Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Curvas de Bézier

۸Pierre Bézier, ingeniero francés, desarrolló este método de aproximación de splines para utilizarlo en el diseño de las carrocerías de los automóviles Renault.

۸Es una curva suave que conecta puntos separados (es decir, calcula o interpola los puntos intermedios) . Una part de la curva se puede ajustar a cualquier numero de puntos de control.

۸Para curvas generales de Bézier, la especificación más conveniente es la función de combinación.

۸El grado del polinomio de control de Bézier se determina con el númerode puntos de control que hay que aproximar y con su posición relativa.

Propiedades de las curvas de Bézier

Una Propiedad útil es que la curva une el primer punto de control con el último, por tanto:

Toda Curva de Bézier se encuentra dentro del armazón convexo de los puntos de control. Esto se deriva de que las funciones de combinación de Bézier son todas positivas y su suma es siempre 1

Suponga que tenemos n + 1 posiciones de puntos de control:

con k en el rango de 0 a n. Es posible combinar estos puntos de coordenadas

para producir el siguiente vector de posición que describe la trayectoria

de una función polinómica de Bézier aproximada entre y

Ésta ecuación vectorial representa un conjunto de

tres ecuaciones paramétricas para las coordenadas individuales de la curva:

Las funciones de combinación de Bézier son los

polinomios de Bernstein:

Ejemplo de una curva de Bézier cuadrática

Dados los puntos , y ; encontrar el

polígono de control .

Solución: Calculando los polinomios de Bernstein se tiene que:

Ahora si , entonces

Evaluando desde un tiempo hasta se obtiene la curva

Siguiente:

Ejemplos de curvas de Bézier

Curva de Bézier cerrada que se genera al especificar el primero y el último punto de control en la misma posición.

Curva lineal

Curva cuadrática

Curva cúbica

Curva de cuarto orden