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UNIVERSIDAD DE SONORA DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN EN FÍSICA
Programa de Doctorado en Ciencias (FÍSICA)
IDENTIFICACIÓN DE RELACIONES ESTADÍSTICAS EN IMÁGENES
DIGITALES DEL BRILLO SOLAR EN SUPERFICIES MARINAS
Tesis Que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
Doctor en Ciencias (FÍSICA)
Presenta:
JOSÉ LUIS POOM MEDINA
Hermosillo Sonora, México Agosto del 2015
Tesis defendida por
JOSÉ LUIS POOM MEDINA
y aprobada por el siguiente Comité
Dr. Josué Álvarez Borrego Departamento de Óptica, CICESE
Dr. Ángel Coronel Beltrán Dr. Alvaro Posada Amarillas
Departamento de Investigación en
Física, UNISON
Departamento de Investigación en
Física, UNISON
Dr. José Arturo Montoya Laos Dr. Carlos Rodolfo Torres Navarrete
Departamento de Matemáticas, UNISON Instituto de Investigaciones
Oceanológicas , UABC
Dra. Susana Álvarez García
Coordinadora del Programa de Doctorado en Ciencias
(Física)
Contenido
Página Resumen en español i Resumen en inglés ii Agradecimientos iii Dedicatoria iv Lista de Figuras y Tablas v Lista de Publicaciones vi Introducción 1 Capítulo 1: Antecedentes 7 1.1 Estado del arte 8 1.2 Superficies marinas 10 1.3 Patrones de brillo y funciones de brillo 12 1.4 Modelo para la generación de datos 14 1.4 Estadísticas del brillo en imágenes de superficies marinas 16
Capítulo 2: Metodología 22 2.1 Marco teórico 23 2.2 Promedio y varianza en imágenes de superficies gaussianas 27 2.2.1 Utilizando función de brillo rectangular 27 2.2.2 Utilizando función de brillo gaussiana 28 2.3. Correlaciones en imágenes de superficies gaussianas 28 2.3.1 Utilizando función de brillo rectangular 28 2.3.2 Utilizando función de brillo gaussiana 29 2.4 Promedio y varianza en imágenes de superficies no gaussianas 30 2.4.1 Utilizando la función de brillo rectangular 30 2.4.2 Utilizando la función de brillo gaussiana 31 2.5 Correlaciones en imágenes de superficies no gaussianas 33 2.5.1 Caso función de brillo rectangular 33 2.5.2 Caso función de brillo gaussiano 34 Capítulo 3: Resultados y discusión 35
3.1 Resultados y discusión en superficies con distribuciones gaussianas 36 3.2 Resultados y discusión en superficies con distribución no gaussianas 41 Capítulo 4: Conclusiones
46
Referencias 48
i
Resumen de la tesis de José Luis Poom Medina, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de Doctor en Ciencias (Física).
ESTIMACIÓN DE RELACIONES ESTADÍSTICAS EN IMÁGENES DIGITALES DEL BRILLO SOLAR EN SUPERFICIES MARINAS
Resumen aprobado por:
______________________________ Dr. Josué Álvarez Borrego
Director
_____________________________ Dr. Ángel Coronel Beltrán
Co-director El brillo observado en superficies marinas se debe a la dispersión de luz y es un indicador de la rugosidad del objeto dispersor. En este trabajo se presentan los resultados obtenidos al realizar un estudio teórico de las relaciones que guardan este tipo de superficies y las imágenes del brillo cuando se tiene luz natural incidiendo sobre la superficie. Debido a que la luz dispersada por una superficie contiene información acerca de la rugosidad presente en la superficie, es posible realizar estimaciones estadísticas indirectas sobre la superficie real, a partir de las estadísticas presentes en las imágenes que se forman en sensores ópticos, los cuales perciben diferentes intensidades de luminosidad ante diferentes alturas y ángulos de incidencia entre la superficie de reflexión y los detectores. En cuanto a los tipos de superficies estudiadas, se abordan dos casos: el caso cuando la superficie tiene una función de densidad de probabilidad gaussiana como una primer aproximación y el caso cuando se toman en cuenta momentos estadísticos como el sesgo y la curtosis en una segunda aproximación de la función de densidad de probabilidad de las pendientes de la superficie. En ambos casos se ha considerado utilizar una función de brillo gaussiana para modelar el patrón de brillo formado en imágenes. El proceso de formación de una imagen en un sensor resulta crucial para establecer criterios de diseño y construcción de sistemas ópticos para el sensado remoto, por ello en esta investigación se ha dedicado especial atención al modelado de la formación de la imagen utilizando una función gaussiana para representar el brillo en las imágenes, por su natural utilidad para representar de manera suave y continua la escala de tonalidades de grises que un sensor óptico puede percibir. En ese contexto se han logrado algunas relaciones matemáticas entre las estadísticas de las pendientes de las superficies marinas y sus imágenes. De esta manera, estudiar el problema de la determinación indirecta de las propiedades estadísticas en las variables físicas presentes en sistemas remotos a partir de los datos generados por sus imágenes digitales se puede plantear como un problema inverso. Palabras clave: superficies de mar, procesado de imágenes, patrones de brillo
ii
Abstract of the thesis presented by José Luis Poom Medina as a partial requirement for the degree of Doctor of Science in Physics.
STATISTICAL ESTIMATIONS OF RELATIONSHIPS IN IMAGES OF DIGITAL SOLAR BRIGHTHNESS ON MARINE SURFACES
Abstract approved by:
______________________________ Dr. Josué Álvarez Borrego
Director
_____________________________ Dr. Ángel Coronel Beltrán
Co-director The brightness observed in sea surface due to light scattering is an indicator of the roughness of the scattering object. In this thesis the results obtained by performing a theoretical study of the relationships between these surfaces and its images are presented. Because the light scattered by a surface contains information about the roughness of the surface, it is possible to estimate indirect statistics of the real surface from the images that form on optical system which detect different intensities of light at different heights and angles of incidence. As for the types of surfaces studied, two cases are dealt with: the case when the surface is a function of Gaussian probability density as a first approximation and the case when it is taken in to account statistical moments such as skewness and kurtosis in a second approximation in the probability density function of the slope of the surface. In both cases it has been considered a Gaussian brightness function to model the brightness patterns formed in images. The process of forming an image on a sensor is crucial to establish criteria for the design and construction of optical systems for remote sensing, so in this research it has been given special attention to modeling the image formation using a Gaussian function representing brightness in images, for its natural value to represent smoothly and continuously scale of grays that an optical sensor can detect. In this context there have been some mathematical relationships between the statistics of the slopes of the sea surface and its images. Thus, studying the problem of indirect determination of the statistical properties in physical variables in remote systems from the data generated by digital images can be stated as an inverse problem. Keywords: sea surfaces, image processing, glitter pattern
iii
Agradecimientos
Al CONACYT por la beca otorgada, la cual ayudo mucho para la
realización de esta tesis.
Al Departamento de Investigación en Física de la Universidad de
Sonora, por las facilidades brindadas para la realización de este trabajo.
También se agradece el apoyo recibido por el personal de la biblioteca
del CICESE y de sus centros de cómputo, donde se llevó a cabo gran
parte del trabajo realizado.
Al Dr. Josué Álvarez Borrego y al Dr. Ángel Coronel Beltrán por su
dirección y codirección de este trabajo respectivamente.
A los miembros del comité de seguimiento de tesis: Dra. Alicia Vera
Marquina y Dr. Sergio Barraza Félix por sus apreciables comentarios
y aportaciones durante el desarrollo de este trabajo de tesis.
A los miembros del comité de revisión de tesis: Dr. Alvaro Posada
Amarillas, Dr. José Arturo Montoya Laos, y Dr. Carlos Rodolfo Torres
Navarrete, por sus correctas y oportunas observaciones al documento
de tesis.
A Ma. Guadalupe Bustamante Ruiz, por tener la convicción de que un
proyecto mío, es también su proyecto. Pero sobre todo, por decirme que
los tiempos de DIOS son perfectos.
iv
Dedicatoria
A todas esas personas que han compartido conmigo algo de sus
conocimientos.
v
Lista de figuras y tablas
Figura Página
1 13 2 14 3 23 4 24 5 26 6 38 7 39 8 42 9 43
10 44 11 45
Tabla Página 1 40 2 40 3 40 4 40
vi
LISTA DE PUBLICACIONES PRODUCIDAS POR ESTA INVESTIGACIÓN
Artículos en revista con arbitraje: Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, “Statistical estimations on images of non gaussian sea surfaces slopes through the glitter patterns’”, (sometido para su arbitraje). Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, Martin-Atienza Beatriz, “Theoretical relationships between the intensities of an image of the sea surface and its slopes: a result comparison of rect and Gaussian glitter”, Optical Engineering, 53(4), 043103 (April 02, 2014); doi:10.1117/1.OE.53.4.043103 Artículos en memorias de congresos internacionales con arbitraje:
Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, “Estimation of variance of sea surface slopes through the variance of the glitter patterns’ images,” Paris France, Proc. SPIE 9443, Sixth International Conference on Graphic and Image Processing (ICGIP 2014), 944314 (October 24, 2014); doi:10.1117/12.2179060; http://dx.doi.org/10.1117/12.2179060 Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, Martin-Atienza Beatriz, “Comparative analysis between two different glitter functions for deducing statistical properties of sea surface slopes”, San Diego California U.S.A, 2013 Optics+Photonics, Proc. SPIE 8833, (September 30, 2013); doi:10.1117/12.2024211; http://dx.doi.org/10.1117/12.2024211 Resumen en memorias de congresos nacionales:
Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, “Estimación de propiedades estadísticas en imágenes de superficies marinas y su interpretación,” Congreso Nacional de Física, Mazatlán Sinaloa, México, Octubre de 2014 Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, Martin-Atienza Beatriz, “Relaciones estadísticas entre pendientes de las superficies marinas y sus imágenes usando funciones gaussianas,” Reunion Anual de Geofísica, Puerto Vallarta Jalisco, México, Nov. de 2013 Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, “Relaciones estadísticas entre la imagen de los patrones de brillo de una superficie marina y sus valores de pendiente,” Reunión Anual de Óptica, Hermosillo Sonora, México, Octubre de 2013 Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, “Theoretical relationship between the variance of glitter patterns and the slopes of the sea surface using a glitter Gaussian function,” Mexican Optics and Photonics Meeting, Ensenada B.C.N, México, Septiembre de 2013
1
Introducción
La participación de la física en la exploración remota de superficies planetarias, es entre
otras, a través del desarrollo de teorías y métodos para interpretar los datos que colectan los
sistemas de sensores con los que van equipados los sistemas de observación. Una de las áreas
en la que participa la física, es en el desarrollo de sistemas electro-ópticos para la colección
y procesamiento de datos en sus distintas formas, por lo que este trabajo está dirigido a
realizar una pequeña contribución en la dirección del modelado de las estadísticas que
deberían estar presentes en la formación de imágenes de superficies marinas con reflexión de
luz.
En esta tesis se aborda el problema de identificar propiedades estadísticas de un sistema
físico: el de las superficies marinas interaccionando con los vientos producidos por las
diferencias de presiones en el globo terrestre. A partir de los datos graficados se pueden hacer
interpretaciones de manera indirecta del comportamiento de las superficies del mar utilizando
la información del comportamiento estadístico en las imágenes fotográficas de las superficies
del mar.
Los datos de imágenes y señales deben ser procesados mediante algoritmos
computacionales, como el de los mínimos cuadrados, entre otros más complejos, para lo cual
los métodos estadísticos juegan un papel crucial. Con la identificación de parámetros
estadísticos asociados a variables dinámicas de la superficie del mar, podemos deducir de
manera indirecta aspectos físicos tales como las velocidades del viento y en consecuencia el
de la distribución espectral de energía sobre las superficies del mar, con una aproximación
local determinada por el área captada por los sensores fotográficos.
Este trabajo es importante, porque está situado en el contexto de la exploración de
superficies planetarias de manera remota, y del procesamiento digital de datos, con lo que se
impulsa el desarrollo del área de los sistemas de sensores y los de teledetección. Parte de este
desarrollo es la integración de sistemas ópticos con sistemas electrónicos para el
2
procesamiento de datos, lo que da lugar al desarrollo de algoritmos que permiten procesar
datos para caracterizar físicamente superficies que son monitoreadas por sensores ópticos,
quienes envían señales o imágenes que requieren de un procesamiento digital para extraer
información. Estos sistemas ópticos, también se han utilizado para estudiar la superficie del
mar desde los trabajos de Cox y Munk (1954) y Denzil (1969).
El oleaje presente en las superficies marinas es debido a los vientos provocados por las
diferencias de presiones atmosféricas en el globo terrestre. En este trabajo se aborda el
problema de identificar propiedades estadísticas en superficies marinas, donde además de
considerar aspectos mecánicos y geométricos tal como las alturas y pendientes de olas, como
se verá en el siguiente capítulo, se han estado utilizando otro tipo de sistemas, como por
ejemplo las boyas equipadas con sensores de aceleración, así como de los sistemas de radar,
los cuales al igual que los de imágenes se hacen cada vez más frecuentes.
Las fotografías de superficies marinas son imágenes en el espectro visible que poseen
información acerca de la dinámica del sistema. Debido a la gran cantidad de datos presentes
en las imágenes de los patrones de brillo producidos por el reflejo de luz en las pendientes de
la superficie marina es necesario usar herramientas de la estadística, sobre todo cuando
deseamos explorar las estadísticas que teóricamente deberían presentarse en imágenes
digitales.
PLANTEAMIENTO Y DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA
La luz solar reflejada por superficies rugosas aleatorias puede aportar información útil
acerca de la misma superficie, de hecho puede ayudarnos a estudiar la estadística de la
rugosidad cuando interpretamos correctamente las intensidades de la luz reflejada en relación
con la geometría o propiedades de la superficie reflectora. Por lo tanto, en este trabajo se
considerará un modelo geométrico que solo considera los rayos solares que llegan al sensor
como resultado de las reflexiones de la luz del Sol sobre la superficie.
3
Las señales o imágenes que se considerarán en este trabajo corresponden a brillos de luz
registrados en un sensor de imágenes y son representados por una función analítica, la cual
deberá contener información física del comportamiento de las pendientes de la superficie
marina en observación.
La información que podemos recuperar de una secuencia de imágenes de superficies
rugosas y aleatorias es a través de las propiedades estadísticas que presentan las imágenes en
su conjunto, las cuales están directamente relacionadas con la morfología exacta de las
superficies marinas la cual esta cambiando con en el tiempo.
Los sensores como instrumentos para detectar magnitudes físicas y transformarlas en
señales acondicionadas que podemos cuantificar y procesar digitalmente son de utilidad para
extraer información de una región observada; en este trabajo consideramos sensores de
imágenes. Se considera también el uso de sistemas y algoritmos computacionales para
procesar la información obtenida por los sensores, en este caso de señales luminosas que se
registran en un ensamble de imágenes digitales donde podemos calcular estadísticas básicas
tales como el promedio, la varianza y la función de correlación de los brillos de una
superficie. Posteriormente mediante un modelo inverso no lineal se pueden obtener las
estadísticas de las pendientes de superficies marina, como un primer acercamiento a la
distribución espectral de energías sobre este tipo de superficies rugosas aleatorias.
En este trabajo solo se presentan soluciones analíticas y numéricas a las ecuaciones que
representan las estadísticas básicas tales como el promedio, la varianza y las correlaciones
de los procesos aleatorios que se presentan en superficies marina y sus imágenes, estos son:
las pendientes de las olas y las imágenes de los patrones de brillo . Cada proceso
estocástico mencionado tiene una función de correlación y estas funciones mantienen una
interrelación.
Aunque estas superficies dependen en gran medida de las condiciones climáticas en que
se encuentre el mar, el cual está determinado por la dirección del viento en los momentos que
se hagan las observaciones, la presente investigación se limitará a considerar el caso del
estudio de las estadísticas de las imágenes que generan las pendientes de superficies marinas,
al ser iluminadas por luz visible. Se tomarán como referencia los resultados obtenidos por
( )M x ( )I x
4
Cox y Munk (1954a, 1954b) quienes reportaron la función de densidad de probabilidad de
las pendientes de las superficies marinas capturadas en fotografías.
Desde 1954 al 2015 las técnicas de obtención de imágenes son diferentes y los recursos
para el procesamiento de información nos permiten realizar estimaciones estadísticas
utilizando modelos de la óptica geométrica y recursos computacionales de alto rendimiento.
