UNIVERSIDAD DE ALCALÁ - edumo.netedumo.net/wp/wp-content/uploads/2016/03/PFCEduardoMoriana_V.B… · Fotos tomadas con distintos parámetros 50 Conclusiones 54 Prueba 3, Realidad

UNIVERSIDAD DE ALCALÁ

Escuela Politécnica Superior

Ingeniería Informática

Trabajo Fin de Carrera

Simulación y Visualización del modelo GrayScott en soportes tangibles.

Una aproximación artística.

Autor: Eduardo Moriana Delgado Director: Elena García Barriocanal

PFC Ingeniería Informática 2015 Universidad de Alcalá de Henares

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Dedicado A todos los que han compartido su conocimiento

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Agradecimientos A mi Familia A Susana

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Índice

Dedicado 5 Agradecimientos 5

Índice 7 Resumen 9 Palabras clave 9 Introducción 11 Objetivos y Aportaciones 12

Otra forma de crear y percibir obra pictórica 12 Realidad aumentada espacial con contenido generado a partir del soporte 12

Campo de aplicación 12 Metodología y Planificación 13

Resultado 14 Estado del arte 15

Reacción difusión 15 Realidad aumentada espacial 17

Características 21 Simulación Gray-Scott 21

Mecanismo de las ecuaciones 21 Implementación 24

Adquisición de datos 25 Visualización 26 Planteamiento de Pruebas 26

Soluciones, descripción Funcional 27 Adquisición de datos 27 Simulación 28

Tiempo Real 28

Aparapi 29 Alimentación del modelo 29 Visualización 30

Construcción, Descripción técnica 31 Simulación 31

Renderizado 33

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Ejecución de Pruebas 35

Prueba 0 Funcionamiento de la simulación 35 Ondas viajeras, (Travelling waves) 37 Solitons 37 Moving solitons 38 Pulsating Solitons 38 Self organized Fingerprints 39 Moving Spots 39 Conclusiones 40

Prueba 1, Variación espacial de los parámetros 41 Resultados Gráficos 42 Conclusiones 48

Prueba 2, Obra pictórica 49 Descripción del soporte 49 Fotos tomadas con distintos parámetros 50 Conclusiones 54

Prueba 3, Realidad aumentada espacial + Iluminación sintética 55 Descripción del montaje 56 Fotos tomadas con distintos parámetros 57

Conclusiones 61

Conclusiones 63

Trabajos futuros 65 Índice de figuras 67 Índice de diagramas 69 Bibliografía 71 Anexo 1 Pliego de condiciones 73 Anexo 2 Presupuesto 75

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Resumen El objetivo de este proyecto es construir una herramienta que permita experimentar la

simulación y visualización del modelo GrayScott a partir de soportes tangibles y, más

concretamente, en piezas artísticas. Para la simulación es necesario obtener datos de la

pieza, los cuales posibiliten modificar los parámetros del modelo manteniendo una relación

espacial, estando así los patrones obtenidos integrados con la pieza. Para la visualización

se van a utilizar técnicas de realidad aumentada espacial.

El resultado del proyecto será la documentación de una serie de pruebas realizadas sobre

diversas piezas artísticas.

Palabras clave Gray Scott Reacción Difusión Realidad Aumentada Espacial Arte Computación

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Introducción El arte computacional es la expresión artística donde la tecnología electrónica ha sido

herramienta imprescindible en la producción artística y/o vehículo necesario para la

percepción de la pieza en sí. A mediados del siglo XX surgen los primeros usos de

dispositivos mecánicos, así como “ordenadores analógicos" en la creación de piezas

artísticas. Por ejemplo, ‘Oscillon 40’, creado por Ben Laposky en 1952, consistente en un

osciloscopio manipulado, en donde los patrones que formaban las ondas se muestran sobre

una pantalla fluorescente. Otro ejemplo es ‘Drawing machine’, creado por Desmond Paul

Henry, estudiante de filosofía en la Universidad de Manchester, el cual a través de

computadoras analógicas de cálculos de balística de la IIGM desarrolló experimentos con

efectos visuales sintéticos, ejemplos hallados en Computer Graphics, de Herbert W. Franke.

Imagen Oscillon Imagen Drawing Machine

Por otro lado tenemos el concepto de computación creativa, que puede entenderse como un

subconjunto del arte computacional, en cuyo caso, la diferencia se encuentra en la

cooperación necesaria del algoritmo o mecanismo diseñado en la creación de la pieza, más

lejos del uso de una herramienta y más cerca de la creación de elementos con capacidades

creadoras.

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Objetivos y Aportaciones

El objetivo de este proyecto es experimentar la simulación y visualización del modelo

GrayScott a partir de diversas piezas artísticas. Para la simulación es necesario obtener 1

datos de la pieza que permitan modificar los parámetros del modelo, de este modo los

patrones obtenidos deberían estar integrados con la pieza, pues se crearían a partir de

ciertas propiedades de ésta. Con la información obtenida de la simulación, se va a proponer

un método de visualización basado en realidad aumentada espacial, que nos permite

visualizar el modelo sobre el mismo espacio que lo modifica, sin necesidad de uso de

dispositivos extra por cada observador.

Otra forma de crear y percibir obra pictórica

Las investigaciones halladas en el proceso de documentación en relación a la proyección de

imágenes sobre obra pictórica, desarrollan el objetivo de añadir más información al soporte

artístico que se está observando, como la señalización de zonas de interés, información del

autor, técnica de creación, … . Este proyecto de un modo abstracto explora ciertas

posibilidades de creación que logran modificar la experiencia clásica que tiene el

observador de una pieza de arte pictórica.

Realidad aumentada espacial con contenido generado a partir del soporte

Las técnicas más modernas utilizadas en el desarrollo de este proyecto hace décadas que

se empezaron a utilizar, pero se estima conveniente señalar el concepto más singular que

podría derivarse de este proyecto, y está en la fusión de la realidad aumentada espacial y la

creación del contenido a proyectar de un modo autogenerado.

Campo de aplicación

El objetivo de este proyecto de final de carrera es artístico y/o estético. En él se parte del

conocimiento de distintas ramas de la ciencia para generar una experiencia visual sintética.

1 Desarrollado en la sección de reacción difusión.

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Es por ello, que sus campos de aplicación pueden hallarse en la decoración de espacios, la

creación de piezas artísticas o publicidad.

