SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 1

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

EXAMEN FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

1. Buscar los valores máximos o mínimos de las siguientes funciones

a) 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)2𝑒−𝑥

Buscamos la primera derivada

𝑓/(𝑥) = 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2

Igualamos la derivada a cero

𝑓/(𝑥) = 0

0 = 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2

Factorizamos

0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(2 − (1 + 𝑥))

0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(2 − 1 − 𝑥)

0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(1 − 𝑥)

Como el producto es igual a cero, se tiene

0 = (1 + 𝑥) ; 0 = 𝑒−𝑥 ; 0 = (1 − 𝑥)

Pero la función exponencial nunca es igual a cero ; 0 ≠ 𝑒−𝑥

0 = (1 + 𝑥) ; 0 = (1 − 𝑥)

Despejando la x , se tiene

𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1

Evaluamos la función en los puntos críticos

Si x= -1 𝑓(−1) = (1 − 1)2𝑒−(−1) = 0

Obtenemos el puno ( −1 , 0 )

Si x= 1 𝑓(1) = (1 + 1)2𝑒−1 = 4𝑒−1

Obtenemos el puno ( 1 , 𝑒−1 )

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 2

Buscamos la segunda derivada

𝑓//(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2 − 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥

𝑓//(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 4(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2

Evaluamos las segundas derivadas en los puntos encontrados para

x.

𝑆𝑖 𝑥 = −1

𝑓//(−1) = 2𝑒−(−1) − 4(1 − 1)𝑒−(−1) + 𝑒−(−1)(1 − 1)2

𝑓//(−1) = 2𝑒1 = 2𝑒 > 0

Luego en el punto ( −1 , 0 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑆𝑖 𝑥 = 1

𝑓//(1) = 2𝑒−1 − 4(1 + 1)𝑒−1 + 𝑒−1)(1 + 1)2

𝑓//(1) = 2𝑒−1 − 8𝑒−1 + 4𝑒−1 = −2𝑒−1 < 0

Luego en el punto ( 1 , 𝑒−1) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑏)𝑓(𝑥) = 𝑥4

4+

2𝑥3

3−

𝑥2

2− 2𝑥

Buscamos la primera derivada

𝑓/(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2

Igualamos la derivada a cero

𝑓/(𝑥) = 0

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 3

0 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2

Factorizamos

0 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

Como el producto es igual a cero, se tiene

0 = 𝑥 + 1 ; 0 = 𝑥 − 1 ; 0 = 𝑥 + 2

Despejando la x , se tiene

𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1 ; 𝑥 = −2

Evaluamos la función en los puntos críticos

𝑆𝑖 𝑥 = −1 𝑓(−1) = (−1)4

4+

2(−1)3

3−

(−1)2

2− 2(−1)

𝑓(−1) = 1

4−

2

3−

1

2+ 2 =

13

12

Obtenemos el punto (−1,13

12 )

𝑆𝑖 𝑥 = 1 𝑓(1) = (1)4

4+

2(1)3

3−

(1)2

2− 2(1)

𝑓(1) = 1

4+

2

3−

1

2− 2 =

13

12

Obtenemos el punto (1,−19

12 )

𝑆𝑖 𝑥 = 2 𝑓(−2) = (−2)4

4+

2(2)3

3−

(2)2

2− 2(−2)

𝑓(1) = 4 −16

3− 2 + 4 =

2

3

Obtenemos el punto (−2,2

3 )

Buscamos la segunda derivada

𝑓/(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑓//(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 − 1

Evaluamos las segundas derivadas en los puntos encontrados para

x.

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 4

𝑆𝑖 𝑥 = −1

𝑓//(−1) = 3(−1)2 + 4(−1) − 1

𝑓//(−1) = 3 − 4 − 1 = −2 < 0

Luego en el punto ( −1 ,13

12 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑆𝑖 𝑥 = 1

𝑓//(1) = 3(1)2 + 4(1) − 1

𝑓//(−1) = 3 + 4 − 1 = 6 > 0

Luego en el punto ( −1 ,−19

12 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑆𝑖 𝑥 = −2

𝑓//(−2) = 3(−2)2 − 4(2) − 1

𝑓//(−2) = 12 − 8 − 1 = 3 < 0

Luego en el punto (−2 ,2

3 ) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 5

2. Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de

20 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛. La altura del montón es siempre igual al radio de la base.

