UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE … · 2018-05-21 · ejemplo a seguir, todos ellos que me dieron fortaleza en momentos de flaqueza, como

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

Influencia de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de

Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones de 2x2 y Ecuaciones Cuadráticas, en el décimo año

de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”

ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

Trabajo de Titulación (modalidad proyecto de investigación) previo a la obtención del

Título de Licenciado en Ciencias de la Educación, mención: Matemática y Física.

AUTOR: Burbano Anacona Diego Alexander

TUTOR: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

CARÁTULA

Quito, 2018

ii

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Diego Alexander Burbano Anacona, en calidad de autor y titular de los derechos

morales y patrimoniales del trabajo de titulación: “Influencia de la aplicación Grapher

Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones de 2x2

y Ecuaciones Cuadráticas, en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la

Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto,

en el año lectivo 2017-2018, modalidad socioeducativo, de conformidad con el Art. 114

del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS

CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la

Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, transferible y no exclusiva para el

uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor

todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la norma citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la

digitalización y publicación de este trabajo de investigación en el repositorio virtual, de

conformidad a lo dispuesto en el Art. 114 de la Ley Orgánica de Educación Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de

expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por

cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad

de toda responsabilidad.

_____________________________

Diego Alexander Burbano Anacona

CC. 0201614427

[email protected]

mailto:[email protected]

iii

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de tutor del trabajo de titulación, presentado por DIEGO ALEXANDER

BURBANO ANACONA; para obtar por el grado de Licenciado en Ciencias de la

Educación, mención: Matemática y Física; cuyo título es: INFLUENCIA DE LA

APLICACIÓN GRAPHER FREE EN EL PROCESO ENSEÑANZA-

APRENDIZAJE DE ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2 Y

ECUACIONES CUADRÁTICAS, EN EL DÉCIMO AÑO DE EDUCACIÓN

GENERAL BÁSICA (EGB) DE LA UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE

PAÚL” UBICADA EN EL CANTÓN QUITO PARROQUIA CONOCOTO, EN EL

AÑO LECTIVO 2017-2018, considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos

suficientes para ser sometido a presentación pública y evaluación por parte del tribunal

examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 9 días del mes de mayo de 2018.

_______________________________

MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

DOCENTE – TUTOR

CC. 1703608016

iv

DEDICATORIA

Agradeciendo a Dios que me permitió alcanzar una meta más en mi camino y por

bendecirme con mi madre Herlinda que jamás perdió la esperanza de verme profesional,

mi padre Bolmar que con su carácter me formo como persona, mi hermano Wilmer

ejemplo a seguir, todos ellos que me dieron fortaleza en momentos de flaqueza, como

último a mis docentes que sin conocerme creyeron en un joven lleno de ilusiones y

ayudaron con todas sus enseñanzas para formarme profesionalmente, sin duda alguna

todos ustedes que me han visto trabajar para alcanzar un objetivo más en mi vida se los

dedico a ustedes por su entrega incondicional hacia mí.

v

AGRADECIMIENTO

A mi familia y amigo John Atiencia quienes me apoyaron para arriesgarme a estudiar en

tan prestigiosa Universidad con excelentes docentes dedicados a mi formación y logre así

culminar mis estudios universitarios.

A los docentes y autoridades de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”, Padre Max

Reyes (Rector de la institución).

Sin olvidar a mi tutor de tesis MSc. Paco Bastidas, por su guía y consejos durante todo el

proyecto y por brindarme su sabiduría en mi vida estudiantil la cual me ha de servir en

mi vida profesional.

vi

ÍNDICE DE CONTENIDOS

CARÁTULA ..................................................................................................................... i

DERECHOS DE AUTOR ................................................................................................ ii

APROBACIÓN DEL TUTOR ........................................................................................ iii

DEDICATORIA .............................................................................................................. iv

AGRADECIMIENTO ...................................................................................................... v

ÍNDICE DE CONTENIDOS ........................................................................................... vi

LISTA DE TABLAS ....................................................................................................... ix

LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................................... x

LISTA DE ILUSTRACIONES ........................................................................................ x

LISTA DE ANEXOS ...................................................................................................... xi

RESUMEN ..................................................................................................................... xii

ABSTRACT .................................................................................................................. xiii

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 1

CAPÍTULO I .................................................................................................................... 3

EL PROBLEMA .............................................................................................................. 3

1.1.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................... 3

1.1.1.Contextualización histórico-social .......................................................................... 3

1.1.2.Análisis Crítico ........................................................................................................ 7

1.1.3.Prognosis ................................................................................................................. 8

1.2.Formulación del Problema.......................................................................................... 9

1.3.Preguntas Directrices .................................................................................................. 9

1.4.Hipótesis de investigación ........................................................................................ 10

1.5.Objetivos ................................................................................................................... 10

1.5.1.Objetivo General.................................................................................................... 10

1.5.2.Objetivos Específicos ............................................................................................ 10

1.6.Justificación .............................................................................................................. 11

CAPÍTULO II ................................................................................................................. 13

MARCO TEÓRICO ....................................................................................................... 13

2. 1. Antecedentes del Problema .................................................................................... 13

2.1.1. Antecedente N° 1 .................................................................................................. 13

2.1.2. Antecedente N° 2 .................................................................................................. 14

2.1.3. Antecedente N° 3 .................................................................................................. 15

vii

2.2. Fundamentación Teórica ......................................................................................... 15

2.2.1. Paradigma ............................................................................................................. 15

Tipos de Paradigmas. ...................................................................................................... 16

2.2.2. Modelo Pedagógico .............................................................................................. 18

2.2.3. Teorías de Aprendizaje ......................................................................................... 20

2.2.4. Método pedagógico .............................................................................................. 22

2.2.5. Método didáctico .................................................................................................. 22

2.2.6. Procedimiento Didáctico ...................................................................................... 22

2.2.7. Estrategia .............................................................................................................. 23

2.2.8. Técnicas Didácticas .............................................................................................. 25

2.2.9. Aplicación Móvil Grapher Free ............................................................................ 27

2.2.10. Evaluación de los aprendizajes ........................................................................... 32

2.2.11. Rendimiento académico ..................................................................................... 36

2.3. Definición de Términos Básicos.............................................................................. 37

2.4. Fundamentación Legal ............................................................................................ 39

2.5. Caracterización de variables .................................................................................... 43

CAPÍTULO III ............................................................................................................... 45

METODOLOGÍA ........................................................................................................... 45

3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ...................................................................... 45

3.1.1. Enfoque de la investigación .................................................................................. 45

3.1.2. Modalidad de la investigación .............................................................................. 46

3.1.3. Nivel de la investigación ...................................................................................... 46

3.1.4. Tipo de investigación ........................................................................................... 47

3.1.5. Procedimientos fundamentales en el proceso de investigación ............................ 49

3.2. Población y Muestra ................................................................................................ 50

3.3. Operacionalización de las variables ........................................................................ 51

3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos .................................................... 52

3.4.1. Técnicas de recolección de datos.......................................................................... 52

3.4.2. Instrumento de recolección de datos .................................................................... 52

3.5. Validez y confiabilidad ............................................................................................ 52

3.5.1. Validez .................................................................................................................. 52

3.5.2. Confiabilidad ........................................................................................................ 53

CAPÍTULO IV ............................................................................................................... 63

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS .............................................. 63

viii

4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS A LOS

ESTUDIANTES ............................................................................................................. 63

4.1.1 Evaluación N.º 1: Evaluación diagnóstica ............................................................. 64

4.1.2 Evaluación N.º 2: Evaluación Formativa Unidad I Ecuaciones de primer grado .. 66

4.1.3 Evaluación N.º 3: Evaluación Formativa Unidad II “Sistema de Ecuaciones con 2

variables” ........................................................................................................................ 68

4.1.4 Evaluación N.º 4: Evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con una

incógnita” ....................................................................................................................... 70

4.1.5 Evaluación N.º 5: Evaluación sumativa. ............................................................... 72

4.2 ANÁLISIS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS GENERAL ............................................ 74

4.2.1 Lenguaje usual ....................................................................................................... 74

4.2.2 Lenguaje matemático ................................................................................... 74

4.2.3 Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo. .............................. 75

4.3 CÁLCULOS CON LA PRUEBA PARAMÉTRICA Z ........................................... 76

4.4 TOMA DE DECISIÓN ESTADÍSTICA .................................................................. 77

CAPÍTULO V ................................................................................................................ 79

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................................. 79

5.1. CONCLUSIONES ................................................................................................... 79

5.2.RECOMENDACIONES .......................................................................................... 82

5.3. DIAGRAMA DE LA V HEURISTICA DE GOWIN ............................................. 83

REFERENCIAS ............................................................................................................. 84

ANEXOS ........................................................................................................................ 87

ABSTRACT ................................................................................................................... 93

ix

LISTA DE TABLAS

Tabla 1: Escala de calificaciones. .................................................................................... 5

Tabla 2:Rendimiento Académico grupo experimental. ................................................... 6

Tabla 3: Rendimiento Académico grupo control. ........................................................... 6

Tabla 4: Escala de calificaciones. .................................................................................. 36

Tabla 5: Rendimiento Académico grupo experimental. ................................................ 36

Tabla 6: Rendimiento Académico grupo control. ......................................................... 37

Tabla 7: Matriz de operacionalización de variables. ..................................................... 51

Tabla 8: Expertos en la validación de instrumentos de evaluación. .............................. 53

Tabla 9: Niveles de confiabilidad. ................................................................................. 54

Tabla 10: Tabulación de los resultados de la evaluación diagnóstica. .......................... 54

Tabla 11: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 1. .......................... 56



Tabla 14: Tabulación de los resultados de la evaluación sumativa. .............................. 61

Tabla 15: Resumen de confiabilidades. ......................................................................... 62

Tabla 16: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación de

diagnóstico del grupo experimental. ............................................................................... 64


diagnóstico del grupo de control. ................................................................................... 64

Tabla 18: Cálculo de la media aritmética para los grupos de aplicación. ..................... 65

Tabla 19: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación formativa

No.1 (Grupo Experimental). ........................................................................................... 66


No.1 (Grupo Control). .................................................................................................... 66

Tabla 21: Cálculos de la media y desviación típica para los grupos de aplicación. ...... 67


No. 2 (Grupo Experimental). .......................................................................................... 68


No.2 (Grupo de Control). ............................................................................................... 68

Tabla 24: Cálculos de la media aritmética y desviación típica para los grupos de

aplicación. ....................................................................................................................... 69

x




No.3 (Grupo de Control). ............................................................................................... 70


aplicación. ....................................................................................................................... 71

Tabla 28: Resultados obtenidos en la aplicación del instrumento de evaluación sumativa



(Grupo de Control). ........................................................................................................ 72


aplicación. ....................................................................................................................... 73

Tabla 31: Registro de los valores estadísticos obtenidos por los grupos de aplicación. 75

Tabla 32: Resumen de resultados obtenidos por los grupos de aplicación. .................. 77

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Evaluación diagnóstica en los grupos de aplicación. ................................... 65

Gráfico 2: Instrumento de evaluación Formativa I “Ecuaciones de primer grado”. ..... 67

Gráfico 3: Instrumento de evaluación Formativa II “Sistema de Ecuaciones con 2

variables” ........................................................................................................................ 69

Gráfico 4: Instrumento de evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con

una incógnita”. ................................................................................................................ 71

Gráfico 5: Instrumento de evaluación Sumativa ........................................................... 73

Gráfico 6: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado del proyecto. 78

Gráfico 7: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 1) . 80

Gráfico 8: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 2). 81

Gráfico 9: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 3). 82

LISTA DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1: Croquis del Colegio Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”. .............. 8

Ilustración 2:Clasificación de las estrategias didácticas. .............................................. 24

Ilustración 3:Clasificación de las técnicas didácticas. .................................................. 26

xi

Ilustración 4: Interfaz de la aplicación móvil Grapher Free. ........................................ 28

Ilustración 5:Uso de la aplicación móvil Grapher Free. ............................................... 29

Ilustración 6:Uso de la aplicación móvil Grapher Free. ............................................... 30

Ilustración 7: Uso de la aplicación móvil Grapher Free. .............................................. 31

Ilustración 8:Tipos de evaluación. ................................................................................ 32

LISTA DE ANEXOS

ANEXO 1: Certificación de autorización de la aplicación de la experimentación ........ 88

ANEXO 2: Certificación de la realización de la experimentación ................................ 89

ANEXO 3: Horario de la experimentación .................................................................... 90

ANEXO 4: Certificación de revisión y corrección de redacción, ortografía y coherencia.

........................................................................................................................................ 92

ANEXO 5: Certificación de traducción del resumen de la tesis. ................................... 93

ANEXO 6: Solicitud y validación del documento base (Lic. Gabriela Guachamin). ... 93

ANEXO 7: Solicitud y validación del documento base (MSc. Milton Coronel)........... 96

ANEXO 8: Solicitud del documento base (Lic. Fabiola Herrán). ................................. 98

ANEXO 9: Solicitudes para la validación de los instrumentos de evaluación. ............. 99

ANEXO 10: Instructivo para la validación de los instrumentos de evaluación. ......... 102

ANEXO 11: Instrumento y validación de evaluación diagnóstica. ............................. 104

ANEXO 12: Instrumentos y validación de la evaluación formativa 1. ....................... 109

ANEXO 13: Instrumento y validación de la evaluación formativa 2. ......................... 114

ANEXO 14: Instrumento y validación de la evaluación formativa 3. ......................... 119

ANEXO 15: Instrumento y validación de la evaluación sumativa. ............................. 124

ANEXO 16: Fotografías del grupo control. ................................................................. 129

ANEXO 17: Fotografías del grupo experimental. ....................................................... 131

ANEXO 18: Documento Base ..................................................................................... 133

xii

TEMA: Influencia de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de

Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones de 2x2 y Ecuaciones Cuadráticas, en el décimo año


ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

Autor: Burbano Anacona Diego Alexander

Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

RESUMEN

En la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito parroquia

Conocoto; se evidenció un bajo rendimiento en la asignatura de Matemática en el décimo

año por el instrumento de evaluación diagnóstica aplicado, por lo cual el objetivo de la

investigación es determinar la influencia de la aplicación Grapher Free en el aprendizaje

de ecuaciones., para desarrollarlo se elaboró un documento base, con contenidos a

conocer. El diseño de la investigación tiene un enfoque cuantitativo, cuya modalidad es

la de un proyecto cuasi-experimental, ya que el proyecto tuvo grupo control y grupo

experimental el cual utilizó la aplicación Grapher Free para reforzar el aprendizaje y el

grupo control sus clases fueron dictadas de forma habitual sin ninguna aplicación, al

finalizar la investigación se concluyó que la aplicación no influye en el proceso

enseñanza-aprendizaje de los estudiantes del grupo experimental del décimo año de EGB.

PALABRAS CLAVES: APLICACIÓN GRAPHER FREE / ECUACIONES /

PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE / RENDIMIENTO ACADÉMICO /

CUASI-EXPERIMENTAL.

xiii

TITLE: Influence of the application Grapher Free in the process of teaching Equations,

2x2 Equation Systems and Quadratic Equations to the tenth year of General Basic

Education (GBE) at San Vicente de Paúl School, located in the city of Quito, parish of

Conocoto, throughout the 2017-2018 school year.

Author: Burbano Anacona Diego Alexander

Tutor: MSc. Paco Humberto Bastidas Romo

ABSTRACT

This study, after conducting a diagnostic test, evidenced poor academic performance in

Mathematics among tenth year students attending San Vicente de Paúl School, located in

the city of Quito, parish of Conocoto. For this reason, the goal of the study was to

determine the influence of the application Grapher Free in the process of teaching

equations. To do this, a base document was produced containing the contents expected to

be learned. The research design had a quantitative approach and was developed under a

quasi-experimental modality, since it had a control group and an experimental group --

the experimental group used the Grapher Free application to reinforce learning, whereas

the control attended class as usual without using any application. Upon finishing the

study, it was concluded that the application did not influence the teaching/learning

process with students coursing the tenth year of GBE.

KEYWORDS: GRAPHER FREE APPLICATION/ EQUATIONS/

TEACHING/LEARNING PROCESS/ ACADEMIC PERFORMANCE/ QUASI-

EXPERIMENTAL.

1

INTRODUCCIÓN

La presente investigación se desarrolló en la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” en

el décimo año (EGB), con el fin de aportar una nueva metodología de enseñanza-

aprendizaje con el uso de una aplicación llamada Grapher Free y así despertar el interés

e involucrar las TIC en la educación.

En esta investigación se realizó un documento base con sus respectivos contenidos,

pruebas formativas para determinar si el uso de la aplicación Grapher Free influye en el

proceso de enseñanza-aprendizaje de ecuaciones, para lo cual se concluyó que no influye

la aplicación Grapher Free, pero, esto no quiere decir que no funcione ya que la

investigación puede influir en diversos grupos experimentales en otras circunstancias y

otros factores.

La investigación está conformada por los siguientes capítulos:

Capítulo I: Describe el planteamiento del problema, los cuales determinan las posibles

causas del problema detectado y se visualizara a futuro lo que pasaría si no se corrige el

problema y la formulación de objetivos que busquen una solución factible, se encuentra

también la justificación del por qué se realizó la investigación.

Capítulo II: Contiene el marco teórico donde están los fundamentos que sustentan el

trabajo investigativo siempre basándose con su respectiva fundamentación legal y la

caracterización de las variables.

Capítulo III: Se describe la metodología de la investigación describiendo el enfoque,

modalidad, nivel de profundidad, tipo de investigación, procedimientos de investigación,

población y muestra con las técnicas e instrumentos con los cuales se recolecto los datos

del proyecto validando cada uno de los instrumentos por expertos.

Capítulo IV: Realizando análisis estadístico de los instrumentos aplicados a los

estudiantes tanto para el grupo control como para el grupo experimental encontrando sus

medias aritméticas y desviaciones típicas y culminar con el cálculo de la Z teórica y

comparando

2

con la Z encontrada por medio de las pruebas: diagnóstica, formativa 1, formativa 2,

formativa 3 y sumativa.

Capítulo V: Se establecieron las conclusiones de cada uno de los resultados obtenidos y

dando algunas recomendaciones a partir de los resultados obtenidos del anterior capítulo

Finalmente, se presentó las referencias bibliográficas y anexos recolectados de la

investigados.

3

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1.1. Contextualización histórico-social

Necesidades de la educación contemporánea.

Según la (UNESCO, El futuro del aprendizaje móvil, 2013), afirma que:

“Estudiantes y profesores utilizan ya tecnologías móviles en diversos contextos para una

extensa gama de finalidades docentes y de aprendizaje, y actores clave del ámbito

educativo, desde los ministerios nacionales de educación hasta los distritos escolares

locales, ensayan políticas de apoyo para impulsar el aprendizaje móvil e innovador en

entornos educativos formales e informales.

Las decisiones que hoy se adopten afectarán fundamentalmente al carácter del aprendizaje

móvil en los años venideros” (p12).

Según (Ministerio de Eduación, 2014), “el uso de teléfonos celulares en las instituciones

educativas, es con el objetivo de fomentar el consumo crítico de las nuevas tecnologías

de comunicación e información dentro de las aulas escolares”.

Los estudiantes tienen la oportunidad de adquirir capacidades importantes con las

facilidades que brindan las aplicaciones móviles en el campo educativo y así contribuir

al mejoramiento de la enseñanza.

Necesidades para la formación docente.

4

Según la (UNESCO, Aprendizaje móvil para docentes temas globales, 2012), menciona

que:

“El mundo debe alcanzar dos logros muy difíciles de manera simultánea para abordar

seriamente la crisis docente global: debe incrementar la cantidad y mejorar la calidad de

la fuerza laboral docente.

Las tecnologías móviles pueden ayudar a que los países se acerquen al logro de ambos

objetivos. Si bien no son la panacea, los dispositivos móviles, junto a otras tecnologías,

ya se han hecho un historial de mejorar la eficiencia educativa y de ayudar a los docentes,

tanto principiantes como experimentados, a adquirir habilidades complejas y a completar

tareas significativas en el aula. En los estudios de ‘Aprendizaje móvil para docentes’ se

examina este historial y se explican algunas de las numerosas maneras en las que las

tecnologías móviles están siendo usadas para apoyar y capacitar a los docentes en diversas

regiones y contextos en el mundo” (p7).

Según (UNESCO, Aprendizaje móvil para docentes en América Latina, 2012), nos dice

que:

“La utilización de teléfonos móviles en la educación presenta la posibilidad de hacer el

aprendizaje más accesible, colaborativo y relevante. Como una alternativa de bajo costo

frente a los ordenadores, los teléfonos móviles pueden incrementar el acceso a Internet y

al contenido educativo digital y, debido a que son portátiles, también pueden facilitar el

aprendizaje tanto fuera como dentro de las escuelas” (p10).

El docente es el encargado de ayudar a los estudiantes a adquirir conocimientos por tal

motivo es fundamental su capacitación constante en las Tic y adquirir nuevas habilidades

en aplicaciones móviles que facilitan el aprendizaje tanto dentro y fuera de las unidades

educativas.

Necesidades para la enseñanza de Matemática.

Según (Cuevas Vallejos, 2000), citado por Rubén Pizarro menciona que:

“Cuesta mucho tiempo y esfuerzo desarrollar software, para implementarlos en

actividades educativas dentro de la matemática, ya que al tratar de enseñar a los alumnos

un concepto matemático se debe presentar la reunión de varios mundos, contextos o

5

registros de representación semiótica. Es decir, que no sólo debemos enseñar el concepto,

sino que, si el mismo lo permite, debe estar instanciado en un mundo geométrico,

algebraico, aritmético o físico. Esto dificultará la tarea de programación y el logro de las

interfaces”.

Las aplicaciones móviles permitirían el complemento de la teoría y conceptos

matemáticos en el aula y facilitarían la comprensión en la práctica de los problemas donde

se los presenten.

Análisis Documental.

En la ciudad de Quito, parroquia Conocoto, en la Unidad Educativa “San Vicente de

Paúl”, no se evidencia en las planificaciones micro curriculares el uso de algún tipo de

aplicación móvil, de la misma manera tampoco se encuentra en el programa anual del

área para la enseñanza de Matemática en el nivel medio; por tanto, no se logra el

desarrollo tecnológico requerido para una mejor calidad de aprendizaje.

Análisis del rendimiento.

Según (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193 establece que “el estudiante debe

demostrar que logró “aprobar” los objetivos de aprendizaje definidos en el programa de

asignatura o área de conocimiento fijados para cada uno de los niveles y subniveles del

Sistema Nacional de Educación”.

Tabla 1: Escala de calificaciones.

Escala Cualitativa Escala Cuantitativa

DAR Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00

AAR Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99

PARA Está próximo a alcanzar los aprendizajes

requeridos

4,01 – 6,99

NAAR No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4

Fuente: Ministerio de Educación 2016

Elaborado por: Diego Burbano (Investigador).

6

Los estudiantes del décimo año de Educación General Básica del año lectivo 2017 – 2018

en la asignatura de Matemática obtuvieron un rendimiento AAR en la prueba diagnóstica.

Tabla 2:Rendimiento Académico grupo experimental.

Escala Cualitativa Número de

estudiantes

Porcentaje

(%)

Domina los aprendizajes requeridos 9,00–10,00 19 61.30

Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00–8,99 9 29.03

Está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos 4,01–6,99 3 9.67

No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 0 0

Total 31 100

Promedio 8.87

Fuente: Prueba Diagnóstica


Se observa en la tabla 2 que el 61.30% domina los aprendizajes, 29.03% alcanza los

aprendizajes requeridos, 9.67% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos, 0%

no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo experimental es

de 8.87.

Tabla 3: Rendimiento Académico grupo control.


estudiantes

Porcentaje (%)

Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00 7 22.58

Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99 19 61.30

Está próximo a alcanzar los aprendizajes

requeridos

4,01 – 6,99 4 12.90

No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 1 3.22

Total 31 100

Promedio 7.68



7


aprendizajes requeridos, 12.90% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos,

3.22% no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo

experimental es de 7.68.

¿Cuál es el problema o debilidad?

Según la UNESCO, Ministerio de Educación, Cuevas Vallejos que evidencia problemas

en la falta de utilización de aplicaciones móviles recomiendan la implementación

necesaria de aplicaciones en el campo educativo para el proceso enseñanza-aprendizaje

ya que en la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” no utilizan ninguna aplicación

móvil y tampoco se evidencia en las planificaciones micro curriculares, de la misma

manera tampoco se encuentra en el programa anual del área para la enseñanza de

Matemática en el nivel medio, lo que podría ser la causa del bajo rendimiento académico

de los estudiantes.

1.1.2. Análisis Crítico

En la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicado en la ciudad de Quito, parroquia

Conocoto, avenida Lola Quintana y calle Oriente, que funciona en la modalidad

presencial en jornada matutina, régimen sierra y prestando los servicios de Educación

Inicial, Educación General Básica y Bachillerato General Unificado.

Siendo una institución enfocada a una educación con valores, ética y compromiso

religioso, cuenta con una amplia infraestructura con área administrativa, dispensario

médico, biblioteca, departamento DECE, pastoral, laboratorios de Química, Física e

Informática, bar y área de copias interno, en permanente funcionamiento acorde a su

población estudiantil de 997 estudiantes, su personal docente y administrativo es de 64

colaboradores.

8

Ilustración 1: Croquis del Colegio Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”.

Fuente: Google Maps 2018


Sin embargo, se puede evidenciar que no se utiliza ningún tipo de aplicación móvil para

la enseñanza de Matemática en los décimos años de Educación General Básica por tal

motivo es necesario implementar aplicaciones móviles con los estudiantes, ya que aún

tienen dificultad al momento de resolver o graficar soluciones de ecuaciones e

inecuaciones e implementando nuevos recursos pueden ellos descubrir nuevas formas de

aprender Matemática de manera tecnológica y aplicarlos en la solución de los problemas.

Las variables que analiza el problema son:

• Variable independiente: Aplicación Grapher Free.

• Variable dependiente: Rendimiento académico.

1.1.3. Prognosis

Si nosotros no utilizamos las nuevas tecnologías como aplicaciones móviles los

estudiantes no estarán interesados en la materia y hasta el punto de llegar a olvidarse de

los hábitos de estudio que son necesarios para que los estudiantes no tengan problemas

en su vida estudiantil, por otra parte una solución podría ser la implementación de

aplicaciones móviles de fácil uso como el Grapher Free en el proceso de enseñanza-

9

aprendizaje, logrando así que los estudiantes despierten el interés en Matemática e

incrementando su rendimiento académico en un entorno académico más motivacional,

siendo beneficiados los estudiantes, padres de familia y docentes .

1.2. Formulación del Problema

Se demostró que los estudiantes en el 10 año de Educación General Básica poseen un

bajo rendimiento. Por lo tanto, se evidencia la necesidad de investigar:

¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje

de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el décimo año


ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018?

1.3. Preguntas Directrices


de ecuaciones en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad

Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el

año lectivo 2017-2018?


de sistema de ecuaciones de 2x2 en el décimo año de Educación General Básica (EGB)

de la Unidad Educativa” San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia

Conocoto, en el año lectivo 2017-2018?


de ecuaciones cuadráticas, en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la

Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto,

en el año lectivo 2017-2018?

10

1.4. Hipótesis de investigación

Hi: Influencia de la aplicación Grapher Free influye en el proceso enseñanza-aprendizaje



ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

Ho: Influencia de la aplicación Grapher Free no influye en el proceso enseñanza-

aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas, en el

décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente

de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

1.5. Objetivos

1.5.1. Objetivo General

Determinar la influencia de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-



de Paúl” ubicada en el cantón Quito, parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

1.5.2. Objetivos Específicos

➢ Elaborar el documento base para la enseñanza de ecuaciones, sistema de

ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas e instrumentos de evaluación para

aplicar en los estudiantes del décimo año de Educación General Básica (EGB) de

la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”.

➢ Validar el documento base e instrumentos de evaluaciones sobre ecuaciones,

sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas con tres expertos para

certificar el mismo.

11

➢ Determinar la confiabilidad de los instrumentos de evaluación de ecuaciones,

sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas mediante un pilotaje con

15 estudiantes utilizando fórmulas estadísticas como el alfa de Crombach para

obtener una mejor investigación.

➢ Utilizar la aplicación móvil Grapher Free para el desarrollo de las clases de

Matemática en los décimos años de EGB.

➢ Evaluar los resultados obtenidos de la utilización de la aplicación móvil Grapher

Free en el rendimiento académico de los estudiantes de decimos años de EGB.

➢ Organizar los datos obtenidos y calcular medias aritméticas, desviación típica,

entre otras.

1.6. Justificación

La investigación tiene por interés determinar la influencia de la aplicación Grapher Free

en los estudiantes de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” para la enseñanza de

ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones cuadráticas.

Por las evaluaciones aplicadas a los 10mo años de EGB, se logró detectar que su

rendimiento académico solo alcanza a dominar los aprendizajes lo cual nos permite

evidenciar un problema en el aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y

ecuaciones cuadráticas.

Cuyo impacto social que se espera lograr es el uso de aplicaciones móviles en el proceso

enseñanza-aprendizaje y fomentar así un nuevo recurso en las aulas antes de que el

problema se agrave en la enseñanza.

De tal manera que las aplicaciones móviles sean de gran importancia en el proceso de

enseñanza-aprendizaje para los estudiantes y así mejoren su rendimiento académico,

descubriendo nuevas tecnologías novedosas utilizadas para su beneficio.

12

Ya que trabajando con una aplicación móvil con una facilidad de manejo y además

gratuita se podrá despertar un interés en la materia por parte de los estudiantes.

13

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2. 1. Antecedentes del Problema

2.1.1. Antecedente N° 1

Título de la investigación: Impacto del uso y aplicación de las TIC en el proceso de

enseñanza y aprendizaje de la matemática de los estudiantes del primer semestre de la

carrera de Matemática y Física de la Facultad de Filosofía de la Universidad Central del

Ecuador año lectivo 2010 – 2011.

Autor y año de ejecución: Amores Veloz Ana Lucia, 2014

Metodología Aplicada: Cuali – Cuantitativo

Conclusiones:

Utilizar recursos multimedia (diapositivas, fotos, videos, etc.), que se encuentran

al alcance de estudiantes y docentes, constituyen herramientas útiles en el trabajo

de formación, obteniéndose ventajas cuantitativas en el proceso de enseñanza

aprendizaje.

Se debe insertar paulatinamente las TIC en el aula como una herramienta eficaz

de apoyo en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

La percepción generalizada de los estudiantes es que las TIC en el Aula son

inexistentes, tampoco se utilizan las redes sociales para intercambio de ideas entre

docentes y estudiantes, no así entre compañeros.

14

El investigador recomienda promover el uso y elaboración de software educativo que

permitan una mayor comprensión y profundización de un tema específico que a la vez

incentivara la investigación de un nuevo recurso para el estudiante.


Tesis de grado previo a la obtención del grado de Licenciado en Ciencias de la Educación

mención Matemática y Física.

Título de la investigación: Uso de un objeto virtual de aprendizaje (OVA) en la

enseñanza de la función lineal en el décimo año de EGB, en la unidad educativa “Madre

de la Divina Gracia” en la ciudad de Sangolquí durante el año lectivo 2016-2017.

Autor y año de ejecución: Ñacato Morocho Katherine Roxana, 2016

Metodología Aplicada: Cuali – Cuantitativo

Conclusiones:

El Objeto Virtual de Aprendizaje si incide en la enseñanza aprendizaje de la

Función lineal.

Impulsar a los docentes de matemáticas a que utilicen un objeto Virtual de

Aprendizaje para la enseñanza de la función lineal en los décimos años de

educación básica”.

Se recomienda que se realice investigaciones relacionadas a la aplicación de un

Objeto Virtual de Aprendizaje en otros temas y niveles de estudios en las

diferentes áreas de la institución educativa para así poder dar un criterio de

incidencia general”.

El investigador recomienda impulsar la utilización de aplicaciones móviles para el

aprendizaje de Matemática con otros temas y con diferentes grupos de trabajo para dar

un criterio de incidencia de las aplicaciones móviles.

15


Tesis de grado previo a la obtención del grado de Licenciado en Ciencias de la Educación

mención Matemática y Física.

Título de la investigación: Influencia del Software Educativo Cuadernía en la enseñanza

de estadística descriptiva en los estudiantes de noveno año de EGB del colegio Benito

Juárez de la ciudad de Quito en el periodo 2014 – 2015.

Autor y año de ejecución: Tatiana Cortez Moreno, 2015

Metodología Aplicada: Cuantitativo

Conclusiones:

Se observa que el grupo experimental obtuvo mejor rendimiento que el grupo

control, puesto que el grupo experimental alcanzo los aprendizajes requeridos,

mientras que el grupo control está próximo a alcanzar. El software educativo

influye en la enseñanza de matemática.

Optimizar el uso de laboratorios de informática para lograr que el estudiante

interactúe con el aprendizaje a través de un software educativo; con el propósito

de lograr estudiantes activos y participativos con la finalidad de mejorar el

rendimiento académico de matemática.

El investigador recomienda que en la metodología utilizada por los docentes se incluya

el uso un software educativo para incrementar la motivación en el estudiante.

2.2. Fundamentación Teórica

2.2.1. Paradigma

“Paradigma educativo” (Significados.com, s.f.), Afirma que “un paradigma educativo es

un modelo utilizado en la educación. El paradigma utilizado por un maestro tiene un gran

16

impacto en la forma en que el estudiante se va a enfrentar al conocimiento y reaccionar

ante este, aprendiendo o rechazando dependiendo de la forma en que es abordado”.

Tipos de Paradigmas.

Según (Luna, 2011), En el sector educativo se distinguen distintos tipos de paradigmas,

dentro de los cuales, se encuentran:

Paradigma Conductista.

Paradigma Constructivista.

Paradigma Histórico – Social.

Paradigma Cognitivista.

Paradigma Conductista.

Según (Luna, 2011), menciona que:

Se dirige el aprendizaje a enfocarse en fenómenos observables y medibles. El aprendizaje

es producto de una relación "estímulo - respuesta". Los procesos internos: el pensamiento

y la motivación, no pueden ser observados ni medidos directamente. El aprendizaje ocurre

cuando se observa un cambio en el comportamiento. El estudiante es un receptor de

conceptos y contenidos, cuya única demanda es aprender lo que se enseña.

Este paradigma se basa en el que el estudiante es un robot que aprende conductas

observables, meditables y cuantificables, es decir, solo receptor de contenidos y

conceptos, manteniendo un orden establecido.

Paradigma Constructivista.

Según (Luna, 2011) El constructivismo “Busca ayudar a los estudiantes a internalizar,

reacomodar, o transformar la información nueva. Esta transformación ocurre a través de

la creación de nuevos aprendizajes y esto resulta del surgimiento de nuevas estructuras

cognitivas que permiten enfrentarse a situaciones iguales o parecidas en la realidad”.

17

En este el estudiante debe proponer su propio proceso de aprendizaje en el cual ensambla

conocimientos a experiencias futuras e interpretando la información.

Paradigma Cognitivo.

Según (Hernández & Alfonso, 2012), En el paradigma cognitivo establece:

“El sujeto es un ente activo, cuyas acciones dependen en gran parte de sus

representaciones que él ha elaborado como resultado de las relaciones con su entorno

físico y social. El estudiante posee competencia cognitiva para aprender y solucionar

problemas. El profesor promueve la participación activa de sus estudiantes y subordinar

la enseñanza al aprendizaje. El aprendizaje es significativo. La enseñanza deberá

orientarse al logro de aprendizajes significativos y al desarrollo de habilidades para el

aprendizaje”.

En este paradigma el estudiante es activo procesador de la información, el cual posee

competencia cognitiva para aprender y solucionar problemas, a su vez, debe considerarla

y desarrollarla usando nuevos aprendizajes y habilidades estratégicas y el docente parte

de la idea de que el estudiante es activo y que aprende significativamente, que puede

aprender a aprender y a pensar.

Paradigma Histórico Social.

Según (Luna, 2011), establece que:

El individuo, aunque importante, no es la única variable en el aprendizaje. Su historia

personal, su clase social y consecuentemente sus oportunidades sociales, su época

histórica, las herramientas que tenga a su disposición, son variables que no solo apoyan

el aprendizaje, sino que son parte integral de él. Estas ideas lo diferencian de otros

paradigmas.

Según (Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 2007), menciona

que “El individuo, aunque importante, no es la única variable en el aprendizaje. Sus

antecedentes, su clase social y consecuentemente sus oportunidades sociales, su época

18

histórica, las herramientas que tenga a su disposición, son variables que no solo apoyan

el aprendizaje, sino que son parte integral de él”.

Por tal motivo el estudiante asimila el cómo se aprende dentro de un contexto

sociocultural, el cual mediante la interacción el estudiante reconstruye conocimientos con

otros y el rol del docente es el de ser un mediador entre el grupo, siempre con actividades

que puedan interactuar entre los involucrados y logren un saber general.

Entonces los paradigmas nos permiten llegar al estudiante de manera que ellos capten los

conocimientos que imparte el docente.

2.2.2. Modelo Pedagógico

Según (Herrera, 2018), un modelo pedagógico “Es un sistema formal que busca

interrelacionar los agentes básicos de la comunidad educativa con el conocimiento

científico para conservarlo, innovarlo, producirlo o recrearlo dentro de un contexto social,

histórico, geográfico y culturalmente determinado”

Componen modelos propios de la pedagogía educativa, reconocida no solo como un saber

sino también que pueden ser objeto de crítica conceptual y de revisión de los fundamentos

sobre los cuales se haya construido.

Tipos de Modelos Pedagógicos

Modelo Tradicional

Según (Zubiría, 2006), menciona que:

El maestro es el transmisor de los conocimientos y las normas culturalmente construidas

y que aspira a que, gracias a su función, dichas informaciones y normas estén al alcance

de las nuevas generaciones, es decir, que el estudiante no puede construir su propio

conocimiento sino, más bien se limita ser guiado por el docente.

19

La enseñanza consiste en conocimientos y valores sociales acumulados por las

generaciones adultas que se transmiten a los estudiantes como verdades

Modelo Conductista

Según (Flórez, 2014),el modelo conductista “Es la fijación y control de los objetivos

"instruccionales" formulados con precisión y reforzados minuciosamente. De acuerdo

con los fundamentos teóricos del conductismo, el aprendizaje es originado en una triple

relación de contingencia entre un estímulo antecedente, la conducta y un estímulo

consecuente”.

Hay una fijación y control de logro de los objetivos, transmisión parcelada de saberes

técnicos, mediante un adiestramiento experimental; cuyo fin es moldear la conducta.

Modelo Romántico

Según (Flórez, 2014), el modelo romántico “Desarrolla la máxima autenticidad y libertad

individual del estudiante en procura de su desarrollo natural, espontáneo y libre. Los

contenidos no están elaborados previamente, sino que se desarrollan en la medida en que

el alumno los solicite”.

Se tiene en cuanta lo que está en el interior del estudiante desarrollándose en un ambiente

flexible y el docente será auxiliar del proceso.

Modelo Cognitivo

Según (Flórez, 2014), menciona que:

El rol del docente está centrado en atender y seguir el nivel de desarrollo de las estructuras

y el proceso cognitivo de sus alumnos. Debe orientar a los estudiantes hacia el desarrollo

de aprendizajes por recepción significativa, y hacia la participación en actividades

exploratorias que puedan ser usadas posteriormente en formas de pensar independiente,

de modo que lo que se evalúa no es el resultado del proceso de aprendizaje en términos

de comportamientos logrados y demostrados, sino los indicadores cualitativos que

20

permiten inferir acerca de la evolución de las estructuras de conocimiento y los procesos

mentales que las generan.

Modelo Social

Según (Flórez, 2014), el modelo social “Desarrollo de habilidades de pensamiento crítico-

reflexivo que permiten al estudiante participar activamente en procesos de transformación

de la sociedad”.

Se tiene como objetivo principal educar para el desarrollo máximo y multifacético de las

capacidades e intereses del estudiante; en donde la enseñanza depende del contenido y

método de la ciencia y del nivel de desarrollo y diferencias individuales del estudiante.

Modelo de la Institución “San Vicente de Paúl”

Según (Unidad Educativa San Vicente de Paúl, 2016), indica:

Es una Institución Educativa Católica Vicentina, que ofrece una educación integral a la

niñez y juventud con atención prioritaria a los sectores más vulnerables, educamos con

amor afectivo (calidez) y efectivo (calidad), promoviendo la libertad de pensamiento, la

dignidad del ser humano. Evangelizando con nuestro testimonio de vida y actitud de

servicio al estilo de Vicente de Paúl y Luisa de Marillac, para formar buenos cristianos

emprendedores y solidarios, convencidos de que la educación cambia a la persona y

transforma a la sociedad.

2.2.3. Teorías de Aprendizaje

Según (Pérez, 2014), menciona “Las teorías del aprendizaje son aquellas que realizan la

descripción de un proceso que permite que una persona o un animal aprendan algo. Estas

teorías pretenden entender, anticipar y regular la conducta a través del diseño de

estrategias que faciliten el acceso al conocimiento”.

A continuación, se presenta algunas teorías del aprendizaje.

21

Teoría de Piaget

Según (Universidad Autónoma de Barcelona, 2008), menciona que:

La teoría de Piaget ha inspirado trascendentales reformas de los programas de estudio y

sigue influyendo mucho en la práctica pedagógica moderna. Entre sus principales

aportaciones a la educación se encuentran las ideas de que a) el niño debe construir

activamente el conocimiento; b) los educadores deben ayudarle a aprender a aprender; c)

las actividades de aprendizaje deben adecuarse al nivel del desarrollo conceptual; d) la

interacción con los compañeros contribuye al desarrollo cognoscitivo. La teoría de Piaget

pone de relieve la función del profesor en el proceso de aprendizaje como organizador,

colaborador estimulador y guía. (p28)

Teoría de Bruner

Según (Castejón, González, Guilar, & Miñano, 2010), “considera que el aprendizaje y la

enseñanza deben producirse desde los ejemplos particulares a las ideas generales.

(…), en el que los alumnos, guiados por el profesor, deben descubrir la regla o definición

general a partir de diferentes ejemplos positivos y negativos del concepto. (p92).

Teoría de Vygotsky

Según (Universidad Autónoma de Barcelona, 2008), menciona que:

Las funciones cognoscitivas elementales se transforman en actividades de origen superior

a través de las interacciones con adultos y compañeros más conocedores. La

internalización es un proceso consistente en construir una representación interna

(cognoscitiva) de las acciones físicas o de las operaciones mentales que ocurren

inicialmente en las interacciones sociales. Los niños internalizan los elementos de estas

últimas y así aprenden a regular su conducta y su pensamiento. (p28)

Teoría de Ausubel

Según (Castejón, González, Guilar, & Miñano, 2010), menciona que:

22

Para Ausubel el aprendizaje se produce por recepción o asimilación significativa del

nuevo material y no por descubrimiento (…) los profesores deben presentar el contenido

a los alumnos de forma organizada en secuencias y de forma acabada.

El aprendizaje y la adquisición de nuevos conocimientos tiene lugar de forma deductiva,

es decir, desde la comprensión de los conceptos generales hasta los más específicos,

incluidos en o relacionados con aquellos. (p87)

Las teorías contribuyen al conocimiento y proporcionan fundamentos explicativos desde

diferentes enfoques y en distintos aspectos.

2.2.4. Método pedagógico

Para Olmedo citado por (Bastidas, 2004), el método pedagógico “Se refiere a un aspecto

mucho más amplio, como es una concepción filosófica y psicológica de la educación, que

abarca mucho más que el campo estrictamente didáctico”. (p16)

2.2.5. Método didáctico

Para Bassi citado por (Bastidas, 2004), “El método didáctico es la dirección u orientación

seguido para ir hacia alguna cosa o lugar, para alcanzar algún objeto o fin, o para cumplir

con los objetivos del Proceso de Enseñanza – Aprendizaje”. (p16)

Según (Moral, C & Pérez, M, 2009), “Es la organización racional y práctica de los

recursos y procedimientos del profesor con el propósito de dirigir el aprendizaje de los

alumnos hacia los resultados previstos y deseados, esto es de conducir a los alumnos

desde el no saber nada hasta el dominio seguro y satisfactorio de la asignatura, de modo

que se hagan más aptos para la vida en común y se capaciten mejor para su futuro trabajo

profesional”.

2.2.6. Procedimiento Didáctico

23

Para Bassi citado por (Bastidas, 2004), “Procedimiento didáctico es el conjunto de

actividades específicas, realizadas por el profesor y el alumno, que han de seguirse para

cumplir con los objetivos del sistema enseñanza – aprendizaje.” (p16)

Por tal motivo se afirma que:

Según (Bastidas, 2004), “el método didáctico y los procedimientos didácticos son

conceptos distintos, sin embargo, inseparables. Donde hay método, es decir, orientación,

dirección a seguir, hay procedimientos, esto es, camino concreto que se recorrerá dentro

de la ruta elegida.

2.2.7. Estrategia

Según (Hernández, 1995), “Una estrategia comprende actividades, las mismas que

generalmente son acciones llevadas a cabo por el profesor y/o alumno”.

Tipos de estrategia

Para Kindsvatter (1988) citado por (Bastidas, 2004), “las estrategias de enseñanza pueden

ser: magistral o directa, grupal o cooperativa e individual”, (p19).

Estrategia Magistral: “se refiere al modelo académico donde el docente dirige,

controla y desarrolla las actividades del sistema enseñanza aprendizaje”.

Estrategia Grupal: “Enfatiza el trabajo conjunto de los estudiantes en

actividades de aprendizaje cooperativo, supeditadas a la tutoría del profesor y de

los compañeros”.

Estrategia Individual: “es un modelo de instrucción individualizado sobre la

base de un programa estructurado para cada alumno”.

24

Ilustración 2:Clasificación de las estrategias didácticas.

Fuente: Estrategias y Técnicas Didácticas, (Bastidas, 2004)


Estrategia

Magistral

Conferencia

Demostración

Presentación

Interrogatorio

Estudio de casos

...

Grupal

Mesa redonda

Panel

Simposio

Role playing

Phillips 66

Torbellino de ideas

Seminario

Diálogos simultáneos

Debate

Rejas

Dramatización

Taller

...

Individual

Estudio documental

Estudio independiente

Estudio dirigido

Enseñaza programda

...

25

2.2.8. Técnicas Didácticas

Según (Busot, 1991), “la técnica es una forma particular de emplear un instrumento y/o

recurso en el que se apoya la enseñanza”.

Tipos de Técnicas

Para (Oviedo, 1993), las técnicas de enseñanza pueden ser:

Técnicas de Estimulación Audiovisual.

Técnicas de Estimulación Verbal.

Técnicas de Estimulación Escrita.

Técnicas Audiovisuales

Para (Bastidas, 2004), “se entiende por técnicas audiovisuales al conjunto de recursos

didácticos, con sus respectivos procedimientos, que estimulan la atención a través de la

vista o el oído, o de ambos sentidos a la vez”.

Técnicas Escritas

Según (Océano Uno, 1994), “Es un esquema gráfico de los elementos físicos que

configuran un equipo, una organización o un proceso; en el que cada elemento o actividad

está representado por un símbolo y relacionado por diversas líneas con otros”.

Técnicas Verbales

Según (Bastidas, 2004), “Es el conjunto de recursos didácticos, con sus respectivos

procedimientos, que fomenta la comunicación entre el estudiante y el docente”.

26

Ilustración 3:Clasificación de las técnicas didácticas.

Fuente: Estrategias y Técnicas Didácticas, (Bastidas, 2004)


Por lo cual la aplicación móvil Grapher Free de esta investigación está dentro de la técnica

audiovisual en dispositivo móvil.

Aplicación móvil

Según (Grupo Océano, 2015), “Se denomina aplicación móvil o app a toda aplicación

informática diseñada para ser ejecutada en teléfonos inteligentes, tabletas y otros

dispositivos móviles. Por lo general se encuentran disponibles a través de plataformas de

Clasificación de las técnicas didácticas

Audiovisual

Fotografía

Modelos y Maquetas

Cartel

Computador

Televisión

Dispositivo Móvil

Escrita

Diagrama

Diagrama UVE

Esquema

Flujograma

Mapas Conceptuales

Solución de problemas

Textos impresos

Mentefacto

Crucigramas

Verbal

Pregunta

Anécdota

Relato de experiencias

Discusión

27

distribución, operadas por las compañías propietarias de los sistemas operativos móviles

como Android, iOS, BlackBerry OS y Windows Phone, entre otros”. (p7)

2.2.9. Aplicación Móvil Grapher Free

Según (Hoorick, 2016), Afirma que “Es una aplicación móvil libre la cual permite facilitar

que el usuario trace de manera eficaz las ecuaciones, sistema de ecuaciones y capaz de

dibujar cualquier función, resolver ecuaciones y calcular expresiones”.

Esta aplicación está hecha pensando en la facilidad de graficación encontrándose

disponible una amplia gama de funciones predefinidas, que incluyen funciones

trigonométricas e hiperbólicas, diferenciación y más. Cualquier cosa que escriba será

procesada y mostrada al instante por un potente motor matemático, tanto en modo 2D

como en modo 3D.

Grapher Free está continuamente en desarrollo, con más características por venir ya que

es una versión gratuita es compatible con casi todos los dispositivos móviles en la

actualidad que tengan sistema Android.

Nos permite trabajar los siguientes aspectos:

• Función (cartesiano).

• Ecuación implícita.

• La desigualdad implícita.

• Función 3D.

• Curva paramétrica 3D.

• Superficie 3D paramétrico.

• Resolución de ecuaciones (numérica).

• Encuentra raíces, extremos y las intersecciones con otras funciones.

• Teclado matemáticas personalizada.

• Apoyo variable de usuario, rango del parámetro editable (para las curvas polares

y paramétricas.

• Diferenciación (numérica).

• Trazar gráfico.

• Capturas de pantalla.

28

Ilustración 4: Interfaz de la aplicación móvil Grapher Free.

Fuente: Play Store 2018


29

Ejemplo:

1) Resolver: {5𝑥 − 𝑦 = 6

𝑥 + 3𝑦 = 10

Ilustración 5:Uso de la aplicación móvil Grapher Free.

1.- Se abre la aplicación de nuestro dispositivo

móvil:

Es el icono

de la aplicación

2.- Identificar el casillero donde se ubica

la ecuación: Casillero donde se

inserta la ecuación

3.- Insertar la ecuación de dos variables:

Observamos la

gráfica

4.- Insertamos la otra ecuación:

Observamos la gráfica de la segunda

ecuación y podemos ver su solución que

es una intersección.

Fuente: Grapher Free 2018


30

2) Resolver: {𝑥 + 2𝑦 = 4

2𝑥 + 4𝑦 = 7

Ilustración 6:Uso de la aplicación móvil Grapher Free.


móvil:

Es el icono

de la aplicación





Observamos la

gráfica



ecuación y podemos ver que no tiene

solución ya que es paralela.



31


2𝑥 + 4𝑦 = 8

Ilustración 7: Uso de la aplicación móvil Grapher Free.


móvil:

Es el icono

de la aplicación





Observamos la

gráfica



ecuación y podemos ver que no tiene

solución ya que es paralela.



32

2.2.10. Evaluación de los aprendizajes

Según (Ministerio de Educación del Perú, 2005), “La evaluación de los aprendizajes en

la Educación Básica Regular es un proceso continuo y sistemático, mediante el cual se

observa, recoge, describe, procesa y analiza los logros, avances y/o dificultades del

aprendizaje, con la finalidad de reflexionar, emitir juicios de valor y tomar decisiones

oportunas y pertinentes para mejorar los procesos pedagógicos.”.

Tipos de evaluación

Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), clasifica a la evaluación en tres tipos: inicial

(diagnóstica), formativa y sumativa.

Ilustración 8:Tipos de evaluación.

Fuente: Tipos de Evaluación (Castillo & Cabrerizo, 2010)


EVALUACIÓN

ANTES

del proceso de enseñanza-aprendizaje

INICIAL

(DIAGNÓSTICA)

•Diagnóstica

•Pronóstica

•Previora

DURANTE

el proceso de enseñanza-aprendizaje

FORMATIVA

•Orientadora

•Reguladora

•Motivadora

DESPUÉS

del proceso de enseñanza-aprendizaje

SUMATIVA

•Integral

•Promocional

•Acreditativa

33

Evaluación diagnóstica

Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), “Su finalidad es que el profesor inicie el proceso

educativo con un conocimiento real de las características de sus alumnos, tanto en lo

personal como en lo académico. Ese conocimiento es fundamental, ya que permitirá al

profesor diseñar sus estrategias didácticas y acomodar su práctica docente a la realidad

de todos y cada uno de sus alumnos”.

Evaluación formativa

Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), “Es la evaluación que sirve como estrategia de

mejora para ajustar y regular sobre la marcha los procesos educativos, de cara a conseguir

los objetivos previstos y las competencias básicas establecidas”.

Evaluación sumativa

Según (Castillo & Cabrerizo, 2010), “Se aplica esta evaluación al final de un periodo de

tiempo determinado como comprobación de los logros alcanzados en ese período. Se

pretende determinar la valía final del mismo, el grado de aprovechamiento del alumno y

el grado de consecución de los objetivos propuestos y de las competencias básicas

establecidas”.

Pruebas estandarizadas

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), una prueba

estandarizada: “es un instrumento de referencia para la población a la que se dirige porque

recaba información comparable entre todos los sustentantes”.

Ítem

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), un ítem es “la unidad

básica de las que se conforman pruebas estandarizadas. También se denomina reactivo y,

en su forma más simple, puede ser una pregunta”.

34

Tipos de ítems

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), clasifica y define los

siguientes ítems:

Simple

Ordenamiento

Completamiento

Elección de elementos

Relación de columnas

Simple

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), “es el formato básico

donde se presenta un cuestionamiento o afirmación acompañado de las opciones de

respuestas”.

Ejemplo:

1. ¿Qué elementos pertenecen al monomio?

−1

3𝑥2𝑦3𝑧

1. Signo: -

Coeficiente: 3

Variables: x,y,z

2. Signo: +

Coeficiente: 1

3

Variables: x, y,z

3. Signo: -

Coeficiente: 1

3

Variables: x,y,z

4. Signo: +

Coeficiente: 1

3

Variables: x,y,z

A) 2 B) 4 C) 1 D) 3

Completación

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), en el planteamiento

de estos ítems, “se omiten palabras letras o números, graficas o imágenes. Los elementos

omitidos se identifican por una línea baja, que evidencia la falta”. Además, de acuerdo

35

con el mismo autor, “las opciones de respuesta incluyen los elementos que deben

completar los espacios vacíos”.

Ejemplo:

1. Se llama ____________ a dos expresiones separadas por el _________ que tienen

el mismo valor numérico.

A) Ecuación – símbolo menos

B) Igualdad – símbolo mas

C) Ecuación – símbolo mas

D) Igualdad – símbolo igual

Elección de elementos

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), en este tipo de ítems,

“se presenta un conjunto de elementos en un listado, de los cuales se eligen algunos de

acuerdo con el criterio determinado en el planteamiento”. (p.42). El mismo autor señala

que las opciones de respuesta deben ser combinaciones de los elementos enlistados.

Relación de columnas

Según (López, A.; Sánchez, H.; Espinoza, J.; Carmona, M., 2013), este ítem incluye dos

listados de elementos en diferentes columnas, los cuales se deben asociar según la

indicación que se detalla en el planteamiento.

1. Factore e identifique sus respuestas:

1) x2-7x+12=0

2) 3x2+2x-1=0

3) x2-6x+9=0

a) (x+1)(3x-1)=0

b) (x-3)2=0

c) (x-4)(x-3)=0

d) (3x+1)(x+1)=0

A) 1a, 2c,3b B) 1c, 2a, 3b C) 1d, 2a, 3b D) 1a, 2d, 3b

36

2.2.11. Rendimiento académico

Según el (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193 establece que:

El estudiante debe demostrar que logró “aprobar” los objetivos de aprendizaje definidos

en el programa de asignatura o área de conocimiento fijados para cada uno de los niveles

y subniveles del Sistema Nacional de Educación. El rendimiento académico para los

subniveles de básica elemental, media, superior y el nivel de bachillerato general

unificado de los estudiantes se expresa a través de la siguiente escala de calificaciones:

Tabla 4: Escala de calificaciones.

Escala Cualitativa Escala Cuantitativa

DAR Domina los aprendizajes requeridos 9,00 – 10,00

AAR Alcanza los aprendizajes requeridos 7,00 – 8,99

PARA Está próximo a alcanzar los aprendizajes

requeridos

4,01 – 6,99

NAAR No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4

Fuente: Ministerio de Educación 2016


Tabla 5: Rendimiento Académico grupo experimental.


estudiantes

Porcentaje (%)




requeridos

4,01 – 6,99 3 9.67

No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 0 0

Total 31 100

Promedio 8.87




aprendizajes requeridos, 9.67% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos, 0%

37

no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo experimental es

de 8.87.

Tabla 6: Rendimiento Académico grupo control.


estudiantes

Porcentaje (%)




requeridos

4,01 – 6,99 4 12.90

No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4 1 3.22

Total 31 100

Promedio 7.68




aprendizajes requeridos, 12.90% está próximo a alcanza los aprendizajes requeridos,

3.22% no alcanza los aprendizajes requeridos y su media aritmética del grupo

experimental es de 7,68.

2.3. Definición de Términos Básicos

Aplicación: Según (Grupo Océano, 2015),

“Se denomina aplicación móvil o app a toda aplicación informática diseñada para ser

ejecutada en teléfonos inteligentes, tabletas y otros dispositivos móviles. Por lo general

se encuentran disponibles a través de plataformas de distribución, operadas por las

compañías propietarias de los sistemas operativos móviles como Android, iOS,

BlackBerry OS y Windows Phone, entre otros”.

Didáctica: Según (Torres, H. & Girón, D., 2009), didáctica es “el estudio de todos los

principios y técnicas válidas para la enseñanza de cualquier materia o disciplina”.

38

Educación: Según (León, A),

“La educación es un intento humano racional, intencional de concebirse y perfeccionarse

en el ser natural total. Este intento implica apoyarse en el poder de la razón, empleando

recursos humanos para continuar el camino del hombre natural hacia el ser cultural. Cada

ser humano/hombre/mujer termina siendo a través de la educación una cultura individual

en sí mismo”.

Enseñanza – Aprendizaje: Según (Cadena, 2008) “Proceso conducido por los docentes

para producir cambios cualitativos y cuantitativos en los niveles de conocimientos,

actitudes y destrezas a través de métodos de estimulación y orientación de los alumnos”.

Estrategia: Según (Hernández, 1995), “Una estrategia comprende actividades, las

mismas que generalmente son acciones llevadas a cabo por el profesor y/o alumno”.

Método Didáctico: Para Bassi citado por (Bastidas, 2004), “El método didáctico es la

dirección u orientación seguido para ir hacia alguna cosa o lugar, para alcanzar algún

objeto o fin, o para cumplir con los objetivos del Proceso de Enseñanza – Aprendizaje”.

Recursos didácticos: Según (Zubiría, 2006), “los recursos didácticos pueden entenderse

como facilitadores del aprendizaje (medios) o como fines en sí mismo”.

Rendimiento académico: Según el (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193

establece El estudiante debe demostrar que logró “aprobar” los objetivos de aprendizaje

definidos en el programa de asignatura o área de conocimiento fijados para cada uno de

los niveles y subniveles del Sistema Nacional de Educación.

Técnica: Según (Busot, 1991), “la técnica es una forma particular de emplear un

instrumento y/o recurso en el que se apoya la enseñanza”.

Tienda (móvil): Según (Cuello, J. & Vittone, J., 2013), “Es el canal de distribución y

comercialización de aplicaciones desde donde pueden descargarse de forma gratuita o

paga”.

39

Grapher Free: Según (Hoorick, 2016), Afirma que “Es una aplicación móvil libre la cual

permite facilitar que el usuario trace de manera eficaz las ecuaciones, sistema de

ecuaciones y capaz de dibujar cualquier función, resolver ecuaciones y calcular

expresiones”.

2.4. Fundamentación Legal

Esta investigación está fundamentada en la Constitución de la República del Ecuador,

Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI), Ley Orgánica de Educación Superior

(LOES), y el Código de la Niñez y Adolescencia, poniendo énfasis en los siguientes

artículos:

CONSTITUCIÓN DE LA REPÚBLICA DEL ECUADOR

Derechos del buen vivir

Educación

El Art 26 de la Constitución de la República. -Establece que la educación es un derecho

de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible e inexcusable del Estado.

Constituye un área prioritaria de la política pública y de la inversión estatal, garantía de

la igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las personas,

las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso

educativo.

El Art 27 de la Constitución de la República. - Establece que la educación debe estar

centrada en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en el marco del respeto

de los derechos humanos, el medio ambiente sustentable y a la democracia; será

participativa, obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de calidad y

calidez; impulsará la equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz, estimulará el

sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual y comunitaria, y el

desarrollo de competencias y capacidades para crear y trabajar.

40

Art. 80.-El estado fomentará la ciencia y la tecnología, especialmente en todos los niveles

educativos, dirigidas a mejorar la productividad, la competitividad, el manejo sustentable

de los recursos naturales, y a satisfacer las necesidades básicas de la población.

Garantizará la libertad de las actividades científicas y tecnológicas y la protección legal

de sus resultados, así como el conocimiento ancestral colectivo. El estado establece que

la educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible e

inexcusable. Constituye un área prioritaria de la política pública y de la inversión estatal,

garantía de la igualdad e inclusión social y condición indispensable para el buen vivir.

Las personas, las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de

participar en el proceso educativo. Además, promoverá la ciencia y la tecnología en todos

los niveles educativos.

Inclusión y Equidad

Educación

Art. 347.- Será responsabilidad del Estado:

8. Incorporar las tecnologías de la información y comunicación en el proceso educativo

y propiciar el enlace de la enseñanza con las actividades productivas o sociales.

11. Garantizar la participación activa de estudiantes, familias y docentes en los procesos

educativos.

Art. 350.- El sistema de educación superior tiene como finalidad la formación académica

y profesional con visión científica y humanista; la investigación científica y tecnológica;

la innovación, promoción, desarrollo y difusión de los saberes y las culturas; la

construcción de soluciones para los problemas del país, en relación con los objetivos del

régimen de desarrollo.

Art. 385.- El sistema nacional de ciencia, tecnología, innovación y saberes ancestrales,

en el marco del respeto al ambiente, la naturaleza, la vida, las culturas y la soberanía,

tendrá como finalidad:

41

1. Generar, adaptar y difundir conocimientos científicos y tecnológicos.

2. Recuperar, fortalecer y potenciar los saberes ancestrales.

3. Desarrollar tecnologías e innovaciones que impulsen la producción nacional, eleven la

eficiencia y productividad, mejoren la calidad de vida y contribuyan a la realización del

buen vivir.

LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN SUPERIOR (LOES)

Fines de la Educación Superior

Art. 5.- Derechos de las y los estudiantes. - Son derechos de las y los estudiantes los

siguientes:

a. Acceder, movilizarse, permanecer, egresar y titularse sin discriminación conforme sus

méritos académicos.

g. Participar en el proceso de construcción, difusión y aplicación del conocimiento.

Art. 8.- Serán Fines de la Educación Superior. - La educación superior tendrá los

siguientes fines:

a. Aportar al desarrollo del pensamiento universal, al despliegue de la producción

científica y a la promoción de las transferencias e innovaciones tecnológicas.

f. Fomentar y ejecutar programas de investigación de carácter científico, tecnológico y

pedagógico que coadyuven al mejoramiento y protección del ambiente y promuevan el

desarrollo sustentable nacional.

Principios del Sistema de Educación Superior.

Art. 13.- Funciones del Sistema de Educación Superior. - Son funciones del Sistema de

Educación Superior:

42

b. Promover la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica, la

tecnología y la cultura.

d. Fortalecer el ejercicio y desarrollo de la docencia y la investigación científica en todos

los niveles y modalidades del sistema.

LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN INTERCULTURAL (LOEI)

Art. 2.- Principios. - La actividad educativa se desarrolla atendiendo a los siguientes

principios generales, que son los fundamentos filosóficos, conceptuales y

constitucionales que sustentan, definen y rigen las decisiones y actividades en el ámbito

educativo:

b. Educación para el cambio. - la educación constituye instrumento de transformación de

la sociedad; contribuye a la construcción del país y de los proyectos de vida y de la

libertad de sus habitantes, pueblos y nacionalidades; reconoce a las y los seres humanos

en particular a las niñas, niños y adolescentes, como centro del proceso de aprendizaje y

sujetos de derecho; y se organiza sobre la base de los principios constitucionales.

Art.6.- Obligaciones. - La principal obligación del Estado es el cumplimiento pleno,

permanente y progresivo de los derechos y garantías constitucionales en materia

educativa, y de los principios y fines establecidos en esta Ley.

El Estado tiene las siguientes obligaciones adicionales;

e. Asegurar el mejoramiento continuo de la calidad de la educación;

j. Garantizar la alfabetización digital y el uso de las tecnologías de la información y

comunicación en el proceso educativo, y propiciar el enlace de la enseñanza con las

actividades productivas o sociales.

43

m. Propiciar la investigación científica, tecnológica y la innovación, la creación artística,

la práctica del deporte, la protección y conservación del patrimonio cultural, natural y del

medio ambiente, y la diversidad cultural y lingüística.

CÓDIGO DE LA NIÑEZ Y ADOLESCENCIA

El código de la niñez y adolescencia en los siguientes artículos se refiere a la educación

de la siguiente manera:

Art. 37.- Derecho a la educación. - Los niños, niñas y adolescentes tienen derecho a una

educación de calidad, este derecho demanda de un sistema educativo que:

4. garantice que los niños, niñas y adolescentes cuenten con docentes, materiales

didácticos, laboratorios, locales, instalaciones y recursos adecuados y gocen de un

ambiente favorable para el aprendizaje.

El Estado y los organismos pertinentes asegurarán que los planteles educativos ofrezcan

servicios con equidad, calidad y oportunidad y que se garantice también el derecho de los

progenitores a elegir la educación que más convenga a sus hijos y a sus hijas.

Por medio de la fundamentación legal se puede sustentar la presente investigación

siempre con el fin de mejora la calidad de educación aprovechando al máximo los nuevos

recursos adecuados para el proceso enseñanza-aprendizaje.

2.5. Caracterización de variables

Variable independiente: Según (Gutiérrez, 2004), “Es el factor que manipula el

investigador para inducir modificaciones en ciertas circunstancias que intervienen en un

proceso, para averiguar si se producen ciertas circunstancias”.

Según (Lee, 2002), “La variable independiente varía y es la causa supuesta de la variable

dependiente. Dentro del estudio experimental se convierte en la variable manipulada.

44

Dentro de los estudios no experimentales se convierte en la que tiene o guarda relación

lógica con la variable dependiente”.

➢ Variable independiente: uso de la aplicación móvil Grapher Free

Variable dependiente: Según (Gutiérrez, 2004) “Es el factor o efecto producido como

consecuencia de la manipulación de las variables independientes”.

Según (Lee, 2002), “En otros términos la variable dependiente es hacia la que se hace la

predicción, mientras que la independiente es aquella a partir de la cual se predice. De este

modo la “variable dependiente es el resultado medido que el investigador usa para

determinar si los cambios en la variable independiente tuvieron un efecto”

➢ Variable dependiente: Rendimiento académico

Definición de las variables:

Aplicación móvil Grapher Free Según (Hoorick, 2016), Afirma que “Es una aplicación

móvil libre la cual permite facilitar que el usuario trace de manera eficaz las ecuaciones,

sistema de ecuaciones y capaz de dibujar cualquier función, resolver ecuaciones y calcular

expresiones”.

Rendimiento académico: Según el (Ministerio de Educación, 2016), por Art. 193

establece que el estudiante debe demostrar que logró “aprobar” los objetivos de

aprendizaje definidos en el programa de asignatura o área de conocimiento fijados para

cada uno de los niveles y subniveles del Sistema Nacional de Educación.

45

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

Para la investigación realizada se debe explicar los enfoques, modalidades, niveles, tipos

y procedimientos utilizados a lo largo de nuestro proyecto.

3.1.1. Enfoque de la investigación

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), mencionan los enfoques de

investigación como: cuantitativo, cualitativo y mixto.

Enfoque cuantitativo

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), el enfoque cuantitativo: “usa la

recolección de datos para probar hipótesis, con base en la medición numérica y el análisis

estadístico, para establecer patrones de comportamiento y probar teorías”.

Enfoque cualitativo

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), el enfoque cualitativo “utiliza la

recolección y análisis de los datos para afinar las preguntas de investigación o revelar

nuevas interrogantes en el proceso de interpretación”.

Enfoque mixto

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), El enfoque mixto “implica un

conjunto de procesos de recolección, análisis y vinculación de datos cuantitativos y

46

cualitativos en un mismo estudio o una serie de investigaciones para responder a un

planteamiento del problema”.

Al analizar los enfoques planteados se concluye que, la presente investigación tiene un

enfoque cuantitativo; ya que, se desea medir si el uso de la aplicación Grapher Free

influye en el rendimiento académico de un grupo experimental por medio de la obtención

de datos numéricos de la población de estudio.

3.1.2. Modalidad de la investigación

La presente investigación corresponde a la modalidad socioeducativa, la cual es un

requisito para la obtención de grados de Licenciatura de la Facultad de Filosofía, Letras

y Ciencias de la Educación.

3.1.3. Nivel de la investigación

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), la investigación puede ser:

Exploratoria

Descriptiva

Correlacional

Explicativa

Nivel exploratorio

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), “se realizan cuando el objetivo es

examinar un tema o problema de investigación poco estudiado, del cual se tienen muchas

dudas o no se ha abordado antes”.

Nivel descriptivo

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), menciona que:

“Son útiles para mostrar con precisión los ángulos o dimensiones de un fenómeno, suceso,

47

comunidad, contexto o situación. En esta clase de estudios el investigador debe ser capaz

de definir, o al menos visualizar, qué se medirá (qué conceptos, variables, componentes,

etc.) y sobre qué o quiénes se recolectarán los datos”.

Nivel correlacional

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), menciona que:

“Conocer la relación o grado de asociación que exista entre dos o más conceptos,

categorías o variables en una muestra o contexto en particular”. Además de a acuerdo al

mismo autor “para evaluar el grado de asociación entre dos o más variables, en los

estudios correlacionales primero se mide cada una de éstas, y después se cuantifican,

analizan y establecen las vinculaciones”.

Nivel explicativo

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), están encaminados a “responder

por las causas de los eventos y fenómenos físicos o sociales. (…) su interés se centra en

explicar por qué ocurre un fenómeno y en qué condiciones se manifiesta o por qué se

relacionan dos o más variables”.

Por lo cual la investigación realizada es exploratoria, por el uso de la aplicación Grapher

Free en la educación y siendo poco utilizada y desarrollada en la actualidad; descriptiva

ya que se trata de variable dependiente e independiente y correlacional pues el objetivo

es determinar si la investigación influye en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

3.1.4. Tipo de investigación

Según (Arias, 2012), la investigación en cuanto al diseño se clasifica:

Documental

De campo

Experimental

48

Investigación documental

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), consiste en un análisis de la

información escrita sobre un determinado tema, con el propósito de establecer relaciones,

diferencias, etapas, posturas o estado actual del conocimiento respecto al tema objeto de

estudio.

Las principales fuentes de información en este tipo de investigación son: documentos

escritos (libros, periódicos, revistas, actas notariales, tratados, conferencias escritas,

etcétera), documentos fílmicos (películas, diapositivas, etcétera) y documentos grabados

(discos, cintas, casetes, disquetes, etcétera)”.

Investigación de campo

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), consiste en “estudios efectuados

en una situación “realista” en la que el investigador manipula una o más variables

independientes en condiciones tan cuidadosamente controladas como lo permite la

situación, (…) el grado en que el ambiente es natural para los sujetos”.

Investigación experimental

Según (Hernández, Fernández, & Baptista, 2014), Los diseños cuasi experimentales

“manipulan deliberadamente, al menos, una variable independiente para observar su

efecto sobre una o más variables dependientes, (…) los sujetos no se asignan al azar a los

grupos (…); dichos grupos ya están conformados antes del experimento: son grupos

intactos”.

Por lo analizado anteriormente establezco que la investigación es documental, de campo

y cuasi-experimental, ya que la investigación está sustentada en definiciones y teorías de

diversos documentos; de campo por la necesidad de la recolección de datos y evidencias;

y cuasi-experimental por trabajar con dos grupos: grupo control enseñanza de manera

habitual y grupo experimental aplicando Grapher Free considerando los mismos

instrumentos de evaluación, así obteniendo datos para llegar a una o varias conclusiones.

49

3.1.5. Procedimientos fundamentales en el proceso de investigación

Los pasos a realizarse para el desarrollo del presente proyecto son:

Presentación y aprobación del tema de investigación.

Elaboración del documento base (Ecuaciones, sistema de ecuaciones y ecuaciones

cuadráticas) para los estudiantes de décimo año de EGB.

Validación del texto base por expertos. (Docente de la Universidad Central del

Ecuador y docentes de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).

Elaboración de los instrumentos de evaluación: diagnóstica, formativas y

Sumativa.

Validación de los instrumentos de evaluación por los expertos anteriormente

mencionados.

Aplicación de los instrumentos de evaluación (prueba piloto) a un curso superior.

Determinación del coeficiente de confiabilidad de los instrumentos de acuerdo

con el método de Kuder-Richardson.

Aplicación de la prueba diagnóstica al grupo control y grupo experimental.

Ejecución de la aplicación Grapher Free en el grupo experimental en el desarrollo

de las clases de Matemática.

Aplicación de los instrumentos de evaluación al grupo de control y experimental

(Formativas y sumativa).

Tabulación de resultados.

50

Informe de la investigación.

Presentación del informe final del proyecto.

3.2. Población y Muestra

Población

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), población es el “conjunto de todos

los casos que concuerdan con determinadas especificaciones”.

La población fue de 62 estudiantes de los décimos años EGB, 31 estudiantes de décimo

EGB “B” grupo experimental y 31 estudiantes de décimo EGB “C” grupo control.

Muestra

Según (Hernández, Fernández, & Baptista, 2014), la muestra es “un subgrupo de la

población de interés sobre el cual se recolectarán datos, y que tiene que definirse y

delimitarse de antemano con precisión, además de que debe ser representativo de la

población”.

En la presente investigación no se trabajó con muestra ya que el grupo de trabajo no

supera los 200 individuos y por tal motivo la población es todo el grupo.

51

3.3. Operacionalización de las variables

Tabla 7: Matriz de operacionalización de variables.

VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES EVALUACIÓN

IND

EP

EN

DIE

NT

E

Ap

lica

ción

Gra

ph

er F

ree

Ejercicios de aplicación

en la enseñanza de

resolución de

ecuaciones, sistema de

ecuaciones y ecuaciones

cuadráticas.

Resuelve ecuaciones

con una y dos

variables

Ejercicios

propuestos Unidad 1

Resuelve sistema de

ecuaciones 2x2

Ejercicios

propuestos Unidad 2

Resuelve ecuaciones

cuadráticas

Ejercicios

propuestos Unidad 3

DE

PE

ND

IEN

TE

Ren

dim

ien

to

Evaluación diagnóstica Conjunto de

números, monomios,

Factoreo

Instrumento N° 1

Evaluación formativa 1 Ecuaciones de primer

grado

Instrumento N° 2

Evaluación formativa 2 Sistema de

ecuaciones 2x2

Instrumento N° 3

Evaluación formativa 3 Ecuaciones

cuadráticas

Instrumento N° 4

Evaluación sumativa Ecuaciones de primer

grado, Sistema de

ecuaciones 2x2,

Ecuaciones

cuadráticas

Instrumento N° 5

Fuente: Operacionalización de variables


52

3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos

Según (Arias, 2012), “Los datos que se buscan y obtienen en el desarrollo de un proyecto,

constituyen el cuerpo de la información sobre los hechos, objetos o fenómenos en estudio,

y configuran la materia prima de la investigación”.

3.4.1. Técnicas de recolección de datos

Según (Arias, 2012), establece “como una técnica que pretende obtener información que

suministra un grupo o muestra de sujetos acerca de sí mismos, o en relación con un tema

en particular”.

3.4.2. Instrumento de recolección de datos

Según (Arias, 2012), “Un instrumento de recolección de datos es cualquier recurso,

dispositivo o formato (en papel o digital), que se utiliza para obtener, registrar o

almacenar información”.

Para la presente investigación se empleó como instrumento de evaluación la prueba

escrita.

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), son “instrumentos utilizados para

medir o evaluar los conceptos o variables de interés, hipótesis comprobadas, datos

específicos y enfoques o abordajes al problema de investigación”.

3.5. Validez y confiabilidad

3.5.1. Validez

Para (Hernández, Fernández, & Baptista, 2014), “La validez, en términos generales, se

refiere al grado en que un instrumento mide realmente la variable que pretende medir”.

Para la validación de los instrumentos de evaluación, se contó con la colaboración de tres

expertos en su área, a quienes se les entro los siguientes documentos:

53

Solicitud para la validación de los instrumentos de evaluación

Instructivo para la validación de los instrumentos de evaluación

Ficha de evaluación

Instrumentos de evaluación

Los expertos que validaron los instrumentos son:

Tabla 8: Expertos en la validación de instrumentos de evaluación.

EXPERTO ÁREA LUGAR DE TRABAJO

MSc. Milton Coronel Matemática Universidad Central del Ecuador

Lic. Gabriela Guachamin Matemática U.E. “San Vicente de Paúl”

Lic. Fabiola Herrán Lengua y Literatura U.E. “San Vicente de Paúl”

Fuente: Validación de instrumentos de evaluación.


3.5.2. Confiabilidad

Según (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014), La confiabilidad es el “grado en

que un instrumento produce resultados consistentes y coherentes”.

Para determinar la confiabilidad de los instrumentos se realizó previamente una prueba

piloto en un curso superior de la institución y con esos datos obtenidos se procedió a

calcular el coeficiente de confiabilidad por el método Kuder-Richardson tomando en

cuenta los siguientes parámetros.

α: Coeficiente de confiabilidad Σ : Sumatoria

n: Número de ítems δ: Desviación típica

x: Ítems γD:Diferencia de desviaciones típicas

�̅�: Media aritmética γT: Desviación típica total

54

Tabla 9: Niveles de confiabilidad.

Escala Niveles

Menor a 0.200 Confiablidad muy baja

De 0.210 a 0.400 Confiabilidad baja

De 0.410 a 0.600 Confiabilidad regular

De 0.610 a 0.800 Confiabilidad aceptable

De 0.810 a 1.000 Confiabilidad elevada

Fuente: Metodología de la investigación (Hernández S, Fernández C, Baptista L., 2014).

Elaborado por: Diego Burbano.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Tabla 10: Tabulación de los resultados de la evaluación diagnóstica.

Ítem Aciertos Aciertos

Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2

1 9 2,33 5,44

2

9 2,33 5,44

3 13 1,67 2,78

4

14 2,67 7,11

5 12 0,67 0,44

6

11 0,33 0,11

Σ 34

8,67 34

12,67

Fuente: Evaluación Diagnóstica


NÚMERO DE ÍTEM

n = 3

MEDIA ARITMÉTICA

Ximp =

ΣXimp

Xpar = ΣXpar

n

n

Ximp =

34

Xpar = 34

3

3

Ximp =

11,33

Xpar = 11,33

55

DESVIACIÓN TÍPICA

δimp = √ Σx²imp

δpar =

√ Σx²par

n

n

δimp = √ 8,67

δpar =

√ 12,67

3

3

δimp =

1,70

δpar =

2,05

DIFERENCIA DE LAS DESVIACIONES TÍPICAS

γD = δpar - δimp

γD = 2,05 - 1,70

γD = 0,36

CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA TOTAL

γT = √ ΣX²imp + ΣX²par

2n

γT = √ 8,67 +12.62

6

γT = 1,89

ALFA

α = 1- (γD)²

(γT)²

α = 1- 0,126

3,56

α = 0,965

56

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA 1

Tabla 11: Tabulación de los resultados de la evaluación formativa 1.



1 12 1,67 2,78

2

7 1,33 1,78

3 13 2,67 7,11

4

12 3,67 13,44

5 6 4,33 18,78

6

6 2,33 5,44

Σ 31

28,67 25

20,67

Fuente: Evaluación Formativa 1


NÚMERO DE ÍTEM

n = 3

MEDIA ARITMÉTICA

Ximp =

ΣXimp

Xpar = ΣXpar

n

n

Ximp =

31

Xpar = 25

3

3

Ximp =

10,33

Xpar = 8,33

DESVIACIÓN TÍPICA


δpar =

√ Σx²par

n

n

δimp = √ 28,67

δpar =

√ 20,67

3

3

δimp =

3,09

δpar =

2,62

57


γD = δpar - δimp

γD = 2,62 - 3,09

γD = -0,47



2n

γT = √ 28,67 + 20,67

6

γT = 2,87

ALFA

α = 1- (γD)²

(γT)²

α = 1- 0,218

8,22

α = 0,974





1 7 1,33 1,78

2

12 1,67 2,78

3 12 3,67 13,44

4

13 2,67 7,11

5 6 2,33 5,44

6

6 4,33 18,78

Σ 25

20,67 31

28,67



58

NÚMERO DE ÍTEM

n = 3

MEDIA ARITMÉTICA

Ximp =

ΣXimp

Xpar = ΣXpar

n

n

Ximp =

25

Xpar = 31

3

3

Ximp =

8,33

Xpar = 10,33

DESVIACIÓN TÍPICA


δpar =

√ Σx²par

n

n

δimp = √ 20,67

δpar =

√ 28,67

3

3

δimp =

2,62

δpar =

3,09


γD = δpar - δimp

γD = 3,09 - 2,62

γD = 0,47



2n

γT = √ 20,67 + 28,67

6

γT = 2,87

59

ALFA

α = 1- (γD)²

(γT)²

α = 1- 0,218

8,22

α = 0,974





1 7 2,33 5,44

2

14 2,33 5,44

3 8 1,33 1,78

4

9 2,67 7,11

5 13 3,67 13,44

6

12 0,33 0,11

Σ 28

20,67 35

12,67



NÚMERO DE ÍTEM

n = 3

MEDIA ARITMÉTICA

Ximp =

ΣXimp

Xpar = ΣXpar

n

n

Ximp =

28

Xpar = 35

3

3

Ximp =

9,33

Xpar = 11,67

60

DESVIACIÓN TÍPICA


δpar =

√ Σx²par

n

n

δimp = √ 20,67

δpar =

√ 12,67

3

3

δimp =

2,62

δpar =

2,05


γD = δpar - δimp

γD = 2,05 - 2,62

γD = -0,57



2n

γT = √ 20,67 + 12,67

6

γT = 2,36

ALFA

α = 1- (γD)²

(γT)²

α = 1-

0,325

5,56

α = 0,942

61

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN SUMATIVA

Tabla 14: Tabulación de los resultados de la evaluación sumativa.



1 15 3,33 11,11

2

8 2,33 5,44

3 10 1,67 2,78

4

13 2,67 7,11

5 10 1,67 2,78

6

10 0,33 0,11

Σ 35

16,67 31

12,67

Fuente: Evaluación sumativa


NÚMERO DE ÍTEM

n = 3

MEDIA ARITMÉTICA

Ximp =

ΣXimp

Xpar = ΣXpar

n

n

Ximp =

35

Xpar = 31

3

3

Ximp =

11,67

Xpar = 10,33

DESVIACIÓN TÍPICA


δpar =

√ Σx²par

n

n

δimp = √ 16,67

δpar =

√ 12,67

3

3

δimp =

2,36

δpar =

2,05

62


γD = δpar - δimp

γD = 2,05 - 2,36

γD = -0,30



2n

γT = √ 16,67 + 12,67

6

γT = 2,21

ALFA

α = 1- (γD)²

(γT)²

α = 1- 0,091

4,89

α = 0,981

Tabla 15: Resumen de confiabilidades.

Instrumento Valor del alfa Nivel de confiabilidad

Diagnóstico 0.965 Confiabilidad elevada

Formativa 1 0.974 Confiabilidad elevada



Sumativa 0.981 Confiabilidad elevada

Fuente: Resultados del pilotaje.


63

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

4.1. ANÁLISIS ESTADÍSTICOS DE LOS INSTRUMENTOS APLICADOS A LOS

ESTUDIANTES

Después de aplicar los instrumentos de evaluación se tabuló y organizó los resultados,

para ser procesados en términos de medidas descriptivas como son: distribución de

frecuencia, porcentajes, medias aritméticas, desviación típica y varianza.

El proceso utilizado, se describe a continuación en los siguientes pasos:

En cada ítem, se determinó la calificación correspondiente según el nivel de

complejidad.

Se organizó la información de los valores de las calificaciones obtenidas por los

respectivos grupos de aplicación, en tablas de información.

Se utilizó el programa Excel, para procesar las tablas de información que resumen

los valores obtenidos en los diferentes instrumentos de evaluación, determinando

la frecuencia y luego los respectivos cálculos de frecuencia, media aritmética y

desviación estándar.

Se analizaron los datos obtenidos en términos descriptivos, con la finalidad de

interpretarlos y responder a los objetivos de la investigación.

Se confrontaron los hallazgos obtenidos con la teoría.

Para la prueba de hipótesis se eligió la prueba estadística de distribución normal Z, que

se denota con Z o simplemente Z al valor crítico, que separa las áreas de rechazo y

aceptación de la hipótesis nula. En un ensayo a dos colas, para un nivel de significación

del 5%, =0,05.

64

4.1.1 Evaluación N.º 1: Evaluación diagnóstica


diagnóstico del grupo experimental.

N.º Calificaciones Frecuencias

(xi)(fi) (xi) (fi)

1. 10

jj

19 190

2. 8 6 48

3. 7 3 21

4. 6 1 6

5. 5 2 10

Σ fi = 31 Σ (xi)(fi) = 275

Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de Diagnóstico (Grupo Experimental).



diagnóstico del grupo de control.

N.º Calificaciones Frecuencias

(xi)(fi) (xi) (fi)

1. 10

jj

7 70

2. 8 12 96

3. 7 7 49

4. 5 4 20

5. 3 1 3

Σ fi = 31 Σ (xi)(fi) = 238

Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de Diagnóstico (Grupo de Control).


Para el análisis se toma en cuenta la siguiente nomenclatura:

: Desviación típica. f: Sumatoria de las frecuencias.

N: Número total de casos. x: variables (calificaciones).

n: número total de datos.

65

Tabla 18: Cálculo de la media aritmética para los grupos de aplicación.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO

1. CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA

Grupo experimental

𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞

𝐧𝐞=

𝟐𝟕𝟓

𝟑𝟏= 𝟖. 𝟖𝟕

Grupo de control

xc̅ =∑(xi ∙ fi)c

nc=

238

31= 7.68

Fuente: Instrumento de Diagnóstico.


Gráfico 1: Evaluación diagnóstica en los grupos de aplicación.

Fuente: Instrumento de diagnóstico


Al comparar los resultados obtenidos de la media aritmética de la evaluación diagnóstica

aplicada a los grupos experimental y de control, se obtienen los datos 8.87 y 7.68, se

observa que la diferencia es de 1.19 valor que equivale al 11.9%.

De lo que se concluye que los dos grupos disponen de los prerrequisitos necesarios, para

comenzar el estudio de ecuaciones y sistema de ecuaciones.

8,87

7,68

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

med

ia a

ritm

étic

a

Grupos de aplicación

Evaluación diagnóstica

Grupo Experimental Grupo de control

66

4.1.2 Evaluación N.º 2: Evaluación Formativa Unidad I Ecuaciones de primer grado


No.1 (Grupo Experimental).

N.º Calificaciones Frecuencias (xi)(fi) (xi2)(fi)

(xi) (fi)

1. 10 5 50 500

2. 9 10 90 810

3. 8 4 32 256

4. 7 9 63 441

5. 5 1 5 25

6. 3 1 3 9

7. 1 1 1 1 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 244 Σ xi

2 fi = 2042 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No1. (Grupo

Experimental)



No.1 (Grupo Control).


(xi) (fi)

1. 10 1 10 100

2. 8 4 32 256

3. 7 4 28 196

4. 6 11 66 396

5. 5 6 30 150

6. 4 5 20 80 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 186 Σ xi

2 fi = 1178 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No1. (Grupo de

control)


67

Tabla 21: Cálculos de la media y desviación típica para los grupos de aplicación.

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN FORMATIVA No. 1


Grupo experimental

𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞

𝐧𝐞=

𝟐𝟒𝟒

𝟑𝟏≈ 𝟕. 𝟖𝟕

Grupo de control


nc=

186

31= 6

2. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA

Grupo experimental

𝛔𝐞 = √∑ 𝐱𝐢

𝟐𝐟𝐢

𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐

𝛔𝐞 = √𝟐𝟎𝟒𝟐

𝟑𝟏− 𝟕. 𝟖𝟕𝟐

𝛔𝐞 = 𝟏, 𝟗𝟖

Grupo de control

σc = √∑ xi

2fi

nc− xc̅

2

σc = √1178

31− 62

σc = 1,41

Fuente: Instrumento de evaluación formativa No 1.


Gráfico 2: Instrumento de evaluación Formativa I “Ecuaciones de primer grado”.

Fuente: Instrumento de evaluación Formativa I


El promedio que obtiene el grupo experimental es de 7.87, en cambio, el grupo de control

obtuvo como promedio 6.

7,87

6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

med

ia a

ritm

étic

a


Evaluación Formativa I


68

Se observa que la diferencia entre los rendimientos de los grupos es de 1.87, de lo que se

deduce que tiene un mejor rendimiento el grupo experimental.

4.1.3 Evaluación N.º 3: Evaluación Formativa Unidad II “Sistema de Ecuaciones con

2 variables”


No. 2 (Grupo Experimental).


(xi) (fi)

1. 10 1 10 100

2. 9 3 18 162

3. 8 3 24 192

4. 7 5 35 245

5. 6 2 12 72

6. 5 6 30 150

7. 4 2 8 32

8. 3 6 18 54

9. 2 2 4 8

10. 1 1 1 1 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 160 Σ xi

2 fi = 1016 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No. 2 (Grupo

experimental)



No.2 (Grupo de Control).


(xi) (fi)

1. 10 3 30 300

2. 9 2 18 162

3. 8 4 32 256

4. 7 3 21 147

5. 6 5 30 180

6. 5 2 10 50

7. 4 7 28 112

8. 3 1 3 9

9. 2 4 8 16 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 180 Σ xi

2 fi = 1232 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No 2. (Grupo de control)


69


aplicación.



Grupo experimental

𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞

𝐧𝐞=

𝟏𝟔𝟎

𝟑𝟏≈ 𝟓. 𝟏𝟔

Grupo de control


nc=

180

31≈ 5.81


Grupo experimental


𝟐𝐟𝐢

𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐

𝛔𝐞 = √𝟏𝟎𝟏𝟔

𝟑𝟏− 𝟓. 𝟏𝟔𝟐

𝛔𝐞 = 𝟐. 𝟒𝟖

Grupo de control

σc = √∑ xi

2fi

nc− xc̅

2

σc = √1232

31− 5.812

σc = 2.45



Gráfico 3: Instrumento de evaluación Formativa II “Sistema de Ecuaciones con 2

variables”

Fuente: Evaluación Formativa II

Elaborado por: Diego Burbano.

5,16

5,81

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

med

ia a

ritm

étic

a


Evaluación Formativa II


70

El promedio que obtuvo el grupo experimental es de 5.16, mientras que el grupo de

control obtuvo como promedio 5.81.

Se observa que el grupo control obtuvo mejores resultados en el rendimiento académico,

ya que existe una diferencia de 0.65 a favor de dicho grupo.

4.1.4 Evaluación N.º 4: Evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con

una incógnita”




(xi) (fi)

1. 10 4 40 400

2. 9 9 81 729

3. 8 1 8 64

4. 7 7 49 343

5. 6 5 30 180

6. 5 4 20 100

7. 4 1 4 16 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 231 Σ xi

2 fi = 1832 Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No. 3 (Grupo

experimental)



No.3 (Grupo de Control).


(xi) (fi)

1. 9 4 36 324

2. 8 7 56 448

3. 7 8 56 392

4. 6 8 48 288

5. 5 4 20 100 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 216 Σ xi

2 fi = 1552 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación formativa No 3. (Grupo de control)


71


aplicación.



Grupo experimental

𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞

𝐧𝐞=

𝟐𝟑𝟏

𝟑𝟏≈ 𝟕. 𝟒𝟓

Grupo de control


nc=

216

31≈ 6.97


Grupo experimental


𝟐𝐟𝐢

𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐

𝛔𝐞 = √𝟏𝟖𝟑𝟐

𝟑𝟏− 𝟕. 𝟒𝟓𝟐

𝛔𝐞 = 𝟏. 𝟗𝟎

Grupo de control

σc = √∑ xi

2fi

nc− xc̅

2

σc = √1552

31− 6.972

σc = 1.21



Gráfico 4: Instrumento de evaluación Formativa III “Ecuaciones de segundo grado con

una incógnita”.

Fuente: Evaluación Formativa III


7,45 6,97

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

med

ia a

ritm

étic

a


Evaluación Formativa III


72



Se observa que el grupo experimental obtuvo mejores resultados en el rendimiento

académico, ya que existe una diferencia de 0.48 a favor de dicho grupo.

4.1.5 Evaluación N.º 5: Evaluación sumativa.




(xi) (fi)

1. 10 7 70 700

2. 9 3 27 243

3. 8 5 40 320

4. 7 8 56 392

5. 6 7 42 252

6. 5 1 5 25 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 240 Σ xi

2 fi = 1932 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación sumativa (Grupo experimental)



(Grupo de Control).


(xi) (fi)

1. 10 6 60 600

2. 9 7 63 567

3. 8 11 88 704

4. 7 6 42 294

5. 6 1 6 36 Σ fi = 31 Σ xi. fi = 259 Σ xi

2 fi = 2201 Fuente: Resultados de la aplicación del instrumento de evaluación sumativa. (Grupo de control)


73


aplicación.

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN SUMATIVA


Grupo experimental

𝐱𝐞̅̅ ̅ =∑(𝐱𝐢 ∙ 𝐟𝐢)𝐞

𝐧𝐞=

𝟐𝟒𝟎

𝟑𝟏≈ 𝟕. 𝟕𝟒

Grupo de control


nc=

259

31≈ 8.35


Grupo experimental


𝟐𝐟𝐢

𝐧𝐞− 𝐱𝐞̅̅ ̅𝟐

𝛔𝐞 = √𝟏𝟗𝟑𝟐

𝟑𝟏− 𝟕. 𝟕𝟒𝟐

𝛔𝐞 = 𝟏. 𝟓𝟓

Grupo de control

σc = √∑ xi

2fi

nc− xc̅

2

σc = √2201

31− 8.352

σc = 1.13

Fuente: Instrumento de evaluación sumativa.


Gráfico 5: Instrumento de evaluación Sumativa

Fuente: Evaluación Sumativa


7,74

8,35

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

med

ia a

ritm

étic

a


Evaluación Sumativa


74



Se observa que el grupo control obtuvo mejores resultados en el rendimiento académico,

ya que existe una diferencia de 0.61 a favor de dicho grupo.

4.2 ANÁLISIS Y PRUEBA DE HIPÓTESIS GENERAL

4.2.1 Lenguaje usual

Hi: Influencia de la aplicación Grapher Free influye en el proceso enseñanza-aprendizaje



ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.




de Paúl” ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

4.2.2 Lenguaje matemático

Si la media aritmética del grupo experimental difiere de la del grupo de control se

desprenderán dos alternativas:

Si: Hi: �̅�𝑒 ≠ �̅�𝐶

Entonces: A1: �̅�𝑒 > �̅�𝐶

ó

A2: �̅�𝑒 < �̅�𝐶

Si la media aritmética del grupo experimental y la del grupo de control es igual se aceptará

la hipótesis nula:

Ho: �̅�𝑒 = �̅�𝐶

75

Tabla 31: Registro de los valores estadísticos obtenidos por los grupos de aplicación.

No

Evaluaciones

Grupo experimental Grupo de control

Media

aritmética

Desviación

estándar

()

Media

aritmética

Desviación

estándar

()

1 Evaluación formativa I 7.87 1.98 6.00 1.41

2 Evaluación formativa II 5.16 2.48 5.81 2.45

3 Evaluación formativa III 7.45 1.90 6.97 1.21

4 Evaluación Sumativa 7.74 1.55 8.35 1.13

PROMEDIO 7.06 1.98 6.78 1.55

Fuente: Instrumentos de evaluación


4.2.3 Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo.

Para establecer las regiones de rechazo utilizamos los criterios de niveles de confianza

definidos, por la siguiente ecuación, para un intervalo de 95% de aceptación;

Nivel de confianza = (1 - α) * 100%; donde el nivel de significancia “α “será igual al 5%

se demuestra de la siguiente manera:

Nivel de confianza = (1 - α) * 100%

95 % = (1 - α) * 100%

95 % = 100% - 100%α

100%α = 100% - 95%

100%α = 5%

Donde resultará que:

α = 5%

Cuya proporción se delimita en función de la cola superior e inferior de la distribución,

por lo que:

76

α = 5%

2, α = 2,5%

El intervalo de confianza está en una distribución normal, la confianza se dividió para

dos, este valor corresponde a la simetría de cola superior e inferior de dicho repartimiento.

Para el nivel de confianza del 0,95 equivalente al 95% cociente entre dos, obtendremos

un valor resultante de 0,475 este valor pertenece a la tabla de distribución normal de

probabilidades a un número 𝑍 = 1,96 equivalente al 2,5%, valor teórico proporcionado a

las zonas de rechazo de una distribución normal Z.

Este valor encontrado lo ubicamos en la tabla Z y observamos el porcentaje de en la fila,

que es el 1,9%. Dentro de la misma tabla ubicamos el primer valor de la columna, que es

6 y se crea el valor teórico ala unir estos dos valores tendremos 𝑍 = 1,96.

4.3 CÁLCULOS CON LA PRUEBA PARAMÉTRICA Z

Para el siguiente análisis se toma en cuenta la presente nomenclatura:

𝒙𝒆̅̅ ̅: Media aritmética del grupo experimental.

𝒙𝒄̅̅ ̅: Media aritmética del grupo de control.

𝝈𝒆: Desviación típica del grupo experimental.

𝝈𝒄: Desviación típica del grupo de control.

𝒏𝒆: Número de estudiantes del grupo experimental.

𝒏𝒄: Número de estudiantes del grupo de control.

Los datos obtenidos de la investigación son:

77

Tabla 32: Resumen de resultados obtenidos por los grupos de aplicación.

Grupo de

aplicación

Media aritmética

(�̅�)

Cuadrado de la

Desviación estándar

(𝝈𝟐)

Número de

estudiantes

(n)

Experimental 𝑥𝑒̅̅ ̅ = 7.06 𝜎𝑒2 = 1.98 𝑛𝑒 = 31

Control 𝑥�̅� = 6.78 𝜎𝑐2 = 1.55 𝑛𝑐 = 31

Fuente: Resultados obtenidos de la aplicación de los instrumentos de evaluación durante la investigación.


Con los datos obtenidos de la aplicación de los instrumentos de evaluación tanto del grupo

experimental como del de control se procede a determinar el Z calculado.

𝑍 =𝑥𝑒̅̅ ̅ − 𝑥�̅�

√𝜎𝑒

2

𝑛𝑒+

𝜎𝑐2

𝑛𝑐

𝑍 =7.06 − 6.78

√1.982

31 +1.552

31

𝑍𝑐 =0.28

0.45

𝑍𝑐 ≈ 0.62

4.4 TOMA DE DECISIÓN ESTADÍSTICA

Comparando los valores: Zc (calculado) y Zt (teórico), tenemos que:

𝑍𝑐 = 0.62 ; 𝑍𝑡 = 1,96

0.62˂1,96

𝑍𝑐˂𝑍𝑡

78

Podemos observar que 𝑍𝐶 = 0.62 está en la zona de aceptación de la hipótesis nula, lo

cual nos lleva a rechazar la hipótesis investigación Hi: �̅�𝑒 ≠ �̅�𝐶y aceptar la hipótesis nula

𝐻0: �̅�𝑒 = �̅�𝐶 con la alternativa A1: �̅�𝑒 < �̅�𝐶 , esto es:




de Paúl” ubicada en el cantón Quito parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018.

Gráfico 6: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado del proyecto.

Fuente: Cálculo de Z en el programa GeoGebra

Elaborado por: Burbano Diego (Investigador).

79

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Después de aplicar los instrumentos de evaluación a los estudiantes de décimo año de

EGB de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”, se procede a establecer las

respectivas conclusiones y recomendaciones del proyecto planteado, con la finalidad de

mejorar el proceso enseñanza-aprendizaje de Matemática.

5.1. CONCLUSIONES

Para determinar las conclusiones, se establece una relación directa con las preguntas

directrices antes mencionadas, con el fin de dar respuestas a las mismas; apoyándose en

el análisis de resultados.

¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-

aprendizaje de ecuaciones?

El promedio obtenido por el grupo experimental en la evaluación formativa 1 es de 7.87

ubicándose en el rango de (7,00 – 8,99), es decir, que alcanza los aprendizajes requeridos.

Mientras que el grupo control tiene un promedio de 6.00 ubicándose en el rango (5,01 –

6,99), es decir, está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos.

Por la interpretación grafica de los valores de la Z teórico y la Z calculada se concluye

que: si influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje

de ecuaciones.

80

Gráfico 7: Interpretación de los valores de la Z teórico y la Z calculado (directriz 1).




aprendizaje de sistema de ecuaciones de 2x2?


ubicándose en el rango de (5,01 – 6,99), es decir, está próximo a alcanzar los aprendizajes

requeridos.




que: no influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje

de sistema de ecuaciones de 2x2.

81





aprendizaje de ecuaciones cuadráticas?


ubicándose en el rango de (7,00 – 8,99), es decir, que alcanza los aprendizajes requeridos.




que: no influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje

de ecuaciones cuadráticas.

82




Por tal motivo en ecuaciones si influye la aplicación Grapher Free en el proceso

enseñanza-aprendizaje, pero no influye en sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones

cuadráticas con la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje en los

décimos años d EGB de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”.

5.2. RECOMENDACIONES

Se recomienda realizar investigaciones adicionales para efectos de determinar si

influye o no la aplicación móvil en el proceso de enseñanza-aprendizaje de

Matemática.

Se recomienda realizar investigaciones adicionales con otros grupos de

experimentación o con otros temas para evidenciar si influye o no la aplicación

móvil en el proceso de enseñanza-aprendizaje de Matemática.

Se recomienda incentivar a los estudiantes a que investiguen aplicaciones móviles

que consideren fáciles de manejar y útiles en el aprendizaje para revertir

problemas de hábitos de estudio tradicionales.

83

5.3. DIAGRAMA DE LA V HEURISTICA DE GOWIN

¿Cómo influye el uso de la aplicación Grapher Free en el proceso enseñanza-aprendizaje de ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y ecuaciones

cuadráticas, en el décimo año de Educación General Básica (EGB) de la Unidad Educativa “San Vicente de Paúl” ubicada en el cantón Quito

parroquia Conocoto, en el año lectivo 2017-2018?

FILOSOFIA

“Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo,

involúcrame y lo aprendo”.

Benjamín Franklin

RECOMENDACIONES

Se recomienda incentivar a los estudiantes a

que investiguen aplicaciones móviles que

consideren fáciles de manejar y útiles en el

aprendizaje.

TEORIAS

Paradigmas de la Educación, modelos

pedagógicos, teorías del aprendizaje, métodos

y procedimientos

CONCLUSIONES

El uso de la aplicación Grapher Free no influye

en el aprendizaje de ecuaciones, sistema de

ecuaciones y ecuaciones cuadráticas.

didácticos.

PRINCIPIOS

La aplicación Grapher Free influye en el

proceso enseñanza aprendizaje.

TRANSFORMACIONES

Se realizo la interpretación de resultados

mediante cálculos estadístico y gráficos

estadísticos.

CONCEPTOS

Ecuaciones, Sistema de Ecuaciones y

Ecuaciones cuadráticas.

Aplicación móvil (Grapher Free)

Rendimiento académico

Uso de la aplicación móvil Grapher Free en el

proceso enseñanza-aprendizaje de en

ecuaciones, sistema de ecuaciones de 2x2 y

ecuaciones cuadráticas.

REGISTRO

Instrumentos de evaluación,

Pruebas estandarizadas: Diagnóstica,

Formativa y Sumativa

84

REFERENCIAS

Amores Veloz Ana Lucia. (14 de 2 de 2014). Investigación Científica. Obtenido de

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a=X&ved=0ahUKEwiti5vs5JTaAhUFXawKHShLAYMQ6AEIJjAA#v=onepag

e&q&f=false

87

ANEXOS

88

ANEXO 1: Certificación de autorización de la aplicación de la experimentación

89

ANEXO 2: Certificación de la realización de la experimentación

90

ANEXO 3: Horario de la experimentación

Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”

El siguiente horario se encuentra descrito en el certificado otorgado por el docente titular

de la asignatura.

Grupo experimental: 10 “B”

Grupo control: 10 “C”

Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

7:15 – 7:55 10 C

7:55 – 8:35 10 C

8:35 – 9:15 10 C 10 B 10 B

9:15 – 9:55

9:55 – 10:40 10 B 10 C

11:10 – 11:55 10 C 10 B 10 B 10 C

11:55 – 12:40 10 C 10 B

12:40 – 13:25 10 B

91

92

ANEXO 4: Certificación de revisión y corrección de redacción, ortografía y coherencia.

93

ANEXO 5: Certificación de traducción del resumen de la tesis.

TITLE: Influence of the application Grapher Free in the process of teaching Equations,

2x2 Equation Systems and Quadratic Equations to the tenth year of General Basic

Education (GBE) at San Vicente de Paúl School, located in the city of Quito, parish of

Conocoto, throughout the 2017-2018 school year.

ABSTRACT

This study, after conducting a diagnostic test, evidenced poor academic performance in

Mathematics among tenth year students attending San Vicente de Paúl School, located in

the city of Quito, parish of Conocoto. For this reason, the goal of the study was to

determine the influence of the application Grapher Free in the process of teaching

equations. To do this, a base document was produced containing the contents expected to

be learned. The research design had a quantitative approach and was developed under a

quasi-experimental modality, since it had a control group and an experimental group --

the experimental group used the Grapher Free application to reinforce learning, whereas

the control attended class as usual without using any application. Upon finishing the

study, it was concluded that the application did not influence the teaching/learning

process with students coursing the tenth year of GBE.

KEYWORDS: GRAPHER FREE APPLICATION/ EQUATIONS/

TEACHING/LEARNING PROCESS/ ACADEMIC PERFORMANCE/ QUASI-

EXPERIMENTAL.

94

ANEXO 6: Solicitud y validación del documento base (Lic. Gabriela Guachamin).

95

96

ANEXO 7: Solicitud y validación del documento base (MSc. Milton Coronel).

97

98

ANEXO 8: Solicitud del documento base (Lic. Fabiola Herrán).

99

ANEXO 9: Solicitudes para la validación de los instrumentos de evaluación.

100

101

102

ANEXO 10: Instructivo para la validación de los instrumentos de evaluación.

103

104

ANEXO 11: Instrumento y validación de evaluación diagnóstica.

NOMBRE: _____________________________________________________________

CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________

DOCENTE: DIEGO BURBANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA

INDICACIONES GENERALES:

• Lea detenidamente cada ítem, tome en cuenta que cualquier borrón, tachón o

enmendadura anula la respuesta.

• Todo acto de deshonestidad académica invalida el instrumento de evaluación.

• Dispone de 60 minutos.

• Utilice esferográfico de tinta azul o negra.

ÍTEMS DE ORDENAMIENTO; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.

1. Ordena y ubica los siguientes valores numéricos de manera descendente.

a) −1

4 b) −

7

5 c) −

3

8 d) −

10

7

A) d,b,c,a B) d,a,b,c C) a,c,b,d D) a,c,d,b

2. Ordena y ubica los siguientes valores numéricos de manera ascendente.

a) 1

2 b)

4

3 c)

3

2 d)

2

5

A) b,a,c,d B) a,c,d,b C) d,a,b,c D) b,a,d,c

UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO

Instrumento de Diagnóstico

Código: M2-FM05 Versión: 1 Pág.: 104

0 −41

40

-∞ ∞

2

3

0

-∞ ∞

105

ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.

3. ¿Qué elementos pertenecen al monomio?

−1

3𝑥2𝑦3𝑧

1. Signo: -

Coeficiente: 3

Variables: x,y,z

2. Signo: +

Coeficiente: 1

3

Variables: x, y,z

3. Signo: -

Coeficiente: 1

3

Variables: x,y,z

4. Signo: +

Coeficiente: 1

3

Variables: x,y,z

A) 2 B) 4 C) 1 D) 3

4. ¿Qué elementos son del monomio?

a2b3c2

1. Signo: +

Coeficiente: 0

Variables: a,b,c

2. Signo: +

Coeficiente: 1

Variables: a,b,c

3. Signo: -

Coeficiente: 0

Variables: a,b,c

4. Signo: -

Coeficiente: 1

Variables: a,b,c

A) 3 B) 2 C) 1 D) 4

ÍTEMS DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.

5. Identifique los siguientes trinomios a que caso pertenece:

1) Trinomio cuadrado perfecto

2) Trinomio de la forma x2+bx+c

3) Trinomio de la forma ax2+bx+c

a) x2+2x+1

b) 3x2+2x-1

c) x3+x2+x+1

d) x2 -7x+12

A) 1a, 2d, 3b B) 1b, 2e, 3f C) 1a, 2d, 3c D) 1d, 2a, 3f

6. Factore e identifique sus respuestas:

1) x2-7x+12=0

2) 3x2+2x-1=0

3) x2-6x+9=0

a) (x+1)(3x-1)=0

b) (x-3)2=0

c) (x-4)(x-3)=0

d) (3x+1)(x+1)=0

A) 1a, 2c,3b B) 1c, 2a, 3b C) 1d, 2a, 3b D) 1a, 2d, 3b

………………………………… ……………………………………

f) DOCENTE f) COORD. ACADÉMICA

106

MSc. Milton Coronel (Matemática - Carrera de Pedagogía de las Ciencias

Experimentales, Matemática y Física).

107

Lic. Gabriela Guachamin (Matemática – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).

108

Lic. Fabiola Herrán (Lenguaje – Unidad Educativa “San Vicente de Paúl”).

109

-∞

∞

ANEXO 12: Instrumentos y validación de la evaluación formativa 1.

NOMBRE: _____________________________________________________________

CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________








ÍTEMS DE COMPLETACIÓN; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2 pt)





C) Ecuación – símbolo mas


2. Se llama ____________ a la igualdad que contiene variables y su representación

gráfica es ___________ en el plano.

A) Ecuación lineal – una recta

B) Ecuación cuadrática – un punto

C) Ecuación cuadrática – una paralela

D) Ecuación lineal – una intersección

ÍTEM DE OPCIÓN MULTIPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)

3. Relacione la forma general y la representación gráfica en la recta real.

1. Ecuación lineal con

una incógnita.

a) b)

c) d)

2. Ecuación lineal con dos

incógnitas.

3. x=-4

4. x=4

A) 1a, 2b, 3c, 4d

B) 1a, 2b, 3d, 4c

C) 1b, 2a, 3c, 4d

D) 1b, 2a, 3d, 4c

UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL”

EVANGELIZAR EDUCANDO

PRUEBA FORMATIVA 1


a x b ca x b y c

-4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 -∞ ∞

110

ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (6pt)

4. Resuelva la ecuación y seleccione la respuesta correcta:

x+3=21

A) x=7 B) x=18 C) x=7 D) x=-18


2(x-8) =-13

A) 𝑥 =2

3 B) 𝑥 = −

3

2 C) 𝑥 =

3

2 D) 𝑥 = −

2

3


5x + 8 = 2x + 11

A) 𝑥 = 1 B) 𝑥 =19

7 C) 𝑥 = −

19

7 D) x=-1

………………………………… ……………………………………


111



112


113


114

ANEXO 13: Instrumento y validación de la evaluación formativa 2.

NOMBRE: _____________________________________________________________

CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________








ÍTEMS DE COMPLETACIÓN; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA. (2pt)

1. Un sistema de ecuaciones de 2x2 se llama ____________ cuando ____ tiene

solución.

A) Incompatible – Si

B) Compatible – No

C) Compatible – Si

D) Paralela – Si

2. Un sistema de ecuaciones de 2x2 se llama indeterminado si las gráficas de las

ecuaciones son _________, entonces existe _____________ soluciones.

A) Paralelas – cero

B) Coincidentes – dos únicas

C) Secantes – un punto como

D) Coincidentes – infinitas


3. Relacione su gráfica respecto a su solución.

A) 1d, 2a, 3c, 4b

B) 1a, 2d, 3d, 4c

C) 1c, 2d, 3b, 4a

D) 1d, 2c, 3a, 4b

UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO

PRUEBA FORMATIVA 2


1. Paralela a) b)

c) d)

2. Secante

3. Coincidentes

4. Un punto

115


4. Resuelva el sistema y determine si es secante, coincidente o paralela:

{𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟔

𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎

A) Secante B) Coincidente C) Paralela


{𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐



{𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟕


………………………………… ……………………………………


116



117


118


119

ANEXO 14: Instrumento y validación de la evaluación formativa 3.

NOMBRE: _____________________________________________________________

CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________







• Utilice esferográfico de tinta azul o negro.


1. Una ecuación cuadrática tiene la forma de una _______ algebraica de términos, cuyo

grado _______ es 2.

A) Multiplicación – mínimo

B) Suma – máximo

C) Multiplicación – máximo

D) División – mínimo

2. Una ecuación cuadrática se puede representar mediante una ______ y el resultado

es una __________.

A) Punto – hipérbola

B) Rectas – secante

C) Gráfica – parábola

D) Gráfica – hipérbola


3. Relacione la gráfica de acuerdo a su tipo de solución.

A) 1c, 2b, 3a

B) 1a, 2d, 3b

C) 1c, 2d, 3a

D) 1d, 2a, 3c

+ UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO

PRUEBA FORMATIVA 3


1. Tiene raíces reales

diferentes

a) b)

c) d) 2. Tiene raíces reales

iguales

3. No tiene raíces reales.

120


4. Resuelva la ecuación e indique si tiene dos raíces iguales reales, diferentes o no tiene

raíces reales: 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

A) Dos raíces diferentes B) Dos raíces Iguales C) No tiene raíces reales


raíces reales: 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0



raíces reales: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0


……………………………………


121



122


123


124

ANEXO 15: Instrumento y validación de la evaluación sumativa.

NOMBRE: _____________________________________________________________

CURSO: ____________________________ FECHA: __________________________







• Utilice esferográfico de tinta azul o negro.






C) Ecuación – símbolo menos


2. Un sistema de ecuaciones de 2x2 se llama indeterminado, si las gráficas de las

ecuaciones son _________, entonces existe _____________ soluciones.

A) Paralelas – cero

B) Coincidentes – dos únicas

C) Secantes – un punto como

D) Coincidentes – infinitas


3. Relacione la gráfica de acuerdo a su tipo.

A) 1c, 2b, 3a

B) 1a, 2d, 3b

C) 1a, 2c, 3b

D) 1d, 2c, 3a

+ UNIDAD EDUCATIVA “SAN VICENTE DE PAÚL” EVANGELIZAR EDUCANDO

PRUEBA SUMATIVA


1. Tiene raíces iguales a) b)

c) d) 2. No tiene raíces reales

3. Sistema

incompatible

125

ÍTEMS DE OPCIÓN SIMPLE; SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA.


5x + 8 = 2x + 11

A) 𝑥 = 1 B) 𝑥 =19

7 C) 𝑥 = −

19

7 D) x=-1


{𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐



raíces reales: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0


………………………………… ……………………………………


126



127


128


129

ANEXO 16: Fotografías del grupo control.

130

131

ANEXO 17: Fotografías del grupo experimental.

132

133

ANEXO 18: Documento Base

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES,

MATEMÁTICA Y FÍSICA

TEMA:

ECUACIONES, SISTEMA DE ECUACIONES Y ECUACIONES

CUADRÁTICAS

AUTOR:

DIEGO ALEXANDER BURBANO ANACONA

AÑO LECTIVO:

2017-2018

134

ÍNDICE

UNIDAD 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO…………………………………135

1.1. Igualdad. ........................................................................................................... 135

1.2. Ecuación. .......................................................................................................... 135

1.3. Ecuación de primer grado. .................................................................................. 135

1.5. Ecuación de primer grado con dos incógnitas. ..................................................... 136

1.6. Teoremas básicos de la igualdad. ........................................................................ 137

1.7. Resolución de ecuaciones con una incógnita. ....................................................... 138

1.8. Ejemplos resueltos ............................................................................................. 139

1.9. Resolución de ecuaciones con dos variables. ....................................................... 140

1.10. Ejemplos resueltos. ............................................................................................ 141

1.11. Ejercicios Propuestos. .......................................................................................... 143

UNIDAD 2: SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES……………144

2.1. Sistema de ecuaciones 2 x 2. .............................................................................. 144

2.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 2x2................................................... 145

2.3. Resolución de sistemas de ecuaciones. ................................................................ 146

2.3.1. Método de sustitución. ................................................................................................... 146

2.3.2. Método de Igualación. .................................................................................................... 149

2.3.3. Método de reducción. ..................................................................................................... 151

2.4. Ejercicios Propuestos. ........................................................................................ 153

UNIDAD 3: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA….154

3.1. Ecuación de segundo grado o cuadráticas con una incógnita. ..................................... 154

3.2. Teorema del factor cero. .................................................................................... 154

3.3. Resoluciones de ecuaciones cuadráticas. ............................................................. 155

3.3.1. Resolución por ecuaciones cuadráticas incompletas. ..................................................... 155

3.3.2. Resolución por factorización (si es posible). .................................................................. 159

3.3.3. Resolución con la fórmula general. ................................................................................ 161

3.4. Ejercicios Propuestos. ........................................................................................ 165

4.BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………166

135

Donde:

a, b, c, x, ∈ R con

a ≠ 0.

UNIDAD 1: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.1. Igualdad.

Se llama igualdad a dos expresiones separadas por el símbolo igual que tienen el mismo

valor numérico.

1.2. Ecuación.

Se llama ecuación a la igualdad que contiene incógnitas o variables, su igualdad se

verifica por determinados valores de sus letras.

Existen ecuaciones con 1, 2, … , n incógnitas o variables.

Ejemplo:

1.3. Ecuación de primer grado.

Se la denomina ecuación lineal por que involucra sus incógnitas o variables a la primera

potencia, es decir, se encuentran elevadas al exponente 1.

1.4.Ecuación de primer grado con una incógnita.

Son ecuaciones lineales que solo consta de una incógnita y su representación gráfica es

un punto en la recta real; su forma general de presentación es la siguiente:

Ejemplo:

3x 2 3

2 2 4

x 2 4

a x b c

136

Donde:

a, b, c, x, y ∈ R

con a,b ≠ 0.

1.5. Ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Son ecuaciones lineales que constan de dos incógnitas o variables y su representación

gráfica son rectas en el plano cartesiano; su forma general de presentación es la siguiente:

Ejemplo:

A la expresión que le precede el símbolo signo se le conoce como primer miembro y la

expresión que le sigue se lo llama segundo miembro.

4x 2y 5

a x b y c

PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

x 2 4

137

1.6. Teoremas básicos de la igualdad.

La igualdad cumple en los siguientes teoremas:

TEOREMAS BÁSICOS DE LA IGUALDAD

Los teoremas se definen en el conjunto de los números reales.

Cancelativo (términos negativos) a - c = b - c ⇔ a = b

x-2=4-2 ↔ x=4

Cancelativo (factores) a . c = b . c ⇔ a = b

x.2=4.2 ↔ x=4

Cancelativo (divisores) a / c = b / c ⇔ a = b; c ≠ 0

x/2=4/2 ↔ x=4

Transposición de términos positivos a + b = c ⇔ a = c – b

x+2=4 ↔ x=4-2

x=2

Transposición de términos negativo a – b = c ⇔a = c + b

x-2=4 ↔ x=4+2

x=6

Transposición de factores a . b = c ⇔a = c / b; b ≠ 0

x.2=4 ↔ x=4/2

x=2

Cancelativo (términos positivos) a + c = b + c ⇔ a = b

x+2=4+2 ↔ x=4

Transposición de divisores a / b = c ⇔a = c . b; b ≠ 0

x/2=4 ↔ x=4 . 2

x=8

Cambio de signos - a = - b ⇔a = b

-x= -4 ↔ x=4

138

1ro

• Se identifica en que miembro se encuentra la variable.

2do

• Debemos despejar todas las cantidades donde se encuentrenuestra variable al otro miembro aplicando los teoremas deigualdad.

3ro

• Aplicamos las definiciones de suma, resta, multiplicación o división si es posible.

4to

• Comprobamos la solución remplazando el valor encontrado en la ecuación original.

5to

• Representamos la solución recta real

1.7. Resolución de ecuaciones con una incógnita.

Para resolver ecuaciones con 1 incógnita se procede a despejar la incógnita utilizando los

teoremas básicos de igualdad presentados anteriormente; definiciones de las operaciones

de suma, resta, multiplicación, o división.

Su solución o soluciones se las llaman raíces.

Ejemplo:

Resolver: x + 6 = 2

+ 6 = 2 x

= 2 - 6 T: a-b=c ⇔ a=c+b x

= -4 Def. de resta x

= -4 x

0

x=-4 ∞ -∞

-5 -4 -3 -2 -1

(-4) + 6 = 2

2=2

139

1.8.Ejemplos resueltos

1) Resolver: x + 4 = 12

PROPOSICIONES RAZONES

1. x+4=12

2. x=12-4

3. x=8

4. (8) +4=12

5. 12=12

Dato

T: a+b=c ⇔ a=c-b

Definición de resta.

Comprobación.

Def de suma.

2) Graficar: 2 (x – 5) = - 13


1. 2(x-5) =-13

2. 2x-10=-13

3. 2x=-13+10

4. 2x=-3

5. x=-3/2

6. 2[(−3

2)-5]=-13

7. 2(-13

2) =-13

8. -13 = -13

Dato

Propiedad distributiva.

T: a-b=c ⇔ a=c+b

Definición de suma.

T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0

Comprobación.

Def de resta.

Simplificación.

x=8

∞ -∞

x=-3/2

∞

-∞

-2 -1 0 1

-4 -2 0 2 4 6 8

140

1.9.Resolución de ecuaciones con dos variables.

Para la solución de una ecuación con dos variables se debe despejar una de las dos

variables y asignar valores a la otra variable, así obtenemos pares ordenados que cumple

la igualdad.

Estos se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano y sus pares ordenados

encontrados se denominan conjunto solución.

Ejemplo:

Graficar: 2 x + 3 y = 1

1ro

• Se identifica en que miembro se encuentra la variable que vamosa despejar.

2do

• Debemos despejar la variable escogida aplicando los teoremasde igualdad.

3ro

• Se asignan valores a lavariable (NO despejada) yaplicamos las definicionesde suma, resta,multiplicación o divisiónpara obtener paresordenados.

4to

• Representamosgráficamente enel planocartesiano.

+ 3y = 1 2x

= 1- 3y T: a+b=c⇔ a=c-b 2x

= 1− 3𝑦

2 T: ab=c⇔a=c/b; b ≠ 0 x

141

1.10. Ejemplos resueltos.

1) Graficar: 7 x – 5 y = 32


1. 7x-5y=32

2. 7x=32+5y

3. 𝑥 =32+5𝑦

7

y 𝑥 =

32 + 5𝑦

7

(x,y)

-2 𝑥 =

32 + 5(−2)

7=

22

7 (

22

7 , −2)

0 𝑥 =

32 + 5(0)

7=

32

7 (

32

7, 0)

1 𝑥 =

32 + 5(1)

7= (

37

7 , 2)

Dato

T: a-b=c ⇔ a=c+b

T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0

Tabla de valores.

2) Graficar: 5x + 2y = 37


1. 5x+2y=37

2. 5x=37-2y

3. 𝑥 =37−2𝑦

5

y 𝑥 =

37 − 2𝑦

5

(x,y)

-1 𝑥 =

37 − 2(−1)

5=

39

5 (

39

5,-1)

Dato

T: a+b=c ⇔ a=c-b

T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0

Tabla de valores.

142

0 𝑥 =

37 − 2(0)

5=

37

5 (

37

5,0)

1 𝑥 =

37 − 2(1)

5= 7

(7,1)

2 𝑥 =

37 − 2(2)

5=

33

5 (

33

5,2)

3) Graficar: - 7

10𝑥 − 𝑦 = 0


1. −7

10𝑥 − 𝑦 = 0

2. −7

10𝑥 = 𝑦

3. x=−10

7𝑦

y x=−10𝑦

7 (x,y)

1 x=−10(1)

7= −

10

7 (−

10

7, 1)

0 x=−10(0)

7= 0 (0,0)

-1 x=−10(−1)

7=

10

7 (

10

7, −1)

-2 x=−10(−2)

7=

20

7 (

20

7, −2)

Dato

T: a-b=c ⇔ a=c+b

T: a.b=c ⇔ a=c/b; b≠0

Tabla de valores.

143

1.11. Ejercicios Propuestos.

Graficar las siguientes ecuaciones utilizando los teoremas básicos de la igualdad, también

con proposiciones y razones indicadas en los ejemplos.

1. Plantear una ecuación con una incógnita y aplique los teoremas de igualdad.

2. Plantear una ecuación con dos variables y aplique los teoremas de igualdad.

3. 2(x+9) =6

4. 2(y+0,3) =-2,4

5. –(z+0,5) =7

6. 1

2=-3(

1

3+ 𝑥)

7. 8x-6y=33

8. 25

5𝑧+3w=9

9. −0,7𝑎 − 𝑏 = 0

10. 𝑥 −𝑦

3= 1

144

UNIDAD 2: SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES

2.1. Sistema de ecuaciones 2 x 2.

Es un conjunto de dos ecuaciones que comparten dos incógnitas o variables.

Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores que se comprueban su

igualdad para las dos ecuaciones.

Donde:

a, b, c, d, c, f, x, y ∈ R

con a, b, c, d ≠ 0.

Los sistemas de ecuaciones

se representan con este

símbolo.

SISTEMA DE

ECUACIONES

ax by c

dx ey f

145

2.2.Clasificación de los sistemas de ecuaciones 2x2.

Los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas o variables. Se van a clasificar,

dependiendo del tipo de solución para lo cual están clasificadas en:

SISTEMA DE ECUACIONES

2x2

Compatibles

Son ecuacionesque tienensolución para susitema

Determinado

Cumple si laintersección de lasgráficas es solo unpunto, para lo cualexiste una únicasolución para elsistema de ecuaciones.

Indeterminado

Cumple si las gráficasde las ecuaciones sonequivalentes o iguales,entonces hay unnúmero infinito desoluciones para elsistema de ecuaciones.

Incompatibles

Si representamos lasecuacionesgráficamente y estasno se intersecan, sedice que el sistemade ecuaciones notiene solución.

Entonces las rectas serán

SECANTES (se cortan en

un solo punto).

Entonces las rectas serán

COINCIDENTES (se

cortan en infinitos puntos).

Entonces las dos rectas

serán PARALELAS (no

tienen ningún punto en

común).

146

2.3.Resolución de sistemas de ecuaciones.

Para resolver un sistema de ecuaciones vamos a utilizar métodos algebraicos que les

indicaremos a continuación:

2.3.1. Método de sustitución.

Para resolver por el método de sustitución debemos seguir los siguientes pasos:

➢ Se despeja una variable en una de las ecuaciones.

➢ Se sustituye la expresión de esta variable en la otra ecuación, obteniendo una

ecuación con una sola variable.

➢ Se resuelve la ecuación.

➢ El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la variable

despejada.

➢ Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

➢ Comprobamos remplazando los valores encontrados en el sistema de ecuaciones.

➢ Representamos gráficamente.

Resolución de sistema de ecuaciones

Sustitución Igualación Reducción

Métodos algebraicosMétodo Gráfico

147

2.3.1.1. Ejemplos Resueltos.

4) Resolver: {5𝑥 − 𝑦 = 6

𝑥 + 3𝑦 = 10


1. {5𝑥 − 𝑦 = 6

𝑥 + 3𝑦 = 10

2. x + 3y =10

3. x=10-3y

4. 5(10-3y) – y = 6

5. 50 -15y -y = 6

6. -16y=6-50

7. 16y=44

8. y=11

4

9. x=10 – 3(11

4)

10. x=7

4

11. {5(

7

4) − (

11

4) = 6

(7

4) + 3(

11

4) = 10

12. {6 = 6

10 = 10

Dato

Escogimos la segunda ecuación para

despejar la variable x.

T: a+b=c⇔a=c-b

Sustituimos el valor de x en la primera

ecuación.


T: a+b=c⇔a=c-b

Def suma; T: - a = - b ⇔ a = b

T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0; simplificación.

Remplazamos en la segunda ecuación.

Def de multiplicación y resta.

Remplazamos los valores obtenidos en el

sistema.

Def de multiplicación, resta y suma.

148


2𝑥 + 4𝑦 = 7


1. {𝑥 + 2𝑦 = 4

2𝑥 + 4𝑦 = 7

2. 2x+4y=7

3. 4y=7-2x

4. y= 7−2𝑥

4

5. x+2(7−2𝑥

4) =4

6. x+(7−2𝑥

2)=4

7. x+7-2x=4(2)

8. -x+7=8

9. -x=8-7

10. -x=1

11. x=-1

12. (-1)+2y=4

13. 2y=4+1

14. 2y=5

15. y=5

2

16. {(−1) + 2(

5

2) = 4

2(−1) + 4(5

2) = 7

17. {−1 + 5 = 4

−2 + 2(5) = 7

18. {4 = 48 ≠ 7

19. No es solución para el sistema.

Dato

Escoger la segunda ecuación para

despejar la variable y.

T: a+b=c⇔a=c-b

T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0

Remplazamos en la primera ecuación .

Simplificación.

T: a/b=c⇔a=c.b; b≠0

Def de resta y multiplicación.

T: a+b=c⇔a=c-b

Def de resta.

T: -a=-b ⇔ a=b

Sustituyo x en la primera ecuación .

T: a+b=c⇔a=c-b

Def de suma.



sistema.

Simplificación.

Def multiplicación y resta.

149


2𝑥 + 4𝑦 = 2


1. {𝑥 + 2𝑦 = 1

2𝑥 + 4𝑦 = 2

2. x =1-2y

3. 2(1-2y) +4y=2

4. 2-2y+4y=2

5. 2y=2-2

6. y=0

7. x=1-(0)

8. x=1

9. {(1) + 2(0) = 1

2(1) + 4(0) = 2

10. {1 = 12 = 2

Dato

Escoger la primera ecuación para despejar

la variable x; T: a+b=c⇔a=c-b

Sustituimos el valor de x en la segunda

ecuación.


T: a-b=c⇔a=c+b

Def resta.

Remplazo en primera ecuación.

Def de multiplicación.

Remplazamos los valores en el sistema.


2.3.2. Método de Igualación.

Para resolver por el método de igualación debemos seguir los siguientes pasos:

➢ Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.

➢ Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una variable.

➢ Se resuelve la ecuación.

➢ El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que

aparecía despejada la otra variable.




150

2.3.2.1. Ejemplos resueltos.

1) Resolver: {2𝑥 + 3𝑦 = −13𝑥 + 4𝑦 = 0


1. {2𝑥 + 3𝑦 = −13𝑥 + 4𝑦 = 0

2. 3x=-4y ; x=−4𝑦

3

3. 2x =- 1-3y ; x=−1−3𝑦

2

4. −1−3𝑦

2=

−4𝑦

3

5. 3(-1-3y) =2(-4y)

6. -3-9y=-8y

7. -9y+8y=3

8. y=-3

9. 𝑥 =−4(−3)

3

10. 𝑥 =4

11. {2(4) + 3(−3) = −13(4) + 4(−3) = 0

12. {8 − 9 = −112 − 12 = 0

13. {−1 = −1

0 = 0

Dato

Despejamos la misma variable en las dos

ecuaciones.

T: a+b=c⇔a=c-b; T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0

Propiedad reflexiva.



T: a+b=c⇔a=c-b

Def suma; T: - a = - b ⇔ a = b

Remplazamos en la primera ecuación.

T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0; simplificación.


sistema.


Def de resta.

151

2) Resolver: {3𝑥 + 2𝑦 = 56𝑥 + 4𝑦 = 6


1. {3𝑥 + 2𝑦 = 56𝑥 + 4𝑦 = 6

2. 3x+2y=5 ; 6x+4y=6

3. 3x=5-2y ; 6x=6-4y

4. x =5−2𝑦

3 ; x=

6−4𝑦

6

5. 5−2𝑦

3=

6−4𝑦

6

6. 6(5-2y)=3(6-4y)

7. 30-12y=18-12y

8. 30-12y+12y=18

9. 30≠18

10. No tiene solución en el sistema.

Dato

Despejamos la misma variable en las dos

ecuaciones.

T: a+b=c⇔a=c-b


Igualamos las dos ecuaciones.



T: a+b=c⇔a=c-b

Def resta.

2.3.3. Método de reducción.

Para resolver por el método de igualación debemos seguir los siguientes pasos:

➢ Se elige la variable a reducir.

➢ El coeficiente de la variable elegida de la primera ecuación se multiplica en la

segunda ecuación y el coeficiente de la variable elegida de la segunda ecuación se

multiplica por la primera ecuación.

➢ Se cambia el signo a una de las dos ecuaciones para poder reducir si es necesario.

➢ Reducimos las ecuaciones.

➢ El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.




152

2.3.3.1. Ejemplos resueltos.

1) Resolver: {7𝑥 − 5𝑦 = 1045𝑥 + 2𝑦 = 52


1. {7𝑥 − 5𝑦 = 104 (5)5𝑥 + 2𝑦 = 52 (2)

2. {14𝑥 − 10𝑦 = 20825𝑥 + 10𝑦 = 260

3.

4. 39x=468

5. x=468

39

6. x=12

7. 5(12) +2y=52

8. 60+2y=52

9. 2y=52-60

10. 2y=-8

11. y=−8

2

12. y=-4

13. {7(12) − 5(−4) = 1045(12) + 2(−4) = 52

14. {84 + 20 = 104

60 − 8 = 52

15. {104 = 104

52 = 52

Dato

Multiplicamos *2 a la primera ecuación

y *5 a la segunda ecuación.

Simplificamos la variable.


Simplificamos.

Remplazamos en la segunda ecuación.


T: a+b=c⇔a=c-b

Def de resta.

T: a.b=c⇔a=c/b; b≠0;

Simplificación.

Remplazamos los valores en el sistema.


Def de suma.

153

2) Resolver: {2𝑥 − 3𝑦 = 26𝑥 − 9𝑦 = 6


1. {2𝑥 − 3𝑦 = 2 (6)

6𝑥 − 9𝑦 = 6 (−2)

2. {12𝑥 − 18𝑦 = 12

−12𝑥 + 18𝑦 = −12

3. 0=0

4. Es una igualdad, pero debemos

graficarla para obtener los pares

ordenados que son el conjunto

solución.

Dato

Multiplicamos *6 a la primera ecuación

y *-2 a la segunda ecuación.

Simplificación.

2.4. Ejercicios Propuestos.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con proposiciones, razones y su gráfica

por los métodos de sustitución, igualación y reducción.

1) {2𝑥 − 3𝑦 = 26𝑥 − 9𝑦 = 6

2) {7𝑥 − 5𝑦 = 1045𝑥 + 2𝑦 = 52

3) {3𝑥 + 2𝑦 = 56𝑥 + 4𝑦 = 6

4) {𝑥 + 2𝑦 = 1

2𝑥 + 4𝑦 = 2

5) {5𝑥 − 𝑦 = 6

𝑥 + 3𝑦 = 10

6) {𝑥 + 2𝑦 = 4

2𝑥 + 4𝑦 = 7

154

UNIDAD 3: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

3.1. Ecuación de segundo grado o cuadráticas con una incógnita.

Es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado

máximo es “2”, es decir, que su variable estará elevada a exponente 2.

Su forma general:

Ejemplo.

Esta ecuación cuadrática se puede representar mediante una gráfica, el resultado es una

parábola, la cual interseca con el eje x en el valor de las raíces.

3.2. Teorema del factor cero.

Este teorema establece (en términos algebraicos): Si el producto de dos cantidades es

igual a cero entonces uno de las dos cantidades es cero o ambas son cero.

ax2 bx c 0

x2 2x 4 0

Términos Donde: ax2 : Término cuadrático. bx : Término lineal. c : Término independiente. a, b, c, x ∈ R

a ≠ 0

a.b=0⇔a=0 v b=0

155

3.3. Resoluciones de ecuaciones cuadráticas.

Para resolver una ecuación cuadrática se determinan los valores o raíces.

En este documento resolveremos ecuaciones cuadráticas aplicando los siguientes

procesos:

3.3.1. Resolución por ecuaciones cuadráticas incompletas.

Una ecuación cuadrática incompleta puede presentarse de las siguientes formas:

Por ecuaciones cuadráticas incompletas

Por factorización (si es posible)

Por la fórmula general

Incompletas

ax2 + bx =0

c=0

ax2 + c =0

b=0

ax2 =0

b=c=0

156

Ejemplo:

3.3.1.1. Ejemplo Resuelto.

1) Resolver: 9x2 – 4x=0


1. 9x2 -4x=0

2. x(9x-4)=0

3. x1 =0 ᵥ 9x2 -4=0

4. x1 =0 ᵥ 9x2 =4

5. x1 =0 ᵥ x2 =4

9

6. 9(0)2-4(0)=0 ᵥ 9(4

9)2-4(

4

9)=0

7. 0=0 ᵥ 0=0

Dato

Factor común.

T: a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0

T: a+b=c⇔a=c-b


Remplazamos los valores en la

ecuación original.

Las soluciones son verdaderas.

Se saca factor común

x(ax+b)=0

Aplicamos el teorema del

factor 0

x1=0 ᵥ ax2+b=0

Aplicamos el

T: a+b=c ⇔ a=c-b

x1=0 ᵥ ax2=-b

Aplicamos el

T: a.b=c ⇔ a=c/b

x1=0 ᵥ x2=-𝑏

𝑎

157

3.3.1.2. Ejemplo resuelto.

1) Resolver: x2+20=30


1. x2+20=30

2. x2 =30-20

3. x2=10

4. √𝑥2 = √10

5. x= ± √10

6. x1 =√10 ᵥ x2=-√10

7. (√10)2 +20=30 v (−√10)2 +20=30

8. 10+20=30 ᵥ 10+20=30

9. 30=30 ᵥ 30=30

Dato

T: a+b=c⇔a=c-b

Def de resta.

𝑥2 = 𝑐 ⇔ √𝑥2 = √𝑐

√𝑎𝑛𝑛= 𝑎

Remplazamos los valores en la

ecuación original.

( √𝑎𝑛

)n = a

Def de suma.

Se despeja la variable

ax2=c

x2=𝑐

𝑎

Se extrae la raíz cuadrada

a cada miembro

√𝑥2 = √𝑐

𝑎

Aplicamos propiedades de los

radicales:

√ann= a

x = √c

a

Donde:

x=±(𝑐

𝑎)

x1=𝑐

𝑎 x2=−

𝑐

𝑎

2 soluciones

158

3.3.1.3. Ejemplo resuelto.

1) Resolver: 16x2=0


1. 16x2=0

2. x2=0

16

3. x=0

Dato

T:a.b=c⇔c=c/b; b≠0

Def de división.

x2=0

x=0

159

3.3.2. Resolución por factorización (si es posible).

Se resuelve la ecuación cuadrática completa en su forma general:

ax2 +bx+c=0; a, b y c ≠ 0

Identificando a que caso pertenece:

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio cuadrado de la forma:

x2 +bx +c = 0

Trinomio cuadrado de la forma:

ax2 +bx +c = 0

9x2 +12x + 4=0

√9𝑥2 = 3𝑥 √4 = 2 2(3x)(2)=12x

(3x + 2)2 =0 3x+2=0

x=- 2

3

Tiene dos raíces iguales - reales

x2 -3x +4=0 Dos números multiplicados me den 4 y restados -3

(x-4)(x+1)=0 x1-4=0 ᵥ x2+1=0 x1=4 ᵥ x2=-1 Tiene dos raíces diferentes - reales

Se multiplica 60

6x2 +11x -10 =0

(6𝑥+15)(6𝑥−4)

6=0

3(2𝑥 + 5)2(3𝑥 − 2)

6= 0

(2x+5)(3x-2)=0

2x1+5=0 ᵥ 3x2-2=0

x1=−5

2 ᵥ x2=

2

3

Tiene dos raíces diferentes - reales

160

3.3.2.1. Ejercicios Resueltos:

1) Resolver: x2 +2x + 1=0


1. x2 +2x + 1=0

2. √𝑥2 = 𝑥 √1 = 1 3. (x+1)2 =0

4. (x+1)(x+1)=0

5. x1 +1= 0 ᵥ x2 +1=0

6. x1 = -1 ᵥ x2 =-1

Dato


Trinomio cuadrado perfecto.

a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0

T:a.b=c ⇔a=c/b; b≠0

2) Resolver: x2 -7x +12=0


1. x2 -7x +12=0 2. (x-4)(x-3)=0

3. x1 -4= 0 ᵥ x2 -3=0

4. x1 = 4 ᵥ x2 = 3

Dato

T de la forma x2 + bx +c

a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0

T:a-b=c ⇔a=c+b

161

3) Resolver: 3x2 +2x -1 =0


1. 3x2 +2x -1 =0

2. (3𝑥+3)(3𝑥−1)

3=0

3. 3(𝑥+1)2(3𝑥−1)

3= 0

4. (x+1)(3x-1)=0

5. x1 +1= 0 ᵥ 3x2 -1=0

6. x1 = -1 ᵥ x2 =1

3

Dato

T. de la forma ax2 +bx +c =0

Factor común.

Simplificación.

a.b=0⇔a=0 ᵥ b=0

T:a.b=c ⇔a=c/b; b≠0

3.3.3. Resolución con la fórmula general.

Este es el procedimiento se recomienda cuando la factorización no es posible.

Su expresión es la siguiente:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

162

Observa cómo se obtiene la fórmula general que permite resolver cualquier ecuación

de la forma ax2 +bx + c =0

DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL

PROPOSICIONES RAZONES 1. ax2 +bx + c =0 2. ax2 +bx = -c

3. 4a (ax2 +bx) = 4a(-c)

4. 4ax2 +4abx = -4ac

5. 4a2 x2 +4abx + b2 = -4ac +b2

6. (2ax +b)2 =b2 -4ac

7. √(2ax + b)2 = √𝑏2 − 4ac

8. (2ax + b)=± √𝑏2 − 4ac

9. 2ax = -b ± √𝑏2 − 4ac

10. x = −𝑏 ±√𝑏2 −4ac

2𝑎

Dato

T: a+b=c⇔a=c-b

Axioma aditivo (=).


Axioma aditivo (=).

T. cuadrado perfecto, ordeno.

T: a=a ⇔ √𝑎 = √𝑎


T: a+b=c⇔a=c-b

T: a.b=c=⇔a=c/b; b≠0

3.3.3.1. Tipos de soluciones de ecuaciones cuadráticas con la fórmula general.

Para ello se encuentra el discriminante y así sabremos qué solución obtendremos:

DISCRIMINANTE

∆ = b2 -4ac

∆ ˃0 → x1 ≠ x2 Tienes dos raíces reales diferentes

∆=0 → x1 = x2

Tiene dos raíces reales iguales.

∆˂0 No tiene raíces reales

163

3.3.3.2.Ejemplos Resueltos.

1) Resolver: x2 +x +1 =0


1. x2 +x +1 =0

2. 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

3. a=1 , b=1 , c=1

4. 𝑥 =−(1)±√(1)2−4(1)(1)

2(1)

5. 𝑥 =−1±√1−4

2

6. 𝑥 =1±√−3

2

7. No tiene solución en los reales por tener raíz

negativa.

Dato

Por la fórmula general.

Identificar sus factores.

Remplazar en la fórmula

general.

Def Multiplicación.

Def de resta.

2) Resolver: x2 +2x + 1 = 0


1. x2 +2x + 1 = 0

2. 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

3. a=1 , b=2 , c=1

4. 𝑥 =−(2)±√(2)2−4(1)(1)

2(1)

5. 𝑥 =−2±√4−4

2

6. 𝑥 =−2±√0

2

7. x =−2

2

8. x1= −1 ᶺ x2= -1

Dato




general.


Def de resta.

Simplificación.

Dos raíces iguales – reales.

164

3) Resolver: x2 -4x -12 = 0


1. x2 -5x -10 = 0

2. 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

3. a=1 , b= -4 , c= -12

4. 𝑥 =−(−4)±√(−4)2−4(1)(−12)

2(1)

5. 𝑥 =4±√16+48

2

6. 𝑥 =4±√64

2

7. x1 =4+8

2 ᶺ x2=

4−8

2

8. x1 = 6 ᶺ x2=−2

Dato




general.


Def de suma.


Def de suma.

Dos raíces diferentes – reales.

165

3.4.Ejercicios Propuestos.

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas encontrando sus raíces si es posible.

1) x2 = 3x2 -98

2) x2 +3 =39

3) (x+1)2 =81

4) 8x2 +16x=0

5) 3- 2x2 = -5

6) 4x2 -x -3=0

7) 2x2 +3x -2 =0

8) 4x2 -15x -25 =0

9) 3x2 -11x -4 =0

10) 2x2 +x -2 =0

11) x2 -12x – 14=0

12) x2 +x -72 =0

13) x2 -4x -96 =0

14) Plantear una ecuación cuadrática con: única solución, dos soluciones y sin

solución en los reales.

166

4. BIBLIOGRAFÍA

• Ministerio de Educación (2016). Matemática décimo EGB TEXTO DEL

ESTUDIANTE, Quito, Ecuador, Editorial Don Bosco

• Santillana Ecuador, Matemática 10 EGB, Santillana S.A. 2016

• Bastidas, R Paco 2017. Matemática Básica, Quito, Ecuador

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE … · 2018-05-21 · ejemplo a seguir, todos ellos que me dieron fortaleza en momentos de flaqueza, como