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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
FACULTAD DE INGENIERIA, CIENCIAS Y ADMINISTRACIÓN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
ESTRATEGIA DIDACTICA COMO APOYO AL APRENDIZAJE DE LA
TRIGONOMETRIA EN ALUMNOS TERCER AÑO DE ENSEÑANZA MEDIA
GONZALO ANDRÉS DONOSO GORMAZ
Tesis para optar al grado de Magíster en Educación Matemática
Nombre Alumno: Gonzalo Donoso Gormaz
Profesor Guía: Víctor Vargas Villegas
Temuco, 2012
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3
Reconocimientos
Expreso mis sinceros agradecimientos:
A aquellos familiares que nunca dejaron de entregar su apoyo y aliento, en especial, a mi
madre que gracias a ella pude lograr este sueño.
A Anita mi compañera del presente y futuro por su constante apoyo en mis actividades
personales y profesionales.
A mi profesor guía, don Víctor Vargas, por sus retroalimentaciones y apoyo durante el
programa.
Además del profesor Carlos Jiménez, cuyo aporte fue fundamental para la elaboración
metodológica de la tesis y realizar los cambios correspondientes.
A la directora del programa, Elena Olivos, por dar una segunda oportunidad para realizar
los ajustes correspondiente a la tesis.
A todos aquellos que hicieron posible esto, al IAPB, Don Renato Muñoz, jefe de docencia y
Myriam Riquelme, directora del establecimiento.
A todos ellos, gracias por todo…
4
Índice
Reconocimientos ................................................................................................................................3
Resumen.............................................................................................................................................6
Introducción .......................................................................................................................................7
CAPÍTULO I. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA (OBJETIVO E
HIPOTESIS) ......................................................................................................................................9
1. Formulación del problema:.........................................................................................................9
1.2 Objetivo general de la Tesis: ......................................................................................................11
1.2.1 Objetivos específicos:.............................................................................................................11
1.3.1 Variables: ..............................................................................................................................11
1.3.2 Operalización de las Variables: .............................................................................................12
CAPÍTULO II. MARCO TEORICO ................................................................................................19
2. 1 Importancia y origen de la trigonometría: ................................................................................19
2.2 Rendimiento de los alumnos en trigonometría: .......................................................................20
2.3 Enseñanza de la trigonometría:..................................................................................................21
2. 4 Estrategias didácticas de la trigonometría: ...............................................................................22
2. 5 Formas de aprendizaje del estudiante: ......................................................................................25
CAPÍTULO III. METODOLOGÍA ..................................................................................................36
3.1 Tipo de investigación: ................................................................................................................36
3.2 Población: .................................................................................................................................36
3.3 Diseño de la investigación: .........................................................................................................37
3.4 Diseño del experimento: .............................................................................................................38
3.4.1 Intervención: ...........................................................................................................................38
3.5 Diseño de la intervención: ..........................................................................................................38
3.6 Instrumentos de recolección de datos: ........................................................................................45
5
3.7 Análisis de la propuesta:.............................................................................................................46
CAPITULO IV. RESULTADOS .....................................................................................................48
4.3 Análisis de datos: ......................................................................................................................55
CAPITULO V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS ..........................................................................67
CAPITULO VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .....................................................70
6.1 CONCLUSIONES .....................................................................................................................70
6.2 RECOMENDACIONES ...........................................................................................................73
6.3 COMENTARIOS .......................................................................................................................75
Bibliografía ......................................................................................................................................76
ANEXOS .........................................................................................................................................77
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Resumen
En esta tesis se elaborará una estrategia didáctica para el proceso de enseñanza -
aprendizaje de la trigonometría en tercero medio utilizando las Tic´s para evaluar su efecto,
orientado al desarrollo de los contenidos de dicha unidad, apoyado de una página
interactiva y uso del internet, y así, los alumnos logren mejores resultados de una manera
más didáctica.
En esta ocasión la unidad considerada es la correspondiente a tercero año medio: Elementos
básicos de la trigonometría, en donde se tomarán dos cursos, con ayuda de un profesor de
planta, que tendrán el carácter de grupo control y otro experimental.
1. Se tomarán dos grupos, uno de control y el otro experimental, en el cual se trabajará
con la activación de conocimientos previos para la unidad. En el primero, se
aplicarán estrategias de aprendizajes tradicionales, mientras que en el otro grupo, las
clases se realizarán en su mayoría en el laboratorio de computación apoyado de
herramientas tecnológicas, como páginas interactivas y uso del internet.
2. Se aplicará un instrumento de evaluación, con la idea de obtener una visión
intermedia de cumplimiento de los objetivos establecidos, para mejorar algunas
situaciones y estrategias para así lograr nuestro propósito.
3. Por último se aplicará una prueba de conocimientos, en el cual se arrojarán datos
cuantitativos para determinar si hay una diferencia en el rendimiento.
Debemos destacar que se aplicarán cuestionarios abiertos y cerrados a los alumnos de
ambos grupos para determinar el grado de aprobación y participación de los alumnos de
ambos grupos en la aplicación de estas estrategias.
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Introducción
Al analizar nuestro diagnóstico sobre la educación en nuestro país, la problemática nos
lleva a responder o establecer un camino de mejoramiento de los aprendizajes de los
alumnos a través de mecanismos constructivistas y desarrollo de estrategias cognitivas de
los alumnos a base de clases grupales apoyados de herramientas tecnológicas y didácticas, a
través de las llamadas tecnologías de información y comunicación (Tic’s).
La influencia de las Tic’s ha sido considerable en el modo de orientar la enseñanza de las
matemáticas a nivel de educación media, diversificada y profesional de tal modo que es
necesario aprovechar al máximo el uso de las herramientas tecnológicas. Según Guzmán
(2000), “ha llegado el momento de que las formas de enseñanza y los mismos contenidos
deben experimentar cambios drásticos, para dar paso a la compresión por parte del
estudiante de los procesos matemáticos, más que en las ejecuciones rutinarias,
preparándolo en el diálogo con las herramientas ya existentes, con lo cual el alumno
estará familiarizado con el uso de las herramientas tecnológicas.”
En esta tesis, abordaremos dos metodologías, una de forma tradicional y la otra ocupando
estrategias didácticas apoyadas de herramientas tecnológicas.
Para la segunda metodología se elaborará una estrategia didáctica para el proceso de
enseñanza - aprendizaje de la trigonometría en tercero medio utilizando las tic´s, apoyados
de una página interactiva y el uso del internet, y así, los alumnos obtengan mejores
resultados basados en estrategias didácticas.
En esta ocasión la unidad considerada es la correspondiente a tercero año medio: Elementos
básicos de la trigonometría. Para validar el material propuesto, se trabajará esta unidad en
el Instituto Agrícola Pascual Baburizza en la ciudad de Los Andes, en donde se tomarán
dos cursos, con ayuda de un profesor de planta, que tendrán el carácter de grupo control y
otro experimental.
Se aplicará en dos cursos, los cuales estarán separados como grupo control y grupo
experimental. Para el primero se trabajará directamente en la sala de clases con
metodologías tradicionales y para el segundo grupo, se trabajará de forma mixta, tanto en la
sala de computación apoyada de herramientas tecnológicas y en la sala de clases para
trabajar con guías dirigidas.
8
La idea de este trabajo es lograr si efectivamente se logra un apoyo con el uso de
estrategias didácticas apoyadas de las Tic´s, en el aprendizaje de la trigonometría y por ello,
instaurar a futuro en todos los cursos de matemática este tipo de estrategias, que puedan
generar en los alumnos competencias de tipo informática y de la especialidad, obteniendo a
corto plazo, resultados mejores en lo que se refiere a evaluaciones externas, llámese Simce
y P.S.U.
Con lo anterior, podemos destacar que el impacto que se desea lograr en los estudiantes, es
el trabajo colaborativo apoyado de las llamadas Tic´s, además de exigir nuevas destrezas y
habilidades que posibilitan nuevos procesos de enseñanza y aprendizaje.
9
De las indagaciones hechas, el docente de Matemática de enseñanza media técnico
profesional presenta una formación deficiente, en cuanto al conocimiento matemático y
metodológico, y realiza sus clases con un esquema didáctico predominante y sesgado al
esquema de enseñar al alumno (modelo pasivo) y no orientar que aprenda el alumno
(modelo activo).
Por otro lado, es una necesidad reajustar contenidos de la trigonometría en un contexto más
simple de manejar e implementar nuevas metodologías activas, como la enseñanza a través
de procesos activos, más didácticos y con participación de los alumnos. Esto nos plantea la
inquietud de este estudio, que nos permite conocer hasta qué punto puede influir la
implementación de nuevas estrategias metodológicas en el logro de resultados académicos
óptimos en los estudios de enseñanza media técnico profesional.
A través de un seguimiento e involucramiento en la problemática de la enseñanza –
aprendizaje de la Matemática, llegamos a determinar algunos problemas básicos, como:
La formación deficiente de los docentes en lo que concierne al conocimiento de los temas
que son materia de su enseñanza;
La falta de capacitación continúa del personal docente, en contenidos y estrategias
metodológicas para la enseñanza de la Matemática;
La falta de innovación y adaptación a la realidad, en la manera de llevar la secuencia de los
contenidos curriculares, durante la enseñanza de la Matemática;
El escaso material bibliográfico para abordar el estudio de la Matemática (Trigonometría) y
los textos vigentes de Matemática son elaborados conforme a la propuesta curricular del
Ministerio de educación, sin un ápice de creatividad ni adecuados a la realidad, los que son
desarrollados en el aula;
CAPÍTULO I. DESCRIPCIÓN Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
(OBJETIVO E HIPOTESIS)
1. Formulación del problema:
10
Falta de elaboración y manejo de materiales y medios didácticos en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la trigonometría;
La falta de elementos motivadores y de uso de la tecnología computacional durante el
proceso de enseñanza - aprendizaje de la Matemática y;
La casi nula actitud participativa individual y grupal de los alumnos en sus procesos de
aprendizajes, debido al uso de una metodología que concibe el aprendizaje como un
conjunto de acciones mecánicas que se limitan a dar contenidos acabados, como recetarios,
formando en los estudiantes hábitos perniciosos como el memorismo y el conformismo.
Los problemas señalados tienen un grado de repercusión para que se cumpla, con cierta
eficacia, la labor docente y, consecuentemente, la aceptable formación matemática de los
alumnos; los mismos que se deben implementar e innovar acorde al avance de la ciencia y
la tecnología, teniendo en cuenta el entorno escolar como el modelo del sistema educativo,
los métodos y sistemas de enseñanza, la labor de los profesores, la comunicación en el
centro educativo, presencia de padres de familia y alumnos en el colegio, medidas para la
atención a la diversidad, etc., y nos orienta a buscar nuevas estrategias de enseñanza que
nos permita lograr aprendizajes cada vez más eficaces y significativos en los educandos.
Para subsanar las deficiencias o debilidades planteadas, consideramos la necesidad de
elaboración, implementación y desarrollo de modelos didácticos activos para el proceso
enseñanza - aprendizaje de la trigonometría, que propicie el aprendizaje eficaz tanto
individual como grupal con mejoras significativas en el conocimiento de la temática.
Con la elaboración, implementación y desarrollo de una estrategia didáctica con el uso de
herramientas tecnológicas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de elementos de la
trigonometría, nuestra pregunta quedaría planteada de la siguiente manera:
1.1.1 ¿Se producirá un apoyo efectivo utilizando en el uso de estrategias didácticas
apoyadas con Tic´s en el aprendizaje de la trigonometría?
1.1 Problema general:
11
2.1 Evaluar el efecto del uso de estrategias didácticas apoyadas con Tic´s en el rendimiento
de conocimientos de la trigonometría.
2.2.1 Conocer estrategias didácticas que apoyen el proceso de enseñanza – aprendizaje de
la trigonometría.
2.2.2 Desarrollar en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la trigonometría, estrategias
didácticas apoyadas con el uso de Tic´s.
2.2.3 Analizar el efecto en el uso de estrategias didácticas apoyadas de las Tic’s.
Las hipótesis de trabajo se formulan en concordancia con el problema y los objetivos
previamente planteados.
El grupo que utiliza una estrategia didáctica apoyada de las Tic´s obtiene mejores
resultados que el grupo que trabaja de forma tradicional.
1.2 Objetivo general de la Tesis:
1.2.1 Objetivos específicos:
1.3 Hipótesis:
1.3.1 Variables:
12
Tipo de Variable
Operalización
Variable Independiente
Proceso de enseñanza - aprendizaje de la unidad de
trigonometría.
Variación: Proceso basado en estrategias didácticas
con apoyo de herramientas tecnológicas.
Variable Dependiente
Efecto en los conocimientos de trigonometría con uso
de estrategias didácticas apoyadas de las Tic’s.
Variable Intervinientes
Elementos del proceso enseñanza-aprendizaje:
Docente, objetivos, contenidos de la unidad,
metodología, medios y material didáctico,
herramientas tecnológicas, evaluaciones, capacidades
de los alumnos, entorno social.
Proceso de enseñanza – aprendizaje de la trigonometría a través de estrategias
didácticas con apoyo de las Tic’s:
1.3.2 Operalización de las Variables:
1.3.3 Variable Independiente:
13
La asignatura se desarrolla utilizando una estrategia didáctica, cuando los elementos y
acciones que se desarrollan por parte del docente y los alumnos cumplen con al menos del
90% de los siguientes indicadores.
Etapa de planificación y preparación del tema:
El docente planifica, diseña y elabora el material previo a un diagnóstico situacional
de los alumnos.
Fija los objetivos y metas susceptibles de ser alcanzados al finalizar de la unidad de
trigonometría.
Organiza los contenidos temáticos en forma coherente, con un nivel de profundidad
adecuado.
Presenta situaciones problemáticas previas al desarrollo de cada unidad del modelo.
Prevé el uso de medios y materiales digitales adicionales al modelo didáctico.
Planifica y diseña los procedimientos de evaluación.
Etapa de presentación de contenidos:
Introduce adecuadamente al tema a través de ejercicios de motivación referidos al
tema.
DOCENTE:
14
Presta asesoría continua a los grupos de trabajo, resolviendo dudas individuales y
grupales.
Permite la participación del alumno, a través de preguntas y dudas sobre el tema y
lo resume de manera apropiada.
Orienta el trabajo grupal e individual y retroalimenta el aprendizaje de los alumnos.
Propicia el autoaprendizaje de los alumnos tanto grupal como individual.
Propicia la autoevaluación, heteroevalución y coevaluación permanente.
Etapa de fijación de contenidos:
Se plantean ejercicios de aplicación de los temas desarrollados.
En la etapa de coevaluación cumple el rol de moderador.
Se realiza un resumen del tema tratado.
Realiza actividades de reforzamiento y realimentación.
Etapa de planificación y preparación del tema:
Participan en forma indirecta en la etapa de planificación, diseño y elaboración del
material a través de sus respuestas en la prueba de diagnóstico.
Tiene escasa participación en la fijación de objetivos y metas.
ALUMNOS:
15
Etapa de presentación de contenidos:
Identifican y asimilan los requisitos antes de estudiar el tema.
Los objetivos y contenidos temáticos conocen con antelación.
Avanzan el estudio del tema de acuerdo a sus habilidades y motivaciones
individuales y grupales orientados por el profesor.
Estudian el material impreso en forma cooperativa, poniendo dinamismo en su
aprendizaje.
Reciben asesoría continua de parte del docente, respecto de las dificultades
individuales y grupales.
Participan en forma activa, a través de preguntas y dudas sobre el tema y lo resumen
de manera apropiada.
Refuerzan su aprendizaje teniendo a su disposición el material de estudio adicional.
Etapa de fijación de contenidos:
Desarrollan los ejercicios de autoevaluación planteados en el modelo didáctico.
Recapitula el tema estudiado.
Participan en forma activa en la etapa de autoevaluación, heteroevalución y
coevaluación permanente.
16
La asignatura se desarrolla utilizando el método tradicional y otro con una metodología
didáctica utilizando herramientas tecnológicas, cuando los elementos y acciones que se
desarrollan por parte del docente y los alumnos cumplen con al menos del 90% de los
siguientes indicadores.
El estudio de las funciones trigonométricas se da a partir de la relación entre lados
del triángulo rectángulo respecto a uno de los ángulos agudos.
Los alumnos avanzan el estudio del tema de acuerdo a la enseñanza que brinda el
profesor.
Se da énfasis en la comunicación oral. Los alumnos tienen escasa posibilidad de
reforzar su aprendizaje con materiales de estudio y se ayudan con la lectura de algunos
textos que imparte el ministerio de educación.
Los objetivos y los contenidos de la asignatura sólo son conocidos por el profesor y
pocas veces por los estudiantes.
Los alumnos son receptores de la enseñanza impartida por el profesor, es frecuente
la realización de trabajos grupales e individuales.
Se incide en la enseñanza de carácter conductual.
Los alumnos reciben sólo evaluación sumativa.
Enseñanza de la trigonometría:
1.3.4 Variable dependiente (Rendimiento en los conocimientos de la unidad de
trigonometría.
17
Rendimiento en los conocimientos de la unidad de trigonometría:
La eficiencia mostrada en el desarrollo de los talleres, en resolver los ejercicios y
problemas tanto en forma individual como grupal, en el grupo experimental; y que se
traduce en el índice académico logrado en la prueba de conocimiento.
.
Notas obtenidas en la prueba de conocimiento.
Actitudes durante las actividades de aprendizaje.
Participación en las actividades de autoevaluación.
