UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I ELASTICIDAD AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ

UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL

““SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVILFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA I

ELASTICIDADAUTOR: AUTOR: MagMag. . Optaciano L. Vásquez GarcíaOptaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚHUARAZ - PERÚ

20102010

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““SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

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CURSO: FISICA I

ELASTICIDADAUTOR: AUTOR: MagMag. . Optaciano L. Vásquez GarcíaOptaciano L. Vásquez García

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20102010

Optaciano Optaciano VasquezVasquez

I. OBJETIVOSI. OBJETIVOS• Determinar esfuerzos normales de elementos Determinar esfuerzos normales de elementos

estructurales.estructurales.

• Determinar deformaciones de elementos Determinar deformaciones de elementos estructuralesestructurales

• Estudiar las propiedades mecánicas de Estudiar las propiedades mecánicas de materiales materiales

• Evaluar esfuerzos y deformaciones en Evaluar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales en el rango elástico.elementos estructurales en el rango elástico.

• Resolver ejercicios y problemas sobre la Resolver ejercicios y problemas sobre la unidadunidad

II. INTRODUCCIÓNII. INTRODUCCIÓN• Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo

diseño y construcción se ocupa el ingeniero en diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de propiedad de resistencia mecánicaresistencia mecánica, es decir, , es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas).la acción de fuerzas externas (cargas).

• Con este propósito, los elementos (piezas) de Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones.las correctas dimensiones.

• El primer objetivo de la Resistencia de El primer objetivo de la Resistencia de materiales, materiales, es estudiar los métodos de cálculo es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las construcciones.de la resistencia de las construcciones.

II. INTRODUCCIÓNII. INTRODUCCIÓN• Además de esto, en muchos casos, es Además de esto, en muchos casos, es

necesario determinar las variaciones de forma necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones (deformaciones), que y de las dimensiones (deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas. Los cuerpos rígidos, sometidas a cargas. Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existenrealidad no existen

• Las deformaciones de un sólido sometido a Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan carga en general son pequeñas y se detectan con los con los extensómetrosextensómetros. Las deformaciones . Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin leyes de equilibrio y de movimiento. Sin embargo, estas deformaciones son de gran embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. utilidad para el diseño de estructuras y piezas.

II. INTRODUCCIÓNII. INTRODUCCIÓN• Al mismo tiempo, en muchos casos, resulta Al mismo tiempo, en muchos casos, resulta

necesario limitar el valor de las necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con las dimensiones del comparación con las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la imposible el funcionamiento normal de la construcción.construcción.

• La propiedad del elemento de oponerse a La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama las deformaciones de llama RigidezRigidez. . De De aquí que el segundo objetivo es aquí que el segundo objetivo es la la exposición de los métodos de cálculo exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las de la rigidez de los elementos de las construcciones.construcciones.

II. INTRODUCCIÓNII. INTRODUCCIÓN• El problema siguiente de la Resistencia de El problema siguiente de la Resistencia de

Materiales es el estudio de Materiales es el estudio de la estabilidad de las la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos realesformas de equilibrio de los cuerpos reales. La . La estabilidad, es la capacidad de un elemento de estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es estable, si a una dice que el equilibrio es estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones.variación pequeña de las deformaciones.

• Por tanto el tercer objetivo Por tanto el tercer objetivo es es la exposición la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las construcciones.de los elementos de las construcciones.

III. III. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.RESISTENCIA DE MATERIALES.

• Primera suposición: Primera suposición: El material debe ser El material debe ser macizo y continuomacizo y continuo. Es decir, debe despreciarse . Es decir, debe despreciarse la estructura atomística, discontinua de la la estructura atomística, discontinua de la materia. materia.

• Segunda suposición: Segunda suposición: El elemento se El elemento se considera considera homogéneohomogéneo, es decir tiene , es decir tiene propiedades idénticas en todos los puntos. En propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos homogéneos son la homogéneos. Menos homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está relleno. El hormigón por ejemplo, está compuesto por piedras pequeñas, grava, compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cementodel cemento


• Tercera suposición:Tercera suposición: El material debe El material debe ser ser isótropo, isótropo, es decir sus propiedades en es decir sus propiedades en todas las direcciones deben ser iguales. Las todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos materiales cristales que forman muchos materiales tienen propiedades muy diferentes según tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere.las diferentes direcciones que se considere.

• Sin embargo, en el caso de materiales Sin embargo, en el caso de materiales compuestos por granos finos, las compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son propiedades en distintas direcciones son iguales. Para materiales como la madera, el iguales. Para materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícita hormigón armado esta suposición es lícita con cierta aproximación.con cierta aproximación.


• Cuarta suposición: Cuarta suposición: Se considera que las Se considera que las fuerzas internas, originales son nulas.fuerzas internas, originales son nulas.

• Esta suposición no se cumple cabalmente Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales utilizados en en ninguno de los materiales utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de aparecen como producto del secamiento de la misma, y en el concreto armado la misma, y en el concreto armado aparecen durante el fraguado.aparecen durante el fraguado.


Quinta suposición: Quinta suposición: Esta suposición también Esta suposición también se llama se llama principio de superposición de cargasprincipio de superposición de cargas. . Expresa que el efecto debido a la acción de un Expresa que el efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones de estas la suma de los efectos de las acciones de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple :arbitrario. Esta hipótesis se cumple :

• Los desplazamientos de los puntos de Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las dimensiones del sólido.comparados con las dimensiones del sólido.

• Los desplazamientos que acompañan a las Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.linealmente de las cargas.


Sexta suposición:Sexta suposición: También llamado También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los puntos del sólido, fuerzas interiores en los puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de depende muy poco del modo concreto de aplicación de estas cargas.aplicación de estas cargas.

Este principio permite en muchos casos Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de fuerzas por otro, sustituir un sistema de fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.permite simplificar los cálculos.

IV. IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASFUERZAS EXTERNAS E INTERNAS Las fuerzas pueden ser de contacto o fuerzas de Las fuerzas pueden ser de contacto o fuerzas de

cuerpo.cuerpo.

Las fuerzas de contacto pueden ser concentradas y Las fuerzas de contacto pueden ser concentradas y distribuidas.distribuidas.

Las fuerzas de cuerpo son aquellas que se ejercen Las fuerzas de cuerpo son aquellas que se ejercen entre cuerpos sin existir constando entre cuerpos: entre cuerpos sin existir constando entre cuerpos: Son ejemplos las fuerzas gravitacionales, eléctricas Son ejemplos las fuerzas gravitacionales, eléctricas y las magnéticasy las magnéticas

IV. IV. FUERZAS EXTERNAS E FUERZAS EXTERNAS E INTERNASINTERNAS

Consideremos un sólido de forma arbitraria Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores (concentradas o distribuidas) tal exteriores (concentradas o distribuidas) tal como se muestracomo se muestra

IV. IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASFUERZAS EXTERNAS E INTERNAS Para obtener las fuerzas internas se usa el Para obtener las fuerzas internas se usa el

método de las secciones. Es decir se traza método de las secciones. Es decir se traza un corte imaginario a través de una región un corte imaginario a través de una región específica dentro del cuerpo donde van a específica dentro del cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas y se determinarse las fuerzas internas y se separa una parte como se muestrasepara una parte como se muestra


• Aunque la distribución de las fuerzas Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para ecuaciones de equilibrio estático para relacionar las fuerzas exteriores que actúan relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución, resultantes de la distribución,

IV. IV. FUERZAS EXTERNAS E INTERNASFUERZAS EXTERNAS E INTERNAS• Al hacerlo así, la fuerza observe que Al hacerlo así, la fuerza observe que

actúa a través del punto O, aunque su valor actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización del punto. De no dependa de la localización del punto. De otro lado, si depende de la localización. otro lado, si depende de la localización. En general puede escogerse al punto de En general puede escogerse al punto de aplicación de la resultante al caplicación de la resultante al centroideentroide del del área seccionada.área seccionada.

RF

ORM


• Las componentes de y según las Las componentes de y según las direcciones direcciones xx, , yy y y z,z, mostradas en la mostradas en la figura, indican la aplicación de cuatro figura, indican la aplicación de cuatro diferentes tipos de carga definidas como diferentes tipos de carga definidas como sigue:sigue:

RF

ORM


• Fuerza normal (NFuerza normal (Nzz). ).

Es aquella fuerza que actúa Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla siempre que las fuerzas externas desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos tienden a jalar o empujar los dos segmentos.segmentos.

Fuerza cortante (V).Fuerza cortante (V).

Es aquella fuerza que reside en el plano Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando imaginario de corte y se desarrolla cuando las fuerza externas tienden a ocasionar el las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.sobre el otro.


• Momento o par torsional (TMomento o par torsional (Tzz).).

Aquel momento que aparece cuando las Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra.del cuerpo respecto a la otra.

• Momento flexionante (M).Momento flexionante (M).

Aquel momento causado por las fuerzas Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.del plano.


Momento o par torsional (TMomento o par torsional (Tzz).).

Aquel momento que aparece cuando las Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra.del cuerpo respecto a la otra.

Momento flexionante (M).Momento flexionante (M).

Aquel momento causado por las fuerzas Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al cuerpo externas que tienden a flexionar al cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.del plano.

V. ESFUERZOV. ESFUERZO• En esta sección se muestra la forma como En esta sección se muestra la forma como

determinar la fuerza y el momento internos determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un punto específico sobre el área resultantes en un punto específico sobre el área seccionadaseccionada

• Para resolver este problema es necesario Para resolver este problema es necesario desarrollar un medio para describir la distribución desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área de una fuerza interna en cada punto del área seccionada. Para esto, es necesario establecer el seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de concepto de esfuerzo.esfuerzo.

V. ESFUERZOV. ESFUERZO• Consideremos al área seccionada subdividida en Consideremos al área seccionada subdividida en

pequeñas áreas pequeñas áreas ΔAΔA, tal como se muestra en la , tal como se muestra en la figura b. La fuerza finita muy pequeña que actúa figura b. La fuerza finita muy pequeña que actúa sobre sobre ΔAΔA es es F F . . Esta fuerza como todas las Esta fuerza como todas las demás tendrá una dirección única, pero para demás tendrá una dirección única, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos nuestro estudio la descomponemos en dos FFnn y y FFtt las mismas que son normales y tangenciales las mismas que son normales y tangenciales al área respectiva como se ve en la figura c.al área respectiva como se ve en la figura c.

V. ESFUERZOV. ESFUERZO• Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza o o

sus componentessus componentes también tiende a cero. Sin también tiende a cero. Sin embargo, el cociente entre la fuerza y el área embargo, el cociente entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. tenderán a un límite finito. Este cociente se Este cociente se llama llama esfuerzoesfuerzo y describe la y describe la intensidad de intensidad de la fuerza internala fuerza interna sobre sobre un plano un plano específicoespecífico (área) que pasa por un punto. (área) que pasa por un punto.

V. ESFUERZO NORMALV. ESFUERZO NORMAL• Se define como esfuerzo Se define como esfuerzo

normal a la intensidad de normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad de fuerza, o fuerza por unidad de área, actuando área, actuando perpendicularmente a perpendicularmente a ΔAΔA. . Matemáticamente se escribe.Matemáticamente se escribe.

• Si la fuerza o esfuerzo normal Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” “jala” sobre el elemento de sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la área ΔA como se muestra en la figura se llama figura se llama esfuerzo de esfuerzo de tensióntensión, mientras que si , mientras que si “empuja” “empuja” sobre ΔA se sobre ΔA se denomina denomina esfuerzo de esfuerzo de compresióncompresión..

0lim n

A

F

A

V. ESFUERZO CORTANTEV. ESFUERZO CORTANTE• Se define como esfuerzo Se define como esfuerzo

cortante a la intensidad de cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad fuerza o fuerza por unidad de área, que actúa de área, que actúa tangencialmente a ΔA. tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este Matemáticamente este esfuerzo se escribe.esfuerzo se escribe.

• En la figura se ha En la figura se ha descompuesto este esfuerzo descompuesto este esfuerzo en dos componentes una en en dos componentes una en dirección x y la otra en dirección x y la otra en dirección ydirección y

0lim t

A

F

A

V. COMPONENTES DEL V. COMPONENTES DEL ESFUERZOESFUERZO

• Para especificar mejor la Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, se dirección del esfuerzo, se descompone en descompone en componentes rectangulares componentes rectangulares x, y x, y y y z,z, orientados como se orientados como se muestra Bajo estas muestra Bajo estas condiciones las condiciones las componentes del esfuerzo componentes del esfuerzo son.son.

• Las demás componentes se Las demás componentes se encuentran graficadas en la encuentran graficadas en la figura inferior figura inferior

0lim z

z A

F

A

0lim x

zx A

F

A

0lim y

zyA

F

A

V. COMPONENTES DEL V. COMPONENTES DEL ESFUERZOESFUERZO

• Si se corta al cuerpo en otros planos como Si se corta al cuerpo en otros planos como los que se muestra, aparecerán esfuerzos los que se muestra, aparecerán esfuerzos normales y cortantes perpendiculares y normales y cortantes perpendiculares y cortantescortantes

28

V.V. Componentes del esfuerzoComponentes del esfuerzo

Caso Caso 3D3D

xx

yy

zz

xyxy

xx

xzxz

yy

yzyz

yxyx

zz

zxzx

zyzy

El segundo El segundo subindice indica la subindice indica la dirección positiva dirección positiva del esfuerzo de del esfuerzo de

cortecorte

xyxy

El primer subíndice El primer subíndice indica el que es indica el que es

perpendicular a la perpendicular a la superficiesuperficie

xyxy == yx yx

zyzy = = yzyz

zxzx = = xzxz

COMPONENTES DEL COMPONENTES DEL ESFUERZOESFUERZO

VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN VI. ESFUERZO NORMAL MEDIO EN UN ELEMENTO CARGADO UN ELEMENTO CARGADO

AXIALMENTEAXIALMENTE• En la figura, se muestra un elemento estructural al En la figura, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas de tensión cual se le aplica las cargas de tensión PP, colineales , colineales con el eje centroidal de la barracon el eje centroidal de la barra. Estas fuerzas se . Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales.llaman fuerzas axiales. Si cortamos Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección imaginariamente a la barra a través de la sección transversal transversal a-aa-a, se puede dibujar el DCL de la mitad , se puede dibujar el DCL de la mitad derecha de la barra como se muestra en la figura. derecha de la barra como se muestra en la figura. El equilibrio nos indica que en la sección hay una El equilibrio nos indica que en la sección hay una distribución de fuerzas cuya resultante es distribución de fuerzas cuya resultante es F, F, la la misma que es normal a la superficie e igual en misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza externa magnitud a la fuerza externa PP y tiene una línea de y tiene una línea de acción que es colineal con acción que es colineal con P. P. Esta fuerza da origen Esta fuerza da origen a un esfuerzo normala un esfuerzo normal


AXIALMENTEAXIALMENTE• La intensidad media de la fuerza interna por La intensidad media de la fuerza interna por unidad de área normal es el unidad de área normal es el esfuerzo normal esfuerzo normal mediomedio expresado como expresado como

• En este capitulo se usa el símbolo σ para En este capitulo se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un convención de asignarle un signo signo positivopositivo si el si el esfuerzo es esfuerzo es de tensiónde tensión por el contrario se por el contrario se asigna un asigna un signo signo negativo negativo si el esfuerzo es de si el esfuerzo es de compresión.compresión.

m

F

A


AXIALMENTEAXIALMENTE• Para determinar el esfuerzo en un punto se divide Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza la misma que representa la resultante de fuerza la misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura En estas condiciones es esfuerzo se en la figura En estas condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuacióndetermina mediante la ecuación

0limA

F

A


AXIALMENTEAXIALMENTE• En general el valor obtenido En general el valor obtenido

para el esfuerzo en un punto para el esfuerzo en un punto dado de una sección dado de una sección transversal es diferente al transversal es diferente al obtenido mediante la obtenido mediante la ecuación y se encuentra que ecuación y se encuentra que el esfuerzo varía en la el esfuerzo varía en la sección.sección.

• La figura muestra a una barra La figura muestra a una barra delgada sometida a fuerzas delgada sometida a fuerzas axiales de compresión axiales de compresión PP y y P’P’, , estas variaciones son estas variaciones son pequeñas en puntos alejados pequeñas en puntos alejados del extremo, pero notoria en del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.puntos cercanos al extremo.

Ejemplo 01Ejemplo 01 • La barra de la figura tiene un ancho y La barra de la figura tiene un ancho y

espesor constantes de 35 mm y 10 mm, espesor constantes de 35 mm y 10 mm, respectivamente. Determine el esfuerzo respectivamente. Determine el esfuerzo normal medio máximo en la barra normal medio máximo en la barra cuando se le somete a las cargas cuando se le somete a las cargas mostradas mostradas

Solución ejemplo 01Solución ejemplo 01 • En primer lugar se determina las fuerzas En primer lugar se determina las fuerzas

internas para ello se usa el método de internas para ello se usa el método de las secciones y se aplica las ecuaciones las secciones y se aplica las ecuaciones de equilibrio como se muestra de equilibrio como se muestra

Solución ejemplo 01Solución ejemplo 01 • De la grafica fuerza – distancia se observa De la grafica fuerza – distancia se observa

que la máxima fuerza que aparece en la que la máxima fuerza que aparece en la barra es de 30 kNbarra es de 30 kN

• El esfuerzo normal medio máximo seráEl esfuerzo normal medio máximo será

• Gráficamente el esfuerzo es igual al Gráficamente el esfuerzo es igual al volumen de las fuerzas distribuidasvolumen de las fuerzas distribuidas

Ejemplo 02Ejemplo 02• La lámpara de 80 kg es soportada por dos La lámpara de 80 kg es soportada por dos

barras como se muestra en la figura. Si AB barras como se muestra en la figura. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene un tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene un diámetro de 8 mm. Determine el esfuerzo diámetro de 8 mm. Determine el esfuerzo normal medio en cada barranormal medio en cada barra

Ejemplo 02Ejemplo 02• En primer lugar se En primer lugar se

determina las fuerzas determina las fuerzas internas en cada una internas en cada una de las barras para ello de las barras para ello se traza el DCL del se traza el DCL del nudo B y se aplica las nudo B y se aplica las ecuaciones de ecuaciones de equilibrioequilibrio

Solución del ejemplo 02Solución del ejemplo 02• Los esfuerzos Los esfuerzos

normales medios en normales medios en cada barra seráncada barra serán

• El esfuerzo normal El esfuerzo normal medio en la barra AB medio en la barra AB se muestra en la se muestra en la figurafigura

Ejemplo 03Ejemplo 03• El cilindro mostrado El cilindro mostrado

en la figura es hecho en la figura es hecho de acero cuyo peso de acero cuyo peso específico es específico es = = 490 lb/pie3. 490 lb/pie3. Determine el Determine el esfuerzo de esfuerzo de compresión medio compresión medio actuando en los actuando en los puntos A y Bpuntos A y B

Ejemplo 03Ejemplo 03• En la figura se muestra En la figura se muestra

el DCL de una porción el DCL de una porción del cilindro cuya del cilindro cuya sección de corte pasa sección de corte pasa por A y B. El peso de por A y B. El peso de esta porción es W = esta porción es W = V. Por tanto la fuerza V. Por tanto la fuerza interna en esta sección interna en esta sección seráserá

Ejemplo 03Ejemplo 03• El esfuerzo de El esfuerzo de

compresión medio serácompresión medio será

VII. ESFUERZO CORTANTE VII. ESFUERZO CORTANTE SIMPLESIMPLE

• Considere un elemento sometido a una carga P Considere un elemento sometido a una carga P como se muestra en la figura. Si los soporte B y D como se muestra en la figura. Si los soporte B y D se consideran rígidos yse consideran rígidos y P P es suficientemente es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material falle a lo grande, ésta ocasionará que el material falle a lo largo de los planos AB y CD. El DCL del segmento largo de los planos AB y CD. El DCL del segmento central no apoyado mostrado en la indica que una central no apoyado mostrado en la indica que una fuerza cortante V = P/2 debe aplicarse a cada fuerza cortante V = P/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. El esfuerzo sección para mantener el equilibrio. El esfuerzo cortante medio distribuido sobre cada área cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define porseccionada se define por

s

P

A

VII. ESFUERZO CORTANTE VII. ESFUERZO CORTANTE simplesimple

• Las placas unidas por un perno así como las placas Las placas unidas por un perno así como las placas pegadas mostradas, respectivamente son ejemplos pegadas mostradas, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V son iguales a la las fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo cortante viene expresadoesfuerzo cortante viene expresado

med

P

A

VII. ESFUERZO CORTANTE VII. ESFUERZO CORTANTE simplesimple

med

P F

A A

VII. ESFUERZO CORTANTE VII. ESFUERZO CORTANTE DOBLEDOBLE• Las placas unidas por un perno, cuya vista Las placas unidas por un perno, cuya vista

transversal se da en la figura, y las placas pegadas transversal se da en la figura, y las placas pegadas mostradas en la 1ig figuras, respectivamente son mostradas en la 1ig figuras, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante ejemplos de elementos con conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los diagramas aparecen dos superficies cortantes Los diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras y las de cuerpo libre mostradas en las figuras y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzas internas cortantes V = P/2 y el esfuerzo es .internas cortantes V = P/2 y el esfuerzo es .med 2

P F

A A

VII. ESFUERZO CORTANTE VII. ESFUERZO CORTANTE DOBLEDOBLE• ..

med 2

P F

A A

Cortante dobleCortante doble

VIII.VIII. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO ESFUERZO DE APLASTAMIENTO • El esfuerzo de aplastamiento se presenta sobre la superficie El esfuerzo de aplastamiento se presenta sobre la superficie

de contacto entre dos elementos Interactuantes. Para el caso de contacto entre dos elementos Interactuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura. El remache ejerce sobre de la conexión mostrada en la figura. El remache ejerce sobre la platina la platina AA una fuerza igual y opuesta a la fuerza que ejerce una fuerza igual y opuesta a la fuerza que ejerce la platina sobre el remache véase figura. En este gráfico es la la platina sobre el remache véase figura. En este gráfico es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro interior de un cilindro de diámetro d d y longitudy longitud t t igual al igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio para el esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio para el esfuerzo de aplastamiento σesfuerzo de aplastamiento σbb, el mismo que se obtiene , el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza y el área proyectada del remache en la dividiendo la fuerza y el área proyectada del remache en la platina Debido a que esta área es igual a platina Debido a que esta área es igual a tdtd, donde , donde tt es el es el espesor de la platina y espesor de la platina y dd el diámetro del remache, se tiene. el diámetro del remache, se tiene.b

P P

A t d

1 - 49

• Trace un plano que pasa a través Trace un plano que pasa a través del elemento formando un ángulo del elemento formando un ángulo θθ con la normalcon la normal

2

0 0

0 0

coscos

cossin

sin cos

cos

F P PAA A

V P PAA A

• El esfuerzo normal y cortante El esfuerzo normal y cortante medios sobre el plano sonmedios sobre el plano son

ESFUERZO EN UN PLANO ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUOOBLICUO

cos sinF P V P

• Descomponiendo ala fuerza P en Descomponiendo ala fuerza P en componentes normal y tangencial componentes normal y tangencial al plano oblicuo al plano oblicuo

• De las condiciones de equilibrio, las De las condiciones de equilibrio, las fuerzas distribuidas (esfuerzos) fuerzas distribuidas (esfuerzos) sobre el plano pude ser equivalente sobre el plano pude ser equivalente a la fuerza Pa la fuerza P

• El esfuerzo normal es máximo El esfuerzo normal es máximo cuando el plano de referencia es cuando el plano de referencia es perpendicular al ejeperpendicular al eje

m0

0P

A

• El esfuerzo cortante es máximo El esfuerzo cortante es máximo cuando el plano forma un ángulo cuando el plano forma un ángulo de de ++ 45 45°° con respecto al eje con respecto al eje

0 0

sin 45 cos 452m

P P

A A

Esfuerzos máximosEsfuerzos máximos

2

0 0

cos sin cosP P

A A

• Los esfuerzos normal y cortante Los esfuerzos normal y cortante sobre el plano olicuo sonsobre el plano olicuo son

Esfuerzo último y esfuerzo Esfuerzo último y esfuerzo admisibleadmisible

• El conocimiento de los esfuerzos, el El conocimiento de los esfuerzos, el ingeniero lo usa para:ingeniero lo usa para:

a.a.El análisis de las estructuras y máquinas El análisis de las estructuras y máquinas existentes, para predecir su existentes, para predecir su comportamiento en condiciones de carga comportamiento en condiciones de carga especificado.especificado.

b.b.Diseño de nuevas estructuras y máquinas Diseño de nuevas estructuras y máquinas que cumplirán su función de una manera que cumplirán su función de una manera segura y económica.segura y económica.


Para poder realizar las acciones Para poder realizar las acciones anteriores debe saber como se comporta anteriores debe saber como se comporta el material cuando se le somete a cargas el material cuando se le somete a cargas conocidas.conocidas.

Para ello se realiza ensayos de Para ello se realiza ensayos de caracterización del material, por ejemplo caracterización del material, por ejemplo ensayos de tracciónensayos de tracción

De esta manera se determina la carga De esta manera se determina la carga última o de rotura (Pu). El esfuerzo último última o de rotura (Pu). El esfuerzo último seráserá

UU

P

A


De igual forma se pueden realizar ensayos De igual forma se pueden realizar ensayos para determinar el esfuerzo cortante último del para determinar el esfuerzo cortante último del material, obteniéndose.material, obteniéndose.

Un elemento esructural debe dieñarse de tal Un elemento esructural debe dieñarse de tal manera que la carga última sea mucho mayor que manera que la carga última sea mucho mayor que la carga de trabajo (carga admisible) o de diseño.la carga de trabajo (carga admisible) o de diseño.

Así sólo se utilizará una fracción de la carga últimaAsí sólo se utilizará una fracción de la carga última

El remanente se deja en reserva para un El remanente se deja en reserva para un desempeño segurodesempeño seguro

,U tU

F

A


La razó entre la carga última y la carga admisible se le La razó entre la carga última y la carga admisible se le denomina FACTOR DE SEGURIDADdenomina FACTOR DE SEGURIDAD

La escogencia de un buen factor de seguridad depende La escogencia de un buen factor de seguridad depende de un buen juicio del ingeniero. Entre otras tenemos:de un buen juicio del ingeniero. Entre otras tenemos:

a.a. Variaciones en las propiedades de los materiales: Variaciones en las propiedades de los materiales: composición, resistencia y dimensiones de los composición, resistencia y dimensiones de los elementos.elementos.

b.b. Número de ciclos de trabajoNúmero de ciclos de trabajo

c.c. Tipos de cargas que se considera en el disñoTipos de cargas que se considera en el disño

d.d. Tipos de fallas que pueden ocurrirTipos de fallas que pueden ocurrir

arg.

argU

adm

C a ultimaF S

c a admisible


e.e. Incertidumbre debido al método de analisisIncertidumbre debido al método de analisis

f.f. Deterioro que puede ocurrir en el futuroDeterioro que puede ocurrir en el futuro

g.g. Importancia del elemento conrespecto a la Importancia del elemento conrespecto a la seguridadseguridad

EjemploEjemplo• La barra mostrada en la figura tiene una La barra mostrada en la figura tiene una

sección transversal cuadrada cuyo ancho y sección transversal cuadrada cuyo ancho y espesor es 40 mm. Si se aplica una fuerza espesor es 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje centroidal axial de 800 N a lo largo del eje centroidal de la barra: determine el esfuerzo normal de la barra: determine el esfuerzo normal medio y el esfuerzo cortante promedio que medio y el esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el material en (a) el plano a-a y actúa sobre el material en (a) el plano a-a y (b) el plano b-b(b) el plano b-b

SoluciónSolución• La barra se secciona como se muestra en la La barra se secciona como se muestra en la

figura (b) obteniéndose la carga axial igual a P = figura (b) obteniéndose la carga axial igual a P = 800N800N

• El esfuerzo normal medio y cortante medio El esfuerzo normal medio y cortante medio seránserán

• La distribución de esfuerzos se muestra en la La distribución de esfuerzos se muestra en la figura (c).figura (c).

SoluciónSolución• En la figura se muestra el DCL del elemento En la figura se muestra el DCL del elemento

seccionado en b-b. Aquí actúan las fuerzas seccionado en b-b. Aquí actúan las fuerzas N y V.N y V.

• Aplicando las ecuaciones de equilibrioAplicando las ecuaciones de equilibrio

SoluciónSolución

• O en forma simplificadaO en forma simplificada

• Resolviendo estas ecuacionesResolviendo estas ecuaciones

SoluciónSolución• En este caso el área seccionada tiene un En este caso el área seccionada tiene un

espesor de 40 mm y una profundidad de 40 espesor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/sen60°= 46.19 mm, respectivamente. mm/sen60°= 46.19 mm, respectivamente. El esfuerzo normal y cortante seránEl esfuerzo normal y cortante serán

Ejemplo 02Ejemplo 02• El puntal de madera El puntal de madera

mostrado en la figura se mostrado en la figura se encuentra suspendido de encuentra suspendido de una barra de acero de una barra de acero de diámetro de 10 mm, diámetro de 10 mm, empotrada en la pared. Si empotrada en la pared. Si el puntal soporta una el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo calcule el esfuerzo cortante promedio en la cortante promedio en la barra en la pared y a lo barra en la pared y a lo largo de los dos planos largo de los dos planos sombreados sobre el sombreados sobre el puntal, uno de los cuales puntal, uno de los cuales es es abcdabcd. .

Solución 02Solución 02• El perno en su unión a la pared experimenta El perno en su unión a la pared experimenta

una fuerza cortante V = 5 kN como se muestra una fuerza cortante V = 5 kN como se muestra el DCL.el DCL.

• El DCL del segmento seccionado del puntal El DCL del segmento seccionado del puntal muestra que a través del área actúan dos muestra que a través del área actúan dos fuerzas cada una de V = 2,5 kNfuerzas cada una de V = 2,5 kN

• mm

Solución 02Solución 02• El esfuerzo cortante medio en la barra El esfuerzo cortante medio en la barra

será.será.

• El esfuerzo cortante del puntal seráEl esfuerzo cortante del puntal será

• Los diagramas de los esfuerzos en la barra Los diagramas de los esfuerzos en la barra y en el puntal se muestran en las figurasy en el puntal se muestran en las figuras

• mm

Ejemplo 03Ejemplo 03• El miembro inclinado en la figura está sometido a El miembro inclinado en la figura está sometido a

una fuerza de compresión de 3000 N. Determine el una fuerza de compresión de 3000 N. Determine el esfuerzo de compresión medio a lo largo de las esfuerzo de compresión medio a lo largo de las áreas de contacto definidas por AB y BC así como áreas de contacto definidas por AB y BC así como el esfuerzo cortante medio a lo largo del plano el esfuerzo cortante medio a lo largo del plano horizontal definido por EDBhorizontal definido por EDB

Ejemplo 03Ejemplo 03• En la figura se muestra el En la figura se muestra el

DCL el miembro inclinado DCL el miembro inclinado mostrado en la figura.mostrado en la figura.

• Aplicando las ecuaciones de Aplicando las ecuaciones de equilibrioequilibrio

• Aplicando las ecuaciones de Aplicando las ecuaciones de equilibrio al otro diagrama equilibrio al otro diagrama resultaresulta

Solucion 03Solucion 03• Los esfuerzos promedios de Los esfuerzos promedios de

compresión a lo largo de los compresión a lo largo de los planos horizontal y vertical planos horizontal y vertical del elemento inclinado sondel elemento inclinado son

• El esfuerzo cortante que El esfuerzo cortante que actúa a lo largo del plano actúa a lo largo del plano horizontal EDB horizontal EDB

EJEMPLOEJEMPLO• Una viga AB se sostiene mediante un puntal CD Una viga AB se sostiene mediante un puntal CD

y soporta una carga P = 3000 lb, como se y soporta una carga P = 3000 lb, como se muestra en la figura. El puntal que consta de muestra en la figura. El puntal que consta de dos miembros, se une a una viga mediante un dos miembros, se une a una viga mediante un tornillo que atraviesa ambos miembros en la tornillo que atraviesa ambos miembros en la junta C. Si el esfuerzo cortante medio junta C. Si el esfuerzo cortante medio permisible en el tornillo es de 15000 psi, ¿Qué permisible en el tornillo es de 15000 psi, ¿Qué diámetro mínimo se requiere para el tornillo?. diámetro mínimo se requiere para el tornillo?.

EjemploEjemplo • El área de la sección transversal de todos los El área de la sección transversal de todos los

elementos de la armadura que se muestra en la elementos de la armadura que se muestra en la figura es de 500 mm2, mientras que el figura es de 500 mm2, mientras que el diámetro de todos los pernos es de 20 mm. diámetro de todos los pernos es de 20 mm. Determine: (a) Los esfuerzos axiales en los Determine: (a) Los esfuerzos axiales en los miembros BC y DE y (b) el esfuerzo cortante en miembros BC y DE y (b) el esfuerzo cortante en el perno A, suponiendo que está en cortante el perno A, suponiendo que está en cortante dobledoble

EjemploEjemplo • El dispositivo mostrado en la figura sirve para El dispositivo mostrado en la figura sirve para

determinar la resistencia de la madera al determinar la resistencia de la madera al esfuerzo cortante. Las dimensiones de la esfuerzo cortante. Las dimensiones de la madera son 6 pulg x 8 pulg x 1,5 pulg. Si la madera son 6 pulg x 8 pulg x 1,5 pulg. Si la fuerza requerida para partirlo es de 12 kips, fuerza requerida para partirlo es de 12 kips, determine la resistencia promedio de la madera determine la resistencia promedio de la madera al esfuerzo cortanteal esfuerzo cortante

EjemploEjemplo • La sección transversal del punzón y la matriz de La sección transversal del punzón y la matriz de

la figura es un círculo de una pulgada de la figura es un círculo de una pulgada de diámetro. Una fuerza P = 6 kips se aplica al diámetro. Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el espesor d la placa es t = 1/8 pulg. punzón. Si el espesor d la placa es t = 1/8 pulg. Determine el esfuerzo cortante promedio en la Determine el esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de la trayectoria del punzón placa a lo largo de la trayectoria del punzón

EjemploEjemplo • Dos tubos de hierro de fundición se unen con Dos tubos de hierro de fundición se unen con

adhesivo en una longitud de 200 mm. El adhesivo en una longitud de 200 mm. El diámetro externo de cada tubo es de 50 mm y diámetro externo de cada tubo es de 50 mm y 70mm, y el espesor de su pared es de 10 mm. 70mm, y el espesor de su pared es de 10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de 100 Si se separan al transmitir una fuerza de 100 kN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio en kN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio en el adhesivo justo antes de la separación?.el adhesivo justo antes de la separación?.

Ejemplo Ejemplo • Un cilindro está sostenido Un cilindro está sostenido

por una barra y un cable, por una barra y un cable, tal como se muestra en la tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene una figura. El cilindro tiene una masa de masa de 100 kg100 kg y un radio y un radio de de 100 mm100 mm. Determine. Determine: (a): (a) El esfuerzo axial medio en El esfuerzo axial medio en el cable de acero CD de el cable de acero CD de 5 5 mmmm de diámetro de diámetro; ; (b)(b) El El diámetro mínimo requerido diámetro mínimo requerido para el seguro para el seguro A A si el si el esfuerzo cortante en el esfuerzo cortante en el seguro debe limitarse a seguro debe limitarse a 15 15 MPaMPa. El seguro A está a . El seguro A está a cortante doble.cortante doble.

Ejemplo Ejemplo • La viga está soportada por un pasador A La viga está soportada por un pasador A

y un eslabón BC. Determine el esfuerzo y un eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador B que cortante promedio en el pasador B que tiene un diámetro de 20 mm y está tiene un diámetro de 20 mm y está sometido a cortante doble.sometido a cortante doble.

Ejemplo Ejemplo • Un empalme en madera se fabrica con Un empalme en madera se fabrica con

adhesivo como se muestra en la figura. La adhesivo como se muestra en la figura. La longitud de la región pegada es L = 4 pulg y el longitud de la región pegada es L = 4 pulg y el espesor de la madera es de 3/8 pulg. espesor de la madera es de 3/8 pulg. Determine el esfuerzo de corte promedio en el Determine el esfuerzo de corte promedio en el adhesivo.adhesivo.

Ejemplo Ejemplo • Un empalme en madera se fabrica con Un empalme en madera se fabrica con

adhesivo como se muestra en la figura. La adhesivo como se muestra en la figura. La unión transmite una fuerza P = 20kips y tiene unión transmite una fuerza P = 20kips y tiene las siguientes dimensiones L = 3 pulg, a = 8 las siguientes dimensiones L = 3 pulg, a = 8 pulg y h = 2 pulg. Determine el máximo pulg y h = 2 pulg. Determine el máximo esfuerzo normal promedio y el esfuerzo esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante en el adhesivo.cortante en el adhesivo.

Ejemplo Ejemplo • Calcule el esfuerzo de compresión en la biela Calcule el esfuerzo de compresión en la biela

mostrada en la figura cuando se aplica una mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P = 10 lb al pedestal de freno. Suponga fuerza P = 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la línea de acción de la fuerza P es paralela que la línea de acción de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo diámetro es d = 0,22 pulgadas a la biela, cuyo diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras dimensiones ilustradas se miden y las otras dimensiones ilustradas se miden perpendicularmente a la línea de acción de la perpendicularmente a la línea de acción de la fuerza P.fuerza P.

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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA I ELASTICIDAD AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