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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR
Departamento de Ingenieriacutea
TESIS DE MAGISTER EN INGENIERIacuteA
VIBRACIONES LIBRES DE POacuteRTICOS CON VINCULACIOacuteN ELAacuteSTICA
POR
RATAZZI ALEJANDRO RUBEN
BAHIacuteA BLANCA ARGENTINA 2017
i
Este trabajo se llevoacute a cabo bajo la supervisioacuten
De la Dra Ing Diana Virginia Bambill Profesora Titular del Departamento de Ingenieriacutea
de la Universidad Nacional del Sur e Investigadora Independiente del CONICET en caraacutecter
de Directora de Tesis
Del Dr Ing Carlos Adolfo Rossit Profesor Titular del Departamento de Ingenieriacutea de la
Universidad Nacional del Sur e Investigador Independiente del CONICET en caraacutecter de Co-
Director de Tesis
ii
Prefacio
Esta tesis es presentada como parte de los requisitos para optar al grado acadeacutemico de Magister
en Ingenieriacutea de la Universidad Nacional del Sur y no ha sido presentada previamente para la
obtencioacuten de otro tiacutetulo en esta Universidad u otras La misma contiene resultados obtenidos en
investigaciones llevadas a cabo en el Aacuterea de Estabilidad dependiente del Departamento de
Ingenieriacutea durante el periacuteodo comprendido entre octubre de 2011 y agosto de 2017 bajo la
direccioacuten de la Dra Ing Diana Virginia Bambill Profesora Titular del Aacuterea de Estabilidad en
el Departamento Ingenieriacutea de la UNS y del Dr Ing Carlos Adolfo Rossit Profesor Titular del
Aacuterea de Estabilidad en el Departamento de Ingenieriacutea de la UNS
17 de Noviembre 2017
Departamento de Ingenieriacutea
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR Alejandro R Ratazzi
iii
Agradecimiento
Quisiera agradecer a los Doctores Diana V Bambill y Carlos A Rossit quienes han dedicado su
valioso tiempo en la direccioacuten de esta tesis con la mejor predisposicioacuten y entusiasmo
brindaacutendome sus consejos y conocimientos
Al Magister Santiago Maiz jefe del Laboratorio de Vibraciones Por su predisposicioacuten a
compartir sus conocimientos en la obtencioacuten de los resultados experimentales Tambien
extender mi agradecimiento a Gabriel Leguizamon Teacutecnico del Laboratorio de Vibraciones
Por su colaboracioacuten y excelente predisposicioacuten
A la Universidad Nacional del Sur y en especial al Departamento de Ingenieriacutea que
generosamente brindoacute su prestigioso marco e infraestructura tanto para el desarrollo de mi
carrera de grado como para mis estudios de posgrado
A mi querida esposa Mariacutea Emma porque sin la ayuda el carintildeo y la paciencia que me brindoacute
nada de esto seriacutea realidad
A mis compantildeeros de oficina y del aacuterea por brindarme su amistad y compantildeiacutea
iv
Resumen
El este trabajo se analiza el comportamiento dinaacutemico de una estructura aporticada con una de
sus vinculaciones externas con propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el
dintel El procedimiento analiacutetico para estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se
desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales
gobernantes y el problema de contorno de la estructura estudiada El meacutetodo de separacioacuten de
variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales
Los resultados obtenidos fueron comparados con valores disponibles en la literatura Tambieacuten
se obtuvieron resultados a traveacutes de un modelo experimental de laboratorio construido al efecto
y por medio de un modelo de coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial
En el Capiacutetulo I para introducir el caacutelculo de variaciones se ejemplifica la resolucioacuten de un
problema relativamente sencillo como es el de vibraciones libres de una viga de dos tramos con
viacutenculos elaacutesticos externos e internos De esta manera se obtienen las ecuaciones diferenciales y
el problema de contorno de la viga
En el Capiacutetulo II se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una
columna y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolla en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables es utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos son calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primera
seccioacuten se le da diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se
los compara con resultados similares en la literatura En segundo lugar se toma diferentes
constantes de las condiciones de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento
dinaacutemico de la estructura
Las estructuras de acero sujetas a cargas variables o repetidas pueden fallar estando en servicio
con cargas significativamente menores a su resistencia estaacutetica Este tipo de falla resultan del
crecimiento de las fisuras que se encuentran sometidas a cargas variables
A traveacutes del estudio de las propiedades dinaacutemicas de una estructura se pueden desarrollar
meacutetodos no destructivos que nos permitan acotar la zona de buacutesqueda de una falla
v
En el Capiacutetulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con
diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros (1998) ya
que es la maacutes utilizada en la literatura
En el Capiacutetulo IV a modo de introduccioacuten al tema se estudia de forma experimental el
comportamiento dinaacutemico de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso
sencillo introducir la aplicacioacuten de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e
imaacutegenes que es otra herramienta muy reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de
fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
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Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
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Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 11
i
Este trabajo se llevoacute a cabo bajo la supervisioacuten
De la Dra Ing Diana Virginia Bambill Profesora Titular del Departamento de Ingenieriacutea
de la Universidad Nacional del Sur e Investigadora Independiente del CONICET en caraacutecter
de Directora de Tesis
Del Dr Ing Carlos Adolfo Rossit Profesor Titular del Departamento de Ingenieriacutea de la
Universidad Nacional del Sur e Investigador Independiente del CONICET en caraacutecter de Co-
Director de Tesis
ii
Prefacio
Esta tesis es presentada como parte de los requisitos para optar al grado acadeacutemico de Magister
en Ingenieriacutea de la Universidad Nacional del Sur y no ha sido presentada previamente para la
obtencioacuten de otro tiacutetulo en esta Universidad u otras La misma contiene resultados obtenidos en
investigaciones llevadas a cabo en el Aacuterea de Estabilidad dependiente del Departamento de
Ingenieriacutea durante el periacuteodo comprendido entre octubre de 2011 y agosto de 2017 bajo la
direccioacuten de la Dra Ing Diana Virginia Bambill Profesora Titular del Aacuterea de Estabilidad en
el Departamento Ingenieriacutea de la UNS y del Dr Ing Carlos Adolfo Rossit Profesor Titular del
Aacuterea de Estabilidad en el Departamento de Ingenieriacutea de la UNS
17 de Noviembre 2017
Departamento de Ingenieriacutea
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR Alejandro R Ratazzi
iii
Agradecimiento
Quisiera agradecer a los Doctores Diana V Bambill y Carlos A Rossit quienes han dedicado su
valioso tiempo en la direccioacuten de esta tesis con la mejor predisposicioacuten y entusiasmo
brindaacutendome sus consejos y conocimientos
Al Magister Santiago Maiz jefe del Laboratorio de Vibraciones Por su predisposicioacuten a
compartir sus conocimientos en la obtencioacuten de los resultados experimentales Tambien
extender mi agradecimiento a Gabriel Leguizamon Teacutecnico del Laboratorio de Vibraciones
Por su colaboracioacuten y excelente predisposicioacuten
A la Universidad Nacional del Sur y en especial al Departamento de Ingenieriacutea que
generosamente brindoacute su prestigioso marco e infraestructura tanto para el desarrollo de mi
carrera de grado como para mis estudios de posgrado
A mi querida esposa Mariacutea Emma porque sin la ayuda el carintildeo y la paciencia que me brindoacute
nada de esto seriacutea realidad
A mis compantildeeros de oficina y del aacuterea por brindarme su amistad y compantildeiacutea
iv
Resumen
El este trabajo se analiza el comportamiento dinaacutemico de una estructura aporticada con una de
sus vinculaciones externas con propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el
dintel El procedimiento analiacutetico para estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se
desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales
gobernantes y el problema de contorno de la estructura estudiada El meacutetodo de separacioacuten de
variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales
Los resultados obtenidos fueron comparados con valores disponibles en la literatura Tambieacuten
se obtuvieron resultados a traveacutes de un modelo experimental de laboratorio construido al efecto
y por medio de un modelo de coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial
En el Capiacutetulo I para introducir el caacutelculo de variaciones se ejemplifica la resolucioacuten de un
problema relativamente sencillo como es el de vibraciones libres de una viga de dos tramos con
viacutenculos elaacutesticos externos e internos De esta manera se obtienen las ecuaciones diferenciales y
el problema de contorno de la viga
En el Capiacutetulo II se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una
columna y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolla en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables es utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos son calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primera
seccioacuten se le da diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se
los compara con resultados similares en la literatura En segundo lugar se toma diferentes
constantes de las condiciones de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento
dinaacutemico de la estructura
Las estructuras de acero sujetas a cargas variables o repetidas pueden fallar estando en servicio
con cargas significativamente menores a su resistencia estaacutetica Este tipo de falla resultan del
crecimiento de las fisuras que se encuentran sometidas a cargas variables
A traveacutes del estudio de las propiedades dinaacutemicas de una estructura se pueden desarrollar
meacutetodos no destructivos que nos permitan acotar la zona de buacutesqueda de una falla
v
En el Capiacutetulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con
diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros (1998) ya
que es la maacutes utilizada en la literatura
En el Capiacutetulo IV a modo de introduccioacuten al tema se estudia de forma experimental el
comportamiento dinaacutemico de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso
sencillo introducir la aplicacioacuten de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e
imaacutegenes que es otra herramienta muy reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de
fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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Mechanics 17 203-207 1943
84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
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42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
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43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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95
Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 11
ii
Prefacio
Esta tesis es presentada como parte de los requisitos para optar al grado acadeacutemico de Magister
en Ingenieriacutea de la Universidad Nacional del Sur y no ha sido presentada previamente para la
obtencioacuten de otro tiacutetulo en esta Universidad u otras La misma contiene resultados obtenidos en
investigaciones llevadas a cabo en el Aacuterea de Estabilidad dependiente del Departamento de
Ingenieriacutea durante el periacuteodo comprendido entre octubre de 2011 y agosto de 2017 bajo la
direccioacuten de la Dra Ing Diana Virginia Bambill Profesora Titular del Aacuterea de Estabilidad en
el Departamento Ingenieriacutea de la UNS y del Dr Ing Carlos Adolfo Rossit Profesor Titular del
Aacuterea de Estabilidad en el Departamento de Ingenieriacutea de la UNS
17 de Noviembre 2017
Departamento de Ingenieriacutea
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR Alejandro R Ratazzi
iii
Agradecimiento
Quisiera agradecer a los Doctores Diana V Bambill y Carlos A Rossit quienes han dedicado su
valioso tiempo en la direccioacuten de esta tesis con la mejor predisposicioacuten y entusiasmo
brindaacutendome sus consejos y conocimientos
Al Magister Santiago Maiz jefe del Laboratorio de Vibraciones Por su predisposicioacuten a
compartir sus conocimientos en la obtencioacuten de los resultados experimentales Tambien
extender mi agradecimiento a Gabriel Leguizamon Teacutecnico del Laboratorio de Vibraciones
Por su colaboracioacuten y excelente predisposicioacuten
A la Universidad Nacional del Sur y en especial al Departamento de Ingenieriacutea que
generosamente brindoacute su prestigioso marco e infraestructura tanto para el desarrollo de mi
carrera de grado como para mis estudios de posgrado
A mi querida esposa Mariacutea Emma porque sin la ayuda el carintildeo y la paciencia que me brindoacute
nada de esto seriacutea realidad
A mis compantildeeros de oficina y del aacuterea por brindarme su amistad y compantildeiacutea
iv
Resumen
El este trabajo se analiza el comportamiento dinaacutemico de una estructura aporticada con una de
sus vinculaciones externas con propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el
dintel El procedimiento analiacutetico para estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se
desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales
gobernantes y el problema de contorno de la estructura estudiada El meacutetodo de separacioacuten de
variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales
Los resultados obtenidos fueron comparados con valores disponibles en la literatura Tambieacuten
se obtuvieron resultados a traveacutes de un modelo experimental de laboratorio construido al efecto
y por medio de un modelo de coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial
En el Capiacutetulo I para introducir el caacutelculo de variaciones se ejemplifica la resolucioacuten de un
problema relativamente sencillo como es el de vibraciones libres de una viga de dos tramos con
viacutenculos elaacutesticos externos e internos De esta manera se obtienen las ecuaciones diferenciales y
el problema de contorno de la viga
En el Capiacutetulo II se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una
columna y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolla en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables es utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos son calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primera
seccioacuten se le da diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se
los compara con resultados similares en la literatura En segundo lugar se toma diferentes
constantes de las condiciones de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento
dinaacutemico de la estructura
Las estructuras de acero sujetas a cargas variables o repetidas pueden fallar estando en servicio
con cargas significativamente menores a su resistencia estaacutetica Este tipo de falla resultan del
crecimiento de las fisuras que se encuentran sometidas a cargas variables
A traveacutes del estudio de las propiedades dinaacutemicas de una estructura se pueden desarrollar
meacutetodos no destructivos que nos permitan acotar la zona de buacutesqueda de una falla
v
En el Capiacutetulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con
diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros (1998) ya
que es la maacutes utilizada en la literatura
En el Capiacutetulo IV a modo de introduccioacuten al tema se estudia de forma experimental el
comportamiento dinaacutemico de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso
sencillo introducir la aplicacioacuten de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e
imaacutegenes que es otra herramienta muy reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de
fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
48 Referencias
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95
Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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26 Labib A Dennedy D and Featherston C lsquolsquoFreeVibration Analysis of Beams and Frames withMultiple Cracks for Damage Detectionrsquorsquo Journal ofSound and Vibration 333 4991ndash5003 (2014)
27 Owolabi GM Swamidas ASJ and Seshadri RlsquolsquoCrack Detection in Beams Using Changes inFrequencies and Amplitudes of Frequency ResponseFunctionsrsquorsquo Journal of Sound and Vibration 265 1ndash22(2003)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 11
iii
Agradecimiento
Quisiera agradecer a los Doctores Diana V Bambill y Carlos A Rossit quienes han dedicado su
valioso tiempo en la direccioacuten de esta tesis con la mejor predisposicioacuten y entusiasmo
brindaacutendome sus consejos y conocimientos
Al Magister Santiago Maiz jefe del Laboratorio de Vibraciones Por su predisposicioacuten a
compartir sus conocimientos en la obtencioacuten de los resultados experimentales Tambien
extender mi agradecimiento a Gabriel Leguizamon Teacutecnico del Laboratorio de Vibraciones
Por su colaboracioacuten y excelente predisposicioacuten
A la Universidad Nacional del Sur y en especial al Departamento de Ingenieriacutea que
generosamente brindoacute su prestigioso marco e infraestructura tanto para el desarrollo de mi
carrera de grado como para mis estudios de posgrado
A mi querida esposa Mariacutea Emma porque sin la ayuda el carintildeo y la paciencia que me brindoacute
nada de esto seriacutea realidad
A mis compantildeeros de oficina y del aacuterea por brindarme su amistad y compantildeiacutea
iv
Resumen
El este trabajo se analiza el comportamiento dinaacutemico de una estructura aporticada con una de
sus vinculaciones externas con propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el
dintel El procedimiento analiacutetico para estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se
desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales
gobernantes y el problema de contorno de la estructura estudiada El meacutetodo de separacioacuten de
variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales
Los resultados obtenidos fueron comparados con valores disponibles en la literatura Tambieacuten
se obtuvieron resultados a traveacutes de un modelo experimental de laboratorio construido al efecto
y por medio de un modelo de coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial
En el Capiacutetulo I para introducir el caacutelculo de variaciones se ejemplifica la resolucioacuten de un
problema relativamente sencillo como es el de vibraciones libres de una viga de dos tramos con
viacutenculos elaacutesticos externos e internos De esta manera se obtienen las ecuaciones diferenciales y
el problema de contorno de la viga
En el Capiacutetulo II se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una
columna y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolla en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables es utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos son calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primera
seccioacuten se le da diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se
los compara con resultados similares en la literatura En segundo lugar se toma diferentes
constantes de las condiciones de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento
dinaacutemico de la estructura
Las estructuras de acero sujetas a cargas variables o repetidas pueden fallar estando en servicio
con cargas significativamente menores a su resistencia estaacutetica Este tipo de falla resultan del
crecimiento de las fisuras que se encuentran sometidas a cargas variables
A traveacutes del estudio de las propiedades dinaacutemicas de una estructura se pueden desarrollar
meacutetodos no destructivos que nos permitan acotar la zona de buacutesqueda de una falla
v
En el Capiacutetulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con
diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros (1998) ya
que es la maacutes utilizada en la literatura
En el Capiacutetulo IV a modo de introduccioacuten al tema se estudia de forma experimental el
comportamiento dinaacutemico de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso
sencillo introducir la aplicacioacuten de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e
imaacutegenes que es otra herramienta muy reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de
fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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95
Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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26 Labib A Dennedy D and Featherston C lsquolsquoFreeVibration Analysis of Beams and Frames withMultiple Cracks for Damage Detectionrsquorsquo Journal ofSound and Vibration 333 4991ndash5003 (2014)
27 Owolabi GM Swamidas ASJ and Seshadri RlsquolsquoCrack Detection in Beams Using Changes inFrequencies and Amplitudes of Frequency ResponseFunctionsrsquorsquo Journal of Sound and Vibration 265 1ndash22(2003)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 11
iv
Resumen
El este trabajo se analiza el comportamiento dinaacutemico de una estructura aporticada con una de
sus vinculaciones externas con propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el
dintel El procedimiento analiacutetico para estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se
desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales
gobernantes y el problema de contorno de la estructura estudiada El meacutetodo de separacioacuten de
variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales
Los resultados obtenidos fueron comparados con valores disponibles en la literatura Tambieacuten
se obtuvieron resultados a traveacutes de un modelo experimental de laboratorio construido al efecto
y por medio de un modelo de coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial
En el Capiacutetulo I para introducir el caacutelculo de variaciones se ejemplifica la resolucioacuten de un
problema relativamente sencillo como es el de vibraciones libres de una viga de dos tramos con
viacutenculos elaacutesticos externos e internos De esta manera se obtienen las ecuaciones diferenciales y
el problema de contorno de la viga
En el Capiacutetulo II se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una
columna y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolla en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables es utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos son calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primera
seccioacuten se le da diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se
los compara con resultados similares en la literatura En segundo lugar se toma diferentes
constantes de las condiciones de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento
dinaacutemico de la estructura
Las estructuras de acero sujetas a cargas variables o repetidas pueden fallar estando en servicio
con cargas significativamente menores a su resistencia estaacutetica Este tipo de falla resultan del
crecimiento de las fisuras que se encuentran sometidas a cargas variables
A traveacutes del estudio de las propiedades dinaacutemicas de una estructura se pueden desarrollar
meacutetodos no destructivos que nos permitan acotar la zona de buacutesqueda de una falla
v
En el Capiacutetulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con
diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros (1998) ya
que es la maacutes utilizada en la literatura
En el Capiacutetulo IV a modo de introduccioacuten al tema se estudia de forma experimental el
comportamiento dinaacutemico de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso
sencillo introducir la aplicacioacuten de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e
imaacutegenes que es otra herramienta muy reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de
fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
28 Referencias
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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95
Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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[23] H Gorgun ldquoGeometrically nonlinear analysis of plane framescomposed of flexibly connected membersrdquo Structural Engineer-ing and Mechanics vol 45 no 3 pp 273ndash305 2013
[24] C L O Santana and N T Mascia ldquoWooden framed structureswith semi-rigid connections quantitative approach focused ondesign needsrdquo Structural Engineering andMechanics vol 31 no3 pp 315ndash331 2009
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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27 Owolabi GM Swamidas ASJ and Seshadri RlsquolsquoCrack Detection in Beams Using Changes inFrequencies and Amplitudes of Frequency ResponseFunctionsrsquorsquo Journal of Sound and Vibration 265 1ndash22(2003)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 11
v
En el Capiacutetulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con
diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros (1998) ya
que es la maacutes utilizada en la literatura
En el Capiacutetulo IV a modo de introduccioacuten al tema se estudia de forma experimental el
comportamiento dinaacutemico de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso
sencillo introducir la aplicacioacuten de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e
imaacutegenes que es otra herramienta muy reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de
fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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95
Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
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Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
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Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
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Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
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0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
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Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
REFERENCES
1 Chondros TG and Dimarogonas ADlsquolsquoIdentification of Crack in Welded Joints of ComplexStructurersquorsquo Journal of Sound and Vibration 69531ndash538 (1980)
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3 Thomson WJ lsquolsquoVibration of Slender Bars withDiscontinuities in Stiffnessrsquorsquo Journal of AppliedMechanics 17 203ndash207 (1943)
4 Adams RD Cawley P Pye CJ and Stone BJlsquolsquoA Vibration Technique for Non-DestructivelyAssessing the Integrity of Structuresrsquorsquo Journal ofMechanical Engineering Science 20(2) 93ndash100 (1978)
5 Gudmnundson P lsquolsquoThe Dynamic Behavior ofSlender Structures with Cross Section CrackrsquorsquoJournal of the Mechanics and Physics of Solids 31329ndash345 (1983)
6 Sinha JK Friswell MI and Edwards SlsquolsquoSimplified Models for the Location of Crack inBeam Structures Using Measure Vibration DatarsquorsquoJournal of Sound and Vibration 251(1) 13ndash38 (2002)