Escala de notas:
Escala de Notas Observación
[1,5-3,9] Insuficiente
[4,0-4,9] Suficiente
[5,0-5,9] Bueno
[6,0-7,0] Muy bueno
Definición operacional:
Indicadores:
18
Estas variables son fundamentales en la ejecución de toda acción educativa, e influyen
significativamente en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Docente:
El profesor constituye una de las variables que más influye en el proceso de enseñanza y
aprendizaje, tanto por el grado de conocimiento de la materia que imparte como por su
estilo para presentar y organizar el material de aprendizaje como por su capacidad para
comunicarse y transmitir valores a los alumnos. En la presente tesis, cada grupo estará a
cargo de un solo docente titulado con 5 años de experiencia.
Objetivos:
Lo que se espera que los alumnos logren durante el proceso de enseñanza, formulados en
base a los objetivos de la asignatura y de los lineamientos del Ministerio de Educación. El
docente trabaja con el mismo objetivo general, pero diferentes objetivos específicos.
Contenidos:
Capítulo de trigonometría, organizados en función del logro de los contenidos mínimos
obligatorios y objetivos, dentro del plan curricular del ministerio.
1.3.5 Variables intervinientes: (elementos del proceso enseñanza-aprendizaje):
19
La trigonometría nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se
establecen por medio de triángulos, circunferencia y otros. La trigonometría en la vida real
es muy utilizada para los futuros técnicos agrícolas, ya que podemos medir alturas o
distancias, realizar medición de ángulo, entre otras cosas. Sirve para medir la distancia que
hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triángulo rectángulo,
escaleno, isósceles y de cualquier tipo. Ayuda también para resolver situaciones
problemáticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento científico.
La humanidad siempre ha sentido curiosidad por conocer distancias astronómicas, como la
que ya existe entre la tierra y el Sol. A través de la semejanza de triángulos y relaciones
entre los lados y ángulos de éstos. Se pueden calcular distancias inaccesibles; realizar estos
cálculos, desde la época de los griegos, es la trigonometría.
La Trigonometría surge como medio para satisfacer las necesidades de las investigaciones
astronómicas y su historia se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y
Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y
segundos, que fueron perfeccionados por los griegos quienes establecieron sus
fundamentos. Se considera a Herón de Alejandría y a Hiparco de Nicea (361-127 a.c) como
los creadores de la Trigonometría, pero el nombre se cree que se deba a Bortholomeus
Petescus (1561-1613).
Basándose en los fundamentos de Hiparco de Nicea, Ptolomeo la generaliza las relaciones
entre los lados y ángulos de los triángulos y confecciona una tabla de funciones
trigonométricas para ser usados en los cálculos astronómicos, publicado en el primer libro
CAPÍTULO II. MARCO TEORICO
2. 1 Importancia y origen de la trigonometría:
20
de Almagesto que ha llegado hasta nuestra época. Luego, Isaac Newton (1642-1727)
inventor del cálculo diferencial e integral fundamenta su trabajo en la representación de
muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x,
desarrollando las serie para el sen(x), para el cos(x) y la tg(x), que desempeñan importante
papel en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Leonhard Euler, siglo XVIII, fue el fundador de la trigonometría moderna. A él se debe el
actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y
el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Estudio de las
funciones circulares tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas
trigonométricas” dadas mediante desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Que
forman con las funciones exponenciales, logarítmicas, funciones transcendentes
elementales.
La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de
manifiesto por Euler con una audacia y geniales intuiciones. Así, el estudio de las
Funciones Trigonométricas se fundamenta en el estudio general de las funciones
El estudio de la trigonometría puede convertirse en un proceso memorístico y rutinario, sin
ningún sentido ni utilidad para los alumnos si no se les brindan las condiciones para que
logren una comprensión profunda, dinámica y utilitaria de estos conceptos, sus propiedades
y relaciones. Por esta razón, es importante para los estudiantes que el tema incluya no solo
una serie de conceptos y fórmulas, sino también herramientas y estrategias útiles para
explorar, relacionar, conjeturar y demostrar.
El fenómeno didáctico que nos ocupa es aquel relacionado con la trigonometría, en tanto al
aprendizaje juega un papel importante en el curriculum de tercero medio de enseñanza
media. La investigación en este tema ha entregado evidencias de las dificultades en el
proceso que muestran los estudiantes al manipular, interpretar y contextualizar la
trigonometría, ecuaciones, identidades y funciones vinculadas a ella. Consideremos que el
2.2 Rendimiento de los alumnos en trigonometría:
21
origen de las dificultades reportadas puede situarse en la base de ella, en las razones
trigonométricas, como el momento donde deben construirse los demás elementos. Por
ejemplo, De Moura (2000) reporta en su análisis didáctico, incorrecciones en el uso de la
notación que no son válidas para el estudio de la trigonometría; De Kee, Mura y Dionne
(1996) reportan que el estado de comprensión de las funciones seno y coseno no están bien
asentadas en los alumnos, reportando que generalizan las propiedades de los triángulos
rectángulos a cualquier tipo de triángulo. Por su parte, el análisis didáctico de Maldonado
(2005) muestra que los alumnos no logran profundizar el concepto de función
trigonométrica, al tratar por igual a los grados y a los radianes. Pero el problema no sólo se
relaciona con factores cognitivos. Cavey y Berenson (2005) realizan una investigación
didáctico-cognitiva, donde evidencian la poca instrucción de los docentes de matemática en
la enseñanza de este contenido.
Todo docente que aspira elevar el rendimiento académico de sus alumnos debe llevar con
pertinencia el proceso de enseñanza-aprendizaje. Para ello es necesario que conozca la
evolución histórica del tema, materia de su enseñanza, sepa deducir resultados encuadrados
en conceptos y propiedades de la Matemática en enseñanza media, innovando conceptos
con nuevas tendencias didácticas y con el uso de tecnologías como ayuda para plasmar el
aprendizaje.
Según la National Council of Teachers of Mathematics (1992), el currículum de
matemáticas básicas debe incluir el estudio de la trigonometría para que todos los
estudiantes sean capaces de aplicarlo en la resolución de problemas donde aparecen
triángulos y explorar los fenómenos periódicos del mundo real usando las funciones seno y
coseno en general; luego conocer la conexión que existe entre el comportamiento de las
funciones trigonométricas, aplicar técnicas generales de representación gráfica de funciones
trigonométricas, las propiedades de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones.
2.3 Enseñanza de la trigonometría:
22
Estas funciones, especialmente el seno y el coseno, constituyen modelos matemáticos para
muchos fenómenos periódicos del mundo real, tales como el movimiento circular uniforme,
los cambios de temperatura, los biorritmos, las ondas de sonido y problemas relacionados
con la especialidad agrícola. La exploración de los datos de estos fenómenos deben
desarrollar los docentes a esta unidad en particular, principalmente en tercero medio de
enseñanza media, en donde deben propiciar herramientas para que los alumnos identifiquen
y analicen los modelos trigonométricos.
Actualmente, las calculadoras científicas, el software matemático como el geogebra actúan
como elementos de apoyo para los docentes, al proporcionar más potencia en los cálculos y
visualización del comportamiento de la gráfica, que permiten la adquisición de estructuras
conceptuales y su puesta en práctica con aplicaciones reales.
Los docentes tienen que estar a la vanguardia para el trabajo en el aula, en donde lo más
importante es el avance y mejora de los aprendizajes de los estudiantes.
Numerosas investigaciones dan cuenta de que, en la enseñanza media se deja de lado la
históricamente relegada, en relación con la aritmética, los contenidos de trigonometría
desarrollados muchas veces que se repiten en distintos años sin mayor complejidad y en
otras su proceso de enseñanza - aprendizaje tiene algunos vacios.
Mientras que para otros conocimientos, las prácticas de la enseñanza – aprendizaje de la
matemática se basan en la resolución de problemas, en el trabajo con trigonometría
parecen estar ausentes, privilegiándose actividades centradas en la presentación de los
objetos geométricos y sus propiedades. (Héctor Ponce, 2000).
Asimismo, Berthelot y Salin (1994, p.19) “las características de la enseñanza de la
trigonometría es la presentación ostensiva de los objetos geométricos”.1 El docente
presenta directamente los conocimientos geométricos apoyándose en la observación de una
1 Berthelot y Salin
Matemática para la enseñanza secundaria
OEA
Año 1994.
2. 4 Estrategias didácticas de la trigonometría:
23
realidad sensible o de una representación, y supone que los alumnos son capaces de
apropiarse del contenido y de entender su aplicación en otras situaciones. Señalan también
que la presentación ostensiva puede aparecer como ostentación disfrazada, en lugar de
mostrar al alumno lo que hay que ver, el docente lo disimula aparentando que es el alumno
quien lo descubre.
Las dificultades para comprender la generalidad y la particularidad de la trigonometría se
refuerzan didácticamente por la presentación casi exclusiva de representaciones
estereotipadas. La geometría se representan siempre en las mismas posiciones, el cuadrado
solo puede representarse apoyado en un lado, pues si la figura se apoya en un vértice ya
pasa a llamarse rombo, este tipo de representaciones hace que el alumno piense que la
posición también es una de las características de la figura y que en otras construcciones o
situaciones no pueda reconocerlas fácilmente. Sin embargo, que un alumno aprenda
trigonometría va más allá de que pueda reconocer, nombrar y representar funciones
trigonométricas, sino que debe propiciarse la búsqueda de relaciones entre sus elementos, a
través de la observación comparación y construcción. Debe verbalizar y escribir las
relaciones que descubre, proponer conjeturas sencillas que con los otros alumnos y el
docente discutirán y validarán durante la clase de matemática.
Itzcovich (2005) cuando plantea la entrada en el trabajo argumentativo considera que la
trigonometría es un buen lugar para que los alumnos se vinculen con una manera específica
de producir y validar relaciones. Si bien algunas propiedades se aceptan como punto de
partida, esto no significa que se enuncien sin ninguna interacción con ellas, se pretende que
los alumnos interactúen con los problemas para poder enunciarlas. Por este motivo, las
situaciones que se propongan a los alumnos con la finalidad de indagar, identificar o
reconocer propiedades de la trigonometría deben impactar en procesos intelectuales que
permitan hacer explícitas las características y propiedades de los objetos geométricos, más
allá de los dibujos que utilicen para representar dichas figuras .
El marco de referencia para el análisis didáctico de las actividades propuestas en la tesis
está constituido por la teoría de las situaciones didácticas. Según Brousseau (citado en
Mabel Panizza, 2003) por medio de las situaciones didácticas, el profesor busca provocar
en el estudiante los conflictos que lo lleven a la construcción del conocimiento. Esta
24
construcción del conocimiento, se da en diferentes fases, de tal forma que el alumno
interactúa con el ambiente y va logrando la evolución de las nociones originales. En una
situación didáctica, se destaca la intencionalidad del profesor por lograr un objetivo de
enseñanza previamente establecido.
Se diferencia tres tipos de situaciones didácticas: las situaciones de acción, las de
formulación y las de validación: Una situación es de acción, básicamente, cuando lo que
requiere de los alumnos es que pongan en juego medios de acción; lo que es propio de la
situaciones de formulación es el carácter de necesidad que posee la formulación de un
mensaje: las situaciones de validación requieren necesariamente no sólo la formulación
sino la validación de juicios por parte de los alumnos.( Panizza ,2005)
Brousseau (citado en Patricia Sadosvsky, 2005) atribuye al docente un papel importante en
el proceso de transformación de los conocimientos en saberes .La consideración oficial del
objeto de enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del
docente, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico:
este doble reconocimiento constituye el objeto de la institucionalización.
Una parte fundamental del análisis de una situación didáctica es la identificación de las
variables didácticas que se controlarán y de la gestión que sobre ellas se establecerá, por ser
éstas las que condicionan y organizan los aprendizajes de los alumnos. Brousseau considera
que la modificación de los valores de las variables didácticas permite entonces engendrar, a
partir de una situación, ya sea un campo de problemas correspondientes a un mismo
conocimiento, ya sea un abanico de problemas que corresponden a conocimientos
diferentes. (Citado en Mabel Panizza, 2003).
25
Definición de aprendizaje: “todo aprendizaje es un proceso de maduración en el que desde
los primeros estímulos vamos madurando nuestro sistema nervioso y vamos organizando
nuestro mapa. Esta maduración psíquica y física es el aprendizaje”.
El segundo apartado de tipos de aprendizaje, sería el aprendizaje por descubrimiento: El
aprendizaje por descubrimiento se asocia en general a los niveles de enseñanza primaria y
secundaria, y de hecho, fue una de las primeras alternativas que se ofrecieron al aprendizaje
repetitivo tradicional. Los defensores del aprendizaje por descubrimiento fundamentaban su
propuesta en la teoría de Piaget. Por lo cual, esta teoría alcanzó gran difusión en un
momento en que muchos profesores, especialmente las ciencias, buscaban alternativas al
aprendizaje memorístico generalizado en la enseñanza tradicional.
Por tanto, el aprendizaje por descubrimiento, se basaba en la participación activa de los
alumnos y en la aplicación de los procesos de la ciencia, se postulaba como una alternativa
a los métodos pasivos en la memorización y en la rutina. Por lo que se le puede considerar
una teoría de la enseñanza. El aprendizaje por descubrimiento conoció un gran desarrollo
durante los años 60 y parte de los 70. Diversos proyectos de renovación educativa siguieron
este enfoque en el que se fomenta a toda costa la actividad autónoma de los alumnos. Y el
aprendizaje por descubrimiento presta menor atención a los contenidos concretos y se
centra más en los métodos.
Por ello, de acuerdo con este enfoque, la actividad en clase debería basarse en el
planteamiento, análisis y resolución de sistemas abiertos en las que el sujeto que aprende
pueda construir los principios y leyes científicas. Este sería el método ideal para fomentar
la adquisición de destrezas de pensamiento formal, que a su vez, permitirían al alumno
resolver la mayoría de problemas, en prácticamente cualquier dominio de conocimiento. Y
además, encontrando sus propias soluciones a los problemas, los estudiantes serían capaces
de aprender las cosas haciéndolas y ello haría más probable que las recordaran. Por otra
2. 5 Formas de aprendizaje del estudiante:
26
parte, la implicación activa en el aprendizaje y el contacto directo con la realidad
redundaría en una mayor motivación.
El tercer apartado de tipos de aprendizaje, es por motivación:
La motivación se puede definir, como una disposición interior que impulsa una conducta o
mantiene una conducta. Por necesidad se mantiene la motivación.
Los impulsos, instintos o necesidades internas motivan a actuar de forma determinada. Yo
aprendo lo que necesito y eso me motiva a aprender.
Motivaciones primarias, fisiológicas, son las necesarias
Motivaciones personales, son las de cada uno.
Cuarto punto y último de tipo de aprendizaje, es “Aprender a aprender” estrategias y
técnicas:
El primer paso que se debe de tener cuenta, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, es
tener presente lo que el alumno es capaz de hacer y aprender en un momento determinado.
La concreción curricular que se haga ha de tener en cuenta estas posibilidades, no tan sólo
en referencia a la selección de los objetivos y de los contenidos, sino también en la manera
de planificar las actividades de aprendizaje, de forma que se ajusten a las peculiaridades de
funcionamiento de la organización mental del alumno
El segundo paso, a tener en cuenta en el proceso de enseñanza-aprendizaje el conjunto de
conocimientos previos que ha construido el alumno en sus experiencias educativas
anteriores, escolares o no, o de aprendizajes espontáneos. El alumno que inicia un nuevo
aprendizaje escolar lo hace a partir de los conceptos, concepciones, representaciones y
conocimientos que ha construido en su experiencia previa, y los utilizará como
instrumentos de lectura e interpretación que condicionan el resultado del aprendizaje. Este
principio ha de tenerse especialmente en cuenta en el establecimiento de secuencias de
aprendizaje y también tiene implicaciones para la metodología de enseñanza y para la
evaluación.
El tercer punto a comentar, es el de establecer una diferencia entre lo que el alumno es
capaz de hacer y aprender sólo y lo que es capaz de hacer y aprender con ayuda de otras
personas, observándolas, imitándolas, siguiendo sus instrucciones o colaborando con ellas.
27
La distancia entre estos dos puntos, que Vigotsky llama Zona de Desarrollo Próximo (ZDP)
porque se sitúa entre el nivel de desarrollo efectivo y el nivel de desarrollo potencial,
delimita el margen de incidencia de la acción educativa. En efecto, lo que un alumno en
principio únicamente es capaz de hacer o aprender con la ayuda de otros, podrá hacerlo o
aprenderlo posteriormente él mismo.
El cuarto paso, trata que la clave no se encuentra en si el aprendizaje escolar ha de conceder
prioridad a los contenidos o a los procesos, contrariamente a lo que sugiere la polémica
usual, sino en asegurarse que sea significativo. La distinción entre aprendizaje significativo
y aprendizaje repetitivo, afecta al vínculo entre el nuevo material de aprendizaje y los
conocimientos previos del alumno. Si el nuevo material de aprendizaje se relaciona de
manera sustantiva y no aleatoria con lo que el alumno ya sabe, es decir, si es asimilado a su
estructura cognitiva, nos encontramos en presencia de un aprendizaje significativo y si por
el contrario, el alumno se limita a memorizarlo sin establecer relaciones con sus
conocimientos previos, nos encontraremos en presencia de un aprendizaje repetitivo.
La repercusión del aprendizaje escolar sobre el crecimiento personal del alumno es más
grande cuanto más significativo es, cuanto más significados permite construir. Así pues, lo
realmente importante es que el aprendizaje escolar de conceptos, de procesos, de valores
sea significativo.
El quinto punto que se comenta, es que para el aprendizaje el contenido
ha de ser potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista de su estructura interna
(significatividad lógica; no ha de ser arbitrario ni confuso), como desde el punto de vista de
su asimilación (significatividad psicológica; ha de haber en la estructura psicológica del
alumno).
