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Universidad de Sonora Departamento de Física
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2013
Temario
1. Propiedades ondulatorias de las partículas.
2. Estructura atómica.
3. Mecánica cuántica.
4. Teoría cuántica del átomo de Hidrógeno.
5. Átomos de muchos electrones.
6. Moléculas.
7. Mecánica estadística.
8. Estado sólido.
Temario
3. Mecánica cuántica.
1. Introducción a la mecánica cuántica.
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la
Ecuación de Schrödinger.
4. Observables y operadores.
5. La Ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones.
6. Partícula en una caja.
7. Pozo cuadrado finito.
8. Potencial de barrera y el efecto túnel.
9. Oscilador armónico cuántico.
1. Introducción a la mecánica cuántica.
Hasta el momento hemos visto que toda partícula tiene asociada una
onda de materia, denominada función de onda.
La mecánica cuántica, o mecánica ondulatoria, estudia cómo se comporta
la función de onda asociada con una partícula para un esquema dado:
partícula libre, partícula en un caja, oscilador armónico, átomo de hidrógeno,
etc., el cual está determinado por las condiciones del sistema, a partir de la
geometría, potencial involucrado, etc.
El formalismo de la mecánica cuántica, desarrollado de 1925 a 1926 por
Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul A. Dirac y otros,
permite comprender una gran cantidad de fenómenos que la física no podía
hacer antes de su desarrollo y formalización.
A principios de los 1930’s la aplicación de la mecánica cuántica a
problemas involucrando núcleos, átomos, moléculas y aspectos del estado
sólido hizo posible entender una gran cantidad de datos que se tenían, así
como llevar a predicciones con una gran exactitud.
La mecánica cuántica ha sobrevivido a todas las pruebas experimentales
hasta ahora, incluso a las de sus conclusiones más inesperadas.
1. Introducción a la mecánica cuántica.
La diferencia fundamental entre mecánica clásica y mecánica cuántica
tiene que ver con lo que describen y cómo lo describen.
En mecánica clásica, el comportamiento futuro de una partícula se
determina completamente por su posición y momento (velocidad) iniciales,
junto con las fuerzas que actúan sobre ella. Esto aplica para la mayoría de las
situaciones de la vida cotidiana.
En mecánica cuántica también se obtienen relaciones entre cantidades
observables, pero el principio de incertidumbre introduce limitaciones en su
medición.
La relación causa-efecto tiene vigencia en la mecánica cuántica, pero
requiere una interpretación cuidadosa; además, la certeza clásica del
comportamiento futuro de la partícula pierde sentido, porque no es posible
conocer de manera precisa la posición y el momento iniciales.
Se puede establecer que las cantidades que se estudian en mecánica
cuántica representan probabilidades; por ejemplo, el radio de la órbita del
electrón en el estado base del átomo de Hidrógeno no es 5.3x10-11m, sino
que este es el valor más probable.
1. Introducción a la mecánica cuántica.
Podría pensarse que la mecánica cuántica es un mal sustituto de la
mecánica clásica porque pierde el determinismo de ella; sin embargo, esto
es lo más alejado de la realidad.
En realidad, la mecánica clásica resulta un límite de la mecánica cuántica,
toda vez que cuando uno mide cantidades del macromundo, realmente lo
que está haciéndose es tomar un promedio sobre un gran número de
partículas.
El principio de correspondencia vuelve a aparecer para justificar que en
vez de requerir dos físicas: una para el macromundo (mecánica clásica) y
otra para el micromundo (mecánica cuántica), basta considerar la física
incluida en la mecánica cuántica.
La premisa de que la función de onda Y contiene TODA la información
que puede conocerse sobre la partícula, constituye el punto de arranque.
Nuestros objetivos serán dos:
1. Descubrir cómo puede obtenerse información a partir de Y; y
2. Aprender cómo obtener esta función de onda Y para un sistema dado.
1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Antes de continuar veamos algunos aspectos relacionados con la función
de onda.
De acuerdo a la interpretación de Born,
propuesta en 1925, la función de onda en sí NO
tiene significado físico, sino que es su cuadrado
|Y|2, evaluado en un punto del espacio a un
tiempo dado, el que representa la densidad de
probabilidad o probabilidad por unidad de
longitud, P(x,t), de encontrar a la partícula en
dicho punto en el instante dado.
La función de onda, generalmente, es una
cantidad compleja
por lo que su complejo conjugado es
Max Born
(1882 - 1970)
A iBY
* A iBY
1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Con ello, podemos escribir la densidad de probabilidad P(x,t) como
Lo anterior, evidencia que la densidad de probabilidad es una cantidad
real y positiva, como se requiere.
La probabilidad de que una partícula se encuentre en el intervalo
infinitesimal dx alrededor del punto x al tiempo t, denotada por P(x,t)dx, es
Debido a su relación con la probabilidad de encontrar a la partícula, la
función de onda debe ser una función monovaluada y continua de x y t, de
modo que no puede haber ambigüedades en las predicciones de la teoría.
También debe ser suave, una condición que será desarrollada más adelante,
en cuanto sea necesario hacerlo.
