Universidad de Sevilla · Created Date: 10/16/2008 2:09:02 PM

Campos ElectromagnéticosCurso 2008/2009

Ingeniería IndustrialDpto. Física Aplicada III

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo1

Tema 2: Postulados del

Electromagnetismo




Índice

La carga eléctrica Corriente eléctrica

Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía




La carga eléctrica

Cualidad de la materia responsable de la interacción electromagnética

Propiedades: Dual: cargas positivas y negativas Cuantizada: Se conserva localmente Invariante relativista




Hipótesis de medio continuo

¿En qué condiciones tiene sentido el concepto de densidad? Ejemplo: densidad de población




La carga eléctrica

Hipótesis de medio continuo El concepto de densidad sólo tiene sentido para

medios continuos La carga es discreta, pero q

e<<q

macroscópica

Puede definirse: densidad volumétrica de carga

Carga y nº de partículas especie j-ésima

nº especies

Densidad de partículas especie j-ésima




Densidad superficial de carga

A veces tenemos carga sobre una superficie Ejemplo: conductores en equilibrio electrostático

Se define por analogía la densidad superficial de carga:

q




Densidad superficial de carga

Paso al límite de distribuciones volumétricas:

Si el volumen tiende a cero pero q es constante:

Densidad superficial de carga implica singularidad en la densidad volumétrica

e e e

q q q




Densidad lineal de carga

Carga distribuida sobre un hilo: se define la densidad lineal de carga

dl

En un hilo:




q1

q2

qn

x y

z

Distribuciones discretas Modelo de carga puntual

Implica una carga finita concentrada en un punto Similar a la partícula puntual usada en mecánica

Densidad de carga de distribuciones discretas de carga:

Las expresiones que se obtengan bajo hipótesis de medio continuo pueden ser particularizadas para distribuciones discretas de carga




Índice






Corriente eléctrica

Carga en movimiento: electrones, iones positivos o negativos, partículas subatómicas...

Normalmente se origina como respuesta a un campo eléctrico

En este tema trataremos las corrientes sin atender a sus causas: las suponemos conocidas y establecidas a priori




Intensidad de corriente

Carga que atraviesa una superficiedada por unidad de tiempo

Unidad: amperio; A=C/s Caso simple: un solo tipo de

portadores con q1, densidad n

1

y velocidadCarga que atraviesa en :




Intensidad de corriente

Para s tipos de portadores distintos:

Para la superficie S completa:

Vector densidad de corriente (A/m2)




Relación entre densidades de carga y de corriente

Caso de un solo portador:

Caso general: no hay relación entre carga y corriente.

Ejemplo: hilo conductor de cobre




Densidad superficial de corriente

Corriente restringida a una región de espesor pequeño

e eγ γ e

Densidad superficialde corriente:

(A/m)




Corrientes filiformes

Gran utilidad práctica: hilos metálicos para circuitos eléctricos

La propia intensidad basta para caracterizar la corriente: es la carga que atraviesa la sección transversal del hilo por unidad de tiempo El sentido viene indicado por el signo de I




Ecuación de continuidad

La ley de conservación de la carga implica que debe existir una relación entre la densidad de carga y la densidad de corriente

Supongamos un volumen τ que contiene una carga q en presencia de corrientes

La carga que abandona el volumen por unidad de tiempo es:

Teorema de la divergencia:





Por otra parte:

Y la ecuación queda:

Como esto es válido para cualquier volumen podemos igualar los integrandos:

Ecuación de continuidadExpresión matemática de la ley de conservación de la carga




Índice






Ecuaciones de Maxwell

POSTULADO: La presencia de cargas y corrientes da lugar a la existencia de un campo eléctrico y un campo magnético que satisfacen las Ecuaciones de Maxwell:

Densidad de carga

Densidad de corriente

Permitividad

Permeabilidad




Consideraciones adicionales

No pueden solucinarse usando el teorema de Helmholtz, puesto que los campos aparecen acoplados