Por otra parte, se ha de tener una actitud favorable para aprender significativamente, es
decir, el alumno ha de estar motivado por relacionar lo que aprende con lo que sabe.
En sexto lugar, la significatividad del aprendizaje está muy directamente vinculada a su
funcionalidad. Que los conocimientos adquiridos, conceptos, destrezas, valores, normas,
etc. sean funcionales, es decir, que puedan ser efectivamente utilizados cuando las
circunstancias en que se encuentra el alumno lo exijan, ha de ser una preocupación
constante de la educación escolar. Cuanto más numerosas y complejas sean las relaciones
28
establecidas entre el nuevo contenido de aprendizaje y los elementos de la estructura
cognitiva, cuanto más profunda sea su asimilación, en una palabra, cuanto más grande sea
su grado de significatividad del aprendizaje realizado, más grande será también su
funcionalidad, ya que podrá relacionarse con un abanico más amplio de nuevas situaciones
y de nuevos contenidos.
En el séptimo lugar, el proceso mediante el que se produce el aprendizaje significativo
necesita una intensa actividad por parte del alumno, que ha de establecer relaciones entre el
nuevo contenido y los elementos ya disponibles en su estructura cognitiva. Esta actividad,
es de naturaleza fundamentalmente interna y no ha de identificarse con la simple
manipulación o exploración de objetos o situaciones. Este último tipo de actividades es un
medio que puede utilizarse en la educación escolar para estimular la actividad cognitiva
interna directamente implicada en el aprendizaje significativo. No ha de identificarse,
consecuentemente, aprendizaje por descubrimiento con aprendizaje significativo. El
descubrimiento como método de enseñanza, como manera de plantear las actividades
escolares, es no tan sólo una de las vías posibles para llegar al aprendizaje significativo,
pero no es la única ni consigue siempre su propósito inexorablemente.
El octavo punto, trata que es necesario proceder a una reconsideración del papel que se
atribuye habitualmente a la memoria en el aprendizaje escolar. Se ha de distinguir la
memorización mecánica y repetitiva, que tiene poco o nada de interés para el aprendizaje
significativo, de la memorización comprensiva, que es, contrariamente, un ingrediente
fundamental de éste. La memoria no es tan sólo, el recuerdo de lo que se ha aprendido, sino
la base a partir de la que se inician nuevos aprendizajes. Cuanto más rica sea la estructura
cognitiva del alumno, más grande será la posibilidad que pueda construir significados
nuevos, es decir, más grande será la capacidad de aprendizaje significativo. Memorización
comprensiva, funcionalidad del conocimiento y aprendizaje significativo son los tres
vértices de un mismo triángulo.
El noveno punto, trata de la importancia que ha de darse en el aprendizaje escolar a la
adquisición de estrategias cognitivas de exploración y de descubrimiento, de elaboración y
organización de la información, así como al proceso interno de planificación, regulación y
evaluación de la propia actividad.
29
El décimo punto, habla sobre la estructura cognitiva del alumno, que puede concebirse
como un conjunto de esquemas de conocimientos. Los esquemas son un conjunto
organizado de conocimiento, pueden incluir tanto conocimiento como reglas para utilizarlo,
pueden estar compuestos de referencias a otros esquemas, pueden ser específicos o
generales. Rojas (2004), establece "los esquemas son estructuras de datos para representar
conceptos genéricos almacenados en la memoria, aplicables a objetos,
situaciones”.2(p.118).
Los diferentes esquemas de conocimiento que conforman la estructura cognitiva pueden
mantener entre sí relaciones de extensión y complejidad diversa. Todas las funciones que
hemos atribuido a la estructura cognitiva del alumno en la realización de aprendizajes
significativos implican directamente los esquemas de conocimiento: la nueva información
aprendida se almacena en la memoria mediante su incorporación y vinculación a un
esquema o más.
El recuerdo de los aprendizajes previos queda modificado por la construcción de nuevos
esquemas: la memoria es, pues, constructiva; los esquemas pueden distorsionar la nueva
información y forzarla a acomodarla a sus exigencias; los esquemas permiten hacer
inferencias en nuevas situaciones. Aprender a evaluar y a modificar los propios esquemas
de conocimiento es uno de los componentes esenciales del aprender a aprender.
El onceavo punto, comenta la modificación de los esquemas de conocimiento del alumno es
el objetivo de la educación escolar, inspirándonos en el modelo de equilibrio de les
estructuras cognitivas de Piaget, podemos caracterizar la modificación de los esquemas de
conocimiento en el contexto de la educación escolar como un proceso de equilibrio inicial.
En principio, para conseguir que el alumno realice un aprendizaje significativo consiste en
romper el equilibrio inicial de sus esquemas respecto al nuevo contenido de aprendizaje.
Además de conseguir que el alumno se desequilibre, se conciencie y esté motivado para
superar el estado de desequilibrio, a fin de que el aprendizaje sea significativo...
2 Eusebio Rojas
Reflexión del constructivismo
Santiago
Editorial universitaria
2004
30
El doceavo y último punto se comenta, que estos principios e ideas configuran la
concepción constructivista del aprendizaje. El constructivismo no es una teoría psicológica
en sentido estricto, ni tampoco una teoría psicopedagógica que nos dé una explicación
completa, precisa y contrastada empíricamente de como aprenden los alumnos y de la que
pueda resultar prescripciones infalibles sobre cómo se ha de proceder para enseñarlos
mejor.
Hay, no obstante, diversas teorías, tanto en el ámbito del estudio de los procesos psíquicos
como en el ámbito del estudio de los procesos escolares de enseñanza y aprendizaje, que
comparten principios o postulados constructivistas y que coinciden en señalar que el
desarrollo y el aprendizaje humano son básicamente el resultado de un proceso de
construcción, que el hecho humano no se puede entender como el desplegamiento de un
programa inscrito en el código genético ni tampoco como el resultado de una acumulación
y absorción de experiencias.
a) Aprendizaje en base a problemas:
Estrategia didáctica para aprendizaje de la matemática propuesto por Pólya (1967), que
enfatiza la enseñanza del descubrimiento y desarrollo ejercicios apropiados, involucrando
al estudiante en la solución de problemas, generaliza su método en cuatro pasos:
Entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan, y mirar hacia atrás. Según
Pólya para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que
ejecute pasos originales para dar la respuesta, dando un paso creativo en la solución, no
importa que tan pequeño sea, ello distingue un problema de un ejercicio. Hacer ejercicios es
muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas, pues ayuda a aprender conceptos,
propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales se pueden aplicar cuando se
enfrentan a la tarea de resolver problemas.
Luego, este método fue desarrollado por los psicólogos (D´Zurilla y Goldfried, 1971),
como uno de los procedimientos heurísticos para el aprendizaje de la matemática que abre
un panorama en las actividades intelectuales de más amplio nivel, esta estrategia de
aprendizaje de la matemática se da a través de:
1) Presentación y análisis del problema;
31
2) Comprensión del problema: Identificación de datos o informaciones y la incógnita.
3) Aprendizaje de conceptos y propiedades, uso de medios y materiales adecuados.
4) Aplicaciones progresivas de conceptos y propiedades en problemas previos, mando
medio y materiales adecuados;
5) Solución del problema presentado;
6) Respuesta al problema presentado;
7) Otras aplicaciones.
Mediante la presentación y planteamiento de problemas y situaciones problemáticas,
expresamente elaboradas, se orienta al alumno al proceso de aprendizaje de un tema
determinado para la adquisición de conocimientos, desarrollo de habilidades y de actitudes,
lográndose así los objetivos de aprendizaje propuestos; con orientación y guía del profesor
y en el proceso de retroalimentación.
La resolución de problemas juega un papel trascendental en la aproximación a la
problemática de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Se espera que el estudiante
construya su conocimiento matemático al enfrentar, dentro del contexto social del salón de
clase, problemas para los que no conoce de antemano una estrategia de solución apropiada,
para significar un reto y que ponen en juego un conocimiento matemático relevante
(Rico,1988).
A través de este método el alumno manipula los objetos matemáticos, activa su propia
capacidad mental, ejercita su creatividad, reflexiona sobre su propio proceso de
pensamiento a fin de mejorarlo, hace transferencias de estas actividades a otros aspectos de
su trabajo mental, adquiere confianza en sí mismo, se divierte con su propia actividad
mental, se prepara así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida
cotidiana, se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
Ventajas:
Proporciona a los alumnos: capacidad autónoma y crítica para resolver sus
problemas aplicando sus propios procedimientos.
32
Los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra
cultura no se hacen obsoletos
Se realizan trabajos atrayentes, divertidos, satisfactorio, autorrealizador y creativo,
proporcionando el proceso de retroalimentación continua.
Se consolidan hábitos que tienen un valor universal, no limitado al mundo de las
matemáticas
b) Aprendizaje colaborativo:
El Aprendizaje Cooperativo o colaborativo o grupal, es una estrategia pedagógica, en la que
a los estudiantes trabajando en grupos o equipos, desarrollan habilidades de carácter
cognitivo, valorativo y socioafectivo.
El Aprendizaje Cooperativo:
• Es conjugar esfuerzos para alcanzar una meta de aprendizaje común.
• Es más que la ejecución distribuida de una tarea entre los miembros del grupo.
• Es lograr productos que son resultados de la potenciación de los esfuerzos individuales.
• Se produce si cada uno de los miembros del grupo se siente responsable de su propio
aprendizaje, al mismo tiempo que del aprendizaje de los demás.
En el aprendizaje cooperativo se consideran las componentes:
Interdependencia positiva: Cada uno es responsable del aprendizaje de los demás.
Interacción fomentadora: Aliento mutuo y retroalimentación positiva.
Responsabilidad individual: El esfuerzo de cada uno es indispensable para el éxito.
Habilidades interpersonales: Conocimiento mutuo, confianza, aceptación y comunicación
clara.
Procesamiento por el grupo: Análisis y evaluación del funcionamiento grupal.
Para que el aprendizaje cooperativo sea efectivo el docente debe considerar los siguientes
pasos para la planificación, estructuración y manejo de las actividades.
1. Especificar los objetivos de la clase o tema a tratar.
33
2. Establecer con prioridad la forma en que se conformarán los grupos de trabajo.
3. Explicar con claridad a los alumnos la actividad de aprendizaje que se persigue y la
interrelación grupal deseada.
4. Supervisar en forma continua la efectividad de los grupos de aprendizaje cooperativo e
intervenir para enseñar destrezas de colaboración y asistir en el aprendizaje académico
cuando surja la necesidad.
5. Evaluar los logros de los estudiantes y participar en la discusión del grupo sobre la forma
en que colaboraron.
Se espera que los alumnos interactúen entre sí, que compartan ideas y materiales, apoyo y
alegría en los logros académicos de unos y otros, que elaboren y expresen conceptos y
estrategias aprendidas. La evaluación participativa es el sistema recomendado.
En el aprendizaje cooperativo, destacan las estrategias:
• El Tándem (o trabajo en pares), tiene una semejanza a una bicicleta para dos personas
en la cual ambas personas pedalean juntos la bicicleta, avanzando en forma conjunta y con
una dirección determinada (objetivo). Esta estrategia es aplicada en todas las sesiones del
aprendizaje con el modelo.
• El Rally (o trabajo en grupos paralelos): Concurso entre varios grupos de estudio, que
intentan realizar su mejor presentación, propicia la colaboración dentro de los grupos y la
competencia entre ellos. En la enseñanza con modelos, esta estrategia se desarrolla una vez
por semana en el desarrollo grupal del modelo.
• El rompecabezas (o trabajo en grupos cruzados): tiene la estructura de dependencia
mutua, para realizar una tarea con éxito. Los alumnos se ven obligados a cooperar, porque
cada uno dispone sólo de una parte de la información. Una vez que cada uno trasfiera
información a los miembros del grupo e individualmente o en conjunto deben armar sus
piezas de información como rompecabezas. Esta actividad se recomienda, cuando se
distribuye tareas grandes o extensas, y específicas a los integrantes del grupo, o a cada
grupo.
c) Aprendizaje Activo o Método activo:
34
Estrategia metodológica sustentada en el principio de que el alumno sólo aprende bien
cuando lo hace por observación, reflexión y experimentación (auto-formación).
La enseñanza debe ser adaptada a la naturaleza propia de cada alumno (enseñanza
diferenciada); orientado no sólo en su formación intelectual, también a sus aptitudes
manuales, así como a su energía creadora (educación integral); etc.
El aprendizaje activo se caracteriza porque:
• Está centrado en los alumnos. El educando es el eje del sistema educativo y protagonista
de su aprendizaje.
• Parte de las necesidades, intereses, expectativas y/o curiosidades de los estudiantes.
• Se funda en las necesidades de conocer, saber, buscar, elaborar, trabajar, observar,
etc. El docente debe crear o descubrir dichas necesidades.
• Respeta la vocación y espontaneidad de los estudiantes. Las cosas que hagan con agrado
les serán más gratificantes, duraderas y constructivas. No la imposición.
• Permite la comunicación horizontal. El proceso educativo fundamentalmente es un
proceso comunicativo entre el docente y los alumnos entre sí.
• Es vital: El centro educativo toma en cuenta el entorno, haciendo una educación realista,
vital y coherente.
En el aprendizaje activo:
Los alumnos, asumen una función protagónica, activa y dinámica en su proceso formativo,
especialmente en su aprendizaje; desafiados a hacer algo que no saben hacer, es decir
encontrar la respuesta a un problema que reta su imaginación y sus propias habilidades;
trabajando en equipo, solidariamente y cooperando con sus compañeros o en proyectos
individuales y grupales; manteniendo un estado y una mentalidad optimista; tomando en
consideración el decálogo de desarrollo: compañerismo, orden, puntualidad, superación,
respeto a los demás, trabajo, responsabilidad, honradez, solidaridad, perseverancia,
laboriosidad y tolerancia.
35
d) Aprendizaje a través del Computador:
El aprendizaje ayudado por computadoras es un procedimiento que se desprende de la
instrucción programada, propicia un aprendizaje activo-personalizado a través de la
combinación de diferentes medios. Así por ejemplo, cuando el estudiante lee mensajes a
través de la pantalla recibe mensaje similar al libro; si observa gráficos o imágenes, tiene la
función de materiales de imagen fija y gráficos; si escucha un mensaje auditivo tiene la
función de medio auditivo, etc. “A través de este material didáctico se integra las
actividades de estimulación, respuesta y retroalimentación” Ogalde (2000, pág. 84). Entre
algunas ventajas del uso de la computadora en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
destacan:
a) Incrementa o mantiene la atención del alumno durante más tiempo.
b) Reduce el tiempo necesario para aprender una tarea.
c) Permite al alumno interactuar activamente con el material, responder, practicar y probar
cada paso del tema que debe dominar.
d) Permite al estudiante conocer en forma inmediata si sus respuestas fueron o no acertadas,
así como la causa de sus errores.
e) Propicia un alto grado de individualización, el estudiante avanza a su propio ritmo.
36
La presente investigación, más que buscar nuevos conocimientos y campos de
investigación, apunta a la aplicación práctica de conocimientos teóricos y constructivos de
la geometría, en específico la unidad de elementos de trigonometría de dos cursos de tercer
año medio. Es por ello que, considerando su naturaleza y propósitos que persigue, esta tesis
debe ser considerada como una investigación de tipo cuantitativa experimental de corte
transversal.
La investigación experimental busca conocer para hacer, para actuar, para construir, para
modificar; le preocupa la aplicación inmediata sobre una realidad circunstancial, antes que
el desarrollo de un conocimiento de valor universal.
La población la constituyen alumnos de un instituto técnico profesional de la V región,
Alumnos de ambos sexos matriculados en el año 2011, con asistencia regular, que
corresponden al sistema educativo técnico profesional en al área agropecuaria, en donde el
85% pertenece al sector socioeconómico bajo y la gran mayoría de ellos con serios
problemas de vulnerabilidad social.
3.1 Tipo de investigación:
3.2 Población:
CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
37
Para la investigación, se tomarán dos grupos, uno de control y otro experimental.
Para el primero se utilizará una estrategia tradicional en el proceso, para el segundo grupo,
se apoyará con una estrategia didáctica con uso de Tic´s.
Ambos grupos despees de las sesiones trabajadas, serán sometidos a una prueba de
conocimientos tratados en la unidad de trigonometría.
El esquema del diseño, se expresa de la siguiente manera:
Grupo experimental: - XO
Grupo de control:- O
Donde:
X: Apoyo a la enseñanza con estrategias didácticas y uso de herramientas tecnológicas.
O: Prueba de conocimientos
El grupo experimental y de control son independientes organizados como:
Grupo experimental Grupo control
3°A 3°B
3.3 Diseño de la investigación:
38
A partir de las limitaciones del presente estudio se puso especial atención en la selección de
la población para considerar a una institución educativa, por la cantidad de alumnos que
alberga y que al mismo tiempo no presente grupos sectorializados sino, más bien, la
pluralidad. Además, fue el Instituto que facilitó las herramientas necesarias para desarrollar
la investigación, con estudiantes de tercero año medio técnico-profesional.
Sin embargo, es pertinente señalar que ya desde el momento de iniciar las primeras
actividades, el número de alumnos del grupo de control se verá afectado debido al
embarazo de dos alumnas y la cancelación de matrícula de dos alumnos.
Cada sujeto presenta herramientas de trabajo que entrega el establecimiento, no contando
con ellas durante los tiempos que se encuentran fuera de ella.
A continuación se presenta el diseño de cada clase, con sus tres momentos y actividades a
desarrollar durante el proceso.
3.4 Diseño del experimento:
3.5 Diseño de la intervención:
3.4.1 Intervención:
39
Parte 1:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 06/10/2011
06
Introducción a la
unidad. Power point
y video.
Aplicación pre test.
Organizadores
Previos.
Etapas de la clase:
Inicio
Desarrollo Cierre
Para motivar a los alumnos
del grupo experimental se
les presenta un video
descargado de You tube
relacionado con la
astronomía, en el cual se
visualiza la importancia y la
aplicación de la
trigonometría.
Luego de ello se aplica el
Pre – Test para diagnosticar
los conocimientos previos
de los alumnos.
Se presenta en el laboratorio
de computación,
descargando desde el correo
electrónico, una
presentación en Power Point
con las principales
aplicaciones de las
funciones trigonométricas,
generando un foro entre los
alumnos apoyados del
Messenger.
Se inducen los principales
organizadores previos que
deben poseer los alumnos en
elementos básicos de
cálculo, geometría y
algebra.
40
Parte 2:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 20/10/2011
03
Guía didáctica.
Etapas de la clase:
Inicio
Desarrollo Cierre
Se introducen conceptos
básicos poder comenzar con
los elementos básicos de
trigonometría.
Se desarrolla una guía
didáctica en la sala de
computación apoyadas de
internet, trabajando con la
guía didáctica N°1.
El profesor revisa junto con
los alumnos las principales
dudas y realiza una pequeña
retroalimentación de
algunos contenidos
relacionados con la unidad
de aprendizaje.
Parte 3:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 27/10/2011
03
Guía didáctica
Control escrito
41
Etapas de la clase:
Inicio Desarrollo Cierre
Se presenta nuevamente a
los alumnos el power Point
en la sala de computación
para que logren de mejor
forma identificar los
elementos que se les
presentó al principio y así
dar coherencia a lo que
están viendo en la
asignatura.
Los alumnos realizan una
prueba intermedia para así el
docente identifique si ha
habido un avance con
respecto al Post – Test, de lo
contrario trabajar y
retroalimentar nuevamente
los conceptos no afinados en
su totalidad.
El profesor revisa con sus
alumnos las preguntas
realizadas en la prueba
intermedia, en el cual los
alumnos descargaron desde
el correo electrónico la
prueba desarrollada y
generar un pequeño foro
apoyado del Messenger.
Parte 4:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 03/11/2011
06
Uso de páginas
interactivas y
webquest.
Visualizar e
interactuar con un
applet construido en
Geogebra.
Resolver guía
didáctica 2.
Etapas de la clase:
Inicio
Desarrollo Cierre
Se inicia la clase con la
Luego de trabajar con la
Después de visualizar y
42
descarga desde el correo
electrónico del curso un link
en donde los alumnos
visualizan e interactúan con
una página interactiva, la
cual genera aprendizajes
significativos buscando
elementos y con testando
preguntas (Webquest).
página interactiva, los
alumnos manipulan un
applet para ir visualizando el
comportamiento de graficas
de diversas funciones
trigonométricas, logrando
identificar elementos como
periodo, amplitud y
posteriormente llevarlos a la
práctica en lo referente a
elementos de física.
manipular el applet, los
alumnos desarrollan la guía
didáctica N°2, la cual deben
enviarla desarrollada al
correo electrónico del
profesor.
Parte 5:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 17/11/2011
03
Interacción con Edilim
Etapas de la clase:
Inicio
Desarrollo Cierre
Se inicia la clase con una
pequeña inducción del
software Edilim, en el cual
los alumnos encontraron un
banco de imágenes
relacionadas con la
trigonometría.
Se da inicio a contestar una
prueba apoyada con Edilim,
aplicando todos los
conceptos estudiados
anteriormente.
Se revisan las preguntas y el
puntaje logrado por cada
uno de ellos con el Software
Edilim, utilizando
calculadora científica que
posee el computador y
comparando los valores.
43
Parte 6:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 24/11/2011
03
Aplicación prueba
experimental.
Contestar encuestas
de satisfacción.
Etapas de la clase:
Inicio
Desarrollo Cierre
Se afinan algunos
organizadores previos para
abordar la prueba de
conocimientos y aclara
dudas.
Los alumnos finalizan su
prueba y envían la hoja de
respuesta al correo
electrónico del profesor.
Los alumnos contestan las
encuestas de satisfacción en
formato Word y la envían al
correo electrónico del
profesor.
Parte 7:
Fecha Número de Horas Actividades a desarrollar
Jueves 01/12/2011
03
Entrega y revisión de prueba
de conocimientos.
44
Etapas de la clase:
Inicio
Desarrollo Cierre
Se entrega los resultados de
la prueba de conocimientos,
además se analizó el avance
de las tres evaluaciones que
se realizaron durante la
unidad.
Los alumnos retroalimentan
sus respuestas comparando
con las soluciones
entregadas por el profesor
en formato Word,
descargándolas del correo
electrónico del curso.
Finalizamos las actividades
llegando a conclusiones de
la propuesta, sobre la
viabilidad y aplicaciones a
otras unidades y sobre los
resultados del test de
satisfacción.
Nombre de la Actividad Duración Comienzo de la Actividad Horas
Introducción a la unidad.
Conceptos básicos.
.
Organizadores Previos
2 días
Jueves 06/10/2011
06
Clases expositivas elementos
de trigonometría
Guía de ejercicios
2 días
Jueves 20/10/2011
06
Grupo Control:
Unidad: Elementos de Trigonometría.
45
Clases expositivas
aplicaciones de la
trigonometría
1 día
Jueves 03/11/2011
03
Guía control 1.
1 día
Jueves 10/11/2011
03
Clases expositivas
1 día
Jueves 17/11/2011
03
Aplicación prueba de
conocimientos
1 día
jueves 24/11/2011
03
Entrega y revisión de prueba
de conocimientos.
Aplicación encuestas.
1día
Jueves 01/12/2011
03
La metodología general utilizada en la investigación, corresponde a un método
experimental cuantitativo, cuyos instrumentos de recogida de datos será:
3.6 Instrumentos de recolección de datos:
3.6
46
Aplicación prueba de conocimientos al cierre de la unidad para ambos grupos en estudio.
(Ver anexo 3)
Encuesta de satisfacción para el grupo experimental sobre el grado de aprobación de la
metodología empleada y el uso del material didáctico aplicado. (Ver anexo 6).
El análisis se realizará recurriendo al programa Excel y Word, ayudado de estrategias de
estadística descriptiva para la obtención de los resultados.
Se utilizará el cálculo de las medidas de tendencia central (media aritmética, desviación
estándar). Esta diferencia de medias se probaron entre las observaciones descritas en la
última parte del punto relacionado al método de investigación, esperando dilucidar con ello
si la estrategia utilizada es eficaz para estimular el aprendizaje de los alumnos de tercer año
medio.
Utilizaremos gráficos de barras e histogramas que nos apoyan de mejor forma en la
interpretación, además crear una tabla de doble entrada con el grupo control y experimental
sobre las calificaciones obtenidas por ambos cursos.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de
tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los
datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de
tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e
interpretarlos para la toma de decisiones.
Las medidas de dispersión que serán ocupadas será la desviación estándar que nos ayuda a
dilucidar de mejor manera la diferencia que existe entre ambos cursos y además de ella,
calcularemos el rango de ambos cursos. Trabajaremos con asimetrías y medidas de
apuntamiento o curtosis.
3.7 Análisis de la propuesta:
3.7
47
Para este estudio uno de los instrumentos que permitirán obtener información sobre la
satisfacción de las estrategias aplicadas, será el cuestionario, puesto que resulta ser la
materia prima en toda la evaluación del fenómeno educativo el cual se investigará.
En tal sentido se dispondrá de dos cuestionarios uno con la modalidad de preguntas
cerradas destinado a los alumnos, y el otro cuestionario con la modalidad de preguntas
categorizadas con respuestas actitudinales.
Para contrastar las hipótesis consideradas, se aplicará un supuesto normal de los datos, en el
caso de estar los datos distribuidos de forma normal, se aplicará la Prueba T – Student para
muestras independientes y relacionadas.
48
CAPITULO IV. RESULTADOS
3.8
Activación de conocimientos previos
Para el desarrollo de la unidad.
Motivación
Presentación de un
Power point y un
video extraído de
You tube.
Introducción a
la unidad
(elaboración de
material
didáctico).
Trabajo
individual
Guía didáctica de
los elementos de
trigonometría
Descargar del
correo electrónico
e imprimirla.
Control parcial
Con apoyo de
calculadora
científica, se
resuelven
ejercicios y
problemas.
Trabajo
Colaborativo
Uso del
Messenger
Usos de páginas
interactivas
Webquest
Interacción
con
programas y
páginas
extraídas de la
web.
4. 1 Propuesta metodológica para el aprendizaje de la trigonometría con apoyo de
herramientas tecnológicas
49
Resolución de
problemas aplicados
Trabajo
individual
Evaluación 1
apoyado con el
programa Edilim
Evaluación 2
apoyado con el
programa Edilim
Resolver
problemas
aplicados a la
especialidad
apoyado de
páginas
interactivas y
visualizar applet
para visualizar
comportamiento
de la grafica de
las funciones
trigonométricas.
Trabajo
individual
Aplicación
prueba de
conocimiento.
Enviar hoja de
respuesta al
correo
electrónico del
profesor.
Aplicación
encuestas de
satisfacción
Uso de encuestas
digitalizadas
(Formato Word)
Enviar al correo
electrónico del
profesor.
Trabajo
Colaborativo
Revisión prueba de
conocimiento.
Conclusiones
a cerca de las
estrategias
aplicadas en
el desarrollo
de la unidad.
50
Para el proceso de la obtención de los datos se recurrirá a los instrumentos descritos en el
punto anterior, siguiendo una secuencialidad que a continuación se da a conocer:
En la primera fase del trabajo, se realizará una etapa de activación de los conocimientos
previos para el buen desarrollo de la unidad. Es la etapa en la cual se efectúan las acciones
planificadas en la etapa de diseño. En esta etapa existe un primer momento de apresto,
donde se realizan todos los preparativos para poner en marcha de las clases de la unidad de
trigonometría en ambos grupos.
En la segunda fase de desarrollo se aplicarán las guías y se realizarán las clases, tanto en
salas de clases como en laboratorio de computación.
Es en este momento cuando se recolectará el material requerido, se implementarán los
espacios, se informa a los ejecutores, etc. enseguida se aplicarán todas las actividades de
construcción, coordinación de acciones y control.
La tercera fase de evaluación con objetivo de aplicar una prueba de conocimientos de
trigonometría y cuestionarios de evaluaciones y autoevaluación para lograr obtener datos
tanto cuantitativos como cualitativos y así contestar nuestras interrogantes y lograr los
objetivos propuestos.
Corresponde a la ejecución de la evaluación especificada en el diseño.
Las sesiones de clase, tanto en el grupo experimental y de control se llevan a cabo tomando
como referencia el programa oficial de matemática para el tercer año de enseñanza media,
coincidiendo ambos grupos en el objetivo global de la unidad correspondiente a la
Trigonometría.
En el grupo experimental se hace uso de una estrategia didáctica como material educativo
para reforzar la enseñanza, que se complementa con el uso de herramientas tecnológicas.
En el grupo de control se sigue solamente lo que manifiesta el programa.
La experimentación del trabajo se lleva de acuerdo al siguiente cuadro de horas:
51
Tabla N°7: RESUMEN DE TIEMPO TRABAJADO POR AMBOS GRUPOS.
Grupo
Horas
pedagógicas/Semana
N°
Semanas
Total de
Horas Bloque
Experimental 03 09 27 Mañana
Control 03 09 27 Mañana
En el grupo de control todas las clases se desarrollan con la metodología tradicional, no se
usa material didáctico elaborado por el docente, desde la primera sesión se incursiona en el
desarrollo de la temática, y todas las clases se realizan en forma expositiva. El alumno se
limita a escuchar la enseñanza del profesor y cumple sólo con algunas tareas asignadas.
El grupo experimental, en la primera semana, se realizan las siguientes actividades:
Proceso de reforzamiento en los conceptos previos que deben tener los alumnos para que se
ubiquen en la lógica a seguir en el desarrollo del tema.
El grupo experimental, inicia el estudio de la trigonometría en la segunda semana de
septiembre con la estrategia didáctica apoyada de las Tic’s, cuyos contenidos fueron
sistemáticamente elaborado, para cada sesión de aprendizaje.
Correo electrónico:
Se uso tiene como objetivo la descarga del material didáctico elaborado por el docente,
además de fortalecer el buen uso del correo electrónico formal.
Además apoya un sistema de comunicación asincrónica para comunicarse (solamente para
los que poseen acceso a internet desde la casa) con el docente o compañeros de trabajo.
4.2 Apoyo a la estrategia didáctica apoyada de las Tic´s:
52
Web Quest:
Los alumnos del grupo experimental trabajaran con dos webquest seleccionadas para ir
desarrollando de mejor manera conceptos relacionados con la trigonometría, además de
resolver problemas aplicados.
Se trabaja en pareja y su principal función es guiar al alumno en páginas y contestar ciertas
interrogantes sobre la trigonometría para finalmente lograr los conocimientos que se
requieren del contenido.
Organizadores previos:
Se utilizará una presentación en power point para motivar a los alumnos y visualizar los
organizadores previos, es decir, que ayudará a entregar información de tipo introductoria y
contextual.
La idea es apoyar en la activación de los conocimientos previos mediante una presentación
que indica la importancia de la trigonometría y cómo esta requiere de algunos contenidos
matemáticos a reforzar.
53
Edilim:
Programa que ayudará a los alumnos a interactuar con él, además de trabajarlo como una
autoevaluación y así poder mejorar los aprendizajes logrados hasta el momento.
La idea es que los alumnos descarguen desde el correo electrónico del curso, luego de ellos
se utiliza como un libro electrónico de interacción en donde responden preguntas, trabajan
con sopas de letras, buscan la palabra secreta, arrastran objetos, etc., pero de una forma más
didáctica y entretenida.
Messenger:
Los alumnos trabajarán con el correo electrónico Hotmail y en paralelo con el Messenger,
el cual servirá como espacio virtual de interacción para pedir ayuda sobre algunos
ejercicios de las páginas en estudio y que permite compartir discusiones, siempre con la
atenta observación del docente.
La idea de este medio es para poseer una comunicación sincrónica, tanto con sus
compañeros como con el docente.
54
Calculadora científica:
Los alumnos encuentran funciones trigonométricas de ángulos no conocidos para resolver
diferentes situaciones problemáticas.
Apoya a encontrar algunos valores de ángulos no tan conocidos o también como apoyo a
comprobar ciertos resultados.
Applet utilizando Geogebra:
Se utilizará para que los alumnos mediante un applet, visualicen el comportamiento de la
gráfica de las funciones trigonométricas y así poder demostrar algunas propiedades.
Se utilizará como estrategia de descubrimiento ya que el alumno a interactuar con la
herramienta, visualiza el comportamiento de la curva de las funciones trigonométricas,
logrando así a conjeturar ciertas propiedades como al período de la función, la frecuencia,
dominio y recorrido. (Ver anexo 5).
55
En este capítulo se presentan los resultados encontrados, tanto en el grupo experimental
como el grupo de control, incluyendo la interpretación numérica.
El trabajo de análisis se inicia presentando los resultados pre y post test en los grupos
Se aplicó a los alumnos del grupo experimental (3°A), al concluir el proceso de
experimentación de nuestra propuesta, para ver algunos aspectos relacionados al grado de
satisfacción de los alumnos con el uso de la estrategia didáctica experimentada en la
enseñanza de la trigonometría utilizando herramientas tecnológicas.
OBJETIVO: Conocer la opinión sobre el aprendizaje de la trigonometría a través de
estrategias didácticas apoyadas de herramientas tecnológicas.
TABLA Nº8: CUADRO RESUMEN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE LA ENCUESTA
APLICADO A LOS (34) ALUMNOS DEL TERCERO MEDIO A, GRUPO EXPERIMENTAL.
Reactivos
Alternativas
Muy buena
Buena
Regular
Deficiente
N°
Alumnos
% N°
Alumnos
% N°
Alumnos
% N°
Alumnos
%
1. Aprendizaje
logrado sobre
trigonometría.
20
58,82%
10
29,41%
4
11,77%
0
0%
4.3 Análisis de datos:
3.9
4.3.1 Encuesta de satisfacción de la estrategia utilizada:
56
2. Forma de
aplicar el
material.
18
52,94%
22
64,7%
4
11,77%
0
0%
3. Preparación
del material.
29
85,3%
5
14,7%
0
0%
0
0%
4. Contenido del
Modelo
Didáctico.
23
67,64%
7
20,59%
4
11,77%
0
0%
5. Método
utilizado por el
profesor.
28
82,35%
6
17,64%
0
0%
0
0%
6. Utilidad del
Modelo
Didáctico.
26
76,47%
4
11,77%
4
11,77%
0
0%
7. Resultados del
aprendizaje
individual y
grupal.
12
35,29%
18
52,94%
3
8,82%
1
2,94%
57
GRÁFICA Nº 3: Encuesta aplicada al grupo Experimental
1. Sobre el aprendizaje logrado de la Trigonometría: El 29,41% consideran que su
aprendizaje logrado es buena, el 58,82% consideran que el aprendizaje que lograron
fue muy bueno. Opinión coherente a las evaluaciones del post test, en donde el
grupo experimental arrojó mejores resultados.
2. Forma de aplicar el material: El 52,94% consideran que la forma de aplicar el
material es muy buena, el 64,7% opinan que es buena.
3. Respecto a la preparación del material: El 85,3% consideran que la preparación
del material es muy buena, el 14,7% considera que buena. Es decir, los alumnos
están de acuerdo y validan la preparación del material.
4. Respecto al contenido del modelo: El 67,64% consideran que es muy buena y el
20,59% opinan que es buena. En consecuencia el material elaborado tiene acogida y
aceptación por los alumnos para el logro de su aprendizaje.
4.5.2 Interpretación de los resultados:
58
5. Respecto a la motivación para seguir con la estrategia: El 41,17% tienen muy
buena motivación para seguir trabajando con este tipo de estrategia, 29,41% tienen
buena motivación y el restante 14,7% están motivados regularmente. Lo descrito
nos expresa que los alumnos del grupo están motivados en mayoría para seguir
utilizando este tipo de estrategias.
6. Respecto a la utilidad del modelo didáctico: El 76,47% califican de muy bueno la
utilización del modelo didáctico en la enseñanza, el 11,77% considera que tiene
buena utilidad y el 11,77% restante lo califica de regular su utilidad. Es decir, los
alumnos tienen una opinión mayoritaria favorable a la utilidad del modelo.
7. Resultados del aprendizaje individual y grupal: El 35,29% expresan que el
aprendizaje individual y grupal llevado a cabo fue muy buena, el 52,94% lo califica
como buena y sólo el 8,82% lo considera regular. Es decir los alumnos
mayoritariamente consideran que el método de individual y grupal a través del
modelo facilitaron su aprendizaje.
CONCLUSIONES:
Según los resultados de las encuestas aplicadas al grupo experimental, podemos
validar la satisfacción sobre la estrategia aplicada como apoyo a la adquisición de
contenidos de trigonometría
59
Este instrumento de evaluación se aplicó en la penúltima semana antes de finalizar el
trabajo con ambos grupos.
OBJETIVO:
1. Conocer el aprendizaje logrado referente a elementos de trigonometría por los
alumnos de ambos grupos.
2. Comparar el nivel de conocimiento del tópico de funciones trigonométricas entre los
alumnos integrantes del grupo de control y del grupo experimental.
3. Determinar el nivel del logro de los objetivos y metas propuestos en el estudio
aplicando estrategias didácticas apoyadas de herramientas tecnológicas y emitir
juicios válidos con miras a optimizar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
trigonometría.
La elaboración del instrumento de evaluación estuvo a cargo del profesor (docente
investigador), con posterior revisión de U.T.P y colega de la especialidad. La prueba se
administró en paralelo para los dos grupos de trabajo, como prueba de la unidad final de
elementos de la trigonometría cronogramada correspondiente la nota final del curso, cuya
duración fue de 2 horas pedagógicas aproximadamente (90 minutos).
Prueba de conocimientos
60
Grupo Experimental
TABLA Nº 9: CUADRO DE RESULTADOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE CONOCIMIENTOS
DEL GRUPO EXPERIMENTAL.
TABLA Nº 10: CUADRO DATOS ESTADISTICOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE
CONOCIMIENTOS DEL GRUPO EXPERIMENTAL.
Escala de Notas Frecuencia Observación
[1,5-3,9] 3 Insuficiente
[4,0-4,9] 8 Suficiente
[5,0-5,9] 13 Bueno
[6,0-7,0] 10 Muy bueno
Descripción
Valor
Media 5,31
Error típico 0,16
Mediana 5,3
Moda 5,3
4.6.1 Análisis estadístico de resultados; Para descripción de resultados se
utilizaron:
Estudio Estadístico Prueba de conocimientos
Grupo experimental
61
GRAFICA N°4: RESULTADOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE CONOCIMIENTOS DEL
GRUPO EXPEIMENTAL.
Desviación estándar 0,95
Varianza 0,90
Curtosis -0,21
Coeficiente de asimetría -0,42
Rango 3,6
Mínimo 3,2
Máximo 6,8
Suma 180,6
Cuenta 34
62
TABLA Nº 11: CUADRO DE RESULTADOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE
CONOCIMIENTOS DEL GRUPO CONTROL.
Escala de Notas Frecuencia Observación
[1,5-3,9] 7 Insuficiente
[4,0-4,9] 16 Suficiente
[5,0-5,9] 10 Bueno
[6,0-7,0] 2 Muy bueno
TABLA Nº 12: CUADRO DATOS ESTADISTICOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE
CONOCIMIENTOS DEL GRUPO-CONTROL.
Descripción
Valor
Media 4,6
Error típico 0,14
Mediana 4,5
Moda 4,5
Desviación estándar 0,84
Varianza 0,70
Curtosis -0,54
Coeficiente de asimetría 0,17
Rango 3,1
Estudio Estadístico prueba de conocimientos
Grupo Control
63
Mínimo 3,1
Máximo 6,2
Suma 159,4
Cuenta 35
GRÁFICA Nº 5: RESULTADOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE CONOCIMIENTOS DEL
GRUPO-CONTROL.
TABLA Nº 13: CUADRO COMPARATIVO DE EVOLUCIÓN DEL RENDIMIENTO ACADÉMICO
Grupo Control Grupo Experimental Variación
Prueba de
conocimientos
4,6 5,3 + 0,7
64
CONCLUSIONES:
Existe una diferencia significativa en el rendimiento académico de ambos grupos, lo que
indica que se logran mejores aprendizajes con la metodología del grupo experimental.
La aplicación de estrategias didácticas apoyadas de herramientas tecnológicas, mejoran
sustentablemente el aprendizaje de los alumnos, motivándolos a seguir trabajando con este
tipo de herramientas.
Planteamiento de la hipótesis:
Hipótesis alterna (Ha):
El grupo que utiliza una estrategia didáctica apoyada de las Tic´s obtiene mejores
resultados que el grupo que trabaja de forma tradicional.
Hipótesis nula (Ho):
El grupo que utiliza una estrategia didáctica apoyada de las Tic´s no obtiene mejores
resultados que el grupo que trabaja de forma tradicional.
4.6.2 Procedimiento de la Prueba de Hipótesis:
65
Aplicación de la prueba estadística
Sabiendo que los datos se encuentran distribuidos normalmente tenemos que:
El modelo matemático que en seguida se presenta, corresponde a dos muestras
independientes.
Utilizaremos t - student para estos datos:
Procedimiento:
Suma de cuadrados:
Control Experimental
2
2 2( )x x = 45,14
2
1 1( )x x = 57,87
Desviación estándar ponderada.
1 2
45,14 57,87
2 34 35 2
103,011,53746269 1,234
67
c ep
s s
N N
Ecuación t:
1 2
1 2
5,3 4,6
1 1 1 11,234
34 35
0,72,3558
1,234 0,2408
p
x x
N N
66
gl = N1 + N2 -2 = 34+35 - 2 = 67
El valor de t se compara con los valores críticos de la tabla con 67 grados de libertad, y se
obtiene que en el valor más cercano al calculado, la probabilidad es de 0,001 (valor crítico
de t: 2,3358).
Tradicionalmente se utiliza el nivel de significación de 0,05 para este tipo de
investigaciones, 0,001 para el aseguramiento de calidad y precisión, y el de 0,01 para
encuestas políticas.
Para efectos de la presente investigación se ha determinado: 0,05
Decisión:
Como el valor de t es 2,3358 tiene una probabilidad de significancia menor que 0,001;
también es menor que 0,05; propuesto como nivel de significancia, por lo cual se acepta Ha
y se rechaza Ho.
Interpretación:
El grupo que utiliza una estrategia didáctica apoyada de las Tic´s obtiene mejores
resultados que el grupo que trabaja de forma tradicional con un nivel de confianza de
probabilidad menor que 0,001.
67
En esta parte de la tesis se presentan los resultados analizados en el capítulo anterior. Su
contenido permite despejar las interrogantes formuladas en el problema de investigación,
dando cumplimiento al logro de los objetivos trazados y demostrando las hipótesis
planteadas en los capítulos iniciales.
Hipótesis:
El grupo que utiliza una estrategia didáctica apoyada de las Tic´s obtiene mejores
resultados que el grupo que trabaja de forma tradicional.
Tomando en cuenta la validez interna y el resultado de la prueba, inferimos:
El resultado del rendimiento académico de los alumnos, que llevaron el proceso de su
aprendizaje de la asignatura de matemática aplicando estrategias didácticas utilizando
herramientas tecnológicas, muestra una mejora significativa en el aprendizaje de los
alumnos.
El promedio de notas de la prueba de conocimientos del grupo experimental es 5,31
y el promedio del grupo control es 4,6.
La aplicación de la prueba de hipótesis estadística por diferencia de medias ratifica
nuestra hipótesis de trabajo, al aceptarse la hipótesis alternativa.
La varianza del Grupo Experimental es 0,9 y del Grupo de Control 0,7 implicando
que en el grupo experimental existe mayor dispersión de datos (notas) respecto al
promedio.
CAPITULO V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
68
El coeficiente de asimetría del grupo experimental es de -0,42, es decir es una
distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la derecha
del promedio que a su izquierda y el del grupo de control es de 0,17 lo que significa
que es una distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a
la izquierda de la media que a su derecha.
Según los resultados de las encuestas aplicadas al grupo experimental, podemos
destacar este tipo de estrategias como satisfactorio y aplicable para el apoyo del
aprendizaje de los contenidos de la unidad de trigonometría elemental, por lo tanto
es importante diseñar y aplicar un modelo didáctico basado en herramientas
tecnológicas para abordar un estudio secuencial de los elementos de trigonometría,
siguiendo procedimientos metodológicos para la enseñanza individual y grupal, en
donde se mejoran los aprendizajes.
Debemos tener en cuenta que esta estrategia que apoya al aprendizaje de los
alumnos se aplicó a alumnos de tercero medio, en donde cada uno de ellos tiene
acceso a este tipo de herramientas durante las sesiones presenciales de clases.
El instrumento para evaluar los conocimientos finales, solamente fue validado por
expertos en la parte de contenidos, dejando fuera los elementos de criterios de
aplicación para este instrumento.
De lo anterior, se presentan algunas limitaciones como:
La ausencia de la posibilidad de mantener condiciones de estricto control con el fin
de conocer los efectos de variables extrañas sobre los resultados.
El experimento se realizó en una unidad de la asignatura de matemática, en base a
los contenidos mínimos obligatorios (CMO) que asigna el ministerio de educación,
durante 7 semanas de clases con un total de 27 horas pedagógicas.
69
El estudio se centró en el proceso de enseñanza-aprendizaje de elementos de
trigonometría, a través de la administración de pruebas, encuestas, y el análisis de
los resultados obtenidos en el proceso.
La investigación se realizó bajo las restricciones cronológicas que se tiene en los
Colegios e Institutos que se rigen por el Ministerio de Educación
70
Luego de analizar y discutir los resultados de la investigación, se llega a las siguientes
conclusiones:
En ese contexto, los resultados que arroja esta experiencia necesariamente inducen a
conclusiones desde perspectivas cuantitativas y cualitativas.
Se producen efectos positivos en el desarrollo del modelo didáctico durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las funciones trigonométricas a partir del uso de herramientas
tecnológicas para el Tercer Año de Enseñanza Media, logrando así mejores resultados.
La experiencia posibilitó el logro de otras dimensiones profesionales. Desde la perspectiva
del conocimiento de contenido, permitió reforzar aquellos relacionados con la unidad de
trigonometría. Desde la perspectiva del recurso informático, permitió que se formaran una
idea sobre una propuesta metodológica que permite articular la enseñanza tradicional y la
enseñanza en el laboratorio con tópicos curriculares del área temática. Desde la perspectiva
de la percepción, los docentes tienen una visión positiva sobre la posibilidad de realizar
actividades en la sala de computación, conjugando motivación, disciplina, entretenimiento
y aprendizajes. Desde la perspectiva del trabajo colaborativo, queda el precedente que es
posible articular alianzas profesionales que permitan, por un lado enriquecer la experiencia
docente en cuanto a investigar conjuntamente líneas de innovación pedagógica.
Cabe la certeza que si no se implementan este tipo de iniciativas, los docentes de este tipo
de establecimiento, difícilmente podrá incorporar estrategias didácticas apoyadas de
herramientas tecnológicas a su trabajo pedagógico.
La exploración permitió develar algunas fortalezas pedagógicas en el uso de herramientas
tecnológicas para abordar el eje temático de geometría en la unidad de trigonometría. Lo
anterior desde la perspectiva cualitativa tiene relación con conjugar motivación, disciplina,
CAPITULO VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
3.10
6.1 CONCLUSIONES
3.11
71
entretenimiento y aprendizajes. Posibilitar además, el trabajo de los alumnos respetando su
heterogeneidad, permitiendo el trabajo colaborativo entre pares de alumnos y docente.
Finalmente, la exploración ha dejado al descubierto situaciones, en estos establecimientos
educacionales subvencionados, que es necesario recalcar:
Los alumnos desarrollaron las actividades con gran entusiasmo porque el computador les
permitió acceder a información y conocimientos de su interés de una forma atractiva, fácil
de entender y retroalimentándose constantemente de acuerdo a las necesidades de los
usuarios.
Aquello nos lleva a que la consecución del objetivo perseguido contenga muchos elementos
pendientes, así como desafíos muy importantes para todo el sistema educativo,
especialmente a través de aspectos como:
El uso de estrategias didácticas con apoyo de herramientas tecnológicas para el
estudio de la unidad de trigonometría en tercero año medio, permite tener una visión
integral del proceso de aprendizaje de los alumnos y conduce a la adquisición de
mejores conocimientos, respecto de quienes abordaron el tema en forma pasiva, con
exposición del profesor y participación casi nula del alumno en clase, como se
constató durante el trabajo de campo.
La aceleración de la evolución de la tecnología no debe impedir una adecuada
elección, desarrollo y consolidación de los modelos exitosos de trabajo con la
misma en educación tradicional, que pueden ir de la mano con otros tipos de
enseñanzas que ayude a los alumnos a construir sus aprendizajes.
Debe aprovecharse adecuadamente la "era del conocimiento" para potenciar tanto
las relaciones y trabajo cooperativo en el interior de un sistema educativo concreto,
como para fomentar la comunicación entre los miembros de los sistemas educativos
de distintas comunidades o países.
Sólo con un trabajo continuado, teniendo presentes los desafíos mencionados, podrá
la tecnología de la información contribuir a la evolución de la calidad de la
72
educación en la medida de las esperanzas que en ella hay puestas y de las exigencias
de la sociedad.
Los alumnos que llevan a cabo el proceso de aprendizaje con estrategias didácticas
(grupo experimental) muestran mayor motivación y predisposición para el estudio y
aprendizaje de los temas desarrollados y por el logro de los objetivos propuestos a
diferencia de los alumnos del grupo de control, los mismos que se expresan en las
actitudes que muestran para el aprendizaje, en la encuesta, y en los resultados de las
evaluaciones de proceso y de salida.
El uso de este tipo de estrategias didácticas posibilitan un trabajo consciente,
responsable, con libertad y autonomía del alumno, tanto individual como grupal.
donde el docente tiene la misión de motivar y orientar el aprendizaje en clase.
Asimismo, la relación profesor-alumno, alumno-alumno sufren cambios
significativos, que se manifiestan en el cambio de conducta y los hábitos de estudio
desarrollados en los alumnos del grupo experimental.
La implementación de estrategias didácticas apoyada de herramientas tecnológicas
en la unidad de trigonometría de tercero año medio, estimula el aprendizaje de la
trigonometría tanto en su aspecto formativo, funcional e instrumental. El mismo que
ha sido comprobado con el análisis estadístico del Post test “por diferencia de
medias”, del grupo experimental y de control, que arroja una diferencia
estadísticamente significativa.
73
Por todo lo encontrado en el presente estudio, se recomienda:
Proporcionar a los estudiantes de tercer año medio del Instituto Agrícola Pascual
Baburizza, una estimulación adicional que conlleve a la adquisición de nuevas
estrategias que le permitan ampliar sus conocimientos de la geometría, en lo que se
refiere a la unidad de trigonometría.
Capacitar a los docentes del Agrícola Pascual Baburizza en temas relacionados al
desarrollo constructivo y didáctico mediante cursos de informática educativa
entregados por el ministerio de educación del país, a fin de que ajusten su
metodología y apliquen programas de estimulación pertinentes a la etapa del
desarrollo cognitivo en que se encuentren sus alumnos.
Evaluar a los alumnos que están por iniciar su enseñanza media a fin de elaborar un
perfil y estimularlos de manera sistemática con la finalidad de evitar o disminuir el
fracaso escolar a causa de un rendimiento deficiente.
Que los profesores cumplan con los objetivos básicos de sus áreas, enfocándolos
hacia la estimulación y uso del pensamiento lógico y constructivo de sus alumnos,
y no tanto hacia aplicaciones mecánicas, posibilitando de esta manera que sus
adquisiciones se trasladen a diversas situaciones.
Replicar la presente investigación con estudiantes de diferentes niveles, inclusive
del nivel superior, para comprobar la efectividad de la investigación aplicada.
6.2 RECOMENDACIONES
3.12
74
Desarrollar este tipo de investigaciones con niños de comunidades rurales con el
propósito de conocer mejor la capacidad cognitiva y aprendizaje de la trigonometría
de los alumnos de diferentes realidades.
Cuando se enseña trigonometría en tercero medio se debe tener en cuenta los
requisitos que debe poseer el alumno para mejor comprensión de los tópicos que se
desarrolle.
Trabajar usando taxonomías o niveles de conocimiento en la categorización y
adquisición de conocimientos en el proceso enseñanza-aprendizaje.
