Universidad Nacional José María Arguedas - …jestradap.weebly.com/uploads/8/2/2/9/8229848/libro.pdf · El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow,

Universidad Nacional José María Arguedas Carrera Profesional de Administración de Empresas

Cuaderno de ejercicios INTEGRALES

Lic. F.M. José Luis Estrada Pantía

Andahuaylas - Perú

2011

∫

A:

Yris Stephany E.

Kevin P.

Que forman el triángulo que más aprecio y amo.

PPrróóllooggoo

LLaa pprreesseennttee PPRROODDUUCCCCIIÓÓNN IINNTTEELLEECCTTUUAALL ccoonnttiieennee uunnaa vvaarriieeddaadd ddee pprroobblleemmaass ddeessaarrrroollllaaddooss ssoobbrree iinntteeggrraalleess iinnddeeffiinniiddaass eenn eell ccuuaall ssee ccoonnssiiddeerraa eejjeemmppllooss ssiimmpplleess yy aallgguunnooss ccoonn uunn nniivveell ddee ccoommpplleejjiiddaadd,, eell qquuee ppooddrráá sseerr gguuííaa ppaarraa ttooddaa eessaa jjuuvveennttuudd eessttuuddiioossaa qquuee ddííaa aa ddííaa ttrraattaa ddee ssaalliirr aaddeellaannttee.. EEssppeerraannddoo aassíí ccoonnttrriibbuuiirr aall aapprreennddiizzaajjee ddee llaa mmaatteemmááttiiccaa yy eenn ppaarrttiiccuullaarr ddeell aannáálliissiiss mmaatteemmááttiiccoo qquuee ppoorr cciieerrttoo hhooyy eenn ddííaa eess mmuuyy aapplliiccaaddoo eenn mmuucchhaass áárreeaass yy aapplliiccaacciioonneess ddee ddiivveerrssaass mmaatteerriiaass.. EEll ccáállccuulloo iinntteeggrraall eess aapplliiccaaddoo eenn ccaarrrreerraass pprrooffeessiioonnaalleess ccoommoo eenn llaass iinnggeenniieerrííaass eenn ggeenneerraall,, eessppeeccííffiiccaammeennttee ppooddeemmooss ccoonnssiiddeerraarr eenn llaa aaggrrooiinndduussttrriiaa ppaarraa llooss mmooddeellooss eexxppeerriimmeennttaalleess,, eenn llaa iinnggeenniieerrííaa ddee ssiisstteemmaass ddeennttrroo ddee llaass ssiimmuullaacciioonneess,, rroobbóóttiiccaa,, eenn llaa eellééccttrriiccaa eenn llaass ssiimmuullaacciioonneess ddee tteennssiioonneess,, eenn llaa aaddmmiinniissttrraacciióónn ppooddeemmooss ccoonnssiiddeerraarr eenn llaass mmaaxxiimmiizzaacciioonneess,, mmiinniimmiizzaacciioonneess,, ccrreecciimmiieennttoo,, ddeepprreecciiaacciióónn,, iinnggrreessooss,, eexxcceeddeennttee ddee llaa uuttiilliiddaadd,, eennttrree oottrraass aapplliiccaacciioonneess.. YY ttaammbbiiéénn mmii aaggrraaddeecciimmiieennttoo aa llooss eessttuuddiiaanntteess:: RONALD ELGUERA TELLO ALEX QUISPE LOAYZA FELIPE LAYME BONIFACIO FREDY ESPINOZA MINA RUBEN FRANKLIN PONCECA BARBOZA ALEX ALEJANDRO LEGUIA HURTADO JOSÉ VILCHEZ HUAMAN ERICK YERSON GALINDO GARFIAS DENNIS AREVALO GARCÍA FANNY OSCCO JIMENEZ RUTH NELIDA QUISPE AQUISE ROSMERY GONZALES LLASACCE MARY CARMEN PUENTE DE LA VEGA CUSIQUISPE KATHIA DIAZ CASA XIMENA TICONA MAMANI DORA CENTENO VILCHEZ SINAI MELISSA ROJAS ALARCON

PPoorr ssuu ppaarrttiicciippaacciióónn yy eessmmeerroo eenn llaa eellaabboorraacciióónn ddeell pprreesseennttee ttrraabbaajjoo..

AAnnddaahhuuaayyllaass PPeerrúú,, EEnneerroo ddeell 22001111 LLiicc.. JJoosséé LLuuiiss EEssttrraaddaa PPaannttííaa

EE –– mmaaiill:: jjeessttrraaddaa@@uunnaajjmmaa..eedduu..ppee jjoosseelleepp22001111@@hhoottmmaaiill..eess

aajjoosseessiinn@@ggmmaaiill..ccoomm jjoossee..eettrraaddaa@@ffaacceebbooookk..ccoomm

WWeebbssiittee:: hhttttpp::////ssiitteess..ggooooggllee..ccoomm//ssiittee//9900223399002233aa//

mailto:[email protected]




LLiicc.. JJoosséé LLuuiiss EEssttrraaddaa PPaannttííaa.. EEggrreessaaddoo ddee llaa CCaarrrreerraa PPrrooffeessiioonnaall ddee FFííssiiccoo MMaatteemmááttiiccaass ddee llaa FFaaccuullttaadd ddee CCiieenncciiaa FFííssiiccaass QQuuíímmiiccaass,, MMaatteemmááttiiccaass ee IInnffoorrmmááttiiccaa ddee llaa UUnniivveerrssiiddaadd NNaacciioonnaall ddee SSaann AAnnttoonniioo AAbbaadd ddeell CCuussccoo ((11999999)).. DDoocceennttee ddee llaa UUnniivveerrssiiddaadd NNaacciioonnaall ddee SSaann AAnnttoonniioo AAbbaadd ddeell CCuussccoo ((22000000--22000088)),, ccoonn eessttuuddiiooss ddee PPoosstt GGrraaddoo eenn DDoocceenncciiaa eenn eell NNiivveell SSuuppeerriioorr ddee llaa UUnniivveerrssiiddaadd NNaacciioonnaall MMaayyoorr ddee SSaann MMaarrccooss ((22001100)).. AAccttuuaallmmeennttee DDoocceennttee NNoommbbrraaddoo AAuuxxiilliiaarr aa DDeeddiiccaacciióónn EExxcclluussiivvaa ddee llaa CCaarrrreerraa PPrrooffeessiioonnaall ddee AAddmmiinniissttrraacciióónn ddee EEmmpprreessaass ddee llaa UUnniivveerrssiiddaadd NNaacciioonnaall JJoosséé mmaarrííaa AArrgguueeddaass ((22000088))..

EEll ccáállccuulloo iinntteeggrraall EEll oorriiggeenn ddeell ccáállccuulloo iinntteeggrraall ssee rreemmoonnttaa aa llaa ééppooccaa ddee AArrqquuíímmeeddeess ((228877--221122 aa..CC..)),, mmaatteemmááttiiccoo ggrriieeggoo ddee llaa aannttiiggüüeeddaadd,, qquuee oobbttuuvvoo rreessuullttaaddooss ttaann iimmppoorrttaanntteess ccoommoo eell vvaalloorr ddeell áárreeaa eenncceerrrraaddaa ppoorr uunn sseeggmmeennttoo ppaarraabbóólliiccoo.. LLaa ddeerriivvaaddaa aappaarreecciióó vveeiinnttee ssiiggllooss ddeessppuuééss ppaarraa rreessoollvveerr oottrrooss pprroobblleemmaass qquuee eenn pprriinncciippiioo nnoo tteennííaann nnaaddaa eenn ccoommúúnn ccoonn eell ccáállccuulloo iinntteeggrraall.. EEll ddeessccuubbrriimmiieennttoo mmááss iimmppoorrttaannttee ddeell ccáállccuulloo iinnffiinniitteessiimmaall ((ccrreeaaddoo ppoorr BBaarrrrooww,, NNeewwttoonn yy LLeeiibbnniizz)) eess llaa íínnttiimmaa rreellaacciióónn eennttrree llaa ddeerriivvaaddaa yy llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa,, aa ppeessaarr ddee hhaabbeerr sseegguuiiddoo ccaammiinnooss ddiiffeerreenntteess dduurraannttee vveeiinnttee ssiiggllooss.. UUnnaa vveezz ccoonnoocciiddaa llaa ccoonneexxiióónn eennttrree ddeerriivvaaddaa ee iinntteeggrraall ((tteeoorreemmaa ddee BBaarrrrooww)),, eell ccáállccuulloo ddee iinntteeggrraalleess ddeeffiinniiddaass ssee hhaaccee ttaann sseenncciilllloo ccoommoo eell ddee llaass ddeerriivvaaddaass..

EEll ccoonncceeppttoo ddee CCáállccuulloo yy ssuuss rraammiiffiiccaacciioonneess ssee iinnttrroodduujjoo eenn eell ssiigglloo XXVVIIIIII,, ccoonn eell ggrraann ddeessaarrrroolllloo qquuee oobbttuuvvoo eell aannáálliissiiss mmaatteemmááttiiccoo,, ccrreeaannddoo rraammaass ccoommoo eell ccáállccuulloo ddiiffeerreenncciiaall,, iinntteeggrraall yy ddee vvaarriiaacciioonneess.. EEll ccáállccuulloo ddiiffeerreenncciiaall ffuuee ddeessaarrrroollllaaddoo ppoorr llooss ttrraabbaajjooss ddee FFeerrmmaatt,, BBaarrrrooww,, WWaalllliiss yy NNeewwttoonn eennttrree oottrrooss.. AAssíí eenn 11771111 NNeewwttoonn iinnttrroodduujjoo llaa ffóórrmmuullaa ddee iinntteerrppoollaacciióónn ddee ddiiffeerreenncciiaass ffiinniittaass ddee uunnaa ffuunncciióónn ff((xx));; ffóórrmmuullaa eexxtteennddiiddaa ppoorr TTaayylloorr aall ccaassoo ddee iinnffiinniittooss ttéérrmmiinnooss bbaajjoo cciieerrttaass rreessttrriicccciioonneess,, uuttiilliizzaannddoo ddee ffoorrmmaa ppaarraalleellaa eell ccáállccuulloo ddiiffeerreenncciiaall yy eell ccáállccuulloo eenn ddiiffeerreenncciiaass ffiinniittaass.. EEll aappaarraattoo ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo ddiiffeerreenncciiaall eerraa eell ddeessaarrrroolllloo ddee ffuunncciioonneess eenn sseerriieess ddee ppootteenncciiaass,, eessppeecciiaallmmeennttee aa ppaarrttiirr ddeell tteeoorreemmaa ddee TTaayylloorr,, ddeessaarrrroolllláánnddoossee ccaassii ttooddaass llaass ffuunncciioonneess ccoonnoocciiddaass ppoorr llooss mmaatteemmááttiiccooss ddee llaa ééppooccaa.. PPeerroo pprroonnttoo ssuurrggiióó eell pprroobblleemmaa ddee llaa ccoonnvveerrggeenncciiaa ddee llaa sseerriiee,, qquuee ssee rreessoollvviióó eenn ppaarrttee ccoonn llaa iinnttrroodduucccciióónn ddee ttéérrmmiinnooss rreessiidduuaalleess,, aassíí ccoommoo ccoonn llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn ddee sseerriieess eenn oottrraass qquuee ffuueesseenn ccoonnvveerrggeenntteess.. JJuunnttoo aa llaass sseerriieess ddee ppootteenncciiaass ssee iinncclluuyyeerroonn nnuueevvooss ttiippooss ddee ddeessaarrrroollllooss ddee ffuunncciioonneess,, ccoommoo ssoonn llooss ddeessaarrrroollllooss eenn sseerriieess aassiinnttóóttiiccaass iinnttrroodduucciiddooss ppoorr SSttiirrlliinngg yy EEuulleerr.. LLaa aaccuummuullaacciióónn ddee rreessuullttaaddooss ddeell ccáállccuulloo ddiiffeerreenncciiaall ttrraannssccuurrrriióó rrááppiiddaammeennttee,, aaccuummuullaannddoo ccaassii ttooddooss llooss rreessuullttaaddooss qquuee ccaarraacctteerriizzaann ssuu eessttrruuccttuurraa aaccttuuaall.. IInnttrroodduucciirr eell ccáállccuulloo iinntteeggrraall,, ssee llooggrroo ccoonn eell eessttuuddiioo ddee JJ..BBeerrnnoouullllii,, qquuiieenn eessccrriibbiióó eell pprriimmeerr ccuurrssoo ssiisstteemmááttiiccoo ddee ccáállccuulloo iinntteeggrraall eenn 11774422.. SSiinn eemmbbaarrggoo,, ffuuee EEuulleerr qquuiieenn lllleevvóó llaa iinntteeggrraacciióónn hhaassttaa ssuuss úúllttiimmaass ccoonnsseeccuueenncciiaass,, ddee ttaall ffoorrmmaa qquuee llooss mmééttooddooss ddee iinntteeggrraacciióónn iinnddeeffiinniiddaa aallccaannzzaarroonn pprrááccttiiccaammeennttee ssuu nniivveell aaccttuuaall.. EEll ccáállccuulloo ddee iinntteeggrraalleess ddee ttiippooss eessppeecciiaalleess yyaa aa ccoommiieennzzooss ddee ssiigglloo,, ccoonnlllleevvóó eell ddeessccuubbrriimmiieennttoo ddee uunnaa sseerriiee ddee rreessuullttaaddooss ddee llaa tteeoorrííaa ddee llaass ffuunncciioonneess eessppeecciiaalleess.. CCoommoo llaass ffuunncciioonneess ggaammmmaa yy bbeettaa,, eell llooggaarriittmmoo iinntteeggrraall oo llaass ffuunncciioonneess eellííppttiiccaass..

IINNTTEEGGRRAALLEESS

Función primitiva o anti derivada

Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F’(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene inf initas primitivas , diferenciándose todas ellas en una constante .

[F(x) + C]’' = F’(x) + 0 = F’(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las inf initas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ( )f x dx∫ .

Se lee: integral de f(x) di ferencial de x .

∫ Es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real, así entonces;

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

( )f x dx∫ = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar .

Linealidad de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

Análisis Matemático - Integrales

Lic. José L. Estrada Pantía - UNAJMA

2

[ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

2. La integra l del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

( ) ( )kf x dx k f x dx=∫ ∫

Tabla de integrales

N° Función Simple Función Compuesta

1. nx dx∫ = 1

1

nxx

+

+ + C [ ( )] '( )nf x f x dx∫ =

1n)]x(f[ 1n

+

+ + C, n ≠ –1

2. dxx∫ = ln | x | + C '( ) ln | ( ) |

( )= +∫ f x dx f x C

f x

3. xa dx∫ = ln

xaa

+ C ( ) [ '( ) ]f xa f x dx∫ = aln

a )x(f + C

4. xe dx∫ = ex + C ( ) [ '( ) ]f xe f x dx∫ = )x(fe + C

5. cossen x dx x C= − +∫ [ ( ) ][ '( ) ] cos[ ( ) ]sen f x f x dx f x C= − +∫

6. cos x dx sen x C= +∫ cos[ ( ) ][ '( ) ] [ ( ) ]f x f x dx sen f x C= +∫

7. 2sec tanx dx x C= +∫ 2sec [ ( ) ][ '( ) ] tan[ ( ) ]f x f x dx f x C= +∫

8. 2csc x dx ctg x C= − +∫ 2csc [ ( ) ][ '( ) ] [ ( ) ]f x f x dx ctg f x C= − +∫

9. sec tan secx x dx x C= +∫ sec[ ( ) ] tan[ ( ) ][ '( ) ] sec[ ( ) ]f x f x f x dx f x C= +∫

10. csc cscx ctg x dx x C= − +∫ csc[ ( ) ] [ ( ) ][ '( ) ] csc[ ( ) ]f x ctg f x f x dx f x C= − +∫

11. tan ln cosx dx x C= − +∫ tan[ ( ) ][ '( ) ] ln cos[ ( ) ]f x f x dx f x C= − +∫

12. lnctg x dx sen x C= +∫ [ ( ) ][ '( ) ] ln [ ( ) ]ctg f x f x dx sen f x C= +∫

13. sec ln (sec tan )x dx x x C= + +∫ sec[ ( ) ][ '( ) ] ln (sec[ ( ) ] tan[ ( ) ])f x f x dx f x f x C= + +∫


Lic. José L. Estrada Pantía - UNAJMA 3

14. csc ln (csc )x dx x ctg x C= − +∫ csc[ ( ) ][ '( ) ] ln (csc[ ( ) ] [ ( )])f x f x dx f x ctg f x C= − +∫

15. coshsenh x dx x C= +∫ [ ( ) ][ '( ) ] cosh[ ( ) ]senh f x f x dx f x C= +∫

16. cosh x du senh x C= +∫ cosh[ ( ) ][ '( ) ] [ ( ) ]f x f x dx senh f x C= +∫

17. 2sec tanhh x dx x C= +∫ 2sec [ ( ) ][ '( ) ] tanh[ ( ) ]h f x f x dx f x C= +∫

18. 2csc h x du ctgh x C= − +∫ 2csc [ ( ) ][ '( ) ] [ ( ) ]h f x f x dx ctgh f x C− +∫

19. sec tanh sech x x dx h x C= − +∫ sec [ ( ) ] tanh[ ( ) ][ '( ) ] sec [ ( ) ]h f x f x f x dx h f x C= − +∫

20. csc csch x ctgh x dx h x C= − +∫ csc [ ( ) ] [ ( ) ][ '( ) ] csc [ ( ) ]h f x ctgh f x f x dx h f x C= − +∫

Ejercicios resueltos

Integrales utilizando fórmulas básicas de integración

1. Resolver: 3 2(4 3 2 1)x x x dx+ + +∫

Solución:

3 2 3 2

4 3 23 2

(4 3 2 1) 4 3 2

4 3 2(4 3 2 1)4 3 2

x x x dx x dx x dx xdx dx

x x xx x x dx x C

+ + + = + + +

+ + + = + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

Simplificando se tiene:

3 2 4 3 2(4 3 2 1)x x x dx x x x x C+ + + = + + + +∫

2. Resolver: 3 xdx∫

Solución:



4

1/31/33 3

4xxdx x dx C−

= = +∫ ∫

3. Resolver: 3 2(1 )x x dx−∫

Solución:

2/3 2/3 5/3 2/3 5/3

5/3 3/83 2

(1 ) ( )

3 3(1 )5 8

x x dx x x dx x dx x dx

x xx x dx C

− = − = −

− = − +

∫ ∫ ∫ ∫∫

4. Resolver: 1 22

x x dxx

− +

∫

Solución:

1/2 1/2

3/2 21/2

1 2 1 122 2

1 2 2 42 3 4

x x dx x dx xdx x dxx

x xx x dx x Cx

− − + = − +

− + = − + +

∫ ∫ ∫ ∫∫

5. Resolver: 3 4x dx+∫

Solución:

1/2

1/2 3/2 3/2

3/2

3 4 (3 4)

3 43

1 1 2 23 4 .3 3 3 9

23 4 (3 4)9

x dx x dx

u xdu dx

x dx u du u u C

x dx x C

+ = +

= +=

+ = = +

+ = + +

∫ ∫

∫ ∫∫

6. Resolver: 3 1 3xdx−∫

Solución:



1/33

1/3 4/33

4/33

1 3 (1 3 )

1 33

1 1 31 3 .3 3 411 3 (1 3 )4

xdx x dx

u xdu dx

xdx u du u c

xdx x C

− = −

= −= −

− = − = − +

− = − − +

∫ ∫

∫ ∫∫

7. Resolver: 3( 1)dx dx

x −∫

Solución:

8. Resolver: 3 2(1 )x dx−∫

Solución:

3 3 3 6

4 73 2

(1 2 ) 2

(1 )2 7

x x dx dx x dx x

x xx dx x C

− + = − +

− = − + +

∫ ∫ ∫ ∫∫

9. Resolver: 2

3 2(1 )x x dx−∫

Solución: 3

2

2 32 2

23 2 3 3

13

13 3 3

1(1 ) (1 )9

u xdu x dx

u uu x dx du C

x x dx x C

= −

= −

= − = − +

− = − − +

∫ ∫∫

10. Resolver: 2

2

11

x x dxx+ ++∫

Solución:

23

3 2

1

1( 1) 2 2( 1)

u xdu dx

dx udx u du c Cx x

−−

= −=

−= = − + = +

− −∫ ∫



6

2

2

2

22

2

12

( 1) 1( 1) 2 2

1 1 ln 11 2

u xdu xdx

x x u xdx du dudx dx x xx u u u u

x x dx x x Cx

= +=

+ += + = + = +

+

+ += + + +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

11. Resolver: 10(2 3)x dx−∫

Solución: 2 3

2u xdu dx= −=

1110 111 1 1 (2 3)

2 2 11 22uu du C x C= + = − +∫

12. Resolver: 4 31 x x dx+∫

Solución: 4

3

4 3 1/2 3/2 4 3/2

14

1 1 11 (1 )4 6 6

u xdu x dx

x x dx u du u c x C

= +

=

+ = = + = + +∫ ∫

13. Resolver: 3

3

11 1x dxx−∫

Solución: 3 3

8/3 1/31/33

11 1 11 1 (11 )x xdx dx x x dxxx

−− −= = −∫ ∫ ∫

8/3 1/3 11/3 2/3 11/3 2/333 3 3311 2 2

x dx x dx x x C x x C−− = − + = − +∫ ∫

14. Resolver: 2 23 (4 )x x dx−∫

Solución: 24

2sea u xdu xdx reemplazando

= −= −

5/332 2 2 2/3 2/33 ( 2) 1 1(4 ) 5( 2) 2 2

3

ux x dx u xdx u du u du C−− = = = − = − +

−∫ ∫ ∫ ∫



2 2 2 5/33 3(4 ) (4 )10

x x dx x C− = − − +∫

15. Resolver: 2 4(5 )x x dx−∫

Solución:

2 4 2 2 2 2 3 4 2

2 4 2 3 4 3 4 5 4 5 6

2 4 2 3 4 5 6

(5 ) (25 10 )(25 10 ) (25 10 )(25 10 )

(5 ) (625 250 25 250 100 10 25 10 )

(5 ) (625 500 150 20 )

x x dx x x x x x dx x x x x x dx

x x dx x x x x x x x x x dx

x x dx x x x x x dx

− = − + − + = − + − +

− = − + − + − + − +

− = − + − +

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫

2 4 2 3 4 5 6

3 4 5 62 4 7

2 4 3 4 5 6 7

(5 ) 625 500 150 20

625 500 150 20 1(5 )3 4 5 6 7

625 10 1(5 ) 125 303 3 7

x x dx x dx x dx x dx x dx x dx

x x x xx x dx x C

x x dx x x x x x C

− = − + − +

− = − + − + +

− = − + − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

16. Resolver: 3

3

(1 )x dxx x−∫

Solución: 3 3

3 4/31/3 4/3

3 2 3 4/3 4/3 4/3 2 4/3 3 4/3

4/3 1/3 2/3 5/3

3 1/3 2/3 5/3 8/3

3

3

3

(1 ) (1 ) (1 )

(1 3 3 ) ( 3 3 )

3 3

(1 ) 3 31/ 3 2 / 3 5 / 3 8 / 3

(1 )

x xdx dx x x dxxx x

x x x x dx x xx x x x x dx

x dx x dx x dx x dx

x x x x xdx Cx x

x dxx x

−

− − − − −

− −

−

− −= = −

= − + − = − + −

= − + −

−= − + − +−

−

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫

1/3 2 1/3 3 1/31/3 9 9 33

2 5 8xx x x x xx C

− − −−= − − + − +

Sacando factor común 3

1x

, se tiene:

3 2 3

3 3

(1 ) 1 9 9 332 5 8

x x x xdx Cx x x

−= − − + − +

∫



8

17. Resolver: 2 4/3( 4 4)x x dx− +∫

Solución: 423 8/3

42 8/3 11/3 11/33

( 2) ( 2)

2

3 3( 4 4) ( 2)11 11

x dx x dx

sea u xdu dx

x x dx u du u C x C

− = −

= −=

− + = = + = − +

∫ ∫

∫ ∫

18. Resolver: 3 2

36

x dxx +∫

Solución: 2

1/3 2 2/333 2

6

22

3 3 3 3 9 ( 6)2 2 2 46

u xdudu xdx dx

xx dudx u C x C

ux

= +

= ⇒ =

= = + = + + +∫ ∫

19. Resolver: 1/3 4

3 2

( 2)x dxx+∫

Solución: 1/3

2/3

2/3

1/3 4 4 44 5 1/3

2/3 2/33 2

21

33

( 2) 3 33 3 ( 2)3 5 5

u x

du dxx

dx x dux u udx dx dx u du u C x C

x xx

= +

=

=

+= = = = + = + +∫ ∫ ∫ ∫

20. Resolver: 21( 3)x x dx− +∫

Solución:

2 2 5/2 3/2 3/2

2 7/2 5/2 3/2

haciendo cambiode variable, 1, ,321( 3) ( 4) 8 )2

2 16 321( 3) ( 1) ( 1) ( 1)7 5 2

u x luego du dx

x x dx u u du u u u C

x x dx x x x C

= − =

− + = + = + + +

− + = − + − + − +

∫ ∫ ∫∫



21. Resolver: 2 2 3(4 )x x dx−∫

Solución: 9 7 5 3

2 2 3 8 6 4 2 12 48 64(4 ) 12 48 649 7 5 3x x x xx x dx x x x x C− = + − + = + − + +∫ ∫

22. Resolver: 2

( 1)2 4

x dxx x+

+ −∫

Solución: 2

2

1/2 2 1/2

2

2 4

2 2 ( 1)2

( 1) 1222 4

( 1) 12. ( 2 4)22 4

sea u x xdudu x dx x dx

x dx du duu ux x

x dx u C x x Cx x

= + −

= + = +

+= =

+ −+

= + = + − ++ −

∫ ∫ ∫∫

23. Resolver: 2(1 )x dx

x+∫

Solución:

2 22 3 3

11

22

(1 ) 2 2 22 (1 )3 32

u x

du dxx

dx xdu

x udx dx u du u C x Cx x

= +

=

=

+= = = + = + +∫ ∫ ∫

24. Resolver: 2

3 2

( 2 )3 1

x x dxx x+

+ +∫

Solución: 3 2

2 2

2 21/2 3 2 1/2

3 2 3 2

3 1(3 6 ) 3( 2 )

( 2 ) 1 3( 2 ) 1 2 2 ( 3 1)3 3 3 33 1 3 1

u x xdu x x dx x x dx

x x dx x x dx du u C x x Cux x x x

= + +

= + = +

+ += = = + = + + +

+ + + +∫ ∫ ∫

25. Resolver: 3 2

2

4 5 12 1

x x x dxx x− + −

− +∫

Solución:



10

3 2

2 2

4 5 1 1( 2)2 1 2 1

x x x xx x x x− + −

= − +− + − +

3

2 2

4 5 1 1( 2)2 1 2 1

x x x dx x dxx x x x− + − = − + − + − + ∫ ∫

3

2

4 5 1 1 1( 2) ( 2)2 22 1 2 1 ( 1)

x x x dx x dx x dx dxx x xx x

− + −= − + = − + − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫

32

2

4 5 1 2 ( 1)2 1

x x x dx xdx dx x dxx x

−− + −= − + −

− +∫ ∫ ∫ ∫3 2

12

4 5 1 2 ( 1)2 1 2

x x x xdx x x Cx x

−− + −= − − − +

− +∫3 2

2

4 5 1 122 1 2 ( 1)

x x x xdx x Cx x x− + −

= − − +− + −∫

26. Resolver: 6( 5)x dx

x −∫

Solución: Cambio de variable

5 5u x x u= − ⇒ = + dx= du, sustituyendo se tiene:

4 52 6

6 6 6 6

( 5) 5 5 5( 5) 4 5

x dx u u u udu du du u du u du Cx u u u

− −− −+

= = + = + = + +− − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4

56 4 5

1 1( 5) 4 4( 5) ( 5)

x dx u u C Cx x x

−−−

= − + = − − +− − −∫

27. Resolver: 9( 1)( 2)x x dx+ −∫

Solución: Sea 2 2,u x x u du dx= − ⇒ = + = , luego se tiene:

9 9 9( 1)( 2) ( 2 1)( 2 2) ( 3)x x dx u u dx u u dx+ − = + + + − = +∫ ∫ ∫

( )11 10

9 10 9 10 9( 1)( 2) 3 3 311 10u ux x dx u u du u du u du C+ − = + = + = + +∫ ∫ ∫ ∫

911 10( 2) ( 2)( 1)( 2) 3

11 10x xx x dx C− −+ − = + +∫



28. Resolver: 3/4

2

1 11x dxx x

+ − ∫

Solución:

Sea 1u xx

= + , 1 21u x x du x dx− −= + ⇒ = − , luego 2

11du dxx

= −

Entonces se tendrá: 3/4 7/47/4

3/4 7/42

1 1 4 4 117 / 4 7 7ux dx u du C u C x C

x x x + − = = + = + = + + ∫ ∫

29. Resolver: ( )2/3

33

x dxx+

−∫

Solución: Sea u=3–x, 3x u⇒ = − , du=–dx, luego se tiene:

( )2/3 1/3

2/3 2/3 2/3

3 3 3 6 63

x u udx du du u du u duu ux

− + − + −= − = − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

1/3 4/3 1/3 4/3

2/33 (3 ) (3 )6 6

1/ 3 4 / 3 1/ 3 4 / 33x u u x xdx C C

x + − −

= − − + = − − + − ∫

30. Resolver: 311 .2

dxxx−+∫

Solución:

Sea 22

1 1 11 , 22 2( 1) 2u x du dx dx duxx u x= + ⇒ = =− ⇒ = −

−

Reemplazando se tiene: 3 2 1

1/2 1/231 1 1 11 . ( 2) ( 2)2 2( 1) 2( 1) 2( 1)

dx u du u duxx u u u

− −

− + = − = − − − − ∫ ∫ ∫

5/2 3/21/2 3/2 1/2311 . ( 4) [ ( 1)] ( 4) ( ) ( 4)

2 5 / 2 3 / 2u udx u u du u u du Cxx

− + = − − = − − = − − +

∫ ∫ ∫3/2 5/2

3

1 18 1 8 11 2 21 .

2 3 5x xdx Cxx

−

+ + + = − +

∫

31. Resolver: ( )2/3

21

x dxx−∫

Solución: Sea u=1–x, entonces x=1–u, dx=–du, luego se tiene:



12

( )2/3

2/3 2/3

2 2(1 ) (2 2 )1

x udx du u u duux

−−= − = − −

−∫ ∫ ∫

( )2/3 1/3 1/3 4/3

2/32 32 2 6

21x dx u du u du u u Cx

−= − + = − + +−∫ ∫ ∫

( )1/3 4/3

2/32 36(1 ) (1 )

21x dx x x Cx

= − − + − +−∫

32. Resolver: 2 3 2x x dx+∫

Solución: Sea u=x+2 entonces x=u–2, dx=du, luego se tiene:

2 2 1/3 2 1/33 2 ( 2) ( 4 4)x x dx u u du u u u du+ = − = − +∫ ∫ ∫

( )2 7/3 4/3 1/3 10/3 7/3 4/33 3 122 4 4 310 7

x x dx u u u du u u u C+ = − + = − + +∫ ∫

2 10/3 7/3 4/33 3 122 ( 2) ( 2) 3( 2)10 7

x x dx x x x C+ = + − + + + +∫

33. Resolver: 3

xdxx +∫

Solución: Sea u=x+3 entonces x=u–3, luego dx=du, luego se tiene:

1/2 1/2 1/2 1/2( 3) ( 3)( ) 33

xdx x x du u u du u du u dux

− − −= + = − = −+∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )3/23/2 1/2

1/22 33 6 3

3 / 2 1/ 2 33xxdx u u C x C

x+

= − + = − + ++∫

34. Resolver: 2/3

2(1 )

xdxx−∫

Solución: Sea u=1–x, entonces x=1–u, dx=–du, luego se tiene:

( )

( ) ( )

2/3 2/3

2/3 2/32/3

2 12(1 ) ( )

2 2 2(1 )

u duxdxx u

xdx du udux u u

−= −

−

= − −

−

∫ ∫∫ ∫ ∫



( ) ( )

4/31/3

2/3

4/31/3

2/3

2 36(1 ) 2

3 12 6 1(1 ) 2

xdx uu Cx

xxdx x Cx

= − − + −

−= − − +

−

∫∫

35. Resolver: ( )23 1x x dx+ +∫

Solución: Sea u=3+x, entonces x=u–3, dx=du, luego se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 1/2 2

2 5/2 3/2 1/2

2 5/2 3/2 1/2

7/2 5/2 3/22

2 7/2 5/2 3/2

3 1 3 1

3 1 4 4

3 1 4 4

3 1 4 4

3 1 4 47 / 2 5 / 2 3 / 22 8 83 1 3 3 37 5 3

x x dx u u du

x x dx u u u du

x x dx u u u du

x x dx u du u du u du

u u ux x dx C

x x dx x x x C

+ + = − +

+ + = − +

+ + = − +

+ + = − +

+ + = − + +

+ + = + − + + + +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫

36. Resolver: 3

1 2dx

x+∫

Solución: Sea u=1+2x, entonces x=(u–1)/2, 2dx=du, luego se tiene:

3 3 3 3ln ln 1 21 2 2 2 2

dx du u C x Cx u

= = + = + + + ∫ ∫

37. Resolver: 2

31dxxx−∫

Solución: Sea u=1–x3, entonces du=–3x2dx, luego se tiene:

223

3 3

1 3 1 1 1ln ln 11 3 1 3 3 3

dx x dx dux u C x Cx x u

−= − = − = − + = − − +

− −∫ ∫ ∫

38. Resolver: ( )2

12 3

x dxx x

++ +∫

Solución:



14

Sea u=x2+2x+3, entonces du=(2x+2)dx, luego se tiene:

( ) ( ) 22 2

1 2 11 1 1 1ln ln 2 32 3 2 2 3 2 2 2

x dx x dudx u C x x Cx x x x u

+ += = = + = + + +

+ + + +∫ ∫ ∫

39. Resolver: 11

x dxx−+∫

Solución: Sea u=x+1, entonces x=u–1, du=dx, luego se tiene:

( ) ( )1 1 21 21

u u dux udu dudx dux u u u u

− − −−= = = −

+∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 2ln 2ln 11

x dx u u C x x Cx−

= − + = − + ++∫

Integrales de funciones logarítmicas y exponenciales

40. Resolver: ( )ln ln 1

lnx

dxx x

+∫

Solución:

Se puede ver que la derivada del numerador es 1lnx x

, luego la

integral es directa, es decir,

( ) [ ]22 2ln(ln ) 1ln ln 1 1 (ln (ln ) 2 ln(ln ) 1 )

ln 2 2xx

dx C x x Cx x

++= + = + + +∫

( ) 2ln ln 1 1 ln (ln ) ln(ln )ln 2

xdx x x C

x x+

= + +∫

41. Resolver: 2

2 1

x

x

e dxe +∫

Solución:

Sea 2 1xu e= + , entonces 22 xdu e dx= , luego se tiene: 2 2

22 2

1 2 1 1 1ln | | ln | 1|1 2 1 2 2 2

x xx

x x

e e dudx dx u C e Ce e u

= = = + = + ++ +∫ ∫ ∫

42. Resolver: 11

x

xe dxe−+∫

Solución:



1 2 2 211 1 1 (1 )

xx

x x xx

dx e dxe dx dx dx xe e ee

−

−

− = − = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 21 1

xx

xx

e dxe dx xee

−

−

− −= +

+ +∫ ∫

Sea 1 x xu e du e dx− −= + ⇒ = − , luego se tiene:

1 2 2 2ln | |1 1

xx

xx

e dx due dx x x x u Ce ue

−

−

− −= + = + = + +

+ +∫ ∫ ∫

1 1 12ln 1 2ln 1 2ln1

xxx

x xx

ee dx x e C x C x Ce ee

−− += + + + = + + + = + +

+∫

( )1 2 ln 1 2ln 1 21

xx x x x

xe dx x e lne C x e lne Ce−

= + + − + = + + − ++∫

2 21 ln 1 2 ln 11

xx x

xe dx x e xlne C e x Ce−

= + + − + = + − ++∫

43. Resolver: ( )1dx

x x−∫

Solución:

Sea ( )1u x= − , entonces 1

2du

x= − , haciendo un arreglo en la

integral se tiene:

( ) ( )12

21 1dx dx

xx x x− = −

− − ∫ ∫ , luego haciendo el cambio de

variable se tiene:

( ) ( ) ( )21 12 2 2ln | | ' ln 1 '21 1

dx dx du u C x Cuxx x x

− = − = − = − + = − − + − − ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( )

2 2

2ln 1 ln ln ln 1 ln1 1

dx Cx C C xx x x

= − − + = − − =− −∫

44. Resolver: lndx

x x∫

Solución: Sea u=lnx, entonces du=dx/x, luego haciendo el cambio de variable se tiene:

1 1 ln | | ln | ln |ln lndx dx du u C x C

x x x x u = = = + = + ∫ ∫ ∫



16

45. Resolver: 2 ln xdx

x+∫

Solución: Sea u=2+lnx, entonces du=dx/x, luego se tiene:

( )2 22 ln (2 ln )2 ln

2 2x dx u xdx x udu C C

x x+ + = + = = + = +

∫ ∫ ∫

46. Resolver: 2ln 3xdxx∫

Solución: Sea u=ln3x, entonces du=dx/x, al reemplazar se obtiene:

2 3 32ln 3 (ln 3 )

3 3x u xdx u du C C

x= = + = +∫ ∫

47. Hallar: ( )ln lnln

xdx

x x∫

Solución:

Sea u=ln(lnx), entonces lndxdu

x x= , al reemplazar se obtiene:

( ) 2 2ln ln [ln(ln )]ln 2 2

x u xdx udu C Cx x

= = + = +∫ ∫

48. Hallar: 13x

dx∫

Solución:

Sea 3 , 3 ln 3 ln 3

ln 3

x xu du dx u dxdutambien dx

u

= ⇒ = =

=

Al reemplazar se tiene: 1/2 3/2 1/2 1/21 2 2(3 )

ln 3 ln 3 ln 3 ln 33

x

x

u u udx du du Cu

− − − −

= = = − = − +∫ ∫ ∫

49. Hallar: 2 x

dxx∫

Solución:

Sea 1

2u x du dx

x= ⇒ = , luego se tiene:

1 12 2 2 22 2 2ln 2 ln 2 ln 2

x u xu udx du C C C

x

+ +

= = + = + = +∫ ∫



50. Hallar: 5xe dx∫

Solución: Sea u=5x, entonces du=5dx, entonces;

5 51 1 15 5 5

x u u xe dx e du e C e C= = + = +∫ ∫

51. Hallar: 2xxe dx−∫

Solución:

Sea 2 , 2u x du xdx= − ⇒ = − , entonces;

2 2 21 1 1 1( 2 )2 2 2 2

x x u u xxe dx e xdx e du e C e C− − −−= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫

52. Hallar: 4 3xe x dx∫

Solución:

Sea 4 3, 4u x du x dx= ⇒ = , entonces;

4 4 43 31 1 1 144 4 4 4

x x u u xe x dx e x dx e du e C e C= = = + = +∫ ∫ ∫

53. Hallar: 2 4xe xdx− +∫

Solución:

Sea 2 4 2u x du xdx= − + ⇒ = − , haciendo un arreglo en el integrando y reemplazando lo asumido se tiene:

2 2 24 4 41 1 1 1( 2 )2 2 2 2

x x u u xe xdx e xdx e du e C e C− + − + − += − − = − = − + = − +∫ ∫ ∫

54. Hallar: 1/

2

xe dxx∫

Solución:

Sea 21u du x dxx

−= ⇒ = − , al reemplazar obtenemos:

1/2 1/

2 2 ( )x u

u u xe edx x du e du C e C e Cx x

= − = − + = − + = − +∫ ∫ ∫

55. Hallar: 21/ 3xe x dx−∫



18

Solución:

Sea 32

1 2u du x dxx

−= ⇒ = − , al reemplazar tenemos:

2 21/ 3 1/1 12 2

x u u xe x dx e du e C e C− = − = − + = − +∫ ∫

56. Hallar: 2(cos ) senxx e dx∫

Solución: Sea 2 2cosu senx du xdx= ⇒ = , luego tenemos:

2 2 21 1 1 1(cos ) 2(cos )2 2 2 2

senx senx u u senxx e dx x e dx e du C e C e C= = + = + = +∫ ∫ ∫

57. Hallar: 22 4( )( 1)x xe x dx− −∫

Solución:

Sea 22 4 (4 4) 4( 1)u x x du x dx x dx= − ⇒ = − = − , al reemplazar se tiene:

2 2 22 4 2 4 2 41 1 1 1( )( 1) ( )4( 1)4 4 4 4

x x x x u u x xe x dx e x dx e du e C e C− − −− = − = = + = +∫ ∫ ∫

58. Hallar: ( )x ee x dx−∫

Solución: Realizando la distribución se obtiene integrales directas, es decir;

1

( )1

ex e x e x xe x dx e dx x dx e C

e

+

− = − = − ++∫ ∫ ∫

59. Hallar: 2( 1)xe dx+∫

Solución: 2 2

2 2

2

2 2

( 1) 2 1,

( 1) 2

2 21( 1) 221( 1) 22

x x x

x x x

x u x

x x x

como e e e entonces

e dx e dx e dx dx

u x du dx

e dx e du e dx dx

e dx e e x C

+ = + +

+ = + +

= ⇒ =

+ = + +

+ = + + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫



60. Hallar: 2 2( )x xe e dx−+∫

Solución: Desarrollando previamente el integrando, y luego realizando la distribución del integral se tiene:

2 2 2 2 4 2 4

2 2 2 4 2 4

2 2 2 4

( ) 2( . ) 2

( ) 2 2

1 1( ) 22 4

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

e e e e e e e e e

e e dx e dx e dx e e dx e dx e

e e dx e e e C

− − − − −

− − − − −

− − −

+ = + + = + +

+ = + + = + +

+ = − − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

61. Hallar: 2( 1)x xe e dx+∫

Solución:

Sea 1x xu e du e dx= + ⇒ = , realizando el cambio de variable se tiene: 3 3

2 2 ( 1)( 1)3 3

xx x u ee e dx u du C C++ = = + = +∫ ∫

62. Hallar: 3

3(1 2 )

x

x

e dxe−∫

Solución: 3 3

3 1

3 2 2

3

3 3

1 2 6 , :1 1

(1 2 ) 6 6 ( 1)1

(1 2 ) 6(1 2 )

x x

x

x

x

x x

sea u e du e dx luego se tienee du udx C

e ue dx C

e e

−

= − ⇒ = −

= − = − +− −

= +− −

∫ ∫∫

63. Hallar: 21 x

x

e dxe+∫

Solución: 2 2

2

2

2

1 1

1

1

1

x x

x x x

xx x

x

xx x

x

xx x

x

e edx dx dxe e ee dx e dx e dx

ee dx e e C

ee e e C

e

−

−

+= +

+= +

+= − + +

+= − +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫



20

64. Hallar: 3 1

1

x

x

e dxe

++∫

Solución: Utilizando cocientes notables en el integrando

( ) ( )3

2

2 2

32

11, :

111 22

1 11 2

xx x

x

x x x x

xx x

x

ee e luego

e

e e e dx e dx dx

e dx e e x Ce

+= − +

+

− + = − +

+= − + +

+

∫ ∫ ∫ ∫∫

65. Hallar: 2

3

x

x

e dxe +∫

Solución: Previamente dividiendo en integrando se tiene:

2

2

2

33 3

33 3

3, :

3 3ln | | 3ln 33

x xx

x x

x xx

x x

x

x

xx x x x

x

e eee e

e edx e dx dxe e

sea u edu e dx luego se tiene

e dudx e e u C e e Ce u

= −+ +

= −+ +

= +

⇒ =

= − = − + = − + ++

∫ ∫ ∫

∫ ∫

66. Hallar: 1

3x dxe +∫

Solución:

Previamente multiplicando por xe− al numerador y denominador,

13 ( 3) 1 3

1 331 1 1 1ln | | ln 1 3

3 3 3 3

x x

x x x x

x

x

xx

e edx dx dxe e e e

Sea u edu e dx

dudx u C e Ce u

− −

− −

−

−

−

= =+ + +

= +

= −

⇒ = − = + = − + ++

∫ ∫ ∫

∫ ∫

67. Hallar: 2 x

dxx∫

Solución:



1/2

1/2

1/2

1

2 2

12

2 2 22 2 2ln 2 ln 2

x x

x u xu

dx dxxx

u x du dxx

dx du C Cx

+

=

= ⇒ =

= = + = +

∫ ∫

∫ ∫

68. Hallar: 4 2 35 (2 1)x x x dx+ +∫

Solución:

Sea 4 2u x x= + , entonces 3 3(4 2) 2(2 1)du x dx x dx= + = + Luego tenemos:

4

44

2 3 33

22 3

5 (2 1) 5 (2 1)2(2 1)

5 1 5 55 (2 1)2 2 ln 5 2ln 5

x x u

u u x xx x

dux dx xx

x dx du C C

+

++

+ = ++

+ = = + = +

∫ ∫∫ ∫

69. Hallar: 2(2 3 )x x dx+∫

Solución:

2 2 2

2

(2 3 ) (2 2.2 .3 3 ) 4 2 6 9

4 2.6 9(2 3 )ln 4 ln 6 ln 9

x x X x x x x x x

x x xx x

dx dx dx dx dx

dx C

+ = + + = + +

+ = + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

70. Hallar: .x xa e dx∫

Solución:

. ( )( )ln( )

xx x x aea e dx ae dx C

ae= = +∫ ∫

71. Determinar: 2 3x xx e ee dx∫

Solución:

2 3 6x x xx e e x ee dx e dx=∫ ∫



22

, :x xsea u e du e dx luego se tiene= ⇒ =

6 62 3 6ln 6 ln 6

xx x

u ex e e ue dx du C C= = + = +∫ ∫

72. Determinar: xe xe e xe e dx+∫

Solución: x x

x xe x e

e e x

e e x u u e

u e du e e dx

e e dx e du e C e C+

= ⇒ =

= = + = +∫ ∫

73. Determinar: 1 12 510

x x

x dx+ −−∫

Solución: 1 1

1

1 1

1 1

2 5 2 5 1 1 1.2 .5 210 10 10 5 2 5

2 5 1 1 1 2 1 1 1210 5 5 2 ln 5 5 5ln 2 2

x xx x x x

x x x

x x x xx x

x

dx dx dx dx dx

dx dx dx C

+ −−

+ −

− −

− = − = −

− = − = + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

74. Determinar: 9 4

2 3

x x

x x dx−∫

Solución:

9 4 9 42 3 6

9 4 (3.3) (2.2)2 3 2 3

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

dx dx

dx dx

− −=

− −= =

∫ ∫∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

1

9 4 3 22 3 2 3

3 / 2 2 / 39 42 3 ln(3 / 2) ln(2 / 3)

9 4 1 3 / 2 2 / 32 3 ln(3 / 2)

x xx x

x x

x xx x

x x

x xx x

x x

dx dx

dx C

dx C

−

− = − =

−= + +

− = + +

∫ ∫∫∫

75. Determinar: 2

3.2 4

x

x

dx+∫

Solución:

Sea 3.2 4 3.2 ln 2x xu du dx= + ⇒ = , al reemplazar se tendrá:



1/2

1/21/2 1/2

2 1 3.ln 2.2 1 13ln 2 3ln 2 3ln 23.2 4 3.2 4

2 1 2 (3.2 4)3ln 2 1/ 2 3ln 23.2 4

x x

x x

xx

x

dx dx duu

dx uu du C C−

= = =+ +

= = + = + +

+

∫ ∫ ∫∫ ∫

76. Determinar: senhx dx∫

Solución: Reemplazando el equivalente de la función hiperbólica se tiene:

2

21 1

2 2 2 2

cosh2

x x

x x

x xx x

x x

e esenhx

e esenhx dx dx

e esenhx dx dx dx e dx e dx

e esenhx dx C x C

−

−

−−

−

−=

−=

= − = + −

+= + = +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

77. Determinar: 1

1 x dxe−+∫

Solución: Previamente desarrollando el integrando se tiene:

1

11 1

1

( ) ln | | ln( 1)1

x

x x

x x

xx

x

edx dxe e

u e du e dxe dx u du u C e C

e

−

−

=+ +

= + ⇒ =

= = + = + ++

∫ ∫

∫ ∫

78. Determinar: cosh x dx∫

Solución: Haciendo la conversión de la función hiperbólica a su equivalente en función de funciones exponenciales

( )cosh2

( ) 1cosh2 2

1cosh ( )2 2 2

x x

x xx x

x xx x

e ex

e exdx dx e dx e dx

e exdx C e e C senh x C

−

−−

−−

+=

+= = +

= − + = − + = +

∫ ∫ ∫ ∫∫



24

79. Determinar: tanh x dx∫

Solución: Considerando también el equivalente en funciones exponenciales

2 2

2 2 2

2 2

2

tanh

Re :

2 2 2tanh 1( 1) 1

1 2

tanh ln ln(1 )

x x

x x

x x x

x x x x x

x x

x

e exe e

mplazando y dividiendo se tiene

e e exdx dx dx dx dx dxe e e e e

sea u e du e dxduxdx dx x u x e Cu

−

−

− − −

− − −

− −

−

−= +

−= − = − = + + + +

= + ⇒ = −

= + = + = + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Respuesta alternativa

tanh ln ln( ) ln ln( )x x

x x x x xx

e exdx x C x e e e C e e Ce

−− − +

= + + = + + − + = + + ∫

80. Determinar: 2

92 1

x

x x

e dxe e+ +∫

Solución:

2 2

22 2

11

9 92 1 ( 1)

( 1)9 9 9

9 9( 1)1

x x

x x x

x x

x

x

x

e edx dxe e e

u e du e dxe du du u du

u e uu C e C

−

−−

=+ + +

= + ⇒ =

= = =

= + = − + +−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

81. Determinar: 4

5 x dxe+∫

Solución:

Multiplicando numerador y denominador por xe− se tiene:

4 45 5 1

5 1 54 4 4ln( ) ln(5 1)5 5 5

x

x x

x x

x

edx dxe e

u e du e dxdu u e Cu

−

−

− −

−

=+ +

= + ⇒ = −

= = − = − + +−

∫ ∫

∫



82. Determinar: cos3 s 3xe en x dx∫

Solución:

cos3

cos3 cos3

cos3 3s 31 1s 33 31s 33

x u u

x x

u x du en xdx

e en x dx e du e C

e en x dx e C

= ⇒ = −

= − = − +

= − +

∫ ∫∫ ∫

Integrales de funciones trigonométricas

83. Determinar: 2 33x senx dx∫

Solución: Haciendo el cambio de variable se tiene:

3 23u x du x dx= ⇒ =

2 3 3 2 33 3 ( ) cos cosx senx dx senx x dx senu du u C x C= = = − + = − +∫ ∫ ∫

84. Determinar: ( ) ( )sec 3 1 tan 3 1x x dx+ +∫

Solución: Haciendo cambio de variable se tiene:

3 1 3 ,13

u x du dx luego

dx du

= + ⇒ =

=

( ) ( ) 1 1 1sec 3 1 tan 3 1 sec tan sec sec(3 1)3 3 3

x x dx u u du u C x C+ + = = + = + +∫ ∫

85. Determinar: 2xsen dx

∫

Solución: Haciendo cambio de variable se tiene:

1 ,2 22

xu du dx luego

dx du

= ⇒ =

=

2 2cos 2cos2 2x xsen dx senu du u C C = = − + = − +

∫ ∫



26

86. Determinar: 2cos x sen x dx∫

Solución: cossea u x du senx dx= ⇒ =−

3 32 2 coscos

3 3u xx sen x dx u du C C−

=− =− + = +∫ ∫

87. Determinar: 2cotx x dx∫

Solución: 2

22

coscot x xx x dx dxsenx

=∫ ∫

Haciendo un cambio de variable se tiene: 2 2( ) cos( )2u sen x du x x dx= ⇒ = , luego se tiene:

22 2

2

1 2 cos 1 1 1cot ln | | ln2 2 2 2

x x dux x dx dx u C senx Csenx u

= = = + = +∫ ∫ ∫

88. Determinar: 2 2 3secx x dx∫

Solución: Realizando cambio de variable se tiene:

3 23u x du x dx= ⇒ = luego al reemplazar se obtiene:

2 2 3 2 31 1 1sec (sec ) tan tan3 3 3

x x dx u du u C x C= = + = +∫ ∫

89. Determinar: sec xdx

x∫

Solución: Cambio de variable en el integrando

12

u x du dxx

= ⇒ =

( ) ( )sec 2 sec 2ln sec tan 2ln sec tanxdx udu u u C x x Cx

= = + + = + +∫ ∫

90. Determinar: 2csc x dxx∫

Solución: Aplicando un cambio de variable se tendrá:



12

u x du dxx

= ⇒ = , luego:

22csc 2 cscx dx u du

x= ⋅∫ ∫

2csc 2 2x dx ctg u C ctg x Cx

= − + = − +∫

91. Determinar: 2sec

tanx dxx∫

Solución:

( )2

1/2 2sec tan sectan

duu

x dx x x dxx

−=∫ ∫

Haciendo el cambio de variable se tiene: 2tan secu x du x dx= ⇒ = , luego se tiene:

21/2 1/2sec 2 2 tan

tanx dx u du u C x Cx

−= = + = +∫ ∫

92. Determinar: cosx xe e dx∫

Solución: Aplicando cambio de variable en el integrando se tiene:

x xu e du e dx= ⇒ =

cos cos ( )x x x xe e dx e e dx=∫ ∫

cos cosx x xe e dx udu senu C sene C= = + = +∫ ∫

93. Encontrar: cos

cossenx xdx

x+∫

Solución:

cos coscos cos cos

senx x sex xdx dx dxx x x

+= +∫ ∫ ∫

cos tancos

senx xdx x dx dxx

+= +∫ ∫ ∫

cos ln coscos

senx xdx x x Cx

+= − + +∫

cos 1lncos cos

senx xdx x Cx x

+= + +∫



28

cos ln seccos

senx xdx x x Cx

+= + +∫

94. Encontrar: 1 cossenx dx

x+∫

Solución: Haciendo un cambio de variable en el integrando se tiene:

1 cosu x du senxdx= + ⇒ = −

ln ln 1 cos1 cossenx dx du u C x C

x u= − = − + = − + +

+∫ ∫

95. Encontrar: 1 cos

dxx+∫

Solución: Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador 1 cos x− , se tiene:

( ) ( )2 2

1 cos 1 cos1 cos 1 cos

x dx x dxdxx x sen x

− −= =

+ −∫ ∫ ∫

2 22 2

1 cos csc cos1 cos

dx xdx dx x dx sen x x dxx sen x sen x

−= − = − −+∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 csc1 cos

dx ctgx sen x C ctgx C x ctgx Cx senx

−= − + + = − + + = − ++∫

96. Encontrar: 1

dxsenx+∫

Solución: Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador 1 senx− , se tiene:

2 22

1 sec (cos )1 cos

dx senx dx x senx x dxsenx x

−−= = + −

+∫ ∫ ∫ ∫

Haciendo un cambio de variable para la segunda integral cosu x du senx dx= ⇒ = −

12tan tan

1 1dx ux u du x Csenx

−−= + = + +

+ −∫ ∫

1 1tan tan tan sec1 cos

dx x C x C x x Csenx u x

= − + = − + = − ++∫

97. Encontrar: 1 cos x dxx senx++∫



Solución: (1 cos ) , :

1 cos ln | |

1 cos ln | |

u x senx du x dx reemplazando se tienex dudx u C

x senx ux dx x senx C

x senx

= + ⇒ = +

+= = +

+

+= + +

+

∫ ∫∫

98. Encontrar: 3 3coshx xe e dx∫

Solución: La integral se hace directa puesto que haciendo un arreglo, podemos ver que la derivada del argumento de la función

hiperbólica esta a su costado, es decir;

3 31 cosh 33

x x

u due e dx∫

Esto en base a la forma compuesta que se tiene en la tabla de integrales.

cos[ ( ) ][ '( ) ] [ ( ) ]f x f x dx sen f x C= +∫

Luego se tiene:

3 3 31cosh3

x x xe e dx senh C= +∫

99. Encontrar: ( )cos cossenx x senx x dx+∫

Solución:

( ) ( )

( )

2 2

2 2

cos cos cos cos

cos cos cos cos

senx x senx x dx sen x x senx x dx

senx x senx x dx senx dx senx xdx

+ = +

+ = +

∫ ∫∫ ∫ ∫

También podemos ver que la derivada de las funciones cuadráticas están al costado, entonces se tiene:

( )

( ) ( )

3 3

3 3

coscos cos3 3

1cos cos cos3

sen x xsenx x senx x dx C

senx x senx x dx sen x x C

+ = − +

+ = − +

∫∫



30

100. Encontrar: ( )cos ln x

dxx∫

Solución: Haciendo el cambio de variable se tiene:

( ) ( )

( )

( ) ( )

1ln

cos lncos

cos ln

cos lnln

u x du dxx

xdx u du

xx

dx senu Cx

xdx sen x C

x

= ⇒ =

=

= +

= +

∫ ∫∫∫

101. Encontrar: cosh

dxIsenhx x

= ∫

Solución: Previamente hacemos un arreglo en el integrando

2

2

2

2

(cos )coshcosh

coshsec

cosh tantan (sec )

cosh

ln | |cosh

ln | tan |cosh

dx hx dxsenhx xsenhx xx

dx h x dxsenhx x hx

si hx u h x dx dudx du

senhx x udx u C

senhx xdx hx C

senhx x

−

=

=

= ⇒ =

=

= +

= +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫∫

102. Encontrar: ( )2tan 2 1x dx−∫

Solución:

( )2tan 2 2 tan 2 1I x x dx= − +∫

Considerando la identidad trigonométrica

2 21 tan secx x+ =



se tiene:

( )

( ) ( ) ( )

2

2

sec 2 2 tan 2

2 21 sec 2 22 cos(2 )1 tan 2 ln cos 22

I x x dx

sen x dxI x dx

x

I x x C

= −

−= +

= + +

∫∫ ∫

103. Encontrar: cos 4 cos3x xdx∫

Solución:

1cos 4 cos3 2cos 4 cos32

x xdx x xdx=∫ ∫

Utilizando transformación de producto a suma se tiene: cos( ) cos( ) 2cos cosa b a b a b+ + − =

( ) ( )( )1cos 4 cos3 cos 7 cos2

x xdx x x dx= +∫ ∫

[ ]1cos 4 cos3 cos 7 cos21 1 1cos 4 cos3 . 7 cos 7 cos2 7 21 1cos 4 cos3 7

14 2

x xdx x x dx

x xdx xdx xdx

x xdx sen x senx C

= +

= +

= + +

∫ ∫∫ ∫ ∫∫

104. Encontrar: 3

cos 22x dx

sen x∫

Solución:

( )

3 3

23

2 2

2 2cos 2 , :

1 2cos 2 12 2 2

1 12 2 2

1 1 1 1. .4 4 2

sea u sen x du x dx luego tenemos

x duI dxsen x u

uI u du C

I C Cu sen x

−−

= ⇒ =

= =

= = + −

= − + = − +

∫ ∫∫



32

105. Encontrar: ( )4tan 21 tanxe x dx+∫

Solución:

( )

( )

( )

2 2

4tan 2

4tan 2

4tan 2 4tan

4 tan (4sec ) 4(1 tan )11 tan411 tan411 tan4

x u

x u

x x

sea u x du x dx x dx

e x dx e du

e x dx e

e x dx e C

= ⇒ = = +

+ =

+ =

+ = +

∫ ∫∫∫

106. Encontrar: ( )4 cossen senx xdx∫

Solución:

( )4 (4cos )sea u senx du x dx= ⇒ =

Al reemplazar se tiene:

( ) 14 cos4

sen senx xdx senudu=∫ ∫

( ) ( )1 14 cos cos cos 44 4

sen senx xdx u C senx C= − + = − +∫

107. Encontrar: ( )cos 3 cossenx xdx∫

Solución:

( )

( ) ( )

3 3(cos )1cos 3 cos cos31 1cos 3 cos 33 3

u senx du x dx

senx xdx udu

senx xdx senu C sen senx C

= ⇒ =

=

= + = +

∫ ∫

∫

108. Encontrar: ( )5cossen x senxdx∫

Solución:

( ) ( )15cos 5cos ( 5 )5

sen x senxdx sen x senx dx= − −∫ ∫

Se puede integrar directamente puesto que se tiene la derivada del argumento de la función seno al costado, o utilizando la integral de función compuesta:



[ ( ) ][ '( ) ] cos[ ( ) ]sen f x f x dx f x C= − +∫

En consecuencia se tiene:

( ) ( )15cos cos 5cos5

sen x senxdx x C= +∫

109. Encontrar: ( )2 2cos cosx x senx dx∫

Solución: Aplicando el mismo proceso que el problema anterior pero con la fórmula;


Luego se tiene:

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

1cos cos cos(cos )( 2 )21cos cos cos2

x x senx dx x xsenx dx

x x senx dx senx x C

= − −

= − +

∫ ∫∫

110. Encontrar: 2

5 2 tancos

x dxx

+∫

Solución:

( )

( )

( )

2

2 2

1/22

3/2

2

3/22

3/22

5 2 tan 2 sec , :

5 2 tan 5 2 tancos cos

5 2 tan 1cos 2

5 2 tan 1 . 3cos 22

5 2 tan 1 2.cos 2 3

5 2 tan 1 5 2 tancos 3

sea u x du x dx luego se tiene

x dxdx xx x

x dx u dux

x udx Cx

x dx u Cx

x dx x Cx

= + ⇒ =

+= +

+=

+= +

+= +

+= + +

∫ ∫∫ ∫∫

∫∫



34

111. Encontrar: 3cosdx

senx x∫

Solución: Previamente realizamos una arreglo en el integrando

2 2

3 3

coscos cos

dx sen x xdxsenx x senx x

+=∫ ∫

2 2

3 3 3

coscos cos cos

dx sen x xdx dxsenx x senx x senx x

= +∫ ∫ ∫

Aplicando las fórmulas compuestas para la función coseno y logaritmo se tiene:


'( ) ln | ( ) |( )

= +∫ f x dx f x Cf x

2

33

2

3

3 2

sec(cos )cos tan

cos ln | tan |cos 2

1 ln | tan |cos 2cos

dx xsenx x dx dxsenx x x

dx x x Csenx x

dx x Csenx x x

−

−

= − − +

= − + +−

= + +

∫ ∫ ∫∫∫

112. Encontrar: 2 cosdx

sen x x∫

Solución: Aplicando el proceso similar al problema anterior

2 2

2 2

coscos cos

dx sen x xsen x x sen x x

+=∫ ∫

( )

2 2

2 2 2

2 2

22

12

coscos cos cos

1 coscos cos

sec coscos

ln sec tancos

dx sen x xsen x x sen x x sen x x

dx xdx dxsen x x x sen x

dx xdx x sen x dxsen x x

dx x x sen x Csen x x

−

−

= +

= +

= +

= + + − +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫



113. Encontrar: ( )( )2 ln tan

dxsen x x∫

Solución: 2secln(tan )

tan2

cos 2

xsea u x du dxx

dx dxdusenx x sen x

= ⇒ =

= =

Al reemplazar obtenemos:

( )

( )

( )

( )

1 22 [ln(tan )] 2 ln(tan ) 2

12 [ln(tan )] 2

1 ln | |2 [ln(tan )] 2

1 ln | ln(tan ) |2 [ln(tan )] 2

dx dxsen x x x sen x

dx dusen x x u

dx u Csen x x

dx x Csen x x

=

=

= +

= +

∫ ∫∫ ∫∫∫

114. Encontrar: 2

2cos 4

sen x dxx +∫

Solución: 2cos 4 2sea u x du sen xdx= + ⇒ = −

2

22

2cos 4

2 ln | | ln | cos 4 |cos 4

sen x dudxx u

sen x dx u C x Cx

= −+

= − + = + ++

∫ ∫∫

115. Encontrar: 2sec

1 tanx dx

x + ∫

Solución: 21 tan secsea u x du x dx= + ⇒ = , luego se tiene:

2 2

2

sec sec1 tan (1 tan )

x xdx dxx x

= + + ∫ ∫

2

2

sec1 tan

x dudxx u

= + ∫ ∫

22sec

1 tanx dx u du

x− = + ∫ ∫



36

2 1sec1 tan 1

x udx Cx

− = + + − ∫

2sec 11 tan 1 tan

x dx Cx x

=− + + + ∫

Integrales de funciones trigonométricas hiperbólicas

116. Encontrar: cosh x dxsenhx∫

Solución: coshsi u senhx du x dx= ⇒ = , en consecuencia se tiene:

cosh x dudxsenhx u

=∫ ∫

cosh lnx dx senhx Csenhx

= +∫

117. Encontrar: h

cossen x dx

h x∫

Solución: Análogamente a problema anterior

coshsi u x du senhx= ⇒ = , en consecuencia se tiene:

hcossen x dudx

h x u=∫ ∫

h ln coshcossen x dx x C

h x= +∫

118. Encontrar: 2cosh ( 1) ( 1)x senh x dx− −∫

Solución: Haciendo un cambio de variable se tiene:

cosh( 1) ( 1)u x du senh x dx= − ⇒ = −

2 2cosh ( 1) ( 1)x senh x dx u du− − =∫ ∫

32cosh ( 1) ( 1)

3ux x senh x dx C− − = +∫

2 31cosh ( 1) ( 1) cosh ( 1)3

x x senh x dx x C− − = − +∫



Integrales que contienen expresiones de la forma

2 2

2 2

2 2

1 arcta

)

) n

1) sec

du uarcsen Caa u

du u Ca u a a

du uarc Ca au u a

a

b

c

= +−

= ++

= +−

∫∫∫

119. Encontrar: sec hxdx∫

Solución: Utilizando el equivalente de la secante tanto trigonométricamente como exponencialmente

2

2 2

1 2 2seccosh 1

, :

sec 2 2 2arctan 2arctan1 1

x

x x x

x x

xx

x

ecomo hxx e e e

además sea u e du e dx entonces tenemose duhxdx dx u C e C

e u

−= = =+ +

= ⇒ =

= = = + = ++ +∫ ∫ ∫

120. Encontrar: 2 2

2

( 1 )1

x x dxx

+ −

−∫

Solución: 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

22

2

( 1 ) 2 1 11 1

(1 2 1 ) 2 11 1 1

2 221

x x x x x xdx dxx x

x x dx x xdx dxx x x

dx xxdx arcsenx C x arcsenx Cx

+ − + − + −=

− −

+ − −= = +

− − −

= + = + + = + +−

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

121. Encontrar: 44x dx

x+∫

Solución: Haciendo un arreglo para aplicar la fórmula directa b)



38

2 2 22 ( )xdx

x+∫

4

21 arct4

an4 2

x Cxdxx

=+

+∫

122. Encontrar: 24

dxx−∫

Solución:

2 2 2 24 2dx dx xarcsen C

x x= = +

− +∫

123. Encontrar la integral de la función: 24 9

dxx x −∫

Solución:

2 2 2

2

dx 2dxx 4x 9 2x (2x) 3

dx 1 2sec3 3x 4x 9

xarc C

=− −

= +−

∫ ∫∫

Otra alternativa es hacer un cambio de variable, es decir;

Sea 2

2

8 44 92 4 9

xdx xdxu x duux

= − ⇒ = =+

, haciendo el reemplazo se

tiene:

22

dx4x 4x 9udux u

=−∫ ∫ , además

22 9

4ux +

= , luego tenemos:

222

dx 1 arctan9 3 39x 4x 9 4

4

udu du u Cuu u

= = = + + + −

∫ ∫ ∫

Finalmente se tiene: 2

2

dx 1 4 9arctan3 3x 4x 9

x C +

= + − ∫

124. Encontrar: 22 5

dxx−∫

Solución:



2 2 2

1 552 5 2 ( 5 )

1 5 5 105 25 2

dx dxx x

x xarcsen C arcsen C

=− −

= + = +

∫ ∫

125. Encontrar: 2

dx dx1 (2x 1)+ −∫

Solución:

2 2

2 2 2

2

dx 1 2dxdx dx1 (2x 1) 2 1 (2x 1)

dx 1 2dxdx1 (2x 1) 2 1 (2x 1)

dx 1dx tan(2 1)1 (2x 1) 2

arc x C

=+ − + −

=+ − + −

= − ++ −

∫ ∫∫ ∫∫

126. Encontrar: 416 9

xdxx−∫

Solución:

4 2 2 2

2

4 2 2 2 2 2

2

4

16 9 4 (3 )

4, 3 6 , :6

1 166 616 9 4 (3 )

1 36 416 9

xdx xdxx x

sea a u x du xdx reemplazando se tienexdx

xdx du uarcsenax x a u

xdx arcsen x Cx

=− −

= = ⇒ =

= = = − − −

= + −

∫ ∫

∫ ∫∫

127. Encontrar: 3 2 4

2

3 (1 ) 6 25 5

x x x dxx

+ − ++∫

Solución: 3 2 4 3 2 4

2 2

3 (1 ) 6 2 3 (1 ) 6 25 5 5(1 )

x x x x x xdx dxx x

+ − + + − +=

+ +∫ ∫

3 2 4 3 2 4

2 2

3 (1 ) 6 2 3 (1 2 ) 6 25 5 5(1 )

x x x x x x xdx dxx x

+ − + + + − +=

+ +∫ ∫

3 2 4 3 4 5 4

2 2

3 (1 ) 6 2 (3 6 3 6 2)5 5 5(1 )

x x x x x x xdx dxx x

+ − + + + − +=

+ +∫ ∫



40

3 2 4 3 2 3 2

2 2 2 2

3 (1 ) 6 2 3 (1 ) 2 3 (1 ) 2 15 5 5(1 ) 5(1 ) 5 1

x x x x x x xdx dx dx dxx x x x

+ − + + + += = +

+ + + +∫ ∫ ∫ ∫

3 2 4 3 4

2 2

3 (1 ) 6 2 3 2 3 2 arctan5 5 5 5 1 20 5

x x x x dx dx xdx x Cx x

+ − += + = + +

+ +∫ ∫ ∫

128. Encontrar: 2

21x dx

x+∫

Solución: 2 2

2 2

2

2 2

2 2

1 11 1

1 11 1

arctan1

x dx x dxx x

x dx dxx x

dxdx x x Cx

+ −=

+ +

+ −= +

+ +

= − = − ++

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

129. Encontrar: 3 2

2

3 4 31

x x xdxx− +

+∫

Solución: 3 2 3 2

2 2

3 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

3 2 2

2

3 4 3 3 3 4 4 41 1

3 4 3 3 ( 1) 4( 1) 41 1

3 ( 1) 4( 1) 41 ( 1) 1

3 4 3 3 4 4arctan1 2

x x x x x xdx dxx x

x x x x x xdxx x

x x xdx dx dxx x x

x x x xdx x x Cx

− + + − − +=

+ +

− + + − + +=

+ +

+ += − +

+ + +

− += − + +

+

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫

130. Encontrar: x x

dxe e−+∫

Solución: Operando previamente;

Multiplicando por xe al numerador y denominar del integrando, luego se tendrá la forma de la fórmula directa b):

2 arctan1

xx

x

e dx e Ce

= ++∫



131. Encontrar: 27

x

x

e dxe+∫

Solución:

2

2 2

7

1 arctan7 77

1 arctan7 7

x

x

x x

x

e dxe

sea e u e dx dudu u C

ue C

+

= ⇒ =

= = + +

= +

∫

∫

132. Encontrar: 2

2x 7 dxx 9

−+∫

Solución:

2 2 2

2 2 2 2 2

22

2x 7 2x 7dx dxx 9 x 32x 7 2xdx 7dxdxx 9 3 x 3 x2x 7 7 xdx ln|x +9 | arc tang Cx 9 3 3

− −=

+ +

−= −

+ + +

−= − +

+

∫ ∫∫ ∫ ∫∫

133. Encontrar: 2

2

sec1 4 tan

x dxx−∫

Solución: 2 2

2 2 2

2

2 2

sec 2sec1 4 tan 2 1 (2 tan )

2 tan ,2sec , 1

:1 1 (2 tan )2 22

xdx dxx x

siendo u xentonces du xdx y ase tiene lo siguiente

du uarcsen arcsen x Caa u

=− −

=

= =

= = = + −

∫ ∫

∫

134. Encontrar: 2

dx(x x 2)− +∫

Solución:

2 2

dx dx(x x 2) x x 1 / 4 7 / 4− −

=+ + +∫



42

2 2 2

2

dx dx 4(x x 2) (x-1/2) 4 (2 1) 7

dx 2 12 (x x 2) 7

7 /

17

dxx

xarc tang C

= =+ − +

− = + + −

− +∫ ∫ ∫∫

135. Obtener: 2(1 ln )dx

x x+∫

Solución:

2 2 2

2 2

1(1 ln ) (1 ln )

1ln 1, :

1 1 lnarctan arctan arctan(ln )1 1

dx dxx x x x

siendo u x du dx y a así tenemosx

du u x x Ca u a a

=+ +

= ⇒ = =

= = = + +

∫ ∫

∫

136. Obtener: ( ) 2

dx2x 1 4x 4x 1+ + −∫

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

2

dx dx2x 1 4x 4x 1 2x 1 (2x) 2(2x) 1 1 1

dx dx2x 1 4x 4x 1 2x 1 (2x 1) ( 2)

dx 1 2x+1arcsec C2 2 22x 1 4x 4x 1

=+ + − + + + − −

=+ + − + + −

= ++ + −

∫∫ ∫∫

137. Obtener: 2

4 4 11

x dxx

+ + + ∫

Solución:

2 2

22

4 44 1 41 1

4 4 1 4arctan 21

x dx dx xdx dxx x

x dx x x x Cx

+ + = + + + +

+ + = + + + +

∫ ∫ ∫ ∫∫

138. Obtener: 2 4

xdx1 3x 2x− −∫

Solución:



2 4 2 4 2 4

2 4 2 4

xdx 8 81 3x 2x 8 1 3 2 8 24 16

xdx 81 3x 2x 8 24 16 9 9

xdx xdxx x x x

xdxx x

= =− − − − − −

=− − − − + −

∫ ∫ ∫∫ ∫

( ) ( )24 2 2

factorizando los términos negativos se tiene:

8xdx xdx816x 24x 9 9 8 17 4x 3

=− + + + + − +∫ ∫

( ) ( )2 4 2 22

xdx 8 8xdx81 3x 2x 17 4x 3

=− − − +∫ ∫

2

2 4

xdx 1 4 3 2 2 171 3x 2x

xarc sen C +

= + − − ∫

139. Obtener: 28 4

dxx x− −∫

Solución:

2 2

2 2 2 2

8 4 (( 2) 12)

2128 4 12 ( 2) 12 ( 2)

dx dxx x x

dx dx dx xarcsen Cx x x x

=− − − + −

+= = = +

− − − + − +

∫ ∫∫ ∫ ∫

140. Obtener: 2

xdx3 2x x− −∫

Solución:

( )( )

( )( ) ( )

2 22

2 2 22 2

x 1 1dxxdx3 2x x 2 x 1

x 1 dxxdx dx3 2x x 2 x 1 2 x 1

+ −=

− − − +

+= −

− − − + − +

∫ ∫∫ ∫ ∫

( )( ) ( )2 2 22 2

2 x 1 dxxdx 1 dx23 2x x 2 x 1 2 x 1

− += −−− − − + − +∫ ∫ ∫

( )( )

2

1/2

2 22

2

2

3 2 2(1 ) , :xdx 1 dx

23 2x x 2 x 1

x 1xdx 3 2x x cos23 2x x

si u x x du x dx luego tenemos

u du

arc C

−

= − − ⇒ = − +

= −−− − − +

+= − − − + +

− −

∫ ∫ ∫∫



44

141. Obtener: 215 2

dxx x+ −∫

Solución:

2 2

2 2 2

2 2 2

15 2 ( 2 15)

15 2 (( 1) 16) 16 ( 1)

1arc415 2 4 ( 1)

dx dxx x x x

dx dx dxx x x x

dx dx xsen Cx x x

=+ − − − −

= =+ − − − − − −

− = = + + − − −

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

142. Obtener: 2( 2) 4 1

dx dxx x x− − +∫

Solución:

2 2

2 22

( 2) 4 1 ( 2) ( 2) 3

1 2csec3 3( 2) 4 1 ( 2) ( 2) 3

dx dxdxx x x x x

dx dx xdx ar Cx x x x x

=− − + − − −

− = = + − − + − − −

∫ ∫∫ ∫

143. Obtener: 2

2 39 12 8

x dxx x

+− +∫

Solución:

( )22 2

2 3 (2 3)9 12 8 3 2 2

9 9

x x dxdxx x x

multiplicando por y dividiendo entre

+ +=

− + − +∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

22 22 2

1 (18 12) 399 3 2 2 3 2 2

1 (18 12) 39 1 13 3 2ln 9 12 8 arctan9 9 18 23 2 2 3 2 2

x dx dxx x

x dx dx xx x Cx x

−= +

− + − + − − = + = − + + +

− + − +

∫ ∫∫ ∫

144. Obtener: 2

2

4 13 3

x dxx

+ −

−∫

Solución: 2 2

2 2

4 1 4 13 3 3 1

x xdx dxx x

+ − + −=

− −∫ ∫



2

2 2 2

4 1 43 33 1 3 1 1

4 1 3( ) (4 ) ( 4 )33 3 3

x dx dxdx dxx x x

xarcsen x C arcsenx x C x arcsenx C

−= + = +

− − −

= + + = + + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

145. Obtener: 2

2 36 13x dx

x x−

+ +∫

Solución:

2 2 2 2

2 2 2 2

22

22

2 3 2 3 9 9 (2 6) 96 13 6 13 6 13 6 13

2 3 (2 6) 96 13 6 13 ( 3) 2

2 3 1 3ln 6 13 9 arctan6 13 2 2

2 3 9 3ln 6 13 arctan6 13 2

x x x dx dxdx dxx x x x x x x x

x x dx dxdxx x x x x

x xdx x x Cx x

x xdx x xx x

− − + − + −= = +

+ + + + + + + +

− += −

+ + + + + +

− + = + + − + + + − +

= + + −+ +

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ 2

C +

146. Obtener: 2

dx9x 18x 10+ +∫

Solución:

2 2 2

dx 1 3dx9x 18x 10 3 (3x 3) 1

=+ + + +∫ ∫

Aplicando la fórmula directa para arctan se tiene:

( )2

dx 1 3 39x 18x 10 3

arctan x C= + ++ +∫

147. Obtener: 2

8 312 4 5

x dxx x

−

− −∫

Solución:

2 2

2 2

8 3 8 12 12 312 4 5 12 4 5

12 8 94 (2 3) 4 (2 3)

x xdx dxx x x x

x dx dxx x

− − + −=

− − − −−

= − +− − − −

∫ ∫∫ ∫

1/ 21/ 2 2 2 2

9 9 224 (2 3) (2 (2 3)

du dxu duu x x

−= − + = − +− − − −∫ ∫ ∫ ∫

121 9 2 312 4 5

2 2 2xx x arcsen C

− − = − − − + +



46

2 9 2 32 12 4 5 cos2 2

xx x ar en C− = − − − + +

148. Obtener: 2

2

4

x dxx x+

−∫

Solución:

2 2

2 2 2 2

2

2

2 2 2 2

4 42 4 1 2( 2) 4

24 4 4 4 ( 2)

2 24 4 cos24

x xdx dxx x x xx xdx dx dx dxx x x x x x x

x xdx x x ar en Cx x

+ + − + +=

− −− − −

= + = − +− − − − −

+ − = − − + + −

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫

149. Obtener: 227 6

xdxx x+ −∫

Solución:

2 2 2 2

22

3 3 2( 3) 3

27 6 36 ( 3) 2 36 ( 3) 36 ( 3)

27 6 3 33 27 6 31 6 62( )2

xdx x xx x x x x

x x x xarcsen x x arsen C

− + − −= = +

+ − − − − − − − −

+ − − − = + = − + − + + −

∫ ∫ ∫ ∫

150. Obtener: 2 2 5dx

x x+ +∫

Solución:

2 2

2 2 2

2

2 5 ( 1) 4

2 5 ( 1) 21 1arctan2 22 5

dx dxx x x

dx dxx x x

dx x Cx x

=+ + + +

=+ + + +

+ = + + +

∫ ∫∫ ∫∫

151. Obtener: 3

4 2 2x dx

x x− +∫

Solución: 3 3 3

4 2 4 2 4 2 2 2

4( ) 2 2 1 4 2 22 4( 2) 4 ( 2) ((2 ) 1) 7

x dx x x x x x xdxdx dxx x x x x x x

− + −= = +

− + − + − + − +∫ ∫ ∫ ∫



3

4 2 2 2

3 24 2

4 2

3 24 2

4 2

1 4 2 1 44 ( 2) 2 ((2 ) 1) 7

1 1 1 2 1ln 2 arctan2 4 2 7 7

1 1 2 1ln 2 arctan2 4 2 7 7

x x xdxdxx x x

x dx xx xx x

x dx xx x Cx x

−= +

− + − +

−= − + − − +

−= − + − + − +

∫ ∫∫∫

152. Obtener: (1 )

dxx x+∫

Solución:

3

3 2

(1 )1

2(2 ) , (2 )

2 2 2arctan( )1(1 )

2arctan( )(1 )

dx dxx x x x

sea u x du dxx

du x dx du u dxdx udu du u C

u u ux xdx x Cx x

=+ +

= ⇒ =

= =

= = = ++ ++

= ++

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫

153. Obtener: (1 )dx

x x−∫

Solución: 2sea u x u x= ⇒ =

12

también se tiene du dxx

=

22

Re :

dx xdudx udu

emplazando tenemos

==

2

2

2(1 ) (1 )

2(1 ) 1

2 ( ) 2 ( )(1 )

dx udux x u u

dx dux x u

dx arcsen u arcsen x Cx x

=− −

=− −

= = +−

∫ ∫∫ ∫∫



48

MMÉÉTTOODDOOSS DDEE IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN

Integración por sustitución

El proceso de integración por sustitución se desarrollo prácticamente en algunos desarrollos, haciendo un cambio de variable, pero éste método se basa en lo siguiente:

Sea g una función derivable y supongamos que F es una antiderivada de f, entonces si u=g(x), se tiene:

( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ( ))f g x g x dx f u du F u C F g x C= = + = +∫ ∫

Cuyo objetivo es reducir la integral y transformar a una forma directa de integración, cabe indicar que si es necesario se puede realizar una o dos sustituciones, hasta encontrar una forma de integración más simple en el que se pueda aplicar las fórmulas directas de integración.

154. Obtener: 3x x dx−∫

Solución:

2

2

333 2

si u xu xx u udu dx

= −

= −

= + ⇒ =

2

4 2

5 3

5 3

3 ( 3) .2 .

3 2 6

23 2523 ( 3) 2 ( 3)5

x x dx u u u du

x x dx u du u du

x x dx u u C

x x dx x x C

− = +

− = +

− = + +

− = − + − +

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫

También podemos hallar mediante otra sustitución, es decir;



1/ 2

3/ 2 1/ 2

3

3 ( 3)

3 3

si u x du dx

x x dx u u du

x x dx u du u du

= − ⇒ =

− = −

− = +

∫ ∫∫ ∫ ∫

5/ 2 3/ 2

5 3

23 2523 ( 3) 2 ( 3)5

x x dx u u C

x x dx x x C

− = + +

− = − + − +

∫∫

155. Obtener: 2 1x xdx−∫

Solución: 2

2

(1 )1 2

sea u xx u dx udu

= −

= − ⇒ = −

2 2 2 2

2 2 4 2

1 (1 ) ( 2 )

1 (1 2 ) ( 2)

x xdx u u udu

x xdx u u u du

− = − −

− = − + −

∫ ∫∫ ∫

2 2 4 6

3 5 72

1 ( 2 4 2 )

1 2. 4 23 5 7

x xdx u u u du

u u ux xdx C

− = − + −

− = − + − +

∫ ∫∫

3 5 72

22 3

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 2 4 23 5 7

5 6(1 ) (1 )1 2( 1 )15 7

x x xx xdx C

x xx xdx x C

− − −− = − + − +

− − −− = − − + +

∫∫

2 3 35 42 42 15 30 151 2( 1 )105

x x xx xdx x C− + + − + − = − − + ∫

2 3/ 2 221 (1 ) (15 12 8)105

x xdx x x x C− = − − + + +∫

156. Obtener: 2 1

2 1x dx

x−−∫

Solución: 2 12 1,2

usea u x x+= − =



50

22

ududx

dx udu

=

=

2 4 2

2 4 2

2 4 2

2 4 2

2 5 3

2 5 3

2 2

1 2 1 142 1

1 2 1 442 1

1 2 3(4 )42 1

1 34 2 42 1

1 320 6 42 1

1 ( 2 1) ( 2 1) 3 ( 2 1)20 6 42 1

1 (2 1) .3 (2 1).10( 2 1)20(3) 62 1

x u ux

x u uux

x u u duux

x u udu du dux

x u u ux

x x x xx

x x xxx

− + += −

−− + + −

=−− + −

=−−

= + −−−

= + −−

− − −= + − +

−− − −

= − +−

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫

( )

2 2

2 2

22

3(15)(10) 4(15)

1 (4 4 1)3 20 10 45( 2 1)602 1

1 12 12 3 20 10 45( 2 1)602 1

1 ( 2 1) 3 2 13152 1

x x x xxx

x x x xxx

x x x x Cx

−

− − + + − −= −

− − − + + − −

= − −

− −= + − +

−

∫∫∫

157. Obtener: 1x dx

x−∫

Solución:

2

11

u xu x= −

= −

2

12

1

u xdx udux u

+ ==

= +

2

1 .2 .1

x u u dudxx u−

=+∫ ∫

2

2

1 21

x u dudxx u−

=+∫ ∫



[ ]

2

2

2

2

1 21

1 12 11

1 21

1 2 arctan

1 2 1 2arctan( 1)

x udx dux u

x dx dux u

x dudx dux u

x dx u u Cx

x dx x x Cx

−=

+

− = − + −

= − +

−= − +

−= − − + +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫

158. Obtener: 2 3x xdx

x−∫

Solución:

1/ 2 1/ 2

1/ 21/ 2

1/ 2

2 3 2 3

2 3 2 3

2 3 2 31 / 2 1 / 2

2 3 2 (2 3)

2 3 2(2 )

x x xdx xdx dxx x x

x xdx x dx x dxx

x x x xdx Cx

x xdx x Cx

x xdx x x Cx

− −

−= −

−= −

−= − +

−= − +

−= − +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫

159. Obtener: 1

1dx

x +∫

Solución:

2

11

2

dxx

u xu xdx udu

+

=

==

∫

1 1 2

11dx udu

ux=

++∫ ∫



52

[ ]

1 12 2 (1 )1 11

1 2 ln | ( 1) |1

1 2 ln | (1 ) |1

udx du duu ux

dx u u Cx

dx x x Cx

= = −+ ++

= − + ++

= − + + +

∫ ∫ ∫∫∫

160. Obtener: 1

1dx

x x− +∫

Solución: Multiplicando por el conjugado del denominador se tiene:

( )1 11

, 1

dx x dx xdxx x

luego u x du dx

= − + −− += + ⇒ =

∫ ∫ ∫

1/ 2

1/ 2 1/ 2

11

11

dx udu x dxx x

dx u du x dxx x

= − −− +

= − −− +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

1 11 12 21

1 11 1 12 2

u xdx Cx x

+ +

= − + + − + + +

∫

3/ 2 3/ 2

3/ 2 3/ 2

1 2 23 31

1 2 ( 1)31

dx u x Cx x

dx x x Cx x

= − + + − +

= − + + + − +

∫∫

161. Obtener: 2

6 2x dx

x x+∫

Solución:

2

2

2

u xu x

dx udu

=

=

=

2

26 2 6

2

x udx uduux x u

=+ +

∫ ∫

Simplificando se tiene:



2

236 2

x udx uduu ux x

=++∫ ∫

2 1 13 1 3 3(3 1)6 2

2 1 1 ln | (3 1) |3 96 2

2 1 3 2 ln(3 2 1)96 2

x udx du dxu ux x

x dx u u Cx x

x dx x x Cx x

= = − + ++

= − + ++

= − + + +

∫ ∫ ∫∫∫

162. Obtener: 1

2dx

x x+∫

Solución:

2

2

u xu xdx udu

=

==

2 2

1 1 .22 2

dx udux x u u

=+ +∫ ∫

1 1 .22 2

1 122 1 2

dx udux x u u

dx dux x

=+ +

=+ +

∫ ∫∫ ∫

Multiplicando por el conjugado del denominador e integrando se tiene:

( )

( )

1 2 2 12

1 2 2 12

dx u Cx x

dx x Cx x

= − ++

= − ++

∫∫

163. Obtener: 2 1

x dxx −∫

Solución:

2

2 11

2

u xu x

dx udu

= −

+=

=



54

2

2

12

2 1 12 12

ux dx udux u

+

=− +

−

∫ ∫

2

2

12

2 1

ux dx udux u

+

=−∫ ∫

( ) ( )

2

2

3

3

12

2 11

2 22 1

6 22 11 12 1 2 16 2

ux dx udu

uxx udx du duxx u udx Cx

x x C

+

=−

= +−

= + +−

= − + − +

∫ ∫∫ ∫ ∫∫

164. Obtener: 2dx

x x+ −∫

Solución:

( )

( )

3/ 2 3/ 2

3/ 23/ 2

3/ 2 3/ 2

3/ 2 3/ 2

1 2221 ( 2)2 3 / 2 3 / 22

1 2 2( 2)2 3 32

2 ( 2)2(3)21 232

dx x x dxx x

dx x x Cx x

dx xx Cx x

dx x x Cx x

dx x x Cx x

= + ++ −

+= + + + −

= + + + + −

= + + + + −

= + + + + −

∫ ∫∫∫∫∫

165. Obtener: 3 4x xdx−∫

Solución: 3

3

2

443

u xu xdx u du

= −

+ =

=



( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3 23 3

3 23

6 33

7 43

743

7 43 3 3

7/3 4/33

4 4 4( 4) (3 )

4 ( )( 4)(3 )

4 3 12

4 3 127 4

4 3 37

34 4 3 4734 4 3 47

x xdx u u du u

x xdx u u u du

x xdx u du u du

u ux xdx C

ux xdx u C

x xdx x x C

x xdx x x C

− = + − +

− = +

− = +

− = + +

− = + +

− = − + − +

− = − + − +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫

166. Resolver: ( )25 1x xdx+∫

Solución:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2/55

2 7/5 2/55

12/5 7 /525

2 12/5 2/55

1

1

1 1

1

112 / 5 7 / 55 51 1 1

12 7

u xdu dxx u

x xdx u u du

x xdx u u du

u ux xdx C

x xdx x x C

= +== −

+ = −

+ = −

+ = − +

+ = + − + +

∫ ∫∫ ∫∫∫

167. Resolver: 4 2

dxx x+∫

Solución:

( )( )

( )

4 2 2 2

2 2

4 2 2 2

1

1

1

dx dxx x x x

x xdx dxx x x x

=+ +

+ −=

+ +

∫ ∫∫ ∫



56

( ) ( )2 2

4 2 2 2 2 2

4 2 2 2

4 2

11 1

1 11

1 arctan

dx x x dxx x x x x x

dx dx dxx x x x

dx x Cx x x

+= −

+ + +

= −+ +

= − − ++

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

Integración por fracciones parciales

168. Resolver: 2

5 24

x dxx−−∫

Solución:

( )( )2

5 2 5 24 2 2

x xdxx x x− −

=− − +∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

2

2 32

2 32

5 2( 2)( 2) 2 2

5 2 25

12 4

23

5 2 (5 2)4 2 2

5 2 2 34 2 2

5 2 2ln 2 3ln 24

5 2 ln 2 ln 24

5 2 ln ( 2) ( 2)4

x A Bx x x x

x A B x A BA BA B

AAB

x x dxdxx x x

x dx dxx x x

x dx x x Cxx dx x x C

xx dx x x C

x

−= +

+ − − +

− = + + −

+ =− = −===

− −=

− − +

−= +

− − + −

= − + + +−

−= − + + +

−

−= − + +

−

∫ ∫∫ ∫∫∫∫

169. Resolver: 2

3

6 2 14

x x dxx x− −−∫

Solución:



2 2

3

2

3

2

3 3

2 2

6 2 1 6 2 14 (2 1)(2 1)

6 2 14 (2 1) (2 1)

6 2 1 (2 1)(2 1) ( )(2 1) ( )(2 1)4 4

6 2 1 (4 2 2 ) ( )

x x x xx x x x x

x x A B Cx x x x X

x x A x x B x x C x xx x x x

x x A B C x B C x A

− − − −=

− − +

− −= + +

− − +

− − + + + + + −=

− −− + = + + + − −

1; 24 2 2 62 2 44 2 2 6

A B CA B CB C

B C

= − = −+ + =+ =

+ + =

2 2

3

2

3

24 3

3

2

3

2 2 6 42 2 22 2 2

11 1 3; 1 ;2 2 2

6 2 1 1 1 1 3 1.24 2.2 (2 1) 2.2 (2 1)

6 2 1 1 3ln ln 2 1 ln 2 14 4 4

6 2 1 1 (ln ln 2 1 ln (2 1) )4 4

6 2 14

B CB CB C

B C

B C C

x x xdx dx dx dxx x x x x

x x dx x x x Cx x

x x dx x x x Cx x

x x dx x

+ = −− =+ =+ =

= − = + =

− −= − +

− − +

− −= − − + + +

−

− −= − − + + +

−

− −−

∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫

4 31 (2 1)ln4 (2 1)

x xx Cx+

= +−

170. Resolver: 23 4 7dx

x x+ −∫

Solución: 1

(3 7)( 1) 3 7 1A B

x x x x= +

+ − + −

2

1 ( 1) (3 7)3 4 7 ( 1)(3 7)

A x B xx x x x

− + +=

+ − − +

1 3 71 ( 3 ) 7

3101

10

Ax A Bx BA B x A B

A

B

= − + += + − +

−=

=



58

2

3 13 4 7 10(3 7) 10( 1)

dx dxx x x x

−= + + − + − ∫ ∫

2

1 3 1 13 4 7 10 (3 7) 10 1

dx dx dxx x x x

−= +

+ − + −∫ ∫ ∫

2

1 1ln(3 7) ln( 1)3 4 7 10 10

dx x x Cx x

−= + + − +

+ −∫

2

1 1ln3 4 7 10 3 7

dx x Cx x x

−= +

+ − +∫

171. Resolver: 2

4 2

2 55 6

x dxx x

−− +∫

Solución:

( )( )2 2

4 2 2 2

2 5 2 55 6 3 2

x xdx dxx x x x

− −=

− + − −∫ ∫

( )( )( ) ( )2

2 22 2

2 53 23 2

Ax B Cx Dxx xx x+ +−

= +− −− −

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )2 22

2 2 2 2

2 32 53 2 3 2

Ax B x Cx D xxx x x x

+ − + + −−=

− − − −

( ) ( ) ( )

2 3 2 3 2

2 3 2

2 5 2 2 3 32 5 2 3 2 3

x Ax Ax Bx B Cx Cx Dx Dx A C x B D x A C x B D− = − + − + − + −

− = + + + + − − − −

0101

ABCD

====

2

4 2 2 2

2 5 0 1 0 15 6 3 2

x x xdx dxx x x x

− + + = + − + − − ∫ ∫

2

4 2 2 2

2 5 1 15 6 3 2

x dx dx dxx x x x

−= +

− + − −∫ ∫ ∫

Aplicando nuevamente fracciones parciales a las integrales resultantes

Para 2

13

dxx −∫

( )( )2

1 13 3 3

dx dxx x x

=− − +∫ ∫

2

13 3 3

A Bx x x

= +− − +



( )( )2

1 3 33 3 3

Ax A Bx Bx x x

+ + −=

− − +

( ) ( )1 3A B dx A B= + + −

0

( ) 3 1

A B

A B

+ =

− = Resolviendo el sistema se tiene

1 1;2 3 2 3

A B −= =

( ) ( )2

1 1 13 2 3 3 2 3 3

dx dxx x x

= − − − +

∫ ∫

2

4 2

2 5 1 1 1 15 6 2 3 3 2 3 3

x dx dx dxx x x x

−= −

− + − +∫ ∫ ∫

3u xdu dx= −=

2

4 2

2 5 1 1 1 15 6 2 3 2 3

x dx du dux x u u

−= −

− +∫ ∫ ∫

2

4 2

2 5 1 3ln5 6 2 3 3

x xdx Cx x x

− −= +

− + +∫

Para 2

12

dxx −∫

2

12 2 2

A Bx x x

= +− − +

( )( )2

1 2 22 2 2

Ax A Bx Bx x x

+ + −=

− − +

( ) ( )1 2A B x A B= + + − −

12 2

12 2

A

B

=

−=

( ) ( )2

1 1 12 2 2 2 2 2 2

dx dxx x x

= − − − +

∫ ∫

2

1 1 n( 2) ln( 2)2 2 2

dx l x x Cx

= − − + −∫

2

1 1 2ln2 2 2 2

xdx Cx x

−= +

− +∫



60

Luego el resultado final es: 2

4 2

2 5 1 3 1 2ln ln5 6 2 3 3 2 2 2

x x xdx Cx x x x

− − −= + +

− + + +∫

172. Resolver: 2

3 2

2 3 22

x x dxx x x

− −+ −∫

Solución: 2 2

3 2

2

2 3 2 2 3 22 ( 2)( 1)

2 3 2( 2)( 1) 2 1

x x x xdx dxx x x x x xx x A B C

x x x x x x

− − − −=

+ − + −

− −= + +

+ − + −

∫ ∫

2 2 22 3 2 2 2 2( 2)( 1) ( 2)( 1)x x Ax Ax Bx Ax A Bx Cx Cx

x x x x x x− − + + − − − + +

=+ − + −

2 22 3 2 ( ) ( 2 ) 2x x A B C x A B C x A− − = + + + − − −

22

2 31 2 4

11

A B CBA B C

C CCA

+ + ==− + = −

− + + = −= −=

2

3 2

2 3 2 1 2 12 2 1

x x dx dxx x x x x x

− − = + − + − + − ∫ ∫

1 1 122 1

dx dx dxx x x

= + −+ −∫ ∫ ∫

ln | | 2ln | ( 2) | ln | ( 1) |x x x C= + + − − + 2 2

3 2

2 3 2 ( 2)ln2 1

x x x x Cx x x x

− − += +

+ − −∫

173. Resolver: 2 3 1dx

x x− +∫

Solución:

2 2

1 4 43 1 4 12 4 (2 3 5)(2 3 5)x x x x x x

= =− + − + − − − +

4(2 3 5)(2 3 5) (2 3 5) (2 3 5)

4 (2 2 ) ( 3 3 5 5)

A Bx x x x

A B x A B A B

= +− − − + − − − +

= + + − − + −



4 2( ) ( 5 3) ( 5 3)0

25

A B x A BA BA B

B

= + + − − ++ == −

= −

25

A =

2

1 2 23 1 5 2 3 5 2 3 5)

dx dx dxx x x x

−= +

− + − − − + ∫ ∫

2

2

1 1ln(2 3 5) ln(2 3. 5)3 1 5 5

1 2 3 5ln3 1 5 2 3 5

dx x x Cx x

dx x Cx x x

= − − − + − + +− +

− += +

− + − −

∫∫

174. Resolver: ( )22 1

dx dxx x +∫

Solución:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

2 2

22 2 2

2

2 22 2 2 2

22 2 2 2

2 2

22 2 2 2

22 2 2 2

2 2

1( 1) 1

1( 1) 1 1

( 1) 1 1

1 1 2( 1) 21 1

1 1 2 1 2( 1) 2 1 2 1

l( 1)

x xdx dx dxx x x x

dx x xdx dx dxx x x x x

dx dx xdx dxx x x x x

x xdx xdxdx dxx x x x x

dx x xdxdx dx dxx x x x x

dx dxx x

+ −=

+ +

+= −

+ + +

= −+ + +

+ −= −

+ + +

= − −+ + +

=+

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ( )

( )

22

2

2 2 2 2

1 1n ln 12 2 1

1 1ln( 1) 2 1 2 1

x x Cx

dx xdx Cx x x x

− + − ++

= − ++ + +∫



62

Integración utilizando Transformación de Producto a Suma

2 cos2 2

2cos2 2

A B A BsenA senB sen

A B A BsenA senB sen

+ − + =

+ − − =

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 22 2

A B A BA B

A B A BA B sen sen

+ − + =

+ − − = −

175. Resolver: cos cos4x x dx∫

Solución:

( ) ( )1cos cos4 cos 5 cos 32

x x dx x x dx= + ∫ ∫

1 1cos cos4 5cos5 3cos35.2 3.2

x x dx x dx x dx= +∫ ∫ ∫

1 1cos cos4 5 310 6

x x dx sen x sen x C= + +∫

176. Resolver: cos3 2x sen x dx∫

Solución:

( ) ( )1cos(3 ) (2 ) 52

x sen x dx sen x sen x dx= − ∫

( ) ( )1 1cos(3 ) (2 ) 5 55.2 2

x sen x dx sen x dx sen x dx= −∫ ∫ ∫

1 1cos(3 ) (2 ) cos5 cos10 2

x sen x dx x x C= − + +∫



Integrales que contienen potencias de seno y coseno

177. Resolver: 2sen x dx∫

Solución:

2 1 cos22

xsen x dx dx− = ∫ ∫

Utilizando identidades trigonométricas de ángulo mitad

1 cos22

1 cos2cos2

asena

aa

−= ±

+= ±

2 1 cos2 22 2.2

xsen x dx dx dx= −∫ ∫ ∫

2 1 22 4xsen x dx sen x C= − +∫

178. Resolver: 2cos x dx∫

Solución:

2 2cos 1x dx sen x dx= −∫ ∫

2 2cos x dx dx sen xdx= −∫ ∫ ∫

2 1 1cos 2 22 4 2 4x xx dx x sen x C sen x C = − − + = + + ∫

179. Resolver: 3sen x dx∫

Solución:

3 2sen x dx senx sen x dx=∫ ∫

( )3 21 cossen x dx senx x dx= −∫ ∫



64

3 2cossen x dx senx dx senx x dx= + −∫ ∫ ∫

32 coscos cos

3xx dx x C=− + +∫

180. Resolver: 3cos xdx∫

Solución:

3 2cos cos .cosxdx x xdx=∫ ∫

( )3 2cos 1 cosxdx sen x xdxa= −∫ ∫

3 2cos cos .cosxdx x sen x xdx= −∫ ∫

3 2cos ( .cos )xdx senx sen x xdx= −∫ ∫

33cos

3sen xxdx senx C= − +∫

181. Resolver: 4sen xdx∫

Solución:

( )24 2sen xdx sen x dx=∫ ∫

Utilizando identidad trigonométrica de ángulo mitad se tiene: 2

4 1 cos22

xsen xdx dx− = ∫ ∫

24 1 2cos2 cos 2

4x xsen xdx dx

− +=

∫ ∫

4 21 12 cos 24 4 4xsen xdx sen x xdx= − +∫ ∫

Como 2 1cos 22 4xx dx sen x C= + +∫ , ejercicio 178

Entonces tenemos: 2 21 1 1 2 1cos 2 cos 2 (2 ) 44 8 8 2 4

xxdx x dx sen x C = = + + ∫ ∫

4 1 1 2 12 44 4 8 2 4x xsen xdx sen x sen x C = − + + + ∫



4 1 1 3 1 12 4 2 44 4 8 32 8 4 32x xsen xdx sen x sen x C x sen x sen x C= − + + + = − + +∫

182. Resolver: 5cos xdx∫

Solución:

( )2

5 2cos 1 cosxdx sen x xdx= −∫ ∫

( )5 2 4cos 1 2 cosxdx sen x sen x xdx= − +∫ ∫

5 2 4cos cos 2 .cos .cosxdx xdx sen x xdx sen x xdx= − +∫ ∫ ∫ ∫

cossea u senx du xdx= ⇒ =

5 2 4cos 2 . .xdx senx u du u du= − +∫ ∫ ∫

3 55cos 2

3 5u uxdx senx C= − + +∫

5 3 52 1cos3 5

xdx senx sen x sen C= − + +∫

183. Resolver: 2 2cossen x xdx∫

Solución:

( )

( )

( )

2 2 2 2

22 2 2 2

22 2

2 2 2

cos 1 cos cos

cos cos cos

1 cos2 1 cos2cos2 2

1 1cos cos2 1 2cos2 cos 22 4

sen x xdx x xdx

sen x xdx x x dx

x xsen x xdx dx dx

sen x xdx dx xdx x x dx

= −

= −

+ + = −

= + − + +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

2 2 21 1 1cos 2 2cos2 cos 22 2 4

sen x xdx x sen x x xdx xdx = + − + + ∫ ∫ ∫

2 2 1 1 1 1 cos4cos 2 22 4 4 2

xsen x xdx x sen x x sen x dx += + − + +

∫ ∫

2 2 1 1 1 1 1cos 2 2 42 4 4 4 8 32

xsen x xdx x sen x x sen x sen x C= + − − − − +∫



66

2 2

2 2

1cos 42 4 8 32

1cos 48 32

x x xsen x xdx sen x C

xsen x xdx sen x C

= − − − +

= − +

∫∫

184. Resolver: 3 4cossen x xdx−∫

Solución:

( )

( )

33 4

4

23 4

4

23 4

4

coscos

coscos

1 coscos

cos

sen xsen x xdx dxx

senx sen x dxsen x xdx

x

senx xsen x xdx dx

x

−

−

−

=

=

−=

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

23 4

4

.coscoscos

senx senx xsen x xdx dxx

− −=∫ ∫

3 4 4 2cos .cos .cossen x xdx senx x dx senx x dx− − −= −∫ ∫ ∫

cossi u x du senxdx= ⇒ = −

3 4 4 2cossen x xdx u du u du− − −= − +∫ ∫ ∫

3 13 4 3 1 31 1cos cos cos sec sec

3 1 3 3u usen x xdx C x x C x x C− −

− − −= − + = − + = − +∫


Solución:

2 4 2 2 2cos ( )(cos )sen x xdx sen x x dx=∫ ∫

( )( )2

21 cos2 1 cos2 1 1 cos2 1 cos22 2 8

x x x x− + = = − + ∫ ∫

( )( ) ( )2 2 31 11 2cos2 cos 2 1 cos2 1 cos2 cos 2 cos 28 8

x x x x x x dx= + + − = + − −∫ ∫

2 31 cos2 cos 2 cos 28

dx x dx x dx x dx = + − −

∫ ∫ ∫ ∫

31 1 1 cos42 cos 28 2 2

xx sen x dx x dx += + − −

∫ ∫ ∫



( )21 1 1 12 cos4 1 2 cos28 2 2 2

x sen x dx x dx sen x xdx = + − − − −

∫ ∫ ∫

21 1 1 12 4 cos2 cos2 28 2 2 8

x sen x x sen x xdx xsen x dx = + − − − +

∫ ∫

31 1 1 1 1 12 4 2 28 2 2 8 2 6

x sen x x sen x sen x sen x C = + − − − + +

31 1 1 14 28 2 8 6

x sen x sen x C = − + +

2 4 31 1 1cos 4 216 64 48

sen x xdx x sen x sen x C= − + +∫


Solución:

( )24 5 4 2cos cos cossen x xdx sen x x x dx=∫ ∫

( )24 5 4 2cos 1 cossen x xdx sen x sen x x dx= −∫ ∫

( )4 5 4 2 4cos cos 1 2sen x xdx sen x x sen x sen x dx= − +∫ ∫

4 5 4 6 8cos cos 2 cos cossen x xdx sen x dx sen x x dx sen x x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫

cossi u senx du xdx= ⇒ =

4 5 4 6 8cos 2sen x xdx u du u du u du C= − + +∫ ∫ ∫ ∫

5 7 94 5cos 2

5 7 9u u usen x xdx C= − + +∫

4 5 5 7 91 2 1cos5 7 9

sen x xdx sen x sen sen C= − + +∫

187. Resolver: 3cos x dx

senx∫

Solución: 3 2

3 2

cos cos (cos )

cos cos (1 )

x x xdx dxsenx senx

x x sen xdx dxsenx senx

=

−=

∫ ∫∫ ∫



68

3

3 2

cos cos cos

cos ln2

x xdx dx xsenxdxsenx senx

x sen xdx senx Csenx

= −

= − +

∫ ∫ ∫∫

188. Resolver: 3 cos2 2x xsen dx

∫

Solución:

3 1 3 1 3 1cos2 2 2 2 2 2 2x xsen dx sen x sen x dx = + + −

∫ ∫

( )3 1cos 22 2 2x xsen dx sen x senx dx = +

∫ ∫

3 1 1cos 22 2 2 2

3 1 1cos cos2 cos2 2 4 2

x xsen dx sen xdx senxdx

x xsen dx x x C

= + = − − +

∫ ∫ ∫∫

189. Resolver: 3

6cossen xdx

x∫

Solución:

( )23

6 6

36 4

6 6 4

3 5 3

6

3

6 5 3

1 coscos cos

cos coscos cos cos

cos coscos 5 3

1 1cos 5cos 3cos

senx xsen xdx dxx x

sen x senx senxdx dx dx senx xdx senx xdxx x x

sen x xdx Cx

sen xdx Cx x x

− −

− −

−=

= − = −

= − − − + − −

= − +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

190. Resolver: 3cos ( )x sen x dx∫

Solución:

3 2

3 1/ 2 5/ 2

cos ( ) cos ( )(1 cos )

cos ( ) cos cos

x sen x dx x senx x dx

x sen x dx xsenxdx senx xdx

= −

= −

∫ ∫∫ ∫ ∫



3/ 2 7 / 23

7/ 23 3/ 2

cos coscos ( )3 / 2 7 / 2

2cos 2cos ( ) cos7 3

xx sen x dx C

xx sen x dx x C

= − − − +

= − +

∫∫

191. Resolver: 5. cossenx xdx∫

Solución:

5 1/ 2 2 2. cos cos (cos )senx xdx sen x x x dx=∫ ∫

5 1/ 2 2 4cos cos (1 2 )senx xdx sen x x sen x sen x dx= − +∫ ∫

5 1/ 2 5/ 2 9/ 2cos cos 2 .cos .cossenx xdx sen x x sen x x sen x xdx= − +∫ ∫ ∫ ∫

5 3/ 2 7 / 2 11/ 22 2 2cos 23 7 11

senx xdx sen sen x sen = − + ∫

5 2 4 32 4 2cos3 7 11

senx xdx sen x sen x sen x C = − + + ∫

192. Resolver: 3

3

cos 33x

sen x∫

Solución: 3 2

3 3

cos 3 cos3 (1 3 )3 3x x sen xdx dx

sen x sen x−

=∫ ∫

3 2

3 3 3

cos 3 cos3 cos3 . 33 3 3x x x sen xdx dx dx

sen x sen x sen x= −∫ ∫ ∫

31/3 5/3

3

cos 3 1 1cos3 . 3 (3 ) cos3 . 3 (3 )3 33

x dx x sen x dx x sen x dxsen x

−= −∫ ∫ ∫

33 2 8/3

3

33 32 8

3

cos 3 3 33 33(2) 3(8)3

cos 3 1 13 32 83

x dx sen x sen x Csen x

x dx sen x sen x Csen x

= − +

= − +

∫∫

193. Resolver: 5

cossen x dx

x∫

Solución:

( )225

cos cos

senx sen xsen x dx dxx x

=∫ ∫



70

( )

( )

225

2 45

51/ 2 3/ 2 7 / 2

51/ 2 5/ 2 9/ 2

5

1 cos

cos cos1 2cos cos

cos cos

.cos 2 .cos .coscos

2 22cos 2 cos cos5 9cos

2cocos

senx xsen x dx dxx x

senx x xsen x dx dxx x

sen x dx senx x senx x senx xdxx

sen x dx x x x Cx

sen x dxx

−

−=

− +=

= − − + − − −

= − + − +

= −

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ 1/ 2 2 42 1s 1 cos cos

5 9x x x C − + +

194. Resolver: ( )3/ 21 cos3x dx+∫

Solución:

( ) ( )

( )

33/ 2

32

3/ 2

1 cos3 1 cos3

31 cos3 2 cos2

x dx x dx

xx dx dx

+ = +

+ =

∫ ∫∫ ∫

( )

( )

3/ 2 2

3/ 2 2

3 31 cos3 2 2 cos cos2 2

3 31 cos3 2 2 cos 12 2

x xx dx dx

x xx dx sen dx

+ =

+ = −

∫ ∫∫ ∫

( )

( )

( )

3/ 2 2

3/ 2 3

3/ 2 3

3 3 31 cos3 2 2 cos cos2 2 2

2 3 2 31 cos3 2 23 2 3(3) 2

2 3 2 31 cos3 2 23 2 9 2

x x xx dx dx sen dx

x xx dx sen sen C

x xx dx sen sen C

+ = −

+ = − +

+ = − +

∫ ∫ ∫∫∫

Integrales que contienen potencias de tangente, cotangente, secante y cosecante

195. Resolver: 3tan xdx∫

Solución:



3 2

3 2

23

213

23

tan tan (sec 1)

tan tan sec tan

tantan ln sec2

tantan ln cos2

tantan ln cos2

x dx x x dx

xdx x xdx xdx

xxdx x

xxdx x

xxdx x C

−

= −

= −

= −

= −

= + +

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫

196. Resolver: 3cot 2xdx∫

Solución:

( )

( )

33

3

23

3

23

3

3 3 1

3 2

cos 2cot 22

cos2 cos 2cot 2

2

cos2 1 2cot 2

2

cot 2 cos2 . 2 cos2 . 2

1 1cot 2 2 ln 24 2

xxdx dxsen x

x x dxxdx

sen x

x sen x dxxdx

sen x

xdx x sen xdx x sen xdx

xdx sen x sen x C

− −

−

=

=

−=

= −

= − − +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

197. Resolver: 3 1/ 2tan secx xdx−∫

Solución:

( )3 1/ 2 2 1/ 2

3 1/ 2 2 1/ 2

tan sec tan (tan ) sec

tan sec tan (sec 1)sec

x xdx x x dx

x xdx x x xdx

− −

− −

=

= −

∫ ∫∫ ∫

3 1/ 2 3/ 2 1/ 2

3 1/ 2 1/ 2 3/ 2

tan sec tan .sec tan .sec

tan sec tan .sec .sec tan .sec .sec

x xdx x xdx x xdx

x xdx x x xdx x x xdx

− −

− −

= −

= −

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫



72

3 1/ 2 3/ 2 1/ 2

3 1/ 2 3/ 2 1/ 2

2tan sec sec ( 2)sec32tan sec sec 2sec3

x xdx x x

x xdx x x C

− −

− −

= − −

= + +

∫∫


Solución:

( )

( )

( )

24 2

4 4 2

4 4 2

4 2 2 2

4 2 2 2 2

4 2 2 2

34

tan sec 1

tan sec 2sec 1

tan sec 2 sec 1

tan 1 tan sec 2 sec

tan sec tan sec 2 sec

tan tan sec sec

tantan tan3

xdx x dx

xdx x x dx

xdx xdx xdx dx

xdx x xdx xdx x

xdx x x x xdx x

xdx x x x x

xxdx

= −

= − +

= − +

= + − +

= + − +

= − +

= −

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ x x C+ +

199. Resolver: 4sec2x dx

∫

Solución:

4 2 2

4 2 2 2

sec sec 1 tan2 2 2

sec sec sec tan2 2 2 2

x x xdx dx

x x x xdx dx dx

= + = +

∫ ∫∫ ∫ ∫

3

4

4 3

tan2sec 2 tan 2

2 2 32sec 2 tan tan

2 2 3 2

xx xdx

x x xdx C

= +

= + +

∫∫

200. Resolver: 5tan 3xdx∫

Solución:



( )( )

( )

( )

5 2 3

5 3 2

5 3 2 3

5 4 2

5 4 2

5 4 2

tan 3 tan 3 tan 3

tan 3 tan 3 sec 3 1

tan 3 tan 3 .sec 3 tan 3

1tan 3 tan 3 tan3 sec 3 141tan 3 tan 3 tan3 sec 3 tan341 1 1tan 3 tan 3 tan 3 ln sec4 2 3

xdx x x dx

xdx x x dx

xdx x xdx xdx

xdx x x x dx

xdx x x xdx xdx

xdx x x

=

= −

= −

= − −

= − +

= − +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ 3x C+


Solución:

( )

( )

( )

6 4 2

6 4 2

6 4 2 4

6 5 2 2

6 5 2 2 2

36 5 2

6

tan tan tan

tan tan sec 1

tan tan sec tan

1tan tan tan sec 15

1tan tan tan sec tan5

1 tantan tan sec 15 3

tan

xdx x x dx

xdx x x dx

xdx x xdx xdx

xdx x x x dx

xdx x x xdx xdx

xxdx x xdx dx

xdx

=

= −

= −

= − −

= − −

= − + −

=

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ 5 31 1tan tan tan

5 3x x x C− + − +

202. Resolver: 5 3tan .secx xdx∫

Solución:

5 3 4 2tan .sec tan sec tan secx xdx x x x xdx=∫ ∫

25 3 2 2tan .sec tan .sec (tan ) secx xdx x x x xdx=∫ ∫



74

22 2tan .sec (sec 1) secx x x xdx= −∫

4 2 2

6 4 2

tan .sec sec 2sec 1 sec

sec (tan .sec ) 2 sec ( tan sec ) sec (tan sec )

x x x xdx

x x x dx x x x dx x x x dx

= − +

= − +

∫∫ ∫ ∫

sec sec .tansea u x du x xdx= ⇒ = , luego se tiene:

5 3 6 4 2tan .sec 2x xdx u du u du u du= − +∫ ∫ ∫ ∫

5 3 7 5 31 2 1tan .sec sec sec sec7 5 3

x xdx x x C= − + +∫

203. Resolver: 6 4tan secx xdx∫

Solución:

6 4 2 6 2tan sec sec tan tan 1x xdx x x x dx = + ∫ ∫

6 4 8 2 6 2tan sec tan sec tan secx xdx x xdx x xdx= +∫ ∫ ∫

2tan secsi u x du xdx= ⇒ =

6 4 8 6tan secx xdx u du u du= +∫ ∫ ∫

6 4 9 71 1tan sec tan tan9 7

x xdx x x C= + +∫

204. Resolver: 4 6tan secx xdx∫

Solución: 24 6 2 4 2tan sec sec tan tan 1x xdx x x x dx = + ∫ ∫

4 6 2 4 4 2tan sec sec tan tan 2 tan 1x xdx x x x x dx = + + ∫ ∫

4 6 8 2 6 2 4 2tan sec tan sec 2 tan sec tan secx xdx x xdx x xdx x xdx= + +∫ ∫ ∫ ∫

2tan secsea u x du xdx= ⇒ =

4 6 8 6 4tan sec 2x xdx u du u du u du= + +∫ ∫ ∫ ∫



4 6 9 7 51 2 1tan sec tan tan tan9 7 5

x xdx x x x C= + + +∫

205. Resolver: 3 3cot cscx xdx∫

Solución:

3 3 2 2

3 3 2 2

3 3 4 2

cot csc cot csc (cot .csc )

cot csc (csc 1)csc (cot .csc )

cot csc csc (cot .csc ) csc (cot .csc )

x xdx x x x x dx

x xdx x x x x dx

x xdx x x x dx x x x dx

=

= −

= −

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

csc csc cotsea u x du x xdx= ⇒ = −

3 3 4 2

3 3 5 3

cot csc

1 1cot csc csc csc5 3

x xdx u du u du

x xdx x x C

= − +

= − + +

∫ ∫ ∫∫

206. Resolver: 4 4tan sec xdx∫

Solución:

4 4 4 2 2tan sec tan sec secxdx x xdx=∫ ∫

4 4 4 2 2tan sec tan tan 1 secxdx x x xdx = + ∫ ∫

4 4 6 2 4 2tan sec tan sec tan secxdx x xdx x xdx= +∫ ∫ ∫

2tan secsi u x du xdx= ⇒ = , luego se tiene:

4 4 6 4tan sec xdx u du u du= +∫ ∫ ∫

4 4 7 51 1tan sec tan tan7 5

xdx x x C= + +∫

207. Resolver: 3cos x dx

senx∫

Solución: 3 2cos cos (cos )x x xdx dx

senx senx=∫ ∫



76

32cos cos(1 )x xdx sen x dx

senx senx= −∫ ∫

3cos cos cosx xdx dx senx xdxsenx senx

= −∫ ∫ ∫

3cos cot cosx dx xdx senx xdxsenx

= −∫ ∫ ∫

Haciendo el cambio de variable de: cosu senx du xdx= ⇒ =

32cos 1ln( )

2x dx senx sen x C

senx= − +∫

208. Resolver: ( )2 4c 2 ct 2tg x g x dx+∫

Solución: Sacando factor común ctg2x, se tiene:

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

2

3 3

3

ct 2 1 ct 2

ct 2 csc 2

ct 2 2csc 2 , :121 ct 22 3 2(3)

ct 26

I g x g x dx

I g x x dx

sea u g x du xdx luego tenemos

I u du

u g xI C

g xI C

= +

=

= ⇒ = −

= −

= − = +

= +

∫∫

∫

209. Resolver: 3 2tan .secx xdx−∫

Solución:

Si se tiene 2tan secu x du xdx= ⇒ = Al reemplazar en la integral tenemos:

3

2

2

I u du

uI C

−

−

=

= +−

∫



2

2

1 tan21 ct2

I x C

I g x C

−= − +

= − +

210. Resolver: 3 1/ 2tan secx xdx−∫

Solución:

( )

2 1/ 2

2 1/ 2

3/ 2 1/ 2

1/ 2 3/ 2

tan .tan sec

tan sec 1 sec

tan sec tan sec

tan .sec sec tan .sec .sec

x x xdx

x xdx

x x x xdx

x x xdx x x xdx

−

−

−

−

=

= −

= −

= −

∫∫∫ ∫∫ ∫

Sea sec sec tanu x du x xdx= ⇒ = Reemplazando se tendrá

( )

1/ 2 3/ 2

3/ 2 1/ 2

3/ 2 1/ 2

2 232 sec 2sec3

I u du u du

I u u C

I x x C

−

−

−

= −

= − − +

= + +

∫ ∫

Integración por partes El método por partes consiste en elegir adecuadamente una función “u” y un “dv” y utilizando el teorema que nos dice:

En el que en el resultado la integral vdu∫ , debe ser una integral

más sencilla de resolver a comparación de la inicial, caso contrario será necesario volver a elegir las funciones, que nos permita obtener una integral más sencilla.



78

211. Resolver: ln xdx∫

Solución:

1lnu x du dxsea x

dv dx v x

= ⇒ = = ⇒ =

Note que para reemplazar en el teorema es necesario encontrar

“du” y “v”, es decir de la función “u” podemos encontrar “du”

derivando y “v” lo encontramos integrando “dv”, así entonces

según el teorema se tiene:

1ln lnxdx x x x dxx

= −∫ ∫

ln lnxdx x x dx= −∫ ∫

ln lnxdx x x x C= − +∫

( )ln ln 1xdx x x C= − +∫

212. Resolver: lnx xdx∫

Solución:

Si 2

1ln

2

u x du dxxxdv xdx v

= ⇒ = = ⇒ =

Así entonces se tiene: 2 2

2 2

22

1ln .ln .2 2

1ln ln .2 2 2

1ln ln2 4

x xx dx x dxx

x xx dx x C

xx dx x x C

= −

= − +

= − +

∫ ∫∫∫



213. Resolver: 2 lnx xdx∫

Solución:

Asumimos que: 32

1ln

3

u x du dxxxdv x dx v

= ⇒ = = ⇒ =

3 32 1ln ln

3 3x xx xdx x dx

x= −∫ ∫

3 32

32 3

1ln ln .3 3 3

1ln ln3 9

x xx xdx x C

xx xdx x x C

= − +

= − +

∫∫

214. Resolver: 2xxe dx∫

Solución:

Sea 2 212

x x

u x du dx

dv e dx v e

= ⇒ =

= ⇒ =

2 2 2

22 2

2 2

1 12 21 12 2 21 12 2

x x x

xx x

x x

xe dx xe e dx

exe dx xe C

xe dx e x C

= −

= − +

= − +

∫ ∫∫∫

215. Resolver: arctan xdx∫

Solución:

Asumimos ( )2

112 .

2 (1 )1xu arctg x du dx dx

x xx

dv dx v x

= ⇒ = = ++ = ⇒ =

Entonces mediante el teorema udv uv vdu= −∫ ∫

Se tiene:



80

1 1arctan22 (1 ) (1 )

xxdx xarctg x x dx xarctg x dxx x x x

= − = −+ +∫ ∫ ∫

Integrando el segundo sumando se tiene:

Sea t x= entonces 2 2t x además dx tdt= = , entonces tenemos: 2

2

2

2 2

2(1 )(1 )

12 2 11 1

x tdx tdtt tx x

t dt dtt t

=++

= = − + +

∫ ∫∫ ∫

( )2( )

2

t arctgt

x arctg x

= −

−

Luego reemplazando tenemos:

( )1arctan 22

arctan

arctan ( 1)

xdx xarctg x x arctg x C

xdx xarctg x x arctg x C

xdx x arctg x x C

= − − +

= − + +

= + − +

∫∫∫

216. Resolver: ( )ln cossenx x dx∫

Solución:

Asumiendo ln cos

coscos

senxu x du dxx

dv senxdx v x

− = ⇒ = = ⇒ = −

Luego tenemos:

( )

( )

( )

ln cos cos ln cos coscos

ln cos cos ln cos cos

ln cos cos (1 ln cos )

senxsenx x dx x x x dxx

senx x dx x x x C

senx x dx x x C

− = − − −

= − + +

= − +

∫ ∫∫∫

217. Resolver: 2 xx e dx−∫

Solución:

Asumiendo 2 2

x x

u x du xdxdv e dx v e− −

= ⇒ =

= ⇒ = −

Se tiene:



2 2x xI x e xe dx− −= − − −∫ vemos que la integral resultante no es

posible integrar fácilmente pero al menos hemos reducido la

potencia del factor 2x a x , aplicando nuevamente el método por

partes para la integral xxe dx−∫ se tendrá

x x

u x du dxdv e dx v e− −

= ⇒ =

= ⇒ = −

Así tenemos:

2 2 2 .x x x xx e dx x e x e e dx− − − − = − + − − −

∫ ∫

2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e C− − − −= − − − +∫

( )2 2 2 2x xx e dx e x x C− −= − + + +∫

218. Resolver: arctan xdx∫

Solución:

Asumiendo 2

1arctan1

u x du dxx

dv dx v x

= ⇒ =+

= ⇒ =

2

2

arctan arctan11arctan . .tan ln(1 )2

xxdx x x dxx

xdx x arc x x C

= −+

= − + +

∫ ∫∫

219. Resolver: 2(ln )x dx∫

Solución:

Hacemos el reemplazo de: 2 1(ln ) 2ln .u x du x dx

xdv dx v x

= ⇒ = = ⇒ =

2 2

2 2

2(ln ) (ln ) ln

(ln ) (ln ) 2 ln

x dx x x x xdxx

x dx x x xdx

= −

= −

∫ ∫∫ ∫



82

Recurrimos al ejercicio 211, puesto que ya hemos resuelto la integral de lnx, en conclusión se tendrá

2 2(ln ) (ln ) 2 (ln 1)x dx x x x x C= − − +∫

220. Resolver: 2 axx e dx∫

Solución:

Asumiremos que:

2 21ax ax

u x du xdx

dv e dx v ea

= ⇒ =

= ⇒ =

2 2 1 1 .2ax ax axx e dx x e e xdxa a

= −∫ ∫

22 2ax

ax axx ex e dx xe dxa a

= −∫ ∫

2 22

2 3

2 1 1 2 2ax ax ax axax axx e x e xe ex e dx e x C

a a a a a a a = − − + = − +

∫

2 22

1 2 2ax ax xx e dx e x Ca a a

= − + + ∫

Integración por sustitución trigonométrica

Para aplicar este método es necesario considerar lo siguiente: Existen 3 casos; para la sustitución se asume que una variable z arbitraria está en el dominio de la función trigonométrica inversa correspondiente, cuando el integrando contiene expresiones de la forma:

2 2

2 2

2 2

2 2

tan2 2

3sec 02 2

a u asumimos que u asenz z

a u asumimos que u a z z

u a asumimos que u a z z y z

π π

π π

π ππ

− = − ≤ ≤

+ = − ≤ ≤

− = ≤ ≤ ≤ ≤

Y al realizar la sustitución se tendrá:



2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

. cos

. tan sec

. sec tan

I a u a a se z a z

II a u a a z a z

III u a a z a a z

− = − =

+ = + =

− = − =

221. Evaluar la siguiente integral: 2 2a x dx+∫

Solución: Considerando que es de la forma II tenemos:

( )( )

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 3

tan sec :

tan sec 1 tan sec

sec sec sec sec sec ............( )

Sea x a z dx a z dz luego

a x dx a a z a zdz a z a z dz

a z a zdz a z a zdz a z dz α

= ⇒ =

+ = + = +

= = =

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Ahora nos encargaremos de integrar 3sec xdx∫ , que es una

integral tipo por su forma y como se obtiene el resultado, veamos:

Podemos hacer lo siguiente: 3 2sec sec secx dx x x dx=∫ ∫

( )3 2 2sec sec tan sec tan sec tan sec sec 1x dx x x x x dx x x x x dx= − = − −∫ ∫ ∫

3

3

3

sec tan sec sec

integral sec :

2 sec sec tan sec

x x xdx x dx

pasando la xdx al segundo miembro tenemos

x dx x x x dx

= − +

= +

∫ ∫∫

∫ ∫

Luego se obtiene 3 1sec sec tan ln sec tan2

x dx x x x x C= + + + ∫

Entonces reemplazando en α se tiene:

2

u = sec x du sec x tan x dxdv = sec x dx v tan xentonces :

⇒ =

⇒ =



84

( )2 3 2 1sec sec tan ln sec tan2

a z dz a z z z z C = + + + ∫

Para reemplazar el resultado en función de la variable original Retomamos lo asumido, es decir; x=a(tanz), entonces tenemos el siguiente triángulo: De donde podemos obtener las funciones trigonométricas que necesitamos reemplazar en el resultado con la variable original “x” Entonces tenemos:

( )2 2 2 2

2 21 1 1sec tan ln sec tan ln2 2 2

a x x a x xa z z z z C a Ca a a a

+ + + + + = + + +

2 22 2 21 1 ln

2 2a x xx a x a C

a+ +

= + + +

( )2 2 2 2 2 21 1 1ln ln2 2 2

x a x a a x x a a C= + + + + − +

2 2 2 2 2 21 1 1ln ln2 2 2

x a x a a x x a a C= + + + + − +

2 2 2 2 2 2 21 1 ln2 2

a x dx x a x a a x x C+ = + + + + +∫

222. Resolver: 2 36dx

x −∫

Solución: Hacernos la sustitución 6sec 6sec tanx z dx z z dz= ⇒ =

( )2 2 2

6sec tan36 6 6

dx z z dzentoncesx senz

=− −∫ ∫

( )2 2

6sec tan 6sec tan6 tan6 tan

z z dz z z dzzz

= =∫ ∫

sec ln sec tanz dz z z C= = + +∫

x

a

2 2a x+

x

z

2 26x +

6



2 22 2

:

6ln ln 66 6

reemplazando

x x C x x C−= + + = + − +

223. Resolver: 2 4dx

x +∫

Solución:

( )

( )

2 2 2

2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 22 2

2

2

2

4 22 tan 2sec .

2sec:2 2 tan 2

2sec 2sec 2sec2sec2 sec2 tan 1

4sec ln sec tan ln2 2

ln 44

dx dxx x

Entonces sea x z dx z dzdx z dzReemplazando

x z

z dz z dz z dzzzz

x xz dz z z C C

dx x x Cx

=+ +

= ⇒ =

=+ +

= = =+

+= = + + = + +

= + + ++

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫∫

224. Resolver: 2 2 4

dxx x +∫

Solución:

( )( )

( )( )

2

2 2 2 2

2

2 22 22

2 2 2 2 22

4 22 tan 2sec .

2 tan 2sec 2 tan 2sec

2 2 tan 12 tan 2

dx x dxx x x

Sea x z dx z dz

z z dz z z dzx dxReemplazandox zz

−

− −−

=+ +

= ⇒ =

= =+ ++

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( )

( )

( )

2 22 2

2 2

22

21

22

2 tan 2sec 2 tan 2sec2sec2 sec

1 1 sectan sec4 4 tan

1 1cos4 4

1 4 1 44 4

z z dz z z dzzz

z dzz z dzz

senz z dz sen z C

x C x Cx x

− −

−

−−

= =

= =

= = − +

+= − + = − + +

∫ ∫∫ ∫∫

2 4x +

z

x

2

2 4x +

z

x

2



86

225. Resolver: ( )3/ 2225

dx

x−∫

Solución:

( )3/2 32 2 225 5

dx dx

x x=

− −∫ ∫

5 5cosHacemos que x senz dx z dz= ⇒ =

( )3 3

2 2 22

5cos:5 5 5

dx z dzReemplazando se tienex senz

=− −∫ ∫

( )3 3

2 22 2

5cos 5cos

5 cos5 1

z dz z dz

zsen z= =

−∫ ∫

( )2 2

35cos 1 1cos sec

25 255cosz dz z dz z dzz

−= = =∫ ∫ ∫

2 2 2

1 1tan25 25 5 25 25

x xz C C Cx x

= + = + = +− −

226. Resolver: 2 24

dxx x−∫

Solución: 2

2 2 2 22 2cos

4 2dx x dx luegohacemos que x senz dx z dz

x x x

−

= = ⇒ =− −∫ ∫

( )( )

( )( )

2 22

2 2 2 2 22

2 2cos 2Reemplazando

2 2 12 2

senz z dz senz dxx dxx sen zsenz

− −−

= = =− −−∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2

2 2

2 2cos 2 2cos2cos2 cos

senz z dz senz z dzzz

− −

=∫ ∫

2

2

2

2 2

1 1csc cot4 4

1 44

1 444

z dz z C

x Cx

dx x Cxx x

= = − +

−= − +

= − − +−

∫

∫

227. Resolver: 2 25

dxx x−∫

Solución:

5

z

x

2 25 x−

2

z

x

2 22 x−



( )( )

( )( )

( )( )

( )

2

2 2 2 2

2 22

2 2 222 2

2 2

2 2

, 5 5 cos .5 5

5 5 cos 5 5 cos

5 5 15 5

5 5 cos 5 5 cos

5 cos5 cos

dx x dx podemos hacer que x senz dx z dzx x x

Luegohacemosla sustitución trigonométrica

senz z dz senz z dzx dx

x sen zsenz

senz z dz senz z dz

zz

−

− −−

− −

= = ⇒ =− −

= =− −−

= =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫2 2

2

2

2 2

1 1 1csc cot5 5 5

1 55

555

sen z dz z dz z C

x Cx

dx x Cxx x

−= = = − +

−= − +

−= − +

−

∫ ∫

∫

228. Resolver: 225

dxx x−∫

Solución:

Previamente 1

2 2 225 5dx x dx

x x x

−

=− −∫ ∫

Luego

( )( )

11

2 2 22

5 5cos

5 5cos:

5 5 5

x senz dx z dz

senz z dzx dxreemplazando tenemosx senz

−−

= ⇒ =

=− −∫ ∫

( )( )

( )1 1

2 22 2

5 5cos 5 5cos

5 cos5 1

senz z dz senz z dz

zsen z

− −

= =−∫ ∫

( ) 15 5cos 1 csc5cos 5

senz z dzz dz

z

−

= =∫ ∫

1 ln csc cot5

z z C= − +

2

2

2

1 5 25ln5

1 5 25ln525

x Cx x

dx x Cxx x

−= − +

− −= +

−∫

5

z

x

25 x−

5

z

x

2 25 x−



88

229. Resolver: 2 3/ 2 2(9 1) 9 1

x x

x x

e dx e Ce e

− −

− −= − +

+ +∫

Solución:

La integral se transforma a 2(3 ) 1

x

x

e dxe

−

− +∫ ,luego como la raíz tiene

la forma II, entonces: 23 tan 3 secx xe z e dx zdz− −= ⇒ − = , luego

2 2sec sec3 tanx

zdz zdzdxe z−= − = −

Reemplazando en la integral tenemos:

( )2

3 32

1 tan sec3 sec tan(3 ) 1

x

x

e dx z zdzz ze

−

−= −

+∫ ∫

( )32

1 1 1 1cos3 sec 3 3(3 ) 1

x

x

e dx dz zdz senz Cze

−

−= − = − = − +

+∫ ∫ ∫

( )3 2 22

1 33 9 1 9 1(3 ) 1

x x x

x xx

e dx e eC Ce ee

− − −

− −−= − + = − +

+ ++∫

230. Resolver: 2 2

2

9 93

x dx x xarcsen Cx x− −

= − − +∫

Solución: Siendo el radical de la primera forma se tiene:

3 3cosx senx dx zdz= ⇒ = Reemplazando en la integral se tiene:

2

2 2

9 (3cos )(3cos )9

x dx z zdzx sen z−

=∫ ∫

2 22 2

2 2

9 cos cosx dx z dz z sen zdzx sen z

−−= =∫ ∫ ∫

2 22

2 2

9 1 (csc 1)x dx sen z dz z dzx sen z− −

= = −∫ ∫ ∫

22

2

9 cscx dx zdz dzx−

= −∫ ∫ ∫

2 22

2

9 9cot3

x dx x xz z arcsen Cx x− − = − − = − − +

∫

29 1xe− +

z

3 xe−

1

5

z

x

2 25 x−



LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA

En esta sección nos ocuparemos de algunas aplicaciones que tiene la integral en la administración, pero previamente se debe definir la integral definida y luego esta integral definida es evaluada entre dos límites, el cual nos permitirá encontrar resultados numéricos en nuestras aplicaciones. Definición.- Sea f(x) una función con una antiderivada que denotaremos por F(x). Sean a y b dos números reales tales que f(x) y F(x) existen para todos los valores de x en el intervalo cerrado con puntos extremos a y b. Entonces la integral definida de f(x) de x=a a x=b se denota por

( )b

a

f x dx∫ y está definida por:

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫

Los números a y b son llamados límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior. Por lo general a<b, pero esto no es esencial. Cuando evaluamos una integral definida, se puede utilizar las siguientes notaciones:

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f x dx F x F b F a= = −∫ ó ( ) ( ) ( ) ( )bb

a a

f x dx F x F b F a= = −∫

Al evaluar una integral definida no se considera la constante de integración, puesto que ésta desaparece al evaluarse.

Aplicaciones a la administración

231. (Maximización de la utilidad) Las tasas de ingreso y costo en una

operación de perforación petrolera están dados por 1/ 2'( ) 14R t t= − y 1/ 2'( ) 2 3C t t= + respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R

y C se miden en millones de dólares. ¿Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de obtener la utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima? Solución:



90

Para maximizar o minimizar una función f(x) se considera la derivada de la función f(x) a cero en consecuencia como es necesario obtener la utilidad máxima tendremos que igualar la derivada de la utilidad a cero, esto es;

( ) ' 0u t = , pero '( ) '( ) '( )u t R t c t= − , luego '( ) '( )R t C t= reemplazando se tiene:

1/ 2 1/ 214 2 3t t− = + 1/ 2 1/ 212 4 3 9t t t= ⇒ = ⇒ =

En consecuencia la perforación de petróleo deberá prolongarse por un tiempo de 9 años. Para encontrar la utilidad máxima se deberá integrar la utilidad en el tiempo de dura la perforación de petróleo es decir en los 9 años es decir;

9 9 91/2 1/2

0 0 0

'( ) [ '( ) '( )] [(14 ) (2 3 )]u t dt R t C t dt t t dt= − = − − +∫ ∫ ∫

99 3/21/2 3/2 3/2

0 0

8 8(12 4 ) 12 4 12(9) (9) 12(0) (0)3 / 2 3 3tt dt t − = − = − − −

∫

8108 (27) 108 72 363

− = − =

Por consiguiente la máxima utilidad será de $36 millones.

232. (Superávit del consumidor y del productor) Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta son: D: p=15-2x O: p=3+x (Considere que se ha establecido el equilibrio del mercado) Solución: Puesto que se ha establecido el equilibrio de mercado, entonces la demanda será igual a la oferta, según definición de punto de equilibrio. 15 2 3 12 3 4x x x x− = + ⇒ = ⇒ = Según la definición de superávit del consumidor ó excedente del consumidor es el ahorro del consumidor a medida que la demanda aumenta y esta dado por:

0

00

[ ( ) ]x

SC f x p dx= −∫ , en donde la función f(x) es la función de

demanda y p0 es el precio para la cantidad de equilibrio, luego tenemos: Para x=4, p0=15-2(x0)=15–2(4)=7


44 4 2

0 0 0

[(15 2 ) 7] (8 2 ) 8 22xSC x dx x dx x= − − = − = −∫ ∫

2 2[8(4) (4) ] [8(0) (0) ] 32 16 1616

SCSC

= − − − = − ==

En consecuencia el superávit del consumidor es de 16 unidades. Para el superávit del productor tenemos:

0

00

[ ( )]x

SP p g x dx= −∫ , que es la ganancia o beneficio del productor

en el mercado de libre competencia, en donde p0 es el precio de equilibrio para la cantidad de equilibrio en la oferta y g(x) es la función de oferta, entonces se tiene:

0 4

00 0

[ ( )] [7 (3 )]x

SP p g x dx SP x dx= − = = − +∫ ∫

42 2 2

0

(4) (0)4 4(4) 4(0) 16 8 82 2 2

8

xSP x

SP

= − = − − − = − =

=

En consecuencia el superávit del productor es de 8 unidades.

Bibliografía de referencia

1. Abel Arce Carrasco (2006). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Y MATEMÁTICA BÁSICA: Sus Aplicaciones. Segunda Edición, Centro Bartolomé de las Casas, Cusco.

2. Jagdish C. Arya & Robin W. Lardner (1992). MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA ECONOMIA: Tercera Edición, Prentice Hall, México.

3. Laurence D. Hoffmann & Gerald L. Bradley (2005). CÁLCULO para administración, economía, ciencias biológicas y sociales. Séptima Edición, McGraw Hill, Colombia.

4. Edwin J. Purcell y otros (2007). CÁLCULO. Novena Edición, Pearson, México.

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Universidad Nacional José María Arguedas - …jestradap.weebly.com/uploads/8/2/2/9/8229848/libro.pdf · El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow,