UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-103-3-V-2-00-2018

CURSO: Matemática Básica 2

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 103

TIPO DE EXAMEN: Tercer Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN: 23 de octubre de 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Pedro Chamalé

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Heather Salamanca

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Básica 2

Jornada Vespertina

Tercer examen parcial Temario V

Tema 1: (20 puntos)

Dejando clara constancia de sus procedimientos calcule las siguientes integrales

a.   1

xdx

x

b. 41

xdx

x

Tema 2: (15 puntos)

Calcule la siguiente integral, interpretándola en términos de áreas de figuras geométricas.

2

2

0

4 x x dt

Tema 3: (15 puntos)

Se define la función g de la siguiente forma:

2

42

sen( )

9x

g x t dt , Determine g x

Tema 4: (25 puntos)

Utilizando el límite al infinito de una suma de Riemann, calcule el área delimitada por las funciones,

2f x x y g x x , atendiendo lo siguiente:

a. Bosqueje la región delimitada, indicando los interceptos entre las

funciones.

b. Dibuje el rectángulo representativo indicando sus características

principales: ancho, posición de la altura (izquierda o derecha), y la

altura.

c. Plantee la suma de Riemann, y calcule su límite al infinito.

d. Verifique su resultado calculando la integral definida de la región

indicada, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Tema 5: (25 puntos)

Utilizando la región delimitada por las funciones del tema 4:

a. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer

girar la región indicada en torno al eje 1x , utilizando el método de

arandelas.

b. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer

girar la región indicada en torno al eje 1y , utilizando el método

de cortezas cilíndricas.

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SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: (20 puntos)

Dejando clara constancia de sus procedimientos calcule las siguientes integrales

a.    1

xdx

x

No. Explicación Operatoria 1. Se realiza un cambio de variable de x a u 𝑢 = 𝑥 + 1

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑢 − 1

2. Se sustituye en la integral 𝑢 − 1

𝑢𝑑𝑢

3. Se resuelve la integral

𝑢

𝑢𝑑𝑢 −

1

𝑢𝑑𝑢 =

𝑢1/2 𝑑𝑢 − 𝑢−1/2𝑑𝑢 =

𝑢

3/2

3/2

−𝑢1/2

1/2+ 𝑐

4. Se cambia la variable de “u” a “x” =

2(𝑥 + 1)3/2

3− 2(𝑥 + 1)1/2 + 𝑐

RESPUESTA

𝑥

𝑥 + 1𝑑𝑥 =

2(𝑥 + 1)3/2

3− 2(𝑥 + 1)1/2 + 𝑐

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b. 41

xdx

x

No. Explicación Operatoria

1. Se realiza un cambio de variable de x a u 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

2. Se sustituye en la integral 1

2

𝑑𝑢

1 + 𝑢2

3. Se resuelve la integral, se observa que cumple con la integral de 𝑡𝑎𝑛𝑥−

𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑑𝑥 =1

1 + 𝑥2+ 𝑐

1

2

𝑑𝑢

1 + 𝑢2=

1

2𝑡𝑎𝑛− 𝑢 + 𝑐

4. Se cambia la variable de “u” a “x”

=1

2𝑡𝑎𝑛− 𝑥2 + 𝑐

RESPUESTA

𝑥

1 + 𝑥4𝑑𝑥 =

1

2𝑡𝑎𝑛− 𝑥2 + 𝑐

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Jornada Vespertina

Tema 2: (15 puntos)

Calcule la siguiente integral, interpretándola en términos de áreas de figuras geométricas.

2

2

0

4 x x dt

No. Explicación Operatoria 1. El área formada por las figuras geométricas es:

El área que se desea calcular es el área 1

𝐴1 = 𝐴𝑐 − 𝐴2

2. Primero se calcula el área de la semicircunferencia de radio 2

𝐴𝑐 =𝜋 ∗ 𝑟2

4

𝐴𝑐 =𝜋 ∗ (2)2

4

𝐴𝑐 =𝜋 ∗ 4

4

𝐴𝑐 = 𝜋 𝑢2

3. Luego se calcula el área del sector circular

𝐴2 =𝜃 ∗ 𝑟2

2

𝜃 = 45° ∗𝜋

180=𝜋

4

𝐴2 =𝜋/4 ∗ 22

2

𝐴2 =𝜋

2 𝑢2

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4. El área de la integral definida de 0 a 2 es el área A1

𝐴1 = 𝜋 −𝜋

2

𝐴1 =𝜋

2 𝑢2

RESPUESTA

4 − 𝑥2 − 𝑥 𝑑𝑥 =𝜋

2 𝑢2

2

0

Tema 3: (15 puntos)

Se define la función g de la siguiente forma:

2

42

sen( )

9x

g x t dt , Determine g x

No. Explicación Operatoria

1. Definiendo las variables 𝑓 𝑡 = 𝑡2 − 9

𝑎 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

𝑏 𝑥 = 4 2. Aplicando el teorema fundamental del cálculo

𝑔´ 𝑥 = 𝑓 𝑏 𝑥 ∗ 𝑏′ 𝑥 − 𝑓 𝑎 𝑥 ∗ 𝑎′(𝑥)

𝑔´ 𝑥 = 42 − 9 ∗ 0 − (𝑠𝑒𝑛(𝑥2)2 − 9

∗ (cos 𝑥2 ∗ 2𝑥)

3. Simplificando

𝑔´ 𝑥 = − (𝑠𝑒𝑛(𝑥2)2 − 9 ∗ (cos 𝑥2 ∗ 2𝑥)

RESPUESTA

𝑔´ 𝑥 = − (𝑠𝑒𝑛(𝑥2)2 − 9 ∗ (cos 𝑥2 ∗ 2𝑥)

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Tema 4: (25 puntos)

Utilizando el límite al infinito de una suma de Riemann, calcule el área delimitada por las funciones,

2f x x y g x x , atendiendo lo siguiente:

a. Bosqueje la región delimitada, indicando los interceptos entre las

funciones.

b. Dibuje el rectángulo representativo indicando sus características

principales: ancho, posición de la altura (izquierda o derecha), y la

altura.

c. Plantee la suma de Riemann, y calcule su límite al infinito.

d. Verifique su resultado calculando la integral definida de la región

indicada, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

No. Explicación Operatoria 1.

Bosquejo de la región delimitada

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑠: 1,1 , (0,0)

2. Dibujo del rectángulo característico

𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠:

Ancho de 0 a 1 (dx)

Altura = 𝑥 − 𝑥2

Área= 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥1

0

3. Suma Riemann

𝑆𝑛 = 𝑓 𝑥𝑘 ∗ ∆𝑥

∞

𝑛=0

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛=

1 − 0

𝑛=

1

𝑛

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𝑓 𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘

2

𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘∆𝑥

𝑥𝑘 = 0 + 𝑘∆𝑥

𝑘

∞

𝑛=0

=𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑘2

∞

𝑛=0

=𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6

𝑆𝑛 = (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘2) ∗ ∆𝑥

∞

𝑛=0

𝑆𝑛 = (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘2) ∗ ∆𝑥

∞

𝑛=0

𝑆𝑛 = 𝑘∆𝑥 − (𝑘∆𝑥 − (𝑘∆𝑥)2 ∗ ∆𝑥

∞

𝑛=0

𝑆𝑛 = 𝑘∆𝑥2 − 𝑘2∆𝑥3

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

𝑆𝑛 =𝑛 𝑛 + 1

2∗

1

𝑛2−𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6∗

1

𝑛3

𝑆𝑛 =𝑛 + 1

2𝑛− 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6𝑛2

𝑆𝑛 =1

6+

1

𝑛+

1

6𝑛2

4. Calculando el límite al infinito, recordando que:

lim𝑛→±∞

1

𝑛𝑥= 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 1,2,3…

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

6+

1

𝑛+

1

6𝑛2 =

1

6𝑢2

5. Calculando la integral

𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥1

0 = 𝑥

2

2−

𝑥3

3

10

= 1

2−

1

3− 0 − 0 =

1

6𝑢2

RESPUESTA

𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1

6𝑢2

1

0

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Tema 5: (25 puntos)

Utilizando la región delimitada por las funciones del tema 4:

a. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer

girar la región indicada en torno al eje 1x , utilizando el método de

arandelas.

b. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer

girar la región indicada en torno al eje 1y , utilizando el método

de cortezas cilíndricas.

No. Explicación Operatoria

1. Utilizando la región delimitada por las funciones del tema anterior:

Por el método de arandelas:

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑥2

𝑑𝑉 = 𝜋 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟 Como se observa en la gráfica, al hacerlo rotar por x=1, el radio exterior es el delimitado por la recta y el radio interior es el delimitado por la parábola.

𝑅 = 1 − 𝑥1 𝑟 = 1 − 𝑥2

Despejando y de las funciones:

𝑥1 = 𝑦1

𝑥2 = ± 𝑦

𝑅 = 1 − 𝑦1

𝑟 = 1 − 𝑦

Planteando la integral

𝑉 = 𝜋 ( 1 − 𝑦 2 − 1 − 𝑦 2

)𝑑𝑦1

0

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𝑉 = 𝜋 1 − 2𝑦 + 𝑦2 − 1 − 2 𝑦 + 𝑦 𝑑𝑦

1

0

𝑉 = 𝜋 (−3𝑦 + 𝑦2 + 2 𝑦1

0

)𝑑𝑦

𝑉 = 𝜋 −3𝑦1

0

+ 𝑦2 + 2 𝑦1

0

1

0

𝑑𝑦

𝑉 = 𝜋 −3

2𝑦2 +

𝑦3

3+

4

3𝑦3/2

10

𝑽 =𝝅

𝟔𝒖𝟑

2. Por el método de cascarones cilíndricos

Cascarones cilíndricos:

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟𝑓 𝑟 𝑑𝑟 Donde:

𝑦 = 𝑥

𝑦 = 𝑥2; 𝑥 = ± 𝑦

𝑟 = 𝑦 − −1 = 𝑦 + 1

𝑓 𝑟 = 𝑦 − 𝑦

𝑑𝑟 = 𝑑𝑦

𝑉 = 2𝜋 𝑦 + 1 𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦1

0

𝑉 = 2𝜋 𝑦 ∗ 𝑦 + 𝑦 − 𝑦2 − 𝑦)𝑑𝑦1

0

𝑉 = 2𝜋 (𝑦3/2 + 𝑦1/2 − 𝑦2 − 𝑦)𝑑𝑦1

0

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𝑉 = 2𝜋 2

5𝑦5/2 +

2

3𝑦3/2 −

𝑦3

3−𝑦2

2

10

𝑽 =𝟕𝝅

𝟏𝟓𝒖𝟑

RESPUESTA Por arandelas

𝑽 =𝝅

𝟔𝒖𝟑

Por cascarones cilíndricos

𝑽 =𝟕𝝅

𝟏𝟓𝒖𝟑

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