UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE · PDF fileMovimiento de un proyectil ... Un automobil esta viajando por la curva circular de radio r ... Resolucion de ejercicios propuestos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANCRISTOBAL DE HUAMANGA

Departamento Academico de Ingenierıa de Minas y Civil

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINASGEOLOGIA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIACIVIL

TRABAJO N°01RESOLUCION DE PROBLEMAS SELECCIONADOS DELLIBRO MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS -

DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

ASIGNATURA : DINAMICA (IC-244)

ALUMNOS :

ARROYO OSORIO, Jose Alberto

BARRIENTOS RAMIREZ, Hennry

GARCIA SAEZ,Edwin Carlos

LUQUE MENDEZ, Yoel

DOCENTE: Ing. Cristian CASTRO PEREZ

Ayacucho- Peru

2013

RESUMEN

El presente trabajo contiene la resolucion de los principales problemas seleccionados referidos a

cinematica de una partıcula y cinematica de un cuerpo rıgido del libro Mecanica Vectorial para

Ingenieros DINAMICA Decima Edicion del autor R.C.Hibbeler.

Indice

1. Problemas de Cinematica de una partıcula 4

1.1. Movimiento de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Movimiento Curvilıneo: componentes normal y tangencial . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Movimiento Curvilıneo: componentes cilındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Movimiento Relativo: ejes en traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Problemas de Cinematica de un Cuerpo Rıgido 17

2.1. Movimiento Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Movimiento Relativo: Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Movimiento Relativo: Ejes en rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Problemas de Cinematica de una partıcula

Universidad NacionalDe San Cristobal

De Huamanga

1. Problemas de Cinematica de una partıcula

1.1. Movimiento de un proyectil

PROBLEMA 01:

Un carro viajando a lo largo de las posiciones rectas del camino tiene las velocidades indicadas

en la figura cuando llega a los puntos A,B y C. Si le toma 3s ir de A a B, y luego 5 s ir de B a C,

determine la aceleracion promedio entre los puntos A y B; y entre A y C.

solucion

Datos:

tAB = 3s

tBC = 5s

vA = 20m/s

vB = 30m/s

vC = 40m/s

θ = 45◦

Cuando se analiza el movimiento entre dos puntos, hallamos los componentes de la velocidad:

−→v A(x) = 20im/s

−→v A(y) = 0jm/s

−→v B(x) = 30cos45im/s = 21,2132im/s

−→v B(y) = 30sen45jm/s = 21,2132jm/s

−→v C(x) = 40im/s

−→v C(y) = 0jm/s

Resolucion de ejercicios propuestos DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION ≺ 4 �

1.2 Movimiento Curvilıneo: componentes normal y tangencial


De Huamanga

Como:−→a = −→v

a =dvdt∫ t

to

adt =∫ v

vo

dv

a =(v − vo)(t − to)

............(a)

tramo AB:−→a AB =

((21,2132i + 21,2132j)− (20i + 0j))m/s3s

−→a AB = (0,4044i + 7,071j)m/s2

tramo AC:−→a AC =

((40i + 0j)− (20i + 0j))m/s8s

−→a AC = 2,5im/s2

1.2. Movimiento Curvilıneo: componentes normal y tangencial

PROBLEMA 02:

Un tren esta viajando con rapidez constante de 14m/s por la trayectoria curva. Determine la mag-

nitud de la aceleracion del tren frente del tren B , en el instante en que alcanza el punto A ( y=0).

solucion

Pide hallar la magnitud de la aceleracion en el punto A. Por definicion la velocidad siempre esta

dirigida tangencialmente a la trayectoria. Como:

x = 10ey

15




De Huamanga

Entonces:

lnx

10= ln(e

y15 )

y

15= ln

x10

y = 15 ∗ ln x10

dy

dx=

15x

d2y

dx2 = −15x2

La aceleracion es determinada a partir de:

−→a = vut +v2

ρun

Sin embargo; primero es necesario determinar el radio curvatura de la trayectoria en A. Como:

d2y

dx2 =−15x2 ;y

dy

dx=

15x

en el punto , x =10, el radio de curvatura:

ρ =[1 + (dydx )2]3/2

d2ydx2

ρ =[1 + ( 15

10 )2]3/2

−15102

ρ = 39,06m

Como:

at = v

at =dvdt

at = 0,puestoque : v = 14m/s

Entonces:

an =v2

ρ

an =142

39,06

an = 5,02m/s2

a =√at2 + an2 =

√(0)2 + (5,02)2

a = 5,02m/s2




De Huamanga

PROBLEMA 03:

El carro de carreras tiene una rapidez inicial vA = 15m/s en A. Si mientras recorre la pista circular

el carro aumenta si rapidez a razon de at = (0,4s)m/s2, donde s esta en metros, determine el tiempo

necesario para que viaje 20m. Tome ρ = 150m.

solucion

Primero es necesario formular a y v para ser evaluadas a s = 20m , entonces:

at = v = 0,4s

v =dvdt

dvds.dsdt

dvdsv

Ahora:

at =dvdsv

at.ds = v.dv

Reemplazando: ∫ s

so

0,4sds =∫ v

vo

v dv(0,4.s2

2

)s0

=(v2

2

)v15

0,4s2

2=v2

2− 152

2

0,2s2 =v2 − 225

2

v2 = 0,4s2 + 225

v =√

0,4s2 + 225 = s


1.3 Movimiento Curvilıneo: componentes cilındricos


De Huamanga

El tiempo necesario para que el carro viaje puede ser determinado observando que la posicion

cambia, tenemos:

v =dsdt

dt =dsv

Reemplazando: ∫ s

0

1√

0,4s2 + 225ds =

∫ t

0dt∫ s

0

ds√

0,4s2 + 225= t∫ s

0

ds√s2 + 562,5

= 0,63246t

ln(s+

√s2 + 562,5

)s0

= 0,63246t

ln(s+√s2 + 562,5)− ln(23,717) = 0,63246t

t =ln(s+

√s2 + 562,5)− ln(23,717)

0,63246

El tiempo necesario para que viaje 20 m es por tanto.

t = 1,21s

1.3. Movimiento Curvilıneo: componentes cilındricos

PROBLEMA 04:

Un automobil esta viajando por la curva circular de radio r=300 pies. En el instante mostrado,

su razon angular de rotacion es θ. = 0,4rad/s, la cual esta creciendo a razon de θ.. = 0,2rad/s.

Determine la magnitud de la velocidad y la aceleracion del automobil en ese instante.

solucion




De Huamanga

Sabemos que la velocidad:

vr = r = 0

vθ = rθ = 300(0,4) = 120pies/s

Entonces la magnitud de la velocidad es:

v =√vr2 + vθ2 =

√02 + 1202

v = 120 pies/s

Ahora la aceleracion:

ar = r − rθ2 = 0− 300(0,4)2 = −48,0pies/s2

aθ = rθ + 2rθ.2 = 300(0,2) + 2(0)(0,4) = 60pies/s2

Ahora la magnitud de la aceleracion:

a =√ar2 + aθ2 =

√−48,02 + 602

a = 76,8pies/s2

PROBLEMA 05:

En el instante mostrado el rociador de agua esta girando con rapidez angular ,θ = 2rad/s y acele-

racion angular θ = 3rad/s2 . Si la tobera se halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razon

constante de 3m/s. determine las magnitudes de la velocidad y la aceleracion de una partıcula de

agua cuando esta sale por el extremo abierto; r = 0,2m.

solucion

r = 0,2

r = 0

r = 0

hallando velocidad radial:

vr = r

vr = 3m/s




De Huamanga

hallando velocidad angular:

vθ = rθ2 = 2 , θ = 3

vθ = (0,2)(2)

vθ = 0,4 m/s

Hallando la magnitud de la velocidad:

v =√v2r + v2

θ

v =√

32 + 0,42

v = 3,03 m/s

hallando aceleracion radial:

ar = r − rθ2 − rθ2sen2θ︸︷︷︸0

ar = r − rθ2

ar = 0− (0,2)(2)2

ar = −0,80 m/s2

Hallando aceleracion zenital o colatitud:

aθ = rθ − r − 2rθ − rφ2senθcosθ︸︷︷︸0

aθ = rθ − r − 2rθ

aθ = (0,2)(3) + (2)(3)(2)

aθ = 12,6 m/s2

PROBLEMA 06:

un automobil esta viajando a lo largo de una pista de estacionamiento por una rampa cilındrica

espiral con rapidez constante de v=1.5m/s. si la rampa desciende una distancia 12m en cada re-

volucion completa. θ = 2πrad, determine la magnitud de la aceleracion del automobil al moverse

por la rampa, r=10m. Sugerencia para parte de la solucion advierte que en cualquier punto la

tangente a la rampa esta a un angulo de φ = tan−1(12/[2π(10)]) = 10,81◦,desde la horizontal. Use

esto para determinar las componentes de velocidad vθ y vz.que a su vez se usan para determinar

θ y z.




De Huamanga

solucion

Analizando en la formula:

ar = θ − rθ2 − rθ2sin2θ︸︷︷︸0

ar = θ − rθ2

reemplazando en la formula tenemos:

vθ = rθ con r = 10, r = 0, r = 0

θ =vθr

θ =1,473

10

θ = 0,1473

Hallando aceleracion radial:

ar = θ − rθ2

ar = 0− (10)(0,1473)2

ar = −0,217 m/s2

Hallando la aceleracion Zenital o Colatitud:

aθ = rθ − r − 2rθ − rφ2senθcosθ︸︷︷︸0

aθ = rθ − r − 2rθ

aθ = 10(0)− r − 2(0)(0,1473)

aθ = 0 m/s2

Hallando la aceleracion Zenital:

aϕ = 2rϕsenθ + 2rθϕcosθ + rϕsenθ




De Huamanga

aϕ = 0m/s2

ϕ = arctan12

2π(10)

ϕ = 10,81◦

v = 1,5 m/s

vr = r

vr = 0

Por formula tenemos que:

~v = r + rθ + rϕsenθ

vθ = 1,5cos(10,81)

vθ = 1,473 m/s

vϕ = −1,5sen(10,81)

vϕ = −0,2814 m/s

PROBLEMA 07:

el doble collar C esta conectado mediante un pasador de manera tal que un collar se desliza

sobre una barra fija y el otro sobre una barra giratoria AB, si la velocidad angular de AB esta

dada por θ = (e0,5t2 ), donde et esta en segundos y la trayectoria definida por la barra fija es r =

0,4senθ + 0,2m, determine las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleracion

del collar cuando t=1s, cuando t=0, θ = 0. Use la regla de simpson para determinar θen, t = 1s.

solucion




De Huamanga

θ = e0,5t2∣∣∣∣t=1⇒ θ = 1,649

rads

θ = e0,5t2∣∣∣∣t=1⇒ θ = 1,649

rads

Hallando θ :

θ =∫ 1

0e0,5t2 dt

θ = 1,195rad/s

θ = 68,47◦

la trayectoria de la barra fija es:

r = 0,4sinθ + 0,2........(1)

derivando para hallar la velocidad:

r = 0,4cos(θ)(θ)........(2)

derivando para hallar la aceleracion:

r = −0,4sen(θ)(θ)2 + 0,4cos(θ)(θ)........(3)

reemplazando el angulo en las ecuaciones tendremos los siguientes resultados:

r = 0,4sinθ + 0,2........(1)

r = 0,4sin(68,47) + 0,2

r = 0,5721

r = 0,4cos(θ)(θ)........(2)

r = 0,4cos(68,47)(1,649)

r = 0,2424

r = −0,4sin(θ)(θ)2 + 0,4cos(θ)(θ)........(3)

r = −0,4sin(68,47)(1,649)2 + 0,4cos(68,47)(1,649)

r = −0,7694m/s2

Hallando velocidad radial:

vr = r


1.4 Movimiento Relativo: ejes en traslacion


De Huamanga

vr = 0,242 m/s

vθ = rθ

vθ = 943 m/s

aθ = rθ + 2rθ

aθ = (0,572)(1,649) + 2(0,242)(1,649)

aθ = 1,74 m/s2

1.4. Movimiento Relativo: ejes en traslacion

PROBLEMA 08:

La arena cae del reposo 0.5m verticalmente sobre un canalon. Si entonces se desliza con velocidad

vc = 2m/s por el canalon, determine la velocidad relativa de la arena justo al caer sobre el canalon

en el punto A con respecto a la arena que se desliza hacia abajo por el canalon. Este forma un

angulo de 40° con la horizontal.

solucion

Datos:

h = 0,5m

vc = 2m/s

Calculamos la velocidad en el punto A; pero como se trata de un movimiento vertical que ademas

parte del reposo la vo = 0. Asiendo uso dela siguiente ecuacion:

vA2 = v0

2 + 2gh


1.5 Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares


De Huamanga

vA2 = 2(9,81)(0,5)

vA = −3,1321m/s

Expresando vectorialmente :−→v A = −3,1321j ........(α)

Calculamos la velocidad relativaVA/C para lo cual sabemos por definicion que:

−→v A = −→v C + −→v A/C ...............(1)

Expresando vectorialmente:−→v C = −→v C(x),i + −→v C(y)j

−→v C = 2cos40i − 2sen40j ..............(β)

y;−→v A/C = −→v A/C(x)i + −→v A/C(y)j ...........(θ)

Sustituyendo (α); (β)y(θ)en(1) :

−3,1321j = 2cos40i − 2sen40j + −→v A/C(x)i + −→v A/C(y)j

ordenado y luego comparando termina:

−2cos40i + (2sen40− 3,1321)j = −→v A/C(x)i + −→v A/C(y)j

−→v A/C(x)i = −2cos40 = −1,5321

−→v A/C(y)j = 2sen40− 3,1321 = −1,8465

Calculamos:−→v A/C =

√v2A/C(x) + v2

A/C(y)

−→v A/C =√−1,53212 +−1,84652

−→v A/C = 2,4 m/s

1.5. Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares

PROBLEMA 09:

El vagon de mina de 400kg es levantado por el plano inclinado usando el cable y el motor M. Por

un corto tiempo la fuerza en el cable es F = (3200t2)N . donde t esta en segundos. Si el vagon tiene

velocidad inicial v1 = 2m/s en s=0 y t= 0, determine la distancia que se mueve hacia arriba por el

plano cuando t=2s.


1.5 Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares


De Huamanga

solucion

Datos:

mcarro = 400kg

Fcable = 3200t2N

v1 = 0m/s

t1 = 0s

t2 = 2s

v2 =?m/s

Considerando el eje de referencia en el plano donde el carrito realiza movimiento. Calculamos la

aceleracion para la cual hacemos uso la segunda ley de newton.∑Fx =mcarax

3200t2 − 400(9,81)senθ = 400a

Sustituyendo senθ = 817 ;luego despejando se tiene:

3200t2 − 400(9,81) 817

400= a

a = 8t2 − 4,616...........(1)

Calculamos la velocidad, por definicion se sabe que:

a =dvdt

dv = adt.............(β)

Sustituyendo (1) en (β):

dv = (8t2 − 4,616)dt

integrando: ∫ v2

v1

dv =∫ t2

t1

(8t2 − 4,616)dt


2 Problemas de Cinematica de un Cuerpo Rıgido


De Huamanga

∫ v

0dv =

∫ t

0(8t2 − 4,616)dt

v =(

8t3

3− 4,616t

)t0

+ 2

v = 2,667t3 − 4,616t + 2..............(θ)

Calculando el espacio recorrido: t = 2s:

v =dxdt

dx = vdt.................(δ)

Sustituyendo (θ)en (δ) e integrando:∫ x

0ds =

∫ 2

0(2,667t3 − 4,616t + 2)dt

x = 5,93 m

2. Problemas de Cinematica de un Cuerpo Rıgido

2.1. Movimiento Absoluto

PROBLEMA 10:

La placa inclinada se mueve hacia la izquierda con velocidad constante v. Determine la velocidad

angular y la aceleracion angular de la barra esbelta de longitud l. La barra pivotea en el escalon

localizado en C al deslizarse sobre la placa.

solucion

calculamos el desplazamiento en x, hacemos uso de la ley d senos:

xsen(φ−θ)

=1

sen(180−φ)


2.1 Movimiento Absoluto


De Huamanga

Despejando por trigonometria se sabe sen(180−φ) = sinφ

xsenφ = sen(φ−θ)......................(1)

calculamos la velocidad, por teorıa v = x derivando(1):

xsenφ = −cos(φ−θ).θ......................(2)

Por teorıa se sabe que θ = w luego despejando:

xsenφ = −cos(φ−θ).w......................(2)

w = −xsenφ

cos(φ−θ)

w = −vsenφ

cos(φ−θ)rad/s..........(3)

w = − vsenφcos(φ−θ) rad/s

calculamos la aceleracion angular. por teorıa se sabe que α = θ para lo cual derivamos(2):

xsenφ = −cos(φ−θ).θ − sen(φ−θ)(θ)2

0 = −cos(φ−θ).α − sen(φ−θ)w2

α = −sen(φ−θ)w2

cos(φ−θ).........(4)

sustituyendo (3) en (4):

α = −sen(φ−θ)cos(φ−θ)

.(−vsenφ

cos(φ−θ))2

α = − v2(senφ)2sen(φ−θ)

1.(cos(φ−θ))3 rad/s2

PROBLEMA 11:

Los pasadores ubicados en A y B, estan confinados para moverse en las guıas vertical y horizontal.

Si el brazo ranurado ocasiona que A se mueva hacia abajo a VA, determine la velocidad de B en el

instante mostrado.


2.2 Movimiento Relativo: Aceleracion


De Huamanga

solucion

Hallando el vector posicion de A y B:

−→r A = −di − yj

−→r B = xi − hj

Derivando tenemos las velocidades:−→v A = −y = −vAj

−→v B = −x = −vBj

de donde tenemos:

y = vA

y

x = vB

por otro lado:

tanθ =hx

=dy

x = (hd

)y

derivando tenemos:

x = (hd

)y

vB = ( hd )vA

2.2. Movimiento Relativo: Aceleracion

PROBLEMA 12:

En el instante dado el miembro AB tiene los movimientos angulares mostrados. Determine la

velocidad y la aceleracion del bloque deslizable C en ese instante.


2.2 Movimiento Relativo: Aceleracion


De Huamanga

solucion

Datos:

ω = 3rad/s

ω = 2rad/s

Calculemos velocidad en ”B”:

vB =ω.R = 3,7 = 21pulg/s

Calculemos velocidad en ”C”:−−→vC = −→vB + −→ω × −−−→rC/B

vC[45i − 3

5j] = −21i +ωk × (−5i − 12j)

igualando vectores coordenados:

−0,8vC = −21 + 12ω

−0,6vC = −5ω

resolviendo el sistema tenemos:

ω = 1,125rad/s

vC = 9,38pulg/s

por otro lado tenemos:

(aB)n =ω2.R = 327 = 63pulg/s


2.3 Movimiento Relativo: Ejes en rotacion


De Huamanga

(aB)t = 2,7 = 14pulg/s

luego

~aC = ~aB + ~α × ~rC/B −ω2 ~rC/B

reemplazando los valores, tenemos:

−aC(45i − aC(

35j = −14i − 63j +αk × (−5i − 12j)− 1,1252(−5i − 12j)

igualando los vectores coordenados tenemos:

−0,8aC = −14 + 12α + 6,33

−0,6aC = −63− 5α + 15,19

resolviendo tenemos

aC = 54,7pulg/s2

α = −3,00 rad/s

2.3. Movimiento Relativo: Ejes en rotacion

PROBLEMA 13:

La bola B de tamano insignificante rueda a traves del tubo de manera que en el instante mostrado

tiene velocidad de 5pies/s y aceleracion de 3pies/s2,medidas con respecto al tubo, Si el tubo tiene

velocidad angular de ω = 3rad/s , y aceleracion angular de α = 5rad/s en este mismo instante,

determine la velocidad y aceleracion de la pelota.

solucion

Datos:

v0 = 0

a0 = 0


2.3 Movimiento Relativo: Ejes en rotacion


De Huamanga

~ω = 3krad/s

~ω = 5krad/s

~vB/0 = 5ipies/s

~aB/0 = 3ipies/s2

Utilizando las ecuaciones de la cinematica:

~vB = ~v0 + ~ω ×~rB/o + (~vB/0)rel ......(1)

~aB = ~a0 + ~ω ×~rB/0 + ~ω × (~ω ×~rB/0) + 2 · ~ω × ~vB/0 + ~aB/0......(2)

reemplazando los datos en la ecuacion (1) ,tenemos:

~vB = 0 + 3k × 2i + 5i

realizando las operaciones tenemos

~vB = (5i + 6j)pies/s

vB = 7,81 pies/s

analogamente reemplazando en la ecuacion (2) ,tenemos:

~aB = 0 + 5k × 2i + 3k × (3k × 2i) + 2,3k × 5i + 3i

realizando las operaciones se tiene:

~aB = (−15i + 40j)pies/s2

aB = 42,72pies/s2


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