Son ecuaciones lineales: Esto permite establecer un Principio de superposición:

Dados dos o más conjuntos de fuentes la solución para los campos de la suma de las fuentes es la suma de las soluciones de los campos para cada conjunto de fuentes





Las ecuaciones de Maxwell deben ser consistentes con el Principio de conservación de la carga

En efecto, aplicando divergencia en la ecuación de rotacional del campo magnético:

La ecuación de continuidad está implícita en las

ecuaciones de Maxwell




Índice






Fuerza de Lorentz

Las cargas y corrientes crean campos eléctricos y magnéticos (ecuaciones de Maxwell)

Los campos eléctrico y magnético también ejercen fuerzas sobre cargas y corrientes:

Fuerza de Lorentz: para una carga puntual q que se mueve con velocidad

Aquí se pueden ver bien las unidades de los campos:




Distribuciones volumétricas Distribución volumétrica de cargas y corrientes:




Distribuciones superficiales y lineales

Para una superficie: análisis análogo

Para un hilo:Usando:




Hilo de corriente

Los alambres conductoresmetálicos de los circuitos eléctricos transportan corrientesin carga neta (λ=0)

Si están inmersos en un campo magnético:

Para un hilo recto de longitud l en un campo uniforme:




Planteamiento del problema

Las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos a partir de las fuentes

La fuerza de Lorentz nos dice cómo actúan los campos sobre las cargas y corrientes

Entonces las partículas cargadas resultan ser productoras de los campos y receptoras de su acción: es un problema acoplado Ejemplo: conductor en equilibrio electrostático Ejemplo: corriente eléctrica en una antena




Planteamiento del problema

¿Cómo abordaremos la solución de este problema en este curso?

Primero supondremos fuentes conocidas a priori (problema idealizado) Temas 3 y 4 de nuestro curso

Luego estudiaremos los campos en presencia de medios materiales Será preciso añadir leyes empíricas a los

postulados para modelar la respuesta de la materia




Índice






Forma integral de las ecuaciones de Maxwell

Ley de Gauss Forma diferencial Si integramos en un volumen:

Sera útil para el cálculo del campo eléctrico en situaciones de alta simetría

q(τ) es la carga neta dentro del volumen τ





Ley de inexistencia de monopolos Forma diferencial Si integramos en un volumen:

El campo magnético es solenoidal No existen fuentes escalares del campo magnético

(cargas magnéticas)





Ley de Faraday Forma diferencial Si integramos en una superficie:

Flujo magnético:

Las variaciones de flujo magnético producen líneas de campo eléctrico





Ley de Ampere-Maxwell

Forma diferencial

Si integramos en una superficie:

Se usa en magnetostática para calcular campos magnéticos en situaciones de alta simetría




Índice






Discontinuidades de los campos La existencia de densidades superficiales de carga y de corriente implica la

existencia de regiones donde las densidades volumétricas de carga y corriente son infinitas

Las densidades volumétricas de carga y corriente aparecen en las ecuaciones de Maxwell como derivadas de los campos

Esto implica que las derivadas de los campos son infinitas

Pero una función discontinua tiene derivada infinita...

Los campos eléctrico y magnético pueden ser dicontinuos en las regiones donde existen densidades superficiales de

carga y corriente respectivamente




Discontinuidad del campo eléctrico

Suponemos S con densidadsuperficial de carga:

Aplicamos Ley de Gauss en forma integral en un volumen tipo ”caja de pastillas”

:vector unitario normal a la superficie





Ley de Gauss:

La superficie con ρS introduce una

discontinuidad en la componentenormal del campo eléctrico





Para la superficie S con densidadsuperficial de carga:¿Qué puede decirse de lacomponente tangencial delcampo eléctrico?

