UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de … DE MURCIA Departamento de Matem´aticas Topolog´ıa 5. Continuidad Pedro Jos´e Herrero y Pascual Lucas Resumen: En este cap´ıtulo estudiamos

UNIVERSIDAD DE MURCIADepartamento de Matematicas

Topologıa5. Continuidad

Pedro Jose Herrero y Pascual Lucas

Resumen: En este capıtulo estudiamos la continuidad de funcionesentre espacios topologicos. Comenzamos introduciendo la continuidaden un punto y lo relacionamos con la formulacion ε-δ y con las suce-siones. Caracterizamos las continuidad a traves de los abiertos o de loscerrados, y presentamos las principales propiedades de las aplicacionescontinuas. Estudiamos algunas aplicaciones especiales: abiertas, ce-rradas y homeomorfismos. Finalizamos estudiando algunos conceptosacerca de la continuidad y convergencia uniformes.

c© 2002 [email protected] el 18 de febrero de 2002 Version 0.2

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Indice general1. Continuidad en un punto

1.1. Caracterizacion ε-δ1.2. Sucesiones1.3. Composicion de funciones continuas1.4. Continuidad y adherencia

2. Continuidad en todo el espacio2.1. Abiertos2.2. Cerrados2.3. Propiedades de las funciones continuas

3. Algunos tipos de aplicaciones3.1. Aplicaciones abiertas y cerradas3.2. Homeomorfismos y embebimientos

4. Continuidad y convergencia uniforme4.1. Continuidad uniforme4.2. Convergencia uniforme

5. Problemas propuestosSoluciones de los ejercicios

Seccion 1: Continuidad en un punto 3

De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios, las aplica-ciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no soloen topologıa, sino tambien en analisis, geometrıa diferencial y, en general, en todas lasramas de las matematicas.

En general, una funcion es continua cuando las imagenes de dos puntos proximosson tambien puntos proximos. Esto es, claro, muy informal y habra que precisar susignificado en cualquier espacio topologico.

1. Continuidad en un punto

Definicion 5.1 Sean (X,T) e (Y,T′) dos espacios topologicos y sea f : X −→ Y unaaplicacion entre ellos. Diremos que f es continua en un punto a ∈ X si para todoentorno U ∈ Uf(a) existe un entorno V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ U.

La continuidad de una aplicacion depende no solo de la aplicacion sino tambien delas topologıas, tanto de la del dominio como de la imagen. Por eso, en sentido estricto,la aplicacion se habrıa de indicar como f : (X,T) −→ (Y,T′). No obstante, y si no existeambiguedad, suprimiremos cualquier referencia explıcita a las topologıas.

Proposicion 5.1 Sean f : X −→ Y una aplicacion entre dos espacios topologicos(X,TX) y (Y,TY). Sea un punto a ∈ X y consideremos B(a) y B(f(a)) bases de entornosde a en TX y de f(a) en TY, respectivamente. Entonces f es continua en a si, y solo si,

Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I


para todo U ∈ B(f(a)) existe V ∈ B(a) tal que f(V) ⊂ U.

Demostracion. ⇒⇒⇒ Dado U ∈ B(f(a)) existira V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ U. Como B(a)es base de entornos tendremos que existe V ′ ∈ B(a) de modo que V′ ⊂ V, con lo quef(V′) ⊂ f(V) ⊂ U.⇐⇐⇐ Sea U ∈ Uf(a), entonces existe U′ ∈ B(f(a)) de modo que U′ ⊂ U. Por hipotesisexiste V ∈ B(a) tal que f(V) ⊂ U′ ⊂ U (lo que concluye la prueba ya que V ∈ B(a) ⊂Ua). �

1.1. Caracterizacion ε-δ

Ejemplo 5.1. Consideremos una “funcion de variable real con valores reales”, f : R →R. En cualquier curso de calculo se define la continuidad de f mediante la clasica“definicion ε-δ”.

Dado a en R, y dado ε > 0, el intervalo V = (f(x0) − ε, f(x0) + ε) es un conjuntoabierto del espacio de llegada R. Por tanto, f−1(V) es un conjunto abierto en el espaciode salida R. Puesto que f−1(V) contiene al punto a, contiene algun elemento basico(r, s) alrededor de a. Elegimos δ para que sea el mas pequeno de los dos numeros a − ry s − a. Entonces, si |x− a| < δ, el punto x debe estar en (r, s), por lo que f(x) ∈ V y|f(x)− f(a)| < ε, como se deseaba.

La caracterizacion ε− δ se puede extender a cualquier espacio metrico.



Corolario 5.2 Sean f : X −→ Y una aplicacion entre dos espacios metricos (X, d) e(Y, d′) y a ∈ X. Entonces f es continua en a si, y solo si, para todo ε > 0 existe δ > 0tal que siempre que d(x, a) < δ se verifica que d′(f(x), f(a)) < ε.

Demostracion. Supongamos que f es continua en a. Dado ε, consideramos el conjuntoB(f(a), ε) ⊂ Uf(a). Entonces existe un entorno V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ B(f(a), ε). Comolas bolas son una base de entornos, existe alguna bola B(a, δ) centrada en a tal queB(a, δ) ⊂ V y ası f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε). Si x esta en esta bola, entonces f (a) esta enla bola centrada en f(a), que es la condicion requerida.

La condicion recıproca es igualmente sencilla y puede probarse invirtiendo el sentidode las implicaciones anteriores. �

Ejemplo 5.2. Las siguientes funciones f : R → R son continuas: (a) las funcionesconstantes; (b) la funcion identidad; (c) las funciones elementales x a, sen(x), cos(x),ex y sus inversas en sus dominios de definicion; (d) la suma y el producto de funcionescontinuas; (e) la inversa para el producto de una funcion continua no nula.

Ejemplo 5.3. Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d} dotado con la topologıa

T = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}y sea la funcion f : X −→ X definida como sigue:

f(a) = b, f(b) = d,f(c) = b, f(d) = c.



La funcion f es continua en d y no lo es en c.

Ejercicio 5.1. Sea R` el conjunto R con la topologıa del lımite inferior. Prueba quela funcion identidad f : R → R`, f(x) = x para cada numero real x, no es una funcioncontinua en ningun punto. ¿Que ocurre con la funcion identidad g : R` → R?

1.2. Sucesiones

Vamos a generalizar a espacios metricos una conocida propiedad de la continuidad defunciones reales de variable real.

Proposicion 5.3 Sean dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′), f : X −→ Y una aplicacionentre ellos y a ∈ X. Entonces son equivalentes:

(a) f es continua en a.

(b) Si (xn)∞n=1 es una sucesion en X con lımite a, entonces {f(xn)}∞n=1 converge a f(a).

Demostracion. (a)⇒(b) Supongamos que f es continua en a ∈ X y que (xn)n → a. Paraver que (f(xn))n → f(a) tenemos que probar que

para todo ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 entonces d′(f(xn), f(a)) < ε.

Como f es continua en a, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

d(x, a) < δ ⇒ d′(f(x), f(a)) < ε.



Por otra parte, como (xn)n → a, dado δ > 0, existe n0 tal que

si n > n0 ⇒ d(xn, a) < δ.

Por tanto, si n > n0 entonces d′(f(xn), f(a)) < ε, puesto que d(xn, a) < δ.(b)⇒(a) Supongamos, por reduccion al absurdo, que (f(xn))n converge a f(a) y f noes continua. Esto significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe xδ ∈ Xsatisfaciendo d(xδ, a) < δ y d′(f(xδ), f(a) ≥ ε. Entonces se tiene

Dado δ = 1 existe x1 con d(x1, a) < 1 y d′(f(x1), f(a)) > ε.

Dado δ = 12 existe x2 con d(x2, a) < 1

2 y d′(f(x1), f(a)) > ε.

Y ası sucesivamente: dado δ = 1n existe xn con d(xn, a) < 1

n y d′(f(x1), f(a)) > ε.

Hemos obtenido una sucesion (xn)n en X que converge hacia a, puesto que la sucesion determinos positivos (d(xn, a))n converge a; sin embargo, la sucesion (f(xn))n no convergea f(a), ya que siempre es d′(f(xn), f(a)) > ε. �

La implicacion (a)⇒(b) se satisface en cualquier espacio topologico, mientras quela implicacion contraria solo se verifica en los espacios metricos (o metrizables).

Ejemplo 5.4. La funcion f : R −→ R, en ambos casos con la topologıa usual, definidapor

f(x) ={

1x−1 si x 6= 1

1 si x = 1



no es continua en x = 1, pues la sucesion xn = 1 + 1n tiene por lımite 1 y, sin embargo,

lımn

f(xn) = lımn

11n + 1− 1

= lımn

n 6= f(1).

1.3. Composicion de funciones continuas

Proposicion 5.4 Sean (X,TX), (Y,TY) y (Z,TZ) tres espacios topologicos, y sean f :X −→ Y y g : Y −→ Z dos aplicaciones tales que f es continua en a ∈ X y g es continuaen f(a). Entonces g ◦ f es continua en a.

Demostracion. Sea U ∈ Ug(f(a)). Como g es continua en f(a), existe V ∈ Uf(a) tal queg(V) ⊂ U y como f es continua en a, existe W ∈ Ua tal que f(W) ⊂ V. Pero entoncesg(f(W)) ⊂ g(V) ⊂ U. �

1.4. Continuidad y adherencia

Proposicion 5.5 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos, f : X −→ Y unaaplicacion continua en a ∈ X y un subconjunto S ⊂ X. Entonces si a ∈ S se cumple quef(a) ∈ f(S). En otras palabras, f(S) ⊂ f(S).

Demostracion. Sea U ∈ Uf(a); como f es continua en a, existe V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ U.Pero a es un punto de adherencia de S, por lo que V ∩ S 6= ∅. Esto implica que

∅ 6= f(V ∩ S) ⊂ f(V) ∩ f(S) ⊂ U ∩ f(S),


Seccion 2: Continuidad en todo el espacio 9

y ası f(a) es un punto de adherencia de f (S). �

Una pregunta que surge de modo natural al contemplar el resultado anterior es sidicha propiedad se conserva para otros conjuntos notables, como el interior o la frontera.La respuesta es negativa, como demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.5. La funcion cos : R −→ R es una funcion continua, 0 ∈◦R y, sin embargo,

cos 0 = 1 /∈ Int f(R) = (−1, 1). Por otra parte, si S = [0, π]∪{ 3π2 }, entonces 3π

2 ∈ Fr(S),pero cos( 3π

2 ) = 0 /∈ Fr(cos(S)).

2. Continuidad en todo el espacio

Definicion 5.2 Sean dos espacios topologicos (X,TX) e (Y,TY) y sea f : X −→ Y unaaplicacion entre ellos. Diremos que f es continua si lo es en todo punto de X.

2.1. Abiertos

Proposicion 5.6 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos y sea f : X −→ Yuna aplicacion. Entonces son equivalentes:

(a) f es continua.

(b) Para todo abierto A ⊂ Y, el conjunto f−1(A) es abierto en X.



Demostracion. (a)⇒(b) Supongamos que f es continua y sea A ∈ TY. Para demostrarque f−1(A) es abierto en TX veamos que es entorno de todos sus puntos. Sea x ∈ f−1(A),entonces f(x) ∈ A, luego A es entorno de f(x). Como f es continua, en particular losera en x, y existe V ∈ Ua tal que f(V) ⊂ A. Pero eso implica que V ⊂ f−1(A) yası f−1(A) ∈ Ua.(b)⇒(a) Supongamos ahora que para todo A ∈ TY, f−1(A) ∈ TX y veamos que f escontinua en cada punto de X. Sea x ∈ X y sea U ∈ Uf(x). Entonces existe A ∈ TY talque f(x) ∈ A ⊂ U. Esto significa que x ∈ f−1(A) y como f−1(A) ∈ TX se puede tomarV = f−1(A) ∈ Ux. Ademas, f(V) = f(f−1(A)) ⊂ A ⊂ U, por lo que f es continua en x.�

2.2. Cerrados

Las aplicaciones continuas tambien pueden ser caracterizadas mediante los cerrados.

Proposicion 5.7 Una aplicacion f : (X,TX) −→ (Y,TY) es continua si, y solo si, paratodo cerrado C en (Y,TY) se tiene que f−1(C) es un cerrado en (X,TX).

Demostracion. ⇒⇒⇒ Supongamos que f es continua y que C es cerrado en (Y,TY).Entonces X− f−1(C) = f−1(Y−C) ∈ TX al ser la anti-imagen de un abierto, por lo quef−1(C) es cerrado en (X,T).



⇐⇐⇐ Sea V un conjunto abierto de Y y pongamos C = Y − V. Entonces

f−1(C) = f−1(Y)− f−1(V) = X− f−1(V).

Ahora C es un conjunto cerrado de Y, entonces f−1(C) es cerrado en X por hipotesis,de modo que f−1(V) es abierto en X, como se deseaba. �

La demostracion del siguiente resultado es sencilla y se deja como ejercicio.

Proposicion 5.8 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos y B una base de(Y,TY). Son equivalentes:

(a) La aplicacion f : X −→ Y es continua.

(b) Para todo B ⊂ B, se cumple que f−1(B) es abierto en (X,TX).

En general, si f : X → Y es continua y A es un abierto en X, f (A) no tiene porque ser abierto en Y. Por ejemplo, la funcion f : R −→ R, dada por f(x) = sen(x), escontinua para la topologıa usual y, sin embargo, f (R) = [−1, 1] que no es un abierto enR.

Ejemplo 5.6.

(1) Una funcion constante f : X → Y es continua respecto de cualquier topologıa enX y cualquier topologıa en Y.



(2) Si (X,TD) es un espacio topologico discreto, toda aplicacion f : X −→ Y escontinua.

(3) Si (Y,TT) es un espacio topologico con la topologıa trivial, toda aplicacion f :X −→ Y es continua.

(4) La funcion identidad Id : (X,T) → (X,T′) es continua si, y solo si, T es mas finaque T′.

2.3. Propiedades de las funciones continuas

Como un resumen de las propiedades anteriores, el siguiente resultado proporciona meto-dos para construir funciones continuas entre espacios topologicos.

Teorema 5.9 (Reglas para construir funciones continuas) Sean X, Y y Z espaciostopologicos.

(a) Si f : X → Y es la funcion constante igual a y0 ∈ Y, entonces f es continua.

(b) Si A es un subespacio de X, la funcion inclusion j : A → X es continua.

(c) Si f : X → Y y g : Y → Z son continuas, entonces la aplicacion g ◦ f : X → Z escontinua.

(d) Si f : X → Y es continua y A es un subespacio de X, entonces la funcion restringidaf|A : A → Y es continua.



(e) Sea f : X → Y continua. Si Z es un subespacio de Y que contiene al conjuntoimagen f(X), entonces la funcion g : X → Z, obtenida al restringir el rango def, es continua. Si Z es un espacio con Y como subespacio, entonces la funcionh : X → Z, obtenida al extender el recorrido de f, es continua.

(f) La aplicacion f : X → Y es continua si X se puede escribir como la union deconjuntos abiertos Ui tales que f |Ui es continua para cada i.

Demostracion. Probaremos solo algunas de las propiedades; el resto ya se ha demos-trado o se hace de forma sencilla.

(e) Sea f : X → Y continua. Si f(X) ⊂ Z ⊂ Y, probemos que la funcion g : X → Zobtenida a partir de f es continua. Sea B abierto en Z, entonces B = Z ∩ U para algunconjunto abierto U de Y. Puesto que Z contiene completamente al conjunto imagenf(X), se tiene

f−1(U) = g−1(B).Como f−1(U) es abierto, tambien lo es g−1(B).