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8 Liebowitz H and Claus WDS Jr lsquolsquoFailure ofNotched Columnsrsquorsquo Engineering Fracture Mechanics 1379ndash383 (1968)
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10 Rizos PF Aspragathos N and Dimarogonas ADlsquolsquoIdentification of Crack Location and Magnitudein a Cantilever Beam from the Vibration ModesrsquorsquoJournal of Sound and Vibration 138(3) 381ndash388(1990)
11 Ostachowicz WM and Krawczuk C lsquolsquoAnalysis ofthe Effect of Cracks on the Natural Frequencies of aCantilever Beamrsquorsquo Journal of Sound and Vibration
150(2) 191ndash201 (1991)12 Bilello C Theoretical and Experimental Investigation on
Damaged Beams Under Moving Systems PhD ThesisUniversitalsquo degli Studi di Palermo Palermo Italy(2001)
13 Krawczuk M Palacz M Ostachowicz W lsquolsquoGeneticalgorithm for fatigue crack detection in Timoshenkobeamrsquorsquo IUTAM Symposium on Evolutionary Methods in
Mechanics Cracow Poland pp 197ndash206 (2004)14 Ong ZC Rahman AGA and Ismail Z
lsquolsquoDetermination of Damage Severity on Rotor ShaftDue To Crack Using Damage Index Derived fromExperimental Modal Datarsquorsquo Experimental Techniques
38 18ndash30 (2014) DOI 101111j1747-1567201200823x
15 Chondros TJ Dimarogonas AD and Yao J lsquolsquoAContinuous Cracked Beam Vibration TheoryrsquorsquoJournal of Sound and Vibration 215(1) 17ndash34 (1998)
16 Ovanesova AV and Suarez LE lsquolsquoApplicationsof Wavelet Transforms to Damage Detection in
10 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Frame Structuresrsquorsquo Engineering Structures 26 39ndash49(2004)
17 El-Haddad MH Ramadan ON and Bazaraa ARlsquolsquoAnalysis of Frames Containing Cracks and Restingon Elastic Foundationsrsquorsquo International Journal ofFracture 45 81ndash102 (1990)
18 Caddemi S and Calio I lsquolsquoThe Exact ExplicitDynamic Stiffness Matrix of Multi-CrackedEulerndashBernoulli Beam and Applications to DamagedFrame Structuresrsquorsquo Journal of Sound and Vibration 3323049ndash3063 (2013)
19 Moghadam AAA Torabi K Moavenian Mand Davoodi R lsquolsquoDynamic Modeling and RobustControl of an L-Shaped Microrobot Based on FastTrilayer Polypyrrole-Bending Actuatorsrsquorsquo Journal ofIntelligent Material Systems and Structures 24 484ndash498(2013)
20 Grossi RO Variational Calculus Theory andApplications CIMNE Barcelona Spain (2010)
21 Wolfram Research Inc Mathematica Version 90Champaign Ilinois (2012)
22 Timoshenko SP and Young DH VibrationProblems in Engineering Van Nostrand Co Inc NewYork NY (1955)
23 Lin HP and Ro J lsquolsquoVibration Analysis of PlanarSerial-Frame Structuresrsquorsquo Journal of Sound andVibration 262 1113ndash1131 (2003)
24 Albarracın CM and Grossi RO lsquolsquoVibrations ofElastically Restrained Framesrsquorsquo Journal of Sound andVibration 285 467ndash476 (2005)
25 Rosales MB Filipich CP and Buezas FS lsquolsquoCrackDetection in Beam-Like Structuresrsquorsquo EngineeringStructures 31 2257ndash2264 (2009)
26 Labib A Dennedy D and Featherston C lsquolsquoFreeVibration Analysis of Beams and Frames withMultiple Cracks for Damage Detectionrsquorsquo Journal ofSound and Vibration 333 4991ndash5003 (2014)
27 Owolabi GM Swamidas ASJ and Seshadri RlsquolsquoCrack Detection in Beams Using Changes inFrequencies and Amplitudes of Frequency ResponseFunctionsrsquorsquo Journal of Sound and Vibration 265 1ndash22(2003)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 11
vi
Publicaciones que han resultado como consecuencia de esta tesis
De los estudios desarrollados durante el trabajo de tesis han surgido las siguientes
publicaciones
En Revistas
Rossit CA Bambill DV Ratazzi AR y Maiz S ldquoVibrations of L-Shaped Beam Structures
With a Crack Analytical Approach and Experimental Validationrdquo Experimental
Techniques 40 (3) pp 1033-1043 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoFree Vibrations of Beam System Structures with
Elastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hingerdquo Chinese Journal of
Engineering vol 2013 Article ID 624658 10 pages 2013 DOI
1011552013624658 2013
En Congreso Internacional
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoDynamic behavior of framed structures with
anelastic internal hingerdquo Blucher Mechanical Engineering Proceedings 10th World
Congress on Computational Mechanics (WCCM) Sao Pablo Brasil vol 1 pp
4483ndash4498 2014
En Congresos Nacionales
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Maiz S ldquoAplicacioacuten de transformada continua
wavelet en la deteccioacuten de fisuras en estructuras de vigasrdquo Mecaacutenica Computacional
vol 34 pp 713-728 XXIII Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones
(ENIEF 2016) Ciudad de Coacuterdoba 2016
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibrations of a frame structure with a crackrdquo
Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 3563-3574 XX Congreso sobre Meacutetodos
Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de Mendoza 2013
vii
Ratazzi A R Bambill D V Rossit C A y Ciccioli C ldquoVibraciones Libres de Poacuterticos con
Viacutenculos y Uniones Flexiblesrdquo Mecaacutenica Computacional vol 32 pp 2279-2298 XX
Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y sus Aplicaciones (ENIEF 2013) Ciudad de
Mendoza 2013
Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
intermedias elaacutesticasrdquo Mecaacutenica Computacional vol 31 pp 2511ndash2627 X Congreso
Argentino de Mecaacutenica Computacional (MECOM 2012) Ciudad de Salta 2012
Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
rotula intermedia elaacutesticamente restringida contra rotacioacuten y traslacioacutenrdquo Mecaacutenica
Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
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Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
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Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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Ratazzi A R Bambill D V y Rossit C A ldquoVibraciones en poacuterticos con conexiones
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Ratazzi A R Grossi R O y Bambill D V ldquoVibraciones de una estructura aporticada con una
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Computacional vol 30 pp 2499ndash2516 XIX Congreso sobre Meacutetodos Numeacutericos y
sus Aplicaciones (ENIEF 2011) Rosario 2011
Tambieacuten se mencionan a continuacioacuten dos colaboraciones en trabajos realizados al inicio de mis
estudios de magister sobre temas de vinculacioacuten elaacutestica de estructuras Los trabajos fueron
publicados y en ambos que soy coautor
Co autor de dos trabajos relacionados al tema de viacutenculos elaacutesticos
Bambill D V Felix D H Rossi R E y Ratazzi A R Free Vibration Analysis of
Centrifugally Stiffened Non Uniform Timoshenko Beams Mechanical Engineering Dr
Murat Gokcek (Ed) InTech DOI 10577234631 (Chapter 13) Available from
httpswwwintechopencombooksmechanical-engineeringfree-vibration-analysis-
of-centrifugally-stiffened-non-uniform-timoshenko-beams 2012
Bambill DV Rossit CA Rossi RE Felix DH y Ratazzi AR Transverse free vibration
of non uniform rotating Timoshenko beams with elastically clamped boundary
conditions Meccanica 48(6) 1289-1311 2013
Paacuteginas
CAPIacuteTULO I El caacutelculo de Variaciones 1
11 Introduccioacuten 1
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones 1
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno 3
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos 3
122 Energiacutea interviniente en el sistema 4
123 Modelo Adimensional 5
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton 6
13 Conclusiones 16
14 Referencias 17
CAPIacuteTULO II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el
meacutetodo variacional
18
21 Introduccioacuten 18
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto 19
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno 21
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros 22
232 Funcional del sistema estructural 23
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y Condiciones de
Borde
24
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos 26
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico 26
2411 Modelo experimental 26
2412 Modelo de Elementos Finitos 29
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica 29
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado Libre 30
2422 Modelo Empotrado-Articulado 32
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en los
viacutenculos elaacutesticos del extremo F
34
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes condiciones en el
resorte rotacional en el punto P
42
27 Conclusiones 54
28 Referencias 55
CAPIacuteTULO III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten experimental 58
31 Introduccioacuten 58
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas 60
321 Flexibilidad local en el centro de la viga 60
33 Modelo Experimental de Laboratorio 62
34 Resultados Numeacutericos 64
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso 72
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio 73
37 Conclusiones 79
38 Referencias 80
Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten 83
41 Conclusiones Generales 83
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La transformada de
Wavelets a sentildeales
84
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica 84
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de wavelet 85
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales 85
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets 85
433 Clasificacioacuten de wavelets 87
434 Transformada de wavelets 87
44 Modelo experimental 88
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara 88
46 Aplicacioacuten de la transformada de wavelet a la sentildeal 90
47 Conclusiones 92
48 Referencias 93
Apeacutendice I (Trabajos publicados en revistas) 94
1
1 Capiacutetulo I El caacutelculo de Variaciones
11 Introduccioacuten
111 Un breve comentario sobre la historia del caacutelculo de variaciones
El caacutelculo de variaciones es una rama claacutesica de las matemaacuteticas que se ocupa del desarrollo de
formas oacuteptimas estados o procesos en los que el criterio de optimizacioacuten se da en la forma de
una integral que implica una funcioacuten desconocida Eacuteste es utilizado para demostrar la existencia
o deducir las propiedades de alguna funcioacuten que realiza el valor oacuteptimo para esta integral
Ademaacutes permite la obtencioacuten en forma precisa y eficaz de las ecuaciones diferenciales y
problemas de contorno que se describen en la teoriacutea y aplicacioacuten de sistemas mecaacutenicos
vibrantes
La primera persona que se considera resolvioacute un problema cientiacutefico de minimizacioacuten fue Hero
de Alejandriacutea que trabajoacute sobre problemas de oacuteptica y vivioacute en el primer siglo de nuestra era
Pappus trabajoacute sobre problemas isoperimeacutetricos a partir de la idea de algunos reyes de regalar a
sirvientes y militares porciones de tierra que ellos puedan trabajar en un periacuteodo de tiempo
dado Nace entonces el problema de encerrar con una curva plana la mayor superficie posible
Si bien Pappus no fue el primero en trabajar con este tema eacutel en sus libros recolectoacute y
sistematizoacute resultados de otros autores como Euclid Arquimides Zenodorus y Hypsicles todos
estos en un periacuteodo aproximado que va desde el 300 a C al 140 a C
Maacutes tarde aportes importantes fueron desarrollados en Europa en el siglo XVII tales como el
trabajo de Fermat en el antildeo 1662 sobre geometriacutea oacuteptica el problema desarrollado por Newton
en el antildeo 1685 para estudiar los cuerpos en movimiento en un fluido Uno de los problemas maacutes
famoso es el de las curvas de Braquistoacutecrona es la curva entre dos puntos que es recorrida en
menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe
desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto bajo accioacuten de una fuerza
de gravedad constante y suponiendo que no existe friccioacuten Eacutesta fue formulada por Jhoann
Bernoulli en 1696 e inspirada por un problema similar planteado por Galileo en 1638
En 1744 Leonhard Euler publicoacute su libro ldquoMeacutetodo de buacutesqueda de liacuteneas curvas con
propiedades de maacuteximo o miacutenimo o la resolucioacuten del problema isoperimeacutetrico tomado en su
sentido maacutes ampliordquo muchos matemaacuteticos consideran en eacuteste el inicio del Caacutelculo de
Variaciones
Posteriormente Lagrange realizoacute un amplio desarrollo del tema y publicoacute en 1762 una memoria
en donde introduce el concepto de variacioacuten de una integral con el siacutembolo para representarla
2
Luego diversos autores trabajaron sobre el tema Bliss Bolza Caratheacuteodory Clebsch Hahn
Hamilton Hilbert Kneser Jacobi Mayer Weierstrass soacutelo para citar algunos
En el siglo XIX en paralelo con algunos de los trabajos mencionados anteriormente surge uno
de los trabajos maacutes ceacutelebres del caacutelculo de variaciones el estudio de la integral de Dirichlet eacuteste
era un problema de integrales muacuteltiples y fue motivado por su relacioacuten con la ecuacioacuten de
Laplace Muchas de las contribuciones importantes fueron hechas por Dirichlet Gauss
Thompson y Riemann entre otros Fue Hilbert que a la vuelta del siglo XX resolvioacute el
problema y fue inmediatamente despueacutes imitado por Lebesgue y luego Tonelli Sus meacutetodos
para resolver el problema eran en esencia lo que ahora se conoce como los meacutetodos directos
del caacutelculo de variaciones
Podemos enumerar diversos ejemplos sobre funcionales para el desarrollo de nuestro trabajo
nos basaremos en el ejemplo del funcional para sistemas mecaacutenicos
Si tenemos N partiacuteculas con sus respectivas masas mi y sus posiciones en el tiempo t son dadas
por = 13 isin ℝ = 1 hellip =gt la energiacutea cinetica es
2
1
1( )
2
n
iT u m u= timessum
y U=U(tu) la energiacutea potencial entonces nos queda el funcional
( ) ( ) ( )f t u T U t uξ = ξ minus
En este capiacutetulo se presentaraacute el caacutelculo de variaciones aplicado a un problema de vibraciones
libres tratados en libros claacutesicos como Timoshenko S y Young DH(1956) Warburton GB
(1976) y Blevins R (1993) El propoacutesito seraacute desarrollar por medio de una estructura de baja
complejidad las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos y una roacutetula elaacutestica intermedia utilizando dicho meacutetodo
3
12 Aplicacioacuten del caacutelculo de Variaciones Problema de Contorno
121 Viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos
Su aplicacioacuten al estudio de estructuras resistentes ha sido extensamente desarrollada en los
trabajos de investigacioacuten de Dr Ricardo Oscar Grossi y sus colaboradores debiendo
consignarse un libro de texto en donde el tema es tratado rigurosamente Grossi RO (2010)
Otros autores que trataron el tema son Wang CY y Wang CM (2001) Bernal (2004)
Albarraciacuten C M y Grossi R O (2005) Chang TP Lin GL y Chang E(2006) Grossi R O
y Quintana M V (2008) Wu JJ(2011) Raffo J F(2013) Grossi R O(2013)
No obstante y para dar completitud a la presente tesis se ejemplifica la utilizacioacuten del caacutelculo
variaciones en la resolucioacuten de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones
libres de una viga de dos tramos con viacutenculos elaacutesticos externos e internos
Como se muestra en la Figura 1 el sistema coordenado tiene su origen en el extremo izquierdo
de la viga La viga estaacute compuesta por dos tramos de viga de distinta longitud y corresponden a
las secciones transversales comprendidas entre [0 c] para el primer tramo y [c l] para el
segundo en donde l es la longitud total de la viga En la seccioacuten x=c unioacuten de ambos tramos
hay una roacutetula elaacutestica representada mediante un resorte a rotacioacuten de constante rm y un resorte a
traslacioacuten de constante tm Tambieacuten se consideran propiedades elaacutesticas para los viacutenculos
exteriores de la estructura Las condiciones elaacutesticas se representan mediante resortes a
traslacioacuten con constantes twi y tui y a rotacioacuten con constantes r i
Tomando conceptos del trabajo realizado por Ricardo Oscar Grossi (2010) consideramos que el
comportamiento flexional de los miembros de la viga es adecuadamente descripto por la teoriacutea
de vigas de Euler-Bernoulli y simultaacuteneamente se tendraacute en cuenta la deformacioacuten axial
Figura 11 Viga de dos tramos elaacutesticamente restringida
l
c
r1
tw1 tw2
r3
tw3
xu
w
rm
tu1 tu3
c
4
122 Energiacutea interviniente en el sistema
Si tenemos en cuenta los viacutenculos elaacutesticos externos tw1 tw2 tw3 tu1 tu3 r1 r3 y los viacutenculos
intermedios entre los tramos de viga rm tm y consideramos que los desplazamientos
transversal w y axial u de la liacutenea media de la viga estaacuten descriptos por las funciones
[ ]( ) ( ) 0 w w x t u u x t x l= = nabla isin (11)
El mecanismo de funcionamiento de la roacutetula requiere que los desplazamientos transversales de
la viga sean continuos en el punto x=c esto es
( ) ( )1 2 w wc t c t+ minus=
y las secciones transversales a las que estaacute vinculada puedan desplazarse longitudinalmente y
girar libremente es decir que generan una discontinuidad
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
c t c t
w wc t c t
x
u u
x
+ minus
+ minus
ne
part partnepart part
donde la notacioacuten c+ indica cuando x se aproxima a c para valores mayores que c y c- cuando x
se acerca a c para valores menores que esta
La energiacutea potencial del sistema estructural estaraacute dada por
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 221 1
1 1 1 120
2 222 2
2 2 2 22
22 2 1
1 1 1 1 1
2 22 1
1U
2
0 0 0
c
l
c
u w
w m
w uE I x t E A x t dx
x x
w uE I x t E A x t dx
x x
wt u t t w t r t
x
wt w c t r c t
xminus
part part = + + part part
part part + + part part
part + + part
part + minus
+
part
int
int
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
12 1
22 2 2
3 2 3 2 3
m
u w
wc t t u c t u c t
x
wt u l t t w l t r l t
x
+ minus +part + minus part
part + + part
+
(12)
donde Ei es el moacutedulo de elasticidad de Young I i es el momento de inercia de la seccioacuten
trasversal respecto a su eje de flexioacuten y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal Con el subiacutendice
i = 1 oacute 2 se indica la pertenencia al tramo 1 o al tramo 2 respectivamente
Los teacuterminos
5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
1 1 1 1 1
22 2 2 2
2 1 3 2 3 2 3
0 0 0
u w
w u w
wt u t t w t r t
x
wt w c t t u l t t w l t r l t
x
part + + part
part + +
+
+ part
(13)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de los viacutenculos elaacutesticos externos de la
viga En tanto los teacuterminos
( ) ( ) ( ) ( )2
22 1
2 1 m m
w wr c t c t t u c t u c t
x xminus + minus +part part minus + minus part part
(14)
representan la contribucioacuten a la energiacutea de deformacioacuten de la unioacuten elaacutestica entre ambos tramos
de viga en ellas aparecen las constantes de los resortes correspondientes rm y tm que estaacuten
ubicados a una distancia c del origen
La energiacutea cineacutetica estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 11 1
0
2 2
2 22 2
1 x x x2
1x x x
2
c
l
c
w uT A t t d
t t
w uA t t d
t t
part part = + part part
part part + + part part
int
int
ρ
ρ
(15)
En donde ρi es la densidad del material del tramo i de viga (i=12)
123 Modelo Adimensional
Para el trabajo analiacutetico por conveniencia se adimensionalizoacute la coordenada espacial que indica
la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga y los desplazamientos w y u respecto a la
longitud total
(X t) (X t) i i i i i
i i i
x w uX W U
l l l= = = (16)
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron paraacutemetros
adimensionales seguacuten se indica
( ) ( ) ( ) 12i i i i
li EIi EAi Ai
EI EA Alv v v v i
l EI EA Aρ
ρρ
= = = = = (17)
donde l1=c l2= l ndash c (EI)i=Ei Ii E=E1 I=I1 A=A1 ρ= ρ 1
Finalmente las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron adimensionalizados seguacuten
se indica a continuacioacuten
6
3
3
3
123
13
j j
j j
w w
u u j j
m m m m
lT t con j
EI
l lT t R r con j
EI EI
l lT t R r
EI EI
= =
= = =
= =
(18)
124 Construccioacuten del Funcional Principio de Hamilton
El principio de Hamilton requiere que entre dos instantes t0 y t1 para los cuales las posiciones
del sistema son conocidas eacuteste ejecute un movimiento que hace estacionario el funcional
( ) ( )0
J T Uit
tW U dt= minusint
donde L= (T-U) es el conocido lagrangiano del movimiento El funcional en el que vamos a
trabajar estaacute compuesto por funciones reales definidas en ciertos subconjuntos de espacios
vectoriales
Teniendo en cuenta las expresiones de la energiacutea la integral del lagrangiano viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 1
1 1
2 23 1 1
1 2 1 2 1 1 1
0
2 221 1 1 1 1 1
21 1 1 1
221 1 1
1 1 11 1
1J
2
0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W UW W U U A l X t X t
t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR t T W t
l X
part part = + minus part part
part part + minus part part
+
part + part
int int ρ
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2 22 3 31 1 2 2
1 1 2 2 2 1
2 222 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 23
2
0
w
l
u A l
c
EI EA
l l
T W c t
E A W UT U t A l v v X t X t
l t t
v vE I W E A UX t X t dX
l v X l v X
E I WR
l
+
minus
part part + + minus
part part
part part+ minus part part
part
int ρρ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) )
222
3 22
2222 1 2 2
3 2 2 12 1 2
w
m u m
l t T W l tX
W W E AR c t c t T U l t T U c t U c t dt
X X lminus + minus +
+ part
part part minus minus + minus part part
+
(19)
Por simple observacioacuten (19) revela que define un funcional que depende de cuatro funciones
reales Ui Wi con i12
Por lo tanto es conveniente introducir las siguientes funciones vectoriales
1 2 1 2( ) ( ) ( )U U W W= =v= uw u w (110)
7
Si G es un conjunto acotado de ℝn y su entorno es Gpart se denota con G G G= partcup Entonces
la notacioacuten ( )kC G indica al sub conjunto del espacio ( ) ( )kC G C Gcap compuesto por la
funciones que son continuas en el cerrado G y sus derivadas parciales hasta las de orden
k inclusive son continuas en el abierto G y admite extensiones continuas hasta el
entorno Gpart Por lo tanto decimos que
2( ) ( )iU X t C Gisin
Y 4( ) ( ) 12iW X t C G iisin =
con
[ ] [ ]0 101 G t t= times
Luego si introducimos los siguientes espacios vectoriales
2 3 4 3( ( )) ( ( ))U WS C G y S C G= (111)
Tendremos que
U
W
U WS
isinisinisin times
u S
w S
v S
Por lo tanto nuestro funcional ahora nos queda en funcioacuten de v y lo escribimos (v)J J=
Para poder realizar la variacioacuten del funcional eacuteste debe estar definido en un espacio lineal El
espacio producto usado en (111) puede ser trasformado en un espacio lineal si se introducen las
siguientes operaciones
( ) ( )(1) (1) (2) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ( )
( ) ( )
U W
U W
S S
c c c S S c
+ = + + forall isin forall isin
= forall isin forall isin forall isin
u w u w u u w w u u w w
u w u w u w R
Despueacutes de haber considerado todo lo expuesto anteriormente estamos en condiciones de decir
que el espacio admisible del funcional es
= isin times = = forall isin 01 ( (112)
Ahora definimos la variacioacuten del funcional (v)J J= en el punto y en la direccioacuten como la
derivada
0
(vv) (v v)d
J Jd ε=
δ = +εε
ɶ ɶ (113)
El punto v LDisin y la direccioacuten v LaDisinɶ
8
Las direcciones admisibles vɶ en el punto v LDisin son aquellas para las cuales v v LD+ ε isinɶ para
todo ε suficientemente pequentildeo y existe (vv)Jδ ɶ
En consecuencia en vista de (112) vɶ es una direccioacuten admisible en v para LD siacute y solo si
v LaDisinɶ Como y son continuas al igual que sus derivadas en cada tramo y de las condiciones
de continuidad vistas anteriormente el espacio de direcciones admisibles estaacute dado por
[ ] 0 1vv v( ) v( ) 0 01La U WD S S X t X t X= isin times = = forall isinɶ ɶ ɶ ɶ (114)
esto nos lleva a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1 1
1
3 1 1 1 11 1 1
0
2 21 1 1 1 1 1 1 1
2 21 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1
1 1 1
0 0 0 0
t c
t
EI EA
l l
w
W W U UJ A l X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X XX X
E I W WR t t T W t W t
l X X
part part part part= + minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
part part +part part
int intɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶδ ρv v
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1
1 11 1 1
1
3 3 2 2 2 22 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 22 2
2 2
0 0
w
u
l
A lc
EI EA
l l
T W c t W c t
E AT U t U t
l
W W U UA l v v X t X t X t X t
t t t t
vvE I W W E A U UX t X t X t X t dX
l v l v X xX X
E Il
+ +
minus
minus
+
part part part part+ minuspart part part part
part part part partminus minuspart partpart part
int
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ρρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 23 3 2 2
2 2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 23 2 2 2 1 2 1
2
w
m
mu
W WR l t l t T W l t W l t
X X
W W W WR c t c t c t c t
X X X X
E AT U l t U l t T U c t U c t U c t U c t dt
l
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
minus minus minus
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(115)
La condicioacuten de estacionario establece que
ɶ (v v ) 0 v LaJ Dpart = forall isin (116)
Si consideramos la primera integral
1
0
11 1
1
0
t c
t
WA ( X t ) ( X t )dX
Wdt
t tρ part part
part partint intɶ
(117)
Como y - 0 se puede integrar por partes con respecto a t y al aplicar la condicioacuten
ɶ 0 1v (X t ) v (X t ) 0 [01]X= = forall isin
9
se obtiene
1 1
0 0
21 1
20
11
0
t tc c
t t
W W(Xt) (Xt)dX dt (Xt) (Xt)dX dt
t t t
WW
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ (118)
La misma condicioacuten y - 0 nos permite integrar por partes dos veces respecto a x
1
0
2 212 21 1
1
0
( ) ( )t c
t
WX t X
Wt dX dt
X X
part partpart partint int
ɶ (119)
De donde obtenemos
1
0
1
0
2 212 21 10
14 2 2 31 1 14
1
1
11
0
2 2 31 1 1 10 0
t c
t
t c
t
W( X t ) ( X t )dX dt
X X
W W W( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) ( X t ) dt
X X X X
W
WW dX W
part part =part part
part part part part minus
part part part
+part
int int
int int
ɶ
ɶɶ ɶ
(120)
Lo mismo obtenemos para
1 1
0 0
21 1
20
1
0
1
t tc c
t t
U U( X t ) ( X t )dX dt ( X t ) ( X t )dX dt
t t t
UU
part part part= minuspart part partint int int int
ɶɶ
1
0
1
0
1
1
1
1
0
21 1210
10
t c
t
t c
t
U
U
U( X t ) ( X t )dX dt
X X
U U( X t ) ( X t ) dX ( X t ) ( X t ) dt
X XU
part part =part part
part partminus + part part
int int
int int
ɶ
ɶ ɶ
(121)
Si hacemos las mismas integrales dobles para el tramo c-l y remplazamos en la ecuacioacuten (113)
tendremos
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1
0
1
1
1
1
2 23 3 1 1
1 1 1 1 12 20
1 14 2 31 1 1 1 1 1
1 14 2 31 1 1 1 10 00
21 1 1
21 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v vt c
A lt
cEI
lc
EA
l
W
dXW U
J A l v v X t W X t X t U X tt t
vE I W W WW X t dX W
l v X X X XvE A U
l v
X t X t X t X
X
t X t
ρδ ρ
minus
part part= minus minuspart part
part part part part+ minuspart part part partpartminuspart
intint
int
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
1
1 1 1 11 1 1 1 2 1 1
1 1 11
11 1 1 1 1 1
02 2
3 3 2 22 2 2 2 2
2 2
2 0
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
w w
u
l
A lc
cEI
l
U X t dX
E I W WR t t T W t W t T W c t W c t
l X XU
E A U T U t U tX
W UA l v v X t W X t X t U X t dX
X t
X
t t
t
vE Il v
t X
ρρ
+ +
minus
part partminus + minuspart part
