UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD · PDF file5.1. Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado-----92 5.2. Solución de problemas

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

CAMPUS I

TESIS

Hidráulica a superficie libre: Fundamentos y ejercicios

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL

PRESENTADO POR

LUIS FERNANDO HERNÁNDEZ CARRILLO

DIRECTOR

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas MAYO 2016

I

II

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL ----------------------------------------------------------------------------------II

Cap. Pág.

1. INTRODUCCIÓN---------------------------------------------------------------------------------1

1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica------------------------------1

1.2. La hidráulica de canales a superficie libre------------------------------------------------2

1.2.1. Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal------------------------------6

2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA---------------------------13

2.1. Ecuación de conservación de la masa----------------------------------------------------13

2.1.1. Versión cinética---------------------------------------------------------------------14

2.1.2. Versión volumétrica----------------------------------------------------------------15

2.2. Ecuación de conservación de la energía-------------------------------------------------17

2.2.1. Ecuación de Bernoulli--------------------------------------------------------------18

2.2.2. Ecuación de la energía--------------------------------------------------------------20

2.2.3. Energía específica y régimen crítico----------------------------------------------21

2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo-------------------------------------21

2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vsE-----------------------------------------------25

2.2.3.3. Régimen crítico--------------------------------------------------------------27

2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (Curva Q vs y)-------34

2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento---------------------------------------36

2.4. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica---------38

3. ECUACIÓN DEL RESALTOHIDRÁULICO-----------------------------------------------45

3.1. Fuerza hidrostática--------------------------------------------------------------------------45

3.2. Fuerza dinámica-----------------------------------------------------------------------------48

3.2.1. Cantidad de movimiento------------------------------------------------------------50

3.3. Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico-------------------------56

4. ECUACIÓNES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE

LA HIDRÁULICA DE CANALES PARA FLUJO UNIFORME------------------------68

4.1. Ecuación de Chezy-------------------------------------------------------------------------68

4.2. Ecuación de Robert Manning-------------------------------------------------------------70

4.3. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de

Canales para flujo uniforme----------------------------------------------------------------76

5. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO-----------------------------------------------------92

5.1. Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado--------------------------92

5.2. Solución de problemas de flujo gradualmente variado-------------------------------96

III

Cap. Pág.

5.2.1. Método estándar por pasos---------------------------------------------------------96

5.2.2. Método estándar directo-----------------------------------------------------------102

5.3. Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado------------------------------105

Conclusión---------------------------------------------------------------------------------------127

Referencias.--------------------------------------------------------------------------------------128

PRESENTACIÓN

Este libro está realizado pensando en todos esos estudiantes que llevan las ciencias de la

ingeniería a todos lados y que tienen un especial amor o respeto hacia el agua, también para

quien disfrute de las leyes de la física y sus aplicaciones más sorprendentes, dado que no es

un libro muy ostentoso su riqueza cultural y matemática es incomparable.

IV

En esta bibliografía se encontrará con datos y anécdotas sobre la física y la hidráulica que

muy pocos conocen provocando un pequeño viaje a mundos olvidados y que sin duda

alguna despertará en los amantes de este tipo de literatura un hambre por conocer más de

estos temas, realizada para la correcta comprensión de la hidráulica de canales a superficie

libre este libro cuenta con un lenguaje fluido y conciso, en este documento se le da al lector

o estudiante de ingeniería la posibilidad de ver y comprender la hidráulica de canales desde

el punto de vista de la física clásica o física de Newton al fundamentarse de ella y

auxiliándose de las leyes matemáticas, demostrando así varias de sus ecuaciones

provocando que el lector se identifique con este tan importante líquido para toda la

humanidad.

Este libro está diseñado para que el lector se enamore del agua, para que le tome un cariño

especial; como aquel niño que por primera vez conoce la inmensidad el mar o descansa en

el remanso de un río y se maravilla de tan increíble elemento; así este libro requiere que

usted se maraville en cada una de sus páginas y le impulse a continuar nadando en el gran

mar de conocimientos que es la hidráulica.

Ing. Luis Fernando Hernández Carrillo

1

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica

Las leyes del movimiento son la base de la física clásica, con ellas se dan solución a todos

los fenómenos ocurridos por acción de fuerzas externas y gravitacionales hacia los objetos.

Por este motivo los estudios de las leyes del movimiento son esenciales en el estudio de la

hidráulica pues este consiste en el estudio de las acciones y fenómenos ocurridos en el agua

por acción de su fuerza y su gravedad. Muchas ecuaciones de la hidráulica tienen su

fundamento en las leyes del movimiento, pero llevó mucho tiempo encontrarlas. Fueron

varios los científicos los que invirtieron mucho de su tiempo para poder demostrar algún

fenómeno que se le haya presentado ya sea por casualidad o para dar solución a algún

problema, todos ellos resueltos con varias horas de observación, experimentación y

estableciendo modelos matemáticos.

Ecuaciones como el de la ley de la conservación de la masa del monje Benedetto Castelli es

uno de los varios ejemplos de científicos que buscaron dar solución a un problema basando

sus estudios en las leyes de Newton.

La primera ley del movimiento señala que todo cuerpo mantiene su estado de reposo o una

misma trayectoria a menos que se le aplique una fuerza exterior la cual modifique esta, esta

ley conocida como la ley de la inercia toma en cuenta la tendencia de un cuerpo a detenerse

por la fricción de su superficie o la acción de una fuerza que detenga su movimiento. Se

puede imaginar en este escenario la idea de un río el cual al principio por tener una

pendiente grande lleva una velocidad muy acelerada, pero aguas abajo donde la pendiente

es menor y a causa de la fricción de su superficie esta reduzca su velocidad.

La segunda ley del movimiento o la ley de la fuerza, indica que todo cambio de

movimiento sobre un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada sobre este. En hidráulica

se puede utilizar esta ley para predecir la fuerza que tendrá un cuerpo de agua sí se conocen

su masa y su aceleración el cual se puede aplicar en el caso de las presas hidroeléctricas al

producir energía eléctrica a partir de la energía potencial del agua, al hacer girar una turbina

la cual produce energía eléctrica por medio de la fuerza que contiene el agua al caer de una

considerable altura.

La tercera ley del movimiento o la ley de la acción y la reacción, establece que para toda

acción sobre un cuerpo ocurre una reacción igual, pero en sentido contrario. En ingeniería

2

la teoría y práctica de esta ley es utilizada en el diseño de canales y cortinas en una presa,

ya

que si no se diseñaran estos últimos para sostener una fuerza de empuje equivalente a la

cantidad de agua que sostendrán; entonces podría fallar, así que se diseñan con una fuerza

superior a esta.

Como estos hay muchos más ejemplos en los cuales se aplican las leyes más importantes

para la ingeniería y la hidráulica, con forme se avance en la bibliografía se encontrarán más

aplicaciones para la mejor comprensión de los temas tratados.

1.2. La hidráulica de canales a superficie libre

El estudio de la hidráulica de canales se ha vuelto de vital importancia para la solución de

problemas relacionados con el almacenamiento, uso y transportación del agua, volviéndose

esta una materia obligada en el estudio de la ingeniería en nuestro país; ya que en ella se

destacan los comportamientos y características del agua volviéndose un manual para la

verdadera comprensión de este líquido tan importante en el país.

Un canal es un cauce por el cual circula agua y se encuentra descubierto a la atmósfera,

estos se pueden clasificar de dos maneras de acuerdo a su origen, como naturales o

artificiales. Un canal natural como ejemplo un río o arroyo; es aquel en el cual su

formación no tuvo que ver el ser humano y transporta el agua proveniente de la lluvia desde

lo más alto de una montaña hasta el mar, un lago u otro afluente, se encuentra impulsada

por solamente la fuerza de gravedad. Dependiendo de la altura y pendiente de esta, el canal

natural tendrá meandros o transporte de sedimentos; por esto último y lo irregular del

terreno natural se establece que un canal de este tipo siempre tendrá una sección transversal

irregular.

Por otro lado, un canal artificial es aquella estructura construida por el hombre con el fin de

transportar agua, ya sea para abastecer una población, para riego de cultivo o como medio

de transporte, esta tiene una geometría definida y sí mantiene una pendiente y geometría

constante entre determinados puntos se dice que es prismática. Los canales artificiales se

pueden clasificar a su vez de acuerdo a su geometría, siendo los más utilizados en todo el

mundo dos de ellos; el de sección trapezoidal y el de sección rectangular, de esta manera de

acuerdo a su sección cada uno tendrá diferentes propiedades geométricas.

3

Figura 2. Elementos geométricos de un canal con sección trapezoidal

Perímetro mojado: Es la línea que rodea el canal y que está en contacto con el agua y la

sección. Se calcula para un trapezoide de la siguiente forma.

2P = b + 2 1+ k y (1)

Área hidráulica: Es el área ocupada por el agua dentro del canal.

A = b + ky y (2)

Ancho mayor: Es el ancho superior del canal en el cual mantiene una superficie libre.

T = b + 2ky (3)

Dónde:

y= Tirante hidráulico (m).

T= Ancho mayor de superficie libre (m).

b= Ancho menor de superficie (m).

k= Talud, indica la inclinación de las paredes del canal.

P= Perímetro mojado (m).

A= Área hidráulica (m2).

y

b

1

k

T

4

Figura 3. Elementos geométricos de un canal con sección rectangular

Perímetro mojado: P = b + 2y (4)

Área hidráulica: A = by (5)

Dónde:

P= Perímetro mojado (m).

A= Área hidráulica (m2).

y= Tirante hidráulico (m).

b= Base del canal (m).

Otro tipo de sección muy utilizado en el país es el de sección circular muy característico su

uso como en tuberías de drenaje y alcantarillado, tiene las siguientes características.

Figura 4. Elementos geométricos de un canal con sección circular

y

b

T

D

y

5

Tirante: y

0 1D

(6)

Angulo: -1 T

θ = 2Cos 1-2D

(7)

Área hidráulica:

2πDA =

4 (8)

Perímetro mojado: πDθ

P =360

(9)

Radio hidráulico: 1 sen2θ

Rh = 1- D4 2θ

(10)

Ancho de la superficie libre (T):

T = Senθ D

T = 2 y D - y

Como ya se mencionó antes se pueden encontrar muchos más tipos de secciones, pero esta

bibliografía se enfocará en la rectangular y trapecial por ser las más comunes en todo el

mundo y por la facilidad de su análisis.

(11)

(12)

6

1.4.1 Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal

Ejemplo 1

Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las dimensiones

siguientes:

Solución

Datos Fórmulas Substitución

y = 3m 2P = b + 2 1+ k y 2P = 6 + 2 1+1 3

T = 9m A = b + ky y P = 6+ 2 2 3

b = 6m P =14.48m

k =1 A = 6+ 1 3 3

2A = 27m

Ejemplo 2

Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes

dimensiones.

Datos Solución

y= 3m

b= 4m

9m

3m

6m

1

1

3m

4m

Formulas

m

h

P = b + 2y

A = by

m

2

h

P = 4 + 2(3) =10m

A = 4(3) =12m

7

Ejemplo 3

Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes

dimensiones.

Datos Solución

y=6 m

b=6 m

Ejemplo 4

Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las siguientes

características.

Datos Solución

y=6 m

b=6 m

k=2

h

h

2

h

A = b + ky y

A = 6 + 2 6 6

A =108m

y=6 m

b=6 m

m

m

m

h

h

2

h

P = b + 2y

P = 6 + 2(6)

P = 18m

A = by

A = 6(6)

A = 36m

y=6 m

b=6 m k=2

2

m

2

m

m

P = b + 2 1+ k y

P = 6 + 2 1+ 2 6

P = 32.76m

8

Ejemplo 5

Calcule las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería que llevará un tirante

y=0.20m y un diámetro D= 0.30m

Solución

Perímetro mojado:

πDθP =

360

π 0.30 304.5851P =

360

P = 0.7974m

Radio hidráulico:

Área:

T = 2 y D - y

T = 2 0.20 0.30 - 0.20

T = 0.2828m

1 Sen2θRh = 1- D

4 2θ

Sen2 109.471Rh = 1- 0.30

4 2 109.47

Rh = 0.075m

D=0.30 m

y=0.20 m

2

2

2

πDA =

4

π 0.30A =

4

A = 0.0707m

Ancho de la superficie

libre (T) Ángulo:

-1

-1

o

Tθ = 2Cos 1- 2

D

0.2828θ = 2Cos 1- 2

0.30

θ = 304.5851

9

Ejemplo 6

Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas para una tubería de drenaje pluvial con

un diámetro de 1.5 m que transportará un tirante de 1.15m.

Solución

Perímetro mojado:

πDθP =

360

π 1.50 267.5349P =

360

P = 3.50m

Radio hidráulico:

Área:

y= 1.15 m D= 1.50 m

T = 2 y D - y

T = 2 1.15 1.50 -1.15

T = 1.2688m

1 Sen2θRh = 1- D

4 2θ

Sen2 267.53491Rh = 1- 1.50

4 2 267.5349

Rh = 0.3749m

2

2

2

πDA =

4

π 1.50A =

4

A = 1.7671m

Ancho de la superficie

libre (T) Ángulo:

-1

-1

o

Tθ = 2Cos 1- 2

D

1.2688θ = 2Cos 1- 2

1.50

θ = 267.5349

10

Ejemplo 7

Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección rectangular si

este tiene un área de 3 m2 y una base de 1.20 m.

Datos

A= 3 m2

b= 1.20 m

y=?

P=?

Ejemplo 8

Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección trapezoidal si

este tiene un área de 5 m2, una base de 1.5 m y k= 2.

Datos

A= 5 m2

b= 1.5 m

k=2

y=?

P=?

Solución

A = by

Ay =

b

3y =

1.20

y = 2.5m

P = 2y + b

P = 2 2.5 +1.2

P = 6.20m

Solución

A = b + ky y

5 = 1.5 + 2 y y

5 = 1.5 + 2y y

Ahora iteramos dando

valores al tirante (y) hasta

encontrar el que satisfaga

la ecuación.

Para y=1.25m

2

2

y = 1.25m

5 = 1.5 + 2 1.25 1.25

5 = 5

P = b + 2 1+ k y

P = 1.5 + 2 1+ 2 1.25

P = 7.0902

11

Ejemplo 9

Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería circular si este tiene una

T=0.72 m y un diámetro de 1 m.

Datos

T=0.72 m

D= 1 m

Ángulo=?

y=?

P=?

Área=?

Ejemplo 10

Calcula las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería con diámetro de 0.50 m y

un tirante de 0.35 m.

Solución

T = 2 y D - y

T = 2 0.35 0.50 - 0.35

T = 0.4582m

-1

-1

o

Tθ = 2Cos 1- 2

D

0.72θ = 2Cos 1- 2

1

θ = 232.2077

2

2

2

πDA =

4

π 0.50A =

4

A = 0.1963m

1 Sen2θRh = 1- D

4 2θ

Sen2 113.581Rh = 1- 0.50

4 2 113.58

Rh = 0.1246m

Solución

2

2

2

πDA =

4

π 1A =

4

A = 0.7854m

πDθP =

360

π 1 232.2077P =

360

P = 2.0264m

Ahora con la fórmula de T iteramos hasta encontrar el valor del tirante

que satisfaga la ecuación.

T = 2 y D - y

0.72 = 2 y 1- y

Para y=0.847 m

0.72 = 2 0.847 1- 0.847

0.72 = 0.7199 0.72m

12

-1

-1

o

Tθ = 2Cos 1- 2

D

0.4582θ = 2Cos 1- 2

0.50

θ = 292.775

πDθP =

360

π 0.50 292.775P =

360

P = 1.2775m

13

CAPÍTULO 2

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA

2.1. Ecuación de conservación de la masa

Son llamadas ecuaciones fundamentales a todas las que por su relación o configuración en

su estructura es posible obtener otros datos para resolver un problema sólo con despejar o

sustituir algún dato. Las ecuaciones fundamentales de la hidráulica como su nombre lo

dicen son las más importantes ya que de ellas se desprenden otras ecuaciones y es posible

dar solución a problemas a los que explícitamente no contamos con más información.

Antes de comenzar con el estudio de la hidráulica se debe de tener muy claro la amplia

relación de las leyes de la mecánica de Newton con el estudio de esta ciencia pues desde el

punto de vista de la mecánica clásica el agua es considerada como una masa en movimiento

influenciada por la fuerza de gravedad y con masa constante regida por la ley de

conservación de la masa.

También conocida como “Ecuación de continuidad” o “Ecuación de Castelli” en honor a al

monje benedictino y físico Benedetto Castelli (Brescia, Italia1577- Roma, 9 de abril, 1643)

quien fuera contemporáneo de Galileo Galilei y quien estableció de manera empírica;

mediante la observación y experimentación lo que hoy conocemos como la Ecuación de

continuidad.

Cuenta una anécdota que, en el año 1598, Roma sufrió una inundación con el

desbordamiento del río Tiber; como tales inundaciones se habían venido presentando con

cierta frecuencia, se consideró conveniente aumentar el cauce del río. Había que determinar

con ese objeto cuanta era el agua que realmente había escurrido (Enzo, Levi, El agua según

la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México). El arquitecto

Giovanni Fontanna (1546- 1614) intentó medir el escurrimiento real, pero no podía hacerlo

en el mismo cause porque este había sido insuficiente. Decidió entonces calcular el gasto

sumando los aportes en el tramo superior y en todos los afluentes. El resultado fue 500

cañas cuadradas medida de aproximadamente de poco más de 2 metros. El río contaba con

aproximadamente un tercio de esa medida por lo que Fontanna decidió construir dos cauces

con esas 500 cañas. Sin embargo, toda el agua cupo en un puente de 150 cañas a lo que

Fontanna concluyó que el agua debió haberse comprimido.

14

Esta conclusión no convenció al padre Benedetto Castelli “no entiendo como el agua sea

como el algodón o la lana, materiales que pueden comprimirse o apretarse” también dice

Castelli “Habiendo cabido toda la avenida debajo del puente sería suficiente un solo cauce

con la misma capacidad de dicho puente, siempre que el agua escurriera con la misma

velocidad que alcanzó debajo de él en ocasión de la inundación” (Enzo, Levi, El agua

según la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México).

Esta ecuación establece que la proporción entre la cantidad de agua que escurre por un río

cuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre en el mismo río cuando tiene otra

altura, está en razón compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura.

A continuación, la demostración de la ecuación de conservación de la masa o ecuación de

Castelli.

2.1.1 Versión cinética

Sea, un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un

determinado tiempo.

Figura 5. Sea un caudal de sección cualquiera

Se toma una diferencial de superficie s

d :

Figura 6. Profundidad ds de un caudal cualquiera

Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene:

*= ˙

sv .d (13)

*= vector de velocidad asociado a una diferencial de superficie ds

15

Se integra

˙

s.* v d= (14)

˙

s* = v d

Se acomodan términos y denominando

˙

= v s (15)

Entonces Q = vA (16)

Ecuación de conservación de la masa en su versión cinética

Dónde:

v.

=Velocidad puntual (m/s)

sd = Diferencial de superficie (m2)

Q= Caudal (m3/s)

A= Área hidráulica de la sección (m2)

t= Tiempo (s)

v =Velocidad promedio (m/s)

2.1.2 Versión volumétrica

Sea un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un

determinado tiempo

Figura 7. Sea un caudal cualquiera

16

Se toma una diferencial de superficie ds:

Figura 8. Profundidad ds de un caudal cualquiera

Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene:

*= ˙

sv .d (17)

Integrando ˙

s.* v d= (18)

Acomodando términos y denominando

˙

= v s (19)

Entonces

Q = vA (20)

Si d

V =t

(21)

Entonces d

Q = At

(22)

Por lo tanto V

Q =t

(23)

que es la Ecuación de conservación de la masa en su versión volumétrica

sd

Ecuación de conservación de la

masa en su versión cinética

17

Dónde:

v.

=Velocidad puntual (m/s)

sd = Diferencial de superficie (m2)

V = volumen (m3)

Q= Caudal (m3/s)

A= Área hidráulica de la sección (m2)

t= Tiempo (s)

d = Distancia (m)

v = Velocidad promedio (m/s)

2.2 Ecuación de conservación de la energía

Al igual que la masa la energía se conserva, en la ley de conservación de la energía se

establece que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma, esta ley también

llamada ley de Lomonósov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por Mijaíl

Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 respectivamente es perfectamente

aplicable tanto a canales abiertos como cerrados.

El primero en realizar estudios con fluidos para demostrar este argumento fue Daniel

Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y establece que un fluido ideal (sin viscosidad

ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el

fluido permanece constante a lo largo de su recorrido en cambio en un conducto abierto

como un canal y tomando en cuenta el rozamiento este presentará pérdidas mínimas por el

efecto de evaporación por rozamiento al liberar energía en forma de calor sin embargo al

final de su recorrido la sumatoria de la energía recorrida al final más la energía perdida

deberá ser la misma a la energía al principio del recorrido demostrando de esta forma la ley

de conservación de la energía. En la hidráulica se pueden encontrar muchos tipos de

energía, pero para uso de este tema se tomará en cuenta dos de ellas la energía cinética y la

potencial del agua.

18

2.2.1 Ecuación de Bernoulli

Se supone la rasante de un canal cualquiera con longitud d (de cota 1 a cota 2) con una

pendiente θ respecto a un nivel horizontal, como se muestra en la figura 8 donde en la cota

1 desde la horizontal hasta la rasante del canal tenemos un punto 1

z del otro lado de igual

forma se tiene un 2

z ,a continuación se tiene un tirante 1

y y un tirante 2

y de igual manera,

con una energía cinética

2

1v

2g desde el punto más alto del tirante hasta la línea de energía, del

otro lado de la misma forma se tiene a

2

2v

2g, se considera que desde el primer punto de

estudio el canal tiene una pérdida 0 por lo que no se considera en la figura pero en una

distancia recorrida d ya es considerable esta se expresa con f

h , la ecuación de la energía

establece que la misma cantidad de energía que se tiene a partir del punto 1 es la que se

tendrá al finalizar el punto 2 equilibrándose esta en cualquiera de los datos de este punto.

La energía cinética es la siguiente:

La ecuación de la energía cinética

2

c

1E = mv

2 (24)

Simplificando

2

c

mvE =

2 (25)

Se sabe que la fórmula de la densidad es:

m

ρ =V

(26)

Despejando la masa en (26) se tiene

m = ρV (27)

Sustituyendo (27) en (25) queda

2

c

vE = ρV

2 (28)

19

Si se sabe que la fórmula del peso específico es

γ = ρg (29)

Se despeja la densidad de la fórmula anterior (28) y se obtiene

γρ =

g (30)

Se sustituye la fórmula (30) en la (28) y queda

2

c

γ vE = V

g 2 (31)

Si se considera una masa y un volumen unitario la fórmula resulta

2

c

vE =

2g (32)

Que es la fórmula de la energía cinética

Dónde:

γ = Peso específico (N/m3)

ρ = Densidad (kg/m3)

V = volumen (m3)

v =velocidad (m2/s)

Figura 9. Representación de un canal con la línea de energía

P.H.C.

2

1

1

1

v

2g

y

z

E1 E2

20

1 2E = E (33)

2

11 1 1

vE = z + y +

2g (34)

2

22 2 2

vE = z + y +

2g (35)

Ec. de Bernorulli

2 2

1 21 1 2 2

v vz + y + = z + y +

2g 2g (36)

Ec. de la energía

1-2

2 2

1 21 1 2 2 f

v vz + y + = z + y + + h

2g 2g (37)

Ecuación de la energía.

donde:

1z y

2z =es la vertical del canal desde la horizontal hasta el primer punto de esta (m)

1y y

2y = es el tirante en cada sección del canal (m)

2

1v y

2

2v = es la velocidad de la energía cinética (m/s)

g = la fuerza de gravedad (m/ 2s )

fh =es la pérdida de energía por efecto del calor

2.2.2. Ecuación de la energía

La energía es definida en física como la disposición de un cuerpo para realizar un trabajo,

en hidráulica el agua tiene esa disposición a partir de los diversos componentes de energía.

La ecuación de la energía está conformada por la ley de Lomonósov- Lavoisier

descubiertas de manera independiente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier

en 1785 y que cuenta con diferentes elementos que la constituyen como:

21

E = Energía, capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo

z = Es la carga de elevación (m)

y = Es el tirante en cada sección del canal (m)

2v

2g= Es la energía cinética del agua

fh =es la pérdida de energía por efecto de la fricción

Esta ecuación tiene sus restricciones en fluidos como los siguientes:

Sólo es válida para fluidos incomprensibles

Entre las dos secciones de interés no puede haber dispositivos mecánicos como

bombas, motores de fluido o turbinas.

No puede haber pérdida de energía por la fricción o turbulencia que generen

válvulas y accesorios en el sistema de flujo.

No puede existir transferencia de calor hacia el sistema o fuera de este.

NOTA: Es casi imposible que se puedan cumplir todas estas restricciones en campo.

(Mecanica de fluidos, Robert L Mott; Javier Enriquez Brito; Javier Leon Cardenas, 2006,

Prentice-Hall: Pearson Educacion, México, D.F.).

Las aplicaciones de las leyes de la energía se han dado desde la antigüedad, se pueden

observar en el uso de molinos hidráulicos para diversos fines o en el diseño de canales para

transporte; entre otros ejemplos, hoy en día el uso más importante de esta ley es la

generación de energía hidroeléctrica. El conocimiento de la ecuación de la energía permite

aparte de aprovechar esa energía, también a controlarla, por ejemplo, en un canal con una

pendiente fuerte, poder diseñar algún obstáculo o mecanismo para disipar o reducir esa

energía para evitar cualquier problema.

2.2.3. Energía específica y régimen crítico

2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo

Partiendo desde la definición de que la energía total de cualquier sistema está dada por la

energía potencial más la energía cinética aplicado a cualquier masa en reposo con inercia

cero o en movimiento rectilíneo uniforme. En el caso del agua al ser un elemento másico

dado que está conformado por una masa, esta contiene los dos elementos, la energía

22

potencial y la cinética, los cuales se puede apreciar en su ecuación para la energía total que

es t

2

1t t t f

vE = z + y + + h

2g, cuando la pendiente y el tirante en un canal son constantes

es factible usar esta ecuación pero al angostarse un canal y cambiar su tirante la ecuación

también cambia y se utilizaría en este caso la ecuación de la energía específica para conocer

el régimen hidráulico del canal, de esta manera la ecuación se aplicará a cambios bruscos

de una sección, estas pueden ser una ampliación brusca, una reducción brusca, un

incremento brusco del fondo o un decremento brusco del fondo de la sección de un canal

como se ejemplifica en las siguientes figuras.

Figura 10. Ampliación brusca de un canal

Figura 11. Reducción brusca de un canal

Figura 12. Incremento brusco del fondo de un canal

Figura 13. Decremento brusco del fondo de un canal

23

Al ocurrir un cambio en la sección como en las anteriores ejemplificadas se debe responder

qué ocurre con su tirante y cómo varía este. Por lo tanto, al cambiar el tirante cambia la

ecuación de conservación de la energía, esta ecuación es la ecuación de energía específica.

Retomando la ecuación de la energía que es igual a: 1-2

2 2

1 21 1 2 2 f

v vz + y + = z + y + + h

2g 2g

sí se desprecian las pérdidas y el nivel de referencia, nos queda el tirante y la velocidad,

entonces se establece que la energía específica por definición hidráulica es la suma del

tirante de un canal más la carga de su velocidad al cuadrado (energía cinética).

2

E t

vE = y +

2g (38)

La ecuación de la energía específica es

2

E

vE = y +

2g ;( Ec. 38), si se quiere expresar esta

misma ecuación para la condición de energía específica para gasto constante se expresa esta

misma ecuación de la siguiente forma

2

E 2

QE = y +

2gA ;(Ec. 38’) sustituyendo como se

puede observar la velocidad al cuadrado por su igualdad que es gasto al cuadrado sobre el

área cuadrada.

Para el caso de pendientes grandes la energía específica es:

2

E

vE = ycosθ +

2g (39)

Y para el caso de la ecuación de la energía para pendientes grandes de igual forma se tiene:

1-2

2 2

1 21 1 2 2 f

v vz + y cosθ + = z + y cosθ + + h

2g 2g (40)

24

Figura 14. Diagrama del comportamiento de una partícula de agua en un canal con

pendiente grande

En la energía del flujo rectilíneo en un canal, si se toma al tiempo como criterio es

considerado que el flujo es permanente siempre y cuando la velocidad promedio de una

sección sea la misma, en el caso de que la velocidad cambie en determinada parte de la

sección el flujo se considera flujo no permanente.

Los casos más comunes donde se presentan los flujos no permanentes es en los ríos, dado

sus secciones irregulares, en el otro caso los canales prismáticos son considerados de flujo

permanente.

Si se quitan el tiempo como criterio de clasificación y se toma al espacio, se considera que

un flujo es uniforme cuando la velocidad entre dos secciones es la misma, de lo contrario;

si la velocidad entre estas dos secciones cambia se dice que el flujo es variado y a su vez no

permanente. Este fenómeno se puede observar por una variación en la sección de un canal o

por la presencia de una estructura y se utiliza en los canales para acelerar o desacelerar la

velocidad que lleva el agua en un canal sobre todo en los canales de riego o en los sistemas

de agua potable.

Otra clasificación de los canales que se puede encontrar es de acuerdo con el efecto de su

viscosidad o el número de Reynolds (e

R ) y su clasificación puede ser por el flujo laminar o

turbulento, así como también por flujo de transición estas tres clasificaciones están regidas

de la siguiente manera:

P.H.C.

E1 E2

Partícula de agua

L.E.

25

he

vRR = (41)

Dónde:

eR = Número de Reynolds (adimensional)

v = velocidad (m2/s)

hR = Radio hidráulico (m)

= viscosidad cinemática del agua (m/s2)

Para canales se establece la clasificación de acuerdo a las siguientes relaciones

Se dice que es un flujo laminar cuando eR 500 , un flujo de transición

e500 R 12500 y un flujo turbulento eR 12500 .

De estas clasificaciones en el agua el más común que se puede observar es el flujo

turbulento ya que para tener un flujo laminar, la lámina del agua para esta clasificación

sería demasiado delgada; algo casi imposible de obtener.

2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vs E

Si se sabe que la ecuación de la energía específica es

2

E

vE = y +

2g, entonces se puede dar

cuenta que esta representa a la ecuación matemática correspondiente a una parábola abierta

hacia la derecha y si es una parábola esta debe tener un vértice y este tiene una tangente, o

lo que es lo mismo esta tiene una pendiente, esto significa que la ecuación es derivable,

entonces es posible decir que 2dE d v

= y +dy dy 2g

,esta ecuación se deriva respecto al tirante

porque si el flujo cambia entonces cambia el tirante como se ve en la gráfica de la figura

15. Se puede observar en la gráfica que el vértice representa el punto crítico de la parábola

donde la energía es la mínima y respecto al tirante nos arroja un tirante crítico. Al observar

de manera de arriba hacia abajo se puede observar como la gráfica al reducir su tirante

también reduce su energía hasta llegar al punto crítico en donde la energía es mínima y el

tirante crítico (cy ); considerando en todo momento un caudal constante ( Q ), al continuar

el descenso se puede ver como se continúa reduciendo el tirante, pero por el contrario la

energía aumenta.

26

Es posible estar seguro que al tener un punto crítico de este sólo existirá un punto de

energía asociado a un sólo tirante, pero si se desplaza un delta E (ΔE ), para los demás

puntos se obtiene una sola energía asociada a dos tirantes y1 y y2 los cuales son alternos

para la energía mínima (min

E ) y un caudal constante ( ).

Figura 15. Gráfica de la curva y vs E

Otro elemento que es posible observar en la gráfica es que a partir del punto crítico de

manera ascendente a descendente se tiene dos diferentes velocidades una con más fuerza y

la otra más débil y estas a su vez están asociadas a diferentes tirantes pero que pueden

contener una misma energía, los elementos que son encontrados arriba del punto crítico se

conocen como régimen subcrítico, los que se encuentran sobre el punto crítico como

régimen crítico y los que se encuentran debajo de este se conocen como régimen

supercrítico y son determinados de acuerdo a su tirante crítico.

La siguiente ecuación conocida como el número de Froude fue acuñada por el profesor

berlinés Moritz Weber y es un parámetro para determinar de qué régimen es un canal, esta

depende de la relación de la velocidad del canal respecto a las fuerzas gravitacionales y el

tirante del mismo. La naturaleza del movimiento de un canal depende de si el número de

Froude es mayor, menor o igual a la unidad.

Se determinará su tipo de régimen dependiendo las condiciones que esta cumpla.

Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr<1

Para régimen crítico el número de Froude debe ser igual a la unidad Fr=1

Para régimen supercrítico el número de Froude debe ser mayor a la unidad Fr>1

cteQ

y (m)

cy

Tirantes

alternos

2y

1y min

E

Régimen subcrítico <1

Régimen crítico =1

Régimen supercrítico >1

tangente

E (m) ΔE

27

Número de Froude es igual a:

vFr =

gy (42)

Dónde:

F r= Número de Froude (adimensional)

v = velocidad del canal (m2/s)

g =fuerza de la gravedad (m/s2)

y = tirante del canal (m)

2.2.3.3. Régimen crítico

La energía específica es definida de forma taxativa como la suma del nivel de agua más la

carga de velocidad y esta ecuación se obtiene de la ecuación de la energía que al eliminar

las pérdidas y la cota de referencia surge una ecuación de segundo grado, que al graficarlo

sobre un plano cartesiano con el eje de la ordenada referido al tirante y al de las abscisas a

la energía, se obtiene una parábola; y al colocarle una secante en el plano a 45° respecto al

origen, colocando el nivel de agua referido al eje, se obtiene una gráfica como la de la

figura 16 en la cual se puede observar que las asíntotas de la parábola se extienden hacia el

infinito y nunca tocan a la secante, esto matemáticamente indica que se encuentra una

derivada ahí y esto indica que hay una pendiente; de haberlo entonces también se tiene una

tangente y el punto de tangencia será justo en la derivada que corresponde al vértice de la

parábola, si esto se ubica en el plano se tendrá una energía mínima asociado a un tirante el

cual se llamará tirante crítico.

Si se desplaza un ΔE se dará cuenta que se encuentran dos tirantes alternos asociados 1

y y

2y , esto significa que para una misma energía puede haber dos tirantes asociados.

Entonces para obtener la ecuación del punto crítico primero se debe tomar la ecuación

graficada que es la ecuación de la energía.

2vE = y +

2g (43)

28

Figura 16. Gráfica de la curva y vs E del régimen crítico

Se sustituye la velocidad al cuadrado por su igualdad del gasto cuadrado con respecto del

área cuadrada de la siguiente forma:

2

2

QE = y +

2gA (38’)

A esta ecuación se le aplica una derivada respecto al tirante, porque el tirante es el que

cambia en nuestra gráfica

2

2

dE dy d Q= +

dy dy dy 2gA (44)

De la derivada queda, el tirante. Como la unidad, el gasto y la gravedad son constantes

entonces que no se derivan.

2

2

dE Q d 1= 1+

dy 2g dy A (45)

A continuación se auxilia de la gráfica del régimen crítico y se coloca un canal de sección

rectangular representando los diferentes niveles de tirante que contiene el canal, de este

canal se toma un área que se sabe está asociada a un tirante y este a su vez está asociado a

una energía total pero como se está derivando se toma una pequeña diferencial de área así

como una diferencial de altura mismo asociado a la base del canal en este caso un canal

cy

E (m) ΔE

tangente y(m)

Régimen subcrítico <1

Régimen crítico =1

Régimen supercrítico >1

2y

1y

Tirantes

alternos

minE

29

rectangular de base B , entonces se puede decir que la diferencial de área ( dA ) será igual a

la base ( B ) por la diferencial de altura ( dy ).

dA = Bdy (46)

En el caso de querer encontrar una ecuación para una sección de canal diferente a la

rectangular entonces se sustituye su correspondiente área hidráulica en donde en este

ejemplo se substituye el área hidráulica del canal rectangular.

Figura 17. Gráfica del régimen crítico respecto a la sección de un canal

La igualdad de la ecuación 46 se sustituye en (45) y se deriva, queda de la siguiente forma

2 2 2 2

d 1 1 d 1=

dy B y B dy y (47)

Ahora se deriva 2

d 1

dy y y se obtiene

d

=dy

2 dy

dy(1)−1

d

dy( 2y )

( 2y )

2 (48)

y (m)

Tangente cte

Q

minE

ΔE E

cy

2y

1y

dA

T = B 2

dy

y

cy

1y

0

30

Al derivar la ecuación anterior se tiene

d

=dy

−1(2y )

y4 (49)

Y al simplificar se tiene

3

-2

y (50)

El resultado obtenido en la ecuación 50 se substituye en (47) y queda de la siguiente forma

2

2 3

dE Q 2= 1+ -

dy 2gB y (51)

2

2 3

dE 2Q= 1-

dy 2gB y (52)

Al simplificar la ecuación desaparecen los números dos, se sustituye la base y el tirante

cuadrado por el área cuadrada y queda de la siguiente forma

2

2

dE Q= 1-

dy gA y (53)

Si se substituye la igualdad del gasto sobre el área al cuadrado queda la velocidad al

cuadrado en la ecuación de la siguiente forma

2dE v= - +1

dy gy (54)

Escrita de otra forma

2dE v= 1-

dy gy (55)

Sí la ecuación anterior es la derivada de la energía, entonces significa que la energía como

tal no es cero, es mínima. Esto significa que la derivada de energía es

2 10

2 1

y - y 0s = = = 0

E - E 0 (56)

31

Al ser su derivada cero está marcando una función ilegal, entonces para usos matemáticos

se establece un límite y se tiene

2 1

0 lim 0EE E

ys (57)

Esto se da porque justo ahí la función es crítica.

Entonces se tiene que en el límite

2v0 = 1-

2g (58)

Al derivar la ecuación anterior se obtiene el número de froude que establece:

< 1 subcrítico

=1 crítico

>1 supercrítico

Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr<1

Para régimen crítico el número de Froude debe ser igual a la unidad Fr=1

Para régimen supercrítico el número de Froude debe ser mayor a la unidad Fr>1

Al auxiliarse de la gráfica se observa que si el tirante de un canal 2

y es mayor al tirante

crítico (c

y ) entonces el flujo del canal es subcrítico. De la misma forma si el tirante 1

y es

menor que el tirante crítico (c

y ) entonces se está hablando de un flujo supercrítico, esto

para todo canal de sección rectangular.

Para conocer la ecuación del tirante crítico en canales rectangulares se parte de la ecuación

59 que es la ecuación para el flujo en régimen crítico

vFr =

gy (59)

De esta manera al ser el flujo crítico igual a 1 se hace esta igualación en la ecuación 59 de

la siguiente forma

v= 1

gy (60)

v

Fr =gy

(59)

32

Ahora se despeja la velocidad

cv = gy (61)

Se tiene una velocidad al cuadrado al despejar la gravedad por el tirante crítico

2

c cv = gy (62)

Como interesa encontrar el tirante crítico entonces este se despeja de la ecuación 62.

2

cc

vy =

g (63)

Ahora se substituye la velocidad por su igualdad que es el caudal sobre el área los dos al

cuadrado por que la velocidad estaba al cuadrado y se tiene

2

2

c

Q

Ay =g

(64)

Acomodando términos se obtiene

2

c 2

Qy =

gA (65)

Por definición, el gasto unitario ( q ) es la cantidad de agua que pasa por unidad de ancho de

un canal, como lo expresa la siguiente ecuación

Qq =

b (66)

Entonces se puede substituir la ecuación (66) en la ecuación (65)

2

2

c 2

Q

by =gA

(67)

Al recordar la igualdad de 2A es 2 2b y esta se puede substituir en la ecuación 67.

2

2

c 2 2

Q

by =gb y

(68)

33

Al reducir términos queda

2

c 2

qy =

gy (69)

Esto se puede escribir de la siguiente forma

2

cc 2

c

qy =

gy (70)

Como se está buscando un tirante crítico se despeja la c

y de la ecuación 70.

23 cc

qy =

g (71)

Por último, se despeja el exponente del tirante para tener una raíz cúbica, de esta manera se

deduce una ecuación para determinar el tirante crítico de un canal de sección rectangular.

2

3c

qy =

g (72)

De esta manera se puede establecer que el tirante crítico c

y sólo depende del caudal que

pase por el canal.

De esto se puede agregar que el número de Froude es válido para cualquier tipo de canal

pues este depende de la velocidad y el tirante de este, no así la ecuación del tirante crítico

pues este se dedujo con las propiedades geométricas de un canal de sección rectangular en

caso de buscar una ecuación para el tirante crítico de una sección diferente se deduce desde

el principio, pero con las propiedades geométricas correspondientes para la sección

deseada.

2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (curva q-y, Q-y)

Para hablar de la condición de energía específica es inevitable auxiliarse de un plano

cartesiano, así que se toma como referencia el de la figura 18, en el cual se puede observar

en el eje de la ordenada el tirante ( y ) y al de la abscisa a el caudal ( Q,q ), así como la

energía constante (cteE ) para esta tema. Como se puede dar cuenta la función cambia por

completo al cambiar las variables.

y

34

Figura 18. Gráfica de la condición para la energía específica constante

Como se sabe la ecuación (38’) es la expresión de la energía donde el tirante y la energía

son variables y el caudal es constante.

2

2

QE = y +

2gA (38’)

Se despeja la variable de la energía cinética para el gasto y se iguala a la energía menos el

tirante

2

2

Q= E - y

2gA (73)

Como se quiere conocer el caudal entonces se despeja

2 2Q = E - y 2gA (74)

Como la ecuación anterior está asociada a un canal rectangular es válido decir que al área

cuadrada ( 2A ) es igual a su base ( B ) por su tirante ( y ) al cuadrado respectivamente. Todo

sobre raíz cuadrada

2 2Q = E - y 2gB y (75)

Entonces se establecen las siguientes relaciones con ayuda de la ecuación (74) y la gráfica

Q ,q

Subcrítico

Supercrítico

cteE Crítico

35

Relaciones E - y - Q

Si se tiene un tirante con valor a cero implica que el gasto será igual a cero, esto se puede

demostrar en la ecuación ya que no arroja ningún valor incluso al observar la gráfica se

puede notar que no tiene ningún valor.

Sí y = 0 Q = 0

De la misma manera sí el tirante toma el valor de la energía o un valor máximo implica que

el gasto también valdrá cero. Esto se puede observar gráficamente y por medio de la

ecuación.

Sí E = y Q = 0

Por otro lado, sí el tirante llega a ser el tirante del canal sobre dos entonces el gasto será

máximo.

Sí y

y =2

maxQ = Q

Esto significa que cuando se tenga la energía específica constante se tendrá el caudal

máximo en el tirante sobre dos y

2

, en este caso los tirantes que estén por debajo del

tirante sobre dos o debajo del caudal máximo serán supercrítico y los que estén por encima

de este serán tirantes subcríticos.

2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento

El impulso se considera como el cambio de velocidad de una partícula respecto a una

distancia y un tiempo determinado, este se encuentra regido por la segunda ley de Newton

ya que este depende de la fuerza con la que es impulsada, así también depende de la masa

de la partícula. En cuestiones de hidráulica el impulso puede servir para conocer la fuerza

con que se impulsa un río o un canal y a partir de este conocimiento diseñar el canal o

incluso diseñar las pilas de un puente para que este no falle por socavación producido por

este fenómeno.

36

Para obtener la ecuación del impulso primero se debe auxiliar de una ecuación fundamental

de la física como la ecuación de la fuerza y a partir de esta encontrar una ecuación para la

hidráulica que obedezca esta ley.

Se trabaja con la ecuación de la fuerza.

F = ma (76)

Se sabe que la densidad del agua es

m

ρ =V

(77)

Por lo tanto m = ρV (78)

Por otro lado tiene v

a =t

(79)

Ahora se substituye (78) y (79) en (76) y se tiene

vF = ρV

t (80)

Ahora es bien sabido que la ecuación del caudal es V

Q =t

, si se despeja el volumen se

tiene V = Qt este se sustituye en la ecuación (80) y se obtiene

vF = ρQt

t (81)

Se eliminan las unidades de tiempo ( t ), y la ecuación queda de la siguiente forma

F = ρQv (82)

Se sabe que la densidad es igual al peso específico sobre la aceleración de la gravedad

γ

ρ =g

(83)

Esto se substituye en la ecuación 82 y se tiene

37

γF = Qv

g (84)

Esto es la ecuación del impulso en una sección arbitraria.

Ahora la ecuación del impulso respecto a dos secciones de un canal

2 1 1-2F = ρQ v - v (85)

o escrito de otra manera

2 2 2 1 1 1

F = ρ Q v -ρ Q v (86)

Ecuación del impulso respecto a dos secciones

dónde:

F= La fuerza o el impulso (N)

ρ =La densidad del agua ( 3kg/m )

Q =El caudal ( 3m /s )

v =La velocidad de la partícula en ese canal (m/s )

= peso específico del agua ( 3N/m )

g = gravedad ( 2m/s )

38

2.4 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica.

Este subcapítulo está integrado para poner en práctica lo aprendido en la sección teórica del

capítulo anterior.

Ejemplo 1

Calcular el caudal de un canal de sección trapezoidal con una base de 6 m, un tirante de 3

m, k= 1 y una velocidad de 3 m/s

Datos

b= 6 m

y= 3 m

k= 1

v= 3 m/s

Q=?

Ejemplo 2

Calcular el caudal de un canal de sección rectangular con base de 4 m, tirante de 3 m y

velocidad constante de 2 m/s.

Datos

b= 4 m

y= 3 m

v= 2 m/s

Q=?

Solución

2

3

A = b + ky y

A = 6 +1 3 3

A = 27m

Q = Av

Q = 27 3

mQ = 81

s

Solución

2

A = by

A = 4 3

A = 12m

Q = vA

Q = 2 12

mQ = 24

s

39

Ejemplo 3

Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.30 m de diámetro a una velocidad

de 0.45 m/s.

Datos

D= 0.30 m

v=0.45 m/s

Q=?

Ejemplo 4

Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.15 m de diámetro a una velocidad

de 0.20 m/s.

Datos

D= 0.15 m

v= 0.20 m/s

Q=?

Ejemplo 5

Calcular el caudal que pasa en un canal que tiene un ancho de 2m, un tirante de 1m y la

aceleración del flujo es unitario; suponiendo que el canal es rectangular.

Datos

y= 1m

b= 2m

a=1 m/s2

Sí se supone que la aceleración del flujo es unitaria entonces la velocidad también lo será;

porque para obtener una aceleración de uno se debe multiplicar por el mismo número

mv = 1

s

y=1m

b=2m

Solución

h

2

h

A = 2 1

A = 2m

2

2

2

πDA =

4

π 0.30A =

4

A = 0.0707m

2

2

2

πDA =

4

π 0.15A =

4

A = 0.0177m

3

Q = vA

Q = 0.45 0.0707

mQ = 0.0318

s

3

Q = vA

Q = 0.20 0.0177

mQ = 0.00354

s

40

3

Q = vA

Q = 1 2

mQ = 2

s

Ejemplo 6

Calcule la energía del canal rectangular con una velocidad de 45 m/s y con las siguientes

características.

Datos

y=3

b=5

v=45 m/s

Ejemplo 7

El canal de la figura es de sección rectangular de ancho constante y tiene un gasto unitario

(q) de 3m3/s/m determine h2 si las pérdidas y la pendiente son cero.

Datos

q=3 m3/s/m

h1=3 m

y=3

b=5 m

Solución

2

2

vE = y +

2g

45E = 3+

2 9.81

E = 106.21m

z

h1=3m

1

2

h2

S0=0

zΔ = 0.26m

fh = 0

41

Solución

2 2

1 21 1 2 2 f

2 2

1 22

22

331 c

v vz + y + = z + y + + h

2g 2g

v v3+ = 0.26 + y +

2 9.81 2 9.81

3qR = y = = = 0.972m

g 9.81

v = gy

v = 9.81 0.972

mv = 3.088

s

Ejemplo 8

En un canal rectangular se tienen mediciones en las secciones 1 y 2. Si los datos son los

indicados, calcule el gasto.

Datos

h1=3.80 m

z1= 5 m

1-2fh =0 m

Solución

Para usar la fórmula de la continuidad

es necesario saber la velocidad del canal

por esa razón despejamos la velocidad de

la fórmula 1 1 2 2h v = h v y la sustituimos en

la energía cinética de la siguiente fórmula

1-2

2 2

1 1 2 2 f

v vz + h + = z + h + + h

2g 2g, como se muestra a continuación:

Si se considera la misma energía cinética

2 2

2

2

2

2

3.08 3.083 + = 0.26 + y +

19.62 19.62

3 + 0.48 = 0.26 + y + 0.48

3- 0.26 = y

y = 2.74m

B=12.5 m

b=12.5 m

Sección

0 0

B=b=12.5 m

h2=1.25 m

h1=3.8 m

1zΔ = 5m h2=1.25 m

PERFIL

42

1 1 2 2h v = h v (1)

1 12

2

h vv =

h (2)

2 2

1 21 1 2 f

v vz + h + = h + + h

2g 2g (3)

2 2

1 22 1 f

v v- = h - z - h + h

2g 2g (4)

2 2

1 2 2 1 fv - v = 2g h - z - h + h (5)

2

2 1 11 2 1 f

2

v hv - = 2g h - z - h + h

h

(6)

2 2

2 1 11 2 1 f2

2

v hv - = 2g h - z - h + h

h (7)

2

211 2 1 f2

2

h1- v = 2g h - z - h + h

h

(8)

2 1 f2

1 2

1

2

2

2g h - z - h + hv =

h1-

h

(9)

1-2

1

2

2 1 f

1 2

1

2

2g h - z - h + hv =

h1-

h

(10)

1 2

2 9.81 1.25-5 -3.8 + 0v =

3.81-

1.25

(11)

1

mv = 4.24

s

43

Ahora que tenemos la velocidad podemos calcular el caudal con la fórmula de la

continuidad.

A=h1(b)

A=3.8(12.5)

A=47.50 m2

Q=vA

Q=4.24(47.50)

Q=201.4 m3/s

Ejemplo 9

Sí en un canal se tienen los siguientes datos a qué tipo de régimen corresponden.

Datos

S0=0.020

h0=1.20 m

Solución

A=1.2(6)

A=7.2 m2

Pm=2h0+b

Pm=2(1.2)+6

Pm=8.4 m

B=b=6 m

n=0.014

h

m

ARh =

P

7.2Rh =

8.4

Rh = 0.857m

2 1

3 20

2 13 2

3

ARh S

nq =

B

7.20.857 0.020

0.014q =

6

mq = 10.9347

s

m

12 3

c

2

3c

c

qh =

g

10.9347h =

9.81

h = 2.30m

44

h0=1.20 m< hc= 2.30 m Por ser h0<hc, el régimen es supercrítico

Ejemplo 10

Calcule la pérdida total de energía entre las secciones 1 y 2 para el canal rectangular de la

figura.

Datos

h1=3 m

A=30 m2

1 =1.12

Solución

0

o

θ = arctan(S )

θ = arctan(0.78)

θ = 37.95

L

h1

S0

h2

v1=3 m/s

S0=0.78

h2=0.50 m

A2=5 m2

2 = 1.22

L=25 m

1 1 2 2

1 12

2

2

2

A v = A v

A vv =

A

30 3v =

5

mv = 18

s

1-2

1 2

1 2

1 2

2 2

1 1 2 20 1 2 f

2 2

o

α v α vL S + h Cosθ + = h Cosθ + + h

2g 2g

1.12 3 1.22 1825 0.78 + 3Cos37.95 + = 0.50Cos37.95 +

2 9.81 2 9.81

19.5 + 2.3656 + 0.5138- 0.3943- 20.1468 =

1.84m

f

f

f

h

h

h

45

CAPÍTULO 3

ECUACIÓN DEL RESALTO HIDRÁULICO

3.1 Fuerza hidrostática

En el capítulo anterior se estableció las características del agua y la definición de un canal,

así como las diferentes clasificaciones de este, ya sea por su origen o por su geometría; se

conoció también su clasificación por cantidad de masa o por cantidad de agua por unidad

de tiempo, entre otros tipos de clasificaciones, así como también las ecuaciones

fundamentales; como la ecuación de Castelli o la ecuación de la energía, ecuaciones las

cuales se desprenden de las ecuaciones básicas del movimiento.

Así también se observó la ecuación de la energía específica donde se comentó que el agua

es una masa que se mueve; esta puede estar en reposo la cual contiene energía potencial y

al usarse de una correcta manera puede producir energía eléctrica como es el caso de las

centrales hidroeléctricas, así como puede estar en reposo el agua puede estar en movimiento

también produciendo energía cinética, esta ecuación nos permite clasificar el agua de

acuerdo a su flujo.

En este capítulo se estudiará el flujo rápidamente variado, este es ejemplificado

comúnmente de la siguiente manera; considérese un canal cualquiera en un tramo corto x,

el flujo es interrumpido bruscamente y cambia su energía, a este cambio brusco de energía

se le llama flujo rápidamente variado y se puede dar en un canal por medio del cambio

repentino de pendiente en una sección del canal o en su defecto en el cambio repentino de

las dimensiones de un canal comúnmente la reducción brusca de una sección.

En el flujo rápidamente variado se puede dar un fenómeno llamado resalto hidráulico o

salto de Bidone en honor al ingeniero Giorgio Bidone (Casalnoceto, 19 de enero de 1781 -

Turín, 25 de agosto de 1839) quien fue el primero en estudiar este fenómeno en 1818, y es

comúnmente definido como el fenómeno localizado que se produce normalmente en

distancias cortas respecto a una longitud total en donde se producen cambios de regímenes

hidráulicos de supercríticos a subcríticos.

Las aplicaciones de este fenómeno son muy diversas sobre todo en la industria, la cual se

recurre al salto hidráulico para realizar mezclas de sustancias; en el campo de la ingeniería

civil se provoca este fenómeno para reducir la carga de energía de un canal para que al

liberarla esta salga con una carga de energía mucho menor que con la que entró esto con la

http://es.wikipedia.org/wiki/19_de_enero

http://es.wikipedia.org/wiki/1781

http://es.wikipedia.org/wiki/Tur%C3%ADn

http://es.wikipedia.org/wiki/25_de_agosto

http://es.wikipedia.org/wiki/1839

46

Q

finalidad de que la energía del agua no destruya el concreto, lo mismo ocurre en una presa

aquí la energía del agua es producida por la altura en que se encuentra solamente que aquí

se le conoce como caída hidráulica y se contrarresta con un concreto armado más resistente

y en ocasiones colocando rocas para romper la energía que lleva el agua y disminuir esta.

Figura 19. Representación de un resalto hidráulico

En la figura 19 se puede observar una representación de un resalto hidráulico donde se

puede apreciar que las flechas indican que aguas arriba la velocidad del agua está muy

acelerada y al pasar por el resalto hidráulico se observa que las flechas indican que el agua

se desplaza con menos energía.

Suponga un canal cerrado de sección rectangular en estado de reposo como se observa en la

figura 20.

Figura 20. Sistema de fuerzas actuantes

Observando la figura se puede visualizar como sobre la compuerta actúan dos fuerzas “F”

sobre esta y que están en equilibrio, a esto se le llama fuerza hidrostática. Las fuerzas

hidrostáticas que actúan en el canal de la figura son determinadas por:

F = mg (87)

FP =

A (88)

47

Despejando F de (88):

F = PA (89)

Sustituyendo (87) en (88):

mgP =

A (90)

Sí m

ρ =V

(91)

Entonces m = ρV (92)

Pero se sabe que: γ = ρg (93)

Despejando ρ γ

ρ =g

(94)

Sustituyendo (92) en (90): ρVg

P =A

(95)

Sustituyendo (94) en (95):

γVg

γV γAhgP = = = = γh

A A A

Por lo tanto: P = γh (96)

Sustituyendo (96) en (89) F = γhA (97)

Dónde:

F= Fuerza actuante en el centro de gravedad de la sección empujada.

h= Tirante de agua.

A= Sección empujada.

48

Q

Por lo tanto, la ecuación 97 se puede escribir como:

GF = γhZ (98)

Las fuerzas actuantes en la figura son:

11 1 1 GF = γ h Z (99)

22 2 2 GF = - γ h Z (100)

3.2 Fuerza dinámica

Figura 21. Sistema de fuerzas actuantes en un canal con las compuertas abiertas

Sí en un instante “t” se abre la compuerta de la figura, el agua circula con una energía

cinética de 1 a 2, generando una fuerza “F” debido a la cantidad de movimiento, cuya

expresión general se deduce a continuación.

De la ecuación (86) se puede reescribir

F = ma (101)

F = ρVa (102)

Sí v

a =t

(103)

Y: V = Qt (104)

49

Entonces:

γ vF = Qt

g t

Se eliminan las unidades de tiempo

γF = Qv

g (105)

La fuerza total generada entre 1 y 2 es:

1-2 2 1

γF = Q v - v

g (106)

2 11-2 2 2 1 1

γ γF = Q v - Q v

g g (107)

El sistema de fuerzas resultante es considerado la hidrostática y la cantidad de movimiento:

1 2

2 12 11 G 1 2 G 2 2 1

γ γγ Z A - γ Z A = Q v - Q v

g g (108)

Dónde:

γ = Peso específico del agua

GZ =Centro de gravedad de la sección

A= Área o Superficie de empuje

g= Fuerza de gravedad

Q= Caudal

v = Velocidad promedio del flujo

Dividiendo entre γ a (107)

2 12 1G 1 G 2

Q v Q vZ A - Z A = -

g g (109)

50

Sí Q

v =A

entonces:

1 2

2 2

2 1G 1 G 2

2 1

Q QZ A - Z A = -

gA gA, acomodando términos

La ecuación general del resalto hidráulico

1 2

2 2

1 2G 1 G 2

1 2

Q QZ A + = Z A +

gA gA (110)

La ecuación del resalto hidráulico, expresa las fuerzas hidrostáticas y las fuerzas de

cantidad de movimiento de la cota 1 y la cota 2.

3.2.1 Cantidad de movimiento

Se supone la ecuación del resalto hidráulico (110) para un canal rectangular por dos

razones:

1. Para provocar un resalto hidráulico estable.

2. Por facilidad de cálculo.

De la misma manera se supone también que es un flujo permanente y flujo uniforme

por facilidad de cálculo.

Figura 22. Canal de sección cuadrada con empuje E

Donde E es el empuje hidrostático para una sección rectangular, entonces:

G

hZ =

2 (111)

Y A = Bh (112)

E h = y

B

51

Sustituyendo (108) y (109) en (107):

2 2

1 1 2 21 1 2 2

1 2

h Q h QB h + = B h +

2 gA 2 gA (113)

2 2 2 2

1 1 2 21 2

1 2

h Q h QB + = B +

2 gA 2 gA (114)

Que se puede escribir como

2 22 2 2 2 2 21 21 1 1 2 2 2

1 2

1 1 2 2

h v B h h v B hB + = B +

2 gB h 2 gB h (115)

2 22 21 21 1 1 2 2 2

1 2

h v B h h v B hB + = B +

2 g 2 g (116)

Como se tiene una constante B se divide toda la ecuación entre esta constante.

2 22 21 21 1 2 2h v h h v h

+ = +2 g 2 g

(117)

Se acomodan términos

2 22 22 11 2 2 1h h v h v h

- = -2 2 g g

(118)

Se factorizan las ecuaciones

2 22 2

2 11 2 2 1

1 1h - h = v h - v h

2 g (119)

Se despeja y se iguala a cero

2 22 2

1 21 2 1 2

1 1h - h + h v - h v = 0

2 g (120)

Considerando el q (Gasto unitario)

Q vBhq = q = q = vh

B B

52

Se despeja la velocidad (v)

qv =

h (121)

Sustituyendo (122) en (121)

2 2

2 2 1 21 1 1 22 2

1 2

q q1 1h - h + h - h = 0

2 g h h

(122)

Reduciendo términos

2 2

2 2 1 21 2

1 2

q q1 1h - h + - = 0

2 g h h

(123)

Se factoriza el término de q y se tiene:

2

2 2

1 2

1 2

1 q 1 1h - h + - = 0

2 g h h

(124)

Se multiplica por dos la ecuación para eliminar el un medio.

2

2 2

1 2

1 2

2q 1 1h - h + - = 0

g h h

(125)

La ecuación (125) se puede reescribir como:

2

1 21 2 1 2

1 2

h - h2qh - h h + h - = 0

g h h

(126)

Dividiendo entre 1 2h - h :

2

1 2

1 2

2q 1h + h - = 0

g h h

(127)

Multiplicando por 2h :

22 22 1 2

1 2

h2qh + h h - = 0

g h h

(128)

53

Acomodando términos

22

2 1 2

1

2q 1h + h h - = 0

g h

(129)

Otra manera de escribir esta ecuación es:

22

2 1 2

1

2qh + h h - = 0

gh (130)

Una forma de solucionar esta ecuación es utilizando la fórmula general para la resolución

de ecuaciones de segundo grado:

Sí 2Ax + Bx + C = 0

2-b ± b - 4acx =

2a

Para 1h =tirante alterno 1

221 2

hh = -1+ 1+ 8fr

2

(131)

Para 2h =tirante alterno 2

212 1

hh = -1+ 1+ 8fr

2

(132)

El salto hidráulico se puede clasificar por sus tirantes según sea el tirante 2h (después del

salto); menor, igual o mayor al tirante fijo aguas abajo '

2h según sea en los siguientes

casos:

Caso 1. Sí '

2 2h h ; salto ahogado

La energía en la sección 2 es menor que en la sección '2 ; luego, el empuje es

mayor hacia la izquierda y se “ahoga” la zona del salto. Este salto es el más estable.

54

Figura 23. Salto hidráulico ahogado

Caso 2. Sí '

2 2h = h ; salto claro

Ambas secciones tienen la misma energía y existe un equilibrio total. Este salto es el

más eficiente debido a que en el resalto hidráulico se busca provocar una gran

disipación de energía.

Figura 24. Salto hidráulico claro

1h 2h '

2h

1h

2h '

2h

55

Caso 3. Sí '

2 2h h ; salto corrido

La energía de la sección 2 es mayor que la de la sección 2´. Sucede lo opuesto al

primer caso, el salto se corre y sigue un perfil ondulado perdiendo energía hasta

alcanzar el nivel correspondiente al tirante '

2h . Este tipo de salto es poco eficiente y

muy inestable, por lo que debe evitarse siempre.

Figura 25. Salto hidráulico corrido (ondulado)

A continuación, las principales fórmulas empíricas para el cálculo del resalto hidráulico en

canales rectangulares.

Smetana 2 1L = 6 h - h (133)

Safranez 1 1L = 5.9h fr (134)

Einwachter 1L = 8.3h fr -1 (135)

Wóycicki 22 1

1

hL = h - h B - 0.05

h

(136)

Chertusov 0.81

1 1L =10.3h fr -1 (137)

1h 2h

'

2h

56

3.3 Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico

En esta sección pondremos en práctica con unos sencillos ejemplos las aplicaciones

prácticas de la ecuación del resalto hidráulico.

Ejemplo 1

Considere un canal rectangular cuyo ancho B= 6m, en dicho canal se presenta un resalto

hidráulico y uno de sus tirantes es igual a 0.40 m; por el canal pasan 50 mil litros/seg.

Calcular el tirante conjugado, las pérdidas de energías 1-2E f= h y las longitudes del

resalto hidráulico.

Datos

Q= 50 mil litros/seg

1y = 0.40m

B= 6 m

Solución

A=bh

A=6(0.4)=2.40 m2

Q=vA

Q 50 mv = = = 20.83

A 2.40 s

v 20.83Fr = = = 10.51

gy 9.81 0.4

B=6 m

y= 0.40

m

y2=?

212 1

2

2

hh = -1+ 1+8Fr

2

0.4h = -1+ 1+8 10.51

2

h2= 5.75 m

3

2 1

E 1-2

1 2

3

1-2

1-2

h - hΔ = h =

4h h

5.75 - 0.4h =

4 5.75 0.4

h = 16.64m

57

Longitudes del resalto hidráulico

Smetana= 2 1L = 6 h - h

L = 6(5.75-0.4) = 32.10m

Satranez=1 1L = 5.9h Fr

L = 5.9(0.4)(10.51) = 24.80m

Einwachter=

1L = 8.3h (Fr -1)

L = 8.3(0.4) 10.51-1 = 31.57m

Wóyciki=

22 1

1

hL = h - h B- 0.05

h

5.75L = 5.75- 0.4 6 - 0.05 = 28.25m

0.4

Chertusov=

0.81

1 1

0.81

L =10.3h Fr -1

L =10.3 0.4 10.51-1 = 25.54m

Como conclusión del ejercicio se puede decir que es válida cualquier fórmula, sin embargo

es preferible al usar todas estas fórmulas sacar al final un promedio de todas las longitudes

por seguridad y economía.

Ejemplo 2

Con base en la siguiente figura calcule H y z para que se presente un salto hidráulico claro

al pie del cimacio indicado en la figura.

L=B=b=22 m

h1=0.8 m

h2=4.2 m

CD=2.10

H

z

h1

h2

P.H.C.

58

Solución

121 2

2 1

122 2

11

122 2

11

2

221

1

2

221

1

2

2

1

1

2

1

1

hh = 1+8Fr -1

2

h1+8Fr -1

h

2

h+1 = 1+8Fr

h

2

h+1 = 1+8Fr

h

2

h+1 -1 = 8Fr

h

2

h+1 -1

h

2 = Fr8

4.2+1 -1

0.8

2Fr =8

Fr = 4.05

1 1

1

2

1

1 1

3

3

2D

2

3

D

2

3

2

11

2

11

2

vFr =

gy

v = Fr gy

v = 4.05 9.81 0.8

mv = 11.35

s

A = bh

A = 22 0.8

A = 17.6m

Q = A v

Q = 17.6 11.35

mQ = 199.76

s

Q = C LH

QH =

C L

199.76H =

2.10 22

H = 2.65m

vz + H = h +

2g

vz = h + - H

2g

11.35z = 0.80 + - 2.65

2 9.81

z = 4.71m

59

Ejemplo 3

Con los datos proporcionados en la siguiente figura, calcule la cota A.

Datos

Cota B=100 m.s.n.m.

CD=2.00

z=6 m

hB=2.50 m

hB=hc

Solución

12 3

c

23

c

3

c

3

3

qh =

g

qh =

g

q = gh

q = 9.81 2.5

mq = 12.38

s

m

Ejemplo 4

En un canal rectangular, de ancho constante en toda la longitud de la estructura, determine

qué tipo de salto se presenta aguas abajo del cimacio

Datos

H

z

Cota A

P.H.C.

Cota B

S0=0

hB

S0>Sc

3

2D

2

3

D

2

3

q = C H

qH =

C

12.38H =

2

H = 3.37m

Cota A= Cota B+z+H

Cota A= 100+6+3.37

Cota A=109.37 m.s.n.m.

Bh = 3m

2

0

3

v= 0m

2g

mq = 4

s

m

H = 5.50m

H

hB

60

Solución

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

q

hH = h +

2g

4

h5.50 = h +

2 9.81

4

h5.50 = h +

19.62

h = 1m

4

15.50 = 1+

19.62

5.50 1.81

1

2

1

2

h = 0.50m

4

0.505.50 = 0.50 +

19.62

5.50 3.76

h = 0.40m

4

0.405.50 = 0.40 +

19.62

5.50 5.4968 5.50

1

1

1

1

1

1

21

212 1

2

2

2

q = vh

qv =

h

4v =

0.40

mv = 10

s

vFr =

gh

10Fr =

9.81 0.40

Fr = 5.05

hh = 1+8Fr -1

2

0.40h = 1+8 5.05 -1

2

h = 2.66m

Como h2< hB se presenta un salto hidráulico

ahogado.

61

Ejemplo 5

En la figura se presenta un salto hidráulico claro. Si se cuenta con los siguientes datos:

Datos

CD= 2.12

H=4.80 m

h2= 7.50 m

0-1fΔh = 0

Calcular:

a) El desnivel z.

b) La longitud del tanque amortiguador L Tanque.

c) Las pérdidas de energía ocasionadas por el salto hidráulico 1-2fΔh

Solución a)

3

2D

3

2

3

2 2

2

2

2

2

q = C H

q = 2.12(4.80)

mq = 22.29

s

m

q = v h

qv =

h

22.29v =

7.50

mv = 2.97

s

H

z

h1

h2

S0=0

L Tanque P.H.C.

2

2

122 2

1 2

12 2

1

1

vFr =

gy

2.97Fr =

9.81 7.50

Fr = 0.35

hh = 1+8Fr -1

2

7.50h = 1+8 0.35 -1

2

h = 1.53m

1 1

1

1

1

1

2

11

2

11

2

q = v h

qv =

h

22.29v =

1.53

v = 14.57

vz + H = h +

2g

vz = h + - H

2g

14.57z = 1.53 + - 4.80

2 9.81

z = 7.55m

62

b)

L Tanque= 2 16 h - h

L Tanque= 6(7.50 -1.53)

L Tanque= 35.82 m

c)

1-2

1-2

1-2

1-2

1-2

1-2

2 2

1 21 1 2 2 f 1 2

2 2

1 21 2 f

2 2

f

f

f

f

v vz + h + = z + h + +Δh z = z = 0

2g 2g

v vh + = h + +Δh

2g 2g

14.57 2.971.53+ = 7.50 + +Δh

2 9.81 2 9.81

12.35 = 7.95 +Δh

Δh =12.35 -7.95

Δh = 4.40m

También se puede utilizar para el cálculo de las pérdidas de energía en un salto claro la

siguiente fórmula:

1-2

1-2

1-2

3

2 1

f

1 2

3

f

f

h - hΔh =

4h h

7.5 -1.53Δh =

4 1.53 7.50

Δh = 4.63m

Ejemplo 6

Calcule '

2h si el salto hidráulico tiene un ahogamiento del 15%.

Datos

H0= 2.50 m a= 0.50 m

= 0.85

B=b= 5 m

H0

a h1

h’2 (fija)

63

Coeficiente Cc de la tabla obtenida por Yukorsky

a/H0 Cc

< 0.10 0.611

0.20 0.620

0.30 0.625

0.40 0.630

0.50 0.645

0.60 0.660

0.65 0.675

0.75 0.705

Solución

0

a 0.50= = 0.20

H 2.50 , por lo tanto Cc= 0.620

1

1

1

1

20 1

1

2

1

1

1

1

h = aCc

h = 0.50(0.620)

h = 0.31m

q = Cc a 2g H - h

q = 0.620 0.85 0.50 2 9.81 2.50 - 0.31

mq = 1.73

s

m

qv =

h

1.73v =

0.31

mv = 5.58

s

1

1

121 2

2 1

12 2

2

2

'

2 2

'

2

'

2

vFr =

gy

5.58Fr =

9.81 0.31

Fr = 3.2

hh = 1+8Fr -1

2

0.31h = 1+8 3.2 -1

2

h = 1.256m

h = 1.15h

h = 1.15 1.256

h = 1.44m

64

Ejemplo 7

En la figura se indica el perfil de un canal rectangular que descarga transversalmente a un

río, siendo:

Datos

3

1

mq = 6

s

m

h = 0.50m

Calcule h2 y 1-2fh si se presenta un salto hidráulico claro. Dimensione el tanque

amortiguador.

1

1

1

1

11

1

1

1

212 1

2

2

2

qv =

h

6v =

0.50

mv = 12

s

vFr =

gy

12Fr =

9.81(0.50)

Fr = 5.42

hh = -1+ 1+ 8Fr

2

0.50h = 1+ 8 5.42 -1

2

h = 3.59m

h1

h2

1-2

1-2

1-2

3

2 1

f

1 2

3

f

f

h - hΔh =

4h h

3.59 - 0.50Δh =

4 0.50 3.59

Δh = 4.11m

Longitud del tanque amortiguador

Smetana

2 1L = 6(h - h )

L = 6(3.59 - 0.50)

L = 18.54m

Safranez

1 1L = 5.9h Fr

L = 5.9(0.50)(5.42)

L =16m

65

Einwachter

1 1L = 8.3h Fr -1

L = 8.3(0.50) 5.42 -1

L = 18.34m

Chertusov

0.81

1 1

0.81

L = 10.3h Fr -1

L = 10.3 0.50 5.42 -1

L = 17.16m

Ejemplo 8

Dado el siguiente canal donde B=b=10 m y Q= 100 m3/s, se desea confinar el salto

hidráulico de manera que fuera del tanque amortiguador la velocidad en el canal no

sobrepase la velocidad límite Vmax=0.8 m/s, el escalón que se presenta mide h2/6.

Calcule el tirante h1 considerando que el salto es claro (suponga 2-0fh = 0 ).

Datos

B= b= 10 m

Q= 100 m3/s

Vmax=0.8 m/s

2-0

2

f

hΔz =

6

h = 0

Solución

2

2

Q = vA

QA =

v

100A =

0.8

A = 125m

h1

h2 h0

Q

2hΔz =

6

2

2

2

A = hb

Ah =

b

125h =

10

h = 12.5m

22

2

2

2

vFr =

gy

0.8Fr =

9.81(12.5)

Fr = 0.07

2

1

1

12.5h = -1+ 1+8 0.07

2

h = 0.12m

66

Ejemplo 9

¿Qué tipo de salto se presenta en el siguiente canal rectangular?

Datos

q= 30 m3/s/m

hA=1.6 m

z=16 m

h’2= 13 m

h2= ?

Solución

q = vh

qv =

h

30v =

1.6

mv = 18.75

s

vFr =

gy

18.75Fr =

9.81(1.6)

Fr = 4.73

Ejemplo 10

En un canal rectangular se presenta un salto con ahogamiento del 12%, CD= 2.12.

Cota B= 100 m. Calcule la cota A.

hA=1.6 m

A

q=30 m3/s/m

z=16 m

h’2=13 m

2

2

2

1.6h = -1+ 1+8 4.73

2

h = 9.93m

Como h2= 9.93 m < h’2=13 m el resalto hidráulico es ahogado.

67

Solución

Sí H=hA=10 m

3

2D

3

2

3

2

2

2

2

22

2

2

2

q = C H

q = 2.12 10

mq = 67.04

s

m

qv =

h

67.04v =

10

mv = 6.7

s

vFr =

gy

6.7Fr =

9.81 10

Fr = 0.68

221 2

2

1

1

1

hh = -1+ 1+8Fr

2

10h = -1+ 1+8 0.68

2

h = 5.84m

CotaA = CotaB + h

CotaA = 100 + 5.84

CotaA = 105.84

68

CAPÍTULO 4

ECUACIONES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA DE

CANALES PARA FLUJO UNIFORME

4.1 Ecuación de Chézy

Para que un flujo sea considerado flujo uniforme este debe cumplir con ciertas condiciones

las cuales según la hipótesis del flujo uniforme son las siguientes.

Sus pendientes deben ser iguales 0 a eS = S = S

Dónde:

0S = pendiente del canal

aS = pendiente del agua

eS = pendiente de la energía

Lo que significa que la pendiente del canal, de la línea del nivel del agua y de la línea de

energía debe ser la misma en cada una de ellas. La pendiente 0S se puede determinar con la

siguiente expresión y a partir de allí determinar las demás pendientes requeridas.

0

ΔhS =

L (138)

Figura 26. Condición de pendiente para el flujo uniforme en un canal

L

69

Además de la condición anterior hay ciertos requisitos que se deben cumplir para que el

flujo sea llamado uniforme como los siguientes.

Prismático. El canal deberá mantener siempre una misma geometría pues al cambiar

esta entonces cambiará su velocidad o gasto y el flujo dejará de ser uniforme.

1 2 3 ny = y = y = ...y . Para que el flujo sea uniforme el canal deberá mantener en

todo momento y a lo largo del canal un mismo tirante.

1 2 3 nQ = Q = Q = ...Q . Deberá mantener un mismo gasto en toda la sección.

1 2 3 nv = v = v = ...v . Para que un flujo sea uniforme este deberá mantener una

misma velocidad en todo el canal.

Permanente.

Irrotacional. Esto es cuando las partículas del fluido tienden a deslizarse sin rotar

entre ellas. Este caso se da cuando el flujo es laminar sin embargo se supone que el

flujo es irrotacional por facilidad del cálculo.

Las líneas de flujo son paralelas (no divergentes) (no convergentes).

Otro de los factores a considerar en un canal es la fricción que este tendrá, un canal puede

ser rugoso o liso de acuerdo al tipo de acabado que tenga; se dice que es rugoso cuando es

un canal de tierra en el que pueden presentarse partículas vegetales y que por lo tanto puede

haber un alto índice de filtración en el suelo y arrastre de partículas. Por otro lado, los

canales de concreto o mampostería según su acabado pueden ser lisos o rugosos sin

embargo para efectos prácticos estos se consideran como un canal liso por su bajo

porcentaje de infiltración y arrastre de partículas.

Antoine de Chézy (1 de septiembre de 1718, Châlons-en-Champagne- 4 de octubre de

1798, París) fue un ingeniero que en 1768 siendo escogido como colaborador de Jean-

Rodolphe Perronet dedujo la fórmula de Chézy que permite calcular la velocidad media de

una corriente en flujo uniforme conociendo la pendiente y el radio hidráulico.

Se sabe que la fórmula de Chézy para la velocidad en flujo uniforme es:

0v S Rh (139)

Se sabe que la fórmula para la determinación del radio hidráulico es Ah

Rh =Pm

esta

fórmula se substituye en Rh y se tiene.

0

Ahv S

Pm (140)

http://es.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%A2lons-en-Champagne

http://es.wikipedia.org/wiki/4_de_octubre

http://es.wikipedia.org/wiki/4_de_octubre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Rodolphe_Perronet

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Rodolphe_Perronet

70

Se agrega el coeficiente de Chézy (C) para el cálculo de velocidad en canales abiertos como

coeficiente de resistencia.

0v = C S Rh (141)

Para el cálculo del coeficiente de Chézy (C) como coeficiente de resistencia hay varias

versiones, se toma la fórmula de Ganguillet y Kutter (1877) en el sistema métrico por ser la

más exacta para el estudio de este tema.

0

0

1 0.0015523+ +

n SC =

0.001551+ n 23+

S

Rh

(142)

Donde:

Rh = Radio hidráulico

0S = Pendiente del canal

C= coeficiente de resistencia de Chézy

n= Factor de rugosidad.

El factor de rugosidad (n) depende del material con que este hecho el canal ya sea tierra,

concreto, mampostería, etc.

4.2 Ecuación de Robert Manning

La ecuación de Manning- Strickler fue acuñada por el ingeniero Robert Manning (1816-

1897) y el ingeniero Albert Strickler (1887-1963) de manera independiente, es una

ecuación empírica que se utiliza para estimar la velocidad media de un líquido que fluye

sobre un conducto.

Q = vA (16)

2

30

AQ = Rh S

n (143)

2

30

1v = Rh S

n (144)

71

Donde:

v= Velocidad media de la sección transversal

n= Rugosidad de Manning (Esfuerzo cortante)

Rh= Radio hidráulico

0S = Pendiente de la sección

Considérese la figura 24 como un canal trapezoidal en la que 1 2m = m , para este tema es

posible no partir de la ecuación de continuidad ( Q = vA ).

Figura 27. Canal con sección trapezoidal y diferencial de superficie ds

Sea un canal natural, un trapezoidal o de cualquier otra forma; sin importar el material del

que esté construido para fines matemáticos se partirá de la idea de que se estudia un canal

trapezoidal. A este canal se le toma una diferencial de superficie y a esta muestra se le da el

nombre de diferencial de superficie ds.

Figura 28. Diferencial de superficie del canal de estudio

A esta superficie no importa que tan pequeña sea, está asociada a un vector al que se le dará

el nombre de vector v

y esta superficie vectorial matemáticamente es igual a:

x= v ds

(145)

ds

ds

72

Y este a su vez se expresa:

x,y,z i j z

d= v + v + v

dx (146)

que es la partícula que se encuentra en el canal.

De esta forma la velocidad es la tasa de cambio de sus vectores asociados i, j y z como se

muestra a continuación.

ji zx,y,z

dvdv dv= + +

dx dy dz (147)

Que es lo que realmente ocurre en el canal, esta partícula se desplaza en tres direcciones.

Como se muestra más claramente en la figura 26.

Figura 29. Representación de los vectores de una partícula de agua en un canal

Figura 30. Acercamiento de la partícula de vectores en el canal

Para el estudio de este se toma el vector en la dirección en x (vector iv ). Para que esta

teoría sea válida se debe considerar un flujo uniforme, esta propiedad se define como la

cantidad de masa; que se refiere a la cantidad de masa que pasa en ese diferencial que se

define como el vector por la diferencial ds. Pero si se quiere saber cuánta masa pasa en esa

sección se suman todos los vectores de superficie que es el área de toda la sección que es la

73

masa total, la cual se llamará caudal (Q) y está determinada por la integral de la velocidad

xv por la diferencial de superficie ds.

xv ds (148)

Que es igual a la ecuación de la continuidad

xQ v A (149)

Pero para flujo uniforme como no hay una ecuación de la continuidad que tome en cuenta

una velocidad en una pendiente que da de la siguiente forma.

Ecuación de la conservación de masa para Chézy es

0Q = C Rh S A (150)

Donde:

Q= Caudal (m3/s)

C= Coeficiente de resistencia de Chézy



A= Área de la sección (m2)

En la versión de Manning se tiene

2

30

1Q = Rh S A

n (151)

Q= Caudal (m3/s)

n= Coeficiente de Resistencia de Manning



74

A= Área de la sección (m2)

Que son las ecuaciones de conservación de masa aplicada a flujo uniforme.

En los canales a superficie libre naturales y artificiales se da el caso de que su rugosidad

entendida esta como la “n” de manning;

2

30

AQ = Rh S

n (152)

2

30ARh S

n =Q

(153)

puede ser distinta en una sección determinada. Por ejemplo, en un río:

Figura 31. Canal natural con diferentes características del fondo

En un canal de riego de sección trapezoidal:

Figura 32. Canal artificial con diferentes coeficientes de resistencia

Tierra

Piedras

(Bolcos)

Pasto

Mampostería Mampostería

Concreto

75

En otro caso

Figura 33. Canal de sección compuesta con dos coeficientes de resistencia

Por esa razón, Horton y Hans Albert Einstein, propusieron una “n” equivalente ( en ) para

los diferentes tipos de rugosidad que pueda contener el canal.

La ecuación Horton- Einstein

2

1.5 3

i i

e

Pnn =

P

(154)

21.5 1.5 1.5 1.5 3

1 1 2 2 3 3 n ne

P n + P n + P n +...+ P nn =

P

(155)

Donde:

n; son los diferentes factores de resistencia en el canal.

P es el perímetro mojado.

Mampostería

(Gavión)

Mampostería

(Gavión)

Concreto

76

4.3 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de canales para flujo

uniforme

En esta sección se resolverán ejercicios relacionados con los temas vistos en este capítulo.

Ejemplo 1

En un canal de sección rectangular se presentan las siguientes condiciones, determine:

a) Tipo de régimen.

b) La pendiente del canal para que el régimen sea crítico con el mismo gasto.

Datos

h0= 0.30 m

Q=90 m3/s

Solución a)

3

Qq =

B

90q =

10

mq = 9

s

Solución b)

S0=Sc

Pc=b+ 2hc

Pc=10+ 2(2.02)

Pc= 14.04 m

Ac=bhc

Ac=10(2.02)

Ac=20.2 m2

B=10 m

n=0.012

12 3

c

12 3

c

c

qh =

g

9h =

9.81

h = 2.02m

h0=0.30 m< hc=2.02 m por lo tanto el régimen del

canal es supercrítico.

cc

c

c

c

ARh =

P

20.2Rh =

14.04

Rh = 1.4387m

c c

c

c

c

c

q = v h

qv =

h

9v =

2.02

mv = 4.455

s

2 1

3 2c c c

1

c 2c2

3c

2

cc 2

3c

2

c 2

3

c

1v = Rh S

n

v= S

1Rh

n

vS =

1Rh

n

4.455S =

11.4387

0.012

S = 0.00176

77

Ejemplo 2

Un canal con régimen uniforme y sección con máxima eficiencia tiene los siguientes datos:

Datos

k=1.50

n=0.014

Determine si su régimen es subcrítico o supercrítico.

Solución

Verificar si oθ <10

0

o

o o

0

θ = arctan(S )

θ = arctan(0.009)

θ = 0.5156

0.5156 < 10 , S S

0 12 2

0 12 2

0

bh =

2 m +1 - m

4h =

2 1.5 +1 -1.5

h = 6.606m

b= 4 m

S0= 0.009

2

0 0

2

2

12 2

m 0

12 2

m

m

A = bh + mh

A = 4 6.606 +1.5 6.606

A = 91.88m

P = b + 2h m +1

P = 4 + 2 6.606 1.5 +1

P = 27.82m

ARh =

P

91.88Rh =

27.82

Rh = 3.026m

S = Senθ

S = Sen(0.5156)

S = 0.009

2 1

3 2

2 1

3 2

3

AQ = Rh S

n

91.88Q = 3.3026 0.009

0.014

mQ = 1381.2171

s

78

Como

3 2A Q<

B g el régimen es supercrítico.

Ejemplo 3

Con la información disponible, ¿qué características debe tener S02 para que pueda

calcularse hA?

Datos

n=0.016

b=12 m

k=2

Solución

Para que hA pueda calcularse se debe garantizar que la sección A sea una sección crítica,

esto es posible sólo sí: S01< Sc< S02. Conocidas las características del régimen establecido a

la izquierda de la sección A, puede calcularse el gasto de la siguiente forma.

h01= 5 m

S01= 0.0004 h01 hA

S01

S02

0

33

22

B = b + 2mh

B = 4 + 2 1.5 6.606

B = 23.818m

91.88A= = 32,565.4939

B 23.818

1381.2171Q= = 194,471.0171

g 9.81

79

1

1

1

2

1 01 01

2

1

2

1

12 2

m 01

12 2

m

m

A = bh + mh

A = 12 5 + 2 5

A = 110m

P = b + 2h m +1

P = 12 + 2 5 2 +1

P = 34.36m

A continuación, se calcula el tirante crítico utilizando la fórmula de Agroskin.

3

2

3cr

2

3cr

cr

Qq =

b

298.58q =

12

mq = 24.8817

s

m

qh =

g

24.8817h =

9.81

h = 3.9813m

Comprobación

En la sección crítica, debe cumplirse la condición general:

3 2A Q=

B g

1

1

m

2 1

1 3 21 01

2 1

3 2

3

ARh =

P

110Rh =

34.36

Rh = 3.2014m

AQ = Rh S

n

110Q = 3.20 0.0004

0.016

mQ = 298.58

s

crmhσ =

b

2 3.98σ =

12

σ = 0.6633

0.6633 < 1

σdebe ser menor que 1 para que la fórmula sea

válida

La ecuación es válida

2

ct cr

2

ct

ct

σh = 1- + 0.105σ h

3

0.66h = 1- + 0.105 0.66 3.98

3

h = 3.2863m

80

2Q= 9,093.08

g y con el valor calculado de hct se obtiene

3A= 9,033.14

B que implica un

error de 0.66% , por lo que se da por bueno el valor obtenido con la fórmula de Agroskin y

no hay necesidad de hacer ajuste. Ahora se procede a calcular la pendiente crítica Sc:

2

c c1 c1

2

c

2

c

12 2

c c1

12 2

c

c

cc

c

c

c

A = bh + mh

A = 12 3.29 + 2 3.29

A = 61.13m

P = b + 2h m +1

P = 12 + 2 3.2863 2 +1

P = 26.6968m

ARh =

P

61.13Rh =

26.6968

Rh = 2.2898m

Ejemplo 4

Con los datos proporcionados y con base de la figura, calcule el rango en que deben estar

S01 y S02 para que sea posible determinar el gasto en el canal. Explique su razonamiento.

Datos

h01=2.5 m n=0.016

hA=1.8 m

B=b=10 m

Solución

Si hA fuera igual a hc, el gasto Q

se calcularía de la siguiente forma.

2

c 2

3

c

298.58S =

61.132.29

0.016

S = 0.0020

2 1

c 3 2c c

1

2c2

c 3c

2

c 2

c 3c

AQ = Rh S

n

Q= S

ARh

n

QS =

ARh

n

h01

hA S01

S02

Perfil

81

c c

c

2

c

c c

3

A = bh

A = 10 1.80

A = 18m

Q = A v

Q = 18(4.2021)

mQ = 75.6378

s

Este gasto es correcto, si se cumple la condición: 01 c 02S < S < S

12 2

c c

12 2

c

c

cc

c

c

c

2

cc 2

3

2

c 2

3

P = b + 2h m +1

P = 10 + 2 1.80 0 +1

P = 13.6m

ARh =

P

18Rh =

13.6

Rh = 1.3235m

v nS =

Rh

4.2021 0.016S =

1.3235

12 3

c

23

c

3 2

c

3

c

3

3

c c

c

c

c

c

qh =

g

qh =

g

gh = q

q = gh

q = 9.81 1.8

mq = 7.5638

s

m

q = h v

qv =

h

7.5638v =

1.80

mv = 4.2021

s

0.0031cS

Por lo tanto

S01< 0.0031< S02

Subcrítica/Crítica/Supercrítica

82

Ejemplo 5

Para el siguiente canal trapecial; calcule el caudal.

Datos

b=4 m

m=1.5

n=0.014

Solución

2

2

2

12 2

12 2

A = bh + mh

A = 4 1.25 +1.5 1.25

A = 7.3437m

ARh =

p

ARh =

b + 2h m +1

7.3437Rh =

4 + 2 1.25 1.5 +1

Rh = 0.8632m

hA=1.25 m

S01=0.0004

S02=0.06

S01

hp

S02

c

c

c

3 2

c

c

32c

c

3

c

c

3

3

B = b + 2mh

B = 4 + 2 1.5 1.25

B = 7.75m

A Q=

B g

gA= Q

B

gAQ =

B

9.81 7.3437Q =

7.75

mQ = 22.29

s

2 1

c 3 2c c

2

c 2

c 3c

AQ = Rh S

n

QS =

ARh

n

83

Ejemplo 6

Calcular el tirante (y) sí tiene las siguientes características y contesta:

¿Qué ocurre?

Datos

b= 1m

v= 3 m/s

n= 0.0015

S0= 0.001/ 0.01/ 0.1

2

30

2

3

0

2

3h

m0

1v = Rh S

n

v= Rh

1S

n

Av=

1 PS

n

2

c 2

3

c

22.29S =

7.34370.8632

0.014

S = 0.0022

Como 01 c 02S < S < S la ecuación sí es crítica y el gasto es el ya calculado.

y=?

b=1 m

2

3

0

2

3

2

3

v by=

1 b + 2yS

n

1 y3=

1 1+ 2 y0.001

0.015

y1.42 =

1+ 2y

Para un S0= 0.001

y=1 m

2

311.42 =

1+ 2 1

1.42 0.48

84

Para una S0= 0.001

y=-0.71 m

2

3-1.421.42 =

1+ 2 -1.42

1.42 = 1.42

Para una S0=0.1

y= 0.1 m

2

3

2

3

2

3

1 y3=

1 1+ 2y0.1

0.015

y0.14 =

1+ 2y

0.10.14 =

1+ 2 0.1

0.14 0.23

Para un canal con forma trapezoidal

Datos

b= 1 m

z= 1

n= 0.015

v= 3 m/s

S0=0.001/0.01/0.1

Para una S0=0.01

2

3

2

3

1 y3=

1 1+ 2 y0.01

0.015

y0.45 =

1+ 2y

y= 0.7 m

2

30.70.45 =

1+ 2 0.7

0.45 0.44

y=0.76 m

2

30.760.45 =

1+ 2 0.76

0.45 = 0.45

y=0.04 m

2

30.040.14 =

2 + 2 0.04

0.14 0.11

y=0.06 m

2

30.060.14 =

1+ 2 0.06

0.14 = 0.14

y=?

b=1

k=1

85

Para una S0=0.001

22 3

2

0

2

3

2

12 2

22 3

b h + k hv=

1 b + 2 1+ k ySn

1 h +1 h3=

10.001 1+ 2h 1 +1

0.015

h + h1.42 =

1+ 2.83h

Para una S0=0.01

22 3

2

0

2

3

2

12 2

22 3

b h + k hv=

1 b + 2 1+ k ySn

1 h +1 h3=

10.01 1+ 2h 1 +1

0.015

h + h0.45 =

1+ 2.83h

y= 0.45 m

22 30.45 + 0.45

0.45 =1+ 2.83 0.45

0.45 0.43

y= 4.5 m

22 34.5 + 4.5

1.42 =1+ 2.83 4.5

1.42 1.48

y= 4.2 m

22 34.2 + 4.2

1.42 =1+ 2.83 4.2

1.42 = 1.42

y= 0.48 m

22 30.48 + 0.48

0.45 =1+ 2.83 0.48

0.45 = 0.45

Para una S0=0.1

22 3

2

0

2

3

2

12 2

22 3

b h + k hv=

1 b + 2 1+ k ySn

1 h +1 h3=

10.1 1+ 2h 1 +1

0.015

h + h0.14 =

1+ 2.83h

86

Para una S0=0.1

y= 0.1 m

22 30.14 + 0.14

0.14 =1+ 2.83 0.14

0.14 0.19

Debido a la pendiente en el primer análisis del canal rectangular se puede observar que

resulta un tirante negativo esto indica que no es posible que en un canal con esta pendiente

pueda correr agua; lo cual en el canal trapezoidal sí es posible incluso nos muestra que su

tirante máximo está en el canal con esa pendiente.

Ejemplo 7

Para el siguiente ejercicio calcule el gasto para los diferentes coeficientes de manning y

describa que observa en los resultados.

y= 3 m

b= 10 m

z= 2

S0= 0.002

2

2

m

2

m

m

Ah = b + ky y

Ah = 10 + 2 3 3

Ah = 48m

P = b + 2 1+ k y

P = 10 + 2 1+ 2 3

P = 23.44m

y= 0.06 m

22 30.06 + 0.06

0.14 =1+ 2.83 0.06

0.14 = 0.14

y=3m

b=10 m

k=2

m

2

30

AhRh =

P

48Rh =

23.44

Rh = 2.05m

AhQ = Rh S

n

Para n=0.014

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.014

mQ = 247.31

s

Para n=0.015

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.015

mQ = 230.82

s

87

Para n=0.016

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.016

mQ = 216.4

s

Para n=0.017

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.017

mQ = 203.67

s

Conforme aumenta el coeficiente de resistencia se reduce el gasto esto explica por qué un

canal de concreto impermeable tiene más gasto que uno hecho de tierra.

Ejemplo 8

Sea un canal de sección trapecial, construido en tierra, por el cual se quiere transportar un

gasto Q= 200 m3/s. Determine el ancho de la plantilla b y el tirante normal h0 sí b

h =2

Datos

S0=0.0004

m= 2

n= 0.020

Q= 200 m3/s

Solución

2

30

2

3

1Q = Rh S A

n

Qn= ARh

S

Para n=0.018

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.018

mQ = 192.35

s

Para n=0.019

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.018

mQ = 192.35

s

Para n=0.020

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.020

mQ = 173.12

s

Para n=0.021

2

3

3

48Q = 2.05 0.002

0.021

mQ = 164.87

s

h

b=2h

1

2

88

2

3

2

200 0.020 b + ky y= b + ky y

0.0004 b + 2 1+ k y

Como b

y =2

sustituimos en la ecuación

2

3

2

2

32 2

2 2

2

1

34 2 42 2

2 2 2

1

34 2 42 2

2 2 2

4 2 43

2 2

2 2 23

2y + ky y200 = 2y + ky y

2y + 2 1+ k y

2y + ky200 = 2y + ky

2y + 2 1+ k y

4y + k y200 = 2y + ky

4y + 4 1+ k y

4y + k y200 = 2y + ky

4y + 4y + 4y k

4y + k y200 = 2y + ky

4y + 4y + 4y k

24 432 2

22 23

432

23

4y + 2 y200 = 2y + 2 y

4y + 4y + 4y 2

8y200 = 4y

20y + 4y

Para y=4.89 m

43

2

23

8 4.89200 = 4 4.89

20 4.89 + 4 4.89

200=200.35 El tirante normal y0=4.89 m y la base b=2(4.89) = 9.78 m.

89

Ejemplo 9

Un canal de sección rectangular con revestimiento de concreto de acabado normal tiene

sección de máxima eficiencia y debe transportar un gasto Q= 20 m3/s con un tirante normal

h0= 2 m.

a) Calcule la pendiente S0 necesaria para obtener las condiciones que se enuncian.

b) Sí S0= 0.001, ¿cuál es el nuevo gasto?.

c) Calcule el gasto con la pendiente que se obtuvo en el inciso a) y con un ancho de

plantilla b= 6 m.

Datos

Q= 20 m3/s

h0= 2 m

n= 0.014

Solución

Se analizará un canal rectangular de máxima eficiencia, la fórmula de los canales

rectangulares de máxima eficiencia es la siguiente:

b=2h

por lo tanto, sí b=2h entonces b=2(2) =4, entonces la base del canal es de 4 m.

a)

2

A = bh

A = 4 2

A = 8m

P = 2h + b

P = 2 2 + 4

P = 8m

ARh =

P

8Rh =

8

Rh = 1m

Q = vA

Qv =

A

20v =

8

mv = 2.5

s

2

30

2

0 2

3

2

0 2

3

0

1Q = Rh S A

n

QS =

1Rh A

n

20S =

11 8

0.014

S = 0.0012

90

b) Sí S0= 0.001 ¿Cuál es el nuevo gasto?

2

30

2

3

3

1Q = Rh S A

n

1Q = 1 0.001 8

0.014

mQ = 17.86

s

c) Sí S0=0.0012 y b= 6 m; ¿cuál es el gasto?

2

2

3

3

A = 6 2

A = 12m

P = 2 2 + 6

P = 10m

12Rh =

10

Rh = 1.2m

1Q = 1.2 0.0012 12

0.014

mQ = 33.55

s

Ejemplo 10

Se desea transportar un gasto Q=300 m3/s por un canal de sección trapecial, construido en

tierra (n=0.020); con una designación de talud m=2.5 y S0=0.00008. Determine el tirante

h0, si el ancho de la plantilla es b= 40 m.

Datos

Q= 300 m3/s

n=0.020

k= 2.5

S0=0.00008

b= 40 m

91

Solución

2

30

2

2

22

2

1Q = Rh S A

n

b + ky y1300 = 0.00008 by + ky

0.020 b + 2 1+ k y

by + ky300 = 50 0.0089 by + ky

b + 2 1+ k y

Substituyendo b= 40 m y k= 2.5

22

2

22

40y + 2.5y300 = 50 0.0089 40y + 2.5y

40 + 2 1+ 2.5 y

40y + 2.5y300 = 50 0.0089 40y + 2.5y

40 + 5.385y

Para h0= 4 m.

2

240 4 + 2.5 4300 = 50 0.0089 40 4 + 2.5 4

40 + 5.385 4

300 289.25

Para h0= 4.1 m

2

240 4.1 + 2.5 4.1300 = 50 0.0089 40 4.1 + 2.5 4.1

40 + 5.385 4.1

300 304.38

Para h0= 4.07 m

2

240 4.07 + 2.5 4.07300 = 50 0.0089 40 4.07 + 2.5 4.07

40 + 5.385 4.07

300 = 299.88 300

Por lo tanto, el tirante normal es h0= 4.07 m

92

CAPÍTULO 5

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

5.1 Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado

El flujo gradualmente variado es aquel cuyos tirantes cambian gradualmente en la dirección

x del flujo. Se produce cuando se obstruye un río provocando un flujo retardado (remanso).

Pero también se produce cuando el flujo normal de un río encuentra una caída hidráulica

generando un flujo acelerado (curva de desagüe).

La ecuación que rige el flujo gradualmente variado resulta de analizar la ecuación de la

energía (energía total) en un tramo de canal; derivando cada uno de sus elementos se puede

deducir la ecuación de flujo gradualmente variado.

Considérese lo siguiente.

1 2E = E (156)

Partiendo de la ecuación de conservación de la energía.

1-2

2 2

1 21 1 2 2 f

v vz + y + = z + y + + h

2g 2g (157)

Figura 34. Diagrama de conservación de la energía en un canal

93

Se toma la ecuación de la energía en su forma reducida.

2vE = z + y +

2g (158)

Considerando la siguiente relación.

E = H (159)

Entonces.

2vH = z + y +

2g (160)

Figura 35. Relación de las diferentes alturas de los tirantes a lo largo de la longitud de

un canal

Se deriva la ecuación (160)

2dH dz dy d v= + +

dx dx dx dx 2g

(161)

Donde

f

dH= -S

dx Pendiente de la línea de energía

0

dz= -S

dx Pendiente del terreno

a

dy= S

dx Pendiente del nivel del tirante del canal

h

94

a 0 f

dy= f S ,S ,S ,Fr

dx (162)

La energía cinética es substituida por su versión volumétrica.

2 2

2

d v d Q=

dx 2g dx 2gA

(163)

Entonces esta se deriva

Sí Q = Cte

2 2 2 2

22

d d2gA Q - Q 2gA

dx dx=2gA

(164)

Considerando el área de un canal rectangular por facilidad de cálculo.

Figura 36. Canal de sección rectangular

Se sustituye el área de una sección rectangular en la ecuación resultante de la derivada de la

ecuación (164) y se deriva despreciando las constantes de la gravedad y la base del canal ya

que lo que se requiere es saber la tasa de cambio del tirante.

2 2 2

2 4 4

dQ 2gb y

dydx=4g b y dx

(165)

0

95

De esta forma se obtiene.

2 2

2 4 4

Q 2gb 2y dy=

4g b y dx (166)

Se eliminan términos semejantes.

2 2

2 4 4

Q 4gb y dy= -

4g b y dx (167)

Queda de la siguiente forma la ecuación.

2

2 3

Q dy= -

gb y dx (168)

Se sustituye el caudal por su igualdad; velocidad por el área de la sección y se eliminan

términos semejantes.

2 2 2

2 3

v b y dy= -

gb y dx (169)


2v dy= -

gy dx (170)

Si se estudia la ecuación se puede observar el número de Froude y este se sustituye.

2 dy= -Fr

dx (171)

Sustituyendo (171) en (161) y la ecuación queda de la siguiente forma.

2

f 0

dy dy-S = -S + - Fr

dx dx (172)

Se despeja la pendiente del terreno y se deriva la ecuación.

2

0 f 2

dydx - dydxFrS -S =

dx (173)

96

Se factoriza el resultado y se reducen términos.

2

0 f 2

dydx 1- FrS -S =

dx (174)


2

0 f

dyS -S = 1- Fr

dx (175)

Se despeja la ecuación y se tiene, la ecuación fundamental del flujo gradualmente variado.

0 f

2

S -Sdy=

dx 1- Fr (176)

5.2 Solución de problemas de flujo gradualmente variado

5.2.1 Método estándar por pasos

1. Calcular el tirante normal del canal ( ny ).

a) 2

30

AQ = Rh S

n (177)

b) Calcular el tirante crítico y la pendiente crítica

2

3c

qy =

g Canal z = 0 (178)

32

cAQ=

g T Canal z 0 (179)

2

cc 2

3c c

Q nS =

A Rh

(180)

2. Clasificar el tipo de perfil e identificar:

a) Tipo de perfil según la magnitud de plantilla ( 0S ) respecto a la pendiente crítica

( cS ).

b) Determinar la zona en la que se localiza el perfil según: El tirante crítico ( cy ) y el

tirante normal ( ny ).

97

c) Determinar la variación del tirante en el sentido del flujo con:

0 f

2

S -Sdy=

dx 1- Fr (181)

d) Determinar el sentido del cálculo según el régimen hidráulico y a partir de la

sección de inicio de cálculo.

3. Determinar el perfil del paso número 2 paréntesis c) de la superficie libre del agua a

partir de un Δx de la sección donde se ubica el tirante crítico ( cy ) con:

0 f

i i+1 2

Δx S -Sy = y -

1- Fr (182)

Donde:

i+1y = Tirante de la sección i +1 (m)

iy =Tirante en la sección i (m)

i i+1Fr + FrFr =

2; Número de Froude

0S = Pendiente de plantilla

i i+1f f

f

S +SS =

2

Δx =Longitud entre las secciones i e i+1

Figura 37. Secciones consideradas en el cálculo

Línea de energía

98

Subpasos necesarios para resolver el paso 2 paréntesis c):

a) Con el tirante 9y calcular el f 9Fr y la pendiente de fricción fS que corresponde a la

sección i+1(9) de análisis.

b) Proponer Δy según las características del perfil del inciso anterior y deducir el

tirante 8py donde será igual a 8p i+1y =Δy+y correspondiente a la sección i.

c) Calcular el número de Froude 8pF y la pendiente de fricción 9f

S que corresponde a la

sección i (8).

d) Calcular el Fr y fS entre las dos secciones.

e) Obtener el tirante 8cy según la ecuación

0 f8c 9 2

Δx(S -S )y = y -

1- Fr (183)

f) Comparar los tirantes 8py y 8cy , si son diferentes pasar al inciso g) y repetir los

incisos, si son iguales pasar al inciso h).

g) Proponer el tirante calculado 8cy como un nuevo tirante propuesto 8py y repetir los

incisos del c) al f).

h) El tirante 8cy es el tirante en la sección 8 y se puede pasar al siguiente intervalo de

análisis, en el cual se conocen las características de la sección i+1 que corresponde

al tirante 8y de la sección anterior y se desconoce el tirante 7y de la sección i.

i) Repetir los incisos del a) al h).

4. Dibujar a escala en el mismo plano

a) La plantilla del canal en color negro.

b) El tirante crítico en color café.

c) El tirante normal en color rojo.

d) El perfil de la superficie libre medido en color azul.

e) El perfil de la superficie libre calculado en color verde.

99

A continuación, algunos comentarios acerca de las clasificaciones de los perfiles de flujo

gradualmente variado.

Tipo M. El perfil M1 es muy común. La presencia de estructuras de control, como

vertedores y compuertas, u otros accidentes naturales como estrechamientos y curvas,

sobreelevan la superficie del agua en un canal o río y se produce un perfil del tipo M1,

donde es asintótico al perfil en flujo uniforme. El perfil M2 ocurre cuando el tirante

disminuye, por ejemplo, antes de un cambio de pendiente subcrítica a supercrítica, de un

estrechamiento de la sección o en la proximidad de una caída. El perfil M3 se encuentra

aguas debajo de un cambio de pendiente de supercrítica a subcrítica, o después de la

descarga de una compuerta y su longitud está regida por las condiciones de aguas abajo.

Tipo S. El perfil S1 se produce antes de una estructura de control, como una presa o una

compuerta, situada en un canal de gran pendiente. Principia después de un salto hidráulico

y termina en la obstrucción. El perfil S2 es generalmente muy corto y es común en la

entrada de un canal de gran pendiente o después de un cambio de pendiente subcrítica a

supercrítica. El perfil S3 se produce aguas debajo de una compuerta en un canal de gran

pendiente, o aguas debajo de su intersección con otro de menor pendiente.

Tipo C. Como los tirantes normal y crítico coinciden, hay sólo dos perfiles. Estos son

aproximadamente horizontales y la inestabilidad propia del estado crítico se manifiesta en

la forma de una ondulación superficial apreciable.

Tipo H. El tirante normal es infinito y se forman sólo los perfiles H2 y H3. El perfil H2 se

produce después de que un canal de pendiente subcrítica cambia a horizontal. El perfil H3

ocurre después de una compuerta o de un cambio de pendiente supercrítica a horizontal.

Tipo A. La pendiente negativa de un canal es poco común. El tirante normal no existe y los

perfiles que se forman tienen las mismas tendencias que los H2 y H3. Los perfiles A2 y A3

son extremadamente cortos.

100

El flujo variado puede formarse con uno o más de los tipos de perfil que se han expuesto y

resulta conveniente familiarizarse con su clasificación.

Figura 38. Clasificación de los perfiles de flujo gradualmente variado con pendiente

positiva

Subcr

ític

o

dy += = +

dx +

ny cy y

Cálculo Cálculo

Cálculo

dy -= = -

dx +

ny cy y

x x

ny cy

y x

Crí

tica

:

dy += = +

dx +

n cy = y y

Cálculo

x

dy= 0

dx

n cy = y y

x

Cálculo

n cy = y y

dy -= = +

dx -

Sup

ercr

ítci

ca

dy += = +

dx +

ny cy y

x

Cálculo dy +

= = -dx -

ny cy

y

x

Cálculo

dy -= = +

dx -

ny

cy

y x

Pendiente positiva: 0S > 0

Perfiles en la zona 1 Perfiles en la zona 2 Perfiles en la zona 3

n 0 f

2

c

y > y ;S > S

y > y ;Fr < 1

2

n c 0 f

2

c n 0 f

y y y ;S S ;Fr 1

y y y ;S S ;Fr 1

n 0 f

2

c

y < y ;S < S

y < y ;Fr > 1

dy -= = +

dx -

101


horizontal


negativa

Pendiente horizontal

0S = 0 n cy = y

dy

dx no existe

ny cy

Ninguno

x

dy -= = -

dx +

ny cy

y

Cálculo

x

ny cy

Cálculo

dy -= = +

dx -

y x

Pendiente negativa 0S < 0

dy

dx no existe

cy x dy -

= = -dx +

Cálculo

cy y

x cy y

dy -= = +

dx -

x


n 0 f

2

c

y > y ;S > S

y > y ;Fr < 1

2

n c 0 f

2

c n 0 f

y y y ;S S ;Fr 1

y y y ;S S ;Fr 1

n 0 f

2

c

y < y ;S < S

y < y ;Fr > 1


n 0 f

2

c

y > y ;S > S

y > y ;Fr < 1

2

n c 0 f

2

c n 0 f

y y y ;S S ;Fr 1

y y y ;S S ;Fr 1

n 0 f

2

c

y < y ;S < S

y < y ;Fr > 1

102

5.2.2. Método estándar directo.

Este método se puede aplicar a canales prismáticos, aquí se divide el canal en tramos cortos

y se realizan los cálculos para cada sección comenzando por una sección conocida (esta

puede ser la sección de control). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas

abajo y hacia aguas arriba y si es supercrítico se inicia de aguas arriba continuando hacia

aguas abajo.

Se toma un tramo corto del canal, como se observa en la siguiente figura, se cumple con la

siguiente expresión:

2 2

1 20 1 2 f

v vS Δx + y +α = y +α +S Δx

2g 2g (184)

Figura 41. Tramo del canal para la deducción del método estándar directo

Se define la energía específica (E) como:

2vE = y +α

2g (185)

2

1

vα

2g

1y

Línea horizontal de referencia

f fh = S Δx

2

2

vα

2g

Línea de energía

Superficie del agua

1h

0S Δx

1z Δx

2z

2y

2h

eh

Fondo del canal

103

Reemplazando (183) en (184) y despejando Δx :

1 2

0 f

E - EΔx =

S -S (186)

La pendiente de la línea de energía en una sección se calcula con la fórmula de Manning:

2 2 2 2

f 4 103 3

n v n qS = =

Rh y

(187)

Y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como:

1 2f f

f

S +SS =

2 (188)

Procedimiento de cálculo

1. Conocidos Q, b, y y en la sección de control, se determina la velocidad (v), la

cabeza de velocidad (

2v

2g) y la energía específica (

2vE = y +α

2g).

2. Se determina la pendiente de la línea de energía ( fS ) según la ecuación (187).

3. Se acepta una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los

valores de E y fS para la sección con esta profundidad.

4. Se calcula 2 1ΔE = E -E , entre estas dos secciones y fS con la ecuación (188); con

estos resultados se encuentra Δx de acuerdo a la ecuación (186). De esta manera se

conoce la localización de la sección a lo largo del canal.

5. Se vuelve al paso 3.

El HEC recomienda el siguiente criterio para obtener la pendiente promedio entre dos

secciones:

1. Si el tipo de perfil es subcrítico (M1, S1) y su pendiente de fricción en la sección

actual si es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará

un promedio aritmético determinado por la ecuación:

1 2

m

f f

f

S + SS =

2 (189)

104

2. Si el tipo de perfil es subcrítico (M2) y su pendiente de fricción en la sección

actual no es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará

un promedio armónico determinado por la ecuación:

1 2

m

1 2

f f

f

f f

2S SS =

S + S (190)

3. Si el tipo de perfil es supercrítico (S2) y su pendiente de fricción en la sección

actual si es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará

un promedio aritmético determinado por la ecuación:

1 2

m

f f

f

S + SS =

2 (191)

4. Si el tipo de perfil es supercrítico (M3, S3) y su pendiente de fricción en la

sección actual no es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se

utilizará un promedio geométrico determinado por la ecuación:

m 1 2f f fS = S S (192)

105

5.3 Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado

En este apartado realizaremos ejemplos donde pondremos en práctica lo aprendido en el

capítulo estudiado.

Ejemplo 1

Un canal tiene las siguientes características:

Q= 6 l/s = 0.006 m3/s S0=0.001 n=0.009 b= 0.09

Realice el análisis de su perfil si el canal tiene una longitud de 3 m y un Δx = 0.50m por el

método estándar por pasos (Suponga el canal de análisis como el de sus prácticas).

2

30

2

3

0

2

3

0

2

3

2

3

AQ = Rh S

n

Q A= Rh

nS

Q by by=

n b + 2yS

0.09 y 0.09 y0.006=

0.009 0.09 + 2 y0.001

0.09 y 0.09 y0.1897 =

0.009 0.09 + 2 y

A partir de aquí se le comienzan a dar valores al tirante (y) hasta encontrar el que cumpla

con las condiciones establecidas.

h= 0.17499 m

2

30.09 0.17499 0.09 0.174990.1897 =

0.009 0.09 + 2 0.17499

0.1897 = 0.18967 0.1897

Se calculan las propiedades geométricas del canal con los datos obtenidos.

A=bh

A=0.09(0.17499)

A=0.0157 m2

P = b + 2h

P = 0.09 + 2 0.17499

P = 0.44m

ARh =

P

0.0157Rh =

0.44

Rh = 0.0357m

106

Q = Av

Qv =

A

0.006v =

0.0157

mv = 0.3822

s

Ahora se calcula el tirante crítico y todas sus propiedades críticas.

2

3c

2

3c

c

qy =

g

0.0667y =

9.81

y = 0.0768m

cc

c

c

c

ARh =

P

0.0069Rh =

0.2436

Rh = 0.0283m

2

cc 2

3c c

2

c 2

3

c

Q nS =

A Rh

0.006 0.009S =

0.0069 0.0283

S = 0.0061

Los resultados obtenidos hasta el momento son:

h0=0.17499> hc=0.0768 que indica un canal de perfil subcrítico

S0=0.001<Sc=0.0061 que indica un perfil M2

Esto analizando el recuadro de la figura 35 con los resultados obtenidos.

vFr =

gy

0.3822Fr =

9.81 0.17499

Fr = 0.2917

3

Qq =

b

0.006q =

0.09

mq = 0.0667

s

m

c c

c

2

c

A = by

A = 0.09 0.0768

A = 0.0069m

c c

c

c

P = b + 2y

P = 0.09 + 2 0.0768

P = 0.2436m

c c

c

c

v = gh

v = 9.81 0.0768

mv = 0.868

s

c c c

c

3

c

Q = A v

Q = 0.0069 0.868

mQ = 0.006

s

107

Fr=0.2917

Fr2=(0.2917)2

Fr2=0.0851

Se calcula la pendiente de energía.

f

ΔhS =

L, donde:

2

2

3

2

2

3

f

f

QnΔh = L

ARh

0.006 0.009Δh = 3

0.0157 0.0357

Δh = 0.00302m

0.00302S =

3

S = 0.001007

Ahora se calcula,

0 f

2

-6

S -Sdy=

dx 1- Fr

dy 0.001- 0.001007=

dx 1- 0.0851

dy= -7.65x10

dx

El cual nos indica dy -

= = -dx +

, junto a los datos obtenidos y auxiliándonos del recuadro de

la figura 35.

Asi pues tenemos un perfil subcrítico del tipo M2 el cual al revisar el cuadro nos indica que

debemos hacer el análisis del perfil desde aguas abajo hacia aguas arriba.

Entonces se tiene

i+1 9y = y = 0.17499m

108

Se propone

i 8y = y = 0.174 + 0.001 = 0.175m

Ahora en base al tirante propuesto se hacen los cálculos geométricos del canal, así como los

cálculos respectivos al flujo del canal.

Área

m2

Perímetro

m

Radio H.

m

Velocidad

m/s

No. Froude Pendiente

energía

0.0158 0.442 0.0357 0.3797 0.2889 0.001009

Con los datos obtenidos se calcula Fr y fS respectivamente.

i i+1

2

Fr + FrFr =

2

0.2889 + 0.2917Fr =

2

Fr = 0.2903

Fr = 0.0843

i i+1f f

f

f

f

S +SS =

2

0.001009 + 0.001007S =

2

S = 0.001008

Ahora con los datos obtenidos usando la fórmula 182 se puede encontrar el valor real del

tirante.

0 f

i i+1 2

i

i

Δx S -Sy = y -

1- Fr

0.50 0.001- 0.001008y = 0.17499 -

1- 0.0843

y = 0.174

Como el propuesto es diferente al encontrado 0.175 m entonces proponemos el valor que

nos arrojó todo el procedimiento anterior y se repite toda la operación hasta que el valor

propuesto sea el mismo arrojado por la serie de operaciones.

Así un cálculo tan extenso como este se puede programar en una hoja de cálculo una vez

dominado a lápiz y papel; para que sea más sencilla su operación.

Por la precisión y rapidez de una hoja de cálculo se procedió a calcular los datos en ella.

109

Y los valores nos quedan de la siguiente forma.

Tirante yi+1 Tirante

yprop

Tirante yi Diferencia No. De

Froude

Pendiente Sf

y9

0.17499 0.175 0.174988 1.2 E-5 0.290748 0.000996

0.174988 0.174988 0 0.290778 0.0009966

y8

0.174988 0.174986 0.174986 0 0.200783 0.0009966

y7

0.174986 0.174984 0.174984 0 0.290788 0.00099666

y6

0.174984 0.174982 0.174982 0 0.290793 0.000997

y5

0.174982 0.17498 0.17498 0 0.290798 0.000997

y4

0.17498 0.174978 0.174978 0 0.290803 0.000997

Gráfica del perfil del canal

110

Ejemplo 2


Q= 6 l/s = 0.006 m3/s S0=0.001 n=0.009 b= 0.09

Realice el análisis de su perfil si el canal tiene una longitud de 3 m y un Δx = 0.50m por el

método estándar directo (Suponga el canal de análisis como el de sus prácticas).

Solución

Con este método, así como en el anterior debemos conocer el tirante de la sección de

control así que utilizamos el mismo método para encontrarlo, en esta ocasión se presentará

la forma resumida del método.

2

3

0

2

3

Q by by=

n b + 2yS

0.09 y 0.09 y0.006=

0.009 0.09 + 2 y0.001

0.09 0.17499 0.09 0.174990.1897 =

0.009 0.09 + 2 0.17499

0.1897 = 0.18967 0.1897

El tirante es igual a 0.17499 m

Ahora se determina la velocidad

con los datos que ya se tienen

2

A = bh

A = 0.09 0.17499

A = 0.01575m

Q = vA

Qv =

A

0.006v =

0.01575

mv = 0.38095

s

Se calcula la cabeza de

velocidad 2v

2g

y la energía

específica 2v

E = y + α2g

22

2

2

0.38095v=

2g 2 9.81

v= 0.007397m

2g

vE = y + α

2g

E = 0.17499 + 0.007397

E = 0.18239m

111

A continuación, se calcula la pendiente de la línea de energía (Sf) según la ecuación (186). 2 2

f 4

3

n vS =

Rh

, como se puede observar hacen falta algunos datos; estos se calculan sin ningún

problema.

2 2

f 4

3

2 2

f 4

3

f

P = 2h + b

P = 2 0.17499 + 0.09

P = 0.43998m

ARh =

P

0.01575Rh =

0.43998

Rh = 0.03580m

n vS =

Rh

0.009 0.38095S =

0.03580

S = 0.000996

Una vez obtenida la pendiente de energía de la sección de control se propone un tirante de

la sección que se requiere analizar y se calculan sus valores de energía (E) y la pendiente de

energía (Sf), para esto es necesario hacer los cálculos geométricos y del flujo para tener

todos los datos disponibles, para este ejercicio se utilizarán los datos obtenidos del ejercicio

anterior para comprobar que el ejercicio está correcto. Para exactitud de cálculo y

practicidad, el cálculo de los diferentes datos se hizo mediante una hoja de cálculo por el

método directo.

y TIRANTE ÁREA PERÍMETRO Rh VELOCIDAD

CABEZA DE

VELOCIDAD

y8 0.174988 0.0157489 0.439976 0.035795 0.3809785 0.007397789

y7 0.174986 0.0157487 0.439972 0.0357949 0.3809829 0.007397958

y6 0.174984 0.0157486 0.439968 0.0357948 0.3809872 0.007398127

y5 0.174982 0.0157484 0.439964 0.0357947 0.3809916 0.007398296

y4 0.17498 0.0157482 0.43996 0.0357946 0.3809959 0.007398466

y3 0.174978 0.015748 0.439956 0.0357945 0.3810003 0.007398635

112

y ENERGÍA Sf DE ENERGÍA Sf PROMEDIO DELTA DE ENERGÍA

D.

LONGITUD

(m)

y8 0.1823858 0.000996606 0.00099659 1.83E-06 0.5374

y7 0.182384 0.000996632 0.000996606 3.66E-06 1.0789

y6 0.1823821 0.000996658 0.000996619 5.49E-06 1.62E+00

y5 0.1823803 0.000996684 0.000996632 7.32E-06 2.1745

y4 0.1823785 0.00099671 0.000996645 9.15E-06 2.7286

y3 0.1823766 0.000996736 0.000996658 1.10E-05 3.287

Como se puede observar proponiendo cada tirante del ejemplo anterior nos arroja un delta

de longitud (Δx ) parecido al delta de longitud considerado en el ejemplo anterior para el

análisis de cada tirante; esto desfasado por unos centímetros el cual corresponde

directamente al número de decimales tomadas tanto en el tirante como en los cálculos

realizados.

Ejemplo 3


B=b= 5 m n= 0.012 S0= 0.0160

Si en una de sus secciones se miden los siguientes valores:

h= 3.25 m v= 10 m/s

Determine:

a) Si el régimen es o no uniforme.

b) En el caso de que el régimen no sea uniforme, realice el análisis del perfil a ambos lados

del tirante h y dibújelo.

Solución

A=bh

A= 5(3.25)

A= 16.25 m2

P = b + 2h

P = 5 + 2(3.25)

P = 11.5m

ARh =

P

16.25Rh =

11.5

Rh = 1.41m

113

Q=vA

Q=10(16.25)

Q=162.5

3m

s

b) Como 0 cS > S > S y 0 ch < h < h ;Fr > 1y dh

< 0;hdx

baja a la derecha.

PERFIL DEL CANAL

y tirante de control 3.25m

TIRANTES AGUAS ARRIBA TIRANTES AGUAS ABAJO

TIRANTE ALTURA y DISTANCIA TIRANTE ALTURA Y DISTANCIA

y1 3.26 3.05m y1' 3.24 3.13m

y2 3.27 6.03m y2' 3.23 6.33m

y3 3.28 8.94m y3' 3.22 9.61m

y4 3.29 11.78m y4' 3.21 12.97m

2 1

3 2

2

2

3

2

2

3

1v = Rh S

n

vS =

1Rh

n

10S

11.41

0.012

S= 0.0091

Como S0= 0.016 S= 0.0091, el régimen

no es uniforme.

Y4 y3 y2 y1 y y 1’ y2’ y3’ y4’

114

Ejemplo 4

Para el siguiente canal:

B=b= 8 m Q= 50 m3/s hA= 1.65 m n= 0.020 S0= 0.0000

a) Analice el perfil a partir del tirante hA y dibújelo, explicando su resultado y acotando lo

necesario.

b) Calcule la posición de un tirante: hB= 1.72 m, y colóquelo en el perfil que dibujó.

Solución

a) Sí 0

2

S -Sdy=

dx 1- Fr como S0= 0 siempre será negativo el numerador (S0-S<0)

Ahora se calcula el tirante crítico para compararlo con hA.

3

Qq =

B

50q =

8

mq = 6.25

s

m

Por esa razón, el nivel del agua disminuye a la derecha, aumentando Fr que se acerca a 1;

por otro lado a la izquierda el nivel del agua sube hasta S= 0, y se tiene una superficie

horizontal, por lo cual el perfil tiene la siguiente forma

Perfil del canal

12 3

c

12 3

c

c

qh =

g

6.25h =

9.81

h = 1.585m

Sí hA=1.65 m > hc=1.585 mla sección

A está en la zona subcrítica, que implica

Fr<1; por lo tanto:

0

2

S -S -dh= = < 0

dx +1- Fr

y5 y4 y3 yB y2 y1 yA y1’ y2’

L B A

115

yA tirante de control 1.65m



y1 1.5m 0.66m y1' 1.55m 0.51m

y2 1.7m 1.7m y2' 1.60m 0.73m

y3 1.75m 4.38m

y4 1.78m 6.45m

y5 1.8m 8.02m

yB 1.72m 2.66m

b)

B B

B

2

B

B

B

B

i i

i

2

A

A

A

B

B

B

A = bh

A = 8 1.72

A = 13.76m

P = 2h + b

P = 2 1.72 +8

P = 11.44m

A = bh

A = 8 1.65

A = 13.20m

P = 2 1.65 +8

P = 11.3m

Q = vA

Qv =

A

50v =

13.76

mv = 3.63

s

A

A

B

B

B

A

A

2

i 2

3

2

iB 2

3

iB

50v =

13.20

mv = 3.79

s

ARh =

P

13.76Rh =

11.44

Rh = 1.20m

13.20Rh =

11.30

Rh = 1.17m

vnS =

Rh

3.63 0.020S =

1.20

S = 0.0041

2

iA 2

3

iA

iB iB

2 2

A B

A B

0

2 2

3.79 0.020S =

1.17

S = 0.0046

S +SS =

2

0.0041+ 0.0046=

2

S = 0.0044

v - vh - h +

2gL =

S -S

3.79 - 3.631.65 -1.72 +

2 9.81L =

0 - 0.0044

L = 2.66m

S

116

Ejemplo 5

En una sección de un canal se tiene el tirante: h1= 3 m. Los demás datos son:

B=b= 4.50 m n=0.014 h0=1.50 m S0= 0.09

a) Realice el análisis completo del perfil y dibújelo.

b) Calcule la distancia a una sección donde el tirante sea h2= 2.86m e indique su

localización en el dibujo.

Solución

Como la diferencia entre los tirantes es 4.9%, se calculará en un solo paso.

0

0

2 1

0 3 20

2 1

3 2

3

bhRh =

b + h

4.5 1.50Rh =

4.50 + 2 1.50

Rh = 0.90m

AQ = Rh S

n

6.75Q = 0.9 0.09

0.014

mQ = 134.81

s

3

2

3c

2

3c

c

Qq =

b

134.81q =

4.50

mq = 29.96

s

m

qh =

g

29.96h =

9.81

h = 4.51m

2

2

3

2

3

QnS =

ARh

134.81 0.014S =

6.75 0.9

S = 0.08997

Q = vA

Qv =

A

134.81v =

6.75

mv = 19.97

s

vFr =

gy

19.97Fr =

9.81 1.50

Fr = 5.20

117

Como hc >h1 >h0, S< S y Fr> 1; se concluye que dh

< 0dx

, por lo que el perfil baja hacia la

izquierda.

b)

1

1

1

1

qv =

h

29.96v =

2.86

mv = 9.99

s

2

2

2

2

qv =

h

29.96v =

2.86

mv = 10.47

s

1 2

m

m

m

v + vv =

2

9.99 +10.47v =

2

mv = 10.23

s

h1 tirante de control 3m



y1 3.2m 5.39m y1' 2.95m 1.63m

y2 3.4m 9.31m y2' 2.9m 3.40m

y3 3.6m 12.12 h2 2.86m 4.92m

y4 3.8m 14.08 y4' 2.8m 7.39m

PERFIL DEL CANAL

y4 y3 y2 y1 h1 y1’ y2’ h2 y4’

118

2

11 1

2

1

1

2

2

2

vE = h +

2g

9.99E = 3+

2 9.81

E = 8.08m

10.47E = 2.86 +

2 9.81

E = 8.45m

1 2m

m

m

mm

m

m

m

h + hh =

2

3 + 2.86h =

2

h = 2.93m

bhRh =

b + 2h

4.50 2.93Rh =

4.50 + 2 2.93

Rh = 1.27m

Ejemplo 6

Con los datos de la siguiente figura, calcule la pendiente del canal S0

Datos

B= b= 20 m

h1= 0.30 m

h2= 0.31 m

L= 12 m

hc= 0.70 m

n= 0.016

2

m

2

3m

2

2

3

2 1

0

v nS =

Rh

10.23 0.014S =

1.27

S = 0.0149

E - EΔL =

S -S

8.45 -8.08ΔL =

0.09 - 0.0149

ΔL = 4.92m

h1 h2

c c

L

0S

119

Solución

12 3

c

3

c

3

qh =

g

q = gh

q = 9.81 0.70

La relación entre tirantes es: 2

1

h 0.31= =1.03

h 0.30 (<5%); como la diferencia es menor del 5%,

se efectuará el cálculo en un solo paso.

1 1

1

1

1

1

q = v h

qv =

h

1.83v =

0.30

mv = 6.1

s

m m

m

2

m

A = h b

A = 0.305 20

A = 6.1m

2 2

2 1 2 1

0

2 2

2 1 2 1

0

h - h + v - v

2gL =

S -S

h - h + v - v

2gS = +S

L

q= 1.83

3m

s

m

2

2

2

2

qv =

h

1.83v =

0.31

mv = 5.90

s

1 2

m

m

m

v + vv =

2

6.1+ 5.9v =

2

mv = 6

s

1 2m

m

m

h + hh =

2

0.30 + 0.31h =

2

h = 0.305m

m m

m

m

P = b + 2h

P = 20 + 2 0.305

P = 20.61m

mm

m

m

m

ARh =

P

6.1Rh =

20.61

Rh = 0.296m

2

m

2

3

2

2

3

v nS =

Rh

6 0.016S =

0.296

S = 0.04675

2 2

0

0

0.31- 0.30 + 5.90 - 6.10

2 9.81

S12

S = 0.0366

120

Ejemplo 7


Q= 273.4 m3/s, B=b= 48 m, n= 0.016, S0= 0.000121

Por medio del análisis de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, identifique

los siguientes perfiles:

a)

.

2

348 y 48 y273.4=

0.016 48 + 2 y0.000121

Para h0= 3.77 m

2

348 3.77 48 3.7724,854.5454 =

0.016 48 + 2 3.77

24,854.5454 24.856.9066

Ahora se hacen los cálculos geométricos y del flujo con el nuevo tirante, así como el tirante

crítico.

El tirante normal (h0) es 3.77 m

Qq =

b

273.4q =

48

h=4.5 m S0

2

30

2

3

0

2

3

0

AQ = Rh S

n

Q A= Rh

nS

Q by by=

n b + 2yS

Ahora se itera hasta encontrar el valor

del tirante h0.

3mq = 5.6958

s

m

121

2

3c

2

3c

c

qy =

g

5.6958y =

9.81

y = 1.4898m

c

c c

c 2

3

c

QnS =

A Rh

273.4 0.016S =

71.5104 1.4027

S = 0.00238

Por lo que: 0 ch = 4.5 > h = 3.77 > h = 1.4898 , luego c 0S = 0.00238 > S = 0.000121 ; Fr<1

(zona subcrítica) de la ecuación dinámica dy

dx

,el perfil será el perfil en la zona 1 del

tipo M1.

b)

c c

c

2

c

A = bh

A = 48 1.4898

A = 71.5104m

c c

c

c

P = b + 2h

P = 48 + 2 1.4898

P = 50.9796m

cc

c

c

c

ARh =

P

71.5104Rh =

50.9796

Rh = 1.4027m

Q = vA

Qv =

A

273.4v =

180.96

mv = 1.5108

s

2

vFr =

gy

1.5108Fr =

9.81 3.77

Fr = 0.2484

Fr = 0.0617

h=3 m

S0

Como Sc= 0.00238> S0=0.000121,

hc= 1.49 m< h= 3 m< h0= 3.77m y

Fr<1 (zona subcrítica). De la ecuación

Dinámica dy

dx

, el perfil está

Ubicado en la zona 2 y es del tipo M2

122

c)

Ejemplo 8

Sea un canal de sección trapecial donde:

b= 5 m S0= 0.1759 Q= 10.60 m3/s n= 0.015 k= m= 1

Calcule la longitud de L desde h= 0.95hc hasta 1.05h0, utilizando el método de los

incrementos finitos.

h= 0.4 m S0

h= 0.4 m< hc= 1.49 m< h0= 3.77m,

Sc=0.00238> S0=0.000121 y Fr>1

(zona supercrítica); por lo tanto, en

la ecuación dinámica dy

dx

,

por lo tanto, el perfil corresponde a la

zona 3 del perfil M3.

h

S0

L

Solución

3

12 3

c

2

3c

c

Qq =

b

10.60q =

5

mq = 2.12

s

m

qh =

g

2.12h =

9.81

h = 0.7709m

123

Calculo del tirante

h= 0.95hc= 0.73236 m

Cálculo del tirante normal

2

32 2

20

2

2 2 3

2

Q yb + ky yb + ky=

nS b + 2 1+ k y

y 5 +1 y y 5 +1 y10.60=

0.0150.1759 5 + 2 1+1 y

A continuación, se itera hasta encontrar el valor del tirante (y) que satisfaga con la división

del gasto entre la raíz de la pendiente.

h0= 0.21356 m

2

2 2 3

2

0.21356 5 +1 0.21356 0.21356 5 +1 0.2135610.60=

0.0150.1759 5 + 2 1+1 0.21356

25.2739 25.2736

1.05h0=1.05 (0.21356)

1.05h0=0.22 m

Al hacer el cálculo colocando como el tirante de control h=0.73236 y realizarlo por el

método estándar directo en una hoja de cálculo, buscando el tirante h= 0.22 nos arroja una

longitud L= 36.98 m respecto a la sección de control.

Ejemplo 9

En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en caída libre. En

una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se

aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre

considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítica; b) flujo supercrítico.

124

a) Flujo subcrítico

yn

y

yc

yn

M3

RESALTO

Torrente deprimido en pendiente suave

yn> yc> y

yc yn

y

Río peraltado en pendiente suave

y>yn>yc

M1

125

b) Flujo supercrítico

Ejemplo 10

Se tiene un canal trapecial de concreto (n= 0.014). La pendiente es 0.001. El ancho en el

fondo es de 1.5 m. El talud es de 45°. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirante

corresponde al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una

sección ubicada 40 m aguas debajo de la sección mencionada.

y

yn yc

S3

Torrente deprimido en pendiente fuerte

yc> yn> y

yn

y yc

Río peraltado en pendiente fuerte

y>yc>yn

S1

126

Solución

Se realizó el ejercicio en una hoja de cálculo programando lo correspondiente al método

directo y después se iteró con varios valores del tirante hasta encontrar la distancia

correspondiente.

Sección de control

GASTO S0 MANNING BASE y1 M ÁREA PERÍMETRO

10 0.001 0.014 1.5 3 1 13.5 9.98529

Rh VEL. CAB. V. ENER. n2 VEL2 3

4Rh Sf

1.35199 0.0740 0.0279662 3.028 1.96E-4 0.5487 1.495 7.19E-5

Después de probar con varios tirantes

Para un tirante 2=-40my = 3.038362m de altura

Con el mismo gasto (Q) por la ley de la continuidad, mismo coeficiente de rugosidad (n) y

misma pendiente normal (S0) en un canal trapezoidal prismático.

ÁREA P. Rh VEL. CAB.V E. n2 V2 4

3Rh 13.7891 10.0938 1.3661 0.7252 0.0268 3.0652 1.96E-4 0.5259 1.5158

Sf fS ΔE ΔxLongitud

6.8E-5 6.99E-5 -0.037 -40m

Por lo tanto, el tirante buscado es 3.038362 m de altura.

127

Conclusión

Este proyecto fue realizado con el objetivo de brindar al alumno un material en el cual se

pueda apoyar y complementar su formación hacía esta materia; con información puntual y

completa, así como con ejercicios reales y que hacen reflexionar a los alumnos acerca de la

comprensión del tema. Este material está basado de obras de la hidráulica muy importantes

como El agua según la ciencia de Enzo Levi o Hidráulica de canales de Gilberto Sotelo, así

como de apuntes de clases en el cual se brinda material a los alumnos que no encontrarán

en ninguna otra obra, como las deducciones de algunas de las fórmulas más importantes de

la hidráulica y como se mencionó al ser parte de los apuntes de clases esta obra se apoya

del plan de estudios de la carrera, el cual hace que el alumno siga un mismo camino con el

maestro y esta obra.

En conclusión, el estudio de la hidráulica desde sus fundamentos es muy importante pues

conocer el origen de sus fórmulas y conceptos a partir de leyes matemáticas y de la física

ayudará al alumno a comprender de mejor forma el tema, así entonces dejar un material con

tanta importancia para los alumnos y con tantas herramientas como lo son ejercicios de

formación, orígenes de conceptos y fundamentos de las fórmulas es muy importante como

retribución a todo lo aprendido.

128

Referencias

Arturo, Rocha Felices, Hidráulica de tuberías y canales, 1999. 3ª edición, Editorial

Universidad nacional de ingeniería, Perú, Lima. Número de ejercicio en el libro/Número de

ejemplo en la tesis (página); 1/E.9 (pág. 121); 3/ E. 10(pág. 122).

Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed. Conacyt-Ediciones Castell mexicana,

Morelos, México.

Humberto, Gardea Villegas, Hidráulica de canales, 1999, 3ª edición, ed. Fundación ICA,

UNAM- Facultad de ingeniería, México, D.F. Número de ejercicio en el libro/Número de

ejemplo en la tesis (página); 5.1/E. 7(pág. 62); 5.3/E. 8(pág. 63); 5.7/ E. 9(pág. 64); 5.9/ E.

10(pág. 64); 2.1/E.8(pág. 85); 2.5/E. 9(pág. 87); 2.2/ E. 10(pág. 88); 4.1/E.7(pág. 117); 4.2/

E.8(pág. 119).

Humberto, Gardea Villegas, Problemas de examen de hidráulica de canales, 2013, ed.

UNAM, México, D.F. Número de ejercicio en el libro/Número de ejemplo en la tesis

(página); 1.6/ Ejemplo 8(pág. 41); 1.7/ E. 10(pág. 44); 5.1/ E.2 (pág. 55); 5.3/E. 3(pág. 57);

5.6/ E. 4(pág. 58); 5.10/ E.5( pág. 59); 5.15/ E. 6(pág. 60); 3.3/E 1(pág. 74); 3.4/ E.2( pág.

75); 3.8/ E.3 (pág. 76); 3.9/E. 4(pág.78); 3.10/E.5 (pág. 80); 4.1/E.3(pág. 109); 4.2/E.4

(pág. 111); 4.4/E. 5(pág. 113); 4.6/E. 6(pág. 115).

Gilberto, Sotelo Ávila, Hidráulica de canales, 2002, ed. UNAM, Facultad de ingeniería,

México, D.F.

Martín, Mundo, Apuntes de asignatura, 2013, ed. Universidad Autónoma de Chiapas,

México, Chiapas.

Piaget, García, Psicogénesis e historia de la ciencia, 2004, ed. Siglo veintiuno, México,

D.F.

Robert, L Mott; Javier Enriquez Brito; Javier Leon Cardenas, Mecanica de fluidos

2006,ed.Prentice-Hall: Pearson Educacion, México, D.F.

Ven, Te Chow, Hidráulica de canales abiertos, 1994, ed. Mc Graw- Hill Book Company,

Inc., Nueva york, USA.

Documents

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD · PDF file5.1. Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado-----92 5.2. Solución de problemas