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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
Cátedra: ESTRUCTURAS
Tema: Método de Cross.-
Responsable de Cátedra: Ing. Fernando Rubén DETKE Profesor Titular (E).-
Responsable Practica: Ing. José Luis GOLEMBA J.T.P. (S).-
Julio Cesar ANSIN ANTILLE Profesor Adjunto (SE).-
Departamento de Ingeniería Civil
Estructuras Método de Cross: Pág. 1/21
ESTRUCTURAS
TEMA V: MÉTODO DE CROSS
1) - INTRODUCCIÓN
El desarrollo de algunos métodos de iteración para la resolución de estructuras de un alto
grado de hiperestaticidad, son métodos son simples y conducen rápidamente a la solución del
problema sin la necesidad del planteo de sistemas lineales de ecuaciones.
Uno de estos métodos fue desarrollado por el Ingeniero Norteamericano Hardy Cross y es
conocido como “Método de Cross”.
En síntesis, el método se basa en el método de las deformaciones, resuelto en forma
iterativa, pero en el cual se han cambiado las incógnitas deformaciones por solicitaciones a las
cuales esta más habituado el ingeniero calculista. Precisamente, una de las principales virtudes
que tiene el método es que no pierde en ningún momento la visión física del comportamiento de
la estructura.
2) - CONSTANTES Y ECUACIONES FUNDAMENTALES
Definiremos en principio algunas constantes características que utilizaremos a partir de un
sistema fundamental en el cual todas las barras están empotradas-empotradas o empotradas-
articuladas.
2-a) - Rigidez angular “ik”:
Es el momento necesario a aplicar en la sección extrema de una barra para que en la
misma se produzca una rotación unitaria.
Barra empotrada-empotrada
Cuando:
i i k i k
i k i k i k i k i k i k
i k i k i k
i k
i k
M
M M a b c
M aEJ
l
1
4
Barra empotrada-articulada
M a bi k i k i k
Por ser nulo el momento en el otro
extremo.
M a b
b
a
k i k i k i
k
k i
i
0
reemplazando:
M ab
ai k i i k
k i
2
Cuando: i i k i k i k
k i
M ab
a 1
2
Estructuras Método de Cross: Pág. 2/21
Para la barra con momento de inercia constante será:
MEJ
l
MEJ
l
MEJ
l
i k
i k
i k
i k
k i
i k
i k
k i k
i
i k
i k
i k
i
2 2
2 2 02
3
( )
( )
Para: i i k i k
i k
i k
MEJ
l 1 3
Barra empotrada-libre
En este caso:
00 kiM
2-b) - Coeficiente de transmisión :
Es el valor del momento que se produce en el extremo de una barra cuando en el otro
extremo actúa un momento igual a la unidad. En otras palabras, es un coeficiente que permite
calcular que porcentaje de un momento aplicado en un extremo se transmite al otro.
Barra empotrada-empotrada
Será:
M aa
M bb
a
i k i k i i
i k
k i i
i k
11
Para barras con momentos de inercia
constante:
MEJ
l
l
EJ
EJ
l
EJ
l
l
EJ
i k
i k
i k
i i
i k
i k
i k
i k
i
i k
i k
i k
i k
4 14
2 24
0 5
,
Estructuras Método de Cross: Pág. 3/21
Barra empotrada-articulada o empotrada-libre
En ambos casos al aplicar un momento unitario
en un extremo, en el otro no aparece ningún
momento.
=0.
2-c) - Coeficiente de distribución ik:
Supongamos una serie de barras que
concurren a un nudo y que el nudo es rígido, o
sea que al rotar el nudo rotan todas las barras
que concurren al mismo.
Cada una de las barras tiene una
determinada sección, longitud y forma de
vinculación al otro extremo, con lo cual queda
definida su rigidez angular (ik).
Supongamos también que exteriormente
aplicamos al nudo un momento MI. El nudo
comenzará a rotar al igual que las barras. En
estas últimas irán apareciendo momentos que
tratarán de equilibrar al momento exterior,
llegará un instante en que la rotación
producirá momentos tales que el nudo se
equilibrará con los momentos Mik de reacción
en las barras:
M MI i kk
n
01
Queremos averiguar ahora que parte del momento exterior MI absorberá la barra i-k (Mik).
