UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y ...repositorio.uchile.cl/tesis/uchile/2007/leiva_a/sources/leiva_a.pdf · anisotropías locales y se modifica el algoritmo de

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UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS

SIMULACIÓN GEOESTADÍSTICA INCORPORANDO UN CAMPO DE DIRECCIONES

VARIABLES

ALEJANDRO DAVID LEIVA RODRÍGUEZ

SANTIAGO – CHILE

ENERO 2007

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UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS

SIMULACIÓN GEOESTADÍSTICA INCORPORANDO UN CAMPO DE DIRECCIONES

VARIABLES

ALEJANDRO DAVID LEIVA RODRÍGUEZ

COMISIÓN EXAMINADORA: CALIFICACIONES

NOTA

(Nº) (Letras) FIRMA

PROFESOR GUÍA

SR. JULIÁN ORTIZ : ……… …………….…….. ………………

PROFESOR CO-GUÍA

SR. EDUARDO MAGRI : ……… …………………… ………………

PROFESOR INTEGRANTE

SR. CAMILO SALINAS : ……… …………………… ………………

MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL DE MINAS

SANTIAGO – CHILE

ENERO 2006

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RESUMEN

La correcta evaluación de los recursos en un proyecto minero es de suma importancia para la aprobación de fondos que permiten la realización del proyecto. Debido a que las inversiones son cuantiosas, la necesidad de contar con información confiable es primordial. Para el caso de yacimientos de vetas, la evaluación de recursos se hace más problemática debido a la continuidad variable que presenta este tipo de yacimientos. El objetivo general del presente trabajo de título es definir e implementar una metodología para la estimación de un campo de direcciones de continuidad variable e incorporarlo a la simulación geoestadística de un atributo; se define una metodología para estimar campos de direcciones de anisotropías, se evalúan parámetros necesarios para representar direcciones de anisotropías locales y se modifica el algoritmo de simulación secuencial gaussiana para adecuarlo al uso de anisotropías locales en la simulación. La primera parte de este trabajo consiste en una descripción del formalismo geoestadístico, técnicas de estimación y simulación geoestadística. Además, se hace una revisión bibliográfica de lo realizado en cuanto a incorporar la geología en la evaluación de recursos mineros. Se continúa presentando en detalle la metodología desarrollada para incorporar un campo de direcciones de continuidad variables a la simulación geoestadística de un atributo, junto con la justificación de la misma. Finalmente, se desarrolla un caso de estudio para ilustrar el uso de la metodología propuesta. Se utilizan datos reales de una porción de un yacimiento de oro en vetas del cual es posible deducir direcciones de anisotropía locales condicionantes para la estimación de un campo de direcciones. Utilizar direcciones de anisotropías variables se presenta como una flexibilización de las hipótesis de estacionaridad, las que indican el uso de un variograma único en la simulación de un atributo. El uso de direcciones de continuidad variable no resulta un hecho antojadizo, sino que se basa en la recopilación de información que respalda la presencia de anisotropías locales.

El beneficio del uso de anisotropías locales frente al uso de un variograma único en la simulación de una unidad geológica resulta evidente. Gracias a su uso, en el caso de estudio, se logra representar de mejor manera el cambio de la dirección de continuidad o la continuidad dentro de estructuras geológicas con carácter curvilíneo. Se aprecia que la continuidad y orientación de las vetas simuladas resulta mucho mejor lograda al ser comparadas tanto las realizaciones, como el promedio de éstas con la interpretación geológica de la veta. No obstante a lo anterior, las estadísticas globales entre la simulación propuesta y la tradicional son sumamente parecidas. Por otro lado, el algoritmo de simulación considerando direcciones de continuidad variable, es notoriamente más lento que el algoritmo tradicional debido a que un algoritmo de búsqueda eficiente es difícil de practicar porque la configuración de valores de variograma para los nodos en la vecindad de kriging es variable junto con la anisotropía local.

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ABSTRACT

The right resources evaluation in mining projects is very relevant to approve funds that allow carrying out the projects. Due to the investment is substantial to have reliable information is essential. In the case of vein sort of deposits, resources evaluation is more problematic due to the variable continuity that show these deposits. The main objective of this engineering final project is to define and to implement a methodology for the estimation of a field of continuity directions and to incorporate it to the geostatistical simulation of an attribute; it is defined a methodology to estimate the anisotropy direction field, parameters needed to represent local anisotropy direction are evaluated, and it is modified the algorithm of Gaussian Secuential Simulation adapting it to the use of local anisotropies.

The first part of this project consists on a brief description of the geostatistic theory, and estimation and simulation geostatistics tools. In addition, a bibliographic revision of material related to incorporate the geology to mining resources evaluation is done. Then it is showed on detail the developed methodology to incorporate variable continuity direction in geostatistical simulation. Finally, it is developed a study case to show the methodology proposed. For this study case was used real data from a portion of a vein deposit of gold from which it is possible to deduce local anisotropies direction which are used to estimate a direction field. To use variable local anisotropies is proposed as a variant of the strict stationary hypothesis, which indicates the use of a sole variogram for an attribute simulation. Using local anisotropies is not whimsical, rather it is based on the information recompiled that support the presence of local anisotropies. It is evident the benefit of using local anisotropies against to use a sole variogram in the simulation of a geological unit. Thanks to use local anisotropies, in the study case, it is better achieved the representation of either continuity direction changes or the continuity within geological structures with curvilinear character. It is possible to appreciate that the continuity and orientation in simulated veins at every realization as well as in the average is better achieved. Even though, the global statistics are very similar. Moreover, the simulation algorithm that account for variable continuities is notoriously slower than the traditional algorithm due to that an efficient search is difficult to practice because the variograma value configuration for the nodes in the kriging neighborhood is variable along with the local anisotropy.

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Agradecimiento

Gracias a mis padres y hermanos por quererme y apoyarme tanto en cada una de las etapas de mi vida. Muchas gracias a toda mi familia, en especial a mi abuelita Guillermina que lamentablemente ya no está más conmigo. Sin dudas creo que ella estaría muy feliz de verme un ingeniero. Gracias a los profesores Julián Ortiz y Xavier Emery por su cordialidad y excelente disposición en cada momento, en especial durante mi último semestre dedicado al desarrollo de mi memoria. Gracias a Julián por su dedicación en la corrección de éste trabajo. Gracias a la profesora Gianna Vallebuona por su preocupación y amabilidad demostrada en cada momento. Gracias a todos los amigos que te he tenido gracias a que estudio ingeniería y con los cuales he compartido importantes momentos en mi vida. Mis amigos de plan común: Bernardo Rojas, Leonardo Pérez, Carlos Castillo, Miguel Neira, Leonardo Moreno, Álvaro Parra, Gabriel Letelier, Carlos Urriola, Rodrigo Torreblanca, Boris Aliaga, Nelson Aliaga y Pablo Jofre. Mis amigos de Ingeniera de Minas: Juan Luis Yarmuch, Daniel Silva, Gonzalo Gacitúa, Rodrigo Gacitúa, Eduardo Villalobos, Francisco Peña, Reynaldo Billyard, Andrés Music y Carlos Hernández. A todos los mencionados y a los que he olvidado mencionar les deseo lo mejor en cada aspecto de su vida. Gracias a la Universidad de Chile por darme una formación excepcional. Gracias a la Cátedra Codelco de Evaluación de Yacimientos por financiar los últimos 7 semestres de mi carrera. Gracias a FONDECYT, la cual a través del proyecto N° 1061260, “Evaluación de Yacimientos Mediante Simulación Estocástica Integrando Estadísticas de Múltiples Puntos”, hizo posible la realización de está memoria.

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Índice General

1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................1

1.1 PROBLEMÁTICA Y MOTIVACIÓN ...........................................................................................................................3 1.2 OBJETIVOS............................................................................................................................................................4

1.2.1 Objetivo General..........................................................................................................................................4 1.2.2 Objetivos Específicos ...................................................................................................................................4

1.3 ALCANCES ............................................................................................................................................................5 1.4 DESCRIPCIÓN POR CAPÍTULOS ..............................................................................................................................6

2 ANTECEDENTES .......................................................................................................................................8

2.1 MODELAMIENTO GEOLÓGICO...............................................................................................................................8 2.2 EVALUACIÓN DE RECURSOS .................................................................................................................................9

2.2.1 Variable Regionalizada...............................................................................................................................9 2.2.2 Caracterización de una Función Aleatoria................................................................................................10 2.2.3 Estimación de Leyes...................................................................................................................................13 2.2.4 Simulación Secuencial Gaussiana .............................................................................................................15

2.3 GEOMETRÍAS NO CAPTURADAS POR TÉCNICAS CONVENCIONALES ....................................................................16 2.4 METODOLOGÍAS EXISTENTES PARA INCORPORAR GEOLOGÍA EN LA EVALUACIÓN ............................................18

3 METODOLOGÍA .......................................................................................................................................23

3.1 ESTIMACIÓN DE CAMPO DE DIRECCIONES DE ANISOTROPÍA...............................................................................24 3.2 VARIOGRAMA CONSIDERANDO ANISOTROPÍAS LOCALES...................................................................................26 3.3 SIMULACIÓN SECUENCIAL GAUSSIANA CONSIDERANDO ANISOTROPÍAS LOCALES ............................................28 3.4 JUSTIFICACIÓN DE LA METODOLOGÍA.................................................................................................................30

3.4.1 Parámetros para Definir Direcciones de Anisotropías Locales ................................................................30 3.4.2 Alcance en el Kriging para Estimación de Campo de Direcciones ...........................................................33 3.4.3 Simulación Considerando Anisotropías Locales. ......................................................................................34

3.5 METODOLOGÍA PARA CASO DE ESTUDIO ............................................................................................................37

4. CASO DE ESTUDIO ................................................................................................................................38

4.1 INFORMACIÓN DISPONIBLE.................................................................................................................................38 4.2 GEOLOGÍA DEL YACIMIENTO ..............................................................................................................................40 4.3 ESTUDIO EXPLORATORIO....................................................................................................................................41

4.3.1 Estadísticas Datos Condicionantes............................................................................................................41 4.3.2 Desagrupamiento.......................................................................................................................................44

4.4 TRANSFORMACIÓN GAUSSIANA ........................................................................................................................45 4.5 TEST DE LA DISTRIBUCIÓN BIGAUSSIANA...........................................................................................................47 4.6 ANÁLISIS VARIOGRÁFÍCO ...................................................................................................................................49

4.6.1 Variograma Datos no Gaussianos .............................................................................................................50 4.6.2 Variograma Datos Gaussianos. .................................................................................................................51

4.7 MODELOS VARIOGRÁFICOS ................................................................................................................................52 4.7.1 Modelos Datos no Gaussianos...................................................................................................................52 4.7.2 Modelos Datos Gaussianos........................................................................................................................52 4.7.3 Modelos “Ideales”.....................................................................................................................................53

4.8 CAMPO DE DIRECCIONES DE CONTINUIDAD VARIABLE ......................................................................................54 4.8.1 Secciones....................................................................................................................................................55 4.8.2 Plantas .......................................................................................................................................................57

4.9 SIMULACIÓN SECUENCIAL ..................................................................................................................................58 4.9.1 Caso “Real” ..............................................................................................................................................59 4.9.2 Caso “Ideal” 1...........................................................................................................................................60 4.9.3 Caso “Ideal” 2...........................................................................................................................................62

4.10 VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN CONSIDERANDO ANISOTROPÍAS LOCALES ...................................................63 4.10.1 Histogramas Datos Gaussianos..............................................................................................................63 4.10.2 Histogramas Datos No Gaussianos .........................................................................................................65 4.10.3 Variogramas ............................................................................................................................................66

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4.11 SIMULACIÓN V/S KRIGING ................................................................................................................................67 4.12 COMPARACIÓN PROMEDIO SIMULACIONES CON KRIGING ................................................................................69

5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...........................................................................................71

5.1 CONCLUSIONES...................................................................................................................................................71 5.2 RECOMENDACIONES ...........................................................................................................................................72

6 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................................................74

ANEXOS ......................................................................................................................................................75

ANEXO A: DATOS INICIALES DE DIRECCIONES CASO DE ESTUDIO. ..........................................................................76 ANEXO B: HISTOGRAMAS PROMEDIOS Y DESV. STD. SIMULACIONES. .....................................................................80 ANEXO C: MODELOS VARIOGRÁFICOS “IDEALES” PARA KRIGING. ..........................................................................83 ANEXO D: ARCHIVOS DE PARÁMETROS GSLIB. ........................................................................................................84 ANEXO E: COMPARACIÓN ALGORITMOS DE SIMULACIÓN. .......................................................................................85 ANEXO F: COMPARACIÓN KRIGING SIMPLE – KRIGING SIMPLE. ..............................................................................87 ANEXO G: ALGORITMO DE SIMULACIÓN IMPLEMENTADO EN MATLAB....................................................................90

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Índice de Figuras Figura 1: Problemas en la Estimación al Utilizar Anisotropías Globales. .........................4 Figura 2: Veta de oro (color rojo)....................................................................................17 Figura 3: Yacimiento de petróleo....................................................................................18 Figura 4: Representación Gráfica de los Vectores h y h' . ............................................20 Figura 5: Patrones de múltiples puntos. .........................................................................22 Figura 6: Ejemplo de Estimación de Campo de Anisotropía ..........................................25 Figura 7: Rotación de Ejes. ............................................................................................28 Figura 8: Anamorfosis Gaussiana [Emery X., 2001].......................................................29 Figura 9: Formas para Definir Direcciones de Continuidad............................................31 Figura 10: Estimación de Direcciones de Continuidad. Caso Plegamiento....................32 Figura 11: Estimación de Direcciones de Continuidad. Caso Veta. ...............................32 Figura 12: Estimaciones con Componentes Normalizados. ...........................................33 Figura 13: Alcances de K.O. en Estimación de direcciones de Anisotropía. ..................34 Figura 14: Datos Recreación Muestreo Veta 1...............................................................35 Figura 15: Simulación Veta 1. ........................................................................................35 Figura 16: Datos Recreación Muestreo Veta 2...............................................................36 Figura 17 Simulación Veta 2. .........................................................................................36 Figura 18: Disposición de Datos Iniciales y Muestras Para Análisis Variográfico. ........39 Figura 19: Datos Condicionantes Espacio a Estimar. ....................................................42 Figura 20: Secciones Utilizadas en el Condicionamiento de Datos................................43 Figura 21: Vista de Plantas Utilizadas en el Condicionamiento de Datos. .....................43 Figura 22: Planta de Datos Luego de la Anamorfosis. ...................................................47 Figura 23: Nubes de Correlación Diferida. .....................................................................48 Figura 24: Rotación de Ejes para Cálculo de Variograma..............................................50 Figura 25: Búsqueda de Direcciones de Continuidad. ...................................................54 Figura 26: Campo Anisotropía Local. Sección 1. ...........................................................55 Figura 27: Campo Anisotropía Local. Planta 1. ..............................................................57 Figura 28: Plantas y Secciones Simulación Caso “Real”. ..............................................60 Figura 29: Plantas y Secciones Simulación Caso “Ideal” 1. ...........................................61 Figura 30: Plantas y Secciones Simulación Caso “Ideal” 2. ...........................................62 Figura 31: Simulaciones v/s Kriging. ..............................................................................68 Figura 32: Promedio Simulaciones con Kriging..............................................................69 Figura 33: Secciones con Datos Iniciales y Campo Estimado de Direcciones. ..............76 Figura 34: Plantas con Datos Iniciales y Campo Estimado de Direcciones. ..................77 Figura 35: Archivo de Parámetros NSCORE..................................................................84 Figura 36: Archivo de Parámetros BACKTR. .................................................................84 Figura 37: Comparación Algoritmos de Simulación Modelo “Ideal” 1.............................85 Figura 38: Comparación Algoritmos de Simulación Modelo “Ideal” 2.............................86 Figura 39: Comparación KS – KO Modelo “Real”...........................................................87 Figura 40: Comparación KS – KO Modelo “Ideal” 1. ......................................................88 Figura 41: Comparación KS – KO Modelo “Ideal” 2. ......................................................89 Figura 42: Figura Esquemática Programación Algoritmos de Simulación......................90

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Índice de Gráficos Gráfico 1: Aspecto típico de la función variograma. .......................................................12 Gráfico 2: Histograma de los Ángulos Simulados. .........................................................26 Gráfico 3: Histograma de los Datos Condicionantes Sin Desagrupar. ...........................42 Gráfico 4: Media Desagrupada v/s Tamaño de Celda....................................................44 Gráfico 5: Histograma de Datos Desagrupados. ............................................................45 Gráfico 6: Función de Anamorfosis. ...............................................................................46 Gráfico 7: Histograma Datos Gaussianos Desagrupados. .............................................48 Gráfico 8: Variograma y Correlograma Datos no Gaussianos........................................51 Gráfico 9: Variograma de Datos Gaussianos .................................................................51 Gráfico 10: Variograma y Modelo Variográfico Datos no Gaussianos............................52 Gráfico 11: Variograma y Modelo Variográfico Datos Gaussianos.................................52 Gráfico 12: Modelo Variográfico “Ideal” 1.......................................................................53 Gráfico 13: Modelo Variográfico “Ideal” 2.......................................................................53 Gráfico 14: Histograma de Ángulos de Rotación φ en el plano ZX’...............................56 Gráfico 15: Histograma de Ángulos de Rotaciónα en el Plano XY. ...............................58 Gráfico 16: Histograma Datos Gaussianos Simulaciones. .............................................64 Gráfico 17: Histograma Simulaciones. ...........................................................................65 Gráfico 18: Variogramas Direccionales Simulaciones Anisotropía Local. ......................67 Gráfico 19: Histogramas de Promedios y Dev. Std. Simulaciones Modelo “Real”.........80 Gráfico 20: Histogramas de Promedios y Dev. Std. Simulaciones Modelo “Ideal” 1. ....81 Gráfico 21: Histogramas de Promedios y Dev. Std. Simulaciones Modelo “Ideal” 2. ....82 Gráfico 22: Modelo “Ideales” para Utilizados en Kriging. ...............................................83

Índice de Tablas Tabla 1: Estadísticas Básicas.........................................................................................39 Tabla 2: Estadísticas Subespacio Variograma. ..............................................................40 Tabla 3: Estadísticas Datos Condicionantes Previo Desagrupamiento..........................41 Tabla 4: Estadísticas Datos Condicionantes Desagrupados. .........................................45 Tabla 5: Datos Direcciones Condicionantes Sección 1. .................................................56 Tabla 6: Datos Direcciones Condicionantes Planta 1.....................................................57 Tabla 7: Estadísticas Promedio Simulaciones Caso “Real”. ..........................................59 Tabla 8: Estadísticas Promedio Simulaciones Caso “Ideal” 1. .......................................61 Tabla 9: Estadísticas Promedio Simulaciones Caso “Ideal” 2. .......................................62 Tabla 10: Datos Sección 1. ............................................................................................78 Tabla 11: Datos Planta 1. ...............................................................................................78 Tabla 12: Datos Planta 2. ...............................................................................................78 Tabla 13: Datos Sección 2. ............................................................................................78 Tabla 14: Datos Planta 3. ...............................................................................................78 Tabla 15: Datos Sección 3. ............................................................................................78 Tabla 16: Datos Sección 4. ............................................................................................79 Tabla 17: Datos Planta 4. ...............................................................................................79 Tabla 18: Datos Planta 5. ...............................................................................................79

Capítulo 1 Introducción

1

1 Introducción

La envolvente mineralizada en yacimientos vetiformes a menudo presenta cambios de

rumbo y manteo, los cuales son difíciles de capturar durante la estimación y simulación de

leyes. Esto motiva considerar un campo de direcciones variables inferido a partir del modelo

geológico interpretado.

El conjunto de las correlaciones o dependencias que existen en la distribución espacial

de los valores constituye la “estructura” del fenómeno regionalizado. Existe la necesidad de

adecuar los modelos numéricos lo mejor posible para representar de la manera más fiel las

características que los yacimientos presentan en la realidad. Los yacimientos de vetas,

yacimientos que presentan continuidades con características curvilíneas, resulta ser un caso

característico de la problemática generada al utilizar modelos poco flexibles en la estimación y

simulación geoestadística.

En geoestadística lineal, la descripción de la ley espacial está limitada a sus dos

primeros momentos. El momento de orden 1 (esperanza) hace intervenir en su definición

solamente un punto, y no entrega realmente la información estructural. En cambio, los

momentos de orden 2 (en particular la covarianza y el variograma) están definidos considerando

dos puntos, es decir, tomando el conjunto más pequeño que se puede considerar para describir

la “interacción” entre los valores. Los dos primeros momentos entregan una descripción

elemental y operatoria de la estructura espacial del fenómeno regionalizado estudiado, y son

por esta razón también llamados herramientas estructurales [Journel A. G., Huijbregts C. J.,

1978]. Herramientas más avanzadas en geoestadística, como las estadísticas de múltiples

puntos, se utilizan para intentar reproducir de mejor forma las características estructurales de

una variable regionalizada.

El valor del variograma es función del espaciamiento (h) entre pares de datos de una

variable regionalizada. El variograma puede de ser calculado utilizando distintos espaciamientos

y direcciones. Se considera un variograma isótropo, si éste es idéntico en todas las

direcciones, es decir, si éste no depende de la orientación del vector h, sino sólo de su módulo

|h|. En caso contrario, se habla de la existencia de anisotropías. La existencia de anisotropías

nos indica la presencia de direcciones preferenciales en la continuidad espacial de una variable

regionalizada. Tanto las técnicas de estimación como de simulación consideran la presencia de


2

anisotropías con el objetivo de reproducir de mejor manera la posible distribución de la variable

regionalizada en estudio en el espacio.

Un modelamiento adecuado de la anisotropía presente nos asegura conseguir un

correcto desarrollo de los trabajos geoestadísticos. El resultado del kriging o simulación será

correcto en la medida que nuestro modelo variográfico se ajuste y reproduzca las estructuras

presentes en los datos condicionantes.

Todo refinamiento matemático utilizado en la evaluación de un proyecto minero pierde

validez cuando no se respeta o reproduce la geología del prospecto. Entender la geología

involucra ser lo suficientemente flexible como para modificar nuestra perspectiva si el modelo no

se ajusta a los datos. Utilizar direcciones de anisotropías variables se presenta como una

flexibilización de las hipótesis de estacionaridad, las que indican el uso de un variograma único

en la simulación de un atributo. El uso de direcciones de continuidad variable no resulta un

hecho antojadizo, sino que se basa en la recopilación de información que respalda la presencia

de anisotropías locales.

Se evalúa y propone una metodología para el uso de direcciones de continuidad variable

en simulación geoestadística. Se desarrolla con esta metodología un caso de estudio detallado

de simulación secuencial gaussiana incorporando direcciones de continuidad variable de un

yacimiento de oro.

El desarrollo de este trabajo de título está enmarcado en el proyecto de investigación NO

1061260, “Evaluación de Yacimientos Mediante Simulación Estocástica Integrando Estadísticas

de Múltiples Puntos”. Éste proyecto es financiado por FONDECYT y buscar capturar ciertos

rasgos estructurales de la variable regionalizada, tales como el cambio de la dirección de

continuidad o la continuidad dentro de estructuras geológicas con carácter curvilíneo, que

herramientas estructurales que consideran dos puntos (covarianza) no capturan.


3

1.1 Problemática y Motivación

Tanto para la estimación de una variable regionalizada por kriging como para la

simulación geoestadística se utilizan herramientas de modelamiento de la estructura espacial

(covarianza, variograma), y en función de estas herramientas se definen las direcciones de

continuidad presentes en el espacio que se desea estimar.

Las direcciones de anisotropía a menudo se definen constantes dentro de cada unidad

geológica por lo que muchas veces las estimaciones presentan algún grado de sesgo con

respecto a los valores reales de la variable regionalizada.

La Figura 1 ejemplifica la problemática al utilizar direcciones de anisotropías globales en

la estimación de la envolvente de leyes para una veta de oro y las mejoras a esta estimación al

utilizar direcciones de continuidad variable.

El error provocado al utilizar direcciones de anisotropías globales en la estimación de

cuerpos mineralizados que presentan con claridad más de una única dirección en la anisotropía

debe ser corregido a fin de representar de mejor manera la distribución de las leyes. Esto es

particularmente relevante en el caso de yacimientos de tipo veta, en los que definir

correctamente su potencia y ubicación resulta trascendental para el negocio minero. Resulta

claro el beneficio que se le incorporaría a la técnica de simulación considerar momentos de

orden 2 (covarianza y variograma) con características variables en el espacio para la evaluación

de un recurso.


4

Figura 1: Problemas en la Estimación al Utilizar Anisotropías Globales.

a) Veta de Oro. La flecha verde representa la dirección de máxima anisotropía global para la veta: b) La línea de color rojo

corresponde a la estimación de la envolvente de las leyes de la veta utilizando direcciones de anisotropías globales en el

espacio a estimar, c) Las flechas naranjas corresponden a un campo de direcciones de anisotoprías estimadas. La línea de

color rojo es la estimacón de la envolvente de las leyes de la veta utilizando el campo de direcciones variables previamente

estimado.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo General

El objetivo general de este trabajo de título es definir e implementar una metodología

para la estimación de un campo de direcciones de continuidad variable e incorporarlo a la

simulación geoestadística de un atributo.

1.2.2 Objetivos Específicos

1. Definir una metodología para estimar el campo de direcciones de anisotropía. Evaluar

parámetros necesarios para definir direcciones de anisotropías locales.


5

2. Programar algoritmo que permita encontrar el campo de direcciones de continuidad para

el espacio que se pretende estimar utilizando datos de anisotropías locales.

3. Modificar un algoritmo de simulación adecuando el sistema de kriging a la anisotropía

local.

4. Trabajar la metodología desarrollada en la simulación de un yacimiento chileno de Au

del cual es posible estimar un campo de direcciones de continuidad variable.

1.3 Alcances

Se evalúa tanto las ventajas como desventajas de utilizar direcciones de continuidad

variables definidas únicamente por sus direcciones como también direcciones de continuidad

definidas mediante vectores unitarios, es decir, que presentan dirección y sentido. Se concluye

cual de estas maneras representa la forma óptima para el desarrollo de la simulación de un

yacimiento chileno de Au que presente un campo estimable de direcciones de continuidad

variable.

Se estima el campo de direcciones variables utilizando los parámetros más adecuados a

través de un kriging ordinario. No se cubre aspectos tales como:

• Inferencia y medida de direcciones de continuidad que condicionen el campo vectorial

ni la incertidumbre y/o precisión de éstas.

• Modelamientos geológicos en los cuales las direcciones de continuidad presenten

características demasiado complejas, como por ejemplo las presentes en canales fluviales

de depósitos de petróleo.

• Inferencia acerca de la continuidad de las direcciones variables. Se utiliza en la

estimación del campo vectorial un variograma arbitrario y suave, que permita representar

de la mejor forma posible la interpretación geológica de las direcciones de continuidad en

un modelo numérico. No se utiliza un variograma de direcciones ni un variograma

vectorial.


6

Se modifica el algoritmo de simulación secuencial gaussiana para incorporar las

direcciones de continuidad variable.

Finalmente se trabaja con la metodología desarrollada en la simulación geoestadística

de un yacimiento chileno de vetas de oro el cual presenta un campo de direcciones de

continuidad variable, con el fin de demostrar su uso. Se cuenta con la interpretación geológica

que distingue entre los valores muestreados que son parte de las vetas y los que no lo son. Con

todos los datos correspondientes a vetas se extraen direcciones de anisotropía locales, las

cuales son utilizadas como datos condicionantes en la estimación del campo de continuidad

variable. Además con estos mismos datos se realiza el estudio variográfico destinado a la

búsqueda de direcciones de anisotropías globales para el posterior modelamiento y uso de

estos modelos variográficos en la simulación incorporando direcciones de anisotropías locales.

En cada punto que sea pertinente del caso de estudio se compara los resultados

obtenidos al utilizar el programa de simulación secuencial desarrollado en MATLAB con

realizaciones de simulaciones generadas con el software GSLIB utilizando parámetros tan

similares como las opciones de cada programa lo permiten. Se realiza este ejercicio con el

objetivo de comprobar el correcto funcionamiento del programa escrito para el desarrollo de

este trabajo de título. Se elige GSLIB por ser software ampliamente utilizado en trabajos

geoestadísticos.

1.4 Descripción por Capítulos

Esta sección pretende describir de forma breve lo que se desarrollará en cada capítulo

presente en este trabajo de título para que el lector pueda comprender y situarse de forma más

fácil dentro del mismo.

El capítulo 2 corresponde al capítulo de Antecedentes. Éste capítulo muestra la revisión

bibliográfica relacionada con el desarrollo de los objetivos de este trabajo de título. Se muestra

el “estado del arte” en cuanto a incorporar la geología en la evaluación de recursos mineros.

Además se presenta un resumen del formalismo geoestadístico, la descripción de técnicas de

estimación (kriging ordinario y kriging simple) y de simulación condicional (simulación

secuencial gaussiana).


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El capítulo 3 muestra en detalle la metodología desarrollada para incorporar un campo

de direcciones variables a la simulación geoestadística de un atributo. En este capítulo se

muestra además de la metodología desarrollada, algunos ejemplos de pruebas realizas con el

objetivo de justificar las decisiones impuestas en la metodología.

Como forma de validación final de la metodología el capítulo 4 muestra un caso de

estudio desarrollado utilizando la metodología propuesta. Se utiliza datos reales de una porción

de un yacimiento de Au del cual es posible deducir direcciones de anisotropía locales

condicionantes para la estimación de un campo de direcciones. Se compara los resultados

obtenidos utilizando la metodología propuesta con los resultados de una simulación secuencial

gaussiana tradicional.

El capítulo 5 corresponde a las conclusiones y discusiones del trabajo realizado. Se

hace hincapié en destacar las bondades y defectos que posee la metodología desarrollada en

contraste a una simulación que no tome en cuenta direcciones de anisotropías locales. Se

propone posibles mejoras y formas de acercamiento a situaciones no consideradas en los

alcances de este trabajo.

Finalmente los últimos dos capítulos son complementos para que el lector pueda

profundizar más en el tema desarrollado. El capítulo 6 muestra la bibliografía consultada por el

autor de esta memoria, mientras que el capítulo 7 corresponde a los anexos de este trabajo,

entre los cuales se contemplan datos utilizados en ejemplos, código de algoritmo de simulación

para MATLAB, histograma de realizaciones, plantas y perfiles de estimación utilizando kriging,

variogramas “ideales” utilizados, comparación de plantas y perfiles entre una realización

generada con un algoritmo de simulación ya implementando y otra generada con el programado

en MATLAB. También se encuentran los archivos de parámetros de programas de GSLIB

mencionados en la metodología.

Capítulo 2 Antecedentes

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2 Antecedentes

Este capítulo tiene por objetivo describir los antecedentes con los que se cuenta para el

desarrollo de esta memoria. Se comienza por una breve descripción del modelamiento

geológico. Luego se continúa con técnicas de evaluación de recursos (estimación y simulación

geoestadística) utilizadas en la metodología propuesta. Se intenta estandarizar las definiciones

presentadas por los distintos autores [Emery X., 2000; Goovaerts P., 1997] para que el lector

pueda desarrollar una lectura más sencilla.

Debido a que la geoestadística considera la variable regionalizada como una realización

de una función aleatoria, resulta interesante ver las herramientas matemáticas que permiten

caracterizar una variable aleatoria y que permiten tomar en cuenta los aspectos erráticos y

estructurales de una regionalización. Con este fin se presentan definiciones de: estacionaridad,

momentos y función aleatoria.

Finalmente se mencionan y explican trabajos relacionados con utilización de

anisotropías locales. Se recurre a varios autores con el objetivo de interiorizarse en lo que ya se

ha realizado en cuanto a técnicas existentes para incorporar la geología a la evaluación de

recursos.

2.1 Modelamiento Geológico

Los datos con que se utilizan en este trabajo de título corresponden a leyes y ángulos de

direcciones de continuidad. Se entiende por ley a la concentración de oro, plata, cobre, estaño,

etc., presente en las rocas mineralizadas, elementos de interés de un yacimiento. En el caso de

estudio en particular se trabaja con concentraciones de oro, datos que se encuentran medidos

en partes por millón [ppm].

Los datos leyes obtenidos a través de sondajes son utilizados por los geólogos para

ayudar en la inferencia del modelo geológico del yacimiento.

En la actualidad los yacimientos que afloran a superficie prácticamente no existen, por lo

que la interpretación geológica resulta mucho más compleja. Existen dos tipos de veta: vetas


9

epitermales y vetas mesotermales. Las diferencias entre estos dos tipos consisten en la

profundidad en que se formaron y los componentes que cada una presenta.

Los sondajes son perforaciones de pequeño diámetro y gran longitud que se efectúan

para alcanzar zonas inaccesibles desde la superficie o laboreos mineros. Los sondajes permiten

obtener muestras de dichas zonas a profundidades de hasta 1.200 m para ser estudiadas y

analizadas por los geólogos.

Las técnicas más utilizadas actualmente son la perforación con recuperación de testigos

o diamantina y la recuperación de detritos o aire reverso. En la primera se utiliza una tubería

engastada en diamantes en la punta (corona), obteniéndose un cilindro de roca de un diámetro

entre 2 y 5 pulgadas, en tanto que la segunda se realiza con herramientas que van moliendo la

roca, permitiendo obtener sólo trozos de roca de hasta 1 cm.

Para el caso de estudio presentado en este trabajo de título, la base de datos utilizada

cuenta con una variable de interpretación de la pertenencia o no pertenencia de las muestras a

una veta del yacimiento. De esta interpretación se extraerá los datos condicionantes para

generar el campo de direcciones variables.

2.2 Evaluación de Recursos

2.2.1 Variable Regionalizada

Una variable regionalizada es una función numérica que describe de forma cuantitativa

un cierto atributo presente en una ubicación precisa del espacio. La ley se considera una

variable regionalizada.

Desde un punto de vista matemático, una variable regionalizada es una función

determinista, denotada tradicionalmente como z . En general, esta función representa dos

aspectos complementarios: por una parte, tiene una “estructura” espacial, pero por otro lado,

varía irregularmente y escapa a toda representación simple, es decir, se hace compleja la

estimación de su valor en lugares que no se encuentran muestreados. Si bien un punto del

espacio está relacionado con sus vecinos, resulta altamente complejo reconocer, relacionar y

utilizar de forma correcta esta relación. Caracterizar correctamente estas relaciones con el

objetivo de reproducir de la forma más certera el valor de la variable regionaliza en los


10

diferentes puntos del espacio en estudio a través del uso de herramientas que permiten resumir

las principales características de la regionalización, es una tarea que desarrolla la

geoestadística.

Para el estudio de una variable regionaliza se define un dominio limitado D llamado

campo de la variable. Este campo por ejemplo puede representar el espacio de interés para el

estudio de la variable, ser un lugar donde el atributo presenta una presencia significativa o

representar un lugar delimitado por fronteras naturales que definen el interés o no de la zona a

estudiar.

El valor que adquiere una variable regionalizada puede estar asociado a un punto, una

superficie o un volumen. El punto, la superficie o el volumen sobre el cual se considera la

variable regionalizada se denomina soporte. Para el caso de las muestras el soporte se

considera puntual, mientras que la estimación por ejemplo de una ley mineralógica se considera

que el valor de la variable regionalizada representa el promedio de su valor en el volumen

considerado, volumen que por lo general corresponde a unidades selectivas de explotación en

evaluación minera.

Los modelos geoestadísticos consideran el valor de ( )z x de la variable regionalizada en

un punto x del campo D como una realización de la variable aleatoria ( )Z x , es decir, como

una realización de una variable que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados

de un experimento aleatorio. Cuando x recorre D , se obtiene una familia de variables

aleatorias { }( ),Z D∈x x , que constituyen una función aleatoria o proceso estocástico. El

conjunto { }( ),Z D∈x x , que no es otra cosa que la variable regionalizada estudiada, es una

realización particular de la función aleatoria. Resulta interesante ver las herramientas

matemáticas utilizadas para caracterizar una variable aleatoria y que permiten tomar en cuenta

los aspectos erráticos y estructurales de una regionalización.

2.2.2 Caracterización de una Función Aleatoria

En geoestadística lineal se utilizan los dos primeros momentos para caracterizar la

distribución espacial de una variable regionalizada. El momento de primer orden corresponde a

la esperanza matemática, mientras que por momentos de segundo orden se reconocen la

varianza, variograma y covarianza.


11

2.2.2.1 Momentos de Primer Orden

El momento de primer orden corresponde al valor esperado o esperanza matemática (o

simplemente esperanza) de una variable aleatoria. Se puede definir como la suma de la

probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor.

[ ]( ) ( ) ( ) ( ( ))Z

D

E Z x m x z x f z x dz= = ⋅ ⋅∫ (1)

2.2.2.2 Momentos de Segundo Orden

• Varianza

La varianza es un estimador de la divergencia de una variable aleatoria de su valor

esperado. También se utilizan la desviación estándar, que corresponde a la raíz cuadrada de la

varianza.

[ ] [ ]{ }2 2 2var ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z E Z m E Z m = − = − x x x x x (2)

• Variograma

La función variograma dependiente únicamente del vector separación h de las muestras

requiere de una función aleatoria intrínseca sin deriva. Una función aleatoria ( )Z x se dice

intrínseca cuando sus crecimientos son estacionarios de orden dos, es decir:

1) [ ]( ) ( ) ( )E Z Z m+ − =x h x h Independiente de la posición x .

2) [ ]2 2 2 2 2cov ( ) ( ), ( ) ( ) ( ; ; )Z Z Z Z C+ − + − = −1 1 1 1 1x h x x h x x x h h

Dependiente solo de 2 ,−1 1x x h y 2h .

El variograma se considera para describir la interacción entre los valores separados por

el vector h . Siendo ( )Z x una función aleatoria intrínseca sin deriva, es decir cuando ( ) 0m =h ,

la definición del variograma es la siguiente:


12

[ ]1

( ) var ( ) ( )2

Z Zγ = −h x + h x (3)

El Gráfico 1 muestra el aspecto típico de la función variograma. Se aprecian parámetros

como el alcance y la meseta, valor para el cual se estabiliza la función variograma. Esta figura

no considera el denominado efecto pepita, el cual consiste en una discontinuidad de la función

variograma en 0=h .

Gráfico 1: Aspecto típico de la función variograma.

Como en geoestadística se trabaja con un número discreto de datos se debe trabajar

con un estimador del variograma el cual se define de la siguiente manera:

�2

( )

1( )= z( ) ( )

2 N( ) N

zγ − ∑ α β

h

h x xh

(4)

donde N(h)={ ( , )α β tal que ( )− =α β

x x h };

|N(h)| es el número de pares distintos en el conjunto N(h).

Esto significa reemplazar la esperanza en la expresión del variograma por la media

aritmética sobre los pares de muestras separadas por una distancia h.

Se habla de estacionaridad de segundo orden de una función aleatoria si sus dos

primeros momentos existen y son invariantes a la traslación. En este caso se tiene:


13

[ ], ( ) .E Z m cte∀ = =x x (5)

[ ] { } 2, var ( ) cov ( ), ( ) ( ) .Z Z Z C cteσ∀ = = = =x x x x 0 (6)

{ }, , cov ( ), ( ) ( )Z Z C∀ =x x + h x x + h h (7)

{ }1, , ( , ) var ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 Z Z C Cγ γ∀ = − = − =x x + h x x + h x x + h 0 h h (8)

Considerando las hipótesis anteriores de estacionaridad de segundo orden, se llega a la

siguiente relación entre el variograma y la covarianza:

( , ) ( ) ( ) ( )C Cγ γ= = −x x + h h 0 h (9)

2.2.3 Estimación de Leyes

La ley mineralógica se considera una variable regionalizada. En la estimación de leyes

se utiliza el kriging, el cual posee la propiedad de ser el mejor estimador lineal de datos en

términos de mínimos cuadrados. La técnica de interpolación por kriging toma en cuenta las

características estructurales de los datos al considerar el variograma. Además realiza una

interpolación exacta en los lugares en que se cuenta con datos, considera la redundancia de los

mismos y nos entrega una expresión para la varianza en la estimación.

El dato estimado *( )Z 0x en la posición 0x por kriging simple se escribe de la siguiente

forma:

*

1 1

( ) ( ) (1 )n n

Z Z mα αα α

λ λ= =

= + −∑ ∑0 αx x (10)

Donde los ponderadores 1,..., nλ λ se obtienen imponiendo las condiciones de un

estimador insesgado y que minimice la varianza. El sistema de ecuaciones que permite

encontrar los ponderadores 1,..., nλ λ escrito en forma matricial, es el siguiente:

1

[ ] ( ) [ ( )].C Cβλ−

= − − α β α 0x x x x (11)


14

Debemos notar que para encontrar el dato estimado *( )Z 0x mediante kriging simple se

utiliza la media m de los valores muestreados. Finalmente la varianza en la estimación de

*( )Z 0x con kriging simple en cada punto 0x queda dada por la siguiente expresión:

2 2

1

( ) ( )n

KS Cαα

σ σ λ=

= −∑0 α 0x x - x (12)

Como se mencionó con anterioridad el kriging simple utiliza una media m única de los

datos para la estimación lo cual resulta poco aconsejable, pues conocer con certeza el valor de

la media, es poco frecuente. Además cuando la media varía demasiado de un lugar a otro

dentro del espacio a estimar se desea que nuestro estimador pueda reproducir esta situación.

Es así como se plantea el kriging ordinario o kriging de media desconocida. El kriging ordinario

al no tomar en cuenta el valor de la media de los valores muestreados requiere de una

condición extra sobre los ponderadores para así satisfacer su propiedad de estimador

insesgado. Esta condición se muestra en la siguiente ecuación:

1

1.n

ααλ

==∑ (13)

Asumiendo la condición que se muestra en la ecuación 13 y considerando a µ como un

multiplicador de Lagrange de esta condición en el sistema que permite encontrar los

ponderadores 1,..., nλ λ , los valores de los ponderadores que permiten estimar *( )Z 0x en la

posición 0x por kriging ordinario se obtienen con el siguiente sistema de ecuaciones:

1( ) 1 ( )

1 0 1

C Cβλ

µ

−− −

=

α β α βx x x x (14)

Es importante recalcar que la condición impuesta sobre los ponderadores 1,..., nλ λ de la

ecuación 13 al ser reemplazada en la ecuación 10 hace que el término de la derecha sea cero,

consiguiendo de esta forma que el valor estimado no considere la media. La varianza en la

estimación de *( )Z 0x con kriging ordinario queda dada por la siguiente expresión:


15

2 2

1

( ) ( )n

KO Cα

σ σ µ=

= − − −∑0 α βx x x (15)

2.2.4 Simulación Secuencial Gaussiana

La simulación consiste en hacer realizaciones de la variable aleatoria que se requiere

estudiar. Estas realizaciones deben reproducir el histograma y los valores exactos de los datos

muestreados y el variograma.

Pese a que la simulación puede ser utilizada para la estimación como un sustituto del

kriging si es que se promedian los distintos escenarios generados, el fuerte de la simulación

geoestadística se da en el análisis de riesgo (escenario más optimista/pesimista) y en la medida

de la incertidumbre (ver qué tan distintos son los diversos escenarios). Como sabemos el

kriging por construcción minimiza la varianza en la estimación lo que provoca que éste produzca

mapas más suavizados que como realmente se presenta la variable regionalizada en el

espacio. La simulación geoestadística trata de corregir el suavizamiento en los mapas de leyes

producido por el kriging agregándole a los valores estimados una variabilidad aleatoria de

manera de reproducir de mejor forma la estructura espacial de la variable. Debido a lo anterior,

resulta imposible distinguir entre el mapa real de la variable regionalizada y un escenario

generado mediante simulación geoestadística, ya que cada escenario generado por la

simulación reproduce la variabilidad que el atributo de interés presenta en la realidad.

En este trabajo de título se utiliza el algoritmo de Simulación Secuencial Gaussiana para

la simulación condicional de la variable de interés. Como en la práctica la función aleatoria

( )Z x que se desea simular presenta raramente una distribución gaussiana es necesario

realizar una transformación de los datos a valores que sigan una distribución de este tipo, es

decir, no se trabaja directamente sobre ( )Z x , sino sobre su transformada gaussiana ( )Y x . En

la transformación gaussiana a cada valor original se le asigna el valor de la distribución normal,

con media 0 y varianza 1, que posee la misma frecuencia acumulada. Luego del proceso de

transformación se requiere comprobar que los datos sigan las hipótesis multigaussianas.

Finalizada la simulación a los valores generados se le aplica una transformación inversa.

El algoritmo de simulación para ( )S

Y ix , valor gaussiano correspondiente al valor ( )S

Z ix

en el espacio original está dado por:


16

*( ) ( )S i i i i

Y x Y x Rσ= + (16)

con: *( )i

Y x : Kriging simple de ( )i

Y x a partir de los valores 0 1{ ( ),..., ( )}S S i

Y x Y x − , considerados

como una realización de 0 1{ ( ),..., ( )}i

Y x Y x − .

i

σ : Desviación estándar del kriging asociada.

i

R : Variable aleatoria de esperanza nula y varianza unitaria, independiente de

0 1{ ( ),..., ( )}S S i

Y x Y x − y de 0 1{ ,..., }i

R R − ; i iRσ es una simulación del error de kriging en

1ix − .

Este tipo de simulación se hace en etapas sucesivas, partiendo de un nodo y luego

condicionando el nodo siguiente a los datos muestreados más los datos ya simulados.

Siguiendo esta estrategia nos aseguramos que la simulación reproduce los dos primeros

momentos de la variable aleatoria de interés.

2.3 Geometrías no Capturadas por Técnicas Convencionales

Distribución de leyes con continuidad asociada a geometrías curvilíneas resultan

sumamente complejas de estimar y simular con las técnicas convencionales. Al utilizar un

variograma global se pierde mucha de la información geológica con la que se cuenta. Esta

información sin lugar a dudas debería ser tomada en consideración en las metodologías

geoestadísticas. Como se aprecia en la Figura 2 la veta de oro (de color rojo) difícilmente

puede ser representada por una dirección única de anisotropía y resulta predecible que la

utilización de un variograma único conlleve a una reproducción deficiente de su geometría.

Definir de forma correcta la potencia y la ubicación de las vetas resulta trascendental en

el negocio minero pues se debe estar bastante seguro de que la operación resultará rentable

antes de comenzar el desarrollo del proyecto


17

Figura 2: Veta de oro (color rojo).

La Figura 3 muestra esquemáticamente un yacimiento petrolero. El estrato de color

verde representa a rocas del tipo lutitas, las que constituyen un sello para el petróleo

entrampado. Claramente la distribución espacial de este tipo de roca presenta características

curvilíneas. Definir correctamente este sello resulta de vital importancia. Junto con lo

relacionado al tipo de roca presente (areniscas, carbonatos) otros atributos de la roca pueden

ser vistos como variables regionalizadas. Los rasgos geológicos de la roca son un ejemplo:

fracturados, no fracturados o turbidíticos. Todas estas características resultan fundamentales

para definir el tipo de explotación.


18

Figura 3: Yacimiento de petróleo.

Las Figuras 2 y 3 son ejemplos de geometrías no capturadas por técnicas

convencionales. A los dos ejemplos anteriores se le pueden agregar los depósitos en canales

fluviales, depósitos tipo cross bedding, etc.

2.4 Metodologías Existentes para Incorporar Geología en la Evaluación

Si el variograma utilizado presenta una dirección de continuidad única en todo el espacio

que se pretende estimar o simular, la estimación o simulación encuentra dificultades para

reproducir algunas características de ciertos tipos de yacimientos debido a la variabilidad de las

direcciones de continuidad que éstos podrían tener. Se ha propuesto la utilización de

direcciones de anisotropías que varían en el espacio a fin de estimar la morfología de

yacimientos de vetas [Soares A., 1990]. Si consideramos D un conjunto formado por dos

conjuntos disjuntos, X y su complemento CX , y un conjunto de N muestras { }, 1,...,i N=ix

espacialmente ubicadas en CD X X= ∪ , se define la variable indicador ( )I ix en cada posición

ix de la siguiente manera:

1

( )0 C

si XI

si X

∈=

∈

ii

i

xx

x (17)


19

Si denotamos i

θ al ángulo que define la orientación (en 2D) del estrato que contiene la

posición ix , el modelo de covarianza global de la variable indicador puede ser escrito como una

función del ángulo principal θ de la elipse de anisotropía global ( )Cθ h . Para cada posición 0x ,

el estimador de kriging de la variable indicador es:

*

1

( ) ( )N

i

i

I Iδ=

=∑0 ix x (18)

donde los pesos i

δ son determinados resolviendo el sistema de kriging. El estimador *0( )I x

puede ser considerado como la probabilidad estimada de que la posición 0x pertenezca al

conjunto X . En la ecuación 19, en forma dual, *0( )I x es la combinación lineal de las

covarianzas indicadoras entre muestras y posiciones no muestreadas, ix y 0x ,

respectivamente.

*

1

( ) ( , )n

i

i

I Cθα=

=∑0 i 0x x x (19)

Por definición, el modelo de covarianza de los datos indicadores, ( )Cθ h , es una medida

de la estructura geométrica de X . El estimador en la ecuación 19 puede ser visto como la

suma de las contribuciones geométricas estructurales de cada uno de los ix al valor estimado

en 0x . Como ( )Cθ h es el promedio de las características geométricas del conjunto X en su

totalidad, ésta puede ser descompuesta en las partes que la componen (características

geométricas locales de X ).

El kriging morfológico se basa en el condicionamiento, en el proceso del kriging, al

ángulo local i

θ (orientación espacial del estrato que contiene la posición ix ), por la rotación de

la elipse de anisotropía global en forma coincidente con el ángulo i

θ para cada ix . Esto

corresponde a la rotación inversa del vector ix , x de i

θ :

* *( ) ( )i

C Cθ θ=h h' (20)


20

donde h' es igual al vector h después de una rotación de i

θ [ ( )]i

rθ=h' h ; y * ( )Cθ h es el modelo

de covarianza global estimada con todos los valores de las muestras ( )i

I x en el espacio a

estimar. La Figura 4 muestra gráficamente los vectores h y h' , junto con los modelos ( )Cθ h y

( )i

Cθ h , por ejemplo para ix (con una orientación espacial i

θ ) y una posición no muestreada x .

Figura 4: Representación Gráfica de los Vectores h y h' .

Para cada muestra en posición ix , hay un valor i

θ y la correspondiente covarianza

* ( , )i

Cθ ix x está dada por:

* *( , ) ( , )i

C Cθ θ=i ix x x y (21)

con , ( , ).i

rθ=i ix y x x

Así, el nuevo estimador de ( )I x en 0x propuesto por esta metodología es:

* *

1

( ) ( , )i

n

m i

i

I Cθα=

=∑0 i 0x x x (22)

Otro acercamiento a la estimación con uso de direcciones de anisotropías ha sido pre-

simular ángulos i

θ o ángulos que definen direcciones locales de continuidad en las ubicaciones

ix [Xu W., Journel A., 1990]; la simulación es condicionada a cualquier valor de i

θ . En cada


21

nodo ix donde el tipo de facie o la propiedad petro-física es estimada o simulada el modelo

variográfico es rotado para utilizar la dirección de anisotropía local i

θ previamente simulada.

Considerando anisotropías en 2D, se consideran modelos variográficos

( ) ( , )γ γ= 1 2h h h (23)

donde 1 2( , )Th h=h son las coordenadas de separación del vector h en el sistema original de

ejes, es decir, 1

h con respecto al este y 2

h con respecto al norte, ' '1 2( , )T

h h=h' son las

coordenadas después de la rotación del azimut de θ definidas en sentido de los punteros del

reloj con respecto al norte:

1

2

cos sin( )

sin cos1

2

h' hA

h' h

θ θθ

θ θ

= = = ⋅

− h' h (24)

es decir, el variograma queda descrito como ( ; ).i

γ θh

Finalmente podríamos resumir ambos acercamientos al uso de anisotropías locales a

dar cuenta de la anisotropía que varía localmente, en cada nodo 1x por la rotación de la elipse

de anisotropía global en forma coincidente con el ángulo i

θ para cada ix y modificando el

sistema de Kriging Simple de la siguiente forma:

1

(( ); ) (( ); ), 1,...,n

i iC C nβ

β

λ θ θ α=

− = − ∀ =∑ α β α 0x x x x (25)

donde ( ; )i

C θh es la covarianza de Z corregida por el ángulo .i

θ

Otro acercamiento a incorporar las continuidades geológicas aun más allá de la mera

utilización de los dos primeros momentos en la evaluación de recursos y la representación de

estructuras curvilíneas es la realizada al utilizar estadísticas de múltiples puntos. Se ha utilizado

estadísticas de múltiples puntos en imágenes de entrenamiento [Guardiano B., Srivastava. R.,


22

1993] para reproducir las características curvilíneas con forma de duna con buenos resultados.

Estos métodos han tenido una limitada aplicación en la minería.

Se ha trabajado con datos de pozos de tronadura para inferir estadísticas de múltiples

puntos [Ortiz J. M., Deutsch C. V., 2004], obteniéndose buenos resultados. Los pozos de

tronadura dispersos son asociados a los puntos más cercanos de una malla regular de 10 por

10 metros. Si más de un pozo de tronadura está en la celda, solo el más cercano es asignado al

nodo y los demás son desechados, lo cual implica una pequeña pérdida de información

(considerando que las mallas de perforación son similares a la malla de 10 por 10 metros

escogida para la inferencia de las estadísticas). Se debe realizar la simulación en la misma

resolución de las estadísticas de múltiples puntos. Se definen varios patrones con nodos

adjuntos en la grilla como lo muestra la Figura 5, el nodo en gris corresponde al nodo que se

quiere estimar o simular. La inferencia de las estadísticas es hecha al contar la frecuencia con

el nodo central de la configuración de múltiples puntos está bajo un cierto umbral.

Figura 5: Patrones de múltiples puntos.

Capítulo 3 Metodología

23

3 Metodología

La metodología que se propone para la simulación geoestadística incorporando un

campo de direcciones variables comienza con el estudio exploratorio de la base de datos que

se utiliza como datos condicionantes para la simulación. Se deben construir histogramas e

histogramas acumulados de los datos junto con mapas de ubicación de todas las muestras en

planta además de proyecciones verticales. Se descarta todo posible dato aberrante o duplicado

de la base de datos, es decir, los datos que poseen un valor no acorde con las características

del yacimiento y la mineralización, mal definido o datos que están más de una vez considerados

en la base de datos. Se realiza el desagrupamiento de los datos utilizando un tamaño de celda

consistente con el muestreo realizado para obtener los datos.

Luego del análisis exploratorio de los datos, se debe ubicar plantas y perfiles de la zona

a estimar de donde sea posible inferir direcciones de anisotropía locales a través de la

interpretación geológica. Los valores de estas direcciones deben ser impuestas como datos

condicionantes para la realización de un kriging ordinario de direcciones de continuidad. La

estimación de las direcciones de continuidad se realiza de forma independiente para cada una

de las componentes del vector dirección de mayor continuidad, el cual se considera ubicado en

el punto central del nodo de la grilla que se quiere estimar, por lo que para el caso de una grilla

tridimensional, se obtienen tres ángulos de rotación estimados y condicionados a los datos de

cada una de las componentes de las direcciones de continuidad en el espacio. Se debe utilizar

un variograma muy continuo y un alcance lo suficientemente grande para asegurar un campo

de direcciones de continuidad suave en todo el espacio. Se debe verificar el correcto resultado

de la estimación del campo de direcciones graficando y comparando tanto las plantas como los

perfiles de las zonas de las cuales se extrajeron los datos condicionantes.

Se deben preparar los datos para realizar la simulación condicional. A estos se les

practica una transformación gaussiana utilizando el programa NSCORE de GSLIB [Deutsch

C.V., Journel A. G., 1998]. Se grafica el histograma de los datos gaussianos como la función de

anamorfosis para detectar posibles errores en este proceso. Se llevan a cabo tests (nubes de

correlación diferidas, madogramas, etc.) para verificar que los datos luego de la anamorfosis

cumplen con las hipótesis de las distribuciones bigaussianas. El archivo que contiene la tabla de

transformación de los datos es posteriormente utilizado en la transformación inversa de los


24

datos simulados. A los datos gaussianos se le realiza el estudio variográfico correspondiente,

obteniéndose el variograma utilizado en la simulación secuencial.

La Simulación Secuencial Gaussiana considerando direcciones de continuidad variable

se lleva a cabo utilizando un programa desarrollado en MATLAB. Se consideran como datos

para este proceso tanto los valores gaussianos de las muestras que se encuentran en el

espacio a estimar junto con el campo de direcciones de continuidad variable generado con

anterioridad. Se debe verificar que cada una de las realizaciones posea una distribución

gaussiana de media y varianza aproximadamente 0 y 1, respectivamente.

A los datos gaussianos generados en la simulación se les aplica una transformación

gaussiana inversa utilizando el programa BACKTR de GSLIB [Deutsch C.V., Journel A. G.,

1998], considerando la tabla de transformación construida en el proceso de transformación.

Estos datos luego de la anamorfosis inversa son los datos finales correspondientes a la

simulación con las características requeridas.

Finalmente se comprueba que los valores Y simulados reproduzcan un histograma de

media 0 y varianza 1, junto con que luego de la transformación inversa de valores Y simulados

a Z simulados, los valores Z simulados reproduzcan el histograma de los datos desagrupados

además del variograma de los datos condicionantes. Este ejercicio se puede llevar a cabo tanto

para cada una de las realizaciones de forma independiente como para el conjunto de datos

correspondientes a todas las realizaciones consideradas como un todo.

3.1 Estimación de Campo de Direcciones de Anisotropía

La estimación del campo de direcciones se realiza condicionada a la información que se

posee de direcciones de anisotropías locales. Esta información puede ser obtenida de varias

fuentes:

• Inferencia de estructuras relacionas con la mineralización.

• Direcciones de depósito local obtenidas de interpretación geológica.

• Interpretación de antiguas direcciones de flujos y sedimentación.


25

La estimación del campo de direcciones de anisotropías se realiza utilizando kriging

ordinario. El alcance en el kriging debe ser lo suficientemente grande y no se debe considerar

efecto pepa para asegurar que el campo generado resulte suave.

La Figura 6a muestra la ubicación de 6 direcciones de continuidad medidas con

respecto al norte correspondientes a muestras ficticias.

Figura 6: Ejemplo de Estimación de Campo de Anisotropía

Se realiza la estimación del campo de direcciones de continuidad condicionado a los

datos de la Figura 6a en la Figura 6b. Se utiliza una grilla de 10x10 nodos. EL Gráfico 2

muestra el histograma de los ángulos estimados. Se puede apreciar en el histograma y en la

Figura 6b que las direcciones de continuidad poseen un dirección dentro del intervalo [-54,54],

medido con respecto al norte. Más aun, la dirección de continuidad promedio es N8W.


26

Gráfico 2: Histograma de los Ángulos Simulados.

3.2 Variograma Considerando Anisotropías Locales

Para considerar las anisotropías locales se debe realizar la rotación en el sistema de

referencia y evaluar bajo este sistema rotado la función variograma. Si consideramos un

variograma exponencial (variograma global), el valor de éste para el vector h es:

1 2 3

1 2 3

( ) 1 exph h h

a a aγ

= − − + +

h (26)

donde 1 2 3( , , )Th h h=h son las coordenadas de separación en el sistema original. Se definen los

ángulos ,α φ y σ , como ángulos de rotación en torno a los ejes cartesianos y los ejes ya

rotados:

• α ] ]90,90∈ − en el plano XY con respecto al norte.

• φ ] ]90,90∈ − en el plano ZX‘ con respecto a la horizontal.

• σ ] ]90,90∈ − en el plano Y’Z’ con respecto a la horizontal.


27

entonces, el vector 1 2 3( , , )h h h=h indica las coordenadas después de aplicar las matrices de

rotación ( , ), ( , )T x T yα β y ( , )T z σ . Estas matrices de rotación son las siguientes:

• Matriz básica de rotación sobre eje OZ:

1 0 0

( , ) 0 cos( ) ( )

0 ( ) cos( )

T x sen

sen

α α α

α α

= −

(27)

• Matriz básica de rotación sobre eje OY:

cos( ) 0 ( )

( , ) 0 1 0

( ) 0 cos( )

sen

T y

sen

φ φ

φ

φ φ

= −

(28)

• Matriz básica de rotación sobre eje OX:

cos( ) ( ) 0

( , ) ( ) cos( ) 0

0 0 1

sen

T z sen

σ σ

σ σ σ

− =

(29)

Por ejemplo, una matriz que represente un giro de un ángulo α sobre OZ, seguido de

un giro φ sobre OY’ y de un giro σ sobre OX’, puede obtenerse por la composición de las

matrices básicas de rotación:

( , ) ( , ) ( , )T T z T y T xσ φ α=

0 0 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 0 0

C S C S

S C C S

S C S C

σ σ φ φ

σ σ α α

φ φ α α

− = − −

(30)

C C C S S C S S S S C C

C S C C S S S S C S S C

S C S C C

φ σ α σ φ σ α α σ φ σ α

φ σ α σ φ σ α α σ φ σ α

φ φ α α φ

− + + = + + −


28

Finalmente el vector 1 2 3( , , )h h h=h se puede representar como:

1

2

3

( , ) ( , ) ( , )

h

h T x T y Y z

h

α φ σ

= = ⋅

h h (31)

y el variograma queda como ( ; ; ; )γ γ α φ σ= h .

Se debe notar que en la ecuación 26 1 2,a a y 3a son los alcances del variograma en el

sistema global de anisotropía.

Se debe considerar que las matrices de rotación presentadas tienen su función en rotar

las coordenadas de un punto con respecto a un sistema fijo. Como nuestra metodología

consiste en rotar el sistema, se deben considerar los ángulos de rotación del sistema

antecedidos por un signo menos para así conseguir el efecto de rotación del sistema y no el

punto con respecto a un sistema fijo.

Figura 7: Rotación de Ejes.

3.3 Simulación Secuencial Gaussiana Considerando Anisotropías Locales

Como primer paso para la simulación se debe realizar una transformación gaussiana a

los datos condicionantes. La anamorfosis consiste en la transformación de los datos originales a

otros que sigan una distribución normal con media 0 y varianza 1. El proceso de transformación

se ve representado en la Figura 8. A cada valor original se le asigna el valor de la distribución

normal que posee la misma frecuencia acumulada. Luego de finalizada la simulación se debe


29

realizar el proceso inverso a los valores simulados, es decir, una transformación inversa de los

valores gaussianos simulados.

Figura 8: Anamorfosis Gaussiana [Emery X., 2001].

Una vez realizada la anamorfosis es necesario chequear que las distribuciones

bivariables de los valores transformados sigan las hipótesis multigaussianas. Esto se realiza a

través de nubes de correlación diferidas, comparación del variograma con el madograma, etc.

Si los datos cumplen las hipótesis, resulta posible continuar con los siguientes pasos de la

simulación.

La simulación secuencial gaussiana se modifica en la búsqueda y en la estimación de

*( )i

Y x de la ecuación 16 del capítulo de antecedentes. Los pasos para la simulación

considerando n datos condicionantes se muestran a continuación:

1.- Si existen nodos ya simulados son considerados como parte de los datos.

2.- Nos situamos en el nodo de la grilla con la posición i

x . En esta posición se han estimado

previamente los tres ángulos de rotación ( , , )i i i

α φ σ .

3.- Se realiza la búsqueda de datos condicionantes (considerando a los nodos ya simulados).

Se descartan los datos que se encuentren fuera de radio de búsqueda del kriging simple

utilizado. Se calcula el variograma considerando las anisotropías locales ( ; , , )i i i

γ α φ σh ,

donde el subíndice i corresponde al del nodo. Se considera para la estimación los n datos

con menor valor de variograma.

4.- Se estima *( )i

Y x con el variograma del tipo ( ; , , )i i i

γ α φ σh para todos los datos. Las

ecuaciones del kriging simple son las siguientes:


30

1

. . . (( ); ; ; ) (( ); ; ; ), 1,...,N

i i i i i i ieq K S C x x C x x nβ α β αβ

λ α φ σ α φ σ α=

− = − ∀ =

∑ (32)

5.- El valor simulado ( )S

Y ix corresponde a:

*( ) ( )S i i i i

Y x Y x Rσ= + (33)

con: i

σ : Desviación estándar del kriging asociada.

i

R : Variable aleatoria de esperanza nula y varianza unitaria.

6.- Se vuelve al paso número 1 hasta haber visitado todos los nodos de la grilla que se desea

simular.

La simulación se hace en etapas sucesivas, partiendo de un nodo y luego condicionando

el nodo siguiente a los datos muestreados más los datos ya simulados. Cada nodo de la grilla

solo se visita una vez. El orden para visitar un nodo es aleatorio e independiente en cada

realización.

3.4 Justificación de la Metodología

En la metodología de estimación de ángulos de anisotropías se tomaron algunas

decisiones que pueden parecer arbitrarias en primera instancia. A continuación se presenta

algunos ejemplos para justificar estas decisiones. En cuanto a la simulación se desarrollan

ejemplos para mostrar las diferencias en los resultados de la misma considerando y no

considerando anisotropías locales.

3.4.1 Parámetros para Definir Direcciones de Anisotropías Locales

Como objetivo de esta memoria se incluyen el evaluar parámetros necesarios para

definir direcciones de anisotropías locales. Se definen dos posibles formas de definir las

direcciones de anisotropías:

• Utilizar sólo la dirección de continuidad (utilizar un ángulo [ [/ 2, / 2β π π∈ − ).


31

• Utilizar dirección y sentido de la continuidad. Estimar senos y cosenos de la dirección en

forma independiente y utilizar estas estimaciones para obtener un ángulo [ [0, 2β π∈ ).

La Figura 9a muestra la forma de un vector de un campo vectorial definido mediante

solo la dirección del vector en cada posición del espacio a estimar. La Figura 9b muestra la

misma posición definiendo dirección y sentido. Cabe destacar que los orígenes que se utilizan

para medir cada ángulo en la Figura 9 son absolutamente arbitrarios y cambiarlos en nada

modificaría el posterior desarrollo del estudio. En este caso, fueron medidos con respecto al

norte.

Figura 9: Formas para Definir Direcciones de Continuidad.

En la Figura 10 los puntos A y B corresponden a los datos iniciales de las estimaciones

C y D respectivamente. En C se aprecia que utilizar dirección y sentido hace que la estimación

sea bastante buena para representar plegamientos. En caso D de la misma Figura 10, utilizar

solo la dirección sin el sentido en la estimación no representa correctamente el plegamiento. En

la Figura 11 los puntos en A y B son datos iniciales. Los puntos en C y D nos muestran

ejemplos de estimación de anisotropías locales para datos más bien suaves. Se puede apreciar

que ambas formas de definir las direcciones de anisotropías locales resultan efectivas para este

tipo de datos.


32

Ya que entre los alcances de este trabajo de título no se encuentra el modelamiento

geológico donde las direcciones de continuidad presenten características demasiado complejas

(por ejemplo un plegamiento), utilizar sólo la dirección para definir la anisotropía local es

suficiente para el ejercicio.

Figura 10: Estimación de Direcciones de Continuidad. Caso Plegamiento.

Figura 11: Estimación de Direcciones de Continuidad. Caso Veta.


33

Como se puede ver en los ejemplos C de las Figuras 10 y 11 al utilizar estimación de

senos y cosenos por kriging ordinario considerando ambas componentes de forma

independiente, las estimaciones no cumplen las identidades trigonométricas básicas del seno y

coseno ( 2 2, ( ) cos ( ) 1senα α α∀ + = ), por lo que si se quiere utilizar esta forma de definir

direcciones de anisotropía se debe realizar una normalización de las componente estimadas en

cada punto del espacio. La siguiente figura muestra la estimación con las componentes

normalizadas de los ejemplos anteriormente presentados:

Figura 12: Estimaciones con Componentes Normalizados.

El módulo resultante del vector dirección, utilizando estimación independiente de senos y

cosenos previo a la normalización, está asociado con la confianza en la estimación de la

dirección de continuidad local, es decir, para casos en el que la confianza en la estimación del

vector es alta en relación a los datos condicionantes, su módulo se acerca a la unidad (“largo”

de un vector normalizado), mientras que en posiciones de mucha incertidumbre, la dirección de

continuidad estimada puede ser incluso el vector nulo.

3.4.2 Alcance en el Kriging para Estimación de Campo de Direcciones

Generar campos vectoriales suaves como se ha mencionado con anterioridad es lo que

se requiere para la metodología propuesta en este trabajo. En la metodología de estimación de

campo se plantea utilizar un alcance lo suficientemente grande para alcanzar cambios de

direcciones suaves en el espacio. Utilizar un corto alcance ocasionaría que las características


34

geológicas no se recreen como realmente se requiere, más aún si los datos condicionantes

para las direcciones son escasos.

La Figura 13 muestra las discontinuidades al utilizar cortos alcances. Para un alcance

de 100 se consigue recrear un campo uniforme. Por el contrario, al utilizar alcances de 80 y 55

la posible geología incorporada a través de las direcciones de anisotropías locales no refleja la

realidad y solo ocasiona distorsión en los resultados.

Figura 13: Alcances de K.O. en Estimación de direcciones de Anisotropía.

3.4.3 Simulación Considerando Anisotropías Locales.

Para cerciorarse de que el algoritmo que se sugiere en la metodología y que fue

programado en MATLAB para realizar el caso de estudio funciona correctamente, es decir, que

la distribución de leyes sigue las direcciones de anisotropías locales, se realizaron varios

ejemplos controlados. En estos ejemplos se utilizan datos de leyes condicionantes que siguen

un patrón definido. Las Figuras 14 y 16 representan los datos de muestreos posibles de una

veta.


35

Figura 14: Datos Recreación Muestreo Veta 1.

Con los datos de las Figuras 14 y 16 se hacen dos realizaciones considerando

anisotropías locales y dos considerando una anisotropía global de dirección N45E y dirección N,

respectivamente. Los resultados se muestran en las Figuras 15 y 17. Es posible apreciar que la

simulación considerando direcciones de anisotropía variable reproduce de mejor manera las

distribuciones de leyes a lo largo de la veta.

Figura 15: Simulación Veta 1.

En la Figura 15 las simulaciones de la derecha reproducen de mejor manera la forma en

los extremos de la veta de los datos condicionantes, resultando favorable utilizar direcciones de

anisotropía variable para la simulación.


36

Figura 16: Datos Recreación Muestreo Veta 2.

Al igual que en la Figura 15, la Figura 17 muestra las bondades de la utilización de

anisotropías locales cuando las direcciones de anisotropía poseen cambios drásticos dentro del

volumen estimado y es posible obtener datos condicionantes para generar un campo de

direcciones de anisotropía. La continuidad que se aprecia en el muestreo se reproduce de mejor

manera con el uso de anisotropías locales. Las zonas de alta ley vistas en el muestreo

adquieren mayor continuidad en la simulación, mientras que al utilizar una dirección de

anisotropía global, estas zonas de alta ley se reproducen como zonas aisladas.

Figura 17 Simulación Veta 2.


37

3.5 Metodología para Caso de Estudio

Junto con aplicar la metodología expuesta en este capítulo para la Simulación

Secuencial Incorporando un Campo de Direcciones Variables, se realiza el ejercicio paralelo de

simulación secuencial gaussiana, kriging simple y kriging ordinario sobre el mismo espacio

utilizando el software GSLIB [Deutsch C.V., Journel A. G.,1998]. Esta simulación paralela se

realiza para comprobar el correcto funcionamiento del algoritmo utilizado para incorporar

direcciones de continuidad variable. El kriging se desarrolla para mostrar las bondades que

presenta la simulación frente a la estimación con kriging.

Capítulo 4 Caso de Estudio

38

4. Caso de Estudio

El caso de estudio se realiza utilizando la metodología propuesta en el capítulo anterior.

El caso de estudio de este capítulo corresponde a un esfuerzo para mostrar la metodología

propuesta utilizando datos reales. Se desarrolla la simulación en una zona de 125x125x130 [m].

Los datos utilizados corresponden una porción de un yacimiento de oro en vetas del cual es

posible deducir direcciones de anisotropías locales condicionantes para la generación de un

campo de anisotropías locales. Debido a las características variográficas del yacimiento

utilizado y de los depósitos de oro en general, se desarrolla el ejercicio de simulación con dos

modelos variográficos que consideran un menor efecto pepita pero el mismo tipo de anisotropía

(geométrica) junto a las simulaciones con el modelo variográfico del variograma experimental de

los datos. Para la simulación con el variograma experimental de los datos se generan 30

realizaciones al igual que para las simulaciones con variogramas “ideales”.

En cada etapa del estudio se hace la comparación de los resultados obtenidos,

utilizando la metodología propuesta con los resultados de una simulación secuencial gaussiana

tradicional (utilizando una orientación de variograma única) realizada con el programa diseñado

en MATLAB.

A modo de corroborar el correcto funcionamiento del programa diseñado en MATLAB se

realiza en forma conjunta la simulación con el software GSLIB. Los resultados de estas

simulaciones se van citando a lo largo de este capítulo.

4.1 Información Disponible

Se posee una base de 40621 datos, cuya ley de oro promedio es de 0.32 ppm. Estos

datos provienen de varias campañas de sondajes realizadas al depósito. La Tabla 1 muestra

las estadísticas básicas del yacimiento.


39

Tabla 1: Estadísticas Básicas.

Mínimo Máximo Promedio

Coord. X [m] 27.31 2840.33 -

Coord. Y [m] 27.64 2716.34 -

Coord. Z [m] 32.28 522.32 -

Ley de Au [ppm] 0.00 236.59 0.32

Para cada uno de los datos se cuenta con la información correspondiente a la

interpretación geológica. Esta información nos dice cuales de las muestras corresponde una

parte de una veta y cuales no pertenecen a éstas. Del total de los datos 4.854 son parte de la

veta, es decir, el 11.94%. La siguiente figura presenta la distribución espacial de las muestras. A

la derecha se puede apreciar los datos correspondientes a las vetas en el subespacio de

coordenadas (1000-1250, 1250-1550, 300-500).

Figura 18: Disposición de Datos Iniciales y Muestras Para Análisis Variográfico.

Para el desarrollo del estudio variográfico se utiliza un subespacio de mayores

dimensiones que el espacio que finalmente se simula, pero que posee en su interior la zona y

los datos condicionantes del espacio simulado. Utilizar una zona de mayores dimensiones que

la que finalmente se simula para el cálculo del variograma ayuda a conseguir que éste cuente

con más información para cada distancia de separación de pares de datos calculados, pero


40

obliga a asumir que el yacimiento posee las mismas características variográficas dentro de todo

el subespacio. Las estadísticas de este subespacio se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2: Estadísticas Subespacio Variograma.

Mínimo Máximo Promedio

Coord. X [m] 1000.02 1249.98 -

Coord. Y [m] 1000.00 1549.95 -

Coord. Z [m] 60.97 487.95 -

Ley de Au [ppm] 0.00 236.59 0.51

4.2 Geología del Yacimiento

El yacimiento se encuentra ubicado a 160 kilómetros al Sureste de la cuidad de

Antofagasta a una elevación de 1400 metros.

El yacimiento está conformado por seis vetas epitermales con recursos geológicos

(medidos, indicados e inferidos) estimados en 3.5 millones de toneladas. Las vetas se

distribuyen en un área de 15 [Km2]. Éstas corresponden a vetas epitermales de baja

sulfidización (adularia-sericita) emplazadas en una secuencias volcánica compuesta por riolitas,

dacitas y en menor proporción por rocas piroclásticas y volcánicas, que están asociadas

espacialmente y temporalmente a un complejo de domos riolíticos con edades (40Ar-39Ar, U-Pb)

de 54-55 millones de años [Ma]. El complejo riolítico evidencia tanto actividad intrusiva como

extrusiva. La mineralización está fuertemente controlada por las zonas de fallas de orientación

Norte-Sur y Norte-Noreste subverticales. Las fallas son predominantemente de manteo (dip-slip)

y reflejan tanto un régimen extensivo como compresivo. La mineralización ha sido datada entre

53 y 53 millones de años [Ma] usando el método 40Ar39-Ar en cristales de adularia provenientes

de dos de las vetas principales.

La alteración está dominada por el reemplazo de cuarzo ± adularia en las proximidades

de las vetas, gradando hacia fuera a cuarzo-sericita/illita ± adularia. La argilización se desarrolla

principalmente en las riolitas, sin embargo la alteración argílica y sericítica se observa

principalmente en tobas de cenizas y dacitas. El oro está asociado con una variedad de texturas

de vetillas de cuarzo y distintas granulometrías. Las vetas poseen un ancho variable entre <0,5

[m] y 22 [m] y presentan indicios de oxidación supérgena hasta los 400 metros de profundidad.

En profundidad las vetas son macizas y brechizadas de cuarzo-adularia, con contenidos


41

menores de pirita, calcopirita, esfalerita y galena. Las vetas desarrollan bandeamiento con

variadas texturas crustificadas. Las texturas de recristalización en el cuarzo sugieren eventos

precursores de sílice amorfa y calcedonia.

La mineralogía de las vetas en la zona de oxidación consiste en electrum (40-60% Au).

En general, los clavos mineralizados están asociados a bandas macizas de cuarzo y adularia de

grano fino y a brechas hidrotermales compuestas por fragmentos de vetas y matriz fina con

cristales de cuarzo y adularia. Localmente los procesos supérgenos removilizaron el Au y lo

liberaron hasta un nivel casi puro (98% de Au) en zonas oxidadas canalizadas a través de las

fracturas.

4.3 Estudio Exploratorio

4.3.1 Estadísticas Datos Condicionantes

Los datos condicionantes son la porción de los datos que se encuentran dentro de la

zona que con posterioridad se simula. La zona que se simula fue seleccionada por contar con

abanicos de sondajes que muestran con claridad las orientaciones de la vetas, por lo que se

pueden inferir con claridad direcciones de continuidad. Las simulación se realizan en un espacio

de 125x125x130 [m]. Esta zona se encuentra entre las cotas 1275-1400 [m] en la coordenada

Y, 1075-1200 [m] en la coordenada X, y 200-350 [m] en la coordenada Z. Las estadísticas de

los 1.417 datos condicionantes previo al desagrupamiento de los mismos se muestran en la

Tabla 3. Se debe verificar que no existen datos duplicados ni aberrantes con anterioridad.

Tabla 3: Estadísticas Datos Condicionantes Previo Desagrupamiento.

Mínimo Máximo Promedio Desv. Std.

[ppm] [ppm] [ppm] [ppm]

Ley de Au 0.00 142.60 1.29 5.34

El histograma de los datos iniciales sin desagrupar se muestra en el Gráfico 3. Se

aprecia que una gran parte de los datos posee un valor menor que 4 ppm de Au y que la

mayoría de los datos se pueden clasificar como estéril dentro de esta zona.


42

Gráfico 3: Histograma de los Datos Condicionantes Sin Desagrupar.

La Figura 19 muestra la ubicación de los datos condicionantes con respecto a los datos

utilizados para el estudio variográfico.

Figura 19: Datos Condicionantes Espacio a Estimar.

A lo largo de este caso de estudio se imponen condiciones y se hacen comparaciones

considerando tanto los abanicos de sondajes (secciones) como las vistas de planta cada 30

metros. Estas 5 vistas de planta consideradas se enumeran partiendo de la planta número 1

con coordenada Z igual a 230 [m] y terminando con la planta 5 que posee coordenada Z igual a

320 [m], mientras que en las secciones X-Z, la sección 1 corresponde a la coordenada Y igual a


43

1290 [m] finalizando con al sección 4 con coordenada Y igual a 1380 [m]. La Figura 20 y la

Figura 21 muestran al detalle las 4 secciones y las 5 plantas.

Figura 20: Secciones Utilizadas en el Condicionamiento de Datos.

Figura 21: Vista de Plantas Utilizadas en el Condicionamiento de Datos.


44

4.3.2 Desagrupamiento

Los datos condicionantes se encuentran compositados cada 2 [m] a lo largo del sondaje.

Los sondajes son verticales y subverticales. Como se aprecia en la Figura 21 los abanicos de

sondajes se encuentran espaciados aproximadamente cada 30 [m] y dentro de cada abanico

los sondajes están aproximadamente cada 15 [m].

Se puede ver las variaciones que ocurren en la media de los datos para los distintos

tamaños de celdas de desagrupamiento en el Gráfico 4. El eje X de este gráfico corresponde al

tamaño de la celda en la coordenada X medida en metros [m]. La anisotropía para las distintas

componentes de la celda es de 1:2:0.33, es decir, el tamaño de la celda en la coordenada Y es

el doble que en la coordenada X y seis veces el tamaño de la celda según la coordenada Z.

Gráfico 4: Media Desagrupada v/s Tamaño de Celda.

El gráfico anterior muestra que la media de los datos condicionantes desgrupados no

presenta variaciones considerables al tamaño de la celda seleccionada que sigue la anisotropía

de 1:2:0.33 en sus componentes. Finalmente se determina que una celda de 15x30x5 [m] es la

apropiada para el desagrupamiento considerando el espaciamiento de los abanicos, distancia

entre sondajes en los abanicos y compósitos dentro de sondajes. Las estadísticas de los datos

desagrupados se muestran en la Tabla 4.


45

Tabla 4: Estadísticas Datos Condicionantes Desagrupados.

Mínimo Máximo Promedio Desv. Std.

[ppm] [ppm] [ppm] [ppm]

Ley de Au 0.00 142.60 1.07 4.46

El histograma de los datos desagrupados no sufre mayores diferencias con respecto al

histograma de los datos sin desagrupar, aunque los datos desagrupados poseen un promedio

menor en 0.22 [ppm] en el contenido de Au que los datos sin desagrupar. Esto se debe al

desarrollo de campañas de sondajes centradas en búsqueda de zonas de altas leyes. El

Gráfico 5 muestra el histograma de los datos desagrupados.

Gráfico 5: Histograma de Datos Desagrupados.

4.4 Transformación Gaussiana

Como se describe en la metodología propuesta para el desarrollo de la simulación

secuencial gaussiana considerando un campo de direcciones variables, se realiza la

anamorfosis tanto de los datos condicionantes como de los datos para el análisis variográfico,

utilizando el software NCORE de GSLIB [Deutsch C.V., Journel A. G.,1998].


46

Luego de la anamorfosis los datos condicionantes para la simulación poseen una media

de 0.08 y una varianza de 1.01. Estos valores se encuentran bastante próximos a los valores

óptimos (media 0 y varianza 1).

El Gráfico 6 muestra la función de anamorfosis que se utiliza para realizar la

transformación de los datos. Esta función presenta un crecimiento de tipo exponencial para

valores mayores que 2 mientras que para valores menores que -1 la pendiente de la función se

hace prácticamente nula. Las discontinuidades presentes en la función de anamorfosis para

valores gaussianos altos se debe a la presencia característica de valores de ley muy elevados,

pero de muy baja frecuencia que se aprecia en los yacimientos de oro.

Gráfico 6: Función de Anamorfosis.

La Figura 22 muestra una vista en planta de los datos que son utilizados en el análisis

variográfico previa y posteriormente al desarrollo de la anamorfosis. Se evidencia la correlación

de los valores pre y post anamorfosis.


47

Figura 22: Planta de Datos Luego de la Anamorfosis.

4.5 Test de la Distribución Bigaussiana.

Como se describe en la metodología propuesta, se debe comprobar que los datos

condicionantes luego de la anamorfosis que los datos cumplan las hipótesis de las

distribuciones bigaussianas. En este caso se verifica el histograma y las nubes de correlación

diferidas de los datos.

El Gráfico 7 muestra el histograma de los datos gaussianos considerando los pesos de

desagrupamiento al utilizar una celda de 15x30x5 [m]. Se puede apreciar que la forma de la

distribución de los valores en el histograma se asemeja bastante a la forma característica tipo

campana de una distribución gaussiana, en este caso de media 0 y varianza 1.


48

Gráfico 7: Histograma Datos Gaussianos Desagrupados.

Las nubes de correlación diferidas de la Figura 23 fueron calculadas para valores de h

de 3, 5, 10 y 20 [m]. Se observa que éstas siguen el comportamiento propio de los datos que

siguen una distribución gaussiana, es decir, a valores de h pequeños la nube adquiere una

forma elíptica, mientras que a valores de h mayores, la forma de la nube empieza a

asemejarse a una circunferencia.

Figura 23: Nubes de Correlación Diferida.


49

Luego de que el resultado del test de nubes de correlación es favorable, es posible

asumir con toda propiedad que los datos luego de la anamorfosis poseen una distribución

multigaussiana. Esto hace posible seguir adelante con el estudio variográfico y posteriormente

con la simulación secuencial gaussiana tanto tradicional como considerando direcciones de

anisotropía variable.

4.6 Análisis Variográfíco

Se efectúa el análisis variográfico tanto para los datos gaussianos como para los datos

no gaussianos. El primer variograma es utilizado en la simulación secuencial considerando y sin

considerar direcciones de continuidad variables, mientras que el segundo variograma se utiliza

en la estimación con Kriging Simple y Kriging ordinario.

Debido a lo errático del comportamiento de la distribución de leyes en un yacimiento de

Au se elige un paso de 2 [m] y una tolerancia de 1.5 [m] para los datos perpendiculares a la

veta. La tolerancia angular es de 90 grados en el dip y la inclinación. El ancho de banda es de

30 [m].

Para el cálculo del variograma en la dirección de la veta el espaciamiento es de 30 [m] y

un tolerancia en el paso de 15 [m]. Se escoge este espaciamiento ya que los abanicos de

sondajes se encuentran separados cada 30 [m]. La tolerancia angular aquí también es de 90

grados en el dip y la inclinación. El ancho de banda utilizado es de 30 [m].

Dado que la veta posee un rumbo en la dirección N20E y manteo en la dirección

N110E/-70, luego de un estudio variográfico en el plano perpendicular a la veta, se escogen

como direcciones de anisotropía principales las direcciones N20E, N110E/20 y N110/-70. La

Figura 24 muestra la secuencia de rotaciones que se deben aplicar a los ejes para considerar

estas direcciones como direcciones de anisotropías principales.


50

Figura 24: Rotación de Ejes para Cálculo de Variograma.

Para el cálculo del variograma se realizan dos rotaciones de 20º. La primera se lleva a

cabo dejando el eje Z fijo, mientras que para la segunda se deja el eje Y’ (coordenadas

previamente rotadas) fijo.

4.6.1 Variograma Datos no Gaussianos

Se calcula el variograma de los datos con los parámetros mencionados anteriormente. El

Gráfico 8a muestra un variograma sumamente errático en las direcciones N110E/-70 y N110E,

por lo que resulta conveniente calcular el correlograma de los datos para estas direcciones. Se

utilizan las mismas tolerancias que para el cálculo del variograma. El Gráfico 8b muestra el

variograma y los correlogramas para las direcciones antes mencionadas.


51

Gráfico 8: Variograma y Correlograma Datos no Gaussianos.

El variograma de los datos no gaussianos posee un alto componente péptico y un corto

alcance, lo cual es característico de los yacimientos de Au. Las curvas del Gráfico 8b son las

que finalmente se modelan para ser utilizadas en el kriging ordinario.

4.6.2 Variograma Datos Gaussianos.

El variograma de los datos gaussianos posee una forma muy similar al de los datos no

gaussianos aunque el alcance aumenta levemente. El nuevo alcance es de aproximadamente 7

[m] en cada una de las direcciones de variograma calculadas.

Gráfico 9: Variograma de Datos Gaussianos


52

4.7 Modelos Variográficos

Cada uno de los variogramas presentados en este punto considera las rotaciones

efectuadas al sistema de coordenadas utilizadas para el cálculo de variogramas experimentales

tanto de datos gaussianos como de datos no gaussianos (Figura 24).

4.7.1 Modelos Datos no Gaussianos

Gráfico 10: Variograma y Modelo Variográfico Datos no Gaussianos.

( )=75+25esf(3,7,7)+12esf(3,100,100)γ h

4.7.2 Modelos Datos Gaussianos.

Gráfico 11: Variograma y Modelo Variográfico Datos Gaussianos.

( )=0.6+0.26esf(7,9,9)+0.14esf(7,60,60)γ h


53

4.7.3 Modelos “Ideales”

Para ilustrar mejor el uso de direcciones variables, se utiliza además del modelo

variográfico del variograma experimental de los datos reales, dos modelos variográficos

“ideales”. Estos modelos acrecientan las características anisótropas del yacimiento

considerando una anisotropía geométrica, es decir, la misma anisotropía presente en el

variograma original de los datos. El valor del efecto pepita considerado para estos corresponde

al 10% de la meseta del variograma de datos gaussianos (varianza 1). Ambos modelos se

muestran a los gráficos siguientes.

Gráfico 12: Modelo Variográfico “Ideal” 1.

( )=0.1+0.45esf(20,30,30)+0.45esf(20,60,60)γ h

Gráfico 13: Modelo Variográfico “Ideal” 2

( ) = 0 .1 + 0 .9 e s f (2 0 ,6 0 ,6 0 )γ h


54

4.8 Campo de Direcciones de Continuidad Variable

Se busca en planta, secciones YZ y secciones ZX por direcciones de continuidad. En las

secciones YZ resulta imposible definir direcciones de continuidad de forma visual ya sea

desplegando valores de leyes o indicadores de pertenencia o no a las vetas. En planta al igual

que en las secciones ZX es posible identificar direcciones de anisotropía locales, es decir,

direcciones de continuidad no constantes en el dominio de la simulación. La Figura 25 muestra

con una flecha negra la tendencia en las direcciones de continuidad para las plantas y las

secciones ZX. Estas direcciones de continuidad coinciden con las direcciones de anisotropías

globales encontradas en el estudio variográfico.

Figura 25: Búsqueda de Direcciones de Continuidad.

La estimación del campo de anisotropía se realiza con kriging ordinario. El variograma

considerado es un variograma esférico con alcance de 150 [m] (tamaño igual que la mayor

dimensión del volumen a simular). Este variograma cumple con la condición de tener un alcance

suficiente para asegurar un campo suave.

Las puntos 4.8.1 y 4.8.2 de este capítulo ilustran la manera en que se obtiene los datos

de direcciones y como se efectúa las estimación del campo con ellos. Se muestran tablas y

figuras correspondientes a la sección y la planta 1. En el Anexo A se muestra las tablas de

datos condicionantes del campo y figuras esquemáticas de cada sección y planta.


55

4.8.1 Secciones

Se trabaja con 4 secciones ZX espaciadas 30 [m] cada una. De estas secciones se

obtienen datos condicionantes para generar el campo de anisotropía local. Se utiliza la

información de cuales datos pertenecen a la veta. Estos datos se muestran en rojo en la Figura

26a. Al unir los datos que pertenecen a las vetas se recrea una posible interpretación de la

forma de la veta de oro en esta sección. Ésta se muestra en la Figura 26b. Luego de inferir la

forma de la veta es posible extraer los datos de direcciones condicionantes. Estos datos deben

representar de la forma más correcta posible la continuidad de la veta. Los datos

condicionantes para la sección 1 se muestran gráficamente en la Figura 26c, mientras que la

Tabla 5 muestras sus valores. Con los valores de direcciones condicionantes se realiza el

kriging ordinario para generar el campo de direcciones de continuidad para las secciones. La

Figura 26d muestra el resultado para la sección 1. En esta representación utiliza una grilla de

13X15 nodos para una mejor visualización de las direcciones en la sección, aunque se debe

considerar que la grilla en la sección utilizada para la simulación es de 25X30 nodos. Resulta

evidente la correlación entre datos condicionantes y el campo generado.

Figura 26: Campo Anisotropía Local. Sección 1.

Los valores medios de las direcciones de continuidad condicionantes para cada una de

las 4 secciones son -28.7, -21.58, -19.92 y -19.36 [grados], mientras que los valores medios

para las mismas secciones obtenidas con el kriging ordinario son de -24.92, -22.22, -19,23, -

17,17 [grados].


56

Tabla 5: Datos Direcciones Condicionantes Sección 1.

Sección 1

Coord. X Coord. Z Ángulo

[m] [m] [grados]

1125 337 -26.0

1131 318 -26.0

1143 303 -26.0

1152 281 -14.0

1156 263 -14.0

1160 245 -12.0

1162 228 -25.0

1177 205 -37.0

1123 343 -57.0

1145 337 -50.0

Dirección Promedio [grados] -28.7

Ya que se trabaja con una grilla de 18750 nodos en la simulación, se obtienen 18750

ángulos de rotación φ para el sistema de anisotropías. El valor promedio para la direcciones del

campo generado es de -20.18, con una varianza de 56.25.

Gráfico 14: Histograma de Ángulos de Rotación φ en el plano ZX’.


57

4.8.2 Plantas

Como se muestra en la Figura 21 se utilizan 5 plantas espaciadas cada 30 [m],

partiendo de la planta 1 de cota 215 [m] y terminado en la planta 5 de cota 315 [m]. La Figura

27 ejemplifica con la planta 1 el proceso de generación del campo de direcciones de

continuidad. La Tabla 6 muestra los datos condicionantes para la estimación. Este proceso es

equivalente al realizado con las secciones. Se unen los datos que pertenecen a la vetas y se

extraen datos condicionantes para el campo direcciones de anisotropía en el plano. Se utiliza un

kriging ordinario para la estimación de los ángulos de rotación α con los mismos parámetros

que los utilizados para el calculo de φ .

Figura 27: Campo Anisotropía Local. Planta 1.

Tabla 6: Datos Direcciones Condicionantes Planta 1.

Planta 1

Coord. X Coord. Y Ángulo

[m] [m] [grados]

1171 1366 -19.0

1174 1355 -6.0

1173 1341 10.0

1171 1328 10.0

1171 1316 -1.0

1174 1305 -17.0

1178 1297 -24.0

1200 1340 -6.0

Dirección Promedio [grados] -6.6


58

La dirección promedio para las 5 plantas utilizadas fue de -6.6, -4.4, 0.95, 1.53 y 5.54

[grados], mientras que la dirección promedio del kriging ordinario para las mismas es de -4.67,

1.48, 5.13, 3.69 y 5.22 [grados]. El valor promedio sobre los 18750 nodos estimados para el

ángulo α es de 2.87 [grados]. El Gráfico 15 muestra la distribución 18750 valores estimados.

Gráfico 15: Histograma de Ángulos de Rotaciónα en el Plano XY.

4.9 Simulación Secuencial

Como se ha mencionado con anterioridad se realiza la simulación secuencial gaussiana

tanto considerando direcciones de anisotropías locales, como considerando solamente una

dirección de anisotropía global. Para realizar la comparación entre el resultado de la

metodología propuesta y la metodología tradicional de una simulación secuencial se utilizan 3

casos de simulación diferenciados cada uno en el modelo variográfico utilizado para los datos

gaussianos. El primer caso es el caso denominado “real”. En este caso se utiliza el modelo del

variograma experimental de los datos. En los siguientes dos casos denominados “Ideales”, se

utiliza un modelo con un menor componente pepítico (10%). El radio de búsqueda utilizado en

las simulaciones es de 30 [m] en cada componente de las direcciones de anisotropía global

como locales según corresponde. Utilizar un radio de búsqueda mayor sería un error, ya que

datos muy distantes serían evaluados en el sistema de kriging simple con direcciones de

continuidad máxima sin relación alguna con la estructura presente entre los datos.


59

Para cada estimación se considera como mínimo 1 y como máximo 20 datos

condicionantes en la estimación. Ya que el algoritmo secuencial incorpora los valores ya

simulados a los valores condicionantes, entre éstos últimos, puede haber datos previamente

simulados.

4.9.1 Caso “Real”

Las treinta realizaciones generadas utilizando direcciones de anisotropías locales

entregaron un promedio de 1.45 [ppm] y una desviación estándar de 6.46 [ppm], mientras que

las simulaciones sin considerar anisotropías locales poseen una media de 1.46 y una

desviación estándar de 6.34 entre simulaciones. La Tabla 7 muestra las estadísticas del

promedio de las simulaciones para ambos casos.

Tabla 7: Estadísticas Promedio Simulaciones Caso “Real”.

Promedio Simulaciones Mínimo Máximo Media Desv. Estándar [ppm] [ppm] [ppm] [ppm]

Var. Real Anisotropía Local 0.00 142.60 1.45 6.46 Var. Real Anisotropía Global 0.00 142.60 1.46 6.34

La Figura 28 muestra el resultado para la planta 3 y la sección 4 de la simulación

número 15 de las 30 simulaciones realizadas. No se aprecia diferencias entre las secciones y

plantas desarrolladas con las diferentes metodologías debido al alto componente pepítico del

modelo variográfico utilizado. Más aun, las estadísticas de ambas metodologías son

sumamente parecidas e inducen a pensar que el uso de anisotropías locales para ese tipo de

modelos variográficos pierde sentido. El estudio de la metodología con variogramas ideales

resulta aconsejable para poder evaluar efectivamente los cambios esperados al utilizar la

metodología propuesta.


60

Figura 28: Plantas y Secciones Simulación Caso “Real”.

Para este caso, la misma simulación efectuada utilizando GSLIB entrega un promedio

1.28 [ppm], es decir, 0.18 [ppm] menos que el promedio utilizando el programa en MATLAB con

direcciones de anisotropía constantes. La diferencia es atribuida a las diferencias en la

programación en los algoritmos y metodologías para las anamorfosis utilizadas en cada uno de

los programas.

4.9.2 Caso “Ideal” 1

Las treinta realizaciones generadas utilizando direcciones de anisotropías locales

entregaron un promedio de 1.02 [ppm] al igual que las simulaciones sin considerar anisotropías

locales. Por otro lado, las varianzas presentan una diferencia de 0.11 [ppm] al considerar y no

considerar direcciones de continuidad variable. Las estadísticas del promedio de las

realizaciones se muestran en la Tabla 8. Pese a que no existen diferencias en el promedio de

las simulaciones, los resultados obtenidos al utilizar un variograma con un menor efecto pepa

resultan mucho más atractivos desde el punto de vista de la continuidad de las vetas en los

mapas generados en cada realización. La Figura 29 muestra la misma planta y sección que

fueron presentadas para el caso del uso del modelo variográfico “real”, pero en este caso la


61

continuidad de las vetas resulta mucho más evidente al utilizar direcciones de anisotropía

variables. La reproducción de la posible forma de la veta se consigue de mejor manera al utilizar

la metodología propuesta en este trabajo de título.

Tabla 8: Estadísticas Promedio Simulaciones Caso “Ideal” 1.



Figura 29: Plantas y Secciones Simulación Caso “Ideal” 1.

Al realizar el mismo ejercicio utilizando GSLIB se obtiene un promedio para las

realizaciones de 1.13 [ppm], es decir, 0.11 [ppm] más que al utilizar el programa en MATLAB

con anisotropías constantes. En anexos E se puede ver que los mapas de una realización en

GSLIB coinciden con las de MATLAB para el caso de variograma “ideales” y que las diferencias

sólo son atribuibles a las diferencias presentes en los algoritmos.


62

4.9.3 Caso “Ideal” 2.

Al igual que para el caso “Ideal” 1, el caso “Ideal” muestra las virtudes de utilizar

direcciones de continuidad variable. Las simulaciones utilizando direcciones de anisotropías

variable entregaron un promedio de 0.92 [ppm] y una desviación estándar de 3.54 [ppm],

mientras que las simulaciones sin considerar anisotropías locales poseen una media de 0.89 y

una desviación estándar de 3.45 entre simulaciones.

Tabla 9: Estadísticas Promedio Simulaciones Caso “Ideal” 2.



Figura 30: Plantas y Secciones Simulación Caso “Ideal” 2.


63

Pese a las leves diferencias en las estadísticas promedios que se muestran en la Tabla

9, las diferencias en la continuidad que muestran los mapas para cada una de las dos

metodologías hacen evidente las virtudes del uso de anisotropías locales para la estimación de

este tipo de yacimientos. La sección 3 de la Figura 30 muestra una distribución de altas leyes

mucho más estructurada cuando se utiliza la metodología propuesta.

Para este caso, el promedio de las simulaciones en GSLIB fue de 0.96 [ppm], lo que

convierte a las simulaciones hechas en MATLAB en las más semejantes con respecto a las

primeras, ya que la diferencia es de sólo 0.07 [ppm] en el promedio.

4.10 Validación de la Simulación Considerando Anisotropías Locales

Se revisa los histogramas tanto de los datos gaussianos como de los datos luego de la

anamorfosis inversa para asegurarse que la simulación considerando anisotropías locales

reproduce los histogramas de los datos desagrupados previo y post anamorfosis. También se

verifica que el variograma de los datos gaussianos coincida con los modelos variográficos

utilizados.

4.10.1 Histogramas Datos Gaussianos

El Gráfico 16 muestra los histogramas tanto los datos gaussianos iniciales como los

datos gaussianos de las simulaciones realizadas con los distintos modelos variográficos.


64

Gráfico 16: Histograma Datos Gaussianos Simulaciones.

En los histogramas de las simulaciones se utilizan todos los datos correspondientes a

las 30 simulaciones realizadas para cada modelo variográfico, es decir, 562.500 datos, mientras

que los datos condicionantes son 1.424. Los valores medios correspondientes a los datos

gaussianos de las simulaciones considerando el modelo variográfico “real”, “ideal” 1 e “ideal” 2

son -0.05, -0.11 y -0.15 respectivamente, mientras que las varianzas son 1.12, 1.05 y 1.07

respectivamente. Por otro lado, la anamorfosis de los datos desagrupados posee una media de

0.06 y varianza 1.01. Ya que los valores de medias y varianzas de las simulaciones se

aproximan considerablemente a los valores esperados para datos que siguen una distribución

gaussiana de media 0 y varianza 1, y junto con notar que la forma los histogramas del Gráfico

16 es la característica forma de campana de este tipo de distribuciones, es posible concluir que

los datos de las simulaciones reproducen una distribución gaussiana.


65

4.10.2 Histogramas Datos No Gaussianos

Como es posible ver en el Gráfico 17 la reproducción del histograma por las

simulaciones resulta un hecho. En estos histogramas se consideraron todos los datos de las 30

simulaciones realizadas para cada modelo variográfico propuesto, es decir, 562.500 datos por

histograma.

Gráfico 17: Histograma Simulaciones.

El promedio de las simulaciones varia según el modelo variográfico utilizado. El

promedio para la simulación considerando el modelo variográfico “real” es de 1.45, mientras que

con el modelo variográfico “Ideal” 1 e “Ideal” 2 es 1.02 y 0.92, respectivamente. Las

desviaciones estándar resultan proporcionales a los promedios de las leyes, lo cual evidencia la

presencia de efecto proporcional en las simulaciones, a diferencia de lo que ocurre en la

estimación con kriging, donde la desviación estándar es independiente del valor de las leyes y

sólo considera la posición relativa de los lugares a estimar con respecto a los datos. Las

desviaciones estándar son 4.92, 1.08 y 1.07 para las simulaciones con variograma “real”, “ideal”

1 e “ideal” 2 respectivamente.


66

4.10.3 Variogramas

Se utilizan 4 direcciones para el cálculo de variogramas experimentales sobre los datos

simulados. Las direcciones son Norte-Sur, Este-Oeste, N45 y vertical. El Gráfico 18 muestra

tanto variogramas experimentales como variogramas modelados para las direcciones recién

mencionadas.

En el origen los variogramas y los modelos resultan bastante parecidos. Las direcciones

de mayor continuidad en los variogramas y los modelos son la vertical (negro) y la Norte-Sur

(amarillo), las cuales representan aproximadamente las direcciones en que se encuentra

contenida la veta. Las diferencias lejos del origen se atribuyen a utilizar un dominio acotado

para la simulación y a asumir la estacionalidad en todo el dominio pese a que la existencia de

derivas y artefactos en los datos condicionantes no es algo con menor ocurrencia.

Ya que el comportamiento de los variogramas experimentales es bastante parecido a los

modelos variográficos hasta el radio de búsqueda utilizado en la simulación (30 [m]), la

reproducción del variograma en la simulación secuencial gaussiana considerando direcciones

de anisotropía locales es alcanzada.


67

Gráfico 18: Variogramas Direccionales Simulaciones Anisotropía Local.

4.11 Simulación v/s Kriging

Por construcción el kriging es el mejor estimador en términos de mínimos cuadrados, es

decir, minimiza la varianza en la estimación. El kriging, al minimizar la varianza, crea mapas de

leyes suaves, los cuales no reproducen la continuidad que la variable regionalizada estimada

presenta en la realidad. La simulación geoestadística construye mapas de valores que

reproducen la variabilidad real de la variable estudiada (reproduce histogramas, variogramas,

distribución espacial, etc). Los diversos escenarios generados en la simulación tienen su uso en

el análisis de riesgo y en la medida de la incertidumbre1. La Figura 31 muestra mapas para la

1 En Anexo B se muestra los histogramas del promedio y las desviaciones estándar de las realizaciones.


68

planta y sección 3 generados utilizando simulación, kriging simple y kriging ordinario2. Se puede

apreciar como el kriging suaviza, particularmente el kriging simple, el cual considera la media de

los datos condicionantes en la estimación, mientras que el kriging ordinario aplica condiciones

sobre los ponderadores λ y no considera la media global de los datos condicionantes en la

estimación.

Figura 31: Simulaciones v/s Kriging.

Ya que la simulación secuencial incorpora los valores ya simulados a los datos

condicionantes, la cantidad de nodos sin simular por no contar datos condicionantes es

marginal en comparación a la estimación por kriging ordinario. Para el caso del kriging simple,

todo el espacio es estimado y en sectores donde no existe datos condicionantes la variabilidad

espacial de las leyes no existe, ya que sólo se les asigna el valor promedio de los datos

condicionantes.

Debido a las diferentes características en su construcción, el kriging y la simulación no

compiten, ya que son herramientas diseñadas para diferentes propósitos. El kriging entrega la

mejor estimación en términos de mínimos cuadradas, mientras que la simulación nos sirve para

evaluar estrategias para los distintos escenarios posibles y aunque el promedio de las

2 Para realizar el kriging se utilizan modelos “ideales” con forma similar a los modelos ideales propuestos para los datos gaussianos. Esto modelos se pueden ver en el Anexo C.


69

realizaciones de una simulación tradicional converge a la estimación por kriging simple sus

campos de aplicación son distintos.

4.12 Comparación Promedio Simulaciones con Kriging

La simulación incorporando direcciones de anisotropía local que se practica en este caso

de estudio considera un radio de búsqueda de 30 [m], es decir, una vecindad para la simulación

del nodo bastante reducida. Debido a esto, el promedio de las realizaciones se asemeja más a

la estimación con kriging ordinario que a la estimación con kriging simple. La Figura 32 muestra

tanto simulaciones como estimaciones con kriging de la planta 3 y sección 3.

Figura 32: Promedio Simulaciones con Kriging.

Tanto el kriging como la simulación tradicional utilizan un variograma global lo cual

provoca que algunas características geológicas locales se pierdan en el proceso de estimación.

La Figura 32 muestra que el promedio de las simulaciones considerando direcciones de

anisotropía variable tanto en la planta como en la sección es superior en la representación de la

continuidad y orientación de la veta, aunque como se ha mencionado con anterioridad, las

estadísticas globales de las simulaciones sin considerar y considerando anisotropías locales

son muy similares. Utilizar anisotropías globales induce a errores en la estimación. Asumir una

dirección única en el variograma resulta una inflexibilidad cuando existe la información


70

suficiente para considerar direcciones de anisotropías locales, lo que generalmente ocurre en

yacimientos de vetas como el considerado en este caso de estudio.

Es posible visualizar el promedio de las simulaciones considerando anisotropías locales

como un kriging ordinario con características de kriging morfológico, pues también se considera

las direcciones de anisotropía locales, pero que a diferencia de entregar un mapa de

probabilidad de pertenencia a una determinada estructura geológica nos entrega leyes

mineralógicas estimadas.

Capítulo 5 Conclusiones y Recomendaciones

71

5 Conclusiones y Recomendaciones

5.1 Conclusiones

De los resultados de este trabajao de título se desprenden las siguientes conclusiones:

Utilizar únicamente la dirección para definir campos de direcciones de anisotropía

variable correspondientes a estructuras geológicas sin características demasiado complejas

(por ejemplo plegamientos), resulta ser suficiente. Para casos más complejos, es necesario

hacer inferencias y utilizar el sentido de la dirección de anisotropía en la estimación del campo

para que éste represente correctamente la estructura requerida.

Se utiliza Kriging Ordinario en la estimación del campo de direcciones de continuidad

variable. El variograma utilizado debe ser muy continuo, con un alcance lo suficientemente

grande para asegurar la estimación de un campo suave en todo el espacio.

Una función variograma única para describir las correlaciones presentes en una unidad

geológica representa el promedio de las contribuciones geométricas estructurales de cada una

de las muestras presentes en dicha unidad geológica. El conjunto de características

geométricas puede ser descompuesto en las partes que la componen. El uso de anisotropías

locales se propone con este propósito y representa una forma de incorporar la geología más

allá del uso de los dos primeros momentos en la evaluación de recursos.

Para que el algoritmo de simulación secuencial considere la presencia de anisotropías

locales se realiza una rotación en la elipse de anisotropía global en forma coincidente a los

ángulos locales ( , , )i i i

α φ σ , previamente generados en la estimación del campo de direcciones

de anisotropía, en cada nodo ix . Debido a esto se modifica la búsqueda y el sistema de Kriging

Simple de la simulación. El algoritmo de simulación considerando direcciones de continuidad

variable es notoriamente más lento que el algoritmo tradicional debido a que un algoritmo de

búsqueda eficiente no se puede practicar porque la configuración de valores de variograma

para los nodos en la vecindad de kriging es variable con la anisotropía local.


72

El beneficio del uso de anisotropías locales frente al uso de un variograma único en la

simulación de una unidad geológica resulta evidente. Gracias a su uso en el caso de estudio, se

logra representar de mejor manera el cambio de la dirección de continuidad o la continuidad

dentro de estructuras geológicas con carácter curvilíneo. Se aprecia que la continuidad y

orientación de las vetas, tanto de las realizaciones como del promedio de éstas, al ser

comparadas con la interpretación geológica de las mismas, resulta ser mucho mejor alcanzada

al utilizar direcciones de anisotropía locales. No obstante a lo anterior, las estadísticas globales

entre la simulaciones desarrolladas y la tradicional son sumamente parecidas.

El promedio de las simulaciones considerando anisotropías locales puede ser

considerado como un kriging ordinario con características de kriging morfológico, pero que a

diferencia de entregar un mapa de probabilidad de pertenencia a una determinada estructura

geológica nos entrega leyes mineralógicas estimadas. Tanto las realizaciones como el promedio

de las mismas pueden resultar útiles para la extrapolación del modelo geológico inferido. Esta

extrapolación satisface las características estructurales presentes en el yacimiento, ya que la

simulación utilizada considera las herramientas estructurales en la generación de las

realizaciones.

El uso de variogramas “ideales” en el caso de estudio resulta beneficioso para la

ilustración del uso de anisotropías locales en la simulación geoestadística.

5.2 Recomendaciones

Luego de realizado este estudio surgen las siguientes ideas y recomendaciones para ser

consideradas en posibles mejoras a este trabajo:

Si bien el uso de Kriging Ordinario reproduce satisfactoriamente la forma que podría

tener el campo de direcciones de continuidad, los campos generados resultan demasiado

suaves y claramente no reproducen la variabilidad que estas direcciones poseen en la realidad.

La simulación de direcciones de continuidad constituye una alternativa para evaluar la

trascendencia de considerar campos que reproduzcan la realidad de mejor manera.

Resulta interesante evaluar la influencia que el radio de búsqueda ejerce en la

simulación geoestadística incorporando direcciones de continuidad variable. Es aconsejable

definir un radio de búsqueda máximo, en una posible relación con la varianza de las direcciones


73

de anisotropías locales, para que el uso de anisotropías locales no pierda consistencia al

evaluar pares de datos bajo un variograma que no los representa.

Extender el uso de parámetros locales en la simulación y estimación es otro tema de

interés. Por ejemplo, alcances de variogramas locales, los cuales consideren el grado de

confianza que se posee en que un determinado punto pertenezca a una cierta unidad geológica.

Utilizar el campo de probabilidades entregado por el Kriging Morfológico como un indicador de

la confianza que uno posee sobre los vecinos considerados en la simulación puede ser

considerado.

Capítulo 6 Bibliografía

74

6 Bibliografía

[1] Dae S. Young. Random Vectors and Spatial Analysis by Geostatistics for Geotechnical

Applications. Mathematical Geology, Vol. 19, No. 6, pp. 469-470.

[2] Deutsch C.V., Journel A. G. (1998). GSLIB: Geostatistical Software Library and User’s

Guide. Segunda Edición, Oxford University Press, New York, pp.223-226.

[3] Emery X. (2000). Apunte Geoestadística Lineal. Departamento de Ingeniería de Minas,

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile. pp. 81-87.

[4] Emery X. (2001). Apunte Simulación Estocástica y Geoestadística No Lineal.

Departamento de Ingeniería de Minas, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas,

Universidad de Chile, pp. 260-263.

[8] Goovaerts P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, University of Oxford

Press, New York, pp. 476-485.

[5] Guardiano B., Srivastava M., (1993). Multivariate Geostatistics: Beyond Bivariate

Moments. In A. Soares, editor, Geostatistics Troia ’92, volume 1, pp. 133-135.

[6] Journel A. G., Huijbregts C. J., (1978). Mining Geostatistics, Academic Press, London,

1978, 600 p.

[7] Ortiz J. M., Deutsch C. V., (2004). Indicador Simulation Acounting for Multiple-Point

Statistics. Mathematical Geology, Vol. 36, No. 5, pp. 545-558.

[9] Soares A. (1990). Geostatistical Estimation of Orebody Geometry: Morphological Kriging.

Mathematical Geology, Vol. 22, No. 7, pp. 487-492.

[10] Xu W., Journel A. G.. (1990). Conditional Curvilinear Stochastic Simulation Using Pixel-

based Algorithms. Mathematical Geology, Vol. 28, No. 7, pp. 937-949.

Anexos

75

Anexos

Anexos

76

Anexo A: Datos Iniciales de Direcciones Caso de Estudio.

Figura 33: Secciones con Datos Iniciales y Campo Estimado de Direcciones.

Anexos

77

Figura 34: Plantas con Datos Iniciales y Campo Estimado de Direcciones.

Anexos

78

Tabla 10: Datos Sección 1. Tabla 11: Datos Planta 1.

Sección 1 Planta 1 Coord. X Coord. Z Ángulo Coord. X Coord. Y Ángulo

[m] [m] [grados] [m] [m] [grados]

1131 318 -26.0 1171 1366 -19.0 1143 303 -26.0 1174 1355 -6.0 1152 281 -14.0 1173 1341 10.0 1156 263 -14.0 1171 1328 10.0 1160 245 -12.0 1171 1316 -1.0 1162 228 -25.0 1174 1305 -17.0 1177 205 -37.0 1178 1297 -24.0 1123 343 -57.0 1200 1340 -6.0 1145 337 -50.0 Dirección Promedio [grados] -6.6

Dirección Promedio [grados] -29.0 Tabla 12: Datos Planta 2.

Tabla 13: Datos Sección 2. Planta 2 Sección 2 Coord. X Coord. Y Ángulo

Coord. X Coord. Z Ángulo [m] [m] [grados] [m] [m] [grados] 1162 1365 -6.0

1145 304 -30.0 1164 1355 -7.0 1155 281 -12.0 1166 1342 -7.0 1160 263 -12.0 1168 1329 -13.0 1165 238 -20.0 1168 1316 13.0 1173 220 -23.0 1165 1304 13.0 1180 200 -28.0 1162 1292 22.0 1153 341 -14.0 1176 1325 0.0 1160 320 -21.0 1176 1315 -7.0 1165 300 -12.0 1175 1376 -18.0 1171 275 -12.0 1178 1366 -14.0 1178 253 -22.0 1180 1356 -7.0 1189 232 -22.0 1181 1343 -7.0 1160 343 -35.0 1184 1333 -11.0 1172 326 -31.0 1188 1321 -17.0 1181 310 -31.0 Dirección Promedio [grados] -4.4

1192 295 -21.0 1200 273 -21.0 Tabla 14: Datos Planta 3.

Dirección Promedio [grados] -21.6 Planta 3

Coord. X Coord. Y Ángulo Tabla 15: Datos Sección 3. [m] [m] [grados]

Sección 3 1162 1375 12.0 Coord. X Coord. Z Ángulo 1159 1362 17.0

[m] [m] [grados] 1156 1351 21.0 1145 340 -4.0 1155 1337 2.0 1151 320 -16.0 1155 1323 2.0 1155 297 -8.0 1155 1312 6.0 1160 272 -13.0 1153 1300 11.0 1164 250 -13.0 1150 1287 16.0 1173 230 -19.0 1164 1332 -10.0 1182 210 -24.0 1164 1323 7.0 1153 343 -40.0 1164 1312 7.0 1167 328 -27.0 1187 1375 -21.0 1174 312 -37.0 1192 1363 -21.0 1183 293 -17.0 1195 1353 -4.0 1191 270 -28.0 1197 1340 -13.0 1197 218 -13.0 1198 1331 -6.0

Dirección Promedio [grados] -19.9 1200 1322 -11.0 1196 1376 -9.0 1196 1363 12.0 Dirección Promedio [grados] 0.9

Anexos

79

Tabla 16: Datos Sección 4. Tabla 17: Datos Planta 4.

Sección 4 Planta 4

Coord. X Coord. Z Ángulo Coord. X Coord. Y Ángulo [m] [m] [grados] [m] [m] [grados]

1152 341 -11.0 1155 1395 -12.0 1157 321 -7.0 1157 1372 -10.0 1159 300 -11.0 1157 1357 6.0 1164 277 -11.0 1155 1347 21.0 1170 253 -13.0 1150 1333 11.0 1175 232 -25.0 1148 1318 6.0 1158 343 -32.0 1145 1300 13.0 1166 327 -32.0 1138 1287 25.0 1175 310 -22.0 1168 1372 -10.0 1184 291 -16.0 1170 1355 7.0 1191 274 -33.0 1168 1340 7.0

Dirección Promedio [grados] -19.4 1166 1327 7.0 1166 1312 3.0

Tabla 18: Datos Planta 5. 1177 1375 -9.0

Planta 5 1177 1362 1.0 Coord. X Coord. Y Ángulo 1178 1350 -7.0

[m] [m] [grados] 1180 1335 -7.0

1153 1738 -18.0 1181 1320 -7.0 1154 1372 0.0 1184 1305 -16.0

1153 1355 7.0 Dirección Promedio [grados] 1.5

1153 1340 7.0 1145 1333 37.0 1140 1320 3.0 1143 1305 -20.0 1140 1295 51.0 1138 1290 12.0 1152 1333 3.0 1152 1320 0.0 1150 1310 17.0 1167 1370 -11.0 1170 1358 8.0 1169 1345 3.0 1168 1335 8.0 1166 1323 8.0 1164 1312 8.0 1178 1370 -8.0 1180 1358 -6.0 1181 1345 0.0 1181 1333 9.0 1178 1318 9.0 1190 1320 6.0

Dirección Promedio [grados] 5.5

Anexos

80

Anexo B: Histogramas Promedios y Desv. Std. Simulaciones.

Gráfico 19: Histogramas de Promedios y Dev. Std. Simulaciones Modelo “Real”.

Anexos

81

Gráfico 20: Histogramas de Promedios y Dev. Std. Simulaciones Modelo “Ideal” 1.

Anexos

82

Gráfico 21: Histogramas de Promedios y Dev. Std. Simulaciones Modelo “Ideal” 2.

Anexos

83

Anexo C: Modelos Variográficos “Ideales” para Kriging.

Para realizar comparaciones con modelos “ideales” entre kriging y simulaciones se debe

proponer modelos que cumplen con las características del yacimiento estudiado. Los modelos

“ideales” 1 y 2 propuestos se muestran a continuación:

Gráfico 22: Modelo “Ideales” para Utilizados en Kriging.

Anexos

84

Anexo D: Archivos de Parámetros Gslib.

El programa NSCORE es utilizado en la metodología propuesta en este trabajo de título

para realizar la transformación de los datos de leyes a datos que siguen una distribución

gaussiana de medio 0 y varianza 1. El archivo de parámetros de NSCORE es el siguiente:

Figura 35: Archivo de Parámetros NSCORE.

BACKTR de GSLIB es mencionado en la metodología propuesta en este trabajo como

programa para realizar la transformación inversa de los datos simulados, es decir, transformar

los datos de valores gaussianos a valores reales de leyes de oro. El archivo de parámetros de

BACKTR es el siguiente:

Figura 36: Archivo de Parámetros BACKTR.

Anexos

85

Anexo E: Comparación Algoritmos de Simulación.

Figura 37: Comparación Algoritmos de Simulación Modelo “Ideal” 1.

Anexos

86

Figura 38: Comparación Algoritmos de Simulación Modelo “Ideal” 2.

Anexos

87

Anexo F: Comparación Kriging Simple – Kriging Simple.

Figura 39: Comparación KS – KO Modelo “Real”.

Anexos

88

Figura 40: Comparación KS – KO Modelo “Ideal” 1.

Anexos

89

Figura 41: Comparación KS – KO Modelo “Ideal” 2.

Anexos

90

Anexo G: Algoritmo de Simulación Implementado en Matlab.

El algoritmo escrito en MATLAB para incorporar direcciones de continuidad variable en

la simulación secuencial gaussiana cuenta con 8 funciones. Estas se muestran esquemática-

mente en la Figura 42.

Figura 42: Figura Esquemática Programación Algoritmos de Simulación.

Las funciones son:

1. SGN: Realiza n realizaciones de SG. Calcula el tiempo que toma cada realización.

2. SG: Calcula una realización de simulación secuencial gaussiana. Al comienzo de cada

realización se genera un vector aleatorio que indica el orden de visita a cada nodo de la

grilla que se desea simular.

3. KRIGING: SG utiliza a KRIGING para calcular el valor estimado y la varianza de Kriging.

4. DIST: Calcula la matriz y el vector de covarianza para el sistema de kriging.

5. VECINDAD: Entrega la vecindad utilizada para el kriging.

6. VARIOGRAMA: Calcula el variograma para una distancia. Se utiliza para realizar un

orden según variograma de los datos condicionantes con respecto al punto que se

desea simular.

Anexos

91

7. ROTACIÓN: Rota el sistema de coordenadas para incorporar anisotropías locales en el

algoritmo.

8. BUSCAR: Entrega una vecindad a priori, que consiste en los valores dentro del cubo

centrado en el valor que se desea simular y que posee lados iguales a dos radios de

búsqueda según coordenadas rotadas.

Se debe mencionar que el algoritmo de simulación que incorpora direcciones de

continuidad variable resulta ser bastante más lento que el algoritmo tradicional, esto es debido a

que la búsqueda espiral no se puede practicar, ya que la configuración de valores de

variograma para los nodos en la vecindad dentro del radio de búsqueda empleado en la

simulación es variable con la anisotropía local.

A continuación se muestra el código correspondiente a las 8 funciones que usa el

algoritmo de simulación:

function [result result2]=sgn(datos,grilla,rx,ry,rz,n1,n2,n3,realizaciones) result=zeros(size(grilla,1),3+realizaciones); result(:,1:3)=grilla(:,1:3); for i=1:realizaciones %Se toma el tiempo de ejecución de cada realización. tic; randn('state',sum(100*clock)); rand('state',sum(100*clock)); %Para cada una de las realizaciones se llama a la función sg. a=sg(datos,grilla,rx,ry,rz,n1,n2,n3); result(:,3+i)=a(:,4); result2(i)=toc end end

%Función entrega una realización de valores simulados para la grilla

requerida. function result=sg(datos,grid,rx,ry,rz,n1,n2,n3) n=size(grid,1); %Se genera un vector aleatorio con el orden de visita a los nodos en la %grilla. visita=randperm(n); rd=randn(n,1); simulados=ones(n,5)*-100; %Visita única a cada uno de los n nodos. for i=1:n nodo=grid(visita(i),:); x=find(simulados(:,4)~=-100); aux=simulados(x,:); estimacion=kriging(datos,aux,nodo,rx,ry,rz,n1,n2,n3); if estimacion(4)~=-100 estimacion(4)=estimacion(4)+sqrt(estimacion(5))*rd(i); end simulados(i,:)=estimacion(1:5);

Anexos

92

end result=simulados; result(:,6)=visita; %Se entregan resultados ordenados según grilla original. result=sortrows(result,6); result(:,6)=[]; end

%Sistema ax=b, x vector de pesos de kriging. function result=kriging(datos,simulados,nodo,rx,ry,rz,n1,n2,n3) data=vecindad(nodo,datos,rx,ry,rz,n1,n2); sim=vecindad(nodo,simulados,rx,ry,rz,0,n3); data=[data;sim]; if (size(data,1)==0 | size(data,1)<n1) %los datos son vecinos quedan con valor estimado -100 result=[nodo(1:3) -100 -100]; else if (size(data,1)>n2) data=sortrows(data,8); data=data(1:n2,:); end a=data(:,1:3); a=dist(a,nodo(4),nodo(5),nodo(6)); a=variograma(a); %data(:,8)=valores de variograma b=data(:,8); %Se calcula el vector y la matriz covarianzas. a=1-a; b=1-b; x=a^-1*b; z=dot(x',data(:,4)'); var=1-dot(x',b'); %Función kriging entrega las coordenadas del nodo, el valor de la %estimación (z) y la varianza de kriging (var). result=[nodo(1:3) z var]; end end

%Matriz de distancia entre los datos function result=dist(a,alpha,beta,gamma) [m]=size(a,1); result=zeros(m,m,3); for i=1:m result(i,:,1)=a(i,1)-a(:,1); end

for i=1:m result(i,:,2)=a(i,2)-a(:,2); end

for i=1:m result(i,:,3)=a(i,3)-a(:,3); end %Rotación de coordenadas for i=1:m for j=1:m result(i,j,:)=abs(rotacion([result(i,j,1) result(i,j,2)... result(i,j,3)],alpha,beta,gamma));

Anexos

93

end end end

%Función que entrega datos vecinos condicionantes para el kriging. function result=vecindad(nodo,datos,rx,ry,rz,n1,n2) radio=[rx ry rz]; rmax=max(radio); result=buscar(datos,nodo(1),nodo(2),nodo(3),rmax,rmax,rmax); if (size(result,1)==0 | size(result)<n1) result=[]; else %Se rotan componentes de separación. for i=1:size(result) result(i,5:7)=abs(rotacion([nodo(1)-result(i,1) nodo(2)-... result(i,2) nodo(3)-result(i,3)],nodo(4),nodo(5),nodo(6))); end aux=result; result(:,1:3)=aux(:,5:7); result(:,5:7)=aux(:,1:3); result=buscar(result,0,0,0,radio(1),radio(2),radio(3)); if (size(result,1)==0) result=[]; else aux=result; result(:,5:7)=aux(:,1:3); result(:,1:3)=aux(:,5:7); result(:,8)=variograma(result(:,5:7)); %Se ordena según valor de variograma. result=sortrows(result,8); if size(result,1)>=n2 result=result(1:n2,:); elseif size(result,1)<n1 result=[]; end end end end

%Se considera el sistema de kriging ax=b. %Ejemplo utilizando variograma "ideal" 2. function result=variograma(a) [m n o]=size(a); %Caso en que se debe calcular el variograma a al vector b del sistema de

kriging. if o==1 result=zeros(m,1); for i=1:m result(i)=0.6+0.26*((3/2)*(sqrt((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/9)^2+... (a(i,3)/9)^2))-(1/2)*(sqrt((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/9)^2+...

(a(i,3)/9)^2))^3)+0.14*((3/2)*(sqrt((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/60)^2+... (a(i,3)/60)^2))-(1/2)*(sqrt((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/60)^2+... (a(i,3)/60)^2))^3); if((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/9)^2+(a(i,3)/9)^2>=1)

result(i)=0.86+0.14*((3/2)*(sqrt((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/60)^2+... (a(i,3)/60)^2))-(1/2)*(sqrt((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/60)^2+...

Anexos

94

(a(i,3)/60)^2))^3); end if (((a(i,1)/7)^2+(a(i,2)/60)^2+(a(i,3)/60)^2)>=1) result(i)=1; end end %Caso en que se debe calcular el variograma a la matriz a del sistema de

kriging. else result=zeros(m); for i=1:m for j=1:m

result(i,j)=0.6+0.26*((3/2)*(sqrt((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/9)^2+... (a(i,j,3)/9)^2))-(1/2)*(sqrt((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/9)^2+...

(a(i,j,3)/9)^2))^3)+0.14*((3/2)*(sqrt((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/60)^2+... (a(i,j,3)/60)^2))-

(1/2)*(sqrt((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/60)^2+... (a(i,j,3)/60)^2))^3); if((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/9)^2+(a(i,j,3)/9)^2>=1)

result(i,j)=0.86+0.14*((3/2)*(sqrt((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/60)^2+... (a(i,j,3)/60)^2))-

(1/2)*(sqrt((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/60)^2+... (a(i,j,3)/60)^2))^3); end if (((a(i,j,1)/7)^2+(a(i,j,2)/60)^2+(a(i,j,3)/60)^2)>=1) result(i,j)=1; end end end end end

%Función de rotación de coordenadas. function result=rotacion(a,alpha,beta,gamma) result=rotz(roty(rotx(a,alpha),beta),gamma); end function result=rotx(a,alpha) result=[1 0 0 0;0 cos(alpha) -sin(alpha) 0;0 sin(alpha) cos(alpha)... 0;0 0 0 1]*[a 1]'; result=result(1:3)'; end function result=roty(a,beta) result=[cos(beta) 0 sin(beta) 0;0 1 0 0;-sin(beta) 0 cos(beta) 0;... 0 0 0 1]*[a 1]'; result=result(1:3)'; end function result=rotz(a,gamma) result=[cos(gamma) -sin(gamma) 0 0;sin(gamma) cos(gamma) 0 0;... 0 0 1 0;0 0 0 1]*[a 1]'; result=result(1:3)'; end

%Entrega datos que se encuentran en la vecindad con forma cúbica con lados %iguales a los radios de buscaqueda según componentes previamente rotadas. function result=buscar(a,x0,y0,z0,dx,dy,dz) %Se llama a lookup, la cual busca por componente.

Anexos

95

result=lookup(a,x0,dx,1); result=lookup(result,y0,dy,2); result=lookup(result,z0,dz,3); end %Se busca por una componente. function result=lookup(a,x0,dx,row) result=a; if (size(a,1)==0) result=[]; else x=find(x0-dx>a(:,row) | a(:,row)>x0+dx); if (size(x,1)==size(a,1)) result=[]; else result(x,:)=[]; end end end

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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y ...repositorio.uchile.cl/tesis/uchile/2007/leiva_a/sources/leiva_a.pdf · anisotropías locales y se modifica el algoritmo de