UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE …repository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/2143/1... · para el análisis y la reflexión didáctica, permite contextualizar un estudio

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

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SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS

PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL

Autor: DANIEL MAURICIO CIFUENTES LEÓN

Director (a): GLORIA NEIRA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRIA EN EDUCACIÓN ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

BOGOTÁ D.C. 2015


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SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL

3

ÍNDICE DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 8

1. PROCESO DE INVESTIGACIÓN ............................................................................. 9

1.1. DISEÑO DEL TRABAJO DE GRADO ....................................................................... 9

1.1.1. Planteamiento del Problema ............................................................................... 9

1.1.2. Contextualización del Problema y Preguntas Orientadoras .............................. 10

1.1.3. Objetivos (General y específicos) ..................................................................... 13

1.2. ANTECEDENTES .................................................................................................... 14

1.3. ASPECTOS METODOLÓGICOS GENERALES ...................................................... 17

2. REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS: CONSTRUCCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN .............................................................................................................. 19

2.1. REFERENTES HISTÓRICOS, EPISTEMOLÓGICOS Y DIDÁCTICOS ................... 19

2.1.1. Estudio Histórico – Epistemológico – Didáctico: Configuraciones parciales de la Integral ......................................................................................................................... 19

2.1.2. Tres ideas fuertes del cálculo, referente histórico, epistemológico y didáctico . 21

2.1.3. La Aproximación como Fundamento del Cálculo ............................................... 23

2.2. MARCO METODOLÓGICO: PROCESO DE ESTUDIO, SISTEMATIZACIÓN Y

ANÁLISIS DIDÁCTICO ................................................................................................... 26

2.2.1. Estudio De Los Significados Institucionales .................................................. 26

2.2.2. Construcción Y Delimitación Teórica Y Metodológica De La Investigación ... 26

2.2.2.1. Enfoque Onto-Semiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática ..... 27

2.2.2.2. Significados Sistémicos/Pragmáticos ........................................................... 28

2.2.2.3. Tipos De Significado Y Su Configuración ..................................................... 29

2.2.2.4. Facetas Duales del Conocimiento ................................................................ 32

2.2.3. Análisis Semiótico De Texto Y Perspectiva Onto- Semiótica Del Estudio ........... 33

2.2.3.1. Rejillas de Caracterización y Categorización ............................................... 35

2.2.3.1. A. Plantilla Los Elementos De Significado Por Descriptor Y Red Categorial . 36

2.2.3.2. Evaluación de los Significados ..................................................................... 37

2.3. ESTUDIO DE CASO: CONTEXTUALIZACIÓN ...................................................... 37

2.4. CONSTRUCCIÓN METODOLÓGICA: Fases, Técnicas E Instrumentos ................ 38


4

2.4.1. PRIMERA FASE: REVISIÓN TEÓRICA ....................................................... 39

2.4.2. SEGUNDA FASE: DISEÑO (Identificación y Descripción) ............................ 39

2.4.3. TERCERA FASE: SISTEMATIZACIÓN (Identificación y Descripción) .......... 40

2.4.3.1. Instrumentos de recolección de información .............................................. 41

2.4.3.2. Proceso De Sistematización De Información ............................................. 43

2.4.4. CUARTA FASE: Análisis, Inferencia Y Triangulación (Caracterización) ....... 46

2.4.5. QUINTA FASE: Conclusiones ...................................................................... 47

3. DESCRIPCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LOS TIPOS DE SIGNIFICADO INSTITUCIONAL ............................................................................................................... 48

3.1. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL DE REFERENCIA ................................... 49

3.2. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL PRETENDIDO ............................................ 57

3.3. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL IMPLEMENTADO ....................................... 65

4. ANÁLISIS, INFERENCIA Y TRIANGULACIÓN .......................................... 76

4.1. CARACTERIZACIÓN DE TIPOS DE SIGNIFICADO INSTITUCIONAL ...... 76

4.2. SIGNIFICADO DE REFERENCIA DIDÁCTICO Y MATEMÁTICO ............... 77

4.3. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL PRETENDIDO ......................................... 82

4.4. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL IMPLEMENTADO .................................... 87

4.5. Síntesis De La Descripción Y Caracterización De Significados ............. 90

4.6. EL EOS: UNA PERSPECTIVA DE ANÁLISIS Y SÍNTESIS DIDÁCTICA .... 92

4.7. PROCESOS Y OBJETOS MATEMÁTICOS ................................................. 94

4.8. RELACIONES DIÁDICAS PARTIENDO DEL POLO DOCENTE ............... 101

4.9. MATRIZ DE CARACTERIZACIÓN DE SIGNIFICADOS ............................ 103

5. CONCLUSIONES ...................................................................................... 105

5.1. Reflexiones: Alcances y Limitaciones del T. de Grado ......................... 112

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 114


5

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla N° 1: Configuraciones parciales de la Integral ............................................................................... 20

Tabla N° 2: Los Polos del Tetraedro Didáctico ......................................................................................... 26

Tabla N° 3: Red Categorial (Resaltados se referencian los aspectos a estudiar) ....................................... 35

Tabla N° 4: Tipos de signo como descriptores de los elementos de significado ....................................... 36

Tabla N° 5: Evaluación de los Tipos de Significado ................................................................................. 37

Tabla N° 6: Guía de reinterpretación del diseño por parte del docente (INESE 2) ................................... 42

Tabla N° 7: Guía de observación/transcripción de video (GORTV 1) ..................................................... 43

Tabla N° 8: Guía de observación/prácticas y registros E1; (GOPE) ........................................................ 43

Tabla N° 9: Proceso de muestreo sobre los textos a estudiar..................................................................... 44

Tabla N° 10: Rejilla para la distinción de Unidades de Análisis de contexto, significados pretendidos ... 45

Tabla N° 11: Rejilla para la distinción de Unidades de análisis de registro significados Implementados 45

Tabla N° 12: Rejilla para la caracterización de elementos de significado según clasificación del signo 45

Tabla N° 13: Rejilla de Inferencias ............................................................................................................ 46

Tabla N° 14: Proceso de evaluación de significados: cantidad de unidades de muestreo, contexto y

registro ....................................................................................................................................................... 49

Tabla N° 15: Optimización del área con Perímetro fijo. ........................................................................... 67

Tabla N° 16: Ordenamiento de valores para verificar el valor de área máxima ..................................... 70

Tabla N° 17: Descripción De Textos: “Significado De Referencia” Desde Los Niveles De Expresión

Semiótica ................................................................................................................................................... 77

Tabla N° 18: Descripción De Textos “Significado Pretendido” Desde Los Niveles De Expresión

Semiótica ................................................................................................................................................... 83

Tabla N° 19: Descripción De Textos “Significado Implementado” Desde Los Niveles De Expresión

Semiótica .................................................................................................................................................... 87

Tabla N° 20: Síntesis de Descripción de textos “desde los niveles de expresión Semiótica .................... 91

Tabla N° 21: Relación Tipo de Significado – Situación Problema – Significado de Integral .................. 93

Tabla N° 22: Matriz De Caracterización De Significados ...................................................................... 104


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ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica N° 1: Posicionamiento de la Investigación en el Tetraedro Didáctico ....................................... 26

Gráfica N° 2: Elementos del Conocimiento Didáctico-Matemático .......................................................... 28

Gráfica N° 3: Sistemas de prácticas Discursivas, Operativas y Normativas. (Lurduy, 2009) .................. 29

Gráfica N° 4: Tipos de Significado ............................................................................................................ 29

Gráfica N° 5: Configuración de objetos primarios .................................................................................... 31

Gráfica N° 6: Perspectiva Onto semiótica de los problemas didácticos del docente ............................... 33

Gráfica N° 7: Selección de Textos para el proceso de estudio .................................................................. 40

Gráfica N° 8: Transcripción de entrevista a Profesor P1 .......................................................................... 42

Gráfica N° 9: Esquema para la Determinación de Unidades (Krippendorff, 1990) ................................. 43

Gráfica N° 10: Rejilla de distinción de tipos de prácticas y codificación según red categorial .............. 44

Gráfica N° 11: Cálculo del área del segmento parabólico ...................................................................... 53

Gráfica N° 12: Aplicación del método de Exhaución a una superficie semicircular ................................ 54

Gráfica N° 13: Procedimientos manifiestos en el significado institucional pretendido ........................... 54

Gráfica N° 14: Unidades U94 y U96, visualización de procedimientos y proposiciones ......................... 55

Gráfica N° 15: Definición de área en el texto de referencia ..................................................................... 56

Gráfica N° 16: Definición de función escalonada en el texto de referencia .............................................. 59

Gráfica N° 17: Esquema de la puerta facilitado en la guía del estudiante ............................................... 59

Gráfica N° 18: Procedimientos asociados a la inscripción de una cantidad cambiante de tablas ........... 61

Gráfica N° 19: Uso de las representaciones para mediar las acciones de calculo de áreas .................... 67

Gráfica N° 20: Construcciones iniciales para el agotamiento de la superficie. ........................................ 68

Gráfica N° 21: Agrupación de tablas en Bloques ...................................................................................... 69

Gráfica N° 22: Linealización de la curva a partir de secantes ................................................................. 69

Gráfica N° 23: Registro analítico de la inscripción de polígonos en la curva ......................................... 70

Gráfica N° 24: Ordenamiento de medidas correlacionadas ..................................................................... 74

Gráfica N° 25: Construcción de una expresión analítica para el cálculo del área acumulada ............... 75

Gráfica N° 26: Prácticas consideradas en el S.I. pretendido en la resolución del problema ................... 86

Gráfica N° 27: Triangulación de los tipos de significado respecto al elemento "Situación - Problema" 92

Gráfica N° 28: Triada Materialización - Idealización - Significado ........................................................ 94

Gráfica N° 29: Triada Particularización - Generalización - Significado ................................................. 95

Gráfica N° 30: Triada Descomposición - Reificación - Significado ......................................................... 95

Gráfica N° 31: Triada Representación - Significación - Significado ........................................................ 96


7

Gráfica N° 32: Triada Personalización-institucionalización - Significado ............................................. 96

Gráfica N° 33: Relación entre significados Personales e Institucionales en las prácticas de aula ......... 97

Gráfica N° 34: Contraste Entre Procedimientos Pretendidos e Implementados ...................................... 98

Gráfica N° 35: Trayectoria epistémica y los tipos de significado. ............................................................ 99

Gráfica N° 36: Objeto de estudio: Tareas del docente - Objetos Matemáticos ...................................... 105

Gráfica N° 37: Asociación de Tipos de Significado a los procesos de diseño y gestión ......................... 105


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INTRODUCCIÓN

Se plantea un proceso de estudio sobre la enseñanza del cálculo integral, partiendo de reconocer las

prácticas habituales del docente en la enseñanza del objeto matemático. Se sitúa en el estudio de las

prácticas de aula como un sistema didáctico, donde el “tetraedro didáctico” de Lurduy (2012) como modelo

para el análisis y la reflexión didáctica, permite contextualizar un estudio sobre las relaciones diádicas entre

el docente y los demás polos (Saber, Contexto y Estudiante), el cual enmarca un estudio sobre los tipos de

significado institucional, en particular el de referencia, pretendido e implementado vistos en los problemas

didácticos “Diseño” y “Gestión” de tareas para la enseñanza de la integral.

El estudio de caso con enfoque descriptivo e interpretativo que se presenta, involucra las prácticas

de aula de una docente que diseña y gestiona un proceso de estudio sobre la integral en Undécimo Grado

en el Instituto Clara Fey, institución educativa de carácter no oficial. La identificación, descripción y

caracterización de los tipos de significado institucional se realiza teniendo en cuenta que el significado de

los objetos y procesos matemáticos, de acuerdo con el Enfoque Onto-Semiotico (EOS) de la Cognición y

la Instrucción Matemática, se configura desde una red de objetos primarios denominados elementos de

significado (Situación/Problema, Lenguaje, Proposiciones, Procedimientos, Definiciones y Argumentos).

Metodológicamente se estructura un proceso de estudio sobre los significados institucionales evidenciados

en el diseño y gestión de tareas para la enseñanza del cálculo integral en Educación Media, teniendo en

cuenta una red categorial que relaciona al Significado Institucional (S. I.), los tipos de significado,

elementos primarios de significado y descriptores. En consecuencia, se recurre a la articulación propuesta

por Lurduy (2013) para la evaluación de competencias y significados, entre el Análisis Cualitativo de

Contenido (ACC), La Teoría Fundamentada en los Datos (TFD) y El Análisis Semiótico de Texto. Como

referente para la caracterización de los tipos de significado presentes en el diseño y gestión de tareas de

cálculo de áreas, se acude a García, Serrano y Díaz (2002) y Vasco (2009), quienes conceptualizan sobre

los fundamentos o ideas fuertes del objeto matemático integral, en relación con Crisóstomo (2012) quien

propone un estudio sobre las configuraciones parciales de integral definida.

De la fundamentación y estructuración del proceso de estudio dan cuenta los capítulos 1 y 2,

Mientras que en capítulo 3, se evidencia el tratamiento dado a la información, en lo que refiere a la

descripción y caracterización de los significados partiendo de la recolección, codificación y reducción de

los datos en un proceso de muestreo de orientación, certificación y confirmación, para arrojar una

sistematización de los significados institucionales por tipo y elemento primario de significado. Articulado

a la propuesta metodológica, se realizan inferencias y análisis sobre cada uno de los tipos de significado, la

trayectoria epistémica y algunas implicaciones del estudio sobre el marco de referencia y la propia

caracterización del proceso de estudio. Para finalizar y tras sintetizar las redes de objetos primarios para

cada tipo de significado, se muestra en el capítulo 5 algunas conclusiones y reflexiones.


9

1. PROCESO DE INVESTIGACIÓN

1.1. DISEÑO DEL TRABAJO DE GRADO

1.1.1. Planteamiento del problema

El presente trabajo indaga sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas, particularmente del cálculo integral, pues como indica Vasco (2009) la investigación

y práctica en educación matemática, ha permitido verificar que en la instrucción del cálculo se

privilegian métodos de tratamiento simbólico y formal, con el predominio de reglas y símbolos,

que no necesariamente conducen a significados de la integral como objeto matemático. Para el

autor la educación matemática en secundaria no lleva a desarrollar ideas fuertes del cálculo,

pertinentes en la resolución de problemas no triviales en la posterior formación universitaria y

como tal en la realidad. Tales ideas abandonadas en la educación son referidas por Vasco (2009)

y García, Serrano y Díaz (2002) relacionan la aproximación, medición, estimación o acumulación

en procesos de estudio de magnitudes como el área, lo cual conducirá a re significar la integral

definida.

Holton (2003 citado en Crisóstomo, 2011) indica que en los procesos de formación

universitaria se presentan múltiples problemas en torno a la enseñanza del cálculo integral, como

consecuencia de situaciones que se presentan incluso desde la educación media. Artigue (1991)

señala que en la enseñanza tradicional de las matemáticas, se privilegia la excesiva algebraización,

resaltando en particular el predominio de la manipulación de fórmulas en lugar de funciones, el

uso de algoritmos para hallar derivadas y la determinación de primitivas en lugar de la construcción

de significados para la integral.

La problemática didáctica general del presente trabajo, refiere al diseño y gestión de

prácticas de aula en un proceso de enseñanza -aprendizaje de un contenido matemático específico,

enfocado desde la dimensión Epistémica y Significados Institucionales (SI), que para este caso

vinculan la resolución de problemas de cálculo de áreas en torno a los fundamentos de la integral,

en el contexto de educación matemática en secundaria. Como centro teórico de la investigación se

asumen las formulaciones del EOS, donde se consideran los procesos de enseñanza como sistemas

de prácticas (investigativas y docentes), como punto de partida para caracterizar el conocimiento


10

matemático, que a nivel epistémico se configura (un objeto matemático) desde elementos

primarios (lenguaje, proposiciones, problemas, argumentos, procedimientos y definiciones).

Artigue (2003) indica que los estudios en torno a la enseñanza y aprendizaje del cálculo

han permitido comprender entre otros aspectos las dificultades en el aprendizaje y las posibles vías

para superar dichos problemas, sin embargo, no pueden ser suficientes, es pertinente convertir el

cálculo integral y su instrucción en un proyecto de investigación permanente. De aquí, que hay

necesidad de reanudar investigaciones sobre didáctica del cálculo para optimizar los procesos de

enseñanza y comprender los fenómenos que allí ocurren de una manera compleja, relacionando

las variables o factores intervinientes (docente, estudiantes, contexto, conocimiento, metodologías

de enseñanza,…) y las dimensiones que permiten realizar un proceso de estudio, por ejemplo

Godino (2011) señala la epistémica, cognitiva, mediacional, interaccional, emocional y ecológica.

En síntesis, la presente investigación problematiza en dos sentidos: primero en las

características y necesidades reconocidas en el proceso de enseñanza y aprendizaje del cálculo

integral en secundaria y segundo, en cuanto a los Tipos de Significados Institucionales como un

recurso para estudiar (identificar, describir y caracterizar) las prácticas del docente en el diseño y

gestión de un proceso de estudio alrededor de problemas de cálculo de áreas.

1.1.2. Contextualización del problema y preguntas orientadoras

El presente trabajo busca abordar entre otras, las siguientes preguntas de profundización en torno

a la didáctica del cálculo:

¿Cómo caracterizar el Significado Institucional de la integral en un proceso de enseñanza-

aprendizaje en secundaria?

¿Qué significado institucional implementado de la integral se evidencia si se parte de la

resolución de problemas de aproximación, acumulación, estimación y medida de áreas en

procesos infinitesimales?

¿Cómo aporta el análisis didáctico epistémico propuesto desde el EOS en el diseño, aplicación y

evaluación de diseños didácticos para la enseñanza del cálculo?


11

Para responder a ellas, se elabora el siguiente constructo, el cual además busca sustentar el presente

trabajo desde los criterios de pertinencia, ausencia, validez y necesidad de la investigación:

De acuerdo con Godino (2011) existe un cierto divorcio entre la investigación y la práctica

en el campo de la educación matemática, punto de referencia para ubicar como pertinente aquellos

estudios cuyo énfasis es la enseñanza y aprendizaje de la integral, en general, aquellas

investigaciones en torno al desarrollo del pensamiento matemático Avanzado (PMA), que

relacionen los resultados de investigaciones, con la aplicación de nociones teórico-prácticas como

la de idoneidad didáctica o Tipos de Significado. El Enfoque Onto–Semiótico (EOS) ha ido

consolidando sus propuestas como desarrollos teóricos y prácticos que permiten el estudio del

conocimiento y la instrucción matemática, las variables consideradas y las generalidades que

abordan dentro de la educación matemática, hace posible llevarlos a estudios sobre objetos

matemáticos específicos como la integral, ya que de esta manera se comprenderán los procesos de

enseñanza/aprendizaje de éste en el contexto local y validará una o varias de las hipótesis de trabajo

del EOS.

El diseño y desarrollo curricular requiere tener en cuenta, además de las concepciones,

errores y dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje, los significados institucionales,

el uso de recursos tecnológicos, las condiciones sociales, económicas, las interacciones dentro de

clase, entre otros factores; Crisóstomo (2011) indica que con frecuencia los enfoques y paradigmas

de investigación enfatizan en una de las dimensiones implicadas en los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas, con mayor frecuencia hacia el componente cognitivo y

pedagógico, teniendo en cuenta esto, el presente trabajo se orienta desde el EOS (Godino, 2002;

Godino, Font, & Batanero, 2011), retomando en particular nociones como las de configuración

epistémica, análisis didáctico y Tipos de Significado, pues así se delimita el estudio y no se

desbordan las posibilidades temporales con las que cuenta el proyecto de investigación. De

acuerdo con Lurduy (2013), el Corpus teórico del EOS, asume el conocimiento y la instrucción

matemática de manera compleja, sin embargo es pertinente asumir una perspectiva y delimitar el

trabajo desde una de las dimensiones, sin desconocer la importancia y relación con las demás.

El presente trabajo conduce a indagar sobre ¿Cuáles son los fundamentos del cálculo

integral a considerar dentro de un diseño instruccional?, frente a lo cual, las investigaciones

referenciadas en los antecedentes, han ubicado nociones como la aproximación, la estimación y la

medida de magnitudes como uno de los tantos fundamentos que conducen a una significación de


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la integral definida y en general del cálculo infinitesimal, en este sentido es pertinente generar y

evaluar diseños instruccionales que no radiquen en el manejo que pueden lograr los estudiantes

sobre manipulaciones simbólicas, sino que existe la necesidad (en educación matemática) de

resignificar la integral definida.

El cálculo integral se torna relevante dentro de la educación matemática pues:

Ciertamente, no es posible imaginar una cultura sin las integrales, junto con la derivada, la

integral forma el nucleo de un dominio matemático que es un lenguaje, un dispositivo, y una

heramienta util para otros campos. Además el concepto de integral representa una idea

filosofica para la comprensión del mundo, la contemplación de la totalidad de las partes

pequeñas de un todo aporta conclusiones sobre el todo en su globalidad, así como su estructura

interna y sus propiedades. (Kouropatov & Dreyfus, 2009, p. 417)

El estudio de la integral definida tal cual es asumida en este trabajo “asociado a la solución

de problemas de cálculo de áreas con métodos infinitesimales como fundamento de la integral”

obedece a múltiples consideraciones hechas en educación matemática a las cuales debe prestarse

atención, para Vasco (2009) “los estudiantes de grado undécimo terminan sin entender siquiera la

idea fuerte más importante del cálculo diferencial: la de tasa o rata de cambio”, por lo que puede

inferirse que los procesos de instrucción en torno al cálculo enfrentan algunos desaciertos en la

consolidación de las ideas fuertes o significados que epistémicamente deben desarrollarse. Suele

enseñarse como el manejo de un sistema simbólico “que permite tratamientos múltiples,

ingeniosos y potentes de ciertas expresiones analíticas, ese tipo de cálculo no es útil por sí mismo”

(Vasco, 2009, p. 67), sin embargo, según reconoce este autor, el estudio del cálculo, también

permite el desarrollo y ejercitación de conocimientos en torno al pensamiento numérico, espacial

y métrico, lo que denota que no todo en la enseñanza del cálculo habitual es desacertado. De esta

manera, un proceso efectivo de enseñanza del cálculo debe retomar las tres ideas fuertes del

cálculo: la variación y covariación de las cantidades de distintas magnitudes, razones, tasas o ratas

de cambio que llevan a las derivadas y la acumulación que conduce a las integrales. Por su parte

Tall (2009) indica que frente a las dificultades que se producen en los estudiantes al iniciar el

estudio de nociones relacionadas con la matemática avanzada, se deben incluir representaciones


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motoras (Procesos físicos), icónicas (procesos visuales), así como tres formas de representación

simbólica: Verbal (descripción), Formal (definición) y proceptual (dualidad proceso - objeto).

En síntesis, es pertinente generar conocimientos sistemáticos y fundamentados acerca de

la elaboración de diseños didácticos instruccionales y herramientas didácticas que consideren la

enseñanza del cálculo infinitesimal, no solo en un sentido formal y simbólico, sino que conduzcan

a la resignificación de la integral. No solo ha de considerarse la cantidad de problemas no triviales

que éste permite resolver, sino también la formalización que se debe lograr en los niveles

universitarios, obligando al estudiante en educación media a romper con el trabajo algebraico

ordinario y a reconstruir significados como el de igualdad, aproximación, estimación y medida.

Ahora bien, el trabajo desarrolla los fundamentos teóricos del EOS y no otros, dada la

practicidad de sus recursos y supuestos teóricos, así como la consideración de las múltiples

dimensiones en educación matemática (ecológica, cognitiva, epistémica, mediacional,

interaccional y emocional), las cuales son pertinentes para los intereses del presente trabajo.

1.1.3. Objetivos

Objetivo General:

Reportar el estudio de los significados Institucionales evidenciados en el diseño de tareas en torno

al problema del cálculo de áreas encerradas por curvas.

Objetivos Específicos:

Identificar y construir los “textos” que dan cuenta de los tipos de significado institucional en el

diseño de tareas por parte del docente.

Identificar el significado de referencia, pretendido e implementado de integral en el diseño de

tareas de aproximación y acumulación.

Describir y caracterizar los significados institucionales asociados al diseño de tareas de

aproximación y acumulación como fundamentos del cálculo para su enseñanza.

Describir los elementos y relaciones asociadas al polo profesor (del tetraedro didáctico) en el

proceso de instrucción orientado por tareas de aproximación y acumulación.


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1.2. ANTECEDENTES

La realización del presente trabajo es una sinergia entre distintos campos relativos a la

investigación en educación matemática (significados y epistemología de la matemática, niveles de

análisis didáctico, historia de la matemática, etc.), los cuales se van enfocando a la enseñanza del

cálculo integral y en sí a los problemas de cálculo de áreas desde procesos como la aproximación;

es por tanto que se hace una revisión de antecedentes que contempla: concepciones, enfoques y

preocupaciones en educación y/o didáctica de las matemáticas, significación de la integral

(institucional, personal, histórica-epistémica y didáctica), y consideraciones sobre la enseñanza y

aprendizaje de la integral y el cálculo infinitesimal; por último, se referencian los aportes hechos

desde el EOS a la educación matemática y para la enseñanza de la integral.

Desde los planteamientos de Artigue (2004) se hace una consideración de las variables y

problemas que interfieren en las investigaciones en Educación Matemática, para ello los direcciona

en tres campos: la evolución de los marcos teóricos, la evolución de las miradas sobre el docente

y la evolución de las miradas sobre las herramientas de la actividad matemática.

Frente a las preocupaciones por la efectividad en los procesos de enseñanza de las

matemáticas, Biembengut y Hein (2004) han señalado que la modelación está siendo fuertemente

defendida, en varios países, como método de enseñanza de las matemáticas en todos los niveles de

escolaridad, ya que permite al alumno no solamente aprender las matemáticas de manera aplicada

a las otras áreas del conocimiento, sino también mejorar la capacidad para leer, interpretar,

formular y solucionar situaciones problema. Por su parte Gómez (2000) propone que el fin de la

educación matemática es la comprensión, por tanto debe entenderse qué es comprensión, qué

deben hacer los estudiantes para comprender, cómo pueden ayudar los docentes para ayudarlos a

comprender y qué debe hacerse a nivel de diseño curricular para lograr este objetivo.

En un acercamiento a los intereses del presente trabajo desde el EOS (Godino, Font, &

Batanero, 2011; Godino, 2002), se hace una caracterización de los aspectos, procesos, niveles,

trayectorias y agentes asociados al conocimiento y la instrucción matemática, entre tanto, define

los significados (personal e institucional) de los objetos matemáticos, caracteriza los procesos de

instrucción y de aprendizaje desde sistemas de prácticas, así como los niveles y fundamentos del

análisis didáctico, de interés particular para el presente trabajo.


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Ya referenciados los aspectos generales de la educación matemática, es plausible indagar

sobre aquellos trabajos realizados con el fin de caracterizar el objeto matemático “integral” desde

lo histórico, epistémico y/o didáctico: Boyer y Merzbach, (2011) y Hawking, (2007) realizan una

reconstrucción histórica de la matemática caracterizando aspectos relativos al cálculo de áreas,

cálculo infinitesimal e integral; Crisostomo, Ordóñez, Contreras y Godino (2006) hacen una

revisión y reconstrucción del significado global de la integral definida, teniendo en cuenta

elementos emergentes desde la didáctica, historia, epistemología de las matemáticas y currículo.

En el trabajo de grado1 de Cifuentes y Ariza (2012) se busca caracterizar la integral desde

su desarrollo histórico-epistémico y la perspectiva de la educación matemática expuesta desde el

EOS. Respecto al cálculo infinitesimal Valdivé y Garbin (2008) hacen una descripción, análisis y

caracterización de los esquemas conceptuales epistemológicos asociados a la evolución histórica

de la noción de infinitesimal. La relación entre historia y la educación matemática ha sido

explorada en investigaciones como la Guacaneme (2008).

Desde el punto de vista de la educación, existe un complejo estudio sobre el pensamiento

matemático avanzado, la enseñanza y aprendizaje del cálculo infinitesimal y por ende de la

enseñanza de la integral definida, errores, dificultades, obstáculos, momentos, aspectos

curriculares, metodología, antecedentes o conocimientos previos, entre otros. García et al. (2002)

indica que investigaciones en espacios de formación universitaria y sobre la enseñanza del cálculo

infinitesimal, se evidencian errores y dificultades que tienen su origen en la educación media, por

tanto propone conceptos como la aproximación, medida y estimación, cuyo desarrollo se convierte

en un precedente para la comprensión posterior de objetos matemáticos como la derivada y la

integral.

Así mismo Azcarate, Bosch, Casadevall, y casellas (1996) hacen una caracterización del

prototípico proceso de enseñanza de la integral y el cálculo infinitesimal en educación media, para

proponer luego reflexiones y aspectos a considerar en la actual enseñanza de las matemáticas.

Uno de los principales referentes para el presente trabajo, lo constituye Vasco (2009) quien

indica que la enseñanza del cálculo en Undécimo grado, normalmente basado en la manipulación

simbólica de expresiones, no solo debe conducir a la integral, la derivada y el límite, sino también

permitir el desarrollo de pensamiento matemático (variacional, métrico, sistemas geométricos,…),

1 Trabajo de grado realizado para optar al título de Licenciado en Educación básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital, Bogotá, 2012


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ya que desde la modelación, se pueden tratar problemas de la vida real, cuya representación y

tratamiento incluye sistemas simbólicos y operatorios, buscando, “construir los sistemas

conceptuales analíticos y saber manejarlos con diversos tipos de registros semióticos orales,

gestuales, escritos en lenguas naturales y en lenguas formales” (p. 67). De esta manera el cálculo

debe considerar tres ideas fuertes: la variación y covariación de las cantidades de distintas

magnitudes, razones, tasas o ratas de cambio y la acumulación que llevan a las derivadas e

integrales.

Por su parte Crisóstomo (2011), hace un estudio y caracterización del conocimiento

profesional del docente de matemáticas, específicamente al orientar, diseñar y proyectar procesos

de instrucción en torno a la integral, afirmando la relevancia de los conocimientos, creencias y

conocimientos que los profesores tienen de la integral y su enseñanza. En relación a los procesos

de instrucción en matemáticas, Salinas y Alanís (2009), indican que tras reconocer algunas

consecuencias de los modelos de enseñanza tradicional del cálculo, debe abrirse la posibilidad a

estudios como los socio-epistemológicos dentro del diseño curricular y las prácticas de enseñanza

para cambiar el qué y cómo enseñar, referente al cálculo infinitesimal.

Se ha observado como el EOS ha planteado no solo un cuerpo teórico en educación

matemática, sino que ha permitido a múltiples investigadores, poner en práctica sus premisas, este

es el caso de Crisóstomo (2012) y Duarte (2014) quienes caracterizan los conocimientos sobre

idoneidad didáctica de procesos de estudio para la formación de docentes de matemáticas,

Crisóstomo además determina elementos sistémicos de cómo elaborar diseños instruccionales de

calidad para la formación de docentes y aporta un estudio preliminar de tópicos relevantes como:

a. Investigaciones sobre el Pensamiento Matemático Avanzado (PMA), en particular sobre

procesos de enseñanza del cálculo integral.

b. Estudio Histórico Epistemológico del objeto matemático integral, hacia la reconstrucción de los

significados parciales de la integral y su articulación.

c. Análisis de texto utilizados en la enseñanza del cálculo integral en programas de formación en

Brasil.

d. Configuraciones parciales de la integral definida.


17

Cada uno de los anteriores campos de estudio brinda elementos para soportar los niveles

de Análisis Didáctico que se abordan en el presente trabajo de profundización, en la

contextualización de procesos de instrucción matemática y en el proceso metodológico de

investigación. Godino (2011) especifica criterios para valorar el grado de idoneidad didáctica y

descriptores para los distintos niveles de análisis didáctico, por ejemplo en la tipificación de

significados.

Las aplicaciones puntuales de los constructos del EOS en procesos de enseñanza de las

matemáticas sobre objetos específicos se evidencian en Contreras, Font, Luque y Ordoñez (2005),

allí se describe entre otras la oportunidad de hacer diseños curriculares y de analizar la idoneidad

didáctica en procesos, actividades, problemas o tareas, diseños curriculares, etc. En Blanco,

Godino y Pegito (2012) se ejemplifica la reconstrucción y determinación de la configuración

epistémica y cognitiva (elementos primarios desde el EOS: lenguaje, conceptos, argumentos,

situaciones problema,…) para el caso del estudio de procesos geométricos y el desarrollo del

pensamiento espacial a partir de tareas puntuales. Mientras Rivas (2010), caracteriza y reconstruye

la configuración epistémica y cognitiva de un problema relativo a la proporcionalidad.

Para finalizar, se identifica un gran conjunto de antecedentes cuyas preocupaciones están

asociadas a las planteadas al comienzo de este apartado, una revisión profunda de éstos, permitirá

orientar el desarrollo del trabajo de grado.

1.3. ASPECTOS METODOLÓGICOS GENERALES

El presente trabajo se desarrolla como una investigación de carácter cualitativo, a partir de

un estudio de caso sobre un contenido matemático, un diseño instruccional y contexto educativo

particulares, allí se abre un espacio para la construcción y adaptación de las categorías y niveles

de análisis del Enfoque Onto–Semiótico del conocimiento y la instrucción matemática. De manera

puntual, se acude a la noción de Tipos de Significado, Sistemas de Prácticas y Elementos de

Significado en procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

El enfoque metodológico general de la investigación es cualitativo – interpretativo,

entendido como:

“La indagación que se basa en el supuesto de que los individuos construyen la realidad

social en la forma de significados e interpretaciones, y que estas construcciones tienden a ser

transitorias y situacionales. La metodología dominante consiste en descubrir estos significados e


18

interpretaciones mediante el estudio de casos en profundidad” (Hart, Smith & Swars, 2009,

Citado en Crisóstomo, 2012, p. 100).

En particular, se busca hacer un estudio de caso referente al diseño y gestión de tareas de

cálculo de áreas, donde se involucran nociones como la aproximación, acumulación, estimación y

medida de áreas mediante procesos infinitesimales. Para ello se caracterizará epistémicamente el

significado de referencia, pretendido e implementado de la integral definida. Se pretende abordar

el problema desde un modelo de investigación cualitativa con enfoque descriptivo/interpretativo y

a partir de un estudio de caso sobre las prácticas de aula de una docente (en (39) estudiantes de

grado undécimo de una institución educativa del sector no oficial). Se busca describir las relaciones

y algunos de los elementos implícitos asociados al sistema didáctico y al proceso de estudio

relacionado con el docente (Polo del tetraedro didáctico de Lurduy (2007)) y sus relaciones

diádicas con el saber, estudiante y entorno.

Particularmente se observan las prácticas docentes en el momento de diseño de tareas de

cálculo de áreas y la -identificación, descripción y caracterización- de significados institucionales,

fijando categorías, elementos de significado y descriptores. Para ello, la investigación se estructura

desde la reinterpretación y adaptación de la propuesta de Lurduy (2013) donde se articula el

Análisis Cualitativo de Contenido (ACC), la Teoría Fundamentada en Datos (TFD) y el Análisis

Semiótico de Texto (AST), como se mostrará adelante. De manera general, se estructura la

investigación en cinco fases:

A. Estudio documental (Por ejemplo: Vasco (2009), Crisóstomo (2012) y García (2003))

fundamentos (epistemológicos y didácticos) del cálculo integral.

B. Identificación de Textos: Se recolecta información con instrumentos construidos para explorar

los significados institucionales en el diseño de tareas en el Instituto Clara Fey (Curso 1101)

C. identificación, descripción y caracterización del significado de referencia, pretendido e

implementado en la actividad.

D. interpretación y descripción de los elementos asociados a las relaciones diádicas

(Profesor- Saber/estudiante/entorno)

E. Conclusiones y elementos de orden didáctico, epistémico e instruccional que aporten a la

enseñanza del cálculo.


19

2. REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS: CONSTRUCCIÓN DE LA

INVESTIGACIÓN

Como se ha mencionado previamente, el diseño metodológico y los referentes teóricos de

la investigación se relacionan directamente con los aportes realizados por estudios del EOS, allí se

configuran fases, momentos, técnicas, instrumentos y principios de la investigación incluyendo el

uso y adaptación del ACC, la TFD y el AST. Así mismo brinda referentes teóricos que llevan a

formular una red de categorías propios del diseño del proceso de estudio didáctico. En

consecuencia se hará una presentación que vincula los referentes y la construcción de la

investigación:

2.1. REFERENTES HISTÓRICOS, EPISTEMOLÓGICOS Y DIDÁCTICOS:

FUNDAMENTOS DEL OBJETO MATEMÁTICO “INTEGRAL”

2.1.1. Referentes epistemológicos y configuraciones parciales de la Integral

Desde los planteamientos realizados por Crisóstomo (2012), encontramos el abordaje a los

significados institucionales desde configuraciones epistémicas, entendidas como redes de objetos

emergentes de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre los mismos. En este

sentido propone un análisis detallado de los elementos de significado (Situaciones, lenguaje,

procedimientos, proposiciones, definiciones y argumentos) en el sentido de Godino, Contreras y Font

(2006) sobre el objeto matemático Integral, recurriendo a configuraciones parciales o sub-

configuraciones del objeto, atenuando así la idea de que los sistemas de prácticas y las configuraciones

se pueden estructurar en subsistemas, llevando a significados parciales del objeto, dichas

configuraciones epistémicas parciales, pueden coexistir con diversas adaptaciones y manifestándose

en los significados institucionales y personales de los docentes, los libros de textos y en los currículos

de cálculo.

Los significados parciales se van generando progresivamente a medida que se amplían,

adaptan o cambian los problemas formulados, de manera que conllevan en términos de Crisóstomo

(2012) a nuevos sistemas de prácticas discursivas y operativas. De esta manera la reconstrucción del

significado global del objeto matemático, debe llevar a identificar los cambios que se van dando en

cada red de Objetos/Elementos y que permitan caracterizar dificultades, obstáculos, rupturas y

progresos en la evolución de las configuraciones epistémicas. En la solución a una problemática

particular, se puede llegar a presentar la ruptura de la estructura de la configuración, la evolución para

otra configuración epistémica inclusiva o complementaria.


20

De las configuraciones a estudiar, la “acumulada” es considerada por autores como Tall (1996)

y Kouropatov & Dreyfus (2009) como punto de partida privilegiado para la enseñanza de la integral,

pues establece los conceptos de integral definida y de derivada de manera natural y relacionada, lleva

a las aplicaciones y la generalización de dichos objetos matemáticos. La investigación reportada por

Crisóstomo (2012) esta soportada por investigaciones realizadas en el marco del EOS y considera el

estudio Histórico - Epistemológico – didáctico de la Integral, para comprender y sistematizar los

distintos significados, que son sintetizados en ocho configuraciones parciales que se presentan a

continuación (Como anexo B, se encuentran las configuraciones parciales de Integral definida,

teniendo en cuenta los seis elementos primarios):

Estudio Histórico – Epistemológico – Didáctico en las configuraciones parciales de la Integral

Configuración Contexto

Intuitiva

Relaciona la aportación de la geometría griega para la invención del cálculo y la génesis de la

integral. La aplicación del método de Arquímedes, por ejemplo, para encontrar volúmenes y áreas

(Estas nociones vinculadas a una visión atomística del cálculo del S. XVII). Se manifiesta la

Intuición respecto a las nociones de continuo, infinito matemático y límite, abordando búsquedas

alternativas que tornaron innecesarios los procesos infinitos.

Geométrica

La génesis del cálculo está directamente relacionada con la solución de problemas geométricos,

reportados en los trabajos de Eudoxo y Arquímedes. Se abordan progresivamente problemas de

mayor complejidad hasta involucrar conceptos y métodos más precisos.

Sumatoria

La integración como suma de elementos infinitesimales desarrollada a partir del trabajo de

Leibniz, muestra una evolución hacia la fundamentación teórica, basado en el rigor, precisión de

los conceptos y en la búsqueda de generalización a una clase más amplia de funciones. Cauchy

retoma la integral y el área/volumen como suma de rectángulos/cilindros.

Aproximada

Surge frente a la dificultad o imposibilidad para representar de manera algebraica una función y

para encontrar la integral definida, ante esto se desarrollan cálculos aproximados desde reglas

específicas que pueden producir mejores aproximaciones.

Acumulada

Inicialmente relacionado con el estudio del cambio y el movimiento, parte de los desarrollos

dados por Oresme en el S. XIV. Así mismo, Newton consideró la integral definida y el cálculo

de área y volúmenes a partir de su tasa de variación.

Primitiva

Newton y Leibniz quienes vislumbraron la integración y diferenciación como procesos inversos

y condujeron a la toma de conciencia que dichos descubrimientos constituyen una rama universal

de las matemáticas desde el S. XVII y materializados en el Teorema Fundamental del Cálculo.

Motivados inicialmente por la búsqueda de soluciones a problemas prácticos hasta la

formalización rigurosa, siendo fundamental el papel que juega la simbología y el lenguaje para

el aprendizaje y la enseñanza del cálculo.

Extra-

Matemática

Se abordan situaciones problema que relacionan aspectos geométricos-numéricos con otras áreas

como física, Biología, etc. Se centra en la especificidad de problemas y uso de conceptos y

lenguajes propios del contexto.

Tecnológica

Las problemáticas abordadas en torno a la integral son similares a otras configuraciones, sin

embargo el desarrollo de la tecnología no solo cambia los roles de los sujetos, sino que involucra

nuevos lenguajes, procedimientos y maneras de argumentar.

Tabla N° 1: Configuraciones parciales de la Integral planteadas por Crisóstomo (2012)


21

2.1.2. Tres Ideas Fuertes Del Cálculo, Un Referente Histórico, Epistemológico Y Didáctico

Partiendo de una reconstrucción del currículo y las prácticas de aula en Educación Media,

Vasco (2009) señala que los cursos de cálculo (diferencial e integral) escolar se suelen enseñar

como ejercicios de manejo simbólico de expresiones, abandonando casi que por completo las

ideas fuertes de las matemáticas conceptuales. Sostiene que desde un análisis histórico, se ha

conseguido un distanciamiento entre el cálculo y el álgebra por su poder para tratar cantidades

variables y sus covariaciones; ya desde los trabajos de Roberval, Fermat, Pascal, Cavalieri, Wallis

y Barrow se resolvieron, desde 1630 hasta 1680, muchos problemas que hoy se tratan en cálculo,

como los máximos y mínimos, las normales a las curvas, las tangentes, las áreas bajo muchas

curvas y los volúmenes encerrados por varios tipos de superficies. Con las obras de Newton y

Leibniz a finales del S. XVII, se reporta la invención de dos cálculos diferentes para modelar

fenómenos de física y resolver problemas intra-matemáticos, como el cálculo con fluxiones, que

llevó a la derivada con respecto al tiempo y a la integral como anti-derivada, y el cálculo con

diferenciales, que condujo al cálculo diferencial e integral clásico y al cálculo no estándar. Durante

el siglo XVIII se desarrollaron rápidamente los cálculos diferencial e integral de Newton y

Leibniz, los cuales se confundieron en uno solo y con el refinamiento de la teoría de los números

reales y de las funciones definidas sobre ellos, se fueron precisando y abstrayendo los sistemas

analíticos sobre los números reales, conduciendo a lo que hoy se enseña en colegios y

universidades como cálculo diferencial e integral.

Vasco señala que para aprender esa álgebra y ese cálculo, basta la destreza en el

tratamiento simbólico de ciertas expresiones, pero se dejan de lado los sistemas conceptuales

subyacentes o “fuertes”. En este sentido propone no incluir explícitamente el cálculo dentro de

los programas de educación media, reconsiderando la enseñanza desde la modelación de procesos

y fenómenos de la vida cotidiana y de las ciencias naturales y sociales, buscando desarrollar y

ejercitar los distintos pensamientos (Numérico, espacial, métrico y variacional) a partir de la

utilización de distintos sistemas conceptuales analíticos con sus registros simbólicos para modelar

procesos y resolver problemas. Esto implica:

“… volver a las magnitudes y a las cantidades variables y a sus modos de covariación,

para modelarlas mentalmente, comunicar esos modelos y sus teorías verbal, gestual y

gráficamente, y tratar las cantidades variables y sus covariaciones por medio de las

funciones de los sistemas conceptuales analíticos…” Vasco (2009, P. 86).

Lo que recala en el abordaje y desarrollo de las “Tres ideas fuertes del Cálculo”:


22

A. La variación y la covariación funcional: La enseñanza del cálculo hace necesario volver a

trabajar con magnitudes físicas y cantidades variables en el tiempo y en el espacio-tiempo, y

distinguir las cantidades de sus medidas numéricas. Así la variación de cantidades dependientes

del tiempo y la covariación de dos o más cantidades variables relacionadas entre sí, se asocian a

los dos principales tipos de covariación correspondientes al campo conceptual aditivo y al

multiplicativo. En las funciones no son las parejas ordenadas del grafo las que importan, sino la

situación de covariación. La función como relación entre esas cantidades covariantes, codifica las

restricciones a la variación de una cantidad considerada manipulable o independiente, y otra

dependiente en su variación de la independiente. Así mismo se debe propender por la

interpretación operacional de las funciones u operaciones funcionales, como modelos

transformacionales u operacionales.

B. Las razones, tasas o ratas de cambio: Surge habitualmente como definición del símbolo “d,

dx” y en ocasiones al revés, como definición del símbolo “ye prima”, sin que se vea rastro de la

relación conceptual entre ellas. Es por ello, pertinente abordar el cálculo desde el estudio de las

diferencias y las razones, como parejas de operadores ampliadores y reductores mutuamente

inversos. Llevando a pensar en la derivada como tasa generalizada variable. Para la modelación y

el estudio de las tasas fijas basta la aritmética generalizada, pero para la modelación y el estudio

de las tasas variables y las tasas instantáneas se requiere el cálculo como registro semiótico para

los sistemas analíticos. Pero no como “boleo de símbolos”, sino como registro semiótico

privilegiado para el estudio de los sistemas conceptuales analíticos.

C. La suma, la acumulación y la integral: Mediante la obra de Leibniz se introdujo la suma de

diferenciales como un operador de acumulación, allí se tomó la inicial de “suma”, la “S”, alongada

“∫.” para indicar una suma extendida, de allí que la idea fuerte es la acumulación de diferencias,

no la del límite.

A partir de las funciones escalonadas, se deja de lado el trabajo con discontinuidades

por funciones poligonales, que por supuesto también son integrables. En el cálculo integral, la

idea fuerte lleva a evaluar la acumulación de áreas de rectángulos como suma de los diferenciales

sobre cadenas de intervalos [𝑃, 𝑄] del dominio como bases, multiplicados por la altura f(x), y por

tanto bastaría saber la anti-derivada en los puntos superior e inferior de cada intervalo y evaluar

la integral sobre cada eslabón de la cadena. Para vasco (2009) “El trabajo conceptual con el

límite desde lo intuitivo es suficiente para el cálculo escolar, pues los refinamientos usuales no


23

sólo son inútiles, sino contraproducentes”. (p. 93) Por lo tanto, es posible integrar el área bajo la

curva, sin necesidad de límites, pues el área del rectángulo a partir del cero es base por altura,

donde la base es “dx” y la altura es 𝑓(𝑥𝑖). Así la integral como acumulación (suma acumulada)

lineal del área, involucra la acumulación de áreas de “Rectangulitos”.

Podemos suponer que el círculo es una curva rectificable como polígono de suficientes

lados, como para no distinguir ningún lado recto a simple vista. Tanto, que se permite ver uno de

los radios como altura de los triángulos y las tangentes como prolongaciones de la rectificación.

Ahí hay una noción intuitiva de límite que es suficiente. Además al considerar la acumulación o

suma, se interpretan las sumas de Riemann como integrales de funciones escalonadas, que el

punto intermedio puede escogerse en cualquier parte del intervalo y que la integral es una función

poligonal continúa o lineal por piezas”. Finalmente el diferencial generaliza la noción de

diferencia orientada variable. La derivada generaliza la noción de tasa o rata variable, y la integral

definida generaliza la noción de acumulación.

2.1.3. La Aproximación como Fundamento del Cálculo

El cálculo infinitesimal ha sido incorporado en prácticas escolares y asumido como objeto de

enseñanza desde visiones erróneas y confusas, por ejemplo al considerar el límite hay rupturas en

su significación como proceso y como objeto matemático. García, Serrano, Díaz y Godino (2005)

resalta la necesidad de revisar las prácticas en procesos de enseñanza y aprendizaje del cálculo

hacia una reinterpretación de los objetos matemáticos2 como objetos de enseñanza. Se caracteriza

“El cálculo como un domino en el que tanto la comprensión de sus objetos, nociones y sus técnicas

se soportan sobre el funcionamiento conceptual y técnico de la aproximación”, aun así los métodos

y técnicas de aproximación son herramientas no exclusivas en la construcción de los conceptos

básicos del cálculo, sino que son esenciales en actividades matemáticas como la medición y

evaluación de la calidad de la medida, la solución de ecuaciones trascendentales y el cálculo

numérico. En el corazón del cálculo se encuentran nociones como la aproximación y técnicas

como mayorar y minorar, desde las cuales se puede promover un acercamiento temprano con

problemas que permitan potenciar la comprensión de los conceptos básicos del cálculo.

2 García et al (2000) señala que las investigaciones asociadas a la enseñanza del cálculo centran su atención en las

estructuras conceptuales propias del campo (Limite, derivada e integral), particularmente en las dificultades

relacionadas con el “doble status” operacional y estructural del límite, es decir, limite como un proceso o el limite

como un proceso que permite construir un objeto con identidad propia.


24

La Aproximación es una expresión relacional, que involucra un valor o medida exacta con un

valor o medida aproximado, por tanto se requiere del uso de la regla del error absoluto para

identificar que una representación es la representación aproximada de un valor exacto. En la

manipulación de situaciones de variación, variables dependiente e independiente, se asocia a la

comprensión de la aproximación, cuando el sujeto asigna a una variable un determinado valor y

“prueba” una mayor proximidad al valor de referencia, en comparación al anterior valor asumido

por la variable. Bajo estas condiciones, el razonamiento implica “discretizar” los valores de la

variable, como un razonamiento asociado al reconocimiento del número real. Tras haber

identificado el proceso de aproximación, este debe iterarse, desencadenando un proceso infinito

para buscar una determinada precisión en la aproximación. Lo cual da lugar a la problemática de

si los procesos infinitos pueden llegar a ser respuestas exactas o si se busca que las representaciones

aproximadas se vayan acercando a una precisión deseada “tanto como se quiera”

La tendencia exige una visualización de tipo numérico de los procesos infinitos de aproximación

como un todo, esta permite “aceptar cierta regularidad en las aproximaciones obtenidas en el

proceso para intuir el resultado final” y es este sentido, aceptar esas regularidades implica analizar

que los errores de aproximación se hacen “tan pequeños como se desee”. Así mismo la autora

señala que existe cierta subjetividad para interrumpir el proceso infinito al aplicar expresiones y

razonamientos como “tan pequeños como queramos para que el valor absoluto de las diferencias

entre el valor aproximado y el valor de referencia sea suficientemente pequeño”. De aquí emerge

el verdadero problema y es comprender bajo qué condiciones lógicas con los procesos de

aproximación se obtiene la precisión deseada. Brousseau (2000) señala como aportes de la

aproximación a la representación epistemológica escolar de la matemática, la consideración de la

evaluación de la medida o juicio sobre la medida, su expresión lleva a la discusión sobre la

precisión (confrontación entre lo exacto y lo aproximado; esto como precedente conceptual al

límite). Allí el proceso de estimación es relevante, pues se requiere decisiones sobre las cantidades

que pueden ser despreciadas con base a reglas, como el truncamiento o el redondeo.

La representación geométrica de los conceptos del cálculo asociados al límite, llevan a construir

procedimientos sistemáticos de aproximación, pues se soportan en enunciados como “tan próximo

como se quiera”, “infinitamente pequeño”, en el caso de asociar: la tangente en un punto a la curva


25

como “límite de secantes que pasan por un punto” o el área bajo una curva como “acumulación y

límite de rectángulos cuya base es tan pequeña como se quiera”; aun cuando estos conceptos deben

desarrollarse para conceptualizar los objetos matemáticos propios del cálculo, debe tenerse

especial precaución en los sistemas de prácticas y los significados que allí emergen. Todo esto

lleva por demás a recurrir a un lenguaje descriptivo, donde se resignifican términos como “Limite”.

Los problemas que históricamente se han asociado a la aproximación, proponen para su solución

maneras de hacer relativamente sistemáticas, pero con un grado de indeterminación, por lo cual de

entrada no se constituye en un algoritmo3. En general, se constituyen en referencia a técnicas al

resolver un tipo de problemas, donde se justifica y razona mediante un correspondiente saber, de

acuerdo con Chevallard, Gascón y Bosch (Citados en García, 2000).

García (2000) reconoce la emergencia del cálculo y de sus objetos principales, desde los problemas

y procesos de medición de magnitudes continuas con un determinado grado de precisión y

aproximación, caracterizados por: La búsqueda de precisión en los procesos de medición asociados

a la búsqueda o construcción de unidades de medida pertinentes (cada vez más pequeñas) que

generen representatividad en la medida de construcciones; Cálculo de valores numéricos asociados

a medidas geométricas y topológicas; Problemas de Cuadraturas donde se buscan expresiones

numéricas aproximadas de la medida de la magnitud superficie encerrada por una curva “especial”;

Problemas cuyo cálculo “impreciso” permita la acotación (por exceso y defecto), redondeo y

truncamiento; Calculo teórico de la medida de magnitudes continuas y la construcción por

agotamiento partiendo de un valor conocido para el cuerpo geométrico.

Se abordan los problemas con construcciones geométricas auxiliares que discretizan la magnitud

para agotarla o encajonarla- aquí se gesta la idea de exactitud. El tratamiento de este tipo de

problemas, conlleva a insertar magnitudes auxiliares menores que las dadas. La(s) técnica(s) se

iteran para acercarlas de tal forma que la diferencia entre ellas se agote. También se le ha llamado

“método de Exhaución”.

3 La diferencia entre técnica y algoritmo, reside en que este último es la generalización que asegura un resultado

exacto en la respuesta, determinando la ruta o procedimiento directo para obtener las respuestas; los algoritmos son

métodos determinados por un conjunto de reglas y un número finito de pasos que determinan una respuesta

conclusiva. García et al (2000, p. 26)


26

2.2. MARCO METODOLÓGICO: PROCESO DE ESTUDIO, SISTEMATIZACIÓN Y

ANÁLISIS DIDÁCTICO

2.2.1. Estudio De Los Significados Institucionales En El Diseño Y Gestión De Tareas Para La

Enseñanza De La Integral Definida

Tomando como punto de partida el esquema de

Tetraedro Didáctico (Lurduy & Otros, 2005) y

las descripciones propuestas por Lurduy (2012),

donde se plantea este como un constructo para el

Análisis Didáctico de los procesos de estudio de

las matemáticas, se establecen cuatro polos y las

correspondientes relaciones entre ellos. El plano

resultante de considerar los polos Epistémico-

Didáctico-Ecológico (gráfica 1) y las relaciones

duales que incluyen el polo Didáctico como uno de

sus componentes, serán los objetos de estudio principales, pues es desde allí que se pretenden ver

los significados institucionales implicados en el diseño y gestión de secuencias didácticas y tareas

para la enseñanza de los conceptos y fundamentos del cálculo integral.

Polo Descripción: Cada Polo Considera las correspondientes relaciones duales

Didáctico

(Profesor)

El Profesor y las relaciones Profesor-Saber, Profesor-Entorno y Profesor-

Estudiante, en lo relacionado con la acción, reflexión, gestión, diseño y evaluación

de los procesos de estudio.

Ecológico del aula

(Entorno)

El entorno y la cultura del aula (Textos y Contextos) y las correspondientes

relaciones; están relacionadas con las normas, interacciones, roles, mediaciones,

comunicación, reglas y normas, entornos de enseñanza-aprendizaje.

Cognitivo

(Estudiante)

El estudiante y las correspondientes relaciones; relacionados con la comprensión y

aprendizaje, sobre los significados personales, los observables cognitivos por

medio de sus manifestaciones de conducta cognitiva de manera verbal, gestual y

escrita, sus acciones, interacciones y roles.

Epistémico

(Saber)

El saber Matemático o Didáctico, los significados institucionales (De referencia,

Pretendido e Implementado) en el proceso de estudio.

Tabla N° 2: Los Polos del Tetraedro Didáctico

2.2.2. Construcción y Delimitación Teórica y Metodológica de la Investigación

Se presenta a continuación una síntesis del enfoque base para realizar la investigación, referente a

los Tipos de Significado Institucionales involucrados en el proceso de estudio sobre tareas de

cálculo de áreas.

Gráfica N° 1: Posicionamiento de la Investigación

en el Tetraedro Didáctico (Lurduy, 2012)


27

2.2.2.1. Enfoque Ontológico-Semiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS)

De acuerdo con Godino (2014) El Enfoque Onto-Semiótico (EOS) “es un marco teórico que ha

surgido en el seno de la Didáctica de las Matemáticas, con el propósito de articular diferentes

puntos de vista y nociones teóricas sobre el conocimiento matemático, su enseñanza y

aprendizaje” (P. 2). En este sentido se adopta una perspectiva global y compleja de los procesos

de Enseñanza y Aprendizaje, teniendo en cuenta las diversas dimensiones implicadas y las

interacciones entre las mismas. Reúne disciplinas como la epistemología, psicología y la

pedagogía, con herramientas conceptuales y metodológicas de distintas disciplinas como la

semiótica, la antropología y la ecología. En el plano más amplio, el EOS como herramienta de

análisis y síntesis didáctica-matemática, se ocupa de procesos de estudio en distintos niveles

(Problemas, Prácticas, Objetos Y Procesos) y de acuerdo a las Dimensiones Didáctica,

Matemática, Meta-didáctica y Meta-matemática, retomando las facetas epistémica, Cognitiva,

Afectiva, Ecológica, Interaccional y mediacional.

Estudio del EOS hacia la construcción de Categorías

Es primordial reconocer que el análisis didáctico de los procesos de enseñanza y

aprendizaje de contenidos matemáticos y los Problemas Didácticos (Diseño, Gestión y

Evaluación) que se realiza en el EOS, distingue seis dimensiones, en este caso particular, interesa

la faceta epistémica que permite un estudio de los significados institucionales puestos en juego en

las fases preliminar, diseño e implementación de un proceso de estudio sobre los fundamentos de

la integral definida. Tales significados son interpretados en términos de sistemas de prácticas y

configuraciones de objetos y procesos, articulando las prácticas Operativas, Discursivas y

normativas como lo señala Lurduy (2013). Ahora bien, cuando se habla de la faceta epistémica del

conocimiento didáctico-Matemático (CDM) se refiere al conocimiento al que acude el profesor

sobre el contenido matemático como objeto institucional cuya enseñanza se planifica,

implementa o evalúa, de acuerdo con Pino, Godino y Font (2013) la relatividad institucional y

personal de los significados de los objetos matemáticos, implica la necesidad de que el profesor

de matemáticas conozca la pluralidad de tales significados, según los marcos institucionales y

contextos de uso, la diversidad de configuraciones de objetos y procesos inherentes a tales

significados y las necesarias articulaciones entre los mismos.


28

El modelo del Conocimiento

Didáctico-Matemático CDM, propone tres

categorías globales de conocimiento sobre el

contenido matemático: 1) conocimiento

común del contenido; 2) conocimiento

ampliado del contenido; y 3) conocimiento

especializado, el cual incluye a su vez cuatro

sub-categorías a saber: 3.1) conocimiento del

contenido especializado (Pluralidad de

significados del objeto y las inherentes

conexiones entre ellos); 3.2) conocimiento del

contenido en relación con los estudiantes; 3.3)

conocimiento del contenido en relación con la enseñanza; y 3.4) conocimiento del contenido en

relación con el currículo y el contexto en el que se desarrolla la práctica de enseñanza y

aprendizaje. De acuerdo con la gráfica nº 2, se muestran estos elementos como referentes para la

implementación de los instrumentos de recolección de información, además deja ver una clara

relación con las diadas del tetraedro didáctico a estudiar.

2.2.2.2. Significados sistémicos/pragmáticos: Sistemas de prácticas: Una práctica matemática-

didáctica es entendida como toda actuación o expresión (Verbal, gráfica, etc.) realizada para

resolver problemas Matemáticos4, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla

a otros contextos y problemas (Godino & Batanero, 1994, p. 334). Además El significado

personal/institucional de un objeto didáctico/matemático se define como el sistema de prácticas

discursivas, operativas y normativas realizadas por una persona/comunidad al interior de un

proceso de estudio para resolver un campo de problemas didácticos/matemáticos, lo cual permite

al docente tomar decisiones en el diseño, gestión y evaluación de los procesos de enseñanza-

aprendizaje. Desde este enfoque, se proponen considerar los sistemas de prácticas (operativas y

discursivas) puestas de manifiesto por las personas en su actuación ante tipos de situaciones

4 Según Godino (2003), es cualquier tipo de circunstancia que precisa y pone en juego actividades de matematización

(construir o buscar posibles soluciones que no son accesibles inmediatamente, inventar una simbolización para

representar las situaciones y soluciones; y para comunicar, validar y justificar dichas soluciones)

Gráfica N° 2: Elementos del Conocimiento Didáctico-

Matemático a explorar con los instrumentos (Pino,

Godino & Font, 2013)


29

problemáticas. En este sentido, Lurduy (2013) refiere un tercer tipo de prácticas, las normativas,

aludiendo al uso del saber desde la definición, la norma y el argumento.

La emergencia de los objetos y

significados desde un sistema de

prácticas, es un fenómeno

complejo, para el cual el EOS

considera dos niveles de objetos

que emergen en la actividad

matemática: En el primer nivel se

tienen aquellas entidades que se pueden observar en un texto matemático (Problemas, definiciones,

proposiciones, lenguaje, etc.) y en el segundo nivel, se tiene la tipología de objetos que emergen

de la manera de ver, hablar y operar.