Alguna de las técnicas utilizadas están basadas en la realidad aumentada, visualización de

datos o simulaciones físicas, campos en los que ésta forma de visualización de datos en el

propio soporte que las modifica, podría ser una técnica a explorar para la comprensión de

grandes volúmenes de datos o procesos físicos complejos en diferentes tipos de

estructuras.

Metodología y Planificación

Debido al carácter experimental de este proyecto se estima conveniente el uso de una

metodología iterativa incremental unida a un “divide y vencerás” de los distintos problemas.

Vamos primeramente a señalar las tareas, se espera ir realizando iterativas sucesiones

sobre cada una hasta completarlas con éxito.

Investigación

Documentación

Implementación de Simulación

Modificación de simulación

Pruebas de relación de parámetros

Realidad Aumentada Espacial

Iluminación sintética

Integración simulación Realidad Aumentada Espacial

Integración de iluminación

Pruebas de integración

Escritura de la memoria del trabajo

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Diagrama de gantt

Resultado

El resultado del proyecto será una herramienta que permita realizar experimentos visuales

en piezas artísticas. La herramienta ha de crear una propuesta funcional, que resolverá

distintos aspectos necesarios para completar los retos que se plantean y que se enumeran

a continuación:

Sistema de adquisición de datos de la pieza.

Propuesta de relación de los parámetros del modelo con la información adquirida.

Implementación en OPENCL / GLSL OPENGL.

Propuesta de visualización de los patrones obtenidos con video proyección.

Sistema de calibración para realidad aumentada espacial.

Experimentación en piezas artísticas.

Análisis de resultados y propuesta de futuras líneas de investigación.

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Estado del arte Los patrones reconocibles en la naturaleza han sido objeto de estudio e imitación en todas

las civilizaciones a lo largo de la historia, quizás debido a la atracción natural creada en el

devenir de la evolución, pues es el entorno que nos acoge. De algún modo, podemos

disfrutar embriagados de las decisiones estéticas que la morfogénesis, el proceso biológico

que lleva a un organismo desarrollar su forma, ha creado para nuestro uso y disfrute. Las

tormentas tropicales en forma de espiral, las rayas de las cebras, las manchas hexagonales

de los leopardos, la distribución de flora en una pendiente, huellas dactilares o incluso la

división celular, nos indican que existen procesos microscópicos que dan lugar a una u otra

solución.

Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable

como la suma de los comportamientos de sus descriptores, antes del S. XX se creían

actores secundarios de los procesos naturales, incluso apuntadores que simplemente

ayudaban a los actores protagonistas, los sistemas lineales, a obtener los cálculos que

controlan los procesos naturales, donde el resultado es la suma de las partes. Pero Henri

Poincaré (18541912) señaló que los procesos no lineales debían ser responsables

primeros en procesos naturales y, a su vez, también advirtió que estos sistemas, tenían una

sensibilidad extremadamente notable en los resultados futuros a pequeñas variaciones de

las condiciones iniciales, por extraño que parezca, tratándose de sistemas deterministas.

Hendrik Antoon lorentz (18531928) fue el responsable de mostrarnos un ejemplo

simplificado de un sistema dinámico caótico en el desarrollo de la formación de las

convenciones en la atmósfera. Desde entonces la teoría del caos se ha erigido como una

rama del conocimiento en campos como las matemáticas, la física o la ecología.

Reacción difusión La reacción difusión define un modelo donde se calcula la concentración de una o más

sustancias en espacios ndimensionales en base a dos procesos, reacciones, que

provocan que unas sustancias se conviertan en otras, y difusión, que provoca que se

expandan en el espacio. Los sistemas de reaccióndifusión tienen la forma de ecuaciones

parabólicas en derivadas parciales y pueden representarse bajo la siguiente forma general:

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Como ejemplos más sencillos en una dimensión tenemos por un lado la ecuación de Fisher,

que describe la expansión de poblaciones biológicas para R(u) = u(1u), por otro, la

ecuación de la propagación del calor cuando sustituimos por cero la componente R.

En dos dimensiones los patrones que surgen son mucho más variados que en una

dimensión, el modelo GrayScott ha sido ampliamente estudiado, así como otros procesos

de ReacciónDifusión desde que Alan Turing señaló en la publicación de 1952 ‘The

chemical basis of morphogenesis’ una característica importante de estos procesos: si en un

sistema estable añadimos la difusión, este puede volverse inestable y ofrecer morfogénesis.

Imagen Retrato de Alan Turing con GrayScott

El uso de técnicas de realidad aumentada espacial donde los contenidos visuales se

adaptan a las formas de los soportes de proyección, y su integración con procesos de

simulación, pueden ofrecer posibilidades de experimentación en arte y ciencias, cómo se

desarrolla en el apartado correspondiente. Al plantearse desde la perspectiva de los

modelos de reacción difusión, donde vamos a alterar los parámetros de las ecuaciones en

base a las propiedades del soporte en cada área del espacio que simulamos. se espera

poder ver y llegar a modificar en tiempo real los procesos que están sucediendo en el

mismo espacio que se percibe.

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Imagen de Patrones Naturales

En la propuesta del modelo GrayScott para dos dimensiones, encontramos la aparición de

una gran variedad de patrones complejos que podemos reconocer en la naturaleza, como

división celular, ondas viajeras, espiral rotante o patrones auto organizados de huella, entre

otros.

Realidad aumentada espacial Realidad aumentada, es el término que se usa para definir el añadido de información

perceptiva a través de un dispositivo tecnológico directa o indirectamente, en un entorno

físico del mundo real, cuyos elementos se combinan con elementos virtuales para la

creación de una realidad mixta en tiempo real. Existe una subcategoría denominada

realidad aumentada espacial o también llamado videomapping, donde en base al uso de

proyectores digitales se permite mostrar información gráfica sobre los objetos físicos, la

principal ventaja de este método de creación de realidad aumentada, está en que no es

necesario el uso de una pantalla por cada usuario, ni tampoco dispositivos que permitan

visualizar los contenidos que deban ser portados por los observadores. Raskar, Ramesh, et

al. “Shader lamps: Animating real objects with imagebased illumination.”

