

–18

1–– si x < 22 – x

1–– si x > 2x – 2

1– si x < 0–x1– si x ≥ 0x

límx → ∞

límx → – ∞

x2 – 4x si x < 04x – x2 si 0 ≤ x ≤ 4x2 – 4x si x > 4

límx → ∞

límx → – ∞

x2 – 1 si x < –11 – x2 si –1 ≤ x ≤ 1x2 – 1 si x > 1

14

12

2x – x2 si x < 0x2 – 2x si x ≥ 0

33Unitat 9. Representació de funcions

• Asímptotes:y = –1 és asímptota horitzontal.x = –3 és asímptota vertical.x = 3 és asímptota vertical.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:decreixent en (– ∞, –3) U (– 3, 0)creixent en (0, 3) U (3, +∞)mínim en (0, 0)• Gràfica: Solució gràfica.e) • Domini: Á – {0}.• Asímptotes:x = 0 és asímptota vertical.y = x és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:creixent en (– ∞, –2) U (2, +∞)decreixent en (–2, 0) U (0, 2)màxim en (–2, –4)mínim en (2, 4)• Gràfica: Solució gràfica.f) • Domini: Á – {3}.• Asímptotes:y = 1 és asímptota horitzontal.x = 3 és asímptota vertical.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:decreixent en (– ∞, 0) U (3, +∞)creixent en (0, 3)mínim en (0, 0)• Gràfica: Solució gràfica.g) • Domini: Á.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = 2x és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:f (x) és creixent en tot Á.• Gràfica: Solució gràfica.h) • Domini: Á – {–2, 2}.• Asímptotes:x = –2 és asímptota vertical.x = 2 és asímptota vertical.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:decreixent en (– ∞, – ) U (0, 2) U (2, )creixent en (– , –2) U (–2, 0) U ( , +∞)mínim en (– , 16) i un altre en ( , 16)màxim en (0, 0)

• Gràfica: Solució gràfica.i) • Domini: Á – {–2}.• Asímptotes:x = –2 és asímptota vertical.Branques parabòliques.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:decreixent en (– ∞, –3)creixent en (–3, –2) U (–2, +∞)mínim en (–3, 27)punt d’inflexió en (0, 0)• Gràfica: Solució gràfica.j) • Domini: Á – {1}.• Asímptotes:x = 1 és asímptota verticaly = x – 3 és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:creixent en (– ∞, 0) U (2, +∞)decreixent en (0, 1) U (1, 2)màxim en (0, –4)mínim en (2, 0)• Gràfica: Solució gràfica.29. a) x = 0 és asímptota vertical.y = x és asímptota obliqua.b) decreixent en (0, 1)creixent en (1, +∞)mínim (local i global) en (1, 2)no té un màximc) Solució gràfica.30. a) • Domini: Á – {–1, 3}.• Asímptotes verticals:en x = –1en x = 3• Asímptotes horitzontals:en y = 0 quan x → –∞en y = 0 quan x → +∞• Punts de tall amb els eixos:

(0, )• Punts singulars:

(1, ) màxim

f (x) creix si x ∈ (–∞, 1) ∪ (–1, 1).f (x) decreix si x ∈ (1, 3) ∪ (3, +∞).• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: Á – {0}.• Asímptotes verticals:en x = 0

–14

–13

√8√8

√8√8

√8√8

34Unitat 9. Representació de funcions

en x = 0• Asímptotes horitzontals:en y = –2 quan x → +∞en y = –2 quan x → –∞• Punts singulars:Cap.• Monotonia:f (x) decreix si (–∞, 0) ∪ (0, +∞).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: Á – {0}.• Asímptota vertical:en x = 0• Asímptotes horitzontals:No.• Punts singulars:(–1, 3) mínim• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (–1, 0) ∪ (0, +∞)f (x) decreix si x ∈ (–∞, –1)• Punt d’inflexió:( , 0)• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á – {–2}.• Asímptota vertical:en x = –2• Asímptotes horitzontals:No.• Asímptota obliqua:y = x – 2• Punts singulars:(0, 0) mínim(–4, –8) màxim• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (–8, –4) ∪ (0, +∞)f (x) decreix si x ∈ (–4, –2) ∪ (–2, 0)• Gràfica: Solució gràfica.31. a) • Domini: Á.• Asímptotes horitzontals:en y = 0• Punts de tall amb els eixos:(0, 1)• Punts singulars:(0, 1) màxim• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (–∞, 0).f (x) decreix si x ∈ (0, +∞).• Punts d’inflexió:

(1, ) (–1, )

• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: Á – {– , }

x = – és asímptota vertical.