Cuando el montón tiene 3 metros de radio, conque rapidez está aumentando

la altura

El volumen del montón de arena, es igual al volumen de un cono

𝑉 = 1

3𝜋𝑟2ℎ

Pero como h = r

𝑉 = 1

3𝜋ℎ2ℎ

𝑉 = 1

3𝜋ℎ3

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑𝑉

𝑑ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑡

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝜋ℎ2

𝑑ℎ

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=

𝑑𝑉𝑑𝑡⁄

𝜋ℎ2

Cuando r = 3 metros

𝑑ℎ

𝑑𝑡=

20 𝑐𝑚3

𝑚𝑖𝑛⁄

𝜋(300𝑐𝑚)2

𝑑ℎ

𝑑𝑡=

20 𝑐𝑚3

𝑚𝑖𝑛⁄

90000𝜋 𝑐𝑚2=

1

4500𝜋

𝑐𝑚

𝑚𝑖𝑛

r

h

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 20 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 6

3. A) Determinar el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados,

inscrito en la elipse de ecuación 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1 , y que tenga área máxima.

Graficamos el enunciado del problema

La base del rectángulo es 2x y la altura es 2y

El área del rectángulo es

𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

𝐴 = (2𝑥)(2𝑦) = 4𝑥𝑦

𝐴 = 4𝑥 (𝑏 ∗ √1 −𝑥2

𝑎2)

𝐴 = 4𝑏𝑥 (√1 −𝑥2

𝑎2)

Buscamos la primera derivada

𝐴/ = 4𝑏 (√1 −𝑥2

𝑎2) + 4𝑏𝑥 (

−2𝑥

𝑎2) (1 −

𝑥2

𝑎2)

−1/2

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 7

𝐴/ = 4𝑏 (√1 −𝑥2

𝑎2) +

4𝑏𝑥 (−2𝑥𝑎2 )

(1 −𝑥2

𝑎2)1/2

𝐴/ =4𝑏 (1 −

𝑥2

𝑎2) −8𝑏𝑥2

𝑎2

(1 −𝑥2

𝑎2)1/2

𝐴/ =4𝑏 −

4𝑏𝑥2

𝑎2 −8𝑏𝑥2

𝑎2

(1 −𝑥2

𝑎2)1/2

𝐴/ =4𝑏 −

12𝑏𝑥2

𝑎2

(1 −𝑥2

𝑎2)1/2

Igualando la derivada a cero, se tiene

4𝑏 −12𝑏𝑥2

𝑎2= 0

Despejando x,

4𝑏 =12𝑏𝑥2

𝑎2

4𝑏𝑎2 = 12𝑏𝑥2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 4𝑏

𝑎2 = 3𝑥2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 𝑎√3

3

Buscamos el valor de y

𝑦 = 𝑏√1 −𝑥2

𝑎2= 𝑏√1 −

1

3= √

2

3𝑏

Luego

𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2√3

3𝑎 , 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2√

2

3𝑏

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 8

B) Se desea construir una ventana con forma de rectángulo coronado de un

semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo. Pondremos cristal

blanco en la parte rectangular y cristal de color en el semicírculo. Sabiendo

que el cristal coloreado deja pasar la mitad de luz (por unidad de superficie)

que el blanco, calcular las dimensiones de la ventana para conseguir la

máxima luminosidad si se ha de mantener un perímetro constante dado.

𝐴 = 𝐴𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

𝐴 = 𝑥𝑦 +𝜋𝑅2

2

𝐴 = 𝑥𝑦 +𝜋 (

𝑥2

)2

2

𝐴 = 𝑥𝑦 +𝜋𝑥2

8

El perímetro es

𝑃 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑅

𝑃 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑥

2

𝑃 = (1 +𝜋

2) 𝑥 + 2𝑦

x

y

R=x/2

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 9

𝑃 − (1 +𝜋

2) 𝑥 = 2𝑦

𝑃

2− (1 +

𝜋

2)

𝑥

2= 𝑦

𝐴 = 𝑥 (𝑃

2− (1 +

𝜋

2)

𝑥

2) +

𝜋𝑥2

8

𝐴 =𝑥𝑃

2− (1 +

𝜋

2)

𝑥2

2+

𝜋𝑥2

8

Derivando

𝐴/ =𝑃

2− (1 +

𝜋

2) 𝑥 +

𝜋𝑥

4

𝐴/ =𝑃

2− (1 +

𝜋

2−

𝜋

4) 𝑥

𝐴/ =𝑃

2− (1 +

𝜋

2) 𝑥

Igualando la derivada a cero

0 =𝑃

2− (1 +

𝜋

2) 𝑥

𝑃

2= (1 +

𝜋

2) 𝑥

Despejando x

𝑥 =𝑃

2 (1 +𝜋2

)=

𝑃

2 + 𝜋

4) A) Determine la derivada implícita de

3𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑒2𝑥𝑦 + 𝐿𝑛(3𝑥 + 2𝑦) = 4

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 10

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑑𝑓𝑑𝑥𝑑𝑓𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

6𝑥𝑦2 + 𝑒2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑒2𝑥𝑦 +3

3𝑥 + 2𝑦

6𝑥2𝑦 + 4𝑥2 +2

3𝑥 + 2𝑦

B) Determine 𝑑𝑓

𝑑𝑡 si

𝑓(𝑥) = 𝑇𝑎𝑛−1(2𝑥) + 𝐶𝑜𝑠ℎ(3𝑥) + 𝑥3 ; 𝑥(𝑡) = 𝐿𝑛(𝑒4𝑡2)

Reescribimos la función x(t)

𝑥(𝑡) = 𝐿𝑛(𝑒4𝑡2) = 4𝑡2𝐿𝑛𝑒 = 4𝑡2

𝑑𝑓

𝑑𝑥=

2

1 + (2𝑥)2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3𝑥) + 3𝑥2

𝑑𝑓

𝑑𝑥=

2

1 + 4𝑥2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3𝑥) + 3𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 8𝑡

Como la regla de la cadena es

𝑑𝑓

𝑑𝑡=

𝑑𝑓

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑓

𝑑𝑡= (

2

1 + 4𝑥2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3𝑥) + 3𝑥2) 8𝑡

𝑑𝑓

𝑑𝑡= (

2

1 + 4(4𝑡2)2+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(3(4𝑡2) + 3(4𝑡2)2) 8𝑡

𝑑𝑓

𝑑𝑡= (

2

1 + 64𝑡4+ 3𝑆𝑒𝑛ℎ(12𝑡2) + 48𝑡4) 8𝑡

𝑑𝑓

𝑑𝑡=

16𝑡

1 + 64𝑡4+ 24𝑡𝑆𝑒𝑛ℎ(12𝑡2) + 384𝑡5

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 11

5) A) Encuentre la derivada de las siguientes funciones

𝐴1) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑒𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑒𝐿𝑛(𝐶𝑜𝑠3𝑥) + 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥

Reescribimos la función aplicando las propiedades de los

logaritmos

𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑒𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑒𝐿𝑛(𝐶𝑜𝑠3𝑥) + 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶𝑜𝑠3𝑥 + 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥

𝑓/(𝑥) = 3𝐶𝑜𝑠3𝑥 − 3𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑆𝑒𝑐2𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥 + 2𝑇𝑎𝑛𝑥𝑇𝑎𝑛2𝑥𝑆𝑒𝑐2𝑥

𝐴2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛√

(2𝑥 + 3)3

(3𝑥 − 2)5

Reescribimos la función aplicando las propiedades de los

logaritmos

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛√

(2𝑥 + 3)3

(3𝑥 − 2)5

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛 (

(2𝑥 + 3)3/2

(3𝑥 − 2)5/2)

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+ 𝐿𝑛(2𝑥 + 3)3/2 − 𝐿𝑛(3𝑥 − 2)5/2

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥+

3

2𝐿𝑛(2𝑥 + 3) −

5

2𝐿𝑛(3𝑥 − 2)

Derivando

𝑓/(𝑥) =(1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥) − (𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑆𝑒𝑛𝑥)

(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)2+

2

3∗

2

2𝑥 + 3−

5

3∗

3

3𝑥 − 2

𝑓/(𝑥) =(1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥) − (𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑆𝑒𝑛𝑥)

(𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)2+

4

6𝑥 + 9−

15

9𝑥 − 6

B) encuentre el valor de los siguientes límites

SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 12

𝐵1) lim𝑥→∞

3𝑥4 + 2𝑥2

4𝑥3 + 5

Verificamos si está en la forma indeterminada

lim𝑥→∞

3𝑥4 + 2𝑥2

4𝑥3 + 5=

3∞ + 2∞

4∞ + 5

Aplicando la regla de L´hopital

lim𝑥→∞

3𝑥4 + 2𝑥2

4𝑥3 + 5= lim

𝑥→∞

12𝑥3 + 4𝑥

12𝑥2

lim𝑥→∞

3𝑥4 + 2𝑥2

4𝑥3 + 5= lim

𝑥→∞

36𝑥2 + 4

24𝑥

lim𝑥→∞

3𝑥4 + 2𝑥2

4𝑥3 + 5= lim

𝑥→∞

72𝑥

24= ∞

𝐵2) lim𝑥→2

𝑥3 − 8

√𝑥 − √2

Verificamos si está en la forma indeterminada

lim𝑥→2

𝑥3 − 8

√𝑥 − √2=

23 − 8

√2 − √2=

8 − 8

0=

0

0

Aplicando la regla de L´hopital

lim𝑥→2

𝑥3 − 8

√𝑥 − √2= lim

𝑥→2

3𝑥2

1

√𝑥

= lim𝑥→2

3𝑥2√𝑥 = 3 ∗ 22 ∗ √2

lim𝑥→2

𝑥3 − 8

√𝑥 − √2= 12√2