2 * 2 2( , )P x t A B Y Y Y
2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x t dx x t dx x t x t dx Y Y Y
1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Como consecuencia de que la partícula debe estar en algún sitio a lo
largo del eje x, la suma de las probabilidades sobre todos los valores de x
debe ser igual a 1, es decir
Cualquier función de onda que cumpla con la condición dada por la
ecuación anterior se dice que está normalizada.
Normalizar es establecer el hecho de que la partícula puede encontrarse
con certidumbre en alguna parte del espacio.
2( , ) ( , ) 1P x t dx x t dx
Y
La probabilidad P de encontrar a la
partícula en cualquier intervalo finito [a,b] es
Es decir, la probabilidad es justamente el
área bajo la curva de densidad de
probabilidad entre los puntos x = a y x = b.
Condición de normalización
2( , )
b
aP x t dx Y
1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Junto con la condición de normalización, de monovaluación y de
continuidad mencionadas anteriormente; consideraciones sobre el
momento, p, requieren que las derivadas parciales de la función de onda
sean finitas, continuas y monovaluadas.
Únicamente las funciones de onda con todas estas características pueden
resultar con significado físico, por lo que solamente estas funciones “bien
comportadas” pueden representar matemáticamente a los cuerpos reales.
Resumiendo, tenemos que
• Y debe ser continua y monovaluada para todo punto en el espacio, en
cualquier instante.
• Y debe tener primeras derivadas continuas y monovaluadas en todo
punto en el espacio, en cualquier instante.
• Y debe ser normalizable, lo que significa que debe anularse cuando la
coordenada espacial tiene a ±∞.
1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda. Un ejemplo.
Una partícula es descrita por los valores de la función de onda
a) Grafique la función de onda
b) Determine la constante de normalización A.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=0 y
x=L/8 si se mide su posición?
SOLUCION
a) La gráfica de la función de onda es
2para
( ) 4 4
0 en caso contrario
x L LACos x
x L
Y
-0.2L -0.1L 0.1L 0.2L
0.2A
0.4A
0.6A
0.8A
1.0A
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
En 1923, Louis de Broglie propuso generalizar
la dualidad onda-partícula de la luz, a todas las
partículas conocidas.
Lo anterior llevó a Erwin Schrödinger a tratar
de escribir una ecuación para la onda asociada
de De Broglie que, para escalas macroscópicas,
se redujera a la ecuación de la mecánica clásica
de la partícula.
En enero de 1926 publicó en la revista
Annalen der Physik un artículo científico titulado
“Quantisierung als Eigenwertproblem”, en el que
desarrolló la llamada ecuación de Schrödinger.
La Ecuación de Schrödinger (ecuación
fundamental de la mecánica cuántica en el mismo
sentido que la segunda ley de Newton es la
ecuación fundamental de la mecánica
newtoniana) es una ecuación de onda que debe
ser satisfecha por la función de onda Y.
Erwin Rudolf Josef Alexander
Schrödinger (1887 - 1961)
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Por lo anterior, antes de iniciar su presentación, veamos un repaso de las
ideas previas sobre ondas.
La ecuación de onda en una dimensión se escribe como
donde y representa la perturbación que se propaga en la dirección x con una
rapidez v.
La ecuación de onda se puede derivar, a partir de la segunda ley de
Newton para el caso de ondas mecánicas, o a partir de las ecuaciones de
Maxwell para el caso de ondas electromagnéticas.
Básicamente la diferencia corresponde al significado físico de la
perturbación y, y a la expresión para la rapidez v, que en el caso de las ondas
electromagnéticas es c, mientras que en las ondas mecánicas dependerá,
principalmente, de las características del medio.
2 2
2 2 2
1y y
x v t
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Las soluciones a la ecuación de onda deben ser de la forma
donde f(x) representa el llamado “pulso” de la onda al tiempo t = 0.
El signo “+” corresponde a una onda que viaja a la izquierda, mientras
que el signo “-” corresponde a una onda que se mueve a la derecha.
Para el caso de ondas armónicas, la solución se puede escribir como
donde k representa el número de onda dado por
Si desarrollamos el argumento de la onda armónica tendremos
pero como kvt debe tener a los radianes como unidades, tomamos
( )y f x vt
( )ky ACos x vt
2k
[ ( )]x vt kk x kvt
kv
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Con lo anterior, la solución se puede escribir como
(*)
Esta solución representa una onda que viaja libremente con velocidad
constante, similar a como lo haría una partícula libre.
Para concluir esta revisión, vale la pena mencionar que en muchas
situaciones es mejor trabajar con expresiones más generales que
representen ondas armónicas; para ello es conveniente recordar que
lo que permite escribir
como una alternativa a la expresión (*).
Usando la expresión kv=, se puede rescribir esta última ecuación como
Para el caso de una onda mecánica, por ejemplo, la parte real es la que tiene
significado físico, por lo que la parte imaginaria se desprecia.
y ACos kx t
ie Cos iSen
i kx ty Ae
xi t
vy Ae
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
En mecánica cuántica la función de onda Y corresponde a la variable y;
sin embargo, a diferencia de y, Y no es en sí una cantidad medible y por lo
tanto puede ser, en el caso más general, compleja.
Por esta razón, se asume que una partícula que se mueve libremente en la
dirección x positiva puede representarse por la función de onda
o
Esto último permite escribir la función de onda en términos de la energía y el
momento.
