ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE UNA VARIABLEEl análisis estadístico de una variable permite describir las

características de un grupo con respecto a una variable. Este análisis puede realizarse a través de valores promedios, mediante el uso de medidas de posición; a través de la variación de los valores con respecto a un promedio o con respecto a un valor central, haciendo uso de las medidas de dispersión; u observando la distribución de los datos, para saber hacia que lado se inclina la curva, utilizando las medidas de forma de la distribución. Estos tres tipos de medidas son utilizados, en términos generales, para clasificar a un grupo en específico.

Para el análisis estadístico de una variable, existen tres tipos de medidas ha utilizar:

Medidas de Posición Medidas de Dispersión Medidas de Forma de la DistribuciónCada una de estas medidas, se utiliza para resumir la información

contenida en los datos y cuya interpretación permite detectar ciertas regularidades en el comportamiento de los mismos.

MEDIDAS DE POSICIÓNSe dividen en dos grupos: Tendencia Central Cuantiles

1) Tendencia Central:Las medidas de Tendencia Central sirven como punto de referencia para

una interpretación o una comparación, el valor de estas medidas debe ser representativo. Son conocidas bajo este nombre (medidas de tendencia central) puesto que los valores estudiados tienden a reflejar su concentración en los valores centrales.

Son medidas de tipo promedio y se dividen en dos subgrupos: Promedios Matemáticos. Promedios NO Matemáticos.

1

1.1– Promedios Matemáticos.Los promedios son una medida de posición que dan una descripción de

cómo están centrados los datos. El promedio como punto típico de los datos es el valor alrededor del cual están agrupados los demás valores de una variable.

Dentro del grupo de los promedios matemáticos se encuentran: 1.1.1 – Media Aritmética ( ).

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Se representa con la letra .

La fórmula ha utilizar, cuando los datos no están agrupados en clases, para el cálculo de la media aritmética es la siguiente:

Es decir, la media aritmética es igual a la sumatoria de todos los datos dividida entre el total de la población.

Ejemplo: Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso promedio.

Si los datos se encuentran agrupados en clases, la fórmula ha utilizar es la siguiente:

Es decir, la media aritmética es igual, ahora, a la sumatoria de los puntos medios (Xi), debido a que todos los valores que se encuentran entre los límites

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de un intervalo, están uniformemente distribuidos en él, por la frecuencia absoluta simple (fi) entre el tamaño de la población (N).

Ejemplo: En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la siguiente tabla. Calcula la puntuación media.

Puntuaciones

fi Xi

10 – 20 1 15

15

20 – 30 8 25

200

30 – 40 10

35

350

40 – 50 9 45

405

50 – 60 8 55

440

60 – 70 4 65

260

70 – 80 2 75

150

42

1820

Propiedades de la Media Aritmética.

1- La suma de las desviaciones de todos los valores de una distribución respecto a la media es igual a cero.

3

2- La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante se hace mínima cuando la misma coincide con la media aritmética.

mínimo

3- Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4- Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número, la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la Media Aritmética.

1- La media se puede determinar sólo para variables cuantitativas.

2- La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3- La media es muy sensible a las puntuaciones extremas.

4- La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

1.1.2 – Media Geométrica (G).

La media geométrica de una cantidad infinita de números (digamos N números), es la raíz N-ésima del producto de todos los números. Se representa con la letra G.

La fórmula ha utilizar es la siguiente:

Propiedades y usos de la media geométrica.

Propiedades: sólo tiene dos propiedades matemáticas.

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- Primera propiedad: “el producto de los valores de la serie permanecerá constante cuando el valor de cada individuo sea substituido por el valor de la media geométrica” (Ya Lum, Chou-1972).

Ejemplo: la media geométrica para la serie 2, 4, 8, 16 y 32 es 8, entonces:

(2)(4)(8)(16)(32)= 32768 = (8) (8) (8) (8) (8)

- Segunda propiedad: “las sumas de las desviaciones de los logaritmos de las observaciones originales por encima o por debajo del logaritmo de la media geométrica, son iguales; es decir, . Alternativamente, podemos decir que el valor de la media geométrica es tal que equilibra la razón de las desviaciones de las observaciones obtenidas en ella” (Ya Lum, Chou-1972).

Ejemplo: la media geométrica para la serie 2, 4, 8, 16 y 32 es 8, entonces:

Usos.- La media geométrica sólo es relevante si todos los números son positivos. Cuando existe un número negativo, la media geométrica es inexistente en el campo de los números reales (R).- La aplicación más útil de la media geométrica es la de promediar tasas de cambios, debido a que el promedio de tasas de cambio sólo puede ser medido correctamente por el método de dicha media.

1.1.3 – Media Armónica (H).La Media Armónica, es el recíproco de la media aritmética de los

recíprocos de los datos. Se representa con la letra H y se calcula tanto para datos agrupados como para datos NO agrupados.

Para datos agrupados:

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El método para calcular la media armónica para datos no agrupados se ilustra en el siguiente ejemplo:Ejemplo: Calcular la media armónica de los valores 1, 4, 10, 8 y 10.

La fórmula ha utilizar para calcular la media armónica es la siguiente:

Solución: La media aritmética de los recíprocos de los cinco valores es:

La media armónica de los cinco valores es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos:

La media aritmética de los recíprocos de N valores es:

La media armónica (H) es el recíproco de la media aritmética:

o

Sustituyendo los valores del ejemplo en la fórmula: la media armónica puede ser calculada directamente como sigue:

1.1.4 – Media Cuadrática (RMS).La Media Cuadrática es la raíz cuadrada de la media aritmética de los

valores al cuadrado y se usa eficientemente para promediar los errores o

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desviaciones porque es más susceptible a los mismos, se representa por las letras RMS.

La fórmula aplicada es la siguiente:

1.2 – Promedios NO Matemáticos.Los promedios NO matemáticos, son Lambién medidas de tendencia

central pero que a diferencia de los matemáticos, donde se deben hacer cálculos, en éstos sólo importa la posición que ocupa el dato.

Se dividen en dos grupos:1.2.1 – Mediana (Md).

Se define esta medida de posición como el valor que divide una distribución de tal manera que quede a cada lado un número igual de términos. Para determinar la mediana es necesario ordenar los datos, utilizando cualquiera de los métodos de agrupación. Se identifica con el símbolo Md.

El valor de la mediana puede coincidir o no con un valor de la serie, todo depende si el número de datos es par o impar.

Para series de datos impares, su ubicación es la siguiente:

Para series de datos pares, su ubicación es la siguiente:

Para determinar el valor de la mediana en datos agrupados en clases, la fórmula a utilizar es la siguiente:

De donde: Md= mediana li= límite inferior de la clase

medianal

Fi-1= frecuencia absoluta acumulada,

anterior a la posición de la mediana

fi= frecuencia absoluta simple de la clase

en donde está ubicada la mediana

N= población N/2= ubicación de la mediana

Ic= intervalo de clase

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Ejemplo: calcular la mediana en la siguiente serie de datos agrupados en clases:

Clase medianal:

50% de los alumnos obtuvieron calificaciones iguales o inferiores a 11,79 puntos. 50% de los alumnos obtuvieron calificaciones iguales o superiores a 11,79 puntos.

Características de la Mediana.

Para poder calcular la mediana en una distribución de frecuencia, el nivel mínimo es ordinal.

En caso de datos agrupados en clases, en donde no se conocen los valores extremos, se puede calcular la mediana, siempre que se tengan los datos próximos al centro.

En aquellas series en donde exista una gran concentración de los datos con respecto a un valor central, pero que, sin embargo, existen valores extremos muy aislados de esa concentración, se aconseja utilizar la mediana como promedio, ya que ella es menos susceptible a los valores extremos que la media.

Puntuaciones

fi Fi

0 – 5 3 3

5 – 10 2 5

10 – 15 7 12

15 – 20 3 15

15

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1.2.2 – Modo (Mo).

Es el valor que aparece con más frecuencia en una serie de datos. Se obtiene fácilmente de una clasificación ordenada. El modo no se ve afectado por la ocurrencia de los valores extremos, ya que es sensible al acomodo de los datos estando estos agrupados en clases. Se identifica con el símbolo Mo.

Es importante señalar que cuando en una distribución de frecuencia hay dos valores que se repitan un número igual de veces y estas repeticiones sean consideradas las más frecuentes, en dicho caso se habla de una distribución bimodal; en el caso de que haya más de dos valores que se repitan un número igual de veces y sean estos valores considerados los más frecuentes, en este caso no hay forma lógica de determinar el valor que debe ser escogido como modo. Se da también el caso de que no exista algún valor que pueda ser considerado como el más frecuente, debido a que todas las clases presentan la misma frecuencia, en dichos casos la distribución carece de modo.

Cuando los datos están agrupados en clases existe lo que llamamos la clase modal, que es aquella clase en la que se encuentra el modo, la clase premodal, que es la clase que está antes del modo, y la clase posmodal, que es la clase que está después del modo.

- Para la determinación del modo en datos no agrupados, simplemente se toma como modo aquel valor que más se repita.

Ejemplo: determinar el modo en la siguiente distribución de frecuencia de datos no agrupados: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6

Respuesta: 4 es el modo, debido a que es el valor que más se repite en la serie de datos.

- Para la determinación del modo en series de datos agrupados en clases, se utiliza la siguiente fórmula:

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De donde:

Ejemplo: determinar el modo en la siguiente distribución de frecuencia:

Clase premodal:

Clase modal:

Clase posmodal:

La puntuación que más se repite en la distribución es 12,78 puntos.

2) Cuantiles.

Los cuantiles son medidas de posición que dividen la distribución en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos y se

Mo= modo frecuencia absoluta simple de la clase modal, menos

la frecuencia absoluta simple de la clase premodal.

li= límite inferior de la clase modal

frecuencia absoluta simple de la clase modal, menos

la frecuencia absoluta simple de la clase posmodal.

Ic= intervalo de clase

Puntuaciones

fi

0 – 5 3

5 – 10 2

10 – 15 7

15 – 20 3

15

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requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes.

2.1 – Cuartiles.

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

Para Datos Agrupados en clases.

La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados en clases es la siguiente:

De donde:

2.2 – Deciles.

Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.

Para Datos Agrupados en clases.

QA= Cuartil li= límite inferior de la clase en donde está

ubicado el cuartil

N= población fi= frecuencia absoluta simple de la clase en

donde está ubicado el cuartil

A.N/4= posición

del cuartil

Fi-1= frecuencia absoluta acumulada,

anterior a la posición del cuartil.

Ic= intervalo de clase

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La fórmula para calcular los deciles en datos agrupados es la siguiente:

De donde:

2.3 –

Percentiles.

Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,..., P99), son leídos primer percentil,..., percentil 99.

Para Datos Agrupados en clases.

Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencia, la fórmula ha utilizar es la siguiente:

De donde:

DA= Decil li= límite inferior de la clase en donde está

ubicado el decil

N= población fi= frecuencia absoluta simple de la clase

en donde está ubicado el decil

A.N/10= posición

del decil

Fi-1= frecuencia absoluta acumulada,

anterior a la posición del decil

Ic= intervalo de clase

PA= Percentil li= límite inferior de la clase en donde está

ubicado el percentil

N= población fi= frecuencia absoluta simple de la clase

en donde está ubicado el percentil

A.N/100= posición

del percentil

Fi-1= frecuencia absoluta acumulada,

anterior a la posición del percentil

Ic= intervalo de clase

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Ejemplo: Determinación del cuartil 1, decil 7 y percentil 30, de la siguiente

distribución de frecuencia:

Salarios

(Bs.F)

fi Fi

200 – 299

85 85

300 – 399

90 175

400 – 499

120

295

500 – 599

70 365

600 – 699

62 427

700 – 800

36 463

463

Como son datos agrupados en clases, se utilizan las fórmulas:

Siendo,

La posición del cuartil A.

La posición del decil A.

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La posición del percentil A.

Entonces,

* Cuartil 1= Percentil 25 (Q1=P25)

li= 300

Fi-1= 85

Ic= 100

fi= 90

Interpretación: 25% de los trabajadores ganan salarios inferiores a 334,17BsF y 75% de los trabajadores ganan salarios superiores a 334,17BsF

* Decil 7= Percentil 70 (D7=P70).

li= 500

Fi-1= 295

Ic= 100

fi= 70

Interpretación: 70% de los trabajadores ganan salarios inferiores a 541,57BsF y 30% de los trabajadores ganan salarios mayores de 541,75BsF.

*Percentil 30= Decil 3 (P30=D3)

li= Fi-1= 85 Ic= fi=

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300 100 90

Interpretación: 30% de los trabajadores ganan salarios por debajo de 359,89BsF y un 70% de los trabajadores ganan salarios superiores a 359,89BsF

NOTA: para datos no agrupados en clases, se sigue igual criterio que con la mediana.

MEDIDAS DE DISPERSIÓNUn rasgo principal de los datos es su dispersión o amplitud, que se

refiere a su variabilidad, a la evaluación de cuán separados o extendidos están estos datos o bien cuánto difieren unos de otros. Las medidas de dispersión se dividen en dos grupos:

Absolutas (Por conservar la unidad de medida). Relativas (Por eliminar la unidad de medida).

1) Medidas de Dispersión Absolutas.1.1Rango (R).El Rango es la resta del valor máximo (VM) con el valor mínimo (Vm) de la

serie de datos que se nos presenta.La fórmula para calcular el rango es la siguiente:

1.2Desviación Cuartil (DQ).Conocidos los cuartiles se puede calcular la desviación cuartil, la cual

mide la amplitud o rango existente entre el 50% central de la distribución de los datos.

La fórmula para calcular la desviación cuartil es la siguiente:

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1.3Desviación Media (DM).La desviación media, medida como la sumatoria de los valores absolutos

de las desviaciones y representada con el símbolo DM, se expresa de la siguiente manera:

NOTA: la media puede ser sustituida por la mediana.1.4- Varianza (S2).La Varianza es una medida de dispersión absoluta que indica la

variabilidad (o dispersión) de un conjunto de datos observados, es decir, nos permite ver los “grados” de uniformidad u homogeneidad de los mismos. Está representada por S² o 2 (sigma) y se define en función de las diferencias entre la media ( ), y cada uno de los valores de la variable, elevadas al cuadrado, para eliminar el signo negativo. Se calcula según las fórmulas:

Para datos NO agrupados.

o

Para datos agrupados.

o

Entre las observaciones importantes respecto al cálculo de la varianza tenemos que en los casos donde no se pueda hallar la media ( ) tampoco se podrá determinar la varianza y que ésta no se expresa en las mismas unidades que los datos, pues estos estarán elevados al cuadrado, lo cual la hace impráctica.

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Propiedades de la Varianza, entre otras: 1- La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que los datos sean iguales.2- Si a todos los datos de la variable se les suma un mismo número la varianza no varía.3- Si todos los datos de la variable se multiplican por un mismo número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

1.5 – Desviación Estándar (S).Por su parte, la desviación típica o estándar es la raíz cuadrada positiva

de S². (Hermann - Josef, K. 1977). Es decir, se calcula extrayendo la raíz cuadrada a la varianza, con la finalidad de obtener las unidades originales de los datos de dispersión y se denota como S.

Al respecto, Pilar Pestaña de Martínez, docente e investigadora, afirma que la desviación estándar “es la medida de dispersión más frecuentemente utilizada en estadística descriptiva, constituyendo la base para los cálculos de regresión y correlación.”

Asimismo, el profesor Simón Cabrera en su guía de teoría de Estadística Descriptiva, publicada en el blog http://wwwyyy.wordpress.com, señala que:“La desviación típica como medida absoluta de dispersión, es la que mejor nos proporciona la variación de los datos con respecto a la media aritmética, su valor se encuentra en relación directa con la dispersión de los datos, a mayor dispersión de ellos, mayor desviación típica, y a menor dispersión, menor desviación típica.”

La desviación estándar se calcula de la siguiente forma:Para datos NO agrupados.

o

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Para datos agrupados.

o

Ejemplo: Complete la siguiente la tabla correspondiente a la edad en que murieron 25 personas de fiebre tifoidea. Sólo se consideraron edades entre 40 y 60 años cumplidos . (Rascón, O. 1974. Pág. 266, Ej. 39)

Edad

(años)

fi

40 2 -12 144 28845 4 -7 49 19650 5 -2 4 2055 1

03 9 90

60 4 8 64 25625

850

Halle la varianza y desviación típica e interprete.= 52,0 años

N = 25 personas.

La varianza refleja en este caso, que el promedio de desvíos respecto a la media, expresada en unidades al cuadrado, de las edades (comprendidas entre 40 y 60 años) en que murieron 25 personas de fiebre tifoidea, es igual a 34,00 años2.

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Con respecto a los resultados obtenidos en el cálculo, se interpreta: la desviación absoluta de las edades, en promedio, con respecto a la media es 5,84 años

2) Medidas de Dispersión Relativas.El concepto de variación es el grado en que los datos numéricos tienden

a extenderse al rededor de un valor, generalmente el valor medio.El concepto de Coeficiente de Variación es el cociente de la desviación

estándar entre el promedio aritmético, expresado en porcentaje.Las medidas de dispersión relativas, nos permiten realizar

comparaciones, ya que ellas no toman en cuenta las unidades en que vienen expresadas las variables. Estas medidas se expresan en porcentajes (%) y se determinan por la relación existente entre una medida de dispersión absoluta y una medida de tendencia central. Dicha relación nos permite comparar la realidad de los datos entre varias series. Entre ellas tenemos:

2.1- Coeficiente de Variación de Pearson (CVP).Indica la relación existente entre la desviación típica de los datos y su

media, de ahí que la variable debe alcanzar la escala de razón en su medición. Al dividir la desviación típica por la media se convierte en un valor exento

de unidad de medida. Si se comparan varios datos, tomando en cuenta el coeficiente de variación, será más homogéneo aquel grupo que tenga menor variación y por tanto, será menos homogéneo aquel grupo que tenga mayor variación. Se representa con las letras CVP.

2.2- Coeficiente de Variación Medianal (CVM).Equivale a la razón entre la desviación cuartil(DQ) y la mediana(Md).

Permite comparar, de forma relativa, la dispersión entre dos grupos distintos

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e incluso, comparar la variación producto de dos variables diferentes (que pueden provenir de un mismo grupo). Se representa con las letras CVM.

MEDIDAS DE FORMA DE LA DISTRIBUCIÓNLas medidas de forma de la distribución indican el lado hacia el cual se

concentran los datos de la distribución, graficados en la curva de frecuencia. La media, mediana y modo siempre estarán ubicados bajo la curva de frecuencia. En algunos casos dichos promedios poseerán el mismo valor numérico, por lo cual se dice que la distribución es simétrica, ya que

; sin embargo en otros casos tanto la media, como la mediana y el modo tendrán valores numéricos distintos, lo cual hará que la curva de distribución se incline ya sea hacia el lado derecho, por lo cuál se dice que la asimetría es positiva, o hacia el lado izquierdo, por lo cuál se dice que la asimetría es negativa.

Se dividen en tres (3) grupos: Primer coeficiente de asimetría de Pearson. Coeficiente de asimetría de Bowley. Kurtosis.

1) Primer coeficiente de asimetría de Pearson (Asp).En una distribución de frecuencia simétrica, los valores de la modo,

mediana y media, coinciden en la curva de frecuencia: .Cuando la distribución de frecuencia es asimétrica, quiere decir que los

tres valores no son iguales y se apartan uno de otro. Mientras más se separa la media de la moda, mayor es la asimetría. El coeficiente de asimetría de Pearson se encuentra entre los valores menos uno(-1) y uno(1), es decir:

. Cuando el coeficiente de asimetría se acerca a (-1), se dice que la curva es asimétrica negativa y cuando se acerca a (1), es asimétrica positiva; cuando el coeficiente de asimetría es igual a cero (0), se dice que la curva es simétrica.

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La curva de frecuencia asimétrica, puede ser positiva, cola hacia el lado derecho; y negativa, cola hacia el lado izquierdo.

Positiva Negativa

Si la diferencia de la media y el modo es dividida entre la desviación estándar, entonces, el cociente es llamado el Coeficiente de Asimetría, usado por Karl Pearson, para medir su grado, su fórmula es la siguiente.

;

Ejemplo: En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las edades que muestra la siguiente tabla. Calcule el Coeficiente de Asimetría de Pearson.

Edades

fi Xi

Xi2 Fi. Xi2

10 – 20

1 15

15 225 225

20 – 30

8 25

200 625 5000

30 – 40

10

35

350 1225

12250

40 – 50

9 45

405 2025

18225

50 – 60

8 55

440 3025

24200

60 – 70

4 65

260 4225

16900

21

70 – 80

2 75

150 5625

11250

42

1820 88050

Primero se obtienen la media y el modo:

La edad promedio de las 42 personas es 43,33 años.

La edad que más se repite es 36,70 años.Luego obtenemos la desviación estándar:

La variabilidad absoluta de las edades, en promedio, con respecto a la media es 14,80 años.

Ahora, calculamos el coeficiente de Asimetría:

Como el resultado del coeficiente de asimetría es positivo, quiere decir que la cola de la distribución es hacia el lado derecho, es decir, hacia los valores más altos de las edades.

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Esto también quiere decir, que el modo es menor a la media aritmética, por una cantidad igual al 0,45 de la desviación estándar.

2) Coeficiente Asimetría de Bowley (Asb).Para Bowley, calcular la asimetría, venía dada al trabajar con los

cuartiles, pero debemos recordar lo siguiente:- Si la distribución es simétrica, Q3 y Q1 estarán equidistantes de

Md:

Sin embargo, como trabajamos con una distribución asimétrica, pues la distancia de Q3 a Md no es igual a la distancia de Md a Q1.

Entonces la diferencia entre las dos distancias puede usarse como base para medir la asimetría, esto fue lo sugerido por Bowley en la siguiente fórmula:

;

Cabe destacar, que para resolver dicha fórmula se debe calcular los cuartiles requeridos. Al igual que en el primer coeficiente de asimetría de Pearson, el coeficiente de asimetría de Bowley también oscila entre los valores menos uno(-1) y uno(1); cuando se acerca a (-1) es asimétrica negativa, cuando se acerca a (1) es asimétrica positiva y cuando es cero(0) la curva es simétrica.

3) Kurtosis.Este recurso para describir una distribución de frecuencia, es usado para

mostrar el grado de concentración o picudez, de valores concentrados alrededor del modo, es decir de una curva apuntada; o de valores descentralizados con respecto al modo hacia ambos extremos de la curva de frecuencia, en consecuencia una curva achatada.

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Apuntada AchatadaExisten varios tipos de curva, entre las cuales encontramos:

Mesokúrtica Leptokúrtica Platikúrtica

La distribución normal, la cual no es muy picuda ni muy achatada, es la mesokúrtica y se emplea usualmente como estándar para medir la picudez de la curva.

Es importante destacar que la kurtosis sólo se aplica en distribuciones unimodales y simétricas.

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BIBLIOGRAFÍA

1- Libros:Hermann - J, K. (1977). Curso Básico De Estadística: Introducción a la técnica descriptiva del análisis estadístico. España: Editorial Herder.

Pestaña de M, P. (2.002). Estadística: Conceptos básicos, terminología y metodología de la estadística descriptiva. República Bolivariana de Venezuela. Los Libros De El Nacional, Colección Minerva.

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s/a. (s/f). Estadística. Consultado el 21 de septiembre de 2008. Disponible en línea: http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_15.html

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Ya - Lun, Chou(1972). Análisis estadístico. México: Nueva Editorial Interamericana.

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