part minuspart
part part+ minus minuspart part
partminus
int
int
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
2 1
1 14 2 32 2 2 2
2 24 2 32 2 2 002
2 2 222
2 201
2 2 22
2 0
3 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
)
cEI
l
EI
l
mu U c t U c t
W W W WW X t dX W
X X X XvE A U
U X t dXl v X
v
X t X t X t X t X t
E A UU
l v X
T U l t U l t T U
X t X t
c t U c t dtminus +minus + minus
part part part+ minuspart part part partpartminuspart
partminuspart
minus minus minus
int
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(122)
Si ahora definimos
3 3 i i
i i
i i
E I E Ii i i ii i i i A l i i
i l i l
v vE l E AB A l v v C y D
l v l v= = =ρρ
Agrupando en la ecuacioacuten (123) obtenemos
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0
2 41 1
1 1 12 410
21
12 31 1 12 31 1 10
1 1 2 1
1
1
21
1 1 1 12 20
1
1 11 1
1 10
0 0
0 0
c
w w
t
tc
W WB X t C X t w
t X
W
X X X
T W t t
W
T
W
W
W
W
J X t dX
UUD X t U dX B X t U X t dX
X t
WC R t t
X XW
part part minus minus part part
part part part minus + part part part
minus
= +
partpartminus minus minuspart part
part partminuspart part
intint
int
ɶ
ɶɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ))( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
22
11
1 1 1 1 10
2 42 2
2 2 22 42
22
2 2 2 22 20
1 12 32 2 2
2 22 32 2 2 00
3
0 0
u
l
cc
c t c tW
UD T U t U t U
X
W WB X t C X t X t dX
t XUU
D X t U dX B X t U X t dXX t
W WC X t X t X t X t
X X
W
WX
W
R
minuspartminus +part
part partminus minus +part part
partpartminus minus minuspart part
part part partminuspart part part
minus
int
int
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 1 2 1
1
23 2 2 2
2 0
2 23 2 2
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
0 0
m
m u
w
m
T U c t U c t U c t U c t
UT T U l t U l t U
X
WW
W
Wt t T W l t l t
X XW W
R c t c t c t c tX X X X
D
W
dt
minus + minus +
minus + minus +
minus minus
minus minus minus
part minus minus part
part part minuspart part
part part part partminus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
(123)
Luego de la condicioacuten de funcional estacionario resulta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
21
2 22 2
2 2 220
2 41 1
1 1 12 410
2 42 2
2 2 22 42
21
1 1 1 12 20
c
t c
t
l
c
c
U UD X t U X t dX B
X
W WJ B X t C X t W X t dX
t X
W WB X t C X t W X t dX
t X
UUD X t U X t dX B X t U X t dX
X t
part partminus minus part part
part part= minus minus +part part
part partminus minus +part part
partpartminus minus +part part
int
int int
int
int
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
δ v v
( ) ( )22 0
con 0 L La
X t U X t dXt
dt
W D
=
= = forall isin
ɶ
ɶw w
(124)
12
Como 4 3ww ( ( ))C Gisin y verifican la condicioacuten (112) podemos aplicar el lema fundamental del
caacutelculo de variaciones generalizadas en 12 de donde se deducen que las funciones wi y ui deben
satisfacer las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 1
2 41
22
2 42
2 21 1
1 2 2
2 2
4
1
2 22 22
2
2
42
1
1
2
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0 (01)
0
0
0
0
W WX t X t
t X
W WX t X t
t X
U UD X t X t
X t
U UD X t B X t
X t
B
B
C X t
C X t
B X t
X t
part part =part part
part part =part part
part partminus =part partpart partminus minuspart part
minus
=
minus
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
minus forall isin forall gt
forall isin forall gt
(125)
Por lo que la funcioacuten wi y ui debe satisfacer la ecuacioacuten (113) y la condicioacuten para funcional
estacionario se reduce
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
0
1 2
1
1 12 31 1 1
1 12 31 1 1 00
1 11 1 1 1 2 1 1
1 1
11
1 1 1 1 10
22 2
2 22
0 0 0 0
0 0
t
t
w wl l
u l
W W WJ C X t X t X t W X t
X X X
W WR t t T v W t W t T v W c t W c t
X X
UD T v U t U t X t U X t
x
W WC X t
X
+ +
minus
part part part= minus minuspart part part
part partminus + minuspart part
partminuspart
part partminuspart part
intɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
δ v v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2 2 1 2 1
23 2 2
2
1 132 2 2
3 232 2 2 2 00
2 1 2 13 2 2
2 1 2 1
0 0
m
u
mw l
T U c t U c t U c t U c t
UT U l t U l t X
X
W W WX t R t t X t W X t
X X X X
W W W WT v W l t W l t R c t c t c t c t
X X X X
D
minus + minus +
minus + minus +
minus
minus minus minus
part
minus
partminus
part part partminus minuspart part part
part part part partminus minus minuspart part part part
ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɶ
( ) ( )1
2
0
0t U X t dt =
ɶ
(126)
Agrupando los teacuterminos de la ecuacioacuten (126) y realizando los desarrollos algebraicos
adecuados Obtenemos por un lado las siguientes condiciones de borde naturales y de
compatibilidad
13
1 1
31
1 1 31
(0 ) (0 ) 0w l
WT W t C t
X
partν minus =part
(127)
1
11 1
1
(0 ) (0 ) 0u
UT U t D t
X
partminus =part
(128)
21 1
1 1 21 1
(0 ) (0 ) 0W W
R t C tX X
part partminus =part part
(129)
1 2( ) ( ) 0W c t W c t+ minusminus = (130)
2
3 32 1
1 2 13 32 1
( ) ( ) ( ) 0w
W WT W c t C c t C c t
X X+ minus + part partminus minus = part part
(131)
11 2 1
1
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
X+ minus +part minus minus =
part (132)
22 2 1
2
( ) ( ( ) ( )) 0m
UD c t T U c t U c t
Xminus minus +part minus minus =
part (133)
21 2 1
1 21 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X X+ + +part part partminus minus =
part part part (134)
22 2 1
2 22 2 1
( ) ( ( ) ( )) 0m
W W WC c t R c t c t
X X Xminus + +part part partminus minus =
part part part (135)
3 2
32
2 2 32
( ) ( ) 0w l
WT W l t C l t
X
partν minus =part
(136)
3
22 2
2
( ) ( ) 0u
UT U l t D l t
X
partminus =part
(137)
22 2
3 2 22 2
( ) ( ) 0W W
R l t C l tX X
part partminus =part part
(138)
Luego teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales (125) tenemos que
( ) ( )4 2
44
2 0 (01) 0 12ii
ii
W WX t X t
tk
XX t i
part part =part part
minus forall isin forall gt = (139)
( ) ( )2 2
2 22 0 (01) 0i ii
i
U UX t X t
X tp X t
part part =part part
minus forall isin forall gt (140)
Con
4 4 2 42
12i i
i i
i i
A A
i l i lEI EI
Ik p i
Alρ ρν ν
= ν = ν =ν ν
14
Aplicando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones diferenciales nos
queda de la forma
( ) ( ) ( )i i i iW X t W XT t= (141)
( ) ( ) ( )i i i iU X t U XT t= (142)
Si remplazamos en (139) y (140)
24 4
1 1IV
IV W TW T T W
k k TW= minus rArr = minus = ω (143)
22 2
1 1II
II U TU T T U
p p TU= rArr = = minusω (144)
Luego nos queda
( ) ( )2
22 0 (01) 12ii
i
i
UX U X
XX i
part =part
+ forall isin =λ (145)
( ) ( )4
44 0 (01) 12ii
i
i
WX W X
XX i
part =part
minus forall isin =λ (146)
Con
4 4 2 12A
l iEI
ρλ = ω =
En donde ω es la frecuencia natural en radianes por segundo
Si asumimos que es una oscilacioacuten armoacutenica entonces seraacute
( ) i teT t = ω
Si consideramos que Win y Uin como los modos naturales de vibracioacuten transversal y longitudinal
de las vigas
( )1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (147)
( ) 2 21 1 5 1 1 1 6 1 1 1cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (148)
( )2 2 7 2 2 2 8 2 2 2 9 2 2 2 10 2 2 2cosh( ) ( ) cos( ) ( ) n n n n nW X C X C senh X C X C sen X+ + += λ α λ α λ α λ α (149)
( ) 2 22 2 11 2 2 2 12 2 2 2cos( ) ( ) n n nU X C X C sen X+= λ β λ β (150)
En donde αi y βi son paraacutemetros adimensionales dados por las caracteriacutesticas fiacutesico-geomeacutetrico
15
de las vigas y estaacuten definidos por las expresiones
4Ai
i liEIi
vv
vρα = 2
2
Aii li
EAi
v Iv
v Al= ρβ para 1 2 3i =
Si consideramos que los coeficientes de rigidez rotacional y traslacional puedan asumir valores
tales que
0 0 0 0i i m mR T T y Rle lt infin le ltinfin le ltinfin le ltinfin
Las condiciones de contorno son todas naturales A su vez al hacer i iT R rarrinfin se obtienen las
condiciones geomeacutetricas Al hacer variar las constantes de rigidez de los resortes podemos ir
generando vigas con distintas condiciones de apoyo en los extremos de los tramos
Si se reemplazan las ecuaciones de las expresiones (147)-(150) en las de las condiciones de
borde y de continuidad dadas por las expresiones (127)-(138) se obtiene un sistema de
ecuaciones homogeacuteneo lineal de 12 constantes C1 a C12
De la condicioacuten de no trivialidad del sistema resulta un determinante-ecuacioacuten en los
autovalores λ del problema que seraacuten los coeficientes adimensionales de frecuencia
16
13 Conclusiones
Se obtuvieron las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de una viga de dos tramos
con viacutenculos elaacutesticos en sus extremos y una roacutetula elaacutestica intermedia Podemos ver que el
meacutetodo del caacutelculo de variaciones aplicado a una estructura baacutesica nos permite llegar con
rapidez a las ecuaciones gobernantes y es muy permeable a la hora de realizar modificaciones a
ese modelo En particular es compatible con propuestas estructurales que involucran uniones o
viacutenculos externos con caracteriacutesticas elaacutesticas
En el capiacutetulo siguiente aplicaremos el meacutetodo del caacutelculo de variaciones para obtener los
coeficientes de las frecuencias naturales de un poacutertico en L y para analizar coacutemo el
comportamiento dinaacutemico de la estructura es afectado por la incorporacioacuten de propiedades
elaacutesticas a los viacutenculos externos
Maacutes adelante nos centraremos en el estudio de una roacutetula elaacutestica intermedia en la estructura y
coacutemo eacutesta se puede utilizar para asemejar a una fisura
17
14 Referencias
Albarraciacuten C M Grossi R O ldquoVibrations of elastically restrained framesrdquo Journal of Sound
and Vibration 285 467-476 2005
Bernal D ldquoIntroduction of the Calculus of Variationsrdquo Imperial College Press 2004
Blevins R ldquoFormulas for natural frequency and mode shaperdquo Krieger Melbourne FL 1993
Chang TP Lin GL y Chang E ldquoVibrations analysis of a beam with an internal hinge
subjected to a random moving oscillationrdquo International Journal of Solid and
Structures 436398-6412 2006
Grossi RO ldquoCalculus of Variations Theory and Applications (in Spanish)rdquo CIMNE
Barcelona Spain 2010
Grossi R O y Albarraciacuten C M ldquoVarational approach to vibration of frames whith inclined
membersrdquo Applied Acoustics 74325-334 2013
Grossi R O y Quintana M V ldquoThe conditions in the dynamics of elastically restrained
beamsrdquo Journal of Sound and Vibration 316274-297 2008
Raffo J F y Grossi R O ldquoVariational Approach of Timoshenko Beams with Internal
Elastic Restraintsrdquo Journal of Mechanics Engineering and Automation 3 491-
498 2013
Timoshenko S y Young DH ldquoVibration Problems in Engineeringrdquo Van Nostrand Princeton
NJ 1956
Wang CY y Wang CM ldquoVibrations of a beam with an internal hingerdquo Internacional Journal
of Structural Stability and Dynamics 1163-167 2001
Warburton GB ldquoThe dynamical behaviour of structuresrdquo (2nd edition) PergamonPress Ltd
Oxford 1976
Wu JJ ldquoUse of the elastic-and-rigid-combined beam element for dynamic analysis of a two-
dimensional frame with arbitrarily distributed rigid beam segmentsrdquo Applied
Mathematical Modelling 351240-1251 2011
18
2 Capiacutetulo II Semi-poacutertico con vinculacioacuten elaacutestica Anaacutelisis dinaacutemico mediante el meacutetodo variacional
21 Introduccioacuten El estudio de las propiedades dinaacutemicas de poacuterticos simples es muy importante en el campo del
disentildeo estructural ya que se constituye en la piedra fundamental de muchas estructuras
resistentes de utilidad en varios campos de la ingenieriacutea
En efecto los encontramos tanto en grandes construcciones como puentes y edificios ubicados
en regiones siacutesmicamente activas como en micromarcos utilizados en modernos equipos
electroacutenicos sometidos a entornos vibratorios Morghadam A et al( 2013)
Como puntualizaron Laura P y colaboradores en 1987 el tema habiacutea sido tratado en excelentes
libros hoy claacutesicos algunos reeditados Timoshenko S y Young D (1990) Warburton G
(1976) Blevins R (2001) y Clough R y Penzien J (2010) Maacutes reciente y con abundante
informacioacuten es la obra de Karnovsky y Lebed (2004)
En los trabajos de investigacioacuten sobre vibracioacuten de poacuterticos pueden mencionarse las
contribuciones de Filipich C (1987) y Laura P et al (1987) que analizan vibraciones de
poacuterticos planos con viacutenculos elaacutesticos o masas adosadas obteniendo soluciones aproximadas
mediante meacutetodos variacionales Lin H y Ro J (2003) propusieron un meacutetodo hibrido
analiacutetico numeacuterico para analizar entramados planos Wu J (2011) presentoacute una combinacioacuten
de elementos vigas elaacutesticos y riacutegidos para determinar las caracteriacutesticas dinaacutemicas de un
poacutertico plano Mei C (2011) analizoacute las vibraciones de un poacutertico plano de varios pisos desde
el punto de vista de la vibracioacuten de ondas
En el caso particular del poacutertico de dos tramos (ldquoL- Shaped structurerdquo) los primeros trabajos
corresponden a Bang H (1996) Guumlrgoumlze M (1998) y Oguamanam D et al (1998) Este
uacuteltimo fue extendido en 2003 (Heppler G et al) relajando las restricciones en el movimiento
del poacutertico abierto Dos trabajos que merecen destacarse son los de Lee Y y Ng T (1994) y
Albarraciacuten C y Grossi R (2005) En el primero de ellos se utilizoacute el meacutetodo de Rayleigh-Ritz
en conjunto con la introduccioacuten de resortes lineales artificiales a traslacioacuten y a rotacioacuten para
evaluar las frecuencias naturales de poacuterticos de complejidad diversa En el segundo trabajo se
analiza un poacutertico de dos tramos con vinculacioacuten externa elaacutestica Aplican la teacutecnica de anaacutelisis
variacional con el claacutesico meacutetodo de separacioacuten de variables para la determinacioacuten de
autovalores(frecuencias) y autovectores (formas modales)
19
La presencia de una articulacioacuten interna elaacutestica ha sido tratada por varios autores Wang C y
Wang C (2001) Lee Y et al (2003) Grossi R y Quintana M (2008) y Quintana M et al
(2010) estudiaron vigas con distintos viacutenculos externos y un viacutenculo elaacutestico intermedio
El caso de marcos con viacutenculos elaacutesticos intermedios fue estudiado entre otros por Santana C
(2009) Reyes-Salazar A (2012) y Gorgun H (2013) Tambieacuten se consignan las
contribuciones surgidas de la presente investigacioacuten Ratazzi A et al (2011) (2012 (2013)
(2014)
En este capiacutetulo se analiza el comportamiento dinaacutemico de un poacutertico formado por una columna
y un dintel vinculados riacutegidamente entre siacute con una de sus vinculaciones externas con
propiedades elaacutesticas y una roacutetula elaacutestica intermedia en el dintel El procedimiento para
estudiar la conducta dinaacutemica de la estructura se desarrolloacute en base al caacutelculo de variaciones
obteniendo asiacute las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del poacutertico
en L El meacutetodo de separacioacuten de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas
modales
Los resultados numeacutericos fueron calculados por medio de algoritmos realizados con el software
Wolfram Mathematica (2012) Estos resultados se presentan en dos secciones En primer lugar
se le dio diferentes valores a las constantes de los resortes de los viacutenculos elaacutesticos y se los
comparoacute con resultados similares en la literatura y de esta forma se validoacute el modelo
matemaacutetico propuesto En segundo lugar se adoptaron diferentes constantes de las condiciones
de viacutenculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
22 Descripcioacuten del modelo estructural propuesto
El poacutertico en L de la Figura 1 se considera formado por tres tramos o vigas El tramo FO de
longitud l1 es vertical y tiene vinculacioacuten elaacutestica externa en F El segundo tramo OP de
longitud l2 es horizontal y estaacute riacutegidamente unido al tramo FO en el extremo O y vinculado con
una roacutetula elaacutestica en su extremo P al tercer tramo que tambieacuten es horizontal Finalmente el
tercer tramo PH tiene longitud l3 estaacute unido al tramo OP a traveacutes de la roacutetula elaacutestica y en su
extremo H se encuentra riacutegidamente empotrado
El modelo estructural se planteoacute utilizando la teoriacutea de vigas de Euler-Bernoulli y no se tuvo en
cuenta la deformacioacuten axil de las vigas La condicioacuten de infinita rigidez axil es una hipoacutetesis
razonable en la resolucioacuten de este tipo de problemas Las vigas se denominaron como 1 2 y 3
comenzando desde el extremo F Las condiciones elaacutesticas de la vinculacioacuten se representaron
con resortes traslacionales y rotacionales y se ubicaron en los extremos F y P de las vigas
componentes En la viga 1 la vinculacioacuten externa en F fue representada por tres resortes
20
orientados como se indica en la Figura 1 Dos resortes traslacionales cuyas constantes de rigidez
son tu y tw restringen los desplazamientos en direccioacuten del eje del tramo x1 y en direccioacuten
transversal a eacutel w1 El giro de esa seccioacuten de la viga estaacute controlado por un resorte rotacional de
constante rz Las vigas 2 y 3 estaacuten unidas en P por una roacutetula cuya condicioacuten elaacutestica estaacute
representada por un resorte rotacional de constante de rigidez rm
Figura 21 Modelo estructural
Con el subiacutendice i=1 2 oacute 3 se indicoacute la pertenencia a cada una de las vigas De esta forma xi es
la correspondiente coordenada axil Los desplazamientos transversales al eje en el instante t en
cada caso fueron indicados como ( ) 1 23i i iw w x t i= = Los sentidos positivos de las
coordenadas y los desplazamientos son los indicados en la Figura 21
El desplazamiento riacutegido de la viga 1 en direccioacuten de su eje bajo la hipoacutetesis de rigidez axil se
relaciona directamente con el desplazamiento transversal de la viga 2 en el extremo O a traveacutes
de la relacioacuten 1 1 1 2( ) (0 )u u x t w t= = 1xforall
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
21
Los mismos subiacutendices tambieacuten se utilizaron para denominar las propiedades fiacutesicas y
geomeacutetricas de cada viga asiacute ρi Ai es la masa por unidad de longitud en donde ρi es la densidad
del material y Ai es el aacuterea de la seccioacuten transversal EiI i la rigidez a flexioacuten de la viga donde Ei
e Ii son el moacutedulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la seccioacuten transversal
respectivamente
23 Desarrollo analiacutetico para la obtencioacuten del problema de contorno
La teoriacutea de vigas de Euler Bernoulli no considera los efectos de la deformacioacuten por corte ni de
la inercia rotatoria
La energiacutea total del sistema estructural se puede agrupar en energiacutea cineacutetica (que es la energiacutea
debida al movimiento) y energiacutea de deformacioacuten elaacutestica (que es la energiacutea potencial
almacenada en la estructura que deforma elaacutesticamente)
La energiacutea cineacutetica total de la estructura del poacutertico se expresa como
2 231 2
1 0
1( ) (0 )
2 2
il
i i ii i i i
i
w Al wT A x t dx t
t t=
part part = + part part sumint
ρρ (21)
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica se debe a la traslacioacuten de cuerpo riacutegido
de la viga 1 de longitud 1 debido a la hipoacutetesis de infinita rigidez axial
La presencia de la roacutetula elaacutestica entre los dos tramos de la viga horizontal no afecta la
condicioacuten de desplazamiento transversal uacutenico en el punto de concurrencia y se cumple la
condicioacuten de continuidad
2 2 3( ) (0 )w l t w t= (22)
y establece una relacioacuten entre los giros de las secciones de los dos tramos concurrentes a dicha
unioacuten elaacutestica y el esfuerzo resultante en el resorte rotacional proporcional a la diferencia entre
esos giros A su vez el esfuerzo interno en el resorte rotacional se relaciona con el momento
flector de cada viga en el punto de concurrencia como se indica a continuacioacuten
22
232 2
2 2 2 222 3 2
( ) (0 ) ( ) 0m
ww wE I l t r t l t
x x x
partpart partminus minus = part part part
23 3 2
3 3 223 3 2
(0 ) (0 ) ( ) 0m
w w wE I t r t l t
x x x
part part partminus minus = part part part
(23)
La energiacutea potencial total del poacutertico estaacute dada por la expresioacuten
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
223
21 0
222 2 2 2 31
1 21 2 3
1( )
2
00 0 0
2 2 2
il
ii i
i i
w uzm
wU EI x t dx
x
w l t w tt tr wt w t w t r
x x x
=
part = + part
part part part+ + + + minus part part part
sum int (24)
231 Adimensionalizado de las variables y paraacutemetros
Para facilitar el tratamiento analiacutetico como ya vimos en el capiacutetulo 1 adimensionalizamos las
variables y los paraacutemetros utilizados en el modelo De acuerdo a ello la coordenada espacial
que indica la posicioacuten de las distintas secciones de cada viga se relaciona con la respectiva
longitud del tramo seguacuten sigue
123ii
i
xX il= =
Es asiacute que los desplazamientos transversales adimensionales asumen la forma
( ) [ ] 123 01i i
i ii
w X tW i X
l= = isin
En cuanto a las caracteriacutesticas fiacutesicas y geomeacutetricas de las vigas se definieron las relaciones
ldquo νrdquo seguacuten se muestra a continuacioacuten
con 123i i i
i i i i il EI A
l E I Av v v i
l EI Aρρρ
= = = =
Donde l=l 1I=I 1A=A1E=E1 y ρ=ρ1
Los paraacutemetros que definen las constantes de rigidez de los viacutenculos elaacutesticos fueron
adimensionalizados seguacuten se indica en funcioacuten de caracteriacutesticas de la viga
3
w w
lT t
EI=
3
u u
lT t
EI= z z
lR r
EI= m m
lR r
EI=
23
Finalmente las expresiones de los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
en funcioacuten de los corrimientos transversales quedan expresados como sigue
3
3i i
i i i
W QX E I
part =part
2
2i i
i i i
W MX E I
part =part
La convencioacuten adoptada para esfuerzos internos positivos estaacute indicada en la Figura 22
Figura 22 Esfuerzos internos positivos
232 Funcional del sistema estructural
Teniendo en cuenta las energiacuteas potencial y cineacutetica dadas por las ecuaciones (21) y (24) se
escribe el funcional del sistema estructural con la integral del lagrangiano usando las
adimensionalizaciones
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
0 0
1 2
1 1
22133 3
1 0
22 2
22 22 21
1 1 1 2 21
2 2
1
2
0
1
2
i
i i
i
i
t tEIi i
A l i i ii l it t
A l l
z w l u l
m
vW WEI(T U)dt Al v v ( X t ) ( X t ) dX
t l v X
Wv v v ( t )
t
WEIR X t T v W X t T v W X t
l X
W X tR
=
part part minus = minus part part
part + part
partminus + + part
part+
sumint int int ρ
ρ
ρ
( ) 2
3 3
2 3
W X tdt
X X
part minus part part
(25)
En donde t0 y t1 seguacuten el principio de Hamilton como fue enunciado en el capiacutetulo I son dos
instantes para los cuales las posiciones del sistema son conocidas
El espacio de funciones admisibles estaacute incluido en el conjunto de funciones siguientes
( ) 4 ( ) 123i i iW X t C G iisin =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 30 1 0 1 0 10 01 01 01 i i iG G l G t t G t t G t t= = times = times = timescup
(26)
Q
QM M
w
x
24
Ademaacutes estas funciones deben satisfacer las condiciones de borde y de continuidad para los
miembros del poacutertico y las correspondientes condiciones geomeacutetricas o esenciales
233 Problema de contorno Ecuaciones Diferenciales Gobernantes y
Condiciones de Borde
En esta seccioacuten se aplicaron los conceptos sobre el caacutelculo de variaciones presentadas en el
Capiacutetulo 1 para realizar el desarrollo analiacutetico que corresponde a la expresioacuten de la variacioacuten
del funcional
De esta manera se obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que representan el
problema del semi-poacutertico vibrante (27) y las ecuaciones de las condiciones de borde y de
continuidad expresadas en funcioacuten de los desplazamientos Wi (29 a 220)
4 24
4 2( ) ( ) 0 (01) 0 123i i
i i i ii
W WX t k X t X t i
X t
part part+ = forall isin forall gt =part part
(27)
con
4 4 para 123i ii
i i
Ak l i
E I= =ρ
(28)
Y
( )( )1
1
31
13 31
(0 ) 0 0EIw
l
v Wt T W t
Xv
part + =part
(29)
( )( ) ( )2
2
3 242 2
2 13 3 22 2
(0 ) 0 0 0EIu
l
v W Wt T W t k t
X tv
part part+ minus =part part
(210)
( )1
1
21 121 1
(0 ) 0 0EIz
l
v W Wt R t
v X X
part partminus = part part
(211)
1 1(1 ) 0lv W t = (212)
25
1 2
1 2
(1 ) (0 ) 0W W
t tX X
part partminus =part part
(213)
1 2
1 2
2 21 22 21 2
(1 ) (0 ) 0EI EI
l l
v vW Wt t
v X v X
part partminus =part part
(214)
2 32 3(1 ) (0 )l lv W t v W t= (215)
( ) ( )2
2
23 22
22 3 2
0 1(1 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (216)
( ) ( )3
3
23 23
23 3 2
0 1(0 ) 0EI
ml
v W t W tWt R
v X X X
part part part minus minus = part part part (217)
32
32
3 32 3
2 3 2 32 3
(1 ) (0 ) 0l
EIEI
l
vv W Wt t
v X v X
part partminus =part part
(218)
3 3(1 ) 0lv W t = (219)
3
3
(1 ) 0W
tX
part =part
(220)
En las expresiones precedentes se han tenido en cuenta las relaciones que existen entre los
corrimientos transversales y los esfuerzos internos de corte y de momento flector de las vigas
En la ecuacioacuten (210) el tercero de los teacuterminos del primer miembro representa la fuerza de
inercia por el movimiento de cuerpo riacutegido que provoca el tramo FO
Utilizando el meacutetodo de separacioacuten de variables la solucioacuten de las ecuaciones (27) se asumioacute
de la forma
( ) ( )1 1 1 1 i tW X t W eX= ω (221)
26
( ) ( )2 2 2 2 i tW X t W eX= ω (222)
( ) ( )3 3 3 3 i tW X t W eX= ω (223)
Donde las funciones 1W 2W 3W son las llamadas ldquofunciones admisiblesrdquo1 de los
desplazamientos y representan los modos naturales de vibracioacuten transversal de las vigas estaacuten
dadas por las expresiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (224)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (225)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 9 3 3 10 3 3 11 3 3 12 3 3cosh cosW X C X C senh X C X C sen X= + + +λα λα λα λα (226)
donde 4 i
ii
Ai l
EI
vv v
ρα = para 1 2 3i = y 4 24n n
Al EIρλ ω= con nω frecuencias naturales
del sistema estructural y C1 C2hellip C12 constantes Reemplazando las ecuaciones (224-226)
en las ecuaciones (221-223) y luego en las ecuaciones (29-220) se llegoacute a un sistema
homogeacuteneo de ecuaciones lineales en las constantes C1 a C12 La solucioacuten no trivial del sistema
de ecuaciones planteado requiere que su determinante sea nulo y permite obtener los
coeficientes de frecuencia λn y los valores de frecuencia natural circular nω
24 Comparacioacuten del modelo analiacutetico con otros modelos
En esta seccioacuten se presentan resultados numeacutericos de coeficientes de frecuencias naturales del
poacutertico en forma de L de la Figura 1 para una serie de ejemplos convenientemente elegidos
Los resultados de los coeficientes de frecuencias naturales se determinaron para diferentes
valores de las constantes de los resortes a traslacioacuten y rotacioacuten Tu Tw Rz y Rm que representan
los viacutenculos elaacutesticos en el extremo F de la estructura y en la unioacuten de los tramos de viga 2 y 3
241 Verificacioacuten del procedimiento analiacutetico
Ademaacutes de comparar con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a traveacutes
de un modelo experimental construido al efecto y por medio de un coacutedigo de elementos finitos
de caraacutecter comercial
1 Una funcioacuten desplazamiento se considera admisible si no viola ninguna restriccioacuten geomeacutetrica y puede representar el desplazamiento del tramo de viga sin ninguna discontinuidad
27
2411 Modelo experimental
En el laboratorio se construyoacute un poacutertico en L con una planchuela de acero laminada en friacuteo de
58 times 18 (b=15875 mm h= 3175 mm) y seccioacuten transversal 4064x10-5m2 La longitud de
cada tramo es de 420 mm Es necesario ademaacutes el valor del moacutedulo de Elasticidad E y de la
densidad ρ del material empleado
Debido a que en aplicaciones dinaacutemicas estos paraacutemetros estaacuten siempre involucrados a traveacutes
de la relacioacuten frasl se optoacute por el siguiente procedimiento
Se construyoacute con el mismo material del poacutertico una viga de 417 mm de longitud libre y
riacutegidamente empotrada en uno de sus extremos Como es sabido que el primer autovalor de una
viga cantileacutever es igual a 18751 se midioacute experimentalmente el valor de la primera frecuencia
de ese modelo Se realizaron varias mediciones el promedio de los valores medidos en el
modelo fue 1485 Hz con ello fue posible determinar la relacioacuten buscada utilizando la conocida
expresioacuten de la ecuacioacuten de vibraciones libres
2 2
2
1 λ E I I hf= =
2π l ρ A A 12
( )( )
( )2 2
2
18751 E11485Hz=
2π ρ 12041
0003175m
7m
E m=503473
ρ seg
Esta relacioacuten que es la velocidad de una onda longitudinal en acero fue utilizada en los
paraacutemetros mecaacutenicos de los modelos experimentales de laboratorio y en los modelos simulados
mediante elementos finitos
El modelo de laboratorio para el caso de vinculacioacuten externa empotrado-empotrado fue
montado sobre un perfil UPN Nordm 100 y sujeto por dos prensas tal como se muestra en las
Figuras 23 y 24 El modelo de estructura vinculado con un empotramiento en uno de sus
extremos y libre en el otro es tambieacuten sujeto por una prensa a la mesa de ensayos como se
muestra en la figura 25 Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las
mediciones se tomaron con un proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO
180 La sentildeal de desplazamiento fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos
canales VIBXPERT II con 24bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo La
estructura fue excitada por medio de un impacto En la figuras 26 y 27 podemos ver los
espectros de las 10 primeras frecuencias obtenidos por el analizador empotrado-empotrado y
librendashempotrado respectivamente
28
Figura 23 Estructura montada sobre perfil UPN 100 Poacutertico biempotrado
Figura 24 Prensa de anclaje de la estructura
Figura 25 Poacutertico Empotrado-Libre
29
Figura 26 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Empotrado-Empotrado
Figura 27 Espectro de las 10 primeras frecuencias naturales del modelo Libre-Empotrado
2412 Modelo de Elementos Finitos
Para construir el modelo de elementos finitos se utilizoacute software Algor 2009
Los tres miembros de la estructura son divididos en 100 elementos viga cada elemento viga
tiene tres grados de libertad La roacutetula de condicioacuten elaacutestica representada por un resorte
rotacional es modelada por un elemento viga 300 veces menor que el elemento viga de los
tramos El momento de inercia de la seccioacuten se varioacute a fin de obtener valores de rigidez que son
equivalentes a la rigidez de las constantes del resorte que conectan las dos secciones en el punto
P
242 Comparacioacuten del modelo con vinculacioacuten externa claacutesica
A continuacioacuten se muestran una serie de valores numeacutericos obtenidos que por medio de la
comparacioacuten con resultados de la literatura cientifica nos permitieron evaluar la precisioacuten de los
resultados arrojados por el procedimiento analiacutetico
30
2421 Modelos Empotrado-Empotrado y Empotrado ndash Libre
La variacioacuten de los valores de las constantes de resorte en los viacutenculos elaacutesticos produce una
alteracioacuten en los coeficientes de frecuencia de la estructura En la Tabla 21 se presentan los
resultados de los coeficientes de frecuencia para los dos valores liacutemites que adoptaron las
constantes en el extremo F Empotrado las constantes de los resortes tienden a infinito Libre
las constantes de los resortes tienden a cero Para la constante de la roacutetula en P tomamos
Rmrarrinfin ya que los modelos con que se comparan tienen continuidad en el tramo OH Las
longitudes de los tramos se consideran iguales de acuerdo a 1 2 2l l l= +
Luego los resultados de la solucioacuten analiacutetica exacta presentada se comparan (1) con los
resultados obtenidos mediante el meacutetodo de elementos finitos (2) con las lecturas tomadas del
modelo experimental de laboratorio y (3) con resultados publicados en la literatura En el caso
del poacutertico libre-empotrado (L-E) se observa la buena concordancia con los valores de Lin H
et al (2003) Para el caso E-E se compara con el presentado por Albarraciacuten C et al (2005)
Los valores experimentales de frecuencia f1 medidos en Hz han sido transformados a valores
adimensionales comparables a traveacutes de la expresioacuten 4 21 1a fλ = y se identifican como
ldquoExperimental (2)rdquo
1 2 3 4 5 Meacutetodo
a) λ 10820 17863 39680 48031 70981 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 10854 17903 39753 48077 70956 MEF(1)
L-E λ 10811 17985 39907 48537 70986 Experimental(2)
f (430) (1190) (5859) (8667) (18538) Experimental(Hz)
λ 10880 17869 39685 48021 70915 Lin et al (2003) (3)
b) λ 39229 47227 70528 78249 101595 Solucioacuten analiacutetica exacta
λ 39319 47295 70613 78187 101580 MEF(1)
E-E λ 39270 47214 70432 78357 101900 Experimental(2)
f (5676) (8210) (1825) (22588) (38208) Experimental(Hz)
λ 39222 47142 70376 77588 100069 Albarraciacuten et al(2005)
(3)
Tabla 21 Comparacioacuten de los coeficientes de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales a) Libre-Empotrado (L-E) y b) Empotrado-Empotrado (E-E)
En las Figuras 28 y 29 podemos ver las formas modales de las cinco primeras frecuencias
naturales para los casos de vinculacioacuten externa del poacutertico empotrado-empotrado y libre-
31
empotrado respectivamente Las formas modales fueron obtenidas con el software Algor 2009
Figura 28 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E)
Figura 29 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E)
λ1 = 39339 λ2=47295 λ3=70613
λ4 =78187 λ5 = 10158
λ1 = 10854 λ2=17903 λ3=39753
λ4 =48077 λ5 = 70956
32
Por uacuteltimo tomamos un caso propuesto por Morales C (2009) En su trabajo Morales analiza
un semi-poacutertico empotrado-libre por medio del meacutetodo Raleigh-Ritz-Meirovitch substructure
synthesis method (RRMSSM) y obtiene las primeras cinco frecuencias naturales del modelo
En la Tabla 22 se muestra los resultados de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural obtenidos por medio del meacutetodo de caacutelculo de variaciones y los obtenidos por Morales
Las caracteriacutesticas del modelo son longitudes de los tramos 2215 m y 4249 m
respectivamente y las otras propiedades adoptadas son EI1=00147Nm2 EI3=EI3=00267Nm2
31 6 10 m kg mminus= times 5
2 3 45 10 m m kg mminus= = times Para modelar este ejemplo numeacuterico con la
solucioacuten exacta se adoptaron1 2215 l m= 2 2 249 l m= 3 2000l m= y como paraacutemetros
adimensionales a 1
1lv = 1
1EIv = 1
1Avρ = 2
10153lv = 2
18163EIv = 2
00075Avρ = 3
00903lv =
318163EIv =
300075Avρ = 0 0w zT R= = 0uT = mR rarr infin
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
10301 19062 35186 51798 61299 Solucioacuten analiacutetica
10385 19198 35277 51787 61156 MEF
10229 19229 35337 518442 613302 Morales (2009) (12-DOF RRMSSM)
10229 19229 35337 518442 613301 Morales (2009) (60-DOF FEM)
10229 19229 35337 51841 613290 Morales (2009) (Analytical)
Tabla 22 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L Libre-
Empotrado (L-E) comparacioacuten de resultados
243 Modelo Empotrado-Articulado
El siguiente caso numeacuterico corresponde al poacutertico en L articulado-empotrado en sus extremos
Para ello se asignaron valores a los paraacutemetros de manera de modelar alternativamente
condiciones de articulacioacuten en uno de los extremos del poacutertico y empotramiento perfecto en el
otro Se idealizaron dos modelos para la solucioacuten analiacutetica exacta con el fin de verificar
resultados Ellos son
a) 1
1 1 1 2 3 y 22 3
v v i v vEI A l l
i iρ= = forall = = = wT rarr infin uT rarr infin 0zR = mR rarr infin
Figura 210a
b) 2 3
1 1 1 2 3 y 099 001i iEI A l lv v i v vρ= = forall = = = w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr infin 0mR =
33
Figura 210b En este se ha ubicado la roacutetula P muy proacutexima al extremo H y con
constante Rm nula
Figura
210 Poacutertico en L Empotrado-Articulado
La utilizacioacuten de las dos alternativas evidencian la variedad de casos particulares que se pueden
analizar con el modelo propuesto
En la Tabla 23 se muestran los coeficientes de frecuencia obtenidos para las dos combinaciones
de paraacutemetros (a) y (b) y se complementa la Tabla con los valores calculados con el meacutetodo de
elementos finitos La diferencia porcentual entre las dos soluciones analiacuteticas se indica en la fila
∆
( )( ) ( )( ) b ab
minus∆ =
Si bien el caso modelado con ambas propuestas corresponde a un mismo poacutertico articulado-
empotrado las diferencias entre las soluciones (a) y (b) miacutenimas por cierto se deben a la
imposibilidad por perturbaciones numeacutericas de hacer coincidir la articulacioacuten con el extremo
H En este ejemplo los resultados numeacutericos se calcularon con seis cifras significativas
utilizando el software Mathematica 10 Wolfram (2012) para resolver las ecuaciones analiacuteticas
l1(EI)1 (ρA)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3(EI)3 (ρA)3
F
OH
(b)
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
tu
tw
rz
F
O H
P
l1(EI)1 (ρA)1(a)
P
34
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 Meacutetodo
33920 44566 65383 75702 96637 Solucioacuten analiacutetica exacta (a)
33943 44266 65798 75666 96584 Solucioacuten analiacutetica exacta (b)
007 068 063 005 005 Diferencia ( ) ( ) ( )b b b = minus∆∆∆∆
33900 44266 65292 75608 96301 MEF
Tabla 23 Los primeros cinco coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos
iguales Articulado-Empotrado(A-E) modelado de dos distintas maneras
En la Figura 211 se muestran las formas modales de las cinco frecuencias naturales del poacutertico
de la Figura 210 (b) empotrado en el punto H y articulado en F
Figura 211 Formas modales de la estructura A-E con Rmrarrinfin
25 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de diferentes
condiciones en los viacutenculos elaacutesticos del extremo F
En esta seccioacuten analizaremos la influencia de la variacioacuten de la rigidez de los viacutenculos externos
en el comportamiento dinaacutemico de la estructura Para ello se combinaron diferentes valores de
las constantes de los viacutenculos elaacutesticos Tu Tw Rz ubicados en el extremo F
λ1 = 33920 λ2 =44566 44566
λ3=65383
λ4 =75702 λ5 = 96637
35
Para todos los casos que siguen se tomaron los siguentes valores de los paraacutemetros
adimensionales de las vigas de la Figura 21 l2=l 3 vl1=vl2=12 vEI(2)=vEI(3)=1 vρA(2)= vρA(3)=1
En los modelos de vinculacioacuten que se analizaraacuten en esta seccioacuten se ha adoptado la condicioacuten de
infinita rigidez para el resorte rotacional que actuacutean en el punto P dando continuidad al tramo
horizontal
Caso 1 Tw =0
Figura 212 Caso 1 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tw=0
En la Tabla 24 se presentan algunos valores caracteriacutesticos de los coeficientes de frecuencias
naturales calculados para el poacutertico en L Se varioacute la constante de rigidez del resorte a traslacioacuten
en sentido vertical Tu mientras que se mantuvieron fijos los valores de Tw=0 y de zR rarr infin
(Figura 212)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin rarrinfin Analiacutetico 20293 41935 52372 73158 83709
MEF 20336 41981 52364 72835 83214
0 5000 rarrinfin Analiacutetico 20291 41867 52330 72173 81727
0 1000 rarrinfin Analiacutetico 20282 41361 51517 55755 74307
0 500 rarrinfin Analiacutetico 20268 40098 47187 53033 74137
0 100 rarrinfin Analiacutetico 20147 29966 43363 52697 74036
0 50 rarrinfin Analiacutetico 19945 25775 43185 52677 74025
0 10 rarrinfin Analiacutetico 17377 21394 43084 52670 74018
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 24 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tu con Tw y Rz fijos
36
Figura 213 Efecto de rigidez de la condicioacuten de vinculo Tu en los dos primeros coeficientes de frecuencia
Observando los valores de la Tabla 24 se nota que a partir de Tu =5000 las magnitudes de las
tres primeras frecuencias naturales se mantienen praacutecticamente constante En consecuencia
puede suponerse que a partir de ese valor numeacuterico se alcanza la condicioacuten de viacutenculo riacutegido
En la Figura 213 podemos ver las curvas que representan la variacioacuten de los dos primeros
coeficientes de frecuencia a partir del cambio de rigidez del viacutenculo elaacutestico analizando Tu
Por otro lado es posible observar en la misma Figura 213 que se ha producido una especie de
intercambio o salto entre los valores del primero y segundo coeficiente de frecuencia El
coeficiente de la primer frecuencia a partir de Tu =50 adoptoacute un valor constante y similar al
valor de la segunda frecuencia para coeficientes Tu menores a 10
La Figura 214 muestra que la influencia de la variacioacuten de rigidez del viacutenculo traslacional
vertical Tu y para el mismo caso con Tw =0 es similar para los casos extremos de valores de
rigidez del resorte rotacional (Rz=0 y Rzrarrinfin) Obviamente los valores para el caso de mayor
rigidez son mayores
Figura 214 Curvas del primer coeficiente de frecuencia variando Tu con Rz=0 y Rzrarrinfin
37
Caso 2 Tu =0
Figura 215 Caso 2 de vinculacioacuten en el borde F externo de la viga 1 Tu=0
La Tabla 25 contiene los coeficientes de frecuencias naturales correspondientes al caso de
vinculacioacuten en el extremo F (Figura 215) asumiendo rigidez infinita para el resorte rotacional
Rzrarrinfin La constante del resorte a traslacioacuten en sentido transversal Tw adopta diferentes valores
entre infinito y cero tambieacuten en este caso el resorte rotacional en el punto P se supone
infinitamente riacutegido Rmrarrinfin Asimismo se consideroacute la ausencia de vinculacioacuten traslacional
vertical
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 0 rarrinfin
Analiacutetico 15479 39692 48158 70877 79012
MEF 15513 39744 48178 70752 78709
5000 0 rarrinfin Analiacutetico 15477 39636 48091 70545 78674
1000 0 rarrinfin Analiacutetico 15469 39330 47741 68161 76965
500 0 rarrinfin Analiacutetico 15459 38905 47269 64760 75714
100 0 rarrinfin Analiacutetico 15381 35193 44874 55645 74334
50 0 rarrinfin Analiacutetico 15290 31909 43989 54053 74171
10 0 rarrinfin Analiacutetico 14765 24930 43237 52920 74046
0 0 rarrinfin Analiacutetico 13404 20945 43058 52666 74016
Tabla 25 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn Variando Tw con Tu y Rz fijos
FFFF
38
Figura 216 Efecto de Tw en los dos primeros coeficientes de frecuencia Caso 2
La Figura 216 completa el caso analizado con curvas que indican el efecto de Tw sobre los dos
primeros coeficientes de frecuencia del poacutertico en L con las condiciones de vinculacioacuten elaacutestica
en el extremo F indicada (Figura 215)
Nuevamente el valor numeacuterico de Tw=5000 indica la condicioacuten de rigidez absoluta
En las Tablas 24 y 25 podemos ver coacutemo cambian los coeficientes de frecuencias naturales a
medida que la condicioacuten de viacutenculo elaacutestico correspondiente se hace menos riacutegida desde la
condicioacuten de viacutenculo riacutegido hasta desaparecer dicha rigidez Se nota la mayor influencia del
viacutenculo axil con la viga (Tu)
Caso 3 Tw =0 y Rz=0
Figura 217 Caso 3 de vinculacioacuten en el extremo F
39
Tabla 26 se presenta la influencia de la rigidez Tu para los primeros cinco coeficientes de
frecuencia cuando es la uacutenica condicioacuten de viacutenculo aplicada en el extremo F (Figura 217)
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0 rarrinfin 0
Analiacutetico 15706 39250 47084 70630 78389
MEF 15741 39311 47072 70503 77793
0 5000 0 Analiacutetico 15703 39228 46995 70274 76851
0 1000 0 Analiacutetico 15691 39074 46145 55464 71131
0 500 0 Analiacutetico 15674 38643 43658 50052 71042
0 100 0 Analiacutetico 15540 29861 39861 48215 70993
0 50 0 Analiacutetico 15369 25695 39758 48119 70987
0 10 0 Analiacutetico 14120 19744 39704 48068 70986
0 0 0 Analiacutetico 10820 17863 39680 48031 70981
Tabla 26 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Viacutenculos
elaacutesticos en extremo F Caso 3
Caso 4Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 218 Caso 4 de vinculacioacuten en el extremo F
La Tabla 27 muestra los coeficientes de frecuencia para el poacutertico cuando en el extremo F de la
viga 1 estaacute restringida elaacutesticamente a la traslacioacuten longitudinal riacutegidamente vinculado en su
lado transversal (Twrarrrarrrarrrarrinfin) y sin restriccion a la rotacion (Rz=0) Figura 218
40
Tw Tu Rz λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin rarrinfin 0 Analiacutetico 33920 44566 65383 75702 96637
rarrinfin 10000 0 Analiacutetico 33920 44544 65383 75402 96366
rarrinfin 1000 0 Analiacutetico 33916 43599 55319 65428 77064
rarrinfin 100 0 Analiacutetico 29849 33982 46227 65414 76789
Tabla 27 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Vinculacioacuten
elaacutestica en extremo F (Rz=0)
A continuacioacuten se analizan las variaciones de los cinco primeros coeficientes de frecuencia
natural para un poacutertico empotrado en H con Rmrarrinfin cuando el extremo F (Figura 218) estaacute
simplemente apoyada en el sentido transversal a la viga y el viacutenculo elaacutestico longitudinal
aumenta su rigidez de cero hasta infinito En la Figura 219 se observa que al aumentar el valor
de la constante del resorte Tu se incrementan todos los paraacutemetros de frecuencia hasta
converger en el liacutemite cuandouT rarr infin con el caso de los coeficientes de un poacutertico con
vinculacioacuten Claacutesica (A-E) articulado en F y empotrado en H Tambieacuten es posible observar que
los coeficientes de la primera y segunda frecuencia intercambian sus formas modales para un
valor de Tu entre 100 y 1000 Un comportamiento similar ocurre entre los coeficientes de la
tercera y cuarta frecuencia para un valor de Tu entre 1000 y 10000
Figura 219 Efecto de Tu en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z wl l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
41
Caso 6 Tu rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Rz=0
Figura 220 Caso 6 de vinculacioacuten en el extremo F
El siguiente caso de vinculacioacuten en F es el de la Figura 220 y el comportamiento de los
coeficientes de frecuencia ante la variacioacuten de la condicioacuten de viacutenculo transversal a la viga se
muestra en la curva de la Figura 221 Tambieacuten puede observarse que al aumentar la rigidez
aumentan los paraacutemetros adimensionales de frecuencia y nuevamente se ve la convergencia en
el liacutemite Twrarrinfin hacia los coeficientes correspondientes a un poacutertico A-E
Figura 221 Efecto de Tw en los primeros cinco coeficientes de frecuencia natural
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 0 l l EI EI A A m z ul l v v v v v v R R Tρ ρ= = = = = = = rarr infin = rarr infin
Caso 7 Tw rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin y Tu=rarrrarrrarrrarrinfininfininfininfin
42
Figura 222 Caso 7 de vinculacioacuten en el extremo F
En la Figura 222 se presenta el efecto del resorte rotacional del poacutertico de la viga 1 en la
seccioacuten F en la direccioacuten normal al plano considerando rigidez infinita en el viacutenculo horizontal
De los valores se observa que el efecto de esta condicioacuten produce un efecto mucho maacutes
atenuado que el que generan los resortes traslacionales en el liacutemite inferior cuando Rzrarr0 los
coeficientes de frecuencia coinciden con los del poacutertico A-E y para el limite superior cuando
Rzrarrinfin corresponden a los del portico E-E Es asiacute que por ejemplo para la frecuencia
fundamental los valores de los coeficientes adimensionales van de 33900 (A-E) a 39316 (E-
E) en tanto para la quinta frecuencia natural varian de 96301 (A-E) a 100453 (E-E) Figura 23
Figura 223 Efecto de Rz en los primeros cinco coeficientes de frecuencia fundamental
2 3 1 2 (2) (3) (2 ) (3) 05 1 1 l l EI EI A A m w ul l v v v v v v R T Tρ ρ= = = = = = = rarr infin rarr infin rarr infin
26 Anaacutelisis dinaacutemico de la estructura Combinacioacuten de
diferentes condiciones en el resorte rotacional en el punto P
Finalmente analizamos cuaacutel es la influencia del resorte rotacional que estaacute modelando la roacutetula
elaacutestica en el punto P del poacutertico (Figura 224) En la Figura 225 vemos la consecuencia que
43
produce la variacioacuten del resorte rotacional (Rm) ubicado en el centro del tramo horizontal OH
en el primer coeficiente de frecuencia natural para los tres casos de viacutenculo externos claacutesicos
(libre articulado y empotrado) en el punto F de la estructura de la Figura 21 En las curvas
podemos observar que la variacioacuten de los coeficientes es pequentildea y se producen para valores de
Rm menores que 100
Figura 224 Rotula elaacutestica en el punto P del poacutertico
Figura 225 Efecto de Rm en el centro del tramo OH en los primeros coeficientes de frecuencia fundamental
A continuacioacuten analizamos la variacioacuten de la constante del resorte rotacional Rm para valores
entre 5 y 200 Por otro lado tambieacuten ubicamos la posicioacuten de la misma a una distancia de un
tercio en el centro y a dos tercios del veacutertice O del poacutertico Este anaacutelisis se realizoacute en un poacutertico
empotrado en sus dos extremos y en un poacutertico libre- empotrado
rm
P
44
En la Tabla 28 podemos ver los primeros cinco coeficientes de frecuencias naturales para el
poacutertico empotrado en sus dos extremos En este caso la constante del resorte rotacional (Rm) se
ubica en tres diferentes posiciones a una distancia l2 =13 l1 en el centro del tramo horizontal
OH y una longitud l2 =23 l1 Se varioacute la constante del resorte rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 39205 47232 70504 78183 101517
100 39167 47218 70464 78113 101506
50 39080 47185 70370 77956 101483
10 38490 46983 69731 77100 101344
5 37850 46800 69047 76464 101222
12
200 39212 47208 70533 78255 101427
100 39181 47169 70522 78255 101325
50 39110 47081 70498 78255 101018
10 38612 46555 70346 78254 99431
5 38047 46094 70201 78254 97765
23
200 39238 47232 70474 78182 101499
100 39234 47218 70405 78111 101471
50 39224 47184 70241 77955 101408
10 39156 46962 69125 77150 101052
5 39083 46730 67611 76608 100763
Tabla 28 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos en sus extremos Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
45
La Tabla 29 contiene los coeficientes de frecuencias naturales del poacutertico empotrado en el
extremo H y libre en el extremo F con las mismas caracteriacutesticas de variacioacuten del resorte
rotacional (Rm)
l2l1 Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
13
200 10817 17857 39661 48035 70947
100 10810 17851 39630 48017 70908
50 10793 17836 39557 47976 70817
10 10671 17738 39064 47724 70186
5 10584 17673 38741 47579 69768
12
200 10814 17862 39666 48003 70977
100 10803 17862 39641 47954 70968
50 10779 17862 39581 47842 70949
10 10605 17858 39156 47165 70831
5 10398 17853 38657 46563 70721
23
200 10810 17860 39688 48033 70924
100 10795 17858 39684 48013 70862
50 10761 17852 39674 47967 70716
10 10524 17814 39611 47664 69722
5 10251 17774 39541 47349 68671
Tabla 29 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales
Empotramientos - libre Variando la contante del resorte rotacional (Rm) en su posicioacuten y valor
De los datos de las Tablas 28 y 29 podemos ver que para valores de Rm de 10 y 5 la reduccioacuten
del valor del coeficiente de frecuencia λ es significativa Los valores en los coeficientes de
frecuencia debidos a las diferentes posiciones de ubicacioacuten de la roacutetula no muestran grandes
variaciones
Ademaacutes de los cambios de las frecuencia naturales analizamos los cambios de las formas
modales del poacutertico en presencia de una rotula elaacutestica representada por el resorte rotacional Rm
46
En las Figuras 226 227 y 228 vemos las formas modales del poacutertico con vinculacioacuten externa
(E-E) y en las Figuras 229 230 y 231 con vinculacioacuten externa (L-E) En las Figuras 226 y
229 la roacutetula elaacutestica fue ubicada de modo que la longitud del tramo horizontal l2=13 l1 y el
valor de la contante del resorte Rm=10 en la Figuras 227 y 230 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a
una longitud del tramo horizontal l2=12 l1 y el valor de la contante del resorte es tambieacuten
Rm=10 Por uacuteltimo en las Figuras 228 y 231 la roacutetula elaacutestica fue ubicada a una longitud del
tramo horizontal l2=23 l1 Si las comparamos con las Figura 28 y 29 en donde la constante del
resorte rotacional toma valor Rm=infin podemos ver coacutemo afectan la variacioacuten de la contante Rm y
la ubicacioacuten de la roacutetula elaacutestica a los diferentes modos Las formas modales y los valores de los
coeficientes adimensionales fueron obtenidos por medio del modelo de elementos finitos con
Algor 2009
Figura 226 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=13l1
λ1 = 3846 λ2 = 47031 λ3 = 69767
λ4 = 77257 λ5 = 101890
47
Figura 227 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=12l1
Figura 228 Primeras cinco formas modales del poacutertico Empotrado-Empotrado (E-E) Rm=10 y l2=23l1
λ1 = 3861λ2 = 4655 λ3 = 7034
λ4 = 7825 λ5 = 9943
λ1 = 3915 λ2 = 4696 λ3 = 6912
λ4 = 7715 λ5 = 10105
48
Figura 229 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=13l1
Figura 230 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=12l1
λ1 = 10662 λ2 = 17729 λ3 = 39037
λ4 = 47719 λ5 = 70104
λ1 = 1060 λ2 = 1785 λ3 = 3915
λ4 = 4726 λ5 = 7083
49
Figura 231 Primeras cinco formas modales del poacutertico Libre- Empotrado (L-E) Rm=10 y l2=23l1
Ahora analizamos los casos particulares en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada en alguno de los
dos extremos de la viga horizontal O-H
En primer lugar ubicamos la roacutetula en el extremo O del poacutertico La vinculacioacuten externa en el
punto H es riacutegidamente empotrado mientras que en el punto F modelamos una viacutenculo
articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos elaacutesticos Figura 232
Figura 232 Poacutertico en L Articulado- Empotrado (A-E) con rotula elaacutestica en el punto O
rm
l3(EI)3 (ρA)3
l2 =0
tu
tw
rz
F
OH
P
l1(EI)1 (ρA)1
λ1 = 1052 λ2 = 1781 λ3 = 3961
λ4 = 4766 λ5 = 6972
50
En la Tabla 210 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales
variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65384 75705 96640
500 33920 44566 65384 75705 96845
200 33915 44546 65419 75700 96669
100 33898 44461 65386 75630 96626
50 33866 44299 65320 75369 96543
10 33627 43270 64879 73918 96015
3 33119 41717 64144 72307 95266
0 31416 39266 62832 7069 94248
Tabla 210 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado en el punto O del poacutertico
A partir de los resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia podemos ver que en el
caso de 0mR rarr los coeficientes de frecuencia λ1=314159 λ3=62832 y λ5=94248 son los
coeficientes de frecuencia del tramo de viga (FO) articulada-articulada Mientras que los
coeficientes λ2=39266 λ4=7069 son los coeficientes del tramo de la viga (OH) articuladandash
empotrada
Para el caso de mR rarr infin los valores de los coeficientes de frecuencia son similares al del
poacutertico Articulado- Empotrado analizado en la seccioacuten 2422
Por ultimo analizamos el caso en que la roacutetula elaacutestica estaacute ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H del poacutertico Mientras que en el punto F al igual que en el caso anterior
modelamos un viacutenculo articulado daacutendole valores de 0w u zT T Rrarr infin rarr infin rarr a los viacutenculos
elaacutesticos Figura 233
51
Figura 233 Poacutertico en L Articulado- Articulado (A-A) con rotula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente
pequentildea del punto H
En la Tabla 211 vemos los resultados de los cinco coeficientes de frecuencias naturales del
modelo con la roacutetula elaacutestica ubicada a una distancia infinitamente pequentildea del punto H del
poacutertico variando el valor desde 0mR rarr a mR rarr infin
Rm λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
rarrinfin 33920 44566 65386 75705 96666
500 33918 44563 65386 75798 96666
200 33898 44461 65386 75630 96666
100 33866 44299 65320 75369 96661
50 33802 44001 65197 74912 96499
10 33380 42428 64490 72968 95637
3 32685 40817 63686 71614 94880
0 31416 39266 62832 70685 94248
Tabla 211 Coeficientes adimensionales de frecuencia natural λn de un poacutertico en L de dos tramos iguales Articulado
- Empotrado Variando el valor de la contante del resorte rotacional (Rm) ubicado a una distancia infinitamente
pequentildea al punto H
F
OH
l1(EI)1 (ρ A)1
l2(EI)2 (ρA)2 rm
tu
tw
rz
l3=0
(b)
P
52
Obseacutervese que la fila correspondiente a Rm=0 coincide con la uacuteltima fila de la Tabla 210
cuando la articulacioacuten se ubica en el punto O
En la Figura 234 comparamos las formas modales de los dos casos para la roacutetula ubicada en el
veacutertice O y para la roacutetula infinitamente cerca del extremo H Para ambos ejemplos se toma el
valor de Rm =0 y el viacutenculo extremo en F y H seraacuten articulado
Modelo
λ1 = 31416
λ2 = 39266
λ3= 62832
rm=0
F
OH
F
OH
P
53
λ4 = 70685
λ5 = 94248
Figura 234 Primeras cinco formas modales del poacutertico Articulado- Empotrado (A-E) Rm=0 y l2=0 l2 l3rarr1
De la comparacioacuten de estos dos casos podemos observar que los valores de los coeficientes de
frecuencia son iguales en ambos modelos mientras que las formas modales variacutean seguacuten el
tramo del poacutertico que analicemos
Analizando las formas modales de la Figura 234 vemos que la primera frecuencia en el primer
modelo corresponde a la columna biarticulada y en el segundo a ambos tramos que al girar el
nudo O adopta la forma modal de la viga biarticulada Lo mismo sucede para la tercera y la
quinta potencia
En la segunda y cuarta frecuencia en el segundo modelo no rota el nudo O y ambos tramos
adoptan la forma modal de una viga articulada-empotrada
En el primer modelo se corresponde con el tramo OH articulado-empotrado
54
27 Conclusiones
En este Capiacutetulo se analizoacute el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado
elaacutesticamente en uno de sus extremos e internamente Por medio de este modelo estructural
propuesto y analizando los resultados numeacutericos obtenidos se presentan dos Tipos de
conclusiones En primer lugar las que se refieren al meacutetodo de variaciones y en segundo lugar
el anaacutelisis de los resultados numeacutericos del caacutelculo de los coeficientes de frecuencia de la
estructura
Con respecto al meacutetodo en siacute como ya se mencionoacute en el Capiacutetulo I podemos ver que es de
faacutecil aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este ejemplo una vez planteado
el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la solucioacuten
exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 12 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y
con buenos resultados
Para completar el anaacutelisis de los resultados se obtuvieron los valores de los cinco primeros
coeficientes de frecuencias naturales combinando variaciones diferentes en las condiciones de
vinculacioacuten elaacutestica De los resultados y graacuteficos presentados podemos mencionar algunos
aspectos destacados
bull En la Figura 210 podemos ver que al variar la contante de rigidez del resorte vertical
Tu la estructura se rigidiza con una pendiente maacutes pronunciada que cuando se variacutea
solamente Tw (Figura 29) Ademaacutes por medio del Figura 29 podemos decir que el
viacutenculo elaacutestico vertical Tu le aporta maacutes rigidez a la frecuencia fundamental del
sistema
bull Con respecto al resorte rotacional Rz si bien aporta mayor rigidez al sistema al
aumentar su valor la variacioacuten no cambia sustancialmente En el Figura 219 podemos
ver la poca variacioacuten de los coeficientes de frecuencia frente al incremento en la rigidez
del resorte rotacional en el punto F
En el capiacutetulo siguiente analizaremos con mayor detalle la influencia de un resorte rotacional
ubicado en un punto intermedio de la viga horizontal OH coacutemo modelar una fisura por medio
del resorte y su influencia en el comportamiento dinaacutemico de la estructura
55
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58
3 Capiacutetulo III Simulacioacuten analiacutetica de una Fisura Validacioacuten
experimental
31 Introduccioacuten
Los meacutetodos de identificacioacuten de fisuras en estructuras fueron objeto de estudio de muchos
investigadores En estructuras civiles sobre todo los meacutetodos de deteccioacuten no destructivos se
fueron incrementando en los uacuteltimos antildeos Los diversos meacutetodos propuestos tratan de identificar
la posicioacuten de la fisura y ponderar su magnitud
En un trabajo muy detallado Chondros T y Dimarogona A estudiaron en 1998 la influencia
de una fisura en el comportamiento dinaacutemico de una estructura de junta soldada
Es por ello que uno de los procedimientos maacutes difundidos para la deteccioacuten de fisuras en
estructuras ha sido el estudio de las modificaciones que genera en su comportamiento
dinaacutemico
Una descripcioacuten muy completa del estado del arte del tema mencionando y describiendo las
contribuciones maacutes importantes fue el realizado por Caddemi S y Morassi A (2013)
Ellos explican que generalmente en estructuras civiles la amplitud de la deformacioacuten es
suficiente para mantener la fisura abierta en forma permanente Esto permite la gran ventaja de
poder trabajar con un modelo lineal y por lo tanto conducen a formulaciones eficientes para
resolver los problemas tanto estaacuteticos como dinaacutemicos
Desde los primeros estudios del tema Thomson W (1943) queda claro que el dantildeo localizado
produce una reduccioacuten local en la rigidez de la viga
En la literatura podemos encontrar varios modelos de grietas entre los cuales podemos
mencionar La reduccioacuten de la rigidez local modelo discreto de resorte y por uacuteltimo los
modelos maacutes complejos de tres dimensiones Los diferentes autores en su mayoriacutea se basan en
la teoriacutea lineal de la mecaacutenica de la fractura y la relacioacuten entre la energiacutea de deformacioacuten y el
factor de intensidad de tensiones utilizando el teorema de Castigliano
Entre los maacutes utilizados encontramos el que reemplaza a la fisura por una flexibilidad
concentrada Adams R et al (1978) En vigas a flexioacuten en el plano la flexibilidad local se
introduce por medio del resorte rotacional que se considera sin masa y cuya constante estaacute en
funcioacuten de la profundidad de la grieta Gudmundson P (1983) y Sinha JK et al (2002)
Un aspecto de crucial importancia en este tipo de modelos es la ponderacioacuten de la flexibilidad
asignada al resorte que modelaraacute a la fisura Numerosos autores han ahondado en este tema y
59
propusieron diversas maneras de obtener una flexibilidad equivalente a la fisura Liebowitz H
y Vanderveldt H (1967) Liebowitz H y Claus Jr (1968) Okamura H et al(1969) Rizos
P et al (1990) OstachowiczW y Krawczuk M (1991) Chondros T y Dimarogonas A
(1998) Bilello C (2001) Krawczuk M et al(2004) Ong Z et al(2014) Debemos
puntualizar que la expresioacuten de Chondros T et al (1998) es la maacutes asiduamente utilizada en la
literatura
La mayoriacutea de los trabajos que han estudiado el tema fueron realizados en vigas rectas de un
tramo Entre los que analizaron marcos se pueden mencionar las contribuciones de Ovanesova
A y Suacutearez L (2004) El-Haddad M et al (1990) y Caddemi S et al (2013)
Entre los marcos el uso del semi-poacutertico o entramado de dos tramos (L-Shaped structure) es
muy difundido en distintos campos de la ingenieriacutea incluyendo modernas aplicaciones en
roboacutetica Moghadam A (2013)
Unos de los meacutetodos maacutes utilizados para detectar una fisura en una estructura mediante las
frecuencias naturales de la misma es el denominado meacutetodo inverso Eacuteste tiene su base en la
idea de que tanto la ubicacioacuten y la profundidad de la grieta influyen en los cambios en la
frecuencias naturales de una viga dantildeada En consecuencia una frecuencia particular podriacutea
corresponder a diferente ubicacioacuten y profundidades de fisura De esta manera por medio de los
graacuteficos de contorno en una cierta estructura y para valores dados de frecuencia se puede
inferir las caracteriacutesticas de la fisura
Se estudian las dos o tres primeras frecuencias naturales de la viga fisurada y se analizan a
traveacutes de un graacutefico de contorno Liang A et al (1991) proponen encontrar la locacioacuten y el
tamantildeo de la fisura por medio del punto de interseccioacuten de las tres primeras frecuencias de una
viga cantileacutever Nandwana B y Maiti S (1997) utiliza este meacutetodo para el anaacutelisis de una viga
de seccioacuten variable En este trabajo los errores que aparecen tanto de posicioacuten como de
profundidad de la fisura son aproximadamente del 3 y 45 respectivamente Owolabi C et
al (2003) realizaron estudios de medicioacuten de las tres primeras frecuencias sobre dos conjuntos
de vigas de aluminio y su correspondiente amplitud en este caso los errores entre lo
experimental y lo predicho teoacutericamente son del orden de 01 Nahvi H y Jabbari M
(2005) detectaron fisuras por medio de las mediciones de laboratorio de una viga cantileacutever
Chen X et al (2005) utilizan el meacutetodo del punto de interseccioacuten de las tres frecuencias de
forma experimental excitando una viga cantileacutever por medio de un martillo Los errores de
locacioacuten y tamantildeo de la fisura son menores de 2 y 4 respectivamente Rosales et al (2009)
trabajaron el problema inverso para la deteccioacuten de la profundidad y deteccioacuten de una grieta en
una viga Bernoulli- Euler Tambieacuten se pueden ver las contribuciones surgidas de la presente
investigacioacuten Ratazzi A et al (2015a) (2015b) Rossit C et al (2016)
60
En este capiacutetulo se estudia en forma experimental el comportamiento dinaacutemico de un marco de
dos tramos con una fisura en una posicioacuten geneacuterica con el objetivo de determinar un
procedimiento analiacutetico que permita predecir los paraacutemetros dinaacutemicos de una estructura
fisurada
Como es sabido una condicioacuten esencial que garantice la representatividad de un procedimiento
analiacutetico es la verificacioacuten experimental de los resultados que arroja Especialmente en casos
como eacuteste del que no se encuentran muchos ejemplos en la literatura
En el presente trabajo se mediraacuten en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un
modelo fisurado con diferentes viacutenculos externos empotrado-empotrado y empotrado-libre Si
bien reproducir la geometriacutea de una fisura o grieta es muy complejo lo que hacemos para el
modelo de laboratorio es simularla por medio de un corte de una hoja de sierra
Para el modelo matemaacutetico se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta
se coloca un resorte rotacional El desarrollo consiste en una simplificacioacuten de una grieta en
donde no se involucran los paraacutemetros reales de la misma Es importante trabajar con la teoriacutea
de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde
Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoriacutea propuesta por Chondros T (1998)
ya que como fue mencionado es la maacutes utilizada en la literatura
32 Modelo Analiacutetico Teoriacutea de resorte Chondros amp Dimarogonas
321 Flexibilidad local en el centro de la viga
El modelo analiacutetico adoptado para simular la fisura es el modelo discreto de resorte
Como mencionamos en la introduccioacuten en la literatura podemos encontrar diferentes planteos
de coacutemo simular la flexibilidad local de un dantildeo en una estructura Caddemi S y Caliograve I
(2009) desarrollan la foacutermula que relaciona el paraacutemetro de dantildeo y la rigidez del resorte
rotacional
1c
m
EI
l Rβ = (31)
en donde βc es la flexibilidad local y Rm es la rigidez del resorte rotacional
Esta teoriacutea nos permite relacionar la rigidez del resorte con la profundidad de la grieta Por
ejemplo para una seccioacuten rectangular con una grieta de profundidad uniforme la expresioacuten para
la rigidez local nos quedaraacute
61
1
( )m
EIR
h f α= (32)
En donde definimos α=hch con hc como profundidad de la fisura y h altura de la seccioacuten
rectangular de la viga
La funcioacuten f(α) es de mucha importancia en nuestro trabajo ya que es la que nos define la ley
con la que variacutea la flexibilidad local con respecto a la profundidad del dantildeo en la estructura
Esta es una funcioacuten adimensional que en su forma general puede ser escrita como
10
01
( ) ( ) nc n c
n
f h h a a h h=
= sum (33)
En este capiacutetulo como ya mencionamos por ser el maacutes utilizado en la literatura utilizaremos la
foacutermula de flexibilidad propuesta por Chondros y Dimarogonas
La magnitud adoptada para la flexibilidad es
26 (1 )( )C
hf
EI
π νβ αminus= (34)
en donde v es el coeficiente de Poisson y
( ) 2 3 4 5 6 7 806272 104533 45948 9973 202948 330351 471063
9 10407556 196
f α α α α α α α α
α α
= minus + minus + minus + minus
minus +
En la Figura 31 podemos observar la curva que relaciona la profundidad de la fisura y la
flexibilidad del resorte
Figura 31 Curva flexibilidad en funcioacuten de la profundidad de fisura
Para obtener los resultados analiacuteticos se utilizaraacute el mismo modelo estructural que se analizara
62
en el capiacutetulo anterior (Figura 32)
Figura 32 Estructura
Los viacutenculos externos de la estructura estaacuten compuestos por un empotramiento en el extremo H
y un viacutenculo elaacutestico compuesto por dos resortes traslacionales y uno rotacional en el extremo
F que se adoptaraacuten de manera de representar el dispositivo a utilizar en las mediciones
experimentales
La fisura ubicada en el punto P es reemplazada por un resorte de rigidez
1m
Cr β=
La rigidez a flexioacuten la masa la longitud y el aacuterea de cada viga es representada por EiI i ρi l i y
Ai con i=1 2 3
33 Modelo Experimental de Laboratorio
Para poder contrastar los resultados numeacutericos se realizoacute un modelo experimental en el
Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur Se construyoacute un semi-poacutertico
rm
l3(EI)3 (ρA)3l2(EI)2 (ρA)2
l1(EI)1 (ρA)1
tu
tw
rz
F
O H
x1u1w2
w1
x2u2
w3
x3u3
P
hc h
rm
P
P
63
con una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten transversal
4064x10-5mts2 Para definir el moacutedulo de elasticidad del material se realizoacute el mismo
procedimiento descripto en la seccioacuten 24 del capiacutetulo II
El modelo se vinculoacute a un perfil UPN 100 proporcionaacutendonos eacuteste la rigidez necesaria para
considerar un empotramiento por medio de dos mordazas soldadas como vemos en la Figuras
33 y 34
Figura 33 Estructura y Perfil UPN 100
Figura 34 Mordaza con bulones para sujecioacuten
La fisura fue generada en la planchuela por medio de un corte con una hoja de sierra de 1 mm
de espesor Para poder lograr con mayor precisioacuten la profundidad y uniformidad en el corte se
construyoacute una pieza de acero duro con una hendidura que nos sirvioacute de tope de profundidad del
corte como vemos en la Figuras 35 y 36
64
Figura 35 Pieza de acero para marcar la profundidad de la fisura
Figura 36 Estructura parcialmente encastrada en la hendidura de la pieza de acero
La planchuela se encastra en la hendidura y se corta transversalmente hasta la profundidad
requerida Se construyeron tres de esas piezas con distintas magnitudes de la profundidad de la
hendidura para generar tres profundidades de fisura distintas
Con el fin de no perturbar el comportamiento de la estructura las mediciones se tomaron con un
proximiter El dispositivo empleado fue un Provibtech TMO 180 La sentildeal de desplazamiento
fue leiacuteda y procesada con un analizador de vibraciones de dos canales VIBXPERT II con 24
bits de resolucioacuten y 1000 Hz de frecuencia de muestreo
34 Resultados Numeacutericos
En esta seccioacuten del trabajo presentaremos dos grupos de resultados numeacutericos Utilizando la
teoriacutea del caacutelculo variaciones combinada con la teoriacutea de resorte de Chondros T y
Dimaragonas A se obtuvieron los valores de frecuencias naturales de dos modelos de poacutertico
libre-empotrado y empotrado-empotrado
65
En las Tablas 31 a 35 se presentan los valores de frecuencia del poacutertico dantildeado con
vinculacioacuten exterior libre- empotrado Para ello los valores analiacuteticos se obtuvieron asignado
valores nulos a las constantes de los viacutenculos elaacutesticos en extremo F de la Figura 32
Se consideraron cinco posiciones posibles sobre el dintel para la fisura separadas entre siacute un
sexto de la longitud OH A su vez en cada posicioacuten de la fisura se consideraron tres valores de
profundidad α=025 050 y 075 de la altura de la seccioacuten
Las longitudes de los tramos son iguales l1=l 2+l 3 y en el modelo experimenta la longitud del
tramo es l1=046 m
Tambieacuten se agregaron los valores de frecuencia del poacutertico sin fisura α=0 (SF) a efectos
comparativos
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 17862 3968 48015 70935 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1322 6524 9553 20815 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20758 Experimental (Hz)
e 14 13 015 06 027 Error porcentual
λ 1080 17769 3962 4802 7066 Analiacutetico(autovalor)
16 050 44 fc 483 1308 6504 9555 20690 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
e 35 1 1 05 -02 Error porcentual
λ 10698 17416 39356 47905 69521 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 474 1257 6418 9510 20028 Analiacutetico (Hz)
fc 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
e 8 -0 2 -06 000 -36 Error porcentual
Tabla 31 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el sexto de la luz (l2l1 = 16) y distintas profundidades de fisura α
66
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1081 1786 3966 4803 7095 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1321 6518 9561 20858 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
e 14 13 006 06 07 Error porcentual
λ 1078 1783 3953 4796 7078 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 4821 13175 6475 9532 207619 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
e 3 15 -0 3 0 9 16 Error porcentual
λ 1063 1771 3892 4766 6999 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 4685 12996 62770 94117 203044 Analiacutetico (Hz)
fc 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
e 65 0 5 -2 0 7 3 Error porcentual
Tabla 32 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el tercio de la luz (l2l1 = 13) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10814 17862 3966 48003 70977 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 485 1322 6520 9549 20876 Analiacutetico (Hz)
fc 471 1301 6598 9483 20763 Experimental (Hz)
e 28 16 -12 0 7 0 5 Error porcentual
λ 10770 17861 39558 47801 70942 Analiacutetico(autovalor)
12 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
e 3 17 0 5 0 8 0 5 Error porcentual
λ 10550 17856 39026 4700 7080 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 461 1321 6311 9150 20772 Analiacutetico (Hz)
fc 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
e 61 0 5 2 17 0 4 Error porcentual
Tabla 33 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura en el medio de la luz (l2l1 = 12) y distintas profundidades de fisura α
67
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 10810 17860 3968 48033 70924 Analiacutetico(autovalor)
025 fc 4842 13219 6525 95608 208446 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
e 1 13 0 3 0 5 0 5 Error porcentual
λ 10750 17850 39671 47950 70061 Analiacutetico(autovalor)
23 050 44 fc 4823 13203 65217 95276 206907 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
e 1 17 1 0 35 0 5 Error porcentual
λ 10450 17803 39593 47578 69434 Analiacutetico(autovalor
075 84 fc 4527 13134 64960 93805 199783 Analiacutetico (Hz)
fc 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
e 0 8 5 8 -03 4 Error porcentual
Tabla 34 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L- E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y distintas profundidades de fisura α
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
λ 1080 17849 39684 48047 70982 Analiacutetico(autovalor)
025 220 fc 484 1320 6526 9566 20879 Analiacutetico (Hz)
fc 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
e 14 12 0 2 0 5 0 7 Error porcentual
λ 1072 17791 39652 48021 70975 Analiacutetico(autovalor)
56 050 44 fc 481 1322 6484 9468 20856 Analiacutetico (Hz)
fc 476 1312 6515 9556 20875 Experimental (Hz)
e 1 0 7 -0 5 0 9 0 09 Error porcentual
λ 10330 17557 39523 47919 70939 Analiacutetico(autovalor)
075 84 fc 443 1377 6473 9515 20854 Analiacutetico (Hz)
fc 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
e -5 11 2 1 6 Error porcentual
Tabla 35 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico L-E con fisura a los cinco sextos de la luz (l2l1 = 56) y distintas profundidades de fisura α
68
Seguacuten puede observarse los valores obtenidos con el meacutetodo analiacutetico presentan en general una
muy buena aproximacioacuten con el experimental
Las siguientes figuras nos muestran coacutemo son afectadas las frecuencias naturales por la
profundidad de una grieta El anaacutelisis se efectuacutea para distintas posiciones de la fisura sobre el
tramo horizontal del poacutertico y en base a los resultados experimentales y analiacuteticos Las
magnitudes de las frecuencias fi en la estructura fisurada estaacuten relacionadas con la frecuencia de
la estructura sin grietas que se denomina f0 medido experimentalmente para las figuras 37 39 y
311 En general las frecuencias disminuyen a medida que la profundidad de la fisura aumenta
Como se puede observar la segunda frecuencia no es afectada por la grieta cuando se produce
en el medio del tramo horizontal Se puede deducir que la forma modal correspondiente a la
estructura sin dantildeo no tiene curvatura en ese punto
Las Figuras 38 310 y 312 son anaacutelogas a las anteriores pero se utilizan los valores calculados
por el meacutetodo variacional considerando los valores 484 Hz 1322 Hz y 6524 Hz para las tres
primeras frecuencias del poacutertico sin fisura
Figura 37 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Experimental l2=16 l1
69
Figura 38 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=16 l1
Figura 39 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=12 l1
Figura 310 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=12 l1
70
Figura 311 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo
Experimental l2=23 l1
Figura 312 Graacutefico de variacioacuten de las tres primeras frecuencias naturales seguacuten la profundidad de la fisura Modelo Analiacutetico l2=23 l1
En las Tablas 36 37 38 y 39 se calcularon las frecuencias naturales para el mismo modelo de poacutertico con la diferencia que los viacutenculos externos ahora son empotrado-empotrado
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39195 47144 70155 77862 101331 Analiacutetico(autovalor)
13 050 44 fc 5645 8167 18086 21740 37732 Analiacutetico (Hz)
fc 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
e 0 -16 -1 -36 -13 Error porcentual
Tabla 36 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=05
71
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 39117 46886 69269 77234 10093 Analiacutetico(autovalor)
13 075 840 fc 5622 8078 17425 21764 37435 Analiacutetico (Hz)
fc 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
e 011 03 4 -01 -09 Error porcentual
Tabla 37 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un tercio de la luz (l2l1 = 13) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38482 46617 70364 78254 99059 Analiacutetico(autovalor)
12 075 840 fc 5441 7918 18144 22473 36059 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
e
35 13 -13 -1 34 Error porcentual
Tabla 38 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los un medio de la luz (l2l1 = 12) y profundidades de fisura α=075
l2l1 α Rm 1 2 3 4 5
SF fc 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
λ 38420 47007 69814 77194 10136 Analiacutetico(autovalor)
23 075 840 fc 5402 8086 17782 21727 37677 Analiacutetico (Hz)
fc 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
e 28 -04 2 -001 -11 Error porcentual
Tabla 39 Primeras cinco frecuencias naturales del poacutertico E-E con fisura a los dos tercios de la luz (l2l1 = 23) y profundidades de fisura α=075
Analizando los valores de las tablas podemos ver una muy buena concordancia entre los
resultados teoacutericos y las experiencias realizadas en el laboratorio En este caso los errores
porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y del experimental no superan el 4
72
Lo que podemos resaltar de la experiencia en el laboratorio es que los cambios en las
frecuencias se hacen maacutes significativos para un valor de α cercano a 050 o mayor
35 Deteccioacuten de fisuras Meacutetodo inverso
En esta seccioacuten se aplicaraacute el meacutetodo inverso para la deteccioacuten de fisuras combinando en el
modelo de poacutertico en L los resultados analiacuteticos y experimentales de las frecuencias Como ya
mencionamos el meacutetodo propuesto tiene su base en la idea de que tanto la ubicacioacuten como la
profundidad de la grieta influyen en los cambios en las frecuencias naturales de una viga
dantildeada
Se realiza una combinacioacuten de una simulacioacuten teoacuterica en base a los resultados obtenidos en
laboratorio
Incorporando los valores de frecuencia medidos en el laboratorio en el determinante ecuacioacuten
caracteriacutestica obtenido en la resolucioacuten del sistema (210 -224) pueden obtenerse graacuteficas que
representan los valores de dichos determinantes para distintas magnitudes de Rm y L2 (Figuras
312 313 y 314)
Obviamente los valores nulos del determinante (interseccioacuten de la superficie con el plano
horizontal de valor nulo) generan curvas para cada frecuencia natural en funcioacuten de Rm y l2
El punto de interseccioacuten de las tres curvas nos daraacute la ubicacioacuten y profundidad de la fisura
Figura 312 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 25 de profundidad en la mitad del tramo
73
Figura 313 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una fisura de 50 de profundidad en la mitad del tramo
Figura 314 Superficies de valores del determinante ecuacioacuten caracteriacutestica para frecuencias f1 f2 f3 medidas con una
fisura de 60 de profundidad en la mitad del tramo
36 Aplicacioacuten del meacutetodo inverso al modelo de laboratorio
Se analizaron cuatro modelos de laboratorio con las caracteriacutesticas geomeacutetricas descriptas en la
seccioacuten 33 Los viacutenculos externos de los poacuterticos estaacuten compuestos por un empotramiento en
uno de sus extremos y libre en otro
Como ejemplo praacutectico se tomaron como datos los valores de los coeficientes de las tres
primeras frecuencias naturales del poacutertico al cual se le provocoacute una fisura a un medio de la luz
l2l1=12 y con una profundidad de fisura hch =025 050 060 y 075 (Tabla 310)
l2l1 α Rm 1 2 3
0 - - 485 1322 6525 Experimental (Hz)
025 220 fc 485 1322 6520 Experimental (Hz)
05 050 44 fc 480 1322 6484 Experimental (Hz)
060 22 fc 476 1322 6450 Experimental (Hz)
075 84 fc 461 1321 6311 Experimental (Hz)
Tabla 310 Primeras tres frecuencias naturales del poacutertico E-L para una relacioacuten de l2l1 = 12 y una relacion de hch
igual a 025 05 06 y 075
74
Para poder acoplar los resultados medidos en el modelo experimental con el modelo
matemaacutetico de resorte normalizamos las frecuencias por medio del procedimiento ldquozero
settingrdquo utilizado por Nandwana B y Maiti S en 1997 Obtenemos un factor Zi mediante la
relacioacuten entre la frecuencia teoacuterica y la medida en el modelo experimental para el poacutertico no
fisurado En este caso seraacute
En la Tabla 311 se indican los valores de las frecuencias medidas de los tres primeros modos
en laboratorio de los valores de Z y los de la frecuencia normalizada (fn) para ser incorporada a
la expresioacuten
Modelo α Modos f-laboratorio Factor-Z fn
1 025
1 485 10124 491
2 1322 101285 1339
3 6520 10130 6604
2 05
1 4806 10124 487
2 1322 101285 1339
3 6484 10130 6568
3 06
1 476 10124 482
2 1322 101285 1338
3 6450 10130 6533
4 075
1 461 10124 467
2 13213 101285 1338
3 6311 10130 6393
Tabla 311 Valores de Z y f para una relacioacuten de hch igual a 025 05 06 y 075
En la Figura 315 se indican las curvas que representan las combinaciones posibles de valores
Rm y l2 para obtener cada una de las frecuencias medidas La interseccioacuten indica los valores de
Rm y l2 obtenidos por medio del meacutetodo inverso para una profundidad de fisura de hch =025
Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=220 m Kg y l2=021m La
Figura 316 muestra la zona ampliada del aacuterea encerrada por las curvas de la tres frecuencias el
punto de interseccioacuten es hallado por una aproximacioacuten lineal y los valores obtenidos son
Rm=2141 m Kg que equivale al valor de hch =0254 y l2=02378m
1ra frecuencia 2dafrecuencia 3rafrecuencia
fanaliacutetico 491 1339 6610
f medido 485 1322 6525
Zi 10124 10128 10130
75
Figura 315 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hc h =025 l2=05l1
Figura 316 Graacutefico de contorno ampliado hc h =025 l2=05l1
Por medio de un proceso similar en las Figuras 317 y 318 la profundidad de fisura es de
hch=050 Los valores correspondientes al modelo teoacuterico-matemaacutetico son Rm=44 m Kg y
l2=021m Los valores adquiridos a partir de la aproximacioacuten lineal son Rm=419 m Kg
equivalente al valor hch =0497 y l2=02194m
76
Figura 317 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 De hc h =050 l2=05l1
Figura 318 Graacutefico de contorno ampliado hc h =050 l2=05l1
En las Figuras 319 y 320 la profundidad de fisura es hch =060 mientras que en las Figuras
321 y 322 es de hch =075 Los valores teoacutericos para el primer caso son Rm=22 Kg m y
l2=021m mientras que los de laboratorio son Rm=224 m Kg equivalente al valor hch =0599 y
77
l2=02181m Para hch =075 los valores teoacutericos son Rm=8 4 m Kg y l2=021m mientras que
los de laboratorio son Rm=7965 m Kg equivalente al valor hch =0748 y l2=02093m
Figura 319 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =060 l2=05l1
Figura 320 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =050 l2=05l1
78
Figura 321 Graacutefico de contorno fλ1 fλ2 fλ3 de hch =075 l2=05l1
Figura 322 Graacutefico de contorno ampliado de hc h =075 l2=05l1
79
En la Tabla 312 se indican en primer lugar los valores de la profundidad y ubicacioacuten de la
fisura producida en el modelo fiacutesico En segundo lugar se muestran los resultados obtenidos al
volcar los valores de frecuencia medidos experimentalmente en el modelo analiacutetico numeacuterico
Se observa que el procedimiento seguido arroja una excelente aproximacioacuten a los valores reales
Tabla 312 Comparacioacuten entre resultados teoacutericos y mediciones de laboratorio
Modelo Experimental (mediciones en laboratorio)
Modelo Teoacuterico (resultados por el meacutetodo Inverso)
Rm hch l2 Rm hch l2
Modelo 1 220 025 021 2141 0254 02378
Modelo 2 44 05 021 4109 0497 02194
Modelo 3 22 06 021 2224 0599 02181
Modelo 4 84 075 021 7965 0748 02093
80
37 Conclusiones
Todo lo estudiado y desarrollado en los documentos anteriores nos permitioacute analizar el
comportamiento de un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias
naturales Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por
Chondros y Dimaragonas los valores fueron comparados con los medidos en un modelo
experimental Los errores porcentuales entre los valores del modelo teoacuterico y de laboratorio
se encuentran como maacuteximo en el orden del 10
Se aplicoacute en meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el
software Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio
Los resultados obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las
tres curvas de frecuencia en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la
estimacioacuten de grado de penetracioacuten y ubicacioacuten del dantildeo
Podemos ver en los graacuteficos y en los resultados que la robustez de meacutetodo inverso es
proporcional al grado de avance de la fisura Para un α sect 030 los cambios en las
frecuencias naturales son imperceptibles Lo que nos lleva a pensar que el meacutetodo puede ser
un primer paso para la deteccioacuten de una fisura significativa en una estructura
81
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84
4 Capitulo IV Conclusiones Generales e introduccioacuten a futuras liacuteneas de
investigacioacuten
41 Conclusiones Generales
El anaacutelisis se centroacute en el comportamiento dinaacutemico de un semi-poacutertico vinculado elaacutesticamente en
uno de sus extremos e internamente en su dintel A traveacutes de este modelo estructural propuesto se
obtuvieron resultados numeacutericos de los coeficientes de frecuencia y las formas modales de variados
semi- poacuterticos que pueden ser generados con el modelo
Para el desarrollo analiacutetico se aplicoacute el meacutetodo de caacutelculo de variaciones se pudo ver que es de
eficiente aplicacioacuten en una estructura como la del semi-poacutertico En este modelo de estructura una vez
planteado el problema de contorno se utilizoacute el meacutetodo de separacioacuten de variables y se planteoacute la
solucioacuten exacta Para obtener los resultados numeacutericos se construyeron algoritmos de resolucioacuten
utilizando el software Mathematica 10 el caacutelculo de los coeficientes de frecuencia es raacutepido y con
buena convergencia
Ademaacutes de comparar los resultados con valores disponibles en la literatura se obtuvieron resultados a
traveacutes de un modelo experimental construido al efecto con planchuelas de acero y por medio de un
coacutedigo de elementos finitos de caraacutecter comercial Los resultados tuvieron una muy buen concordancia
entre los diferentes modelos
Todo lo estudiado y desarrollado en los Capiacutetulos I y II nos permitioacute analizar el comportamiento de
un semi-poacutertico dantildeado a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales Se simuloacute una fisura
por medio de la teoriacutea del resorte rotacional propuesta por Chondros y Dimaragonas los valores
fueron comparados con los medidos en un modelo experimental Los errores porcentuales entre los
valores del modelo teoacuterico y de laboratorio se encuentran como maacuteximo en el orden del 10 lo que
es altamente satisfactorio en este tipo de problemas
Se aplicoacute el meacutetodo inverso combinando el desarrollo teoacuterico aplicando algoritmos en el software
Mathematica y los resultados medidos en el poacutertico construido en el laboratorio Los resultados
obtenidos en la experiencia fueron muy buenos Los puntos de cruce de las tres curvas de frecuencia
en los graacuteficos tienen una muy buena aproximacioacuten en la estimacioacuten de grado de penetracioacuten y
ubicacioacuten del dantildeo
85
42 Introduccioacuten a futuras liacuteneas de investigacioacuten Aplicacioacuten de La
transformada de Wavelets a sentildeales
En esta seccioacuten a modo de introduccioacuten se estudia de forma experimental el comportamiento dinaacutemico
de una viga cantileacutever Con el objetivo de por medio de un caso sencillo introducir la aplicacioacuten de la
Transformada Wavelet (TW) al procesado de sentildeales e imaacutegenes que es otra herramienta muy
reciente en el tiempo para la deteccioacuten temprana de fisuras en una estructura El cual seraacute desarrollado
con mayor profundidad en futuros trabajos
Para ello se halloacute la sentildeal de la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga fisurada y se
aplicoacute la transformada de Wavelet para detectar ubicacioacuten de la fisura
421 Breve revisioacuten bibliograacutefica
A finales de 1970 el ingeniero Jean Morlet propuso una alternativa para la transformada de Fourier
Su propoacutesito era la buacutesqueda de petroacuteleo y para ello necesitaba producir inicialmente vibraciones y
analizar los ecos resultantes cuyas frecuencias se correlacionaban con el grosor de las diferentes capas
existentes bajo tierra
Unos antildeos despueacutes Alex Grossmann fiacutesico teoacuterico especializado en mecaacutenica cuaacutentica reconocioacute
ciertas similitudes entre el trabajo de Jean Morlet y los estados coherentes y construyoacute una foacutermula de
inversioacuten exacta para la transformada de Jean Morlet
En 1985 Yves Meyer matemaacutetico observoacute el trabajo desarrollado por Jean Morlet y Alex
Grossmann asiacute como su foacutermula de reconstruccioacuten y se dio cuenta de que era un redescubrimiento de
la foacutermula que Alberto Calderoacuten habiacutea introducido en la deacutecada de 1960 en el anaacutelisis armoacutenico
En 1998 aparece el nombre de Steacutephane G Mallat especializado en visioacuten por ordenador y anaacutelisis de
imagen el cual se interesoacute raacutepidamente por las bases de Wavelets y todas sus posibles aplicaciones
En el campo de las vibraciones mecaacutenicas Newland D (1994) fue uno de los primeros en aplicar
TW Wang Q y Deng X (1999) aplican el anaacutelisis de Wavelet a la sentildeal de la deflexioacuten de una viga
fisurada Douka E et al (2003) analizan analiacutetica y experimentalmente una viga cantileacutever por medio
de la TW Ovanesova A y Suaacuterez L (2004) estudian marcos planos fisurados aplicaacutendoles la TW
Rucka M y Wilde K (2006) analizan vigas y placas fisuradas por medio de una Gaussian Wavelet
Wu N y Wang Q (2011) presentan un estudio estaacutetico de una viga dantildeada a traveacutes de la
transformada especial de Wavelet Xiang J y Liang M (2012) desarrollaron un meacutetodo para detectar
fisura basado en la forma modal y las frecuencias de la estructura Andreaus U et al (2016)
identifican la fisura de una viga por medio de la deflexioacuten estaacutetica
86
43 Deteccioacuten de fisuras por transformada especial de Wavelet
431 Transformada de Wavelets Conceptos Generales
Las sentildeales transitorias son maacutes complejas que las sentildeales estacionarias Para las primeras se utiliza la
Transformada de Wavelet (TW) para su estudio Las segundas se analizan a traveacutes de la conocida
Transformada de Fourier (TF)
La Transformada Wavelet (TW) permite variar el tamantildeo de la ventana de anaacutelisis Al igual que la
Transformada de Fourier por Intervalos la TW puede medir las variaciones en tiempo-frecuencia de
las componentes espectrales pero posee una resolucioacuten diferente
El anaacutelisis por medio de las Wavelet permite el uso de intervalos grandes de tiempo en aquellos
segmentos en los que se requiere mayor precisioacuten en baja frecuencia y regiones maacutes pequentildeas en
donde se requiere informacioacuten en alta frecuencia
La forma de comprender coacutemo opera esta transformada es pensar en una sentildeal temporal pasando por
varios filtros que dividen a eacutesta en porciones de alta y baja frecuencia
En la TW aparece un paraacutemetro de escala que es similar a la escala utilizada en los mapas las escalas
grandes pertenecen a vistas globales y las chicas a detalles maacutes refinados Comparando en teacuterminos de
frecuencia la frecuencia baja corresponde a informacioacuten global de la sentildeal mientras que la alta
frecuencia corresponde a una informacioacuten detallada de patrones ocultos de la sentildeal
432 Caracteriacutesticas y propiedades de las Wavelets
La TW descompone la sentildeal en pequentildeas ondas Eacutestas son ondas localizadas es decir son sentildeales que
tienden a cero en un corto tiempo En resumen las Wavelet son funciones que tienen dos propiedades
importantes oscilacioacuten y corta duracioacuten
Una funcioacuten ( )xψ es una funcioacuten Wavelet si y solo si su transformada de Fourier ( )Ψ ω satisface para
una frecuencia ω
( ) 2
2d
+infin
minusinfin
Ψ ωω lt+ infin
ωint (41)
Esta condicioacuten implica que
( ) 0x dx+infin
minusinfin
ψ =int (42)
87
El valor de la funcioacuten ( )xψ localizada en los dominios de tiempo y frecuencia es usada para crear la
familia de Wavelets
1( ) u s
u xx
ss
minus ψ = ψ
(43)
en donde s y u son nuacutemeros reales que denotan los paraacutemetros de escala y traslacioacuten respectivamente
La funcioacuten original ( )xψ sin escalar ni trasladar se denomina la Wavelet madre La funcioacuten ( )u s xψ
seraacute la funcioacuten de comparacioacuten que reemplazan a las exponenciales complejas de la transformada de
Fourier
A continuacioacuten presentamos algunas de las propiedades maacutes importantes de las Wavelets
En el anaacutelisis y deteccioacuten de una singularidad los momentos de fuga tienen un protagonismo
fundamental Una Wavelet tiene n momentos de fuga teniendo en cuenta la siguiente ecuacioacuten
( ) 0 01 1kx x dx k n+infin
minusinfin
ψ = = minusint (44)
Una Wavelet con n momentos nulos es ortogonal a los polinomios de grado n-1 Si tenemos una sentildeal
que tiene una singularidad en un punto determinado u esto significa que la sentildeal no es diferenciable
en ese punto y que los coeficientes de la transformada continua de Wavelet toman un valor muy alto
Mallat (1998) demostroacute por medio de un teorema que Una funcioacuten ψ(t) con un decrecimiento raacutepido
posee n momentos nulos si y soacutelo si existe θ(t) de soporte compacto de decrecimiento raacutepido tal
que
( )( ) ( 1)
nn
n
d xx
dx
θψ = minus (45)
Como consecuencia para una sentildeal f(x) tenemos
( ) ( ( ) )( )n
nsn
dWf u s s f x u
dx= timesθ (46)
con
1( ) s
tt
ss
minus θ = θ
(47)
Ademaacutes ψ(x) tiene n momentos nulos si y soacutelo si
88
( ) 0t dt+infin
minusinfin
θ neint (48)
Al producto de ( ) sf x timesθ se lo denomina consolacioacuten de las funciones y se lo interpreta como un
promedio de la sentildeal sobre un dominio proporcional a la escala s
El tipo de Wavelet seleccionada y el nuacutemero de momentos nulos es fundamental para realizar el
anaacutelisis por medio de Wavelet
Regularidad es la capacidad de una Wavelet de reconstruir fielmente una sentildeal a partir los
coeficientes calculados en el proceso de transformacioacuten o dicho de otro modo representa la
concentracioacuten y suavidad de la funcioacuten Wavelet en el dominio de frecuencia y tiempo
Simetriacutea si la Wavelet es simeacutetrica al verla como un filtro se puede decir que tiene fase lineal si no
es simeacutetrica se introduce distorsioacuten en la fase Esto es de especial intereacutes en aplicaciones de
procesamiento de sonido e imaacutegenes
433 Clasificacioacuten de Wavelets
En esta seccioacuten hacemos una clasificacioacuten de algunas de las funciones Wavelet maacutes utilizadas Eacutestas
estaacuten restringidas a las funciones disponibles en el software Wolfran Mathematica 10 que es el
utilizado maacutes adelante en la metodologiacutea
Las funciones Mexican Hat DWaussian y Morlet Wavelet pertenecen a una familia de funciones no
ortogonales con una funcioacuten ( )xψ explicita definida El anaacutelisis de estas funciones es limitado a la
Transformada Continua de Wavelet
434 Transformada de Wavelets
Hay dos tipos de transformadas Por un lado la transformada discreta es maacutes compacta y tiene sus
ventajas en cuanto a rapidez y tamantildeo de los ficheros de caacutelculo por otro lado la transformada
continua emplea una variacioacuten continua de ambos paraacutemetros y requiere maacutes gasto en memoria y
tamantildeo de los conjuntos correspondientes buscando que los datos sean redundantes Para los objetivos
planteados se prefiere la transformada continua por su mayor resolucioacuten ya que interesa detectar
pequentildeas singularidades en una sentildeal
Si tenemos la sentildeal f(x) en donde la variable x es el tiempo o el espacio podemos definir a la
transformada continua de Wavelet como la integral del producto de la sentildeal y la funcioacuten Wavelet
1( ) ( ) f
u xW u s f x dx
ss
+infin
minusinfin
minus = ψ
int (49)
89
En donde Wf(us) son los coeficientes de Wavelet
44 Modelo experimental
Se analizoacute una viga cantileacutever en el Laboratorio de vibraciones de la Universidad Nacional del Sur
confeccionada por una planchuela de acero de 58 times 18 (b=15875mm h= 3175mm) seccioacuten
transversal 4064x105mts2 El empotramiento se materializoacute por medio de una mordaza construida con
dos planchuelas de acero sujeta a una mesa de trabajo como vemos en la Figura 41
Figura 41 Dispositivo Experimental
45 Adquisicioacuten experimental de la liacutenea de deflexioacuten de la viga fisurara
Se vuelcan a continuacioacuten los resultados obtenidos en las primeras etapas de la investigacioacuten sobre el
tema Ratazzi A et al (2016)
Se analizoacute la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz modelada en el laboratorio descripta en la
seccioacuten 44 A la viga se le realizaron doce marcas de 3 mm de diaacutemetro equidistantes distribuidas a
lo largo de la misma Se estudiaron los desplazamientos de doce puntos marcados y se obtuvo la
elaacutestica por medio de una teacutecnica de medicioacuten oacuteptica con el programa Tracker 494
Se midioacute la primer frecuencia natural de la viga (1953 Hz) y con esta frecuencia fue excitada la viga
con una bobina como se muestra en el esquema de la Figura 42
90
Figura 42 Esquema del laboratorio
Este procedimiento se filmoacute en caacutemara lenta y fue capturado por un dispositivo con una resolucioacuten de
1280 x 720 piacutexeles eacuteste ademaacutes permite capturar 240 cuadros por segundo
La filmacioacuten fue analizada con el software Tracker 494 (Copyright (C) 2007 Free Software
Foundation Inc lthttpfsforggt) Se obtuvieron los maacuteximos desplazamientos de los doce puntos
distribuidos a lo largo de la viga lo cual nos permite construir la elaacutestica de la misma como vemos en
la Figura 3
Figura 43 Desplazamientos maacuteximo de la viga cantileacutever
46 Aplicacioacuten de la transformada de Wavelet a la sentildeal
Dado las caracteriacutesticas de las Wavelet con respecto a los paraacutemetros de escala y tiempo estas tienen
la propiedad de detectar cambios sutiles en una sentildeal Los maacuteximos desplazamientos de los 12 puntos
del modelo experimental pueden ser tomados como una sentildeal a la cual podemos aplicarle la TCW Los
Generador de Sentildeales
f=Amplificador
Bobina
Imaacuten
Viga
000 005 010 015 020 025 030 035x
0005
0010
0015
0020Desplazamientos
91
cambios repentinos en los coeficientes de Wavelet analizados puede significar la presencia de una
grieta
En este trabajo analizaremos la viga cantileacutever fisurada a un tercio de la luz la funcioacuten Wavelet madre
utilizada fue la Mexican Hat esta es una funcioacuten simeacutetrica y regulada y arrojo resultados de buena
calidad
La deflexioacuten de la viga de laboratorio es aproximada mediante la unioacuten de polinomios de grado tres
por medio de un algoritmo en el software Mathematica 12 La Figura 44 muestra la transformada de
la deflexioacuten f(x) por medio de la Mexican Hat Wavelet
Figura 44 Transformada Wavelet de la elaacutestica
A continuacioacuten en las Figura 45 se puede identificar el punto en donde estaacute la fisura en el modelo a
los 100 mm por medio del pico que se produce en el escalograma En este graacutefico se representa en el
eje horizontal la posicioacuten longitudinal en el eje vertical la escala Los diferentes colores para cada
punto representan la magnitud de los coeficientes de Wavelet
50 100 150 200 250 300 350Longuitudmm
0005
0010
0015
Wavelet Coeficientesf x CWT Mexican Hat
92
Figura 45 Escanograma Transformada Wavelet
En la Figura 46 se observa la vista en tres dimensiones de la transformada de Wavelet es posible ver
a la altura de 100 mm coacutemo los valores de los coeficientes alcanzan un valor maacuteximo
Figura 46 Graacutefico en tres dimensiones de los coeficientes de la Transformada Wavelet
93
47 Conclusiones
Lo desarrollado en este trabajo nos permitioacute analizar el comportamiento de una viga cantileacutever
dantildeada a traveacutes de las variaciones de sus frecuencias naturales y de la deflexioacuten de la viga vibrando
en el primer modo de vibracioacuten Se simuloacute una fisura por medio de la teoriacutea del resorte rotacional
propuesta por Chondros y Dimaragonas
Se detectoacute la fisura por el meacutetodo basado en las transformadas continuas de Wavelet La transformada
fue aplicada a la forma modal de la primera frecuencia natural de la viga cantileacutever fisurada La curva
se obtuvo por medio de un meacutetodo oacuteptico combinado con un algoritmo desarrollado en el software
Mathematica
La funcioacuten de onda Mexican Hat proporcionoacute una manera clara y precisa de detectar la posicioacuten de la
grieta arrojando valores maacuteximos de los coeficientes La teacutecnica de deteccioacuten de ondas hace posible
detectar grietas que requieren un miacutenimo de datos de entrada es decir solamente la respuesta de la
estructura La precisioacuten del meacutetodo depende de la calidad de la filmacioacuten y resolucioacuten de la caacutemara
aunque nos proporciona una herramienta para obtener una primera aproximacioacuten para detectar una
fisura
El propoacutesito de futuros trabajos es perfeccionar la teacutecnica de obtencioacuten de la elaacutestica de la estructura y
hacer pruebas con otros tipos de funciones Wavelets madres asiacute como la incorporacioacuten del anaacutelisis de
poacuterticos fisurados
94
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95
Apeacutendice I
(Trabajos Publicados en revistas)
Hindawi Publishing CorporationChinese Journal of EngineeringVolume 2013 Article ID 624658 10 pageshttpdxdoiorg1011552013624658
Research ArticleFree Vibrations of Beam System Structures withElastic Boundary Conditions and an Internal Elastic Hinge
Alejandro R Ratazzi1 Diana V Bambill12 and Carlos A Rossit12
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS)8000FTN Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) C1033AAJ Buenos Aires Argentina
Correspondence should be addressed to Diana V Bambill dbambillcribaeduar
Received 31 August 2013 Accepted 23 September 2013
Academic Editors M Chen and I Smith
Copyright copy 2013 Alejandro R Ratazzi et al This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense which permits unrestricted use distribution and reproduction in any medium provided the original work is properlycited
The study of the dynamic properties of beam structures is extremely important for proper structural design This present paperdeals with the free in-plane vibrations of a system of two orthogonal beam members with an internal elastic hinge The systemis clamped at one end and is elastically connected at the other Vibrations are analyzed for different boundary conditions at theelastically connected end including classical conditions such as clamped simply supported and free The beam system is assumedto behave according to the Bernoulli-Euler theory The governing equations of motion of the structural system in free bendingvibration are derived using Hamiltonrsquos principle The exact expression for natural frequencies is obtained using the calculus ofvariations technique and the method of separation of variables In the frequency analysis special attention is paid to the influenceof the flexibility and location of the elastic hinge Results are very similar with those obtained using the finite element method withvalues of particular cases of the model available in the literature and with measurements in an experimental device
1 Introduction
The study of the dynamic properties of beam systems is veryimportant in structural design as they are the cornerstone formany resistant structures
The issue is relevant virtually in all fields of engineeringstructures composed of beams can resist by virtue of its geom-etry Such structures can be found from large scale such asbridges and buildings located in seismically active regions tomicrobeam systems used in modern electronic equipmentwhich is subject to vibration environment
As Laura and his coworkers pointed out [1] many excel-lent books and technical papers deal with vibrating beam sys-tems including [2ndash6]
Many researchers have analyzed the vibration of beamsystems Reference [1] dealt with the determination of thefundamental frequency of vibration of a frame elasticallyrestrained against translation and rotation at the ends car-rying concentrated masses Reference [7] proposed a hybridanalyticalnumerical method to do dynamic analysis ofplanar serial-frame structures Reference [8] presented
an elastic- and rigid-combined beam element to determinethe dynamic characteristics of a two-dimensional frame com-posed of any number of beam segments In his paper Mei [6]considered the vibration inmultistory planar beam structuresfrom the wave vibration standpoint Reference [9] analyzedin-plane vibrations of portal frameswith elastically restrainedends An approximate solution is obtained bymeans of a vari-ational method
In the particular case of L-beam structures early studieshave been done by [10ndash12] In 2003 [13] extended the pre-vious papers [12] by relaxing the restrictions on the motionof the open frame In 2005 [14] determined natural fre-quencies and mode shapes of elastically restrained L-beamsThey applied the separation of variables method for thedetermination of the exact eigenfrequencies andmode shapesand calculated the eigenvalues numerically by applying theNewton method strategy to the corresponding frequencyequation Reference [15] used a formulation by the Rayleigh-Ritz method together with the introduction of artificial linearand torsional springs for computing the natural frequencies
2 Chinese Journal of Engineering
and modes for the in-plane vibrations of complex planarbeam structures
The presence of an internal hinge in beams has beentreated in several papers including [16ndash22]Here we dealwiththe vibration of L-beams structures assuming an internalhinge in different positions of the structural system
The two parts of the L-shaped geometry are joined at rightangle with the end of one of them clamped and the end ofthe other elastically restrained Figure 1 depicts the structureunder study
Classical structuralmodels do not consider the propertiesof the connection stiffness because they are based only onmodels with pinned or rigid joints Many authors have stud-ied structures with flexibly connectedmembers as it is knownthat the behavior of the connection plays an important rolein analysis and design Reference [23] presented a computer-based method for geometrically nonlinear beam system withsemirigid beam-to-column connections Reference [24] stud-ied wooden framed structures they considered that mechan-ical connections are recognized as extremely important ele-ments in the aspect of strength and structural safety Refer-ence [25] studied steel frames andobserved that the interstoryshears generally increase when the connections stiffness istaken into account As known ideal supports used in manystructural models do not fit exactly real supports
In the current presentation it is assumed that the beamsare adequately modeled using Euler-Bernoulli theory so thatthe effects of shear deformation and rotatory inertia areconsidered to be small and they are neglected in the analysisThe cross sections of beam elements have double symmetry(the shear centre and centroid are coincident) so it can beassumed that there is no coupling between bending displace-ments and torsional rotations
The beam system is modeled in Mathematica code [26]using themethod of separation of variables to obtain the exactvalues of the natural frequency coefficients
Finally numerical results are shown for slender beamsystems by considering the effects of different stiffness ofthe elastic connections A comparison is made with resultsobtained by the authors with the finite element method [27]and with values available in the literature In addition someparticular cases are also compared with the experimentalresults of a specially constructed device
2 Theory
Amore realistic model of an L-geometry beam system is pre-sented to analyze the natural vibration problemThe structureunder study has elastic restrains at F and a clamped end H asit is shown in Figure 1 with (120572
1+1205723= 1205872) It is assumed that
the elastic internal hinge at P can be located in different posi-tionsThe structure has three beammembers FO beam withlength 119897
1 OP beam with length 119897
2 and PH beam with length
1198973 Each of themhas uniformproperties throughout its length
The influence of the type of connection between beam-elements of the structural system and elastic conditions onthe outer edge F is considered in the study The external endH has a classical clamped condition while the external end Fis supported by two translational springs of stiffness 119905
119908and 119905119906
w1
x3l3
w3
w2
l2
l1
12057211205723
H
P
O
F
x1
x2
Figure 1 Beam system structure
and a rotational spring of stiffness 119903119911 Figure 2(a) At point
P there is an internal hinge elastically restrained againstrotation between beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring of stiffness119903119898 Figure 2(b)The flexural rigidity the mass density the length and the
area of the cross section of each beam are 119864119894119868119894 120588119894 119897119894 and 119860
119894
with 119894 = 1 2 3Three coordinate systems are located as shown in Figure 1
Respectively each coordinate origin is at the point F O or PAt abscissa 119909
119894(0 le 119909
119894le 119897119894) and at any time 119905119908
119894is the flexural
displacement in the transverse direction of the beamrsquos neutralaxis 120579
119894= 120597119908119894120597119909119894is the section rotation and 119906
119894is the axial
displacement The deformation of a beam in the 119909 directionis not taken into accountThe beams are considered infinitelyrigid in the 119909 direction
The sign convention used for the positive shear force spinsan element clockwise (up on the left and down on the right)Likewise the normal convention for a positive bendingmoment elongates the reference fiber of the beam indicatedby the dotted line Figure 3 shows the sign convention to beemployed
For free vibration the bending moment and the shearforce expressions are
119876119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205973119908119894
1205971199093
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119872119894(119909119894 119905) = 119864
119894119868119894
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
(1)
At time 119905 the kinetic energy of the beams is given by
119879lowast=
3
sum
119894=1
1
2
(int
119897119894
0
120588119894119860119894(
120597119908119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894)
+
120588111986011198971
2
(
1205971199061
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198971 119905)
)
2
(2)
The last term of the kinetic energy expression is due to therigid body translation of beam 1 of length 119897
1 Due to the
assumption of infinity axial rigidity 1205971199061120597119905 at 119909
1= 1198971is
equal to 1205971199082120597119905 at 119909
2= 0 therefore in (2) the expression
(1205971199061120597119905)2|(1198971 119905)
can also be replaced by (1205971199082120597119905)2|(0119905)
Chinese Journal of Engineering 3
F
twtu
rz
(a)
rm
P
(b)
Figure 2 (a) Elastic boundary conditions at end F (b) elastic internal hinge at joint P
On the other hand the potential energy of themechanicalsystem is given by
119880lowast=
1
2
3
sum
119894=1
[
[
int
119897119894
0
119864119894119868119894(
1205972119908119894
1205971199092
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
)
2
119889119909119894]
]
+
1
2
119903119898(
1205971199082
1205971199092
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198972 119905)
minus
1205971199083
1205971199093
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119903119911(
1205971199081
1205971199091
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
+
1
2
119905119908(1199081(0 119905))
2
+
1
2
119905119906(1199061(0 119905))
2
(3)
which involves the work of the elastic constrains And againdue to the assumption of infinity axial stiffness 119906
1(0 119905) =
1199061(1198971 119905) = 119908
2(0 119905) therefore in (3) the expression (119906
1(0 119905))
2
can also be replaced by (1199082(0 119905))
2To express equations in dimensionless form the nondi-
mensional parameter is introduced
119883119894=
119909119894
119897119894
with 119883119894isin [0 1] forall119894 = 1 2 3 (4)
Thedisplacements119906119894and119908
119894 and 120579
119894maybe expressed in terms
of the dimensionless coordinates as follows
119882119894(119883119894 119905) =
119908119894(119909119894 119905)
119897119894
120579119894(119883119894 119905) =
120597119882119894
120597119883119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
=
120597119908119894
120597119909119894
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119909119894 119905)
119880119894(119883119894 119905) =
119906119894(119909119894 119905)
119897119894
(5)
The characteristics of beam 1 are used as ldquoreferencerdquo
119864119868 = 11986411198681 120588119860 = 120588
11198601 119897 = 119897
1 (6)
to define the ratios
]119864119868119894=
119864119894119868119894
119864119868
]120588119860119894
=
120588119894119860119894
120588119860
]119897119894=
119897119894
119897
(7)
M
M
wi
Q
Q
xi
Figure 3 Sign convention for positive transverse displacement (119908)shear force (119876) and bending moment (119872)
the dimensionless spring stiffness
119879119908= 119905119908
1198973
119864119868
119879119906= 119905119906
1198973
119864119868
119877119911= 119903119911
119897
119864119868
119877119898= 119903119898
119897
119864119868
(8)
and the dimensionless frequency coefficient
1205824= 11989741205962 120588119860
119864119868
(9)
where 120596 is the circular natural frequency of the vibratingsystem in radians per second
The expression of the energy functional of the system ofbeams is 119869 = 119879lowast minus 119880lowast
Hamiltonrsquos principle requires that 120575 int119905119887119905119886
119869119889119905 taken betweenarbitrary intervals of time (119905
119886 119905119887) at which the positions of the
mechanical system are known is equal to zero That meansthat the system should execute a motion which makes thefunctional 119869 stationary on the space of admissible functions
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905 = 0 (10)
120575int
119905119887
119905119886
(119879lowastminus 119880lowast) 119889119905
= 120575
1
2
1205881198601198973
times int
119905119887
119905119886
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V120588119860119894
V3119897119894(
120597119882119894
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894
4 Chinese Journal of Engineering
+V1205881198601
V1198971V21198972(
1205971198822
120597119905
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
]119889119905
minus
1
2
119864119868
119897
int
119905119887
119905119886
[
[
3
sum
119894=1
int
1
0
V119864119868119894
V119897119894
(
1205972119882119894
1205971198832
119894
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(119883119894 119905)
)
2
119889119883119894]
]
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119898(
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119877119911(
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
)
2
119889119905
+ int
119905119887
119905119886
119879119908(V1198971)
2
(1198821(0 119905))
2
119889119905
+int
119905119887
119905119886
119879119906(V1198972)
2
(1198822(0 119905))
2
119889119905
(11)
Taking into account the boundary conditions at the ends thecompatibility and equilibrium conditions at the joints bet-ween beam elements and applying the procedure of calculusof variations in (10) the following boundary and eigenvalueproblem is obtained
12059741198821
1205971198834
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
+ 1198964
1
12059721198821
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198831 119905)
= 0
12059741198822
1205971198834
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
+ 1198964
2
12059721198822
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198832 119905)
= 0
12059741198823
1205971198834
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
+ 1198964
3
12059721198823
1205971199052
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1198833 119905)
= 0
(12)
with 1198964119894= (120588119894119860119894119864119894119868119894)1198974
119894 119894 = 1 2 3
Consider
V11989711198821(1 119905) = 0 V
11989721198822(1 119905) = V
11989731198823(0 119905)
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
=
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
V1198641198682
V1198972
12059721198822
1205971198832
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198683
V1198973
12059721198823
1205971198832
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119898(
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus
1205971198822
1205971198832
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
) = 0
V1198641198681
(V1198971)
2
12059731198821
1205971198833
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119908V11989711198821(0 119905) = 0
V1198641198682
V21198972
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
minus
V1198641198683
V21198973
12059731198823
1205971198833
3
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V1198641198682
(V1198972)
2
12059731198822
1205971198833
2
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
+ 119879119906V11989721198822(0 119905)
minus 1198964V1198971V11989721198822(0 119905) = 0
V1198641198681
V1198971
12059721198821
1205971198832
1
100381610038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
minus 119877119911
1205971198821
1205971198831
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(0119905)
= 0
V11989731198823(1 119905) = 0
1205971198823
1205971198833
10038161003816100381610038161003816100381610038161003816(1119905)
= 0
(13)
Using the well-known separation of variables method solu-tion of (12) is assumed to be of the form
1198821(1198831 119905) =
infin
sum
119899=1
1198821119899(1198831) 119879 (119905)
1198822(1198832 119905) =
infin
sum
119899=1
1198822119899(1198832) 119879 (119905)
1198823(1198833 119905) =
infin
sum
119899=1
1198823119899(1198833) 119879 (119905)
(14)
The functions11988211198991198822119899 and119882
3119899represent the corresponding
transverse modes of natural vibration of each beam memberand are given by
1198821119899(1198831) = 119862
1cosh (120582
11989912057211198831) + 1198622senh (120582
11989912057211198831)
+ 1198623cos (120582
11989912057211198831) + 1198624sen (120582
11989912057211198831)
1198822119899(1198832) = 119862
5cosh (120582
11989912057221198832) + 1198626senh (120582
11989912057221198832)
+ 1198627cos (120582
11989912057221198832) + 1198628sen (120582
11989912057221198832)
1198823119899(1198833) = 119862
9cosh (120582
11989912057231198833) + 11986210senh (120582
11989912057231198833)
+ 11986211cos (120582
11989912057231198833) + 11986212sen (120582
11989912057231198833)
(15)
where 120572119894= V119897119894
4radicV120588119860119894V119864119868119894 is a mechanical and geometrical
parameter with 119894 = 1 2 3 120582119899=
4radic11989741205962
119899120588119860(119864119868) is the
dimensionless frequency coefficient of mode of vibration 119899and 119862
1 1198622 119862
12are arbitrary constants to be determined
Replacing expressions (15) in (14) and these ones in (13)a linear system of equations in the unknown constants 119862
1
1198622 119862
12is obtained
For a nontrivial solution to exist the determinant of thecoefficient matrix in the linear system of equations should beequal to zero and the roots of the transcendental frequencyequation are the dimensionless frequency coefficients of themechanical system in Figure 1
3 Finite Element Method
The authors solved some numerical examples using thefinite element method using the software ALGOR 231 [27]
Chinese Journal of Engineering 5
Figure 4 Experimental system device C-C model
0 200 400 600 8000
01
02
03
04
05FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
d
Figure 5 Spectrum of the first natural frequency Case a F-Cmodel
The three members of the structure are divided into 100beams elements respectively each beam element with threedegrees of freedom
The internal hinge elastically restrained wasmodeled by avery small beam element 300 times smaller than the length ofthe beamThe moment of inertia of the section was varied inorder to obtain stiffness values that are equivalent to the stiff-ness constants of the spring connecting the two sections atlocation P
4 Experimental Model
An experimental model was built of steel to compare theresults obtained by the analytical and finite element models
The experimental beam system has two parts of equallength 119897 (see Figure 4) It was tested under two differentboundary conditions (clamped and free at 119909
1= 0) while the
other end (1199093= 1) was clamped The presence of an internal
hinge was not consideredThe geometry of the structural sys-tem is described by 119897 = 119897
1= 1198972+1198973= 050m119860 = 119860
119894= 4064times
10minus5m2 119868 = 119868
119894= 3468times10
minus11m4 and thematerial propertiesare 120588 = 120588
119894= 7870 kgm3 and 119864 = 119864
119894= 21 times 10
6 kgcm2 with119894 = 1 2 3
0 500 10000
01
02
03
04FFT
Frecuencia (Hz)
Am
plitu
dFigure 6 Spectrum of the first natural frequency Case b C-Cmodel
In order to measure the natural frequencies an opticalproximity sensor was used as it is seen in Figure 4
Figures 5 and 6 show the spectrum of the first ten naturalfrequencies of the free-clamped (Case a) and the clamped-clamped (Case b) beam systems respectively
5 Numerical Results
Frequency coefficients were obtained by the exact analyticalsolution with the finite element method FEM [27] and withthe experimental model
Table 1 presents the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of a beam structure with free-clampedboundary conditions without internal hinge Figure 5
For the analytical solution the parameters are taken as
V120588119860119894
= 1 V119864119868119894= 1 forall119894 = 1 2 3
V1198971= 2V1198972= 2V1198973= 1
(16)
The analytical solution for Case a F-C model was obtainedwith 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 0 119877
119898rarr infin It is remarkable that
for the first ten frequencies the analytical results are veryclose to the experimental ones The analytical results are alsocompared with previous published ones [7] As it can be seenin the table all of them are in excellent agreement
The exact analytical solution for C-C structure wasobtained with 119879
119906= 119879119908= 119877119911= 119877119898rarr infin
Table 2 shows the first ten coefficients of natural fre-quency of vibration of the beam structure with clamped-clamped boundary conditions Again the first ten frequencycoefficients obtained by the analytical model are very similarto the experimental model They also are in excellent agree-ment with the FEM solution and previous published results[14]
6 Chinese Journal of Engineering
Table 3 shows the frequency coefficients for pinned-clamped L-beams obtained by the analytical procedure andthe finite element method For the analytical solution thespring constants are assigned in two different ways to modelthe simply supported-clamped system
(1) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= V1198973= 12
119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911= 0 and 119877
119898rarr infin
(2) V119864119868119894= 1 V
120588119860119894= 1 for all 119894 = 1 2 3 V
1198972= 099 V
1198973=
001 119879119908rarr infin 119879
119906rarr infin 119877
119911rarr infin and 119877
119898= 0
The percentage differences between both sets of results areshown in file |Δ| Although both sets of results correspondto a simply supported-clamped system the small percentagedifferences less than 07 are due to the different numericalcomputational aspects between the analytical models (1) and(2) The results were determined using the Mathematicasoftware [26] with five significant figures
Table 4 compares the first five natural coefficients ofvibration for a free-clamped system with Morales publishedresults [28] The characteristics of Morales frame are 119897
1=
2215m and 1198972+ 1198973= 4249m 119864
11198681= 00147Nm2 119864
21198682=
11986431198683= 00267Nm2 119898
1= 6 times 10
minus3 kgm and 1198982= 1198983=
45 times 10minus5 kgm For the analytical solution the parameters
are assumed as 1198971= 2215m 119897
2= 2249m 119897
3= 2000m
V1198971= 1 V
1198641198681= 1 V
1205881198601= 1 V
1198972= 10153 V
1198641198682= 18163 V
1205881198602=
00075 V1198973= 00903 V
1198641198683= 18163 V
1205881198603= 00075 119879
119908= 0
119877119911= 0 119879
119906= 0 and 119877
119898rarr infin It can be verified that our
results are in excellent agreement whit those obtained byMorales
Traditionally the analysis and design of beam structureshave been based on the assumption that the boundary con-ditions are rigid The disadvantage of this model is that theflexibility of the real boundary conditions is neglected andtherefore the real natural frequencies cannot be obtained
Thus we now analyze the case of beam system structurewith elastic boundary conditions at edge F and clamped at theother end H while the internal elastic hinge (at section P) isassumed to have 119877
119898rarr infin Numerical simulations are car-
ried out to investigate the effect of the rigidity of the boundaryconditions on the natural frequencies of the system
In Figure 7 the effect of rigidity 119879119906of the translational
spring on the frequency coefficients of the structure is shownIt can be seen that the first frequency coefficient 120582
1increases
with increasing the value of 119879119906 from 119879
119906= 0 120582
1= 15208
to 119879119906rarr 200 120582
1= 33762 For values larger than 200 the
fundamental coefficient stays practically the same 119879119906rarr infin
1205821= 33920 Its increase is of 124The second frequency is 33947 for 119879
119906= 0 and 44566
for 119879119906rarr infin its increase is of 31 and the most significant
change occurs between 119879119906= 200 and 119879
119906= 1000 The higher
frequency coefficients exhibit a similar behaviorFrom Figure 7 it could be concluded that the first and
second frequencies interchange their modal shape for a valueof119879119906between 100 and 1000 A similar behaviour occurs in the
case of third and fourth frequencies for a value of 119879119906between
1000 and 10000Figure 8 shows the effect of 119879
119908on the first natural fre-
quency coefficients Again it is observed as a matter of coursethat the natural frequency coefficients increase with thespring constant parameter
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tu
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 7 Effect of 119879119906on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119908rarr infin
0123456789
1011
01 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Tw
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 8 Effect of119879119908on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119877
119911= 0 and 119879
119906rarr infin
Figure 9 shows that the effect of the spring 119877119911is small
Table 5 presents the case of a clamped-clamped structurewith an elastic joint at 119897
2= 05119897
1 and 119877
119898is the constant
rigidity of the rotational spring at P that connects the beammembers indicated as OP and PH In this table 119877
119898assumes
different values from infinity to zero It can be seen that allthe first frequency coefficients decrease in value except for1205824 which practically remains constantTable 6 presents the case of a clamped-clamped structure
with an elastic connection at P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 In this
table 119877119898assumes different values from rarr infin to 0 It can
Chinese Journal of Engineering 7
Table 1 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case a F-C
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
1205826
1205827
1205828
1205829
12058210
f 1= 430 1190 5859 8667 18538 23376 38696 45654 65979 7513 lowastExperimental in hertz10811 17985 39907 48537 70986 79541 10255 11139 13392 14290 lowastlowastExperimental adimensional10820 17863 39680 48031 70981 79131 10229 11034 13368 14171 Exact analytical solution10854 17903 39753 48077 70956 79307 10225 11059 13355 14191 FEM10880 17869 39685 48021 70915 mdash mdash mdash mdash mdash Lin and Ro 2003 [7]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 5)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 2 Comparison of the first ten frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for L-beams Case b C-C
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825 1205826 1205827 1205828 1205829 12058210
f 1 = 5676 8201 1825 22588 38208 4480 65308 73792 99243 11053 lowastExperimental in hertz39270 47214 70432 78357 10190 11035 13323 14162 16424 17333 lowastlowastExperimental adimensional39229 47227 70528 78249 10159 10838 13310 14137 16345 17178 Exact analytical solution39319 47295 70613 78187 10158 11014 13337 14152 16465 17282 FEM39222 47142 70376 77588 10007 mdash mdash mdash mdash mdash Albarracın and Grossi 2005 [14]lowastExperimental in hertz values 119891119899 were measured in the experimental model (Figure 6)lowastlowastExperimental adimensional values were obtained from 119891119899 measured values 120582119899 = 119897 sdot
4radic(2120587119891119899)
2(120588119860119864119868)
Table 3 Frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for simply supported-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
33920 44566 65383 75702 96637 Exact analytical solution (1)33943 44266 65798 75666 96584 Exact analytical solution (2)007 068 063 005 005 |Δ| = ((1) minus (2))(2) (difference)33900 44266 65292 75608 96301 FEM
Table 4 Non dimensional frequency coefficients 120582119899=4radic11989741205962
119899(120588119860119864119868) for free-clamped beam system comparison of results
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
10301 19062 35186 51798 61299 Exact analytical solution10385 19198 35277 51787 61156 FEM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 12-DOF RRMSSM10229 19229 35337 51844 61330 (Morales 2009 [28]) 60-DOF FEM10229 19229 35337 51841 61329 (Morales 2009 [28]) Analytical
Table 5 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-beam
connection
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78248 101595 Exact analytical solution500 39229 47227 70528 78248 101595100 39145 47121 70499 78248 10132750 39110 47082 70498 78248 10108620 39818 46862 70436 78248 10043810 38614 46557 70346 78248 994393 37464 45724 70075 78248 963341 35695 44983 69776 78248 9329005 34604 44692 69631 78248 920130 32662 44332 69410 78247 904290 32566 44247 69489 78306 90501 FEM
8 Chinese Journal of Engineering
Table 6 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a C-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 39229 47227 70528 78284 101595500 39229 47227 70528 78248 101595100 39127 46887 70340 77679 10125550 39127 46676 70340 77352 10125520 39127 46104 70339 76520 10125310 39127 45322 70336 75490 1012483 39125 43200 70327 73245 1012321 39122 41216 70304 71710 10119305 39117 40365 70277 71188 1011570 39038 39296 70161 70664 101059
Table 7 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at l2 = 05l1 beam-
beam connection (exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33903 44470 65374 75692 9660750 33883 44349 65354 75687 9654120 33821 44009 65297 75672 9633710 33723 43514 65216 75651 959843 33318 41975 64976 75585 944301 32548 40264 64721 75509 9219205 31959 39477 64602 75470 911050 30686 38450 64432 75412 89626
Table 8 Effect of 119877119898on the first five non dimensional frequency coefficients of a SS-C beam system with an elastic joint at 119897
2rarr 0 119897
3= 1198971
(exact analytical solution)
119877119898
1205821 1205822 1205823 1205824 1205825
rarr infin 33920 44566 65383 75702 96637500 33920 44566 65383 75702 96637100 33884 44394 65314 75314 9655050 33851 44237 65248 75123 9645520 33757 43812 65066 74501 9620210 33614 43234 64808 73751 958663 33107 41713 64076 72219 950681 32413 40410 63398 71283 9448505 32026 39903 63120 70983 942770 31408 39290 62768 70654 94033
be seen that the first the third and the fifth frequency coeffi-cients remain practically constant and the second coefficientsdecrease by 20 and the fourth decrease by 11
Table 7 presents the frequency coefficients of a simplysupported-clamped structure with an elastic joint at 119897
2=
051198971In the present conditions the first the second and the
fifth frequency coefficients decrease in value and the third andfourth remain practically constant
Table 8 contains the frequency coefficients of a simplysupported-clamped beam system with an elastic connectionat P 1198972rarr 0 119897
3= 1198971 It can be seen that all the frequency coef-
ficients decrease in value between 8 (1205821) and 3 (120582
5)
Figures 10 and 11 show graphically the variation of firstthree natural frequency coefficients for various locations ofthe elastic hinge 119897
2119897 rarr 0 to 119897
2119897 rarr 1 with different com-
binations of 119877119911 119879119908 119879119906and 119877
119898 In both figures it is clear that
for the fundamental frequency coefficient the differences inthe values of frequencies are not so significant
6 Conclusions
The model presented in this paper allows studying the effectof the variation in the rigidity of the elastic supports and theelastic joint on the dynamical behavior of the beam sys-tem structure The model enables an efficient simple and
Chinese Journal of Engineering 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
01 1 10 100 1000 10000 100000Rz
120582i
1205821
1205822
1205823
1205824
1205825
Figure 9 Effect of 119877119911on the first five natural frequency coefficients
1198972= 1198973 V1198971= V1198972= 05 V
119864119868(2)= V119864119868(3)
= 1 V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1
119877119898rarr infin 119879
119908rarr infin and 119879
119906rarr infin
120582
120582
1
1205822
1205823
2
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 10 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 3 119879
119908= 10 119879
119906= 5 and 119877
119898= 2
straightforward way of computing natural frequency coeffi-cients for L-Shaped-Structures withmany different boundaryconditions at simply supported clamped free and elasti-cally restrained It was observed that the loss of rigidity ofthe translational springs significantly changes the naturalfrequency coefficients especially the fundamental frequencycoefficientThe presence of an elastic joint modeling a beam-beam connection also implies changes in the natural fre-quencies when the rigidity is lost
Although themodel with elastic connection and supportsdoes not represent the inherent complexities of real systemssuch as nonlinearity or damping it provides conceptualinsights regarding the fact that the loss of rigidity can causesignificant changes in the dynamic behavior of the structure
120582
120582
1
1205822
1205823
3
4
5
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1l2l
Figure 11 Variation of first three natural frequency coefficients withlocation of the elastic hinge 119897
1= 1198972+ 1198973= 119897 1198972119897 isin (0 1) V
119864119868(2)=
V119864119868(3)
= V120588119860(2)= V120588119860(3)= 1 119877
119911= 50 119879
119908= 100 119879
119906= 100 and
119877119898= 20
In this sense this model can be seen as a useful first approachto study the real system The proposed analytical solutionmay be applied to include more complicating effects such aselastic constraints at both ends more than one internal elastichinge and another geometry with 120572
1+ 1205723= 1205872 Finally it
has been demonstrated that an elastic approach constitutes areliable tool to deal with beam system structures
Acknowledgments
The present work has been sponsored by Secretarıa Generalde Ciencia y Tecnologıa of Universidad Nacional del Sur atthe Department of Engineering and by Consejo Nacionalde Investigaciones Cientıficas y Tecnicas The authors areindebted to the Chief of Mechanical Vibration Laboratoryat the Department of Engineering Ing Santiago Maiz forhis cooperation and useful suggestions and to Mr GabrielLeguizamon for his careful preparation of the experimentaldevice
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T E C H N I C A L A R T I C L E
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a CrackAnalytical Approach and Experimental ValidationCA Rossit12 DV Bambill12 AR Ratazzi1 and S Maiz1
1 Departamento de Ingenierıa Instituto de Mecanica Aplicada (IMA) Universidad Nacional del Sur (UNS) Bahıa Blanca Argentina
2 Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas (CONICET) Bahıa Blanca Argentina
KeywordsL-Shaped Beam L-Beam Crack Vibrations
Elastic Hinge Damage
CorrespondenceCA Rossit
Departamento de Ingenierıa Instituto de
Mecanica Aplicada (IMA)
Universidad Nacional del Sur (UNS)
8000 Bahıa Blanca
Buenos Aires
Argentina
Email carossitcribaeduar
Received March 17 2014
accepted December 22 2014
doi101111ext12157
Abstract
A crack on a structural member introduces a local flexibility which is function ofthe crack depth This new flexibility condition changes the dynamic behavior ofthe structure The knowledge of the influence of the crack on the characteristicdynamic parameters makes it possible to determine both the crack position andits magnitude A large number of research papers have been written on thesubject most of them on straight beams of a single segment However despitethe importance of L-shaped beams in a variety of technological applicationsvery limited information is available for the case of such structures In thisarticle a cracked L-beam structure is studied by an analytical approach whichis validated by experimental measurements The EulerndashBernoulli beam theoryis assumed to describe the transversal displacements and the crack is modeledby means of an elastically restrained hinge A special device was designed tomeasure experimentally the natural frequencies of steel L-beams structuresThe natural frequencies of in plane vibrations of L-beam structures areobtained considering a crack at different positions as well as of differentdepths Values obtained with the analytical solution are satisfactorily comparedwith experimentally measured frequencies and the values reported in previousstudies on the subject published by other authors
Introduction
The problem of the influence of a crack in a welded
joint on the dynamic behavior of a structural member
has been studied in a thorough paper by Chondros
and Dimarogonas1
The static and dynamic analysis of beams with
single or multiple concentrated damages produced by
cracks has received an increasing interest in recent
years
A very complete description of the state of the art in
the field with the mention and description of the most
important work was done by Caddemi and Morassi2
whose reading is recommended
There it is explained that generally it is assumed
that the amplitude of the deformation is enough to
maintain the crack always open this model offers the
great advantage to be linear and therefore it leads
to efficient formulations for solving both static anddynamic problems
From earliest studies it is clear that localizeddamage produces a local reduction in the stiffnessof the beam3 Many models have been proposed inthe literature to describe open cracks on beams theflexibility modeling of cracks is quite common4 Inthe case of beams under plane flexural deformationa crack is modeled by inserting a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section56
Many researchers have studied the topic ofequivalent flexibility of the spring which modelsthe crack7ndash15 Among them it can be mentionedthat the expression of Chondros et al15 is the mostwidely used
Most of the papers deal with straight beamsof a single stretch Far less are related withframes16ndash18
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 1
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
H
P
l 3
w
2
O
l 2
l 1w
3
tu
tw rz
F
w 1
hc h
rm
P
P Figure 1 L-frame structure
The use of the L-shaped structures is widespreadin many fields of engineering including modernapplications in robotics19
In present work an L-shaped beam with a crack inone of the sections is studied In order to perform thisstudy it is important to have an analytical procedurewhich allows determining the dynamic parametersof cracked L-beams structures And it is known thatan essential condition to ensure the reliability of ananalytical procedure is the experimental verificationof its accuracy especially in a case like this in whichthe values available in the literature are scarce
The objective of this study is twofold Theproposition of a classical elastic model where thecrack is modeled by a rotational spring calculatedfollowing Chondrosrsquo theory and shows the excellentconcordance that the proposed model exhibits withexperimental measurements performed on a devicespecially designed
In addition information is provided about thevariation of the natural frequencies of an L-beamproduced by a crack at different positions and ofdifferent depths and the usefulness of the combinationof the posed analytical approach and experimentalmeasures in crack detection is demonstrated
Structural Model and Analytical Solution
The study deals with the vibration of L-shaped beamsassuming an internal crack in different positions inone of the beams of the system
The two parts of the L-shaped structure are joinedat right angle with the end of one of them clampedand the end of the other elastically restrained Figure 1depicts the structure under study
The position of the crack is defined by thecoordinate l2 and locally affects the flexural stiffnessof the L-beam It is modeled as a massless rotationalelastic spring at the damaged cross section connectingthe two adjacent segments of the beam
The magnitude adopted for the flexibility constantof the equivalent spring (βC) is obtained by means ofthe expression proposed by Chondros et al15 whichwas found with fracture mechanics methods
βC = 6π(1 minus ν2
)h
EIφC (z) (1)
with
φc (z) = 06272 z2 minus104533 z3 + 45948 z4 minus 9973 z5
+202948 z6 minus 330351 z7 + 471063 z8
minus407556 z9 + 196 z10
and z = hCh while h is the height of the cross sectionand hC is the depth of the crack
Three beam members are defined in the structurethe beam FO of length l1 the beam OP of length l2and the beam PH of length l3 each of them havinguniform properties The beams are modeled using theEulerndashBernoulli beam theory
The external end H is a classical clamped supportand the external end F is supported by two
2 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Bottom fiber
Q
Q
M M
Figure 2 Sign convention for positive shear force (Q) and bending
moment (M)
translational springs of stiffness tw and tu and arotational spring of stiffness rz At section P thereis the crack To model the crack it is supposed aninternal hinge elastically restrained against rotationbetween beams 2 OP and 3 PH this semirigidconnection is materialized by a rotational spring ofstiffness
rm = 1βC (2)
The flexural rigidity the mass density the lengthand the area of the cross section of each beam are EiIiρi li and Ai with i = 1 2 3
Three coordinate systems are located as they areshown in Fig 1 and its origins are taken to beat points F O and P in each beam At abscissa xi
(0 le xi le li) wi is the transverse displacement of thebeam i and θ i = partwipartxi is the section rotation at anytime t The deformation of a beam in x direction is nottaken into account because the beams are consideredinfinitely rigid in the axial direction
The sign convention used for the positive shearforce spins an element clockwise (up on the left anddown on the right) Likewise the normal conventionfor a positive bending moment elongates the bottomfiber of the beam Figure 2 shows the sign conventionto be employed
For free vibration the bending moment and theshear force expressions are
Mi (xi t) = EiIipart2wi (xi t)
partx2i
Qi (xi t) = EiIipart3wi (xi t)
partx3i
(3)To express equations in dimensionless form the
nondimensional parameter is introduced
Xi = xili with Xi isin [0 1] foralli = 1 2 3 (4)
The displacements wi and θ i may be expressed interms of the dimensionless coordinates as follows
Wi (Xi t) = wi (xi t)
li θi (Xi t) = partWi (Xi t)
partXi
= partwi (xi t)
partxi(5)
The characteristics of beam 1 are used aslsquolsquoreferencersquorsquo
EI = E1I1 ρA = ρ1A1 l = l1 (6)
to define the ratios
νEIi = EiIi
EI νρAi = ρiAi
ρA νli = li
l(7)
the dimensionless spring stiffness
Tw = twl3
EI Tu = tu
l3
EI Rz = rz
l
EI Rm = rm
l
EI(8)
Under the described conditions and applying thetechnique of variational calculus20 the governingdifferential equations of the problem and theboundary and continuity conditions are
part4W1
partX41
(X1 t) + k41part2W1
partt2(X1 t) = 0 (9)
part4W2
partX42
(X2 t) + k42part2W2
partt2(X2 t) = 0 (10)
part4W3
partX43
(X3 t) + k43part2W3
partt2(X3 t) = 0 (11)
with k4i = ρiAi
EiIil4i i = 1 2 3
vEI1(vl1
)2
part3W1
partX31
(0 t) + Tw vl1 W1 (0 t) = 0 (12)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(0 t) minus Rz
(partW1
partX1(0 t)
)= 0 (13)
vEI2(vl2
)2
part3W2
partX32
(0 t) + Tu vl2 W2 (0 t)
minus k41vl1 vl2
part2W2
part t2(0 t) = 0 (14)
vl1 W1 (1 t) = 0 (15)
partW1
partX1(1 t) = partW2
partX2(0 t) (16)
vEI1
vl1
part2W1
partX21
(1 t) = vEI2
vl2
part2W2
partX22
(0 t) (17)
vl2 W2 (1 t) = vl3 W3 (0 t) (18)
vEI2
v2l2
part3W2
partX32
(1 t) minus vEI3
v2l3
part3W3
partX33
(0 t) = 0 (19)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 3
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Figure 3 (a) and (b) Experimental
device clamped-lamped L-beam
vEI2
vl2
part2W2
partX22
(1 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(20)
vEI3
vl3
part2W3
partX23
(0 t) minus Rm
(partW3 (0 t)
partX3minus partW2 (1 t)
partX2
)= 0
(21)
vl3 W3 (1 t) = 0 (22)
partW3
partX3(1 t) = 0 (23)
The last term in Eq 14 is due to the rigid bodyaxial translation of beam 1 of length l1 which is aconsequence of assuming infinity axial rigidity
Using the well-known separation of variablesmethod to solve Eqs 9 to 11 free vibrations of thesystem can be expressed in the form
W1 (X1 t) =infinsum
n=1
W1n (X1) eiωt (24)
W2 (X2 t) =infinsum
n=1
W2n (X2) eiωt (25)
W3 (X3 t) =infinsum
n=1
W3n (X3) eiωt (26)
The functions W1n W2n and W3n represent thecorresponding transverse modes of natural vibrationof each beam member and are given by
W1n (X1) = C1 cosh (λnα1X1) + C2senh (λnα1X1)
+ C3 cos (λnα1X1) + C4sen (λnα1X1) (27)
W2n (X2) = C5 cosh (λnα2X2) + C6senh (λnα2X2)
+ C7 cos (λnα2X2) + C8sen (λnα2X2) (28)
W3n (X3) = C9 cosh (λnα3X3) + C10senh (λnα3X3)
+ C11 cos (λnα3X3) + C12sen (λnα3X3) (29)
where αi = vli4radic
vρAivEIiis a mechanical and geomet-
rical parameter with i = 1 2 3 λn = 4radic
l4ω2n
ρAEI isthe dimensionless frequency coefficient of mode ofvibration n and C1 C2 C12 are arbitrary constantsto be determined
Replacing Eqs 27 28 and 29 in Eqs 24 25 and26 and these ones in Eqs 12 to 23 a linear system ofequations in the unknown constants C1 C2 C12
is obtainedFor a nontrivial solution to exist the determinant
of the coefficient matrix in the linear systemof equations should be equal to zero and theroots of the transcendental frequency equation arethe dimensionless frequency coefficients λn of themechanical system in Fig 1
The results were determined by using the Mathe-matica software21 with six significant figures
Experimental Device
Two particular cases were modeled a free-clamped(F-C) and a clampedndashclamped (C-C) L-beam
A bar of steel 58 lsquolsquo times 18rsquorsquo (b = 15875 mmh = 3175 mm) was employed
Both members the same length (l1 = l2 + l3)cross-sectional area and material properties
vρAi = 1 vEIi = 1 forall i = 1 2 3vl1 = 2vl2 = 2vl3 = 1
The length of each member was 420 mm for theF-C case and 446 mm for the C-C
Figure 3(a) and (b) shows the clampedndashclampedmodel tested
The crack was modeled with a thickness of 1 mmAll precautions were taken so that the cut is madesmoothly and its depth be uniform A piece of hardsteel was employed with a gap where the beamis embedded up to the desired depth (Fig 4(a)and (b))
4 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Figure 4 (a) and (b) Crack
produced in the strip
The beam was excited with an impact hammer nearthe clamped end where there are no nodes of themodal shapes of the first five frequencies
In order not to disturb the behavior of the struc-ture measurements were taken with a proximitorA Provibtech device TMO 180 was employed Thedisplacement signal was read and processed with atwo channel vibration analyzer Vibxpert II with 24bits of resolution and 1000 Hz of sample frequency
To evaluate the measured values it is needed toknow the Young modulus E and the density ρ of theemployed material
Because these two parameters in dynamicalapplications are always involved by means of the
ratioradic
Eρ
the following procedure was followed
A value widely verified in solid mechanics wastaken as reference the fundamental frequency of acantilever beam It is known that the correspondingeigenvalue is 1875122
A cantilever beam of length 417 mm was built withthe same strap of the L-beam
The measured frequency 1485 Hz then
f = 1
2π
λ2
l2
radicE I
ρ A 1485Hz = 1
2π
(18751)2
(0417m)2
radicE h2
ρ 12
rArrradic
E
ρ= 50347
m
seg
This value which is the speed of a longitudinalwave in steel is employed in the numericaldeterminations
Numerical Results
In order to verify the accuracy of the procedure twoparticular cases of the proposed analytical approachare modeled
Free-clamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = 0 Rm rarr infin
Clampedndashclamped L-beam without internal hingeTu = Tw = Rz = Rm rarr infin
Table 1 presents the first five natural frequenciesof vibration The values obtained by means of theanalytical approach are in very good agreement withresults available in the literature
Experimental determinations are also performedand data show a striking agreement with aforemen-tioned values
Tables 2ndash6 compare the results between experi-mental measurements in a device with a crack artifi-cially produced and the proposed analytical procedurewith a crack modeled following Chondrosrsquo criterionA free-clamped L-beam with l1 = l2 + l3 is considereddifferent locations (l2l1) and depths (hch) of thecrack are taken into account Applying Eqs 1 2 and8 one obtains Rm for each particular situation
As it can be seen the experimental values areagain in excellent agreement from an engineeringviewpoint with those obtained by means of theanalytical procedure There are just five situationswhere differences are upon 5 but in no case exceedthan 10
Figure 5 shows the effect of the depth of a crack atdifferent locations on the natural frequencies
The magnitudes of frequencies in the damagedstructure f are related to the frequency of the structurewithout crack which is named f 0
In general the frequencies decrease as the depth ofthe crack increases
As it can be observed the second frequency is notaffected by the crack when occurs in the middleof the second member It can be deduced thatthe corresponding modal shape of the undamagedstructure has no curvature at that point
Figure 6 shows the effect that the position of acrack (hch = 075) causes in the first three naturalfrequencies of the free-clamped L-beam structureAgain it is observed that the second frequency does
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 5
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 1 First five natural frequencies for F-C and C-C L-beams
Free-clamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 10880 17869 39685 48021 70915 Lin and Ro23 (eigenvalue)λi 10821 17863 39684 48037 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6525 9562 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20774 Experimental (Hz)
Clampedndashclamped L-shaped beam
i 1 2 3 4 5λi 39222 47145 70376 77588 10007 Albarracın et al24 (eigenvalue)λi 39331 47235 70540 78255 10149 Analytical (eigenvalue)(fi) 5662 8208 18307 22529 37899 Analytical (Hz)(fi) 5676 8301 18250 22888 38208 Experimental (Hz)
Table 2 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
16 025 220 λi 10812 17862 39680 48015 70935 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6524 9553 20815 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9510 20758 Experimental (Hz)
050 41 λi 10800 17769 39619 48020 70660 Analytical (eigenvalue)(fi) 483 1308 6504 9555 20690 Analytical (Hz)(fi) 466 1293 6502 9509 20742 Experimental (Hz)
075 79 λi 10698 17416 39356 47905 69521 Analytical (eigenvalue)(fi) 474 1257 6418 9510 20028 Analytical (Hz)(fi) 434 1260 6458 9510 20748 Experimental (Hz)
Table 3 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 025 220 λi 10810 17857 39661 48035 70947 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1321 6518 9561 20858 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9505 20714 Experimental (Hz)
050 41 λi 1078 17831 39529 47961 70783 Analytical (eigenvalue)(fi) 482 1317 6475 9532 20762 Analytical (Hz)(fi) 466 1298 6492 9445 20422 Experimental (Hz)
075 79 λi 10633 17709 38920 47657 6999 Analytical (eigenvalue)(fi) 468 1300 6277 9412 20304 Analytical (Hz)(fi) 438 1293 6415 9347 19632 Experimental (Hz)
Table 4 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 025 220 λi 10814 17862 39666 48003 70977 Analytical (eigenvalue)(fi) 485 1322 6520 9549 20876 Analytical (Hz)(fi) 471 1301 6498 9483 20763 Experimental (Hz)
050 41 λi 10770 17861 39558 47801 70942 Analytical (eigenvalue)(fi) 481 1322 6484 9468 20856 Analytical (Hz)(fi) 466 1299 6450 9389 20746 Experimental (Hz)
075 79 λi 10550 17856 39026 4700 7080 Analytical (eigenvalue)(fi) 461 1321 6311 9150 20772 Analytical (Hz)(fi) 433 1299 6098 8997 20679 Experimental (Hz)
6 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
Table 5 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 025 220 λi 10810 17860 39684 48033 70924 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1322 6525 9561 20845 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6503 9510 20741 Experimental (Hz)
050 41 λi 10750 17850 39671 47950 70661 Analytical (eigenvalue)(fi) 479 1320 6522 9528 20691 Analytical (Hz)(fi) 477 1298 6448 9494 20580 Experimental (Hz)
075 79 λi 10450 17803 39593 47578 69434 Analytical (eigenvalue)(fi) 453 1313 6496 9381 19978 Analytical (Hz)(fi) 449 1243 5970 9416 19259 Experimental (Hz)
Table 6 First five natural frequencies for F-C L-beams with a crack in the fifth sixth of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
56 025 220 λi 10800 17849 39684 48047 70982 Analytical (eigenvalue)(fi) 484 1320 6526 9566 20879 Analytical (Hz)(fi) 477 1304 6514 9516 20736 Experimental (Hz)
050 41 λi 10720 17791 39652 48021 70975 Analytical (eigenvalue)(fi) 476 1312 6515 9556 20875 Analytical (Hz)(fi) 477 1288 6497 9505 20579 Experimental (Hz)
075 79 λi 10330 17557 39523 47919 70939 Analytical (eigenvalue)(fi) 443 1377 6473 9515 20854 Analytical (Hz)(fi) 466 1216 6315 9411 19637 Experimental (Hz)
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=16 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=12 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
093
094
095
096
097
098
099
1
101
0 02 04 06 08
ff0
hc h
Crack location l2=23 l1
Freq-1 Freq-2 Freq-3
Figure 5 Relative decrease of the first
three natural frequencies with the depth
of a crack located at different positions
of the second member of a free-clamped
L-beam
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 7
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
091
092
093
094
095
096
097
098
099
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 1
094
095
096
097
098
099
100
101
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 2
0950
0960
0970
0980
0990
1000
1010
0 02 04 06 08 1
ff 0
l2l
Frequency 3
Figure 6 Influence of the location in the second member of a crack (hch = 075) on the relative decrease of the first three natural frequencies in a
free-clamped L-beam
not vary when the crack is in the middle of thesegment
Then we use the available information in order todemonstrate the usefulness of the proposed analyticalmodel in crack detection
The inverse method widely used in the scientificliterature (Rosales et al25 Labib et al26) is employedto predict position (l2) and depth (hch) of a crackfrom measured values of frequency in the damagedstructure
As is known (Owolabi et al27) measuring thefirst three natural frequencies (f n with n = 1 2 3)will be enough to determine the crack locationand depth for a beam-like structure with a singlecrack Each of the first three dimensionless values
λn = 4radic
l4 (2π fn)2 ρAEI of every measured frequency
is introduced into the frequency transcendentalequation formed with the system of Eqs 13 to 22Plotting in a curve the results of the frequency
transcendental equation for a particular mode n isobtained a contour line (Rm versus l2) Each point ofthe curve represents a combination of different cracklocations l2 and crack depths (identified by Rm) thataccording to the analytical model correspond to themeasured frequency
Three contour curves are obtained for the first sec-ond and third modes Overlaying those three graphsit is possible to obtain an intersection point The crosspoint has particular coordinates l2 and Rm The posi-tion of the crack is represented by l2 and Rm representsthe crack depth according to Eqs 1 2 and 8
The situation identified with l2l1 = 12hch = 025 f1 = 471 Hz f2 = 1301 Hz f3 = 6498 Hz(Table 4) is used to illustrate the procedure
Figure 7 shows three curves which are contourlines according to the analytical model of eachmeasured frequency (n = 1 2 and 3) They do notintersect exactly at a point but they describe a small
8 Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics
CA Rossit et al Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack
0 50 100 150 200 250 300
f1
f2
f3
00
01
02
03
04
Rm
l2
Figure 7 Set of values Rm l2 corresponding to every measured
frequency in a damaged free-clamped L-beam
triangular zone that allows to estimate the positionof the crack l2 and the crack depth Rm
There are different procedures for estimatingthe crack position and its depth (l2 Rm) In thepresent analysis the triangle enclosed by the pointsof intersection of each pair of curves (Fig 8)is analyzed and its centroid is determined itis the sought point l2 = 2085 mm (l2l1 = 0496)Rm = 2136 (hch = 0254)
Those estimated values are in excellent agreementwith the real position of the crack and its depth anerror of 036 of the length of the whole beam OHin the position and 04 of the section height in thecrack depth
210 220 230 240200019
020
021
022
023
Rm
l2
02085
2136
f1
f2
f3
Figure 8 Enlarged view of the area of intersection of curves
The analytical approach was also verified for somecases of the cracked clampedndashclamped L-beam struc-ture comparing with experimental measurements
Tables 7ndash9 show the obtained values by both pathsAs it can be seen the experimental values are again
in surprising agreement with those obtained by meansof the analytical procedure There is no case wherethe difference exceeds than 5 and generally it isless than 2
Conclusions
The convergence between the experimental andanalytical values showed that a classical elastic modelof the L-beam behavior in combination with the
Table 7 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack in the third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
13 050 44 λi 39195 47144 70155 77862 101331 Analytical (eigenvalue)(fi) 5645 8167 18086 21740 37732 Analytical (Hz)(fi) 5645 8301 18188 22522 38226 Experimental (Hz)
075 84 λi 39117 46886 69269 77234 10093 Analytical (eigenvalue)(fi) 5622 8078 17425 21764 37435 Analytical (Hz)(fi) 5615 8057 16724 2179 37781 Experimental (Hz)
Table 8 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the middle of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
12 075 84 λi 38482 46617 703645 78254 99059 Analytical (eigenvalue)(fi) 5441 7918 18144 22473 36059 Analytical (Hz)(fi) 5249 7813 18372 22705 34851 Experimental (Hz)
Experimental Techniques (2015) copy 2015 Society for Experimental Mechanics 9
Vibrations of L-Shaped Beam Structures With a Crack CA Rossit et al
Table 9 First five natural frequencies for C-C L-beams with a crack ( hch = 075) in the second third of the second member
l2l1 hch Rm 1 2 3 4 5
23 075 84 λi 38420 47007 69814 77194 10136 Analytical (eigenvalue)(fi) 5402 8086 17782 21727 37677 Analytical (Hz)(fi) 5249 8118 17395 21729 38086 Experimental (Hz)
Chondrosrsquo representation of a crack constitutes asimple and reliable tool that allows to attack in astraightforward way the problem of an L-shapedstructure with a crack Its usefulness in crack detectionis demonstrated
The approach can be easily adapted to study allpossible outer boundary conditions of the L-beamstructure taking into account elastic constraints atboth ends Further cracks may be incorporated byincluding additional internal elastic hinges
It is interesting to note the importance of carryingout experimental procedures as they are a sure wayto verify analytical approaches
Acknowledgments
The present work has been sponsored by SecretarıaGeneral de Ciencia y Tecnologıa of UniversidadNacional del Sur at the Department of Engineer-ing Consejo Nacional de Investigaciones Cientıficas yTecnicas (CONICET) and by Comision de Investiga-ciones Cientıficas (CIC Buenos Aires Province) Theauthors are grateful to Mr Gabriel Leguizamon forhis careful preparation of the experimental deviceThe authors are indebted to the reviewers fortheir thoughtful suggestions that helped to improvethis work
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