Si usamos que y tenemos
Esta ecuación describe una onda equivalente a una partícula que se mueve
libremente, con momento y energía definidos, p y E, respectivamente.
i t kxAe
Y
2 xi ft
Ae
Y
2E hf f 2h
p p
i Et px
Ae
Y
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
La expresión anterior es correcta solamente para partículas que se
mueven libremente; sin embargo, es nuestro interés estudiar los casos en que
el movimiento de la partícula esté sujeto a diversas restricciones, por
ejemplo el electrón unido al núcleo mediante la fuerza Coulombiana
presente.
Lo que debemos hacer a continuación es encontrar una ecuación
fundamental para la función de onda Y, que podamos resolver para
diferentes situaciones y que nos dé la información necesaria para su
descripción.
Esta ecuación fundamental es la Ecuación de Schrödinger y se puede
llegar a ella de varias formas, pero NO puede ser derivada rigurosamente de
principios físicos existentes porque ella misma representa un nuevo
principio de la física.
A continuación se muestra una ruta para llegar a la ecuación de onda que
debe satisfacer la función de onda, si esta debe representar a un sistema
físico y, por lo tanto, contener la información del mismo.
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Partiendo de la expresión para la partícula libre
podemos derivar dos veces con respecto a x, para obtener
de donde
A continuación derivamos con respecto a t, obteniendo
de donde
( , )
i Et px
x t Ae
Y
2 2 2
2 2 2
( , )( , )
i Et pxx t p pAe x t
x
Y Y
2
2 2
2
( , )( , )
x tp x t
x
YY
( , )( , )
i Et pxx t iE iEAe x t
t
Y Y
( , )( , )
x tE x t i
t
YY
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Por otro lado, a velocidades bajas (comparadas con la rapidez de la luz) la
energía total de una partícula es la suma de sus energías cinética y potencial,
donde esta última es en general una función de la posición y del tiempo.
Con esto, podemos escribir
que al multiplicar por Y en ambos lados de la ecuación nos lleva a
o usando las expresiones anteriores para p2Y(x,t) y EY(x,t)
Este resultado corresponde a la Ecuación de Schrödinger dependiente del
tiempo en una dimensión.
2
( , )2
pE K U U x t
m
2 ( , )( , ) ( , ) ( , )
2
p x tE x t U x t x t
m
YY Y
2 2
2
( , ) ( , )( , ) ( , )
2
x t x ti U x t x t
t m x
Y Y Y
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Finalmente, en tres dimensiones la Ecuación de Schrödinger se escribe
como
Que, usando el operador Laplaciano definido como
podemos reducir a
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
2 2 2 2
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )
2
r t r t r t r ti U r t r t
t m x y z
Y Y Y Y Y
2 2 22
2 2 2x y z
22( , )
( , ) ( , ) ( , )2
r ti r t U r t r t
t m
Y Y Y
Más adelante se verá que una forma compacta de escribir a la Ecuación
de Schrödinger dependiente del tiempo, en términos de operadores, es
donde
recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema;
y
es el operador de energía
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
ˆ ˆ( , ) ( , )H r t E r tY Y
22ˆ ( , )
2H U r t
m
E it
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Dado que la Ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal
para Y, podemos usar un resultado muy importante que aplica a este tipo de
ecuaciones diferenciales: el principio de superposición.
El principio de superposición establece que si Y1 y Y2 son dos soluciones
de una ecuación diferencial lineal, como lo es la Ecuación de Schrödinger,
entonces la suma
también es una solución, con a1 y a2 constantes.
Considerando la Ecuación de Schrödinger en una dimensión
podemos escribir
1 1 2 2a aY Y Y
2 2
2
( , ) ( , )( , ) ( , ) 0
2
x t x tU x t x t i
m x t
Y Y Y
221 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 22( , ) 0
2
a a a aU x t a a i
m x t
Y Y Y Y Y Y
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger Es decir
o, reagrupando términos
Por separado, los términos entre paréntesis son cero, ya que Y1 y Y2 son
soluciones de la Ecuación de Schrödinger.
Una primera conclusión que podemos alcanzar es la siguiente: Si las
funciones de onda (soluciones de la Ecuación de Schrödinger) satisfacen el
principio de superposición como lo hacen las ondas de otro tipo, entonces es
de esperarse que se presente el fenómeno de interferencia, similar al que
aparece en las ondas luminosas, sonoras, etc.
Para verificar nuestra conclusión vamos a considerar el fenómeno de la
difracción de electrones.
2 22 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 22 2( , ) ( , ) 0
2 2
a a a aU x t a U x t a i i
m x m x t t
Y Y Y Y Y Y
2 22 21 1 2 2
1 1 2 22 2( , ) ( , ) 0
2 2a U x t i a U x t i
m x t m x t
Y Y Y Y Y Y
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Si se hace una analogía entre electrones y ondas (por ejemplo, luz),
podemos aplicar la teoría desarrollada para explicar la interferencia
producida por dos rejillas, observada en el experimento realizado en 1801
por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular
u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz
procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas.
En la figura se
muestra una simulación
computacional del
experimento de Young;
para ello, se considera
un ancho de rejilla a = 4
y una separación entre
las rejillas D = 20.
