Universidad de Tarapaca

Tema I: Fundamentos de la conversión electromecánica de energía

Dpto. de Electrónica

ENERGIA ALMACENADA EN UN CAMPO ELECTRICO

dv Ri

dt

dv Ri

dt

2 dv i R i i

dt

2 dv i R i i

dt

Potencia que va al campo magnético

Potencia que va al campo magnético

Tensión InducidaTensión Inducida

ii

i

vN

La energía es:

2

0 0 0

f f ft t td

vi Ri i dtdt

2

0 0 0

f f ft t td

vi Ri i dtdt

Energía que entrega la fuente

Energía que entrega la fuente

Energía que se transforma en calor

Energía que se transforma en calor Energía que va al

campo magnético

Energía que va al campo magnético

B

H

Energía que se disipa en forma de calor al efectuar una variación de un ciclo de la corriente

xhist hP K B f

Donde x es el coeficiente de Steinniertz (1,7<x<2)

Energía almacenada en un campo magnético

Cuando una corriente eléctrica fluye a través de un elemento en un circuito eléctrico, la potencia instantánea es:

p v i p v i

La energía suministrada al elemento durante cualquier intervalo de tiempo especificado

2 2

1 1

t t

t t

W pdt vidt 2 2

1 1

t t

t t

W pdt vidt

Si el elemento de circuito es una inductancia y L es constante entonces el voltaje a través de la inductancia en cualquier instante es

die L

dt di

e Ldt

2 2 2 22 1

1 1

( )

2

t i

t i

i idiW Li dt Lidi L

dt

2 2 2 22 1

1 1

( )

2

t i

t i

i idiW Li dt Lidi L

dt

Si en la ecuación anterior i1=0 e i2= i, se tiene:

21

2W Li 21

2W Li

La Energía almacenada se puede expresar como

NL

I I

Como 2

2 2

IW

L

22

1 1

W id Nid

Estas relaciones indican claramente que la energía almacenada está relacionada al producto de la corriente por el flujo concatenado o lo que es equivalente al producto de la FMM por el flujo

Graficamente

Graficamente

Coenergía W’c

Energía Wc

d

N

Ni

Se cumple

'c c f fW W I

Para “n” bobinados

'

1

n

c c j jj

W W I

1

0

W Nid

1

0

'Ni

Ni

W dNi

Energía

Co-Energía

CONVERSIÓN DE ENERGÍA

Conversión de la Energía

Yugo

EntrehierroArmadur

a

Flujo

i e

Cuando se excita un circuito magnético que cuente con una bobina y uno o más entrehierros el campo magnético produce fuerzas en diferentes partes del circuito.

Yugo

Armadura

iv

Si cambia el circuito magnético la energía almacenada varía

Si la armadura puede moverse y juntarse con el yugo se ejecuta trabajo

Se tiene una conversión de energía de forma eléctrica a energía almacanada en un campo magnético y por último a energía mecánica

Caso primer circuito

Energía de Campo

Curva de Magnetización inicial

K

o

La curva de magnetización resulta con NI=K

0

W NId

0

W NId

0

W NId

La energía total almacenada en el campo magnético

Energía de Campo

Curva de Magnetización Final

K

1

Para la segunda situación la energía almacenada es

La curva de magnetización cambia debido a que el circuito magnético ha sido alterado al suprimir el entrehierro

Curva de magnetización final

Curva de magnetización inicial

Trayectoria transitoria

A

B

C

1

0

K

El total del trabajo realizado se presenta en el área sombreada entre las dos curvas

0

Antes de que la armadura se mueva, la energía almacenada esta dada por el área OA0O. Pero cuando la armadura se mueve, la energía de campo se emplea para ejecutar trabajo y se proporciona al campo energía adicional de la fuente.

Si la corriente es constante la energía adicional suministrada al campo por la fuente se representa por el área 0AB10. Esto es si la armadura se mueve lentamente, pero la corriente no cambia de tal manera que las condiciones del circuito magnético varían a lo largo de una línea vertical desde A hasta B.

Si la corriente es constante la energía adicional suministrada al campo por la fuente se representa por el área 0AB10. Esto es si la armadura se mueve lentamente, pero la corriente no cambia de tal manera que las condiciones del circuito magnético varían a lo largo de una línea vertical desde A hasta B.

La fuente del circuito eléctrico es capaz de suministrar esta energía puesto que la variación de flujo induce un voltaje en la bobina, alterando el voltaje terminal y la potencia instantánea.

La fuente del circuito eléctrico es capaz de suministrar esta energía puesto que la variación de flujo induce un voltaje en la bobina, alterando el voltaje terminal y la potencia instantánea.

Bajo condiciones no ideales la corriente no permanece constante de tal forma que la transición desde el punto A hasta el B es a lo largo de una curva de variación transitoria.

Bajo condiciones no ideales la corriente no permanece constante de tal forma que la transición desde el punto A hasta el B es a lo largo de una curva de variación transitoria.

La energía total suministrada al campo se representa por el área OAB1O.

La energía total suministrada al campo se representa por el área OAB1O.

La energía almacenada después de que se ha completado el movimiento de la armadura se representa por el área OCB1O.

La energía almacenada después de que se ha completado el movimiento de la armadura se representa por el área OCB1O.

El trabajo mecánico ejecutado se representa por el área OABCOEl trabajo mecánico ejecutado se representa por el área OABCO

La fuerza mecánica instantánea puede ser calculada en términos de la rapidez del cambio de energía almacenada en el campo.

La fuerza mecánica instantánea puede ser calculada en términos de la rapidez del cambio de energía almacenada en el campo.Según el principio de los trabajos

virtuales, es claro que cuando la armadura se mueve una distancia diferencial dx, entonces se ejecuta una cantidad de trabajo diferencial.

Según el principio de los trabajos virtuales, es claro que cuando la armadura se mueve una distancia diferencial dx, entonces se ejecuta una cantidad de trabajo diferencial.

dWfdx dw f

dx dWfdx dw f

dx

Si el Flujo es constante, el estado del circuito se define por un punto que se mueve desde A hacia C a lo largo de una línea horizontal, luego la energía almacenada disminuye y dW es un número negativo.

Si f es la fuerza y se define como positiva, entonces:

Si el Flujo es constante, el estado del circuito se define por un punto que se mueve desde A hacia C a lo largo de una línea horizontal, luego la energía almacenada disminuye y dW es un número negativo.

Si f es la fuerza y se define como positiva, entonces:

cte

Wf

x

cte

Wf

x

Para un circuito magnético lineal la energía de campo y la co-energía son iguales y la fuerza f puede calcularse en base a la energía de campo.

Para un circuito magnético lineal la energía de campo y la co-energía son iguales y la fuerza f puede calcularse en base a la energía de campo.

'

i ctei cte

W Wf

x x

'

i ctei cte

W Wf

x x

Supongamos un circuito lineal

2

2

21

2

LIW

dW LIdI I dL fdx

Si el movimiento de la armadura es bajo condición de flujo constante, L es constante y dL=0

cte

cte

fdx LIdI

I Wf LI

x x

El signo menos es por la disminución del entrehierro

Para el movimiento de la armadura a corriente constante dI=0

2

2

1

2

2

I cte

I cteI cte

fdx I dL

I dL Wf

dx x

El signo positivo se obtiene del hecho de que L aumenta cuando se reduce el entrehierro.

e(t)

g

Eje directo

Eje cuadratura

Movimiento giratorio

gR

A gR

A

La reluctancia de cada entrehierro

La energía almacenada en el campo del entrehierro

La energía almacenada en el campo del entrehierro

2 2 2 2 2

02 2 2 2

LI N I N I AW

R g

2 2 2 2 2

02 2 2 2

LI N I N I AW

R g

La diferencial de la energía almacenada debido al giro de la armadura

2 2 2

0 02 2 2

N I N AIdW dA dI Td

g g

Donde T es el par desarrollado. Para el caso de la rotación de la armadura con I constante, dI=0 tenemos

2 2

0 2 2 I cteI cte

N I dA WT

g d

El signo positivo es debido que a medida que aumenta el área del entrehierro, aumenta el flujo y la energía almacenadaEl sentido del Torque es siempre tal que

reduce el ángulo a cero, que es la disposición geometrica para la reluctancia mínima del entrehierro.

Rotor y Estator con bobinas

e1

e2

RotorEstator

Cuando el rotor y el estator son excitados por bobinas separadas que llevan corriente, se dice que es un circuito magnético con doble excitación.

Solo existe un campo magnético y para cualquier orientación angular dada de la armadura el campo se calcula considerando el total de la FMM y la reluctancia del circuito magnético.

Solo existe un campo magnético y para cualquier orientación angular dada de la armadura el campo se calcula considerando el total de la FMM y la reluctancia del circuito magnético.

Considerando cada una de las bobinas y sus efectos sobre el circuito magnético, el par en cada caso es precisamente el mismo que en el caso anterior. Y su sentido es de reducir el ángulo a cero y producir reluctancia mínima.

Considerando cada una de las bobinas y sus efectos sobre el circuito magnético, el par en cada caso es precisamente el mismo que en el caso anterior. Y su sentido es de reducir el ángulo a cero y producir reluctancia mínima.

Cuando ambas bobinas se excitan, el rotor se alineará para proporcionar una reluctancia mínima y con las bobinas orientadas de manera que sus fuerzas magnetomotrices se sumen aritmeticamente.

Cuando ambas bobinas se excitan, el rotor se alineará para proporcionar una reluctancia mínima y con las bobinas orientadas de manera que sus fuerzas magnetomotrices se sumen aritmeticamente.

Para cualquier orientación angular que no sea el alineamiento para reluctancia mínima, debe existir un par que tienda a producir este alineamiento.

Para cualquier orientación angular que no sea el alineamiento para reluctancia mínima, debe existir un par que tienda a producir este alineamiento.

CALCULO DEL PARToda la energía se obtiene de los circuitos

eléctricos, luego la cantidad diferencial de la energía eléctrica suministrada de o hacia los circuitos es:

1 1 2 2dW e i dt e i dt 1 1 2 2dW e i dt e i dt

Cuando se suministra energía de los circuitos se ejecuta trabajo mecánico o se almacena la energía en los campos.

1 21 2

circuito almacenada

circuito

dW Td dW

d ddW i dt i dt

dt dt

1 21 2

circuito almacenada

circuito

dW Td dW

d ddW i dt i dt

dt dt

1 11 1 12 2

2 22 2 21 1

L i L i

L i L i

1 11 1 12 2

2 22 2 21 1

L i L i

L i L i

La energía almacenada en el campo magnético antes del movimiento diferencial

2 211 1 22 2 1 2 12

1 1

2 2almacenadaW L i L i i i L 2 211 1 22 2 1 2 12

1 1

2 2almacenadaW L i L i i i L

Reemplazando en la ecuación del torque

2 21 11 2 22 1 2 12

1 1

2 2Td i dL i dL i i dL 2 2

1 11 2 22 1 2 12

1 1

2 2Td i dL i dL i i dL

El par electromagnético instantáneo

2 211 22 121 2 1 2

0 0 0

1 1

2 2

dL dL dLT i i i i

d d d 2 211 22 12

1 2 1 20 0 0

1 1

2 2

dL dL dLT i i i i

d d d

La rapidez de variación en las corrientes no produce ningún efecto en el par

La magnitud del par se determina solamente por las magnitudes instantáneas de la corriente y la rapidez del cambio de las inductancias con respecto a su posición

1 20 , tan

almacenada

i i cons te

WT

1 20 , tan

almacenada

i i cons te

WT

Las corrientes i1 e i2 pueden ser variables en el tiempo, pero el par instantáneo puede calcularse manteniendo las corrientes constantes en cada uno de sus valores instantáneos

Las corrientes i1 e i2 pueden ser variables en el tiempo, pero el par instantáneo puede calcularse manteniendo las corrientes constantes en cada uno de sus valores instantáneosSi se aplica un par externo que origine un giro en dirección opuesta al par del campo, se ejecuta trabajo en el circuito mecánico y la energía almacenada en el campo disminuye

Si se aplica un par externo que origine un giro en dirección opuesta al par del campo, se ejecuta trabajo en el circuito mecánico y la energía almacenada en el campo disminuyeAmbos efectos causan un voltaje inducido con la polaridad adecuada para enviar energía hacia las fuentes eléctricas. En este caso la conversión de energía es de la forma mecánica a eléctrica.

Ambos efectos causan un voltaje inducido con la polaridad adecuada para enviar energía hacia las fuentes eléctricas. En este caso la conversión de energía es de la forma mecánica a eléctrica.