Por la hipótesis de rigidez de nudo, todas las barras y el nudo rotarán un ángulo i,
siendo:
M
MM
M M
i k i k i
I i k ik
n
i
I
i kk
n
i k
i k
i kk
n I
01
1
1
Denominamos coeficiente de distribución:
i k
i k
i kk
n i k i k IM M
1
Esta expresión nos dice que para hallar el momento en una barra, se debe cambiar el signo
del momento que estaba actuando sobre el nudo y multiplicarlo por el coeficiente de
distribución.
Estructuras Método de Cross: Pág. 4/21
Este coeficiente es el valor absoluto del momento que aparece en el extremo de una barra
cuando al nudo que ésta concurre se le aplica un momento unitario.
Es inmediato verificar que la suma de todos los ik de un nudo es igual a la unidad.
i k
k
ni k
i kk
n
i kk
n
i kk
nk
n
1
1
1
1
1
1
3) - MÉTODO DE CROSS PARA ESTRUCTURAS INDESPLAZABLES
Utilizaremos la misma nomenclatura y convención de signos del método de las
deformaciones y prácticamente las mismas hipótesis.
Supongamos una estructura cualquiera, en la cual los nudos pueden rotar pero no
desplazarse en el espacio. Con el fin de aclarar ideas desarrollaremos la teoría a través de un
ejemplo numérico.
3-1) Rigideces angulares :
12
12
12
0 2 3
2 3
2 3
0 34
34
34
0
16
16
16
0 2 5
2 5
2 5
0
43
43
42 4
31 5
4
EJ
lEJ
EJ
lEJ
EJ
lEJ
EJ
lEJ
EJ
lEJ
,
,
3-2) Coeficientes de distribución :
1 2
1 2
1 2 1 6
2 1
1 2
1 2 2 3 2 5
3 2
2 3
2 3 3 4
1 6
1 6
1 2 1 6
2 3
2 3
1 2 2 3 2 5
3 4
3 4
2 3 3 4
2 5
2 5
1 2 2 3 2 5
3
4 50 67
3
70 43
3
5 40 56
1 5
4 50 33
3
70 43
2 4
5 40 44
1 1
1
70 14
1
,, ,
,,
,
,, ,
,
,,
,
Estructuras Método de Cross: Pág. 5/21
3-3) Coeficientes de transmisión :
Los coeficientes de transmisión valen =0,5 para todas las barras, excepto la 1-6 donde
=0.
3-4) Momentos de empotramiento perfecto:
Mql
tm Mql
tm
MPl
tm MPl
tm
Mql
tm Mql
tm
12
2
2 1
2
2 3 3 2
3 4
2
4 3
2
125 33
125 33
83
83
124 17
124 17
, ,
, ,
3-5) Desarrollo del método:
Supongamos ahora que tomamos como fundamental una estructura en la cual están
rígidamente empotrados todos los nudos. En nuestro caso, excepto el nudo 6, ya que la barra 1-
6 hemos considerado como empotrada articulada. Este empotramiento se realiza mediante
chapas de fijación ideales aplicadas en los nudos 1, 2 y 3. Bajo esta condición y con las cargas
exteriores actuarán, sobre las chapas de cada nudo, los siguientes momentos de desequilibrio.
Sobre chapa nudo 1:
M M tm1 12 5 33 ,
Sobre chapa nudo 2:
M M M tm2 21 2 3 5 33 3 2 33 , , .
Sobre chapa nudo 3:
M M M tm3 32 34 3 4 17 117 , , .
Todos los Moik indicamos sobre un dibujo de
la estructura.
Supongamos ahora tomar el nudo 1, sobre el
cual actúa un momento M1=5,33 tm; si liberamos
el nudo el momento actuante lo obligará a rotar
hasta encontrar su posición de equilibrio,
apareciendo sobre las barras los siguientes
momentos:
M M tm tm
M M tm tm
12 12 1
16 16 1
0 67 5 33 3 57
0 33 5 33 1 76
( , ).( , ) , .
( , ). ( , ) ,
Anotamos estos valores sobre la estructura.
Estructuras Método de Cross: Pág. 6/21
Al aparecer en la barra 1-2 un momento de (-3,57 tm) parte del mismo se transmite al
nudo 2:
M tm tm12 0 5 3 57 1 79, ( , ) , Anotamos sobre la estructura.
El nudo 1 ahora está en equilibrio ya que actúan los momentos barra sobre nudo: (-
1,76+5,33-3,57)=0.
Colocamos nuevamente la chapa de fijación en la estructura, para indicar que se equilibran
los momentos colocamos rayas sobre las barras 1-6 y 1-2.
Pasamos al nudo 2, donde existe un
momento de desequilibrio:
M tm2 5 33 3 1 79 4 12 , , , .
Liberamos el nudo y aparecerán:
M M tm tm
M M tm tm
M M tm tm
21 21 2
2 3 2 3 2
2 5 2 5 2
0 43 4 12 1 77
0 43 4 12 1 77
0 14 4 12 0 58
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
Valores que anotamos sobre la estructura.
Estos momentos se transmiten a los extremos 1, 3 y 5 mediante el coeficiente =0,5 como
0,89; 0,89 y 0,29 respectivamente, valores que indicamos sobre la estructura.
El nudo 2 está equilibrado. Colocamos la chapa en la estructura y cerramos el nudo
mediante una raya.
Pasamos al nudo 3, donde tendremos:
M tm3 3 0 89 4 17 2 06 ( , , ) , .
Al liberar el nudo aparecerán:
M M tm tm
M M tm tm
32 32 3
34 34 3
0 56 2 06 115
0 44 2 06 0 91
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
Estructuras Método de Cross: Pág. 7/21
Estos momentos a su vez se transmiten como (-0,58 tm) y (-0,46 tm) a los nudos 2 y 4
respectivamente. El nudo 3 está en equilibrio, podemos volver a empotrarlo y cerrar el nudo.
Volvemos al nudo 1, como hasta el cierre anterior estaba en equilibrio, solo hay en este
instante un momento de desequilibrio que se ha transmitido del nudo 2:
M tm1 0 89 , .
Liberamos el nudo, distribuimos y transmitimos a los nudos vecinos de la siguiente
manera.
Distribución:
M tm
M tm
16
12
0 33 0 89 0 29
0 67 0 89 0 60
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
Transmisión al nudo 3: ( , )( , ) , .0 5 0 6 0 3 tm
Cerramos el nudo.
Pasamos al nudo 2:
M tm2 0 30 0 58 0 88 , , , .
Distribución:
M tm
M tm
M tm
21
2 3
2 5
0 43 0 88 0 38
0 43 0 88 0 38
0 14 0 88 0 12
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
Transmisión:
a nudo tm
a nudo tm
a nudo tm
1 0 5 0 38 0 19
3 0 5 0 38 0 19
5 0 5 0 12 0 06
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
( , )( , ) , .
Volvemos a cerrar el nudo y así sucesivamente.
Nudo 3: distribuimos M3=0,19 tm en (-0,11 tm) y (-0,08 tm), transmitiendo (-0,06 tm) y
(-0,04 tm).
Nudo 1: distribución: M1=0,19 tm en (-0,13 tm) y (-0,06 tm), transmisión (-0,07 tm).
Nudo 2: distribución: M2=(-0,07-0,06)=-0,13 tm en (0,06 tm) y (0,06 tm) y (0,01 tm),
transmisión (0,03 tm), (0,03 tm) y (0,00).
Nudo 3: distribución: M3=0,03 tm en (-0,02 tm) y (-0,01 tm), transmisión (-0,01 tm)y
(0,00).
Nudo 1: distribución: M1=0,03 tm en (-0,02 tm) y (-0,01 tm), transmisión (-0,01 tm).
Nudo 2: distribución: M2=-0,02 tm en (0,01 tm) y (0,01 tm) y no transmitimos nada a los
nudos adyacentes.
Hacemos notar que en cada iteración van apareciendo incrementos de momentos en los
extremos de barras.
En este instante todos los nudos están en equilibrio, podemos eliminar todas las chapas de
fijación que la estructura no se moverá. En el otro extremo de cada barra estará actuando el
momento inicial más todos los incrementos que han aparecido en cada iteración.