Claramente el patrón
de interferencia se
aprecia a partir de 500
cuentas.
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Para el caso de electrones, consideremos un esquema similar al
empleado por Young.
En la figura se muestra un esquema del experimento con electrones de
una misma longitud de onda. El haz de electrones incide sobre una rejilla
doble, A y B, separadas una distancia D, con aberturas mucho menores que
D.
A una distancia de
las rejillas, mucho
mayor que D, se coloca
un detector de
electrones capaz de
detectar electrones
individuales.
En un experimento
real, lo anterior se logra
si la fuente de
electrones es lo
suficientemente débil.
Acumulación gradual de franjas de interferencia después de la difracción de
un número creciente de electrones. (Tomado de P. G. Merli, G. F. Missiroli, and G.
Pozzi, “On the statistical aspect of electron interference phenomena,” American Journal of Physics, vol. 44, no. 3, pp. 306–307, 1976.)
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
En Mayo de 1974, los físicos italianos Pier
Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli, y Giulio
Pozzi enviaron un artículo al AJP. En él se
presenta un patrón de interferencia obtenido
con un microscopio electrónico equipado con
un interferómetro especial, un biprisma de
electrones, que consistía básicamente en un
alambre muy delgado orientado
perpendicularmente al haz de electrones y
posicionado simétricamente entre dos placas
aterrizadas, de modo que cuando se aplica al
cable un potencial positivo o negativo el haz
de electrones se divide en dos componentes
desviadas. El uso de este biprisma electrónico
fue la primera característica importante,
técnica y conceptual, de su experimento, la
segunda era su capacidad de observar la
llegada continua de los electrones, uno a la
vez, en un monitor de televisión.
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Antes de continuar, vale la pena preguntarse ¿qué pasa si se cubre una
de las rendijas?
En este caso se obtiene una curva simétrica con un pico alrededor del
centro de la rejilla descubierta, tal como se muestra en la figura.
Las curvas obtenidas
corresponden a los cuadrados de
las funciones de onda
individuales, es decir
o
donde Y1 y Y2 representan los
casos del electrón que pasa por la
rendija 1 y la rendija 2,
respectivamente.
2 *
1 1 1 1P Y Y Y
2 *
2 2 2 2P Y Y Y
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Si ahora se realiza un experimento en el que se mantiene la mitad del
tiempo abierta la rejilla 1 mientras la rejilla 2 está abierta, para luego invertir
la situación, el patrón de conteos acumulados por minuto es completamente
diferente a cuando se tienen ambas rejillas abiertas.
En la figura se muestra el patrón obtenido.
Como se puede advertir, el
patrón obtenido NO presenta el
efecto de interferencia, ya que en
este caso lo que se tiene es
simplemente la suma de
cuadrados de las funciones de
onda Y1 y Y2, es decir
2 2
1 2 1 2
* *
1 2 1 1 2 2
P P
P P
Y Y
Y Y Y Y
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Lo anterior implicaría que, cuando están abiertas ambas rejillas, el
electrón pasa por la rejilla 1 o por la rejilla 2; sin embargo, la evidencia
experimental no muestra eso.
Así que suponer que el electrón está localizado y que pasa sólo por una
rejilla cuando ambas están abiertas debe ser errónea.
Lo anterior nos obliga a pensar
que, para que el electrón muestre
interferencia, debe estar presente
simultáneamente en ambas
rejillas.
Para ello, se requiere
considerar que el electrón está en
un estado de superposición dado
por
1 2Y Y Y
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Con ello, la probabilidad de detectar al electrón en la pantalla es igual a
en vez de
Por lo que se hace
necesario calcular la
densidad de probabilidad
para nuestro problema, a
saber |Y|2,
2 2
1 2Y Y Y
2 2
1 2 1 2P PY Y
2 2
1 2
2 *
1 2 1 2
Y Y Y
Y Y Y Y Y
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Lo anterior se puede escribir como
o en términos de P1 y P2:
2 * * * *
1 1 2 2 2 1 1 2Y Y Y Y Y Y Y Y Y
2 * *
1 2 2 1 1 2P PY Y Y Y Y
Los dos últimos
términos de esta ecuación
representan la diferencia
mostrada en la parte
derecha de la figura, y son
los responsables de la
oscilación en la intensidad
de electrones en la pantalla
(esquematizado en la curva
azul sombreada de gris).
* *
2
2
1 2 1 1 2P PY Y Y Y Y
4. Observables y operadores
Con la finalidad de que el formalismo de la mecánica cuántica y, con ella
la función de onda, sea útil debe, tener la capacidad para determinar
cantidades medibles, como lo son: la posición, el momentum y la energía,
entre otras.
Recordemos que la finalidad de la teoría es explicar las observaciones
experimentales; por ejemplo, en mecánica clásica generalmente la solución
de un problema consiste en especificar la posición de una partícula (o un
sistema de partículas) como función del tiempo, ya que a partir de ella
podemos conocer otras cantidades físicas, lo cual no podemos extender a
sistemas a micro escalas debido a las propiedades ondulatorias de la
materia.