En este trabajo se utiliza una función de brillo para modelar la intensidad del brillo presente
en un sensor de imágenes y estimar las estadísticas que deberían estar presentes en imágenes
de la superficie marina reflejando el brillo solar, estadísticas relacionadas directamente con
las condiciones meteorológicas en la superficie fotografiada.
El marco que delimita esta investigación son las relaciones teóricas que deberían
aparecer entre las estadísticas que aparecen en imágenes de superficies marinas con las
estadísticas presentes en las pendientes de las superficies. Esta situación forma parte de un
sistema dinámico complejo descrito por ecuaciones de balance energético que incluye
términos tales como: la energía aportada por el viento, pérdidas de energía por fricción y de
rompiente así como de otras interacciones no lineales, aspectos considerados en modelos
numéricos de predicción del oleaje, como por ejemplo, el modelo Simulating Waves
Nearshore (SWAN, http://www.swan.tudelft.nl/ ), con el cual se pueden obtener
estimaciones de algunos parámetros del oleaje, en alguna configuración batimétrica con
condiciones de viento y corriente específicas.
Existen otras metodologías para procesar imágenes con otros objetivos, pero que
guardan una relación común, el manejo de grandes volúmenes de información de sistemas
cuyo estado es grabado en imágenes y cuyo procesamiento permite hacer útil la información
contenida en ellas, se presentan algunos ejemplos al respecto, por ejemplo Barraza-Félix y
Roy Frieden (2002) proponen un algoritmo para eliminar ruido en imágenes debido a las
turbulencias atmosféricas presentes entre la superficie terrestre; así como también Eliahu
Cohen, et al. (2015) proponen representar una imagen como la energía interna de un sistema
físico de N partículas descrito por el promedio de potenciales termodinámicos, por ejemplo,
la energía interna, con este método buscan disminuir el ruido que aparece en imágenes
fotográficas.
5
El método presentado en esta tesis es un método que utiliza el concepto de función de
brillo (Álvarez-Borrego, 1995) para modelar las estadísticas presentes en imágenes digitales,
en este caso se utiliza la función de brillo de tipo gaussiano por sus características especiales
para modelar de manera continua los niveles de iluminación detectados en los sensores de
imágenes de superficies remotas con propiedades de reflexión de luz, el método es novedoso
(Poom-Medina, et. al. 2014a).
MOTIVACIÓN
La motivación para la realización de esta investigación es la posibilidad de participar en
el diseño y construcción de instrumentos electro-ópticos para la exploración remota de
superficies en diferentes escalas desde las nano-superficies hasta las de escala planetaria,
mediante el uso de sensores de imagen y de recursos computacionales con diferentes
arquitecturas de procesamiento.
OBJETIVO GENERAL
Este trabajo tiene como objetivo general el contribuir a las bases teóricas para el
procesamiento de imágenes de superficies marinas considerando los modelos para predecir
oleaje y con ello la evolución espacio-temporal del espectro direccional. Para lograr este
objetivo se sigue la estrategia de utilizar datos sintéticos obtenidos mediante un modelo de
óptica geométrica (Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2010) para que una vez procesados,
obtener las relaciones estadísticas teóricas presentes entre las intensidades de las imágenes
de una superficie marinas y las pendientes de las superficies.
Se considerarán dos casos de estudio para esta investigación: en el caso 1-Dimensional
utilizando funciones de densidad de probabilidad (a) gaussiana y (b) no-gaussiana.
6
BOSQUEJO DE LOS CAPÍTULOS.
En el capítulo 1, se presentan los antecedentes de los estudios realizados en superficies
marinas, las representaciones estadísticas de las superficies marinas, el concepto de patrón
de brillo en imágenes de superficies marinas, los modelos para la generación de datos
sintéticos y las estadísticas del brillo en superficies marinas; En el capítulo 2, se presenta la
metodología llevada a cabo para realizar las estimaciones estadísticas de las superficies
marinas, en los casos de superficies gaussianas y no gaussianas; En el capítulo 3, finalmente
se presentan los resultados obtenidos en los casos de superficies gaussianas y los de no
gaussianas; En el capítulo 4, se discuten los resultados obtenidos para los casos de superficies
gaussianas y los de no gaussianas; En el capítulo 5, se presentan las conclusiones.
7
Capítulo 1
Antecedentes
Para propósitos de diseño y construcción de instrumentos de teledetección óptica y de
procesamiento digital de imágenes de superficies marinas, es deseable conocer una relación
estadística entre la imagen formada por un sistema óptico, en el sensor de la cámara
fotográfica, y la pendiente de la superficie que refleja la luz hacia el detector. La relación
entre las pendientes de la superficie y la intensidad de la imagen se pueden representar por
medio de una función de brillo (Álvarez-Borrego, 1993). Empleando esta función de brillo
también se encuentra una relación entre la función de correlación de las variaciones de
intensidad en la imagen y la función de correlación de las pendientes de la superficie. Como
un subproducto, se puede conocer también la varianza de las pendientes de la superficie a
partir de la varianza de las intensidades en la imagen. En este trabajo se considera que el
perfil de la superficie es un contorno ubicado en el plano ( , )x z donde tanto el haz de luz
incidente como el reflejado están en el mismo plano, así tenemos que se cumple la ley de
reflexión para cada una de estas superficies pequeñas. Con estas consideraciones podemos
pensar que la superficie marina está constituida por una malla de un gran número de pequeñas
superficies planas y reflectoras.
8
1.1 Estado del Arte
En el estudio de superficies marinas mediante imágenes, se han desarrollado importantes
trabajos previos. La característica principal de los trabajos que se mencionan en esta sección
es que todos abordan el problema de inferir las estadísticas del oleaje presente en una
superficie marina a partir de las estadísticas de las imágenes de las superficies. Este trabajo
pretende contribuir al estudio del oleaje desde el punto de vista de las estadísticas presentes
en dos sistemas equivalentes, el del oleaje marino y el de las imágenes del mismo en la
presencia de luz solar. Enseguida mencionaremos los más destacados con el propósito de
establecer el marco teórico de esta investigación.
Barber (1954) obtiene el patrón de difracción de una imagen de la superficie del mar y
con ello estima la direccionalidad de las ondas del mar.
Cox y Munk (1954, 1956) estudiaron la distribución de las pendientes de la superficie
del mar mediante fotografías aéreas de la superficie marina, encontraron experimentalmente
que las pendientes de la superficie del mar se pueden modelar apropiadamente a través de
una distribución normal, lo que ha permitido a posteriores investigadores considerar que la
superficie del mar se puede modelar como un proceso aleatorio gaussiano como una primera
aproximación.
Longuet-Higgins et al., (1963a, 1963b) realizaron estudios del oleaje utilizando boyas
flotantes, los resultados indicaron que el oleaje tiene una distribución cercana a una
distribución gaussiana.
Stilwell (1969) mediante un sistema óptico coherente, realizó un análisis de Fourier de
las variaciones de densidad en emulsiones químicas de fotografías tomadas a la superficie
del mar y derivó una ecuación aproximada donde se relaciona la intensidad de la luz
proveniente de la fuente con la densidad de la película fotográfica, consideró ligeras
pendientes, uniformidad en la iluminación de la superficie y linealidad en la formación de la
imagen fotográfica.
Stilwell y Pilón (1974) basándose en el modelo propuesto por Stilwell de 1969 buscaron
la distribución espectral de la energía en el oleaje. Sin embargo su estudio tiene serias
9
restricciones ya que consideran valores muy pequeñas de las pendientes y asumen de nuevo
la discutible linealidad del proceso de formación de imágenes.
Kasevich (1975) utilizó modelos para simular la iluminación sobre la superficie con
cielos despejados y nublados debido a que no contó con datos reales de irradianza. Consideró
términos de segundo orden en la expansión en serie de Taylor de la ecuación que representa
la cantidad de luz a la cual esta expuesta una película fotográfica, con el objeto de entender
el mecanismo de la transferencia de información de la superficie marina a una imagen
fotográfica. Encontró que la señal luminosa que se percibe en la cámara tiene varios factores
entre otros: las coordenadas de la cámara, la irradiación en la atmósfera y las pendientes del
oleaje en la superficie del mar.
Peppers y Ostrem (1978) proponen un modelo para determinar las pendientes de la
superficie del mar mediante fotografías de superficies marinas. Realizan simulaciones
numéricas con su modelo utilizando diferentes valores de irradiación.
Chapman e Irani (1981) señalan la presencia de errores que ocurren al estimar el
espectro de la distribución de las pendientes de la superficie del mar utilizando fotografías
aéreas. Afirman la no existencia de una relación lineal entre la distribución espectral de las
pendientes y el correspondiente espectro de la imagen que se obtiene mediante un sistema
óptico coherente, es decir, hay una distorsión de la señal al registrarse en las imágenes, se
cuantifican los errores de esta aproximación usando simulaciones numéricas con varios
modelos de iluminación.
Preisendorfer y Mobley (1986) realizaron simulaciones numéricas de superficies
marinas considerando luz difusa que incide sobre la superficie. Obtienen una imagen de la
superficie con el patrón de brillo. Buscaban obtener información de la distribución angular
de las irradiancias.
Álvarez-Borrego y Machado-Gamma (1985); Álvarez-Borrego (1987); Negrete-
Regagnon y Álvarez-Borrego (1990); Peón-González y Álvarez-Borrego (1990) obtuvieron
superficies marinas simuladas que fueron analizadas mediante sistemas ópticos con el
objetivo de obtener una información cuantitativa de la información espectral.
10
Álvarez-Borrego (1993) propone el concepto de función de brillo y la aplica para
modelar las estadísticas del brillo solar que se grabó en una imagen comparándola con las
obtenidas utilizando la función rectangular, Álvarez-Borrego (1995a, 1995b). Reportó las
relaciones teóricas entre las intensidades de una imagen de la superficie del mar y sus
pendientes, así como también las estimaciones de los primeros momentos estadísticos
presentes en las imágenes de las superficies marinas.
Álvarez-Borrego y Martín-Atienza (2010,2012) presentan un nuevo modelo geométrico
para el análisis de las relaciones estadísticas entre las intensidades de los patrones de brillo
presentes en una superficie marina cuando existe una reflexión de la luz del sol y sus
respectivas pendientes utilizando una función de brillo rectangular.
En cuanto al procesamiento de imágenes para extraer información estadística, las
referencias arriba señaladas están dedicadas específicamente a imágenes de la superficie del
mar. Por lo que las funciones de brillo derivadas del comportamiento de superficies del mar
forman parte de la metodología seleccionada en esta tesis para recuperar la información de
superficies marinas.
1.2 Superficies marinas
Las ondas marinas superficiales, al igual que cualquier otro tipo de ondas mecánicas,
están descritas por su amplitud, periodo y frecuencias. Por tanto, una superficie marina es un
sistema mecánico oscilatorio que tiene intercambios de energía en los procesos de interacción
océano-atmósfera. Además, los parámetros mecánicos en estas superficies son aleatorios.
Debido al interés por conocer la distribución de energía sobre estas superficies, varios
autores se han enfocado en este problema, pero destacan los trabajos realizados por Longuet-
Higgins (1963a, 1963b) quien estudió las superficies rugosas aleatorias considerando el
movimiento permanente de las superficies marinas.
Conocer las propiedades estadísticas de superficies marinas facilita la comprensión de
la dispersión de luz en estas. Cuando observamos estas superficies mediante imágenes se
busca relacionar la cantidad de energía captada por el sensor con el espectro de energía de
esa superficie (Denzil, 1969). En este trabajo consideramos el hecho de que las estadísticas
que presentan los puntos de reflexión de luz (las pendientes de las olas del mar), están
11
relacionadas con las estadísticas que se presentan en un conjunto de imágenes de dicha
superficie.
A partir del cálculo de las varianzas y las autocorrelaciones en las imágenes, se infieren
los correspondientes valores de las varianzas y las correlaciones en las pendientes de la
superficie del mar. Además se pueden inferir la función de correlación de la superficie marina
y, vía su respectiva transformada de Fourier, es posible obtener el espectro de energía de la
superficie del mar.
La teoría desarrollada hasta hoy en día para las superficies aleatorias, posee un elevado
rango de aplicaciones que van desde las fotografías de imágenes naturales hasta imágenes
con patrones de radiación o espectros direccionales de energía.
La representación de las alturas de una superficie marina se puede expresar como una
función aleatoria x (Longuet-Higgins, 1963a) como se tiene en la siguiente ecuación:
1
N
i ii
x x
,
(1.1)
cuyo parámetro representa una variable de la superficie, la posición x en este caso, y donde
las i son constantes y las i son variables aleatorias independientes simétricamente
distribuidas alrededor de cero con varianza 2i . Para realizar observaciones del oleaje en un
punto en particular, se consideran ventanas de tiempo adecuadas, es decir calculadas según
la teoría del muestreo de señales. Si nos interesa observar las ondas de periodos cortos,
debemos ajustar las ventanas de tiempo de esas observaciones.
El contorno de una superficie aleatoria lo podemos representar, como una primera
aproximación, en el plano cartesiano ( , )x z por un polinomio trigonométrico (Swerling,
1962) de la forma
, ,, 1
( , ) sin( ) cos( )N
m n m nm n
x z a mx nz b mx nz
,
(1.2)
12
Los coeficientes tienen una distribución de probabilidad conjunta, de esta manera las
superficies rugosas aleatorias se pueden representar mediante un proceso estocástico que
depende de algún parámetro real x , para lo cual tenemos una función de densidad de
probabilidad dada por Longuet-Higgins (1963a)
3 4
3 416 24
p M G M
,
(1.3)
donde 3 y 4 corresponden al sesgo (asimetría en la distribución estadística de las
pendientes) y la curtosis, 3H y 4H corresponden a los coeficientes de los polinomios de
Hermite, G M es una distribución gaussiana dada como
2
2
1 exp22 MM
M MG M
,
(1.4)
donde M es la pendiente de las olas y M es la raíz cuadrática media de las oscilaciones de
las pendientes.
1.3 Patrones de brillo y funciones de brillo
Una superficie marina, Fig. 1, sobre la cual incide luz, y con la propiedad de dispersar
luz en ciertas direcciones, permite la formación de imágenes en diferentes puntos del espacio
hacia donde llega esta luz dispersada.
La imagen formada por el ir y venir de luminosidad en los puntos de una superficie es
otra forma de manifestarse el perpetuo movimiento oscilatorio de una superficie marina, el
cual contiene información de las variables que provocan tales oscilaciones, como por ejemplo
la velocidad del viento y el espectro direccional de energías. La Fig. 1 ilustra un patrón de
brillo formado por el reflejo de luz sobre una porción de superficie marina, y la naturaleza de
la información que podemos obtener de su estudio es de naturaleza local por las
características heterogéneas de los procesos de interacción océano- atmósfera.
13
Fig. 1 Imagen de los brillos de luz producidos por la reflexión de luz sobre las olas marinas.
Para describir el proceso de la formación de imagen podemos aprovechar la relación que
guarda la aparición y desaparición de puntos brillantes en el plano de la imagen. La
distribución de esos puntos en la imagen se puede representar con una función teórica
llamada función de brillo (Álvarez- Borrego, 1993).
La primera función de brillo utilizada, es la función de brillo del tipo rectangular, la cual
modela la ausencia o presencia de los puntos de brillo en la imagen. Considerando que la
descripción física de la interacción del océano y la atmósfera incluye factores tales como
vapores de agua, irradianza u otros que pueden afectar las intensidades de los puntos
luminiscentes que son registrados en el plano imagen de un sensor óptico, resulta muy
conveniente para propósitos de diseño de instrumentación, el explorar con una representación
que considere tales aspectos mencionados; una función que puede considerar los aspectos
mencionados en la formación de ese tipo de imágenes es la función gaussiana definida como:
20
2( ) expM M
B Ma
,
(1.5)
donde 0M es la pendiente alrededor de la cual oscilan todas las pendientes posibles M que
pueda tener en cada punto i del perfil de superficie que cumpla la condición de enviar un
brillo de luz al sensor y “a” es el ancho de la función gaussiana.
14
1.4 Modelo para la generación de datos
Recientemente, se ha propuesto un modelo (Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2010)
para obtener algunas propiedades estadísticas de las superficies del mar vía sensado remoto
usando ángulos de reflexión variable, donde las estadísticas de las pendientes de las
superficies fueron obtenidas a partir de las estadísticas de los patrones de brillo considerando
el detector a varias alturas sobre el nivel medio de la superficie del mar.
Fig. 2. Geometría de la situación física real. Ángulos en contra de las manecillas del reloj son
considerados como positivos y ángulos a favor de las manecillas del reloj como negativos.
La situación física descrita por el modelo consiste en la reflexión de luz sobre una
superficie marina considerando la altura del detector fija y el ángulo de reflexión variable,
Fig.2. En esta situación la superficie , es iluminada por una fuente uniforme incoherente
S, con una extensión angular limitada, con una longitud de onda promedio . Su imagen es
formada en D por un sistema óptico libre de aberración. El ángulo de incidencia es
definido por el ángulo de incidencia y la normal a la superficie promedio y representa el
ángulo promedio subtendido por la fuente S. , corresponde al ángulo subtendido por el
sistema óptico del detector con la normal al punto i de la superficie y esta definido como
(1.6)
x
s
d i
1tan ,d i
i xH
15
donde H es la altura del detector y es el intervalo entre puntos consecutivos de la
superficie.
El intervalo de pendiente, donde un punto brillante es recibido por el detector, es:
2 21 1 ,4 4oi oi i oi oiM M M M M
(1.7)
donde
tan ,i iM
0 tan ,
2s d i
iM
1 11 1tan tan ,2 2 4 2 2 4
s si
i x i xH H
i es el ángulo que forma el eje x con el plano tangente a la superficie en un punto
.
En esta situación física más realista, el ángulo d i está cambiando con respecto a cada
punto sobre la superficie. La variable no restringe el campo de visión del sensor.
corresponde al ángulo subtendido entre la normal a la superficie promedio y la normal a la
pendiente para cada punto i en la superficie
(1.8)
Con estas consideraciones se observa que la luz de la fuente es reflejada sobre la
superficie sólo una vez, y dependiendo de la pendiente, la luz reflejada será o no será parte
de la imagen. Por tanto, la imagen consiste de regiones brillantes y oscuras que son formadas
por los cambios de las pendientes de la superficie marina y cuya estadística es registrada por
el sensor de imagen colocado sobre la superficie a una altura H.
x
,o ox x
d i
11 tan .2 2 2
s d i si
i xH
16
1.5 Estadísticas del brillo en imágenes de superficies marinas
Una superficie marina puede ser descrita utilizando el concepto de proceso estocástico ya
que un modelo básico de la superficie que use como variables aleatorias el perfil de la
superficie y las pendientes de la misma superficie, nos debe permitir observar su variación
en el tiempo y para cada una de estas variables podemos asignar una función de distribución
de probabilidad.
Consideraremos para propósitos de diseño de un sensor de imágenes que la presencia de
luz en el sensor tiene una probabilidad, cuya función de distribución es precisamente la
misma que la que corresponde a aquellas pendientes de las olas que satisfacen la condición
geométrica de reflexión descrita en la Fig. 2.
La búsqueda de una función de distribución que modele las pendientes del oleaje marino
tiene importancia para el desarrollo y uso de modelos tales como el de la distribución
espectral de energía en las superficies del mar.
Con respecto a las pendientes de la superficie del mar, Duntley (1950) encontró que la
función de densidad de probabilidad de las pendientes es gaussiana. Mientras que Cox y
Munk (1954a, 1954b) encontraron mediante el uso de fotografías aéreas de la superficie del
mar que la función de densidad de probabilidad es cercana a la gaussiana y de la forma
general dada por:
2
2
1 ( )exp , , , 022 MM
xf x con x
.
(1.9)
Para propósitos de representación de la dinámica de una superficie marina, necesitamos
considerar los estudios realizados por Cox y Munk (1954), quienes observaron que en áreas
cuyas dimensiones lineales son mucho más largas que la longitud más larga de una onda
oceánica, la media de las pendientes es del orden de 510 o menos. Esto es, podemos
considerar 0 con un error despreciable.
17
Por lo tanto, la función que podemos utilizar de manera aproximada como función de
densidad de probabilidad, para calcular calcular el promedio y la varianza del brillo formado
en imágenes digitales de superficies marinas está dada por:
2
1 22
1 exp , , 0 , 022
ii i i i
MM
Mp M con L M L
.
(1.10)
con 21 1
4i oi oiL M M y 2
2 14i oi oiL M M
. Para el caso no gaussiano
consideraremos la expansión en serie de potencias de la función de densidad de probabilidad
de una distribución normal, considerando y comunes (es decir, con cumulantes 1k y 2k
comunes), lo cual es de uso frecuente en otros campos de la ciencia e ingeniería cuando se
han de considerar desviaciones de los datos de la distribución normal.
En nuestro caso y considerando que en presencia de condiciones meteorológicas como
vientos y presiones atmosféricas que provocan perturbaciones a un mar desarrollado (con
superficies cercanamente del tipo gaussianas) y por tanto superficies con distribución no
gaussianas, proponemos la función dada por la ecuación (1.3) truncada en el término de
cuarto orden, para estimar las estadísticas que deberían estar presentes en las imágenes
digitales, considerando 0iM , es:
3 4
3 416 24i ip M G M
,
(1.11)
con
y
33
4 24
3 ,
6 3.i i
i i
M MM M
(1.13)
2
2
1 exp22
ii
MM
MG M
,
(1.12)
18
Debido a que en los histogramas no se visualizan muy bien los cambios de sesgo y curtosis
de las pendientes, realizamos una “normalización” dividiendo las pendientes entre algún
valor de desviación estándar que corresponda a la varianza de alguna condición
meteorológica conocida, por ejemplo la varianza que se presenta en alguna velocidad de
viento particular y conocida experimentalmente.
De esta manera las ecuaciones (1.13) se convierten en
3
3
4 2
4
3 ,
6 3,
i i
M M
i i
M M
M M
M M
(1.14)
por ello, ahora para propósitos de la estimación de las estadísticas del brillo en imágenes
digitales de superficies marinas con distribución no gaussianas usamos la función
3 4 22
3 4
2
1 1 1( ) exp 1 3
2 6 2423 6 ,i i i i i
i M M
M M M M MM
M M M M Mp M
(1.15)
donde (3)M es el sesgo, (4)
M es la curtosis y M es la desviación estándar de las pendientes de
la superficie (Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2012) , tenemos así el caso no gaussiano
donde iM son las pendientes en las i-ésimos posiciones de los segmentos de superficie que
cumplen las condiciones de reflectividad descrita por la Fig. 2.
Para propósitos relacionados con el diseño de un sistema electro-óptico, tal función nos
permitirá calcular las estadísticas de primer orden de manera aproximada y con ello
especificar resoluciones espectrales del sistema de sensado remoto.
El valor esperado o media teórica de la función de brillo ( )iB M , con función de densidad
de probabilidad ( )ip M , está dada por:
19
[ ( )] ( ) ( )i i iE B M B M p M dM
,
(1.16)
considerando que 2,iM N .
En una imagen podremos tener la condición de que el brillo total percibido sea la suma de
todos los brillos reflejados que convergen en un mismo punto de la imagen:
1
1[ ] [ ]N
ii
E B E BN
,
(1.17)
es decir,
1
1[ ] ( ) ( )N
i ii
E B B M p M dMN
.
(1.18)
Para propósito de cálculo numérico seleccionamos una muestra que cubra el intervalo
definido en la inecuación (1.7), que representan las pendientes mínimas y máximas que
cumplen la condición de reflectividad, por lo tanto para calcular el promedio de la imagen
, usaremos la expresión:
2
11
1 ( ) ( ) ,i
i
LN
I i i ii L
B M p M dMN
(1.19)
(Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2010), donde los límites de integración son:
21 1
4i oi oiL M M y 2
2 14i oi oiL M M
.
I
20
La varianza la podemos escribir como
2
1
22
1
1 ( ) ( )i
i
LN
I i I i ii L
B M p M dMN
,
(1.20)
con los mismos límites de integración que tenemos para la media, en este caso para el
promedio y la varianza. Para el caso gaussiano utilizamos la ecuación (1.10) y para el caso
no gaussiano se utiliza la ecuación (1.15).
Por otra parte, la correlación de la imagen ( )IC puede ser escrita como
1 2( ) ( ) ( )I i jC B M B M . (1.21)
La ecuación para las correlaciones normalizadas entonces tiene la forma (Álvarez-Borrego y
Martin-Atienza, 2012) 2 2
1 1
21 2 1 2 1 2
1 1
1 1( ) ( ) ( ) ( , )j i
j i
L LN N
I I i j i j i ji iL L
C B M B M p M M dM dMN N
,
(1.22)
donde es la variable de desplazamiento, 1( )iB M y 2( )jB M son las funciones de brillo en dos pendientes diferentes. Para el caso en que utilizamos una función de brillo rectangular, tenemos
2 01 0
1 22 20 0
( ) ( )1 12 2
j ji ii j
i j
M MM MB M B M rect rectM M
,
(1.23)
donde 0iM y 0 jM son las pendientes alrededor de las cuales oscilan las pendientes que cumplen las condiciones de reflectividad en los puntos 1 y 2 respectivamente. Para el caso en que consideremos una función de brillo gaussiana, entonces la ecuación (1.5) cambia a
222 01 0
1 2 2 2
( )( )( ) ( ) exp exp j ji ii j
i j
M MM MB M B Ma a
.
(1.24)
donde ia y ja son las anchuras de la gaussiana en los puntos 1 y 2 respectivamente. Cuando analizamos pendientes de superficies con distribución gaussiana, la función de densidad de probabilidad conjunta se define como
2 21 2 1 2
1 2 1/2 2 22 2
21, exp2 12 1
i j M i ji j
M MM M
M M C M Mp M M
CC
.
(1.25)
21
En el caso no gaussiano, la función de densidad de probabilidad conjunta utilizada es la
obtenida por una expansión en Gram-Charlier (ecuación 1.3), que para este caso la función
de densidad de probabilidad tiene la siguiente forma:
2
2 21 1 2 2
1 2 1/2 22 2
3(30) 21 1
22 2(21) 21 1
2 ( )1( , ) exp2 1 ( )2 1 ( )
3
3 2 ( )116
i M i j ji j
M MM M
i iM M
M M
j ji iM M M M
M M M M
M C M M Mp M M
CC
M M
M MM MC
2
2
22 2(12) 21 1
32 2(03)
3 2 ( )
3
j ji iM M M M
M M M M
j jM M
M M
M MM M C
M M
,
(1.26)
donde (03)M y (30)
M son los coeficientes de sesgo y (12)M y (21)
M corresponden a las relaciones
entre los momentos de 1iM y 2 jM .
22
Capítulo 2
Metodología
Las variables estadísticas de interés en la observación del oleaje a través de imágenes de
superficies aleatorias como las del océano, son la media y la varianza, así como también
calcular las correlaciones de las imágenes, por lo que en este trabajo, para calcular esos
valores se utilizará una función de variable real a la que llamaremos brillo ( )iB M , con esta
función se representará la formación del brillo en una imagen digital.
Se considera que la posibilidad de observar brillos en puntos particulares de la superficie
del mar es la probabilidad de que las pendientes de los puntos especulares de la superficie
posean pendientes iM satisfaga la condición de reflexión, dadas por la inecuación 1.7
(Álvarez-Borrego, 1995).
Las superficies con distribución gaussiana y no gaussiana representan una forma
abstracta de representar a superficies marinas, las gaussianas se interpretan como las
superficies en mares completamente desarrollados, mientras que las no gaussianas están
relacionadas con hechos físicos, por ejemplo al soplar el viento, en las superficies del mar
aparezcan inclinaciones en las olas del mar, lo que produce la aparición del sesgo y la curtosis
en la distribución estadística de las alturas y las pendientes de las superficies.
Se muestran cálculos realizados para las varianzas y las correlaciones de las imágenes
de superficies considerando que las imágenes se forman mediante una función de brillo
gaussiana. Estos resultados se comparan con los obtenidos cuando se utiliza una función de
brillo rectangular.
23
2.1 Marco teórico
El comportamiento estadístico de una superficie marina proporciona información acerca
de la distribución espectral de energía, lo cual resulta de utilidad para la caracterización local
de superficies marinas. Como una primera aproximación para el estudio del espectro de
energía, podemos partir del estudio unidimensional de una superficie marina y considerar la
variación de la altura del oleaje como un proceso estocástico estacionario de tipo gaussiano
descrito por una función x .
La función x describe la onda generada por el viento, esta función se puede
interpretar como una señal generada por el sistema dinámico que representa el perfil de la
superficie marina. La función del perfil de la superficie también corresponde a un proceso
estocástico de igual forma estacionario dado por la función d xM x
dx
, cuya función
de correlación está descrita por ( ) ( ) ( )MC M x M x , con una varianza asociada 2M .
Las funciones x y M x describen de manera distinta el mismo proceso estocástico
y están relacionadas mediante la identidad (Papoulis, 1981, págs. 316-317):
2
2M
d CC M x M x
d
.
(2.1)
La reflexión de luz en superficies marinas, como se ilustra en la Fig. 3 permite el proceso
de formación de una imagen en el plano de un sensor en la región D.
Fig. 3 Representación unidimensional de la reflexión de luz sobre las olas marinas.
24
La imagen es un proceso aleatorio al que podemos llamar ( )I x , el cual esta determinado
por el proceso aleatorio que representa la variación de las pendientes de la superficie ( )M x .
La relación entre ambos procesos es mediante una transformación no lineal B M entre el
espacio de representaciones de las superficies y el de las imágenes ( x B M x ), definida
como una función de brillo, la cual define una intensidad en el plano de formación de la
imagen en el sensor I B M . Esta situación se puede mostrar en la Fig. 4.
Fig. 4 Mapeo del espacio de representación de las pendientes de superficies marinas
al de las imágenes que forman.
Aunque los procesos x y ( )M x son estacionarios, el proceso de formación de la imagen
( )I x no es estacionario debido a que sus propiedades estadísticas son función de la posición
x , esto es, los ángulos d y s son función de la coordenada x . Por otro lado, si consideramos
que el plano de observación es lejano d x , el proceso puede ser considerado estacionario
en la región de observación. Siguiendo las consideraciones mencionadas podemos asociar
una función de correlación a la imagen ( )I x , como ( ) ( ) ( )IC I x I x con una varianza
asociada 2I .
La imagen que se forma, patrón de brillo, de la luz del sol reflejada en superficies marinas
esta compuesta por puntos que tienen un valor asignado de iluminación y descrita por una
función de brillo B M . Como una aproximación (Álvarez-Borrego, 1993) utilizó la función
25
rectangular para considerar la ausencia o presencia de brillos de luz en la imagen al
considerar valores de 0 ó 1, para representar las condiciones de reflexión de luz en las
superficies con pendiente M, mismas que permiten la formación de la imagen. Esta función
fue definida por Álvarez-Borrego (1993), y en forma rigurosa (Álvarez-Borrego,1995) como
0
201
2
M MB M rectM
,
(2.2)
definida en el rango
2 20 0 0 01 1
4 4M M M M M
,
(2.3)
donde es el diámetro aparente del sol, 0M es la pendiente crítica que permite a los rayos
solares llegar al detector y M los valores que esas pendientes pueden tener. Esta función de
brillo nos permite una representación binaria de la imagen, lo que significa que cuando se
utiliza la función rectangular solo hay dos valores para cada pixel de la fotografía, el de
iluminado o no, sin niveles de penumbra.
El modelo de brillo considerado define una relación entre la descripción estadística de las
pendientes de la superficie M x y las intensidades de la imagen de los patrones de brillo.
Con esta función de brillo definida sobre esas pendientes podemos de igual manera calcular
la autocorrelación de la imagen 2 2( )IC M x M x , como ya se ha calculado y
reportado anteriormente por Álvarez-Borrego (1993).
El brillo grabado en una imagen obtenida por un sensor digital de imágenes, es una
región de tonalidades que van de las regiones brillantes a las oscuras. Aquí los puntos son
pixeles que pueden tener distintos valores de tonalidad de los niveles de grises, por lo que en
realidad se tiene una región continua de valores de la intensidad del campo electromagnético
que incide en el plano de formación de la imagen, de manera que el uso de una función
gaussiana permitiría representar de mejor forma esta distribución de las intensidades en la
26
imagen por lo que en esta investigación se utilizó una función de brillo de tipo gaussiana para
representar el brillo en cada punto i del perfil de la superficie.