La primera pieza con una proyección sobre una superficie irregular data del año 1969, y fue

utilizada en la ‘Mansión Encantada’ de DisneyWorld. Esta atracción consta de un gran

número de interesantes ilusiones ópticas, entre las que encontramos los ‘5 bustos

cantantes’ ‘Grim Grinning Ghosts‘, donde tenemos un video y audio con caras de 5

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cantantes que se proyectan sobre los bustos, creando una ilusión de movimiento. Bimber,

Oliver, Ramesh Raskar, and Masahiko Inami. Spatial augmented reality.

Imagen de ‘Grim Grinning Ghosts‘

En los primeros años del siglo XXI, el uso de estas técnicas ha tenido cierta difusión en la

creación de espectáculos o piezas artísticas, o también como herramienta para la creación

de escenografías en teatro, conciertos y televisión. En el ‘mapping monumental’ donde se

utilizan proyectores de alta potencia para crear experiencias aumentadas sobre espacios

arquitectónicos como catedrales, puentes, etc., tenemos que los contentenidos

audiovisuales son preproducidos, es decir no se calculan en tiempo real, siendo un video

que se adapta a la superficie y se da al play. Esta técnica es óptima cuando se quieren

crear efectos de iluminación hiperrealistas o cálculos cinéticos de millones de partículas,

pues las herramientas a utilizar son las mismas que se utilizan para la postproducción de

efectos especiales cinematográficos, donde el renderizado no es viable realizarlo en tiempo

real sin unos costes disparatados.

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http://en.wikipedia.org/wiki/Grim_Grinning_Ghosts


Imagen de Mapping monumental con simulación de rotura de paredes

Imagen Klaus Obermaier, APPARITION

De forma más concreta y con el acceso a una nueva técnica de creación, los artistas han

explotado este vehículo de expresión en la creación de sus piezas. Parte de la inspiración

para la creación de este proyecto, está en la documentación publicada por Robert Munafo's

en relación al modelo GrayScott, donde a parte de contener información de los distintos

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patrones que nos ofrece la simulación, desarrolló un salvapantallas que hacía uso de la

cámara del ordenador, transformando la información de cada pixel para en los parámetros

del modelo.

Imagen de ANTICOnforme exhibition, Rabarama

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Características

Para poder llevar a cabo el proyecto, se han de resolver distintos problemas, a continuación

se van a describir las características de cada uno de ellos.

Imagen Diagrama General

Simulación Gray-Scott Como ya se ha explicado, disponemos de dos elementos químicos genéricos que vamos a

denominar U y V, cuya concentración en un punto dado en el espacio vamos a definirlo por

las variables u y v. Tenemos que los compuestos van a reaccionar y difundirse a través del

espacio, por lo tanto, la concentración de U y V en cualquier lugar cambia con el tiempo, y

puede diferir de la que existe en otros lugares . A continuación se va a desarrollar el

mecanismo de las ecuaciones, para luego describir los pormenores de la implementación.

Mecanismo de las ecuaciones

El comportamiento global del sistema se describe por la siguiente fórmula, dos ecuaciones

que describen fuentes de aumento y disminución para cada uno de los dos productos

químicos, con dos reacciones que se producen a diferentes velocidades a lo largo del

espacio:

U + 2V → 3V

V → P

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Según la publicación, ‘Reactiondiffusion model as a framework for understanding biological

pattern formation’ definimos P como un producto inerte o vacío y se asume por simplicidad

que las reacciones inversas no se van a producir (esto es una simplificación útil cuando un

suministro constante de reactivos impide la consecución del equilibrio). Debido a que V

aparece en ambos lados de la primera reacción, actúa como un catalizador para su propia

producción.

A continuación se van a desarrollar los mecanismos de la fórmula anterior, teniendo u = [U]

como la concentración de U, y v = [V] la concentración de V. En casos generales de

simulación podríamos considerar Du, Dv, F y K constantes, pero en el caso que atañe a

este proyecto, algunos de los parámetros van a ser calculados a partir de información del

medio en ese lugar del espacio.

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Distribución de los patrones GrayScott para f, k.

La primera ecuación va a indicar la rapidez con la que u aumenta. Hay tres términos, el

primer término, Du∇2u, es el término difusión, en él se especifica que u aumentará en

proporción al Laplaciano (una especie de segunda derivada multidimensional en la

cantidad de variación local del gradiente) de U. Cuando la cantidad de U es mayor en las

zonas vecinas, u aumentará pero ∇2u será negativo, cuando las regiones circundantes

tengan concentraciones más bajas de U. En tales casos el término de difusión es negativo

y u disminuye. Si calculamos una ecuación para u con sólo el primer término, tendríamos

∂u / ∂t = Du∇2u, que es un sistema de difusión única equivalente a la ecuación del

calor.

El segundo término es uv2 y determina la velocidad de reacción. La primera reacción

mostrada se lleva a cabo a una velocidad proporcional a la concentración de U veces el

cuadrado de la concentración de V. También el aumento de v es igual a la disminución de u

(como se muestra por UV2 positivo en la segunda ecuación). No hay un comportamiento

constante sobre las condiciones de reacción, pero la fuerza relativa de los otros términos se

puede ajustar a través de las constantes Du, DV, F y K.

El tercer término, F (1u), es el término reposición. Dado que la reacción consume U y

genera V, la cantidad del elemento químico U puede llegar a cero a menos que haya una

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manera de reponerlo. El término reposición dice que u se incrementará a una velocidad

proporcional a la diferencia entre su nivel actual y 1. Como resultado, incluso si los otros dos

términos no tuvieron efecto, 1 sería el valor máximo de u. La constante de F es la velocidad

de alimentación y representa la tasa de reposición o alimentación.

La única diferencia significativa en la segunda ecuación está en su tercer elemento. El

tercer término es el término de consumo del elemento, sin el término de disminución, la

concentración de V podría aumentar sin límite. En la práctica V podría permitir que se

acumule durante más tiempo sin interferir con la producción adicional de V, pero se difunde

fuera del sistema. La velocidad de disminución es proporcional a la concentración de V en el

momento actual, y también a la suma de dos constantes F y K.

No hay nada en las ecuaciones que limite la existencia del sistema en un espacio de dos

dimensiones (como una placa de Petri) o en tres dimensiones ( crecimiento del coral ), o

incluso algún otro número de dimensiones. De hecho, cualquier número de dimensiones es

posible, y el comportamiento resultante es bastante similar. La única diferencia significativa

es que cuantas más dimensiones, más direcciones de difusión son posibles, y el primer

término de la ecuación se vuelve relativamente más fuerte.

Implementación Necesitamos un componente software que permita realizar los cálculos del modelo

GrayScott bajo ciertos requerimientos. Es necesario que el sistema sea capaz de generar

los resultados con un ratio mínimo de 25 simulaciones por segundo, permitiendo de este

modo generar una animación continua y fluida al ojo humano. Debido a la cantidad de datos

a calcular si, por ejemplo, se realizan las simulaciones en una matriz de 1024 x 768 (19.6

millones de operaciones por segundo) se apunta el análisis de soluciones de computación

paralela ejecutada en la GPU con OPENCL o basada en GLSL.

En lo relativo a la simulación un punto a destacar, es la realización de modificaciones en los

parámetros del modelo en base a información del propio soporte, por lo tanto se necesita un

conjunto de datos ordenados de la pieza elegida, como podŕia ser una imagen a color, que

permitirán calcular el valor para cada uno de los parámetros y para cada discretización del

espacio.

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A partir de la información obtenida del soporte, se ha de definir un método para la

adaptación y/o transformación a los parámetros de la simulación, ‘F’, ‘K’, ‘Du’ y ‘Dv’. Por

supuesto esta entrada de datos obtenidos a partir de información real de la pieza, han de

fomentar que los patrones creados se puedan integrar visualmente con el propio soporte.

Adquisición de datos Las simulaciones a realizar, se van a calcular a partir de la información obtenida del propio

objeto, donde se van a proyectar los resultados de la simulación. La información a obtener,

en este caso de una pieza artística, puede ser de distintas naturalezas, color, profundidad,

materiales, temperatura, … . Por lo tanto se ha de definir un proceso de adquisición de los

datos de la pieza, así como qué tipos de datos se van a utilizar. Se apunta que, debido al

uso de proyectores digitales que proyectan luz visible, el tipo de información que se extraiga

podría ser algún tipo de información que también se vea, para facilitar una comprensión

natural entre los resultados del modelo y la realidad espacial creada. Se apuntan como

información a analizar en primera instancia la colorimetría o la forma.

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Visualización La visualización va a estar basada en técnicas de realidad aumentada espacial, que

consiste en la proyección de imágenes adaptadas a soportes irregulares. Por lo tanto, el

prototipo a construir ha de añadir alguna solución para la adaptación de las imágenes

proyectadas en el propio soporte.

Otro aspecto a solventar es cómo se pretende integrar el resultado obtenido en la

simulación con el propio soporte. La salida del modelo GrayScott es la cantidad de

concentración de dos reactivos en el espacio dado, es decir, para cada pixel tenemos dos

valores. A partir de estos datos se quiere crear alguna solución, que permita integrar en

color y forma con el soporte, e incluso crear una iluminación simulada a partir de la

iluminación real del entorno.

Para poder mostrar la imagen en un frame de una aplicación se va a necesitar desarrollar

una pieza de software basada en alguna tecnología como DirectX u OPENGL, que ofrezca

la visualización de los contenidos así como un GUI que permita configurar y utilizar la

herramienta.

Planteamiento de Pruebas

Debido a la naturaleza experimental de este PFC, se va a plantear un experimento que

permita llevar a cabo la obtención de conclusiones de las soluciones propuestas para cada

una de las partes en un marco simplificado.

Las pruebas se deberían realizar sobre soportes reales y sintéticos que añadan la máxima

simplificación en el proceso de pruebas, tanto en la adquisición de datos, simulación,

visualización y verificación de los resultados.

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Soluciones, descripción Funcional

Como herramienta base para la creación de las piezas de software necesarias, se ha

elegido Processing ( processing.org ), un lenguaje de programación y entorno de desarrollo

integrado de código abierto basado en Java, de fácil utilización, y que sirve como medio

para la enseñanza y producción de proyectos multimedia e interactivos de diseño digital.

Fue iniciado por Ben Fry y Casey Reas a partir de reflexiones en el Aesthetics and

Computation Group del MIT Media Lab dirigido por John Maeda. Aunque ofrece un entorno

de desarrollo integrado, se hará uso del IDE Eclipse por sus capacidades avanzadas en el

manejo de tecnologías Java.

Adquisición de datos

Como se ha desarrollado en la descripción de los problemas a solventar, primeramente se

debe elegir el tipo de información que se va a utilizar para la alimentación de los parámetros

de la simulación. Debido a que el objetivo concreto de este proyecto tiene fines estéticos,

entre las dos posibilidades que se han barajado, usar colorimetría o la forma del soporte, se

ha elegido el uso de la colorimetría, con miras de poder explorar iluminación integrada con

los colores de las piezas, así como el acceso más limitado a la obtención de información del

volumen de la pieza, pues se necesitaría algún tipo de escáner 3D.

A la hora de tomar imágenes de las piezas, hay que tener en cuenta la perspectiva desde la

que se realiza la fotografía y la geometría de la lente de la cámara así como la del

proyector. Como el objetivo es proyectar esta misma imagen modificada por el modelo

GrayScott, la perspectiva ideal ha de ser la misma que tenga el proyector digital que

muestre el resultado. El objetivo de buscar ésta similitud es facilitar el proceso de

adaptación del resultado visual al propio soporte, que va a ser mediante técnicas de

corrección trapezoidal. Cabe destacar que las correcciones de perspectivas utilizadas a la

hora de la calibración de la proyección, son capaces de asumir grandes variaciones entre

las posiciones del proyector y la perspectiva en la adquisición de los datos, pero cuanto más

difieren, más pérdidas en la resolución y luminosidad de las piezas.

27

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_de_desarrollo_integrado

http://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_de_desarrollo_integrado

http://es.wikipedia.org/wiki/Software_de_c%C3%B3digo_abierto

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n_Java

http://es.wikipedia.org/wiki/Multimedia

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ben_Fry&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Casey_Reas&action=edit&redlink=1

http://acg.media.mit.edu/

http://acg.media.mit.edu/

http://es.wikipedia.org/wiki/John_Maeda


Simulación

Los procesos de reacción difusión están definidos por ecuaciones parabólicas diferenciales,

y para el modelo GrayScott en un espacio bidimensional, se han desarrollado los

mecanismos matemáticos que controlan los procesos. El objetivo a cumplir en la simulación

es realizar los cálculos en tiempo real y en base a la información adquirida del soporte. A

continuación se indican las soluciones elegidas.

Tiempo Real

Para la primera parte se han realizado pruebas con lenguajes que permiten acceder a la

computación paralela ofrecida por la GPU. Existen dos formas de acceder, una es mediante

OPENCL, una solución software que permite crear aplicaciones con paralelismo a nivel de

datos, con una filosofía de uso para cálculo general. Por otro lado está GLSL, un lenguaje

utilizado para la creación de shaders, elementos software en OPENGL que únicamente

permiten realizar cálculos de rasterización de texturas y polígonos.

Los cálculos de la simulación tienen una característica en común con el famoso “Game of

Life” donde la existencia de vida en cada pixel, se calcula en base a las propiedades de los

píxeles del entorno. De igual modo el modelo GrayScott calcula la concentración de una

sustancia en función de las propiedades de sus 4 vecinos (norte, sur, este, oeste). Una vez

se ha calculado el resultado para cada pixel, se puede volver a calcular el siguiente

resultado. Por lo tanto, en el algoritmo va a ser necesario el uso de algún patrón que nos

permita manejar dos estructuras de datos, una con el estado anterior del sistema, y otra

donde se van guardando los nuevos resultados. La dificultad en describir las ecuaciones

programáticamente será baja, debido a la facilidad intrínseca en la conversión de este tipo

de ecuaciones en algoritmos.

Para poder utilizar la imagen tomada en los cálculos de la simulación, donde tenemos una

imagen donde cada pixel se compone de una tupla de 3 elementos, RGB, Red (rojo),

Green, ( verde ), Blue ( azul ), es necesario realizar una transformación de estos datos en

los parámetros del modelo. Para realizar el prototipo se van a probar con las

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transformaciones más sencillas donde cada parámetro va a aumentar a partir de la

componente de cada color aplicando un factor de multiplicación.

Aparapi

Es una librería desarrollada por ATI que facilita la creación de programas en Java que se

ejecuten en la GPU, convirtiendo código java a kernels OPENCL de forma casi

transparente. La principal desventaja está en que no es sencilla la compartición de datos en

la memoria de la GPU, entre el subsistema que realiza la simulación y el subsistema de

visualización. Aún así se ha tomado como herramienta para la realización de los cálculos de

la simulación pues se estima que el rendimiento será suficiente, en caso de no serlo, se

analizarán otras soluciones.

Alimentación del modelo

El sistema de simulación debe permitir realizar cambios en tiempo real, de los cálculos de

transformación a partir de la imagen. Como primera aproximación se propone realizar una

transformación geométrica de cada dimensión del color en cada parámetro. Para poder

llevar a cabo pruebas, el factor de multiplicación de cada color se va poder modificar, con el

objetivo de facilitar la búsqueda de diferentes patrones.

Visualización

La simulación da como resultado la concentración de dos elementos en el espacio, y es

necesario determinar cómo se van a convertir en una textura RGB, que finalmente se

proyectará sobre el soporte.

En la simulación, la salida debe ser un conjunto ordenado de bytes con los valores de u y v.

A partir de este array, se va a crear a una textura que se pueda renderizar en la aplicación.

Como ya se ha comentado todo el renderizado se va a llevar a cabo con Processing que a

su vez hace uso de OPENGL.

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Imagen con Diagrama de Módulos por Responsabilidades

Para la adaptación espacial al soporte, se va a utilizar una librería llamada Keystone, que

permite la proyección de vídeo en soportes irregulares, deformando las imágenes mediante

distorsión trapezoidal, que permite independizarse de la posición y orientación del proyector.

A partir de aquí será necesario el diseño y la creación de un GUI, que permita realizar todos

los procesos necesarios en el uso de la herramienta.

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Construcción, Descripción técnica

En base a las responsabilidades definidas, el sistema consta de una pieza software

independiente y desacoplada que calcula la simulación del modelo, basada en la librería

aparapi y en opencl. Por otro lado tenemos el renderizado en un frame de una aplicación

gráfica, de toda la información del modelo así como las herramientas necesarias para la

adaptación de la proyección al soporte.

Imagen con Diagrama de Bloques

Simulación

Como ya se ha desarrollado en puntos anteriores, la herramienta a utilizar, Aparapi, busca

diferenciarse de implementaciones similares como JOCL, JOpenCL (wrappers Java a

OpenCL), y JCUDA (wrapper Java a CUDA); implementaciones de uso complejo, que

simplemente permiten el acceso al modelo de programación en GPU. Aparapi trata de

realizar una implementación contraria y muy diferenciada de las existentes, realizando una

conversión prácticamente transparente y en tiempo real del código java, a código OpenCL,

lidiando con las posibles dificultades y peculiaridades, y desviando la carga al bloque de

ejecución estándar de Java (por CPU) cuando sea conveniente. De esta forma permite a los

desarrolladores de aplicaciones y plugins Java aprovechar el poder de cómputo de los

GPUs y APUs sin demasiadas complicaciones.

El proyecto Open Source Aparapi está disponible en la dirección

http://code.google.com/p/aparapi y funciona con cualquier GPU compatible con OpenCL.

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Imagen Diagrama Funcionamiento Aparapi

A continuación se añade la pieza de código que va a realizar los cálculos de la simulación y

Aparapi va a convertir en kernels OPENCL. En la descripción del funcionamiento de la

ecuación en puntos anteriores, se señaló que la codificación de ecuaciones diferenciales en

algoritmos no es un problema complejo.

uu como array con el estado anterior del elemento u en espacio bidimensional

vv como array con el estado anterior del elemento v en espacio bidimensional

currF como el parámetro Feed del modelo

currK como el parámetro Kill del modelo

Du como la fuerza de difusión

Dv como la fuerza de reacción

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float currU = uu[idx]; float currV = vv[idx]; float currF = getF(idx); float currK = getK(idx); float d2 = currU * currV * currV; float sumu = (uu[right] + uu[left] + uu[bottom] + uu[top]); float tempu = currU + t * ((dU * (sumu 4 * currU) d2) + currF * (1.0f currU)); tempu = max(0, tempu); float sumv = (vv[right] + vv[left] + vv[bottom] + vv[top]); float tempv = currV + t * ((dV * (sumv 4 * currV) + d2) currK * currV); tempv = max(0, tempv); u[idx] = tempu; v[idx] = tempv;

La entrada de datos por tanto son las matrices con las concentraciones de U en el estado

anterior, F y K como tasas de reposición y eliminación, y U y V como reacción difusión.