En mecánica cuántica, lo que tenemos es la función de onda Y(x,t) y la
función de distribución de probabilidad |Y(x,t)|2, así que lo más que podemos
saber acerca de la posición de una partícula es la probabilidad de que una
partícula se encuentre alrededor de cierto valor x a un tiempo t, mediante la
expresión
2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x t dx x t dx x t x t dx Y Y Y
4. Observables y operadores
Ahora vamos a considerar una medición de la posición x de un sistema
particular. Si realizamos tres mediciones de la posición, es probable que
obtengamos tres resultados diferentes.
Sin embargo, si nuestro método de medición es inherentemente preciso,
debe haber algún significado físico a la media de los valores medidos de x.
Además, la precisión de nuestro resultado debe mejorar a medida que se
realizan más mediciones.
En mecánica cuántica se utiliza la función de onda para calcular el valor
esperado que corresponde al valor promedio que se obtiene al realizar
varias mediciones de una cantidad determinada. En nuestro caso, el valor
esperado de x está dado por
Cualquier cantidad medible para la que podamos calcular el valor
esperado se llama observable físico. El valor esperado de un observable
físico (como por ejemplo, la posición, el momento lineal, el momento angular
y la energía) debe ser real, ya que los resultados experimentales de las
mediciones son reales.
*( , ) ( , )x x t x x t dx
Y Y
4. Observables y operadores
Antes de continuar, revisemos el origen de la definición anterior.
Si hacemos una gran cantidad de mediciones de la partícula,
encontraremos a la partícula N1 veces en x1, N2 veces en x2, N3 veces en x3, y
así sucesivamente. El valor promedio de x es entonces
En la expresión anterior podemos cambiar a una variable continua si usamos
la probabilidad P(x,t) de observar a la partícula en un instante en una
posición x particular, es decir
que corresponde al valor promedio de la variable continua x.
1 1 2 2 3 3
1 2 3
i i
i
i
i
N xN x N x N x
xN N N N
( , )
( , )
xP x t dx
x
P x t dx
4. Observables y operadores
En mecánica cuántica lo expresión anterior se puede rescribir como
donde hemos usado la expresión para P(x,t) en términos de la función de
onda.
Si ahora consideramos que la función de onda Y(x,t) está normalizada, el
denominador es igual a 1; por lo que obtenemos, finalmente, que
(4.1)
*
*
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x x t x t dx
x
x t x t dx
Y Y
Y Y
*( , ) ( , )x x t x x t dx
Y Y
4. Observables y operadores
Un procedimiento similar se puede usar para encontrar el valor esperado
(o de expectación) de cualquier función g(x) para una función de onda
normalizada Y(x,t), obteniéndose la expresión general
El valor esperado <g(x)> es el valor promedio de g(x) que esperaríamos
obtener para un número muy grande de partículas con la misma función de
onda Y(x,t).
Para terminar esta parte, es importante enfatizar que la función de onda
solamente puede proporcionarnos el valor esperado de una función dada
g(x), que pueda ser expresada en términos de x, de forma que NO puede
darnos el valor de las mediciones individuales.
Cuando decimos que la función de onda provee una descripción completa
del sistema, lo que estamos diciendo es que podemos determinar los valores
esperados (o de expectación) de las observables físicas de dicho sistema.
*( ) ( , ) ( ) ( , )g x x t g x x t dx
Y Y
4. Observables y operadores
Como sabemos, el cálculo de los valores simultáneos de la posición x y el
momento p de una partícula deben ser consistentes con el principio de
incertidumbre.
Para encontrar el valor esperado (o de expectación), necesitamos
representar p en términos de x y t; así que, como un ejemplo, vamos a
considerar (una vez más) la función de onda de la partícula libre
Si tomamos la derivada con respecto a x, tendremos
Pero si recordamos que y
podemos escribir
( , )
i t kxx t Ae
Y
( , )( , )
i t kx i t kxx tAe ik Ae ik x t
x x
Y Y
2
p
2k
( , )( , )
x t pi x t
x
Y Y
4. Observables y operadores
Reacomodando términos, tenemos finalmente que
(*)
Un operador es una operación matemática que transforma una función en
otra.
En la expresión (*) podemos identificar a la operación matemática que
actúa sobre la función de onda Y(x,t), a saber
Esta operación recibe el nombre de operador de momento lineal en una
dimensión, así que
( , )
( , )x t
p x t ix
YY
ix
p ix
4. Observables y operadores
El operador de momento lineal no es el único operador, de hecho cada
una de las cantidades físicas medibles u observables tiene asociado un
operador.
Como todo operador asociado con una observable, el valor esperado del
momento está dado por
que se rescribe como
(4.2)
Los operadores para observables que son funciones de x y de p se
pueden construir usando las expresiones para cada uno de los operadores x
y p.
