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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior I:Tema 7
Rafael Salas diciembre de 2004
Extensiones del modelo básico...
• Problemas de agregación• restricciones en la estructura de preferencias para la
consistencia sobre consumidores• Modelización de problemas económicos específicos
• oferta de trabajo• ahorro
• Nuevos conceptos• incertidumbre
• La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante
Esquema...
Modelización de la incertidumbre
Axiomas
Utilidad esperada
Consumo: incertidumbre
Prima de riesgo
Incertidumbre
• Nuevos conceptos• Nuevos axiomas sobre el consumidor• Nuevas restricciones sobre la estructura
de las functiones de utilidad
Conceptos
• Estados de la naturaleza
Ejemplo
Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={Rep, Dem}
o quizás como:
={Rep, Dem, Ind}
Ejemplo
Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={Rep, Dem}
o quizás como:
={Rep, Dem, Ind}
• probabilidades p{p: p}
• consumo contingente {x: }
Un vector de consumo sobre el espacio
Un vector de consumo sobre el espacio
• ex ante antes de la realización
• ex post después de la realización
Otro ejemplo
Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={sol, lluvia}
o quizás como:
={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}
Otro ejemplo
Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como:
={sol, lluvia}
o quizás como:
={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}
Distinción ex-ante/ex-post
tiempo
Momento en el que se revela el estado de la naturaleza
Momento en el que se revela el estado de la naturaleza
Las decisiones se realizan aquí
Las decisiones se realizan aquí
La visión ex-anteLa visión ex-post
En el “momento de la verdad”
La línea del tiempo
Abanico de estados posibles
Abanico de estados posibles
Sólo un estado se realiza
Sólo un estado se realiza
Un enfoque simplificado...
• El espacio de estados es finito• Se simplifica si los planes de consumos son
escalares• El consumo en el estado es x(un número real:
consumos o resultados que se obtienen en el estado )
• Un caso especial:• Tomamos el número de estados=2 = {ROJO,AZUL}
• Representación gráfica...
Espacio de los estados: #
xAZUL
xROJOO
El espacio de consumo bajo incertidumbre: 2 estados
Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados
Y0 r
esu
ltado
si
AZ
UL
oc
urr
e
resultado si ROJO ocurre
45°
Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados
Consu
mos
con
certi
dumbre
per
fecta
¿Qué podemos decir sobre las preferencias?
• Hemos expandido el espacio de bienes• Son bienes contingentes al “estado”:
• Estados finitos• Si hay un número N de estados posibles entonces...• ...en vez de n bienes tenemos n N bienes
• La teoría del consumo se puede aplicar automáticamente
• Axiomas estandar sobre las preferencias apropiados son necesarios
• Pero requieren una reintrepretaciónveamosveamos
Axiomas sobre preferencias
• Completitud• Transitividad• Continuidad• Monotonía• Dominancia estocásica• Convexidad (estricta)• Diferenciabilidad • Independencia
Para asegurar la existencia de curvas de indiferencias y la función de utilidad
Para dar forma a las curvas de indiferencia y a la función de utilidad
Preferencias
• y sus probabilidades p
• consumo contingente {x: }
Se establecen sobre:
Si entonces se establecen sobre:
(x1,x2;p1,p2)
En lo que sigue xes un número real: es como si fuera una elección sobre loterías
Completitud
pp’
xx’:
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).
Entonces
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1’,p2’).
Entonces:
• (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)
• ó (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)
• ó (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)
Transitividad
pp’ p’’
xx’x’’:
Dados (x1,x2;p1,p2), (x1’,x2’;p1’,p2’) y (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’).
• si (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1’,p2’)
• y (x1’,x2’;p1’,p2’) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)
• Entonces: (x1,x2;p1,p2) (x1’’,x2’’;p1’’,p2’’)
Continuidad: implicaciones
xAZUL
xROJOO
Preferencias no cotínuas
Y0
Imponemos continuidad
huecoshuecosno huecos
no huecos
Un plan de consumo contingente Y0
E
Buscamos el punto E dada la continuidadLa renta se conoce como el equivalente de certeza de Y0
Monotonía (débil)
p
xx’:
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2).Con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces:
• (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)
Monotonía
xAZUL
xROJOO
El plan de consumo contingente Y1 es preferido a Y0
Y1
Y0
Monotonía (estricta)
p
xx’:
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1’,x2’;p1,p2).Con x1> x1’ y x2 x2’ . Entonces:
• (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)
Dominancia estocástica
pp’
x:
Dados cualesquiera (x1,x2;p1,p2) y (x1,x2;p1’,p2’) .Si x1>x2 y si p1’>p1 y p2’ p2 . Entonces:
• (x1,x2;p1’,p2’) (x1,x2;p1,p2)
Dominancia estocástica: ejemplo
• (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)
Convexidad (estricta)
p
xx’:
Dados dos arbitrarios (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2).