Aplicamos Ley de Faraday en forma integral en un camino rectangular γ:

Sentido de determinadopor sentido de circulación de γ





: vector unitario con la dirección y sentido de

La componente tangencial del campoeléctrico es continua al atravesar ladistribución superficial de carga ρ

S




Discontinuidad del campo magnético

La densidad de corriente es fuente vectorial del campo magnético

Suponemos S con un densidad superficial de corriente:

Ley de ausencia de monopolos Ley de Ampere-Maxwell

Continuidad de la componente normal del campo magnético

Discontinuidad de la componente tangencial del campo magnético




Discontinuidades de los campos La componente normal del campo eléctrico experimenta una

discontinuidad al atravesar una superficie con cierta densidad superficial de carga

La discontinuidad es proporcional a ρS

La componente tangencial del campo magnético experimenta una discontinuidad al atravesar una superficie con cierta densidad superficial de corriente

La discontinuidad es proporcional a js

La componente tangencial del campo eléctrico y la componente normal del campo magnético son continuas al atravesar cualquier superficie




Ejemplo

Obtenga las fuentes del campo (esféricas):

Que cumple:

En no es continua en r=R:




Ejemplo

Obtenga las fuentes del campo (en cilíndricas):

Que cumple:

Hay una discontinuidad de Bt en r=R:




Índice






Intercambio de energía entre campos y fuentes

Trabajo de las fuerzas electromagnéticas:

Potencia que los camposentregan a las fuentespor unidad de volumen




Principio de conservación de la energía

Los campos pueden intercambiar energía con las fuentes

Si aceptamos un principio de conservación de la energía, la energía asociada a los campos electromagnéticos en una región puede: Trasvasarse a ó desde las fuentes: Quedar almacenada en los campos

Campo eléctrico Campo magnético

Ser transportada por los campos




Energía almacenada

En una región donde existe un campo eléctrico la energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) es:

Y la energía total almacenada es: En una región donde existe un campo magnético la

energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) es:

Y la energía total almacenada es:




Energía transportada

Vector de Poynting: Representa la potencia que atraviesa la unidad de

área transversal al propio vector de Poynting La potencia total que atraviesa una superficie

dada es el flujo del vector de Poynting:

Existe una clara analogía con la fórmula:




Teorema de Poynting

Es la expresión matemática del principio de conservación de la energía

La potencia que las fuentes cedenal campo electromagnético dentrode un volumen τ puede emplearse

en aumentar la energía almacenada por los campos en dicha región y

también puede escapar por la frontera




Teorema de Poynting

Otra forma de ver lo mismo:

La disminución en la energía electromagnética almacenada en una

región τ puede emplearseen trabajo realizado por los campos

sobre las cargas y energía que escapa por su frontera




Forma local del teorema de Poynting

Usando el teorema de la divergencia:

Obtenemos:

Igualando los integrandos se puede escribir el teorema de Poynting en forma diferencial o local

Establece un balance local de energía en cada instante




Resumen del tema 2 Puede hablarse de conceptos como densidad de carga y

densidad de corriente bajo hipótesis de medio continuo

Cargas y corrientes son fuentes de los campos electromagnéticos

Las ecuaciones de Maxwell nos proporcionan el valor de los campos para fuentes conocidas

La linealidad de las ecuaciones de Maxwell permite enunciar un Principio de superposición

Las ecuaciones de Maxwell conllevan el cumplimiento del Principio de conservación de la carga

Cargas y corrientes sufren los efectos (fuerzas) de los campos electromagnéticos

La fuerza de Lorentz nos indica la fuerza ejercida por los campos sobre cargas y corrientes




Resumen del tema 2

El problema electromagnético completo es un problema acoplado que hay que resolver paso a paso

Una superficie en la que existe una densidad de carga superficial introduce una discontinuidad en la componente normal a dicha superficie del campo eléctrico

Una superficie en la que existe una densidad de corriente superficial introduce una discontinuidad en la componente tangencial a dicha superficie del campo magnético

Los campos electromagnéticos son entes físicos capaces de almacenar, transportar e intercambiar energía

El principio de conservación de la energía viene expresado matemáticamente mediante el teorema de Poynting

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