UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLESCARRERA PROFESIONAL DE ADMINISTRACION

MATEMATICA

DOCENTE: CRUZ QUIN GEORGINAALUMNOS: MARIA CATHERINE ROJAS CCAHUANACODIGO: 015100128C

CUSCO - 2015TRABAJO N 11. EXPLIQUE LA TEORIA DE LA LOGICA PROPOSICIONAL Y LA INFERENCIA LOGICA UTILIZADA EN SU FORMACION PROFESIONAL1.1 LA LOGICA PROPOSICIONALLa lgica estudia los procesos validos del razonamiento humano. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es vlido, tiene aplicacin en todos los campos del saber; como en la filosofa, para determinar si un razonamiento es vlido o no, en la administracin los resultados de objetivos trazados son lgicos o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lgica permite saber el significado correcto. Los matemticos usan la lgica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computacin, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseo de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lgicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefona mvil, internet,...)Existen dos tipos de razonamiento: Inductivo y Deductivo.Razonamiento Inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus experiencias especficas, decide aceptar como vlida un principio general.Razonamiento Deductivo es, en cambio, el medio segn el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habr de determinar el curso de su accin.Lo que veremos es la lgica proposicional, a travs del uso y manejo de una simbologa adecuada.1.1.1 ELEMENTOS DE LA LGICA SIMBLICAENUNCIADO: Es cualquier frase u oracin que expresa una idea.

PROPOSICIN (enunciado cerrado).- Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minsculas del abecedario: p; q; r; s.

Ejemplos: Tpac Amaru muri decapitado.*9 < 10 *45 = 3 2 x2+y2 4 El perro es un pez

Expresiones no Proposicionales.- Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.

Ejemplos: Cmo te llamas? Prohibido pasar Borra la pizarra Qu hora es? Viva el Per!Por favor mtame con pasinOBSERVACIN: Toda proposicin es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposicin.

ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

Ejemplo: Si en la proposicin: "cinco es mayor que tres" (en smbolos: 5 > 3) reemplazamos al nmero 5 por la letra x, se obtiene la expresin "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al nmero 5, sino a un nmero cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

Ejemplo: Si:

Se cumple que: Es verdadero Es falso

El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, tambin, se le conoce como funcin proposicional.

VARIABLE: Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido a las variables representamos por las letras minsculas x, y, z, t, u, v, y son denominados variables indeterminados.

Ejemplo:Se tiene un nmero real , si x, entonces x puede ser un nmero mayor o igual que 5 y su campo o recorrido es x5

PROPOSICIONES LOGICASEs todo enunciado abierto que puede ser calificado como verdadero o falso, sin ambigedad. Las proposiciones lgicas estn representadas por letras minsculas: p, q, r, t,etc. A la veracidad o falsedad de una proposicin se le llama valor de verdad.

Ejemplos: p: Huaraz es la capital de Ancash .Verdadero ( V ) q: 120+400=20.. Falso ( F )

VALOR DE VERDAD.- Son dos valores posibles: Verdadero o Falso, y pueden esquematizarse en una tabla en la forma:p

VF

1.1.2 CLASES DE PROPOSICIONES:

a) Proposicin Simple o Atmica.- Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o trminos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("s. . . entonces"). Pueden aparecer trminos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.Ejemplo: * Cincuenta es mltiplo de diez.* 8 es par* Carlos es muy bello* El hombre es bueno

b) Proposicin Compuesta o molecular: Formada por dos o ms proposiciones simples unidas por conectivos lgicos o por el adverbio de negacin. Ejemplo: * 29 es un nmero primo y 5 es impar.* Samuel es artista plstico o msico* Hoy llueve y ayer hizo sol* Juan no es deportista.Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:1. Vincent Van Gogh es un pintor.(Simple) 2. Sen 30 no es un nmero mayor que 1 (Compuesta) 3. El 14 y el 7 son factores del 42 (Simple) 4. El 14 es factor del 42 y el 7 tambin es factor del 4(Compuesta) 5. El 2 o el 3 son divisores de 48 (Simple) 6. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48 (Compuesta) 7. Si x es nmero primo, entonces x impar (Compuesta) 8. Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16 (Compuesta) 9. No todos los nmeros primos son impares (Compuesta)

Algunas aclaraciones a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo, operativamente se consideran distintos. Similarmente 5) y 6). b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x - 3 > 16, si x > 10.