*( , ) ( , )p x t i x t dxx
Y Y
* ( , )( , )
x tp i x t dx
x
Y Y
^
^
4. Observables y operadores
De manera similar, para encontrar el valor esperado (o de expectación)
de la energía, necesitamos representar E en términos de x y t; así que,
nuevamente considerando la función de onda de la partícula libre
tomamos la derivada con respecto a t, obteniendo
y recordando que la energía se puede escribir como
podemos escribir
( , )
i t kxx t Ae
Y
( , )( , )
i t kx i t kxx tAe i Ae i x t
t t
Y Y
E
( , )( , )
x t Ei x t
t
Y Y
4. Observables y operadores
Rearreglando términos, tenemos finalmente que
(**)
En la expresión (**) podemos identificar a la operación matemática que
actúa sobre la función de onda Y(x,t), a saber
Esta operación recibe el nombre de operador de energía, así que
( , )
( , )x t
E x t it
YY
it
E it
4. Observables y operadores
Con la expresión anterior para el operador de energía, su valor esperado
está dado por
que se rescribe como
(4.3)
Aunque las expresiones (4.1), (4.2) y (4.3) se obtuvieron considerando
una función de onda para partícula libre, estas expresiones son resultados
generales que usaremos más adelante para calcular las observables físicas
(posición, momentum y energía) y compararlas con los resultados
experimentales.
*( , ) ( , )E x t i x t dxt
Y Y
* ( , )( , )
x tE i x t dx
t
Y Y
4. Observables y operadores
Cantidad física u Observable Operador
Cualquier función de x; por ejemplo la posición x, la energía potencial V(x), etc. 𝐟(𝐱)
Componente x del momentum, px −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒙
Componente y del momentum, py −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒚
Componente z del momentum, pz −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒛
Energía, Hamiltoniano independiente del tiempo, E −ℏ𝟐
𝟐𝒎𝜵𝟐 + 𝐕(𝐱)
Energía, Hamiltoniano dependiente del tiempo, E 𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒕
Energía cinética, K −ℏ𝟐
𝟐𝒎𝜵𝟐
Componente z del momento angular, Lz −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝝓
En la siguiente tabla se muestra un resumen de los observables (y su
correspondiente operador) más comunes en mecánica cuántica.
4. Observables y operadores. Un ejemplo.
Considerando la expresión para la función de onda de una partícula libre
dada por
a) Calcule la constante de normalización A entre 0 y L.
b) Calcule el valor esperado para
i. la posición
ii. el momento lineal
iii. la energía
SOLUCIÓN.
a) La constante de normalización es
b) Los valores esperados son
( , )
i t kxx t Ae
Y
1A
L
ˆ2
Lx p k E
5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones En muchas situaciones, la energía potencial de una partícula no depende
explícitamente del tiempo, lo que significa que la fuerza que actúa sobre ella
es constante en el tiempo, por lo que solamente puede tener dependencia
en la coordenada espacial x.
Cuando se presenta esta situación, la Ecuación de Schrödinger puede
simplificarse eliminando la dependencia temporal, resultando la llamada
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo o también conocida
como Ecuación estacionaria de Schrödinger.
Para llevar a ella, debemos escribir la función de onda como el producto
Este método es muy útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales y
se conoce método de separación de variables.
Si a continuación sustituimos esta expresión en la Ecuación de
Schrödinger
( , ) ( ) ( )x t x f tY
2 2
2
( , ) ( , )( ) ( , )
2
x t x ti U x x t
t m x
Y Y Y
5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Tendremos
o
Si a continuación dividimos entre la función de onda
tendremos
Esta ecuación ha quedado separada en una parte con dependencia temporal
y otra parte con dependencia espacial, por lo que podemos igualar a una
misma constante.
22
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
x f t x f ti U x x f t
t m x
2 2
2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f t xi x f t U x x f t
t m x
( , ) ( ) ( )x t x f tY
2 2
2
1 ( ) 1 ( )( )
( ) 2 ( )
f t xi U x
f t t m x x
5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Por conveniencia, se toma esa constante como la energía E, de tal forma
que tenemos
Lo que lleva a escribir las ecuaciones para f(t) y (x) como
(5.1)
y
(5.2)
La primera ecuación nos da la dependencia temporal de la función de onda,
mientras que la segunda nos da la dependencia espacial de la función de
onda y recibe el nombre de Ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo o Ecuación estacionaria de Schrödinger.
2 2
2
1 ( ) 1 ( )( )
( ) 2 ( )
df t d xi U x E
f t dt m x dx
( )( )
df t Ei f t
dt
2 2
2
( )( ) ( ) ( )
2
d xU x x E x
m dx
5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones La ecuación (5.1) anterior tiene como solución funciones de la forma
o recordando que E=ħ podemos escribir la solución completa a la Ecuación
de Schrödinger como
(5.3)
donde (x) son soluciones de la ecuación
(5.4)
Las funciones de onda (5.3), considerando las soluciones de la ecuación
(5.4), presentan una densidad de probabilidad constante en el tiempo, por lo
que un sistema que puede ser modelado por la Ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo se dice que presenta estados estacionarios.
( )E
i t
f t e
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0
d x mE U x x
dx
( , ) ( ) i tx t x e Y
5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Para terminar este desarrollo, podemos escribir la Ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo en tres dimensiones como
(5.5)
Por lo que la función de onda del sistema está dada por
Una propiedad importante de la Ecuación Estacionaria de Schrödinger es
que si tiene una o mas soluciones, cada una de ellas corresponde a un valor
específico de la energía E.
Esta cuantización de la energía aparece como un elemento natural de la
teoría, tal como se ha mostrado hasta este momento, ya que si recordamos la
física de las ondas mecánicas encontramos que la ecuación (5.4) es similar a
la ecuación que, considerando valores a la frontera, nos llevó a establecer
ondas estacionarias y sus respectivas condiciones de cuantización en las
medias longitudes de ondas.
