UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE CIENCIAS ... fileUn límite matemático, expresa la tendencia de una función mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. Definición

UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática II

Elaborado por:

Ing. Ronny Altuve

Ciudad Ojeda, Enero de 2016

LÍMITES

INDICADOR DE LOGRO

Unidad curricular: Matemática II

Aplicar la definición y propiedades de los límites, resolviendo

problemas propuestos.

Un límite matemático, expresa la tendencia de una función

mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Definición Formal: La función f se dice que tienen por límite al

número real L, cuando x se aproxima a “c”, si los valores de la

función f se van aproximando a L tanto como se quiera, haciendo

que x esté lo suficientemente cerca de “c” (x ≠ c)

DEFINICIÓN DE LÍMITE


NOTACIÓN

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿

Donde: L є R

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES


Teorema 1.

Si a є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑥 =𝑎

Teorema 2. Límite de una constante

Si c = constante, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑐 = 𝑐

Teorema 3. Límite de una combinación lineal

Si c = constante y 𝑓(𝑥) una función, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)



Teorema 4.

Si m = cte, b = cte, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑎 + 𝑏

Teorema 5. Límite de una suma

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

[𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 + lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐺 + 𝐻

Teorema 6. Límite de una diferencia

Si lim𝑥→𝑎



lim𝑥→𝑎

[𝑔 𝑥 − ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 − lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐺 − 𝐻



Teorema 7. Límite de un producto

Si lim𝑥→𝑎



lim𝑥→𝑎

[𝑔 𝑥 ∙ ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 ∙ lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐺 ∙ 𝐻

Teorema 8. Límite de un cociente

Si lim𝑥→𝑎


ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, con H ≠ 0, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥)=𝐺

𝐻

Teorema 9. Límite de una potencia

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 , con m y n є R, siendo n ≠ 0, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)𝑚

𝑛 = 𝐺𝑚

𝑛



Teorema 10. Límite de un polinomio

Si P(x) es una función polinómica, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎)

Teorema11.

Si lim𝑥→𝑎



lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)

= lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥)= 𝐺𝐻

Calcular el siguiente límite, justificando que

propiedad se está usando:

a) lim𝑥→3

[𝑥ᶟ− 𝑥2 + 15]

b) lim𝑥→0

𝑥−3

(𝑥−2)²

c) lim𝑥→

1

2

𝑥2+6𝑥+9

𝑥2−2𝑥+1

d) lim𝑥→2

𝑥2−3𝑥−10

4𝑥2+4𝑥+3

3

e) lim𝑥→−3

5+2𝑥

5−𝑥

3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN


INDETERMINACIONES


Indeterminación cero partido entre cero 0

0

1. Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los

polinomios y se simplifica la fracción.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS


FACTORIZACIÓN

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los

siguientes pasos, cuando sean posibles:

1. Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio,

consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a ∙ x + b ∙ x + c ∙ x = x a + b + c

2. Igualdad notable

I. Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a

suma por diferencia.

a2 − b2 = a + b ∙ a − b

II. Diferencia de cubos:

a3 − b3 = a − b ∙ 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2



III. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es

igual a un binomio al cuadrado.

𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2

IV. Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el

trinomio de segundo grado𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se iguala a cero y se

resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación

son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑥 − 𝑥2



Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las

raíces enteras.

A. Tomamos los divisores del término independiente

B. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división

es exacta

C. Dividimos por Ruffini.

D. Por ser la división exacta, D = d · c

E. Se continua realizando las mismas operaciones a los siguientes

factores.

Evalúa los siguientes límites:

1. lim𝑥→1

𝑥² − 1

𝑥 − 1

2. lim𝑥→1

𝑥² + 𝑥 − 2

𝑥 − 1

3. lim𝑥→

13

3𝑥 − 1

3𝑥2 + 5𝑥 − 2

4. lim𝑥→2

𝑥3 − 8

𝑥2 − 4

5. lim𝑥→−2

𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 10

𝑥2 + 3𝑥 + 2



INDETERMINACIONES


Indeterminación cero partido entre cero 0

0

2. Función racional con radicales. En primer lugar se multiplica

numerador y denominador por la conjugada de la expresión

irracional.

Para la conjugada: (A + B)(A - B) = A² - B²

(A – B)(A² + AB + B²) = A³ - B³

(A + B)(A² - AB + B²) = A³ + B³




1. limx→9

x²−9x

3− x

2. limx→2

x²+3x−10

x2+5−3

3. limx→1

1− x

x2+3−2

4. limx→0

1− 1+x3

x

5. limx→1

x3 −1

x−1

6. limx→−1

x3 +1

𝑥2+x

INDETERMINACIONES


Indeterminación infinito partido entre infinito ∞

∞

Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.

Reglas Prácticas

1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el

cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el límite es

±∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

3. Si el numerador tiene mayor grado el límite es cero.


1. limx→∞

x²+5𝑥+4

𝑥2−2𝑥+1

2. limx→∞

2𝑥5−3𝑥2

𝑥4−𝑥3

3. limx→∞

𝑥2−𝑥+2

3𝑥2+2𝑥−4

4. limx→+∞

3𝑥2−2𝑥

2𝑥+3

5. limx→+∞

𝑥2+1

𝑥+1



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