UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE …riuc.bc.uc.edu.ve/bitstream/123456789/2406/1/rflores.pdf · DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL ... constituido por sesiones de contenido y cada sesión

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES

CÓNICAS

Tutor: Autora:

Msc. José Tesorero Licda. Rina Flores

Bárbula, noviembre de 2015

ii

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


CÓNICAS

Autora: Licda. Rina Flores

Tutor: Msc. José Tesorero

Trabajo de Grado presentado ante la dirección de estudios de postgrado de la Universidad de Carabobo para optar al Título de

Magíster en Educación Matemática.

Bárbula, noviembre de 2015

iii




AVAL DEL TUTOR

Dando Cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado de

la Universidad de Carabobo en su artículo 133, quien suscribe PROF. JOSÉ

TESORERO titular de la cédula de identidad Nº 3.307.303 en mi carácter de Tutor

del Trabajo de Maestría titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL

APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” presentado por la ciudadana RINA

FLORES titular de la cédula de identidad Nº 16.245.120, para optar al título de

MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo

reúne los requisitos y méritos suficientes para ser sometido a la presentación pública

y evaluación por parte del jurado examinador que se le designe.

En Bárbula a los trece días del mes de mayo del año dos mil quince.

___________

Firma C.I:

iv




AUTORIZACIÓN DEL TUTOR Dando cumplimiento a lo establecido en el Reglamento de Estudios de Postgrado de

la Universidad de Carabobo en su artículo 133, quien suscribe PROF. JOSÉ

TESORERO titular de la cédula de identidad Nº 3.307.303, en mi carácter de tutor

del Trabajo de Maestría titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL

APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” presentado por la ciudadana RINA

FLORES titular de la cédula de identidad Nº 16.245.120, para optar al título de

Magister en Educación Matemática, hago constar que dicho trabajo reúne los

requisitos y meritos suficientes para ser sometidos a la presentación pública y

evaluación por parte del jurado examinador que se le designe.

En Bárbula a los trece días del mes de mayo del año dos mil quince.

___________

Firma C.I:

v




INFORME DE ACTIVIDADES

Participante: Rina Flores Cédula de Identidad: 16.245.120

Tutor: Prof. José Tesorero Cédula de Identidad: 3.307.303

Correo electrónico del participante: [email protected]

Titulo del Trabajo: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE

SECCIONES CÓNICAS”

Línea de Investigación: Enseñanza, aprendizaje y evaluación de la educación

matemática.

Sesión Fecha Hora Asunto Tratado Observación

1 14/01/15 8am Titulo y Planteamiento -----------------

2 28/01/15 8am Objetivos y Justificación -----------------

3 04/02/15 8am Antecedentes y Bases Teóricas -----------------

4 18/02/15 8am Metodología e Instrumento -----------------

5 11/03/15 8am Instrumento y Confiabilidad -----------------

7 18/03/15 8am Análisis de Resultados -----------------

8 01/04/15 8am Propuesta -----------------

9 15/04/15 8am Conclusiones/Recomendaciones -----------------

Declaramos que las especificaciones anteriores representan el proceso de dirección

del Trabajo de Grado.

Tutor Participante C.I: 3.307.303 C.I:16245120

vi

Agradecimientos

A Dios Todopoderoso, por bendecir cada mañana y enseñarme que no existen fracasos solo aprendizajes. Por hacerme entender que no

estaba sola y que cada día es un nuevo comienzo para hacer las cosas distintas.

A La Virgen Milagrosa, por alimentar mi espíritu en cada momento y cuidar de mis seres queridos.

A Mis Padres, por darme la vida y sembrar en mí los valores de respeto, trabajo, dedicación y perseverancia.

A la Magna Universidad de Carabobo, por ser cobija de mis aprendizajes y el guía de cada meta.

A mi Profesor José tesorero, este logro no fue posible sin su ayuda y su calidad humana me permitió aprender que cada persona tiene

diferentes ritmos de vida, espero que se sienta orgulloso y decirle que no lo voy a defraudar, seguiré aplicando todo lo que me enseño.

A mis Hermanos, Rolando y Ronald que día a día están a mi lado ayudándome en cada meta que abordo y han secado cada lagrima

desprendida.

A mis Sobrinos, Michel, Edison, Ronaldo y Rosmelis por llenar nuestra casa de alegría y por encontrar en tía el ejemplo que deben superar.

A mis Estudiantes, Antoni, María, Carlos, Yadira, Rossana, Ruthbeli, Luis y Eliezer por su colaboración y entusiasmo en cada clase la cual

me compromete en mi labor.

A mi Hermosa Hija, por confiar en mamá y entender a tu temprana edad que mami está esforzándose para darte un futuro como el que te

mereces. Te amo inmensamente y cada lucha en mi vida lleva tu nombre escrito Valeria Isabel.

A todos gracias de corazón…

vii

Dedicatoria

Por derramar sus bendiciones sobre mi y llenarme de su fuerza para vencer todos los obstáculos.

A Dios. A mis profesores que en este andar por la vida, influyeron con

sus lecciones y experiencias en formarme como una persona de bien y preparada para los retos que pone la vida, a todos y cada uno de ellos les dedico cada una de estas páginas de mi Trabajo de Grado.

Mis Profesores.

Con todo mi cariño y mi amor a mi familia que hicieron todo en la vida para que yo pudiera lograr mis sueños, por motivarme y darme la mano cuando sentía que el camino se terminaba, a ustedes por siempre mi corazón y mi agradecimiento.

Mi Padre, Madre, Hermanos y Sobrinos.

Posiblemente en este momento no entiendas mis palabras, pero para cuando seas más grande, quiero que te des cuenta de lo que significas para mí. Eres la razón por la cual me levanto cada momento para esforzarme por el presente y el mañana, eres mi principal motivación, por eso y mil razones más te dedico este logro que es tuyo también. Te amo infinitamente.

Mi Valeria Isabel.

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UNIVERSIDAD DE CARABOBO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA


CÓNICAS

Autora: Licda. Rina Flores. Tutor: Msc. José Tesorero.

Año: 2015

RESUMEN

El propósito fundamental de esta investigación consistió en realizar un diseño instruccional para el aprendizaje de las secciones cónicas de los estudiantes del sexto semestre de Geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, utilizando los cambios de registros algebraicos a geométricos y viceversa. El estudio se fundamenta en la Teoría de Raymond Duval (1988). La metodología, se enmarcó en la modalidad de proyecto factible, con diseño descriptivo y de campo. Se realizó dicha investigación con una muestra de 13 estudiantes los cuales representan un 72% del total de los estudiantes de la asignatura, ya que el resto de los estudiantes que pertenecen a la población se utilizó para realizar el estudio de confiabilidad del instrumento aplicado logrando un coeficiente de 0,92. El instrumento de recolección de datos se encuentra organizado de forma cerrada y por selección de 4 opciones de respuesta de las cuales se reduce a una correcta y tres incorrecta en cada ítem. Luego se resumieron los resultados en cuadros y gráficos estadísticos en los que se observó una discrepancia en cuanto al reconocimiento entre registros algebraicos y geométricos y viceversa. Todo lo antes expuesto evidenció la problemática y las razones para la construcción del diseño instruccional la cual está constituido por sesiones de contenido y cada sesión contempla los indicadores necesarios para lograr el avance paulatino en la comprensión de cada cónica. Línea de Investigación: Enseñanza, Aprendizaje y Evaluación de la Educación Matemática. Palabras Clave: Diseño Instruccional, Secciones Cónicas, Registros Algebraicos y Registros Geométricos. Temática: Proceso de enseñanza y aprendizaje en los diferentes niveles y modalidades de la Educación Matemática.

ix

UNIVERSITY CARABOBO FACULTY OF EDUCATION SCHOOL OF EDUCATION

GRADUATE ADDRESS MASTERS DEGREE IN MATH EDUCATION

INSTRUCTIONAL DESIGN FOR LEARNING CONIC SECTIONS

Author: Licda. Rina Flores. Tutor: Msc. José Tesorero.

Year: 2015

ABSTRACT

The fundamental purpose of this research consisted of making a instructional design for learning of conic sections of students the sixth semester of Geometry II of the Faculty of Sciences of the Education of the University of Carabobo, using the changes of algebraic records to geometric and vice versa. The study is based in the Theory of Raymond Duval ( 1988). The methodology , was framed in the modality of feasible project , with descriptive and field design . This research was conducted with a sample of 13 students who represent 72 % of all students of the subject , since the rest of the students who belong to the population used for the study of reliability of the instrument applied achieving 0.92 coefficient . The instrument of data collection is organized in a closed and choice of 4 possible answers of which is reduced to a correct and three incorrect on each item. Then the results were summarized in statistical tables and graphs showing a discrepancy in the recognition between algebraic and geometric observed records and vice versa . All the above showed the problems and the reasons for the construction of instructional design which consists of content sessions and each session includes the indicators needed to achieve gradual progress in understanding each cone.

Research Line : Teaching, Learning and Assessment of Mathematics Education. Key Words: Instructional Design, Conic Sections, algebraic records and geometric records. Topic: teaching and learning process in the various levels and modalities of Mathematics Education.

x

INDICE GENERAL

Pág.

PRELIMINARES…………………………………………………………. iii

AGRADECIMIENTOS…………………………………………………… vii

DEDICATORIA…………………………………………………………… viii

RESUMEN……………………………………………………………….… x

ABSTRACT……………………………………………………………….. xi

INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 15

1. EL PROBLEMA.……..………………………………………………... 18

1.1. Planteamiento y Formulación del Problema……………………….. 18

1.2. Objetivo General…………………………………………………… 24

1.3. Objetivos Específicos………………………………………………. 24

1.4. Justificación de la Investigación…………………………………… 25

2. MARCO TEÓRICO…………………………………………………… 28

2.1. Antecedentes de la Investigación...………………………………… 28

2.2. Fundamentos Teóricos……………………………………………... 31

2.2.1. Registros de representación, comprensión y aprendizaje…… 31

2.2.2. Diseño Instruccional………………………………………… 33

2.3. Definición de Términos Básicos…………………………………… 35

3. MARCO METODOLÓGICO………………………………………… 37

3.1. Tipo y Diseño de Investigación……………………………………. 37

3.2. Población y Muestra de Estudio…………………………………… 38

xi

3.3. Técnica e Instrumento de Recolección de Datos………………....... 38

3.4. Validación y Confiabilidad del Instrumento……………………….. 39

4. RESULTADOS 41

4.1 Análisis e Interpretación de los Resultados………………………… 41

4.2. Conclusiones del Diagnóstico……………………………………… 56

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 57

5.1. Conclusiones……………………………………………………….. 57

5.2. Recomendaciones………………………………………………….. 59

6. LA PROPUESTA………………………………………………………. 61

6.1. Presentación y Justificación de la Propuesta………………………. 61

6.2. Objetivo General de la Propuesta………………………………….. 62

6.3. Objetivos Específicos de la Propuesta……………………………... 62

6.4. Descripción de la Propuesta………………………….…………….. 63

6.5. La Propuesta………………………………………………………... 65

APÉNDICES…………………………………............................................. 138

Anexo A………………………………………………………………... 140

Anexo B………………………………………………………………... 145

Anexo C………………………………………………………………... 148

Anexo D………………………………………………………………... 151

Anexo E………………………………………………………………... 154

Anexo D………………………………………………………………... 155

REFERENCIAS………………………………………………………........ 156

xii

INDICE DE TABLAS DE DISTIBUCIÓN

Tabla de Distribución 1.1…………………………………………………. 42


















Tabla de Distribución 10.1………………………………………………... 52



Tabla de Distribución 11.2………………………………………………… 53



Tabla de Distribución 13………………………………………………….. 55

xiii

INDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 1…………………………………………………………………… 42

Gráfico 2…………………………………………………………………… 43

Gráfico 3…………………………………………………………………… 44

Gráfico 4…………………………………………………………………… 45

Gráfico 5…………………………………………………………………… 46

Gráfico 6…………………………………………………………………… 47

Gráfico 7…………………………………………………………………… 48

Gráfico 8…………………………………………………………………… 49

Gráfico 9…………………………………………………………………… 50

Gráfico 10………………………………………………………………….. 51

Gráfico 11………………………………………………………………….. 52

Gráfico 12………………………………………………………………….. 53

Gráfico 13………………………………………………………………….. 54

INTRODUCCIÓN

Ser educador implica no solo dominar un contenido específico e impartir una

clase magistral. El educador en la actualidad cumple con roles de investigador,

facilitador, administrador, evaluador y planificador de las actividades a desarrollar

con los educandos durante el proceso de enseñanza y aprendizaje. La actividad

involucra al educador en el desarrollo de los individuos que están a su cargo, y de una

manera integral, se debe ser participes de la formación intelectual y académica de

ellos y además buscar que dicho estudiante obtenga una continuación en su proceso

educativo.

Por otra parte las Facultades donde se imparte la Educación Matemática de las

Universidades Venezolanas, son las instituciones, que tienen la responsabilidad de

formar a los formadores del mañana, y son dichas instituciones las que deben ser seno

de discusiones para mejorar el rendimiento académico en las asignaturas propias al

desarrollo del pensamiento.

Bajo este marco de ideas se evidencian las razones por la cual se realizá el

estudio, describiéndose de la siguiente manera:

En el Planteamiento del Problema, se relata las razones por la cual se

evidencia la problemática desde hace años y además el eje focal que presentan las

secciones cónicas dentro de la geometría II. Los egresados de educación matemática

deben ser los pioneros en el uso de cambios de registros pues solo así se consolida el

aprendizaje en los estudiantes y por ende los futuros formadores. En cuanto a las

asignaturas de la matemática deben poseer la capacidad de relacionar contenidos que

imparten con resolución de problemas en la cotidianidad.

En el Marco Teórico, se evidencia las diversas investigaciones fundamentadas

en la teoría de Duval sobre los cambios de registros para la aprehensión del

conocimiento y la verificación de dichos tratamientos sobre ecuaciones y lugares

geométricos. Duval hace énfasis entre el objeto matemático y sus posibles

representaciones, es decir, un objeto matemático obtiene diversas manifestaciones de

representación, y a su vez cada representación asume un conjunto de criterios propios

de su escritura. En otras palabras cada cambio de registro o representación genera una

pluralidad de resolución de ejercicios y además trae consigo explotar en el individuo

su potencialidad en la construcción de alternativas de solución. De esta manera es que

se conciben las actividades cognitivas inherentes a la Semiosis y a la capacidad de

expresar una representación mental y hacerla real, a su vez producir representaciones

distintas a la inicial de forma espontanea.

En el Marco Metodológico, se enmarca en la modalidad de proyecto factible

bajo un apoyo descriptivo y de campo, donde se analizó el conocimiento de los

estudiante referente a las secciones cónicas y como relacionan las vertientes de

registros. Además se señala la estructura del instrumento de selección entre cuatro

opciones de respuesta. La muestra es representada por 13 estudiantes entre el turno

diurno y nocturno, es decir, un 72% de muestra representativa; ya que dentro de la

población se seleccionaron 5 estudiantes los cuales se les aplicó la prueba piloto para

determinar la confiabilidad del instrumento, la cual alcanzó un rango de 0,92,

ubicándose en un nivel muy alto de satisfacción estadísticamente.

En el Análisis e Interpretación de los Resultados, se aplicó procedimientos

estadísticos para presentar los datos en forma de cuadros y gráficos, para lograr un

análisis cuantificable de cada dimensión de la variable de aprendizaje.

Evidenciándose en cada ítems de la prueba que existe un alto porcentaje de dificultad

para encontrar el lugar geométrico dada la gráfica pero más alto es el índice cuando

19

se parte de la gráfica alcanzando hasta un 77% en desaciertos en cuanto a las

respuestas presentadas en el muestreo por cada dimensión. Debido a estos resultados

se evidenció la necesidad de elaborar la propuesta de un material instruccional sobre

secciones cónicas para los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de

la Universidad de Carabobo.

La Propuesta, se encuentra organizada por 5 sesiones que intentan facilitar e

incentivar el potencial de cada curva cónica; resaltando todas las vertientes que la

definen, elementos algebraicos, elementos geométricos, incorporación de

conocimientos previos para obtener nuestras estructuras algebraicas y geométricas y

además una incorporación a la cotidianidad donde se enfatiza la relación inseparable

y complementaria de los registros algebraicos y geométricos. Por otra parte se

muestra como apéndices los pre-requisitos, definiciones y soluciones a todo lo

presentado en cada sesión de aprendizaje, y posteriormente se presenta una

autoevaluación con la finalidad de verificar el aprendizaje consolidado.

Todo lo antes expuesto señala la factibilidad de dicho módulo de aprendizaje

y la necesidad de incorporarlo al sistema educativo como una posibilidad de

concebirlo como guía de estudio y avance a las clases de geometría II; para encontrar

una aprehensión de las definiciones de cada sección cónica de acuerdo con la

exigencia oficial que se requiere en estudiantes universitarios.

20

1. EL PROBLEMA

1.1 Planteamiento y Formulación del Problema

La educación constituye la base fundamental del desarrollo holístico de una

nación y tiene por objetivo esencial proporcionar a todo individuo los conocimientos

y competencias necesarias para que pueda integrarse a la sociedad y participar en ella

de manera eficiente y productiva, tanto para su propio beneficio como para que pueda

contribuir al desarrollo y progreso de la sociedad misma. Así la proyección universal

de la educación, tanto científica y tecnológica como humanista, es de preparar a los

individuos para la vida en los aspectos fundamentales que requiere su colectividad.

En otro orden de ideas, la sociedad actual está marcada por la tecnología, la

información y el conocimiento, situación donde se antepone la matemática como

elemento clave en el sistema educativo, por considerarla ciencia fundamental de todo

saber científico y tecnológico en la que se reconoce su importancia como la única

asignatura capaz de desarrollar el pensamiento de los estudiantes de una forma

constructiva y crítica.

Asimismo, se considera que las competencias matemáticas son pilares básicos

de la educación sistemática en todo el mundo. Aun cuando, a nivel global los

esfuerzos pedagógicos por masificar el potencial matemático de los estudiantes han

sido reportados frecuentemente ineficientes, con excepción de algunos países como

Japón, China, Taiwán, Corea y Singapur, y de algunos pocos países europeos como

Hungría y Alemania, hay preocupación por los resultados de la educación matemática

escolar. Esto se observa en Program for International Student Assessment (Pisa,

2009), donde se estableció la media ponderada de (500 puntos) como el promedio

21

evaluado; por encima de dicho promedio se situaron 20 países y el resto por debajo,

con un total de cincuenta y siete (57) países participantes y entre ellos se ubicaron

países latinoamericanos, los cuales solo presentaron un promedio de 394 puntos

ubicándose por debajo del promedio general de la evaluación, mostrando así las

debilidades en la educación matemática lo que obstaculiza el desarrollo científico de

un país.

Al mismo tiempo, la situación en Latinoamérica es aún más grave, en el

informe de Programa de Promoción de la Reforma Educativa en América Latina

(PREAL, 2009), donde se presenta tal situación como un estado de cantidad y no de

calidad, en dicho informe se estudian situaciones políticas, económicas, sociales y

académicas; expresando la situación alarmante de los conocimientos matemáticos

básicos para el desenvolvimiento de un ciudadano eficaz. En este orden de ideas, es

necesario atender la necesidad prioritaria en cuanto a lo educativo aunque cada país

presente diferencias y situaciones problemáticas de diversas índoles.

De la misma manera, Venezuela no se escapa a esta realidad, donde la

situación de cambios educativos en la última década ha proporcionado una revisión

interna permanente del sistema educativo y no se conocen cifras referenciales de

comparación con otros países. Sin embargo, es importante destacar que en todos los

ensayos de reformas educativas la matemática constituye una de las bases

pedagógicas primordiales y necesarias a fin de potenciar la ciencia y la tecnología

nacional para reducir a mediano plazo la dependencia de los polos de desarrollo. A

pesar de los esfuerzos, los registros de evaluación del desempeño matemático de los

estudiantes presentan indicadores negativos en bajo rendimiento, repitencia y

disminución de la matrícula en estudios de matemáticas o carreras afines.

Según Vidales (2009), “la matemática dentro del sistema educativo se ha

convertido en un factor de deserción escolar y de exclusión en todos los niveles,

22

iniciando desde la básica y generando una debilidad “in crescendo” a medida que

escala de nivel escolar” (p. 177), es decir, que el individuo que ingresa a un estudio

universitario afín con la asignatura de matemática, paradójicamente no posee un

conocimiento bien sólido y maduro, lo que impide la capacidad de abstraer con

facilidad lugares geométricos.

De la misma manera, hace referencia Grande (2013), donde manifiesta que

muchos docentes de educación superior necesitan realizar bloques de contenidos de

repaso pues las deficiencias geométricas, aritméticas y hasta para análisis son

elevadas y hasta poco significativas para iniciar el contenido programático de la

asignatura que se desea impartir.

Todo lo antes expuesto ha llevado a una movilización de la educación

matemática desde los primeros años de inicial hasta las universitarias, a través de

talleres que se articulan en mesas de trabajo donde muestran un recordatorio de

estrategias y métodos de enseñanza y aprendizaje así como mecanismo de evaluación;

ya que el docente actualmente se ha focalizado en su mayoría en una sola estrategia,

método y hasta minimiza la evaluación a un conjunto único, expresado por Mora,

(2003).

Según Duval (1998), considera que la problemática de la educación

matemática se encuentra en la particularidad del aprendizaje que hace estas

actividades requieran de la utilización de sistemas de expresión y de representación

distintos a los del lenguaje natural o de las imágenes por ejemplo: planos cartesiano,

diagramas, ecuaciones, polinomios proposicionales, entre otros que son considerados

paralelos al lenguaje natural de comunicación, y que si no se comprueba una relación

estrecha entre dichos lenguajes comunicativos entonces se hace evidente los vacios de

conceptualización de las definiciones matemáticas.

23

Intrínsecamente al estudio de la matemática, se encuentra la geometría como

eje integrador del entorno del ser humano y las definiciones matemáticas, dicho

estudio origina la posibilidad de interactuar con el espacio y la comprensión del

mismo. Es por esta razón, que la geometría recauda importancia al ojo de muchos

observadores, lo cual evidencia un alto índice de aplazados sobre todo en el contenido

de secciones cónicas en reiteradas universidades (Padrón, 2006).

Es decir, los estudiantes evidencian déficit en la comprensión de sus

contenidos sobre todo en el contenido de secciones cónicas, la cual se considera

centro de la geometría pues estas maravillas de curvas han sido catapulta del

desarrollo de muchas construcciones y hasta demostraciones de movimientos

planetarios, y sin embargo se evidencia cruelmente en los estudiantes debilidades en

cuanto a los elementos de la sección cónica, característica, ecuaciones y además

inhabilidad para ajustar cierto contenido a la resolución de problemas (Grande, 2013).

Dentro de las secciones cónicas, existen dos problemas fundamentales el

algebraico y el geométrico (Lehmann, 1980), es decir, se hacen planteamientos de

ejercicios desde un registro algebraico para hallar el geométrico y viceversa; pero en

su mayoría los estudiantes tienden a no darles importancia al gráfico pues consideran

que es innecesario y por esta razón lo trazan con cierta negligencia sin considerar que

esa representación gráfica le proporciona alternativas de solución y hasta en

ocasiones evidencia complementos necesarios para la decisión de una solución; o por

otro lado el gráfico no es de carácter preciso y no son suficientes para hallar la

formalidad de una comprobación lógica y mucho menos para considerarlo una

resolución incluso hasta en representaciones donde sean evidente sus soluciones,

(Bravo, Martínez y Valdes, 2005).

De lo antes expuesto, Gascón (1998), señala lo siguiente:

24

Esta disparidad existente entre un registro algebraico y un registro geométrico, son los que inician un vacio dentro de la comprensión de las secciones cónicas de una forma significativa, dejando al estudiante sin motivación a la comprensión de dicha estructura y además mutilando así la posibilidad de que el estudiante resuelva problemas de su cotidianidad que se fundamentan en la construcción o representación de una sección cónica, por ejemplo, no reconocería la importancia de la parábola dentro de la construcción de un puente o no reconoce la importancia de una circunferencia en la tapa de un acueducto hidroeléctrico en medio de una carretera… (p. 32).

Como puede entenderse, las representaciones gráficas de una sección cónica

alcanzan un 64% de aciertos, y además el estudiante se siente en comodidad para

establecer alternativas de solución; mientras que hallar la ecuación dado el lugar

geométrico, inicia una limitación dentro del proceso de alternativas de resolución,

además de un bajo incide de aciertos (Gascón, 1998).

Esta situación acarrea un sin fin de vacios en la consolidación de las

definiciones sobre secciones cónicas como por ejemplo no reconocería una parábola

en un puente, los elipses en domos, hipérbolas en las ondas de radiofrecuencias, es

decir el estudiante no reconocería con exactitud la presencia de dichas secciones

cónicas en fenómenos naturales y sobre todo en los arquitectónicos las cuales

merecen una exactitud hasta del decimal posicional para lograr la belleza y limpieza

en una construcción.

Sin ir muy lejos de la realidad existente, una de las grandes debilidades de no

explorar la temática de secciones cónicas a través de cambios de registro algebraicos

y geométricos es que el profesorado que se desarrolla presenta dificultad para

desarrollar planteamientos y ejercicios en torno a un proyecto de aprendizaje de aula

apegado a los principios educativos que hoy en día se exigen dentro del sistema

educativo Venezolano, MPPE (2009).

25

Es decir, el actual y futuro profesional de la educación matemática debe

responder a las necesidades escolares, desde su trinchera reconocer secciones cónicas

en su entorno para reescribirlas en un lenguaje matemático, para reestructurarla o

modificarla o simplemente crear un proyecto en papel que solucione una situación

real, es decir plantear en papel una sección cónica con características solidas para

hacerlo realidad. Ambas situaciones ameritan un mismo contenido y sin embargo los

algoritmos de solución están libres para que cada estudiante suministre su alternativa

de solución y para que cada profesional de la docencia los incorpore de acuerdo a su

nivel escolar que este laborando.

En otras palabras, los conceptos matemáticos son abstractos, por lo que es

necesaria una representación con símbolos para existir con un conjunto de reglas para

que sea entendido por un universo de personas. Pero es necesario una conversión

entre una representación a otras para una finalidad didáctica dentro del aula de clase

(Dorofeiev, 1973). En otras palabras, es necesario que el docente de matemática

extraiga de su entorno una sección cónica y la plantee de manera tan sencilla que el

resto de las asignaturas también se incorporen de forma natural llegar al fin último

que se requiere que es llevar a cabo el proyecto de aula.

En decir, los estudiantes no aprenden la vinculación en cuanto a la ecuación y

gráfica de las secciones cónicas porque no abordan ejercicios desde el punto de vista

vinculativo de registros, como bien se diría resolver ejercicios donde se de la

ecuación y se desea obtener la representación gráfica, y luego realizar ejercicios

donde se muestre la representación gráfica para hallar la ecuación. Esta situación

desprende el desconocimiento de un sin fin de propiedades que obedecen a las

propias construcciones de la definición de dicha sección cónica y además la ausencia

de dichos cambios de planteamiento de los ejercicios crea alternativas de solución

rutinarias, aparte de que el estudiante se encierra y no interactúa con los compañeros

26

para generar alternativas de solución novedosos y capaces de comprobar sus

soluciones.

Todo lo antes expuesto se hace evidente en los estudiantes del sexto semestre

de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación, los cuales

indican desaciertos en construcciones algebraicas a partir de lugares geométricos, así

como un alto grado de incomodidad por este tipo de ítems presentados en las

evaluaciones, e indicando una posible disparidad entre los registros algebraicos y

geométricos en torno a la misma sección cónica, mutilando la posibilidad de ejercitar

la perspicacia innata de los estudiantes de dicho semestre así como alejarse del riesgo

de estimular el pensamiento abstracto para una mejor retención en la posterior

geometría analítica. De hecho se muestra la dificultad de que el estudiante muestre

una fluidez acertada en su labor profesional en cuanto a la construcción de proyectos

de aula, (CEMAFI).

En consecuencia estos planteamientos dan pie a la reflexión sobre la

oportuna utilización de los cambios de registros dentro de la asignatura geometría

surgiendo la interrogante, ¿proponer estrategias de aprendizaje en la asignatura de

geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación, mejoraría el aprendizaje de

los estudiantes del sexto semestre de la Universidad de Carabobo sobre las secciones

cónicas?.

1.2. Objetivo General

Proponer un diseño instruccional para el aprendizaje de secciones cónicas para

los estudiantes del sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de

Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.

27

1.3 Objetivos Específicos

1. Diagnosticar el conocimiento que poseen los estudiantes en el contenido

secciones cónicas en el sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad

de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.

2. Estudiar la factibilidad de un diseño instruccional para el aprendizaje de

secciones cónicas para los estudiantes del sexto semestre de geometría II de la

Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.

3. Diseñar instrucciones para el aprendizaje de secciones cónicas para los

estudiantes del sexto semestre de la asignatura geometría II de la Facultad de Ciencias

de la educación en la Universidad de Carabobo.

1.3. Justificación de la Investigación

Una de las dificultades del aprendizaje de la matemática son los docentes que

presentan los contenidos aislados de su desarrollo histórico y social, es decir

descontextualizados de la realidad y no se utilizan recursos que permitan un

acercamiento a los conceptos mediante la interacción de los diferentes procesos que

desarrollan la competencia matemática en los estudiantes. Es decir, los docentes de

dicha asignatura no evidencian con facilidad el contenido de sección cónica dentro

del desarrollo de un proyecto de aprendizaje de aula, siendo la geometría una de las

asignaturas de mayor interacción con el entorno espacial y el sujeto. (Gutiérrez,

2000).

De lo antes expuesto, se hace incuestionable la importancia de realizar la

investigación a nivel de formadores de la educación matemática para romper la utopía

28

que se ha observado desde la realización de proyecto de aulas la última década.

MPPE, (2000).

Desde hace dos décadas la teoría de la Semiosis ha cobrado protagonismo

pues se ha enfatizado en el estudio de cambios de registro y muy especialmente en la

asignatura de geometría, donde su naturaleza siempre presenta dos vertientes de las

resoluciones de ejercicios los cuales vienen fundamentados en un registro algebraico

y otro geométrico. Muchos de los egresados presentan dichas vertientes como

registros de representaciones distintas y poco relacionadas, sin embargo Duval las

relaciona desde cualquier punto de vista y desde cualquier característica dejando muy

en claro que ambos registros se encuentras estrechamente vinculados pero con

conjuntos de signos y criterios de representación distintos, y que respetando cada

conjunto de representaciones se obtiene un objeto matemático real expresado en

diversos lenguajes comunicativos.

Es decir, la representación en un sistema hace “visible” unas características

del objeto en estudio y no otras; así que, entre más sistemas de representación

“coordinados” tenga un objeto, su conocimiento matemático será más potente y más

complejo. (Rojas, 2013).

En el mismo sentido de prioridad se muestra las secciones cónicas, pues son

contenidos de carácter atractivo para las ciencias que desarrollan a un país y una

nación de forma científica y humanista. El estudio de curvas y ambos tratamientos

son las que aportan información suficiente sobre estados financieros dentro de una

empresa, construcciones, movimientos de piezas dentro de un circuito mecánico y

hasta posibles respuestas en cuanto al entendimiento del inesperado universo y sus

movimientos planetarios.

29

Por ende, se hace necesario que los docentes de matemática deben tener una

actitud reflexiva y crítica sobre sus prácticas que incluyan contextos en que se da la

“realidad” matematizable para aproximar a los estudiantes a los conceptos

matemáticos, pues las competencias matemáticas no se alcanzan por generación

espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por

situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles

de competencia más y más complejos. (Gutiérrez, 2000).

Otra razón fundamental para la realización de esta investigación es que el

cambio de registros algebraicos y geométricos se presentará como opción para

colocar tanto al profesor como al estudiante en una situación de mutuo aprendizaje y

de construcción de pensamiento matemático generando en el primero competencias

pedagógicas y disciplinares y en el otro, una visión diferente del uso de la matemática

dadas las necesidades actuales de esta sociedad, surge entonces como resultado de la

reflexión y exploración en este ámbito una unidad didáctica que plantea tres

situaciones problema diseñadas desde los principios de la educación matemática

realista. (Mejías, 1998).

En conclusión, dicha pesquisa persigue proponer una mayor productividad e

importancia en cuanto a los cambios de registros lo cual da pie para otras

investigaciones en diversas áreas del conocimiento y en todos los niveles educativos

pero más aun en niveles superiores en todas las carreras, pues solo desde la destreza y

dominio de los cambios de registro se puede lograr la masificación de las definiciones

que el docente desea enseñar en sus respectivas aulas, así como la explotación del

desempeño del estudiante mediante el estimulo para la búsqueda de alternativas de

solución.

30

2. MARCO TEÓRICO

Dentro del marco teórico se muestran las bases de las diversas teorías y

conceptos relativos a la didáctica de la geometría, que orienten el sentido del presente

estudio. Teniendo en cuenta estas consideraciones y el esencial carácter teórico

práctico del proceso de conocimientos, el cometido que cumplirá el marco teórico en

esta investigación, es situar al problema objeto de estudio dentro de un conjunto de

conocimientos, lo más sólido posible, a fin de orientar la búsqueda y ofrecer una

conceptualización adecuada de los términos utilizados, pudiendo ser manejado y

convertidos en acciones concretas. A tal fin, será necesario delimitar los parámetros

conceptuales que sustentarán y complementarán el estudio; implicando esto, la

inclusión de todos los elementos teóricos ya conocidos y valorados, como los nuevos

y confiables, que servirán de apoyo a elementos implicados en la búsqueda

investigativa.

En este escenario, se pretende exponer la relevancia de algunos estudios

realizados; considerados como antecedentes y puntos de referencia para la presente

investigación. Asimismo se presentará las bases teóricas a partir de la postura Modelo

de Duval para la didáctica de la Geometría.

2.1. Antecedentes de la Investigación

Según Arias (2006), los antecedentes de una investigación “se refieren a los

estudios previos relacionados con el problema planteado, es decir, investigaciones

anteriores que guardan alguna vinculación con nuestro método de estudio” (p.56).

31

Después de una revisión bibliográfica por parte de la investigadora, se pudo

constatar que el tema de estudio ha sido de interés desde hace más de dos décadas,

pero a pesar de ellos el número de investigaciones publicadas no es significativo. A

continuación se describen algunas investigaciones que le dan soporte y sirven de

referencia a la siguiente investigación:

Pachano y Terán, (2008), en su investigación titulada “Estrategias para la

enseñanza y aprendizaje de la geometría en la educación básica: Una experiencia

constructivista”, el enfoque metodológico que orientó la investigación se corresponde

con la perspectiva de la “investigación-acción”, de carácter descriptivo. Las técnicas

que se emplearon para recabar la información durante este estudio, es observación

participante, notas de campo, análisis de documentos, entrevistas, prácticas

evaluadas, fotografías y grabaciones en cinta magnetofónica y en video.

Por su parte Cuevas, (2010); realizó una investigación titulada “Objetos de

aprendizaje para la enseñanza de lugares geométricos en el plano: recta,

circunferencia, parábola, elipse e hipérbola”, llevada a cabo durante el II semestre

lectivo de (2008), tuvo como objetivo principal diseñar y desarrollar un Material

Educativo Computarizado (MEC), que pueda ser utilizado para complementar las

clases presénciales de la asignatura de Geometría Analítica que se dicta en el I

semestre en la carrera de Ingeniería en la Universidad de Carabobo. La metodología

empleada está enmarcada en la modalidad de proyecto factible. El estudio se

fundamenta en una investigación documental y de campo. La población objeto de

estudio estuvo constituida por docentes y estudiantes de la asignatura. La

investigación diagnóstica evidenció la necesidad de mejorar la práctica pedagógica

que tradicionalmente se ha empleado, mediante el uso de herramientas

computacionales e interactivas donde se pueda observar gráficamente los lugares

geométricos y su disposición en el plano.

32

Pérez y Ruiz, (2010) En su investigación desarrollaron “Estrategias Lúdicas

Aplicando El Modelo DeVan Hiele como una alternativa para la enseñanza de la

Geometría”. Diseñaron actividades lúdicas utilizando el modelo de Van Hiele,

dirigidas a estudiantes del séptimo grado de educación básica en la Unidad educativa

“Eloy Paredes”,ubicada en el Municipio Libertador del estado Mérida; durante el año

escolar 2008-2009, a un grupo de diecisiete estudiantes. La investigación está

orientada en una metodología de enfoque cualitativo bajo la modalidad de

investigación-acción. Una vez aplicada las estrategias lúdicas se evaluó el alcance de

las mismas, a través de las actividades utilizando los niveles de pensamiento y

razonamiento de Van Hiele, las cuales evidenciaron un nivel de razonamiento

geométrico más elevado en los alumnos.

Moreno y García (2012); realizaron una investigación que se enmarcó dentro

de un estudio de campo de tipo descriptivo titulado “Diseño de un material educativo

computarizado como apoyo didáctico en la interpretación y resolución de problemas

de recta tangente en secciones cónicas desde un punto de vista geométrico y

analítico”. El objetivo del presente trabajo consiste en presentar una propuesta de

diseño para el desarrollo de un material educativo computarizado como apoyo

didáctico en la resolución de problemas de recta tangente. A través del análisis y la

interpretación de los resultados obtenidos se concluye que existen deficiencias en el

uso de estrategias de enseñanza y aprendizaje apoyadas en materiales didácticos

alternativos y actuales en las asignaturas Análisis Matemático I y Geometría

Analítica, específicamente en lo que respecta a la interpretación y resolución de

problemas de recta tangente en secciones cónicas desde un punto de vista geométrico

y analítico.

Los trabajos descritos anteriormente tienen relación con la presente

investigación, pues plantean; que para enseñar contenidos geométricos hace falta algo

más que un simple concepto. Donde la motivación y la posibilidad de manipular

33

objetos son dos opciones necesarias para cumplir esta tarea. Para atender estas

intenciones, el docente debe mantener actividades innovadoras permanentes para

captar la motivación, atención, manipulación de objetos y aprendizaje, con la

utilización de alguna estrategia didáctica. Los cuales lleven al estudiante a la

comprensión de las figuras y de los cuerpos geométricos.

En los programas de Matemática del país, según Rivero (1997), la Geometría

ha sido desplazada a un segundo plano, por lo cual es común que un alto porcentaje

de profesores considere los contenidos de Geometría menos importantes que el resto

de los contenidos de la asignatura Matemática, otro porcentaje plantea que debido a

lo extenso de los programas, no cubren en su totalidad las unidades correspondientes

a Geometría. Lo anterior justifica el alerta de Rodríguez (1995), cuando plantea que

la Enseñanza de la Matemática en el país se ha convertido en una actividad vacía, en

la cual no se toma en cuenta que la Geometría ayuda al individuo a entender,

describir e interactuar con el espacio que lo rodea.

2.2. Fundamentos Teóricos

2.2.1. Registros de Representación, Comprensión y Aprendizaje de Duval.

Una característica importante de la actividad matemática es el uso de diversos

sistemas de expresión y representación, además del lenguaje natural, variados

sistemas de escritura para los números, escrituras algebraicas para expresar relaciones

y operaciones, figuras geométricas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas,.

Un autor que se ha interesado particularmente por este uso variado de los sistemas de

representación semiótica es Duval (1995), quién se pregunta: "¿Es esencial esta

utilización de varios sistemas semióticos de representación y expresión, o al contrario

no es más que un medio cómodo pero secundario para el ejercicio y para el desarrollo

de las actividades cognitivas fundamentales?" (p. 3) Considera que esta pregunta

34

sobrepasa el dominio de las matemáticas y de su aprendizaje y apunta hacia la

naturaleza misma del funcionamiento cognitivo del pensamiento humano.

Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los siguientes

argumentos:

1) No puede haber comprensión en matemática si no se distingue un objeto de su

representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números,

funciones, rectas, entre otros.) con sus representaciones (escrituras decimales o

fraccionarias, los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras), pues un mismo

objeto matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes.

2) Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones,

ideas, creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre

una situación y sobre aquello que les está asociado. "Permiten una mirada del objeto

en ausencia total de significante perceptible". (p. 20). Las representaciones mentales

están ligadas a la interiorización de representaciones externas, de la misma manera

que las imágenes mentales lo están a una interiorización de los preceptos.

3) Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para

exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o

accesibles a los demás. Además de sus funciones de comunicación, las

representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la propia actividad

matemática. La posibilidad de efectuar tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los

objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico

utilizado. El progreso de los conocimientos matemáticos se acompaña siempre de la

creación y del desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos que más o

menos coexisten con el de la lengua natural.

35

4) Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente

diferentes e independientes. La pluralidad de sistemas fundamentos y antecedentes

Semióticos permite una diversificación tal de las representaciones de un mismo

objeto, que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto de sus

representaciones mentales. Esta interdependencia entre las representaciones internas y

externas la expresa Duval afirmando que "no hay noesis sin semiosis; es la semiosis

la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la noesis" (p. 5). La

aprehensión conceptual no es posible sin el recurso a una pluralidad al menos

potencial de sistemas semióticos, y por tanto su coordinación por parte del sujeto.

5) La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos

diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un

aprendizaje específico. El problema esencial de la semiosis es el de la diversidad de

sistemas de representación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por la

conversión de las representaciones. La coordinación entre registros no es una

consecuencia de la aprehensión conceptual (noesis) sino que, al contrario, el logro de

dicha coordinación es una condición esencial de la noesis.

6) Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación de

representaciones en un registro semiótico particular, para "expresar" una

representación mental, o para "evocar" un objeto real; el tratamiento o transformación

de una representación dentro del mismo registro; conversión, cuando la

transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una

información produce una representación en un registro distinto al de la representación

inicial.

2.2.2. Diseño Instruccional por Dick y Carey

En un sentido no restrictivo, el diseño instruccional se puede considerar una

disciplina científica de la psicología educativa que investiga los componentes del

36

proceso de enseñanza y aprendizaje. Los conocimientos que genera sirven para

establecer las acciones instruccionales específicas más adecuadas para conseguir los

resultados de aprendizaje deseados. (Barbera & Badia, 2001)

El enfoque planificador tradicional se basa en el modelo denominado ISD -

Instructional System Design - utilizado como referencia para organizar la formación

en muchas organizaciones. Este modelo está determinado por las aportaciones

teóricas efectuadas por Dick y Carey y publicadas en el libro The Systematic Design

of Instruction, considerado actualmente como un modelo clásico. (Camps, 2005)

En general, el modelo concibe el diseño formativo como un proceso

interactivo estructurado en distintas fases:

1. Identificar las metas formativas: En esta fase se determina aquello que las

personas deben saber hacer al finalizar el proceso formativo. Para ello se realiza un

análisis de necesidades, a partir del cual se establecen las diferencias entre el estado

actual y aquello que se pretende conseguir.

2. Analizar las metas formativas: El paso siguiente es establecer qué deben

hacer las personas para lograr las metas señaladas y cuáles son los comportamientos

necesarios para alcanzarlas. Durante esta fase se determinan cuáles son las tareas o

procedimientos que deben realizar las personas para conseguir las metas.

3. Analizar los aprendices y sus contextos: En esta fase se identifican las

características de los aprendices, los posibles contextos de prestación de la formación

y cómo pueden usarse los conocimientos aprendidos.

4. Escribir los objetivos formativos: Esta fase consiste en escribir los objetivos

formativos de manera clara, concisa y de forma que puedan cuantificarse y medirse.

37

5. Desarrollar instrumentos evaluativos: En esta fase se desarrollan los

instrumentos que permiten saber si los aprendices han aprendido y han modificado

sus comportamientos.

6. Desarrollar la estrategia formativa: La actividad siguiente consiste en

determinar los modos y las maneras de realizar las actividades formativas.

7. Desarrollar y seleccionar los materiales formativos: En esta fase se

seleccionan aquellos materiales o recursos a usar a lo largo del proceso formativo.

8. Desarrollar y realizar la evaluación formativa del proceso de aprendizaje:

En esta fase se recogen datos para valorar el proceso formativo y los aprendizajes a

fin de mejorar el diseño de la actividad formativa.

9. Revisar toda la formación: Se valora todo el proceso formativo con el

objetivo de analizar cómo puede mejorarse la eficiencia de cualquiera de sus fases.

10. Diseñar y realizar la evaluación sumativa del proceso formativo: En esta

última fase se evalúa la efectividad de la formación y de todo el sistema formativo.

2.3. Definición de Términos Básicos Actividad Matemática: es un proceso que requiere que el individuo emplee diversos

sistemas de representación semiótica, donde solo elijan una según el propósito de la

actividad. En otras palabras la actividad matemática requiere una coordinación

interna, que ha de ser construida, entre los diversos sistemas de representación que

pueden ser elegidos y usados; sin esta coordinación dos representaciones diferentes

38

significaran dos objetos diferentes, sin ninguna relación entre ambos. Duval, R.

(1998).

Diseño Instruccional: es una disciplina interesada en prescribir métodos óptimos de

instrucción, al crear cambios deseados en los conocimientos y habilidades del

estudiante. Reigeluth (1983).

Registro Algebraico: es el conjunto de signos, números y variable; las cuales tienen

la característica de solucionar ecuaciones para responder un problema planteado y

donde las fuentes de su significado tienen un acercamiento semiótico; considerándose

un lenguaje de carácter instrumental. Duval, R. (1998).

Registro Geométrico: es el conjunto de figuras o curvas que se representan en un

plano cartesiano, las cuales tienen la característica de bidimensionar el planteamiento

de un problema además poseen un comportamiento semiótico. Duval, R. (1998).

Representaciones Semióticas: es un sistema de signos que permite llevar a cabo las

funciones de comunicación, tratamiento y objetivación, en cambio no se hace

referencia a notaciones convencionales que no forman un sistema. Duval, R. (1998).

Sección Cónica: algebraicamente es una ecuación de dos variables de segundo grado,

las cuales generan un lugar geométrico diferencial de acuerdo a los coeficientes de

cada término involucrado en la ecuación. Lehmann, C. (1980).

Semiótica: estudio de los signos en determinados campos del conocimiento. Es decir,

una ciencia orientada a estudiar cómo funciona el pensamiento para explicar las

maneras de interpretación del entorno y de creación y difusión de conocimiento que

tienen las personas. Duval, R. (1998).

39

3. MARCO METODOLÓGICO

Este capítulo contempla el contexto operativo de la investigación en los que

establece la forma y manera para obtener la información más relevante en cuanto a la

problemática planteada así como los procedimientos estadísticos para analizar sus

resultados y recabar la información más asertiva para elaboración de un diseño

instruccional de aprendizaje planteada.

3.1. Tipo y Diseño de la Investigación

El propósito de esta investigación es proponer un diseño instruccional para el

aprendizaje de las secciones cónicas para estudiantes del sexto semestre de la

Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, la cual se

enmarca en la modalidad de proyecto factible; donde su finalidad es construir una

alternativa de solución delineada por la investigadora (Labrador, Orozco y Palencia,

2002, p. 22).

De igual manera, se hace apoyo de la investigación descriptiva para recolectar

datos de carácter concéntricos en cuanto a la problemática del aprendizaje de las

secciones cónicas y determinarlas para la construcción del módulo; tal como lo

establece (Labrador, Orozco y Palencia, 2002), describir un fenómeno recurrente

dentro de una población mayoritaria, para luego describir las necesidades más

demandantes y así implantarlas dentro de la alternativa que se presenta para

solucionar la problemática.

Y por último, la propuesta está fundamentada además por el diseño de

investigación de campo, la cual se implementa para buscar dentro de una población

40

datos recurrentes en cuanto a los cambios de registros algebraicos y geométricos, los

cuales enfilaron la investigación a una propuesta que abordará las necesidades de la

población estudiantil de la Facultad de Ciencias de la Educación de la mención de

Matemática, Manual de Trabajos de Grado de Especialización, Maestrías y Tesis

Doctorales de la UPEL (2006).

3.2. Población y Muestra del Estudio

La población es definida como el conjunto de personas de los cuales poseen

una característica común, en la que se desea estudiar, Balestrini (2008). En este caso

de investigación la población está constituida por dieciocho (18) estudiantes; los

cuales cursan la asignatura de Geometría II adscrita al departamento de Matemática

de la Facultad de Ciencias de la Educación, lo cual se representa el total de

estudiantes inscritos en la nomina del departamento de control de estudio.

Mientras que la muestra se define como una parte de la población a la que se

desea estudiar Bernal (2002). La selección de los encuestados sé realizó al azar

simple sin remplazo, pero tomando en cuenta el tamaño de la población, la muestra

consideró el tamaño para 13 estudiantes con la finalidad de establecer mayor eficacia

y representación de los datos recabados, y además por considerarse un tamaño

muestral pequeño y homogéneo, y el resto de los estudiantes se utilizó para realizar

la confiabilidad del instrumento, Wigodski (2011).

3.3. Técnica e Instrumento de Recolección de Datos

Según Blanco (2000), establece “un instrumento es un formato de apoyo de

preguntas (estructuradas o no), que ha sido producto de una variable organizada y

sustentada teóricamente” (p. 11). De acuerdo a esto, la investigadora apoyo dicho

estudio sobre un cuestionario de respuestas cerradas, con la finalidad de recabar

41

información de forma sistemática sobre el conocimiento y manejo de los cambios de

registros en secciones cónicas para estudiantes que posteriormente serán los

formadores en el área de matemática en las aulas de las escuelas del mañana.

La técnica de recolección fue la entrevista, es decir, la investigadora aplicó de

forma individualizada y directa a la población estudiantil el instrumento, con las

características planteadas en el planteamiento del problema, los cuales seleccionaron

cuidadosamente una respuesta correcta de otras 3 opciones incorrecta; y luego

mediante análisis estadísticos se realizaron las conclusiones y recomendaciones a la

construcción de la propuesta.

3.3 Validez y Confiabilidad

La validez y confiabilidad de un instrumento constituye el requisito

indispensable para brindarle rigurosidad científica a la investigación, además de la

pertinencia en cuanto a la veracidad de los datos recolectados con dicho instrumento,

Finol y Camacho (2006). La Validez estuvo determinada por la selección de tres

profesionales de la Docente en el área de Matemática, a quienes se les solicito la

revisión del cuestionario conjuntamente con la matriz de operacionalización, el cual

contenía el objetivo general, específicos, variable, dimensiones y los indicadores;

para lograr eficacia del instrumento se anexo una tabla para evaluar redacción,

coherencia y relevancia con los objetivos de la Propuesta. Los expertos consultados

coincidieron en su opinión sobre el instrumento, fundamentando que el cuestionario

es apropiado para los efectos de la investigación ya que cubre todos los aspectos y

además cumple con el número de ítems adecuado.

En cuanto a la confiabilidad para el instrumento de recopilación de datos fue

calculado con la Kuder-Richardson ya que el cuestionario consta de una opción

correcta de tres opciones incorrectas, Ruiz (2006). Se seleccionó 5 estudiantes que

42

pertenecen a la población pero no son parte de la muestra en una sola aplicación, y

luego se recurrió al cálculo del coeficiente de confiabilidad con el método de Kuder-

Richardson. (P. 64).

La fórmula para determinar el Kuder-Richardson es:

1

∗ ∑ ∗

Donde:

r tt = es el coeficiente de confiabilidad

k = es el número de ítems

Vt = es la varianza de la prueba.

p = son las probabilidades de éxito

q = son las probabilidades de fracaso

El valor del coeficiente de correlación obtenido cuando se sustituyeron los

datos en la formula fue de 0.92, lo cual demuestra que es elevada su confiabilidad,

según el cuadro de distribución de intervalos de confiabilidad; donde específica la

oscilación entre 0 y 1 y su magnitud.

Rango Magnitud

0,81- 1,00 Muy Alta

0,61 – 0,80 Alta

0,41 – 0,60 Moderada

0,21 – 0,40 Baja

0,01 – 0,20 Muy Baja

Fuente: Hernández, R (1998) y Ruiz, C (1998).

Por lo tanto, se confirma que de ser aplicado los instrumentos a otros grupos

los resultados serían similares porque la confiabilidad sobrepasa el 90% en todos los

casos.

43

4. RESULTADOS

4.1. Análisis e Interpretación de los Resultados

Luego de la aplicación de los instrumentos fueron analizados los resultados

con la finalidad de dar respuesta a las interrogantes planteadas y cumplimiento con

los objetivos de la investigación, permitiendo de esta manera establecer conclusiones

que reflejen la realidad de la situación actual, las cuales se derivan de la realización

del trabajo en estudio cuya orientación principal fue la Propuesta de un Diseño

Instruccional para la Enseñanza de las Secciones Cónicas en los Estudiantes del Sexto

Semestre de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo.

Dentro de esta perspectiva, para realizar el análisis de los datos se tomo en

cuenta los ítems presentados en el instrumento aplicado. Se utilizó el procedimiento

de estadística descriptiva, para tal efecto, los resultados serán presentados y

organizados en cuadros y gráficos de distribución por frecuencia absolutas luego el

porcentaje de respuestas correctas, incorrectas y no respondió, así como también las

frecuencias y porcentajes de cada opción de respuesta con la finalidad de obtener

información sobre el reconocimiento y conversión de registros algebraicos y

geométricos.

De esta misma forma, el proceso de análisis de los resultados se realizó

atendiendo a la estructura del cuestionario diseñado, es decir, por ítems y luego para

concluir el estudio se construye un análisis general de la variable aprendizaje para

observar cada sección cónica desde cada vertiente del registro y describir

directamente el comportamiento de las respuestas correctas e incorrectas de acuerdo a

la curva seleccionada. De esta manera se presentan sus resultados a continuación:

44

Ítem: 1. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico

1) La siguiente ecuación x2-4y2+2x+16y-11 0, representa una sección cónica que tiene como centro:

Opción Frecuencia Porcentaje

a) (0,0) 0 0

b) (-1,2) 2 15

c) (1,2) 4 31

d) Ninguna de las anteriores 6 46

e) No respondió 1 8

Respuesta Frecuencia Porcentaje

Correcta 2 15

Incorrecta 10 77

No respondió 1 8

Fuente: Flores (2015).

Análisis

En el tabla de distribución 1.1 se observar un 0% en la opción “a”, 15% en la

opción “b”, un 31% en la opción “c” y un 46% en la opción “d”; para un total de 15%

de respuestas correctas, 77% de respuestas incorrectas y 8% no marcó ninguna

opción de respuesta. Los datos expresados en los cuadros y gráfico indican, un bajo

índice de reconocimiento en la ecuación general de la hipérbola, la cual genera

deficiencias en reconocer sus elementos a partir de la ecuación.

15

77

8 Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 1

45

Ítem: 2. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Geométrico.

2) Dada la gráfica, la ecuación

general que genera dicha

curva es:


a) x2+y2+4x-6y=0 2 15

b) x2+y2-4x-6y=0 2 15

c) x2+y2-4x+6y =0 8 62

d) x2+y2+4x+6y =0 0 0



Correcta 2 15

Incorrecta 10 77

No respondió 1 8

Fuente: Flores (2015)

Análisis

En la tabla de distribución 2.1. se observa un 15% en la opción “a”, un 15%

en la opción “b”, un 62% en la opción “c” y un 0% en la opción “d”; para un total de

15% de respuestas correctas y un 77% incorrectas mientras que un 8% no respondió

ninguna opción.

15

77

8Correcta

Incorrecta

No respondió

46

Ítem: 3. Dimensión: Elipse. Indicador: Registro Algebraico.

3) La ecuación 9x2+8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano una:


a) Circunferencia 4 31

b) Elipse 5 38

c) Parábola 0 0

d) Hipérbola 4 31



Correcta 5 38

Incorrecta 8 62

No respondió 0 0

Fuente: Flores (2015) Análisis

En la tabla de distribución 3.1 se observa un 31% seleccionaron la opción

“a”, un 38% la opción “b”, 0% la opción “c” y 31% de estudiantes de la opción “d”;

donde se observa un total de 38% de estudiantes con la alternativa de respuesta

correcta y el resto con respuesta incorrecta que fue de 62%. Lo anterior indica, que el

38% reconoce la ecuación general de una elipse y los elementos que se desprenden de

su registro algebraico.

38

62

0Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 3

47

Ítem: 4. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Algebraico.

4) La gráfica de la siguiente ecuación x2-y+6 0, corresponde en el plano cartesiano a una:


a) Circunferencia 0 0

b) Hipérbola 4 31

c) Parábola 6 46

d) Elipse 3 23



Correcta 6 46

Incorrecta 7 54

No respondió 0 0


Análisis

En la tabla de distribución 4.1 se evidencia un 0% de estudiantes por la opción

“a”, 31% por la opción “b”, 46% por la opción “c” y un 23% por la opción “d”; pero

es en el gráfico 4.2 donde se muestra un 46% de respuestas correctas y un 54% de

incorrectas. Lo cual indica, que existe una posible dificultad para construir la curva de

una parábola a partir de la ecuación.