Para probar que h : X → Z es continua si Z tiene a Y como subespacio, observemosque h es la composicion de la aplicacion f : X → Y y la inclusion j : Y → Z.

(f) Podemos escribir X como union de conjuntos abiertos U i, tales que f |Ui escontinua para cada i. Sea V un conjunto abierto en Y. Entonces

f−1(V) ∩ Ui = (f|Ui)−1(V)


Seccion 3: Algunos tipos de aplicaciones 14

puesto que ambas expresiones representan el conjunto de los puntos x que pertenecena Ui para los que f(x) ∈ V. Como f |Ui es continua, este conjunto es abierto en U i, ypor tanto, abierto en X. Pero

f−1(V) =⋃i

(f−1(V) ∩ Ui)

por lo que f−1(V) es tambien abierto en X. �

3. Algunos tipos de aplicaciones

3.1. Aplicaciones abiertas y cerradas

Definicion 5.3 Sean dos espacios topologicos (X,TX) e (Y,TY) y f : X → Y unaaplicacion. Diremos que f es abierta si para todo A ∈ TX, f(A) ∈ TY y diremos que fes cerrada si para todo C ⊂ X cerrado en TX, f(A) ⊂ Y es cerrado en TY.

Ejemplo 5.7. La proyeccion π : (R2, d2) −→ (R,Tu) del plano sobre el eje x de lasabcisas, π(x, y) = x, es una aplicacion abierta puesto que la proyeccion de cualquierbola abierta B((a, b), r) es un intervalo abierto (a− r, a+ r). Pero no es cerrada, puestoque la proyeccion del conjunto cerrado C = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, xy ≥ 1} es el intervalo(0,+∞), que no es cerrado.



3.2. Homeomorfismos y embebimientos

La ultima parte de esta seccion esta dedicada al estudio de los homeomorfismos. Esteconcepto tiene mucha importancia en topologıa, ya que dos espacios topologicos quesean homeomorfos se pueden considerar iguales topologicamente.

Definicion 5.4 Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topologicos. Un homeomorfismoentre X e Y es una aplicacion biyectiva f : X → Y tal que tanto f como su inversaf−1 son continuas. Diremos que dos espacios topologicos son homeomorfos si existe unhomeomorfismo entre ellos.

Diremos que una propiedad en un espacio topologico es una propiedad topologicasi es invariante por homeomorfismos. Este concepto es el analogo al existente en algebrade isomorfismo.

La siguiente caracterizacion de los homeomorfismos es consecuencia inmediata delas definiciones y de las Proposiciones 5.6 y 5.7.

Proposicion 5.10 Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva entre espacios dos topologi-cos (X,TX) e (Y,TY). Son equivalentes:

(a) f es un homeomorfismo.

(b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto si, y solo si, f(A) es abierto.

(c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si, y solo si, f(C) es cerrado.



Ejemplo 5.8.

(1) Dos espacios topologicos triviales son homeomorfos si, y solo si, existe una biyec-cion entre ellos.

(2) Dos espacios topologicos discretos son homeomorfos si, y solo si, existe una bi-yeccion entre ellos.

(3) La aplicacion sen : (0, π/2) → (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida aestos intervalos es biyectiva, y su inversa arcsen : (0, 1) → (0, π/2) es tambiencontinua.

Ejemplo 5.9. La funcion f : R → R dada por f(x) = 3x + 1 es un homeomorfismo. Sidefinimos g : R → R mediante la ecuacion

g(y) =1

3(y − 1)

entonces se puede comprobar facilmente que f (g(y)) = y y que g(f(x)) = x para todoslos numeros reales x e y. Se sigue que f es biyectiva y que g = f−1; la continuidad de fy g es un resultado conocido de analisis.

Ejercicio 5.2. Demuestra que la funcion F : (−1, 1) → R definida por

F(x) =x

1− x2

es un homeomorfismo.