20
2( ) exp i ii
i
M MB M
a
,
(2.4)
donde 201
8i ia M nos da información del ancho de la función de brillo gaussiana y 0iM
es el valor central del intervalo de las pendientes en los puntos i alrededor del cual oscilan
los valores de las pendientes, con la condición de reflejar luz hacia el detector.
La razón de esta propuesta radica en el hecho muy conocido de que en la naturaleza los
procesos son en su mayoría gaussianos. Además, una función gaussiana posee propiedades
que permiten hacer una distribución continua, de los tonos de brillo que un sensor posee para
representar las intensidades luminosas que detecta, desde las superficies reflectoras en los
puntos i de la superficie.
El brillo detectado por un sensor óptico aparece y desaparece a línea de vista, por ello se
puede modelar mediante la función rectangular, sin embargo, podemos suponer una
transición suave y continua entre los valores extremos 0 y 1. Luego podemos centrar en el
rectángulo una función gaussiana como se ilustra en la Fig. 5, donde se muestra la gaussiana
con un ancho de 0.0048 radianes que corresponde a un valor de beta de 0.68 grados.
Fig. 5 Comparación de las funciones rectangular y gaussiana para la función de brillo.
27
Así, podemos tener una distribución continua del brillo de luz presentes en las imágenes.
En este caso la función gaussiana permite distribuir el brillo en un intervalo numérico
aproximado donde el brillo máximo se logra cuando la pendiente de la superficie que
contribuye con la formación de una imagen tiene el valor de 0iM .
Podemos ahora realizar codificaciones digitales para el intervalo de aproximación al
modelo de la función gaussiana, usando bloques de 8 bits para seleccionar 128 tonos de gris
en vez de solo los dos valores que consideramos en la imagen de regiones de blanco y negro
de brillo solar.
2.2 Promedio y varianza en imágenes de superficies gaussianas 2.2.1 Utilizando función de brillo rectangular
Usando la función de brillo rectangular y la ecuación (1.19) tenemos para la media
2
1
2
221
1 1 exp22 1
2
I
i
i
LNi oi i
ii MLM oi
M M Mrect dMN M
(2.5)
donde ip M es la función de densidad de probabilidad en una dimensión. La solución a la ecuación (2.5) es
2 1
1
1 12 2 2
Ni i
ii M M
L Lerf erfN
.
(2.6)
Para la varianza de las intensidades en la imagen, ecuación (1.20), tenemos
2
1
2 2 1 2 11 1 12 42 2 2 2
N
i M M M M
i i i iI
L L L Lerf erf erf erf
N N
.
(2.7)
La cual es la relación requerida entre la varianza de las intensidades de la imagen, 2
I , y la varianza de las pendientes de la superficies, 2
M .
28
2.2.2 Utilizando función de brillo gaussiana
Por otro lado, la expresión que describe el promedio en las imágenes considerando una
función de brillo de tipo gaussiana (ecuación 1.5) en la expresión de la media (ecuación 1.19)
nos permite obtener
20
2 22 2
2 20
2 2 21
2 20
1 2 2
exp22 2
2 212 2
2 22 2
i i
M iM i
NM i M i
iIi Mi i M i
M i M ii
i M i M i
a Maa
a Merf LaN a a
a Merf La a a
.
(2.8)
Y la varianza tiene la forma
22
2 22 21
2 2
2 2 2
2
2 2
1 2 2
21 exp42 4
4 2 22 4
.4 2 2
2 4
Ni oi
Ii M iM i
M i M oii
i M i M i
I
M i M oii
i M i M i
a MN aa
a Merf La a a
a Merf La a a
(2.9)
2.3 Correlaciones en imágenes de superficies gaussianas
2.3.1 Utilizando función de brillo rectangular
En el caso de función de brillo rectangular, la relación entre la función de correlación
de las pendientes de la superficies, MC , y la función de correlación del patrón de brillo,
IC , esta dado por la ecuación (1.22). Después de realizar la primera integración,
obtenemos
29
2
1
222
2 21 1
2 2 1 222 2 2 2
1 2 exp24
2 1 2 1
j
j
LN Nj
I Ij i ML M
i M j i M jj
M M M M
MC
N
L C M L C Merf erf dM
C C
,
(2.10)
donde
21 1
4j oj ojL M M ,
22 1
4j oj ojL M M .
(2.11)
2.3.2 Utilizando función de brillo gaussiana.
Cuando utilizamos una función de brillo gaussiana ecuación (1.24) y una función de
densidad de probabilidad gaussiana, ecuación (1.25) la relación entre la función de
correlación de las pendientes de la superficie MC y la función de correlación del patrón
de brillo IC , esta dado por (Poom-Medina et. al., 2014a):
2
1
22 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
222 2 2 2 2
2 22
22 22 2 2
1
2 2 2 1
2 2 1
2 2 1exp
122 22 1
j
j
LN Ni
I Ij iL M i M M
i j M i j M M
j
j M i M M
M Mojoi M oij
j ii M M
aC
N a C
a a a a CM
a a C
CMM C MM
a aa C
2
22 2 2
2 2 222
22 2 2 2
2 22
2 2 2 2
122 1
2 1
2 12 1 2 1
2 1
2 1 2 1
oj
ji M M
i M M i oii oi M j
i M MM M i M M
i Mi oi M j
M M i M M
Maa C
a C L Ma M C Merf
a CC a C
aa M C Merf
C a C
22
1
22 1
j
M i oi
i M M
dMC L M
a C
(2.12)
,
para resolver la segunda integral se utiliza el método numérico del trapecio.
30
2.4 Promedio y varianza en imágenes de superficies no gaussianas
En esta sección se presentarán las relaciones estadísticas de las intensidades de los patrones de
brillo y las pendientes de las superficies del mar. Se considera la función de densidad de
probabilidad no gaussiana descrita por la ecuación (1.15) donde los ( )im con ( 1, 2,3,...i ) son
los coeficientes de los polinomios de Hermite en la expansión en Gram-Charlier. La función
de brillo definida en la ecuación 1.5, seguirá siendo utilizada para calcular estas relaciones
estadísticas porque es la función que modela la generación de estadísticas en el tipo de sensor
objeto de la presente investigación.
2.4.1 Utilizando función de brillo rectangular
La varianza en el caso de la función de brillo tipo rectangular, y considerando la función
de densidad de probabilidad no gaussiana para las pendientes de la superficie no gaussiana,
esta dada por
2 (1 )I I I ,
donde, si definimos 2
1 ,2 M
A
la ecuación para I puede escribirse como
2
1
2
1
(3) (4) 2 (3) 3 (4) 4(4)
2 3 4
1 1 exp ( )2
118 2 4 6 24
I
i
i
LN
ii LM
M i M i M i M iM i
M M M M
AMN
M M M M dM
,
y, considerando para propósitos de cálculo las siguientes definiciones:
31
(4)(3) (4)
2 3
(3) (4)
4 5
118 ; ; ;
2 2 2 4 2
; ;6 2 24 2
MM M
M M M
M M
M M
P Q R
S T
,
encontramos que el valor para I es
22
2 22 2 2 2 2 2
5/2 21 1
2 21 1 1 1 1 1
exp
exp 4 2 3 2 2 2 318 exp
exp 4 2 3 2 2 2 3
i
N i i i i i i
Ii i
i i i i i i
AL
AL erf AL A P AR T A A Q L R L S TL S TL
NA AL
AL erf AL A P AR T A A Q L R L S TL S TL
.
2.4.2 Utilizando función de brillo gaussiana
Por otra parte, en el caso de la función de brillo gaussiana y superficies no gaussianas se tiene
para la media I y considerando que 2 2
2 2
22
M i
M i
aAa
, 0
2i
i
MBa
y
202
i
i
MCa
, la ecuación
(1.19) puede ser reescrita como
2
1
2
1
(3) (4) 2 (3) 3 (4) 4(4)
2 3 4
1 1 exp ( 2 )2
118 2 4 6 24
I
i
i
LN
i ii LM
M i M i M i M iM i
M M M M
AM BM CN
M M M M dM
,
cuyo resultado es
32
4 3
22 2 22
2 4
22 2 3
2 2 2
22 2 2
32
9/21
4 2 4
exp 4 6 3
4 3 4exp 2
2
2 2 2 3
2 5 21
8
i i
i ii i i
i i i
iN
Ii
A P A R BQAL B AL Berf A B R BS T
A AAB BS T B T
AL BL CA Q L R L S TL
A A B R L S TL S TL
AB B S TL T B T
NA
4 3
21 2 21
2 4
21 1 3
1 1 1
21 1 1
4 2 4
exp 4 6 3
4 3 4exp 2
2
2 2 2 3
2
i i
i ii i i
i i i
A P A R BQAL B AL Berf A B R BS T
A AAB BS T B T
AL BL CA Q L R L S TL
A A B R L S TL S TL
AB B S
31 5 2iTL T B T
La varianza esta dada por (Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2010);
La solución de la integral en la ecuación (2.19) es similar a la ecuación (2.18) pero ahora
con 2 2
02 2 2
4 2,2
M i i
M i i
a MA Ba a
, y
20
2
2 i
i
MCa
. La ecuación (2.19) es la relación requerida
entre la varianza de las intensidades en la imagen 2I y la varianza de las pendientes de la
superficie.
2
1
2
1
2
1
22
1
21
1 i
i
i
i
LN
i L
LN
I i I i ii L
i i i IB M p M dMN
B M p M dMN
.
33
2.5 Correlaciones en imágenes de superficies no gaussianas
2.5.1 Caso función de brillo rectangular.
En cuanto a la correlación con funciones de brillo rectangular y superficies con funciones de
densidad de probabilidad no gaussianas, encontramos que la función de correlación de las
pendientes de las superficies MC y la función de correlación de las imágenes del patrón de
brillo IC esta dado por la ecuación (1.22), la cual reescribimos como:
2 2
1 1
2 2 3 21 1 1 1 1 1 22
1 1
exp 2 .j i
j i
L LN N
I I i i i i i i jj iL L
EC AM BM C PM QM SM F dM dMN
donde
2
2 22 2 2 2 2 2
3(03) (21)2 (12)
2 22 2
2 (21(30)2(30) (21) (12) (12)3 3
1 , , ;2 1 2 1 2 1
1 ; 1 3 ;6 22 1
1 1 1 ; ;2 2 2 6
M j j
M M M M M M
jM MM j M M M j
MM M
j MMM M M M M M M M
M M
C M MA B C
C C C
ME F M C M
C
MS C P Q
)
23 ,
2j
M
M
cuyo resultado es
2
1
22 2
2 3 2 32 2
2 22 2 2
22 7/2
1 11
21 1
exp
exp 2 2 2 2 3 2
2
4exp
exp 2
j
j
i i
i i
i i i
LN N
I Ij iL i
i i
AL B AL BerfA A
AL BL C A F A Q BS AB BQ P B P
A A L PL Q S A BPL BQ P B P
ECN A AL
AL BL C
21
3 2 3
2 21 1 1
2 2 2 3 2
2
i
i i i
B AL BerfA A
A F A Q BS AB BQ P B P
A A L PL Q S A BPL BQ P B P
34
2.5.2 Caso función de brillo gaussiano
Partiendo de la ecuación (2.20), pero ahora con
22 22 2 2 2
2 2 222 2 2
2 2 2 2 2 2
3(03) (21)2 (12)
2 22 2
(30) (
1 1 , ,2 1 2 1
2,
2 1
1 ; 1 3 ,6 22 1
12
M joi
i iM M M M
oj j oj j joi
i j j j M M
jM MM j M M M j
MM M
M M M
C MMA Ba aC C
M M M M MMCa a a a C
ME F M C M
C
S
2221) (12) (12)3
(21)(30)2
3 3
1 1 ,2 2
; .6 2
jM M M M M
M
M jM
M M
MC
MP Q
El resultado es:
2
1
22 2
2 3 2 32 2
2 22 2 2
22 7/2
1 11
21 1
exp
exp 2 2 2 2 3 2
2
4exp
exp 2
j
j
i i
i i
i i i
LN N
I Ij iL i
i i
AL B AL BerfA A
AL BL C A F A Q BS AB BQ P B P
A A L PL Q S A BPL BQ P B P
ECN A AL
AL BL C
21
3 2 3
2 21 1 1
.
2 2 2 3 2
2
i
i i i
B AL BerfA A
A F A Q BS AB BQ P B P
A A L PL Q S A BPL BQ P B P
35
Capítulo 3
Resultados y discusión
Este capítulo contiene las nuevas graficas que relacionan las varianzas (Poom-Medina
et.al., 2013) y las correlaciones de las intensidades de la imagen de la superficie del mar
versus las varianzas y las correlaciones de las pendientes de las superficies para diferentes
ángulos de incidencia considerando una función de brillo gaussiana en los casos de
superficies con distribución gaussiana y no gaussiana.
Estos resultados serán comparados con los obtenidos previamente por (Álvarez-Borrego
y Martin-Atienza, 2010), donde se utilizó la función tipo rectangular. En este caso,
suponemos que todas las olas del océano se mueven en una sola dirección y el plano vertical
que contiene esta dirección incluye a ambos el sensor y la fuente de luz. Los resultados
obtenidos, se discuten en el contexto de su interpretación física.
36
3.1 Resultados y discusión en superficies con distribuciones gaussianas
En la figuras 6 y 7, se muestran las comparaciones de las varianzas obtenidas por las
ecuaciones (2.7) y ecuación (2.9), donde la función rectangular y la función gaussiana son
usadas como funciones de brillo.
En el eje horizontal se encuentra la varianza de las pendientes, mientras que en el eje
vertical encontramos la varianza de las intensidades de la imagen. El valor de 0.04 en 2M
corresponde a una velocidad del viento de 12-14 m/s. la cual corresponde a un mar
desarrollado (Cox y Munk, 1954). El comportamiento de las curvas mostradas en las gráficas
es muy similar y la diferencia corresponde a los valores de la varianza de las intensidades de
la imagen. Esta diferencia es porque la función de brillo gaussiana en la imagen de la
fotografía presenta un patrón de brillo con menor intensidad. En otras palabras, el perfil de
la fuente es gaussiana y comparados con el perfil de la función de brillo rectangular, esta
última es más intensa. La Fig.6 muestra cómo estas relaciones con dos funciones de brillo (2I contra 2
M ) para 100, 500, 1000 y 5000 metros, están cambiando mientras la altura H
del sensor es elevada. Esto puede ser visto que cuando H se incrementa, la línea de 50°
desciende y cruza con las otras.
En la medida en que la altura H se incrementa, las curvas con mayor s disminuyen hasta
que el arreglo de las curvas cambia. La explicación para ello es muy simple: si la cámara está
en H=100 m., recibirá más luz reflejada a mayores ángulos s , por la geometría de la
reflexión. Cuando H se incrementa, el sensor de la cámara recibirá menos luz reflejada de
grandes ángulos de incidencia, pero tendrá más reflexión de luz para pequeños ángulos de
incidencia.
Cuando la varianza de las pendientes se incrementa observamos una convergencia en las
curvas. Esto es debido a que a mayor velocidad de viento sobre la superficie marina se
incrementa la varianza de las pendientes y por tanto tenemos una superficie bastante rugosa,
de tal manera que ya no importa el valor del ángulo de incidencia de la luz, esta se dispersa
en todas direcciones obteniéndose casi el mismo valor de varianza para la imagen sin
importar los ángulos de incidencia.
37
En la Fig. 7, en el eje horizontal se muestra la correlación de la pendiente de la superficie.
En el eje vertical se muestra la correlación de las intensidades de la imagen. El
comportamiento de las curvas aparece muy similar. La función de correlación tiene el mismo
comportamiento de las curvas (similar al de las curvas de las varianzas) cuando el sensor
asciende. De hecho, ambas funciones, rectangular y gaussiana, pueden ser usadas para
representar las funciones de brillo la cual describe de buena forma la posición de la reflexión
del brillo solar sobre la superficie del mar.
Por otro lado con el fin de evitar problemas de tiempo y memoria en el cómputo
numérico, el perfil de la superficie se ha dividido en 16 intervalos consecutivos, cada uno de
los cuales con 1000 puntos separados por una distancia de 2cm. Los valores del ángulo d i
varían de punto a punto en el perfil. Para cada intervalo y para cada valor del s , la relación
entre la función de correlación IC y MC fue calculada.