Propiciar la experimentación de estrategias didácticas de enseñanza individual y
grupal acorde a las exigencias de la realidad, con miras a optimizar el aprendizaje
de los alumnos.
Implementar el uso de las herramientas tecnológicas de actualidad: calculadoras,
chat, páginas interactivas, software matemáticos, en la resolución de problemas
referido a la unidad de trigonometría y otros contenidos de enseñanza media.
Sugerir a los sostenedores y directores de instituciones educativas dar apoyo e
incentivos a los docentes que propicien innovaciones en la enseñanza; tales como la
elaboración y uso de nuevas estrategias didácticas apoyadas de herramientas
tecnológicas con miras a lograr resultados eficaces en su labor docente.
75
El uso de las herramientas de informática educativa y otros recursos tecnológicos en la
escuela se han convertido en un gran aliado para el desarrollo de habilidades y destrezas,
como también para el afianzamiento de los Objetivos Transversales, transformándose los
recursos tecnológicos en herramientas de apoyo para el aprendizaje de los Contenidos
Mínimos Obligatorios que plantea la Reforma Educacional.
Lamentablemente, aún no se logra un acceso pleno del docente a este cambio y se pierde
mucho tiempo convenciendo a éstos de lo positivo que trae dicha tecnología,
manteniéndose aún en el plumón y el pizarrón, presentando una cantidad enorme de
ejercicios que no provocan estimular la participación de los alumnos.
6.3 COMENTARIOS
3.13
76
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Web Gabriel Rada. (2007). Intervalos de confianza.
Disponible en:
http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM
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Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Fundación Andrónico Luksic A
Guía Didáctica N°1
Trigonometría Tercero Medio
Grupo Experimental
Instrucciones generales:
Dispone de dos clases aproximadamente para realizar la guía.
Lee atentamente y realiza apuntes en tu cuaderno con los conceptos más
relevantes y ejemplos.
Criterios de evaluación:
C1: Definir algunos organizadores previos relativos a de ángulos y sistemas de
mediciones.
C2: Analizar y aplicar funciones trigonométricas en ejercicios y problemas.
C3: Resolver guía de ejercicios con problemas y ejercicios relativos a la especialidad,
ocupando funciones trigonométricas básicas y teorema del seno.
Introducción
ANEXOS
3.14
ANEXO 1
81
Para estudiar trigonometría, tomas como base de estudio los triángulos rectángulos para
hallar las relaciones entre los lados y uno de sus ángulos.
La palabra trigonometría proviene del griego trí = tres, gono = ángulo y metría = medida.
Es la parte de la Matemática que ayuda a resolver problemas relacionando y haciendo
cálculos con las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo. En esta Unidad
estudiarás básicamente sólo un sistemas de medición de ángulos, aunque se menciona un
segundo sistema, para luego introducir las principales funciones trigonométricas: seno,
coseno y tangente, observando su relación en los distintos cuadrantes. Estos recursos
ayudarán a resolver problemas como el siguiente: ¿Cómo medir el ancho de un río sin
cruzarlo? Suponer que se tiene aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no
se puede cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse
perpendicularmente al río, donde hay un camino.
¿Cómo medir el ancho del río? Este y otros problemas similares han podido ser resueltos
desde la antigüedad utilizando las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados
de los triángulos. En esta unidad también recordarás algunas de ellas.
Organizadores previos:
Ángulo:
Un ángulo α es la porción de la abertura determinada por dos semirrectas 1l y 2l con un
origen común O.
En el dibujo, llamaremos ángulo AOB ó AOB
Ejemplo:
Ángulo nulo: Aquel que mide 0°
82
Ángulo recto: Aquel que mide 90°
Ángulo extendido: Aquel que mide 180°
Ángulo Completo: Aquel que mide 360°
Al colocar el origen de un ángulo α = AOB en el origen de coordenadas y se logra
coincidir el lado inicial 1l con el semieje positivo de las x, entonces el lado terminal
2l quedará en algún cuadrante.
83
2l está en el primer cuadrante
2l está en el segundo cuadrante
De esta manera, se puede hablar del cuadrante al que pertenece un ángulo α. Por definición,
los ángulos agudos son los que pertenecen al primer cuadrante.
Sistemas de medición de ángulos:
Para medir la amplitud de un ángulo tenemos diferentes sistemas de medición.
Sistema Sexagesimal:
El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de medida la 90-ava parte de un
ángulo recto. Se denomina a dicha unidad grado sexagesimal y se la denota 1º. A la 60-ava
parte de un grado se la llama minuto y se la denota 1’ y la 60-ava parte de un minuto se la
denomina segundo y se denota 1''
Para que trabajes con más precisión, se consideran décimas, centésimas, etc. de segundo.
Ejemplos:
84
Un ángulo recto mide 90º.
Un ángulo llano mide 180º.
3) Expresar en grados, minutos y segundos el ángulo que mide 30,28º.
En principio se separa la parte entera y la parte decimal de 30,28º
30,28º = 30º + 0,28º
Ahora, usando proporcionalidad directa se calcula cuántos minutos son 0,28º.
1 60 '
0,28
60 0,28 16,80 '
x
x
Al separar la parte entera y la parte decimal de los minutos 16.80’= 16' + 0,80' Con la regla
de tres simple calculamos ahora cuántos segundos son 0,80'.
1' 60 ''
0,80 '
60 0,80 48''
x
x
Así se obtiene: 30,28º = 30º 16' 48''
Sistema radial:
Un radián representa la medida de un ángulo central de una circunferencia, de modo tal
que la longitud del arco comprendido sea igual al radio de la circunferencia y se denota por
1 rad. El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de distintos arcos
de circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales medidos en radianes.
Luego, se obtiene que la longitud de la circunferencia de centro O es:
2 360rad
En donde:
85
180rad
1801rad
Se podría llegar a pensar que el valor de un radián depende de la circunferencia elegida
para formular la definición. Al observar que si el radio
de una circunferencia se duplica, el perímetro también
se duplica.
En consecuencia, el arco correspondiente a un ángulo central también se duplica.
Siguiendo este razonamiento, se afirma que la definición no depende de la circunferencia
elegida.
Paso de radianes a grados y de grados a radianes
Siguiendo la definición, a un ángulo de 2 radianes le corresponderá un arco de
circunferencia que mide dos veces el radio.
360 2 rad
86
Como la longitud de la circunferencia es 2πr, el número de radianes de un ángulo de un
giro es 2π, ya que es el número de veces que el radio está contenido en la longitud de la
circunferencia, es decir:
Otras equivalencias entre los dos sistemas son:
Ejemplos:
a) ¿Cuántos radianes son 225º?
b) ¿Cuántos grados son 6π radianes?
87
Motivación:
Edificio y árbol, ¿qué altura tienen?
Joaquín es un joven inquieto, y entre muchas cosas que le llaman la atención es que cada
vez que él camina, la longitud de su sombra cambia. Joaquín quiere cerciorarse de que esto
no solo sucede con él, sino con todas las cosas que puedan generar sombra, como un
edificio, una casa o un árbol. Así, Joaquín decide hacer un esquema en el cual pueda anotar
sus conclusiones.
Está un poco complicado, ya que la posición del sol va variando cada hora. Por eso, le
pregunta a su abuelo Manuel cómo se puede calcular la sombra de su cuerpo o del edificio
sabiendo que el sol varía cada hora. Entonces, su abuelo le explica que para ello debe
conocer el ángulo de inclinación y la longitud de la sombra que el cuerpo genera. Joaquín
investiga acerca de la relación que existe entre longitudes y ángulos. Joaquín piensa que en
un triángulo rectángulo, estableciendo algunas relaciones entre medidas de ángulos y de
longitudes de lados, tal vez pueda hallar una medida que no pueda obtener en forma directa.
Es decir, hacer una medición indirecta. Una estrategia de esta naturaleza sería muy
apropiada si lo que se quiere medir es muy inaccesible ya sea por dificultades del terreno u
otra razón. Para ello, Joaquín investiga más sobre la trigonometría y sus propiedades.
¿Cuántas relaciones encontrará Joaquín?, ¿en qué se basan esas relaciones?
Actividad de
Motivación
88
Cateto 1 Hipotenusa
Cateto 2
Estas son las típicas preguntas que puedes contestar, para ello, debes aplicar conceptos de
trigonometría, que a continuación se trabajarán.
¿Cómo se define un Triángulo Rectángulo?
Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto (de 90°).
El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa es el lado de mayor longitud y los otros
dos lados se llaman catetos.
Con referencia a la figura debajo detallada, para realizar el estudio, se tiene en cuenta que, a
cada uno de sus otros dos lados se lo llaman catetos, al lado vertical lo llamaremos cateto 1
y al lado horizontal cateto 2.
Trigonometría es una rama muy utilizada de la matemática como por ejemplo, en geometría
y en ingeniería.
Razones Trigonométricas:
Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de
un triángulo con los ángulos agudos del mismo.
89
Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Razones Trigonométricas de un triángulo rectángulo:
Si se observa alrededor existen muchas construcciones creadas o realizadas los seres
humanos, que presentan figuras geométricas y por tanto tienen ángulos.
Primer Trabajo:
Material Necesario: 1 hoja de papel, regla y transportador
Toma una hoja de papel y se dobla por una de sus diagonales, como se muestra en la
imagen de abajo.
Con la regla, realiza las mediciones correspondientes de los lados de los dos
triángulos formados. Observa que los lados de cada uno de los triángulos formados,
se corresponden por tener igual longitud.
Ahora, con el transportador, mide los ángulos de dos triángulos rectángulos
formado. Se puede concluir que son congruentes, o sea, que los ángulos de ambos
triángulos se corresponden con igual amplitud.
Hoja de papel Doblar por una de sus diagonales Triángulos Formados
90
Responde:
¿Pudiste comprobar que la suma de sus tres ángulos interiores es igual a 180°?
Ahora trabaja con la calculadora para responder la siguiente pregunta:
¿Se puede saber el ángulo que se forma en su base, si en vez de usar un transportador para
medir sus ángulos, solo se cuenta con una calculadora científica y teniendo como únicos
datos la medida de los dos catetos?
El procedimiento es muy simple, (tomando como referencia uno de los triángulos
rectángulos detallados en la figura anterior), se miden sus catetos (llamar al cateto
horizontal X y al cateto vertical Y, como referencia a este triángulo rectángulo) y realizar
en la calculadora: arc tan del cociente entre la medida del cateto Y y la medida del cateto X.
En lenguaje simbólico: arc tan (Y/X).
El valor dado por la calculadora nos suministra un resultado de la operación realizada en el
sistema decimal.
Ejemplo:
Si la medida X = 22 cm y la medida Y = 12 cm, entonces, el
valor obtenido del ángulo será = 28.61045967. Utiliza la
calculadora para comprobar.
Ahora observar una de las paredes de la sala de clases,
tiene una longitud demasiado grande como para
dibujar una diagonal que la divida en dos triángulos
rectángulos iguales, entonces, ¿cómo calcular la
longitud de esta diagonal?
Para poder calcularlo, se debes estudiar las razones trigonométricas que relacionan los
lados y ángulos de todo triángulo rectángulo. Para comenzar, recordar lo siguiente:
Ángulo de
referencia: Lado Nombre Segmento
a Cateto Opuesto CB
91
Todo ángulo está directamente relacionado con su lado opuesto: a menor
ángulo menor lado y a mayor ángulo mayor lado. cómo se demuestra en la figura del
ejemplo anterior.
Ahora se definen las razones trigonométricas tomando como referencia el ángulo α de
triángulo debajo detallado.
Ejercicios:
Teniendo en cuenta las relaciones seno, coseno y tangente vistas anteriormente:
a) Completa el siguiente cuadro utilizando las relaciones trigonométricas
correspondientes:
c Cateto Adyacente AB
b Hipotenusa AC
Ejercicio N° Función Ángulo Cateto
Opuesto
Cateto
Adyacente Hipotenusa
1 sen 30° 10
2 sen 90° 20
3 cos 45° 15
92
b) Construye los correspondientes gráficos detallados para cada ejercicio y
contesta las siguientes preguntas:
¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un mástil de 24 metros proyecta una
sombra de 16 metros?
El perímetro de un triángulo isósceles es de 26 cm y su base mide 10 cm. ¿Cuál es
el valor de sus ángulos interiores?
¿Cuál es la altura de una antena si una persona que se encuentra a 250 de su base,
observa su punta bajo un ángulo de 45°?
2° Parte: La circunferencia trigonométrica
Se denomina circunferencia trigonométrica a aquella de radio 1, con centro en el origen de
las coordenadas.
La rotación de la semirecta (que se denomina radio trigonométrico o hipotenusa) con el
centro en el punto O y el ángulo de giro (α), corta a la circunferencia en un punto (a, b) y
esto determina un triángulo rectángulo. Como se muestra en las figuras de arriba.
4 cos 60° 25
5 tan 30° 5
6 tan 45° 8
7 tan 60° 2
93
Signo de las relaciones trigonométricas:
Para determinar el signo de las relaciones trigonométricas, debes conocer a qué cuadrante
pertenece el ángulo y los signos de las coordenadas del punto (a, b)
Con referencia al cuadro, relacionándolo con la siguiente tabla, puedes ver la relación que
existe.
Ángulos Cuadrante Signo eje X Signo eje Y
De 0° a 90° I + +
90° a 180° II - +
180° a 270° III - -
270° a 360° IV + -
¿Cómo serán los signos de las funciones seno, coseno y tangente en cada cuadrante?
Cuadrante sen(y) cos(x) tan(y/x)
I - 0° a 90° + + +
II - 90° a 180° + - -
III - 180° a 270° - - +
IV - 270° a 360° - + -
94
Tarea: Busca con apoyo de la calculadora los siguientes valores con dos decimales.
Ángulo ( )
Cuadrante
Valor sen( ) Valor cos( ) Valor tan( )
10°
45°
80°
120°
210°
265°
300°
355°
Gráficos de las funciones seno, coseno y tangente:
Como las funciones trigonométricas se basan en las relaciones trigonométricas, éstas se
pueden graficar.
Función Seno: sen(α)
Tarea: Completa el siguiente cuadro con el valor de la medida (en el eje Y) de los
siguientes ángulos (en el eje X), en el gráfico de la función Seno. (Para los otros ángulos,
utiliza calculadora).
Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°
Valor
Cuadrante
95
Función Coseno: cos(α)
Tarea: Completa el siguiente cuadro con el valor de la medida (en el eje Y) de los
siguientes ángulos (en el eje X), en el gráfico de la función coseno. (Para los otros ángulos,
utiliza calculadora).
Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°
Valor
Cuadrante
Función Tangente: tan(α)
Tarea: Completa el siguiente cuadro con el valor de la medida (en el eje Y) de los
siguientes ángulos (en el eje X), en el gráfico de la función Tangente. (Para los otros
ángulos, utiliza calculadora).
96
Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°
Valor
Cuadrante
Identidades trigonométricas
Funciones trigonométricas:
Funciones trigonométricas en función de las otras:
A partir de las funciones trigonométricas conocidas, construye al menos cinco
identidades trigonométricas.
97
Guía de ejercicios y problemas aplicados
I) Selección múltiple:
1. Encuentra la altura del árbol que se encuentra en el IAPB, sabiendo que la distancia de
este árbol a un alumno es de 12 metros, además este alumno mide 1,5 metros observando
con un ángulo de elevación de 45º.
2. Calcula la altura de un silo que se ubica en el parque central del instituto, sabiendo que
el ángulo de elevación es de 45º y el lado adyacente al ángulo de elevación es de 8/5
metros.
3. Una escalera que se utiliza para cosechar árboles frutales, apoya su pie a 3 metros de un
tronco. La parte superior se apoya justo en la cima del árbol. El ángulo formado entre el
piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es:
a) 32 m. b) 23 m. c) 6 m. d) 8 m. e) No se puede
determinar
a) 12, 5 m
b) 13,5 m c) 10 m
d) 11 m
e) n.a
a) 6 m
b) 7 m c) 1,6 m
d) 2 m e) n.a
98
4. El valor de la expresión 2 2(30º ) cos ( ) 26
sen
es igual a:
a) 1 b) 23 c) 6 d) -2 e) n.a
5. Si 3
tan 30º3
, entonces el valor de la expresión 2 22 (tan(30º )) (tan( ))6
es igual a:
a) 1 b) 23 c) 3 d) 3 e) n.a
II) Desarrollo:
1. Calcula la distancia entre el punto B del terreno agrícola al punto C, sabiendo las
medidas de unos lados, sabiendo que el terreno es plano:
Respuesta:…………………………………………….
99
2.
a) Demuestra la identidad trigonométrica.
b) Transforma de radianes a grados.
a) 21 12sec ( )
1 ( ) 1 ( )sen sen
b)
2
3
Respuesta:……………………………………………
Respuesta:………………………
3. Encuentra la distancia del segmento BC , sabiendo los datos que entrega la figura
4. (Ocupar teorema del seno).
Respuesta:……………………………………………
100
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Fundación Andrónico Luksic A
Guía Didáctica N°2 función Seno en Geogebra
Trigonometría Tercero Medio
Grupo Experimental
Instrucciones generales:
Lee atentamente las preguntas y responder en donde corresponda.
Dispone de 1 hora 30 minutos aproximadamente para realizar la guía.
Utiliza el programa geogebra para graficar e interpretar el
comportamiento de la curva de funciones trigonométricas.
Utiliza los computadores del laboratorio, cuidando los implementos y
cerrando los programas ejecutados.
Criterios de evaluación:
C1: Manipular el programa geogebra, graficando funciones trigonométricas.
C2: Analizar el comportamiento de la gráfica de funciones trigonométricas.
C3: Motivar a los alumnos sobre el uso de applet utilizando el programa geogebra.
Unidad: Funciones Trigonométricas
Contenido: Gráfica Función Seno, coseno y tangente.
ANEXO 2
101
Introducción
El propósito de esta guía es poder visualizar por medio del gráfico de la función algunas de
las propiedades del sen (x), tales como el dominio, recorrido, amplitud y período. Además
veremos el desfase y el desplazamiento en el eje Y.
El siguiente Applet creado en geogebra consta de cuatro deslizadores (Fig. 1) que ofrecen
la posibilidad de modificar los coeficientes numéricos para así poder apreciar el
comportamiento de la función de la forma:
En geogebra la función quedará así:
Fig. 1
De tal modo que cada uno de los cuatro deslizadores puede tomar valores del intervalo [-5,
5]
Para poder hacer uso de los deslizadores, debes seleccionar “elige y mueve” en la barra de
herramientas (Fig.2).
Fig. 2
f(x) = a*sen (b*x + c) +d
102
Luego debes ir al deslizador, posicionarse en el círculo de éste y moverlo (Fig.3)
Fig. 3
Pues bien, ahora que se sabe cómo funciona el applet creado en el procesador geométrico
geogebra, se abordará la gráfica de la función seno, la cual obedece básicamente a esta
forma (Fig. 4), pero ¿qué determina la amplitud?, ¿si la amplitud varía, el recorrido sigue
siendo el mismo?, Son algunas de las interrogantes que pueden surgir al ver el gráfico.
Fig. 4
La actividad se inicia investigando que sucede cada vez que muevas los deslizadores y la
idea es que observes qué cambios va sufriendo la gráfica de la función y ésta misma en su
forma algebraica.
¿Qué ocurre cuando el valor absoluto de a es distinto de 1? ¿Puede ser cero?
Justificar:
103
Al modificar el valor de c ¿Qué cambios se pueden observar?, Explicar:
¿Qué cambio(s) ocurre(n) en la gráfica al modificar el valor de d?
¿Para qué valores de x, sen(x) toma el mismo valor?, ¿Afecta a esto el valor de b?,
¿Qué es el período?
104
Una vez analizada las preguntas por medio de la interacción con el applet construido en
geogebra, puedes observar según las modificaciones realizadas en los coeficientes
numéricos, el comportamiento de la función fue variando, entonces se puede definir ciertos
cambios significativos y que coeficientes son los que rigen ciertos comportamientos en la
función.
Entonces a modo de conclusión:
¿Qué indica el coeficiente a en la gráfica de la función?
¿Cuál es el coeficiente que afecta la intersección con el eje Y?
¿El recorrido de la función se puede modificar? ¿De qué depende?
Si en la función sen (x) la amplitud es 1, en la función 5 *sen (x) la amplitud es 5 y en la
función -3 * sen (x) la amplitud es 3, ¿cómo se puede calcular la amplitud? ¿El dominio de
la función sufre algún cambio al modificar los coeficientes numéricos?, ¿Por qué ocurre
esto?
105
¿Al modificar cada uno de los coeficientes numéricos a, b, c y d que cambios sufre la
gráfica?
¿Qué aprendiste al interactuar con el applet?
¿Qué ventajas y desventajas observas al abordar el contenido con la ayuda del applet?
¿Qué elementos no entendiste?
Para finalizar la actividad, elabora tres preguntas relacionadas con el comportamiento que
posee la curva de la función seno y discute con los compañeros.
106
Envía la actividad desarrollada al correo electrónico: [email protected]
Trabaja con el resto de funciones trigonométricas y contesta las mismas preguntas de la
actividad anterior.
107
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
Prueba de conocimientos
Elementos de Trigonometría
Matemática Tercero Medio
Instrucciones generales:
Lee atentamente las preguntas y responder en la hoja de respuesta.
Dispone de 1 hora 30 minutos aproximadamente para realizar la prueba.
No se aceptan borrones con corrector.
Realiza el desarrollo al reverso de la hoja de respuesta o en una hoja anexa.
Criterios de evaluación:
C1: Resolver ejercicios básicos aplicando conversión de sistemas y funciones
trigonométricas.
C2: A partir de una gráfica, responder diversas preguntas interpretando la situación.
C3: Resolver problemas aplicando funciones trigonométricas elementales.
I) Selección múltiple:(2 puntos c/u)
1. Al expresar el ángulo 26,345° en grados, minutos y segundos, se obtiene:
a) 26° 42´ 20´´ b) 26° 42´ 20´´ c) 26° 20´ 42´´ d) 42° 26´ 20´´ e) 20° 26´ 42´´
2. El sen (θ) en la figura 1 es:
a) b) c) d) e) n.a
ANEXO 3
108
Figura 1
3. Si ( ) 0sen y cos( ) 0 , el ángulo en posición normal está en el cuadrante:
a) I b) II c) III d) IV e) n.a
4. Para construir una bodega que permite guardar fardos de alimento para equinos, se debe
levantar dos columnas de 3 m y 2,5 m de longitud, para sostener una viga cuyo ángulo
de inclinación respecto a la horizontal sea de 15°. ¿Qué tan distante debe estar una
columna de la otra?
a) 1, 37 m b) 1, 47 m c) 1, 51 m d) 1, 86 m e) n.a
Para la pregunta 5 tenga en cuenta la siguiente información: “ es el valor de un
ángulo, tal que toma cualquier valor real”
5. De acuerdo con la información anterior, ¿Cuál de las siguientes alternativas es
verdadera?
a)
b)
c)
d)
6. Al simplificar la expresión se obtiene:
109
a) 2 ( )cos( )sen b)1 2 ( )cos( )sen c)1 2 ( )cos( )sen d) 2 ( )cos( )sen e) n.a
7. La expresión cos(60° + x) +cos(60° - x) es igual a:
a) cos(x) b) sen(x) c) sen(60°) d) cos(60°) e) n.a
Para las preguntas 8 a 11, tenga en cuenta la siguiente gráfica:
8. Se puede afirmar que:
a) La función que genera la gráfica es 3cos(2x)-2.
b) La gráfica corresponde a una función en términos de tangente.
c) La ecuación de la función es 2sen(3x).
d) La gráfica tiene una amplitud de 3 unidades.
9. El período de la función es:
a) 2 b) y = 3 c) d) e) n.a
10. El desplazamiento vertical de la grafica es de:
a) 1 unidad b) 2 unidades c) 3 unidades d) 4 unidades e) n.a
11. Las ecuación de la gráfica es:
a) b) c) d) y e) n.a
12. Encuentra la altura de un nectarín que se encuentra en el IAPB, sabiendo que la
110
distancia de este árbol a un alumno es de 12 metros, además este alumno mide 1,5
metros observando con un ángulo de elevación con la horizontal de 45º.
a) 12, 5 m b) 13,5 m c) 10 m d) 11 m e) n.a
13. Encuentra la altura de un poste que alumbra un invernadero, sabiendo que el
ángulo de elevación es de 45º y el lado adyacente al ángulo de elevación es de 8/5
metros.
a) 6 m b) 7 m c) 1,6 m d) 2 m e) n.a
14. Una escalera que se utiliza para cosechar árboles frutales apoya su pie a 3 m.
de un muro. La parte superior se apoya justo en el borde del muro. El ángulo
formado entre el piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es:
a) 32 m. b) 23 m. c) 6 m. d) 8 m. e) No se puede determinar
15. el valor de la expresión 2 2(30º ) cos ( ) 26
sen
es igual a:
a) 1 b) 23 c) 6 d) -2 e) n.a
16. Si 3
tan 30º3
, entonces el valor de la expresión 2 23 (tan 30º ) (tan )6
es igual a:
a) 1 b) 2/3 c) 3 d) 3 e) n.a
111
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
HOJA DE RESPUESTA
Nombre: _________________________________Puntaje:_________Curso: _________
PUNTAJE TOTAL: 45 PUNTOS PUNTAJE DE CORTE: 27 PUNTOS
ESCALA: 60%
I) (2 puntos c/u)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16
II) Desarrollo:
1. Dado el triángulo DFE, rectángulo en F, encuentra las medidas del ángulo : (3
puntos)
Nota
Nota
ANEXO 4
112
50
Respuesta:…………………………………………….
2.
a) Demuestra la identidad trigonométrica.
b) Transforma de radianes a grados. (2 puntos c/u)
a) 21 12sec ( )
1 ( ) 1 ( )sen sen
b)
3
4
Respuesta:…………………………………
Respuesta:………………………………
3. Calcula la distancia entre el punto B y el árbol que se encuentra en el vértice C. (Utilice
teorema del seno). (3 puntos)
113
Respuesta:……………………………………………
4. Encuentra el valor de AC , sabiendo que la medida BC es de 10 m y la medida del
30ºCAB . (3 puntos)
Respuesta:……………………………………………
114
Para ambos grupos:
NOTA:
Las respuestas debes marcarla en la tabla de respuesta. Asegúrate que la opción que va a
marcar es la correcta.
NO está permitidos los tachones o el uso corrector en la tabla de respuesta.
Respuesta con tachones o corrector será ANULADA.
Los procedimientos de solución de los ejercicios se deben realizar en esta hoja,
NO está permitido el uso de una hoja adicional.
AB He leído la nota que se encuentra en la parte superior.
OBSERVACIONES SOBRE EVALUACIÓN
¿Lo que se ha preguntado lo trabajaron en clase? Sí___ No Todo ___ (preguntas
____________________) No ___
¿El tiempo para el Post Test fue suficiente? Sí____No___Por qué_____________
Pregunta más difícil _____ Pregunta más Fácil _____ Preguntas que no entendí
___________________________
OBSERVACIONES ADICIONALES
115
Respuestas Post Test:
I) Selección Múltiple:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c b b d c b c d c c
11 12 13 14 15 16
e b c c d b
II) Desarrollo:
1. Dado el triángulo DEF, rectángulo en F, encuentra las medidas del ángulo :
Al aplicar la definición del seno, se obtiene lo siguiente:
5 5 50 5 50 50 5 2 2( )
50 10 10 250 50 50sen
50
Respuesta: 2
2
ANEXO 5
116
2.
a) 21 12sec ( )
1 ( ) 1 ( )sen sen
b)
3
4
2
2 2
1 1 1 ( ) 1 ( )
1 ( ) 1 ( ) (1 ( ))(1 ( ))
2 12 2 sec ( )
1 ( ) cos ( )
sen sen
sen sen sen sen
sen
3 180 3 180135
4 4
3. Calcula la distancia entre el punto B y el árbol que se encuentra en el vértice C. (Utilice
teorema del seno).
Respuesta: 29,1125 metros.
117
Al aplicar teorema del seno, se tiene la siguiente relación:
32 32 (65 ) 2929,1125
(85 ) (65 ) (85 ) 0,9962
x senx
sen sen sen
4. Encuentra la distancia de AC , sabiendo que BC es de 10 m y el 30ºCAB
Respuesta: 20 metros
Al aplicar la definición del seno de 30°, obtenemos:
10 10(30 )
(30 )
1020
1
2
sen xx sen
x
118
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
Encuesta N°1
Grupo Experimental
OBJETIVO: Conocer la opinión de los alumnos sobre la metodología empleada por el
docente durante el transcurso de la unidad.
Instrucciones generales:
Lee atentamente los reactivos y marca con una x la alternativa que más te
identifique.
Dispone de 15 minutos aproximadamente para contestar la encuesta.
Reactivos
Alternativas
Muy buena
Buena
Regular
Deficiente
1. Aprendizaje
logrado sobre
trigonometría.
2. Forma de enseñar
del profesor.
ANEXO 6
119
3. Preparación
académica del
Profesor.
4. Contenido del
Modelo
Didáctico.
5. Método utilizado
por el profesor.
6. Motivación para
seguir estudios
superiores.
7. Utilidad del
Modelo
Didáctico.
8. Resultados del
aprendizaje
individual y grupal.
120
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
Coevaluación
Nombre del evaluado:…………………………………………………………….
Curso:……………………………………………………………………………...
Fecha:………………………………………………………………………………
OBJETIVO: Evaluar la participación de un compañero durante el desarrollo de las
actividades en el aula.
Instrucciones generales:
Leer atentamente los ítems y marca con una x la alternativa que más se
asemeje a lo establecido.
Disponer de 10 minutos aproximadamente para contestar la encuesta.
No poseer borrones con corrector.
ITEM Muy
Frecuentemente
Frecuentemente
En ocasiones
1. Participa en clase en las
actividades del grupo
2. Sabe escuchar a los demás
121
3. Toma en cuenta las
sugerencias y
recomendaciones del profesor
4. Encuentra ideas centrales e
ideas centrales
5. Respeta la opinión de los
demás
6. Sintetiza la información y
controla el tiempo
7. Se esfuerza por resolver las
tareas asignadas
8. Resuelve los problemas con
seguridad y solvencia.
122
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
Autoevaluación 1
Nombre del evaluado:…………………………………………………………….
Curso:……………………………………………………………………………...
Fecha:………………………………………………………………………………
OBJETIVO: Realizar una autoevaluación del alumno durante el desarrollo de las
actividades en el aula.
Instrucciones generales:
Leer atentamente los ítems y marca con una x la alternativa que más se
asemeje a lo establecido.
Disponer de 10 minutos aproximadamente para contestar la encuesta.
No poseer borrones con corrector.
ITEM Muy
Frecuentemente
Frecuentemente
En ocasiones
1. Cumplí con las tareas que
me asignó el profesor.
2. Aporté con ideas al trabajo
grupal realizado.
3. Escucho con interés las
consultas hechas por mis
123
Compañeros.
4. Acepto y utilizo diversas
estrategias para resolver un
Problema.
5. Tomo en cuenta las ideas y
sugerencias del profesor.
6. Participo en la resolución de
ejercicios “para practica”.
7. Asimilé los conceptos y
ejemplos de esta sección.
8. Llegué a conclusiones o
elaboré conclusiones del tema.
124
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
Autoevaluación 2
Nombre del evaluado:…………………………………………………………….
Curso:……………………………………………………………………………...
Fecha:………………………………………………………………………………
OBJETIVO: Realizar una autoevaluación del alumno durante el desarrollo de las
actividades en el aula.
Instrucciones generales:
Leer atentamente las preguntas y contestar en los espacios indicados.
Disponer de 10 minutos aproximadamente para contestar la encuesta.
No poseer borrones con corrector.
Responde las siguientes preguntas:
¿Qué es lo que más te gustó del trabajo con este tipo de estrategias didácticas con
apoyo de las Tic’s?
¿Cuál fue la actividad que menos te gustó?
125
¿Se cumplieron las tareas que tenían que hacer?
¿Cumpliste con lo pedido?
¿Trabajaste de forma colaborativa?
126
Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Andrónico Luksic A
Encuesta N°2
Grupo Experimental
OBJETIVO: Conocer la opinión de los alumnos sobre la metodología empleada por el
docente durante el transcurso de la unidad.
Instrucciones generales:
Leer atentamente los reactivos y marca con una x la alternativa que más te
identifique.
Disponer de 15 minutos aproximadamente para contestar la encuesta.
No poseer borrones con corrector.
Reactivos
Alternativas
1. Opinión
sobre la
asignatura
Difícil
Aburrido
Fácil
Interesante
2. Opinión
sobre el
aprendizaje
logrado
Excelente
Bueno
Regular
Deficiente
3. Frecuencia
Por clase
Semanal
Mensual
Semestral
127
de uso y
elaboración de
materiales
didácticos
4. Estudio del
curso fuera de
horas de clase
1 hora
2 horas
3 horas
> 3 horas
< 1
hora
5. Factores que
dificultan el
aprendizaje
Muchas
horas de
clase
Pocas horas
de clase
Falta de
libros
Método del
profesor
Falta
de base
6. Métodos o
procedimientos
de enseñanza
utilizados por
el docente.
Inductivo
-
deductivo
Personalizado
Estudios
grupales
Expositivo
Estudio
dirigido
128
Presentación 1
Aplicaciones de la trigonometría
Instrucciones generales:
Descarga el archivo ppt del correo electrónico del curso.
Dispone de 60 minutos aproximadamente para realizar las actividades que
se presentan.
Trabaja con el cuaderno y calculadora para resolver los problemas y
ejercicios presentados.
Criterios de evaluación:
C1: Contextualizar elementos de trigonometría para aplicarla en situaciones problemáticas
cotidianas de la especialidad.
TRIGONON = TRIANGULO
METRIA = MEDICION
Instituto Agrícola Pascual Bautiza
Fundación Andrónico Luksic A
Profesor: Gonzalo Donosos G.Curso: Tercero Año MedioSeptiembre del 2011…
ANEXO 7
129
Contextualizar elementos de trigonometría para
aplicarla en situaciones problemáticas cotidianas de la
especialidad.
Siga el siguiente hipervínculo para visualizar
un video relacionado con las aplicaciones de la
trigonometría
130
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano
vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y
visual.
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL))
Para que tengas presente algunos conceptos:
¿Cuál es la altura de un árbol si la longitud de lasombra que produce en un momento dado es de 2,5m, conociendo además que el ángulo de elevaciónque se forma entre la punta del árbol, y la punta de lasombra es de 70º?
131
132
133
134
135
136
Trabajo 1 con edilim
Instrucciones generales:
Descarga el archivo edilim 1 del correo electrónico del curso.
Dispone de 60 minutos aproximadamente para realizar las actividades que
se presentan.
Trabaja con el cuaderno y calculadora para resolver los problemas y
ejercicios que se presentan.
Criterios de evaluación:
C1: Resolver problemas y ejercicios de trigonometría elemental apoyada del software
edilim.
C2: Motivar a los alumnos a resolver situaciones problemáticas y ejercicios de
trigonometría con apoyo de edilim.
ANEXO 8
137
138
139
140
141
142
Planificación Mensual: Octubre
Grupo control
Asignatura: Matemática Curso: Tercero B N° Horas: 12 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
1.-Unidad: Trigonometría plana
2.-Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Conjeturan sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes,
demostrar utilizando diversos recursos argumentativos.
Resuelven problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos;
analizar las soluciones que se obtienen y su pertinencia.
Reconocen el sentido y la necesidad de la demostración en matemática y, en
particular, conocer la historia del Teorema de Fermat - Wiles y los tríos pitagóricos.
3. Criterios de Evaluación (Objetivos):
Analizar la semejanza en triángulos rectángulos y especificar los teoremas
estudiados en Segundo Año Medio; establecer las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente.
ANEXO 9
143
Establecer medidas de lados y ángulos de triángulos rectángulos a partir de los
valores de funciones trigonométricas.
Resolver problemas sencillos, de diversos ámbitos, utilizando directamente las
funciones trigonométricas.
4.-Contenidos:
Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el
triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles
que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y
pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la
resolución de problemas.
Gráfica de funciones trigonométricas.
Teorema del seno y coseno.
Comentario histórico sobre los números irracionales, tríos pitagóricos, comentarios
sobre el Teorema de Fermat.
5.-Evaluación (Cuándo y Cómo adjuntar instrumento de evaluación.):
Jueves 24/11/2011
144
Planificación Mensual: Octubre
Grupo experimental
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 12 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
1.-Unidad: Trigonometría plana
2.-Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Conjeturan sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes,
demostrar utilizando diversos recursos argumentativos.
Resuelven problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos;
analizar las soluciones que se obtienen y su pertinencia.
Reconocen el sentido y la necesidad de la demostración en matemática y, en
particular, conocer la historia del Teorema de Fermat - Wiles y los tríos pitagóricos.
3. Criterios de Evaluación (Objetivos):
Analizar la semejanza en triángulos rectángulos y especificar los teoremas
estudiados en segundo año medio; establecer las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente con apoyo de guías didácticas y herramientas tecnológicas.
ANEXO 10
145
Establecer medidas de lados y ángulos de triángulos rectángulos a partir de los
valores de funciones trigonométricas con ayuda de la calculadora y software como
edilim y geogebra.
Resolver problemas sencillos de diversos ámbitos, utilizando directamente las
funciones trigonométricas apoyadas de herramientas tecnológicas.
4.-Contenidos:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo a partir de páginas interactivas
apoyadas de una guía didáctica.
Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles
que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos. Análisis y
pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica para apoyar la
resolución de problemas y uso del software edilim.
Gráfica de las funciones trigonométricas apoyadas del software geogebra.
Teorema del seno y coseno apoyados de la calculadora científica y software como
edilim.
Comentario histórico sobre los números irracionales, tríos pitagóricos, comentarios
sobre el Teorema de Fermat, utilizando internet y webquest.
5.-Evaluación (Cuándo y Cómo adjuntar instrumento de evaluación.):
Jueves 24/11/2011
146
Trabajo 2 con edilim
Instrucciones generales:
Descarga el archivo edilim 2 del correo electrónico del curso.
Dispone de 60 minutos aproximadamente para realizar las actividades que
se presentan.
Trabaja en el cuaderno y calculadora para resolver los problemas y
ejercicios que se presentan.
Criterios de evaluación:
C1: Resolver problemas y ejercicios de geometría, aplicando el teorema de Pitágoras
apoyado del software edilim.
C2: Motivar a los alumnos a resolver situaciones problemáticas y ejercicios de geometría,
aplicando el teorema de Pitágoras con apoyo de edilim.
ANEXO 11
147
148
149
150
151
Planificación semanal: Octubre
Grupo experimental
Planificación Semana 1
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Conjeturan sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes,
demostrar utilizando diversos recursos argumentativos.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Analizar la semejanza en triángulos rectángulos y especifican los teoremas
estudiados en segundo año medio; establecer las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad en el
triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
ANEXO 12
152
3.- Qué técnicas metodológicas utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
Definición de los conceptos mediante una clase expo-participativa profesor y
alumnos.
Uso de las Tics (presentación power point, calculadora, video you tube) para
visualizar las aplicaciones de la trigonometría.
Guías de propiedades y problemas variados para los alumnos.
4.- Describe las actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Para motivar a los alumnos del grupo experimental se presenta un video descargado de you
tube relacionado con la astronomía, en el cual se visualiza la importancia y la aplicación de
la trigonometría.
Desarrollo:
En el laboratorio de computación, se descarga desde el correo electrónico, una presentación
en power point con las principales aplicaciones de las funciones trigonométricas, generando
un foro entre los alumnos apoyados del Messenger.
Cierre:
Se presentan los principales organizadores previos que deben poseer los alumnos, en donde
se afinaron algunos elementos básicos de cálculo, geometría y algebra
5.- Qué materiales y medios utilizará en la clase para apoyar los aprendizajes.
Data para presentaciones.(uso de las Tics)
Guías dirigidas para los alumnos.
Pizarrón.
Uso de la calculadora.
153
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los objetivos
planificados. (Recordar compartir con experto)
Al final de la clase se realizarán preguntas y ejercicios tipo P.S.U a diferentes alumnos
para medir los aprendizajes sin evaluación sumativa.
Planificación Semanal 2
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Conjeturan sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes,
demostrar utilizando diversos recursos argumentativos.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Analizar la semejanza en triángulos rectángulos y especifican los teoremas
estudiados en segundo año medio; establecer las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente.
Comprender conceptos básicos de trigonometría.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
154
3.- Qué técnicas metodológicas utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
Definición de los conceptos mediante una clase expo-participativa profesor y
alumnos.
Uso de las Tics (presentación power point, internet) para entender algunas
propiedades básicas de trigonometría.
Aplicación guías dirigidas.
4.- Describe las Actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Se introducen conceptos básicos para activar conocimientos previos poder comenzar con
los elementos básicos de trigonometría.
Desarrollo:
Se desarrolla una guía didáctica en la sala de computación apoyadas de internet, trabajando
con la guía didáctica N°1.
Cierre:
El profesor revisa junto con los alumnos las principales dudas y realiza una pequeña
retroalimentación de algunos contenidos relacionados con la unidad de aprendizaje.
5.- Qué materiales y medios utilizará en esta clase para apoyar los aprendizajes.
Data para presentaciones.(uso de las Tics)
Guías dirigidas para los alumnos.
Pizarrón.
Uso de la calculadora.
155
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los Objetivos
planificados. (Recuerde compartir con el experto)
Al final de la clase se realizaran preguntas relacionada con la guía.
Planificación Semanal 3
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Analizan situaciones en donde se presenta la trigonometría.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Resolver ejercicios aplicando elementos de trigonometría.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Ejercicios aplicando definición de función trigonométrica.
3.- Qué técnicas metodológicas utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
156
Definición de los conceptos mediante una clase expo-participativa profesor y
alumnos.
Uso de las Tics (presentación power point, correo electrónico, Messenger).
Guías de propiedades y problemas variados para los alumnos.
4.- Describe las actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Se presenta nuevamente a los alumnos el power Point en la sala de computación para que
logren de mejor forma identificar los elementos que se les presentó al principio y así dar
coherencia a lo que están viendo en la asignatura.
Desarrollo:
Los alumnos realizan una prueba intermedia para así el docente identifique si ha habido un
avance, de lo contrario trabajar y retroalimentar nuevamente los conceptos no afinados en
su totalidad.
Cierre:
El profesor revisa con sus alumnos las preguntas realizadas en la prueba intermedia, en el
cual los alumnos descargaron desde el correo electrónico la prueba desarrollada y generar
un pequeño foro apoyado del Messenger.
5.- Qué materiales y medios utilizará en la clase para apoyar los aprendizajes.
Data para presentaciones.(uso de las Tics)
Guías dirigidas para los alumnos.
Internet
Uso de la calculadora.
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los Objetivos
planificados. (Recordar compartir con experto)
157
Al final de la clase se realiza una prueba intermedia para visualizar el logro de los objetivos
de la unidad.
Planificación Semanal 4
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Conjeturan sobre propiedades de las funciones trigonométricas empleando un
software educativo geogebra.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Analizar comportamiento de la gráfica de funciones trigonométricas elementales.
Comprender aplicaciones de la gráfica de funciones trigonométricas en otras
especialidades.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Gráfica de funciones trigonométricas.
3.- Qué técnicas metodológicas se utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
158
Definición de los conceptos mediante una clase expo-participativa profesor y
alumnos.
Uso de las Tics (internet, webquest, applet, calculadora)
Guías de propiedades y problemas variados para los alumnos.
4.- Describir las actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Se inicia la clase con la descarga desde el correo electrónico del curso un link en donde los
alumnos visualizan e interactúan con una página interactiva, la cual genera aprendizajes
significativos buscando elementos y con testando preguntas (Webquest).
Desarrollo:
Luego de trabajar con la página interactiva, los alumnos manipulan un applet para ir
visualizando el comportamiento de graficas de diversas funciones trigonométricas,
logrando identificar elementos como periodo, amplitud y posteriormente llevarlos a la
práctica en lo referente a elementos de física.
Cierre:
Después de visualizar y manipular el applet, los alumnos desarrollan la guía didáctica N°2,
la cual debe enviarse al correo electrónico del profesor.
5.- Qué materiales y medios utilizará en la clase para apoyar los aprendizajes.
Internet
Guías didáctica 2
Pizarrón.
Uso de la calculadora.
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los objetivos
planificados. (Recordar compartir con experto)
159
Al final de la clase se realizaran preguntas y ejercicios tipo P.S.U a diferentes alumnos
para medir los aprendizajes sin evaluación sumativa.
Planificación Semanal 5
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Conjeturan sobre propiedades de las funciones trigonométricas empleando un
software educativo geogebra.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Resolver ejercicios y problemas aplicando funciones trigonométricas.
Comprender aplicaciones de la trigonometría utilizando internet.
Aplicar teorema del seno y coseno en situaciones de la especialidad.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Aplicaciones de la trigonometría.
Teorema del seno y coseno.
160
3.- Qué técnicas metodológicas utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
Definición de los conceptos mediante una clase expo-participativa profesor y
alumnos.
Uso de las Tics (internet, webquest, applet, calculadora)
Guías de propiedades y problemas variados para los alumnos.
4.- Describe las actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Se inicia la clase con una pequeña inducción del software Edilim, en el cual los alumnos
encontraron un banco de imágenes relacionadas con la trigonometría.
Desarrollo:
Se da inicio a contestar una prueba apoyada con edilim, aplicando todos los conceptos
estudiados anteriormente.
Cierre:
Se revisan las preguntas y el puntaje logrado por cada uno de ellos con el Software Edilim,
utilizando calculadora científica que posee el computador y comparando los valores.
5.- Qué materiales y medios utilizará en la clase para apoyar los aprendizajes.
Internet
Software edilim.
Pizarrón.
Uso de la calculadora.
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los Objetivos
planificados. (Recordar compartir con experto)
161
Al final de la clase se realizaran problemas aplicando los contenidos tratados en clases
apoyados de edilim e internet.
Planificación Semanal 6
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado:
Reconocen que las razones trigonométricas son cuocientes invariantes entre las
medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes.
Resuelven problemas y ejercicios aplicando conceptos y propiedades de la
trigonometría.
Aplican teorema del seno en situaciones de la especialidad.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Resolver ejercicios y problemas aplicando funciones trigonométricas.
Comprender aplicaciones de la trigonometría utilizando internet.
Aplicar teorema del seno y coseno en situaciones de la especialidad.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Aplicaciones de la trigonometría.
Teorema del seno y coseno.
162
3.- Qué técnicas metodológicas utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
Definición de los conceptos mediante una clase expo-participativa profesor y
alumnos.
Uso de las Tics (internet, webquest, applet, calculadora)
Guías de propiedades y problemas variados para los alumnos.
4.- Describe las actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Se afinan algunos organizadores previos para abordar la prueba de conocimientos y aclara
dudas.
Desarrollo:
Los alumnos finalizan su Post – Test y envían la hoja de respuesta al correo electrónico del
profesor.
Cierre:
Los alumnos contestan las encuestas de satisfacción en formato Word y la envían al correo
electrónico del profesor.
5.- Qué materiales y medios utilizará en la clase para apoyar los aprendizajes.
Internet
Correo electrónico.
Pizarrón.
Uso de la calculadora.
163
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los Objetivos
planificados. (Recordar compartir con experto)
Se aplica prueba de conocimientos y se contestan las encuestas de satisfacción.
Planificación Semanal 7
Asignatura: Matemática Curso: Tercero A N° Horas: 03 horas
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Unidad: Trigonometría plana
Aprendizaje Esperado:
Resuelven problemas y ejercicios utilizando funciones trigonométricas.
Reconocen la validez de la metodología empleada para el estudio de las funciones
trigonométricas.
1.- Qué criterios de evaluación va a lograr al término de la clase.
Resolver ejercicios y problemas aplicando funciones trigonométricas.
2.- Qué contenidos trabajará en el bloque o clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Aplicaciones de la trigonometría.
Teorema del seno y coseno.
164
3.- Qué técnicas metodológicas utilizará en la clase para el logro de los objetivos o
criterios de evaluación.
Revisión del post test por parte del profesor.
Uso de las Tics (internet, calculadora) para entender despejar dudas sobre conceptos
y ejercicios.
4.- Describe las actividades de motivación (inicio) y aprendizaje (desarrollo y cierre)
que realizará en la clase para el logro de los objetivos.
Inicio:
Se entrega los resultados de la prueba de conocimientos, además se analizó el avance de
las tres evaluaciones que se realizaron durante la unidad.
Desarrollo:
Los alumnos retroalimentan sus respuestas comparando con las soluciones entregadas por
el profesor en formato Word, descargándolas del correo electrónico del curso.
Cierre:
Finalizamos las actividades llegando a conclusiones de la propuesta, sobre la viabilidad y
aplicaciones a otras unidades y sobre los resultados del test de satisfacción.
5.- Qué materiales y medios utilizará en la clase para apoyar los aprendizajes.
Internet
Correo electrónico.
Pizarrón.
6.- Qué instrumento de evaluación utilizará para verificar el logro de los Objetivos
planificados. (Recordar compartir con experto)
Se entregan los resultados de la prueba de conocimientos y de las encuestas de satisfacción.
165
Nombre de la Actividad Duración Comienzo de la Actividad Horas
Introducción a la unidad.
Power point y video.
Organizadores Previos
2 días
Jueves 06/10/2011
06
Guía didáctica.
1 día
Jueves 20/10/2011
03
Guía didáctica
Control escrito
1 día
Jueves 27/10/2011
03
Uso de páginas interactivas y
webquest.
Visualizar e interactuar con
un applet construido en
Geogebra.
2 días
Jueves 03/11/2011
06
Grupo experimental:
Unidad: Elementos de Trigonometría.
ANEXO 13
166
Resolver guía didáctica 2.
Interacción con Edilim 1
Interacción con Edilim 2
1 día
Jueves 17/11/2011
03
Aplicación prueba de
conocimientos.
Contestar encuestas de
satisfacción.
1 día
Jueves 24/11/2011
03
Entrega y revisión de prueba
de conocimientos
1 día
Jueves 01/12/2011
03
167
Resultados Post – Test grupo control y grupo experimental
Post test grupo
experimental
Post test grupo
control
Experimental
1 1( )x x
Experimental
2
1 1( )x x
Control
2 2( )x x
Control
2
2 2( )x x
6,8 3,1 1,5 2,25 -1,5 2,25
6 3,3 0,7 0,49 -1,3 1,69
5,3 5,8 0 0 1,2 1,44
5,6 5,5 0,3 0,09 0,9 0,81
6,5 4 1,2 1,44 -0,6 0,36
6 5,9 0,7 0,49 1,3 1,69
5,9 5,3 0,6 0,36 0,7 0,49
3,2 4,5 -2,1 4,41 -0,1 0,01
4,9 6,2 -0,4 0,16 1,6 2,56
5,3 5 0 0 0,4 0,16
5,3 5,2 0 0 0,6 0,36
4,6 4,2 -0,7 0,49 -0,4 0,16
4,6 4,5 -0,7 0,49 -0,1 0,01
5,3 4,2 0 0 -0,4 0,16
6 3,2 0,7 0,49 -1,4 1,96
5,3 4,3 0 0 -0,3 0,09
6,8 4 1,5 2,25 -0,6 0,36
4,8 4,2 -0,5 0,25 -0,4 0,16
6,2 4 0,9 0,81 -0,6 0,36
ANEXO 14
168
5,7 4,8 0,4 0,16 0,2 0,04
4,1 5 -1,2 1,44 0,4 0,16
5,4 5 0,1 0,01 0,4 0,16
5,3 5,2 0 0 0,6 0,36
4 3,8 -1,3 1,69 -0,8 0,64
6,8 5,5 1,5 2,25 0,9 0,81
3,8 3,5 -1,5 2,25 -1,1 1,21
3,3 4,5 -2 4 -0,1 0,01
4,8 4,5 -0,5 0,25 -0,1 0,01
5,3 4,5 0 0 -0,1 0,01
6,2 6,2 0,9 0,81 1,6 2,56
5,4 4,7 0,1 0,01 0,1 0,01
6,5 4,5 1,2 1,44 -0,1 0,01
5,3 4,5 0 0 -0,1 0,01
4,3 3,5 -1 1 -1,1 1,21
3,3
-1,3 1,69
1x = 5,3 2x = 4,6
2
1 1( )x x = 57,87
2
2 2( )x x =
45,14
