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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemaacutetica
INFORME DE SUFICIENCIA
PARA OPTAR EL TITULO PROFESIONAL DE
LICENCIADO EN MATEMAacuteTICA
Titulado
Resolucioacuten Numeacuterica de 1^ Ecuaciones de Navier Stokes
Presentado por
Angela Peacuterez Tinoco
Asesor
William Echegaray Castillo
LIMA-PERU
2011
D edicatoria
A mis padres esposo e hijos porque muchas
de estas paacuteginas estariaacuten vaciacute^ sino hubiera
sido por su constante dedicacioacuten a ayudarme
a concluir esta meta tan importante gracia
A gradecim ientos
Un sincero agradecimiento a mi profesor William y a mi amigo Viacutector por todo
el tiempo que me han dado por sus sugerencias e ideas de 1^ que tanto provecho he
sacado por el respaldo y la amistad No puedo olvidar a mis compantildeeros y amigos con
los cuales he compartido incontables horas de estudio G racia por los buenos y malos
momentos por apoyarme y escucharme
R esum en
En el presente trabajo mostramos un estudio detallado de las ecuaciones que gobiershy
nan el movimiento de un fluido y en particular para uno que es viscoso e incompresible
estas ecuaciones son las que llamaremos ecuaciones de Navier Stokes
En este camino realizoacutelos una breve resentildea histoacuterica de la Mecaacutenica de fluidos
estudiamos las propiedades de los fluidos y de los flujos de fluidos describiendo y anashy
lizando estos uacuteltimos
Las ecuaciones que estudian el movimiento de los fluidos fueron un aspecto imporshy
tante de estudio de este trabajo las ecuaciones de Euler y despueacutes las ecuaciones de
Navier Stokes buscaron sentar las bases para posteriores estudios sobre fluidos
Un meacutetodo numeacuterico apropiado para solucionar ecuaciones de Navier Stokes incomshy
prensibles es el Meacutetodo de Proyeccioacuten de Paso Fracional propuesto por Chorin y que
consiste en desacoplar el problema en una solucioacuten para la velocidad y otra para la
presioacuten
Finalmente se exponen herramientas desarrolladas para la solucioacuten de problema
de fluidos viscosos bajo reacutegimen de flujo incompresible en dos dimensiones Dichas
herramientas han sido generadas aplicando el meacutetodo de diferencia y programadas en
Matlab Esto permitiraacute extender en un futuro de manera directa el rango de problema
a solucionar
amp ^
Indice general
1 In trodu ccioacuten 1
2 C onceptos fundam entales de la m ecaacutenica de flu idos 4
21 Introduccioacuten yf 4
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 4
23 Conceptos fundamentales de los flu idos 9
231 Fluidos - D efinicioacuten 9
232 Los fluidos y la hipoacutetesis del c o n tin u o luuml
233 Propiedades de los f lu id o s 11
24 Conceptos fundamentales para el anaacutelisis de flujos 13
241 Propiedades del f lu jo 13
242 Descripcioacuten del flujo de fluidos t bdquo 15
243 Anaacutelisis del flujo de fluidos 18
3 Las E cuaciones del M ovim iento 22
31 Ecuaciones de Euler 22
311 Conservacioacuten de Masa 24
312 Balance de Momentum 25
313 Conservacioacuten de E nergiacutea 32
32 Ecuaciones de Navier S tokes 34
4 M eacutetod o del P aso Igtaccional 38
v
41 Introduccioacuten bdquo 38
411 Teorema de Ladyzhenskaya 40
42 Meacutetodo de Proyeccioacuten de paso fraccional 43
421 Condiciones de ftontera Homogeacuteneas44
422 Condiciones de Frontera No Homogeacutenea 44
43 Implementacioacuten del Meacutetodo de Paso F raccional 49
5 C onclusiones 53
A Teorem as y defin iciones 54
B P rob lem as en E cuaciones D iferenciales P a c iacutea le s 57
Bl Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas 58
B ll Forma General de una EDP Eliacuteptica 58
B2 Discretizacioacuten de una EDP Eliacuteptica en Diferencias Finitas 60
B21 Aproximacioacuten en las E squinas 69
C Coacutedigo M eacuteto d o del P aso Fraccional 71
B ib liografiacutea 72
VI
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
D edicatoria
A mis padres esposo e hijos porque muchas
de estas paacuteginas estariaacuten vaciacute^ sino hubiera
sido por su constante dedicacioacuten a ayudarme
a concluir esta meta tan importante gracia
A gradecim ientos
Un sincero agradecimiento a mi profesor William y a mi amigo Viacutector por todo
el tiempo que me han dado por sus sugerencias e ideas de 1^ que tanto provecho he
sacado por el respaldo y la amistad No puedo olvidar a mis compantildeeros y amigos con
los cuales he compartido incontables horas de estudio G racia por los buenos y malos
momentos por apoyarme y escucharme
R esum en
En el presente trabajo mostramos un estudio detallado de las ecuaciones que gobiershy
nan el movimiento de un fluido y en particular para uno que es viscoso e incompresible
estas ecuaciones son las que llamaremos ecuaciones de Navier Stokes
En este camino realizoacutelos una breve resentildea histoacuterica de la Mecaacutenica de fluidos
estudiamos las propiedades de los fluidos y de los flujos de fluidos describiendo y anashy
lizando estos uacuteltimos
Las ecuaciones que estudian el movimiento de los fluidos fueron un aspecto imporshy
tante de estudio de este trabajo las ecuaciones de Euler y despueacutes las ecuaciones de
Navier Stokes buscaron sentar las bases para posteriores estudios sobre fluidos
Un meacutetodo numeacuterico apropiado para solucionar ecuaciones de Navier Stokes incomshy
prensibles es el Meacutetodo de Proyeccioacuten de Paso Fracional propuesto por Chorin y que
consiste en desacoplar el problema en una solucioacuten para la velocidad y otra para la
presioacuten
Finalmente se exponen herramientas desarrolladas para la solucioacuten de problema
de fluidos viscosos bajo reacutegimen de flujo incompresible en dos dimensiones Dichas
herramientas han sido generadas aplicando el meacutetodo de diferencia y programadas en
Matlab Esto permitiraacute extender en un futuro de manera directa el rango de problema
a solucionar
amp ^
Indice general
1 In trodu ccioacuten 1
2 C onceptos fundam entales de la m ecaacutenica de flu idos 4
21 Introduccioacuten yf 4
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 4
23 Conceptos fundamentales de los flu idos 9
231 Fluidos - D efinicioacuten 9
232 Los fluidos y la hipoacutetesis del c o n tin u o luuml
233 Propiedades de los f lu id o s 11
24 Conceptos fundamentales para el anaacutelisis de flujos 13
241 Propiedades del f lu jo 13
242 Descripcioacuten del flujo de fluidos t bdquo 15
243 Anaacutelisis del flujo de fluidos 18
3 Las E cuaciones del M ovim iento 22
31 Ecuaciones de Euler 22
311 Conservacioacuten de Masa 24
312 Balance de Momentum 25
313 Conservacioacuten de E nergiacutea 32
32 Ecuaciones de Navier S tokes 34
4 M eacutetod o del P aso Igtaccional 38
v
41 Introduccioacuten bdquo 38
411 Teorema de Ladyzhenskaya 40
42 Meacutetodo de Proyeccioacuten de paso fraccional 43
421 Condiciones de ftontera Homogeacuteneas44
422 Condiciones de Frontera No Homogeacutenea 44
43 Implementacioacuten del Meacutetodo de Paso F raccional 49
5 C onclusiones 53
A Teorem as y defin iciones 54
B P rob lem as en E cuaciones D iferenciales P a c iacutea le s 57
Bl Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas 58
B ll Forma General de una EDP Eliacuteptica 58
B2 Discretizacioacuten de una EDP Eliacuteptica en Diferencias Finitas 60
B21 Aproximacioacuten en las E squinas 69
C Coacutedigo M eacuteto d o del P aso Fraccional 71
B ib liografiacutea 72
VI
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
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de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
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las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
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La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
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fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
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partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
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como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
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Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
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tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
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los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
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El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
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estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
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1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
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La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
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Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
A gradecim ientos
Un sincero agradecimiento a mi profesor William y a mi amigo Viacutector por todo
el tiempo que me han dado por sus sugerencias e ideas de 1^ que tanto provecho he
sacado por el respaldo y la amistad No puedo olvidar a mis compantildeeros y amigos con
los cuales he compartido incontables horas de estudio G racia por los buenos y malos
momentos por apoyarme y escucharme
R esum en
En el presente trabajo mostramos un estudio detallado de las ecuaciones que gobiershy
nan el movimiento de un fluido y en particular para uno que es viscoso e incompresible
estas ecuaciones son las que llamaremos ecuaciones de Navier Stokes
En este camino realizoacutelos una breve resentildea histoacuterica de la Mecaacutenica de fluidos
estudiamos las propiedades de los fluidos y de los flujos de fluidos describiendo y anashy
lizando estos uacuteltimos
Las ecuaciones que estudian el movimiento de los fluidos fueron un aspecto imporshy
tante de estudio de este trabajo las ecuaciones de Euler y despueacutes las ecuaciones de
Navier Stokes buscaron sentar las bases para posteriores estudios sobre fluidos
Un meacutetodo numeacuterico apropiado para solucionar ecuaciones de Navier Stokes incomshy
prensibles es el Meacutetodo de Proyeccioacuten de Paso Fracional propuesto por Chorin y que
consiste en desacoplar el problema en una solucioacuten para la velocidad y otra para la
presioacuten
Finalmente se exponen herramientas desarrolladas para la solucioacuten de problema
de fluidos viscosos bajo reacutegimen de flujo incompresible en dos dimensiones Dichas
herramientas han sido generadas aplicando el meacutetodo de diferencia y programadas en
Matlab Esto permitiraacute extender en un futuro de manera directa el rango de problema
a solucionar
amp ^
Indice general
1 In trodu ccioacuten 1
2 C onceptos fundam entales de la m ecaacutenica de flu idos 4
21 Introduccioacuten yf 4
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 4
23 Conceptos fundamentales de los flu idos 9
231 Fluidos - D efinicioacuten 9
232 Los fluidos y la hipoacutetesis del c o n tin u o luuml
233 Propiedades de los f lu id o s 11
24 Conceptos fundamentales para el anaacutelisis de flujos 13
241 Propiedades del f lu jo 13
242 Descripcioacuten del flujo de fluidos t bdquo 15
243 Anaacutelisis del flujo de fluidos 18
3 Las E cuaciones del M ovim iento 22
31 Ecuaciones de Euler 22
311 Conservacioacuten de Masa 24
312 Balance de Momentum 25
313 Conservacioacuten de E nergiacutea 32
32 Ecuaciones de Navier S tokes 34
4 M eacutetod o del P aso Igtaccional 38
v
41 Introduccioacuten bdquo 38
411 Teorema de Ladyzhenskaya 40
42 Meacutetodo de Proyeccioacuten de paso fraccional 43
421 Condiciones de ftontera Homogeacuteneas44
422 Condiciones de Frontera No Homogeacutenea 44
43 Implementacioacuten del Meacutetodo de Paso F raccional 49
5 C onclusiones 53
A Teorem as y defin iciones 54
B P rob lem as en E cuaciones D iferenciales P a c iacutea le s 57
Bl Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas 58
B ll Forma General de una EDP Eliacuteptica 58
B2 Discretizacioacuten de una EDP Eliacuteptica en Diferencias Finitas 60
B21 Aproximacioacuten en las E squinas 69
C Coacutedigo M eacuteto d o del P aso Fraccional 71
B ib liografiacutea 72
VI
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
R esum en
En el presente trabajo mostramos un estudio detallado de las ecuaciones que gobiershy
nan el movimiento de un fluido y en particular para uno que es viscoso e incompresible
estas ecuaciones son las que llamaremos ecuaciones de Navier Stokes
En este camino realizoacutelos una breve resentildea histoacuterica de la Mecaacutenica de fluidos
estudiamos las propiedades de los fluidos y de los flujos de fluidos describiendo y anashy
lizando estos uacuteltimos
Las ecuaciones que estudian el movimiento de los fluidos fueron un aspecto imporshy
tante de estudio de este trabajo las ecuaciones de Euler y despueacutes las ecuaciones de
Navier Stokes buscaron sentar las bases para posteriores estudios sobre fluidos
Un meacutetodo numeacuterico apropiado para solucionar ecuaciones de Navier Stokes incomshy
prensibles es el Meacutetodo de Proyeccioacuten de Paso Fracional propuesto por Chorin y que
consiste en desacoplar el problema en una solucioacuten para la velocidad y otra para la
presioacuten
Finalmente se exponen herramientas desarrolladas para la solucioacuten de problema
de fluidos viscosos bajo reacutegimen de flujo incompresible en dos dimensiones Dichas
herramientas han sido generadas aplicando el meacutetodo de diferencia y programadas en
Matlab Esto permitiraacute extender en un futuro de manera directa el rango de problema
a solucionar
amp ^
Indice general
1 In trodu ccioacuten 1
2 C onceptos fundam entales de la m ecaacutenica de flu idos 4
21 Introduccioacuten yf 4
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 4
23 Conceptos fundamentales de los flu idos 9
231 Fluidos - D efinicioacuten 9
232 Los fluidos y la hipoacutetesis del c o n tin u o luuml
233 Propiedades de los f lu id o s 11
24 Conceptos fundamentales para el anaacutelisis de flujos 13
241 Propiedades del f lu jo 13
242 Descripcioacuten del flujo de fluidos t bdquo 15
243 Anaacutelisis del flujo de fluidos 18
3 Las E cuaciones del M ovim iento 22
31 Ecuaciones de Euler 22
311 Conservacioacuten de Masa 24
312 Balance de Momentum 25
313 Conservacioacuten de E nergiacutea 32
32 Ecuaciones de Navier S tokes 34
4 M eacutetod o del P aso Igtaccional 38
v
41 Introduccioacuten bdquo 38
411 Teorema de Ladyzhenskaya 40
42 Meacutetodo de Proyeccioacuten de paso fraccional 43
421 Condiciones de ftontera Homogeacuteneas44
422 Condiciones de Frontera No Homogeacutenea 44
43 Implementacioacuten del Meacutetodo de Paso F raccional 49
5 C onclusiones 53
A Teorem as y defin iciones 54
B P rob lem as en E cuaciones D iferenciales P a c iacutea le s 57
Bl Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas 58
B ll Forma General de una EDP Eliacuteptica 58
B2 Discretizacioacuten de una EDP Eliacuteptica en Diferencias Finitas 60
B21 Aproximacioacuten en las E squinas 69
C Coacutedigo M eacuteto d o del P aso Fraccional 71
B ib liografiacutea 72
VI
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
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como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
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estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
amp ^
Indice general
1 In trodu ccioacuten 1
2 C onceptos fundam entales de la m ecaacutenica de flu idos 4
21 Introduccioacuten yf 4
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 4
23 Conceptos fundamentales de los flu idos 9
231 Fluidos - D efinicioacuten 9
232 Los fluidos y la hipoacutetesis del c o n tin u o luuml
233 Propiedades de los f lu id o s 11
24 Conceptos fundamentales para el anaacutelisis de flujos 13
241 Propiedades del f lu jo 13
242 Descripcioacuten del flujo de fluidos t bdquo 15
243 Anaacutelisis del flujo de fluidos 18
3 Las E cuaciones del M ovim iento 22
31 Ecuaciones de Euler 22
311 Conservacioacuten de Masa 24
312 Balance de Momentum 25
313 Conservacioacuten de E nergiacutea 32
32 Ecuaciones de Navier S tokes 34
4 M eacutetod o del P aso Igtaccional 38
v
41 Introduccioacuten bdquo 38
411 Teorema de Ladyzhenskaya 40
42 Meacutetodo de Proyeccioacuten de paso fraccional 43
421 Condiciones de ftontera Homogeacuteneas44
422 Condiciones de Frontera No Homogeacutenea 44
43 Implementacioacuten del Meacutetodo de Paso F raccional 49
5 C onclusiones 53
A Teorem as y defin iciones 54
B P rob lem as en E cuaciones D iferenciales P a c iacutea le s 57
Bl Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas 58
B ll Forma General de una EDP Eliacuteptica 58
B2 Discretizacioacuten de una EDP Eliacuteptica en Diferencias Finitas 60
B21 Aproximacioacuten en las E squinas 69
C Coacutedigo M eacuteto d o del P aso Fraccional 71
B ib liografiacutea 72
VI
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
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ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
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fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
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Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
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Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
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de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
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las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
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La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
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fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
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partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
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como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
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Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
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tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
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El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
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estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
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1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
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La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
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1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
41 Introduccioacuten bdquo 38
411 Teorema de Ladyzhenskaya 40
42 Meacutetodo de Proyeccioacuten de paso fraccional 43
421 Condiciones de ftontera Homogeacuteneas44
422 Condiciones de Frontera No Homogeacutenea 44
43 Implementacioacuten del Meacutetodo de Paso F raccional 49
5 C onclusiones 53
A Teorem as y defin iciones 54
B P rob lem as en E cuaciones D iferenciales P a c iacutea le s 57
Bl Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas 58
B ll Forma General de una EDP Eliacuteptica 58
B2 Discretizacioacuten de una EDP Eliacuteptica en Diferencias Finitas 60
B21 Aproximacioacuten en las E squinas 69
C Coacutedigo M eacuteto d o del P aso Fraccional 71
B ib liografiacutea 72
VI
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Indice de figuras
21 Aspectos Histoacutericos 6
22 Aspectos Histoacutericos bdquo 7
23 Los fluidos y la hipoacutetesis del continuo 10
24 Propiedades del f lu jo 14
25 Propiedades del f lujo 15
31 Ecuaciones de Euler 25
32 Ecuaciones de Euler 25
33 Ecuaciones de Euler 27
34 Ecuaciones de Euler 29
35 Las moleacuteculas m aacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S 35
41 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal en el m eacutetodo del paso
fraccional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas 44
42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descomposicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente analizando la imshy
posicioacuten de condiciones de fron tera no hom ogeacuteneas sobre la
velocidad n o r m a l 46
43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proshy
yeccioacuten ortogonal en presencia de fron teras 47
44 C onstruccioacuten de un campo solenoidal satisfaciendo las condishy
ciones de fron tera no hom ogeacuteneas p a ra la com ponente norm al 48
VII
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
45 Ilustracioacuten detallada de la construccioacuten del campo solenoidal
satisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no hom ogeacuteneas
- r 49
46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de f r o n t e r a s ^ 50
Bl to n te ra Inferior 63
B2 to n te ra Izquierda 65
B3 to n te ra Superior 66
B4 to n te ra Derecha 68
vili
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
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1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
Este trabajo consiste en el estudio y resolucioacuten de las ecuaciones de Navier Stokes
para fluidos viscosos e incompresibles utilizando meacutetodos numeacutericos Para esto presenshy
t a o s una introduccioacuten a los fundamentos de la Mecaacutenica de Fluidos Ademaacutes de todos
los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones manteniendo siempre
el nivel introductorio Nos concentraos en el estudio de la cinemaacutetica y dinaacutemica de
un fluido en movimiento h ^ ta llegar a las ecuaciones para un fluido Newtoniano o
ecuaciones de Navier Stokes
El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mecaacutenica de Fluidos para
quienes necesiten estudiar temas maacutes avanzados y no hayan realizado un primer curso
formal sobre Mecaacutenica de Fluidos
Otro ^pecto interesante que incluye este trabajo es el de la historia de la Mecaacutenica
de Fluidos esto nos ayudoacute a tener una ubicacioacuten en el tiempo de sus conocimientos y
tambieacuten sirvioacute para dar reconocimiento a los cientiacuteficos que han realizado contribuciones
a la misma En primer lugar digamos que la fostoria de la Mecaacutenica de Fluidos es
paralela a la historia de la civilizacioacuten Y esto ha ocurrido ^iexcliacute dada la importancia que
tienen algunos fluidos en el desarrollo de la vida como lo es el agua por ejemplo
En eacutesta resentildea histoacuterica uno de los personajes a los que dedicaremos parte de este
estudio es Leonardo Euler quien es considerado el gran arquitecto de gran parte de la
1
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
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ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
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fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
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Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
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Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
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de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
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las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
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La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
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fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
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Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
matemaacutetica que se usa actualmente y del modelo matemaacutetico de la dinaacutemica de fluishy
dos para fluidos ideales Otro personaje importante fue Claude Xavier quien primero
presentoacute las ecuaciones conocida como de Navier-Stokes Es interesante comentar que
Navier al presentar esas ecuaciones considerada una de las mayores contribuciones
a la ciencia llamoacute la atencioacuten en su presentacioacuten expresando que quizaacute 1^ mismas
no fuesen nada nuevo porque en realidad usaba el concepto propuesto por N e^on
para tratar los efectos de la viscosidad Finalmente sin dud^ hay que citar a quien
llegoacute tiempo despueacutes a las m ism ^ ecuaciones por un camino diferente George Stokes
realizoacute 1^ hipoacutetesis de las sustancia que hoy en diacutea se modelan con 1^ ecuaciones de
Xavier-Stokes Y de ahiacute que las mismas reciban el nombre de Navier-Stokes
En esta primera parte tambieacuten despueacutes de definir lo que es un fluido se define el
significado de teoriacutea del continuo Una de las hipoacutetesis maacutes importante en Mecaacutenica
de Fluidos es la de continuidad de la materia A simple vista el agua en un vaso se nos
presenta como una masa continua sin discontinuidades Esta es la visioacuten macroscoacutepica
de la materia No obstante se sabe que la misma estaacute conformada por moleacuteculas eacutestas
por aacutetomos y eacutestos uacuteltimos por partiacuteculas subatoacutemicas las cuales ocupan una porcioacuten
reducida del espacio vaciacuteo Es decir que la materia no es continua Sin embargo muchos
caacutelculos en ingenieriacutea como los relacionados con las fuerza de arrastre de un flujo sobre
un cuerpo la transferencia de calor desde un soacutelido hacia un fluido en movimiento entre
otros ejemplos no necesitan del detalle molecular ni atoacutemico de la materia sino de su
efecto medio Es decir se emplea una visioacuten macroscoacutepica de la materia o modelo de
comportamiento macroscoacutepico el cual no hace referencia a la estructura molecular A
dicho modelo se lo conoce como mecaacutenica del continuo o teoriacutea del continuo
En el Capiacutetulo 3 estudiaremos las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un
fluido a partir de la ley de conservacioacuten (le m ^a balance de momentum y conservacioacuten
de energiacutea ademaacutes realizaremos un estudio inicial de las ecuaciones de Navier Stoke
En el Capiacutetulo 4 di cretizaremos 1^ ecuaciones de Navier Stokes para su posterior
resolucioacuten numeacuterica utilizando el meacutetodo de paso fraccional
El desacoplamiento de la presioacuten y la velocidad en la aproximacioacuten numeacuterica de las
2
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
ecuaciones de Xavier-Stokes para flujo incompresible se ha tratado tradicionalmente
desde varios enfoques Tal vez el m ^ extendido es el uso de los deacutetodos de Proyeccioacuten
de los que estudiaremos el meacutetodo de Paso Fraccionado El intereacutes en este tipo de
meacutetodos radica en su eficiencia computacional puesto que solamente hay que resolver
ecuaciones escalares
En la actualidad en muchos campos es imposible recurrir a soluciones analiacuteticas
debido a la tremenda complejidad de los sistem a que estudia la dinaacutemica de fluidos
por lo que se recurre a soluciones numeacutericas que pueden ser computadas por ordenashy
dores Surge una rama de la dinaacutemica de fluidos denominada dinaacutemica de fluidos
computacional o CFD que se b ^ a en aproximaciones numeacutericas de las ecuaciones
fiacutesicas empleadas en la dinaacutemica de fluidos
Nosotros investigaos sobre la implcmcntacioacuten utilizando Matlab del meacutetodo de
Proyeccioacuten de Paso ^accional introducido por Chorin el cual soluciona ecuaciones de
Xavier Stokes incomprensibles Para esto utilizamos el meacutetodo de diferencias finitas
para m all^ alternada rsquorsquostaggered ademaacutes para el teacutermino no lineal utilizaremos
un esquema expliacutecito la viscosidad seraacute tratada impliacutecitamente y realizaremos una
correccioacuten de la presioacuten
Para complementar este trabajo mostraremos algunas definiciones m atem aacutetica y
un estudio del meacutetodo de diferencias finitas que nos ayudaron a comprender mejor el
anaacutelisis numeacuterico de las ecuaciones de Navier Stokes
3
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Capiacutetulo 2
Conceptos fundam entales de la
mecaacutenica de fluidos
21 Introduccioacuten
En este capiacutetido mostraremos una breve resentildea histoacuterica y algunos fundamentos de
la mecaacutenica de fluidos b^icos para el desarrollo de este trabajo Estos fundamentos
incluyen un conocimiento de la naturaleza de los fluidos y de las propiedades que
se emplean para describirlos las leyes fiacutesicas que gobiernan su comportamiento y los
modos en que estas leyes pueden expresarse de una forma matemaacutetica
22 A sp ectos H istoacutericos
Mecaacutenica de fluidos es la parte de la fiacutesica que se ocupa de la accioacuten de los fluidos
en reposo o en movimiento asiacute como de las aplicaciones y mecanismos de ingenieriacutea que
utilizan fluidos La mecaacutenica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la
aeronaacuteutica la ingenieriacutea quiacutemica civil e industrial la meteorologiacutea las construcciones
navales y la oceanografiacutea
La mecaacutenica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales la estaacutetica de
4
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
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1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
fluidos o hidrostaacutetica que se ocupa de los fluidos en reposo y la dinaacutemica de fluidos
que trata de los fluidos en movimiento El teacutermino de hidrodinaacutemica se aplica al flujo
de liacutequidos o al flujo de los gases a baja velocidad en el que puede considerarse que
no hay variaciones de densidad que se denominan incompresibles La aerodinaacutemica o
dinaacutemica de gases se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de
velocidad y presioacuten son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los
efectos de la compresibilidad
El intereacutes por la dinaacutemica de fluidos se remonta a las aplicaciones maacutes antiguas
de los fluidos en ingenieriacutea El matemaacutetico y filoacutesofo griego Arquiacutemides (287 - 212
ac) realizoacute una de las primeras contribuciones con la invencioacuten del tornillo helicoidal
tornillo sin finrdquo que se le atribuye tradicionalmente Los romanos desarrollaron otras
maacutequinas y mecanismos hidraacuteulicos no soacutelo empleaban el tornillo de Arquiacutemcdcs para
trasegar agua en agricultura y mineriacutea sino que construyeron extensos sistemas de
conduccioacuten de agua los acueductos Durante el siglo I ac el ingeniero y arquitecto
Vitrubio inventoacute la rueda hidraacuteulica horizontal que revolucionoacute la teacutecnica de moler
granos Despueacutes de Arquiacutemedes pasaron maacutes de 1600 antildeos antes de que se produjera
el siguiente avance cientiacutefico significativo debido al gran genio italiano Leonardo da
Vinci (1452 - 1529) que aportoacute la primera ecuacioacuten de la conservacioacuten de masa o
ecuacioacuten de continuidad y desarrollo muacuteltiples sistemas y mecanismos hidraacuteulicos y
aerodinaacutemicos Posteriormente el matemaacutetico y fiacutesico italiano Evangelista Torricelli
inventoacute el baroacutemetro en 1643 y formuloacute el teorema de Torricelli que relaciona la
velocidad de salida de un liacutequido a traveacutes de un orificio de un recipiente con la altura
del liacutequido situado por encima del agujero
La geacutenesis de la actual mecaacutenica de fluidos se debe al matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Xewton con la publicacioacuten en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica
se inicia el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina en donde se analiza por primera vez la
dinaacutemica de fluidos basaacutendose en leyes de la naturaleza de caraacutecter general En 1755 el
matemaacutetico suizo Lconhard Eulcr dedujo las ecuaciones baacutesicas para un fluido ideal
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinaacutemica para los fluidos soacutelo se
5
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
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partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
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como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
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Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
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tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
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los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
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El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
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estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
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1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
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La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
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operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
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Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
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Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
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3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
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1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
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fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
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por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
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de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
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Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Figura 21 Daniel Bernoulli(1700-1782)y Leonhard Euler (1707 -1783)
pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es ideal
en decir se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de
movimiento entre partiacuteculas en este caso se considera que el fluido es no viscoso
Sin embargo como esto no es asiacute en el caso de los fluidos reales en movimiento los
resultados con las ecuaciones de Euler soacutelo pueden servir de estimacioacuten para flujos en
los que los efectos de la viscosidad son pequentildeos
La siguiente aportacioacuten de gran importancia fue la primera expresioacuten de la ecuacioacuten
de conservacioacuten de energiacutea dada por Daniel Bernoulli con la publicacioacuten en 1738 de
su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii el denominado
teorema de Bernoulli establece que la energiacutea mecaacutenica total de un flujo incompresible
y no viscoso es constante a lo largo de una liacutenea de corriente (liacuteneas de flujo que son
paralelas a la direccioacuten del flujo en cada punto y que en el c^o de flujo uniforme
coinciden con la trayectoria de las partiacuteculas individuales de fluido)
El problema de los efectos viscosos de disipacioacuten de energiacutea se empezoacute a abordar
experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberiacuteas independientemente en 1839
por el meacutedico franceacutes Jcan Poiscuillc que estaba interesado por las caracteriacutesticas del
flujo de la sangre y en 1840 por el ingeniero alemaacuten Gotthif Hagen El primer intento
6
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Figura 22 Claude Navier y George Stokes los fluidos
de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinfonica de
fluidos se debioacute al ingeniero franceacutes Claude Navier en 1827 c independientemente al
matemaacutetico britaacutenico George Stokes quieacuten en 1845 perfeccionoacute 1^ ecuaciones baacutesicas
para los fluidos viscosos incompresibles Actualmente se las conoce como ecuaciones de
Xavier-Stokes En cuanto al problema del flujo en tuberiacuteas de un fluido viscoso parshy
te de la energiacutea mecaacutenica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso lo que
provoca una caiacuteda de presioacuten a lo largo de la tuberiacutea las ecuaciones de Navier-Stokes
sugieren que la caida de presioacuten era proporcional a la velocidad media Los experishy
mentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto solo era cierto
para velocidades bajas para velocidades altas la caida de presioacuten era mas bien proshy
porcional al cuadrado de la velocidad Este problema no se resolvioacute hasta 1883 cuando
el ingeniero britaacutenico Osborne Reynolds demostroacute la existencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberiacuteas A velocidades bajas las partiacuteculas del fluido siguen las line^ de
corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones
analiacutetica a velocidades mas elevadas surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o
turbulencias (flujo turbulento) en una forma difiacutecil de predecir completamente Reyshy
nolds tambieacuten determinoacute que la transicioacuten del flujo laminar al turbulento era funcioacuten
7
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
de un uacutenico paraacutemetro que desde entonces se conoce como nuacutemero de Reynolds
Re = ____
donde
Re= Nuacutemero de Reynols
D= Diaacutemetro del ducto
v = Velocidad promedio del liacutequido
p mdash Densidad del liacutequido
p mdash Viscosidad del liacutequido
Generalmente cuando el nuacutemero de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe
que el flujo es laminm el intervalo entre 2100 y 4000 se considera romo flujo de transhy
sicioacuten y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento Los flujos
turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de 1^
ecuaciones de conservacioacuten y su anaacutelisis depende de una combinacioacuten de datos experishy
mentales y modelos matemaacuteticos Gran parte de la investigacioacuten moderna en mecaacutenica
de fluidos esta dedicada a una mejor formulacioacuten de la turbulencia y que junto con
las nuevas teacutecnicas de simulacioacuten en ordenador (CFD computational fluid dynamics)
estaacuten resolviendo problemas cada vez maacutes complejos
La complejidad de los flujos viscosos y en particular de los flujos turbulentos restrinshy
gioacute en gran medida los avances en la dinaacutemica de fluidos hasta que el ingeniero alemaacuten
Ludwig Prandtl observoacute en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales La regioacuten proacutexima a la superficie estaacute formada por una delgada capa liacutemishy
te donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el
modelo matemaacutetico Fuera de esta capa liacutemite se pueden despreciar los efectos de la
viscosidad y pueden emplearse las ecuaciones m atem aacutetica maacutes s ncillas para flujos
no viscosos La teoriacutea de la eapa liacutemite ha heeho posible gran parte del desarrollo de bull
8
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
las alas de los aviones modernos y del disentildeo de turbinas de gas y compresores El
modelo de la capa liacutemite no soacutelo permitioacute una formulacioacuten mucho m ^ simplificada de
las ecuaciones de Navier-Stokes en la regioacuten proacutexima a la superficie del cuerpo sino
que llevoacute a nuevos avances en la teoriacutea del flujo de fluidos no viscosos que pueden
aplicarse fuera de la capa liacutemite Gran parte del desarrollo moderno de la mecaacutenica de
fluidos posibilitado por el concepto de capa liacutemite se ha debido a investigadores coshy
mo el ingeniero aeronaacuteutico estadounidense de origen huacutengaro Theodore von Kaacutermaacuten
el matemaacutetico alemaacuten Richard von Mises y el fiacutesico y meteoroacutelogo britaacutenico Geoflrey
Ingram Taylor
Durante el siglo ^X los avances en la Mecaacutenica de fluidos son continuos siendo la
dinaacutemica de los gases la aerodinaacutemica y la aeronauacutetica los campos que han experishy
mentado y seguiraacuten experimentando una especial proliferacioacuten
23 C onceptos fundam entales de los fluidos
2 3 1 F lu idos - D efin icioacuten
Consideraremos la materia en dos estados de agregacioacuten soacutelido y fluido ademaacutes los
fluidos incluyen a los liacutequidos y a los g^es La propiedad caracteriacutestica de los fluidos es
su deformacioacuten continua bajo solicitaciones externas Las propiedades cualitativa maacutes
destacables de los fluidos son movilidad entre las partiacuteculas que los constituyen (se
adaptan a 1^ form ^ de los recipientes que los contienen) miscibilidad por la raacutepida
disgregacioacuten de partiacuteculas de las diferentes zonas del fluido compresibilidad o variacioacuten
de volumen bajo esfuerzos normales
La deformacioacuten continua del fluido da lugar a su movimiento que se denomina flujo
Los fluidos poco viscosos fluyen faacutecilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad
para fluir A partir de estas consideraciones podemos dar como definicioacuten de fluido
ustancia a la que la aplicacioacuten de una tensioacuten tangencial le provoca un movimiento
al que se le denomina flujo
9
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
La otra propiedad caracteriacutestica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos
y
Figura 23 Tensioacuten de cortadura de un fluido
normales de compresioacuten ante los cuales el fluido se deforma disminuyendo su volumen
en el c^o de los gases 1^ disminuciones de volumen son relativamente grandes son
faacutecilmente compresibles y en el caso de los liacutequidos las disminuciones de volumen
son relativamente pequentildeas son difiacutecilmente compresibles En general los liacutequidos se
denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles no obstante liacutequido
sometidos a grandes cambios de presioacuten1 pueden comprimirse y g^es sometidos a
pequentildeos cambios de presioacuten no variacutean praacutecticamente su volumen
2 3 2 Los flu idos y la h ip oacute tes is del con tinuo
En principio podriacutea ser posible describir una muestra de fluido en teacuterminos de la
dinaacutemica de sus moleacuteculas individuales esto en la praacutectica es imposible en virtud de
la gran cantidad de moleacuteculas que lo componen Par a la mayoriacutea de los casos de intereacutes
praacutectico es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla continua
Esta suposicioacuten se denomina modelo del continuo y se aplica tanto a soacutelidos como a
1Se define presioacuten en un punto como el liacutemite de la foerza norm^ aplicada sobre un elemento de
aacuterea con el aacuterea tendiendo a cero
10
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
fluidos El modelo del continuo supone que la estructura molecular es tan pequentildea
en relacioacuten con 1^ dimensiones considerada en problemas de intereacutes praacutectico que se
puede ignorar
Cuando se emplea el modelo del continuo un fluido se describe en funcioacuten de sus
propiedades las cuales representan caracteriacutesticas promedio de su estructura molecular
Esta hipoacutetesis al igual que la de los fluidos ideales no siempre es aplicable deshy
pendiendo en este c^o de una magnitud medible denominada nuacutemero de Knudsen
Cuando esta hipoacutetesis no es aplicable es necesario recurrir a la mecaacutenica estadiacutestica
en lugm- de a la mecmiica de fluidos
2 3 3 P rop ied ad es de los flu idos
Los fluidos son agregaciones de moleacuteculas muy separadas en los gases y proacuteximas
en los liacutequidos siendo la distancia entre las moleacuteculas mucho mayor que el diaacutemetro
molecular no estando fijas en una red sino que se mueven libremente
Un fluido se denomina medio continuo cuando la variacioacuten de sus propiedades es tan
suave que se puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo
En Mecaacutenica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias de 1^ que se derivan
todas 1^ demaacutes a saber masa longitud tiempo y temperatura
Las propiedades de los fluidos maacutes interesantes son
La isotropiacutea por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones
Densidad
La densidad p de un fluido es su masa por unidad de volumen Si Am es la masa
de una porcioacuten de fluido dentro de un cubo de lado Ai entonces el fluido tiene
densidadAm limr A
donde t es muy pequentildea pero de acuerdo con la consideracioacuten hecha en el contishy
nuo es mucho mamp grande que la longitud de la trayectoria libre promedio de la
(A O3
11
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
partiacutecula
Volumen especiacutefico El volumen especiacutefico vs de un fluido es su volumen por
unidad de masa o sea el reciacuteproco de la densidad
1us =P
Viscosidad
La viscosidad es una propiedad inherente de los fluidos y que no es exhibida por
otros medios continuos La viscosidad es el paraacutemetro del fluido que controla
el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la
relacioacuten entre las solicitaciones tangenciales y la velocidad que produce la deforshy
macioacuten del fluido
Consideremos una determinada agrupacioacuten de moleacutecula en la que sobre un eleshy
mento de aacuterea el entorno esta ejerciendo una fuerza tangencial A la fuerza por
unidad de aacuterea se le va denominar tensioacuten con lo que en este caso se tienen
tensiones tangenciales de corte o de cizalla r
Si el esfuerzo constante (r) en el fluido es proporcional a la velocidad de deforshy
macioacuten se puede escribirdu
El coeficiente i es la viscosidad La ecuacioacuten anterior se conocce como la ley de
Newton de la viscosidad A los fluidos que siguen esta ley particular y su geneshy
ralizacioacuten al flujo multidimensional se les denomina fluidos newtonianos
Muchos fluidos comunes tales como el aire y otros gases el agua y la mayoriacutea
de las soluciones simples son newtonianos ^ iacute como la mayoriacutea de los derivados
del petroacuteleo La sangre es un fluido no newtoniano La viscosidad de los fluidos
newtonisnos variacutea considerablemente entre ellos Para un fluido en particular la
viscosidad variacutea de forma apreciable con la temperatura pero soacutelo ligeramente
con la presioacuten
La viscosidad proporciona una mmiera de cumitiiacuteicm los adjetivos espeso y fluido
12
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
como se aplica a los liacutequidos rapesosrdquotienen una alta viscosidad y no fluyen con
facilidad lo contrario es cierto para liacutequidos fluidosrdquo
El cociente de la viscosidad entre la densidad aparece con frecuencia en las ecuashy
ciones que describen el movimiento de un fluido Este cociente recibe el nombre
de viscosidad cineacutetica y generalmente se le denota con el siacutembolo v
P
24 C onceptos fundam entales para el anaacutelisis de
flujos
En eacutesta seccioacuten se diacutesiarrollan los conceptos fundamentales del anaacutelisis de flujos
incluyendo 1^ maneras para describir el flujo de fluidos las leyes naturales que las
gobicrniacuteui y los diferentes enfoques para formular modelos matemaacuteticos del flujo de los
fluidos
2 4 1 P rop ied ad es del flujo
En esta seccioacuten se definen algunas propiedades dinaacutemica y termodinaacutemicas que
interesan en el estudio del movimiento del fluido Estas propiedades pueden representar
un campo en el fluido es decir pueden tener una distribucioacuten espacial en el flmdo o
bien de partiacutecula a partiacutecula cuando el fluido se considere de esta manera
Temperatura T
Es un escalar que representa la actividad interna (escala microscoacutepica) de una
sustancia Este concepto estaacute ligado al transporte de energiacutea en forma de calor-
Dos regiones en contacto teacutermico que se encuentran a la misma temperatura no
tienen transporte de calor entre ellas Esta es la condicioacuten de equilibrio teacutermico
que establece la ley cero de la termodinaacutemica
13
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Velocidad U
Es un vector que representa la direccioacuten sentido y magnitud de la rapidez de
moacutevilmente del fluido El caso especial donde la velocidad es cero en todo el
espacio es estudiado por la estaacutetica de los fluidos
Esfuerzo t
Si se toma una porcioacuten de fluido aislada se pueden considerar dos tipos de fuerzas
actuando sobre esa porcioacuten fuerzas de cuerpo y fuerza de superficie Las fuerzas
de cuerpo son aquellas que actuacutean sobre el mismo sin contacto fiacutesico directo
por ejemplo la fuerza de gravedad la fuerza electromagneacutetica etc L ^ fuerzas
de superficie son debidas al material externo en contacto fiacutesico con la frontera
de la porcioacuten considerada Considere una fuerza dF que actuacutea sobre un aacuterea
infinitesimal dA de esa superficie cuya direccioacuten (de la superficie) se indica con
el vector normal unitario n La direccioacuten de dF en general no es la direccioacuten de
rfn
Figura 24 Elemento de un fluido
n Esta fuerza puede descomponerse en dos componentes
dF mdash dFnn + UacuteFiquest
donde t es un vector unitario tmigente al aacuterea infinitesimal Esfuerzo se define
como la fuerza que actuacutea en el aacuterea unitaria En este caso se pueden definir dos
14
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
tipos de esfuerzosdFndAdKdA
Tn es la normal y rt es el esfuerzo tangencial o de corte Consideacuterese un volumen
Figura 25 Esfuerzos sobre paralelepiacutepedo
infinitesimal en la forma de un paralelepiacutepedo de lados dx i dx2 dx3 como se
muestra en la figura 25 Las fuerzas de superficie que actuacutean sobre cada una
de las seis car^ se pueden descomponer en las tres direcciones Xi x2 x$ Estas
fuerzas se pueden dividir entre el aacuterea carrespondiente obteniendo de esta manera
los esfuerzos que actuacutean en cada aacuterea Estos esfuerzos se muestran en la figura
25 para tres caras En 1^ tres caras restantes la representacioacuten es similar La
convencioacuten de nomenclatura que se usa en la figura es la siguiente el primer
subiacutendice indica la cara sobre la cual actuacutea el esfuerzo v el segundo subiacutendice su
direccioacuten
24 2 D escrip cioacuten del flujo de fluidos
Antes de poder analizar el flujo de un fluido se debe ser capaz de describirlo
Igualmente se debe tener presente los diferentes tipos o regiacutemenes del movimiento de
15
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
los fluidos
El concep to de cam po d escripcioacuten lagrangiana com o funcioacuten de la euleriana
En cualquier m ^ a finita de fluido existe una infinidad de partiacuteculas Cada una se
puede caracterizar por su densidad presioacuten y otras propiedades Si la masa del fluido
estaacute en movimeinto tambieacuten cada partiacutecula tiene alguna velocidad La velocidad de
una partiacutecula de fluido se define como la velocidad del centro de masa de la partiacutecula
Para la velocidad del fluido se emplearaacute el siacutembolo V ya que la velocidad es un vector
Asiacute
V mdash ui + v j + w k
Como un fluido es deformable la velocidad de cada una de sus partiacuteculas puede
ser diferente Ademaacutes la velocidad de cada partiacutecula del fluido puede cambiar con
el tiempo Una descripcioacuten completa del movimiento de un fluido requiere que se esshy
pecifique la velocidadla presioacuten etc de todas las partiacuteculas en todo momento Como
un fluido es continuo tales caracteriacutesticas se pueden especificar soacutelo por medio de funshy
ciones matemaacuteticas que expresen la velocidad y las propiedades del fluido para todas
las partiacuteculas en todo momento Dicha representacioacuten se denomina representacioacuten de
campo y 1^ variables dependientes (como la velocidad y la presioacuten) se conocen como
variables de campo La regioacuten de intereacutes del fluido (el agua en la tuberiacutea o el aire alshy
rededor del automoacutevil)se denomina campo de flujo
Para describir un campo de flujo se pueden adoptar cualquiera de los dos enfoques
siguientes El primer enfoque conocido como descripcioacuten lagrangiana identifica cashy
da partiacutecula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo
Matemaacuteticamente la velocidad del fluido se escribe como
mdash mdash
V mdash ^(identidad de la partiacutecula iacute)
Las variables independientes son la identidad de la partiacutecula y el tiempo El enfoque
lagrangiano se usa ampliamente en la mecaacutenica de soacutelidos
16
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
El segundo enfoque denominado descripcioacuten euleriana fija su atencioacuten sobre un punto
en particular (o regioacuten) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro
y en 1^ fronteras de la regioacuten) a lo largo del tiempo Las propiedades de una partiacutecushy
la del fluido dependen de la localizacioacuten de la partiacutecula en el espacio y el tiempo
Matemaacuteticamente el campo de velocidad se expresa como
V = V (x y z t)
variables independientes son la posicioacuten en el espado respresentada por las coorshy
denadas cartesianas (xyz) y el tiempo
Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacioacuten de la veshy
locidad la presioacuten etc en funcioacuten de coordenadas de espacio y tiempo La descripcioacuten
euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de mecaacutenica de fluidos ya
que no establece lo que le sucede a cualquier partiacutecula de fluido en especial
V isualizacioacuten del cam po de ve locid ad es
En el anaacutelisis de problemas de mecaacutenica de fluidos frecuentemente resulta ventajoso
disponer de una representacioacuten visual de un campo de flujo Tal representacioacuten se puede
obtener mediante las liacutene^ de trayectoria de corriente de traza y de tiempo
Una liacutenea trayectoria es la curva marcada por el recorrido de una partiacutecula de fluido
determinada a medida que se mueve a traveacutes del campo de flujo Para determinar una
trayectoria se puede identificar a una partiacutecula de fluido en un instante dado por
ejemplo mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografiacuteas de su movimiento
con un tiempo de exposicioacuten adecuado La liacutenea trazada por la partiacutecula constituye
entonces una trayectoria
Por otra parte podemos preferir fijar nuestra atencioacuten en un punto fijo del espacio e
identificar empleando tambieacuten un colorante todas 1^ partiacutecula que pasan a traveacutes
de este punto Despueacutes de un corto periodo tendremos entonces cierta cantidad de
partiacuteculas de fluido idcutiflcables cu el flujo todas las cuales lirni pasado cu alguacuten
momento a traveacutes del pmito fijo previamente seleccionado La liacutenea que une todas
17
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
estas partiacuteculas define una liacutenea del trazador
Por su parte las liacuteneas de corriente son liacuteneas dibujadas en el campo de flujo de tal
manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la direccioacuten del flujo
en cada punto del campo de flujo La forma de 1^ liacuteneas de corriente puede cambiar
de un instante a otro si la velocidad del flujo es una funcioacuten del tiempo es decir si
se trata de un flujo no estacionario Dado que las liacuteneas de corriente son tangentes
al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una liacutenea de
corriente Para cualquier campo de flujo 1^ liacuteneas de corriente se pueden expresar como
una familia de curvas
V (xy z) = C(t)
Aunque las liacuteneas de corriente las trayectorias y 1^ trazas son conceptuales difeshy
rentes en muchos casos estos se reducen a liacutene^ ideacutenticas Sin embargo una liacutenea de
tiempo tiene caracteriacutestica distintivas Una liacutenea de tiempo es una liacutenea de partiacuteculas
de fluido marcadas en un cierto instante
2 4 3 A naacutelisis d el flujo de flu idos
Se ha concluido el anaacutelisis de las formas en las cuales se puede describir y clasificar
el movimiento de los fluidos se comenzaraacute ahora a considerar las maneras de analizar
el flujo de los fluidos
Las leyes fundam entales
El movimiento de todo fluido debe ser consistente con las siguientes leyes fundashy
mentales de la naturaleza
La ley de conservacioacuten de la masa La masa no se puede crear ni destruir soacutelo se
puede transportar o almacenar
Las tres leyes de Newton del movimiento
18
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
1 Una masa permanece en estado de equilibrio esto es en reposo o en movishy
miento a uumlna velocidad constante a menos que sobre ella actueacute una feerza
(Primera ley)
2 La velocidad de cambio de la cantidad de movimiento de una masa es proshy
porcional a la fuerza neta que actuacutea sobre ella(Segunda ley)
3 Cualquier accioacuten de una fuerza tiene una fuerza de reaccioacuten igual (en magshy
nitud) y opuesta (en direccioacuten)(Tercera ley)
La primera ley de la termodinaacutemica (ley de la conservacioacuten de la energiacutea) La
energiacutea al igual que la masa no se puede crear ni destruirLa energiacutea se puede
transportar cambiar de forma o almacenar
La segunda ley de la temodinaacutemica La segunda ley trata de la disponibilidad
de la energiacutea para un trabajo uacutetil La ciencia de la termodinaacutemica define una
propiedad de la materia denominada entropiacutea que cuantifica la segunda ley
Ademaacutes de e s t^ leyes universales en algunas circunstancias particulares se aplican
alguna leyes menos fendamentales Un ejemplo lo constituye la ley de Newton de la
viscosidad
V olum en de control y s istem a
Para aplicar las leyes fiacutesicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de
volumen de control y de sistema Se entiende por volumen de control una regioacuten fija en
el espacio donde puede existir flujo de fluido a traveacutes de sus fronteras Por eacutesta razoacuten
en diferentes instantes se puede tener diferentes partiacuteculas en el interior del volumen
de control Sistema se refiere a un conjunto de partiacuteculas en el cual permanecen siempre-
las misino Es decir se estaacute obscivmido siempre una cantidad fija de materia
19
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
La derirad a euleriana
Imagiacutenese una pmtiacutecula de fluido especiacutefica localizada en un punto especiacutefico de
un campo de flujo El flujo se describe en coordenadas cartesianas Si se emplea una
descripcioacuten eifleriana las propiedades y velocidad de la partiacutecula dependen de su localishy
zacioacuten y del tiempo Entonces para una propiedad cualquiera b (b puede ser densidad
presioacuten velocidad etc) se puede escribir
bP = bxpyPz P iquest)
donde el iacutendice P indica que se emplea la localizacioacuten de la partiacutecula
leyes fundamentales requieren generalmente 1^ velocidades de cambio de c ierta
propiedades de la materia (esto es cantidad de movimiento masa energiacutea entropiacutea)
La velocidad de cambio de bp se determina empleando la regla para calcular derivada
totalesd b p _ db dxp db dyp db dzP dbdt dxp dt dyp dt dzp dt dt
Sin embargo XpyP y zP son las coordenadas de posicioacuten de la partiacutecula de fluido
por lo que sus derivadas temporales son 1^ componentes de la velocidad de la partiacutecula
dxp= laquo P
dyP= vP
dzpdt dt dt
Al sustituir se obtiene que la velocidad de cambio de be s
= wpgt
db db db db db d t =U d i + V f y +W ~d~z + dt
donde se ha onuumltido el subiacutendice P
Este tipo de derivada indistintamente se denomina eulenana(porque es necesaria en
una descripcioacuten euleriana ) derivada material (porque la velocidad de cambio de una
propiedad de una partiacutecula del material) derivada sustancial (que resulta de sustituir
la palabra material por sustancia)o derivada total
Como la propiedad b friacutee arbitraria se puede omitir y escribir la derivada como un
20
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
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poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
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1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
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fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
operador matemaacutetico Para tener presente nna naturaleza especial con frecuencia el
operador se escribe como una D y se reordena de la manera siguiente
Dtd d d d
mdash ------ h U ------- - V -------h W ----m dx dy dz
Empleando vectores su notacioacuten corta es
DDt 5
donde V es el vector de velocidad del fluido y V es el operador gradiente
21
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Capiacutetulo 3
Las Ecuaciones del M ovim iento
En este capiacutetulo desarrollamos las ecuaciones baacutesica de la mecaacutenica de fluidos Es-
t ^ ecuaciones son deducidas a partir de la leyes de conservacioacuten de m ^a momentum
y energiacutea Empezamos con las suposiciones maacutes simples provenientes de 1^ ecuaciones
de Euler para un fluido perfecto Estas suposiciones son relajadas luego para permitir
los efectos de viscosidad que conlleva el transporte molecular del momentum
31 E cuaciones de Euler
Sea V una regioacuten en el espacio bi o tridimensional cubriendo un fluidoNuestro
objetivo es decribir el movimiento de tal fluido Sea x 6 D un punto en Tgt y consishy
deremos la partiacutecula del fluido movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t Usando las
coordenadas Euclidean^ en el espacio tenemos x = xy z) imaginemos una partiacutecushy
la (por ejemplo una partiacutecula de polvo suspendida) en el fluido esta partiacutecula traza
una trayectoria bien definida Denotemos por u(x t) la velocidad de la partiacutecula del
fluido que estaacute movieacutendose a traveacutes de x en el tiempo t De aquiacute para cada tiempo
fijo u es un campo vectorial sobre V como en la Figura 31 Llamamos u el cam po
velocidad (espacial) del fluido
Para cada tiempo iacute asumimos que el fluido tiene una densidad de masa bien definida
22
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Figura 31 Partiacuteculas de fluido fluyendo en una regioacuten V
p(x iacute) De aquiacute si W es cualquier subregioacuten de V la m ^ a del fluido en W en el tiempo
iacutee s dada por
mW iacute) = iacute p(x t)dVJw
donde dV es el elemento de volumen en el plano o el espacio
En lo que sigue asumiremos que 1^ fondones u y p ( y algunas otras que seraacuten dadas
m ^ tarde) son lo suficientemente suaves para que las operaciones que necesitemos
hacerles sean posibles
La suposicioacuten de que p existe es una suposicioacuten del continuum Es obvio que
ella no se mantiene si la estructura molecular de la materia es tomada en cuenta Sin
embargo para la mayoriacutea de los fenoacutemenos macroscoacutepicos sucediendo en la naturaleza
esta suposicioacuten es vaacutelida
Nuestra deduccioacuten de las ecuaciones estaacute basada en tres principios baacutesicos
1 La masa no se crea ni se destruye
2 la razoacuten de cambio de momentum de una porcioacuten del fluido es igual a la fuerza
aplicada a eacutel (segunda ley de Newton)
23
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
3 la energiacutea no se crea ni se destruye
Ahora estudiemos estos principios
3 1 1 C onservacioacuten de M asa
Sea W una subregioacuten de V (W no cambia con el tiempo) La razoacuten de cambio de
la masa en W es
Denotando por
dW la frontera de W y supongamos que es suave
n el vector normal unitario (saliente) definido en los puntos de dW y
dA el elemento de aacuterea sobre dW
tenemos que la razoacuten de volumen del flujo que atraviesa la frontera dW por unidad de
aacuterea es u bull n y la razoacuten de masa del flujo por unidad de aacuterea es pu - n (vea la finiraacute
32) El principio de conservacioacuten de m ^ a puede ser establecido de la siguiente forma
La razoacuten de incremento de masa en W es igual a la razoacuten de ingreso de masa a traveacutes
de dW- esto es
Esta es la form a integral de la ley de conservacioacuten de masa Por el teorema de
la divergencia (Teorema Al) la Ecuacioacuten (31) es equivalente a
La Ecuacioacuten (32) es conocida como la form a diferencial de la ley de conservacioacuten
de masa o maacutes conocida como la ecuacioacuten de continuidad Si p y u no son lo sufishy
cientemente suaves para justificar los p^os que nos condujeron a la forma diferencial
entonces la forma integral dada en (31) es la que usaremos
(31)
Como esto se mantiene para todo W esto es equivalente a
+ div(pu) = 0 (32)
24
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
poiEHjn ifi IniiilcTj de W
Figura 32 La masa a traveacutesando la frontera dW por unidad de tiempo es igual a la
integral de superficie de pu bull n sobre dW
3 1 2 B a lan ce de M o m en tu m
Sea x(iacute) = (z(t) y(t) z(t)) el camino seguido por una partiacutecula del fluido de tal
forma que el campo velocidad1 estaacute dado por
u(x(t) y(t) z(t) t) = (x (t)y (iquest) 2 (iquest))
esto es x d x
u (x t) = ^ ()ut
La aceleracioacuten de una partiacutecula del fluido es dada por
Usando la notacioacuten
da(t ) = x (iquest) = ^ t u (x(t)y(t)z(t)t)
du du du du a(t) - +
3u ofou = mdash u t =
dx d i 1Estc y los (lernas caacutelculos aquiacute scrmi hechos en las coordenada euclideanas por comodidad
25
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
yu(x y z iacute) = (u (x y z t) v (x y z t) w (x y z t) )
obtenemos
a(t) = laquoux + + wuz + u pound
lo cual tambieacuten podemos escribir como
a(iacute) = dpoundu + (u- V)u
Llamaremos a
^ = a t + u - vDt
la derivada m aterial Esta derivada toma en cuenta el hecho de que el fluido se
estaacute moviendo y que 1^ posiciones de 1^ partiacuteculas del fluido cambian con el tiemshy
po Por ejemplo si (x y ziacute) es cualquier funcioacuten de posicioacuten y tiempo (escalar o
vectorial)entonces por la regla de la cadena
^ (z(iacute)yO O z(iacute)iacute) = d tf + u - V f = ^(reg(lt)y(lt)z(lt)lt)
Definicioacuten 31 Un fluido ideal es aquel que tiene la siguiente propiedad Para cualshy
quier movimiento del fluido existe una ntildemcioacuten p(xf) llamada Ja presioacuten tal que si S e s
una superficie dentro del fluido con una normal unitaria n la foerza de tensioacuten ejercida
a traveacutes de la superficie S por unidad de aacuterea enx E S e n un tiempo t esp(x t)n esto es
fuerza a traveacutes de S por unidad de aacuterea mdash p(x i)n 0
Note que la fuerza estaacute en direccioacuten de n y que las fuerzas actuacutean ortogonalmente
a la superficie S] esto es no existen fuerzas tangenciales como muestra la figura 33
Intuitivamente la ausencia de flierzas tangenciales implican que no hay forma de que
el fluido comience a rotar y si estuviera rotando inicialmente entonces tendriacutea que
detener la rotacioacuten Si W es una regioacuten del fluido en un instante de tiempo t la fuerza
total2 ejercida sobre el fluido dentro de W por medio de flierzas de tensioacuten sobre su
2 egativa porque n apunta hacia afaera
26
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Figura 33 Fuerzas de presioacuten a traveacutes de una superficie o
frontera es
Saw = fuerza sobre W = mdash pndAJdW
Sea e cualquier vector fijo en el espacio Entonces del teorema de la divergencia
e bull = mdash I pe ndA =Jd W
f div (pe)dV = mdash iacute w Jw
(gradp) edV
En consecuencia
S9w = - I (gradp) edVJw
Si 3(x iacute) es la fuerza del cuerpo por unidad de masa entonces la fuerza total del cuerpo
es
B = [p3dV Jw
De aquiacute sobre cualquier parte del fluido fuerza por unidad de volumen = mdashgradp +
pPPor la segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracioacuten) obtenemos la forma
diferencial de la ley de b a l i c e de m om entum
= -g rad p + Pp (33)
Ahora deduciremos una forma integral del balance de momentum de dos formas
27
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
1 A partir de la forma diferencial y
2 A partir de los principios b^icos
P rim era forma De (33) tenemos
nmdash = -p (u bull V)u - Vp + pfl ot
y asiacute usando la ecuacioacuten de continuidad (32) obtenemosQmdash (pu) = -d iv (pu)u - p(u bull V)u - Vp + p3
Si e es cualquier vector fijo se verifica faacutecilmente que
Qe bull mdash (pu) = -d iv (pu)u bull e - p(u V)u bull e - (Vp) e + pfi - e
= mdashdiv (pe + pu(u bull e)) + pfi e
En consecuencia si W es un volumen fijo en el espacio la razoacuten de cambio de momenshy
tum en la direccioacuten e e n ^ es por el teorema de la divergencia
e- -y- pudV = mdash i (pe + p u (e -u ))-n d A + iacute pfi- edV dt Jw Jdw Jw
Por lo tanto una primera forma integral del balance de momentum seriacutea
iacute pudV iacute (pn + pu(u bull n))dA + iacute pfidV (34)J W JdW Jw
La cantidad pn + pu(u n) es el flujo del m om entum por unidad de aacuterea cruzando
d d t
dW donde n es la normal exterior a dW
Segunda forma Denotemos por V la regioacuten en la que el fluido se estaacute moviendo Sea
x e D y ^(x iacute) la trayectoria seguida por la partiacutecula que estaacute en el punto x en el
instante t = 0 Asumiremos que ltp es suficientemente suave y tiene inversa Denotemos
por tpt a la aplicacioacuten x ^ ^(x iacute) esto es para t fijo esta aplicacioacuten lleva cada partiacutecula
del fluido de su posicioacuten inicial (iquest = U) a su posicioacuten en el tiempo t La aplicacioacuten p
asiacute definida es conocida romo la aplicacioacuten flujo de fluido Si W es una regioacuten en
28
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
fluido en movimiento
Figura 34 Wt es la imagen de W como partiacutecula de fluido en W que fluyen para un
tiempo t
V entonces ltpt(W) = Wt es el volumen W movieacutendose con el fluido como muestra la
Figura 34 La forma integral ldquoprimitivardquo del balance de momentum establece que
esto es la razoacuten de cambio del momentum de una parte del fluido es igual a la fuerza
total (tensiones superficiales y fuerzas corporales) actuando sobre eacutel
Afirm acioacuten 31 Estas dos formas del balance de momentum (33) y (35) son equishy
valentes
Antes de probar esta afirmacioacuten probaremos el siguiente lema
Lem a 31
iquest J ( x iacute ) = J(xf)[divu(p(xf))] oacutet
donde J es el Jacobiano de la aplicacioacuten tpt
Prueba Escribamos 1^ componentes de tp como pound(x iacute) ^(x t) pound(x t) Primero noshy
temos que
^ ( x t ) = u(p(xt)iquest) (36)
29
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
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1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
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Paacuteginas Web
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[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
por definicioacuten de campo velocidad del fluido El determinante J puede ser derivado
recordando que el determinante de una matriz es multilineal por columnas (o filas) De
aquiacute fijando x tenemos
De (36) tenemos que
d di dy d_Iacute A d dy A d i dy d d id tdx dx dx dx d td x dx dx dx d tdxd d i dy d i + dA d dy d i + d i dy d d id tdy dy dy dy d tdy dy dy dy d tdyd d i dy d i A d dy d i A dy d d id td z dz dz dz d td z dz dz dz d td z
d_dpoundd td xd_did tdy
d_di dx dt d^di
dy dt
du dx du d y
lt9d( d d i dwd td z dz dt dz
Tambieacuten como 1^ componentes u v w de u son funciones de x y z por medio de
^(x t) tenemos que
du du d i du di] du d(dx dx dx ^ dy dx ^ dz dx
dwdx
dw d^ ^ dw dy ^ dw dCdx dx dy dx dz dx
Reemplazando esto en el caacutelculo de ^ J tenemos que
du dv dw
P ru eb a de la Afirm acioacuten 31 Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Es faacutecil ver qued_dt
i pu = iexcl (pu)(ygt(xiacute)J(xiacute)dK JWt Jw
pu(ltp(xt)iacute) = (p(M)gt)-
30
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Entonces del Lema 31 tenemos que
~ J pudV = Pu ) (ltp(xiacute)iacute) + (divu)(pu)(ltp(xiacute)iacute)j J(x t)dV
- ~ (pu ) + (pdiv u ) u | dV
Por conservacioacuten de masa
mdash p + pdivu = ^ + div (pu) = 0
y de aquiacute
j iacute pudV = iacute dt JWt Jwt D t
Con este argumento se ha demostrado el siguiente teorema
Teorem a 31 (T eorem a del ^ a n s p o r te ) Para toda fondoacuten f de x y t tenemos
que
I f p fd v = f pound L d v odt JWt J Wt Dt
En forma similar podemos deducir otra forma del teorema del transporte sin un factor
de densidad de masa y esta es
sbdquodK = J f +div(u))dKUsando las notaciones anteriores tenemos la siguiente definicioacuten
Definicioacuten 32 Un finjo se dice incom presible si para toda subregioacuten Wt se cumple
volumen (Wt) mdash f dV = constante en t 0Jwt
Proposicioacuten 31 L tt siguientes afirmaciones son equivalentes
1 El Suido es incompresible
2 divu = 0
3 J = 1 0
31
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
De la ecuacioacuten de la continuidad y del hecho de que p gt 0 vemos que un fluido es
incompresible si y soacutelo si D pD t mdash 0 es decir la densidad de masa siguiendo el fluido
es constante Si el fluido es homogeacuteneo es decir p = constante en el espacio se sigue
que el fluido es incompresible si y soacutelo si p es constante en el tiempo tambieacuten
Proposicioacuten 32 Sea p(x t) la densidad del Huido ltp(x t) la aplicacioacuten flujo y J(x t)
el Jacobiano de ltp(x t) Entonces
esta proposicioacuten tenemos que un fluido que es homogeacuteneo en t mdash 0 no necesariamente
permanece homogeacuteneo De hecho el fluido permaneceraacute homogeacuteneo si y soacutelo si es
incompresible
3 1 3 C onservacioacuten de E n ergiacutea
H ^ ta el momento tenemos 1^ ecuaciones
E s t^ son cuatro ecuaciones si trabajamos en un espacio tri-dimensional (o n + 1
p (^ (x iacute) iacute)J (x iacute) = p(x0) (37)
P rueba Tomando = l e n el teorema del transporte tenemos que
Como W0 es arbitrario tenemos que
p (^ (x t) t)J (x t) = p(x0) 0
La Ecuacioacuten (37) es otra forma de la conservacioacuten de masa Como un corolario de
32
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
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MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
un vector compuesto por tres fondones escalares Sin embargo tenemos cinco funciones
u p y p En consecuencia para describir el movimiento del fluido necesitamos de otra
ecuacioacuten y eacutesta seraacute obtenida usando la ley de conservacioacuten de la energiacutea Para el
movimiento del fluido en un dominio V con un campo velocidad u la energiacutea cineacutetica
contenida en una regioacuten W C V es
bull^cineacutetica = 2
donde ||u||2 = (u2+v2 + w2) Asumiendo que la energiacutea total del fluido puede ser escrita
como
^total = ^cineacutetica + -^internarsquo
donde -^interna es energiacutea in terna que no puede ser ldquovistardquo a escala macroscoacutepica
y proviene de fuentes tales como potenciales intermoleculares y vibraciones moleculashy
res internas La razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica en una porcioacuten de fluido en
movimiento Wt es calculada usando el teorema de transporte
d F faacute- cineacutetica 5 S I 11ldquo112d
El caso que nos interesa estudiar es el de fluidos incompresibles y en este c^o
asumimos que toda la energiacutea es cineacutetica y que la razoacuten de cambio de la energiacutea cineacutetica
en una porcioacuten de fluido es igual a la razoacuten en la que la presioacuten y la fuerzas del cuerpo
hacen trabajo es decir
ddiA in eacute tica = - Pu ndA + Pu bull $ dV-
JdW t JW t
Por el Teorema de la Divergencia y por foacutermulas previas tenemos
- J ^ ( div (Pu ) + Pu lsquo amp)dV
Iwt u lsquo Vp + pu- 0dV
porque divu = U La ecuacioacuten anterior es una consecuencia de balance de momentum
Esto muestra que si sum imos E = ^ cjneacuteticarsquo clltdeg llccs ul fluido debe ser incompresible
33
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
(a menos que p = 0) Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles las Ecuaciones
de Euler son
-grad p + pDpDt
divu
0
0
con la condicioacuten de frontera
u n = 0
sobre BD
32 E cuaciones de N avier Stokes
En la seccioacuten anterior definimos un fluido ideal como aquel en que las fuerzas que
cruzan la superficie son normales a ella Consideraremos ahora fluidos maacutes generales
Aquiacute el campo velocidad u es paralelo a una superficie S pero cambia instantaacutenea o
raacutepidamente de magnitud en cuanto la atraviesa Si 1^ fuerza son todas normales a S
no habraacute transferencia de momentum entre los voluacutemenes de fluido denotados por B
y B en la figura 39 Sin embargo si nosotros tenemos en cuenta la teoriacutea cineacutetica de
la materia vemos que esto es absurdo moleacutecula maacutes raacutepidas por encima de S se
difundiraacuten a traveacutes de 5 e impartiraacuten momentum al fluido debajo de S y ^imismo 1^
moleacuteculas maacutes lentas por debajo de S difundidas a traveacutes de S retardaraacuten la marcha
del fluido sobre S Para cambios de velocidad razonablemente raacutepidos en distandas
cortas este efecto es importante
En consecuencia cambiamos nuestra definicioacuten anterior ya que en lugar de asumir
que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea = p(xiacute)n
donde n es la normal a S sumiremos que
fuerza sobre S por unidad de aacuterea mdash p(x iacute)n mdash a n (38)
34
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
7gtmdash uy
u
Figura 35 Las moleacuteculas maacutes r aacute p id a en B pueden difundirse a traveacutes de S
e impartir momentum a B
donde a es una matriz llamada fuerza tensorial sobre la que tendremos que hacer
algunas suposiciones Lo nuevo aquiacute es que a n no necesita ser paralelo a n La
separacioacuten de las fuerzas en (38) es algo ambigua ya que a bull n puede contener una
componente paralela a n Ahora por la Segunda Ley de Newton ldquola razoacuten de cambio
de toda porcioacuten de fluido en movimiento Wt es igual a la fuerza que actuacutea sobre
ellardquo (balance de momentum) tenemos
De aquiacute vemos que a modifica el transporte de momentum a traveacutes de la frontera de
Wt Escogeremos a de tal forma que ella aproxime en forma razonable el transporte
del momentum por movimiento molecular
Tendremos ahora las siguientes suposiciones para a
1 a depende linealmente de los gradientes de velocidad Vu es decir a estaacute relacioshy
nado con Vu por alguna transformacioacuten lineal
2 a es invariante bajo rotaciones de cuerpos riacutegidos es decir si U es una matriz
ortogonal
oU - Vu bull U~x) = U- ct(Vu)- U ~
35
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Esto es razonable porque mando un fluido sufre una rotacioacuten de cuerpo riacutegido
no deberiacutea haber difrisioacuten del momentum
3 a es simeacutetrica Esta propiedad puede ser deducida como una consecuencia del
balance de momentum angular
Como a es simeacutetrica se sigue de las propiedades (1) y (2) que a puede depender
soacutelo de la parte simeacutetrica de Vu es decir de la transformacioacuten D Debido a que a
es una funcioacuten lineal de D a y D conmutmi y por esto pueden ser simultaacuteneamente
diagonalizadas Asiacute los autovalores de D son frmciones lineales de los de D Por la
propiedad (2) ellos tambieacuten deben ser simeacutetricos porque nosotros podemos elegir U
para permutar dos autovalores de D (rotando un aacutengulo n un autovector) y esto debe
permutar los correspondientes autovalores de a
Las uacutenicas frmciones lineales que son simeacutetricas en este sentido son de la forma
a = A(dj + d + iquest3) + 2idit i = 1 2 3
donde o son los autovalores de a y los di son los de D Esto define las constantes A y
p Teniendo en cuenta que d + d2 + d3 = divu podemos usar la propiedad (2) para
transformar ai de regreso a la base usual y deducimos que
a = A(div u)I + 2^D
donde I es la identidad Ahora reescribiendo esto con la traza en un teacutermino tenemos
a = 2^[D mdash i(d iv u)7] + pound(divu)IO
donde p es el prim er coeficiente de viscosidad y ( = A + | ^ es el segundo
coeficiente de viscosidad
Si empleamos el teorema del transporte y el teorema de divergencia junto con(35)
el balance de momentum conduce a las Ecuaciones de N avier Stokes
p ^ r = - V p + (A + ^ )V (d ivu )+ gAu (39)
36
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
donde
Au = d2 amp d2 dx2 ^ dy2 ^ dz2
es el Laplaciano de u La ecuacioacuten de continuidad y una ecuacioacuten de energiacutea y (39)
describen completamente el flujo de un fluido viscoso
En el caso de flujos homogeacuteneos incompresibles p = po = constante el conjunto
completo de las ecuaciones viene a ser las Ecuaciones de N avier Stokes p ara un
flujo incom presible
donde v = ppo os el coeficiente de viscosidad cineacutetica y p = ppo
Estas ecuaciones son complementada por condiciones de frontera Para 1^ ecuashy
ciones de Euler en un fluido ideal usamos u - n = 0 es decir el fluido no atraviesa la
frontera pero puede moverse tangencialmente en la frontera Para las Ecuaciones de
mdash = -g rad p + i^Au
divu = 0(310)
Xavier Stokes el teacutermino extra ^Vu eleva el nuacutemero de derivadas de u de uno a dos
Por razones matemaacuteticas y experimentales esto es acompantildeado de un incremento en el
nuacutemero de condiciones de frontera Por ejemplo en una pared soacutelida en reposo adicioshy
namos la condicioacuten de que la velocidad tangencial sea cero (la condicioacuten de ldquono-sliprdquo)
de tal manera que las condiciones de frontera son simplemente
u = 0 en paredes soacutelidas en reposo
37
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Capiacutetulo 4
M eacutetodo del Paso ^ a cc io n a l
41 Introduccioacuten
El movimiento de un fluido viscoso incompresible es gobernado por las Ecuaciones
de Navier Stokes
+ (u bull V)u = - V P + 2u (41)
V u = 0 (42)
donde u(x iacute) es la velocidad P(x iacute) es la presioacuten dividida por la densidad y y es
el coeficiente de viscosidad cineacutetica La inclusioacuten de un teacutermino fuerza en el cuerpo
(x iacute) sobre el lado derecho de (41) no cambiaraacute nada el siguiente anaacutelisis
El establecimiento del problema se completa con la especificacioacuten de condiciones inishy
ciales y de frontera convenientes Una tiacutepica condicioacuten de frontera consiste en describir
el valor de la velocidad b sobre la frontera
u|$ = b (xst) (43)
donde S es la frontera del dominio V ocupada por el fluido y xiquest G 5
Cumido la frontera es una pared soacutelida en contacto con el fluido el valor de la velocidad
38
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
de frontera b es igual a la velocidad de la pared La condicioacuten sobre las componentes
tangenciales de velocidad es conocida como la condicioacuten no-slip
Note que ninguna condicioacuten de frontera es dada para la presioacuten sobre 1^ fronteras
no-slip y seriacutea incorrecto imponer alguna unida a la dada por (43) Por otro lado
en alguna aplicaciones condiciones de velocidad diferentes a la de (43) pueden ser
encontradas como por ejemplo en fronteras con flujo entrante o saliente y tambieacuten
sobre un plano de simetriacutea o antisimetriacutea En estas situaciones la presioacuten puede ser
complementada por condiciones de frontera del tipo Dirichlet o Neumann Puesto que
la condicioacuten de no-slip es el tipo maacutes difiacutecil de condicioacuten de frontera para problema
viscosos e incompresibles estudiaremos este caso
Supongamos que el dominio del fluido V es abierto acotado y simplemente conexo lo
cual implica que es de extensioacuten finita y no contiene a agujeros Ademaacutes por simplicishy
dad se asume que la frontera S es una superficie cerrada y convenientemente suave
La condicioacuten inicial consiste en la especificacioacuten del campo velocidad u 0 en el tiempo
inicial t = 0 digamos
u|t=o = uo(x) (44)
La velocidad de frontera b debe cumplir para todo t gt 0 la condicioacuten global
pound n b dS = 0 (45)
que se obtiene integrando la ecuacioacuten de continuidad sobre V y usando el teorema
de divergencia Aquiacute n denota la normal unitaria exterior a la frontera S El siacutembolo
f indica la integral de frontera sobre una superficie cerrada pero el mismo siacutembolo
tambieacuten es usado pMa denotar la integral de liacutenea a lo largo de una curva cerrada
Integrales de volumen e integrales sobre superficies no cerradas siempre seraacuten indicadas
por un siacutembolo simple de integracioacuten f
Se supone que el campo de velocidad inicial u0 es solenoidal es decir V-
V- u0 = 0 (46)
39
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Finalmente se asume que los datos b y uo cumplen la siguiente condicioacuten de compashy
tibilidad
n bull b|t=o = n bull u0|s (47)
donde por supuesto n bull b(xiquest iacute) es una funcioacuten continua del tiempo cuando t mdash gt 0+
4 1 1 T eorem a de L adyzhenskaya
Sean las Ecuaciones de Navier Stokes que describen el movimiento de un fluido
viscoso e incompresible
los resultados a los que lleguemos seraacuten faacuteciles de entender
Teorem a 41 (Ladizhenskaya) Todo campo vectorial u definido en V admite una
uacutenica descomposicioacuten ortogonal
y ip es una fancioacuten escalar
Prueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten es decir
J u bull V(pdV = 0
En efecto debido a que V bull = (V -u )p + u bull Vltp la condicioacuten V W = 0 y por el
Teorema de la Divergencia tenemos
donde P = - es la presioacuten (por unidad de densidad) El meacutetodo del Paso Fraccional
puede ser obtenido mediante el Teorema de Descomposicioacuten Ortogonal estudiado por
Ladyzhenskaya [4] Esta descomposicioacuten seraacute discutida de una forma simple tal que
u = w + V^ (49)
donde u es un campo solenoidal con componente normal cero sobre la frontera S d eV
40
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
teniendo en cuenta que n w|s = 0
Usaremos la ortogoacutenalidad para probar la unicidad Supongamos que
U mdash Wi + mdash IV 2 + V^2-
Entonces
Uuml = tviexcl mdash ui2 + V(vi mdash
Tomando el producto escalar con Uy mdash u 2 e integrando sobre V obtenemos
0 mdash J [|Wl mdash iv2 |2 + (wi mdash ugt2) V(lt^ mdash iacutep2)J dV
0 = J uji mdash ugt2iexcl2dV
esto debido a la ortogonalidad de la descomposicioacuten Por lo tanto Wi = W2 y V ^i =
V^ 21 entonces = ^2 + constante
Sea u solucioacuten de (48) Consideremos el siguiente problema de Neumann
A tp = V bull u = 0
n bull V ^ |5 = n bull u |5(410)
Entonces existe una funcioacuten escalar ltp solucioacuten de (410) y debido al teorema de la
divergencia tenemos que
0 = J V bull udV mdash y n udS
De (48) y (410) obtenemos
V u = 0
n u |5 = 0
V bull (Vu) = 0
n (V ^)|5 = 0
Es faacutecil ver que u mdash u mdash es un campo solenoidal O
Asumimos que la componente normal de la condicioacuten de frontera para la velocidad u
en la solucioacuten de las ecuaciones (48) es homogeacutenea
n bull uL = 0
41
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
En este caso es natural introducir el operador de proyeccioacuten ortogonal de campos
vectoriales sobre el espacio
J 00 (V) = u e L 2 (V ) V w = 0 n- w| = 0
El espacio Jo (V) es un sub-espacio cerrado de L2(V) y se denotaraacute como Jo El
operador de proyeccioacuten ortogonal sobre Jo es denotado por V o maacutes expliacutecitamente
V = VJuuml
Tomando la derivada de tiempo de V bull u = 0 obtenemos V bull (mdash ) = 0 asiacute que laut
descomposicioacuten ortogonal (49) permite escribir la ecuacioacuten de momentum en (48)
bajo condiciones de frontera homogeacuteneas para la componente normal en la siguiente
forma proyectada
(411)
La ecuacioacuten (411) significa que el uso de la proyeccioacuten ortogonal V elimina la variable
presioacuten del problema Se debe notar que los campos vectoriales u del espacio de proshy
yeccioacuten Jo estaacuten sujeto a la condicioacuten de frontera la cual soacutelo prescribe la componente
normal de w La condicioacuten de frontera para la componente normal de la velocidad es
una condicioacuten esencial en la formulacioacuten variacional deacutebil de las ecuaciones usadas para
satisfacer la incompresibilidad por medio del operador de proyeccioacuten ortogonal
Por lo tanto para hacer al operador de proyeccioacuten ortogonal V factible para solucionar
1^ ecuaciones viscosas incompresibles uno tiene que separar el teacutermino viscosidad del
tratamiento de la incompresibilidad es decir la parte proyectiva del meacutetodo que detershy
mina la componente solenoidal del campo velocidad Esto conduce a que las ecuaciones
deban ser discrctizadas en el tiempo por un Meacutetodo de paso fraccional el cual separa
los efectos de la difusioacuten viscosa del tratamiento de la condicioacuten de incompresibilidad
Se debe notar que este requerimiento es debido a la no conmutatividad del operador
de proyeccioacuten V con el operador de Laplace V que aparece en los teacuterminos viscosos
cuando existen fronteras soacutelidas
42
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
42 M eacutetod o de Proyeccioacuten de paso fraccional
La forma tiacutepica de las ecuaciones discretizadas en el tiempo del meacutetodo de proyecshy
cioacuten consiste en dos pasos distintos
Primero un campo velocidad intermedio un+^ que no satisface la condicioacuten
de incompresibilidad es calculado como solucioacuten de una versioacuten de la ecuacioacuten
del momentun con el teacutermino presioacuten omitido Considerando por ejemplo y por
simplicidad un esquema enteramente expliacutecito uno tiene el problema
(412)
Segundo el campo intermedio un+ es descompuesto como la suma de un campo
velocidad solenoidal un+1 y el gradiente de una funcioacuten escalar proporcional a la
desconocida presioacuten particularmente V P n+1 conforme a las ecuaciones siguientes
y condicioacuten de frontera
Un+l _ un+^= - V P n+1
A iy un+1 = 0
n - ursquo+l | = n - b 1 1
(413)
La especificacioacuten de la condicioacuten de frontera soacutelo para la componente normal de la
velocidad es un aspecto escencial del segundo problema paso medio (413) y es una
consecuencia de la definicioacuten del espacio J q implicado por el teorema de descomposicioacuten
ortogonal (48)
Es interesante notar que cuando el meacutetodo del paso fraccional (412)-(413) es
usado para calcular flujos estacionarios la solucioacuten numeacuterica de la condicioacuten de fuerza
depende de los valores de los pasos de tiempo Ai
43
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
4 2 1 C ond ic iones de t o n t e r a H om ogeacuten eas
Notemos que la ecuacioacuten (413) puede tambieacuten ser escrita de la forma
Hldquo iexcl r 1 - (414)
En la situacioacuten particular de valores de frontera homogeacutenea para la componente normal
especialmente n b = 0 no expresa nada pero la descomposicioacuten ortogonal (49) para
el campo velocidad intermedio un+ y utilizando Vun+1 = 0 y n bull u n+11a = 0 (de
(413)) Concluimos que uno puede expresar la velocidad final y el campo presioacuten como
u+1 = y A iacuteV F n+1 = - F )u n+iquest (415)
una construccioacuten es descrita en la (41)
J
Figura 41 Construccioacuten de un campo solenoidal en el m eacutetodo del paso frac-
cional con condiciones de fron tera hom ogeacuteneas
4 2 2 C ond iciones de t o n t e r a N o H om ogeacuten ea
La situacioacuten es diferente cuando la condicioacuten de frontera para la velocidad es tal
que n bull bn+1|s ^ uuml pero una interpretacioacuten geomeacutetrica de la construccioacuten seraacute dada
44
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Para este objetivo una descomposicioacuten ortogonal del espacio del campo gradiente
es requerido
Teorem a 42 [fronteras no Homogeacuteneas] Para todo campo vectorial que es el gradienshy
te de una fancioacuten escalar defiacutenido en V admite la uacutenica descomposicioacuten ortogonal
donde la fancioacuten desaparece sobre la Poniera S de V y h la fancioacuten armoacutenica en V
P rueba
Primero establecemos la ortogonalidad de la descomposicioacuten
V ^0 bull VhdV = 0
En efecto por la identidad V bull = V ^0rsquo^ + ^ o ^ 2h y el Teorema de Divergencia
obtenemos
V ^0 bull VhdV = J V- (ltpoVh)dV - J ltp0V 2hdV
= lt on bull VhdS = 0
teniendo en cuenta que hes armoacutenica y ^o|s = 0
La ortogonalidad es usada para probar la unicidad Supongamos que Vygt= Vltiquestgtoi +
Vh = Vtfo2 + V h2 Entonces
0 = V ( m - + V ( h i - h 2)
Tomando el producto escalar con V(hi mdash h2) e integrando sobre V obtenemos
0 = J [V h 1 - h2) bull V(^oi ^ 02) + |V(^i mdash h2)|2]dV
= J |V(fc -A ) |
esto es debido a la ortogonalidad de V h j y V^oiquest conseguimos que V(hi mdash h2) = 0
esto es hi = h2 + constante Por lo tanto V(ltiquestgti mdash ^ 2) = uuml lo que significa ^ 1 =
^ 2+constante
45
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Vr
Figura 42 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional Descom posicioacuten orshy
togonal del espacio de los cam pos gradiente b a liz a n d o la imposicioacuten de
condiciones de frontera no hom ogeacuteneas sobre la velocidad norm al
Ahora probaremos la existencia Sea el problema de Dirichlet
Ah = 0
^ls = vs
entonces este h existe y es uacutenico Sea fo = f mdash h entonces ^ 0|s = mdash h) |$ = 0 Por
lo tanto tp0 y h cumplen con 1^ condiciones del teorema 0
Por los teoremas (41)-(42) todo campo vectorial u puede ser descompuesto de la
siguiente forma
u = lo + = lo + Vi + (417)
donde las funciones ltfo y h son determinadas uacutenicamente a partir de u resolviendo los
siguientes problemas eliacutepticos
V2lto = V - u ltpols = 0
V2h = 0 n - V ^ | 5 = n bull (u - V ^0)|5-
La condicioacuten de solubilidad del Problema de Neu^man es satisfecha puesto que por
el Teorema de Divergencia se cumple
f ^ - ( u - V ^ o ) ^ = y V- (u - Vip0)dV = ( V - u - V2 ip0)dV = 0
46
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
VhJ
Figura 43 M eacutetodo de proyeccioacuten del paso fraccional O peradores de proyecshy
cioacuten ortogonal en presencia de fronteras
Introduciendo el operador proyeccioacuten complementario Q = Z mdash V uno tiene
Q mdash Qo + Qin
donde Qo y Qh denotan los operadores de proyeccioacuten ortogonal sobre los s u ^
espacios V^0 ltPoIs mdash 0 y V h V2h = 0 y respectivamente (ver la figura
(43)
Sea u un campo vectorial y denotemos por v su respectiva componente solenoidal
la cual asume un valor de frontera para la componente normal digamos n vs = n bull b
con n b dado Tal parte solenoidal w d e u puede ser obtenida a partir de la siguiente
descomposicioacuten
u = U + Vftnb + V(h - hnb) + V^o
donde hnb denota la funcioacuten armoacutenica satisfaciendo la condicioacuten de Xeumman
nVin b|s = n b (condicioacuten de frontera que es admisible ya que b satisface f n -bdS =
0) Se sigue que v = w + V^nb y por lo trnito definiendo $ = h mdash hnb + Po la rsquo
descomposicioacuten anterior asume la forma
u mdash v + V$
47
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Jo
Figura 44 C onstruccioacuten de un cam po solenoidal satisfaciendo las condiciones
de fron tera no hom ogeacuteneas p ara la com ponente norm al
La representacioacuten geomeacutetrica de tal construccioacuten que es requerida para una condicioacuten
de velocidad de frontera no homogeacutenea es mostrada en la ligara (44) Lamentableshy
mente la figura (44) no nos da una idea clara de lo anterior ya que el espacio Vi
no es unidimensional y en general los vectores representando los campos Vi y Vin-b
apuntan a diferentes direcciones Asiacute la ilustracioacuten de la figura (45) donde el espacio
Vtpo ha sido eliminado mientras que el espacio Vi ha sido expandido en un plano
vertical y y = (V + Qh)u nos da una descripcioacuten maacutes apropiada de la construccioacuten
requerida para condiciones de frontera no homogeacuteneas En cualquier c^o el campo de
velocidad v es obtenido de la opresioacuten
y1 = V u n+l + V h ab
Esta construccioacuten revela que en el Meacutetodo de Proyeccioacuten del Paso R-accional fuera
del sub-espacio Vtpo estaacute asociado con el cumplimiento de la condicioacuten de incomshy
presibilidad en puntos internos del dominio del fluido mientras que la proyeccioacuten fuera
del sub-espacio Vi tiene miacutea relacioacuten con la imposicioacuten de la condicioacuten de frontera
sobre la velocidad En la situacioacuten particular de ausencia de fronteras o condiciones de
48
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Figura 45 Ilustracioacuten deta llada de la construccioacuten del cam po solenoidal sashy
tisfaciendo condiciones de fron tera norm ales no homogeacuteneas [^ = [V + QhV)
frontera espacialmente perioacutedica el segundo su^^spacio desaparece y la construccioacuten
del Meacutetodo Fraccional simplifica substmicialmente como es mostrado en la figura (46)
43 Im plem entacioacuten del M eacutetod o de P aso ^ a c c io -
nal
En eacutesta seccioacuten estudiaremos la implementacioacuten de un coacutedigo que soluciona ecuaci^
nes de Navier Stokes mediante el meacutetodo de proyeccioacuten original de Chorin [10] el que
propuso una aproximacioacuten de primer orden en el espacio y el tiempo La siguiente geshy
neracioacuten de meacutetodos de proyeccioacuten ha usado varios form ^ de obtener una velocidad la
cual es de segundo orden en el espacio y tiempo pero una aproximacioacuten para la presioacuten
que solo es de primer orden En el mismo periodo de tiempo Kim y Moin propusieron
un meacutetodo en el cual la presioacuten es excluida del caacutelculo pero con una modificacioacuten en
las condiciones de frontera ellos consiguieron una aproximacioacuten de segundo orden para
el campo velocidad
49
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Figura 46 R epresentacioacuten sistem aacutetica del m eacutetodo del paso fraccional en
ausencia de fronteras
En la implementacioacuten se consideroacute las ecuaciones incomprensibles de Navier Stokes
Ut + P x mdash ~ U )l _ U V )y + ~ ^ ( UXX + Uyy) (4-18)
Vt +Py = ~(uv)x - (v2)y + ^jg(VxX + Vyy) (419)
Ux + Vy = 0 (420)
sobre un dominio rectangular Q = [0 iacutex]X[0 ly] Los cuatro dominios de frontera son
denotados por N(Norte) S(Sur) W(Oeste) y E(Este) El dominio es fijo en el tiempo
y consideraremos condiciones de frontera no slip en cada lado del dominio es decir
u ( x l y ) = UN (X) v ( x l y ) = 0 (4 2 1 )
u ( x 0 ) = U S (X) n ( x 0 ) = 0 (4 2 2 )
u ( 0 y ) = 0 ^ ( 0 y ) = VW (y) (4 2 3 )
u ( lx y ) = 0 v ( l x y ) = VEy) (4 2 4 )
Las ecuaciones de momentum (418) y (419) describen la evolucioacuten del tiempo del
campo velocidad (it u) bajo fuerza inerciales y viscosas La presioacuten p es un multiplishy
cador Lagraugiano que satisface la condicioacuten de incomprensibilidad Colocaremos 1^
ecuaciones de momentum de la siguiente manera
50
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
(u2)x + (uv)y = uux + vuy (4-25)
(uv)x + (v2)y = uvx + vvy (426)
1^ cuales proviene de la regla de la cadena y (420) El aldo derecha anterior es a
menudo escrito en forma vectorial como (nV)n Elegimos discretizar el lado derecho
debido a que es maacutes cercano a una forma conservativa
La condicioacuten de incompresibilidad no es una ecuacioacuten de evolucioacuten del tiempo sino
una condicioacuten algebraica Incorporamos esta condicioacuten usando un meacutetodo de proyecshy
cioacuten
Mientras u v p y q son soluciones de 1^ ecuaciones de Navier Stokes denotamos la
aproximacioacuten numeacuterica por letras mayuacutesculas Asiacute el campo velocidad es Un y Vn en el
nth paso de tiempo (tiempo t) y la condicioacuten (420) es satisfecha Nuestro objetivo
seraacute encontrar la solucioacuten en el (n + 1)siacute paso de tiempo utilizando las siguientes
aproximaciones
1 Teacutermino no linealEl teacutermino no lineal es tratado expliacutecitamente
U - U nA t = -((fT))) - m (427)
V - v nAt-
2 Viscosidad impliacutecita
Los teacuterminos viscosidad son tratados impliacutecitamente
(428)
[ldquo - Un (429)
y _ yraquoAi (430)
51
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
3 La correccioacuten de la presioacuten
Nosotros corregimos el campo velocidad intermedia U V por el gradiente de
una presioacuten P n+1 haciendo cumplir la incomprensibilidad
Un+1 - pound A t
(P+1 )x (431)
v n+l - K----- ^ ----- = ~ (P n+1) (432)
La presioacuten es denotada por P n+1 y es dad impliacutecitamente obtenieacutendose un sisshy
tema lineal
La informacioacuten completa sobre eacutesta implementacioacuten seraacute encontrada en [10]
52
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Capiacutetulo 5
Conclusiones
Este trabajo cumplioacute con sus objetivos que son el de mostrar de una manera sencilla
los conceptos fandamentales que rigen a los fluidos y el de resolver las ecuaciones de
Xavier Stokcs mediante el meacutetodo de proyeccioacuten del Paso fraccional Este meacutetodo
divide a estas ecuaciones en dos ecuaciones equivalentes una para la velocidad y otra
para la presioacuten
Uno de los aspectos importantes de este trabajo fue el uso de un operador de proshy
yeccioacuten ortogonal el cual es factible para solucionar las ecuaciones viscosas incomprenshy
sibles si uno separa el teacutermino viscosidad del tratamientoto de la incomprensibilidad
Como una actividad futura relacionada con este trabajo se pretende realizar estudios
de otros Meacutetodos de Proyeccioacuten y hacer comparaciones con el meacutetodo estudiado
53
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
54
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Apeacutendice A
Teoremas y definiciones
En este capiacutetulo daremos conceptos y teoremas fundamentales para el estudio del
movimiento de un fluido [7]
Definicioacuten A l (Cam po G radiente) Sea f un campo escalar en R 2 o R 3 El campo
vectorial que asigna a cada punto (xy) de R 2 o (xyz) de R 3 el vector gradiente de
f V se denomina campo gradiente de la ntildemcioacuten f
V(r y z) = f x(x y z)i + f y(x y z)j + f z(x y z)k $
Sean F un campo vectorial y M N y P funciones de R 3 en R
Definicioacuten A2 (La Divergencia) Sea F(xy z) = M(xy z) i + N(x y z ) j +
P(xy z)k un campo vectorial en R 3 y derivadas parciales continua
la divergencia de F seraacute el campo escalar
dM dN dP dx + dy + dz
Defiacuteniendo el siacutembolo vectorial V como
bdquo d d 3 d V = d i + d iexcl ^ T z k -
tenemos que
V F = iacute iexcl - M - + - - N + --P ox oy oz
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Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
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de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
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Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
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es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
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- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Entonces la divergencia de F denotada por div F cumpliraacute
i 3 kd_ d_dx dy dzM N P
div F = V F O
Definicioacuten A3 (El Rotacional) La notacioacuten V x F representa tambieacuten el rotacional
de F Asiacute
ro tF = V x F =
dP d N dM dP - tdN dM f A= ( s r ^ ) + lt a r - o
Definicioacuten A4 (El Laplaciano) Sea f un campo escalar y V su respectivo campo
gradiente Calculando la divergencia de este campo gradiente obtenemos un campo
escalar al cual se le denomina el Laplaciano de f
d f df~ d f TV = + +dx dy dz
y V _ ^ i+ ^ i + iacute z
dx dy + dz Sxx + hy + h
V2 = fxx + fyy + f zz
Denotaremos el laplaciano de f por A f o V2 0
Teorem a A l (Teorem a de la Divergencia) Sean Q una regioacuten en tres dimensioshy
nes acotada por una superfigravecie cerrada S y n un vector unitario normal exterior a S
en (x y z) Si F es una funcioacuten vectorial que tiene derivadas parciales continuas en Q
entonces
r F n d SJ L F n i S = J J L V F i V - 0
como que S casi de y es es
u- nidS
55
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
de flujo f Japu- ndS es la masa del fluido que S por unidad de tiempo flujo Si la flujo
integral iguales es alrededor tensioacutende cortadura por muy pequentildea que sea eacutesta Una
faerza cortante (F) componente tangente a la superficie de la fuerza y eacutesta F dividida
por el la superficie es la tensioacuten de cortadura se llama medio ambiente constante
56
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Apeacutendice B
Problem as en Ecuaciones
Diferenciales Parciales
En esta seccioacuten presentamos dos de los problema maacutes conocidos en ecuaciones
diferenciales parciales y son el Problema de Dirichlet y el de Neumann Ellos nos
ayudaraacuten a resolver las Ecuaciones de Navier Stokes mediante meacutetodos numeacutericos
P roblem a de Dirichlet
+ Uyy mdash 0 en iacuteiacute(Bl)
ldquo Un mdash
donde fi C R 2 un dominio limitado con frontera ldquobien definida (por ejemplo de clase
c 2) yf - a n ^ c
es continua EL problema (Bl) tiene una uacutenica solucioacuten
P roblem a de N eum ann
Uxx + Uyy mdash 0 en iacuteiacuteOU fda J
(B2)
ddonde mdash es la derivada en la direccioacuten de la normal en el borde 0 de on
f d t t ^ C
57
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
es continua Note que (B2) no tiene solucioacuten uacutenica u es solucioacuten entonces u + c donde
c es una constante arbitaria es tambieacuten solucioacuten
Es interesante observar que si una frontera de D es ldquobien definidardquo para que haya
solucioacuten es preciso que la integral de a lo largo de d f sea cero ^
B l Ecuaciones D iferenciales Parciales E liacutepticas
Las Ecuaciones Diferenciales Parciales Eliacutepticas (EDP Eliacutepticas) aparecen en proshy
blemas estacionarios de dos y tres dimensiones Entre los problemas eliacutepticos estaacuten
la conduccioacuten del calor en los soacutelidos la difusioacuten de partiacuteculas y la vibracioacuten de una
membrana entre otros
El dominio de integracioacuten de una ecuacioacuten eliacuteptica bidimensional es siempre un aacuterea
S acotada por una curva cerrada C Las condiciones de frontera especifican el valor
de la funcioacuten o el valor de la derivada normal en cada punto de C o una mixtura de
ambos
B l l Form a G eneral de una E D P E liacutep tica
La Forma General de una EDP Eliacuteptica es
mdashdiv(cVu) + a u mdash f
Esto es
-div w du du
+ a(xy)u(xy) = f(x y )
d_ampX
c(x y) dudx
ddy
c(x y) dudy
+ a(xy)u(xy) = f ( x y )
dc(x y) du v d2u dc(x y) du amp umdash amp T S ----- S _C (liuml)i = (B3)
Un caso particular es cuando a = 0 y c = l
58
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
- pound - ( raquo ) (b 4)
Conocida ramo la ecuacioacuten de Poisson
Este tipo de ecuacioacuten la encontarmos por ejemplo en la Teoriacutea de Torsioacuten de St
Venant en el movimiento lento de fluidos incompresibles y viscosos y en la ley del
inverso cuadrado tic la teoriacutea de electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos
donde la densidad de carga intensidad de polo o densidad de masa respectivamente
sean diferente de cero
Si ademaacutes = 0 tenemos
Conocida como la ecuacioacuten de Laplace Esta ecuacioacuten surge en 1^ teoriacuteas asociadas
con la conduccioacuten de calor o electricidad en soacutelidos en conductores homogeacuteneos
con el flujo irrotacional de fluidos incompresibles y con problemas de potencial en
electricidad magnetismo y gravitacioacuten en puntos desprovistos de estas cantidades
(densidad de carga intensidad de polo y densidad de masa respectivamente)
^abajemos con una condicioacuten de frontera general
du y ~ + a i u = 0 i aiexcl Pt des un
Si 7 ^ 0 entonces tenemos que nuestra condicioacuten de frontera se puede escribir como
du+ au mdash P oiacute Prsquo ctes ()
un
y si 7 = 0 entonces nuestra condicioacuten de frontera queda de la siguiente forma
au mdash P a P ctes
que es conocida como una condicioacuten tic frontera Tipo DiTichlet
59
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Viacuteanos a trabajar con la condicioacuten de frontera () es decir
dumdash 77- + laquoilaquo = Pi front izquierda dx
dumdash + laquo 2u = P2 front superior dy
dumdash + a$u mdash fa front derecha dx
dudy
mdash7mdash f4 U = front izquierda
Un caso particular son las condiciones de frontera siguientes
dudx
ududy
u
0 front Izquierda (Tipo Neumann)
0 front Derecha (Tipo Dirichlet)
0 front Inferior
0 front Superior
CF
B 2 D iscretizacioacuten de una E D P E liacutep tica en D ifeshy
rencias F in itas
Un enfoque para encontrar la solucioacuten numeacuterica de una EDP recurre a las apr^
ximaciones por diferencias finitas de 1^ derivadas En su primera etapa se procede a
discretizar el dominio y luego se aproximan 1 derivadas que aparecen en la ecuacioacuten
diferencial por alguna de 1^ siguientes foacutermulas baacutesicas
60
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
() laquo ^ [ f x - h ) - f(x)]
f x ) ~ ^ [ (reg + f c ) - ( reg - ^
(z) ~ ^2 [(x + ^) - 2 (x ) + f x - h)]
Acto seguido sustituimos nuestra EDP original por una versioacuten disrretizada en la
que se utilizan 1 ecuaciones anteriores
Ahora tenemos como objetivo encontrar la ecuacioacuten en diferencias finitas para la
ecuacioacuten (B3)
Para mayor sencilles supondremos que nuestro dominio es una retiacutecula rectangular
con intervalos espaciados de manera uniforme en el dominio
Sabemos quedu 1
a - laquou )
du 1 v- - W mdash (laquoij+l - Uij)dy ampy
(B6)
(B7)
d2U i n (B8)
uumlr3~ ~ + Uiacute+i j )
d2 u 1 Vdy
(B9)
61
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
d c _ J _ dy ~ A x CiJ+1 Cij)
Reemplazando las ecuaciones (B6)(Bll) en la ecuacioacuten (B3) tenemos
- ciexclj )
(Bll)
(B10)
~ c i j + 1 _ c i j ) ( u i j + 1 ~ Ui j ) _ c i j y 2 (U irsquo3 ~ l _ lsquo U i 3 ^ ^raquoJ + l) d a i j Ui j = f i j
esto es
Ax2 Ciacute+1rsquo Cii)(Ui+1j wj) A x2^Ui~1rsquo ^Ui
1 Ci~ A y _ _ ^ j ) _ ~ ^ Ui3 d u i j + l ) + O i j U i j mdash f i j
(B12)Esta ecuacioacuten (B12) se aplica a todos los puntos interiores de la retiacutecula excepto a
los puntos de la frontera
De (B12) Si a = 0 y c = 1
_ Ax2 ^ Iacute+1J _ ^U irsquo3 ^ _ ^ y 2 (U i 3+l _ ^ Ui3 ^ u i j - 1) = f i j (B13)
Entonces la ecuacioacuten anterior es la ntildeirma discretizada para la Ecuacioacuten de Poisson
Si ademaacutes = 0
1 1_ A x 2 ^Ui+lrsquo _ lsquo Uirsquo ^ Ui~llt3 ) _ ^ y 2 _ ^Uij ^ Uij-1) = ^ (B14)
Entonces obtenemos la forma discretizada para la ecuacioacuten de Laplace
Para los puntos de la Retiacutecula que estmi en la frontera requerimos un tratamiento
especial debido a que
62
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
a) El nuacutemero de puntos vecinos es menor que cuatro
b) Deben tomarse en cuenta las condiciones de frontera
t o n t e r a Inferior
Consideremos la frontera inferior
i2
i__________ i__________ 1iacute-11 iacutel i+ll
Figura Bl frontera Inferior
Tenemos que la condicioacuten de frontera inferior es
du~ mdash + au = p dy
De aquiacute que la aproximacioacuten para ^ variacutee es decirdy
duntilde~ = -P +uacutey (B15)
Tambieacuten es necesario encontrar otra aproximacioacuten para la ecuacioacuten (B9) Lo
hacemos de la sgte forma
du^yJi 1+12
du
Ay2
(B16)-
Para aproximar el primer teacutermino utilizamos diferencias centrales
63
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
iquest h t _ Uj2 - Ujl
d y i 1+12 A y(B17)
Reemplazando la ecuacioacuten (B17) en (B16) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos^i2 ~ Wj)l ( o
famp u A s ~ (~ 0 + ldquoil)
TW ii
q u 2 d y i ) j = Ay ^ rsquo2 ^ + A y (P auM)] (B-18)
Reemplazando en (B3) tenemos (sustituimos (B15) por (B7) y (B18) por
(B9))
1 Ci |- + t+ii)
t (ciacute2 - cii)(auiii - 0) - 2-^~[nii2 - Uii + A yP - auii)] + aitiUiA = MAy y
(B19)
La ecuacioacuten (B19) es la ecuacioacuten en diferencias finita para un punto de la
frontera inferior
t o n t e r a Izquierda
Ahora consideremos la Frontera Izquierda
La condicioacuten de frontera izquierda es
du~ + au = 3 dx
La aproximacioacuten en diferencias para pound esax
d u dx J P + auitj
hj(B20)
64
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
tj-U
1 1J
lj-l
1ltJ 1 = 1
Figura B2 Montera Izquierda
Necesitamos otra aproximacioacuten pm a la ecuacioacuten (B8)
Donde
a2 u dx2
d u daeligl+ l2j
dudx 13
13 Ax2
(B21)
= u2j - Ujtjd x ) Ax (B22)
1+12J
Reemplazando la ecuacioacuten (B22) en (B21) y usando la condicioacuten de frontera
tenemos
a2u U2rsquo3a x 13 ~(~ + aUl^dx^ Igrave i i Ax
2
a^ 2(iquestfc2 ) = Acirc^2[M2ji ~ uhj + A x ( ^ - a u l)] (B23)
Reemplazmido en (B3) tenemos (sustituimos (B2U) por (B6) y (B23) por
(B8))
65
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
cl j) (aMli - P ) ~ ~ + A x (P ~
^^^2 ( ClgtJ+1 c l j ) ( w l j + l w l i ) A y 2 ^ U iacute rsquo ~ iacute ^ Wl i+ ] ^ 0 l gtIacuteU l j _ i d
(B24)
La ecuacioacuten (B24) es la ecuacioacuten en diferencia finitas para cualquier punto de
la frontera izquierda
t o n t e r a Superior
Ahora trabajemos con la frontera superior
hi-_______________ hbdquoi+1
h-li lt ltW J mdash ~ ^
Figura B3 Frontera Superior
Si observamos las ecuaciones (B6) (B ll) nos daremos cuenta que tenemos que
encontrar otra aproximacioacuten para
du d2 u ded y rsquo dy y dy
Pero por la condicioacuten de frontera tenemos que
dumdash = p - a u dy
Entoncesiacute d u U) a u A (B-25)
66
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Para mdash Tenemos dy
dedy ih
Cih Cjhmdash1ampy
du du d 2u = d y ) i h d y ) it _12
V d V2 ) ih ^2
Donde
f d u _ Uith mdash Uith - i
dy )i h - 12 _ A V
De las ecuaciones (B28) y (B27) tenemos
(B26)
(B27)
(B28)
d2udy2 ih
A~ 2 [ldquo (ldquo ~ uigtfc-i) + A y P - auitfc)]
Reemplazando en (B3) tenemos
(B29)
1 Ci h1 mdash )(+amp mdash mdash ^^2 lit mdash + ui+ lft )
1 Cj fi
(B30)
M ontera D erecha
Ahora trabajemos con la frontera derecha
Tenemos que aproximardu amp u dedx dx2 rsquo ^ dx
Por la condicioacuten de fronteradu
= p ~ a u dx
67
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
1 ltj ltlaquoI = 1
Figura B4 Frontera Derecha
Entonces
P a r a Tenemos ax
dudx = 0 - auij
5c = cu ~ cl-hJd x ) liexcl Ax
Donde
iacute d u d uamp u _ d x )ijdx^J t Ax
2
= uij - m-ijd x ) Ax
Por tanto de (B34) y (B33) tenemos
(B31)
(B32)
(B33)
(B34)
Reemplazando en (B3)
68
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
- ciJ - Ciacute- 1 iquest)(0 - auij) - - ui-hj) + A x(P - auu)]
1 ciquest _ A Cllti+1 _ ct)(Wid + 1 _ u iiquest ) ~ ^ ~ 2 [wty - i _ 2wU + wiquestj + i] + a iquestj i = f i j
(B36)
B 2 1 A proxim acioacuten en las E squinas
Para aproximar 1^ esquinas debemos hacer aproximaciones similares a 1^ anterioshy
res
D esarrollem os para la esquina (11)
Debemos tener en cuenta que
dumdash + opu mdash fti Front Izquierdaur
mdashmdash + a 2 U mdash iexcl32 Front Inferiordy
Entonces- a i u q i - f r
ii
dudy ni
laquo 2^ 11 ~ 0 2
Ademaacutes utilizamos las aproximaciones (B18) para y la aprox (B23) p a ra -mdashayiquest oxiquest
De todo esto tenemos
- 5 ^ ] - poundi) Uifl n Aa(j3i -
1Ay (c12 Cii)(a^u^i mdash amp) _ 2 cy
Ay [Ut2 mdash Uij + Ay(^2 _ 02^ 11)] + 011^ 11 mdash ll(B37)
69
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
La ecuacioacuten (B37) es la ecuacioacuten en diferencias finitas para el punto (11)
De forma similar se desarrolla para encontrar los puntos de las esquinas restantes
70
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
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[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Apeacutendice C
Coacutedigo M eacutetodo del Paso Fraccional
Este coacutedigo puede ser encontrado en [10] y soluciona las ecuaciones de Navier Stokes
en un dominio rectangular con velocidad nula a lo largo de la frontera El meacutetodo
de solucioacuten utilizado es el de diferencias difitas par mallas alternadas rsquorsquoStaggcrcdgon
difusioacuten impliacutecita y con un meacutetodo de proyeccioacuten de Cliorin para la presioacuten
La visualizacioacuten es hecha mediante graacuteficos golormap-isolinerdquopara la presioacuten y liacuteneas
de corriente para el campo velocidad
71
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
72
Bibliografiacutea
[1] Chorin Alexandre J and Marsden Jerrold E A Mathematical Introduction to
Fluid Mechanics Springer-Verlag 1993
[2] Lages Lima Elon Curso de Anaacutelise Vol II
[3] Naylor Arch W Linear operator theory in engineering and science
[4] Quartapelle L Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equashy
tions International Series of Numerical Mathematics Vol 113 Birkhauser Verlag
1993
[5] Serriacuten James Mathematical principles of classical fluids mechanics
[6] Swokowski Carl W Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica
[7] Gerhart Philip M Gross Richard J and Hochstein John I Andamentos de la
MEcaacutenica de Fluidos Addison-Wesley Iberoameacuterica
Paacuteginas Web
[8] edutecnehttp ^ edutecne utn eduarm ecanica_fluidosm ec^ica_
flu idos_2pdf
[9] Codigoh ttp t^w -m ath m itedu~seibold
[10] Mecaacutenica de fluidosh t tp t^ w ndedu-msenM ecflpdf
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