Es necesario normalizar las funciones de correlación, mediante el uso de las
correspondientes varianzas, para comparar los resultados usando las funciones de brillo
rectangular y gaussianas usamos el valor de la desviación estándar 0.2121M , que
corresponde un viento con velocidad de entre 12 y 14 m/s (Cox y Munk, 1954).
Es posible también, estimar la varianza del promedio de las varianzas teóricas
calculadas para cada uno de los 16 intervalos. En el caso de la función de brillo rectangular,
este resultado puede ser consultado en Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2010. Y para el
caso de la función de brillo gaussiana podemos comparar ambas varianzas en las Tablas 1-4.
38
Superficies con distribución gaussiana utilizando Función de brillo rectangular Función de brillo gaussiana
a)
b)
c)
d)
Fig.6 Comparación considerando superficies con distribución gaussiana, entre la varianza de las intensidades de la imagen contra la varianza de las pendientes de superficies usando la función de brillo rectangular (lado izquierdo) y la función de brillo gaussiana (lado derecho) para H={a)100, b)500, c)1000 y d)5000}metros, respectivamente.
39
Correlaciones observadas en superficies con distribución gaussiana considerando:
Función de brillo rectangular Función de brillo gaussiana
a)
z
b)
c)
d)
Fig. 7 Comparación entre la correlación de las intensidades de la imagen contra la correlación de las pendientes de la superficie usando la función de brillo rectangular (lado izquierdo) y la función de brillo gaussiana (lado derecho) para H= {a)100, b)500, c)1000 y d)5000} metros, respectivamente.
40
Tabla. 1 Varianza de la imagen a diferentes ángulos de incidencia, cuando H=100 m.
s Varianza teórica de la imagen
Varianza teórica media
10º 0.001069765223863 0.001064441599496 20º 0.001492025954505 0.001487184949989 30º 0.001958230130476 0.001955343259637 40º 0.002388736757325 0.002388029903017 50º 0.002671209128861 0.002671295526859
Tabla. 2 Varianza de la imagen a diferentes ángulos de incidencia, cuando H=500 m.
s Varianza teórica de la imagen
Varianza teórica media
10º 0.003108873399102 0.003110830998389 20º 0.003208815843187 0.003211731390714 30º 0.002889310589063 0.002891047686755 40º 0.000225751959489 0.002257332274056 50º 0.001511883141621 0.001510770353073
Tabla. 3 Varianza de la imagen a diferentes ángulos de incidencia, cuando H=1000 m.
s Varianza teórica de la imagen
Varianza teórica media
10º 0.003378318252945 0.003381503619410 20º 0.003092065713698 0.003094688190786 30º 0.002426914586206 0.002428151612356 40º 0.001608171050977 0.001608346018891 50º 8.760812803764654-004 8.759361191028363e-004
Tabla. 4 Varianza de la imagen a diferentes ángulos de incidencia, cuando H=5000 m.
s Varianza teórica de la imagen
Varianza teórica media
10º 0.003275186586775 0.003278138111697 20º 0.002669361095169 0.002671306656354 30º 0.001833467188234 0.001834361752515 40º 0.001032391737440 0.001032663417692 50º 4.56179139595926e-004 4.562286393551489e-004
41
3.3 Resultados y discusión en superficies con distribución no gaussiana
Las ecuaciones 2.13 y 2.14 nos permiten obtener la Fig.8, donde podemos observar las
varianzas en superficies no gaussianas considerando una función de brillo rectangular, y las
ecuaciones 2.19 y 2.18 cuando se considera una función de brillo gaussiana (Poom-Medina
et.al., 2013b), en ambos casos considerando sesgo en la parte no gaussiana de la función de
distribución.
La ecuación 2.19 permite las gráficas de la figura 9, donde se muestran las varianzas
obtenidas cuando se utiliza una función de brillo gaussiana, en superficies gaussiana y en
superficies no gaussianas mediante la ecuación 2.19 y 2.18.
La ecuación 2.22, permite obtener la Fig.10, donde observamos las correlaciones en
superficies con distribución no gaussiana utilizando una función de brillo rectangular y con
la ecuación 2.23 cuando utilizamos la función de brillo gaussiana.
En la Fig. 11 observamos las gráficas de las correlaciones cuando usamos función de
brillo gaussiano, con la ecuación 2.12 para las superficies gaussianas y con la ecuación 2.22
para las superficies no gaussianas.
La función de brillo gaussiana describe un comportamiento de lento crecimiento de la
correlación de las imágenes en la medida que aumenta la correlación de las pendientes de la
superficie.
Considerando un perfil de superficies de 16 000 puntos para sensar una distancia de la
superficie de alrededor de 320 metros, se necesitan aproximadamente 108 horas de cálculo
en una computadora de escritorio utilizando un solo CPU, en cambio, si usamos 16
procesadores de un clúster en el que distribuyamos la misma instancia de programación, el
tiempo de ejecución tarda aproximadamente 4 horas. Entonces, para obtener información
estadística de imágenes provenientes de sistemas naturales que varían en el tiempo, como las
imágenes de superficies marinas, es necesario diseñar un sistema óptico de adquisición y
procesamiento de imágenes eficiente, así como también explorar nuevas arquitecturas de
cómputo y algoritmos para procesamiento en tiempo real de superficies del mar con brillos
de luz.
42
Observación de varianzas en superficies con distribución no gaussiana
(con sesgo de -0.463 y curtosis de cero) Función de brillo rectangular Función de brillo gaussiano a)
b)
c)
d)
Fig. 8 Comparación considerando superficies con distribución no gaussiana (considerando un sesgo de -0.463 y curtosis de cero) de la varianza de las imágenes contra la varianza de las pendientes usando funciones de brillo función rectangular (lado izquierdo) y gaussiano (lado derecho) para alturas del sensor de H={a)100, b)500, c)1000 y d)5000} metros, respectivamente.
43
Uso de la función de brillo gaussiana para observar varianzas en:
superficies con distribución
gaussiana superficies con distribución no
gaussiana a)
b)
c)
d)
Fig. 9 Comparación usando la función de brillo gaussiana, para estudiar las varianzas en superficies con distribución gaussiana (lado izquierdo) y no-gaussiana (lado derecho, considerando sesgo=-0.463 y curtosis=0) para alturas del sensor de H={a)100, b)500, c)1000 y d)5000}metros.
44
Observación de las correlaciones en superficie marina con estadística no gaussiana,
utilizando
función de brillo rectangular utilizando
función de brillo gaussiana a)
b)
c)
d)
Fig. 10 Comparación, considerando superficies con estadística no gaussiana, entre la correlación de las intensidades de la imagen contra la correlación de las pendientes de la superficie usando la función de brillo rectangular (lado izquierdo) y la función de brillo gaussiana (lado derecho) para H= {a)100, b)500, c)1000 y d)5000} metros, respectivamente.
45
Observación de las correlaciones utilizando función de brillo gaussiana en:
Superficies con distribución gaussiana
Superficies con distribución no gaussiana
a)
b)
c)
d)
Fig. 11 Comparación usando una función de brillo gaussiana, entre la correlación de las intensidades de la imagen de superficies gaussianas (lado izquierdo) y la correlación de las pendientes de superficies no gaussianas (lado derecho) para H= {a)100, b)500, c)1000 y d)5000} metros, respectivamente.
46
Capítulo 4
Conclusiones
Se obtuvieron las relaciones teóricas de las varianzas y las funciones de correlación de
las intensidades de los patrones de brillo y de las pendientes de una superficie marina.
El modelo utilizado para la función de brillo gaussiana puede ayudar en la elección de
criterios para el diseño de sistemas ópticos para realizar medidas remotas de superficies
marinas con reflexión de luz y en donde la presencia de partículas suspendidas en la
atmósfera pueden afectar de diferente forma el proceso de formación de la imagen en el
sensor.
Al proponer una función continua de tipo gaussiano para modelar la iluminación que se
percibe en un sensor óptico, nos permite interpretar los intervalos de las intensidades
promedio de iluminación, que teóricamente esperamos recibir en un detector óptico, así como
su varianza. Para complementar el estudio estadístico podemos calcular las correlaciones
entre todos los puntos de la imagen.
Las relaciones calculadas nos permiten dibujar el comportamiento estadístico de la
imagen versus las pendientes de la superficie del mar. En el caso de las curvas de la varianzas,
estas tienen una variación menor al orden de 310 cuando se consideran las contribuciones
del sesgo y curtosis.
El comportamiento de las curvas a diferentes alturas es el mismo no importando si la
función de brillo rectangular o la función de brillo gaussiana se ha utilizado. Ambas
funciones de brillo son fáciles de usar en el cálculo de estas relaciones. Las diferencias en los
valores de la varianza de las intensidades de la imagen en ambos casos son en proporción al
perfil de la fuente usada.
47
En el caso de las correlaciones imágenes-pendientes, se observa un aplanamiento de las
gráficas en todos los ángulos de observación y principalmente a alturas por encima de los
100 metros, lo cual puede ser interpretada como un lento cambio en la correlación de las
imágenes conforme se incrementan las correlaciones de las pendientes de las superficie,
debido a que, en condiciones de superficies no gaussianas, el detector no percibe cambios
notables cuando aumentan las correlaciones de la superficie.
Desde la perspectiva computacional, hemos visto que los costos computacionales para
calcular las varianzas y correlaciones son diferentes. En el caso de las varianzas el orden de
los costos computacionales son O n y en el caso de las correlaciones el orden es 2O n .
La función de brillo gaussiana representa mejor la física del proceso de sensado de una
señal luminosa ya que puede actuar como una función que modula la intensidad de la
luminiscencia sobre el patrón de brillo, lo cual es consistente con la situación natural tal como
la presencia de nubes o aerosoles entre el sensor y el área de la superficie bajo observación,
lo que hace más finas las modelaciones de diferentes condiciones atmosféricas.
Para propósitos de procesamiento en tiempo real es conveniente explorar en otras
arquitecturas de hardware y de programación para reducir los tiempos de ejecución de los
algoritmos que calculan las estadísticas presentes en ensambles de imágenes de superficies
marinas. Lo que plantea nuevos retos en el diseño y construcción del hardware y el software
que permita alto rendimiento y portabilidad en los sistemas automáticos de monitoreo o
supervisión de superficies marinas.
Las variables físicas de las superficies marinas es posible conocerlas usando imágenes
digitales, en un ensamble de ellas se puede almacenar información suficiente para calcular
estadísticas básicas como el promedio, la varianza y las correlaciones, y con ellas recuperar
información del sistema observado con tales imágenes.
Lo anterior plantea nuevos horizontes y retos por encarar para contribuir en la
construcción de instrumentación que conjunte la óptica y el procesamiento de imágenes para
el sensado remoto de superficies marinas.
48
Referencias
Álvarez-Borrego, J. and Machado Marco A., 1985. Optical analysis of a simulated image of
the sea surface, Applied Optics, Vol 24, No. 7, 1064-1072.
Álvarez Borrego, J., 1993. Two dimensional glitter function in the study of rough surfaces
via remote sensing, J. Mod. Opt., 40(11), 2081-2086.
Álvarez Borrego, J., 1995a. 1-d rough surfaces: glitter function for remote sensing, Opt.
Comm., 113, 353-356.
Álvarez Borrego, J., 1995. Función de brillo: superficies rugosas en una y dos dimensiones,
Revista Mexicana de Física 41, No. 4, 524-532.
Álvarez-Borrego, J. and Martin-Atienza, B., 2010. An Improved Model to Obtain Some
Statistical Properties of Surface Slopes via Remote Sensing Using Variable Reflection Angle,
IEEE T. Geosc. and Remote Sensing, 48(10), 3647-3651.
Álvarez-Borrego y Martin-Atienza, 2013. Some statistical properties of Surface slopes via
remote sensing using variable reflection angle considering a non-Gaussian probability
density fucntion. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, vol. 10, No.2, March.
Barber N.F., 1954. Finding the direction of travel of sea waves, Nature, 174, 1048-1050.
Barraza-Felix and B. Roy Frieden, 2002. Regularization of the image division approach to
blind deconvolution, Applied Optics, Vol. 38, No.11, 2232-2229,
Cox, C., and Munk W., 1954. Measurement of the roughness of the sea surface from
photographs of the Sun's glitter, J. Opt. Soc. Am., 44, 838-850.
49
Cox, C., and Munk, W., 1956. Slopes of the sea surface deduced from photography of Sun
glitter, Bull. Scripps Inst. Oceanography, 6(5), 397-487.
Denzil Stilwell, Jr., 1969. Directional Energy Spectra of the sea from photographs, J. Geoph.
Res, Vol. 74, No. 8, April 15.
Eliahu Cohen, et. al., 2015. When physics meets signal processing: Image and video
denoising based on Ising theory, Signal Processing: Image Communication, 34, 14-21.
Kasevich M., and Moskowski S., 1975. Directional wave spectra from daylight scattering, J.
Geophysics Research 80, No. 33, 4535-4541.
Longuet-Higgins, 1963a. The effect of non-linearities on statistical distributions in the theory
of sea waves.
Longuet-Higgins, M.S., S.D.E. Cartwright and D.D. Smith, 1963b. Observations of the
directional spectrum of sea waves using the motions of floating buoy in ocean wave spectra,
pp. 111-136, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.
Negrete-Regagnon, P. and Álvarez-Borrego J., 1990. Optical and digital image processing
of simulated sea Surface. Opt. Pura y Apl., 23, 7-29.
Papoulis A., 1981. Probability, random variables, and stochastic processes, Chap. 9,
McGraw-Hill, New York.
Peón-Gonzalez R. and Álvarez-Borrego J., 1990. Optical and Digital correlation of simulated
sea surfaces. Optica Pura y Aplicada –Vol. 23 -1990.
Peppers, N., and Ostrem J.S., 1978. Determination of wave slopes from photographs of the
ocean Surface: a new approach. Applied Optics, 17, 3450-3458.
Poom-Medina, et. al., 2013. Comparative analysis between two different functions for
deducing statistical properties of sea surface slopes, San Diego California U.S.A, 2013
Optics+Photonics, Proc. SPIE 8833, Proc. SPIE Vol 8833 88330C.
50
Poom-Medina, et. al., 2014a. Theoretical statistical relationships between the intensities of
an image of the sea surface and its slopes: a result comparison of rect an Gaussian glitter
functions, Optical Engineering 53(4) 043103
Poom-Medina y Álvarez-Borrego, 2014b. Estimation of variance of sea surface slopes
through the variance of the glittern patterns’ images. Paris France, Proc. SPIE 9443, Sixth
International Conference on Graphic and Image Processing (ICGIP 2014)
Preisendorfer, R. W. and Mobley Curtis D., 1986. Albedos and glitter patterns of a wind
roughned sea surface. J. Physical Oceanography, 16, 1293-1316.
Stilwell, D. Jr., 1969. Directional energy spectra of the sea from photographs. J. Geophysics
Res., 74, 1974-1986.
Stilwell, D. Jr. and Pilon R. O., 1974. Directional spectra of surface waves from photographs.
J. Geophysics Res., 79, 1277-1284.
51
Artículos derivados de la tesis
Artículos en revista con arbitraje: Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, Martin-Atienza Beatriz, “Theoretical relationships between the intensities of an image of the sea surface and its slopes: a result comparison of rect and Gaussian glitter”, Optical Engineering, 53(4), 043103 (April 02, 2014); doi:10.1117/1.OE.53.4.043103 Artículos en memorias de congresos internacionales con arbitraje:
Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, “Estimation of variance of sea surface slopes through the variance of the glitter patterns’ images,” Paris France, Proc. SPIE 9443, Sixth International Conference on Graphic and Image Processing (ICGIP 2014), 944314 (October 24, 2014); doi:10.1117/12.2179060; http://dx.doi.org/10.1117/12.2179060 Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, Martin-Atienza Beatriz, “Comparative analysis between two different glitter functions for deducing statistical properties of sea surface slopes”, San Diego California U.S.A, 2013 Optics+Photonics, Proc. SPIE 8833, (September 30, 2013); doi:10.1117/12.2024211; http://dx.doi.org/10.1117/12.2024211
Comparative analysis between two different glitter functions for deducing statistical properties of sea surface slopes
JL Pooma, Josué Álvarez-Borregob, Ángel Coronel-Beltrána, Beatriz Martín-Atienzac
aUNISON, Physics Research Department, bCICESE, Optics Department, cUABC, Faculty Marine Sciences.
ABSTRACT The reflection of the sunlight over the sea surface is called glitter pattern. In previous works, when the one-dimensional case is analyzed, the glitter function was mathematically described like a rect function. This rect function has proved to be a very good representation of the glitter pattern. In this paper a Gaussian glitter function is used like a first approximation to the rect function. The statistical relationship between the variance of the intensities of the image, the glitter pattern, and the variance of the sea surface slopes is obtained and analyzed. The analytical solutions in this relationship are mathematical different but the graphics are very similar. Keywords: Sea surface, inverse problem, image processing, glitter pattern.
1. INTRODUCTION To measure the wave motion, the use of radar images and optical processing of aerial photographs has been used. In the last century, Barber[1] showed that the periodicity and directionality of waves can be estimated from the optical diffraction patterns of an image of the sea surface. In a series of articles, Cox and Munk[2-4] studied the distribution of intensity or glitter patterns in aerial photographs of the sea. One of their conclusions was that for constant and moderate wind speed, the probability density function of the slopes is Gaussian as a first approximation. This could be taken as an indication that in certain circumstances the ocean surface could be modeled as a Gaussian random process. Álvarez-Borrego[5-7] derived the equations which describes the glitter pattern in one and two dimensions. With the glitter function we can find the variance of the surface slopes from the variance of the intensities in the image. Álvarez-Borrego[8] considered the problem of retrieving spatial information of the statistical properties of random rough surfaces from images via remote sensing. He obtained expressions relating the intensity variance in the image and the surface heights. He considered the detector located at the zenith for each point on the surface. Recently, an improved model to obtain some statistical properties of the sea surface slopes via remote sensing using variable reflection angle has been considered[9]. The statistics of the surface slopes were obtained from the statistics of the glitter pattern considering the detector to several heights over the mean of the sea level. The idea in this paper is to derivative new relationships between the variance of the intensity in the image of the sea surface (taken by a charge-coupled device camera) and surface slopes for different incidence angles but considering a Gaussian glitter function and to compare these results with the obtained previously by Álvarez-Borrego and Martín-Atienza[9]. In the present case, we assume that all the ocean waves are moving along a single direction and the vertical plane containing this direction includes both, i.e., the observer and the sun. The material of this work is organized as follows: in Sec. 2, the statistical properties of sea surface slopes are described; in Sec. 2.1, the statistical properties using a rect glitter function are obtained; in Sec. 2.1.1, the relationships among the variances of the intensities in the image and surface slopes considering a Gaussian probability density function are calculated; in Sec. 2.2, the statistical properties using a Gaussian glitter function like the mean and the variance of the image are obtained; in Sec. 3, the results are presented and in Sec. 4, the conclusions are given.
Invited Paper
Tribute to H. John Caulfield, edited by Jorge Ojeda-Castaneda, María J. Yzuel, R. Barry Johnson, Proc. of SPIE Vol. 8833, 88330C · © 2013 SPIE
CCC code: 0277-786X/13/$18 · doi: 10.1117/12.2024211
Proc. of SPIE Vol. 8833 88330C-1
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tY,
2. STATISTICAL PROPERTIES OF SEA SURFACE SLOPES
2.1 Statistical properties using a rect glitter function
In this section we will write the results obtained by Álvarez-Borrego and Martin-Atienza[9]. In Fig. 1, we are proposing to use the same 1-D geometry as in [9], in which θd is a variable angle subtended by the optical system of the detector with the normal to a point of the surface. In addition, this model does not impose a restriction on the sensor field of view, and we neglect the effect of shadowing, i.e., the cases when some reflecting points are obscured by roughness. The expression between the variance of the intensity in the image and surface slopes is derived considering a Gaussian approximations
Figure 1. Geometry of Model to get some statistical properties of marine surface.
The model, considering θd as a variable, is shown in Fig. 1. The surface ζ(x) is illuminated by a uniform incoherent source S of limited angular extent, with wavelength and the apparent diameter β. Its image is formed in D by an aberration free optical system. The incidence angle θs is defined as the angle between the incidence direction and the normal to the mean surface and represents the mean angle subtended by the source S. Similar to Álvarez-Borrego and Martin-Atienza[9], (θd)i corresponds to the angle subtended by the optical system of the detector with the normal to the point i of the surface, i.e.,
1tand i
i x
H
, (1)
where H is the height of the detector, and ∆x is the interval between surface points. i is the angle subtended
between the normal to the mean surface and the normal to the slope for each i point in the surface, i.e.,
11tan .
2 2s
i
i x
H
(2)
We can see that in this more realistic physical situation, the angle θd is changing with respect to each point in the surface. It is worth noticing that a variable θd does not restrict the sensor field of view. According with Álvarez-Borrego and Martín-Atienza[9] the glitter function can be expressed as
0
20
( )1
2
i ii
i
M MB M rect
M
, (3)
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where
2 21 14 4oi oi i oi oiM M M M M
, (4)
tani iM , (5)
tan .
2s d i
oiM
(6)
Combining the expressions (2), (4)–(6), we obtained
1 11 1tan tan
2 2 4 2 2 4s s
i
i x i x
H H
, (7)
that is the slope interval, where a bright spot is received by the detector. 2.1.1. Relationships among the variances of the intensities in the image and surface slopes considering a Gaussian probability density function.
The mean of the image I
may be written as[9]
2
221
( ) ( )
1 1exp
22 12
I i i i
Ni oi i
ii MM
oi
B M p M dM
M M Mrect dM
N M
(8)
where iB M is the glitter function, eq. 3, and ip M is the Gaussian probability density function in one dimension.
Defining L1 and L2 like L1= 21 4oi oiM M and L2= 21 4oi oiM M we can write
2 1
1
1 1
2 2 2
N
ii M M
L Lerf erf
N
. (9)
The variance of the intensities in the image is defined by[9]
2
1
22
2 1 2 11 1 1
2 42 2 2 2,
N
i M M M M
I i I i i
L L L Lerf erf erf erf
N N
B M p M dM
(10)
which is the required relation between the variance of the intensities in the image, 2
I , and the variance of the
surface slopes, 2M .
.
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2.2. Statistical properties using a Gaussian glitter function In this paper we define the Gaussian glitter function like
2
02
( ) exp ,i ii
M MB M
a
(11)
and considering the equations (4-7), and the same definition for the mean and the variance of the intensities of the image, we found
20
2 22 2
2 22 0
0 02 2 2
2 22 0
0 02 2 2
exp22 2
2 21 142 2
2 21
42 2
i
MM
M M ii iI
M M
M M ii i
M M
Ma
aa
a Merf M M
aN a a
a Merf M M
a a a
1
N
i
, (12)
and
22
2 22 21
2 22
2 2
2 22
2 2
2
21exp
42 4
4 2 21
42 4
4 2 21
42 4
1 1
2
Noi
Ii MM
M M oioi oi
M M
M M oioi oi
M M
I
Ma
N aa
a Merf M M
a a a
a Merf M M
a a a
erN
2 2
1
1 14 4 2 ,
2 2
N oi oi oi oi
i M M
M M M Mf erf
(13)
where 21 8oia M gives information of the width of the Gaussian glitter function.
3. RESULTS
The next figures show us the comparison of the eqs. (10) and (13) where the rect function and the Gaussian function are used like glitter functions. In figure 2, in the horizontal axis the variance of the surface slope is found. In the vertical axis the variance of the intensities of the image is shown. With respect to 2
M , a value of 0.04 corresponds to a wind velocity over the sea
surface of 12-14 m/s. Thus, values of 2M from 0 to 0.04 corresponds to a wind velocity from 0 to 12-14 m/s in a
linear way in according with Cox and Munk[10]. The behavior of the curves looks very similar and the difference corresponds to the values of the variance of the intensities of the image only. This difference is because the Gaussian glitter function gives in the image of the photograph one glitter pattern with less intensity. In other words,
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0.008
Olt
0.011
0.002
0.01 0.08 0.12 r 0.16
e
0.025
0.02
0.015
0.005
20°
40°
50°
0 0.04 0.08 0.12 0.16
0.04 OX 0.12 0.16
the profile of the source is Gaussian and compared with the profile of the rect glitter function this last one is more intense.
a 2M b 2
M
c 2M d 2
M
Figure 2. Comparison of the relationship between the variance of the intensities of the image versus the variance of the surface slopes. a and c show these relationships when a rect glitter function has been used and H is equal to 100 and 500 m respectively. b and d show these relationships when a Gaussian glitter function has been used and H is equal to 100 and 500 m respectively.
In fact, both functions, rect and Gaussian, can be used to represent a glitter function which describes the position of the reflection of the sunlight over the sea surface. In figure 3, same results can be observed when H is equal to 1000 and 5000 m. Figs. 2 and 3 show how these relationships ( 2
I versus 2M ) are changing while H is being bigger. It can be seen that
when H is increasing, the line of 50◦ descend and to cross with the others. In so far as H goes up, the lines with larger θs go down until the arrangement of the curves changes. The explanation for this is very simple: if the camera stays at H = 100 m, it will receive more reflection of light at large θs because of the geometry of reflection. When H increases, the camera sensor will receive less light reflection of large incidence angles, but it will have more light reflections for small incidence angles. Therefore, when the camera is at a larger height, the sensor will receive more light reflections from smaller incidence angles.
4. CONCLUSIONS The behavior of the curves for different H is the same it does not matter if the rect or Gaussian glitter function has been used. Both glitter functions are easy to use in the calculus of these relationships. The differences in the values
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0.007
10°
0.005
0.00320°
30°
0.00140°'.
p 0.04 0.08 0.12 0.16
0.012
il,0°
D 00
00 ON
004 0.06 0.12 0 .16
of the variance of the intensities of the image in both cases are in proportion of the profile of the source used. Both glitter functions represent well the physics of the problem.
a 2M b 2
M
c 2M d
2M
Figure 3. Comparison of the relationship between the variance of the intensities of the image versus the variance of the surface slopes. a and c show these relationships when a rect glitter function has been used and H is equal to 1000 and 5000 m respectively. b and d show these relationships when a Gaussian glitter function has been used and H is equal to 1000 and 5000 m respectively.
5. REFERENCES
[1] Barber N.F., “Finding the direction of travel of sea waves”, Nature, 174, 1048-1050 (1980). [2] Cox, C., and Munk W., “Measurement of the roughness of the sea surface from photographs of the Sun's
glitter”, J. Opt. Soc. Am., 44, 838-850, (1954). [3] Cox, C., and Munk W., “Statistics of the sea surface derived from sun glitter”, J. Mar. Res., 13, 198-227,
(1954). [4] Cox, C., and Munk W., “Some problems in optical oceanography”, J. Mar. Res., 14, 381-396, (1955). [5] Álvarez-Borrego, J., “Wave Height Spectrum from Sun Glint Patterns: An Inverse Problem”, J. Geoph. Res,
98(C6), 10,245-10,258 (1993). [6] Álvarez Borrego, J., “Two dimensional glitter function in the study of rough surfaces via remote sensing”.
J. Mod. Opt., 40(11), 2081-2086, (1993). [7] Álvarez Borrego, J., “1-d rough surfaces: glitter function for remote sensing”. Opt. Comm., 113, 353-356,
(1995).
Proc. of SPIE Vol. 8833 88330C-6
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[8] Álvarez Borrego, J., “Some statistical properties of surface heights via remote sensing”J. Mod. Opt., 42(2), 279-288, (1995).
[9] Álvarez-Borrego, J., Martin-Atienza, B., “An Improved Model to Obtain Some Statistical Properties of Surface Slopes via Remote Sensing Using Variable Reflection Angle”.IEEE T. Geosc. and Remote Sensing, 48(10), 3647-3651, (2010).
[10] Cox, C., and Munk, W., “Slopes of the sea surface deduced from photography of Sun glitter”, Bull. Scripps Inst. Oceanogr., 6(5), 397-487, (1956).
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Theoretical statistical relationshipsbetween the intensities of an image ofthe sea surface and its slopes: a resultcomparison of rect and Gaussianglitter functions
José Luis Poom-MedinaJosué Álvarez-BorregoBeatriz Martín-AtienzaÁngel Coronel-Beltrán
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Theoretical statistical relationships between theintensities of an image of the sea surface and its slopes:a result comparison of rect and Gaussian glitter functions
José Luis Poom-Medina,a Josué Álvarez-Borrego,b,* Beatriz Martín-Atienza,c and Ángel Coronel-Beltrána
aUniversity of Sonora, Physics Research Department, Rosales y Boulevard Luis Encinas S/N, Hermosillo, C. P. 83000, MexicobCICESE, Applied Physics Division, Optics Department, Carretera Ensenada-Tijuana No. 3918, Fraccionamiento Zona Playitas, Ensenada,C. P. 22860, MéxicocUABC, Faculty Marine Sciences, Carretera Ensenada-Tijuana Km. 103, Ensenada, C. P. 22860, México
Abstract. The reflection of the sunlight over the sea surface is called glitter pattern. In previous works where theone-dimensional case was analyzed, the glitter function was mathematically described by a rect function. Thisrect function has proven to be a very good representation of the glitter pattern. A Gaussian glitter function is usedlike a first approximation to the rect function. The statistical relationship between the variance and the correlationfunction of the intensities of the image, the glitter pattern, and the variance of the sea surface slopes are obtainedand analyzed. The analytical solutions for these relationships are given by different equations; however, thegraphic representations are very similar. © The Authors. Published by SPIE under a Creative Commons Attribution 3.0 UnportedLicense. Distribution or reproduction of this work in whole or in part requires full attribution of the original publication, including its DOI. [DOI: 10.1117/1.OE.53.4.043103]
Keywords: sea surface; inverse problem; image processing; glitter pattern.
Paper 131810P received Nov. 29, 2013; revised manuscript received Feb. 21, 2014; accepted for publication Mar. 5, 2014; publishedonline Apr. 2, 2014.
1 IntroductionTo measure the wave motion, the use of radar images andoptical processing of aerial photographs has been used. Inthe last century, Barber1 showed that the periodicity anddirectionality of waves can be estimated from the optical dif-fraction patterns of an image of the sea surface. Cox andMunk2–4 studied the distribution of intensity or glitter pat-terns in aerial photographs of the sea. One of their conclu-sions was that for constant and moderate wind speed, theprobability density function of the slopes is Gaussian as afirst approximation. This could be taken as an indicationthat in certain circumstances the ocean surface could be mod-eled as a Gaussian random process.
Álvarez-Borrego5–7 derived the equations which describethe glitter pattern in one and two dimensions. With the glitterfunction, we can find the variance and the correlation func-tion of the sea surface slopes from the statistics of the inten-sities in the image. Álvarez-Borrego8 considered the problemof retrieving spatial information of the statistical propertiesof random rough sea surfaces from images via remote sens-ing. He obtained expressions relating the variance and thecorrelation function in the image and the surface heights.He considered the detector located at an arbitrary heightabove the sea level.
Zhang and Wang9 carried out comparison studies withmeasurements from moderate resolution imaging spectrora-diometer for several popular sun glitter models.
Baxter10 studied the ocean wave slope and height retrievalusing imagery collected from a polarimetric camera systemmounted on an airborne platforms, enabling measurements
over large areas and in regions devoid of wave buoys devel-oping a technique to calculate significant wave height.
Kay et al.11 demonstrated that it is feasible to generatehigh-resolution sea surface models and use them in radiativetransfer modeling of the ocean surface. Incorporating correctstatistics of surface elevation as well as slope gave estimatesof reflected radiance.
Recently, an improved model to obtain some statisticalproperties of the sea surface slopes via remote sensingusing variable reflection angle has been considered.12 Thestatistical parameters of the sea surface slopes were obtainedfrom the statistics of the glitter pattern considering the detec-tor located at any heights over the mean of the sea level.
In the present article, we derivate new relationships of thevariance and the correlation function of the intensities in theimage of the sea surface and sea surface slopes for differentincidence angles by considering a Gaussian glitter function.We also compare these results with the obtained previouslyby Álvarez-Borrego and Martín-Atienza.12 In other words,illumination changes in the glitter pattern can be modeledusing a Gaussian glitter function and the comparison withprevious result will give us an idea about the behavior ofthese theoretical relationships. In our work, we assumethat all the sea waves are moving along a single direction(in the open ocean the wind waves can be assumed to bemono-directional, however, this is not true for shallow envi-ronments because of the varied topography13) and verticalplane containing this direction includes both the observerand the sun.14 However, for any angle of reflection of thesunlight, the glint points on one transect taken from atwo-dimensional glitter image does not contain the samenumber of glitter as a one-dimensional (1-D) profile becauseof the x and y components.
*Address all correspondence to: Josué Álvarez-Borrego, E-mail: [email protected]
Optical Engineering 043103-1 April 2014 • Vol. 53(4)
Optical Engineering 53(4), 043103 (April 2014)
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The material of this work is organized as follows: inSec. 2, the statistical properties of sea surface slopes aredescribed; in Sec. 2.1, the statistical properties using arect glitter function are obtained; in Secs. 2.1.1 and 2.1.2,the relationships among the variances and the correlationfunction of the intensities in the image and sea surface slopesconsidering a Gaussian probability density function are cal-culated, respectively; in Sec. 2.2, the statistical propertiesusing a Gaussian glitter function like the mean, variance,and the correlation function of the image are obtained; inSec. 3, the results and discussions are presented and inSec. 4, the conclusions are given.
2 Statistical Properties of Sea Surface SlopesThis section describes the geometric model used and the dif-ferent theoretical relationships between the variances and thecorrelation functions using different glitter function.
2.1 1-D Geometric Model
We propose to use the same 1-D geometry as in Álvarez-Borrego and Martin-Atienza,12 in which θd is a variableangle subtended by the optical system of the detector withthe normal at one point of the surface (Fig. 1). Thismodel does not impose a restriction on the sensor field ofview. In addition, we neglect the effect of shadowing, i.e.,when some reflecting points are obscured by roughness ofthe sea surface.
The geometric model, considering θd as a variable, isshown in Fig. 1. The surface ζðxÞ is illuminated by a uniformincoherent source S of limited angular extent, with wave-length λ̄ and an apparent diameter β. Its image is formedin D by an aberration free optical system. The incidenceangle θs is defined as the angle between the incidence direc-tion and the normal to the mean surface. From Fig. 1, we canobserve that, ðθdÞi corresponds to the angle subtended by theoptical system of the detector with the normal to the point iof the surface, and is given by
ðθdÞi ¼ tan−1�iΔxH
�; (1)
where H are the height of the detector, and Δx is the intervalbetween surface points. Here, αi is the slope angle at each ipoint in the surface and is subtended between the normal tothe mean surface and the normal to the surface in the i point,i.e.,
αi ¼θs2þ 1
2tan−1
�iΔxH
�: (2)
In this realistic physical situation, the angle ðθdÞi ischanging with respect to each point in the surface. It isworth noticing that by using a variable ðθdÞi the sensorfield of view is not restricted.
According to Álvarez-Borrego and Martín-Atienza,12 theglitter function can be expressed as
BðMiÞ ¼ rect
�Mi −M0i
ð1þM20iÞ β
2
�; (3)
where
M0i − ð1þM20iÞ
β
4≤ Mi ≤ M0i þ ð1þM2
0iÞβ
4; (4)
Mi ¼ tanðαiÞ; (5)
M0i ¼ tan
�θs þ ðθdÞi
2
�: (6)
By combining Eqs. (2) and (4)–(6), we obtained
θs2þ 1
2tan−1
�iΔxH
�−β
4≤ αi ≤
θs2þ 1
2tan−1
�iΔxH
�þ β
4;
(7)
which is the slope angle interval, where a bright spot isreceived by the sensor.
2.1.1 Relationship between the variance of theintensities in the image and surface slopesconsidering the Gaussian probability densityfunction for the slopes and using the rectglitter function
The mean of the image μI may be written as12
μI ¼1
N
XNi¼1
Z∞
−∞BðMiÞpðMiÞdMi
¼ 1
N
XNi¼1
1
σMffiffiffiffiffi2π
pZ
∞
−∞rect
�Mi −M0i
ð1þM20iÞ β2
�exp
�−
M2i
2σ2M
�dMi;
(8)
where pðMiÞ is the Gaussian probability density function inone dimension. Defining L1i ¼ M0i − ð1þM2
0iÞβ∕4 andL2i ¼ M0i þ ð1þM2
0iÞβ∕4 the resulting expression is
μI ¼1
N
XNi¼1
1
2
�erf
�L2iffiffiffi2
pσM
�− erf
�L1iffiffiffi2
pσM
��: (9)
The variance of the intensities in the image is defined byÁlvarez-Borrego and Martín-Atienza:12
Fig. 1 Geometry of the model to get some statistical properties ofmarine surface.
Optical Engineering 043103-2 April 2014 • Vol. 53(4)
Poom et al.: Theoretical statistical relationships between the intensities of an image of the sea surface. . .
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σ2I ¼1
N
XNi¼1
Z∞
−∞½BðMiÞ − μI�2pðMiÞdMi
¼ 1
N
XNi¼1
�1
2
�erf
�L2iffiffiffi2
pσM
�− erf
�L1iffiffiffi2
pσM
��
−1
4N
�erf
�L2iffiffiffi2
pσM
�− erf
�L1iffiffiffi2
pσM
��2�; (10)
which is the required relation between the variance of theintensities in the image, σ2I , and the variance of the surfaceslopes, σ2M.
2.1.2 Relationship between the correlation function ofthe intensities in the image and surface slopesconsidering the Gaussian probability densityfunction for the slopes and the rect glitterfunction
The relationship between the correlation function of the sur-face slopes, CMðτÞ, and the correlation function of the glitterpattern, CIðτÞ, is given by
σ2ICIðτÞ ¼1
N
XNj¼1
Z∞
−∞
1
N
XNi¼1
Z∞
−∞BðM1iÞBðM2jÞ
× pðM1i;M2jÞdM1idM2j; (11)
where τ is the lag and BðM1iÞ and BðM2jÞ are the glitterfunction in two different slopes, and
pðM1i;M2jÞ ¼1
2πσ2M½1 − C2MðτÞ�1∕2
× exp
�−M2
1i þM22j − 2CMðτÞM1iM2j
2σ2M½1 − C2MðτÞ�
�
(12)
and after an analytical integration we obtain
σ2ICIðτÞ ¼1
N2
XNj¼1
ZL2j
L1j
XNi¼1
ffiffiffi2
p
4σMffiffiffiπ
p exp
�−M2
2j
2σ2M
�
�erf
�L2i − CMðτÞM2jffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2M½1 − C2
MðτÞ�p
�
− erf
�L1i − CMðτÞM2jffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2M½1 − C2
MðτÞ�p
��dM2j; (13)
and L1j ¼M0j − ð1þM20jÞðβ∕4Þ, L2j ¼ M0j þ ð1þM2
0jÞ×ðβ∕4Þ and M0j ¼ tanf½θs þ ðθdÞj�∕2g.Equation (13) is the required relation between the corre-
lation function of the intensities in the image, CIðτÞ, and thecorrelation function of the surface slopes, CMðτÞ.
2.2 Relationship between the Variance and theCorrelation Functions of the Intensities in theImage with Sea Surface Slopes Considering theGaussian Probability Density Function and Usingthe Gaussian Glitter Function
In this article, we define the Gaussian glitter function as
BðMiÞ ¼ exp
�−ðMi −M0iÞ2
a2i
�; (14)
and considering Eqs. (4)–(7), and the same definition for themean and the variance of the intensities of the image, we find
Table 1 Variances of the image for different incidence angles, whenH ¼ 100, 500, 1000, and 5000 m.
θs (deg)Theoretical variance
of the imageMean theoretical
variance
100 m
10 0.001069765223863 0.001064441599496
20 0.001492025954505 0.001487184949989
30 0.001958230130476 0.001955343259637
40 0.002388736757325 0.002388029903017
50 0.002671209128861 0.002671295526859
500 m
10 0.003108873399102 0.003110830998389
20 0.003208815843187 0.003211731390714
30 0.002889310589063 0.002891047686755
40 0.0002257519594897 0.002257332274056
50 0.001511883141621 0.001510770353073
1000 m
10 0.003378318252945 0.003381503619410
20 0.003092065713698 0.003094688190786
30 0.002426914586206 0.002428151612356
40 0.001608171050977 0.001608346018891
50 8.760812803764654e − 004 8.759361191028363e − 004
5000 m
10 0.003275186586775 0.003278138111697
20 0.002669361095169 0.002671306656354
30 0.001833467188234 0.001834361752515
40 0.001032391737440 0.001032663417692
50 4.561791395959260e − 004 4.562286393551489e − 004
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μI ¼1
N
XNi¼1
0BBBBBB@
ai2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2Mþa2i
p exp
�− M2
0i2σ2Mþa2i
�×8>><
>>:erf
� ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2Mþa2i
p ffiffi2
paiσ2M
ðL2iÞ −ffiffi2
pσMM0i
aiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2Mþa2i
p�−
erf
� ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2Mþa2i
p ffiffi2
paiσ2M
ðL1iÞ −ffiffi2
pσMM0i
aiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2σ2Mþa2i
p�
9>>=>>;
1CCCCCCA;
(15)
and
σ2I ¼1
N
XNi¼1
ai2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4σ2M þ a2i
p exp
�−
2M20i
4σ2M þ a2i
�
×
8>><>>:
erf
�� ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4σ2Mþa2i
p ffiffi2
paiσM
�ðL2iÞ − 2
ffiffi2
pσMM0i
aiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4σ2Mþa2i
p�−
erf
�� ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4σ2Mþa2i
p ffiffi2
paiσM
�ðL1iÞ − 2
ffiffi2
pσMM0i
aiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4σ2Mþa2i
p�
9>>=>>;
− μ2I ;
(16)
where ai ¼ ð1þM20iÞβ∕8 gives information of the width of
the Gaussian glitter function.In addition, the relationship between the correlation
function of the surface slopes, CMðτÞ, and the correlationfunction of the glitter pattern, CIðτÞ, is given by
σ2ICIðτÞ¼1
N
XNj¼1
Z∞
−∞
1
N
XNi¼1
Z∞
−∞
BðM1iÞBðM2jÞ2πσ2M½1−C2
MðτÞ�1∕2
×exp
�−M2
1iþM22j−2CMðτÞM1iM2j
2σ2M½1−C2MðτÞ�
�dM1idM2j;
(17)
where
BðM1iÞBðM2jÞ¼exp
�−ðM1i−MoiÞ2
a2i
�exp
�−ðM2j−MojÞ2
a2j
�;
(18)
and
pðM1i;M2jÞ ¼1
2πσ2M½1 − C2MðτÞ�1∕2
× exp
�−M2
1i þM22j − 2CMðτÞM1iM2j
2σ2M½1 − C2MðτÞ�
�dM1idM2j:
(19)
Therefore, the result of the first integral is
σ2ICIðτÞ ¼1
N2
XNj¼1
ZL2j
L1j
XNi¼1
ai2
ffiffiffiffiffi2π
pσM
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffia2i þ 2σ2M½1 − C2
MðτÞ�p
× exp
0BBB@
�−a2i a
2j−2σ
2Mfa2iþa2jþ2σ2M ½1−C2
MðτÞ�g2a2jσ
2Mfa2iþ2σ2M ½1−C2
MðτÞ�g
�M2
2jþ
þ�
2M0iCMðτÞa2iþ2σ2M ½1−C2
MðτÞ� þ2M0j
a2j
�M2j þ 2M2
0i
a2i
�σ2M ½1−C2
MðτÞ�a2iþ2σ2M ½1−C2
MðτÞ� −12
�−
M20j
a2j
1CCCA
×
0BBB@
erf
�aiðM0i−CMðτÞM2jÞ
σMffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2½1−C2
MðτÞ�p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2iþ2σ2M ½1−C2MðτÞ�
p þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffia2iþ2σ2M ½1−C2
MðτÞ�p
ðL2i−M0iÞaiσM
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2½1−C2
MðτÞ�p
�
−erf�
aiðM0i−CMðτÞM2jÞσM
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2½1−C2
MðτÞ�p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a2iþ2σ2M ½1−C2MðτÞ�
p þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffia2iþ2σ2M ½1−C2
MðτÞ�p
ðL1i−M0iÞaiσM
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2½1−C2
MðτÞ�p
�1CCCAdM2j: (20)
Although we obtain an analytical relationship for the firstintegral, for the second integral, the process must be numeric.In order to avoid computer memory problems, the 16,000data-point profile can be divided into 16 consecutive inter-vals. The value of ðθdÞi varies point to point in the profile.For each interval and for each θs value, the relationshipbetween the correlation functions CIðτÞ and CMðτÞ is calcu-lated. Then, to compare the results using the rect and theGaussian glitter function we used a value of σM ¼0.2121. It is necessary to normalize the correlation functions,by using the corresponding variances. A theoretical varianceσ2I can be calculated from Eqs. (10) and (16) (for both rectand Gaussian glitter function cases), respectively. It is alsopossible to estimate the variance by averaging the theoreticalvariances calculated for each of the 16 intervals. In the rectglitter function case, these results can be seen in Álvarez-Borrego and Martín-Atienza.12 We compare both variancesin Table 1 for the Gaussian glitter function case for differentvalues of H.
3 Results and DiscussionsThe next figures show the comparison of Eqs. (10) and (13),where the rect function and the Gaussian function are usedlike glitter functions.
In Fig. 2, the variance of the surface slope is representedagainst the variance of the intensities of the image. Values ofσ2M from 0 to 0.04 correspond linearly to a wind velocity inthe range from 0 to 12 to 14 m∕s, according to Cox andMunk.15 The shape of the curves for the rect and theGaussian cases is very similar. Their differences correspondto the changes in the values of the variance of the intensities.The profile of the source in the Gaussian case is less intensethan for the rect glitter function. This figure shows how theserelationships change for different heights (100, 500, 1000,and 5000 m). It can be seen that when H increases, theline corresponding to a value of incidence angle of50 deg descends and even cross with the others lines.
When H increases, the lines with larger θs go down untilthe arrangement of the curves changes. If the camera is fixed
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at H ¼ 100 m, it will receive more reflected light at large θsbecause of the geometry of the reflection. WhenH increases,the camera sensor will receive less reflected light for largeincidence angles.
In Fig. 3, the shape of the curves is also very similar forthe rect and Gaussian cases (excepting forH ¼ 100 m). Thisfigure shows these normalized relationships using the twoglitter functions) for 100, 500, 1000, and 5000 m. The cor-relation functions have a behavior similar to the variancecurves when the sensor height changes.
4 ConclusionsThe behavior of the curves for different H is the same, not-withstanding the use of the rect or the Gaussian glitter func-tion. Both glitter functions are easy to use in the calculationsof these relationships. The differences in the values of thevariance of the intensities of the image in both cases are pro-portional to the profile of the source used. Both glitter func-tions represent well the physics of the problem, which canact as a function to modulate the intensity of luminescenceon brightness pattern, which is consistent with different
Fig. 2 Comparison between the variance of the intensities of theimage versus the variance of the surface slopes using rect (leftside) and Gaussian (right side) glitter function for: H: (a) 100,(b) 500, (c) 1000, and (d) 5000 m, respectively.
Fig. 3 Comparison between the correlation of the intensities of theimage versus the correlation of the surface slopes, using rect (leftside) and Gaussian (right side) glitter function for H: (a) 100,(b) 500, (c) 1000, and (d) 5000 m, respectively.
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actual physical situation such as the presence of clouds oraerosols between the sensor and sensing area of sea surface.
AcknowledgmentsThis document is based on work partially supported byCONACYT under Grant 102007 and 169174 and mixedScholarships 2013-mzo 2014 for national mobility inMéxico.
References
1. N. F. Barber, “Finding the direction of travel of sea waves,” Nature174, 1048–1050 (1954).
2. C. Cox and W. Munk, “Measurement of the roughness of the seasurface from photographs of the sun’s glitter,” J. Opt. Soc. Am. 44(11),838–850 (1954).
3. C. Cox and W. Munk, “Statistics of the sea surface derived from sunglitter,” J. Mar. Res. 13, 198–227 (1954).
4. C. Cox and W. Munk, “Some problems in optical oceanography,” J.Mar. Res. 14, 381–396 (1955).
5. J. Álvarez-Borrego, “Wave height spectrum from sun glint patterns: aninverse problem,” J. Geophys. Res. 98(C6), 10245–10258 (1993).
6. J. Álvarez-Borrego, “Two dimensional glitter function in the study ofrough surfaces via remote sensing,” J. Mod. Opt. 40(11), 2081–2086(1993).
7. J. Álvarez-Borrego, “1-D rough surfaces: glitter function for remotesensing,” Opt. Commun. 113(4–6), 353–356 (1995).
8. J. Álvarez-Borrego, “Some statistical properties of surface heights viaremote sensing,” J. Mod. Opt. 42(2), 279–288 (1995).
9. H. Zhang andM.Wang, “Evaluation of sun glint models usingMODISmeasurements,” J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 111(3),492–506 (2010).
10. R. Baxter, “Ocean wave slope and height retrieval using airbornepolarimetric remote sensing,” Ph.D. Thesis, Georgetown University(2012).
11. S. Kay et al., “Light transfer at the ocean surface modeled using highresolution sea surface realizations,” Opt. Express 19(7), 6493–6504(2011).
12. J. Álvarez-Borrego and B. Martin-Atienza, “An improved model toobtain some statistical properties of surface slopes via remote sensingusing variable reflection angle,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sens.48(10), 3647–3651 (2010).
13. E. J. Hochberg, “HyspIRI sun glint report,” Technical Report, JPLPublication 11-4 (2011).
14. J. Álvarez-Borrego and B. Martín-Atienza, “Some statistical propertiesof surface slopes via remote sensing using variable reflection angleconsidering a non-Gaussian probability density function,” IEEEGeosci. Remote Sens. Lett. 10(2), 246–250 (2013).
15. C. Cox and W. Munk, “Slopes of the sea surface deduced from pho-tography of sun glitter,” Bull. Scripps Inst. Oceanogr. 6(5), 397–487(1956).
José Luis Poom-Medina is a PhD student at the University of SonoraMéxico with a major in physics. He received his BS andMS degrees inphysics and applied mathematics from the University of Sonora andUniversity of Guadalajara in 1989 and 2004, respectively. He is a stu-dent member of SPIE.
Josué Álvarez-Borrego received his BS degree in physicaloceanography in 1981 from the Facultad de Ciencias Marinas,Ensenada, Baja California, México, and his MSc and PhD degreesin optics in 1983 and 1993 from CICESE, Mexico. He is a professorwith the Applied Physics Division, Optics Department, CICESE,México. His research interests are image processing with applicationsto biogenic particles and image processing of the sea surface. He is amember of the Mexican Academy of Optics, National ResearchSystem (SNI), and the Mexican Sciences Academy.
Beatriz Martín-Atienza received her BS (1993) in physics and a PhD(2001) in physics from Universidad Complutense de Madrid, Spain.She worked at the Earth Sciences Division, Applied GeophysicsDepartment, CICESE, Baja California, Mexico, for 2 years (2001 to2003) as an associate researcher. Since 2004, she has been workingat the Facultad de Ciencias Marinas, UABC, Baja California, Mexico,teaching physics and mathematics courses in oceanology. Herresearch interests include inversion of oceanological and geophysicaldata and image processing of the sea surface.
Ángel Coronel-Beltrán is a titular researcher at the Departamentode Investigación en Física, Universidad de Sonora, México. Hereceived his BS degree in physics in 1983 from the Universidad deSonora, México, and his MSc degree in optics in 1988 fromCICESE, México, and his PhD degree in sciences in 2010from UABC, México. His current research interests are imageprocessing and invariant correlation digital systems. He is a memberof the Mexican Academy of Optics and the Mexican Physical Society.
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Estimation of variance of sea surfaces slopes through the variance of the glitter patterns’ images
José Luis Poom-Medina,a Josué Álvarez-Borrego,b aUniversity of Sonora, Physics Research Department, Rosales Boulevard S/N,
Hermosillo, México, 83000 bCICESE, Applied Physics Division, Optics Department, Carretera Ensenada-Tijuana No. 3918,
Fraccionamiento Zona Playitas, Ensenada, México, C. P. 22860
ABSTRACT It has been realized an estimation of variance of the sea surface slopes through the variances on images that consist of
bright and dark regions that are called glitter pattern. The probability distribution of the sea surface slopes has been used considering a non-Gaussian case taking in account the skewness and the kurtosis of the sea surface slopes. These relationships of variance have been calculated for five different angles of light incidence on the sea surface and for four different heights of the image sensor. The brightness in the glittern pattern has been modeled using a Gaussian function with information of the incident and reflection light angle in its argument. Some computational aspects and applications for optical engineering are mentioned.
Keywords: sea surface, probability density functions, glitter pattern, image processing, variance on images.
1. INTRODUCTION
Barber [1] showed diffraction patterns images of ocean waves and he estimated directionality and periodicity of the sea waves. Cox and Munk [2, 3], obtained the statistical information of the sea surface slopes, for different wind velocity on the sea, using aerial photographs. Longuet-Higgins [4] studied the nonlinearity of waves and he considered a non-Gaussian distribution. The skewness of the distribution is generally positive and a second factor considered in him analysis was the kurtosis.
The presence of skewness in the waves appear when there wind stress on the surface of the sea, the waves tend to have positive skewness [4], this condition is shown in the expansion of probability density functions in terms of its cumulants. In this numerical work a sensor was placed at different heights of 100, 500, 1000 and 5000 meters. The sensor received reflection of the light coming from the surface slopes for different angles from 10 to 50 degrees.
In this paper was considered the one-dimensional case. It was used a Gaussian glitter function [5] for modeling optical remote sensor in order to calculate the theoretical relationships between the variance of the glitter patterns of the surface with variance of the sea surface slopes. It was used the same geometrical model like Alvarez-Borrego and Martín-Atienza [6].
To use a non-Gaussian probability density function for the sea surface slopes is so important because the analysis of the waves are more complete. The skweness of the slopes may be a sensitive indicator of energy transfer and dissipation within the water [4]. Skewness and kurtosis values are in function of the wind velocity on the sea surface and for this reason it is iimportant to taake account thhese values in the computatioonal calculus oof the variancee in these two systems: glitter patternn of the sea surrface and sea suurface slopes.
Sixth International Conference on Graphic and Image Processing (ICGIP 2014), edited by Yulin Wang, Xudong Jiang, David Zhang, Proc. of SPIE Vol. 9443, 944314
© 2015 SPIE · CCC code: 0277-786X/15/$18 · doi: 10.1117/12.2179060
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2.1 GeoIn order t
presented by
In Fig. 1surface. In ashadowing, i
where ( )d iθincidence ligbetween surfeach i point i
In this more rThe expr
Gaussian pro
(p M
2. ESTIMAATION OF TTHE VARIANNCE IN IMAAGES OF GLLITTERN PPATTERN
ometric modeto estimate varÁlvarez-Borre
, dθ is a variaddition, this m.e., the cases w
Fig
is the angle sught on sea respeface points, iαin the surface, i
realistic physicression betweeobability densit
) 1
2e
M
iMσ π
=
el. riances of the ego [6] is used
iable angle submodel does nowhen some refle
g. 1 Geometry
ubtended by thect to normal t is the angle sui.e.,
cal situation, thn the variancety function for
2
2exp
2i
M
Mσ
−⎡⎛ ⎞⎢⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣
surface slopes.
btended by theot impose a resecting points a
of Model to ge
( )d iθ =
he image sensoto sea surface ubtended betw
2 2s
iθα = +
he angle dθ is e of the intensislopes, given b
(3)11
6 mM
Mλ
σ+
⎡ ⎧⎛⎪⎨⎜⎝⎪⎩⎣
s from the vari
e optical systemstriction on th
are obscured by
et some statisti
1tan i xH
− Δ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
r with the normand H is the v
ween the norma
11 tan2
i xH
− Δ⎛⎜⎝
changing with ity in the imagby:
3
3M M
i iM Mσ
−⎫⎞ ⎛ ⎞⎪⎬⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠⎪⎭
iance of the im
m of the deteche sensor field y roughness
ical properties
⎞⎟⎠
mal to point ivariable height al to the mean s
⎞⎟⎠
respect to eachge and surface
(4)124 m
Mλ
σ+
⎫ ⎧⎛⎪⎬ ⎨⎜
⎝⎪⎭ ⎩
mages of the gl
ctor with the nof view, and
of marine surfa
on the surfaceof the detector
surface and the
h point in the se slopes is deri
4
6M M
i iM Mσ σ
−⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝
litter pattern, t
normal to a pothe effect neg
face
e and sθ is ther, and ∆x is th
e normal to the
surface. ived considerin
2
3+⎤⎫⎞ ⎪⎥⎬⎟⎥⎠ ⎪⎭⎦
the model
int of the glected of
(1)
e angle of he interval e slope for
(2)
ng a non-
(3)
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According with Poom-Medina et.al. [7], the glitter function can be expressed as
( )20
2( ) exp i ii
i
M MB M
a
⎡ ⎤−= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(4)
where, ( )201
8i ia M β= + gives information of the width of the Gaussian glitter function and β is the apparent diameter
of the source.
( ) ( )2 21 14 4oi oi i oi oiM M M M Mβ β
− + ≤ ≤ + + (5)
( )tani iM α= (6)
( )tan .
2s d i
oiMθ θ+⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(7)
Combining the expressions (2), (4)–(6), we obtained
1 11 1tan tan2 2 4 2 2 4
s si
i x i xH H
θ θβ βα− −Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ≤ ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(8)
that is the slope interval, where a bright spot is received by the image sensor.
2.2 Analytical model: The Relationship between the variance of the intensities in the image and surface slopes considering a Non-Gaussian probability density function for the slopes and a Gaussian glitter function.
The mean of the image Iμ may be written as [8]
( ) ( )( )I i i iI x B M P M dMμ+∞
−∞
= = ∫ (9)
where ( )iB M in this case, is the glitter function defined by equation (4), and ( )ip M is the Non-Gaussian probability density function in one dimension, substituting in equation (9), but considering all the profile data for the N observations points, we have:
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2
1
2 2
2 21
3 4 2(3) (4)
( )1 1 exp exp22
1 11 3 6 36 24
I
i
i
LNi oi i
i i MLM
i i i im m i
M M M M
M M MN a
M M M M dM
μσσ π
λ λσ σ σ σ
=
=⎡ ⎤ ⎛ ⎞−− − ×⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ − + − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
∑ ∫
(10)
defining L1i and L2i like ( )2
1 1 4i oi oiL M M β= − + and ( )22 1 4i oi oiL M M β= + + , respectively, and
2 2 20 0
2 2 2 2
2 , ,2
M i i ii i i
M i i i
a M MA B Ca a a
σσ
⎛ ⎞+= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠ , and taking iX M= the equation (10) can be written in the in the most
appropriate form to calculate :
2
1
2
1
(4) (3) (4) 2 (3) 3 (4) 42 3 4
1 1 exp ( 2 )2
1 1 1 1 118 2 4 6 24
I
i
i
LN
i i ii LM
m m m m mM M M M
A X B X CN
X X X X dX
μσ π
λ λ λ λ λσ σ σ σ
=
= ⎡ ⎤− + + ×⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∫
(11)
the variance of the intensities in the image is defined [9] by
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )
2 2 2
1 1 1
2
1
2
1
22
1
2 2
1
21
1
1 2
,
i i i
i i i
i
i
LN
i i ii L
N
I i I i ii
L L LN
i i i i I i i I i ii L L L
IB M p M dMN
B M p M dMN
B M p M dM B M p M dM p M dMN
σ μ
μ μ
μ=
∞
= −∞
=
= −⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫ ∫ ∫
(12)
We assume that in the open ocean the wind waves can be assumed to be mono-directional [10], then our calculus are
performed along X axis. Defining2 2 2
0 02 2 2 2
4 2 2, ,2
M i i ii i i
M i i i
a M MA B Ca a a
σσ
⎛ ⎞+= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠, now the equation (12) is
2
1
2 2
1
(4) (3) (4) 2 (3) 3 (4) 4 22 3 4
1 1 exp ( 2 )2
1 1 1 1 118 2 4 6 24
i
i
LN
Ii LM
m m m m m IM M M M
AX BX CN
X X X X dX
σσ π
λ λ λ λ λ μσ σ σ σ
=
⎡ ⎤= − + + ×⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∫
(13)
which is the required relation between the variance of the intensities in the image, 2Iσ , and the variance of the surface
slopes, 2Mσ . To resolve this integral equation, we obtain a functional relationship ( )2 2
I Mfσ σ= suitable for plotting.
Proc. of SPIE Vol. 9443 944314-4
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91.'0 F4
1.'0 Z9 50'0
90re-13-0-13o-1319-o-ae-19-9-peeeee /I ge`- 3eee
á¢é=$®ea-e®áée eaapoe
/.9a e eeeee0
x 10 -3
--50°----40°
-30°o -20°m -10°
s---- -''-
-__
0.05 0.1M
0.15
12® 10.3 --50°108 ----40°
®
8 ® ° -20°° -10°
6Nu4.`°°,
20 0.05 (73. 0.15M
5L'0
0-s
------
; .'a ,a;g;:g..'®;ég°
b
5
3. RESULTS The relationships between the variances of the images with respect to the variance of the sea surface slopes using a
non-Gaussian probability density function, where the skweness and the kurtosis were taken account are shown in figure 2. In these graphs is showed how the contributions due to skewness and the kurtosis have a slightly displacement δ , with respect to the curves previously reported [7]. The values used in this calculations are (3) 0.463mλ = − and kurtosis
( 4) 0.215mλ = . Figure 2 shows these relationships for different heights of the sensor.
Fig 2a. Sensor a 100 m. Fig 2b. Sensor a 500 m.
Fig 2c. Sensor a 1000 m. Fig 2d. Sensor a 5000 m.
The values of the variance of the images are obtained from realistic values of the variances of the slopes 2Mσ . When
the image of the glitter pattern is analyzed the variance can be estimated and with this value and using these theoretical relationships the variance of the sea surface slopes can be calculated.
Proc. of SPIE Vol. 9443 944314-5
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4. CONCLUSION
In one-dimensional case this algorithm have a complexity order ( )nΟ for processing to make some kind of pattern recognition about directionality of sea surface waves, with five angles under observation and the profile data points of size n . All calculations were performed on different personal computers, but for purposes like automatic navigation over water bodies aided by computer vision, it is very important to perform real-time estimations using two-dimensional images with higher computational costs, for which it is necessary to explore other computers architectures and programming to improve the computational performance for this large amount of calculations on images of sea surfaces.
REFERENCES
[1] Barber, N.F., “Finding the direction of travel of sea waves,” Nature, 174, 1048-1050 (1980). [2] Cox, C., and Munk W., “Measurement of the roughness of the sea surface from photographs of the Sun's glitter,”J.
Opt. Soc. Am., 44, 838-850 (1954). [3] Cox, C., and Munk W., “Statistics of the sea surface derived from sun glitter,” J. Mar. Res., 13, 198-227 (1954). [4] Longuet-Higgins, M.S., “The effect of nonlinearities on statistical ditributions in the theory of sea waves,” J. Fluid.
Mech., 16, 138-159 (1963). [5] Álvarez-Borrego, Josué, “1-D rough surfaces: glitter function for remote sensing,” Opt. Commun., 113, 353-356
(1995). [6] Álvarez-Borrego, Josué, Martin-Atienza, B., “An Improved Model to Obtain Some Statistical Properties of Surface
Slopes via Remote Sensing Using Variable Reflection Angle,” IEEE T. Geosc. and Remote Sensing, 48(10), 3647-3651 (2010).
[7] Poom-Medina, José Luis, Álvarez-Borrego Josué, Coronel-Beltran Ángel, Martin-Atienza Beatriz, “Theoretical relationships between the intensities of an image of the sea surface and its slopes: a result comparison of rect and Gaussian glitter,” Optical Engineering, 53(4), 043103 (2014).
[8] Papoulis, A.,[Probability, Random Variables and Stochastic Processes], McGraw-Hill, ISBN 0-07-119981-0, New York, USA, chapter 9 (1981).
[9] Álvarez-Borrego, Josué, Martín-Atienza B., “Some statistical properties of surface slopes via remote sensing using variable reflection angle considering a non-Gaussian probability density function,” IEEE Geosc. and Remote Sensing Letters, 10(2), 246-250 (2013).
[10] E. J. Hochberg, “HyspIRI sun glint report,” Technical Report, JPL Publication, 11-4 (2011).
Proc. of SPIE Vol. 9443 944314-6
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