CONECTIVOS LGICOS.- Son smbolos que enlazan dos o ms proposiciones simples para formar una proposicin compuesta. Los conectores lgicos que usaremos son:

OBS: La negacin es un conector mondico ("no", "no es cierto que..."), afecta solamente a una proposicin.Ejemplo: p; [(p*q) > r]; yo no estudi

1.2 LA INFERENCIA LOGICAUna inferencia es una evaluacin que realiza la mente entre proposiciones. En lgica formal, son expresiones bien formadas de un lenguaje formal (EBF) que, al ser relacionadas, permiten trazar una lnea lgica de condicin o implicacin lgica entre las diferentes EBF. De esta forma, parte de lo verdadero a lo falso: posible (como hiptesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBF.Surge as lo que conocemos como postulado o transformada de una expresin original conforme a reglas previamente establecidas, que puede enmarcarse en uno o varios contextos referenciales diversos, obtenindose en cada uno de ellos un significado como valor de verdad de equivalente.1.2.1 UTILIDADLa inferencia es un proceso de razonamiento lgico que consiste en derivar la verdad de una conclusin a partir de la verdad de una o ms premisas, y de acuerdo a un conjunto de reglas de deduccin.ReglasModus ponendo ponensEl condicional o implicacin es aquella operacin que establece entre dos enunciados una relacin de causa-efecto. La regla ponendo ponens significa, afirmando afirmo y en un condicional establece, que si el antecedente (primer trmino, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo trmino, en este caso q).Ejemplosp qsi llueve, entonces las calles se mojanpLlueveqLuego, las calles se mojan

MODUS TOLLENDO TOLLENSSi de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

p qsi llueve, entonces las calles se mojanqLas calles no se mojanpLuego, no llueve

DOBLE NEGACINLa regla doble negacin, simplemente establece que si un enunciado est doblemente negado, equivaldra al enunciado afirmado. (p)No ocurre que el disco duro no es una unidad de almacenamientopEl disco duro es una unidad de almacenamiento

ADJUNCIN Y SIMPLIFICACINAdjuncin (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjuncin, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador (conjuncin). Simplificacin (S): obviamente, es la operacin inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjuncin, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

pMario es ingenieroqIsa es doctorap ^ qMario es ingeniero e Isa es doctora

MODUS TOLLENDO PONENSLa disyuncin, que se simboliza con el operador V, representa una eleccin entre dos enunciados. Ahora bien, en esa eleccin, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

p v qHe ido a comer o me he ido al cineqno he ido al cinep por tanto, he ido a comer

LEY DE LA ADICINDado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una eleccin (disyuncin) acompaado por cualquier otro enunciado.aHe comprado un ps3a V bHe comprado un ps3 o he comprado un ps4

SILOGISMO HIPOTTICODados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicacin cuyo antecedente sea el de aquella implicacin cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicacin, y cuyo consecuente sea el de sta ltima, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

SILOGISMO DISYUNTIVODadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyuncin cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyuncin, cuyos miembros seran los consecuentes de las dos implicaciones.p qSi cae nieve, entonces las calles se ponen blancasr sSi la tierra tiembla, los edificios se caenp V rCae nieve o la tierra tiemblap V sLas calles se ponen blancas o los edificios se caen

SIMPLIFICACIN DISYUNTIVASi disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyuncin, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones. p V qHamburguesa o Hotdogp rSi comes hamburguesa, entonces repitesp rSi comes hotdog, entonces repitesrLuego, repites

LEY CONMUTATIVAEsta ley, no es vlida para la implicacin, pero s para conjuncin y para la disyuncin. Una conjuncin es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho.pMara es jefaqLuis es trabajadorp ^ qMara es jefa y Luis es trabajador q ^ pLuis es trabajador y Mara es jefa

2. EXPLIQUE COMO UTILIZARIA LA TEORIA DE LA LOGICA PROPOSICIONAL Y LA INFERENCIA LOGICA EN SU FORMACION ACADEMICALa aplicacin o utilizacin se presenta en los diferentes campos de desarrollo y formacin acadmica para distinguir y decidir cualquier interpretacin. Los principios matemticos, en forma prctica en la vida real, nos ayuda a comprender mejor el proceso del aprendizaje sobre el tema.Se demuestra que s se puede interpretar una proposicin para prevenir riesgos en nuestra vida cotidiana.Los resultados obtenidos nos permiten analizar la eficacia del planteamiento del problema.Una proposicin compuesta nos permite llegar a obtener una interpretacin de casos de riesgo que podamos tener. Aplicar la lgica proposicional mediante razonamientos matemticos.La lgica forma parte de la filosofa, en la que se distinguen dos dimensiones tericas y la prctica, la lgica pertenece a la dimensin prctica, que se ocupa del conocimiento de la realidad.La lgica es la ciencia estudia los principios y mtodos para distinguir un razonamiento correcto de otro incorrecto.El desarrollo del pensamiento abstracto que te puede brindar la Lgica te puede permitir visualizar en forma holstica (o global) un proceso administrativo determinado.La aplicacin directa de operaciones lgicas (tablas de verdad, silogismos, etc.) no es la realidad en la administracin, pero s el orden mental que se genera al analizar las causas y consecuencias de tomar una decisin a niveles ejecutivos.La lgica investiga la relacin de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusin de un argumento correcto, se decide que un argumento es correcto (valido) si su conclusin se sigue es consecuencia de sus premisas; de otra forma es incorrecto.Para resolver multitud de problemas en la vida diaria para sacar conclusiones o realizar demostraciones en la cientfica, aplicamos continuamente el razonamiento lgico.

3. 3 MODELOS MATEMTICOSEjemplo 1a) La expresin 15 + 5 = 21 es una proposicin que se puede indicar brevemente de la formap: 15 + 5 = 21 cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica medianteV (p) = F

b) Sea la proposicin q: Santa Fe es una provincia argentina V (q) = V

c) Sea la proposicin r: el nmero 15 es divisible por 3V(r) = V

Ejemplo 2Sea la funcin proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p (4) = V yp (2) = F

Ms ejemplosp(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p (4) = 13 13 > 11 (Verdadero)q (y): 3y + 7 = 11. Si y = 5, q (5) = 22 22 = 16 (Falso)r (x): 2x + 1 = 5. Si x = 2, r (2) = 5 5 = 5 (Verdadero)

Ejemplo 3 (a) l se fue a Lima Es un E.A pues no se indica quin es l. En este caso, el pronombre l acta como variable. Si por ejemplo, hacemos que l se refiera a Luis, el enunciado sera Luis se fue a Lima, enunciado del cual se puede hablar de que sea verdadero o falso dependiendo si Luis se ha ido a Lima o no (b) X +2Y = 7 Es un E.A pues si X 2 Y y 3 el enunciado se convierte en la proposicin 2+ 23= 7 la cual es, en los nmeros reales, falsa.

4. BIBLIOGRAFIASUPPES,P. (1979) Introduccin a la Lgica Matemtica, Bogot: editorial Reverte S.A.

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Cantor, G. (11 de 2005). Fundamentos para una teora general de conjuntos: escritos y correspondencia selecta, 1 edicin (en espaol), Editorial Crtica, pp. 320.

Jimnez, A. (9 de 1998). Teora de conjuntos, 1 edicin (en espaol), Ediciones La , S.L., pp. 348. ISBN 978-84-8952.Coloma, C. (10 de 2003). lgebra: teora de conjuntos y estructuras algebraicas, 2 edicin (en espaol), Editorial Club Universitario, pp. 512. ISBN 978-84-8454-302-2.