4654

0Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 4

48

Ítem: 5. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Geométrico.

5) Dada la gráfica, la ecuación

ordinaria es:


a) 4 31

b) 0 0

c) 4 31



Respuesta FrecuenciaPorcentaje

Correcta 4 31

Incorrecta 7 54

No respondió 2 15


Análisis

En la tabla de distribución 5.1 se observa un 31% de estudiantes que

consideraron la opción “a”, 0% la opción “b”, 31% la opción “c”, mientras que un

23% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 5 se observa un 31% de estudiantes

que respondieron acertadamente, un 54% incorrectamente y el resto se mantuvo sin

responder ninguna opción de respuesta en dicho ítem.

31

54

15Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 5

49

Ítem: 6. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Algebraico.

6) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia? (M, N y C son constante mayores que 0 y M N).


a) Mx2+Ny2 = C 7 54

b) Mx2+My2 = C 6 46

c) x2-Ny2 = C 0 0

d) (Mx+N)(Mx-N) = 0 0 0



Correcta 6 46

Incorrecta 7 54

No respondió 0 0


Análisis

En el gráfico 6.1 se aprecia un 54% de estudiantes que respondieron la opción

“a”, 46% la opción “b”, mientras que las opciones “c” y “d” no alcanzaron ningún

porcentaje. Mientras que en el gráfico 6 se observa claramente que las opciones “a” y

“b” tienen un acercamiento entre sus porcentaje, y aunque todos los estudiantes

respondieron el ítem solo el 46% logro acertar con la respuesta correcta y el resto de

la muestra obtuvo la respuesta incorrecta.

4654

0

Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 6.2

50

Ítem: 7. Dimensión: Elipse. Indicador: Registro Geométrico.

7) Dada la gráfica, la ecuación ordinaria es:


a) 3 23

b) 1 8

c) 5 38




Correcta 3 23

Incorrecta 9 69

No respondió 1 8


Análisis

En la tabla de distribución 7.1 se evidencia un 23% de estudiantes con la

opción “a”, 8% opción “b”, 38% opción la opción “c” y un 23% la opción “d”.

Mientras que en el gráfico 7 se muestra un 23% con la respuesta correcta, 69%

distribuido entre respuestas incorrectas y un 8% que no respondió el ítem.

23

69

8Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 7

51

Ítem: 8. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico.

8) La gráfica de la ecuación 9x2-8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano:


a) Una curva cerrada y equidistante a un punto. 7 54

b) Una curva que consta de dos ramas y dos asíntotas

4 31

c) Una curva que consta de dos ramas finitas y una directriz

0 0

d) Ninguna de las anteriores. 0 0



Correcta 4 31

Incorrecta 7 54

No respondió 2 15


Análisis

En la tabla de distribución 8.1 se observa un 54% de estudiantes con la opción

“a”, 31% con la opción “b”, y 0% en las opciones “c” y “d”. Mientras que en el

gráfico 8 se distribuye en 31% respuesta correcta, 54% en opciones incorrectas y un

15% que no respondió ninguna opción. Lo cual indica, que solo un 31% reconoce la

definición de hipérbola desde la ecuación general.

31

54

15Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 8

52

Ítem: 9. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Geométrico.

9) Dada la gráfica, la ecuación general es:


Análisis

En la tabla de distribución 9.1 se aprecia un 23% de estudiantes que

consideraron la opción “a”, 46% la opción “b”, 8% opción “c” y un 8% la opción “d”.

Mientras que en el gráfico 9 se observa que solo un 8% responde de forma correcta el

ítem mientras que un 77% incorrectamente y un 15% no responden.


a) 3 23

b) 6 46

c) 1 8

d) 1 8



Correcta 1 8

Incorrecta 10 77

No respondió 2 15

8

77

15Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 9

Ítem: 10. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Geométrico.



a) 0 0

b) 0 0

c) 7 54




Correcta 0 0

Incorrecta 12 92

No respondió 1 8


Análisis

En la tabla de distribución 10.1 se evidencia que 0% de los estudiantes

consideraron la opción “a”, 0% opción “b”, 54% opción “c” y 38% la opción “d”.

Mientras que en el gráfico 10 se observa que 0% respondió de forma correcta el ítem,

92% responde de forma incorrecta y un 8% no respondió el ítem, lo cual se considera

que existe un alto incide de estudiantes que no reconocen la construcción de la

ecuación de una parábola dada su gráfica.

0

92

8Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 10

54

Ítem: 11. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico.

11) La ecuación 4 4 3 , genera en el plano cartesiano una:


a) Parábola 2 15

b) Elipse 4 31

c) Hipérbola 4 31

d) Circunferencia 2 15



Correcta 4 31

Incorrecta 8 61

No respondió 1 8


Análisis

En la tabla de distribución 11.1 se evidencia que un 15% de estudiantes

tomaron la opción “a”, 31% la opción “b”, 31 la opción “c” y un 15% la opción “d”.

Pero en el grafico 11se evidencia que solo el 31% respondió acertadamente mientras

que el 61% considero opciones incorrectas y un 8% decidió no responder el ítem.

Gráfico 11

31

61

8Correcta

Incorrecta

No respondió

55

Ítem: 12. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Geométrico.

12) Dada la gráfica, identifica la variable cuadrática:


a) x 4 31

b) y 6 46

c) Todas la anteriores 2 15


E) No respondió 1 8


Análisis

En la tabla de distribución 12.1 se puede apreciar que un 31% de estudiantes

consideró la opción “a”, 46% la opción “b”, 15% la opción “c” y 0% la opción “d”.

Mientras que en el gráfico 12 se puede observar que solo el 31% consideró la opción

correcta, el 61% las opciones incorrectas y un 8% prefirió no considerar ninguna

opción de respuesta.


Correcta 4 31

Incorrecta 8 61

No respondió 1 8

31

61

8Correcta

Incorrecta

No respondió

Gráfico 12

56

Variable: Aprendizaje.

Gráfico 13


01020304050607080

Registro Algeb

raico

Registro geo

metrico

Registro Algeb

raico

Registro geo

metrico

Registro Algeb

raico

Registro geo

metrico

Registro Algeb

raico

Registro geo

metrico

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

46

12

38

23

46

1526

31

54

73

6269

54

77

6454

0

15

08

08 10

15

Dimensiones Indicadores Frecuencia de

Correcta %

Frecuencia de Incorrecta

% No

Respondió%

Circunferencia

Registro Algebraico

6 46 7 54 0 0

Registro Geométrico

3 12 19 73 4 15

Elipse

Registro Algebraico

5 38 8 62 0 0


3 23 9 69 1 8

Parábola

Registro Algebraico

6 46 7 54 0 0


4 15 20 77 2 8

Hipérbola

Registro Algebraico

10 26 25 64 4 10


4 31 7 54 2 15

57

Análisis

En el gráfico 13 se aprecia claramente el comportamiento de indicador

respecto a la dimensión. El 46% reconoce la circunferencia dada su ecuación mientras

que el 12% conoce la forma de la ecuación dada la gráfica, y además este indicador

posee un 15% de estudiantes que decidieron no responder los ítems relacionados al

registro geométrico de la circunferencia.

La sección cónica elipse genera un 38% de reconocimiento por parte de los

estudiantes sobre la construcción del lugar geométrico mientras que un 23% reconoce

la ecuación dado el lugar geométrico, y una vez más se evidencia que este ultimo

indicador genera un 8% de respuestas en blanco.

La parábola posee 46% de estudiantes con conocimientos para reconocer el

lugar geométrico dada su ecuación mientras que el 15% construye la ecuación dado

su lugar geométrico siendo uno de los indicadores con mayor porcentaje de

respuestas incorrectas siendo de 77% de estudiantes.

Y por último la hipérbola con 26% de respuestas correctas por parte del

estudiantado sin embargo tiene un 31% que reconoce la ecuación de la hipérbola dada

su gráfica, sin embargo posee al igual que la dimensión de la circunferencia un alto

porcentaje de estudiantes que dejo en blanco los ítems relacionados al reconocimiento

de la ecuación dadas las gráficas.

De todo lo antes observado, se observa alto índice de porcentajes de

respuestas incorrectas de los registros geométricos solo la dimensión de la Hipérbola

ubica el registro algebraico con mayor índice de incorrectas.

58

4.2. Conclusiones del Diagnóstico

Los resultados de los registro algebraicos a geométricos resultan un poco altos

en cuanto a las respuestas incorrectas, sin embargo del registro geométrico al

algebraico representa un alarmante índice de respuestas incorrectas en la mayoría de

las secciones cónicas diagnosticadas y además una cantidad elevada de respuestas sin

ninguna opción. Es decir, las unidades significantes de los lugares geométricos

presentados no constituyen un significado analítico para el estudiante y mucho menos

un significado dentro del mismo registro geométrico, esto quiere decir que el

estudiante tiene pocas posibilidades de hacer una lectura correcta de un grafico,

Duval (1988).

Por tal razón, surgen las actividades de orden geométrico al algebraico como

prioritarios, aun cuando esto no soluciona la problemática presentada sino por el

contrario darle significado y cada significante y lograr correspondencia entre registros

dentro de su rol heurístico e intuitivo. De manera general para los registros

bidimensionales, y en particular para aquellos en los cuales las unidades significantes

no están semióticamente separadas, se puede afirmar, de una parte, que es necesario

un aprendizaje de los tratamientos que les son propios y, de otra, que el criterio de

semántica sea más difícil de verificar para la actividad cognitiva de conversión.

Según Duval (1998), las razones por las cuales el estudiante no construye la

congruencia entre registro son múltiples. Uno de estos factores pueden ser los

registros que funcionan como puentes dentro del cambio de registro como por

ejemplo el uso de tabla de valores para construir el lugar geométrico; situación que no

surge del registro geométrico al algebraico. Pero el propósito de la investigación es

establecer su existencia y la efectividad de otros mecanismos de actividades, que

orientan al aprendiz a la congruencia entre registros.

59

4.3. Factibilidad

Luego de realizado el diagnostico se procedió al estudio de factibilidad la cual

constó de tres fases: operativa, técnica y económica; con el fin de fundamentar la

implementación de la propuesta y analizar su costo, así como los beneficios que se

pueden adquirir.

4.3.1. Factibilidad Operativa

Esta etapa se hace factible por la existencia del departamento de

publicaciones, ya que por medio de ellos se puede reproducir el material con la

finalidad que cada estudiante lo obtenga de forma inmediata y segura.

Se hace aun más factible por los beneficios que pueden encontrarse tras la

oportunidad que se le presenta al estudiante de mantenerse al día con la asignatura, el

incentivo a la investigación por parte del estudiantado, y la ayuda pedagogía que se

puede presentar durante el desarrollo de las clases en aula presencial.

4.3.2. Factibilidad Económica

En esta fase se analizaron los costos para conocer si es accesible y sustentable

la propuesta, sin embargo conociendo la Universidad de Carabobo en especial la

Facultad de Ciencias de la Educación, que cuenta con un apoyo económico en las

hojas y tóner, en la reproducción de materiales instruccionales, haciendo así factible

la obtención de dicho material a un bajo presupuesto y en acuerdo con el estudio

socio-económico del estudiante.

Además logrando beneficios para el estudiante en cuanto a las extensas

referencias bibliográficas que deben ser obtenidas y en ese sentido solo tendría este

60

material lo cual es una compilación completa sobre las secciones cónicas y sus

aplicaciones.

Por otro lado, los materiales son localizables dentro de la misma facultad y

cerca de sus aulas de clase, lo que hace posible que la reproducción del material se

haga cuantificando la cantidad de estudiantes que asisten a la asignatura de geometría

II en presente y exista altas posibilidades de que ningún estudiante se quede sin su

material instruccional y no generaría materiales desiertos en estantes.

4.3.3. Factibilidad Técnica

Luego de observar los componentes técnicos que se deben poseer para la

propagación de material didáctico, entonces se concluye su factibilidad aceptada, ya

que la Universidad de Carabobo cuenta con los artículos técnicos como lo son:

fotocopiadoras, impresoras, hojas, cartulinas entre otros materiales que transforman

unas simples hojas en un bloquecillo que posee estrategias adecuadas para el

aprendizaje de las secciones cónicas, la cual es considerada contenido central en la

mención de matemática.

Es decir, sus beneficios pueden ser visibles en otras asignaturas como cálculo,

algebra, análisis, física, entre otras asignaturas que contempla la mención.

61

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. Conclusiones En atención a la información recopilada en el desarrollo de la investigación, se

llego a las siguientes conclusiones:

Atendiendo a la fase de diagnostico, se determinó la necesidad de elaborar un

módulo de aprendizaje de las secciones cónicas dirigido a estudiantes del sexto

semestre de la facultad de ciencias de la educación, para incentivar los cambios de

registros algebraicos y geométricos y atender cada signo y su significante dentro de

cada registro, para luego dar veracidad de la completitud de ambos registros dentro

del análisis geométrico.

En decir, el estudiante codifica cada registro de manera independiente pero los

diversos tratamientos son los que estimulan en el individuo el razonamiento abstracto

y crítico, lo que ayuda en una geometría posterior en proyecciones geométricas en el

espacio. Por esta razón, se hace pertinente el uso de estrategias de aprendizaje en

dicha temática que cobra mayor importancia cuando estos formadores salen al campo

de trabajo y presentan sus conocimientos a sus estudiantes en un futuro cercano.

En este mismo sentido, se manifiesta que el material de apoyo también

estimula la creatividad en el individuo a la cual se le presenta y además estimula el

interés por la asignatura lo que conlleva a la construcción del aprendizaje

significativo, y una ventana abierta a la posibilidad de incrementar el rendimiento

académico de los estudiantes que cursan Geometría II dentro de la Facultad de

Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo.

62

En cuanto a las estrategias utilizadas en el módulo de aprendizaje, los

estudiantes se encaminaran al valor de ser responsables de su propio aprendizaje. Para

esto el proceso se ubicara en auto y hetero reflexión que permita un estudio dirigido

por sí mismo y que permita la interrelación entre estudiantes. Cada sesión del

módulo, accederá a la fijación el registro algebraico/geométrico y luego a la

resolución de ejercicios que establecerán la necesidad de ambos registros para

establecer un desempeño adecuado en la construcción de las soluciones, en otras

palabras, las definiciones matemáticas deben ser representadas por figuras, graficas,

formulas, tablas, símbolos o expresiones verbales; pues este proceso de visualización

en cada una de estas representaciones involucra la habilidad de detectar signos

importantes y operar apropiadamente con ellas; involucra también la traducción en

términos cognitivos del pensamiento abstracto de la transformación de las

representaciones creando la consolidación del aprendizaje.

Igualmente, es pertinente que el estudiante se sienta en la misma necesidad

cuando genere soluciones en las aulas de clase para una mayor eficacia del

aprendizaje consolidado. Es decir, el estudiante puede encontrar una exactitud en las

soluciones de los ejercicios estableciendo ambos registros, ya que cada registro puede

revelar un sin fin de datos ocultos que el otro no lo considera razonable dentro del

aula de clase.

Por otro lado, el estudiante realiza asociaciones entre asignaturas afines como

física y química; y compara los algoritmos de solución así como analizar sus

respuestas de forma grupal, esto desencadena un factor determinante en la nueva era

educativa que son: la comunicación, comprensión, respeto, solidaridad, compartir y

cooperar, dentro del grupo de estudio y así postergar tales valores para cuando inicie

en el campo laboral establezca sin dificultad un colectivo docente pertinente a la

soluciones de problemáticas comunes.

63

En este mismo sentido, se presenta el módulo de aprendizaje como la mejor

estrategia que estimulará los hábitos de estudio, organización del tiempo de

dedicación a su asignatura, organización a los recursos materiales bibliográficos,

empleo de técnicas de aprendizaje según su individualidad, y adecuación de su

aprendizaje a su entorno cotidiano hasta garantizará una mejor focalización del

conocimiento aprehendido y la transferencia a otras asignaturas que incluso no son

afines con la matemática.

Para finalizar, es útil señalar que los materiales educativos impresos no solo se

consideran como una herramienta de aprendizaje, sino también para planificar y

evaluar las actividades de clase por parte del docente; además, diagnosticar las

necesidades, habilidades, destrezas y actitudes divergentes de los participantes del

proceso de enseñanza y aprendizaje; lo que enrumbará a una nueva visión del

desarrollo de las clases, fragmentando con la utopía de que el docente es el generador

de conocimiento único dentro del aula de clase.

5.2. Recomendaciones En el proceso de aprendizaje a partir del módulo de aprendizaje se busca la

participación activa de la mayoría de los estudiantes en sus actividades dentro

y fuera del aula.

Las clases se tornarán dinámicas, ya que el estudiante vendría con un

aprendizaje previo, por lo tanto la dinámica del proceso de enseñanza se

volverá crítica y reflexiva.

64

Los estudiantes tienen la opción de contextualizar su aprendizaje para lograr

un conocimiento afianzado, además se comportan como facilitadores dentro

de su proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los estudiantes construirán su aprendizaje de manera significativa con el uso

del modulo de aprendizaje y mejoraran su rendimiento académico.

Sería pertinente que los docentes incorporen el cambio de registros algebraico

y geométrico y viceversa, como actividades dentro del aula y evaluativas.

Por otro lado, el módulo de aprendizaje sería un abanico de actividades de

distinto orden de algoritmos de solución, lo cual consagra un mayor

compromiso por parte del estudiantado en cuanto al esfuerzo del pensamiento

abstracto.

Para culminar el módulo de aprendizaje se las secciones cónicas es un aporte

significativo para el proceso de aprendizaje de la geometría analítica, y lograr

en el estudiante la formación integral, y sea capaz de transponer a otras

ciencias del conocimiento el contenido

65

6. LA PROPUESTA

DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE

SECCIONES CÓNICAS.

6.1. Presentación y Justificación

El desarrollo tecnológico, científico y urbanístico de una nación dependen

directamente del desarrollo matemático que tengan cada ciudadano de ese país, es por

esa razón fundamental que nuestras escuelas deben mejorar su calidad educativa

siempre sobre la marcha de los avances sociales y políticos, pero dicho avance debe

impulsarse desde las aulas magnas que forman a los formadores del mañana.

Es por lo antes expuesto que se señala la prioridad de que las escuelas de

educación matemática formen en sus estudiantes la habilidad de cambios de registros

para lograr así la eficacia de la consolidación del conocimiento tomando como

contenido pionero las secciones cónicas.

Sobre la base de estas propuestas, se presenta un diseño instruccional para el

aprendizaje de las secciones cónicas dirigido a los estudiantes del sexto semestre de la

Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, como

herramienta didáctica, apoyada en la utilización de cambios de registros, las cuales

sirven como las estrategias que facilitan el proceso de aprendizaje de la geometría, y

además es un material que encamina las actividades de cambios de registros y la

oportunidad de asimilar que ambos registros son pertinentes en el análisis de

ejercicios para evidenciar la solución para luego comprender las construcciones

geométricas espaciales.

66

De lo antes expuesto, de los antes expuesto se organizo el material por

sesiones de cónicas y cada una se oriento a los dos niveles de tratamiento, así como

también ejercicios propuestos y lecturas que incorporan la necesidad de usar el

registro algebraico y geométrico, y sus respectivos tratamientos.

Este proyecto se considera importante porque contribuye a la capacitación de

cada estudiante, a la adquisición de nuevas destrezas, técnicas, métodos, aplicables al

proceso de aprendizaje, además de ofrecer herramientas que le permitan al estudiante

manejar su propio proceso de aprendizaje sobre la geometría analítica plana.

6.2. Objetivos de la Propuesta

6.2.1. Objetivo General

Proponer un diseño instruccional fundamentado en los cambios de registros,

para el aprendizaje de secciones cónicas en los estudiantes del sexto semestre de

geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de

Carabobo.

6.2.2. Objetivos Específicos

1) Describir los aspectos teóricos de cada sección cónica y su aplicación

en la cotidianidad, para establecer la importancia en la vida real.

2) Establecer la estructura de cada sección cónica, para el desarrollo de

cada uno por sesión de aprendizaje.

67

3) Proponer ejercicios sugeridos en cada módulo de acuerdo a cada

registro algebraico/geométrico o geométrico/algebraico.

6.3. Descripción de la Propuesta

La propuesta del diseño instruccional para el aprendizaje de las secciones

cónicas en los estudiantes del sexto semestre de geometría II de la Facultad de

Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, cumple que las siguientes

etapas según Dick y Carey, (2001):

1) Identificar las metas formativas: se selecciona una lectura para compartir e

introducir a la sección cónica, en esta fase se determina aquello que las

personas deben saber hacer al finalizar el proceso formativo, para lograr un

interés en el estudio de sus elementos.

2) Analizar las metas formativas: se estableció los pasos que deben aprender

para lograr el conocimiento afianzado de la sección cónica, por medio de sus

definiciones establecidas.

3) Analizar los aprendices y sus contextos: en esta fase se mostro con

ejercicios de aplicación como pueden aplicarse las definiciones aprendidas.

4) Escribir los objetivos, desarrollar instrumentos y estrategias formativas:

se estableció ejercicios desarrollados con su algoritmo de solución para

establecer de manera clara la meta que debe cumplir el estudiante para

reforzar el aprendizaje.

68

5) Desarrollar, revisar y seleccionar los materiales formativos: se construyo

un formulario que se usara en todo el proceso de aprendizaje de cada sección

cónica y además presenta similitud entre las secciones cónicas.

6) Diseñar y realizar la evaluación sumativa del proceso formativo: se diseño

un compendio de ejercicios propuestos con la finalidad de autoevaluar al

estudiante, esto verifica que el estudiante ha dado la respuesta correcta y que

ha aprendido.

Es importante resaltar, que las interrogantes de cada lectura deben ser

investigadas, ya que se presentaron como una vertiente para compartir e interactuar

entre los estudiante y además se ofrece una oportunidad para ampliar una gama de

sabiduría sobre la historia de la matemática.

Por otro lado, la evolución paulatina de la dificultad de cada ejercicio

propuesto permite que el estudiante no se suba su nivel de abstracción de forma

gradual.

Al final de la propuesta se construyo un glosario de términos útil para el

estudiantes, un formulario que sirve como pre-requisitos para estudiar las secciones

cónicas, y además las posibles soluciones a cada actividad propuesta dentro del

diseño instruccional. Así como también, su bibliografía consultada para la

elaboración del mismo.

69

Matriz de Operacionalización

Objetivo General: Proponer un diseño instruccional para el aprendizaje de secciones cónicas para los estudiantes del sexto

semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo.

Objetivo Específico Variable Dimensiones Indicadores Ítems

1. Diagnosticar el conocimiento que poseen los

estudiantes en el contenido secciones cónicas en el

sexto semestre de la asignatura de geometría II de la

Facultad de Ciencias de la Educación en la

Universidad de Carabobo.

Aprendizaje

Circunferencia Registro Algebraico 6

Registro Geométrico 2, 9

Elipse Registro Algebraico 3

Registro Geométrico 7

2. Estudiar la factibilidad de un diseño instruccional

para el aprendizaje de secciones cónicas para los

estudiantes del sexto semestre de geometría II de la

Facultad de Ciencias de la Educación en la

Universidad de Carabobo.

Parábola

Registro Algebraico 4


10, 12

3. Diseñar instrucciones de aprendizaje de secciones

cónicas para los estudiantes del sexto semestre de la

asignatura geometría II de la Facultad de Ciencias de

la educación en la Universidad de Carabobo.

Hipérbola

Registro Algebraico 1, 8, 11

Registro Geométrico 5

:




Estimado Estudiante:

La presente prueba de selección simple, se hace con la finalidad de recolectar información indispensable para la realización de un estudio titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS”.

Se trata de una prueba de selección simple y consta de 12 ítems con cuatro alternativas de respuesta, donde solo uno es la correcta. La aplicación de éste es relevante, ya que permitirá recabar información de interés para esta investigación. Su colaboración será valiosa en la medida que responda a todas las preguntas, sin hacer uso del azar, ya que de ello dependerá el éxito de esta investigación.

Instrucciones

Lea cuidadosamente cada pregunta antes de responder Responda de forma individual la totalidad de las preguntas planteadas Marque sólo una de las cuatro alternativas de respuesta Esta prueba consta de 90 minutos y no tiene incidencia sobre sus

calificaciones en esta Unidad Curricular.

Gracias por su tiempo y la colaboración prestada

141




Prueba de Selección Simple

1) La siguiente ecuación x2-4y2+2x+16y-11 0, representa una sección cónica que tiene como centro:

a) (0,0) b) (-1,2) c) (1,2) d) Ninguna de las anteriores

2) Dada la gráfica, la ecuación general que genera dicha curva es:

a) x2+y2+4x-6y 0 b) x2+y2-4x-6y 0 c) x2+y2-4x+6y 0 d) x2+y2+4x+6y 0

3) La ecuación 9x2+8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano una:

a) Circunferencia b) Elipse c) Parábola d) Hipérbola

142

4) La gráfica de la siguiente ecuación x2-y+6 0, corresponde en el plano cartesiano a una:

a) Circunferencia b) Hipérbola c) Parábola d) Elipse


a) 1

b) 1

c) 1

d) Ninguna de las anteriores 6) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia? (M, N y C son constante mayores que 0 y M N).

a) Mx2+Ny2 C b) Mx2+My2 C c) x2-Ny2 C d) (Mx+N)(Mx-N) 0

143


a) 1

b) 1

c) 1

d) Ninguna de las anteriores

8) La gráfica de la ecuación 9x2-8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano:

a) Una curva cerrada y equidistante a un punto. b) Una curva que consta de dos ramas y dos asíntotas c) Una curva que consta de dos ramas finitas y una directriz d) Ninguna de las anteriores.


a) 2 4 1 b) 2 4 1 c) 2 4 1 d) 2 4 1

144


a) 4 3 b) 4 3 c) 4 3 d) Ninguna de las anteriores

11) La ecuación 4 4 3 , genera en el plano cartesiano una:

a) Parábola b) Elipse c) Hipérbola d) Circunferencia

12) Dada la gráfica, identifica la variable cuadrática:

a) X b) Y c) Todas las anteriores d) Ninguna de las anteriores

145

: Ó

146

147

148

149

150

151

REFERENCIAS

Albergante, S. (2004). Propuesta Didáctica para el Estudio del Cálculo en Primer Año

de la Facultad de Ciencias Económicas. [Resumen en Línea]. Boletín de

Orientación Pedagógica UNCuyo. Argentina. Disponible:

http://www.fce.uncu.edu.ar/novedades/index/resumenes-jornadas-2004.

[Consulta: 2013, Diciembre 10].

Albert, M. (2007). La Investigación Educativa: Claves Teóricas. Primera Edición en

Español. Editorial MsGramw-Hill/Interamericana de España. Universidad

Nacional de Educación a Distancia. Impreso en España- Madrid.

34

56

78

910

11

01

11

00

11

01

01

00

00

00

00

00

00

00

01

00

11

01

01

11

200,60

0,60

0,00

0,60

0,20

0,80

0,20

0,20

800,40

0,40

1,00

0,40

0,80

0,20

0,80

0,80

160,24

0,24

00,24

0,16

0,16

0,16

0,16

3,2 92

Confiabilidad

de Kuder‐Richardson

Items

ANEXO E: CONFIABILIDAD

152

Artigas, W. y Robles, M. (2010). Metodología de la Investigación: Una Discusión

Necesaria en Universidades Zulianas. [Revista en Línea]. Revista Digital

Universitaria, Número 11. Universidad Rafael Belloso Chapín. Disponible:

http://www.revista.unam.mx/vol.11/num11/art107/art107.pdf. [Consulta:2014,

junio 28].

Balestrini, D. (2006). Como se Elabora el Proyecto de Investigación. Séptima

Edición. Caracas.

Barrios, M (2006). Manual de Trabajos de Grado de Especialización y Maestría y

Tesis Doctorales. Cuarta Edición. Caracas.

Corral, Y. (2008). Validez y Confiabilidad de los Instrumentos de Investigación para

la Recolección de Datos. [Revista en Línea]. Ensayo. Revista Ciencias de la

Educación. Segunda Etapa. Disponible:

http://servicio.bc.uc.edu.ve/educacion/revista/n33/art12.pdf. [Consulta: 2015,

febrero 20].

De la Rosa, A. (2002). Telesecundaria, Un Espacio para el Uso de la Calculadora

Algebraica. [Resumen en Línea]. Trabajo de Grado de Maestría no Publicado,

Universidad Pedagógica Nacional, México. Disponible:.

http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2002/junio/1anteaula73.htm.

[Consulta: 2014, Enero 13].

Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros Semióticos y

aprendizaje Intelectuales. Segunda Edición. Colombia.

153

Finol, M. y Camacho, H. (2006). El Proceso de Investigación Científica. Editorial de

la Universidad del Zulia. Impresión de EDILUZ. Venezuela- Maracaibo.

Fleischman, Howard, Hopstock, Pelczar, Marisa, Shelley y Brooke. (2009).

Highlights from PISA 2009: Performance of U.S. 15-Year-Old Students in

Reading, Mathematics, and Science Literacy in an International Context. NCES

2011-004. ERIC. Estadísticas Educativas Nacionales. [Resumen en Línea].

Disponible: http://eric.ed.gov/?id=ED513640. [Consulta: 2014, Mayo 15].

García, T. (2003). El Cuestionario el Instrumento de Investigación/ Evaluación.

[Resumen en Línea]. Pedagogía en Línea. España- Madrid. Disponible:

http://www.univsantana.com/sociologia/El_Cuestionario.pdf. [Consulta: 2014,

junio 18].

Hoyos, V. (1998). Revisitando La Construcción de Significado en Torno de las

ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas: Observaciones Empíricas con

Estudiantes de 16-18 años de Edad. [Resumen en Línea]. Trabajo de Grado de

Maestría no Publicado, Universidad Pedagógica Nacional, México. Disponible:

http://descartes.ajusco.upn.mx/piem/publicvha1.html. [Consulta: 2014, Enero

22].

Ministerio de Educación y Ciencia Española. (2007). La Inteligencia Fílmica entre

los Factores Múltiples de la Inteligencia. [Documento en Línea]. Instituto

Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado. Series

Informes 15 CNICE-MEC. España. Disponible:

http://ares.cnice.mec.es/informes/15/documentos/47.htm. [Consulta:2014,

marzo 18].

154

Mora, C. (2003). Estrategias para la Enseñanza y Aprendizaje de la Matemática.

Revista de Pedagogía versión impresa ISSN 0798-9792. [Revista en Línea].

Caracas. Disponible:http://www.scielo.org.ve/scielo.php?pid=s0798-

97922003000200002&script=sci_arttext . [Consulta: 2014, junio 17].

Lehmann, C. (1980). Geometría Analítica. Grupo Noriega. Editorial Limusa. México.

Orozco, C., Labrador, M. y Palencia, A. (2002). Metodología. Manual Teórico

Práctico de Metodología para Tesistas, Asesores, Tutores y Jurados de Trabajos

de Investigación y Ascenso. Primera Edición. Valencia.

Palarea, M. (1999). La adquisición del Lenguaje Algebraico: Reflexiones de una

Investigación. [Revista en Línea]. Números. Revista de la Didáctica de las

Matemáticas. Volumen 40. Páginas 3-28. Disponible:

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/40/Articulo01.pdf. [Consulta: 2014,

julio 18].

Palella, S. y Martins, F. (2006). Metodología de la Investigación Cuantitativa.

Segunda Edición. Fondo Editorial de la Universidad Pedagógica Experimental

Libertador. Venezuela- Caracas.

Ruiz, C. (2002). Instrumentos de Investigación Educativa. Procedimientos para su

Diseño y Validación. Segunda Edición. CIDEG. Impresión: Tipografía y

Litografía Horizontes, C.A. Impreso en Venezuela.

Véliz, A. (2012). Tutores y Tesistas Exitosos. Incluyendo Cómo hacer Propuestas y

Operacionalización de Variables. Novena Edición Marzo 2012. Caracas.

155

Vidales, S. (2009). El Fracaso Escolar en la Educación Media Superior. Red de

Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal. [Revista

en Línea]. Disponible: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=55114094017. .

[Consulta: 2014, julio 20].

Elaborado por Rina Flores

Dirigido a Estudiantes de la Facultad de

Ciencias de la Educación

Mención Matemática

2

La ciencia es el alma de la prosperidad de las naciones y la

fuente de todo progreso.

Louis Pasteur

3

Prólogo

Existe una diversidad de textos de Geometría los cuales

presentan diversos enfoques de aprendizaje y tendencias

futuristas para aquellos estudiantes de matemática que se

encuentran en su período educativo. Sin embargo esta

presentación es dedicada para los formadores de nuestra

semilla ciudadana.

Es un módulo donde ilustra las tendencias reversibles

que existen al momento de asimilar el contenido de Secciones

Cónicas, abordando todos los atrincheramientos que existen

entre los dos cambios de registros fundamentales a través de

la historia de la matemática, las cuales son El Registro

Algebraico y El Registro Geométrico.

Dicha práctica constante de los cambios de significantes

y signos convencionales de representación de registro detonan

una imaginación adecuada para incorporar determinados

contenidos en la resolución de problemas de la cotidianidad.

Por otro lado, incorpora una serie de ejercicios resueltos y

propuestos siempre partiendo de ideas simples, además de un

esquema didáctico simple y orientaciones para lograr la

madurez del conocimiento.

La Autora

4

Índice de Contenido

Prólogo

3

Unidad 1: Secciones Cónicas

Los Tres Problemas Clásicos de la Matemática Griega 6

Introducción a las Secciones Cónicas 7

Definición Geométrica de las Secciones Cónicas 9

Cónicas Degeneradas 10

Definición Algebraica de las Secciones Cónicas 11

Excentricidad 11

Relación entre la Excentricidad y las Cónicas 12

Unidad 2: Circunferencia

La Circunferencia Terrestre 13

Introducción 14

Definición Geométrica de la Circunferencia 14

Definición Algebraica de la Circunferencia 15

Circunferencia Sujeta a Tres Condiciones 19

Intersección de Cónicas 21

Formulas de la Circunferencia 23

Ejercicios Propuestos 26

Unidad 3: Elipse

Observando las Orbitas Planetarias 27

Introducción 28

Definición Geométrica de la Elipse 28

Definición Algebraica de la Elipse 29


5

Formulas de la Elipse 35


Unidad 4: Parábola

Problemas de la Cuadratura en la Matemática Griega 38

Introducción 39

Definición Geométrica de la Parábola 39

Definición Algebraica de la Parábola 40


Formulas de la Parábola 47


Unidad 5: Hipérbola

El Tráfico Aéreo 50

Introducción 51

Definición Geométrica de la Hipérbola 51

Definición Algebraica de la Hipérbola 52


Formulas de la Hipérbola 59


Autoevaluación

63

Respuestas de las Lecturas 65

Respuesta de los Ejercicios Propuestos 66

Pre-Requisitos 70

Glosario de Términos 71

Referencias 74

6

Los tres Problemas Clásicos de la Matemática Griega

La Duplicación del Cubo: Construir, la arista de un cubo que duplique el volumen de un cubo conocido, utilizando solamente regla y compás.

Esté problema se caracteriza

por la ecuación: , en que “a” es la arista del cubo conocido y “x” es la arista que tendrá el cubo de volumen doble. Es decir, no puede construirse su solución, ya que al iterar las construcciones aparecen raíces cuadradas y nunca de otro índice.

Trisección del ángulo: Dividir

un ángulo dado en tres ángulos parciales iguales, usando solo regla y compás.

Se puede demostrar que el problema anterior equivale a

hallar un “x” tal que : ; pero el “x” hallado solo es expresable como una raíz cúbica que no es construible.

La Cuadratura del Círculo: Determine, el lado de un

cuadrado de área equivalente al área de un círculo de radio dado, utilizando solamente regla y compás.

La solución del problema de la cuadratura conduce a la

ecuación 𝑥2 = 4𝜋𝑟2; en ella el coeficiente del término independiente no es algebraico, por tanto no puede ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Estos tres problemas fueron resueltos al transcurrir el tiempo pero haciendo caso omiso de la restricción del uso exclusivo de la regla y el compás.

Investiga y Responde

¿Por qué era fundamental que las resoluciones fueran con regla no graduada y compás?

7

Introducción a las Secciones Cónicas

El descubrimiento de las

secciones cónicas estuvo íntimamente

ligado a uno de los tres problemas

clásicos de la geometría griega, la

Duplicación del Cubo o Problema de

Delos.

Fue Hipocrátes quien demostró

que se podría conseguir la

Duplicación del Cubo, siempre que se

pudiera encontrar curvas que cumplieran 𝑎

𝑥 =

𝑥

𝑦 =

𝑦

2𝑎 ; y

Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos

circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos

(amblitoma).

Ortotoma Oxitoma Amblitoma

Unidad 1 Secciones Cónicas

Problema de Delos

Consiste en

determinar, en

cualquier instante,

las posiciones y

velocidades de tres

cuerpos, de

cualquier masa,

sometidos a su

atracción

gravitacional

mutua.

Ortotoma Oxitoma AmAmAmAmAmmblililiilililil toma

8

Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un

tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los

anteriores, y quien da una formulación definitiva.

Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra

en "Las Cónicas", que son ocho libros dedicados al estudio de

las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus

más completo que recogía los

conocimientos sobre tales curvas

de toda la Antigüedad. Con

posterioridad el rastro de los ocho

libros de Las Cónicas de Apolonio

se perdió, de tal modo que su

legado ha llegado hasta nosotros

de diversas formas. Sólo los cuatro

libros primeros se conservan en

griego.

El octavo desapareció en su

totalidad, pero, gracias a la traducción

al árabe de los libros V al VII que

realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros.

Todos ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por

Johanms Baptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y

Giacomo Alfonso Borelli en 1661.


9

En cuanto a la obtención de Las Cónicas se conoce que,

residiendo en Alejandría, Apolonio fue visitado por un

geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último,

escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en ocho

libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y afinó el

contenido de su primera obra.

Definición Geométrica de las Secciones Cónicas

Si tomamos una recta móvil G que corta a otra recta

fija A en un punto P, formando con ella un ángulo constante,

dicha recta G al girar genera una superficie tridimensional

llamada Cono Circular Recto. La recta G, se denomina recta

generatriz, la recta A es el eje vertical, mientras que el punto

P representa el vértice del cono; y las porciones del cono que

poseen en común el vértice reciben el nombre de hojas. Y la

línea de la curva de los extremos (circunferencia) se

denomina directriz.

Construcción Bidimensional Solido en Revolución

Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse

con la intersección de dicho cono circular recto o solido en

ió Bidididiidid i


10

revolución con un plano, y dicha intersección no debe

contener al vértice del cono.

Es decir, Las distintas cónicas aparecen dependiendo de

la inclinación del plano respecto al eje del cono. Si el plano se

intercepta perpendicularmente al eje A paralelo a la base se

tiene una circunferencia; si se inclina ligeramente, se obtiene

una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se

tiene una parábola y si es paralelo al eje central, corta a

ambas ramas del cono la curva es una hipérbola. Obsérvese

en cada gráfica el lugar geométrico según la inclinación del

plano:

Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

Cónicas Degeneradas

Existe otras secciones cónicas denominadas degeneradas

que son las que contienen al vértice del cono, cuando el plano

se intercepta paralelamente al eje y además pasa por el

vértice, se tiene un punto; si se hace coincidir con la

generatriz, se tiene una recta; y si hacemos coincidir con el


11

eje vertical, se tiene dos rectas. Como se muestra en las

siguientes figuras:

Punto Recta Par de Rectas

Definición Algebraica de las Secciones Cónicas

Desde un punto de vista algebraico se puede definir

cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Los valores que toman A, B, C, D y E, determinan el tipo

de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos

coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro

tipos de cónicas y los tres casos de cónicas degeneradas, se

obtienen incluso cónicas imaginarias.

Excentricidad

Esta definida como el parámetro que determina el grado

de desviación de una sección cónica con respecto a una


12

circunferencia. Se determina con

el símbolo 𝓮 y es otra

característica que define una

cónica.

Para cualquier punto

perteneciente a una sección

cónica, la razón de su distancia a

un punto fijo F (foco) y a una recta fija l (directriz) es siempre

igual a una constante positiva llamada excentricidad.

La siguiente tabla relaciona la excentricidad con la

sección cónica:

Sección Cónica Excentricidad

Circunferencia 𝓮 = 0

Elipse 𝓮 < 1

Parábola 𝓮 = 1

Hipérbola 𝓮 > 1

Cuidado al Usar la

Simbología

𝜺 = letra griega (epsilon)

Є =símbolo de pertenencia

e = número irracional

ℯ = excentricidad


13

La Circunferencia Terrestre

Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta. Y es Aristóteles quien aporta evidencias al observar que en los eclipses lunares, la sombra proyectada sobre la Luna tenía forma circular.

Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. Eratóstenes, fue el primero en determinar la circunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a.C sus herramientas sólo fueron palos, ojos, pies y su cerebro. Siendo director de la biblioteca de Alejandría, leyó en un papiro que en Siena,

actualmente Asuán, Egipto, en el mediodía del 21 de Junio un palo vertical no proyectaba sombra. Pero en Alejandría no sucedía esto, la primera conclusión que determinó fue que definitivamente la Tierra no

podía ser plana, porque si así lo fuera, el Sol produciría sombras de igual longitud para ambos palos.

Luego quiso determinar la circunferencia de la Tierra. Sabía que la distancia entre Siena y Alejandría era de aproximadamente unos siete grados, por la diferencia entre las longitudes de las sombras de los palos; si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de la Tierra, formaran un ángulo de siete grados. Pero le faltaba un dato, la distancia entre Siena y Alejandría, por lo que contrató a un hombre para que lo midiera a pasos. El resultado era aproximadamente 5040 estadios egipcios, es decir, 792,29 km. Entonces multiplicando ambos, 39614,4 km. Esta debía ser la circunferencia de la Tierra.

Investiga y Responde ¿Cuánto mide la circunferencia de la tierra hoy en día

con todos los avances tecnológicos e indica el porcentaje de error que obtuvo Eratóstenes?

14

Introducción

Desde los Griegos hasta la actualidad la palabra

Circunferencia está presente en cada retorica, para expresar

tanto su belleza perfecta como la tenacidad con que esta

figura plana resuelve, desde problemas de mecánica hasta

astronómicos. Pero es con la fusión de la geometría, álgebra y

análisis que surge la formalidad que hoy en día conocemos

como la Sección Cónica: La Circunferencia.

Definición Geométrica de la Circunferencia

Si se corta una superficie cónica con un plano que no

pase por su vértice y llamamos 𝛽 al ángulo que forma el plano

con el eje del cono, y dicho ángulo es de 90º, entonces la

cónica se le denomina: Circunferencia.

En el plano cartesiano una circunferencia es aquella

curva que se forma por todos los puntos equidistantes a un

punto fijo denominado centro.

Unidad 2 Circunferencia

Circunferencia

15

En la gráfica se observa el punto

C denominado Centro, el punto P y la

distancia entre el centro y el punto de

la circunferencia llamado radio.

Existen elementos de la circunferencia que forman un

apoyo a las construcciones analíticas, por ejemplo el

diámetro; otro elemento fundamental de la sección cónica es

la excentricidad, donde su relación genera una constante

igual a cero.

Definición Algebraica de la Circunferencia

La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo

radio es la constante r; se puede escribir su ecuación

ordinaria de la siguiente manera:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

Dicha ecuación surge de la fórmula para determinar

distancia entre dos puntos 𝑑𝐶𝑃̅̅ ̅̅ = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 , donde 𝑑𝐶𝑃̅̅ ̅̅

se conoce como el radio.

Sin embargo existe otra ecuación

denominada canónica; es cuando la

circunferencia tiene como centro el origen

𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∗ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

Diámetro

Es el segmento que une

dos puntos de la

circunferencia y pasa por

el centro.

Se expresa analíticamente


16

del plano cartesiano, quedando expresada de la siguiente

manera:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Por otra parte se tiene la ecuación general que se

obtiene al desarrollar los productos notables e igualar a cero,

quedando de la siguiente manera:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde A, B, C, D y E son números reales y además

A=B, aunque de preferencia estos últimos coeficientes se

expresan igual a la unidad, para encontrar la distancia del

radio con mayor facilidad, resultando:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde surgen los siguientes caso:

1) Si 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 > 0 , la circunferencia es real con centro

(−𝐶

2, −

𝐷

2) y radio 𝑟 =

1

2√𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸.

2) Si 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 = 0 , el radio es cero y la ecuación

representa un punto (−𝐶

2, −

𝐷

2)

3) Si 𝐶2 + 𝐷2 − 4𝐸 < 0 , la circunferencia

es imaginaria o no real por la

propiedad de radicales.

Todo esto sugiere un método para obtener la ecuación o

lugar geométrico de una circunferencia en cualquier


Propiedad

√𝑎𝑛

∉ ℝ, cuando

n es par y a es un

numero real

negativo.

17

problema dado; donde todo lo que se necesita hallar es la

longitud del radio y las coordenadas de su centro.

Dada la siguiente gráfica, hallar su ecuación general.

Solución

C(1,1) y el radio=3unidades ; Datos observados en la gráfica

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = (3)2 ; Se sustituyen los datos en la ecuación

ordinaria

(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + (𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 9 ; Resolviendo el cuadrado de una

diferencia y potencia

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 − 9 = 0 ; Ordenando los términos en el primer

miembro

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0 ; Resolviendo las operaciones

correspondientes

La ecuación general es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎


18

Dada la ecuación general 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎,

encontrar su gráfica en el plano cartesiano.

Solución

(𝑥2 + 6𝑥) + (𝑦2 + 2𝑦) − 6 = 0 ; Agrupación de los términos que

contengan la misma variable.

(𝑥2 + 6𝑥) + (𝑦2 + 2𝑦) = 0 + 6 ; Igualando al término independiente

(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + (𝑦2 + 2𝑦 + 1) = 0 + 6 + 9 + 1 ; Completando términos

2𝑥𝑏 = 6𝑥 𝑦 2𝑦𝑏 = 2𝑦

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 16 ; Factorizando por trinomio cuadrado

perfecto y realizando operaciones básicas

𝐶(−3, −1) 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 4 ; Extrayendo de cada binomio y

calculando raíz cuadrada del término

independiente

La circunferencia posee un radio de 4 unidades y centro (-3,-1)


19

Circunferencia Sujeta a Tres Condiciones

Analíticamente, la ecuación de una circunferencia se

determina completamente por tres condiciones

independientes y geométricamente también queda

perfectamente determinada por tres condiciones

independientes, resaltando tres puntos cualesquiera. Es decir,

queda del estudiante, determinar los caminos análogos con

respecto a los datos generados y los conocimientos previos.

Dado el lugar geométrico, encontrar la ecuación general

de la circunferencia.


20

Solución

𝐴(1,5) 𝐵(−2, 3) 𝐶(2, −1) ; Se obtienen los datos de la gráfica

{

( 1, 5), (1)2 + (5)2 + 𝐶(1) + 𝐷(5) + 𝐸 = 0

(−2,3), (−2)2 + (3)2 + 𝐶(−2) + 𝐷(3) + 𝐸 = 0

(2, −1), (2)2 + (−1)2 + 𝐶(2) + 𝐷(−1) + 𝐸 = 0

; Sustituye en la ecuación general de la

circunferencia pero los coeficientes serán

las incógnitas.

{ 𝐶 + 5𝐷 + 𝐸 = −26−2𝐶 + 3𝐷 + 𝐸 = −132𝐶 − 𝐷 + 𝐸 = −5

; Realizando las operaciones pertinentes

𝐶 = −9

5 , 𝐷 = −

19

5 , 𝐸 = −

26

5

; Realizando el sistema de ecuación

lineal.

𝑥2 + 𝑦2 −9

5𝑥 −

19

5𝑦 −

26

5= 0

; Sustituyendo en la ecuación general de

la circunferencia

5𝑥2 + 5𝑦2 − 9𝑥 − 19𝑦 − 26 = 0 ; Multiplicando 5 toda la expresión.

La ecuación de la circunferencia es 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟗𝒚 − 𝟐𝟔 = 𝟎

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio igual a

5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝟒 = 𝟎 y 𝟐𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝟗 = 𝟎.

Solución

{3ℎ − 2𝑘 = 242ℎ + 7𝑘 = −9

; Se construye un sistema de ecuación

lineal, ya que el punto de intersección es

el centro.


21

ℎ = 6 ; 𝑘 = −3 ; Resolviendo el sistema de ecuación

lineal C (h ,k)

(𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 3)2 = (5)2 ; Sustituyendo los datos en la ecuación

ordinaria de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 6𝑦 − 25 + 36 + 9 = 0 ; Resolviendo el producto notable y

organizando los términos

𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 6𝑦 + 20 = 0 ; Resolviendo las operaciones básicas

La ecuación de la circunferencia es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎

Intersección de Cónicas

Para encontrar las intersecciones solamente se hace uso

de sistemas de ecuaciones y se resuelven haciendo uso de

métodos ya conocidos como sustitución de ecuaciones.


22

Dada las ecuaciones 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝟔 = 𝟎 y

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 , encontrar la intersección de ambas

circunferencias.

Solución

1

−1{

𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑥 + 𝑦 = 26

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 𝑦 = 15

; Se construye un sistema de ecuación

{

+𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑥 + 𝑦 = 26

−𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥 + 𝑦 = −15

; Reduciendo la ecuación a los términos

básicos de la circunferencia

3𝑥 + 2𝑦 = 11

𝑦 =11−3𝑥

2

; Despejando la variable y

𝑥2 + (11 − 3𝑥

2)

2

+ 5𝑥 + (11 − 3𝑥

2) = 26

; Sustituir en la primera ecuación

13𝑥2 − 52𝑥 + 39 = 0 ; Resolver todas las operaciones básicas

𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 1 ; Al resolver la ecuación de segundo

grado

𝐴(3,1) 𝑦 𝐵(1,4) ; Sustituyendo los valores de x en la

segunda ecuación.

Los puntos de Intersección de ambas circunferencias son

𝑨(𝟑, 𝟏) 𝒚 𝑩(𝟏, 𝟒)


23

Formulas de la Circunferencia

Ecuación Ordinaria Canonica 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Ecuación Ordinaria con

Centro (ℎ, 𝑘) (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

Ecuación General 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Excentricidad ℯ = 0

Diametro 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜


24

La señal de una estación de radio tiene un alcance

circular de 50Km. Una segunda estación, ubicada a 100Km al

este y 80Km al norte de la primera, cubre 80Km. ¿Hay

lugares que cubren ambas señales?. Hallar sus ecuaciones,

gráfica y explica su respuesta.

Solución

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = (50)2

; Se construye la ecuación de la señal

de la primera estación de radio usando

como punto de referencia el origen del

sistema de coordenadas rectangulares.

𝑥2 + 𝑦2 − 2500 = 0 ; Resolviendo el producto notables y las

operaciones

La ecuación de la circunferencia que genera la señal de la

primera estación de radio es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟓𝟎𝟎 = 𝟎

(𝑥 − 100)2 + (𝑦 − 80)2 = (80)2

; Se construye la ecuación de la señal

de la segunda estación de radio,

usando las indicaciones del enunciado.

𝑥2 + 𝑦2 − 200𝑥 − 160𝑦 − 10000 = 0 ; Resolviendo los productos notables y

las operaciones básicas

La ecuación de la circunferencia que genera la señal de la

segunda estación de radio es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟔𝟎𝒚 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎


25

Luego se hallan los Puntos de intersección en Circunferencias

{𝑥2 + 𝑦2 + 000𝑥 + 000𝑦 = 2500

𝑥2 + 𝑦2 − 200𝑥 − 160𝑦 = 10000

;Estableciendo un sistema de ecuación

para verificar la intersección entre las

circunferencias

𝐴 (25(4√31 + 125)

82 ;

−125(√31 − 20)

80)

𝐵 (−25(4√31 − 125)

82 ;

125(√31 + 20)

80)

; obteniendo los puntos de intersección, es

decir, ambas circunferencias se

interceptan y tienen áreas comunes.

Sé gráfica ambas circunferencias en el sistema de

coordenadas rectangulares.

Si, hay una zona que recibe ambas señales de radio, ya

que ambas circunferencias se intersectan. En la gráfica se

muestra marcado de rojo.


26

Ejercicios Propuestos

1) Dadas las gráficas construye las ecuaciones generales.

2) Dadas las ecuaciones generales construye su gráfica

a) 𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 + 12𝑦 − 40 = 0

b) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0

3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene

a los puntos A(2,3) , B(-1,1) y cuyo centro se encuentra sobre la

recta definida por la ecuación 𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0

4) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al

triangulo cuyos lados son las rectas:

𝐿1: 𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 , 𝐿2: 2𝑥 + 𝑦 − 14 = 0 y 𝐿3: 3𝑥 + 𝑦 − 22 = 0.

5) Un satélite S(-9,5) gira alrededor de un planeta de forma

circular de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 = 0. Dicho satélite envía

señales tangenciales al planeta. Determina las ecuaciones que

indican la trayectoria de las señales y gráfica.


27

Observando las Orbitas Planetarias Johannes Kepler fue un astrónomo que estudió las

observaciones del planeta Marte hechas por Tycho Brahe. Después de innumerables tanteos y de interminables cálculos realizados durante muchos años, llegó a deducir sus famosas tres leyes.

Primera

Kepler razona que si el "alma motriz" del Sol mantiene el movimiento del planeta en su órbita, al aumentar la distancia al Sol la velocidad debe de disminuir. Para llegar a una conclusión clara, analiza durante un año marciano 687 días (período sideral de Marte) el movimiento orbital del planeta y encuentra que la órbita de éste es simétrica con respecto a la línea de las ápsides, pero el diámetro en sentido perpendicular a ella es menor que la distancia entre el perihelio y el afelio; la órbita es ovalada.

Segunda El planeta se movía más rápido cuando estaba más

cerca del Sol y más lento cuando estaba más alejado, de tal modo que la superficie descrita (barrida) por la línea recta que conecta al Sol con Marte es siempre proporcional al tiempo.

Tercera

Obedeciendo a una súbita inspiración, formuló la hipótesis que se convertiría en su tercera ley, encadenando con una relación constante los cubos de los semiejes de las órbitas y los cuadrados de los tiempos que emplean los planetas para recorrerlas.


¿En qué año Johannes Kepler decidió estremecer a la

población con las orbitas elípticas?

28

Introducción

Desde años remotos la palabra Elipse existe y es

considerado al igual que las anteriores secciones cónicas como

una belleza de curva, la cual ha dado explicaciones a muchas

realidades de hoy en día y hasta revocado definiciones

existentes. De hecho las orbitas elípticas es un vivo ejemplo de

la imponencia de su definición y estructura la cual

reflejaremos con sus definiciones.

Definición Geométrica de la Elipse

La elipse es la curva que se obtiene interceptando un

cono circular recto y un plano, si el plano está inclinado y no es

paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del

cono.

En el plano cartesiano una elipse es aquella curva que se

forma por todos los puntos de un plano, participantes de la

propiedad relativa: que la suma de

sus distancias a dos puntos fijos

llamados focos es constante.

Unidad 3 Elipse

Elipse

29

Los elementos que se observan son los

indispensables para encontrar dicho lugar geométrico: C es el

centro de la elipse, el segmento 𝑉`𝑉̅̅ ̅̅ ̅ es

el eje mayor y está incluido en la

recta que constituye el eje de la elipse,

el segmento 𝐵`𝐵̅̅ ̅̅ ̅ corresponde al eje

menor, el eje focal está constituido

por 𝐹`𝐹̅̅ ̅̅ ̅ y las rectas L1

y L2

denominadas directrices, las cuales van a formar parte de la

curva construida.

Otro elemento fundamental de la elipse es la

excentricidad, la cual debe ser menor a 1, como propiedad

para la existencia del lugar geométrico.

Definición Algebraica de la Elipse

La elipse de centro (ℎ, 𝑘) con su eje paralelo al eje de las

abscisas, tiene como estructura algebraica, la siguiente:

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Donde a y b son números reales que corresponden a los

semiejes de la elipse.

También consideramos como elipse de centro (ℎ, 𝑘) pero

con su eje perpendicular al eje de las abscisas a la siguiente

ecuación ordinaria:

Unidad 3 Elipse

L1 L2

30

(𝑥−ℎ)2

𝑏2+

(𝑦−𝑘)2

𝑎2= 1

Es decir, “a” corresponde al semieje mayor y “b” al

semieje menor. Sea cualquiera su estructura tiene como regla

general la ubicación del semieje mayor como “a” y ambas

fracciones algebraicas positivas.

Sin embrago, existe otra ecuación denominada

canoníca; y es cuando la elipse tiene como centro el origen del

plano cartesiano:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1 𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Por otra parte y no menos importante, se tiene la

ecuación general que se obtiene al desarrollar las operaciones

básicas, productos notables y despeje, quedando de la

siguiente manera:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde A, B, C, D y E son números reales y además se

cumple que A y B son distintos y positivos.

Otra fórmula poco mencionada, pero que permite

relacionar todos los semiejes presentes en la curva de la elipse

es la Pitagórica, la cual se muestra de la siguiente manera:

𝑐2 = 𝑎2−𝑏2

Unidad 3 Elipse

31

Dada su gráfica, hallar su ecuación general:

Solución

C(-1,2) , a=4, b=3 ; Datos observados en la gráfica

[𝑥 − (−1)]2

(3)2+

(𝑦 − 2)2

(4)2= 1

; Se sustituyen los datos en la ecuación

ordinaria

𝑥2 + 2𝑥 + 1

9+

𝑦2 − 4𝑦 + 4

16 = 1

; Resolviendo el producto notable y las

potencias

16𝑥2 + 32𝑥 + 16 + 9𝑦2 − 36𝑦 + 36 = 144 ; Aplicando el M.C.M.

16𝑥2 + 9𝑦2 + 32𝑥 − 36𝑦 − 92 = 0 ; Resolviendo las operaciones

correspondientes y ordenando los

términos

La ecuación general de la elipse presente en la gráfica, posee como ecuación general

𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟑𝟔𝒚 − 𝟗𝟐 = 𝟎

Unidad 3 Elipse

32

Dada la ecuación general 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟑𝟑 = 𝟎 ,

hallar su gráfica con todos sus elementos.

Solución

(𝑥2 + 2𝑥) + (4𝑦2 − 24𝑦) = −33 ; Agrupamos los términos semejantes

(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 4(𝑦2 − 6𝑦 + 9) = 4 ; Completando cuadrados

(𝑥 + 1)2 + 4(𝑦 − 3)2 = 4 ; Factorizando

(𝑥 + 1)2

4+

(𝑦 − 3)2

1= 1

; Igualando a la unidad

𝐶(−1,3), 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación

ordinaria

La elipse tiene centro en (-1,3), sus semiejes son 𝒂 = 𝟐 , 𝒃 = 𝟏,

𝒄 = √𝟑, mientras que sus directrices son

√𝟑𝒙 − (𝟒 − √𝟑) = 𝟎 𝒚 √𝟑𝒙 + (𝟒 + √𝟑) = 𝟎

Unidad 3 Elipse

33

Intersección entre Cónicas

Para encontrar el o los puntos comunes entre cónicas es

necesario establecer un sistema de ecuación y reducirlo, para

luego realizar todas las operaciones básicas en las ecuaciones

obtenidas y hallar las coordenadas reales de intersección.

Dadas las ecuaciones generales 𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟗 = 𝟎 y

𝟗𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗 = 𝟎 , hallar el o los puntos de intersección y su

grafica:

Solución

Calculamos el o los puntos de intersección

{𝑥2 + 9𝑦2 − 9 = 0

9𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0

; Estableciendo un sistema de ecuación

{−9𝑥2 − 81𝑦2 = −81

09𝑥2 + 00𝑦2 = 09

; Reduciendo los términos

−80𝑦2 = −72 ; Despejando

𝑦 = ±√9

10

; Hallando el valor de la y.

𝑥2 + 9 (√9

10)

2

− 9 = 0 ; Sustituyendo 𝑦 = −√

9

10 y 𝑦 = √

9

10

𝑥 = ±√9

10

;Resolviendo la ecuación de segundo

grado

Unidad 3 Elipse

34

Por lo tanto tiene cuatro puntos de intersección

𝑨 (√𝟗

𝟏𝟎, √

𝟗

𝟏𝟎, ) 𝑩 (√

𝟗

𝟏𝟎, −√

𝟗

𝟏𝟎, ) 𝑪 (−√

𝟗

𝟏𝟎, √

𝟗

𝟏𝟎, ) 𝑫 (−√

𝟗

𝟏𝟎, −√

𝟗

𝟏𝟎, )

Calculamos los elementos de la elipse 1

𝑥2 + 9𝑦2 = 9 ; Igualando al término independiente

𝑥2

9+

𝑦2

1= 1

; Hallando la ecuación ordinaria

𝐶(0,0), 𝑎 = 3, 𝑏 = 1 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación

ordinaria.

La elipse 2 tiene centro en (0,0), sus semiejes son a=3 y b=1


9𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0 ; Igualando al término independiente

𝑥2

1+

𝑦2

9= 1


𝐶(0,0), 𝑏 = 1, 𝑎 = 3 ; Extrayendo centro y ejes de la

ecuación ordinaria

La elipse 2 tiene centro en (0,0), sus semiejes son b=1 y a=3

Gráfica de las Elipses

Unidad 3 Elipse

35

Formulas de la Elipse

Constantes 2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 2𝑏 = 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙

Ecuación

Ordinaria

Canoníca

Eje focal paralelo

al eje de las

abscisas

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Eje focal

perpendicular al

eje de las abscisas

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Ecuación

Ordinaria

con Centro (ℎ, 𝑘)

Eje focal paralelo

al eje de las

abscisas

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Eje focal

perpendicular al

eje de las abscisas

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

Longitud del lado Recto

𝐿𝑟 =

2𝑏2

𝑎

Excentricidad

𝔢 =𝑐

𝑎< 1

Relación entre Semiejes

𝑐2 = 𝑎2−𝑏2

Directrices

𝑥 = ±

𝑎2

𝑐+ ℎ ó 𝑦 = ±

𝑎2

𝑐+ 𝑘

Ecuación General

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde 𝐴 ≠ 𝐵 y ambos ∈ ℝ+

Unidad 3 Elipse

36

La altura máxima de un auditorio cuyo techo tiene

forma semielíptica es de 8m y tiene 20m de longitud. Si cae

una pelota sobre un foco, el ruido que produce se escucha

claramente en el otro foco. ¿A qué distancia está un foco del

otro?.

Solución

𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 ; Formula Pitagórica que relaciona los tres

semiejes.

𝑐 = √(10)2−(8)2 ; Sustituyendo los valores

𝑐 = 6 ; Distancia del semieje focal

2𝑐 = 12 ; Distancia del eje focal

La distancia de un foco al otro es de 12m.

Unidad 3 Elipse

37


1) Dada la gráfica construye la ecuación general.

2) Dadas las ecuaciones generales construye la elipse y

todos sus elementos.

a) 3𝑥2 + 4𝑦2 − 30𝑥 − 16𝑦 + 79 = 0

b) 9𝑥2 + 25𝑦2 + 18𝑥 − 50𝑦 − 191 = 0

3) Encuentra los puntos de intersección de la elipse

9𝑥2 + 16𝑦2 − 2 = 0 con la recta 3𝑥 + 4𝑦 = 0.

4) Un objeto se mueve en forma elíptica alrededor de un

punto fijo que está en uno de los focos de la elipse. Si la

excentricidad es de 0,5 y el eje mayor de la elipse es de 8m,

encuentra la distancia máxima a la que se puede encontrar el

objeto del punto fijo.

Unidad 3 Elipse

38

Problemas de Cuadraturas en la Matemática Griega

Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente: dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas.

En la antigua Grecia ya era cotidiano, y se sabía cuadrar cualquier polígono o figura. Y es así como surgió la cuadratura de un segmento de parábola.

Esta demostración aparece en una carta que escribe

Arquímedes a su amigo Dositheus, obra que se conoce con el nombre de “Sobre la Cuadratura de la Parábola”. La demostración consiste en hacer una descomposición exhaustiva del segmento parabólico por medio de triángulos de una forma muy ingeniosa.

Arquímedes, empleo la llamada propiedad arquimediana o

axioma de Arquímedes: “Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este procesos de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano”.

Este axioma aparece en el libro de Arquímedes La Esfera y

el Cilindro, así como en “Sobre la Cuadratura de la Parábola y en Espirales”. Al parecer, dicho axioma fue ya formulado por Eudoxo.

Investiga y Responde ¿Cuáles otros problemas de cuadraturas tienen relevancia

durante la historia?

39

Introducción

La tradición indica que las secciones cónicas fueron

descubiertas por Menecmo, lo cual es confirmado

posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue

Apolonio de Perge en su tratado Cónicas; donde menciona que

un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos

emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las

antenas satelitales.

Es por esta razón, que dicha curva se muestra con

mayor preponderancia, y además la parábola fue estudiada

por Arquímedes, para nuevamente estar en la búsqueda de

una solución para un problema famoso: “La Cuadratura del

Círculo·”, dando como resultado el libro “Sobre la Cuadratura

de la Parábola”.

Definición Geométrica de la Parábola

Si se corta una superficie cónica con un plano que no

pase por su vértice con un ángulo inclinado de tal manera

que sea paralelo a una sola generatriz, entonces dichos puntos

generan una parábola.

Unidad 4 Parábola

http://es.wikipedia.org/wiki/Menecmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Proclo

http://es.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes

http://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_Perge

http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_c%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_c%C3%ADrculo

40

Mientras que en el plano cartesiano se denomina parábola

a todos los puntos de un plano que equidistan de una recta

dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella,

llamado foco.

En la gráfica se observan los

elementos indispensables para

encontrar el lugar geométrico

los cuales son: el vértice V, foco

F, el eje de la parábola donde

contiene el eje focal, el

segmento que uno los punto A y

B denominado como lado recto, la directriz y el parámetro

que es la distancia del foco al vértice y del vértice al punto

donde se intercepta la directriz y el eje de la parábola. .

Definición Algebraica de la Parábola

El lugar geométrico de una parábola con centro en el

origen del plano cartesiano, se puede escribir

Parábola

Unidad 4 Parábola

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Parabola_y.jpg

41

algebraicamente y clasificarlos según el paralelismo del eje de

la parábola:

1) 𝑦2 = 4𝑝𝑥 , cuando el eje de la parábola es paralelo al eje

de las abscisas.

2) 𝑥2 = 4𝑝𝑦 , cuando el eje de la parábola es perpendicular

con el eje de las abscisas.

Mientras su vértice coincide con el origen del plano

cartesiano y si es trasladado a cualquier parte del plano, es

decir, se reconoce el vértice con coordenadas generalizadas

con el punto (ℎ, 𝑘), entonces tenemos las siguientes ecuaciones:

1) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) , cuando el eje de la parábola es

paralelo al eje de las abscisas.

2) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) , cuando el eje de la parábola es

perpendicular con el eje de las abscisas.

Por otra parte se tiene la ecuación general de la

parábola que se obtiene desarrollando distributivas y

productos notables e igualando a cero, quedando

generalizada siguiente manera:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Pero con la condición necesaria de que 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0,

para que quede determinada por una y solo una variable

cuadrática:

Unidad 4 Parábola

42

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 ó 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Todo esto resume como conclusión que la variable

cuadrática es la que determina el sentido de la concavidad

(horizontal o vertical), mientras que el parámetro es el que

indica la dirección (derecha, izquierda, arriba o abajo).

Dada la gráfica, encontrar su ecuación general.

Solución

V(2,2) Directriz 𝑥 =7

4

; Extrayendo datos de la gráfica.

Calcular el Parámetro

𝑥 − 2 =7

4− 2

; Sustrayendo la abscisa en cada miembro

de la directriz

𝑥 − 2 +1

4= 0

; Corresponde al parámetro

Unidad 4 Parábola

43

El parámetro de la parábola es 𝑝 =1

4

(𝑦 − 2)2 = 4 (1

4) (𝑥 − 2)

; Sustituyendo en la ecuación ordinaria

𝑦2 − 𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 ; Desarrollando el producto notable y las

operaciones pertinentes

La ecuación general de la parábola es 𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔 = 𝟎

Dada la ecuación general 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟕 = 𝟎, encontrar

su grafica.

Solución

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = −4𝑦 + 7 + 1 ; Agrupando términos semejantes y

completando cuadrados

(𝑥 + 1)2 = −4(𝑦 − 2) ; Desarrollando la factorización y las

operaciones básicas

El vértice de la parábola es 𝑉(−1,2) y la directriz es paralela

al eje de las abscisas.

Calculamos la directriz de la parábola

4𝑝 = −4 ; Extrayendo el valor del parámetro

𝑦 − 2 − 1 = 0 ; Ecuación de la directriz

Unidad 4 Parábola

44

𝑦 = 3 ; Desarrollando las operaciones básicas

La directriz de la parábola es 𝑦 = 3

La Gráfica de la Parábola


Para interceptar parábolas con otras cónicas, solo es

necesario establecer un sistema de ecuaciones, reducirlas a

una misma ecuación para luego ser sustituidas en otra

ecuación del mismo sistema.

Unidad 4 Parábola

45

Dadas las ecuaciones generales 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎 y

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗 = 𝟎 , hallar el o los puntos de intersección y su

gráfica.

Solución


{𝑦2 − 6𝑥 − 18 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0


{𝑦2 − 6𝑥 = 18

𝑦2 + 𝑥2 = 9


−𝑥2 − 6𝑥 = 9 ; Despejando

𝑥 = 3 ; Resolviendo la ecuación de segundo

grado

𝑦2 − 6(3) = 18 ; Sustituyendo 𝑥 = 3, en la primera ecuación.

𝑦 = 36 ;Resolviendo las operaciones básicas

Por lo tanto tiene un punto de intersección 𝑨(𝟑, 𝟑𝟔)

Calculamos los elementos de la parábola

𝑦2 − 6𝑥 = 18 ; Ecuación de la parábola

(𝑦 − 0)2 = 6(𝑥 + 3) ; Hallando la ecuación ordinaria

Unidad 4 Parábola

46

𝑉(−3,0), 𝑥 = −9

2 ; Extrayendo vértice y directriz

Calculamos los elementos de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0 ; Ecuación de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = (3)2 ; Despejando

𝐶(0,0), 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 3 ; Extrayendo centro y radio

Gráfica

Unidad 4 Parábola

47

Formulas de la Parábola

Constantes 𝑝 = 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

Ecuación

Ordinaria

Canoníca

Eje focal

perpendicular

al eje de las

abscisas

𝑥2 = 4𝑝𝑦

Eje focal

paralelo al eje

de las abscisas

𝑦2 = 4𝑝𝑥

Ecuación

Ordinaria

con Centro (ℎ, 𝑘)

Eje focal

perpendicular

al eje de las

abscisas

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Eje focal

paralelo al eje

de las abscisas

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Longitud del lado Recto

𝐿𝑟 = 4𝑝

Excentricidad

𝔢 = 1

Directriz

𝑥 + (ℎ ± 𝑝) = 0

𝑦 + (𝑘 ± 𝑝) = 0

Ecuación General

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0

Unidad 4 Parábola

48

El rendimiento de gasolina en millas por galón de un

vehículo deportivo depende de su peso, de acuerdo con la

fórmula 𝑬 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝒙 + 𝟓𝟒 para 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓𝟒𝟎𝟎 ,

donde x es el peso en libras de un vehículo deportivo. Según el

modelo, ¿Cuál es el peso del vehículo deportivo de menor

rendimiento de combustible?

Solución

𝐸 = 0,0000016𝑥2 − 0,016𝑥 + 54 ; Ecuación de la parábola

(𝑥 − 5 000)2 =1

0,0000016(𝐸 − 14)

; Completando cuadrados y factorizando

El vehículo deportivo de menor rendimiento de combustible

pesa 5 000libras con un consumo de 14 galones por millas.

Gráfica

Unidad 4 Parábola

49


1) Dada la grafica, encuentra su ecuación general.

2) Dada la ecuación 𝑥2 + 4𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 , grafica con todos

sus elementos.

3) Encontrar los puntos de intersección de las siguientes

curvas 𝑦2 − 6𝑥 − 18 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 − 5 = 0.

4) Calcular la ecuación de la parábola cuyo vértice es el

centro de la elipse 𝑥2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 13 = 0 y tiene su foco en

el centro de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 4𝑦 + 19 = 0.

5) Un túnel en forma de arco parabólico tiene una altura

de 20m y un ancho de 36m en la base. En el punto más alto

está el vértice. ¿A qué altura de la base se tiene un ancho de

18m para colocar una trabe

Unidad 4 Parábola

50

El Tráfico Aéreo

El tráfico aéreo se ha incrementado en un cincuenta por ciento durante la última década y de no tomarse las medidas necesarias, podría presentarse una grave saturación en las rutas aéreas, retrasos en los vuelos y lo más preocupante es que aumentaría el número de accidentes fatales.

Para enfrentar estos problemas, nació el sistema CNS/ATM (Comunicación, navegación, vigilancia y gestión del tráfico aéreo) como una solución para ser adoptada en todos los países y líneas aéreas del mundo, que tendrían los mismos sistemas de navegación y comunicación por satélite.

Los sistemas de navegación por satélite determinan la posición de cualquier aeronave según las tres coordenadas de posición, espacio y tiempo. Uno de estos sistemas es el LORAN: es un sistema de navegación hiperbólica radioeléctrico e largo alcance, que opera en baja y media frecuencia.

Para navegar con el sistema LORAN es necesario sintonizar dos grupos de estaciones en tierra. Cada uno de ellos está constituido por dos equipos emisores que reciben el nombre de estación primaria y estación secundaria, y ambas ondas dibujan una trayectoria en forma de hipérbola hasta llegar al avión conociendo así su ubicación exacta.


¿Quién concibió el sistema CNS/ATM?

51

Introducción

En la actualidad, con el movimiento de la

telecomunicación se ha incrementado el uso de la hipérbola

como única curva que facilita las redes de comunicación,

además previene a las naciones de pérdidas humanas y

económicas.

Definición Geométrica de la Hipérbola

Si un plano corta a los dos mantos del cono, como se

encuentra en la siguiente figura, entonces estamos en

presencia de una curva denominada Hipérbola.

Sin embargo en el plano cartesiano se denomina

Hipérbola al lugar geométrico donde todos los puntos del

plano cartesiano tales que el

valor absoluto de las

diferencias de su distancia a

dos puntos fijos, llamados

focos, es contante.

Unidad 5 Hipérbola

Hipérbola

52

Es decir, el valor absoluto de la diferencia entre el

segmento 𝐹¨𝑃̅̅ ̅̅ ̅ y el segmento 𝐹𝑃̅̅ ̅̅ , es igual a una constante

positiva y menor que la distancia entre los focos.

Los elementos de una hipérbola se muestran en la figura

las cuales son: el centro C, los vértices reales V y V1, los

vértices conjugados B

y B1, los focos F y F

1 ,

las asíntotas que son

las dos rectas que

limitan la abertura de

cada rama de la

curva, mientras que

la línea recta que

contiene el eje focal se

le denomina eje de la hipérbola.

Definición Algebraica de la Hipérbola

La hipérbola se define algebraicamente igual que las

anteriores secciones cónicas con la diferencia que existe dos

ramas y el centro de ambas ramas no genera soluciones en el

conjuntoℝ.

De esta manera surgen las siguientes ecuaciones

ordinarias canonícas de la hipérbola:

Unidad 5 Hipérbola

53

1) 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es paralelo al

eje de las abscisas.

2) 𝑦2

𝑎2 −𝑥2

𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es

perpendicular al eje de las abscisas.

Las ecuaciones mencionadas son cuando el centro de la

hipérbola se encuentra en el origen del sistema de

coordenadas rectangulares, mientras que si trasladamos el

centro a cualquier parte del plano, se construyen las

siguientes ecuaciones:

1) (𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es paralelo

al eje de las abscisas.

2) (𝑦−𝑘)2

𝑎2 −(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1 , cuando el eje de la hipérbola es

perpendicular al eje de las abscisas.

Al desarrollar ambas ecuaciones queda comprobada la

ecuación general de la hipérbola de la siguiente manera:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Pero con la condición necesaria de A y B de distinto

signos, es decir, debe cumplirse como axioma 𝐴 ∈ ℝ+ ⋀ 𝐵 ∈ ℝ−

ó por el contrario 𝐴 ∈ ℝ− ⋀ 𝐵 ∈ ℝ+, para que pueda generar

una hipérbola en su grafica.

Unidad 5 Hipérbola

54

Dada su gráfica, encontrar su ecuación general de la

hipérbola y de sus asíntotas.

Solución

C(-1,2) , a=3, b=2 ; Datos observados en la gráfica

[𝑦 − (2)]2

(3)2−

(𝑥 − (−1))2

(2)2= 1

; Se sustituyen los datos en la ecuación

ordinaria

(𝑦2 − 4𝑦 + 4)

9−

(𝑥2 − 2𝑥 + 2)

4 = 1

; Resolviendo el producto notable y las

potencias

4𝑦2 − 16𝑦 + 16 − 9𝑥2 − 18𝑥 − 18 = 36 ; Aplicando el M.C.M.

4𝑦2 − 9𝑥2 − 16𝑦 − 18𝑥 − 38 = 0 ; Resolviendo las operaciones

correspondientes y ordenando los

términos

La ecuación general es 𝟒𝒚𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟖 = 𝟎

Unidad 5 Hipérbola

55

Calculando las asíntotas de la hipérbola.

𝑦 − 2

3±

𝑥 − 1

2= 0

; Igualando a cero la ecuación y

determinando la raíz cuadrada de cada

fracción

3𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑦 3𝑥 + 2𝑥 = 7 ; Despejando e igualando al término

independiente.

Las ecuaciones de las asíntotas son:

𝑳: 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏 𝒚 𝑳𝟏: 𝟑𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟕

Dada la ecuación general 𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝟒𝒚 − 𝟑𝟏 = 𝟎 ,

hallar su grafica.

Solución

(𝑥2 + 2𝑥) − (4𝑦2 − 24𝑦) = 31 ; Agrupamos los términos semejantes

(𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 4(𝑦2 − 6𝑦 + 9) = −4 ; Completando cuadrados

4(𝑦 − 3)2 − (𝑥 + 1)2 = 4 ; Factorizando

(𝑦 − 3)2

1−

(𝑥 + 1)2

4= 1

; Igualando a la unidad

𝐶(−1,3), 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación

ordinaria

La hipérbola tiene centro en (-1,3), sus semiejes son a=1 y b=2

Unidad 5 Hipérbola

56


𝑦 − 3

1±

𝑥 + 1

2= 0 ; Igualando a cero y determinando la raíz

cuadrada de cada fracción

−𝑥 + 2𝑦 = 7 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 5.

; Despejando e igualando al término

independiente.

Gráfica


Para interceptar una hipérbola con otras cónicas es

necesario establecer un sistema de ecuación y despejar para luego

sustituir en una ecuación perteneciente al sistema, y encontrar el o

los puntos comunes.

Se establece al igual de las anteriores cónicas presentadas,

usando los métodos del algebra que considere más eficaces.

Unidad 5 Hipérbola

57

Dadas las ecuaciones generales de la hipérbola

𝟒𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 y 𝒍𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎 , hallar el o los

puntos de intersección.

Solución


{4𝑦2 − 𝑥2 = 4

2𝑥2 + 𝑦2 = 10


{8𝑦2 − 2𝑥2 = 8

0𝑦2 + 22𝑥2 = 10


9𝑦2 = 18 ; Despejando

𝑦 = ±√2 ; Hallando el valor de la y.

4 (+√2)2

− 𝑥2 = 4 ; Sustituyendo 𝑦 = −√2 y 𝑦 = √2

𝑥 = ±2 ;Resolviendo la ecuación de segundo

grado

Por lo tanto tiene cuatro puntos de intersección

𝑨(𝟐, √𝟐, ) 𝑩(−𝟐, √𝟐, ) 𝑪(𝟐, −√𝟐, ) 𝑫(−𝟐, −√𝟐, )


2𝑥2 + 𝑦2 = 10 ; Igualando al término independiente

𝑥2

5+

𝑦2

10= 1


Unidad 5 Hipérbola

58

𝐶(0,0), 𝑎 = √10, 𝑏 = √5 ; Extrayendo centro y ejes de la ecuación

ordinaria

La elipse tiene centro en (0,0) y sus semiejes son

𝒂 = √𝟏𝟎 𝒚 𝒃 = √𝟓

Calculamos los elementos de la hipérbola

4𝑦2 − 𝑥2 − 4 = 0 ; Igualando al término independiente

𝑦2

1−

𝑥2

4= 1


𝐶(0,0), 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 ; Extrayendo centro y ejes de la

ecuación ordinaria

La hipérbola tiene centro en (0,0), sus semiejes son

𝒂 = 𝟏 𝒚 𝒃 = 𝟐


𝑦

1±

𝑥

2= 0 ; Igualando a cero la ecuación.

𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 0 ; Las ecuaciones de las asíntotas.

Grafica

Unidad 5 Hipérbola

59

Formulas de la Hipérbola

Constantes

2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜

2𝑏 = 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜

2𝑎 = 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙

Ecuación

Ordinaria

Canoníca

Eje focal paralelo al

eje de las abscisas

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

Eje focal

perpendicular al eje

de las abscisas

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1

Ecuación

Ordinaria

con

Centro

(ℎ, 𝑘)

Eje focal paralelo al

eje de las abscisas

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Eje focal

perpendicular al eje

de las abscisas

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

Longitud del lado Recto 𝐿𝑟 =2𝑏2

𝑎

Excentricidad 𝔢 =𝑐

𝑎> 1

Relación entre Semiejes 𝑐2 = 𝑎2+𝑏2

Ecuación de las Asíntotas

𝑥 − ℎ

𝑎±

𝑦 − 𝑘

𝑏= 0

𝑦 − 𝑘

𝑎±

𝑥 − ℎ

𝑏= 0

Ecuación General 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Donde 𝐴 𝑦 𝐵 , son de ≠ signos.

Unidad 3 Hipérbola

60

Los cometas pueden moverse en trayectorias elípticas,

parabólicas o hiperbólicas alrededor del sol. Si un cometa se

desplaza en una trayectoria hiperbólica dentro de nuestro sistema

solar, pasara por el sol una vez y nunca regresará (una rama de la

hipérbola). Supongamos que las coordenadas de un cometa (en

millas) se describe mediante la ecuación:

𝒙𝟐

𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒−

𝒚𝟐

𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒= 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 > 0

Donde el sol se ubica en un foco, como se muestra en la

figura. Calcular las coordenadas del sol y la distancia mínima

entre el cometa y el Sol.

Solución

Calculamos los Semiejes de la Hipérbola

𝑥2

25 ∗ 1014−

𝑦2

16 ∗ 1014= 1

; Ecuación de la Hipérbola

Unidad 5 Hipérbola

61

𝑎2 = 25 ∗ 1014 𝑏2 = 16 ∗ 1014 ; Extrayendo los datos de la ecuación

ordinaria

𝑎 = 5 ∗ 107 𝑏 = 4 ∗ 107 ; Calculando la raíz cuadrada

𝑐2 = (5 ∗ 107)2 + (4 ∗ 107)2 ; Utilizando la formula pitagórica

𝑐 = √25 ∗ 1014 + 16 ∗ 1014 ; Resolviendo las potencias y despejando

𝑐 = √41 ∗ 107 ; Resolviendo las operaciones básicas

Las coordenadas de la ubicación del Sol es 𝑭(𝟔, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟕 ; 𝟎 )

Calculando la distancia entre el Sol y el Cometa

𝑑 = 𝑐 − 𝑎 ; Distancia entre el foco y el vértice

𝑑 = (√41 − 5) ∗ 107 ; Resolviendo las operaciones básicas

La distancia mínima entre el cometa y el Sol es de

𝟏, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟕 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔

1,4*107millas

Unidad 3 Hipérbola

62


1) Dada la grafica, encuentra su ecuación general.

2) Dada la ecuación 𝑥2 − 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 , encontrar su

grafica con todos sus elementos.

3) Determinar las coordenadas de los puntos de

intersección de 9𝑥2 + 25𝑦2 − 225 = 0 y 3𝑥2 − 𝑦2 − 12 = 0.

4) Dos faros LORAN están en una costa recta a 100Km de

distancia entre ellos. Un barco navega en una trayectoria

recta paralela a la costa, y a una distancia de 50Km de ellos.

Si recibe señales de los faros con una diferencia de 0,0002

segundos, ¿cuál es la posición del barco?

Unidad 5 Hipérbola

63

1) Identifica el tipo de lugar geométrico, dadas las ecuaciones:

a) (𝑦 − 1)2 = 2𝑥 + 4

b) 𝑦2 + 2𝑥 + 6 = 0

c) 4𝑥2 + 9𝑥2 − 8𝑥 = 32

d) (𝑥 − 2)2 = (𝑦 − 3)2

e) 𝑥2 − 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 36 = 0

f) (𝑥 − 2)2 = 𝑦2 + 4𝑦

g) 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 6𝑦 = 0

h) 2𝑥2 + 3𝑦2 − 2𝑥 = 0

2) Califique como verdadero o falso las siguientes proposiciones:

a) La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 representa una

circunferencia para todos los números reales diferentes de

cero a, b y c.

b) La distancia entre los focos de la gráfica de 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

es 2√𝑎2 + 𝑏2.

c) La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑥 + 4 = 0 describe una

circunferencia si y sólo si 𝑘 ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞).

d) El vértice de una parábola es el foco de otra parábola y

viceversa, si la ecuación de una de ella es 𝑦2 − 2𝑦 + 4𝑥 + 1 =

0 , entonces la ecuación de la otra parábola es 𝑦2 + 2𝑦 +

2𝑥 − 4 = 0.

64

e) La cónica de ecuación 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0, tiene su foco en

(1,0).

f) Sea la parábola P, cuya ecuación es 𝑃: 2𝑦2 − 3𝑦 + 5𝑥 + 2 = 0 ,

su foco tiene por coordenadas 𝐹 (−107

40,

3

4).

g) Sea la ecuación 𝑎𝑥2 − 2𝑦2 + 3𝑥 − 2𝑦 = 0 donde 𝑎 ∈ ℝ+ , su

lugar geométrico es una hipérbola.

h) La circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 es concéntrica con la

circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4 = 0.

i) La circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 + 36 = 0 , es de radio real.

j) El lado recto de una parábola es considerada una

cuerda focal.

k) La elipse es una sección cónica donde la excentricidad

es mayor de uno.

l) La cónica 𝑥2 − 𝑦 + 6 = 0, no tiene intersección con los ejes

del plano cartesiano.

m) El bosquejo de gráfica de la hipérbola contiene dos

asíntotas.

n) El eje mayor de la sección cónica 9𝑥2 + 8𝑦2 − 54𝑥 − 16𝑦 +

17 = 0, es paralelo al eje de las ordenadas.

65

Unidad 1: ¿Por qué era fundamental que las resoluciones fueran con regla no graduada y compás?

Porque eran los únicos instrumentos que tenían los

griegos para demostrar sus propias definiciones y construir los axiomas que hoy en día conocemos.

Unidad 2: ¿Cuánto mide la circunferencia de la tierra hoy en día con todos los avances tecnológicos e indica el porcentaje de error que obtuvo Eratóstenes?

Solo un error de aproximadamente 1%, ya que en la

actualidad la circunferencia es de 40008 kilómetros.

Unidad 3: ¿En qué año Johannes Kepler decidió estremecer a la población con las orbitas elípticas?

En 1609 sé público las tres Leyes de Kepler , aunque él no formalizó la definición de la elipse pero le asignó más valor ya que asignó dicha curva a las trayectorias planetarias.

Unidad 4: ¿Cuáles otros problemas de cuadraturas tienen relevancia durante la historia?

La cuadratura del círculo, triangulo, rectángulo, cicloide y

lúnula, entre otras.

Unidad 5: ¿Quién concibió el sistema CNS/ATM?

La Organización Internacional de Aeronáutica Civil (OACI), quien en 1983 creó el Comité FANS (Comité de sistemas de aeronavegación para el futuro).

66

Unidad 2: Circunferencia

1) a) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0

b)𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0

2) a)

b)

67

3) 𝑥2 + 𝑦2 − 7𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0

4) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0

5) (5√37 + 13)𝑥 + 72𝑦 − 9(5√37 − 27) = 0

(5√37 − 13)𝑥 − 72𝑦 + 9(5√37 + 27) = 0

Unidad 3: Elipse

1) 9𝑥2 + 25𝑦2 + 18𝑥 − 50𝑦 − 191 = 0

2) a)

68

b)

3) 𝐴 (1

3, −

1

4) 𝑦 𝐵 (−

1

3,

1

4)

4) Distancia máxima 6m.

Unidad 4: Parábola

1) 𝑦2 + 4𝑥 + 4𝑦 = 0

2)

69

3) No tiene puntos comunes.

4) 𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 16 = 0

5) 15m

Unidad 5: Hipérbola

1) 9𝑥2 − 9𝑦2 − 72𝑥 − 18𝑦 + 126 = 0

2)

3) 𝐴 (5

2,

3√3

2) , 𝐵 (

5

2, −

3√3

2) , 𝐶 (−

5

2,

3√3

2) 𝑦 𝐷(−

5

2, −

3√3

2)

4) 𝐵(48, 50) , 80𝑥2 − 45𝑦2 − 72 000 = 0

70

Producto Notable Ecuaciones de la Línea Recta

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 Punto Pendiente

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Distancia entre Dos Puntos Pendiente con Ordenada en el

Origen

𝑑𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Distancia entre Punto a una

Recta

Ecuación Cartesiana

𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶

√𝐴2 + 𝐵2

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1=

𝑦1 − 𝑦2

𝑥1 − 𝑥2

Distancia entre Dos Rectas Abscisa y Ordenada en el

Origen

𝑑 = |𝐶 − 𝐶1|

√𝐴2 + 𝐵2

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

Teorema de Pitágoras Dos líneas Perpendiculares

𝐻2 = 𝐶𝐴2 + 𝐶𝑂2 𝑚1. 𝑚2 = −1

Pendiente de una Recta Dos líneas Paralelas

𝑚 = 𝑦1−𝑦2

𝑥1−𝑥2 donde 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑚1 = 𝑚2

Punto Medio de un Segmento Angulo entre dos Rectas

𝑥 =𝑥1+𝑥2

2 𝑦 =

𝑦1+𝑦2

2 𝑚 = 𝑡𝑎𝑔(∝) =

𝑚2 − 𝑚1

1 + 𝑚1. 𝑚2

71

Abscisa: es la línea recta horizontal de un sistema de

coordenadas rectangulares.

Amblitoma: son las secciones cónicas imaginarias que se

obtienen al interceptar un plano con un cono obtuso.

Algebra: es la rama de la matemática que estudia la

combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a

ciertas reglas.

Asíntota: es una recta que, a medida que se prolonga de

manera indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o

función, aunque sin alcanzar a hallarla.

Concéntricas: dos o más circunferencias son concéntricas

cuando coinciden las coordenadas de sus centros.

Cónicas Imaginarias: es cuando la distancia del centro a

cualquier punto de la curva es generada por la raíz de un

numero negativo, por lo general se le denomina

circunferencia imaginaria.

Cono Circular Recto: es una figura solida que tiene una base

circular y un eje como vértice que es perpendicular a la base.

http://definicion.de/curva/

http://definicion.de/funcion/

72

Curva: es una línea continua de una dimensión, que varía de

dirección paulatinamente.

Directriz: es aquella línea, superficie o volumen que

determina las condiciones de generación de otra línea,

superficie o volumen, que se llama generatriz.

Generatriz: es una línea que a causa de su movimiento

conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la

directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva

simplemente un círculo.

Geometría: es una rama de la matemática que se ocupa del

estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el

espacio, incluyendo: puntos, rectas y planos.

Hipérbola Equilátera: es cuando sus asíntotas forman una

bisectriz.

Intersección: es el corte de dos curvas, dos superficies o dos

sólidos, que es respectivamente, un punto, una recta o una

superficie.

Recta Tangente: es una recta que toca a la curva en el punto

dado, es decir, dicho punto forma un ángulo nulo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz

http://es.wikipedia.org/wiki/Directriz

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_%28f%C3%ADsica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29


http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28geometr%C3%ADa%29


http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29


73

Recta Secante: es una recta que corta a una curva en 2

puntos.

Paralelas: se denominan rectas paralelas a las líneas que

mantienen una equidistancia entre sí, y que, aunque se

prolongue su trayectoria hasta el infinito, nunca, en ningún

punto sus trazos pueden bifurcarse, tocarse o encontrarse.

Perpendiculares: son dos rectas que se bifurcan en un punto

formando cuatro ángulos rectos, es decir, 90º cada uno.

Pendiente: es el parámetro que indica la inclinación de una

línea recta respecto a la horizontal.

Plano Cartesiano: plano cartesiano o sistema de coordenadas

rectangulares está formado por la intersección de dos rectas

numéricas de forma perpendicular.

Ordenadas: es la línea recta numérica que se encuentra de

forma vertical en un sistema de coordenadas rectangulares.

Ortotoma: son las secciones cónicas imaginarias que se

obtienen al interceptar un plano con un cono rectángulo.

Oxitoma: son las secciones cónicas imaginarias que se

obtienen al interceptar un plano con un cono agudo.


http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28Geometr%C3%ADa%29

74

Benítez R. y Zaldívar F. (2011). Geometría Analítica Plana.

Primera Edición. Trillas. México.

Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros

Semióticos y aprendizaje Intelectuales. Segunda Edición.

Colombia.

Hoyos, V. (1998). Revisitando La Construcción de Significado

en Torno de las ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas.

[Resumen en Línea]. Trabajo de Grado de Maestría no

Publicado, Universidad Pedagógica Nacional, México.

Disponible:

http://descartes.ajusco.upn.mx/piem/publicvha1.html.

[Consulta: 2014, Enero 22].

Kindle, J. (2007). Teoría y Problemas de Geometría Analítica

Plana y del Espacio. Serie de Compendios Schaum. Libros

McGRAW-Hill.

Larson, R., Hostetler, R. y Bruce, E. (2006). Calculo con

Geometría Analítica. Octava Edición. México.

Lehmann, C. (1980). Geometría Analítica. Grupo Noriega.

Editorial Limusa. México.

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