Ejercicio 5.3. Una funcion biyectiva f : X → Y puede ser continua sin ser un homeo-morfismo. Denotemos por S1 al cırculo unidad

S1 = {(x, y) | x2 + y2 = 1}considerado como subespacio del plano R2, y sea

f : [0, 1) → S1

la aplicacion definida por f(t) = (cos 2πt, sen 2πt). Demuestra que f es biyectiva ycontinua pero no es un homeomorfismo.

Ejemplo 5.10. El hecho de ser acotado no es una propiedad topologica. El intervalo(−1, 1) y R son topologicamente equivalentes (como se prueba en el Ejercicio 5.2) peroel primero de ellos esta acotado y el segundo no.

Ahora supongamos que f : X → Y es una aplicacion continua inyectiva, donde Xe Y son espacios topologicos. La funcion f ′ : X → f(X), donde f(X) tiene la topologıainducida, obtenida al restringir el rango de f, es biyectiva. Si ocurre que f ′ es un homeo-morfismo de X con f(X), decimos que la aplicacion f : X → Y es un embebimientotopologico, o simplemente un embebimiento, de X en Y.

Ejemplo 5.11.

(1) La aplicacion sen : (0, π/2) → R es un embebimiento.


Seccion 4: Continuidad y convergencia uniforme 18

(2) La aplicacion f : (0,+∞) → R, dada por f(x) = 1/x, es un embebimiento, ya quef ′ : (0,+∞) → (0,+∞) es un homeomorfismo.

Ejemplo 5.12. Consideremos la funcion g : [0, 1) → R2 obtenida a partir de la funcion fdel Ejercicio 5.3 al extender el recorrido. La aplicacion g es un ejemplo de una aplicacioncontinua inyectiva que no es un embebimiento.

4. Continuidad y convergencia uniforme

4.1. Continuidad uniforme

En el caso de los espacios metricos, ademas de las aplicaciones continuas, hay otras clasesde aplicaciones interesantes, que tambien involucran un cierto concepto relacionado conla continuidad.

Definicion 5.5 Una aplicacion entre espacios metricos f : (X, d) → (Y, d′) es unifor-memente continua si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x, y ∈ X cond(x, y) < δ se verifica que d′(f(x), f(y)) < ε.

Ejemplo 5.13. Es facil probar que toda aplicacion uniformemente continua es continua,pero el recıproco no es cierto: basta considerar la funcion f (x) = x2. En efecto, dadoε > 0, para todo δ > 0 siempre podemos encontrar dos numeros x e y en R tales que



|x− y| < δ y, sin embargo, |x2 − y2| > ε. Observemos que

x2 − y2 = (x− y)(x + y).

Dados ε y δ, tomamos x e y tales que |x− y| = δ2 y |x + y| > 2ε

δ , entonces

|x2 − y2| = |x− y| |x + y| > ε.

Definicion 5.6 Dados dos espacios metricos (X, d) e (Y, d′), diremos que una aplicacionbiyectiva f : X → Y es una isometrıa si conserva la distancia, es decir, d(x1, x2) =d′(f(x1), f(x2)) para todo x1, x2 ∈ X. En este caso decimos que (X, d) e (Y, d′) sonespacios isometricos.

Como consecuencia de la definicion se tiene los siguientes resultados.

Proposicion 5.11 Una isometrıa es una aplicacion uniformemente continua.

Proposicion 5.12 Si dos espacios metricos son isometricos, entonces tambien son ho-meomorfos.

Ejemplo 5.14. El recıproco de la ultima proposicion no es cierto, en general. Si consi-deramos R con la distancia discreta y con la distancia

d(x, y) =

{2 si x 6= y

0 si x = y



entonces la aplicacion identidad es un homeomorfismo que no es isometrıa.

4.2. Convergencia uniforme

Finalmente, llegamos a la nocion de convergencia uniforme.