Renderizado

Los datos de salida de la simulación son dos matrices con la información de la

concentración de los elementos U y V en el espacio. Para poder visualizar esta información

del modo más sencillo simplemente vamos a transformar las concentraciones de los

reactivos en un valor de 0 a 255, resultando una imagen en blanco y negro que va a permitir

iluminar la pieza.

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Imagen con Diagrama de Dependencias en renderizado

El siguiente paso es portar esta imagen a OPENGL, donde el proceso se reduce a la

actualización de los pixels de la textura con los valores de la simulación. A partir de aquí y

mediante la librería Keystone, se va a crear una geometría con corrección de perspectiva

donde se dibuja la textura obtenida en la simulación. En la imagen que se añade a

continuación, se puede observar cómo el contenido a proyectar, en nuestro caso los

patrones de la simulación, se pueden relacionar con una estructura mallada, que permite

transformar en el espacio cada una de las cuatro esquinas por separado, pero siempre

manteniendo una relación de aspecto.

Imagen con Ejemplo de Corrección Trapezoidal

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Ejecución de Pruebas

A continuación se va a desarrollar cómo se van a realizar las pruebas de funcionamiento así

como los resultados esperados y su resultado real. Para empezar se va a probar la

implementación desarrollada para la simulación, probando si es posible obtener los

patrones más representativos de GrayScott sin variación de parámetros en el espacio.

Posteriormente se va a probar la modificación de la simulación en base a la colorimetría

como ya se ha explicado, y se va a utilizar un diagrama de color que ofrezca el espectro de

rgb en una imagen. Por último y una vez comprobado el funcionamiento correcto del

sistema se va a probar con la imagen de un cuadro.

En todas las imágenes tomadas de la simulación existe una forma en el centro, debido a un

aporte de elemento químico u forzada en ese espacio de la simulación, para permitir el

inicio de las reacciones químicas.

Prueba 0 Funcionamiento de la simulación

Para realizar una evaluación de la implementación de las ecuaciones de GrayScott llevada

a cabo, se espera obtener los patrones característicos en el modelo. En esta primera

prueba no se van a alterar los parámetros de la simulación, únicamente se va a probar

distintas configuraciones, basándose en las ecuaciones sin una variación de f, k, Du y Dv a

lo largo del espacio de simulación.

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Patrones Gray-Scott f(x) k(y)

Las imágenes que se ofrecen a continuación con los distintos patrones obtenidos, van a

denotar la concentración del químico U a lo largo del tiempo, en un rango variable desde 0 a

255, pues se va a utilizar un único byte para su almacenamiento. Por lo tanto las imágenes

se van a mostrar en blanco y negro sobre un fondo de contraste con el espacio rgb.

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Ondas viajeras, (Travelling waves)

Solitons

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Moving solitons

Pulsating Solitons

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Self organized Fingerprints

Moving Spots

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Conclusiones

Ha sido posible obtener los patrones característicos, Robert Munafo (2014). ‘Stable

localized moving patterns in the 2D GrayScott model’, por lo tanto se da por válida la

implementación realizada. El proceso de estabilización de la simulación puede ser un tanto

dilatado en el tiempo por lo que se señala como posible solución la implementación en

GLSL o el uso de técnicas de compartición de memoria en GPU con OPENCLOPENGL

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Prueba 1, Variación espacial de los parámetros

Para simplificar el análisis de los resultados así como favorecer la detección de posibles

errores, se ha optado por partir de una imagen formada por un degradado de los colores

rgb. En este experimento se van a probar distintas configuraciones que permitan

transformar a partir de la información de esta imagen, el espacio de de parámetros U,V y f, k

para variar el comportamiento y resultados de la simulación en el espacio definido.

Imagen diagrama RGB

El modelo de transformación de los parámetros va a estar basado en la siguiente fórmula,

dónde tenemos que el valor para cada momento del espacio, va a ser la suma del

parámetro definido para todo el espacio y los valores de cada una de las componentes de

color en ese espacio, teniendo que cada componente de color va a tener una multiplicación

para controlar la cantidad de variación en cada componente de color.

(xy) Fα R(xy)⋅Rf G(xy)⋅Gf B(xy) ⋅BfF = + + +

(xy) Kα R(xy)⋅Rk G(xy)⋅Gk B(xy) ⋅BkK = + + +

u(xy) Duα R(xy)⋅Rdu G(xy)⋅Gdu B(xy) ⋅BduD = + + +

v(xy) Dvα R(xy)⋅Rdv G(xy)⋅Gdv B(xy)⋅BdvD = + + +

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En las anteriores fórmulas tenemos que el valor para cada parámetro en las posiciones

cartesianas x e y , es la suma del valor global configurado desde la aplicación y el ,α

resultado de la cantidad de color en cada dimensión RGB, multiplicado por el factor

correspondiente. En las pruebas se van a realizar variaciones por separado en cada una de

las componentes de color que afectan a los 4 parámetros, por lo tanto se van a tomar 12

imágenes.

Los resultados esperados son una imagen donde los patrones obtenidos varían a lo largo

del espacio de color, cambiando el patrón de un modo continuo. Se van a realizar pruebas

variando cada una de las componentes de color en relación a los parámetros, por lo tanto

debido a la disposición de los gradientes en la imagen de muestra, las variaciones en

componente roja deben aparecer desplazadas a la izquierda, las componentes verdes al

centro y las azules hacia la derecha.

Resultados Gráficos

Variación en R del parámetro F

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Variación en G del parámetro F

Variación en B del parámetro F

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Variación en R del parámetro K

Variación en G del parámetro K

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Variación en B del parámetro K

Variación en R del parámetro Du

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Variación en G del parámetro Du

Variación en B del parámetro Du

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Variación en R del parámetro Dv

Variación en G del parámetro Dv

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Variación en B del parámetro Dv

Conclusiones

Existe gran tendencia a la inestabilidad del sistema, solo funciona bien con ciertas

configuraciones de las transformaciones por color, cuando funciona mal el sistema se

desestabiliza y el estado de cada pixel abandona un crecimiento controlado. Si se anula el

parámetro f y k a valores cero, el espacio se vuelve a estabilizar.

En la imagen se ha percibido que la variación de los patrones es contínua y da un aspecto

natural e integrado. Se establece apropiado realizar el siguiente experimento sobre un

cuadro abstracto.

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Prueba 2, Obra pictórica

Descripción del soporte,

Para el segundo experimento se ha elegido una pieza pictórica de arte abstracto, motivado

por la variedad de colores y gradientes que ofrecen este tipo de piezas, con el objetivo de

analizar cómo afecta a los patrones obtenidos, tomando como referencia a Bimber, Oliver,

et al. “Superimposing pictorial artwork with projected imagery.”

Del mismo modo que en el experimento anterior, la transformación de la información de la

colorimetría del soporte, va a transformar cada uno de los parámetros de la simulación

mediante factores de multiplicación.

El resultado esperado son la creación de patrones lumínicos que se integren con el cuadro,

procurando obtener distintos patrones en función del contenido pictórico.

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Fotos tomadas con distintos parámetros

Imagen 1 prueba 2

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Imagen 2 prueba 2

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Imagen 3 prueba 2

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Imagen 4 prueba 2

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Conclusiones

Cada patrón probado en la simulación, ofrece varios estados de funcionamiento, que

describo a continuación:

Crecimiento, si partimos de un espacio sin componentes químicos y añadimos un conjunto

de valores con el componente químico que se transforma, o si variamos las condiciones de

la simulación, se van a crear distintos patrones a lo largo del espacio en función del valor de

los parámetros.

Patrones estables, ciertos patrones tienden a crear su forma y cuando la han desarrollado

si no existe ninguna variación externa tienden a mantener el valor a lo largo del tiempo.

Patrones dinámicos, otros patrones no tienen una forma estable ofreciendo una variación

a lo largo del tiempo dentro de las características de un patrón.

La librería utilizada para la correción trapezoidal ha funcionado de un modo correcto,

permitiendo adaptar los contenidos al soporte, aunque sería positivo mejorar el sistema de

movimiento de los puntos de referencia pues ahora se hace con el ratón, y se necesitaría

más precisión.

Los patrones se adaptan al soporte pictórico con un buen aspecto, pero la proyección se

percibe de cierto modo inconexa con la realidad, es decir se percibe que es una fuente de

luz extraña. Una posible solución a este problema sería crear una modificación en la forma

de renderizar el patrón generado en escala de grises, buscando una integración con la

iluminación del entorno.

Una posible prueba a realizar sería crear un sistema que utilice el patrón generado a modo

de mapa de altura, y mediante un shader en OPENGL simule la existencia de un foco de

luz, creando las sombras y brillos a partir de dicho mapa de profundidad.

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Prueba 3, Realidad aumentada espacial + Iluminación sintética

Mapeado topológico (en inglés, bump mapping) es una técnica de gráficos

computacionales 3D creada por James F. Blinn en 1978. Consiste en dar un aspecto rugoso

a las superficies de los objetos, esto se realiza gracias a una imagen que va a contener la

información de la rugosidad del objeto, como un mapa de normales. Información obtenida

del libro, ‘OpenGL® Shading Language’.

La idea base de esta prueba es utilizar los patrones generados en la simulación como un

mapa de normales. El efecto esperado es un acabado más realista si la posición de la luz

simulada coincide con la iluminación real del entorno.

Imagen ejemplo de BumpMap

El modelo de iluminación utilizado se basa en el modelo Lambertian, donde para cada pixel

vamos a calcular el vector que define su normal, obteniendo el plano a partir de los píxeles

circundantes.

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Imagen Iluminación Vectorial

Una vez calculado el vector con la normal en cada pixel a partir de sus vecinos, y sabiendo

la posición y altura de la luz, simplemente se ha de realizar una multiplicación vectorial para

saber cómo va a incidir la iluminación en cada pixel. A estos cálculos vamos a añadir una

disminución de la cantidad de luz reflejada, en relación a la distancia desde cada punto al

foco de luz.

Descripción del montaje

Para el montaje se va a necesitar:

Proyector.

Ordenador con GPU compatible OPENCL.

Soporte de proyector.

Pieza pictórica

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Fotos tomadas con distintos parámetros

Prueba 3 Imagen 1

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Prueba 3 Imagen 2

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Prueba 3 Imagen 3

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Prueba 3 Imagen 4

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Conclusiones

El añadido de este modelo de iluminación sintética mejora la percepción de los patrones

proyectados sobre la pieza. La mejora en percepción se debe por un lado a que la

iluminación del proyector ya no forma un espacio que aparece “de repente” como en la

prueba 2, gracias al decaimiento añadido al modelo de iluminación. Por otro lado estamos

acostumbrados a ver este tipo de iluminación en el día a día sobre todo tipo de objetos, por

tanto tenemos el cerebro entrenado para reconocer la volumetría de los objetos por cómo

incide la luz, y este modelo simula de un modo muy realista la incidencia de la luz.

Como añadido se ha observado interesante el añadido de un elemento de atrezo que simula

ser la fuente de luz, para facilitar al observador asociar los brillos que ve a una fuente de luz

que participa en la escena.

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Conclusiones

El resultado del proyecto ha sido satisfactorio, pues se ha desarrollado un prototipo que ha

permitido realizar las pruebas con los conceptos que se querían analizar tanto en viabilidad

como en resultado si era viable.

Por otro lado no se ha conseguido una funcionalidad maximizada pues este prototipo no ha

sido capaz de obtener todos los patrones característicos en una misma pieza,

responsabilidad del sistema de transformación de los parámetros basado en el color, por lo

que realizar un desarrollo más profundo de esta sección podría ser un trabajo futuro.

La elección de la librería Aparapi en detrimento de un shader GLSL, no ha sido la mejor

opción, pues ahora mismo es necesario que toda la información calculada en la GPU, sea

llevada a la CPU, para luego volver a pasarla a la CPU debido a la falta de interoperabilidad

entre OPENCL, APARAPI, PROCESSING.

Una implementación basada en WEBGL habría sido factible en el momento tecnológico que

nos encontramos, la accesibilidad a la herramienta y la facilidad de uso habrían sido

mayores que con la solución tecnológica elegida para el desarrollo del prototipo.

En cuanto a las posibilidades de creación y modificación de la experiencia de percepción de

una pieza de arte, las técnicas desarrolladas y probadas en este proyecto han concretado

una herramienta experimental funcional, que permite elucubrar con diseños de interacción

hombremáquinaarte, distintos de la clásica experiencia de observación de una pieza

estática.

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Trabajos futuros

Como se indica en las conclusiones, el desarrollo de una herramienta web con toda esta

funcionalidad se estima un proyecto interesante, debido a la facilidad de uso que

representa.

También se estima oportuno como se ha indicado en las conclusiones, realizar un análisis

más profundo en el modo de transformar los parámetros en función de los datos de la pieza.

Dentro de los objetivos de este proyecto se han percibido nuevas posibilidades a explorar

una vez realizado. Una posibilidad reside en el uso de información alterada del propio

soporte, ahora se usa una foto, que por un lado se le podría realizar procesos de edición

fotográfica para eliminar unas áreas o modificar la intensidad de otras, con el objetivo de

poder controlar los patrones enfatizando las áreas que defina el artista. Por otro lado se

podría utilizar datos dinámicos basados en la realimentación del propio modelo, es decir, la

imagen tomada de la pieza se podría modificar en base a los propios patrones, o a la

posición del sol.

También la experimentación sobre piezas con volumen sería otra vía interesante a explorar,

señalando que tanto la información de colorimetría como la del volumen del soporte podrían

ser modificadores de las ecuaciones.

Un uso fuera de la simple estética con objetivos quizá más funcionales, está en el uso de

estas técnicas variando el modelo de simulación, como podría ser los cálculos de tensión de

una estructura, la disipación de calor de un diseño industrial, o las capacidades

aerodinámicas en maquetas de edificios. El uso principal que se podría atisbar, estaría en la

creación de un software que a partir de una adquisición de datos en colorimetría, volumen,

densidad, …, etc; se pudiera observar rápidamente cómo afectaría a la simulación si estos

prototipos se realizan con algún material que permita un desarrollo rápido de prototipos.

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Índice de figuras

Imagen Oscillon

Imagen Drawing Machine

Imagen Retrato de Alan Turing con GrayScott

Imagen de Patrones Naturales

Imagen de ‘Grim Grinning Ghosts’

Imagen de Mapping monumental con simulación de rotura de paredes

Imagen Klaus Obermaier, APPARITION

Imagen de ANTICOnforme exhibition, Rabarama

Imagen con Ejemplo de Corrección Trapezoidal

Patrones GrayScott f(x) k(y)

Ondas viajeras, (Travelling waves)

Solitons

Moving Solitons

Pulsating Solitons

Self organized Fingerprints

Moving Spots

Imagen diagrama RGB

Variación en R del parámetro F

Variación en G del parámetro F

Variación en B del parámetro F

Variación en R del parámetro K

Variación en G del parámetro K

Variación en B del parámetro K

Variación en R del parámetro du

Variación en G del parámetro du

Variación en B del parámetro du

Variación en R del parámetro dv

Variación en G del parámetro dv

Variación en B del parámetro dv

Imagen 1 prueba 2

Imagen 2 prueba 2

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Imagen 3 prueba 2

Imagen 4 prueba 2

Imagen ejemplo de Bump Map

Imagen Iluminación Vectorial

Imagen 1 prueba 3

Imagen 2 prueba 3

Imagen 3 prueba 3

Imagen 4 prueba 3

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Índice de diagramas

Imagen Diagrama General

Imagen Distribución de los patrones GrayScott para f, k.

Imagen con Diagrama de Módulos por Responsabilidades

Imagen con Diagrama de Bloques

Imagen Diagrama Funcionamiento Aparapi

Imagen con Diagrama de Dependencias en renderizado

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Bibliografía

[1] Herbert W. Franke, Computer Graphics,Springer Science & Business Media, 2012

[2] A. M. Turing (1952). The chemical basis of morphogenesis, Philosophical Transactions of

the Royal Society of London, series B (Biological Sciences),

[3] Kondo S, & Miura T (2010). Reactiondiffusion model as a framework for understanding

biological pattern formation. Science (New York, N.Y.),

[4] Randi J. Rost & Bill Licea (2009). OpenGL® Shading Language, Third Edition. Addison

Wesley Professional

[5] Robert Munafo (2014). Stable localized moving patterns in the 2D GrayScott model.

http://arxiv.org/abs/1501.01990, Cornell University Library.

[6] Raskar, Ramesh, et al. “Shader lamps: Animating real objects with imagebased

illumination.” Proceedings of the 12th Eurographics Workshop on Rendering Techniques.

2001.

[7] Bimber, Oliver, et al. “Superimposing pictorial artwork with projected imagery.” ACM SIGGRAPH 2006 Courses. ACM, 2006.

[8] Bimber, Oliver, Ramesh Raskar, and Masahiko Inami. Spatial augmented reality. AK

Peters, 2005.

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Anexo 1

Pliego de condiciones

El objetivo de este proyecto es iluminar de forma sintética piezas artísticas, por lo que es

necesario un espacio que permita este cometido. Las características necesarias en el

espacio son el control de la luminosidad ya sea iluminación natural o artificial, pero

controlada, y una instalación eléctrica con toma de tierra.

Los materiales necesarios para esta instalación artística son:

Pieza artística pictórica.

Proyector de óptica y potencia apropiada a las dimensiones de la pieza.

Ordenador con tarjeta gráfica de 1Gb de ram mínimo compatible con estándar

OPENCL.

Soporte para proyector.

Soporte pieza artística.

Cableado.

Teclado y ratón.

Controlador midi.

Dependiendo de la óptica del proyector y las dimensiones de la pieza, se necesitará más o

menos espacio, así como un proyector de mayor o menor potencia. La cantidad de lúmenes

( medida de la cantidad de luz visible ) necesarios para iluminar de forma apropiada la pieza

en unas condiciones de iluminación tenue, debe ser entre 1500 y 2000 lúmenes por metro

cuadrado.

En caso de realizar una instalación permanente, el tipo de proyector y ordenador deben de

ofrecer funcionalidades 24/7, así como procurar una refrigeración de la infraestructura en

caso necesario.

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Anexo 2

Presupuesto

Licencia de uso del software 2.500,00 €

Adaptación del software a una pieza 5000,00 €

Ordenador 1000,00 €

Proyector 600,00 €

Cableado 150,00 €

Soporte proyector 240,00 €

Mueble guarda ordenador 90,00 €

Materiales fungibles 150,00€

1 jornada de técnico de instalación de proyector 240,00 €

1 jornada de ingeniero de montaje 360,00 €

TOTAL: 10.830,00 € ( + impuestos)

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Documents

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