Estructuras Método de Cross: Pág. 8/21
3-6) Momentos finales:
.35,0.67,4.17,3
.17,3.71,0.57,4
.28,5.12,2.12,2
253443
235232
122161
tmMtmMtmM
tmMtmMtmM
tmMtmMtmM
MMM kikiki
Donde se verifica que todos los nudos están en equilibrio.
Con los momentos en los extremos de cada barra y las cargas podemos hacer los
diagramas M, Q, N.
3-7) – Resumen:
1º) - Cálculo de las rigideces angulares .
2º) - Cálculo de los coeficientes de distribución .
3°) - Transmisión .
4º) - Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto Mo.
5º) - Organización del esquema de distribución y realización de las iteraciones.
6º) - Cálculo de los momentos finales y elaboración de los diagramas de solicitaciones.
Aclaramos que no es necesario un orden cíclico en las iteraciones, pero en algunos casos
suele ser conveniente. En general, conviene ir realizando iteraciones en los nudos con mayor
desequilibrio para obtener mayor convergencia.
4) - ESTRUCTURAS DESPLAZABLES
En general ocurre que los nudos, además de tener libertad para rotar, pueden desplazarse
en el espacio. En estos casos, el planteo realizado no es suficiente para hallar las solicitaciones.
Sea la estructura de la figura sobre la que
actúan las cargas (P, H1 y H2) y tratemos de
resolverla.
4-1) Estado de carga cero “0”,
indesplazable:
En primer lugar convertimos la estructura
en un sistema indesplazable introduciendo dos
retenes o apoyos en los nudos 4 y 5.
Estructuras Método de Cross: Pág. 9/21
La nueva estructura es indesplazable y
puede ser calculada basándose en el proceso
iterativo visto anteriormente, mediante la
sucesiva distribución de los momentos de
desequilibrio que aparecen en los nudos.
Terminado este cálculo tendremos en la
estructura un determinado diagrama de
momentos flectores que denominamos Mo, a
partir de los cuales podemos obtener los
esfuerzos de corte y normales.
Recordemos que en esta estructura
existen todavía dos apoyos o retenes ideales,
que la han convertido en indesplazable, que
tendrán valores de reacciones Ho1 y Ho2,
valores que podemos calcular mediante las
ecuaciones de piso:
56215423202
5432101
QQQQHH
QQHH
4-2) Estado de carga uno “I”, desplazamiento
del piso superior:
Vamos ahora a dar un desplazamiento 1 al
primer piso (superior), pero con las chapas que
evitan la rotación de los nudos.
Aparecerán los momentos
M M M M32 23 45 54, , , que si el momento de inercia es
cte, valdrán:
M MEJ
li k i k
i k
i k
i k i k
2
2 3( )
donde: 0;0;0 kikiM
MOMENTOS EN LOS EXTREMOS DE UNA BARRA CON DESPLAZAMIENTO
TRANSVERSAL
Barra Empotrada-Empotrada
Además: i k
i kl 1
M MEJ
l l
EJ
li k k i
i k
i k i k
i k
i k
6 61 1
2
M'3-2
2-3M'
M'4-5
M'5-4
H11
H12
Estado I
Estructuras Método de Cross: Pág. 10/21
En nuestro ejemplo:
M MEJ
l
M MEJ
l
2 3 32
23
23
2 1
45 54
45
45
2 1
6
6
M
M
J
J
l
l
23
45
23
45
45
2
23
2
Barra Empotrada-Articulada
MEJ
l l
MEJ
l l
MEJ
l l l
EJ
l
i k
i k
i k
k i k i k
i k
k i
i k
i k
k i k k i k
i k
i k
i k
i k i k i k
i k
i k
22
22 3 0
3
2
3
2
2 3
23
3
1
1
1 1
2 1
Volviendo a la estructura, distribuimos los momentos de desequilibrio que han aparecido
hasta que el sistema se equilibre en la posición desplazada.
Tendremos entonces un diagrama de
momentos M1 con sus correspondientes esfuerzos
de corte y normales y sus reacciones H11 y H12,
valores que podemos calcular mediante las
ecuaciones de piso:
H Q Q
H Q Q Q Q
11 32 45
12 23 45 21 56
4-3) Estado de carga dos “II”, desplazamiento
del piso inferior:
Damos ahora un nuevo desplazamiento,
como el de la figura, al primer nivel (Inferior),
apareciendo momentos de desequilibrio en las
barras inferiores que pasamos a resolver por un
nuevo proceso iterativo obteniendo un diagrama
de momentos M2 y las reacciones H21 y H22
mediante el planteo de las ecuaciones de piso
correspondientes.
4-4) Ecuaciones de compatibilidad:
Como en el sistema original no existían retenes, la deformación de la estructura se
obtendrá mediante la combinación lineal de los tres estados de deformaciones y solicitaciones,
de manera tal que las reacciones sean nulas:
H k H k H
H k H k H
01 1 11 2 21
02 1 12 2 22
0
0
Estructuras Método de Cross: Pág. 11/21
De estas ecuaciones es posible obtener las incógnitas k1 y k2 que son los factores por los
que hay que multiplicar los estados I y II de desplazamientos.
4-5) Momentos finales:
Se obtendrán por superposición de efectos, sumando los momentos de los tres estados de
cargas considerados anteriormente; sin olvidarnos de afectar por los coeficientes k1 y k2 a los
valores de los estados I y II correspondientemente ya que los mismos representen el
comportamiento real de la estructura.
Las solicitaciones finales serán entonces:
M M k M k Mi k i k i k i k 1
1
2
2
5) - ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS
Existe una gran cantidad de estructuras cuya forma es simétrica, situación que permite
hacer algunas simplificaciones en los cálculos.
5-1) Cargas:
Además, cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma de un estado de
cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de superposición de
efectos.
Veamos algunos ejemplos sencillos:
Carga general = Carga simétrica + Carga asimétrica.
El procedimiento no tiene reglas fijas, pero en general es sencillo descomponer un estado
de cargas general en un estado simétrico más otro antisimétrico, bastando para ello respetar el
siguiente análisis:
Estructuras Método de Cross: Pág. 12/21
Llamando s a un sector de la estructura y s` a la parte simétrica; si sobre los sectores
actúan las cargas:
Sector s P q
Sector s P q
;
;
El estado simétrico será:
Sector sq q P P
Sector sq q P P
2 2
2 2
;
;
El estado asimétrico será:
Sector sq q P P
Sector sq q P P
2 2
2 2
;
;
La superposición de los dos estados nos dará:
Sector sq q q q
qP P P P
P q P
Sector sq q q q
qP P P P
P q P
2 2 2 2
2 2 2 2
;
;
Observamos que lo obtenido es el estado original de cargas.
5-2) Elástica y Solicitaciones:
Veamos ahora que pasa con los diagramas de solicitaciones M, Q, N para estos casos de
cargas y para las estructuras ya vistas:
ASIMETRICA
SIMETRICA
ASIMETRICA
ASIMETRICA
P/2
H/2
q/2
P/2
H/2
M
Q
N
ELASTICA
q/2P/2 P/2
H/2 H/2
SIMETRICA
SIMETRICA
ASIMETRICA
SIMETRICA
Estructuras Método de Cross: Pág. 13/21
En conclusión, en estructuras simétricas con cargas simétricas y cargas asimétricas se
cumple que:
Carga Elástica Mf Q N
Simétrica Simétrica Simétrica Asimétrica Simétrica
Asimétrica Asimétrica Asimétrica Simétrica Asimétrica
Basándose en esto se pueden hacer importantes simplificaciones en los procedimientos de
cálculo, ya que por simetría puede eliminarse algunas incógnitas en función de otras iguales, o
bien que tienen el mismo valor absoluto. Veamos esto en su aplicación al Método de Cross:
Estructuras Método de Cross: Pág. 14/21
5-3) Estructuras simétricas con cargas simétricas:
5-3-1) El eje de simetría corta a un apoyo:
Dada la simetría, el nudo del eje no
tendrá rotación, luego se está comportando
como un empotramiento y puede ser resuelta la
mitad de la estructura a la cual se la considera
como empotrada en el apoyo de referencia.
Del otro lado del eje se dibujan los
diagramas teniendo en cuenta las conclusiones
anteriores.
5-3-2) El eje de simetría corta a una columna:
El nudo A no puede tener rotación ni
desplazamiento, luego, se lo considera como
empotrado y se resuelve la mitad de la
estructura.
Se debe, sin embargo, tener en cuenta
que en la columna actúa un esfuerzo normal
que es el doble del esfuerzo de corte que actúa
en el empotramiento.
5-3-3) El eje de simetría corta a una barra:
Si consideramos la barra AA`, como el
momento flector es simétrico, podemos suponer
que en un determinado instante sobre la barra
actúan dos momentos como los indicados en la
figura.
Consideramos que soltamos dos nudos a la
vez y analicemos que ocurre con el coeficiente de
rigidez angular de la barra, si EJ = cte.
MEJ
lsi
MEJ
l
AA
AA
AA
22 1 1
2
` `
`
Estructuras Método de Cross: Pág. 15/21
Se deberá entonces resolver una estructura que sea la mitad de la estructura original. Con
los momentos de los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de
simetría extender a toda la estructura.
5-4) Estructuras simétricas con cargas asimétricas:
5-4-1) El eje de simetría corta a un apoyo:
Por condición de carga, en el apoyo A
es nulo el momento flector; por lo tanto
podemos considerar que existe una
articulación y calcular con esta condición la
mitad de la viga solamente.
5-4-2) El eje de simetría corta a una columna:
Sobre el nudo A actúan dos momentos de
desequilibrio MA.
Denominando V y C a los coeficientes de rigidez de viga y columna respectivamente,
tendremos:
M M M
M M M
V
V
V C
A
V
V
CA
C
C
V C
A
C
V
CA
22
2
22 2
2
2
Podremos entonces resolver una
estructura que sea la mitad de la original, en
la cual el coeficiente de rigidez de la
columna que pasa por el eje de simetría
tiene un momento de inercia que vale la
mitad del original y por lo tanto su
coeficiente de rigidez valdrá la mitad del
original.
Estructuras Método de Cross: Pág. 16/21
5-4-3) El eje de simetría corta a una barra:
Por condición de simetría el punto A no
puede descender y además en ese punto el
momento flector es nulo.
Bajo estas condiciones se puede considerar
que hay un apoyo con una articulación y se
resuelve la mitad de la estructura solamente.
MEJ
lsi
MEJ
l
como l lEJ
l
B
B B
B BB
B B
BB BA BA
B A
22 1
6
23
( )
6) - ESTRUCTURAS CON BARRAS DE MOMENTO DE INERCIA VARIABLE
Normalmente las variaciones de momentos de inercia que podemos encontrar en las
estructuras son las siguientes:
a) un acartelamiento:
b) dos acartelamientos:
Si el diseño estructural se realiza en forma conveniente, el empleo de cartelas conduce a
un considerable ahorro económico. Los elevados momentos de inercia de las secciones en las
zonas acarteladas dan como resultado mayores momentos en los nudos y menores momentos en
los tramos, en comparación con los correspondientes a una estructura formada por barras de
momento de inercia constante. En consecuencia, las secciones en los tramos pueden elegirse
menores, lo que a su vez influye de manera favorable sobre la carga debida al peso propio.
Estructuras Método de Cross: Pág. 17/21
El presente estudio consistirá en enunciar las expresiones y determinar la mecánica de
trabajo para la resolución de estructuras acarteladas, utilizando la nomenclatura correspondiente
a las tablas del libro “Cálculos de Estructuras” de C. Prenzlow.
6-1) Ecuaciones fundamentales:
Al estudiar el método de las deformaciones habíamos encontrado que:
M M a b a b
M M a b a b
12 12 12 1 2 12 12
21 21 21 2 1 21 12
( )
( )
Siendo a12; a21 y b coeficientes que dependen del tipo y dimensiones de la cartela. Estos
valores se obtienen de tablas, donde aparecen los valores de a y b reducidos en 1/Ejc para una
barra de longitud unitaria.
A estos valores los llamamos a y b, resultando:
l
EJb
l
EJa
l
EJa ccc baa
21 2112
Reemplazando en las expresiones anteriores resulta:
M MEJ
la b a b
M MEJ
la b a b
c
c
12 12 1 1 2 1 12
21 21 2 2 1 2 12
A fin de utilizar las tablas de Prenzlow
vamos a transformar estas ecuaciones en función
de la nomenclatura y coeficientes dados por este
libro:
aV
li
J
J
c
v
Con los valores de a e i vamos a las tablas de doble entrada y obtenemos los coeficientes
k1, k2, m12, m21 los cuales presentan las siguientes relaciones con los vistos anteriormente:
a k a k
b
am b k m
b
am b k m
1 1 2 2
1
12 1 12
2
21 2 21
4 4
4
4
Las expresiones de los momentos en los extremos de las barras serán entonces:
M MEJ
lk k m k m
M MEJ
lk k m k m
c
c
12 12 1 1 1 12 2 1 12 12
21 21 2 2 2 21 1 2 21 12
41
41
Estructuras Método de Cross: Pág. 18/21
6-2) Aplicación del método de Cross:
Como sabemos, para aplicar este método debemos conocer:
a) Momentos de empotramiento perfecto.
b) Rigideces angulares.
c) Coeficientes de transmisión.
d) Coeficientes de distribución.
6-2-1) Momentos de empotramiento perfecto:
De acuerdo con la barra, si tiene uno o dos acartelamientos, con los valores de a e i, tipos
de apoyos, si la carga es distribuida o concentrada (en el caso de esta última en función de la
posición de la misma) se entra en la tabla correspondiente y se obtienen los coeficientes que nos
permitirán calcular los momentos de empotramiento perfecto.
Para cargas uniformemente distribuidas:
M r ql
M r ql
ik i
ki k
2
2
r: coeficiente de tabla.
q: carga por metro lineal.
l: longitud de la barra.
Para cargas concentradas:
Un acartelamiento:
M Pl
M Pl
ik i
ki k
: coeficiente de tabla.
P: carga concentrada.
l: longitud de la barra.
Dos acartelamientos:
M Pl
M Pl
ik i
ki k
: coeficiente de tabla.
P: carga concentrada.
l: longitud de la barra.
6-2-2) Rigidez angular:
Recordando que se define como rigidez angular al momento necesario a aplicar en el
extremo de una barra para que en el mismo se produzca una rotación unitaria.
Barra Empotrada-Empotrada:
MEJ
lk
cuando MEJ
lk
ik
c i k
i k
i i
i ik i k
c i k
i k
i
04
0 0
14
( )
Barra Empotrada-Articulada:
MEJ
lk K mik
ci k
i k
i ik k 04
00 0( )
siendo mik = 0 porque no puede transmitir
momento el apoyo articulado:
Estructuras Método de Cross: Pág. 19/21
MEJ
lkik i k
ci k
i k
4
0
6-2-3) Coeficiente de transmisión:
Recordando que el coeficiente de transmisión es el valor del momento que se produce en
el extremo de una barra cuando en el otro extremo actúa un momento igual a la unidad:
Barra Empotrada - Empotrada:
M MM
Mk i ik ik ik
ki
ik
Para el caso que i = 1
ik
ki
ik
ki
cik
ik
k ki i
M
MEJ
lk m
04
0 0( )
Siendo:
k m k m
MEJ
lk m
k ki i ik
ki
cik
ik
i ik
4
( )
Reemplazando en la expresión de ik los valores de Mki y ik:
ik
icik
ikiki
ik
cikik m
kEJ
lmk
l
EJ
4)(
4 => ikik m
Barra Empotrada-Articulada:
Como no es posible transmitir momentos al apoyo articulado resulta:
ik ikm 0
6-2-4) Coeficiente de distribución:
Tal como se ha establecido para el caso de barras con momento de inercia constante, los
coeficientes de distribución se calculan mediante la expresión:
ik
ik
ik
para todas las barras que concurren al mismo nudo.
Estructuras Método de Cross: Pág. 20/21
6-3) Momentos en los extremos de una barra con desplazamiento transversal:
Barra Empotrada-Empotrada:
Cuando provocamos un desplazamiento
en los tramos o pisos desplazables:
MEJ
lk k m
l
MEJ
lk k m
MEJ
lk k m
M
M
k m
k m
ik
cik
ik
i i ik
ik
ik
cik
ik
i i ik
ki
cik
ik
k k ki
ik
ki
i ik
k ki
04
0 0
4
4
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
Barra Empotrada-Articulada:
M
EJ
lk
M
ik
cik
ik
ki
4
0
2
6-4) Forma de considerar los acartelamientos en vigas y columnas:
Vigas:
Estructuras Método de Cross: Pág. 21/21
Columnas: