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Física del Medio Ambiente
1
Teoría de Errores (Programa de Prácticas)
Sara Marañón Jiménez ([email protected])
Andy Kowalski ([email protected])
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
2
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
3
Teoría de Errores • ¿Cuál es la distancia entre Granada y
Málaga?
www.mapquest.com 131.02 km
Google maps 125 km
4
¿Qué edad tienes?
Granada – Málaga: • ¿Es interesante decir 131.02 km? • ¿Es exacto/científico?
– ¿Significa 131.0200000… km?
– ¿Precisión de 20 metros? ¿Es necesaria? • ¿Cuál es la distancia “Real”? 131,02 km? 125 km?
m mm
5
www.mapquest.com 131.02 km
Google maps 125 km
“Más vale acertar aproximadamente que errar exactamente”
John Maynard Keynes Economista Distancia
entre 110 y 150 km
¿Qué edad tienes? (mentir al profe implica suspenso automático)
• ¿Se puede aceptar un error de 100 años en la edad? – El error: relativo a la magnitud
• Un bebé : «Tiene 16 meses» (error de un mes) • Un niño: «Tengo 8 años y medio» (error de 6 meses) • Adulto: «Tengo 30 años» (error de 12 meses)
• ¿Cuántas cifras podemos escribir? – Edad: 16,6794 meses; 8,528545 años; 31,8543 años
• ¿Cuántas cifras debemos escribir? • ¿Qué unidad debemos usar?
6
Teoría de Errores: contexto
• Esta pequeña introducción nos ha plantado algunas preguntas – ¿Cómo expresar el valor y el error de una
magnitud física? – ¿Cómo debemos tratar los errores? – ¿Qué unidades debemos emplear?
• Ahora pasamos a algunas definiciones interesantes para empezar a contestar
7
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
8
Error Absoluto
• Dx = error absoluto • xm = valor medido o aproximado • x = “la verdad”
xxx m −=Δ
9
Error Relativo
10
𝑒= ∆𝑥/𝑥 ∙100%
• e = error relativo (%) • ∆𝑥 = error absoluto • 𝑥 = valor real
Intervalos de confianza
δmin = mínimo posible (subestimación) δmax = máximo posible (sobreestimación) xm = valor medido o aproximado x = “la verdad”
{ max
min
δδ+−= mxx
maxmin δδ +≤≤− mm xxx
11 “Más vale acertar aproximadamente
que errar exactamente”
Simetría
• En el caso que
• (lo que pasa con frecuencia) • Solemos escribir la medida así
xΔ=−= minmax δδ
xxx m Δ±=
12
Ejemplo asimétrico
• Distancia sol-tierra : (150 ± 3) •106 km
• En realidad no es simétrico: • 147 • 106 km < x < 152 • 106 km
• Nosotros trabajaremos con casos simétricos
13
• Precisión - concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales
• Exactitud - grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental
• Sensibilidad - el valor mínimo de la magnitud que un aparato es capaz de diferenciar
Definiciones
14
Exactitud y Precisión
• Tirando flechas
15
Ni preciso ni exacto
16
Preciso
17
Exacto
18
Exactitud y Precisión
19
http://www.ingenieriactiva10.blogspot.com.es
A) Ni preciso ni exacto B) Preciso y exacto C) Impreciso y exacto D) Preciso pero inexacto
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
20
Expresión de cantidades
1º Elegir la magnitud 2º Determinar el valor y un error “aceptable” 3º Adaptar las cifras del valor y el error
21
DISTANCIA GRANADA-MÁLAGA
Expresión de cantidades
1º Elegir la magnitud 2º Determinar el valor y un error “aceptable” 3º Adaptar las cifras del valor y el error
22
EDAD DEL PROFESOR DE PRÁCTICAS
Seguiremos un convenio por el cual pérdida de información nunca será
mayor del 20%
Paso 3º: Adaptar las cifras del valor y el error
• Convenio para la Expresión de cantidades • Pérdida de información nunca será mayor del 20%
– El convenio para expresar correctamente las cantidades usa el concepto de CIFRA SIGNIFICATIVA:
– Las cifras significativas son aquellas que aportan información útil tanto del error como del valor de la cantidad:
o Caso del error: Las cifras significativas son la primera o segunda cifra desde la izquierda dependiendo del valor del error (ejemplo: de ±3,4567 es el «3»; de ±0,005789 es el «5»; de ±1,5681 son el «1» y el «5»).
o Caso del valor: Las cifras significativas dependen del error.
23
Un esquema nos ayudará a expresar correctamente las
cantidades
Convenio para la expresión de cantidades
24 OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS)
del error
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
25
Expresión de cantidades
1º Elegir la unidad de la magnitud física 2º Determinas el valor y el error 3º Adaptar las cifras del valor y el error (redondeo)
OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS)
26
¿Qué sabemos?
• Aceleración de gravedad, g= ________
• Constante de Avogadro, N= ________
• Velocidad de luz, c= ________
27
Expresión de magnitudes físicas • Cantidad • Unidad (!!!!!) • Grado de confiabilidad
– índice de exactitud – error
28
Ejemplos de Magnitudes Incorrectos (U)
Correctos (U)
3.418±0.123
6.30±0.085
46.288±1.553
428.351±0.15
0.01683±0.0058
3.4±0.1 ó 3.42±0.12
6.30±0.09
46.3±1.6
428.35±0.15
0.017±0.006
(342±12) 10-2
(630±9) 10-2
(463±16)10-1
(42835±15) 10-2
(17±6) 10-3
Mejor? (U)
3.42±0.12
29
Errores
• Se desconoce la “verdad” • Siempre hay presente algún tipo de error • Objetivos:
– Caracterizar/conocer los errores – Minimizarlos cuando es posible
30
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
31
Tipos de Errores
32
• Errores aleatorios – Inevitables y desconocidos – Asumimos distribución de
frecuencias “normal” (hipótesis) • Errores pequeños; más frecuentes • Promedio de cero
– Errores sistemáticos • Difícil de caracterizar
– Si los conocemos, los corregimos
• Pueden ser constantes: afectan todas medidas
Errores aleatorios
• Errores de discernimiento • Cambios en las condiciones experimentales • Errores de especificación en los procesos de
fabricación (por ejemplo, una bola esférica metálica puede estar ligeramente ovalada)
• Se pueden reducir
(¿cómo?)
33
Error cuadrático medio (MSE)
σ x2 =
1N
(xi − x )2
1
N
∑x
34
Deducciones • Una estimación de una magnitud física es
mejor cuanto – Menor sea el error sistemático – Menor sea el error aleatorio
• Aunque… Los errores son inevitables • ¿Cómo mejorar la estimación?
– Medir con cuidado, y precisión – Muchas medidas
• ¿Cuántas medidas necesitamos?
35
Reglas prácticas para medir una magnitud en el laboratorio y determinar su error directo
1) Solo es posible una medida: error es la sensibilidad del instrumento: x±s 2) Se pueden realizar varias medidas: Realizar para empezar 3 medidas y
obtener la sensibilidad del instrumento (s). Se toma como valor de la variable
Para calcular el error: 3) Se calcula la dispersión de 3 medidas (D3= xmax – xmin) y se compara con (s)
• 2a) Si D3 ≤ s à Error de tipo sistemático o limitación de instrumento,
no se puede hacer mucho! Tomar como valor del error x± s
• 2b) Si D3> s à Error es tipo aleatorio ¿Hacen falta más medidas? ¿Cuantas?
Seguir con el paso 4.
4) Calcular el porcentaje de dispersión (T):
36
x3
Porcentaje de dispersión
T = Dx100
T<2% 2%<T<8% 8%<T<15% T>15%
N 3 6 15 50
Error s
Expresión
α =máx(D6 / 4, s)σ x =
1N
(xi − x )2
1
N
∑
37
𝑥 ±𝛼 xσ
𝑥 ±s 𝑥 ±
Medidas directas versus indirectas • Medidas directas: Aquellas medidas de forma
experimental, mediante un instrumento de medida. Errores a partir de la dispersión o sensibilidad del aparato
• Medida indirecta: Se obtiene mediante cálculos a partir de las otras mediciones directas. Errores mediante derivadas parciales
• Atención! Una misma medida puede ser directa o indirecta según cómo se haya obtenido! Ej: Longitud con metro ó a partir de : L= Vx t
38
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
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Propagación de errores en medidas indirectas: Motivación
• Granada – Jaén: 94±1 km • Digamos que se sabe que el tiempo promedio para el
viaje es 1.0± 0.1 horas • ¿Cuál es la velocidad promedia para el viaje?
– Recordad: para escribir un resultado, hay que empezar con el error!
• ¿Cómo podemos determinar el error en esta estimación?
40
Propagación lineal de errores -Sea ),,,( czyxff =La función f liga a la magnitud que nos interesa hallar (f) con las magnitudes independientes que se obtienen del experimento (x,y,z) y con una constante (c).
Diferenciando:
dccfdz
zfdy
yfdx
xfdf
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Si identificamos los incrementos con los errores absolutos de las variables correspondientes, en el caso más desfavorable se obtendrá:
ccfz
zfy
yfx
xff Δ
∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ
Sensibilidad de f al determinante z
Error en z 41
Derivadas parciales
• Son imprescindibles en esta asignatura – ¡A revisar! : Estudiarse las fórmulas de derivación – No solemos trabajar con ejemplos muy difíciles
1' −=∂∂
≡ nxanxyy
naxy =
42
Ejemplo numérico
• Densidad de flujo radiativo emitida por un cuerpo negro
• • s = 5.67 ± 0.01 x 10-8 W m-2 K-4
(constante de Stephan-Boltzmann) • Para un cuerpo negro con T = 300 ± 1 K • ¿Cómo podemos expresar E ?
E = sT 4
4 valores… 43
Ejemplo numérico
• E = 459 ± 7 W m-2
( ) 281.012.6 −+= Wm
= 4sT 3 1K( )+ T 4 0.01×10−8Wm−2K −4( )
ΔE = ∂E∂T
ΔT + ∂E∂s
Δs
E = sT 4
44
Resumen: propagación lineal de los errores
),,,( czyxff =
ccfz
zfy
yfx
xff Δ
∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ
Tenemos que pensar en esta ecuación en muchas ocasiones (en todas las prácticas)
45
90.04g 70.04g
Ej: (intuitivamente) Como pesar una cantidad de H2O(l)
Botella vacía:
(Misma)
botella con agua:
Claro, el agua pesa: 20g pero ¿ERROR?
20.00 ± 0.01g
Escala con sensibilidad = 0.01g
46
Como pesar una cantidad de H2O(l) (científicamente)
90.04g 70.04g
Botella vacía: x=
(Misma)
botella con agua: y=
z = y – x
20.00 ± 0.02g xyz Δ+Δ=Δ
± 0.01g
± 0.01g
xxzy
yzz Δ
∂∂
+Δ∂∂
=Δ
47
Resumen: propagación lineal de los errores
),,,( czyxff =
ccfz
zfy
yfx
xff Δ
∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ
Ahora un ejemplo experimental
48
Altura de un acantilado
• ¿Cómo medir? – Difícil mantener un metro en
vertical – Otra opción
20 2
1 gttvh +=
49
Hacemos una medida
• t = 1.48 +/- 0.01s
• Posibles errores (aleatorios): – v0 ≠0 – Pulgar torpe o errático
• A la salida • A la entrada al agua
• ¡ A repetir !
20 2
1 gttvh +=
t = 1.47 +/- 0.01s t = 1.46 +/- 0.01s 3
1
2
50
Cuantas veces medimos y cómo calcular el error de una medida directa?
t = 1.47 +/- 0.01 s t = 1.46 +/- 0.01 s 3
2
t = 1.48 +/- 0.01 s 1 t =1.47ssD 02.0=
= 1.4%
Valor experimental 51
T = Dx100
T<2% 2%<T<8% 8%<T<15% T>15%
N 3 6 15 50
Error s
Expresión
α =máx(D6 / 4, s)σ x =
1N
(xi − x )2
1
N
∑𝑥 ±𝛼
xσ𝑥 ±s
𝑥 ±
t = 1.47 +/- 0.01 s
Nuestro valor experimental
• t = 1.47 +/- 0.01 s
• Para poder escribir h, 1º calculo su error:
20 2
1 gttvh +=
2
21 gth =
ccfz
zfy
yfx
xff Δ
∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ
tthg
ghh Δ
∂∂
+Δ∂∂
=Δ
gt Δ= 2
21
tgt Δ+52
Errores, distancia frente a tiempo
• +/- 0.01 s
20 2
1 gttvh +=
tvtgth Δ=Δ=Δ
t (s) h (m) v (m/s)
1.5 11.02 14.7
t (s) h (m) v (m/s)
1.0 4.9 9.8
t (s) h (m) v (m/s)
0.5 1.23 4.9
t (s) h (m) v (m/s)
2.0 19.6 19.6
thv∂∂
=
53
Altura de un acantilado
• 1er paso: calculo el error derivado
• 2º paso: calculo la magnitud y la ajusto a su error
h = 12gt2 =10.57± 0.14
t = 1.47 +/- 0.01 s Valor experimental y error directo
Δh = gtΔt = 0.14m
g = 9.782 +/- 0.001 m s-2
54
Programa
• IB. Teoría de Errores. (3h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
55
Interpolación en tablas
T (ºC) Calor latente de evaporación (J/g) 0 2501 5 2489
10 2477 15 2466 20 2453
• ¿Qué valor tiene el calor latente (z) a una temperatura de x=12+/-1ºC? ¿Qué error tiene este valor?
(x1)
(x2)
(z1)
(z2)
56
Interpolación Lineal
x1
z2
z1
x2 x
z xxxzzz Δ
−−
=Δ12
12
( )112
121 xx
xxzzzz −
−−
+=
Hipótesis:
A. Error proviene de x
B. Relación lineal 57
En tablas de doble entrada
( ) ( )112
11121
12
112111 yy
yyzzxx
xxzzzz −
−−
+−−−
+=
y1 y2 x1 z11 z12
x2 z21 z22
yyyzzx
xxzzz Δ
−−
+Δ−−
=Δ12
1121
12
1121
58
Programa
• IB. Teoría de Errores. (2h) • Introducción. Errores y conceptos relacionados. Cuantificación de errores.
Expresión de magnitudes físicas. Minimización de errores. Propagación de errores. Interpolación en tablas. Regresión y correlación.
59
Regresión y Correlación (Métodos cuantitativos de análisis gráfico)
• Importancia de las representaciones gráficas • Utilidad de las versiones linealizadas de los
gráficos (X, Y) • Distintas maneras de llevar a cabo una
linealización
60
Regresión Lineal
• El método se llama también “mínimos cuadrados” – La relación analítica que mejor se ajusta a nuestros
datos – La importancia de la elección del variable
“independiente”
61
¿En que dirección?
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
Error despreciable
y = ax + b
62
Suma de cuadrados (Sum of squares)
• Es útil definir la función (Chi-cuadrado):
• Una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal.
• Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada en el origen b son aquellos que minimizan esta desviación total.
( )22 )(∑ +−=i
ii baxyχ
63
χ 2
Mínimos cuadrados (Least Squares)
02
=∂
∂
aχ
02
=∂
∂
bχ
∑ ∑
∑ ∑ ∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
i iii
i i iiiii
xxN
yxyxNa 2
2
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
i iii
i i i iiiiii
xxN
yxxyxb 2
2
2
Como buscar el mínimo de una función cuadrática:
Primera derivada = 0
64
Bondad del ajuste (Goodness of fit)
• El criterio de mínimos cuadrados es objetivo; reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos determinando cuál es la mejor recta.
• Además, da una posibilidad de estimar la bondad del ajuste, a través el coeficiente de correlación (r) entre las variables X e Y
• Muchas veces se presenta su cuadrado (R2).
65
El coeficiente de correlación
)()(),(yVarxVar
yxCov=ρ
>><<−>=<−
=∑ ∑ ∑= = = yxxy
N
yxyxNyxCov
N
i
N
i
N
iiiii
21 1 1),(
22
2
11
2
)( ><−>=<
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑∑== xxN
x
N
xxVar
N
ii
N
ii
22
2
11
2
)( ><−>=<
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑∑== yyN
y
N
yyVar
N
ii
N
ii
11 +≤≤− ρ66
El coeficiente de correlación
• Describe la correlación entre los variables
• r = 0, los variables no son correlacionados • r < 0, los variables son anti-correlacionados • r > 0, los variables son correlacionados
r = 0.95, mucha correlación r = 0.7, correlación, pero no mucho
67
• El cuadrado del coeficiente de correlación (R2) expresa el porcentaje de la varianza en los variables X y Y que explica el modelo lineal
– r=0.95, el modelo explica 90% de la varianza – r=0.7, explica 49% de la varianza – r=0.3, explica 9% de la varianza
68
Otra ventaja del método
• Podemos estimar los errores asociados con los parámetros a y b
)(·
2
xVarNN
aχ
σ =)(·
1
22
xVarN
xN
iiN
b
∑==
χσ
69
En función de r
• Las incertidumbres de a y b también pueden describirse así:
• Estas ecuaciones son muy útiles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste indican a, b y r (ó a veces R2).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−= 11
)2( 2
2
ρσ
Na
a2xab σσ =
70
Incertidumbre de los parámetros de un modelo general
• Al igual que en el caso del modelo lineal, minimización de la función Chi-cuadrado:
• de modo que χmin2 = χ2(a*, b*, …)
• ¿Cómo determinar a*, b*, …? – Procedimiento sofisticado – Diversas teorías y opiniones – Depende de cómo es de no-lineal
( ) 0,...,,**
2
=∂
∂⇔
=aaacbaa χ
71
Es preferible transformar (a lo lineal)
• En general, es preferible • Método: suponemos un modelo y = a ln(x)+b
– Definimos z=ln(x) – Entonces: y = a z + b – Buscamos ajuste lineal entre y & z – Podemos estimar los errores asociados con los
parámetros a y b
72
No gusta hacer muchos cálculos (tocar botones calculadora)
• Muchos cálculos
• Por eso tenemos ordenadores
∑ ∑
∑ ∑ ∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
i iii
i i iiiii
xxN
yxyxNa 2
2
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
i iii
i i i iiiiii
xxN
yxxyxb 2
2
2
)(·
2
xVarNN
aχ
σ =
)(·1
22
xVarN
xN
iiN
b
∑==
χσ
73
74