2
2
2( ) ( ) ( ) 0
mr E U r r
( , ) ( ) i tx t x e Y
5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Los valores de la energía En, para los cuales se puede resolver la
Ecuación estacionaria de Schrödinger, se llaman Eigevalores y las
correspondientes funciones de onda n(x) reciben el nombre de
eigenfunciones.
La condición de cuantización, para el caso de la energía, se puede
escribir como
que corresponde a una ecuación de eigenvalores o valores propios.
En este caso, se dice que En y n(x) son los eigenvalores y las
eigenfunciones del operador Hamiltoniano, respectivamente.
Si la ecuación anterior se cumple, entonces siempre que el sistema se
encuentre en un estado definido por la función de estado n(x) se medirá el
valor esperado En para el observable H, de tal manera que si el sistema se
encuentra en el estado k(x) se medirá el valor esperado Ek, y así
sucesivamente.
ˆ ( ) ( )n n nH x E x
U(x)
x L 0
6. Partícula en una caja
Una primera aplicación de la Ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo es la partícula en una caja, cuya solución es la más fácil de
encontrar.
Para ello debemos considerar una partícula de masa m atrapada en un
potencial cuadrado infinito, tal como se muestra en la figura.
Este potencial se puede escribir como
Lo que, evidentemente, delimita tres
regiones:
• Las regiones I y III donde el potencial es
infinito; y
• la región II donde la partícula es libre.
I II III
0
( ) 0 0
x
U x x L
L x
6. Partícula en una caja
El potencial anterior es físicamente irrealizable, pero matemáticamente
permite resolver la Ecuación de Schrödinger de manera sencilla.
Lo más cercano a este potencial se puede conseguir mediante un arreglo
como el mostrado en la figura.
Conforma aumenta la diferencia de potencial V entre la rejilla G y el
electrodo C, el potencial que “siente” el electrón se aproxima a uno de
paredes infinitas, por lo que tiene sentido considerar a dicho electrón como
una partícula en una caja.
6. Partícula en una caja
Regresando a nuestro problema de interés, debemos escribir la Ecuación
de Schrödinger para cada una de las regiones acordes con el potencial, a
saber
Las primera y tercera ecuaciones, dado que el potencial es infinito en dichas
regiones, requieren que sus soluciones sean nulas; por lo que necesitaremos
resolver la segunda de ellas, que se reduce a
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0I
I
d x mE U x x
dx
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0II
II
d x mE U x x
dx
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0III
III
d x mE U x x
dx
2
2 2
( ) 2( ) 0II
II
d x mEx
dx
6. Partícula en una caja
Esta ecuación tiene como solución general a la combinación lineal
donde
Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones de
continuidad en la función, las cuales indican que
La primera de ellas implica que
mientras que la segunda requiere que el argumento del Seno sea un múltiplo
de , por lo que
( )II x ACos kx BSen kx
2
2
2mEk
(0) (0) 0 0 0I II ACos BSen
( ) ( ) 0III IIL L ACos kL BSen kL
0A
kL n
6. Partícula en una caja
Con ello podemos escribir, hasta el momento, la solución de la Ecuación
de Schrödinger como
Para encontrar el valor de Bn usaremos la condición de normalización, a
saber
que nos lleva a
de donde
( )II n
n xx B Sen
L
2( ) 1II x dx
2 2
01
L
n
n xB Sen dx
L
2nB
L
6. Partícula en una caja
Por lo que finalmente la solución de la Ecuación de Schrödinger para una
partícula en una caja se escribe como
con n = 1, 2, 3, 4, ...
Este eigenfunción tiene su correspondiente eigenvalor de energía En; el
cual se obtiene a partir de la expresión
considerando que
Lo que permite llegar a
Este expresión corresponde al espectro de energías para una partícula
sujeta a un potencial cuadrado infinito o en una caja de tamaño L.
2( )n
n xx Sen
L L
2
2
2mEk
kL n
2 2 2
22n
nE
mL
6. Partícula en una caja
Gráficamente, las funciones de onda con sus correspondientes energías
son las siguientes:
2( )n
n xx Sen
L L
2 22 2
122nE n n E
mL
6. Partícula en una caja
La función de onda completa Y(x,t) se obtiene multiplicando la función de
onda anterior, (x,t) , por la parte temporal, por lo que tendremos
donde
y
Si se usa la identidad
podemos escribir
que puede considerarse como una superposición de dos ondas de igual
forma y tamaño, pero propagándose en direcciones opuestas.
2
( , ) nt
n nx t Sen k x eL
Y
2 2
22n
n
mL
n
nk
L
2
n nik x ik x
n
e eSen k x
i
1 2( )
2
n n n ni k x t i k x t
n x e ei L
Y
U0
0 L x
U(x)
Una vez estudiado el caso de una partícula confinada a una caja de
tamaño L, vamos a considerar a la partícula sujeta a un potencial cuadrado
finito, lo cual corresponde a un sistema físico más realista.