Para todo (x1’’, x2’’) =(t x1+(1-t) x1’, t x2+(1-t) x2’)
• (x1’’,x2’’;p1,p2) (x1,x2;p1,p2) (x1’,x2’;p1,p2)
t
Convexidad
xAZUL
xROJOO
Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y0 yY1
Y0
Y1
Puntos en el interior de la línea Y0Y1 como Y2 representa una combinación de Y0 y Y1
Y2 representa un menor riesgo
Si U es estrictamene cuasicóncava Y2 es preferido estrictamente a Y0
Y2
Independencia
p
x:
La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas sobre los resultados últimos.
Dada una lotería L= (x1, L’;p1,p2),
donde L’= (x1,x2;p1’,p2’). Entonces:
(x1, L’;p1,p2) (x1,x2; p1+p2p1’, p2p2’).
Independencia: ejemplo
• Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5)
• Es indiferente a (100,50;0.75,0.25)
• Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades
Un resultado clave
• Dados los axiomas anteriores:
• ...las preferencias tienen que pertenecer a la clase de la utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern:
UE(x p pux
• donde u(xes una función cuasi-cóncava, independiente del estado
• Herstein y Milnorm (1953), Econometrica
Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM
xAZUL
xROJOO
¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º?
Una típica C.I.
Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º
pROJO– _____
pAZUL
pROJO– _____
pAZUL
Implicaciones de la función de utilidad
esperada de vNM(2)
xAZUL
xROJOO
pROJO– _____
pAZUL
pROJO– _____
pAZUL
Dado un consumo contingente
Ex
Resultado (renta) media
Y0
Y1
Y
Prolongamos la línea desde Y0 a Y hasta Y1
Por convexidad de
las preferencias:
UE(Y) UE(Y0)
un resultado útil
un resultado útil
Ex
x(AZUL)
x(ROJO)
A
M
-p(ROJ)
p(AZUL)
E
PR= Ex - la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar
el riesgo
PR= Ex - la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar
el riesgo
La prima de riesgo... De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A...
La pendiente es el ratio de probabilidades
Y corta a la diagonal en...
...la renta media
Nos sirve para definir...
La prima de riesgo
u
u(x)
x1
xx2
u( x1 )
u(x2)
Ex
u(Ex)
Eu(x )
la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo
la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo
La prima de riesgo de nuevo dada la utilidad de dos resultados posibles
El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo
La prima de riesgo depende de...
• La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x1 y x2, dado p
• Una aproximación de PR:
2)('')(' 2
xuxu
PR
• El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión al riesgo
Práctica:
(1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01.(a) Si las preferencias están representadas por la función de urilidad esperada u(x)=x1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 300.000 u.m.?
(b) Suponiendo que el riesgo del incendio es el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?
Práctica:
(2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?
Práctica:
(3) El propietario de un comercio valorado en 64 millones de ptas. Se enfrenta a la probabilidad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya totalmente el local. Las preferencias del individuo vienen dadas por la función de utilidad U(X)=X1/2, donde X es la riqueza al final del año.
(a)Calcula la utilidad esperada del individuo y el equivalente de certeza. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones de ptas.? ¿Y por 63 millones?(b)Una compañía de seguros ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo a una cuota de 1 millón de ptas. ¿Aceptaría la oferta?(c)Considera ahora que el individuo dispone, además del comercio, de 1 millón de ptas. en efectivo. Una empresa le ofrece un equipo de prevención de incendios que reduciría al 0,5% la probabilidad del incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar 50.000 ptas. por el alquiler. ¿Cuál es la cantidad máxima que el individuo está dispuesto a pagar por el alquiler de dicho equipo?
Práctica:
(4) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de 200.000 ptas. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de 500.000 ptas.
(a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores.
(b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión.
(c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?
Práctica:
(5) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3.
(a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable?(b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior I:Tema 7
Rafael Salas diciembre de 2004