2.2.2.3. Tipos de significado y su configuración: Desde el EOS, es posible comprender los

significados de los objetos matemáticos-didácticos como “el sistema de prácticas que realiza una

persona (significado personal), o compartidas en el seno de una institución (significado

institucional) para resolver un tipo de

situaciones-problemas” (Godino, 2014), que

para el caso se asocia al cálculo de áreas

encerradas en curvas. Al considerar la

relatividad socio-epistémica y cognitiva de los

significados (los objetos matemáticos son

entidades socialmente compartidas), entendidos

como sistemas de prácticas lleva a la

introducción de una tipología básica de

significados.

Con relación a los Significados Institucionales Godino y Font (2002) proponen tener en cuenta

los significados del docente como Institucionales Restringidos5 desde los siguientes tipos:

5Según Godino (2003), los Significados Institucionales son: Documentos curriculares, libros de texto, explicaciones de un profesor

ante su clase (que tienen connotaciones normativas o convencionales, o sea, los objetos que son usados como referencia en el

proceso de enseñanza y aprendizaje). Sistema de prácticas institucionales asociadas al campo de problemas de las que emerge un

objeto en un momento dado.

Prácticas Discursivas

El lenguaje, sus usos y juegos al interior de una situación problema, contexto, práctica o

institución

Prácticas Operativas

Las "acciones" relativas a tareas y meta-prácticas

Prácticas Normativas

El uso de normas y regulaciones permiten, relacionan y regulan las posibilidades, usos

e implicaciones de los significados.

Gráfica N° 3: Sistemas de prácticas Discursivas, Operativas y Normativas. (Lurduy, 2009)

Gráfica N° 4: Tipos de Significado


30

Referencial: Sistema de Prácticas que se usa como referencia para elaborar el significado

pretendido. En una Institución escolar, este significado de referencia será una parte del significado

holístico del objeto matemático, se relaciona con aspectos generales asumidos por la comunidad

matemática o desde la postura de las políticas educativas y será retomado en textos asociados a los

fundamentos de la integral, los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas y los textos

de referencia usados por el profesor.

Pretendido: Características y elementos tenidos en cuenta del objeto matemático por parte del

profesor al diseñar la secuencia de actividades para un grupo de estudiantes (Restricciones legales,

Investigaciones Didácticas relacionadas con el concepto y los Objetivos de la Institución). A partir

del significado de referencia de objeto (descontextualizado y despersonalizado) se selecciona y

delimita la parte específica que desea enseñar el profesor; teniendo en cuenta el nivel educativo,

el tiempo didáctico, los conocimientos previos a quien se ve a enseñar, la forma o material con el

cual se va a enseñar. Se incluyen las intenciones que el docente mediante la planificación de la

secuencia de actividades, la guía del estudiante y la malla curricular que espera desarrollar.

Implementado: Es el sistema de prácticas efectivamente implementadas por el docente en un

proceso de estudio específico, reportadas en los textos, producto de la transcripción del video y

consideración de los portafolios de los estudiantes, en los que procura dar evidencia de manera

generalmente implícita. Involucra características y elementos del objeto matemático tenidos en

cuenta en los ítems de las actividades implementados por el profesor (Acción, Formulación,

Validación) y en el discurso realizado por él después de implementada la secuencia de actividades

(Institucionalización).

Evaluado: El subsistema de prácticas que utiliza el docente para evaluar los aprendizajes.

Respecto de los significados personales proponen los siguientes tipos, enunciados en Godino

(2009):

Global: Corresponde a la totalidad del sistema de prácticas personales que es capaz de manifestar

potencialmente el sujeto relativas a un objeto matemático.

Declarado: Da cuenta de las prácticas efectivamente expresadas a propósito de las pruebas de

evaluación propuestas, incluyendo tanto las correctas como las incorrectas desde el punto de vista

institucional.


31

Logrado: Corresponde a las prácticas manifestadas que son conformes con la pauta institucional

establecida. En el análisis del cambio de los significados personales que tiene lugar en un proceso

de estudio interesará tener en cuenta los significados iníciales o previos de los estudiantes y los

que finalmente alcancen.

Elementos primarios de significado: En la resolución de una situación-problema resultan

prácticas donde se evidencia el uso de lenguajes verbales y simbólicos; estos lenguajes son la parte

ostensiva de una serie de conceptos, proposiciones y procedimientos que intervienen en la

elaboración de argumentos, los cuales son definidos como elementos primarios de significado

(Godino & Font. 2006. P. 69).

El sujeto realiza diferentes tipos de prácticas y

acciones con la intención de resolver problemas,

comunicar, validar o generalizar la solución a

otros contextos; todo esto bajo un lenguaje

simbólico específico y con un sistema conceptual

lógicamente organizado. Para poder describir

estos “elementos” puestos en juego en la actividad

matemática y por ende el significado global de un

objeto matemático, Godino (2003), introduce una

tipología de entidades elementales u objetos

matemáticos primarios:

Situaciones-problemas (E1): Situación, actividad o tarea a la cual no se tiene una respuesta o

solución accesible sin facilidad y que permite o genera actividades matemáticas externas o

internas para ello (aplicaciones extra-matemáticas, ejercicios,…).

Lenguaje (E2): Términos, expresiones, notaciones, gráficos,… en sus diversos registros (escrito,

oral, gestual,…) que sirven como mediadores entre las situaciones y las respuestas del sujeto, el

lenguaje no solo tienen una función comunicativa, sino un papel instrumental (resolver problemas,

generalizar una solución,…).

Procedimientos (E3): Algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo,… procedimientos y

estrategias específicos del tipo de problema retomados como objeto de enseñanza.

Gráfica N° 5: Configuración de objetos primarios


32

Proposiciones (E4): Condiciones o atributos de un objeto matemático tenidas en cuenta al

realizar una acción o resolver un problema. Estas varían de acuerdo al nivel educativo en

secuencia y forma de planteamiento. (enunciados sobre conceptos,…).

Conceptos- definición (E5): Reglas gramaticales sobre el uso de símbolos y expresiones

(introducidos mediante definiciones o descripciones) para describir las situaciones y las acciones

que sobre estas se realizan (recta, punto, número, media, función,...).

Argumentos (E6): Enunciados o razonamientos utilizados para verificar, validar o explicar los

procedimientos propuestos, y para explicar y justificar la solución (contraejemplos,

generalización, análisis).

Se consideran entidades como primarias, funcionales y relativas a los juegos de lenguaje

(marcos institucionales y contextos de uso) en que participan; tienen también un carácter recursivo,

en el sentido de cada objeto, dependiendo del nivel de análisis, puede estar compuesto por

entidades de los restantes tipos, un argumento, por ejemplo, puede poner en juego conceptos,

proposiciones, procedimientos (Godino y Otros, 2006).

2.2.2.4. Facetas Duales del Conocimiento: Los objetos matemáticos que intervienen en las

prácticas matemáticas y los emergentes de las mismas, según el juego del lenguaje en el que

participan pueden ser considerados desde las siguientes facetas duales:

Personal – institucional: La cognición matemática debe contemplar las facetas

personal e institucional, entre las cuales se establecen relaciones dialécticas complejas y cuyo

estudio es esencial para la educación matemática. La “cognición personal” es el resultado del

pensamiento y la acción del sujeto individual ante una cierta clase de problemas, mientras la

“cognición institucional” es el resultado del diálogo, el convenio y la regulación en el seno de un

grupo de individuos que forman una comunidad de prácticas (Godino & Batanero, 1994).

Ejemplar-tipo: Al caracterizar los sistemas de prácticas del docente, es pertinente

distinguir dos procesos: Ejemplar Si los sistemas de prácticas que implican procesos de

particularización desde lo institucional, permite interpretaciones de significado concretas en la

actividad matemática que considera objetos extensivos y Tipo Si los sistemas de prácticas que

implican procesos de generalización desde lo institucional, permite interpretaciones de significado

abstractas en la actividad matemática que considera objetos intensivos.


33

2.2.3. Análisis Semiótico de Texto y perspectiva Onto-semiótica del estudio del diseño y gestión

de tareas

De acuerdo con Lurduy (2012) se conceptualizan los tipos de objetos didácticos equiparables con

la caracterización de los tipos de objetos del EOS, de manera tríadica: 1) El diseño: lenguajes,

discursos y situaciones; 2) La gestión: procedimientos, actuaciones, propiedades y relaciones; 3)

La evaluación: conceptos, argumentos y reglas. Esta asociación es característica, lo cual no

implica que no se presenten los demás elementos primarios de significado en los problemas

didácticos, por ejemplo, en el diseño, aparecen aunque en menor proporción, los procedimientos

y argumentos.

Adicionalmente se asume que los problemas didácticos corresponden de manera característica con

un tipo particular de prácticas, como se ilustra en la gráfica n° 6, donde además se observa que

internamente cada problema didáctico se asume como una triada entre los elementos primarios de

significado y dos de los tipos de significado institucional. Así, el diseño relaciona prácticas

particularmente icónicas, los significados de referencia y los pretendidos; la gestión, relaciona

prácticas Operativas y los significados pretendidos e implementados; y la evaluación relaciona

prácticas particularmente Simbólicas y los significados implementados y evaluados6.

Diseño Gestión Evaluación

Gráfica N° 6: Perspectiva Onto semiótica de los problemas didácticos del docente

Se incorpora de acuerdo con Lurduy (2013) como recurso macro para la investigación, el análisis

cualitativo de contenido (ACC), el cual consiste en la reunión de un conjunto de técnicas

sistemáticas, interpretativas del sentido de los textos, transformando los fenómenos registrados en

6 Este tipo de correspondencias, relaciones de dependencia o función entre un antecedente (expresión, representante,

significante) y un consecuente (contenido, significado), establecidas por un sujeto (persona o institución) de acuerdo

con un cierto criterio o código de correspondencia, son interpretadas en el EOS como funciones de signo.


34

datos permitan construir con ellos un cuerpo de conocimientos, buscando particularmente una

descripción amplia de los tipos de significado. Se retoman herramientas de la Teoría

Fundamentada en los Datos (TFD), buscando comprender la realidad a partir de la percepción o

significado que cierto contexto u objeto tiene para el docente y los estudiantes, generando

conocimientos, aumentando la comprensión y proporcionando un guía significativo para la acción,

lo que implica un reconocimiento del significado a partir de los elementos primarios.

Descriptores (Tipos De Signo): Dentro de la investigación, la información tomará la forma de

textos cuya composición podrá ser analizada mediante la perspectiva semiótica, donde se considera

que en el texto se presentan “signos” (algo que está para alguien, por algo, en alguna relación),

estos a su vez se clasifican según tres tricotomías, (Moheno, 1990, p 96), a. Una relación del signo

consigo mismo; b. Una relación existencial con el objeto; c. Una relación con el que interpreta.

De esta manera, “…interpretar metodológicamente como niveles de expresión de los significados

institucionales y respectivamente asignar un orden de configuración de significado (niveles

icónico, indicial y simbólico), lleva a la evaluación de los niveles de expresión semiótica

permitiendo describir y caracterizar el sentido de la acción escritural en los textos”, de acuerdo a

lo señalado por Lurduy (2013).

El Análisis Semiótico de Texto, permitirá distinguir unidades de registro sobre las cuales se

evidenciaran los tipos de signo como descriptores de los elementos primarios de significado

matemático y los sistemas de práctica (Categorías), en consecuencia es posible conceptualizar

sobre los tres tipos de signo que resultan de la segunda tricotomía, en relación con la lectura de

Moheno (1990, p. 98) de la propuesta de Pierce, los cuales se adaptarán a esta propuesta adelante:

ÍCONO: Representa a su objeto, en un acto que podría llamarse de similitud en relación con su

objeto, sin depender de la existencia de este. Se pueden hacer algunas caracterizaciones de la

manera como se muestra el ícono: - Imágenes: Cuando se trata de simples cualidades; - Metáforas:

Representan el carácter haciendo un paralelo con alguna otra cosa.

ÍNDICE: El signo es afectado por su objeto, comparte con éste alguna cualidad y en relación con

ella lo refiere. Por tanto, el índice implica un ícono. La relación del índice con su objeto puede ser

existencial o referencial. Ejemplos de índice pueden ser “el sonido rechinante de una llanta al

frenar abruptamente frente a la posibilidad de un accidente vehicular”.


35

SÍMBOLO: “Un signo que se refiere al objeto que denota en virtud de una ley" que puede ser una

convención, un hábito, una asociación de ideas o "una disposición natural de su interpretante". El

símbolo se caracteriza desde una regla que la sociedad construye según su uso, existe una sola

interpretación del símbolo en relación con el objeto relacionado en su contexto.

2.2.3.1. Rejillas de Caracterización y Categorización: En esta investigación se implementará

la perspectiva Teórica – Metodológica propuesta por Lurduy (2013) partiendo de las relaciones

diádicas consideradas en el tetraedro didáctico para un estudio de caso en torno al sistema

didáctico, donde el docente es la unidad de análisis compleja y las relaciones docente-saber,

docente-estudiante y docente-contexto centran la atención en la investigación (Supra-categorías).

Los propósitos del trabajo de grado se orientan hacia la indagación de los significados

institucionales (categorías) encarnados en el docente como su representante en la escuela durante

el proceso de diseño y gestión de un proceso de estudio sobre elementos asociados a la integral

definida. Se exploran como categorías los significados de referencia, pretendidos e implementados

cuyo comportamiento, según lo enuncia Lurduy (2012) emerge de sistemas de prácticas

Discursivas, Operativas y Normativas.

Vinculando la Teoría de los Significados Sistémicos (TSS), el significado se configura desde seis

elementos primarios (Situaciones-problema, lenguaje, procedimientos, propiedades, definiciones

y argumentos). Ahora bien, la identificación de los elementos de significado involucra las formas

de expresión propuestas por Pierce (icono, índice y símbolo), que cumplirán la función de

descriptores para los elementos de significado. Se parte del diseño y adaptación de rejillas para la

red categorial y la caracterización de los distintos tipos de signo en relación con los distintos

elementos de significado, de la propuesta de Lurduy (2013), como instrumentos para facilitar la

organización y análisis de los datos recolectados:

RED CATEGORIAL PARA EL ESTUDIO DE LOS TIPOS DE SIGNIFICADO

Supra Categorías Categorías Sub categorías Elementos de Significado Descriptores

Relación

profesor-saber Significado

Personal

(SP)

Global Gl Situación-

problema E1

Icono D1

Declarado De Lenguaje E2

Relación

Profesor-

Estudiante

Logrado Lo Definiciones E3

Índice D2

Significado

Institucional

(Si)

Referencial Re Propiedades E4

Relación Profesor

- Entorno

Pretendido Pr Procedimientos E5

Símbolo D3 Implementado Im Argumentos E6

Evaluado Ev

Tabla N° 3: Red Categorial (Resaltados se referencian los aspectos a estudiar)


36

Elementos Descriptores

Icono: D1 Índice: D2 Símbolo: D3

Sit

uaci

ón

-

pro

ble

ma

Situaciones o tareas abordadas

en las prácticas matemáticas,

Actividades, ejercicios y

ejemplos, que se muestran

desligados del objeto

representado. Se relacionan con

la integral definida y el cálculo

de áreas.

Características indicativas de las

situaciones abordadas en las

prácticas matemáticas. Establece

relaciones o caracteriza

actividades, ejercicios y ejemplos,

en torno a los conceptos de integral

definida y cálculo de áreas.

Significado o relación de las

situaciones abordadas con la

integral definida y el cálculo de

áreas. Las actividades,

ejercicios y ejemplos, están

dotados de significado o se

encuentran contextualizados

en un entorno que le da sentido

al objeto representado.

Len

gu

aje

Representaciones asociadas a los

objetos matemáticos, Aparecen

aquellos elementos lingüísticos

(gráficas, notaciones, imágenes,

esquemas, entre otros),

desligados de su objeto

representado. Se relacionan con

el concepto de integral definida y

el cálculo de áreas.

Características indicativas de las

representaciones relacionadas con

la integral definida y el cálculo de

áreas. Conecta aquellos elementos

lingüísticos (gráficas, notaciones,

imágenes, esquemas, entre otros),

con su objeto representado de

manera implícita.

Interpretaciones y significados

otorgados a las

representaciones (gráficas,

notaciones, imágenes,

esquemas, entre otros) de

objetos matemáticos, en

acuerdos de la comunidad o

contextualizándolos a la

realidad.

Def

inic

ion

es Descripciones cualitativas

referidas a conceptos o nociones

relacionadas con objetos

matemáticos intervinientes en

los problemas de cálculo de

áreas, que aparecen, desligados

de su objeto representado.

Características indicativas

respecto al uso de conceptos o

nociones relacionadas con objetos

matemáticos.

Referencia al significado de

conceptos o nociones

relacionadas con objetos

matemáticos implicados en las

prácticas matemáticas de la

comunidad

(Institucionalización)

Pro

pie

dad

es Descripciones cualitativas de las

características o atributos de las

situaciones, la integral definida y

el cálculo de áreas. Se

mencionan reglas, cualidades o

proposiciones, desligados de su

objeto representado.

Expresiones indicativas de las

características o atributos de las

situaciones u objetos matemáticos.

Las reglas, cualidades o

proposiciones, están

caracterizadas.

Referencia al significado o

implicaciones de las

propiedades de las situaciones

u objetos matemáticos.

(generalización)

Pro

ced

imie

nto

s Descripciones cualitativas de los

procedimientos (estrategias)

relacionadas con la integral

definida y el cálculo de áreas.

Algoritmos, operaciones,

técnicas de cálculo, desligados

de su objeto representado.

Características indicativas de los

procedimientos y estrategias

relacionadas con la integral

definida y el cálculo de áreas.

Caracterización o descripciones de

los algoritmos, operaciones,

técnicas de cálculo, en relación

con.

Descripción del significado o

sentido de los procedimientos

en relación con la situación u

objeto matemático.

Significado o

contextualización de los

algoritmos, operaciones,

técnicas de cálculo.

Arg

um

ento

s

Descripciones cualitativas de los

razonamientos, explicaciones,

justificaciones o enunciados

usados para comprobar, explicar

y justificar las estrategias y

acciones realizadas, en relación

con la integral definida y el

cálculo de áreas, están

desligados de su objeto

representado.

Características indicativas de los

razonamientos, explicaciones,

justificaciones o enunciados

usados para comprobar, explicar y

justificar las estrategias y acciones

realizadas. Aparecen

caracterizados o descritos.

Descripción de razonamientos

usados para comprobar,

explicar y justificar las

estrategias y acciones

realizadas.

(Institucionalización y

validación, generalización y

formalización).

Tabla N° 4: Tipos de signo como descriptores de los elementos de significado


37

2.2.3.2. Evaluación de los Significados: se acude a ella, en relación con la noción de

evaluación hecha por Lurduy (2013), quien plantea:

“Inicialmente se designa con el término evaluación al estudio del proceso sistemático

y riguroso de indagación que posibilite disponer de información continua y

significativa, para conocer y caracterizar una situación problémica, así como para

formar y construir juicios con respecto a ella y finalmente, potenciar la toma decisiones

adecuadas para mejorar progresivamente la actividad formativa” (p. 88).

Para Lograr poner en marcha la recolección, organización, reducción y análisis de la

información, se ha incorporado la determinación de unidades de análisis de Muestreo,

Contexto Y Registro, con las que se pretende hacer un estudio a los elementos de significado

institucional de referencia, pretendido e implementado. En la tabla n° 5, se muestra el

recorrido entre niveles y casos de estudio, el tipo de evaluación utilizada para cada momento

del proceso metodológico general. De acuerdo con Lurduy (2013) la Evaluación de

Orientación: permite identificar las relaciones e interacciones didácticas y los tipos de

significados; Evaluación Certificativa: permite describir y relacionar los tipos de significado

con los elementos primarios de significado y la Evaluación de Confirmación: permite la

caracterización de los elementos primarios y sus niveles de expresión semiótica.

Gestión del proceso metodológico (TFD-ACC-AST): Evaluación de los Tipos de Significado

Nivel Macro-caso Meso-Caso Micro-Caso

Tipo de Unidad Unidades de Muestreo Unidades de Contexto Unidades de Registro

Tipo de Evaluación Orientación Certificación Confirmación

Hallazgo (y Proceso) Tipos de Significado

(Identificación)

Elementos de

Significado

(Descripción y

Relación)

Niveles de Expresión

semiótica:

Caracterización

Tabla N° 5: Evaluación de los Tipos de Significado

2.3. ESTUDIO DE CASO: CONTEXTUALIZACIÓN

El proceso de estudio acá reportado tiene ocurrencia en el Instituto Clara Fey, una institución

educativa de carácter privado y femenino, que ha sido fundada y dirigida por la comunidad

religiosa “Hermanas del Niño Jesús Pobre”. A esta institución corresponden dos grupos de

estudiantes de grado Undécimo; con uno de los grupos (ONCE A) se ha pilotado la actividad para

dar curso al registro de información con el grupo de ONCE B, conformado por 33 estudiantes

cuyas edades oscilan entre los 15 y 17 años. Dentro del itinerario general del área de matemáticas,


38

en particular el apartado de Cálculo para Undécimo en el tercer trimestre de 2014, aparece

registrado el logro 13, Aplica la integración en la solución de problemas de áreas, orientado desde

tres pasos: a. Soluciono diferentes Integrales; b. Determino el área bajo la curva y c. Utilizo la

integral para hallar el área de una región.

Para el estudio de los tipos de significado institucional (referenciales, pretendidos e

implementados) se concibe el docente como un representante de la institución “Matemática

Escolar”, enunciado por Godino (2003) como significado Institucional restringido, por ello la

docente titular de la institución será quien diseñe (con incidencia del investigador en la selección

de tareas), gestione y evalúe la secuencia de actividades para abordar la integral definida, como

Anexo se encuentran las guías del docente y estudiante que materializan el diseño.

2.4. CONSTRUCCIÓN METODOLÓGICA: FASES, TÉCNICAS E INSTRUMENTOS

Para lograr organizar y analizar la información de acuerdo a estas categorías se ha concebido un

andamiaje que considera el proceso de recolección de información, instrumentos de

observación/registro y las técnicas de recolección.

Registro de las Acciones del Profesor: Un objeto Matemático particular desempeña una función

específica dependiendo de la clase de institución en la cual se produce, relaciona la concepción del

profesor sobre el objeto matemático fijado culturalmente e implica usos, sistemas de prácticas, las

relaciones convenidas entre términos y expresiones matemáticas, las abstracciones y técnicas

convenientes, lo que hace pertinente el diseño metodológico que propone el presente trabajo. Para

cumplir con propósito del trabajo, se recupera la información de acuerdo a las técnicas e

instrumentos formulados acorde con el ACC, La TFD y el AST, lo que permitirá construir los

datos y analizarlos de acuerdo a los modelos y categorías que se han planteado para la

investigación. Se identificará los Tipos de Significado desde la elección de textos relacionados con

el proceso de estudio, se describirá y caracterizará a partir de la sistematización y análisis de la

información siguiendo la red categorial y el proceso de investigación diseñado en fases.

Considerando los antecedentes asociados al uso del ACC, se proponen cinco momentos como fases

de investigación: revisión teórica, diseño, sistematización, análisis e inferencia y conclusiones,

cada uno de ellos están caracterizados por procesos que se tuvieron en cuenta para desarrollar la

investigación.


39

2.4.1. PRIMERA FASE: REVISIÓN TEÓRICA

La consideración conjunta de los objetivos, propósitos y preguntas orientadoras del presente

trabajo, condujo a la búsqueda e integración de referentes teóricos asociados al objeto matemático

integral y sus fundamentos representados en los problemas de cálculo de áreas, así mismo se ha

indagado sobre los aspectos que desde el EOS aportarán a la determinación del sistema de

categorías, resaltando acá las interpretaciones y construcciones aportadas por Lurduy (2009-2013)

y en consecuencia, para orientar el proceso de investigación, se han retomado herramientas de la

articulación del ACC, la TFD y el AST, Cada fase está relacionada con un momento de la

evaluación de los tipos de significado (Identificación, Descripción y Caracterización).

2.4.2. SEGUNDA FASE: DISEÑO (Identificación y Descripción)

Se lleva a cabo la estructuración de la investigación desde el reconocimiento del objeto de análisis,

hasta el sistema de categorías que orientará el proceso de recolección y análisis de la información:

1) Determinar el objeto de análisis: El presente estudio se enmarca en torno al objeto

matemático integral definida y el acercamiento dado mediante los problemas de cálculo de áreas,

desde el contexto de los problemas didácticos del profesor: Planear, gestionar y evaluar procesos

de estudio. En síntesis, son objetos de estudio los significados didácticos y Matemáticos del

Profesor sobre el diseño y gestión de tareas de cálculo de áreas.

2) Escoger los textos para analizar: El trabajo desarrollado parte de la recolección de la

información, mediante las entrevistas semi-estructuradas, el diseño de tareas y los videos de la

gestión de clase que serán usados como textos, cada uno de los cuales se ha seleccionado siguiendo

criterios específicos, asociados a los tipos de significado estudiados.

Textos Asociados Al Proceso De Estudio

a. Recolección de información asociada al

componente didáctico/ matemático en el proceso

de diseño y la detección de los significados de

referencia y pretendido, por medio de la técnica

entrevista, la cual se apoya en una guía de

entrevista y requerirá instrumentos de registro

como una grabadora de audio y el registro escrito,

con lo cual se transcribirá y determinará el texto 1.


40

b. A partir de la información y construcción de datos resultantes de la entrevista se deducirán textos que

serán eje de análisis como lo son el texto matemático de referencia, el texto escolar y los fundamentos

didácticos y epistemológicos considerados en el diseño (textos 2, 3 y 4).

c. El estudio de los significados pretendidos requerirá del análisis cualitativo de contenido sobre el diseño

de tareas (Guía docente/guía estudiante) y una segunda entrevista que indagará por el propósito didáctico

del docente para la formulación de cada tarea, se contará con una guía de registro que opera sobre el

diseño y la grabación de audio como medio directo para la recolección de información (Textos 5 y 6).

d. Orientado al reconocimiento de los elementos de significados involucrados en la gestión del docente,

se indagan las prácticas y significados implementados, mediante la técnica de observación mediada por

la grabación de video, durante tres sesiones de hora y media cada una. Por lo anterior se dispone de una

cámara fija que encuadra el campo de acción del docente y una segunda cámara móvil que encuadra una

panorámica del aula de clase con vista frontal (texto 7).

e. Se recurre a los portafolios individuales de tres estudiantes, que se determinarán buscando a los

mejores informantes respecto a los significados institucionales implementados (texto 8).

3) Diseño y construcción del sistema de categorías: El panorama más amplio sobre el cual se

puede describir el trabajo de grado, incorpora los postulados que Lurduy (2012), quien a partir

del tetraedro didáctico representa algunos elementos, procesos, interacciones y relaciones que

ocurren en el seno de un proceso de estudio. Para el caso que nos ocupa, se retoma el plano

(triada) que relaciona a los polos didáctico-epistémico-ecológico, de allí que es plausible la

consideración de las SUPRA-Categorías duales Docente-Saber, Docente-Contexto y Docente-

Estudiante y desde allí, el estudio de los tipos de significado, elementos de significado,

descriptores de signos, logrando una entramada o red de categorías que orientaran la

organización, sistematización, reducción y análisis de la información y construcción de datos.

2.4.3. TERCERA FASE: SISTEMATIZACIÓN (Identificación y Descripción)

En esta fase se hace la recolección de los datos de los textos seleccionados en la etapa anterior, se

estructuran fichas de registro que permitan una identificación y caracterización de apartados de los

textos en donde se encuentran prácticas asociadas a los elementos de significado de integral

Gráfica N° 7: Selección de Textos para el proceso de estudio


41

definida y su interpretación como área bajo la curva, particularmente en los momentos de diseño

y gestión que realiza el profesor.

2.4.3.1. Instrumentos de recolección de información

Atendiendo a los propósitos del trabajo de investigación, se dispone de un conjunto de

instrumentos considerando en esencia su pertinencia y la información que puedan brindar. Los

criterios y aspectos puestos en juego para el diseño de los presentes instrumentos contemplan:

a. El conocimiento de configuraciones parciales (Aproximada, acumulada, Intuitiva, Geométrica,

Intra-matemática, tecnológica) del objeto matemático, las cuales dan cuenta de la Aproximación y

acumulación como fundamentos de la integral definida y datan del conocimiento holístico, global,

común del contenido por parte del docente.

b. Estudio referencial sobre didáctica del cálculo: llevando a identificar aspectos asociados al

proceso de instrucción que el docente diseña, implementa y evalúa, requirió de un estudio previo

de la literatura.

1. Entrevista Semi-estructurada/focalizada (INESE 1): Se pretende que el instrumento lleve a

comprender qué de lo que conocen los profesores sobre los fundamentos de la integral, se considera

como referente y a qué documentos o textos acude para el diseño y gestión del proceso de estudio.

Acá se logrará identificar elementos en torno a los significados Didáctico-Matemáticos de

referencia: libros de texto escolar y matemático, así como referentes sobre los fundamentos del

objeto matemático. Desde las categorías del CDM correspondería con el conocimiento común y el

conocimiento ampliado, y aun así incorporará en menor proporción, información sobre el

conocimiento especializado del contenido. Dentro del interés acá señalado, se busca indagar por

la concepción del docente entorno a los posibles errores de los estudiantes, las dificultades,

estrategias y alternativas para la enseñanza, representaciones y significados del objeto matemático

que reconoce el docente, lo cual sustenta el diseño que el docente realiza.

Preguntas de primer orden: identificación directa de elementos de significado; Preguntas de

segundo orden: Identificación de ruta de indagación de los elementos de significado institucional

de referencia.

Aplicación Piloto y análisis de expertos: Las tareas (preguntas) que hacen parte de la

entrevista (INESE 1) han sido previamente pilotadas en un grupo de 24 estudiantes de la Maestría

en Educación con Énfasis en Educación Matemática de la Universidad Distrital Francisco José de


42

Caldas de Bogotá cohorte 2013-3. Se ha indagado sobre la pertinencia y suficiencia de las tareas

propuestas en INESE 1 para obtener la información apropiada que satisfaga los objetivos del

estudio, se identifica en Crisóstomo (2012) y Pino, Godino & Font (2013), la implementación de

preguntas como las enunciadas en este instrumento, para estudios con propósitos asociados a la

indagación del CDM de docentes de bachillerato. De acuerdo con Cortazzi (1993) las narrativas

de los profesores permiten entre otras cosas reconstruir sus significados entorno a objetos

matemáticos. En algunos momentos toma la forma de indagación narrativa

Gráfica N° 8 : Transcripción de entrevista a Profesor P1

2. Guía del estudiante y Diseño de tareas (Ver anexos) (INGE) y 1.3. Entrevista Semi

estructurada para la reinterpretación del diseño por parte del docente (INESE 2): Estos

instrumentos llevan a identificar los significados institucionales pretendidos, los cuales se

complementan con la información que desde el instrumento (INESE 1) relaciona los estándares

Básicos de Competencias en Matemáticas y la planeación curricular del Instituto Clara Fey.

Aportará por demás información asociada al conocimiento especializado del docente, pues

permitirá ver en las intenciones y tareas propuestas en la Guía del docente los significados

asociados a la aproximación y acumulación como fundamentos de la integral, de manera puntual

los significados y contextos de uso de la integral definida involucrados. Se dispondrá como

instrumento de registro una guía que asocia las tareas propuestas por el docente y sus intenciones

didáctico matemáticas.

Tarea Intención del docente

T1: ¿Qué cantidad de madera

(metros cuadrados) se

necesita para la construcción

de la puerta?,

La determinación de cantidades de madera (en superficie)

aproximadas a la requerida para construir la puerta, desde

secciones que se acumulan o añaden. Involucrar el proceso

de división de la puerta en secciones lo suficientemente

pequeñas, reduciendo hasta cierto punto la ausencia o

exceso de madera y aproximándose a recubrir la estructura

curvilínea.

T2: …

¿Cuándo consideraba que la situación problema se habría resuelto o terminado? Tabla N° 6: Guía de reinterpretación del diseño por parte del docente (INESE 2)


43

3. Guía de observación/registro transcripción de video (GORTV 1); Guía de observación de

prácticas (registros y apuntes) de los estudiantes (GOPE): Los instrumentos acá referidos

permitirán la identificación de prácticas y orientar la descripción de las mismas, dadas en la

gestión del proceso de estudio y asociadas a los Significados Institucionales Implementados,

se retomarán aquellos episodios y momentos donde hay participación del docente e

interacción docente-estudiante. El registro local contemplará la presentación de consignas y

la fase de institucionalización.

Guía de observación/transcripción de video (GORTV 1)

Episodio

(Interpretación

según DECA)

Rango de

tiempo

(Total/Local)

Emisor

(Docente/Est

udiante “𝐸𝑖”)

Registro/expresión/práctica

1. Práctica 1

2. Práctica 3

Tabla N° 7: Guía de observación/transcripción de video (GORTV 1)

Guía de observación/prácticas y registros E1 (Cuaderno y/o guía del estudiante)

Acto/fase/momento Registro (Prácticas registradas por el estudiante)

Acción 1: consignas 1

Solución de dudas 1: 2

Tabla N° 8: Guía de observación/prácticas y registros E1; (GOPE)

2.4.3.2. Proceso de sistematización de información: Descripción de los significados

1) Seleccionar las unidades de análisis: Para el ACC se distinguen tres clases de unidades según

lo reporta Krippendorff (1990, p. 82): unidades de muestreo, unidades de registro y unidades de

contexto, Estas permiten el proceso de sistematización para la caracterización en las denominadas

fichas de análisis (fichas de determinación de unidades y fichas de análisis semiótico).

Gráfica N° 9: Esquema para la Determinación de Unidades (Krippendorff, 1990)


44

2) Codificación: Con la determinación de las unidades de análisis, se hace pertinente la

codificación de los datos de acuerdo a las categorías y los descriptores de signo. Para ello, tras

señalar las Unidades de Análisis sobre los distintos textos, se dará simultáneamente un proceso de

segmentación y codificación, como se evidencia en la gráfica N° 8. Tales unidades se han

diferenciado según el tipo de práctica desarrollada: Discursiva, Operativa o Normativa (PD, PO,

PN) y en ellas se diferencian los elementos de significado: Situaciones/Problema, lenguaje,

Procedimientos, Propiedades, Definiciones y Argumentos (𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4, 𝐸5, 𝐸6), los cuales se

identificaran desde los descriptores para los niveles de expresión semiótica: Icono, Índice y

símbolo (𝐷1, 𝐷2, 𝐷3), así una posible unidad será: 𝑼𝒊: Si-Re-E3-D2.

Fase 1:

Fase 2: Gráfica N° 10: Rejilla de distinción de tipos de prácticas y codificación según red categorial

3) Caracterización: En las fichas de análisis se procede a registrar las unidades de registro teniendo

en cuenta las categorías y utilizando los descriptores del tipo de signo: Ícono, Índice y Símbolo.

DETERMINACIÓN DE UNIDADES DE ANÁLISIS

Unidades de Muestreo: determinación del caso de estudio

Profesor 1 Secuencia Didáctica: La integral definida

Libros de texto: 2 Unidad: El área bajo la curva

Libros de Texto Escolar 2 3 sesiones de dos horas, sintetizados en una edición de video de

48 minutos con episodios del proceso de estudio.

Registro de prácticas del docente: situación de Orientación libre, Orientación dirigida,

validación e institucionalización, principalmente.

Tabla N° 9: Proceso de muestreo sobre los textos a estudiar


45

En las siguientes tablas de reconocimiento de unidades de análisis 1 y 2, se muestra la selección

de textos, para cada uno de los cuales operará el reconocimiento de las unidades de muestreo, de

contexto y registro.

Unidades de Contexto: Significados Pretendidos, Profesor 1, libros de texto 1, libros de texto escolar 1

Secuencia 1: Acercamiento a la integral como área bajo la curva.

Planeación y guía del estudiante

Secuencia 2: La integral definida

Secuencia 3: Reglas de integración, propiedades y aplicaciones

Momento 1: Exploración Acción

Momento 2: Desarrollo Formulación

Momento 3: Validación e institucionalización

Validación

Momento 4: Profundización

Institucionalización

Tabla N° 10 : Rejilla para la distinción de Unidades de Análisis de contexto, significados pretendidos

Unidades de registro: Significados Institucionales Implementados, Momento 2 de Desarrollo (Acción, Formulación, Validación e Institucionalización)

Grabación de video de la clase y transcripción

Entrevista: X Producción y registro de

los estudiantes

A. U. Muestreo: Determinación de unidades de análisis, dadas desde la discriminación del tipo de prácticas realizadas, cada vez que el texto reporta un cambio de práctica. B. U. Contexto: Consideración de las unidades de análisis que giran en torno a los elementos de significado institucional. C. U. Registro: aplicación del Análisis Semiótico de Texto sobre las unidades de análisis.

Nota: Se implementa tres veces el registro de unidades de análisis: para los momentos A, B y C.

Tabla N° 11: Rejilla para la distinción de Unidades de análisis de registro significados I. Implementados

Ya en la rejilla de caracterización de las unidades de registro, se sistematizará la información

atendiendo al nivel de expresión semiótica que cada unidad representó dentro del texto, organizada

para cada elemento de significado.

Rejilla de Caracterización: Unidades de Registro

Nivel de expresión Icónico Indicial Simbólico

Situación

problema

Lenguaje

Definiciones

Propiedades

Procedimientos

Argumentos Tabla N° 12: Rejilla para la caracterización de elementos de significado según clasificación del signo


46

2.4.4. CUARTA FASE: ANÁLISIS, INFERENCIA Y TRIANGULACIÓN (Caracterización)

Esta etapa tiene por objeto recoger los resultados descritos en las fichas de análisis e inferir las

regularidades en los distintos textos en relación a los tipos de significado Referencial, Pretendido

e Implementado, según los seis elementos de significado Propuestos por el EOS y descritos

mediante los tres tipos de signo.

1) Análisis de categorías: Se propenderá por un análisis descriptivo de cada elemento de

significado de referencia, pretendido e implementado, aludiendo a los procesos de diseño y gestión

del docente para el proceso de estudio, de manera que para cada tipo de significado resulte un

pronunciamiento sobre los seis elementos

2) Inferencia: Se pretende utilizar la descripción y caracterización de los elementos de significado

para hablar del problema didáctico del docente en el diseño y gestión. En el caso del Diseño,

retomando los elementos del significado de referencia y pretendido y para la Gestión, se acudirá a

los significados pretendidos e implementados

3) Triangulación de resultados: Para cada tipo de significado se recurrirá a distintas fuentes, a las

cuales se les aplicará el proceso de organización y categorización de información, de manera tal

que los análisis parciales se sometan a contrastes, complemento y búsqueda de elementos en

común para corroborar los datos y establecer un proceso de sistematización y validación de la

información. En cuanto a la organización de los elementos de significado de referencia,

pretendidos e implementados se dará una triangulación y contraste/identificación con la teoría para

brindar datos que resulten de los puntos de encuentro entre las fuentes. Además se analizará la

triada (Significados de Referencia, Significados Pretendidos y Significados Implementados).

Rejilla de inferencias por elementos de significado

Nivel de

expresión

Icónico Indicial Simbólico

(E1) Situación

problema

Síntesis de E1 Síntesis de E1 Síntesis de E1

Inferencias realizadas al sistematizar el análisis de las unidades de registro del elemento de

significado E1, articulando los tres niveles de expresión semiótica distinguidas en los textos. Tabla N° 13: Rejilla de Inferencias

Hace parte de la fase de análisis, el estudio de los significados a partir de las facetas duales

reconocidas por Godino (2003) y la construcción de triadas entre las categorías y sub-categorías

de análisis, vinculando la perspectiva semiótica de los problemas didácticos del docente.


47

2.4.5. QUINTA FASE: CONCLUSIONES

En esta etapa finaliza el proceso de investigación se realiza en dos momentos, las conclusiones y

las reflexiones.

1) Conclusiones: Según las herramientas teóricas tenidas en cuenta, se realiza una correspondencia

entre lo encontrado en el proceso de caracterización y análisis de los textos entorno a los elementos

de significado de referencia, pretendidos e implementados en un proceso de estudio inicial sobre

la integral definida y el área bajo la curva y los objetivos de la investigación, ofreciendo elementos

conceptuales encontrados, posibles generalidades y consideraciones

2) Reflexiones: Mediante la descripción de un proceso personal del investigador, se hace una

lectura subjetiva de las implicaciones y resultados ofrecidos por el proceso de investigación,

contemplando las técnicas, los instrumentos, el contexto y teniendo en cuenta los aportes que

pueden generar no solo individualmente, sino a la comunidad de educación matemática.


48

3. DESCRIPCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LOS TIPOS DE SIGNIFICADO

INSTITUCIONAL El proceso de descripción y categorización de los tipos de significado, recalará en el estudio

de los elementos de significado, en cada uno de los tipos de significado institucional, siguiendo el

proceso de codificación y categorización expuesto con anterioridad. Es pertinente resaltar que se

sigue el ciclo de muestreo y la realización de inferencias sobre las unidades que desde los tres

descriptores se asocian a cada elemento de significado, además se presentarán los elementos

vinculados según su relación o proximidad:

Unidades de muestreo: Del conjunto amplio de fuentes de información en torno al proceso

de diseño de la secuencia didáctica, materializada en las tareas y guías elaboradas por el docente,

se consideran pertinentes para capturar los referentes del docente, la entrevista realizada en torno

al reconocimiento del objeto didáctico-matemático “integral definida y como área bajo la curva”

y su enseñanza, en ella se han identificado además, los textos matemático y escolar de referencia.

Respecto al texto matemático, se ha considerado el libro Calculus (Apostol, 1999), en

cuanto al tratamiento que da a los problemas de cálculo de áreas, así mismo, se involucra el texto

escolar HIPERTEXTO de Santillana para grado Undécimo, publicado en el año 2010, en él se

muestra un intento por relacionar elementos y consideraciones del Ministerio de Educación

Nacional, al promover la distinción de unidades, actividades y tareas de acuerdo a los Estándares

Básicos de Competencias. Una de las unidades del texto aborda las cuestiones asociadas al Cálculo

Integral, inicia con la interpretación del área bajo la curva, la modelación por medio de sumas

infinitas y límites, dando paso a teoremas y propiedades relacionadas con la integral como anti

derivada de funciones.

Para los significados pretendidos se toma como base unidades asociadas a prácticas

evidenciadas en el diseño de tareas, guía del estudiante, guía del docente, objetivos, preguntas

orientadoras previstas y una entrevista de certificación. Por último, los significados implementados

son identificados, descritos y caracterizados a partir de la selección de unidades de análisis desde

la videograbación y transcripción de las prácticas en la gestión de aula, acompañada por una

entrevista certificativa al docente. Acá se distinguirán secciones de los textos, donde se referencie

una práctica particular.

Unidades de contexto: Se distinguen y caracterizan unidades que refieren a las prácticas

relativas a los elementos primarios de significado. Del libro de texto escolar, se ha considerado la


49

sección dirigida al abordaje de la integral definida como área bajo la curva; Así mismo, para el

texto matemático se considera la unidad que refiere a los conceptos del cálculo integral (pp. 59-

109). Acá se depuran aquellas unidades de muestreo que no refieren a alguno de los tipos de

significado o elementos de significado.

Unidades de registro: La presente investigación asume como unidad de registro de

acuerdo con Andréu (2001 p. 13), “el segmento específico de contenido que se caracteriza al

situarlo en una categoría dada”, de esta manera se identifican fragmentos, situaciones, imágenes,

entre otras, que aparecen en los distintos textos (instrumentos de registro e instrumentos de

recolección de información) que asocian, presentan, indican o caracterizan los conceptos de

integral desde el cálculo de áreas. Se depuran aquellas unidades de registro que ofrecen

información ya contenida o referida en otra unidad y se retoman aquellas que brindan mayor

información por su relación con los tipos de significados y elementos primarios, caracterizándolas

desde la red categorial. A continuación se presentará el muestreo de unidades según cantidad y la

respectiva caracterización para cada tipo de significado omitiendo la codificación7 para mayor

claridad en las ideas expuestas.

UNIDADES DE ANÁLISIS

Tabla N° 14: Proceso de evaluación de significados: cantidad de unidades de Muestreo, Contexto y Registro en general y para cada tipo de significado. El 100% corresponde al total de unidades de muestreo.

3.1. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL DE REFERENCIA

El Cálculo no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colección de ideas fascinadoras y

atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante centurias. Estas ideas están relacionadas con

velocidad, área, volumen, razón de crecimiento, tangente a una línea, y con otros conceptos referentes a otros

dominios. El Cálculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acerca del significado de estos conceptos.

Apóstol (1999, P. 1)

7A cada unidad de registro se le asigna una codificación {SI - C# E# D#} tomada del cuadro de categorías

propuesta en el capítulo 2 (Tabla N° 3). Se codifica en el siguiente orden C# que representa las categorías, E# que representa las sub-categorías y D# que representa los descriptores.

0%20%40%60%80%

100%

UnidadesU. Muestreo

U. Contexto0%

20%40%60%80%

100%

S.I. DeReferencia

S.I. Pretendido S.I.Implementado

UNIDADES POR TIPO DE SIGNIFICADO

U. Muestreo

U. Contexto

U. Registro


50

Desde el desarrollo del presente trabajo y el enfoque teórico/metodológico asumido, el estudio de

los significados de un libro de texto permite explorar las configuraciones epistémicas de las

nociones matemáticas manifestadas allí y su posible articulación a lo largo de la trayectoria

instruccional implementada, de acuerdo a lo sustentado por Godino et al (2006). Este tipo de

materiales puede ser útil para el profesor en la planificación de clases, selección de materiales y/o

como documentos de apoyo en la gestión de la secuencia didáctica. Crisóstomo (2012) resalta la

relevancia otorgada por los investigadores en educación matemática al libro de texto8 pues

constituye un nivel de transposición didáctica y una fuente importante de los significados

institucionales de referencia. De esta manera para orientar la exploración sobre los significados de

referencia en el texto matemático y el texto escolar se asume que en ellos se pueden determinar

configuraciones epistémicas:

a. Globales (Identificación de Redes de Objetos Matemáticos presentados en el texto desde tipos

de problemas); b. Intermedias (Para una temática especifica se descomponen los tipos de

problemas abordados desde los elementos de significado); y c. Puntual (Descomposición de un

tipo de problemas abordado respecto a una temática en situaciones que puntualizan los

significados y los elementos primarios).

Debe aclararse que una de las configuraciones puntuales, refiere a los problemas de cálculo de

áreas y concentra la atención en la caracterización de los significados institucionales de referencia,

mientras las configuraciones globales e intermedias, se encuentran en detalle contenidas en los

anexos.

El análisis acá sugerido, requiere indagar los tipos de problemas abordados en el texto (Unidades

de Muestreo)9, para que de allí sean seleccionados aquellos tipos de problema directamente

relacionados con la integral definida y el concepto de área (Dados los propósitos del docente

orientador del proceso de estudio, materializados en la entrevista a él aplicada). Ahora bien, de

estas unidades de contexto, se determinan unidades de registro, situaciones problema de

aplicación, contextualización, ejercitación e institucionalización que muestran el abordaje al

cálculo de áreas. Este texto da el estatus de “Problema fundamental/Idea fundamental” del cálculo

a la determinación del área de una región sombreada.

8 Para el presente trabajo se consideran dos tipos de libros: Libro de texto Matemático y Libro Escolar, refiriéndose al Calculus de Apóstol (1996) y a HIPERTEXTO de Santillana respectivamente. 9

Ver anexo C: “ Configuración Global e Intermedia: Estructura del Texto: Calculus (Apóstol, 1999)”


51

Configuraciones Intermedias: De acuerdo a lo señalado dentro del EOS y por Crisóstomo

(2012), las configuraciones epistémicas y los significados son emergentes de sistemas de prácticas

que resultan de la resolución de problemas, la comunicación de resultados y la extrapolación de

los mismos, de allí que las unidades de contexto, tienen en común el abordaje del concepto,

propiedades y operaciones asociadas al área como función de un conjunto, donde S es una región

plana, para la cual se le asigna un área (a(S)) y que refieren a problemas asociados a la integral

como se muestra a continuación:

A. La interpretación analítica y representación geométrica de la suma de secciones de una función

escalonada; B. Determinación de integrales para funciones, donde se considera la función como

una familia de ordenadas10.C. El cálculo del volumen de sólidos partiendo de la integración del

área seccional. D. Aplicación de la integral a conceptos de la física, por ejemplo en la

determinación del trabajo desde la integración de una función de fuerza para el desplazamiento de

una partícula de un punto “a” a un punto “b”. E: En el desarrollo analítico de las propiedades del

área e integración de funciones, se habla de “Integral definida” para funciones continuas, partiendo

de la construcción o inscripción de una función escalonada de límite inferior en un determinado

intervalo, que implica el desarrollo de nociones intuitivas hacia su formalización.11F: En el último

apartado, se asume el estudio previo del cálculo diferencial, desde el cual se contextualiza la

relación entre integral y derivada. Así y con un vasto cuerpo de representaciones, propiedades,

teoremas y expresiones analíticas se constituye el problema de integración de funciones definidas

e indefinidas desde la manipulación de las derivadas y anti-derivadas (Ver Anexo C). Este último

campo de problemas devela una configuración epistémica intermedia que según Crisóstomo

(2012) se determinaría como una “configuración epistémica formal de la integral”12.

Configuración Local De La Integral Desde Los Problemas De Áreas Bajo La Curva: Los

significados asociados a la integral se desarrollan desde las seis configuraciones intermedias

enunciadas previamente, desde allí se propone estudiar con mayor profundidad el campo de

10 Si bien se habla de un tratamiento intuitivo, geométrico y analítico asociado a los problemas de áreas, los contextos sobre los

cuales se desarrolla esta noción matemática, incluyen cuerpos geométricos como curvas o polígonos, hasta incorporar regiones

planas que se comportan según patrones escalonados de rectángulos; Todo esto lleva al estudio de regiones encerradas por

funciones (entendidas como familias de ordenadas).

11 Vinculan nociones de continuidad y límite de una función, da un tratamiento simbólico y la demostración de propiedades y

teoremas analíticos. 12Junto con el estudio de la configuración global, las configuraciones intermedias se exploraran con mayor precisión en el

apartado de anexos, dando prevalencia dentro del documento al estudio de la configuración local.


52

problemas alusivos a la determinación del área de figuras encerradas por curvas y el tratamiento

del área mediante la suma de una secuencia de polígonos inscritos bajo la curva. Serán descritos

los distintos elementos primarios de significado relacionando diadas, organizadas según su

proximidad o relación.

Situaciones Problema y Lenguaje: Alrededor del cálculo de áreas se establece un campo

de problemas que condicionan la presencia de los elementos de significado, particularmente el

lenguaje y los procedimientos. Algunas situaciones abordadas se muestran a continuación:

a. Determinar el área de una figura poligonal;

b. Determinar el área de una figura encerrada por curvas (Conjunto plano);

c. Determinar el área de una función escalonada.

d. Hallar el área de figuras encerradas por curvas a partir de funciones escalonadas inscritas.

Se plantean variaciones a las situaciones considerando la determinación de áreas para

distintas curvas, la demostración de una afirmación asociada a un área ya determinada y

la construcción de un conjunto plano cuya área sea equivalente a un área prefijada.

e. Determinación del área de una función como conjunto de ordenadas (Segmento parabólico,

funciones polinómicas, trigonométricas,…) y en el enunciado se involucra el camino inicial de

resolución, lo que modifica la situación problema. (Por ejemplo: P1: “Determinar el área del

segmento parabólico desde la partición A1, A2,… A(n)”; P2: “Determinar el área de la sección

parabólica desde una función escalonada de límite superior”); P3 y P4 se muestran a continuación:

P3

P4

Unidades de registro U33, U82: Situaciones problema en el texto de referencia.

Desde las situaciones enunciadas se motiva el uso de conceptos previos como el área de figuras

geométricas, área de polígonos inscritos/circunscritos en círculos (y otras figuras curvilíneas),

rectas paralelas y perpendiculares, el uso de los números racionales e irracionales como π y √22

.

Respecto al lenguaje, se condiciona al planteamiento de las situaciones problema, con la

formulación de un enunciado orientado directamente al cálculo como acción de determinar la

medida exacta o aproximada de superficie de un conjunto plano o región encerrada por curvas y/o

rectas; para ello se asocia al uso de expresiones previamente conocidas en la determinación de


53

áreas para polígonos presentes en las representaciones de funciones escalonadas en el plano

cartesiano Real (área del rectángulo), de aquí que se logra caracterizar el lenguaje como intuitivo,

intra-matemático y geométrico. Cada problema conduce al esbozo de una gráfica que representa

la curva a la cual se le desea determinar el área, que procede en algunos casos de una función

descrita simbólicamente a partir de constantes, variables, exponentes y operaciones fundamentales.

Así mismo se manifiesta el cambio de representación de la gráfica a un lenguaje aritmético y

simbólico, en particular con la especificación de algoritmos para el área de cada rectángulo, las

sumatorias y el uso de los símbolos∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥𝑏𝑎 o ∫ 𝑓(𝑥)∆𝑥

𝑏

𝑎, que tienen un significado asociado a

la suma de las áreas de rectángulos para las funciones escalonadas.

Las proposiciones se valen del lenguaje ordinario, pero el estudio de las propiedades y

argumentos se desarrolla desde el lenguaje simbólico y algebraico, se observa en la siguiente

imagen el uso contextual intra-matemático del lenguaje donde ∫ 𝑓(𝑥)∆𝑥𝑏

𝑎 señala la suma de áreas

de rectángulos en una función escalonada entre dos rectas perpendiculares al eje de las abscisas,

donde las alturas son determinadas por el límite superior del

par de ordenadas (en una familia de ordenadas) construidas

desde una partición que aplica en funciones continuas y puede

usarse sin la intervención del concepto límite. A este proceso

se le denomina integración. En las representaciones gráficas

prevalece el señalamiento de la familia de ordenadas que

correspondía con una partición del intervalo de las abscisas

en secciones iguales o no, mediante notación 𝑋𝑖o 𝑘𝑏/𝑛 para

las abscisas y 𝐴𝑖 para la familia de ordenadas.

Procedimientos y Propiedades: Los problemas enunciados están asociados a tres acciones

generales, la determinación de áreas, la construcción de una región a partir de un área dada y la

demostración de proposiciones o propiedades, cada una de las cuales se desarrolla desde la

notación gráfica, simbólica y algebraica siempre soportada sobre el lenguaje ordinario. El abordaje

de la situación inicia con el esbozo de la curva, gráfica o función; la determinación del área se da

desde construcciones auxiliares inscritas o circunscritas sobre la región plana, llegando a un tercer

procedimiento general, la deducción de propiedades y proposiciones en un lenguaje simbólico,

hasta considerar relaciones y afirmaciones sobre las magnitudes.


54

Las propiedades geométricas de las regiones o conjuntos planos, direccionan el abordaje y las

acciones sobre el problema, para el caso del área del círculo, el conjunto de procedimientos consta

de construir un polígono inscrito, iniciando con el hexágono y duplicando progresivamente el

número de lados de éste. Simultáneamente se sugiere un proceso similar con un polígono

circunscrito de manera que el área del círculo, quede comprendido entre los dos polígonos

construidos. Hasta el momento se enuncian procedimientos de carácter geométrico sobre la

representación simbólica y

analítica del área del círculo

a partir de la sumatoria de

“n” triángulos inscritos (o

circunscritos en el círculo).

Para “la determinación del área del segmento parabólico” se retoma inicialmente un problema con

antecedentes en la historia de las matemáticas, se realiza la construcción de una secuencia de

triángulos inscritos en la parábola, cuyo vértice surge de la intersección entre la curva y la recta

tangente a ella, que es a su vez paralela a la base del triángulo. De esta manera se conduce a

proposiciones sobre el comportamiento de la secuencia de figuras, dichas proposiciones establecen

relaciones de paralelismo, contenencia, orden y equivalencia sobre objetos como rectas, puntos y

superficies y se pronuncian principalmente desde el nivel de expresión Indicial sobre las medidas

de dichos objetos.

Los procedimientos referidos en el texto involucran los siguientes tipos de aproximación y la

formulación de expresiones para determinar el área bajo la curva acudiendo a funciones

escalonadas (una re significación al abordaje hecho con triángulos):

Gráfica N° 13: Procedimientos manifiestos en el significado institucional pretendido

Gráfica N° 12: Aplicación del método de Exhaución a una superficie semicircular.


55

En la gráfica contigua se observa la

relación entre la situación problema, la

representación y la construcción

auxiliar de funciones escalonadas,

marcando procedimientos como la

partición en secciones iguales para la

base de la región estudiada, el trazo de

rectas perpendiculares y paralelas para

la determinación de “n” rectángulos

desde el límite inferior y superior de

las bases, conformando así una función

escalonada de rectángulos proyectados desde la familia de ordenadas que describen la curva,

inscritos y circunscritos a la curva, posibilitando además la enunciación de proposiciones

matemáticas de carácter simbólico donde se comparan las distintas sumas de rectángulos.

Del tratamiento a la situación emergen proposiciones del tipo de Teoremas y propiedades

de la integral, las cuales en su mayoría se evidencian desde el nivel de expresión semiótica

simbólico. Se pueden resaltar propiedades para el área de conjuntos planos y de las

funciones escalonadas como la aditividad, el producto escalar, o equivalencias entre el área

de una determinada región y la solución de una expresión analítica.

Definiciones y argumentos: Las prácticas reportadas en el texto, hacen relevante la

definición geométrica de las regiones planas o figuras sobre las cuales va a operar el área. Para el

caso del área encerrada por curvas, introduce el autor una definición formal de la función como

familia de parejas ordenadas, desde las cuales es posible construir una función escalonada. Así las

definiciones se valen del carácter geométrico que cobra el problema, para enunciar según lo refiere

Crisóstomo (2012) un significado intuitivo y geométrico de la integral.

Es inherente a este trabajo, el pronunciamiento sobre el área, en este sentido el autor designa la

superficie como una región o conjunto plano, especificando los casos en los cuales la magnitud es

medible. Las figuras usuales y las figuras encerradas por curvas son medibles para este autor,

permitiendo su integrabilidad si cumple determinados axiomas asociados a los conjuntos del plano,

Gráfica N° 14: Unidades U94 y U96, visualización de

procedimientos y proposiciones


56

se habla del área del rectángulo como un axioma fundamental para el proceder sobre las situaciones

problema abordadas. En la siguiente definición de área, se considera el proceso de asignación de

un número en forma de medida a un conjunto del plano. Sobre ella, recaen axiomas como la

aditividad, diferencia, invariancia o exhaución y múltiples propiedades que condicionan el

tratamiento del problema, como lo es la “No negatividad” y permitiendo un contraste con el

posterior abordaje de la integral desde las sumatorias donde se hace posible la negatividad o la

nulidad.

Gráfico N° 15: Definición de área en el texto de referencia.

Las definiciones relacionadas en el texto, se hacen presentes desde el nivel de expresión

semiótica indicial y simbólico principalmente, dejando ver no solo una relación con la situación

problema, sino una clara correspondencia con los demás elementos de significado, involucra un

lenguaje simbólico y analítico que induce a la representación geométrica sobre la cual se

determinan conjuntos y se posibilitan procedimientos como las particiones.

Gráfico N° 16: Definición de Función Escalonada en el texto de referencia.

Los procedimientos y situaciones presentadas por Apóstol (1999) en el cálculo de áreas con

funciones escalonadas y con el problema amplio de determinar áreas para curvas, reportan la

recurrencia al método de exhaución, se observan argumentos de carácter intuitivo en tanto se basan

en la comprobación de resultados, la visualización geométrica y el desarrollo de proposiciones

desde constructos analíticos y operacionales. En un segundo tipo de argumentos evaluados en la

expresión indicial del texto, se ha encontrado un camino deductivo de propiedades, donde juega

gran importancia la caracterización de las relaciones geométricas y la puesta en escena de la

aproximación en áreas y el error como un concepto que regula los procedimientos.

Existen argumentos inductivos en varios apartados que refieren a la resolución de problemas de

cálculo de áreas, cuando se intenta generalizar los procedimientos; establecer proposiciones de

tipo causa-efecto permite partir de casos particulares, cálculos o representaciones, para hablar de

generalidades en el tipo de curvas o tipos de procedimientos. La Gráfica 11 muestra la


57

caracterización de uno de los rectángulos de la función escalonada para una curva o segmento

parabólico, y de allí caracteriza los demás rectángulos, hasta introducir representaciones analíticas

que permitirán la determinación de una sumatoria y equivalencias para esta.

3.2. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL PRETENDIDO: DISEÑO DE TAREAS,

PLANEACIÓN DE CLASE Y OBJETIVOS

Un siguiente paso en el estudio de los tipos de significado institucional, lleva a abordar de acuerdo

con Godino y Font (2002) los significados pretendidos, siendo aquellos sistemas de prácticas (y

significados) incluidos en la planeación y proyección del proceso de estudio en torno a los

fundamentos de la integral. Acá se han incluido como objeto de observación, la planificación de

una secuencia de actividades, la guía del estudiante y los referentes curriculares, tales como la

malla institucional de matemáticas, que son estudiados a partir de la indagación de las

comprensiones, pretensiones, interpretaciones y versión del docente que gestiona las clases

(perceptibles mediante una entrevista al docente).

Situaciones Problema, Lenguaje y procedimientos: El reconocimiento de prácticas

inicia desde el señalamiento de situaciones problema presentes de manera implícita y explicita (de

acuerdo a los niveles de expresión semiótica) en las tareas e intervenciones que el docente ha

programado de manera previa a la gestión de la clase. Se han observado y extraído unidades de

contexto y registró para estudiar los significados pretendidos, que de acuerdo a las prácticas

reportadas, deja ver una estrecha relación entre los tres elementos primarios de significado.

En este sentido se encuentran tareas (desencadenantes de procesos y elementos de

significado) encaminadas a que el estudiante concurra a prácticas como el cálculo de áreas,

inicialmente entendidas como la medición de la superficie de polígonos bastamente conocidos

(Rectángulos, triángulos, trapecios,…), relacionando procedimientos o ideas previas para

encontrar áreas partiendo del área del rectángulo como producto entre la base y la altura.

Anteriormente se referenciaron tareas presentes desde el nivel de expresión icónica, pues no dejan

ver claramente la intención de abordar los fundamentos de la integral y buscan una especie de

retroalimentación de conceptos y procesos previos. En adelante se señalan tareas con un carácter

indicial, pues refieren de una manera implícita a aspectos como la optimización de la superficie

que puede ocupar un rectángulo (y trapecio) cuando se ha fijado el perímetro.


58

No obstante, se han encontrado en mayor porcentaje, unidades de registro asociado al nivel

simbólico en lo que respecta a las situaciones problema, pues relacionan el cálculo de áreas con

nociones como la aproximación, la unión y la acumulación, denominando puerta a la superficie

encerrada por una curva y tres rectas y formulando la intención de construirla a partir de tablas

poligonales ajustables. La docente pretende que esta tarea sea interpretada como la cuadratura de

un segmento parabólico, la construcción de una función escalonada o de una secuencia creciente

de rectángulos que agoten exhaustivamente la superficie de la puerta. Al cálculo de áreas se le

colocan restricciones como estar encerrada por el borde curvo de la puerta (la representación del

borde es similar al de un segmento parabólico, pero no se especifica el tipo de curva), la necesidad

de calcular el área teniendo como punto de partida el área de polígonos, obligaría a inscribir

triángulos y/o cuadriláteros (Infinitesimales o tan pequeños como se quiera), así mismo se brinda

la herramienta/restricción; “la puerta solo se puede construir con tablas de borde recto”,

pretendiendo así ver la integral definida como el área de una superficie compuesta o resultante de

la unión de una colección estratégica de rectángulos cuyas bases al variar permiten ir ocupando la

superficie de toda la puerta, incluso cuando los lados del rectángulo no coinciden con el segmento

curvo, provocando una proximidad a tal punto que la diferencia entre el molde de la puerta y el

armazón de tablas sea casi imperceptible.

Ahora bien, es necesario representar y cuantificar la cantidad de madera utilizada por lo que la

tarea incluye el uso de procedimientos, nociones y lenguajes en torno a una función escalonada,

para la cual se pueden deducir sistemáticamente las medidas de la base y altura de los rectángulos

que la conforman, hasta vincular cálculos numéricos que den un resultado exacto o aproximado.

Respecto al lenguaje asociado al significado pretendido, es pertinente partir de las

representaciones observadas en los instrumentos, enunciados y preguntas programadas por la

docente. Principalmente se presenta un lenguaje escrito descriptivo bajo el cual se caracteriza,

enuncia y brinda un elemento de representación, aclaración y ejecución de procedimientos. Hay

una clara relación entre la representación simbólica de la situación y su contexto, con las

características geométricas de las figuras, polígonos y curvas. A partir de allí es posible

determinar posibles construcciones o subdivisiones de la puerta en tablas (polígonos inscritos),

dilucidar procedimientos como aumentar la longitud de la base y aumentar la altura de un

rectángulo, o ajustar las medidas de una región para que cumpla las propiedades de un cuadrado.


59

En este sentido se introducen términos que vinculan el cálculo de áreas y el contexto del problema

(carpintería), tales como región, superficie, zona de cultivo, (…), molde de la puerta (región

encerrada por curvas), tablas de borde recto (polígonos inscritos en secuencia). De esta manera y

progresivamente, el lenguaje usado pasa a un nivel de expresión indicial donde los términos

refieren a conceptos y proponen procesos, por ejemplo, al enunciar la pregunta ¿Cuántas tablas se

requieren para construir la puerta?, enlaza términos que infieren la inscripción de polígonos hasta

agotar la superficie de la puerta.

Al presentar el bosquejo de la puerta, la representación

gráfica invita al estudiante a valerse de la cuadricula

para realizar los trazos que muestren las tablas que van

a componer la puerta. Disponer de ella, permitirá

evidenciar en la parte superior una curva que

difícilmente coincide con los bordes rectos de tablas

inscritas, por lo que es necesario ajustar el tamaño y

pendiente de los bordes de las tablas para agotar el

espacio disponible dentro del molde.

La manera de formular los enunciados permite asumir que las tablas son construibles con distintas

formas poligonales, con dimensiones “tan pequeñas (o grandes) como se quiera y se pueda” e

introduce la idea de “corte”, la cual moviliza la construcción de secantes o tangentes, con distintas

pendientes y extensión, haciendo posible ajustar la curva a una línea poligonal, acercarse a la curva

y agotar tanto como se quiera la superficie de la curva, aclarándose que el lenguaje no invita a la

formalidad y simbología algebraica, tampoco involucra procesos sistemáticos, sino que deja

abierto el camino al proceder y representación deseada del estudiante, más allá de las previsiones

hechas por el docente.

Procedimientos: Es de manera icónica como se expresan los procedimientos iniciales,

refiriéndose a la representación, el conteo de tablas o la construcción de rectángulos. Algunas de

las afirmaciones y representaciones hechas por la docente a partir de la guía, permiten ver

procedimientos como el agotamiento de la superficie de la curva desde la cuadricula que va

implícita en la representación de la puerta. Más a fondo se encuentra la pretensión de

procedimientos registrados en las unidades referidas al nivel de expresión indicial, es allí donde

Gráfica N° 17: Esquema de la puerta facilitado en la guía del estudiante.


60

las preguntas formuladas buscan que el estudiante encuentre una cantidad de tablas inscritas en

el molde de la puerta, no muestran la necesidad de variar sus dimensiones o hacer una construcción

específica para agotar o aproximarse a recubrir toda la superficie de la puerta, pero infieren la

necesidad de inscribir un conjunto de polígonos que unidos conformaran una estructura con la

forma encerrada por la curva o segmento parabólico. Realizar cortes a tablas circunscritas a la

curva es otro de los posibles procedimientos, pues de entrada se infiere que si es posible construir

la puerta, pese a que no sea un proceso sencillo y directo, así al tomar una tabla lo suficientemente

grande, será posible cercenarla o cortarla una cantidad finita de veces hasta que se ajuste a la curva.

Al indagar por las medidas o la cantidad de superficie encerrada por un polígono rectangular o la

curva que forma la puerta, se espera que las tareas lleven al estudiante a hacer cálculos puntuales

para condiciones o medidas específicas. Invitando a inscribir un conjunto de polígonos o

rectángulos, hasta acercarse o aproximarse a la curva en toda dirección, de manera tal que con los

procedimientos aritméticos básicos de cálculo del área del rectángulo, se llegue a una expresión

numérica que registre la acumulación de las áreas de cada subregión. Más allá de procedimientos,

se configuran estrategias.

Enlazando los procedimientos que la docente ha llamado de segundo orden y que en su mayoría

se han registrado en las unidades asociadas al nivel de expresión simbólica, se asumen los

procedimientos previamente referenciados, como insuficientes o presentan limitaciones para llegar

a respuestas exactas, aun así generan una aproximación que se puede mejorar. Es por tanto que

tales procedimientos son sistemáticos, como la construcción de una “secuencia” de rectángulos

inscritos, construidos desde el límite superior de una partición de la base de la puerta. Se busca

entonces la construcción de una función escalonada (como se ilustra en la siguiente tabla), donde

la familia de ordenadas se comporta de acuerdo a un patrón y permite generalizar el cálculo del

área de la puerta como una sumatoria de áreas de rectángulos cuyas bases son tan pequeñas como

se quiera.


61

a) Desde tablas inscritas en la puerta

b) Desde tablas circunscritas a la puerta

c) Desde tablas en forma de trapecio o unión entre tablas rectangulares y triangulares

Gráfica N° 18: Procedimientos asociados a la inscripción de una cantidad cambiante de tablas.

En el caso de optimizar la zona de cultivo, se espera la tabulación de las posibles medidas que

puede conseguir el terreno cuando se ha fijado el perímetro, en contraste con las respectivas áreas.

Se busca que los procedimientos lleven a determinar una suma interior o superior, siempre y

cuando se reconozca que dependiendo de la medida de cada tabla, el patrón con que se construyan

y la cantidad de tablas se va a obtener una aproximación tan óptima como se quiera. La idea de

fondo es la construcción de una función escalonada que permita una reinterpretación de la


62

representación geométrica hacia una representación analítica (modelo matemático) con la que

se pueda cuantificar la suma, acumulación o agrupación que se aproxima a recubrir el molde

de la puerta.

Interpretando las Propiedades o Proposiciones como uno de los elementos de significado,

que indagan por los atributos de las situaciones u objetos matemáticos, es pertinente hacer explícito

la importancia que la docente y el diseño mismo le dan a la medición y posicionamiento de la

puerta en una cuadricula y/o plano cartesiano, es así como se reconoce en la superficie la

posibilidad de subdividirse y compararse con una unidad estándar de medida, la cual se podrá

reiterar hasta obtener un múltiplo de ella que indique cuántas veces cabe en la puerta. El plano

cartesiano modela la idea de coordenadas en cada sección y borde o componentes de la puerta,

permitiendo deducir las medidas de un determinado segmento teniendo en cuenta los valores donde

inician y donde terminan (distancias euclideas) 𝑥𝑜 y 𝑥𝑖. Hasta acá observamos icónicamente en el

texto, propiedades que el docente no toma como principales, implícitas en sus intenciones y en la

propuesta de tareas. Es de allí donde se abre el camino a modelar aritmética o simbólicamente la

situación, hasta obtener valores numéricos.

Se otorga a la superficie una serie de características que permiten operar al estudiante sobre la

situación, inicialmente se asume que la superficie se puede subdividir, seccionar en un conjunto

de polígonos, los cuales en un proceso inverso, se pueden reunir o pegar si existe una coincidencia

entre los lados comunes. En consecuencia, es propio de la superficie, aun cuando tiene una forma

curva, la posibilidad de componerse con una secuencia de polígonos, que pueden variar en tamaño

y cantidad para agotar, cualquier superficie por pequeña que esta sea.

Dentro de los textos acá estudiados se ha encontrado de manera indicial, la enunciación de la

variación, aproximación y acumulación en la medida de la magnitud superficie como propiedades

generalizadas de los procesos, así la secuencia de rectángulos admite un cálculo de la superficie

ocupada en la puerta, para unas medidas o dimensiones específicas, las cuales al variar, implican

un cambio en el cálculo obtenido (Co-variación), llegando a identificar como pequeñas variaciones

en las dimensiones, implican variaciones en el área encontrada. Perceptiblemente se encuentra el

agotamiento de la superficie de la puerta de una manera progresiva, al aumentar la cantidad de

tablas ajustando sus dimensiones de manera inversamente proporcional, generando una idea de

aproximación al considerar la diferencia entre la superficie total y la que se está aproximando a


63

ella. Es de notar que entra en choque la idea de exactitud, pues la docente espera que las estudiantes

“vean la dificultad o imposibilidad de calcular exactamente el área de la puerta o hacer coincidir

una cantidad exacta de tablas rectilíneas”, posteriormente se sugiere la ampliación de una región

de la puerta para observar que por pequeñas que sean, aún hay regiones sin recubrir.

Definiciones y Argumentos: Son las “Magnitudes” y “Unidades de medida” ideas

clave para concretar por qué la situación resulta ser problema, pues se parte de identificar que la

superficie es un atributo de -objetos en el plano- cerrados o limitados por líneas, que además puede

cuantificarse a partir de la reiteración de una unidad estándar de medida, denominada unidad

cuadrada, con la cual se ha establecido previamente un enunciado clave, como lo es el área del

rectángulo como producto entre la base y la altura del mismo. Así la situación problema se genera

al no lograr hacer coincidir la superficie de la puerta con una secuencia exacta de rectángulos o

triángulos. Llevando a una definición un tanto más compleja para la línea “curva”, la cual se

entiende trivialmente como “no rectilínea”, pero trasciende a ser una secuencia de puntos no

alineados en la misma dirección, por lo que no coincide con líneas rectas.

A esta definición de área se le hacen inherentes características como la divisibilidad (propiedades

de un conjunto plano), el agrupamiento, agotamiento de la superficie, etc. Se asocian distintos

polígonos (cuadrados, rectángulos, trapecios, triángulos,…) buscando generalizar los cálculos de

área y brindar herramientas para calcular el área de regiones curvas. La región poligonal o tabla se

define desde una condición de existencia, “existe si se puede construir y se construyen solo a partir

de cortes rectos”, es así como los objetos matemáticos o geométricos se redefinen de acuerdo al

contexto, así un polígono es una tabla, un segmento es un corte, una puerta es una estructura y

dicha estructura tiene atributos como superficie, dimensiones y posición en un plano con

coordenadas.

Así mismo, se espera tras la resolución de tareas propuestas y emergentes en la gestión del proceso

de estudio que se llegue a nociones de aproximación desde la idea de acercamiento de una medida

cambiante a una de referencia, siendo estas, el área acumulada de todos los rectángulos inscritos

(o circunscritos, o trapecios) al área de la puerta. Se involucra la noción de acumulación al señalar

la agrupación/ conglomeración/ concurrencia de un conjunto de partes o subconjuntos planos,

cuyos comportamientos y dimensiones varían u optimizan (implicando mejores -o peores-


64

aproximaciones en el acercamiento o aislamiento), explicitadas al indagar cuántas tablas y de qué

medidas se requieren para construir la puerta, llegando a requerir el total de madera que se necesita.

Adjunto a estas cuestiones aparece la indagación por la cantidad de cortes necesarios para obtener

la puerta, así se espera que los estudiantes lleguen a caracterizar la región encerrada por la curva a

partir de las propiedades geométrica, donde vean la inexactitud en el cálculo de áreas cuando se

inicia con la inscripción de rectángulos, y la no coincidencia de la curva con una línea poligonal,

así mismo al sugerir la inscripción (o circunscripción) de rectángulos, se involucra la noción de

curva como una familia de ordenadas, una función de posición o una secuencia de alturas que

permitirán modelar el cálculo generalizado de alturas y las respectivas áreas de cada rectángulo.

Respecto a los argumentos, se privilegia justificar o argumentar desde lo perceptible, inicialmente

al mostrar, evidenciar en la gráfica o describir los procedimientos (corroborar) cómo ellos

conducen a la aproximación y agotamiento de superficies a partir de secuencias de polígonos. Las

acciones y procedimientos cobran importancia en los argumentos, pues es a partir de allí donde se

espera que los estudiantes identifiquen el conflicto de hacer la cuadratura para el segmento

parabólico o encontrar una medida exacta para la superficie, considerando las condiciones o

restricciones dados en el enunciado: Solo se admiten cortes rectos; No se puede desperdiciar

material; La idea es recubrir toda la puerta; y en general a partir de las propiedades de los objetos

y de la situación, los cuales se han enunciado previamente y permiten señalar relaciones proceso-

producto.

Al indagar por la cantidad de tablas necesarias para construir la puerta, es esperado que de manera

inductiva se llegue a argumentos como: “una tabla inscrita no es suficiente para construir la

puerta, con seis tablas se va acercando y aunque se va haciendo más pequeña cada tabla,

conforme aumente la cantidad de tablas, las dimensiones y área de cada una de ellas se irá

ajustando” (Ver gráfica N° 18), para luego inferir que “este proceso se puede continuar – tanto

como se quiera, llegando a una mejor aproximación de manera progresiva (sobrando siempre una

región por pequeña que sea de la puerta)”.


65

3.3. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL IMPLEMENTADO

Respondiendo a los objetivos e intereses del presente trabajo de grado, y soportado en las acciones

metodológicas que rigen la investigación, se acude a fuentes que permiten la recolección e

interpretación de información asociada a los sistemas de prácticas dados en el aula durante el

proceso de estudio. Como se ha mencionado previamente, se ha dispuestos de dos videograbadoras

(Una fija registrando las prácticas del docente, y otra móvil registrando las prácticas de los

estudiantes), se ha hecho una trascripción de los videoclips considerando que el investigador se

encontraba presente y registrando desde una observación no participante las prácticas de aula y las

registradas en los portafolios de los estudiantes.

Situaciones Problema y Lenguaje: Las prácticas observadas y registradas a nivel

discursivo se han manifestado en los textos con distinto nivel de representación, predominan los

enunciados explícitos (Ver anexos), considerando la intervención del docente mediante el discurso,

registros en el tablero o en los instrumentos y diálogos con los estudiantes para aclarar las

intenciones de las tareas, develando los propósitos que tras el enunciado se representan.

Inicialmente se considera un problema puntual13, desde un enunciado que relaciona

condiciones, orientaciones y delimitaciones del contexto en relación con la representación gráfica

donde se aclaran propiedades de la superficie, ubicación, dimensiones y forma de una puerta a

construir. Hallar el área de la puerta, para ello se establecen condiciones que transfieren la tarea

a determinar cuántas tablas caben (o constituyen) en la puerta, tratando de respetar dos

condiciones: la primera es que las tablas se pueden construir con cortes rectos realizados por una

máquina, y la segunda, que se debe construir la puerta optimizando la cantidad de madera utilizada,

de manera que no pierda el carpintero, pero que tampoco el cobro al cliente se exceda. Algunas

de las consideraciones declaradas sobre la situación problema son: búsqueda de la menor cantidad

de tablas, determinar ¿Cuántos cortes se realizan a una tabla inicial hasta llegar a la forma de la

puerta? O Buscar la cantidad más aproximada a la real de consumo de madera para la

construcción de la puerta (eliminando sobrantes o faltantes).

Se evidenció que las tablas de borde recto en una cantidad finita, no recubren la superficie de la

puerta de manera inmediata y los cortes rectos no coinciden (pero, se acercan) con la curva de la

13Una situación diferenciada es la búsqueda de la zona más apta para un cultivo, para el cual se tiene una cantidad

de malla fija, pero las dimensiones y superficie no se ha determinado. A partir de este problema de optimización se considera que el área varía de acuerdo a las dimensiones en una superficie rectangular.


66

puerta para garantizar que se ha recubierto su superficie, por lo tanto debe construirse de la manera

posible, tablas con tamaños intencionales para generar la curva de la puerta y recubrir los

espacios que faltan, por pequeños (infinitesimales) que estos sean. Se entiende entonces que la

situación problema, que no es de inmediata respuesta, promueve la exploración y lleva a un

contraste entre el tamaño de cada tabla versus la cantidad de tablas14.

Las prácticas discursivas involucran directamente el lenguaje, que en términos de Godino (2003)

se relacionan con los términos, expresiones, notaciones y/o gráficos en sus diversos registros

(escrito, oral, gestual,…), así, desde la enunciación de la situación problema, tareas, contexto y la

representación gráfica se impone un lenguaje de carácter descriptivo, basado en la naturaleza

geométrica en relación con un contexto de carpintería, reconocido en el nivel de expresión Indicial

– Simbólico, pues refieren a acciones que se realizaron sobre la representación y conducen a

afirmaciones, deducciones o relaciones entre el procedimiento, el objeto y el problema.

Se presentan descripciones de la apariencia, forma, medidas y ubicación de la puerta y de las

respectivas tablas que se van a utilizar para recubrir su superficie, aparecen expresiones como

“Cortar tablas más angostas”, “hacer cortes en diagonal”, “ir recortando la tabla según la forma de

la puerta”, para aludir respectivamente a la representación en el plano cartesiano de tablas que son

dibujadas con formas de rectángulos cuyas bases son cada vez más pequeñas. La gráfica, cumple

la función de representación de los componentes y puntos notables (A, B, (0,0)) en forma de

coordenadas e involucrando letras mayúsculas para cada punto, permitiendo posteriormente

nominar segmentos (curvos o rectos) y operar sobre distancias euclideas.

La noción de fondo que se involucra en la situación problema, asocia la superficie y el área, por lo

que se ha evidenciado una recurrencia en términos como región, zona, cultivo, superficie, sección,

espacio, polígonos (cuadrados, rectángulos, trapecios, puerta,…) particularmente para hacer

alusión a la forma de las tablas utilizadas para recubrir un segmento de parábola correspondiente

a la puerta y cuyo estudio progresivo lleva a la distinción entre la magnitud, la forma y la medida.

Algunas de las representaciones usadas, son evidencia de razonamientos o relaciones implícitas

como se muestra a continuación:

14 La intervención de la docente en la formulación y aclaración de las condiciones del problema, le llevan a reformular

el problema como sigue: “Cuando ustedes vayan a comprar las tablas o el material para la puerta, cuantos metros

van a pedir, y si en un almacén le venden tablas de la medida que usted quiera y con bordes rectos, ¿Cuáles y cuántas

tablas compraría?”


67

A. Reconocer la relación entre variables (Dimensiones de la

tabla/región y áreas; cantidad de tablas y área del total de las

tablas), para deducir un patrón o comportamiento que conduzcan

a un ordenamiento de los datos, se ha valido de la representación

tabular, la cual modela una función entre datos, que le permite al

estudiante tomar decisiones en cuanto a la conclusión del

problema o el requerimiento de más procedimientos. En particular

la siguiente tabla ha sido un recurso para determinar las medidas

con que se obtiene la mayor área de un rectángulo de perímetro

fijo (Región de un cultivo para el cual se ha dispuesto una

extensión fija de malla). En este mismo sentido, se han registrado los datos correspondientes al

cálculo de áreas de la función escalonada o la secuencia de tablas, para así observar y deducir las

sucesivas aproximaciones al área de la puerta. Emergen nociones como la de relación,

correspondencia, aproximación, acercamiento, optimización y acumulación.

B. la construcción de una puerta a partir de

secciones rectilíneas o tablas y la

representación geométrica, se conjugan

como recurso para visualizar

comportamientos de las construcciones,

efectuar procedimientos, reconstruir

modelos sobre la medida de la puerta y como

fin último, comunicar indicativamente la

solución de las tareas (casos posibles de

secuencias de tablas). En la gráfica A encontramos evidencia de su uso para la representación de

procedimientos, puntualmente la determinación de secantes que se acercan a la curva. En el caso

de la gráfica B se hace presente la modelación de la situación a partir de la regla para el cálculo

del área del rectángulo (𝐴 = 𝑏𝑥ℎ), así, la representación permite marcar cada región, disgregar

cada tabla, para que sea instrumento de una posterior suma o acumulación de los cálculos.

Propiedades y Procedimientos: para Godino (2003) se asocian al elemento de significado

de procedimientos: los algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo, procedimientos y estrategias

Base Altura Área

25 m 5 m 125 𝑚2

20 m 10 m 200 𝑚2

18 m 12 m 216 𝑚2

16 m 14 m 224 𝑚2

15 m 15 m 225 𝑚2

13 m 17 m 221 𝑚2

5 m 25 m 125 𝑚2

Tabla N° 15: Registro de la Optimización del área con Perímetro fijo.

Gráfica N° 19: (A y B) Uso de las representaciones para

mediar las acciones de calculo de áreas


68

específicos del tipo de problema y que se convierten en objeto de enseñanza. Considerando

además las prácticas operativas en términos de Lurduy (2012), se han de incorporar las

proposiciones, como aquellos enunciados que se realizan sobre los conceptos, incluyendo

propiedades. Para tal fin se recurre a los registros de video, observación directa de las prácticas de

aula y los registros de los estudiantes (guía) para poder caracterizar los significados

implementados.

Un primer tipo de procedimientos involucran acciones primarias sobre la situación, se validan la

inscripción de dos o tres tablas (rectángulos dentro de la curva) que acaparen la mayor superficie

posible de la puerta o se circunscribe una tabla/rectángulo al segmento parabólico que determina

la forma de la puerta; junto con la idea de contar y determinar las dimensiones de las tablas, son

asumidas como acciones promotoras de razonamientos y procedimientos.

Ya realizado un conteo inicial de

tablas que exceden o dejan excesos en

la superficie de la puerta, se considera

necesario inscribir las tablas

suficientes en los tamaños necesarios

para agotar la superficie de la puerta;

para evidenciar este procedimiento se

recurre a la construcción de una

subdivisión de la puerta con

polígonos sobre la gráfica.

Gráfica N° 20: Construcciones iniciales para el agotamiento

de la superficie.


69

Al reconocer la configuración de tablas/rectángulos inscritos, se

realizan procedimientos como la agrupación de tablas en secciones

compuestas (acumuladas), implicando propiedades o razonamientos

que simplifican los procedimientos, tal como el reconocimiento de

la simetría de la puerta, por lo que basta con armar media puerta y

duplicar los cálculos o procedimientos, bajo la idea de que “es

posible abrir la puerta por un costado e incluso por la mitad”

Un procedimiento explorado (parte de prolongar rectas

verticales desde los puntos que determinan las secantes y

luego construir trapecios…), consiste en la construcción

de una sucesión de secantes que se acerquen a la curva,

generando una linealización o su representación mediante

una línea poligonal. Con este procedimiento, se valida la

necesidad de realizar cortes estratégicos para conseguir las

tablas adecuadas, para una buena aproximación.

Hasta acá los procedimientos son el reflejo de una estrategia en construcción, buscando agotar

la superficie de la puerta, pero no considerando procesos sistemáticos para llegar a la

conclusión de la situación o a una buena aproximación, excepto la búsqueda de una cantidad

par de rectángulos o la recurrencia a trapecios, que por sus propiedades geométricas permite

un mejor ajuste a la curva para agotar la superficie. El resultado concreto de estas

construcciones culminan en cálculos en condiciones estáticas (una cantidad fija de rectángulos)

o el intento de organizar a mayor cantidad de tablas dentro de la puerta.

Los procedimientos registrados en unidades de análisis caracterizadas por un nivel de expresión

simbólica, en los que además se hace explicita la relación entre los razonamientos aplicados,

la situación problema abordada y el objeto matemático de estudio, conllevan a la

consideración de procedimientos/algoritmos y estrategias sistemáticas que conducen al cálculo

de áreas.

Grafica N° 21: Agrupación de tablas en bloques.

Gráfica N° 22: Linealización de la curva a partir de secantes.


70

En un intento de modelación y generalización de la situación, se estudia la curva de la puerta para

identificar un patrón o técnica con la que se hallen las alturas de la sucesión de rectángulos (incluso

trapecios), se recurre al algoritmo usado para hallar el área de polígonos y a cada sección se le

asigna un valor especifico (Lo que Apóstol (1999) denomina

función de área), con los cuales es posible determinar una

acumulación o agrupación de superficies mediante la suma de

los valores asociados a una misma unidad de medida. En este

sentido, la construcción de la secuencia de rectángulos se

fundamenta en un intento de sistematizar el proceso: Partir la

base de la puerta en secciones iguales o en una cantidad par de

secciones; particiones estratégicas como iniciar en la mitad de

la base tomar un segmento de 20 centímetros y a partir de allí

segmentos que disminuyan en un cm progresivamente (19 cm,

18 cm,…) para luego construir con estos segmentos, una

secuencia de tablas hasta la intersección con la curva.

Los razonamientos resultantes de la aplicación sistemática de procedimientos conducen a

afirmaciones/Proposiciones en torno al cálculo de áreas, por ejemplo, “hay secciones de la puerta

para los que es necesario aplicar más cortes,

introducir tablas más pequeñas o determinar una

secuencia de rectángulos cuyas bases cambian

según las características de la sección curva donde

inciden”. Ahora bien, al comparar distintas

construcciones mediante la percepción de espacios

no cubiertos por tablas, se logra inferir la mejor

aproximación. Se ha validado el contraste entre los

valores acumulados de áreas de los rectángulos

que determinan cada secuencia, luego ordenados mediante tablas (Ver tabla N° 16) donde se

relacionan las distintas aproximaciones conseguidas, permite así verificar que procedimientos

pueden ser sistemáticos y perfeccionarse para mejorar la aproximación (construyendo tantas tablas

como sea posible o tan pequeñas como se quiera) o seleccionar dentro de las opciones aquella que

Gráfica N° 23: Registro analítico de la inscripción de polígonos en la curva.


71

se considere “la más oportuna de las aproximaciones” (convergencia o aproximación a un

determinado valor).

Tras organizar la mayor cantidad de tablas horizontales y/o verticales en toda la puerta y recurrir

a triángulos para completarla, los cálculos de áreas para cada sección por separado y unidos o

sumadas sus áreas permite señalar como conclusión de la docente, que lo buscado con la integral

es la suma de todos esos “pedacitos” pequeños como estrategia para hallar el área de superficies

encerradas por curvas donde no se puede hacer directamente un cálculo. Esta construcción de un

modelo matemático considera una sumatoria en lo geométrico como la unión, agrupación o

acumulación de área por pequeñas que sean, y en lo aritmético, la unión de valores denominados

área, con la posibilidad de sistematizar los cálculos acudiendo a propiedades como la asociativa o

distributiva de los números racionales con los que se opera la medida de la superficie.

Así pues las propiedades geométricas de la puerta se asocian a la forma de la curva entendida como

una familia de ordenadas que siguen el comportamiento de un segmento parabólico, sin embargo

no se acude a la representación formal de la función, sino que se caracteriza la curva por la altura

de determinados rectángulos que se inscriben en ella (mediante las alturas perceptibles en el plano

cartesiano por la superposición a una cuadricula) o a partir de una secuencia de secantes con las

que se ajusta a una línea poligonal.

Los rectángulos asumen características geométricas asociadas a sus dimensiones: “Los lados

opuestos en un rectángulo son iguales –congruentes-” y de allí que se debe determinar si son

construidos desde el límite inferior o superior, en este sentido se abre la posibilidad de utilizar

trapecios rectángulos pues permiten una mejor aproximación a la curva “al configurarse con dos

alturas ajustables a las variaciones o cambios de altura de la curva” (al ajustar las dimensiones de

las tablas, se hace un reconocimiento de superficies tan pequeñas como se quiera, lo cual se puede

considerar como fundamento de los infinitesimales). Los cálculos de área encerradas por la curva

se han condicionado al área del rectángulo, como el producto entre su base y altura, de allí que se

estudia la relación entre los cambios de la base (o altura) y el comportamiento del área, buscando

optimizar la superficie recubierta.

Definiciones y argumentos: En el proceso de estudio se alterna la formulación individual

y grupal de conjeturas y proposiciones, de manera tal que son validadas (por la clase y la docente)

para avanzar en la resolución de la situación problema, allí se corroboran o refutan las conjeturas,


72

examinando y reinterpretando las condiciones y orientaciones del enunciado de la situación

problema. Godino (2006) caracteriza como uno de los elementos de significado de los objetos

matemáticos escolares a los Conceptos- definiciones, refiriéndose a aquellas descripciones y

objetos implicados en la situación (y las acciones que sobre estas se realizan). En primer lugar se

han evidenciado conceptos requeridos para el abordaje del problema como lo son la unidad de

medida para la longitud y superficie, tomando como base el centímetro y el metro, los cuales se

apoyan en propiedades del plano cartesiano y la escala con la que se representa la puerta

geométricamente. Es por lo anterior que se entiende el área en términos de la superficie que ocupa

la figura (delimitada por líneas rectas, curvas o ambas) y medible a partir de las unidades que se

reiteran hasta superponerla por completo.

Los conceptos involucrados y declarados en el abordaje de la situación, durante la gestión del

proceso de estudio, en particular durante los momentos de exploración dirigida y de validación,

relacionan el contexto matemático geométrico y el asociado a la construcción de la puerta; es por

esto que se relacionan nociones de funciones (cónicas como la parábola) descritas como familia

de ordenadas pero carentes de una caracterización formal o más puntual que indique el

comportamiento de la curva, más allá de visualizar la curvatura, concavidad o ajuste a una línea

poligonal. Bajo esta misma idea, se han relacionado cuerpos y figuras geométricas como los

polígonos (trapecios, rectángulos, triángulos, etc.), figuras encerradas por curvas, caracterizadas

por sus propiedades, medidas y forma; son asociados a regiones, zonas, partes o tablas.

La puerta se ha definido como la superficie enmarcada por una curva similar a un segmento de

parábola y delimitada inferior y superiormente por rectas paralelas al eje de las abscisas (x=0;

x=2), lo que brinda la oportunidad de ubicar la figura en un sistema de coordenadas e introducir el

uso de conceptos que operan sobre las propiedades geométricas de la curva, estamos hablando de:

a) las rectas tangentes y secantes, ajustadas a la curva que forma la puerta en la gráfica y se

relacionan con los cortes rectos que se le hace a las tablas. B) rectángulos inscritos como polígonos

ajustados a la altura de la curva de acuerdo a la proyección de una recta perpendicular a la base

hasta llegar a la cima de la estructura construida.

Desde el reconocimiento visual de la estructura de la puerta construida con tablas rectangulares,

se observan excedentes o espacios no recubiertos, que al ser considerados lleva a formular una

partición de la base en una cantidad de partes equivalentes, para que desde allí se construya una


73

sucesión de rectángulos que las contengan como bases y permitiendo reducir los denominados

excedentes lo más posible, llegando a una aproximación.

La Aproximación es una idea trasversal, desarrollada a partir de la exploración y validación de las

acciones, argumentos y afirmaciones realizadas en torno a la situación problema, se asocia a la

necesidad de encontrar una cantidad de madera requerida para la construcción de la puerta para

que el gasto y respectivo cobro sea “lo más preciso o cercano posible al valor real”. Buscando una

mejor aproximación se comparaban las respuestas y construcciones (estructuras de tablas), para

optimizar el área agotada o recubierta. Con la Variación se relaciona con el reconocimiento del

cambio en el número de rectángulos, variación de la altura de los rectángulos con los cambios

hechos sobre la base, variación en el área de cada rectángulo y en la agrupación total de

rectángulos.

Hasta acá la situación planteada busca desarrollar los fundamentos del objeto matemático

INTEGRAL, por lo que es preciso consolidar parcialmente las descripciones o nociones

evidenciadas en los significados implementados; siendo interpretada como concepto y proceso:

El concepto de integral es asociado al área encerrada/delimitada por curvas y entre unos límites

o rectas prefijadas; Sin embargo la obtención de dicha medida al no ser inmediata, no se asocia

a un cálculo o formula específica, sino que se relaciona con una estrategia o proceso de

agotamiento de la superficie apoyados en el reconocimiento previo del área como la cantidad de

unidades cuadradas contenidas en la figura, es por esto que se construye una función escalonada

en su versión primitiva como familia o secuencia de rectángulos con base y altura fijas. De manera

tal que el área acumulada o compuesta de los rectángulos (o trapecios) inscritos (o circunscritos)

se aproxime tanto como sea posible al área encerrada por la curva. Tal razonamiento es

perceptible por el agotamiento de la superficie, la coordinación entre los lados del polígono

inscrito y la curva que delimita la puerta; el reconocimiento de un patrón en las aproximaciones

sucesivas hechas desde cada construcción con tablas o una estrategias más sistemática de

exhaución donde se encierra o acota superior e inferiormente la superficie de la puerta para

determinar un valor para el área más cercano al real.

El argumento, entendido como el conjunto de “enunciados usados para validar o explicar las

proposiciones y procedimientos” asocia inicialmente la percepción visual sobre el instrumento

guía, en el cual se encuentran representaciones gráficas de la situación sobre la cual pueden hacer


74

construcciones auxiliares. Es por ello que se utiliza la visualización sobre la puerta para determinar

cuándo se está agotando la superficie, que construcción se aproxima más a la superficie de la

puerta, cuántas tablas se requieren para agotar la superficie de la puerta, etc. De esta manera se

hacen inferencias desde la representación estática de la situación y de los procedimientos, para

validar o conjeturar sobre el comportamiento dinámico del mismo, por ejemplo al enunciar “si

duplicamos o seguimos aumentando la cantidad de tablas, menos espacio de la puerta quedará por

recubrir”. Incluso se recurre a la comparación directa entre dos representaciones para afirmar cuál

de las dos es más aproximada al área de la puerta (Se utilizan ejemplos y contra ejemplos para

contrastar cálculos parciales de áreas, por ejemplo, tomando una puerta con cantidad fija de

rectángulos (tablas) y otra con una cantidad fija de trapecios pero menor a la anterior), dado que

una de ellas recubre mayor cantidad de superficie, perceptiblemente desde los espacios que quedan

sin recubrir.

Relacionar el contexto de construcción de puertas según la necesidad del cliente comprador, lleva

a requerir de argumentos como “al construir la puerta en realidad, no solo en la gráfica, esos

espacios que acá se ven pequeños, van a aumentar proporcionalmente y se verán como errores”,

haciendo alusión a que por pequeña que sea la región no recubierta, aun no se consigue la

cuadratura o la medida exacta, por lo que se requiere la decisión del estudiante para determinar en

qué momento es una buena aproximación y se deben culminar los procedimientos. De esta manera,

nociones como la de perfección, belleza, exactitud u optimización, permiten tomar y justificar

decisiones.

Para sistematizar esta estrategia, se recurre a la organización de los datos en tablas, donde es

posible inferir la mejor aproximación o el patrón que rige el comportamiento del área cuando se

cambia de polígonos inscritos (rectángulos/trapecios), cuando se aumenta la cantidad de los

mismos o cuando la secuencia de rectángulos se realiza con bases

distintas (por ejemplo, al considerar bases decrecientes con

medidas fijas 20 cm, 19 cm, 18 cm,…). En la siguiente gráfica, se

observa que dentro de los rectángulos de perímetro 60 metros, el

que tiene mayor área es aquel cuya base equivale a 15 metros,

Conclusión soportada en el estudio de la representación tabular,

por la que se deduce el comportamiento de los datos. Gráfico N° 24: Ordenamiento de medidas correlacionadas


75

La percepción visual como referente para construir el

argumento, se soporta en las propiedades geométricas de la

curva y de los elementos puestos en juego para realizar

deducciones más elaboradas, por ejemplo, al usar rectas

secantes, se observa que es posible acercarlas tanto como se

quiera a un punto para que coincidan con el comportamiento

de la curva, pero por las propiedades de la secante, se deduce

que no va a coincidir por más próxima que este con más de

dos puntos de la curva. Se considera la ejecución y

corroboración de procedimientos como un argumento que

permite validar las conjeturas realizadas, así, el argumento

más potente para la toma de decisiones y la conclusión de la situación problema, ha consistido en

correlacionar distintas representaciones y a partir de allí deducir un resultado asociado a la función

de área o cálculo a partir de un modelo matemático para la unión de las tablas que conforman la

secuencia de rectángulos.

Gráfica N° 25: Construcción de una expresión analítica para el cálculo del área acumulada.


76

4. ANÁLISIS, INFERENCIA Y TRIANGULACIÓN

La codificación, organización y reducción de la información, conduce a la postulación de

inferencias sobre la caracterización de los significados institucionales partiendo de cada uno de los

seis elementos de significado expuestos por el EOS. Se remite al lector al diseño metodológico

para ampliar la comprensión del proceso de análisis, los elementos abordados, la trayectoria

epistémica y la conformación de triadas.

4.1. CARACTERIZACIÓN DE LOS TIPOS DE SIGNIFICADO INSTITUCIONAL

La caracterización del significado parcial de integral, vincula los significados de referencia,

pretendidos e implementados, teniendo en consideración la emergencia de los fundamentos del

objeto matemático en la resolución de problemas de cálculo de áreas. En este sentido, se propone

el estudio de cada tipo de significado, reconociendo previamente algunos elementos constitutivos

de los problemas y elementos de significado presentes en los tres tipos señalados. El problema de

determinar el área bajo la curva, análogo al estudio de la superficie de la puerta con borde curvo,

está anclado al agotamiento y comparación entre la superficie encerrada por la curva y la superficie

ocupada por una función escalonada (secuencia de rectángulos) inscrita, estos han sido elementos

constitutivos y reiterados dentro de las pretensiones del docente y los elementos de significado

declarados en el proceso de gestión de las tareas, así como la búsqueda de mejores aproximaciones

al valor real del área bajo la curva, partiendo de ajustar la cantidad y tamaño de los rectángulos

inscritos.

En síntesis, existe una representatividad y correspondencia en los significados de referencia,

pretendidos e implementados, que será profundizada más adelante, sin desconocer que la

inscripción de figuras planas poligonales, estaba anclada a la posibilidad de calcular directamente

con ayuda de una fórmula aritmética el área de la agrupación de polígonos o partes, conformando

una sola superficie cuya área es el objeto de estudio, lo cual fue relevante en el significado de

referencia, pero no evidenciada con la misma intensidad en los significados pretendidos e

implementados.

4.2. SIGNIFICADO DE REFERENCIA DIDÁCTICO Y MATEMÁTICO

Se resalta la pertinencia del estudio sobre las configuraciones parciales señaladas por Crisóstomo

(2012) para caracterizar los elementos de significado evidenciados en el proceso de estudio (Ver


77

Anexo B). Por ejemplo, los problemas identificados en los textos de referencia se asocian a

problemas de carácter geométrico (Intuitivo y sumatorio), además se presentan problemas basados

en la anti-derivada, que el autor asocia a la configuración “Primitiva”. Respecto al lenguaje, se

prioriza el uso del lenguaje común y geométrico en transición hacia el lenguaje formal, valiéndose

de la visualización de propiedades geométricas en las gráficas y la recurrencia de la notación

simbólica. El cambio en las representaciones de la situación problema, permite operar según la

conveniencia con símbolos u objetos geométricos, así es posible hacer un bosquejo de las tablas y

el proceso de agotamiento de la puerta desde el ajuste de sus medidas, para un posterior tratamiento

de expresiones numéricas, develando las relaciones entre el elemento lenguaje y los

procedimientos, proposiciones y argumentos. La manipulación de la gráfica y la interpretación de

las relaciones geométricas se constituyen en un garante de los procedimientos y de la visualización

como medio para la argumentación.

En la Tabla N° 17, se presentan las frecuencias de aparición de los descriptores respecto a cada

uno de los elementos de significado en los textos retomados para identificar los significados

institucionales de referencia para el docente:

Situaciones Problema y Lenguaje: Respecto a las Situaciones Problema, se evidencia una

mayor aparición de unidades de registro en el nivel indicial y en menor grado en el nivel simbólico,

lo cual se ve representado a partir de las alturas de cada barra por color, donde la unidades de nivel

Síntesis

Tabla N° 17: Descripción de textos “Significado de referencia” desde los niveles de expresión Semiótica

0%

20%

40%

60%

Niveles deExpresión

Icono Índice

Símbolo

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

Porcentaje de aparición de los Descriptores

Icono

Índice

Símbolo


78

indicial equivalen al 70% del total de unidades, mientras las unidades reportadas en nivel simbólico

llegan al 30%, en adelante se invita a hacer una lectura similar de las gráficas. Dentro de las

primeras, se alude a características indicativas resultantes de la búsqueda de una función

primitiva contemplando la relación inversa entre los procesos de integración y diferenciación sin

entrar a cuestionar porque la primitiva se relaciona con el objeto matemático integral definida.

Simbólicamente se relacionan problemas asociados a fundamentos del objeto como la

acumulación, aproximación y medición, pues se alude a problemas de carácter geométrico donde

se pretende encontrar la medida de la magnitud superficie y volumen, inicialmente para

caracterizar figuras y cuerpos geométricos como el círculo o el cilindro, permitiendo el paso al

estudio de figuras encerradas por curvas (cuyo comportamiento obedece a una función).

El problema señalado de hallar el área encerrada por curvas, ha sido registrado en unidades

donde se reporta la relación dada entre el agotamiento de una superficie desde sucesiones de

figuras como triángulos, rectángulos o trapecios hasta llegar a aproximaciones, es de carácter

simbólico en tanto propone hallar la medida del área en un contexto geométrico asociando los

fundamentos aproximación, agotamiento y medición señalados por Vasco (2009) y García et al

(2002). En este sentido al sugerir encontrar la integral definida para una función en un intervalo

fijo, se construye una función escalonada de rectángulos desde una partición del eje de las abscisas

y las ordenadas que corresponden a los limites superiores, que lleve a deducir una expresión

simbólica para el área de la figura (No la anti-derivada). Lo cual corrobora el planteamiento de

García (2003) quien señala que los problemas de cálculo de áreas están directamente relacionados

con la aproximación, que junto con la acumulación, son fundamentos considerados desde los

Estándares Básicos de Competencias, en los cuales además se valida la necesidad de acudir a la

representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o

algebraicos.

Así mismo se evidencia la recurrencia de situaciones problema en contextos extra-

matemáticos donde la integral se ve aplicada y opera desde conceptos como el trabajo, la energía,

velocidad, etc., en problemas como la determinación de la velocidad de un cuerpo desde una

función de aceleración de éste, sin embargo los problemas no explicitan la relación entre la

situación y el uso del objeto matemático, como si ocurre en las unidades de registro asociadas al

nivel simbólico.


79

De manera similar a lo sucedido con las situaciones-problemas, se observa respecto al lenguaje un

predominio del nivel indicial en cuanto a los descriptores registrados en los textos de referencia.

Se presenta el uso de expresiones cotidianas para describir relaciones geométricas o características

del problema y su resolución. En esta dirección, el lenguaje geométrico permite la visualización

de propiedades de las figuras, curvas y funciones representadas, inducidos por el lenguaje

incorporado en la formulación del problema. El lenguaje geométrico usado, refiere a términos u

objetos como figuras, triángulos, rectángulos, paralelas, perpendiculares, superficie, entre otros.,

de manera tal que se señala su existencia, las relaciones entre ellos y operaciones, procesos o

acciones realizados a partir de dichos objetos. Son señalados por ejemplo, enunciados sobre el área

como unión o suma de las áreas de rectángulos.

Términos como medición, variación, aproximación, acumulación, aluden al comportamiento de

objetos o construcciones geométricas y señalan el uso del lenguaje para significar el objeto

matemático. Así mismo, el lenguaje formal y matemático es expresado en el nivel simbólico

cuando alude a la construcción de la expresión algebraica que muestre cómo construir una

secuencia de rectángulos determinada por el comportamiento de la curva como una familia de

ordenadas, por ejemplo con una función primitiva o la deducción de expresiones como la sumatoria

de una secuencia de áreas, que conduzca a la determinación de la medida de la superficie encerrada

por curvas.

Procedimientos y propiedades: Los referentes curriculares y didácticos que han sido

considerados para explorar los significados institucionales de referencia, aluden a procedimientos,

acciones o algoritmos en relación con el objeto matemático integral y el problema de cálculo de

áreas. Por ejemplo, cuando la integral definida se asume desde el significado parcial de

“Primitiva”, se sugieren acciones como el asociar la función primitiva (anti-derivada) de la función

que describe la curva, para luego evaluar dicha expresión para el límite inferior y el superior entre

los que se pretende integrar y encontrar su diferencia, mostrando así un desarrollo formal de

expresiones algebraicas.

Frente al cálculo de áreas, en un primer acercamiento se sugieren procedimientos o acciones como

la elección de unidades, patrones, procesos e instrumentos de medida (Lo cual redundaría en el

agotamiento de la superficie encerrada por curvas), posteriormente el estudio de la curva permitirá


80

formular una expresión o regla recursiva que permita identificar el patrón para la construcción

de rectángulos desde una función y de ella determinar una expresión para la suma de áreas.

Se plantea como acción la correspondencia y cambio entre representaciones (convenientemente),

para construir geométricamente la recomposición de la superficie de la puerta con polígonos que

la agotan y luego operar con expresiones aritméticas; por ejemplo al “traducir” una secuencia de

rectángulos cuyas dimensiones son conocidas en una expresión con una sumatoria que relaciona

la base y la altura de los rectángulos y la agrupación de estos. En este proceso, también se considera

la captura de las magnitudes continuas con procesos y unidades discretas, pues se evidencian

procesos como los procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo, el tratamiento del error,

la valoración de las cifras significativas y el uso de técnicas de encuadramiento, así como la

expresión de cantidades grandes y aquellas (lo suficientemente) pequeñas por medio del sistema

decimal.

Como se observa en las configuraciones parciales propuestas por Crisóstomo (2012), los

problemas geométricos deben conducir a la deducción o interpretación de teoremas como el T.

fundamental del Cálculo, sin embargo los textos de referencia lo enuncian como un objeto de

enseñanza formal y magistral, definiendo la relación inversa entre la derivada y la integración, sin

aludir al porqué de esta relación, lo cual es propio de la configuración “Primitiva”, además se le

asocia a una función su primitiva, de acuerdo a su estructura o tipo (Polinómica, trigonométrica,

etc.), dichas propiedades se asumen como reglas, que se usan habitualmente, excepto cuando la

función sea de difícil estudio, porque su primitiva no es evidente o no exista, correspondiendo a

expresiones indíciales.

Como propiedad para el cálculo de áreas se asume desde el contexto geométrico atributos a la

superficie como magnitud medible (es posible asociar un valor numérico a la medida de la

superficie encerrada por curvas u obtenida a partir de la suma de áreas de rectángulos); la

conservación de la magnitud y la representatividad de la superficie de la puerta en cada una de

las tablas o partes que la conforman. El comportamiento de una curva como una familia de

ordenadas (Dependencia entre variables), permite facilitar la construcción de rectángulos

(partiendo de intersecciones entre la curva y rectas auxiliares construidas) y operar sobre ellos.

Una de las principales propiedades aluden al comportamiento de la sucesión de rectángulos,

cuando al cambiar (disminuir tanto como se quiera) la longitud de la base, los rectángulos agotan


81

la superficie encerrada por las curvas estudiadas, así se verá cómo se aproxima dicha suma de

rectángulos al área bajo la curva, llevando al reconocimiento del límite.

Las propiedades que enuncian una relación con los procedimientos, conceptos y la situación

problema corresponden al nivel simbólico, pues se enmarcan en los fundamentos de la integral,

por ejemplo al señalar la estimación de las medidas de las magnitudes o la apreciación de los

rangos en los cuales se puedan ubicar dichas medidas, aludiendo así a la convergencia y límite de

una sucesión creciente de áreas acumuladas. Además se involucran aspectos de la medida, como

la reiteración de una unidad dando lugar a un patrón, lo cual permite asociar las propiedades

geométricas a la representación aritmética, por medio de la cual se puede recurrir a propiedades

de los sistemas numéricos como la conmutatividad, asociatividad o distributiva, que satisfacen

operaciones como la adición y la multiplicación, concluyentes para concretar el área buscada.

Definiciones y Argumentos: Las definiciones evidenciadas, se condicionan al contexto

(geométrico, Extra-matemático, formal,…) en el que se enmarcan las situaciones problema, Por

ejemplo, se ha evidenciado en los textos la determinación de la integral definida de una función

como la diferencia en la evaluación de la función primitiva para los limites inferior y superior

(Definición “primitiva” de la integral). Allí se relacionan conceptos/procesos como la

simplificación de expresiones algebraicas, limites, derivadas y reglas de derivación, función,

sumas y series para representar la construcción auxiliar de rectángulos inscritos en la curva, y la

precisión en la aplicación de reglas determina la validez del resultado. En concordancia con la

resolución de problemas de cálculo de áreas, se involucran conceptos geométricos como figura

cerrada, rectángulo, áreas y curvas, las cuales se relacionan con representaciones de función donde

intervienen constantes, variables y operaciones que se usan para la cuantificación de la razón o

tasa de cambio, además intervienen procesos asociados a la correlación y dependencia de variables,

interpretando la función como una familia de ordenadas.

En concordancia con Vasco (2009), la resolución de los problemas de cálculo de áreas en los textos

de referencia, abren el camino al tratamiento no solo de los conceptos Integral, Derivada y Límite,

sino que deben permitir interrelacionar lo que en los Estándares Básicos de Competencias se

denominan pensamiento Lógico-matemático y la subdivisión en cinco sub-pensamientos. Esto se

ha evidenciado en el agotamiento de la superficie bajo la curva, asociando la construcción de

figuras geométricas como triángulos y rectángulos (Cuya definición facilita el uso de una noción


82

de área fundamental, para el estudio de superficies cerradas por curvas); la representación

simbólica de las magnitudes longitud y superficie; la determinación de una sumatoria para la

agrupación de rectángulos; o la organización de datos en representaciones tabulares que visualizan

la variación y cambio de los datos, mostrando así relación entre distintos conceptos y procesos

matemáticos. Se muestra una definición de área como un conjunto plano, que para el caso de la

integral, relaciona la superficie encerrada entre el eje de las abscisas, dos rectas (paralelas entre sí)

y una curva que representa una función en el plano Real.

Respecto al elemento de significado “Argumentos”, Godino (2007) señala que son aquellos

enunciados utilizados para validar las proposiciones o procedimientos, es en este sentido que se ha

evidenciado el uso de la gráfica como sustento para la visualización de propiedades y relaciones

geométricas que posteriormente se usan para sustentar ideas como la aproximación, así, por

ejemplo si entre dos construcciones de sucesiones de rectángulos inscritos en la superficie bajo la

curva, una de ellas agota o acapara en mayor medida la superficie estudiada, se dirá entonces que

ésta genera una mejor aproximación.

Corroborar y validar los procedimientos aplicados, es relacionado con la construcción de

argumentos, pues son fiables si satisfacen las propiedades de los conjuntos numéricos o

concuerdan con las acciones aplicadas sobre la representación gráfica. La fiabilidad de los cálculos

y desarrollos de expresiones algebraicas se da a partir del uso de proposiciones previamente

validadas como el Teorema Fundamental del cálculo o las reglas para la integración desde la

búsqueda de primitivas o anti-derivadas. Los argumentos tienden a ser deductivos, en tanto se

postula una afirmación causa-efecto, por ejemplo al señalar que aumentar la cantidad de intervalos

en la partición del eje de las abscisas o la cantidad de lados del polígono inscrito en un círculo, se

construirá una sucesión de figuras o polígonos inscritos, que a mayor cantidad, menor será su

medida, pero que acumulados o sumados se acercaran más a la figura de la cual son inscritos.

4.3. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL PRETENDIDO

A partir de la siguiente gráfica se logra deducir que los significados involucrados en la planeación

del proceso de estudio, en particular aquellos que reflejan la intención del docente, materializados

en los instrumentos y tareas propuestas:


83

Síntesis

Tabla N° 18: Descripción de textos “Significado Pretendido” desde los niveles de expresión Semiótica

Aparecen de manera más recurrente las unidades de registro categorizadas como índice y símbolo,

llevando a pensar que se hacen explícitos los elementos de significado y que los instrumentos

hacen una invitación directa a que en el abordaje de la situación problema se identifiquen los

fundamentos de la integral recaídos sobre la aproximación, acumulación, agotamiento y procesos

de medición. En consecuencia, los elementos de significado se desarrollan alrededor de la situación

como desencadenante de tareas y acciones, caracterizadas por un tratamiento contextualizado y

significativo de los objetos matemáticos con descripciones puntuales que relacionan los seis

elementos de significado con los fundamentos referidos en los problemas de cálculo de áreas.

Las situaciones problema se manifiestan de manera simbólica, pues guardan directamente

una relación con el objeto matemático integral, es el caso del cálculo de áreas en relación a la

aproximación, confirmando así el planteamiento de García et al (2002), esta situación se proyecta

como desencadenante de tareas como: calcular el área encerrada por curvas o comprendida por el

marco de una puerta en forma de cúpula; determinar la cantidad de tablas o cortes necesarios para

construir la puerta y la forma que deben tener las tablas o secuencia/configuración de tablas para

que de manera sistemática permita llegar a determinar el área de la puerta. En cuanto a las

situaciones problema como uno de los elementos de significado, se evidencia la configuración

intuitiva de la integral señalada por Crisóstomo (2012) y vinculada al cálculo de áreas a partir de

la inscripción de sucesivas aproximaciones de polígonos, hasta que el excedente sea tan pequeño

0%

10%

20%

30%

40%

50%


Icono

Índice

Símbolo

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%


Icono

Índice

Símbolo


84

como se quiera; involucra además la configuración geométrica, pues se abordó la situación desde

las propiedades geométricas de la curva, ya sea entendidas como una familia de ordenadas que

conduzca a la construcción de una función escalonada o por el comportamiento de la curva

condicionando el ajuste a una secuencia de secantes (Ver anexo G). Si bien con las configuraciones

acumulada, aproximada y sumatoria, involucran de alguna manera la integral desde el cambio, la

variación y las áreas, solo la última contempla el paso final pretendido por la docente, la

modelación o generalización de los cálculos aritméticos que permitan pasar de una construcción

geométrica a la representación simbólica de una sumatoria de áreas, que en conjunto se aproximan

al área de la superficie frontal de la puerta.

Se proyecta desde el planteamiento de la situación, un condicionamiento al contexto,

razonamientos y lenguajes propios de la naturaleza del problema: carpintería y geometría.

Gradualmente se proyecta una transición del lenguaje común, hacia el lenguaje geométrico,

aritmético y algebraico. Priman términos alusivos al área como región, terreno, zona o sección,

pero vinculan la manera de proceder desde expresiones como: cortar, seccionar, distribuir o

inscribir tablas (rectángulos); así la intención es que basados en los cálculos aritméticos del área

de figuras base, se logre modelar el área de una región como la suma de varias áreas. Es recurrente

el interés por el reconocimiento de las relaciones entre distintas representaciones de la situación,

la gráfica de una puerta modelada como una sección parabólica ubicada en un plano con

coordenadas cartesianas, los cálculos aritméticos, las descripciones verbales, las tablas (por

separado y en conjunto tomando valores asociados al área bajo la curva para distintos casos de “n”

cantidad de particiones o rectángulos inscritos). Para que en últimas se reconozcan patrones, se

deduzcan aproximaciones o se vea la variación de las magnitudes y permita concluir y/o resolver

las tareas formuladas.

Procedimientos y Proposiciones: Se llega a un balance entre los niveles de expresión

índice y símbolo mediante la proyección de procedimientos y proposiciones (Ver Tabla N° 18),

con los que se busca la construcción sobre la gráfica, de manera que la dificultad para hallar

directamente el área encerrada bajo la curva, genere la necesidad de acudir a una construcción

auxiliar de una secuencia de rectángulos estratégicamente planteados, para agotar la superficie de

la puerta y llegar a aproximaciones cada vez más optimas, incluso imperceptibles. Posteriormente,


85

en el proceso de estudio se buscará explorar teoremas y procedimientos sistemáticos e

institucionalizados como la aproximación por extremidad derecha, izquierda o media.

Partiendo de métodos intuitivos, como la construcción de tablas/rectángulos lo más grande

posibles, de manera que en cada paso del proceso se coloque una tabla más pequeña buscando

rellenar espacios aleatoriamente. Inicialmente se realizan cálculos estáticos centrados en

momentos actuales con una cantidad fija de rectángulos. Crisóstomo (2012) señala que la

integración numérica desde la construcción de una función escalonada considerando la suma de

rectángulos construidos, con dimensiones cambiantes para generar aproximaciones al área bajo

curva, corresponde a una configuración aproximada de la integral. Las propiedades se derivan de

razonamientos propios del contexto como cortar tablas con bordes rectos, unirlos y formar una

estructura uniforme que agote la mayor cantidad de superficie posible de la puerta. Con este tipo

de procedimientos se espera llegar a fundamentar la integral como el límite de una suma, e ir

vinculando progresivamente ideas formales de función, continuidad, integración y derivación,

reglas y teoremas.

Definiciones y Argumentos: Con mayor presencia se evidencia el descriptor índice en las

unidades de registro (aproximadamente 50% de las unidades de acuerdo a la tabla N° 18), se ven

reflejadas definiciones implícitas de los objetos geométricos y en general matemáticos, partiendo

de los elementos primarios que hacen parte del enunciado de la situación, así por ejemplo, una

tabla es una construcción de bordes rectos, representados como polígonos y particularmente

rectángulos. Se define la curva desde los procedimientos y acciones que sobre ella se pueden

realizar, es el caso de la construcción de una función escalonada inscrita en la curva o la

determinación de secantes que se aproximen a ser tangentes de la curva en un intento de ajustar o

cuadrar la curva, llevando a verla como una familia de ordenadas, continua y con una variación

constante de la pendiente. A la definición y comprensión de la curva se le añaden propiedades

como la disposición de límites inferior y superior, un punto máximo, entre otros aspectos que

incidirán en los procedimientos efectuados por los estudiantes.

Los conceptos relacionados y recurrentes giran en torno a la idea de área, la cual se va alimentando

de propiedades, procedimientos y atributos, sin llegar a definiciones formales del concepto (como

el encontrado en los significados de referencia: “subconjuntos del plano”), en este sentido se

añaden y desarrollan nociones de área de figuras planas comprendidas entre curvas; áreas de


86

polígonos, partición; agrupación de regiones y áreas y sumas (superiores e inferiores). Se busca

con el proceso de estudio llegar a identificar la integral como el límite de una suma de rectángulos

infinitesimales; si bien no se pretende definir formalmente el objeto matemático, si se busca

abordar nociones asociadas como infinitesimal, sumas y fundamentos como la aproximación,

agotamiento, exhaución, acumulación y medida.

Para finalizar este abordaje de los elementos de significado, se retoman los argumentos,

caracterizados por los enunciados descriptivos del comportamiento de la construcción geométrica,

es decir, emergentes de la visualización de propiedades geométricas de la gráfica y los procesos

sobre ella. Así la aproximación es una condición subjetiva, resultado de la interpretación de la

secuencia de rectángulos inscritos y la diferencia generada respecto a la superficie de la puerta. En

ocasiones se recurren a argumentos inductivos, donde se hacen cálculos para condiciones

particulares, como la cantidad fija de rectángulos inscritos, tablas rectangulares (o trapezoidales),

etc., de manera que se puedan inferir patrones o regularidades que lleven a generalizar o producir

conclusiones. La naturaleza del problema deja ver la posibilidad de recurrir a argumentos en cuanto

a relaciones geométricas entre las curvas y las construcciones realizadas sobre ellas. Así mismo

justificar analíticamente las acciones y procedimientos geométricos, concluyendo en cálculos

aritméticos que se corroboran o modelan mediante expresiones analíticas generalizadas.

Con las observaciones acá

registradas, es oportuno

arriesgar un primer

acercamiento a la configuración

o relación entre los elementos

de significado. Al observar la

gráfica anexa, se evidencia

como la situación problema y

los procedimientos son el eje de

los sistemas de prácticas; no

hay un condicionamiento a las definiciones, ni una pretensión de lenguaje formal, por el contrario,

la situación suscita el uso de un lenguaje natural, donde las propiedades de los objetos matemáticos

están implícitas, sin una formalización o rigidez de las proposiciones.


87

4.4. SIGNIFICADO INSTITUCIONAL IMPLEMENTADO

Síntesis

Tabla N° 19: Descripción de textos “Significado Implementado” desde los niveles de expresión Semiótica

De acuerdo al anterior gráfico, es posible percibir una mayor presencia de unidades de análisis en

el nivel de expresión indicial dentro de los textos estudiados para los significados implementados

(según se observa en la tabla la barra de la mitad es la más alta para todos los elementos de

significado, menos en el caso del lenguaje). Sobresale de esta representación, la baja frecuencia

con la que aparecen unidades en el nivel icónico, posiblemente asociado a la no relevancia que la

docente le ha dado al lenguaje formal matemático en el abordaje del problema, siendo sustituidas

las reglas de cálculo, las expresiones simbólicas algebraicas, los teoremas y conceptos

matemáticos de referencia, por estrategias, técnicas y procedimientos que van desde lo empírico

hasta la modelación que se realiza de una situación contextualizada en el marco de la construcción

de una puerta con tablas de borde recto. Desde el instrumento o guía del estudiante se observa la

representación de la situación en un contexto que vincula nociones que conciernen al pensamiento

espacial y sistemas geométricos; pensamiento métrico y sistema de medidas; y la experiencia real

o intuitiva del sujeto en la construcción de una estructura simple con partes que completan un todo,

así se recurre a la representación gráfica de una puerta acompañada de enunciados verbales que

manifiestan características, condiciones, propiedades y herramientas que avalan la toma de

decisiones para operar sobre la gráfica y permiten profundizar en los conceptos involucrados en

las tareas (dado el choque con la situación problema, la cual impide una resolución inmediata). Al

desglosar esta caracterización de los significados institucionales declarados en los textos, desde

cada uno de los elementos de significado, encontramos:

0%

20%

40%

60%


Icono

Índice

Símbolo

0%10%20%30%40%50%60%70%


Icono

Índice

Símbolo


88

Situaciones Problema: El 23% de las unidades correspondientes a esta categoría se han

identificado en el nivel icónico, relacionando tareas genéricas en las que no se identifica

claramente la relación con el cálculo de áreas y tienen que ver con el conteo o el cálculo de áreas

omitiendo condiciones del problema, por ejemplo al calcular el área de una tabla circunscrita a la

puerta, sin entrar en detalle de la proporción de tabla sobrante.

Corresponde a las situaciones problema, en su mayoría unidades en el nivel simbólico e indicial,

consistentes en la construcción de una estructura a partir de secciones poligonales de distintos

tamaños ajustables según la estrategia asumida y la necesidad de agotar la superficie de una

curva, con la que se generan regiones cada vez más pequeñas que se requieren cubrir. Vista la

situación desde el propósito manifiesto del docente, se quiere calcular el área encerrada por una

curva –asumiendo la dificultad para realizar el cálculo directo, reducida con la inscripción de

polígonos-. De esta manera es posible asociar las situaciones problema declaradas dentro de lo que

Crisóstomo (2012) señala como configuración parcial de la integral intuitiva y geométrica, con

una clara pretensión de llegar a la sumatoria, donde se modela y generalizan los procedimientos

del cálculo de áreas y se vinculan recursos como el límite, los infinitesimales y el rigor matemático.

Lenguaje: Dada la naturaleza geométrica y contextualizada en la construcción de una

puerta a partir de tablas, predomina el lenguaje descriptivo y gráfico en el que interactúan

representaciones de figuras geométricas, tablas, regiones, curvas y polígonos, apoyados en la

constante descripción verbal donde predomina el lenguaje de carpintería y ebanistería (Ver Anexo

G), así la función escalonada o secuencia de rectángulos (polígono inscrito) se concibe como una

estructura de tablas; el segmento parabólico se denomina como una puerta y los procedimientos

matemáticos se asocian a nociones como la acumulación, aproximación, agotamiento,

recubrimiento de superficie, etc. Para García et al (2005) hace parte del lenguaje propio de los

procesos de medición de magnitudes y vinculado a los fundamentos del cálculo; no se contrapone

Crisóstomo (2012) quien señala que en las configuraciones parciales de integral intuitiva y

geométrica, se parte del lenguaje común y gradualmente se incorporan términos propios de la

geometría, de carácter analítico, simbólico y algebraico.

Procedimientos: Es en los procedimientos donde se hace más evidente el uso y desarrollo de las

nociones que Vasco (2006) y García et al (2005) atañen como fundamentos o ideas fuertes del

cálculo integral, siendo alta la presencia de los descriptores índice y símbolo, en los textos


89

asociados a los significados institucionales implementados. Si bien se parte de procedimientos

empíricos e intuitivos de superposición de polígonos (tablas) a la curva, tratando de acapararla con

una configuración sencilla de pocas tablas de borde recto, estos son los que generan el

reconocimiento de las condiciones de la situación que la tornan en problema. En consecuencia los

procedimientos se re significan hacia el recubrimiento de toda la región encerrada por la curva,

buscando precisión o en su defecto la mejor aproximación, desde la acumulación de tablas o

polígonos con tamaños variables ajustables a las propiedades geométricas y métricas de la puerta.

Crisóstomo (2012) cataloga dentro de las configuraciones intuitiva y geométrica, procedimientos

basados en el estudio de las propiedades geométricas de la curva, llevando a la inscripción de

polígonos que agotan la superficie de la puerta, promoviendo en cada caso una mejor aproximación

materializada en cálculos actuales y estáticos del área de la secuencia acumulada de rectángulos

(Ver Anexo G). En esencia, se observa el desarrollo de métodos asociados a la construcción de

regiones planas desde configuraciones que redundan en la suma de muchas regiones por pequeñas

que sean (infinitesimales). Se lleva a cabo el estudio de la aproximación del área acumulada de la

secuencia de rectángulos inscritos, desde la “integración numérica” con la construcción de una

función escalonada que modele la suma de rectángulos construidos. Con la representación tabular

y la aplicación de estrategias sistemáticas para agotar la superficie y aproximarse cada vez más al

área bajo la curva, se busca deducir o apoyarse en la noción de patrón en el comportamiento de las

aproximaciones para deducir el límite o un valor de referencia para la convergencia de la medida.

Propiedades: En supremacía, aparecen las unidades de carácter indicial en lo que refiere

a las propiedades y proposiciones que se realizan sobre los objetos matemáticos y la situación

misma, es frecuente el uso de lenguaje común para describir y caracterizar el comportamiento de

los objetos geométricos implicados en la situación, así por ejemplo el segmento parabólico es

simétrico, al permitir dentro de la situación que por la forma de la puerta, esta se pueda abrir desde

la mitad. En general se involucran o declaran propiedades asociadas a las relaciones geométricas

entre los elementos involucrados en la representación de la situación, contenencia de figuras

planas, intersección entre segmentos, aproximación de una secante a una tangente, etc. Así mismo

se caracteriza la curva desde sus propiedades geométricas como una familia de ordenadas,

asociadas a las alturas de la secuencia de rectángulos que se han inscrito y se asume que la suma


90

de las áreas de estos rectángulos genera un valor aproximado (Tanto como se quiera), es por esto

que se recurre a las propiedades de las operaciones de los números reales asociados a la medida.

Definiciones y Argumentos: Los conceptos asociados al problema del cálculo de áreas y

presentes en el proceso de estudio implementado por la docente, involucran implícitamente las

nociones de infinito, infinitesimal y límite, sin embargo es más clara la presencia de las

definiciones y conceptos relativos al área de figuras planas comprendidas por polígonos y curvas,

partición, sumas de números, suma de áreas, sumas inferiores y superiores, haciendo un particular

énfasis en la caracterización del área como función de medida de magnitud, ésta última dotada de

propiedades como la conservación y agrupación de partes, además cumple con operaciones de

adición, separación, partición, agrupación o acumulación. Por último, al referirse a los argumentos,

se equiparan las unidades catalogadas dentro del nivel indicial y simbólico, siendo evidencia de

razonamientos empíricos e intuitivos, enmarcados en el contexto de construcción de una estructura

en madera. Sobresale la justificación de procedimientos y la validación de conjeturas a partir de la

visualización del comportamiento de las construcciones hechas sobre la gráfica, la corroboración

de cálculos y la deducción de aproximaciones desde la organización de los distintos cálculos en

tablas. Se promueven argumentos deductivos para justificar y explicar/visualizar construcciones

geométricas, relaciones geométricas y los correspondientes desarrollos/representaciones

analíticas. En algunos momentos se destacan cadenas deductivas sobre las relaciones geométricas

expuestas en el abordaje del problema, para poder llegar a conclusiones como: “Cuando la

diferencia entre la base y la altura de un rectángulo es menor, se aproxima a la mayor área posible”

(Cuando se ha fijado el perímetro).

4.5. SÍNTESIS DE LA DESCRIPCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LOS

SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES

La siguiente representación corresponde a los indicadores de frecuencia con que los descriptores

aparecieron a lo largo del proceso de estudio de los tipos de significado institucional (Incluyendo

las unidades de registro para los significados de referencia, pretendidos e implementados),

observamos la prevalencia de unidades de registro en el nivel indicativo o indicial, y en menor

proporción aquellas unidades catalogadas como icónicas. Esta percepción, solo fue distinta para el

caso del elemento de significado “procedimientos” donde en su mayoría las unidades de análisis

correspondieron al nivel simbólico.


91

Síntesis

Tabla N° 20: Síntesis de Descripción de textos “desde los niveles de expresión Semiótica

Podemos inferir en este sentido que los procedimientos tienen una estrecha relación con las

situaciones problema de cálculo de áreas abordadas, así inscribir secuencias de polígonos/tablas,

segmentar o triangular la superficie de la puerta, hacer polígonos cada vez más pequeños para

agotar la superficie en proximidad a la curva o tabular ordenadamente las distintas aproximaciones

al área encerrada por la curva, son procedimientos o acciones promovidas en las tareas diseñadas

por el docente, que enmarcan de acuerdo con Vasco (2009), García et al (2005) y Crisóstomo

(2012), los problemas asociados al cálculo integral relacionando distintos sub pensamientos de las

matemáticas escolares, poniendo en juego distintas habilidades y sistemas de registro, así como

razonamientos y procedimientos que trascienden al desarrollo simbólico y analítico, así mismo se

involucran las ideas fuertes del cálculo (Variación y covariación: ajuste de cantidad y medida de

los polígonos inscritos, entendiendo la relación p. ej. entre base y área y la construcción de

segmentos de superficie tan pequeños como se quiera; Acumulación: interpretación de la

superficie como una composición de segmentos o subconjuntos del plano; Aproximación:

Optimización de la construcción de secuencias de polígonos inscritos para agotar exhaustivamente

la superficie de la puerta y acercarse tanto como se pueda a ella).

Para los demás elementos de significado, se observa la prevalencia del nivel indicial, que

análogamente al ejemplo enunciado en el marco de referencia: “el sonido rechinante de una llanta

al frenar abruptamente –es indicial- frente a la posibilidad de un accidente vehicular”, refiere a

que el lenguaje, proposiciones, definiciones y argumentos implícitamente refieren a los

0%

50%


Icono

Índice

Símbolo

0%10%20%30%40%50%60%


Icono

Índice

Símbolo


92

razonamientos o fundamentos del cálculo integral. P. ej.: “se colocan tablas más pequeñas en el

borde superior de la puerta para que coincidan con la curva” indica desde el lenguaje y

proposiciones la idea de variación en el tamaño de las tablas, y búsqueda del agotamiento de la

superficie de la curva, sugiere un manejo de magnitudes infinitesimales sin hacerlo explícito y

riguroso. Un segundo ejemplo orientado hacia el lenguaje, lo encontramos en afirmaciones como:

“las tablas no coinciden con el borde de la puerta”, implica un reconocimiento de la inscripción de

una secuencia de polígonos, (bordes rectos) como camino para medir la superficie con las

propiedades geométricas especiales de un segmento de parábola.

4.6. EL EOS: UNA PERSPECTIVA DE ANÁLISIS Y SÍNTESIS DIDÁCTICA

El análisis realizado a partir del proceso de estudio sobre los Tipos de Significado Institucional, se

relaciona en cierta medida con los niveles de Análisis Didáctico (Godino, Font & Wilhelmi, 2007)

con el que se caracterizan dos de las principales tareas del docente como lo son el diseño y la

ejecución de procesos de estudio en el aula.

En el primer nivel, se asocia el estudio de los sistemas de prácticas (S.P.) y objetos matemáticos,

que como se ha señalado previamente se han distinguido los S.P. Discursivas, Operativas y

Normativas (acorde a la distinción realizada por Lurduy, 2013), alrededor del diseño y ejecución

del proceso de estudio centrado en tareas de cálculo de áreas. Con el ánimo de realizar un estudio

de las prácticas planificadas y realizadas en relación con los Tipos de Significado Institucional (De

Referencia, Pretendido e Implementado), retomando una secuencia de episodios y siguiendo un

curso temporal, hacia la sistematización, reducción y

análisis de los datos. Las inferencias realizadas

previamente en la caracterización de cada tipo de

significado, dan cuenta del primer nivel de análisis, de

acuerdo con Lurduy (2013).

En el Segundo Nivel de Análisis de los procesos de estudio

“Procesos matemáticos y conflictos semióticos”, se aplica

el estudio de los Tipos de Significado en relación a la faceta

dual Institucional-Personal y la consideración de un objeto

Situación problema - Objeto

matemático

Significado institucional de

referencia

Significado Institucional

implementado

Significado institucional Pretendido

Gráfica N° 27: Triangulación de los tipos de significado respecto al elemento "Situación - Problema" en la construcción del objeto matemático.


93

matemático desde la resolución de Situaciones-problemas particulares. En este sentido se establece

la relación entre Tipo de Significado, Situación Problema y la idea general de integral que emerge:

Significado

Institucional

Situación Problema

Formulada Idea General de Integral (Fundamentos)

De

Ref

eren

cia

a. Determinar el área de

una figura poligonal.

b. Determinar el área de

una figura encerrada por

curvas (Conjunto plano).

c. Determinar el área de

una función escalonada.

d. Estudiar propiedades de

figuras planas y relaciones

entre perímetro y área.

La integral es el resultado numérico del área bajo la

curva, desde la aproximación encontrada con la

determinación del área encerrada por una función

escalonada construida sobre una partición (variable y

sistemática) de la base o intervalo de integración.

Pre

ten

did

o

Determinar la mayor área

posible de una superficie

cuyo perímetro es fijo.

Hallar la cantidad de tablas

requeridas para recubrir la

superficie encerrada por

una curva. “Agotamiento y

comparación entre la

superficie encerrada por la

curva (Segmento

Parabólico), y la superficie

ocupada por una función

escalonada (secuencia de

rectángulos) inscrita”.

Proceso de Cálculo –indirecto- de la superficie frontal de

la puerta, ajustando la cantidad y dimensiones de las

tablas o polígonos inscritos en la superficie a medir y así

agotar el área de la superficie de la curva. Se logran

obtener mejores aproximaciones al valor real del área

bajo la curva, cuando se toman regiones o tablas tan

pequeñas como se quiera; esto permite calcular con ayuda

de una fórmula aritmética la agrupación de todas estas

regiones o partes, conformando una sola superficie cuya

área es el objeto de estudio.

Imple

men

tado

Mostrar la forma, medidas

y ubicación de una

secuencia de tablas

inscritas (rectangulares o

trapezoidales) que permita

agotar la superficie de la

puerta. Luego representar

analíticamente la

acumulación de áreas y las

distintas aproximaciones

generadas.

Cálculo –indirecto- de la superficie frontal de la puerta.

Partiendo de la construcción de una secuencia de

polígonos inscritos que se aproximan a la superficie de

la puerta, anclado al agotamiento y comparación entre la

superficie encerrada por la curva, y la superficie ocupada

por una función escalonada (secuencia de rectángulos)

inscrita. Se ajustan la cantidad y dimensiones de las tablas

inscritas, para que los espacios no recubiertos sean tan

pequeños como se quieran. Se requiere juntar, agrupar o

acumular todas estas regiones o partes, para conformar

una sola superficie cuya área es el objeto de estudio.

Tabla N° 21: Relación Tipo de Significado – Situación Problema – Significado de Integral


94

4.7. PROCESOS Y OBJETOS MATEMÁTICOS ASOCIADOS A LAS PRÁCTICAS

ESTUDIADAS

Sin desconocer la complejidad y profundidad con la que el EOS asume el análisis y la síntesis didáctica,

se propone un pronunciamiento sobre las dualidades entre procesos matemáticos, no pretendiendo un

análisis denso, sino una descripción inicial, tomando como punto de referencia el modelo de análisis

didáctico propuesto por Font, Planas y Godino (2010) sobre magnitudes variables, que previamente ha

sido detallado por Font, Godino y Contreras (2008):

A. Procesos de materialización – idealización (dualidad ostensiva – no ostensivo) -

Significados Institucionales: La variación y optimización de la superficie se evidencia en las

distintas construcciones donde se ajustan la cantidad y tamaño de las tablas o polígonos inscritos

como un proceso de idealización del

comportamiento de la secuencia de polígonos. La

acumulación y agotamiento de las magnitudes se

materializan en la construcción de una secuencia de

polígonos ajustados a la forma y propiedades

geométricas de la curva, siendo exhaustivos en la

conformación de superficies tan pequeñas como se

quiera, para una posterior consideración de la

agrupación de las superficies. Por último La aproximación al área bajo la curva está asociada a

dos procesos –no ostensivos- la variación en la cantidad y dimensiones de los polígonos inscritos

y la acumulación o reunión de los mismos para brindar un resultado para el área de la superficie

de la puerta, así al reconstruir la secuencia de polígonos e ir agotando progresivamente la

superficie, se construye una mejor aproximación. La aproximación materializada en la

organización tabular ordenada de datos (superficies para casos específicos) lleva a pensar en un

patrón o convergencia del área, resultado de la comparación y cercanía entre el área de los

polígonos inscritos y la curva que los circunscribe.


95

B. Procesos de particularización –

generalización (dualidad extensivo –

intensivo) – Significados Institucionales: En

los distintos tipos de significado se evidencia la

construcción de secuencias de polígonos

inscritos y se calcula su área como

manifestación de un valor aproximado al área

bajo la curva, se repite este proceso buscando

agotar la superficie, encontrar una secuencia de

polígonos más óptima y sistemática, hasta tener en consideración varias construcciones que

permiten ser comparadas y destacar la mejor aproximación o deducir una convergencia. Se

generaliza la idea y procesos para el agotamiento de la superficie encontrando regularidades en la

forma y tamaño deseable de la secuencia de polígonos inscritos (hacerlos tan pequeños como se

pueda).

Desde el Significado Institucional de referencia se sugiere el estudio de alturas particulares de los

rectángulos inscritos en el segmento parabólico, hasta deducir el patrón o comportamiento

funcional de las alturas de la puerta, llevando a generalizar analíticamente la curva y poder operar

con las áreas desde valores numéricos.

C. Procesos de descomposición – reificación (dualidad sistémica – unitario)- Significado

Institucional: La interpretación del problema del cálculo del área bajo la curva (o superficie frontal

de la puerta), lleva a considerar sub problemas como el agotamiento de la superficie, el ajuste de

la cantidad y dimensiones de las tablas o polígonos

inscritos en la curva, agrupación de los distintos

polígonos inscritos, representación numérica o

analítica de las áreas de cada polígono mediante

expresiones como la sumatoria de áreas.

(Composición de áreas), lo cual en términos de

Godino (2002) se ve como la reificación15 o

15Las propiedades geométricas del segmento parabólico que modelaba la forma de la puerta, también permitió

descomponer el problema en dos secciones, separando desde el eje de simetría de la puerta, para simplificar el cálculo del área a la mitad de la puerta y duplicar el resultado.

Particularización

Elementos de significado & Fundamentos del objeto

MatemáticoGeneralización

Grafico N° 29: Triada Particularización - Generalización - Significado


96

comprensión de distintos procesos y objetos matemáticos para ser aplicados en la resolución de

nuevos problemas.

D. Procesos de representación – significación

(dualidad expresión – contenido) – Significado

Institucional: Los procesos de representación y

significación ponen en consideración los distintos

elementos de significado puestos en juego en la

resolución del problema en los que se hace un intento

de modelización y reinterpretación de los resultados en

el contexto del problema. Así que la significación se

ve orientada por la complementariedad, relación y contraste entre las distintas representaciones.

De esta manera, se ha planteado un contexto de construcción de una puerta a partir de tablas

(Representación gráfica de una situación real), lo cual ha sido llevado a la representación de un

segmento parabólico en un plano cartesiano, en el que se construye una función escalonada o

secuencia de polígonos inscritos que agotan la superficie estudiada (Representación geométrica),

luego a una representación tabular, analítica y numérica de las áreas unitarias y compuestas, cuyos

resultados se retoman en la solución del problema mediante preguntas orientadoras como:

¿Cuántas tablas se requieren para la construcción de la puerta?

La significación de los procesos y elementos de significado matemático, promueven la

familiaridad del estudiante con la manipulación de tablas de madera y acciones como cortar, unir,

formar, diseñar y construir una estructura. De aquí que se da significado a los fundamentos de la

integral en el cálculo de áreas como se enuncia a continuación: La aproximación y variación se

asocia al ajuste de las medidas, dimensiones y cantidad de tablas o polígonos inscritos

(Propiedades geométricas de la función escalonada construida) para buscar acaparar la mayor parte

de la superficie frontal de la puerta. La acumulación y agotamiento se asocia a la construcción y

determinación de cada polígono o tabla y su área, en contraste con la configuración o agrupación

para armar una superficie compuesta.


97

E. Procesos de personalización - institucionalización (dualidad personal – institucional) –

Red de Objetos Primarios: Los significados puestos en juego en las prácticas docentes,

corresponden, de acuerdo con Godino (2012) a

significados institucionales restringidos, pues tienen

que ver con un objeto didáctico-matemático en una

comunidad “Matemática Escolar” de la cual el

docente es representante, en relación a las prácticas

emergentes de la resolución de problemas, incluso de

tipo didáctico (en este caso el diseño y gestión de

procesos de estudio de los fundamentos del cálculo

integral desde problemas de cálculo de áreas).

A partir de allí se considera que los significados implicados en el diseño, gestión y evaluación

hechos por el docente obedecen a significados del saber matemático en cuestión que provienen

no solo de saberes institucionales, sino que involucran significados personales del docente en

las acciones o prácticas reales en el aula. Es de la interacción Docente-Saber-Estudiante, que

emergen prácticas no concebidas explícitamente en el diseño hecho por el docente (o en los

significados de referencia y pretendidos), convocando a los significados personales del docente

(que pueden ser considerados como significados institucionales del objeto matemático que por su

formación, han sido incorporados al significado global del docente) para actuar frente a los

episodios, momentos o circunstancias que se presentan en el aula. En la siguiente gráfica, se

muestra como la interacción y el proceso de estudio conduce al docente a la apropiación de

significados personales del estudiante, pero también tiene la intención de mostrar como los

significados manifestados en la gestión del proceso de estudio en el aula, es permeado por los

significados institucionales y personales del docente.

Gráfica N° 33: Relación entre significados Personales e Institucionales en las prácticas de aula

•Significado Institucional:

•De referencia

•Pretendido

•Implementado

Significados Institucionales

•Interacciones Docente-Saber, Docente-Estudiante, Docente-Contexto

Interacción•Global (del docente)

•Declarado (del docente)

•Logrado (del docente)

Significados Personales


98

Por ejemplo, respecto a los procedimientos asociados al cálculo de áreas, han emergido durante la

gestión del proceso de estudio y desde las propuestas de solución de los estudiantes, gran variedad

de estrategias, métodos y caminos para el cálculo del área frontal de la puerta, distintas o

complementarias a las consideradas por el docente dentro de sus significados pretendidos e

involucradas en los momentos de institucionalización y validación; esto puede obedecer a dos

circunstancias: A. El estudio de los significados de referencia y pretendidos ha sido poco

profundo, o, B. Los significados implementados del objeto matemático integral en el proceso de

estudio acá documentado, convocan a los significados institucionales y de manera emergente

también a los significados personales del docente, para resolver problemas didácticos,

resultantes de la interacción con el contexto, saber y estudiantes.

Algunos ejemplos de esto son:

Procedimientos (Significado Institucional Pretendido)

Procedimientos (Significado Institucional Implementado)

Gráfica N° 34: Contraste Entre Procedimientos Pretendidos e Implementados

Se pretendía la construcción y manipulación de una secuencia de polígonos (Rectángulos) inscritos

en el borde de la puerta con bases y alturas variables, dependiendo el ajuste y agotamiento de la

superficie de acuerdo a las propiedades geométricas de la curva. y han resultado en la gestión del

proceso de estudio para la determinación de la cantidad, forma y medidas de las tablas,

procedimientos referidos al agotamiento mediante rectángulos, trapecios, triángulos, construcción

de secuencias de polígonos partiendo de construcción de láminas horizontales, ajuste de la curva

mediante rectas secantes, etc.


99

Considerando el tercer nivel de análisis didáctico de las

configuraciones y trayectorias didácticas y los alcances

planteados para este trabajo, se aborda la trayectoria

epistémica desde la relación (incluyente) de los Tipos de

Significado Institucional de referencia, pretendidos e

implementados.

En efecto, se ha observado que los significados de

referencia en sus dimensiones Didáctica y Matemática,

ofrecen según el nivel de análisis didáctico manejado acá,

los elementos primarios de significado y las prácticas del

docente en el diseño y gestión de un proceso de estudio

sobre los problemas de cálculo de áreas y los

fundamentos del cálculo integral. Como lo señala Crisóstomo (2012) y considerando la idea de

Significado Institucional de Godino et al (2004), la evolución histórica y epistemológica del objeto

matemático Integral, a la luz de la resolución de ciertos tipos de problemas, han permitido emerger

significados parciales de la integral en contextos como el geométrico, intuitivo, aproximado,

sumatorio, acumulado y analítico formal.

Se ilustrarán ideas asociadas a la trayectoria epistémica desde los elementos de significado

“situación/problema” y “Procedimientos”, en este sentido, se ha encontrado en el S. I. de

referencia, principalmente la construcción de una función escalonada por exceso o por defecto,

desde el límite inferior, superior o valor medio, para agotar la superficie encerrada por ejemplo en

un segmento parabólico y así calcular la cantidad de superficie mediante una expresión analítica

auxiliar que representa la suma de áreas de rectángulos cuyas bases varían. Ahora bien, en los

significados pretendidos se involucran prácticas didácticas del docente (Diseño de objetivos,

tareas, intervenciones previstas, guía del estudiante), donde busca adaptar la situación problema

a un contexto “construcción de una puerta con borde curvo –modelado por un segmento de

parábola-”, relacionando un lenguaje común para que los estudiantes logren hacer una

manipulación y representación de la situación, y promoviendo la construcción de una estructura

de tablas que recubran o agoten la superficie de la puerta. Es entonces, cuando el contexto y las

Significado Institucional:

De Referencia

Pretendido

Implementado

Gráfica N° 35: Trayectoria epistémica y los tipos de significado.


100

restricciones que el docente coloca a la situación, proyectan la situación problema y

procedimientos de referencia, priorizando representaciones verbales, gráficas y geométricas de las

posibles estructuras de tablas o polígonos requeridos para construir la puerta.

En relación secuencial, el significado de referencia, al pretendido y ahora al implementado no

asume un comportamiento inclusivo o reduccionista, es decir, no todo significado implementado

está contenido en los significados pretendidos, y estos a su vez no están totalmente incluidos en

los significados de referencia. A cambio, se observa que los significados de referencia, son un

punto de partida para el diseño de las tareas, las cuales se van nutriendo de aspectos que el docente

considera por el conocimiento del contexto, de sus estudiantes y sus creencias (didácticas y

matemáticas) ajustadas a sus propósitos de enseñanza. En consecuencia los significados

implementados se nutren de las prácticas efectivas que se dan en el aula, la interacción entre los

estudiantes y el docente en la resolución de las tareas propuestas, conduciendo como se vio en este

caso, a involucrar prácticas no consideradas explícitamente en el estudio de los otros Tipos de

Significado.

En algún momento de la validación e institucionalización que oriento el docente, el problema de

construir la puerta con tablas y determinar, la cantidad y medidas de las mismas, se transformó o

incluyó nuevos, como la linealización de la curva (construir una secuencia de secantes lo más

cercana a la curva para modelar su comportamiento con segmentos rectos), construir la puerta con

la menor cantidad de tablas, construir la puerta con tablas de distintas formas, ubicar las tablas

estratégicamente para que sus bordes coincidan con el borde de la puerta, entre otros, que se han

incorporado a los significados implementados. Ante esto, el docente no inválida las conjeturas y

proposiciones de los estudiantes, sino que por el contrario, las relaciona con sus propósitos de

enseñanza, con las tareas planteadas y con el concepto matemático abordado.

Godino (2008) asocia el término Idoneidad epistémica al grado de representatividad de los

significados institucionales implementados y pretendidos respecto del significado de referencia,

en este sentido se ha observado que se han adaptado las situaciones a un contexto y lenguajes

accesibles para los estudiantes, desde un conocimiento previo que el docente tiene de la integral

como objeto didáctico- matemático y el conocimiento del proceso de enseñanza aprendizaje que

orienta. Así, teniendo en cuenta cada uno de los elementos de significado, existe una


101

representatividad más no una equivalencia para los tipos de significado. La situación se enmarca

en un contexto particular; el lenguaje pasa de ser geométrico, simbólico y técnico a resaltar el

lenguaje descriptivo y las representaciones gráficas geométricas; los procedimientos pasan del

desarrollo analítico y la significación de la representación geométrica a la manipulación gráfica y

geométrica de la situación. Pero de fondo la situación problema, los conceptos, razonamientos y

acciones evidenciados en los sistemas de prácticas del Significado institucional de referencia se

ven representados en gran medida en los otros tipos de significado.

4.8. RELACIONES DIÁDICAS PARTIENDO DEL POLO “DOCENTE”

De acuerdo con Lurduy (2009) en todo proceso de enseñanza/aprendizaje institucional, emergen

relaciones e interacciones entre los actores de dicho proceso; en él interactúan estudiantes,

profesores, medios y recursos didácticos, ambientes y entornos del proceso y relaciones con el

saber construido personal e institucionalmente por dichos actores, de aquí el interés por describir

y caracterizar aquellas relaciones que involucran al docente:

Profesor-Estudiante: Se ha observado en el diseño y gestión de tareas y del proceso de estudio

por parte del profesor, que considera el proceso de enseñanza y aprendizaje histórico con los

estudiantes, pues parte de determinados saberes previos y dinámicas habituales de trabajo, para

así plantear una situación problema en un lenguaje común, promoviendo determinadas acciones y

proponiendo preguntas orientadoras estratégicas para facilitar el acceso de los estudiantes. El punto

de partida para abordar los problemas de cálculo de áreas, orientan el discurso y acciones del

estudiante por ejemplo a representar y operar descriptiva y gráficamente con los elementos puestos

en juego para construir la puerta.

Ya en los significados de referencia didácticos, incluye los Estándares Básicos de Competencias

en Matemáticas del MEN, lo que orienta los propósitos de enseñanza, la pertinencia del proceso

de estudio y la organización del proceso de estudio mediante una guía para el estudiante, donde se

ponen de referencia los tiempos, roles y acciones que van a seguir cada uno de los actores del

proceso.

Profesor-Saber: Para la relación profesor-saber Lurduy propone considerar la estructura planeada

para la clase, la secuencia de tareas y las formas de interacción previstas en cuanto a la flexibilidad

que se puede o no tener con la temática, todo esto se ha implementado para el estudio de los

significados pretendidos, interpretados como los sistemas de prácticas implicados en el diseño de


102

la secuencia de tareas alrededor del cálculo de áreas encerrada en el segmento parabólico y el

estudio de sus propiedades geométricas. Con las preguntas orientadoras buscan problematizar el

estudio del área desde la asociación de fundamentos como la aproximación, acumulación,

agotamiento, exhaución y sumatoria, vinculando razonamientos sobre los infinitesimales,

particiones, variaciones (hacer las bases tan pequeñas como se quiera) y covariaciones (relación

entre bases, alturas y áreas de los rectángulos inscritos). Asumir al docente como representante

de la institución “matemática escolar”, lleva a considerar los significados institucionales

restringidos en términos de Godino (2008), por lo que el estudio de los tipos de significado

profundiza la relación profesor-saber.

Profesor-Entorno: Para Lurduy (2009) la relación profesor-entorno incluyen indicadores

concernientes al desarrollo organizacional de actividades a través de las cuales el profesor motiva

la participación en las mismas, en consecuencia observamos que la propuesta de tareas en la guía

del estudiante asume una estructura y secuencia temporal, inicialmente se explora la situación

problema, se procede con la representación gráfica y la manipulación de la misma en pro de

construir una secuencia de tablas que recubran la puerta, así desde las preguntas orientadoras se

conduce a la problematización del cálculo del área encerrada por una curva, hasta llegar a modelar

con ayuda de la guía, la secuencia de polígonos inscritos aproximada y el cálculo del valor

numérico asociado. La organización de los estudiantes y del aula muestra como el trabajo en

pequeños grupos de discusión, socialización y trabajo en equipo promueve la elaboración de

conjeturas, la formulación de alternativas de solución, tratamiento y representación de las tareas y

acciones realizadas, así como la validación de los procesos y proposiciones realizados. Los

recursos disponibles para el trabajo en clase (guía con el modelos de la puerta sobre una cuadricula

con coordenadas cartesianas), en relación con los ambientes físico y lógico abstractos que

intervienen en la clase (mediación e interacciones) facilitan el abordaje de la situación y la

exploración de diversos sistemas de representación gráfico, geométrico, simbólico, verbal con

momentos de interpretación, descripción y caracterización de las propiedades principalmente

geométricas de los objetos (Segmento parabólico y secuencia de polígonos inscritos –función

escalonada-).

Objetos Didácticos: Tras el proceso de recolección y análisis de la información, se posibilita un

estudio sobre los objetos didácticos diseño y gestión, pues como se ha enunciado en la construcción


103

de la investigación, estos están soportados en relaciones tríadicas que relacionan tipos de

significado institucional y la configuración mediante elementos de significado característicos, que

permiten inferir los sistemas de prácticas prototípicas:

DISEÑO: El proceso de estudio sobre los tipos de

significado ha dejado ver la alta frecuencia con la que

se evidencian los elementos de significado

situación/problema y lenguaje, pues mediante

prácticas característicamente discursivas se resalta la

intención de representar simbólica y

geométricamente la integral definida, así como

estructurar formalmente un enunciado en un contexto matemático o extra-matemático, por encima

de las acciones o procedimientos sugeridos y los demás elementos de significado.

GESTIÓN: Respecto al problema didáctico de gestión del

proceso de estudio para la enseñanza de la integral, los

significados pretendidos e implementados han dejado

ver la prevalencia de unidades de analisis asociadas a los

procedimientos y propiedades, siendo caracteresiticas

las prácticas operativas por medio de las cuales, se

señala que la integral ha de interpretarse como un

proceso de cálculo de áreas en relación a los fundamentos Aproximación y Acumulación en una

dualidad concepto/razonamiento – Procedimiento.

Mediante el siguiente esquema es posible identificar los sistemas de prácticas caracteristicos tanto para

el diseño como la gestión del proceso de estudio en relación con los elementos de significado previamente

referenciados.

Se logra allí evidenciar que en el diseño de la secuencia de tareas se considero como elementos de

referencia y pretendidos, prácticas relacionadas con la busqueda de una representación simbolica de la

situación que permita oerar en el cálculo de áreas, llevando rapidamente a reinterpretar el problema

mediante objetos como la antiderivada. En el significado pretendido se ha observado la busqueda de un

sistema de representación que permita pasar del bosquejo de la puerta, hacia una representación

geometrica sobre la cual construir una secuencia de rectangulos ajustables con dimensiones variables,

para luego concluir en exprsiones annalitics que describan el comportamiento de las áreas obtenidas. De

lo anterior podemos inferir que la triangulación sugerida para el diseño del proceso de estudio, visiviliza


104

el uso del lenguaje como elemento caracteristico para la significación del objeto matemático alrededor

de la situación problema.

En el estudio sugerido para la gestión de la secuencia de tareas, se observan prácticas caracteristicamente

operativas, pues es a partir de los procedimientos que se intenta dar significado al objeto matemático

cuyos fundamentos aproximación y acumulación llevan a considerar la construcción de secuencias de

poligonos inscritos con dimensiones variables, para agotar exhaustivamente la superficie de la puerta.

Situación Problema Lenguaje

Dis

eñ

o

Significado

De

Referencia

Hallar el área encerrada por la

curva Transición del lenguaje común y geométrico al

formal.

Caracterización de la representación (Suma,

Unión de rectángulos) hasta ∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥 =𝑏𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Hallar el volumen a sólidos y

aplicaciones de la integral

Determinar la anti-derivada de una

función en un intervalo fijo.

Significado

Pretendido

Construcción de la función

escalonada inscrita en la curva

Transición del lenguaje común (región, terreno,

cortar o inscribir tablas agotar, construir), hacia

el lenguaje geométrico, aritmético y algebraico.

Procedimientos Propiedades

Ges

tión

Significado

Pretendido

Construcción de una secuencia de

polígonos inscritos y ajustables a

la curva. La partición de la base de la puerta y el ajuste

de tablas lleva a aproximaciones en la medida

de la superficie tan óptimas como se quiera.

Existen puntos máximos, límite superior e

inferior, partes tan pequeñas como se quiera.

Formular y desarrollar una

expresión o regla recursiva que

permita identificar el patrón para

la construcción de rectángulo.

Significado

Implementado

Inscripción sucesiva y ajuste de

secuencias de tablas dentro de la

curva.

Aproximación, estimación, medición, variación

en las magnitudes y sus medidas.

Desarrollar una expresión

analítica que represente la

estructura de tablas que

determinan la puerta.

Propiedades y relaciones geométricas asociadas

a la curva y a las construcciones realizadas

sobre la superficie.

4.9. SINTESIS DE LA CARACTERIZACIÓN DE LOS TIPOS DE SIGNIFICADO

En síntesis, el proceso de estudio de los tipos de significado institucional, su descripción y

caracterización, involucra los elementos de significado que en cierto sentido tienen relación con

las configuraciones parciales de la integral que refiere Crisóstomo (2012) y los fundamentos o

ideas fuertes del cálculo que se presentan en la siguiente tabla, donde se ilustrará la tendencia o

relación cercana con las configuraciones evidenciadas en las tipos de significado.


105

Tipo de

Significado Situación Problema Lenguaje Procedimientos Propiedades Definiciones Argumentos

De Referencia

Hallar el área

encerrada por la

curva Transición del

lenguaje común y

geométrico al

formal.

Caracterización de

la representación

(Suma, Unión de

rectángulos) hasta

∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥 =𝑏𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Agotamiento de la

superficie desde una

sucesión de figuras.

Teorema Fundamental del

Cálculo

Descripciones y

características de los

objetos geométricos.

Anti-derivada.

Visualización de

propiedades.

Hallar el volumen a

sólidos y

aplicaciones de la

integral

Interpretación y

trascripción entre

distintas

representaciones.

Propiedades de las operaciones

en el sistema numérico decimal

y el tratamiento simbólico.

Función escalonada.

Secuencia de

polígonos inscritos.

Corroboración de

procedimientos y

desarrollo de expresiones

analíticas.

Determinar la anti-

derivada de una

función en un

intervalo fijo.

Desarrollo analítico de

cálculos asociadas al

área de una función

escalonada.

Variación, aproximación y

acumulación de las secuencias

de figuras sobre la superficie

agotada.

Aproximación,

acumulación, Variación.

Deducción de propiedades

geométricas.

Pretendido

Construcción de la

función escalonada

inscrita en la curva

Transición del

lenguaje común

(región, terreno,

cortar o inscribir

tablas agotar,

construir), hacia el

lenguaje

geométrico,

aritmético y

algebraico.

Construcción de una

secuencia de polígonos

inscritos y ajustables a

la curva. La partición de la base de la

puerta y el ajuste de tablas lleva

a aproximaciones en la medida

de la superficie tan óptimas

como se quiera.

Existen puntos máximos, límite

superior e inferior, partes tan

pequeñas como se quiera.

Tabla (Polígono

Rectangular)

Puerta (construcción a

partir de una

estructura/sucesión de

tablas)

Curva (Familia de

ordenadas)

Infinitesimal,

Aproximación,

Acumulación, medida y

exhaución.

Inferencia de

regularidades a partir de

cálculos particulares.

Calculo de áreas a

superficies

encerradas por

curvas a partir de

una configuración

de tablas.

Formular y desarrollar

una expresión o regla

recursiva que permita

identificar el patrón

para la construcción de

rectángulo.

Deducciones a partir de la

visualización de

propiedades geométricas

de la gráfica y los

procesos sobre ella.

Corroboración de

procedimientos.

Implementado

Construcción de una

estructura con

secciones

poligonales de

tamaños que se

ajustan según la

estrategia y la

necesidad de agotar

la superficie de una

curva.

Lenguaje

descriptivo y

gráfico en el que

interactúan

representaciones

(Verbal, gráfica y

simbólica)

Enuncian objetos

concretos y

geométricos, así

como procesos

(Aproximación)

Inscripción sucesiva y

ajuste de secuencias de

tablas dentro de la

curva.

Aproximación, estimación,

medición, variación en las

magnitudes y sus medidas. Secuencia de

polígonos ajustables,

Área (suma,

acumulación,

aproximación,

medida) Limite,

infinitesimal

Formulación de

conjeturas; Deducción de

propiedades y relaciones

geométricas.

Corroboración de

procedimientos.

Desarrollar una

expresión analítica que

represente la estructura

de tablas que

determinan la puerta.

Propiedades y relaciones

geométricas asociadas a la

curva y a las construcciones

realizadas sobre la superficie.

Intuitiva Geométrica Sumatoria Acumulada Extra-matemática Primitiva Aproximada

Tabla N° 22: Matriz De Caracterización De Significados


106

5. CONCLUSIONES

Se observa en el siguiente modelo

un intento de correspondencia y

relación entre las tareas del

docente, los sistemas de práctica y

los objetos matemáticos:

Desde este panorama se ha identificado que claramente los Tipos de Significado Institucional

actúan de una manera predominante en algunas de las tareas del docente, así para el Diseño de

Tareas y planificación del proceso de estudio se tiene en cuenta los significados de referencia y

pretendidos; para la Gestión se tiene en cuenta los significados Pretendidos en relación con los

Implementados. Debido a esto, ha sido oportuna la selección de textos, según los requerimientos

del ACC que den cuenta de dichas relaciones como se muestra a continuación:

Gráfica N° 37: Asociación de Tipos de Significado a los procesos de diseño y gestión.

Para cada Texto se ha realizado una identificación y descripción de los tipos de prácticas,

encontrando mayor presencia de los procedimientos efectuados para el cálculo de áreas; en cada

uno de los textos se observa el planteamiento de una situación problema enmarcada en contextos

Análisis del Proceso de

Estudio

Diseño de tareas y

Planificación del P. de E.

Significado Institucional

De Referencia

Referentes Curriculares (Estándares Básicos de Competencias en

Matemáticas)

Referentes Didácticos (Fundamentos del Cálculo Integral -

Objeto Didáctico Matemático)

Referentes matemáticos (Texto de referencia)

Significado Institucional Pretendido

Diseño de Tareas, Guia del Docente, Guia del Estudiante, Entrevista al docente (Objetivos, Momentos,

Preguntas Orientadoras)Ejecución del Proceso de

Estudio en el Aula

Significado Institucional Declarado

Episodios de Clase - Observación no participativa y videograbación

• Diseño

• Gestión (De procesos de estudio)

Episodios -Tareas Del Docente

• Discursivas

• Operativas

• Normativas

Sistemas de Prácticas • Integral Definida

• Problemas de Cálculo de Áreas

• Fundamentos del Cálculo

Objetos Matemáticos

Gráfica N° 36: Objeto de estudio: Tareas del docente - Objetos Matemáticos


107

geométricos, métricos, extra-matemáticos (de agricultura, carpintería, física, entre otros) y

analíticos, implicando unos sistemas de lenguaje propios del contexto, allí se refiere a términos y

expresiones que en la mayoría de los casos relacionó una representación gráfica o analítica (curvas,

figuras planas, puerta o estructuras), expresiones descriptivas sobre los objetos matemáticos,

geométricos o del contexto que se involucran (curva, puerta, borde, tabla, rectángulo, área,

perímetro, entre muchos otros), con los que se coloca en segundo lugar el lenguaje analítico, formal

y simbólico, y se promovía la enunciación de propiedades de los objetos matemáticos. En último

lugar, se resaltó el papel del lenguaje en relación con los procedimientos (inscribir, construir,

organizar, recortar tablas, unir o acumular, hacer tablas de menor base, agotar la superficie, entre

otras) para significar los objetos matemáticos. Los elementos de significado situaciones y lenguaje

se aproximaron a las configuraciones parciales Intuitiva, Geométrica y Sumativa, de acuerdo con

lo estipulado por Crisóstomo (2012).

En el tipo de significado de referencia se observó en mayor medida el lenguaje geométrico y formal

asociado a la construcción de funciones escalonadas y secuencias de polígonos para agotar la

superficie encerrada por una curva. Respecto a los Significados pretendidos e implementados

primó la descripción, interpretación y representación de propiedades geométricas, objetos

matemáticos, extra-matemáticos y construcciones geométricas que modelan la construcción en

madera de una puerta desde el lenguaje común.

Con relación a las definiciones y argumentos, se ha identificado que en el diseño y ejecución del

proceso de estudio desde problemas de cálculo de áreas, son más relevantes en el significado de

referencia en un contexto simbólico, formal y matemático, donde los argumentos emergen de

deducciones y construcciones basadas en normas, axiomas y teoremas que conducen a la

determinación del límite de una suma de rectángulos o al área de una función escalonada desde

propiedades geométricas y analíticas. Así mismo predominan las definiciones formales para poder

interpretar los resultados, conceptos y figuras emergentes en las construcciones o cadenas

deductivas (p. ej.: Teorema del valor medio, definición de integral como una sumatoria, etc.). Ya

en cuanto a los significados pretendidos e implementados, las definiciones formales pasan a un

segundo plano, sustituidas por definiciones de los objetos y procesos matemáticos y contextuales

desde la descripción de regularidades, propiedades geométricas e inferencias sobre los resultados

y medidas. En los argumentos sobresale el papel de la descripción y representación en distintos


108

tipos de registros gráficos-verbales, tabulares, aritméticos y/o simbólicos de las construcciones con

“tablas” para la puerta de borde curvo asociado a un segmento parabólico.

No menos importantes o recurrentes fueron las prácticas asociadas a los procedimientos y

proposiciones, pues los fundamentos del cálculo integral se asociaron a ideas de Aproximación y

Acumulación, que en si sugieren la manipulación y cambio/variación sobre los objetos

matemáticos, geométricos y extra-matemáticos puestos en juego (dimensiones de las tablas,

segmentos de superficie no recubiertos, superficie del polígono –o secuencia de polígonos-

inscritos, etc.), además los sistemas de prácticas fueron emergentes de la resolución de un

problema de cálculo de áreas, donde se buscaba determinar la cantidad de madera necesaria para

recubrir la superficie de una puerta y luego comunicar su resultado desde la representación

adecuada de la situación, los procesos dados y las conclusiones a las que se debía llegar.

En cuanto a la distinción de Tipos de Significado, para los significados de referencia, las

acciones estaban condicionadas a la demostración, deducción de reglas y propiedades y

construcción de un concepto de integral desde el proceso analítico que conduce a ella, por lo que

se priorizó la construcción de una función escalonada, la representación analítica de la misma y la

consideración de una partición del intervalo de estudio con una cantidad cambiante de bases para

los rectángulos que conformarían la secuencia de polígonos que agotan la superficie de la curva.

Para el caso de los significados pretendidos e implementados, los procedimientos evidenciaron la

necesidad de actuar sobre el problema desde la descripción de propiedades, la manipulación de las

partes o componentes de la curva o puerta, la construcción de secuencias de polígonos y el

agotamiento de la superficie como camino único para indagar sobre el objeto matemático.

En Godino y Batanero (1994) se define el significado de un objeto institucional como “el

sistema de prácticas institucionales asociadas al campo de problemas de las que emerge en un

momento dado” (p. 340), como se ha mencionado, el docente es representante de la comunidad

“Matemática Escolar” en el aula y determina un significado institucional restringido, sin intención

de omitir los significados de referencia y pretendidos, es en los -Significados Implementados-,


109

donde se observa la recurrencia de significados de carácter personal16 del docente, pues van

apareciendo en la propia práctica elementos primarios de significado matemático pragmáticos

relativos a la resolución de un problema de carácter didáctico como lo es validar o institucionalizar

las prácticas de los estudiantes, donde el docente convoca conocimientos que hacen parte de sus

significados personales globales, anclados a su experiencia académica y práctica en el aula.

Los significados implementados permiten ver que el enunciado y la gráfica confluyen en

la generación implícita de varias situaciones/problemas auxiliares. Pese a las pretensiones y

orientaciones del docente en el proceso de estudio, al promover la resolución de problemas

mediada por el trabajo cooperativo y autónomo, implica la exploración y búsqueda de estrategias

de solución válidas para cada grupo de estudiantes, con las que se diversifican las prácticas, objetos

matemáticos y procesos a los que se recurre en el aula y alteran los significados institucionales que

declara el docente, particularmente en las fases de validación e institucionalización de los saberes

puestos en juego.

El proceso de estudio sobre los significados implementados permite un contraste con los

significados institucionales de referencia y pretendidos, para reflejar las similitudes, proximidades

y diferencias, que al hacer un estudio práctico, se observan al contrastar cada elemento de

significado. Entre otras cosas podemos observar que los significados de referencia hipotéticos

plasmados en los textos estudiados, son apenas una muestra de los elementos considerados por el

docente en el diseño de tareas, pues al ser las matemáticas escolares y la enseñanza de las mismas

un proceso complejo, se detectan relaciones entre redes de conceptos y habilidades que no solo

competen a la integral definida, sino que se manifiestan en la resolución de otros campos de

problemas y que por demás no se pueden capturar en un solo estudio o trabajo de profundización.

Otro aspecto a resaltar en el estudio de los tres tipos de significado, es la presencia y relevancia de

los significados personales del docente y de los estudiantes, en una interacción de aula que no se

puede predecir con exactitud, más allá de prever y orientar algunas prácticas, dificultades o

momentos de la clase. Se ha observado que desde los significados de referencia y pretendidos, se

busca un procedimiento sistemático, que al modelarse, permita una representación analítica del

16Los objetos matemáticos personales se definen como “emergentes del sistema de prácticas personales significativas asociadas

a un campo de problemas” (Godino y Batanero, 1994, p. 335).


110

área de una superficie encerrada por curvas, sin embargo, no se han declarado prácticas asociadas

al modelo matemático simbólico que represente el proceso de agotamiento de la superficie

mediante la inscripción de una sucesión de polígonos.

Para el significado Institucional implementado, se observan las prácticas que el docente a

través de su diseño e intervenciones realiza17, frente a ellas se observa que las prácticas involucran

varios elementos de manera simultánea en el quehacer didáctico del docente, quien por ejemplo

efectúa acciones para hacer valer las normas de un contrato didáctico que regula entre otras cosas

la actitud y comportamientos deseados de los estudiantes, la participación en el desarrollo y

socialización de las actividades, mientras él efectúa una explicación oral, gestiona la clase y

representa en el tablero o mimetiza por medio de gestos o movimientos de sus manos ideas,

problemas, aclaraciones u otro tipo de intervención. En conjunto aluden a una misma idea, pero

son prácticas distintas, algunas simbólicas, otras inferenciales o icónicas, de aquí que resultó

relevante para la recolección y sistematización de la información, acudir a videos y a la

observación directa de las prácticas del docente, así se logró tener una mirada holística de las

distintas acciones y discursos que reflejaban una relación con los significados de los objetos y

proceso matemáticos.

Las ventajas que provee un estudio como el que acá se reporta, redundan en conocimiento

práctico sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de los objetos matemáticos,

particularmente en lo que refiere al diseño, gestión y evaluación de tareas, que se materializa en

los instrumentos para el estudiante y las prácticas del docente. De lo anterior es posible generar

inferencias sobre los posteriores diseños que se requieren para abordar el objeto matemático, que

en primera instancia, deben marcar un camino o sistemas de prácticas que lleven de los procesos

y estrategias aplicados en la construcción de la puerta a la modelación matemática con expresiones

que representen cada una de las acciones o proposiciones realizadas, así mismo lograr incluir

aspectos como la determinación del límite de las sumas de Riemann, límite de la suma de infinitos

rectángulos de base infinitesimal, deducción de la integral definida para el problema en que se

está calculando y así acercar los significados implementados a los institucionales de referencia.

17 Es pertinente indagar por ejemplo, la formulación de objetivos, la planeación de la actividad, la socialización de

la guía, las preguntas orientadoras, las respuestas a inquietudes, la validación de procesos, estrategias y enunciados

formulados por las estudiantes.


111

En síntesis, se observa que el presente trabajo permite el estudio de los tipos de significado

institucional, partiendo de un especial cuidado con los textos definidos como informantes de las

prácticas del docente, pues debe ser sistemática y verídica la elección por parte del investigador,

de las fuentes de información que capturen la realidad en mayor medida. El sistema de categorías,

incluyendo los descriptores, ha permitido un proceso de recolección, organización, reducción,

sistematización y análisis de los tipos de significado en distintos niveles como descriptores que

conformaran los elementos primarios de significado.

La resolución de problemas de cálculo de áreas ha abierto la posibilidad de significar el

objeto matemático a partir de procedimientos, lenguaje y demás elementos de significado, de una

manera emergente que parte de la “exploración y acción dirigida” sobre las situaciones, hacia la

institucionalización de procesos y conceptos en distintos sistemas de registro con un creciente

nivel de complejidad y formalidad. El proceso de estudio, permite corroborar que las dificultades

que se producen en los estudiantes al iniciar el estudio de nociones relacionadas con la matemática

avanzada, se reducen al incluir representaciones motoras (Procesos físicos), icónicas (procesos

visuales), así como tres formas de representación simbólica: Verbal (descripción), Formal

(definición) y proceptual (dualidad proceso - objeto), corroborando el pronunciamiento de Tall

(2009), ya que a partir de estas prácticas, el docente ha reflejado los significados implementados,

optimizando la gestión de la clase en cuanto a la relación entre Saber, Docente y Estudiante.

Ya se han abordado los tipos de significado del objeto matemático asociados al proceso de

estudio, siendo pertinente señalar la potencialidad de las configuraciones parciales de integral

definida y el estudio sobre los fundamentos o ideas fuertes del cálculo integral, para caracterizar

los significados institucionales desde los elementos primarios. En término generales, se ha

evidenciado la resolución de problemas como integradora de distintos tipos de registros,

razonamientos y situaciones que relacionan campos del pensamiento matemático (Sub

pensamientos del pensamiento Lógico-Matemático). Representar y operar sobre funciones

escalonadas y/o poligonales para el cálculo de áreas, se convirtió en una herramienta para el trabajo

con funciones que modelan una curva, con ellas se promueven sistemas de prácticas oportunas

tanto para la comprensión de los procesos y conceptos matemáticos como para la gestión y

determinación de los elementos de significado, aterrizando un problema que habitualmente se


112

trabaja desde la formalidad y tratamiento simbólico de propiedades y relaciones a una serie de

situaciones que el docente puede relacionar con otros campos de las matemáticas abordados

durante la educación Básica y Media y con las comprensiones reales de los estudiantes.

En el cálculo integral, la idea fuerte lleva a evaluar la acumulación de áreas de rectángulos

como suma de los diferenciales sobre cadenas de intervalos como bases, multiplicados por la altura

𝑓(𝑥), evidenciado principalmente en los procedimientos y argumentos, en el ajuste progresivo de

las medidas de tablas rectangulares, hasta encontrar una agrupación de tablas que se aproxime

tanto como se quiera al área bajo la curva, desde el criterio de agotamiento de la superficie. Vasco

(2099) señala esto como sustento para significar la integral definida, posteriormente bastaría saber

la anti-derivada en los puntos superior e inferior de cada intervalo y evaluar la integral sobre cada

eslabón de la cadena. Para este autor “El trabajo conceptual con el límite desde lo intuitivo es

suficiente para el cálculo escolar, pues los refinamientos usuales no sólo son inútiles, sino

contraproducentes” (p. 93). Por lo tanto, es posible integrar el área bajo la curva, sin necesidad

de límites, pues el área del rectángulo a partir del cero es base por altura, donde la base es “𝑑𝑥” y

la altura es 𝑓(𝑥𝑖). Así la integral como acumulación (suma acumulada) lineal del área, involucra

la acumulación de áreas de “Rectangulitos”. La consideración de las nociones sobre las que reposa

el cálculo para la enseñanza de las matemáticas, ha permitido ver en el proceso de estudio la

invitación a que el estudiante diseñe –y no replique únicamente- técnicas asociadas a la medición,

estimación, aproximación y reconocimiento de la tendencia.

Previamente se ha señalado dentro de los antecedentes, que en el currículo habitual de

matemáticas para la educación media se da prioridad al uso excesivo de las técnicas algebraicas,

lo cual iba acompañado de un abandono de la resolución de problemas y el poco abordaje de los

fundamentos del cálculo. Ahora bien, los referentes teóricos y el propio estudio de los tipos de

significado implícitos en el proceso de estudio de los problemas de cálculo de áreas, dejan ver la

potencialidad que estos generan para abordar las ideas de aproximación y acumulación en

contextos donde interviene los demás campos de pensamiento de las matemáticas, poniendo en

juego tipos de registro gráfico, icónico, simbólico y tabular. Además, se ha evidenciado en los

procedimientos la emergencia de razonamientos diversos, que aun cuando se inicia de un mismo

enunciado problema, conduce a múltiples caminos de resolución, siempre alrededor de la


113

variación, covariación, acumulación, aproximación y representación de razonamientos más

cercanos al contexto de los estudiantes y al significado del objeto matemático pertinente para la

educación media, convirtiéndose además en base para profundizar y formalizar el objeto

matemático y campos de conocimiento consiguientes.

En consecuencia para el currículo asociado al cálculo en Educación Media, se puede considerar la

resolución de problemas de optimización, aproximación, números, funciones, de variaciones

discretas y continuas, incluso con ayudas y medios tecnológicos, como una posibilidad para

orientar la enseñanza de la integral desde los fundamentos e ideas fuertes. En cuanto al diseño y

gestión del proceso de estudio, partir de este tipo de problemas para el abordaje de la integral,

promueve la retroalimentación constante del docente hacia sus estudiantes, vinculando no solo

saberes previos, sino otros campos del conocimiento, contextos y situaciones reales o semireales.

Desde el presente trabajo, se espera haber aportado a la discusión propia de la enseñanza de la

integral definida en cuanto a los momentos de diseño y gestión de tareas, que puedan aportar a la

significación del objeto matemático, donde se ha hecho relevante, según el análisis propuesto por

este trabajo la resolución de problemas de cálculo de áreas en un proceso de estudio que considera

como recurso potencial para el análisis y la síntesis didáctica la identificación, descripción y

caracterización de los tipos de significado institucional.

5.1. REFLEXIONES: ALCANCES Y LIMITACIONES

- Los niveles del análisis didáctico reportados en el presente trabajo, relacionan la idea de sistemas

de prácticas, elementos primarios de significado, significados sistémicos, tipos de significado,

trayectorias didácticas y dimensiones del análisis didáctico, conceptos propuestos desde el

Enfoque Onto-Semiótico (EOS), que en general incluyen el estudio de la trayectoria epistémica y

los niveles de estudio de los sistemas de prácticas (reconocimiento de objetos y procesos) y de los

significados, soportados en el diseño metodológico del trabajo.

- La articulación metodológica entre el ACC, la TFD y el AST, es considerada en el sentido

propuesto por Lurduy (2012, 2013) sin desconocer su complejidad y haciendo una lectura

pertinente para dar cumplimiento a los propósitos del presente trabajo, por lo tanto es pertinente

aclarar que se da la identificación de textos y un tratamiento de la información de acuerdo al ACC

y la TFD. Por su parte, el Análisis Semiótico de Texto (AST) surge como herramienta para la


114

sistematización, categorización y análisis de los datos, en lo que refiere a la descripción de los

tipos de significado desde los elementos primarios y estos a su vez desde los descriptores índice,

icono y símbolo. Al describir los elementos de significado, se parte de la identificación de unidades

de análisis (de muestreo, de contexto y de registro) que reporten un tipo de práctica que se pueda

asociar a un tipo y elemento de significado, manifestados de acuerdo a los tres descriptores, donde

claramente representen la relación entre los fundamentos de la integral, la situación problema, la

unidad o fragmento de texto analizado y el signo en función del interpretante, es decir, la función

del segmento de texto para comunicar icónica, indicial o simbólicamente un elemento de

significado.

- El presente trabajo se constituye en una propuesta inicial de diseño de tareas para la enseñanza de

la integral, el cual ha sido estudiado desde un proceso de descripción y caracterización de los tipos

de significado institucional. Los alcances y limitaciones presentes, pueden ser retomadas en

posteriores estudios que validen, refuten o complementen los logros acá evidenciados, mediante

el abordaje a fondo de la gestión y evaluación de las tareas (considerando que el trabajo reportado

se fundamentó en el diseño y gestión) o construyendo un proceso de estudio que aborde las demás

dimensiones que el EOS considera dentro del análisis didáctico.

Además, es necesario pronunciar que a partir de este trabajo se producen unas conclusiones

parciales que pueden ser refutadas en investigaciones que tomen como punto de partida el proceso

de estudio acá referido, los problemas de cálculo de áreas y el análisis didáctico sobre las demás

dimensiones descritas por el EOS. Es también relevante distinguir que el presente trabajo ahondo

sobre los tipos de significado institucional en lo que concierne a la relación Docente –

Saber/Contexto/Estudiantes, por lo que es posible dar continuidad a este trabajo, mediante el

estudio centrado en el estudiante o el contexto, lo cual se puede complejizar, si además se proponen

diseños (secuencias didácticas, ingenierías, entre otros) más extensos o con otras miradas al objeto

matemático, posiblemente suplantando los problemas de cálculo de áreas como referente para la

instrucción de la integral definida.


115

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Andreu, J. (2007). Evolución de la teoría fundamentada como técnica de análisis cualitativo. Madrid: CIS.

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