x = és asímptota vertical.y = 0 és asímptota horitzontal quan x →– ∞• Creixement, màxims i mínims:creixent en (– ∞, – ) U (– , –1) U (3,+∞)decreixent en (–1, ) U ( , 3)màxim en (–1, )mínim en (3, )• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: Á – {1}.• Asímptotes:x = 1 és asímptota vertical.y = x és asímptota obliqua.• Creixement, decreixement, extremsrelatius:creixent en (– ∞, 1) U (3, +∞)decreixent en (1, 3)mínim en (3, 4)• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á simetria parell.• Asímptotes horitzontals:No.• Asímptotes obliques:en y = x quan x → +∞en y = –x• Punts de tall amb els eixos:(0, 1)• Punts singulars:(0, 1) mínim• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (0, +∞).f (x) decreix si x ∈ (–∞, 0).• Gràfica: Solució gràfica.32. a) • Domini: [–2, 2].• Asímptotes:No en té.• Punts singulars:No.f (x) és creixent en l’interval (–2, 0) i de-creixent en l’interval (0, 2).Té un màxim en (0, 2).• Talla l’eix X en (–2, 0) i en (2, 0).• Gràfica: Solució gràfica.

e3

6

–12e

√3√3

√3√3

√3

√3

√3√3

1

√2

1

√2

3√2

35Unitat 9. Representació de funcions

b) • Domini: (–∞, –2] U [2, +∞)• Simetria:Parell.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = x és asímptota obliqua quan x → +∞y = –x és asímptota obliqua quan x →–∞.• Punts singulars:No.Passa per (–2, 0) i (2, 0).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: Á.• Simetria:Parell.• No té asímptotes.• Punts singulars:No.f (x) és decreixent en (–∞, 0) i creixenten (0, +∞).• Passa per (0, 0).• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á.• Asímptotes:No.• Punts singulars:(0, 1) màximf (x) és creixent en (–∞, 0), és decreixenten (0, +∞)• Talla l’eix X en (–1, 0) i en (1, 0).• Gràfica: Solució gràfica.

Pàgina 21233. a) f (x) =

Solució gràfica.

b) f (x) =

Solució gràfica.

c) f (x) =

Solució gràfica.

d) f (x) =

Solució gràfica.

34. a) f (x) =

• Domini: (0, 2) U (2, +∞).• Asímptota vertical:en x = –2 i en x = 2• Asímptota horitzontal:en y = 0No talla els eixos.sempre decreix f (x) i no té extrems.• Gràfica: Solució gràfica.b) Simetria parell.• Domini Á.• Asímptota horitzontal:en y = 0• Extrems:(1, 1) màxim.• Monotonia:f (x) creix si (0, 1)f (x) decreix si (1, +∞)• Gràfica: Solució gràfica.35. a) x = 3b) mínim en (0, 0) i en (3, 0), i té unmàxim en (2, 4).c) Solució gràfica.36. k = 3

f (x) =

• Domini: Á – {3}.• Asímptotes:x = 3 és asímptota verticaly = 2x + 6 és asímptota obliqua.• Punts singulars:creixent en (– ∞; –0,08) U (6,08; +∞)decreixent en (–0,08; 3) U (3; 6,08)màxim en (–0,08; –0,33)mínim en (6,08; 24,32)• Gràfica: Solució gràfica.37. a) Tall amb eixos (0, 1)f (x) creix si x ∈ (–∞, 0)

( , ) punt d’inflexió.

asímptota horitzontal quan x tendeix a –∞en y = 0.b) Solució gràfica.38. a = 2; b = 2

3

4

–√—3

3

2x2 + 1x – 3

1si x < 0

–x – 21

si x ≥ 0 x – 2

x – x2 si x < 1x2 – x si x ≥ 1

3 – 2x si x < 03 si 0 ≤ x ≤ 32x – 3 si x > 3

3x – 3 si x ≤ 3x + 3 si x > 3

–2 si x < –22x + 2 si x ≥ –2

36Unitat 9. Representació de funcions

f (x) = 2x + 2 +

• Domini: Á – {0}• Asímptotes:x = 0 és asímptota verticaly = 2x + 2 és asímptota obliquacreixent en (– ∞, –2) U (2, +∞)decreixent en (–2, 0) U (0, 2)màxim en (–2, –6)mínim en (2, 10)• Gràfica: Solució gràfica.39. a = –1 b = 0 c = –440. a) • Domini: Á.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = 0 és asímptota horitzontal quan x →→ +∞• Punts singulars:creixent en (– ∞, 1)decreixent en (1, +∞)

màxim en (1, )• Talla els eixos en el punt (0, 0).• Gràfica: Solució gràfica.b) • Domini: (0, +∞)x = 0 és asímptota verticaly = 0 és asímptota horitzontal quan x →→ +∞• Punts singulars:creixent en (0, e)decreixent en (e, +∞)

màxim en (e, )• Talla l’eix X en (1, 0).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Domini: (0, +∞)• Asímptotes:No en té.• Punts singulars:

decreixent en (0, )creixent en ( , +∞)mínim en ( , – )• Talla l’eix X en (1, 0).• Gràfica: Solució gràfica.d) • Domini: Á.

• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = 0 és asímptota horitzontal quan x →→ – ∞• Punts singulars:decreixent en (– ∞, 0)creixent en (0, +∞)mínim en (0, –1)• Talla l’eix X en (1, 0).• Gràfica: Solució gràfica.e) • Domini: Á.• Simetria parell:• Punts de tall amb els eixos:(0, 1)• Punts singulars:(0, 1) màxim.• Monotonia:f (x) creix si x ∈ (– ∞, 0)f (x) decreix si x ∈ (0, +∞)• Punts d’inflexió:

( , e–1/2)( , e–1/2)• Gràfica: Solució gràfica.f) • Domini: Á.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = 0 és asímptota horitzontal quan x →→ +∞• Punts singulars:decreixent en (– ∞, 0) U (2, +∞)creixent en (0, 2)mínim en (0, 0)

màxim en (2, )• Gràfica: Solució gràfica.g) • Domini: (0, 1) U (1, +∞)• Asímptotes:x = 1 és asímptota vertical.• Punts singulars:decreixent en (0, 1) U (1, e1/2)creixent en (e1/2, +∞)mínim en (e1/2, 2e).• Gràfica: Solució gràfica.h) • Domini: (– ∞, –1) U (1, +∞)• Asímptotes:x = –1 és asímptota vertical

4e2

–√—2

2

√—2

–2

1e

1e

1e

1e

1e

1e

8x

37Unitat 9. Representació de funcions

x = 1 és asímptota vertical• Punts singulars:No hi ha punts singulars.• Punts de tall amb l’eix X:(– , 0) i ( , 0)• Gràfica: Solució gràfica.41. a) No hi ha màxims ni mínims.Punt d’inflexió en (0, 0).Solució gràfica.b) Hi ha un mínim en (0, 1).No hi ha punts d’inflexió.Solució gràfica.42. a) 2; b) 6; c) 5; d) 1; e) 3; f) 443. a) • Talls amb els eixos:

( , 0) i ( , 0)• Màxims, mínims, creixement i de-creixement:Té un màxim en (π, 3), un mínim en (0,–1) i un altre mínim en (2π, 1).• Punts d’inflexió:

( , 1) i ( , 1)• Gràfica: Solució gràfica.b) • Talls amb els eixos:

( , 0) i ( , 0)• Màxims, mínims, creixement i de-creixement:Té un màxim en ( , 3) i un mínim en

( , –1).• Punts d’inflexió:(0, 1), (π, 1) i en (2π, 1).• Gràfica: Solució gràfica.c) • Talls amb els eixos:

( , 0) i ( , 0)• Màxims, mínims:

Té un màxim en ( , ) i un mínim en

( , – ).• Punts d’inflexió:Els punts d’inflexió són els punts de tallamb l’eix X.• Gràfica: Solució gràfica.d) • Talls amb els eixos:

( , 0) i ( , 0)• Màxims, mínims:

( , ) màxim i ( , – ) mínim

• Punts d’inflexió:Els punts d’inflexió coincideixen amb elspunts de tall amb l’eix horitzontal.• Gràfica: Solució gràfica.

Pàgina 21344. f (x) serà, com a mínim, de grau 5.Sí.45. f (x) tindrà, com a màxim, dos puntsd’inflexió.46. En x = –1 hi ha una discontinuïtatevitable, no hi ha una asímptota.47. Infinites.Com a màxim, dues: una quan x → – ∞ iuna altra quan x → +∞.48. y = |x – 1|Solució gràfica.49. y = (x – 1)3.50. Com a mínim, grau 5.Solució gràfica.51. f (x) còncava si x ∈ (–∞, –2) ∪ (2, +∞)f (x) convexa si x ∈ (–2, 2)x = –2 i x = 2.52. y = –1 és asímptota horitzontal quanx → – ∞y = 1 és asímptota horitzontal quan x →+∞53. y = x54. No.55. f (x) és la b.; g(x) és la c.56. b.

Per aprofundir57. a) • Domini: Á.• Asímptotes:No té asímptotes verticals.y = 0 és asímptota horitzontal.la corba està per sobre de l’asímptota).b) f (x) és creixent en (–∞, 0); és de-creixent en (0, +∞). Té un màxim en (0,1).c) Solució gràfica.58. a) • Asímptotes verticals:en x = 0.

√25π4

√2π4

7π4

3π4

√27π4

√23π4

5π4

π4

3π2

π2

11π6

7π6

3π2

π2

5π3

π3

√2√2

38Unitat 9. Representació de funcions

• Asímptotes horitzontals:quan x = –∞ en y = 0.b) • Asímptotes verticals:en x = 0.

• Asímptotes horitzontals:Existeix asímptota horitzontal quan x = ∞en y = 2.Existeix asímptota horitzontal quan x =–∞ en y = 0.

39Unitat 9. Representació de funcions