Definicion 5.7 Sea fn : X → Y una sucesion de funciones del conjunto X al espaciometrico (Y, d). Diremos que la sucesion (fn) converge uniformemente a la funcionf : X → Y si, dado ε > 0, existe un entero N tal que

d(fn(x), f(x)) < ε

para todo n > N y todo x en X.

La convergencia uniforme depende no solo de la topologıa de Y, sino tambien de sudistancia. Tenemos el siguiente teorema sobre sucesiones uniformemente convergentes:

Teorema 5.13 (El teorema del lımite uniforme) Sea fn : X → Y una sucesion defunciones continuas del espacio topologico X al espacio metrico Y. Si (fn) convergeuniformemente a f, entonces f es continua.

Demostracion. Sea V abierto en Y y sea x0 un punto de f−1(V). Deseamos encontrarun entorno U de x0 tal que f(U) ⊂ V.


Seccion 5: Problemas propuestos 21

Sea y0 = f(x0). En primer lugar, elijamos ε tal que la bola B(y0, ε) este contenidaen V. Entonces, usando la convergencia uniforme, elegimos N tal que para todo n ≥ Ny todo x ∈ X,

d(fn(x), f(x)) < ε/3.

Finalmente, usando la continuidad de fN, elegimos un entorno U de x0 tal que fN aplicaU en la bola de radio ε/3 en Y centrada en fN(x0).

Afirmamos que f lleva U a B(y0, ε), y de aquı, a V, como se deseaba. Para esteproposito, observese que si x ∈ U, entonces

d(f(x), fN(x)) < ε/3 (por la eleccion de N),d(fN(x), fN(x0)) < ε/3 (por la eleccion de U),d(fN(x0), f(x0)) < ε/3 (por la eleccion de N).

Sumando y usando la desigualdad triangular, vemos que d(f(x), f(x0)) < ε, como sedeseaba. �

5. Problemas propuestos

Problema 5.1. Sea (X,T) un espacio topologico. Dado un subconjunto A ⊂ X, seconsidera la aplicacion caracterıstica de A, χA : (X,T) → (R,Tu), definida como sigue:

χA(x) ={

1 si x ∈ A0 si x /∈ A



¿Cuando es continua la aplicacion χA?

Problema 5.2. Estudie si es continua la funcion f : R` → R` definida por

f(x) =

{1 si x ≤ −1

x si x > −1

Problema 5.3. Sea la aplicacion f : (R,Tu) −→ (R,Tu), definida por

f(x) = − 1

1 + x2.

¿Es abierta? ¿Es cerrada?

Problema 5.4. Sea la aplicacion f : (R,Tcf) → (R,Tcf), definida por f(x) = sen(x),donde Tcf representa la topologıa cofinita. ¿Es f continua?

Problema 5.5. Estudie la continuidad de la funcion “valor absoluto”: | | : (R,Tu) →(R,Tu).

Problema 5.6. Encuentre un homeomorfismo entre el intervalo (a, b) de R y el propioR, con las topologıas usuales.

Problema 5.7. Dado x0 ∈ X e y0 ∈ Y, pruebe que las aplicaciones f : X → X × Y yg : Y → X× Y definidas por

f(x) = (x, y0) y g(y) = (x0, y)



son embebimientos.

Problema 5.8. Sea TS la topologıa sobre R formada por los intervalos de la forma(a, b], sus uniones y el vacıo. Se define f : R → R por

f(x) ={

x + 2 si x ≤ 30 si x > 3

Estudie la continuidad de f : (R,Tu) → (R,Tu); g : (R,TS) → (R,TS); h : (R,Tu) →(R,TS); k : (R,TS) → (R,Tu).

Problema 5.9.

(a) Supongamos que f : R → R es “continua por la derecha”, esto es,

lımx→a+

f(x) = f(a)

para todo a ∈ R. Pruebe que f es continua cuando se considera como una funcionde R` en R.

(b) ¿Puede conjeturar que funciones f : R → R son continuas cuando se considerancomo aplicaciones de R en R`? ¿Y como aplicaciones de R` en R`?