En este caso, el potencial tiene la forma
La forma de este potencial, de nuevo, delimita tres regiones:
• Las regiones I y III donde el potencial es distinto de cero (U0); y
• la región II donde la partícula es libre.
III I II
Analíticamente se puede
escribir como
7. Pozo cuadrado finito.
0
0
0
( ) 0 0
U x
U x x L
U L x
U0
0 L x
U(x)
Si consideramos una partícula de masa m y energía E mayor que U0,
clásicamente encontramos que se puede mover por todo el espacio, de tal
forma que en las regiones I y III su velocidad será menor que en la región II;
sin embargo, si la energía E de la partícula es menor que U0, la situación
cambia.
una probabilidad de que la partícula pueda encontrarse fuera de esta región.
Lo anterior se hace evidente al resolver la Ecuación de Schrödinger para
cada una de las tres regiones, encontrando que la función de onda en
general es diferente de cero fuera del pozo (región II).
Según la mecánica clásica,
una partícula con energía E
menor que U0 está confinada a
moverse entre 0 y L, ya que
fuera de ella su energía
cinética sería negativa.
Sin embargo, la mecánica
cuántica establece que hay
.
7. Pozo cuadrado finito.
III I II
7. Pozo cuadrado finito.
Con lo anterior, debemos escribir la Ecuación de Schrödinger para cada
una de las regiones acordes con el potencial, a saber
Las primera y tercera ecuaciones tienen la misma forma, mientras que la
segunda es similar a la que se tuvo en el caso del potencial infinito, por lo
que la solución para la región II se puede escribir como
con
2
02 2
( ) 2( ) 0I
I
d x mE U x
dx
2
2 2
( ) 2( ) 0II
II
d x mEx
dx
2
02 2
( ) 2( ) 0III
III
d x mE U x
dx
( )II x CSen kx DCos kx
2
2
2mEk
7. Pozo cuadrado finito.
Para las regiones I y III podemos escribir a las ecuaciones como
con
Las soluciones para estas ecuaciones se pueden escribir como
y
22
2
( )( ) 0I
I
d xx
dx
22
2
( )( ) 0III
III
d xx
dx
( ) x x
III x Ee Fe
2
02
20
mU E
( ) x x
I x Ae Be
7. Pozo cuadrado finito.
Sin embargo, como la función de onda debe mantenerse finita tenemos
que cancelar la posibilidad de que la exponencial crezca indefinidamente,
para lo cual tomaremos B = E = 0, así que las funciones de onda para cada
una de las regiones son:
(7.1)
(7.2)
(7.3)
con
y 2
02
2mU E
( )
( )
( )
x
I
II
x
III
x Ae
x CSen kx DCos kx
x Fe
2
2
2mEk
7. Pozo cuadrado finito.
A continuación tenemos que aplicar la condición de continuidad en las
funciones de onda y en las primeras derivadas, valuadas en x = 0 y x = L; lo
que nos permitirá conocer las relaciones existentes entre A, C, D y F.
La condición de continuidad en la función de onda lleva a
y
Mientras que la condición de continuidad en la primera derivada lleva a
y
( ) ( )L
II IIIL CSen kL DCos kL Fe L
0(0) 0 0 (0)I IIAe CSen DCos
0'(0) 0 0 '(0)I IIAe kCCos kDSen
'( ) '( )L
II IIIL kCCos kL kDSen kL Fe L
7. Pozo cuadrado finito.
Con esto, nuestro problema será resolver el sistema de ecuaciones
siguientes:
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
Al sustituir (7.4) en (7.6) eliminamos A, y podemos escribir la relación:
(7.8)
LCSen kL DCos kL Fe
A D
A kC
LkCCos kL kDSen kL Fe
C
D k
7. Pozo cuadrado finito.
De manera similar, sustituimos (7.5) en (7.7), lo que elimina a F, para
poder escribir
que usando la relación (7.8):
resulta
Esta ecuación se reduce a
kCCos kL kDSen kL CSen kL DCos kL
C Dk
k D Cos kL kDSen kL D Sen kL DCos kLk k
k
Cos kL Sen kL Sen kL Cos kLk
7. Pozo cuadrado finito.
Resulta útil escribir esta última ecuación como
(7.9)
Si recordamos que
y
resulta evidente que la ecuación (7.9) es una ecuación trascendente para y
k que, para valores de L y U0 dados, es válida para ciertos valores de E, lo
que implica un espectro de energías discreto.
Cos kL Sen kLk
kSen kL Cos kL
k
02
2mU E
2
2mEk
7. Pozo cuadrado finito.
Para estas energías, las condiciones de continuidad especifican a la
función de onda, excepto por un factor constante que se determina
aplicando la condición de normalización.
En la Figura anexa se muestran las funciones de onda y las densidades
de probabilidad que resultan para las tres energías más bajas permitidas
para la partícula.
7. Pozo cuadrado finito.
Como puede verse de la figura anterior, la función de onda penetra en la
región clásicamente prohibida hasta un punto establecido por la
profundidad de penetración d, dada por
que, usando la expresión para , resulta
Específicamente, a una distancia d la amplitud de la onda cae a 1/e de su
valor en el borde y tiende exponencialmente a cero, tal como se puede
apreciar de las expresiones (7.1) y (7.3).
1d
02 ( )m U Ed