Problema 5.10. Sea f : (X,TX) → (Y,TY) y sea x ∈ X. Pruebe que f es continua en xsi, y solo si, existe U ∈ E(x) tal que f|U : (U,TU) → (Y,TY) es continua en x.



Problema 5.11. Sea f : (X,TX) → (Y,TY) y {Ai | i ∈ I} una familia de abiertos de Xtal que X = ∪i∈IAi. Si f|Ai es continua, para cada i ∈ I, pruebe que f es continua. Lomismo se puede demostrar para una familia finita de cerrados.

Problema 5.12. Sea (X,T) un espacio topologico y sean f , g : (X,T) → (R,Tu) dosaplicaciones continuas.

(a) Demuestre que {x ∈ X | f(x) = g(x)} es un subconjunto cerrado de (X,T).(b) Deduzca que si f(x) = g(x) para todos los puntos x de un subconjunto denso D

de X, entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ X.

Problema 5.13. Sea X un conjunto infinito. Encuentre una condicion necesaria y sufi-ciente para que f : (X,Tcf) → (X,Tcf) sea un homeomorfismo.

Problema 5.14. Sea f : ([0, 1],Tu) → ([0, 1],Tu) una aplicacion continua continua.Demuestre que f tiene un punto fijo, es decir, existe p ∈ [0, 1] tal que f(p) = p.

Problema 5.15. Sea f : R → R definida como sigue:

f(x) ={

1 si x ∈ Qx si x ∈ R−Q

¿Es f : (R,Tcn) → (R,Tcf) continua? ¿Es cerrada? Justifique las respuestas.

Problema 5.16. Sea f : (X,TX) → (Y,TY) una funcion inyectiva y continua. Pruebe

que para todo A ⊂ X, Int f(A) ⊂ f(◦A).



Problema 5.17. Demuestre que, en R con la topologıa usual, cualquier intervalo cerrado[a, b] es homeomorfo al intervalo [0, 1].

Problema 5.18. Sean f y g dos aplicaciones continuas de un espacio topologico E enotro espacio topologico de Hausdorff F. Demuestre que si coinciden las restricciones def y g para cualquier subconjunto A denso en E, entonces f = g.

Problema 5.19. Se dice que una aplicacion f : (X, d) → (Y, d′) es de Lipschitz si existeun numero real k > 0 tal que d′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) para todo x, y ∈ X. Demuestreque una aplicacion de Lipschitz es uniformemente continua.

Fin del Capıtulo


Soluciones de los ejercicios 26

Soluciones de los ejercicios

Ejercicio 5.1. En efecto, sea a ∈ R` y consideremos el abierto [a, b). Entonces no existeningun intervalo abierto (c, d) tal que a ∈ (c, d) y f(a) ∈ f((c, d)) ⊂ [a, b).

Por otro lado, la funcion identidad g : R` → R sı es continua, porque la imageninversa de (a, b) es el mismo, que es abierto en R`. Ejercicio 5.1



Ejercicio 5.2. En primer lugar, F es una correspondencia biyectiva que conserva elorden; su inversa es la funcion G definida por

G(y) =2y

1 + (1 + 4y2)1/2.

El hecho de que F sea un homeomorfismo se puede probar usando la continuidad delas funciones algebraicas y la funcion raız cuadrada. En efecto, tanto F como G soncontinuas al ser composicion de funciones continuas. Ejercicio 5.2



Ejercicio 5.3. El hecho de que f sea biyectiva y continua se sigue de propiedadesfamiliares de las funciones trigonometricas. Pero la funcion f−1 no es continua. Laimagen mediante f del conjunto abierto U = [0, 1

4 ) del dominio, por ejemplo, no esabierta en S1, puesto que el punto p = f(0) no pertenece a ningun conjunto abierto Vde R2 tal que V ∩ S1 ⊂ f(U). Ejercicio 5.3


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UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de … DE MURCIA Departamento de Matem´aticas Topolog´ıa 5. Continuidad Pedro Jos´e Herrero y Pascual Lucas Resumen: En este cap´ıtulo estudiamos