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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA

MODELAJE NUMÉRICO DE ALUDES TORRENCIALES UTILIZANDO EL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS

Trabajo de Grado presentado a la Universidad Simón Bolívar por

Carmen María Rodríguez Pastrano

Como requisito parcial para optar al grado de

Magíster en Ingeniería Mecánica

Realizado con la tutoría del Profesor

Armando José Blanco Alvarez

Enero, 2006

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A Dios, mis padres, hermanos, especialmente a Vanessa, mi sobrinita Camila y mi

maravilloso compañero Ceilan Oreste. Los quiero mucho…

Carmen M. Rodríguez P.

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AGRADECIMIENTOS

A la Universidad Simón Bolívar por brindarme sus instalaciones y recursos humanos para

lograr mí grado de Maestría.

A mi tutor el Dr. Armando José Blanco A. por su guía, enseñanzas, consejos sabios y

especialmente por su amistad. Gracias.

Al grupo de CEMFA-USB por todo el apoyo y cariño prestado durante mis estudios de

Maestría.

A mi compañera de estudio Andreina Acosta por motivarme, comprenderme, apoyarme e

invalorable amistad durante este tiempo.

Al Magíster Juan Carlos Marín y al Dr. Luis R. Rojas S. por sus consejos y amistad

incondicional en todo momento.

A la secretaria de la coordinación de postgrado Silvia Pernia, por su valiosa colaboración,

paciencia y amistad bridada.

A la Academia de Ciencias Matemáticas Físicas y Naturales por el apoyo económico otorgado

para la realización de mi tesis.

Al Dr. Carlos Azuaje por su apoyo en la culminación de mi trabajo de grado.

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RESUMEN

El trabajo de investigación consiste en el desarrollo de un modelo numérico unidimensional integrado en la vertical para predecir el comportamiento de los aludes torrenciales en canales rectangulares y no-rectangulares. El modelo incorpora diversas leyes de resistencia al flujo, utilizando el esquema de volúmenes finitos tipo Godunov para resolver las ecuaciones generalizadas de Saint-Venant. Los flujos numéricos de masa y momento son calculados usando el método de Riemann tipo Roe y una versión simplificada del mismo. La aproximación MUSCL (Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws) es aplicada para asegurar una precisión espacial de segundo orden.

Este modelo permite comparar los resultados obtenidos al utilizar diferentes modelos reológicos para caracterizar las mezclas agua-arcilla-sólidos que se forman durante un alud y predecir el comportamiento del flujo en lo referente a la evolución de la profundidad del flujo en el tiempo. Se incluye además un modelo sencillo que considera los procesos de erosión/deposición con los correspondientes cambios en el nivel de elevación del fondo. La comparación de los resultados obtenidos a partir de este modelo con soluciones exactas y con otros modelos numéricos y su validación con data experimental muestran que el esquema es preciso y robusto.

El modelo fue aplicado para un evento real de aludes torrenciales que ocurrió en el Valle Kamikamihori en Japón y comparado, para el mismo caso con un modelo numérico desarrollado por Rickenmann & Koch. Un mejor ajuste a la data observada en campo pudo ser realizado con el modelo aquí desarrollado utilizando las relaciones reológicas de Manning, Voellmy, inercial-dilatante y Bingham.

Los resultados reflejan que con las relaciones de Manning, Voellmy o la formulada por Takahashi se pueden reproducir mejor eventos reales que con las relaciones de Bingham e inercial-dilatante. Así mismo, es puesto en evidencia que la práctica usual de ajustar los parámetros asociados a cada modelo reológico con experimentos de laboratorio, a pequeña escala, es cuestionable debido a la posibilidad real de obtener un adecuado ajuste para cada relación reológica a esa escala.

Palabras claves: Aludes torrenciales, volúmenes finitos, leyes de resistencia al flujo, comportamiento reológico de mezclas, dinámica de fluidos computacional CFD.

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INDICE GENERAL

Pág. APROBACION DEL JURADO...……………………………………………………………………………….....i DEDICATORIA ……………………………………………………………………………………………….......ii AGRADECIMIENTOS………………………………………………………………………………………...….iii RESUMEN…………..………………………………………………………………………………………...…...iv INDICE GENERAL………………………………………………………………………………………...………v INDICE DE FIGURAS………………………………………………………………………………………...…viii INDICE DE TABLAS………………………………………………………………………………………...…....xi INTRODUCCIÓN............................................................................................................................1 MOTIVACIÓN ................................................................................................................................1 ANTECEDENTES............................................................................................................................3 OBJETIVOS Y ALCANCES ..............................................................................................................6

CAPITULO I: ALUDES TORRENCIALES..........................................................................8 1.1 LA VERTIENTE UN SISTEMA FÍSICO COMPLEJO............................................................8 1.2 TIPO DE TRANSPORTE.................................................................................................10 1.3 INICIALIZACIÓN, MOVIMIENTO Y DEPOSICIÓN DE UN ALUD TORRENCIAL .................12 1.3.1 Inicialización .........................................................................................................13 1.3.2 Movimiento ............................................................................................................14 1.3.3 Deposición.............................................................................................................16 1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS ALUDES TORRENCIALES.........................................................17 1.4.1 Alud torrencial lodoso...........................................................................................17 1.4.2 Alud torrencial granular .......................................................................................18 1.4.3 Alud torrencial volcánico ......................................................................................18 1.5 MODELAJE DE LOS ALUDES TORRENCIALES ...............................................................19 1.5.1 Aproximación Estadística......................................................................................19 1.5.2 Aproximación Determinística................................................................................20 1.5.2.1 Modelo Empírico: adaptación del modelo PCM al comportamiento del alud torrencial. .......................................................................................................................21 1.5.2.2 Modelos de profundidad promedio ...............................................................22 1.6 RELACIONES REOLÓGICAS Y ECUACIONES CONSTITUTIVAS.......................................24 1.6.1 Modelos Newtonianos ...........................................................................................25 1.6.2 Modelos Plástico de Bingham ...............................................................................26 1.6.3 Modelos Ley de Potencia.......................................................................................27 1.6.4 Modelos Herschel-Bulkley.....................................................................................27 1.6.5 Fluido Visco-Plástico Generalizado .....................................................................28 1.6.6 Fluido inercial dilatante........................................................................................29 1.6.7 Modelo Bilineal .....................................................................................................29 1.6.8 Liu & Huang..........................................................................................................30 1.6.9 O’Brien & Julien ...................................................................................................30 1.6.10 Fluido de Voellmy..................................................................................................31

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Pág. 1.6.11 Modelo de Egashira, Miyamoto & Itoh.................................................................32

CAPITULO II: MODELO MATEMATICO .......................................................................35 2.1 ECUACIONES QUE RIGEN LOS ALUDES TORRENCIALES ...............................................35 2.1.1 Conservación de Masa ..........................................................................................36 2.1.2 Conservación de Momento lineal ..........................................................................36 2.1.3 Ecuación Conservativa de Saint Venant ...............................................................37 2.2 RELACIONES DE RESISTENCIA AL FLUJO O REOLOGÍA EN ALUDES TORRENCIALES ....38 2.2.1 Ecuación Empírica de Manning............................................................................38 2.2.2 Fluido Voellmy ......................................................................................................39 2.2.3 Fluido Inercial-Dilatante ......................................................................................39 2.2.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica .......................................................................39 2.2.5 Fluido Bingham simplificada ................................................................................41 2.2.6 Formulación de Takahashi: Efectos de Erosión-Deposición................................41

CAPITULO III: MODELO NUMERICO ............................................................................44 3.1 MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS..............................................................................44 3.2 ESQUEMA TIPO GODUNOV..........................................................................................45 3.3 PASO PREDICTOR........................................................................................................46 3.4 EXTRAPOLACIÓN MUSCL..........................................................................................48 3.5 FLUJOS NUMÉRICOS ...................................................................................................48 3.6 PASO CORRECTOR ......................................................................................................54 3.7 ACOPLE DE LOS MODELOS REOLÓGICOS O RELACIONES DE RESISTENCIA AL FLUJO ..54 3.7.1 Ecuación Empírica de Manning............................................................................55 3.7.2 Fluido Voellmy ......................................................................................................57 3.7.3 Fluido Inercial-Dilatante ......................................................................................57 3.7.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica .......................................................................58 3.7.5 Fluido Bingham simplificada ................................................................................60 3.7.6 Formulación de Takahashi....................................................................................61 3.8 ACOPLE DEL MODELO DE EROSIÓN/DEPOSICIÓN........................................................62 3.9 CONDICIONES DE BORDES Y CELDAS IMÁGENES ........................................................65 3.10 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD......................................................................................67

CAPITULO IV: VALIDACION DEL MODELO................................................................68 4.1 ESTABILIDAD NUMÉRICA DEL MODELO .....................................................................68 4.1.1 Caso plano Horizontal sin Fricción ......................................................................69 4.1.2 Caso plano Inclinado con Fricción.......................................................................72 4.2 COMPARACIÓN CON SOLUCIONES ANALÍTICAS Y CON OTROS MODELOS NUMÉRICOS ..75 4.2.1 Comparación del modelo con solución analítica ..................................................75 4.2.2 Comparación del modelo con otros modelos numéricos ......................................77 4.3 AJUSTE DEL MODELO DE EROSIÓN/DEPOSICIÓN ..........................................................81 4.4 VALIDACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO CON EXPERIMENTOS DE LABORATORIO ........83 4.4.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1) ...........................................................84 4.4.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2) ............................................................85

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Pág.

CAPITULO V: RESULTADOS DEL MODELO ................................................................87 5.1 APLICACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO A UNA DATA EXPERIMENTAL.........................87 5.1.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1) ...........................................................88 5.1.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2) ............................................................91 5.2 APLICACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO A UN EVENTO REAL .......................................93 5.2.1 Calibración del Modelo Numérico........................................................................95 5.2.1.1 Simulaciones aplicando la relación de la ecuación de Manning ...................95 5.2.1.2 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Voellmy ...........................96 5.2.1.3 Simulaciones aplicando la relación del fluido inercial-dilatante...................97 5.2.1.4 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham simplificado .....98 5.2.1.5 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham ..........................99 5.2.1.6 Simulaciones aplicando la relación formulada por Takahashi ....................100 5.2.1.7 Comparación de los seis modelos reológicos ..............................................101 5.2.2 Comparación del Modelo Numérico con simulaciones realizadas en FLO2D...102 5.2.3 Comparación del Modelo Numérico con el Modelo de Rickenmann & koch .....103 5.3 ALGUNAS OBSERVACIONES FINALES.........................................................................107

CAPITULO VI: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .....................................108

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................................110

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INDICE DE FIGURAS

Pág. Figura 1-1: Una vertiente típica (Según Ancey, 2001)................................................................9

Figura 1-2: Simulación a menor escala del transporte de arrastre de fondo en el laboratorio. La fase sólida y liquida son distinguida (el agua fue coloreada con fluorescencia). La profundidad de flujo típica en este experimento fue 1 cm. (Según Ancey, 2001) ............11

Figura 1-3: Simulación a menor escala de un alud torrencial en el laboratorio. Las fases líquidas y sólidas están mezcladas (Según Ancey, 2001). ................................................11

Figura 1-4: Diagrama Esquemático de la sección vertical transversal del movimiento de una ola de alud torrencial sobre un plano inclinado.................................................................15

Figura 1-5: Formas de los canales en la deposición de los aludes torrenciales (según VanDine, 1996)..................................................................................................................................16

Figura 3-1: Flujos en la interfaces para la celda jth....................................................................49

Figura 3-2: El dominio Computacional [0, L] es extendido con dos celdas imágenes para especificar las condiciones de bordes................................................................................66

Figura 4-1: Diagrama para rompimiento de presa horizontal....................................................69

Figura 4-2: Sensibilidad del perfil de profundidad ante variaciones del número de Courant ...70

Figura 4-3: Efecto del número de celdas (∆x) en el perfil de profundidad ...............................71

Figura 4-4: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal horizontal sin fricción .........................................................................................................................71

Figura 4-5: Diagrama para rompimiento de presa inclinado.....................................................72

Figura 4-6: Perfil de profundidad de fluido a lo largo de un canal inclinado con fricción .......73

Figura 4-7: Efecto del coeficiente de resistencia al flujo (n) en el perfil de profundidad de un canal inclinado con fricción...............................................................................................73

Figura 4-8: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal inclinado con fricción........................................................................................................................74

Figura 4-9: Comparación del modelo numérico con solución analítica....................................76

Figura 5-10: Comparación del modelo numérico usando la RFF y SFF con la solución analítica (Henderson, 1966)...............................................................................................76

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Pág. Figura 4-11: Comparación entre las variaciones del volumen total (% error) usando las

aproximaciones RFF y SFF en función del tiempo ...........................................................77

Figura 4-12: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack ......................78

Figura 4-13: Perfiles de velocidad comparados con el modelo MacCormack ..........................78

Figura 4-14: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack (h0=1m)........79

Figura 4-15: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.01) comparados con el modelo MacCormack..............................................................................................79

Figura 4-16: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.03) comparados con el modelo MacCormack..............................................................................................80

Figura 4-17: Perfiles de número de Fraude en un canal triangular comparados con el modelo Sanders ..............................................................................................................................81

Figura 4-18: Estados inicial, intermedio y final del nivel de fondo ..........................................82

Figura 4-19: Diagrama esquemático de la ubicación de los sensores a lo largo del canal en las pruebas WES .....................................................................................................................84

Figura 4-20: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios hidrográficos del caso WES 1.1 (condición de baja resistencia).......................................85

Figura 4-21: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios hidrográficos del caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)........................................86

Figura 5-1: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=-31.5 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)......................................................88

Figura 5-2: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=0 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)..............................................................89

Figura 5-3: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=24.4m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia) ..................................................90

Figura 5-4: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=45.7m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia) ..................................................90

Figura 5-5: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=-31.5 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia).......................................................91

Figura 5-6: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=0 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)...............................................................92

Figura 5-7: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=24.4 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia) ..................................................92

Figura 5-8: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=45.7 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia) ..................................................93

Figura 5-9: Perfil longitudinal (Japón) y cambios en el ancho del tramo del Valle Kamikamihori seleccionado para el estudio......................................................................94

x

Pág. Figura 5-10: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning (n) y las

velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ..................................................96

Figura 5-11: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Chezy (C2) y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ..................................................97

Figura 5-12: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de rugosidad (ζ2) y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ..................................................98

Figura 5-13: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la ecuación simplificada y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón......99

Figura 5-14: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la ecuación cúbica y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ...............99

Figura 5-15: Simulaciones obtenidas para diferentes diámetros de sedimentos promedios (d) y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...........................................100

Figura 5-16: Simulaciones de los mejores ajuste de los parámetros en las relaciones reológicas con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ...................101

Figura 5-17: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el simulador comercial FLO2D y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón................................................................................................................................102

Figura 5-18: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el simulador comercial FLO2D y en el modelo numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ....................................................................103

Figura 5-19: Simulaciones usando la Ec. De Manning – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...........................................................................................................104

Figura 5-20: Simulaciones usando el Fluido de Voellmy – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...............................................................................................105

Figura 5-21: Simulaciones usando el Fluido Inercial Dilatante – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...............................................................................................105

Figura 5-22: Simulaciones usando el Fluido Bingham (Ec. Cúbica) – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...............................................................................................106

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INDICE DE TABLAS

Pág. Tabla 1-1: Cuadro resumen modelos reológicos para Aludes Torrenciales..............................33

Tabla 4-1: Características de un problema de rompimiento de presa horizontal, sin fricción. .69

Tabla 4-2: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción...72

Tabla 4-3: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, sin fricción con canal triangular. .................................................................................................................75

Tabla 4-4: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica. ..............................................................................................................82

Tabla 5-5: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica. ..............................................................................................................83

Tabla 5-1: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.1...........................................................................................................................................88

Tabla 5-2: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.2...........................................................................................................................................91

Tabla 6-3: Características y condiciones de entrada del evento real de alud torrencial. ...........95

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INTRODUCCION

1. Motivación

Los aludes torrenciales son uno de los mayores peligros naturales, acabando con miles de

vidas y ocasionando pérdidas materiales cuantiosas cada año, en muchas áreas montañosas de

la Tierra. El estudio del comportamiento de los aludes torrenciales tomo mayor auge después

de una erupción catastrófica ocurrida en Mount St. Helen en los Estados Unidos en mayo de

1980 (Scout, 1988), cuando toda el agua proveniente de la nieve derretida, de las lluvias

torrenciales y del desbordamiento del Lago Spirit se mezcló con grandes depósitos de cenizas

y barros produciéndose un enorme alud torrencial que causó daños en extensas áreas y causó

una cantidad importante de perdidas de vidas. En Colombia, durante la erupción de Nevado

del Ruiz, miles de personas fallecieron al desatarse un inmenso alud torrencial por el rápido

derretimiento de la nieve y el hielo en la cima del volcán (Voight, 1990). En 1991, la erupción

del volcán Pinatubo en Filipina (Ancey, 2001), dispersó más de cinco kilómetros cúbicos de

ceniza volcánica dentro de los valles; buena parte de éste sedimento fue subsecuentemente

movilizado como alud torrencial por las lluvias desbastando más de trescientos kilómetros

cuadrados de terreno de agricultura. En mayo de 1998, en Sarno y Quindici en el sur de Italia,

murieron aproximadamente doscientas personas por causa de un gran alud torrencial (Ancey,

2001). En diciembre de 1999, en Venezuela, estado Vargas, debido a fuertes y continuas

lluvias que ocasionaron el desprendimiento de extensas áreas montañosas llevaron a la

formación de un enorme alud torrencial que causó considerables daños materiales y miles de

pérdidas humanas.

El carácter catastrófico de estos aludes en vertientes montañosas es consecuencia del

transporte significativo de materiales sólidos asociados con el flujo de agua.

2

En general los aludes torrenciales son sistemas de fases dispersas líquidas y sólidas, con

propiedades reológicas condicionadas por los componentes sólidos y el contenido de agua.

Este tipo de flujo ocurre cuando masas cargadas con sedimentos de talla diversa, agitadas y

saturadas con agua, causan la formación de frentes fluidos, que descienden por altas

pendientes como respuesta a la atracción gravitacional. Ambos componentes, sólidos y

líquidos, influyen de manera apreciable en el movimiento.

La identificación de las áreas potencialmente peligrosas es esencial para el diseño de una

estrategia de prevención de catástrofes. A través de muchas formas estadísticas y empíricas

(Koulinski, 1993 y Rickenmann, 1996 y 1999) se han hecho propuestas para la estimación del

área afectada por el alud torrencial, obteniéndose resultados muy variables. El problema de

escalamiento entre experiencias de laboratorio y situaciones reales es particularmente

importante debido a la presencia de un fluido cuyo comportamiento reológico es en general no

newtoniano. De esta manera, la simulación numérica se convierte en una aproximación viable,

y económica, para la determinación de las variables físicas asociadas a estos fenómenos.

En acuerdo con lo antes planteado, estos fenómenos han sido estudiados considerablemente en

años recientes, disponiéndose de alguna información experimental y simulaciones numéricas,

así como con relaciones empíricas y modelos que son capaces de predecir buenas

aproximaciones a los parámetros característicos de estos flujos tales como velocidades y

elevaciones máximas y zona de influencia. Los esfuerzos iniciales para estudiar la propagación

de flujo en zonas con altas pendientes se han focalizado en los modelos de rompimiento de

presas incluyendo las variaciones que permitan considerar tanto la erosión como la deposición

de materiales de los lechos por los que transitan los aludes torrenciales. Sin embargo, las

simplificaciones necesarias a las hipótesis consideradas para la elaboración de modelos de

rompimiento de presas no representan completamente el flujo complejo que se presenta

durante un alud torrencial debido en buena parte a lo difícil de caracterizar reológicamente el

fluido y a las altas pendientes involucradas, que a su vez deben ser incorporadas en las

ecuaciones de movimiento, lo que hace que los modelos para aludes torrenciales sean

necesariamente más complejos.

Por otro lado, lo impredecible de este tipo de fenómenos dificulta la obtención de datos

experimentales con los que sea factible calibrar los modelos numéricos. La base de datos de

3

campo disponible para el análisis científico de los aludes torrenciales ha sido construida

principalmente de observaciones cualitativas y altamente idealizadas.

En función de lo anteriormente planteado y vista la ocurrencia en los últimos años de aludes

torrenciales en el territorio nacional, se hace evidente la necesidad de contar con modelos

numéricos que permitan la simulación de aludes torrenciales. Además de satisfacer estas

necesidades y alcanzar un mayor entendimiento de los mecanismos que gobiernan el

fenómeno de los aludes torrenciales, desarrollar un modelo propio permite la realización a

futuro de modificaciones como podrían ser incluir, adaptar y acoplar otros modelos reológicos

que se muestren más apropiados para la simulación de la física de los aludes torrenciales. Otra

ventaja que tiene la creación de un modelo con estas características es conocer las

discrepancias numéricas producto de validaciones con resultados experimentales y reales, lo

que permite predecir su funcionalidad y su potencial para la caracterización de los aludes

torrencial en condiciones reales.

Finalmente, este trabajo permite avanzar hacia la independencia tecnológica así como la

económica de la nación en lo relativo a la disminución de la dependencia causada por la

utilización de modelos foráneos.

2. Antecedentes

Existen evidencias que demuestran un aumento en la incidencia de aludes torrenciales desde

los ochenta (Scott, 1988). Tanto lo impredecible como la magnitud de los aludes torrenciales

impiden la recolección de datos precisos que permitan describir de manera detallada la física

de estos fenómenos. Debido a esto, el entendimiento científico ha sido realizado sobre la base

de un gran número de observaciones de campo, cualitativas y altamente idealizadas, para

luego continuar con la generación de experimentos de laboratorio y modelos. Durante la

década pasada, una enorme cantidad de trabajos han sido desarrollados. Los avances de

técnicas computacionales más poderosas han pavimentado la vía para generación de modelos

matemáticos en todas las áreas de ingeniería, incluyendo la hidráulica y también, de manera

específica, la propagación de inundaciones. Los mayores esfuerzos realizados para el avance

4

de estas investigaciones se iniciaron en los años ochenta, aun cuando existen referencias de

trabajos pioneros en los años cincuenta (Isaacson et al., 1958). La mayoría de estas

investigaciones iniciales abordan el estudio de la física de las inundaciones la cual ha

representado el primer paso hacia la compresión del modelaje de la propagación de los frentes

de fluidos durante la propagación de un alud torrencial.

Los trabajos existentes en la literatura sobre la comprensión de la dinámica de los fluidos

durante los aludes torrenciales, les otorgan un peso significativo a los modelos reológicos que

representan la mezcla fluyente de sólidos y líquidos. Este aspecto se ha convertido en uno de

los puntos claves en el modelaje de este tipo de flujo y ha sido estudiado por diversos autores

(Bagnold, 1954, Koerner, 1976 y Voellmy, 1955). Por ejemplo Bagnold (1954) mostró que el

esfuerzo cortante en una dispersión densa de granos dentro de un fluido depende del cuadrado

de la tasa de deformación de corte, en el caso del régimen inercial. Basándose en estos

estudios fueron definidos los modelos reológicos aplicados específicamente a los aludes

torrenciales por Koerner (1976) quien adoptó el modelo de dos parámetros de Voellmy (1955)

introduciéndole un parámetro que considera los efectos de la turbulencia sobre el componente

friccionar. Este modelo de Voellmy fue construido empíricamente para avalanchas de nieves

por combinación con modelos de fricción tipo Coulomb y las formulas de Chezy. Otros

trabajos importantes fueron realizados por Takahashi (1991), O’Brien & Julien (1985) y Julien

& Lan (1991). Takahashi distingue dos regiones para establecer las leyes de comportamiento

del fluido, a saber la zona macro-viscosa en la que la dependencia entre la tasa de corte y el

esfuerzo cortante es lineal y la zona inercial en la cual la dependencia es cuadrática mientras

que Julien y Lan mejoraron el modelo a tres parámetros desarrollado por O’Brien y Julien.

Diversos trabajos han sido realizados en áreas relativamente próximas al flujo de mezclas

líquido-sólido y en consecuencia de esencial interés para la comprensión de los aludes

torrenciales. Entre estos figuran los estudios: de flujos de ondas viscosas de Jan & Shen (1993)

y Lang et al. (1979), de deslizamientos de rocas por Trunk et al (1986), de flujo de lodos

debidos a Lang y Dent (1987) y de las avalanchas de nieve por Dent & Lang (1983). Para

hacer viable el modelaje numérico de los flujos, estos autores plantean la hipótesis de un

medio viscoso continuo como lo sugirieren experimentos verificados por Jan & Shen (1993).

En principio, estos flujos deberían ser considerados como multifásicos pero sus relaciones

constitutivas son muy complejas y aún no han sido formuladas de manera universal. Además,

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la integración numérica de las ecuaciones del flujo multifásico presenta severas dificultades

computacionales.

Basados en los trabajos mencionados anteriormente, Ayotte y Hungr (2000) realizaron un

análisis dinámico del flujo inestable a través de aludes torrenciales de casos históricos en

ciertas regiones del mundo el cual les permitió hallar importantes relaciones entre las

propiedades de la pendiente y los parámetros de entrada del modelo que fueron ajustadas; Liu

& Lai (2000) presentan un modelo basados en la ley constitutiva propuesta por Julien & Lan

(1991) el cual fue cotejado con pruebas en canales experimentales, a escala de laboratorio,

obteniéndose un buen acuerdo entre las simulaciones experimentales y numéricas. Znamensky

& Gramani (2000) realizaron un análisis detallado del tamaño de grano contribuyendo a

modificar las curvas de graduación de la fase sólida y consecuentemente las propiedades

reológicas del alud torrencial. Rickenmann & Koch (1997) comparan varias leyes de

resistencia al flujo, obteniendo que los modelos basados en modelos reológicos turbulento

Newtoniano y de fluido Voellmy pueden reproducir los aludes torrenciales para eventos

reales.

Como se puede observar, muchos autores han propuestos trabajos que detallan la física de este

tipo de flujo pero solo algunos de ellos toman en cuenta los efectos del proceso

erosión/deposición del lecho y el comportamiento de las diferentes clases de sedimentos en el

flujo. Brufau et al. (2001) presentan un trabajo muy interesante donde consideran la tasa de

erosión/deposición tal como la plantean Egashira el al. (1997), como una función de la

concentración de sedimentos, obteniendo buenos resultados en la predicción de aludes

torrenciales para experiencias de laboratorio. Una revisión de once modelos reológicos es

propuesta para la caracterización de los aluviones torrenciales es realizada por Blanco (2003)

donde se afirmó que los modelos que deberían ser implantados son aquellos que tienen la

capacidad de modelar tanto el régimen de flujo laminar como el turbulento, para poder ser

aplicados en el análisis de eventos en campo.

Los esquemas de volúmenes finitos no-oscilatorios para las ecuaciones de aguas pocas

profundas, en una y dos dimensiones, han sido el sujeto de muchas investigaciones entre las

que se pueden mencionar las realizadas por Glasiter (1988), Alcrudo et al. (1992), Alcrudo y

Gacia-Navarro (1993), Nujic (1995) y Mingham & Causon (1998). Los progresos en el área

6

han sido desarrollados usando los esquemas de volúmenes finitos tipo Godunov que utiliza el

método Roe y la aproximación MUSCL (Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws),

el cual es un método con precisión espacial de segundo orden, para evaluar los flujos en la

interfaces. Mas tarde, Sanders (2001) presenta un trabajo que detalla la aplicación del método

de los volúmenes finitos tipo Godunov en la solución de las ecuaciones de movimiento para

flujo con superficie libre.

En este trabajo se presenta un modelo numérico unidimensional que permite simular el flujo

durante la propagación de un alud torrencial. El fluido se representa a partir de seis modelos

reológicos distintos, incluyendo en uno de ellos los procesos de erosión/deposición. El

esquema de discretización aplicado para resolver numéricamente las ecuaciones de Saint-

Venant modificadas para incluir altas pendientes, que son utilizadas para representar la física

de los aludes torrenciales, es el método de Volúmenes Finitos tipo Godunov con precisión

espacial de segundo orden.

3. Objetivos y Alcances

La presente investigación incluye una amplia revisión de trabajos previos y su objetivo

principal es el desarrollo de un modelo numérico unidimensional, utilizando el método de los

volúmenes finitos, para la simulación y estudio de los aludes torrenciales considerando

diversos modelos de fricción o resistencia al flujo.

Para ello se cumplieron los siguientes objetivos específicos:

Desarrollo de un modelo numérico unidimensional integrado en la vertical de flujo con

superficie libre usando el modelo de fricción convencional propuesto por Manning

sobre una superficie inicialmente seca.

Desarrollo de leyes de resistencia al flujo a partir de diversos modelos reológicos para

tratar de representar el comportamiento de los aludes torrenciales en el modelo

numérico unidimensional.

7

Incorporación de los efectos de tasa de erosión/deposición del lecho en función de la

concentración de los sedimentos al modelo numérico unidimensional.

Validación de los resultados numéricos del modelo unidimensional con soluciones

analíticas, data proveniente de experiencias de laboratorio y con casos reales

simplificados y análisis de las discrepancias.

Realización de comparaciones de los resultados obtenidos entre los diferentes modelos

reológicos implementados en el modelo numérico unidimensional y análisis de las

discrepancias entre los mismos.

Comparación de los resultados numéricos del modelo numérico unidimensional con

resultados numéricos del paquete comercial FLO2D bajo las mismas condiciones de

estudio y análisis de las diferencias.

Este documento se organiza de la siguiente manera. Se presenta un capítulo inicial en el cual

se definen los conceptos necesarios para la comprensión y descripción teórica del

comportamiento de un alud torrencial; el tercer capítulo detalla los fundamentos matemáticos

y físicos del modelo desarrollado para la descripción del flujo durante un alud torrencial

mientras que en el cuarto capítulo se presenta la descripción del esquema numérico empleado.

El capítulo quinto y el sexto, contienen la validación y los resultados obtenidos por la

aplicación del modelo respectivamente para finalmente incluir un séptimo capitulo que

contiene conclusiones y recomendaciones más relevantes de la investigación.

8

1 CAPITULO I

ALUDES TORRENCIALES

El capítulo presenta los fundamentos teóricos necesarios para la comprensión y descripción

tanto física como matemática y los tipos de modelaje existentes para la predicción del

comportamiento de los aludes torrenciales, partiendo de su definición como sistemas de fases

dispersas líquidas y sólidas con propiedades reológicas condicionadas por los contenidos y

naturaleza de los componentes sólidos y el contenido de agua.

1.1 La Vertiente Un Sistema Físico Complejo

La noción de torrente es referida para una corriente de agua circulando típicamente en un

ambiente montañoso. Una corriente puede ser referida como un torrente tan pronto como la

pendiente media del lecho por el que circula exceda el 6%. Para pendientes de fondo en el

intervalo de 1% al 6%, se trata de un torrente fluvial. Para pendientes de fondo menor que 1%

se puede referir a un río. En adición a la pendiente, el suministro de sedimentos es

generalmente considerado como un ingrediente clave en vertientes torrenciales (Ancey, 2001).

Dependiendo en la naturaleza del suelo y el relieve, la pendiente puede proveer una gran

cantidad de material sólido, de tallas bastante diversas, a los torrentes. El material

suministrado tiene un rango de tamaño que varía de 1 µm a 10 m. La situación es muy

diferente cuando la corriente ocurre en un plano, donde el material de fondo es mucho mas

fino y típicamente comprendido entre 1 µm y 10 cm. Esto generalmente resulta en el

transporte que ocurre previo al alud. Finalmente, uno de los componentes principales de la

vertiente torrencial es el agua.

9

Debido a las dimensiones de las vertientes torrenciales (típicamente de 0.1 km2 a 1000 km2) y

las pendientes empinadas, los aludes son repentinos, cortos y violentos. El régimen de aludes

en pendientes es muy diferente en superficies planas, las cuales son caracterizadas por

variaciones lentas en la cinética con el tiempo.

En la figura 1-1 se puede observar una vertiente típica. La parte superior es generalmente

degradada y sometida a grandes procesos de erosión (cuencas). Esta vertiente suministra agua

y sedimento para el alud. Debajo de estas cuencas, el torrente entra a una sección angosta o

garganta, algunas veces con flancos muy abruptos, dependiendo de la naturaleza del suelo.

Luego el torrente es descargado sobre un abanico aluvial. La pendiente de transición entre la

garganta y el abanico provee información interesante sobre el equilibrio del fondo.

Generalmente, una vertiente con un abundante suministro de sedimento y transporte intenso

del arrastre de fondo es caracterizada por una transición suave del canal al abanico.

Figura 1-1: Una vertiente típica (Según Ancey, 2001)

Para ríos planos, el transporte de sedimento resulta de la acción del agua: el agua arrastra

materiales, los cuales a su vez empujan a otros a lo largo del fondo (transporte de arrastre de

fondo) o son mantenidos en suspensión como resultado de la turbulencia (suspensión). En un

contexto torrencial, tan pronto como la pendiente del fondo es suficientemente alta, la

gravedad tiene una influencia más pronunciada en el transporte de sedimento, ocasionando un

Cuencas

Garganta

Abanico Aluvial

10

transporte de arrastre de fondo más intenso y un nuevo modo de transporte aparece, el alud

torrencial, este puede ser definido como sigue (Ancey, 2001): Los aludes torrenciales son

mezclas altamente concentradas de sedimentos y agua, fluyendo como un sistema de una sola

fase. Los aludes torrenciales se muestran como un flujo de lodos y material proveniente de

derrumbes excepto que sus velocidades y las distancias que recorren son mucho más grandes

que las que alcanzarían cada uno de sus componentes de manera independiente. Usualmente

los términos de deslizamiento de lodo, avalanchas, inundaciones, etc. tienden a ser usados para

referir a los aludes torrenciales, el cual son fuente de confusión. En particular, los aludes

torrenciales son distintos del transporte por arrastre de fondo, el cual involucra la

movilización de sedimentos por agua. En este último mecanismo, partículas gruesas (arena,

grava y escombros) ruedan y se deslizan en una fina capa (sedimentos y arcillas) cerca del

fondo, llamada capa de fondo además es desplazada en suspensión como resultado de la

turbulencia del agua y el sistema es típicamente compuesto de dos fases distintas: fase líquida

(agua) y fase dispersa (sólido).

1.2 Tipo de Transporte

En laboratorio es posible simular un fenómeno torrencial usando canales inclinados con un

fondo móvil compuesto de arena y grava. Las figuras 1-2 y 1-3 muestran dos situaciones muy

diferentes que pueden ser observadas cuando la pendiente del canal es incrementada en tan

solo un pequeño porcentaje.

La figura 1-2 corresponde a una pendiente de 17%, con una descarga alta, las partículas finas

están en suspensión mientras que las partículas más gruesas son empujadas abajo en el fondo.

En dicha fotografía las partículas más grandes son estacionarias y el efecto del flujo de agua es

significativo. Las dos fases (sólida y liquida) están separadas y el agua fluye mucho más

rápido que las partículas sólidas. Cuando la inclinación excede el valor crítico

(aproximadamente 20%), cambios repentinos significativos pueden ser observados: ocurre una

11

transición muy rápida de un flujo de dos fases a un flujo de una fase. La mezcla toma una

apariencia de un fluido homogéneo “viscoso” fluyendo abajo del fondo.

Figura 1-2: Simulación a menor escala del transporte de arrastre de fondo en el laboratorio. La fase sólida y liquida son distinguida (el agua fue coloreada con fluorescencia). La

profundidad de flujo típica en este experimento fue 1 cm. (Según Ancey, 2001)

Figura 1-3: Simulación a menor escala de un alud torrencial en el laboratorio. Las fases líquidas y sólidas están mezcladas (Según Ancey, 2001).

La figura 1-3, correspondiente a una pendiente del 27% ilustra tal transición y el movimiento

de la masa resultante. Tal como es observado por Koulinski, (1993) y Lanzoni, (1993) la

inclinación del fondo θ es un factor clave en la dinámica del transporte de sedimentos. A partir

de lo observado en experiencia de laboratorios conducidos con flujos de agua en fondos

12

erosionables, se tienen diversos comportamientos del flujo de las mezclas sólido-líquido para

una descarga de agua lo suficientemente alta, en función de la pendiente del fondo a saber:

θ < 20%: el flujo de agua induce a un intenso transporte de arrastre cerca del fondo. Como

una primera aproximación, la descarga de agua y sólido (qw y qs respectivamente) son

linealmente aproximadas como28.2s wq qθ= . Esta relación es una expresión muy

simplificada de la descarga obtenida por Smart & Jeaggi (1983) o Rickemann (1992). Tres

leyes pueden ser distinguidas: el fondo está compuesto de partículas estacionarias (que

pueden erosionar), la capa del fondo (activo) en la que los sedimentos de todos los

tamaños quedan puestos en movimiento (rodando o deslizando), y una capa de agua,

donde las partículas finas están en suspensión. En flujos de dos fases de este tipo la

concentración de sólido (relación de volumen del sólido al volumen total) no excede el

30%.

θ > 20%: el transporte de arrastre de fondo es inestable. Los cambios ocurren dentro de un

flujo denso de una fase. La concentración de sólidos es muy alta, en un rango de 50% a

90% dependiendo del tamaño de la distribución de partículas. Tales flujos simulados en el

laboratorio corresponde a aludes torrenciales en el campo.

En el laboratorio, la transición de un transporte de arrastre de fondo a un alud torrencial es

reflejada por una discontinuidad en la concentración de sólido, se supone que tal

discontinuidad existe en la realidad, por lo menos en los Alpes (Iverson, 1997), pero los

mecanismos subyacentes son desconocidos.

1.3 Inicialización, Movimiento y Deposición de un Alud Torrencial

Tres fases pueden distinguirse en la vida de un alud torrencial. La fase inicial o de puesta en

movimiento conocida como inicialización, la fase de movilización propiamente dicha y en la

cual un pulso o una secuencia de ellos, se desplaza pendiente abajo y una fase final de

esparcimiento de deposición. A continuación se detallan estas tres fases.

13

1.3.1 Inicialización

La actividad torrencial de una vertiente depende de muchos parámetros. Los aludes

torrenciales son comunes en algunas áreas. En estas areas la frecuencia de aparición de aludes

también varía teniéndose que en algunas vertientes, muchos aludes torrenciales ocurren cada

año mientras que para otras son muy raros. Las condiciones para inicialización de los aludes

torrenciales usualmente incluyen:

Altas pendientes. Las altas pendientes son propensas a procesos de erosión de superficie

debido al transporte de sedimentos inducido por desbordamientos de agua almacenada o de

un cauce natural y los deslizamientos como consecuencia del desprendimiento del suelo

aportando grandes masas de material saturado de agua.

Abundante suministro de material no consolidado. Los aludes torrenciales pueden ser

originados de contribuciones simultaneas de muchas fuentes de material o por una fuente

única (derrumbes):

Procesos erosivos lentos y continuos en pendientes de la cuenca de drenaje forman

depósitos de materiales en el fondo del torrente. Tales depósitos pueden ser

subsecuentemente movilizados durante intensos aludes torrenciales. En este caso,

el alud torrencial originado como una lechada, primeramente de agua y finas

partículas, erosiona los canales y crece en tamaño. Probablemente surgen

inestabilidades en el transporte de arrastre de fondo y ocasionan la inicialización de

los aludes torrenciales. Usualmente el volumen de sólidos producido todos los años

por la erosión durante el drenaje de la cuenca es pequeño y así la cantidad de

sedimento que puede ser involucrada por un alud torrencial único es limitado (<105

m3). En la realidad, el desprendimiento de la superficie y la presencia de riachuelos

en la cuenca de drenaje son generalmente evidencias que un alud torrencial ha

recogido material grueso del fondo.

Antiguos depósitos no consolidados (depósitos masivos de rocas caídas, o material

no biodegradable como enseres producidos por el hombre, etc.) pueden movilizarse

dentro de derrumbes para formar aludes torrenciales. En este caso, el volumen de

material involucrado puede ser muy grande (>105 m3) dependiendo del volumen

14

total disponible para la fuente. Igualmente, ciertos suelos (por ejemplo: yeso) son

muy propensos a derrumbe y pueden suministrar material a los aludes torrenciales.

La inicialización es debido a una combinación de diversos mecanismos: rápida

filtración, incremento en la presión de poro, incremento en la carga, erosión al pie

del derrumbe de masas, etc. La presencia de una falla de superficie puede

claramente servir para identificar el origen del material.

Grandes fuentes de humedad. La mayor cantidad de aludes torrenciales ocurre durante o

después de caídas de lluvias fuertes y sostenidas. En algunos casos, derretimiento de nieve

puede ser suficiente para fórmalos. Hay muchas otras maneras en el cual el agua puede ser

proporcionada para la formación de los aludes torrenciales: descongelación del suelo,

repentino desagüe de lagos, rompimiento de presas, etc., pero estas son las menos

frecuentes. Un alto contenido de agua líquida parece ser una condición necesaria para que

el suelo sea saturado, este causa intenso corrimiento de la superficie y un incremento en la

presión de poro interna en el suelo.

Escasa vegetación. La vegetación juega un papel para la intercepción de las caídas de

lluvias (limitación de corrimiento) e incrementa la cohesión del suelo (anclaje de raíces).

Una vegetación reducida es una fuente potencial para la inicialización de un alud, pero una

amplia vegetación no inhibe completamente su aparición. Muchas observaciones han sido

hechas (Ancey, 2001), donde los aludes torrenciales también ocurren en áreas forestales.

1.3.2 Movimiento

Una vez iniciado el alud torrencial, un pulso se desliza pendiente abajo, mostrando tres zonas

diferenciadas, frente, cuerpo y cola, que pueden evolucionar con el tiempo, como se representa

esquemáticamente en la figura 1-4:

En el borde del pulso se presenta un frente granular que contiene concentraciones grandes

de rocas de diversas tallas. Materiales sólidos (rocas) parecen ser empujadas y ruedan

dentro del cuerpo del alud torrencial. El frente es usualmente más alto que el resto del

flujo. En algunos casos no es observado porque ambos (cuerpo y frente) han sido

15

sobrepuesto en el cuerpo (muy frecuentemente cuando el alud torrencial se propaga

encima del abanico aluvial), o los materiales están bien clasificados y no hay variaciones

significativas en la composición del volumen que puedan ser diferenciadas.

Frente

Cuerpo

Cola

Frente

Cuerpo

Cola

Figura 1-4: Diagrama Esquemático de la sección vertical transversal del movimiento de una ola de alud torrencial sobre un plano inclinado.

Detrás del frente, el cuerpo tiene la apariencia de un fluido compuesto por una mezcla de

roca y lodo. Usualmente, el cuerpo del alud torrencial no está en un estado estacionario,

representa un olaje transitorio. Este puede transportar bloques de cualquier tamaño,

muchos autores tienen reportado que las escombros de tamaño relativamente pequeños

parece flotar en la superficie libre mientras que los bloques de unos pocos metros en

tamaño se mueven libremente dando vueltas por todo el alud torrencial. Las características

morfológicas del alud torrencial son diversas dependiendo de las características de los

escombros (distribución de tamaño, concentración y mineralogía) y la geometría del canal

(pendiente, forma, sinuosidad y ancho). La velocidad del alud torrencial varía muy

ampliamente, en rangos de 1 m/s a 10 m/s (Major, 1996). Los aludes torrenciales más

rápidos son reportados con velocidades mayores a los 20 m/s (Major, 1996). Los aludes

torrenciales pueden parecerse a concreto húmedo, agua sucia o material granular pero para

cualquier característica y apariencia que tenga el alud, su viscosidad es mucho mas alta

que la del agua. La mayoría del tiempo, en el que el alud torrencial se encuentra en

movimiento lo hace en forma completamente laminar, pero también puede desplazarse con

turbulencia moderada o alta (Ancey, 2001).

16

En la cola, la concentración de sólido decrece significativamente y el flujo parece como un

flujo de lodo aguado, en régimen turbulento. Su espesor es bastante menor al del frente y

el cuerpo.

1.3.3 Deposición

La distancia que un alud torrencial puede viajar depende de la combinación en las

características mecánicas así como del volumen total del alud, la geometría del canal y la

inclinación del fondo. Es generalmente observado que un movimiento de alud torrencial que

se propaga sobre un terreno inclinado se detiene repentinamente, cuando el espesor alcanza un

valor crítico. Sin embargo, si dicho alud es canalizado, este puede viajar sin problema una

larga longitud sobre pendientes ligeramente inclinadas.

Deposito Deposito parcial Diques Lóbulo

Figura 1-5: Formas de los canales en la deposición de los aludes torrenciales (según VanDine,

1996)

Para algunos aludes torrenciales, ocurre una deposición constante a lo largo de todo el canal y

la formación diques en los bordes laterales del torrente. Dependiendo de la distribución de

tamaño de los materiales involucrado en el alud torrencial, un dique puede variar de forma. En

la mayoría de los casos, la sección transversal muestra un perfil curveado, como se muestra en

la figura 1-5, y cuando el depósito es seco, este es caracterizado por una fuerte cohesión. En

otros casos, la sección transversal tiene una superficie libre lisa e igual cuando está seca, el

depósito muestra una menor cohesión y apariencia como arena o un monto de grava. La

formación de diques no es sistemática. Después que un alud torrencial ha pasado a través de

un canal, el fondo del canal y los lados han sido barridos completamente de escombros.

Depósito parcial Depósito

17

El abanico fluvial es el área preferencial para la deposición del alud torrencial debido a la

disminución de la pendiente de fondo y al ensanchamiento del canal. La disminución de la

pendiente usualmente lleva a repentinas paradas del frente granular e incremento en la

profundidad del flujo para el cuerpo. En muchos casos, los aludes torrenciales se desbordan,

distribuyéndose como depósitos a los lados del canal, como un lóbulo ancho en un abanico

aluvial. Así como los diques, las características morfológicas de los lóbulos varían

ampliamente. Por un instante, el perfil longitudinal de un lóbulo puede ser curveado (forma de

parábola), recta, inclinado o de forma escalonada (ver figura 1-5). En los casos anteriores, el

depósito se parece un depósito aluvial. Moviéndose a bajas velocidades en los abanicos

aluviales, los aludes torrenciales pueden impactar o enterrar estructuras.

1.4 Clasificación de los aludes torrenciales

La diversidad en las características morfológicas de los aludes torrenciales suministra

evidencias de diferentes familias con comportamientos másicos específicos. Diversas

clasificaciones han sido propuestas en los últimos años, muchas basadas en el tamaño de la

distribución de material mientras que otras solo consideran el mecanismo de inicio. En esta

sección se presenta una clasificación propuesta por Ancey (2001) basada en el

comportamiento mecánico másico, de acuerdo con la manera en que se propaga el alud

torrencial, a saber aludes torrenciales lodosos, granular o volcánico.

1.4.1 Alud torrencial lodoso

El transporte de material es usualmente caracterizado por una amplia distribución de tamaños

de partículas, siendo suficientemente rico en material arcilloso, la matriz tiene una

consistencia de lodo y existe un contacto lubricador entre partículas grandes. La mayor parte

del tiempo, el comportamiento másico es típicamente viscoplástico. En promedio, el material

exhibe propiedades plásticas y viscosas (Coussot, 1997; Coussot & Piau, 1995 y Phillips,

18

1991). Cuando el nivel de esfuerzo excede el valor crítico (esfuerzo de cedencia), esta mezcla

fluye como lo hace un líquido. El esfuerzo de cedencia confiere propiedades específicas al

material; cuando un volumen dado de material es descargado y distribuido descendiendo un

plano inclinado, la profundidad del flujo decrece regularmente. Cuando la profundidad del

flujo alcanza un valor crítico (dependiendo del esfuerzo de cedencia y la inclinación del plano)

y el esfuerzo cortante es menor que el esfuerzo de cedencia, el flujo se detiene abruptamente.

En la mayoría de los casos el rango de esfuerzo de cedencia se encuentra entre 0.5 KPa y 15

Kpa. Los aludes torrenciales lodosos pueden usualmente propagarse sobre pendientes mayores

al 5%. Los límites de depósito son puntiagudos y bien delineados. Los escombros y las gravas

son distribuidos al azar en una matriz cohesiva de granos más finos. Los aludes torrenciales

lodosos son muy frecuentes en los Alpes (Ancey, 2001).

1.4.2 Alud torrencial granular

Aunque la distribución de tamaños es amplia, el material es pobre en partículas finas

(arcillosa). El comportamiento másico se supone que es friccionar-colisionar (Takahashi, 1991

y Jenkins & Askari, 1994), principalmente gobernado por colisión y fricción entre las

partículas más grandes. La energía de disipación es usualmente más grande para alud

torrencial granular que para el lodoso, el alud torrencial granular requiere pendientes

empinadas (>15%) para fluir, así como derrumbes muy grandes de rocas. Un alud torrencial

granular involucra una gran cantidad de material que puede viajar largas distancias sobre

pendientes suaves. Los depósitos son generalmente distribuidos, con grandes escombros

formando depósitos de masas y los escombros más finos transportados corriente abajo, debido

al desagüe.

1.4.3 Alud torrencial volcánico

La distribución de tamaños de partículas es estrecha y el material contiene sólo una pequeña

porción de material arcilloso. Este tipo de alud torrencial es típico de áreas de suelos

19

volcánicos (suelos compuestos de cenizas finas), pero puede ser observado en otros terrenos

(por ejemplo: yeso, marga). El comportamiento másico es supuesto friccionar/viscoso; a bajas

velocidades las partículas están en contacto y el comportamiento másico puede ser descrito

usando una ecuación friccionar de Coulomb. Para altas velocidades, debido a la dilatancia e

incremento en la inercia del fluido, el contacto entre los granos gruesos es lubricado por fluido

intersticial (Ancey & Coussot, 1999). En el laboratorio, tales materiales exhiben propiedades

muy sorprendentes: en reposo se parecen a un suelo fino (sedimentos) pero puestos en

movimiento se licuan repentinamente y pueden fluir aproximadamente como fluidos

Newtonianos. A diferencia del alud torrencial lodoso, el esfuerzo cortante es bajo y por lo

tanto, los volcánicos pueden moverse sobre pendientes suaves menores que 1%. Los depósitos

son muy finos, planos y parecen depósitos aluviales.

1.5 Modelaje de los Aludes Torrenciales

Hay muchas similitudes entre las avalanchas y los aludes torrenciales: ambos fluyen

rápidamente bajo efecto de la gravedad arrastrando materiales muy densos en pendientes

montañosas, lo que sugiere la posibilidad de estudiar los aludes a partir de las avalanchas. Otra

manera de abordar el modelaje de los aludes torrenciales es a través de su similitud con las

inundaciones, siendo ésta una primera aproximación que permite luego incluirle los efectos

resistencia al flujo causados por la presencia de materiales densos. Las aproximaciones para

desarrollar el modelaje de los aludes torrenciales que han sido propuestas pueden clasificarse

como estadísticas y determinísticas, descritas a continuación.

1.5.1 Aproximación Estadística

Varios investigadores han intentado relacionar la distancia de alcance (y otras características

de los aludes torrenciales) a las características de la vertiente. Extensos trabajos realizados por

científicos e ingenieros han permitido la obtención de diferentes ecuaciones. Usando análisis

20

de regresión, Zimmermann et al. (1997) encontraron que la variable mas significativa en la

determinación de la distancia de alcance era la superficie de la vertiente S expresada como

α=0.2S-0.26 donde S está [en km2] y α es el ángulo entre la línea de unión del tope del

comienzo de la vertiente al punto de parada con respecto a la horizontal. Estudios realizados

por Rickenmann (1999) permitieron la obtención de una correlación entre la distancia de

alcance y el volumen del alud torrencial usando datos de 82 eventos infirió estadísticamente la

siguiente ecuación:

0.25350L V= (1.1)

donde L (m) es la distancia máxima que un volumen dado de alud torrencial V (m3) puede

viajar. Igualmente, Rickenmann (1999) encontró que un alud torrencial lodoso, la descarga

pico Qp (m3/s) puede ser estimada en:

0.80.0225pQ V= (1.2)

Para un alud torrencial granular, esta puede ser estimada como:

0.780.135pQ V= (1.3)

Es de hacer notar que la descarga pico es mucho más alta para aludes torrenciales granulares

que para aludes torrenciales lodosos.

1.5.2 Aproximación Determinística

Las aproximaciones determinísticas de los aludes torrenciales han sido basados en gran parte

en la escala espacial y modelo de complejidad que describen el comportamiento de las

avalanchas e inundaciones; como por ejemplo para avalancha el modelo de Perla-Cheng-

McClung, Voellmy, etc. y para inundaciones la adaptación de efectos resistencia al flujo a los

modelos de rompimiento de presas. En su mayoría estas aproximaciones coinciden en el

modelo de la profundidad promedio ha sido propuesta con las ecuaciones de masa y momento

lineal.

21

1.5.2.1 Modelo Empírico: adaptación del modelo PCM al comportamiento del alud

torrencial.

Zimmermann et al. (1997) aplicaron el modelo dinámico de avalanchas de Perla-Cheng-

McClung para predecir el comportamiento de los aludes torrenciales. Para ello consideraron

que un alud torrencial puede ser aproximado al movimiento de un bloque sólido de masa M,

sometido a una fuerza friccionar incluyendo dos contribuciones:

Una contribución friccionar (suelo / alud torrencial): FC=µ M g cosθ

Un arrastre dinámico: FD=Dv2

Donde µ y D son dos parámetros, θ es la pendiente de fondo, g la gravedad. La ecuación de

momento en dirección aguas abajo puede ser expresada como sigue:

( ) 21 sin cos2

dv Dg vdx M

θ µ θ= − − (1.4)

La elevación de la zona en la que se produce el evento es representada por un perfil, que se

extiende desde el tope de la zona de inicio hasta el final de la zona de alcance de un alud

torrencial.

Los valores de los dos parámetros µ y D han sido ajustado para 49 eventos que han ocurrido

en los Alpes Swiss. Este tamaño de muestra puede ser considerado insuficiente para trazar

correlaciones fiables, pero puede proveer tendencias útiles: µ y D son independientes del

volumen V; µ depende de la superficie de la vertiente S. De acuerdo a Zimmermann et al.

(1997), esta dependencia µ y S entre muestra que el desagüe sobre la cuenca de drenaje afecta

la concentración de sólidos y el coeficiente friccionar µ. Proponiéndose dos correlaciones:

Valores bajos de viscosidad: µ=0.18S-0.30

Valores altos de viscosidad: µ=0.13S-0.35

La relación masa-arrastre M/D depende de la distribución de tamaños encontrando que:

Material fino (arcilla, pocos bloques): 20≤M/D≥60 (promedio: 40),

Grano fino y materiales gruesos (arcilla, escombros): 80≤M/D≥180 (promedio:

130),

22

Materiales granulares (arena y grava): 40≤M/D≥100 (promedio: 70).

1.5.2.2 Modelos de profundidad promedio

En estos modelos, la principal aproximación es considerar el material involucrado en un alud

torrencial como un fluido homogéneo cuyo comportamiento puede ser descrito a través de una

ecuación constitutiva. Muchos experimentos con barros y escombros han permitido lograr

comprender la reología de estos materiales (Coussot, 1997 y Phillips, 1991). En un estado

estacionario, el esfuerzo cortante puede ser escrito:

( ),fτ γ ζ= & (1.5)

donde τ denota el esfuerzo cortante, γ& es la tasa de corte, y ζ está referido a un grupo de

parámetros mecánicos los cuales dependen del comportamiento másico (este grupo de

parámetros puede incluir la concentración φ y otros parámetros pertenecientes a la distribución

de diámetros de la fase sólida). Dependiendo del tipo de alud torrencial, varias ecuaciones

constitutivas han sido propuestas para describirlos:

Los aludes torrenciales volcánicos pueden ser descrito usando la ecuación constitutiva de

Newton como primera aproximación: ( )τ µ φ γ= & . La viscosidad es usualmente muy alta,

con valores típicos de 103 Pa.s (Wan & Wang, 1994).

En el caso de los aludes torrenciales lodosos su comportamiento es mejor descrito usando

un modelo de Bingham o Herschel-Bulkley: ( ) ( ) nc kτ τ φ φ γ= + & , donde τc es el esfuerzo

de cedencia, k un parámetro, n un índice de corte (n≤1, n=1 correspondiendo al modelo de

Bingham). Para que un flujo pueda ocurrir ( )0γ >& , el esfuerzo cortante debe exceder el

esfuerzo de cedencia τc. Por ejemplo, en los Alpes, el rango de los valores de esfuerzos de

cedencia van desde 0.5 kPa a 15 kPa y el radio τc/k usualmente en el rango 3-10 s-1

(Coussot, 1996).

Los aludes torrenciales granulares tienen un comportamiento friccionar y/o colisionar.

Existe una no continuidad concerniente a las ecuaciones constitutivas para describir los

23

flujos friccionar y colisionar. Diferentes modelos han sido propuesto con diferentes

mecanismo de generación de esfuerzos: modelo colisionar Bagnold (Takahashi, 1991),

modelos cinético colisionar (Jenkins, 1994), ecuaciones constitutiva colisionar-friccionar

(Ancey, 1997), modelos basados en efectos de presión de poro (Iverson, 1997), etc.

En el caso de un fluido Herschel-Bulkley que fluye en un plano inclinado un ángulo θ, las

ecuaciones de conservación resultantes son:

0h hut x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (1.6)

2

sin / cosphu hu hg ght x x

θ τ ρ θ∂ ∂ ∂

+ = − −∂ ∂ ∂

(1.7)

donde u (barra) es la velocidad promedio en la sección, h la profundidad, τc es el esfuerzo

cortante en el fondo

Generalmente las ecuaciones de conservación deben ser resueltas numéricamente sólo si no

tiene solución analítica. Estas pueden ser resueltas usando el modelo numérico de volúmenes

finitos para ecuaciones diferenciales hiperbólicas (Laigle & Coussot, 1997). Estos modelos

son usados en problemas de ingeniería cuando resultados precisos en una topografía compleja

son necesarios. Aproximaciones analíticas o soluciones cuasi-analíticas han sido también

propuesta por Hunt (1983 y 1994), mas recientemente por Huang & Garcia (1997).

/ cosrF u gh θ= (1.8)

Coussot (1997) usó un modelo de profundidad promedio para demostrar que la superficie libre

del flujo de los fluidos de Herschel-Bulkley es inestable cuando el numero de fraude obtenido

por la ecuación (1.8) excede un valor crítico, aproximadamente 0.1. Cuando Fr>0.1, ondas,

conocidas como roll waves, se propagan a lo largo de la superficie libre. Este fenómeno puede

explicar la presencia de olas observadas, con frecuencia, en aludes torrenciales lodosos. Otro

problema de gran interés es la forma de los depósitos. El perfil longitudinal de los lóbulos y

diques pueden ser calculados usando ecuaciones similares a (1.6) y (1.7) (para ecuaciones de

movimiento más generales son planteadas bidimensionales y tridimensionales). En el caso de

un lóbulo en movimiento sobre un plano inclinado con θ, el perfil longitudinal h(x) es dado

por:

24

2sin sin sinln 1

cosc c c

g g gx h h

ρ θ ρ θ ρ θτ θ τ τ

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.9)

La ecuación (1.9) puede ser usada para determinar el esfuerzo cortante en el campo. De las

ecuaciones presentadas se pueden obtener dos parámetros adimensionales como son el número

de Reynolds generalizado y el número de Froude donde se introduce el término de esfuerzo

cortante (Coussot, 1997 y Huang & Garcia, 1997):

2 2sin,n

ec

u h gR GK uρ ρ θ

τ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.10)

Estos parámetros adimensionales pueden ser usados para predecir el comportamiento de

aludes torrenciales en modelos a pequeña escala.

1.6 Relaciones Reológicas y Ecuaciones Constitutivas

El termino “reología” fue introducido por el profesor Bingham de Lafayette College, Indiana y

se refiere al estudio de los fenómenos relacionados con el flujo y la deformación de los

materiales.

Las relaciones reológicas de estado o ecuaciones constitutivas son ecuaciones que relacionan

los esfuerzos y variables de deformación. Estas ecuaciones son necesarias cuando el tensor de

los esfuerzos no es despreciable y requiere ser calculado. En general, estas relaciones son

sumamente complejas, pero en la mayoría de los casos es suficiente con una aproximación

más sencilla, que se conoce como fluido newtoniano, en los cuales existen relaciones lineales

entre las componentes del tensor de los esfuerzos y las componentes del tensor de la tasa de

deformación. Cuando esa relación no es lineal los fluidos son conocidos como fluidos no

Newtonianos, los cuales presentan un comportamiento curioso, en el sentido que resultan poco

familiares porque difieren de los del agua que es el líquido más común. Por lo tanto es

conveniente tener una idea acerca de las mismas con miras a las aplicaciones de la mecánica

de los fluidos, tanto tecnológicamente como para otras disciplinas científicas.

25

Para aludes torrenciales, se presentan diversos modelos reológicos, como fueron recopilados

por Blanco (2003). Un resumen de las características de los distintos modelos se presenta a

continuación.

1.6.1 Modelos Newtonianos

La ecuación de Manning es la ecuación básica para determinar el caudal de flujo uniforme en

canales abiertos la cual fue derivada hace muchos años por R. Manning (1816-1897).

Refinamientos continuos han permitido obtener los mejores valores de coeficientes empíricos,

n.

La mayoría de los trabajos orientados a la compresión del comportamiento de los aludes

torrenciales tienen como primer paso para lograr el modelaje de la propagación de estos

frentes, la adaptación de modelos utilizados para la simulación de rompimiento de presas,

donde la ecuación de Manning esta ampliamente ajustada para este tipo de fenómeno.

2 2

2 4/3fh

n qSA R

= (1.11)

siendo Rh es el radio hidráulico, q el caudal de descarga, n el coeficiente de Manning.

Takahashi et al. (2000) utilizó un modelo del tipo Newtoniano para modelar aludes

torrenciales cuya matriz líquida es altamente viscosa, la cual se presenta cuando el flujo recoge

a su paso partículas finas altamente cohesivas de manera que los esfuerzos viscosos son mas

importantes que los esfuerzos debido a colisiones inter-partículas. En su modelo, Takahashi

considera que la viscosidad aparente µa de la mezcla puede ser expresada en función de la

concentración de partículas como

1.82

*

1−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

aCC

µ µ (1.12)

donde C es la concentración local de partículas (adimensional), C* es la concentración de

partículas empacadas (adimensional) y µ la viscosidad dinámica

26

Dado que este modelo no incluye un esfuerzo de cedencia, para representar la etapa final

(culminación) se considera que la deposición de partículas obedece la ley de Stokes,

definiendo este proceso a través del flujo de partículas que sedimentan como

( ) ( )2 cos2

9p

s

d gN C g C

σ ρ θµ

−= − (1.13)

donde dp es el diámetro de los partículas, ρ la densidad del fluido, σ la densidad de las

partículas, g la aceleración de gravedad, θ la pendiente del canal y g(C) es la función

( ) 1

a

Cg C µµ−

= (1.14)

Cuando todas las partículas sedimentan, se considera que el movimiento “se congela”,

deteniéndose el flujo.

1.6.2 Modelos Plástico de Bingham

El modelo plástico de Bingham incorpora un esfuerzo de cedencia o esfuerzo inicial no nulo

para que el fluido comience a moverse. Las ecuaciones constitutivas se expresan como

0 0

0

si

0 si

ij p ij ij

ij ij

τ τ µ γ τ τ

γ τ τ

= + >

= ≤ (1.15)

Este modelo ha sido ampliamente utilizado tanto para la caracterización reológica de muestras

reconstituidas a partir de material sedimentado en aludes torrenciales como para la

implementación de modelos numéricos. Los parámetros del modelo son ajustados de manera

distinta según los distintos autores (Malet et al., 2003, Armanini et al, 2003 y McArdell et

al.,2003)

27

1.6.3 Modelos Ley de Potencia

A pesar de existir consenso en la comunidad científica internacional de la necesidad de incluir

un esfuerzo de cedencia inicial en la expresión del esfuerzo cortante para modelar el

comportamiento reológico de los aludes torrenciales, algunos trabajos han sido presentados

que utilizan como base el modelo de ley de potencia. Las ecuaciones constitutivas se expresan

como:

nuKy

τ⎛ ⎞∂

= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (1.16)

donde K es el índice de consistencia.

1.6.4 Modelos Herschel-Bulkley

Sin ninguna duda, este es el tipo de modelo (junto con algunas de sus variantes) que ha sido

más utilizado para la simulación de aludes torrenciales. Recientemente, ha sido ampliamente

aplicado tanto para determinar el comportamiento experimental de muestras reconstituidas a

partir de depósitos naturales de sólidos provenientes de aludes torrenciales como para el

modelaje numérico. La presencia de un esfuerzo de cedencia así como la disminución de la

viscosidad aparente al aumentar la tasa de corte, le permiten representar de manera cualitativa

las tendencias típicamente observadas en la naturaleza.

Las ecuaciones constitutivas se expresan como:

0n

ij ijKτ τ γ= + (1.17)

Algunos autores logran expresar los parámetros reológicos en función de la concentración

volumétrica de sólidos como Martino (2003):

12.0710 0.0589 ceτ = (1.18)

9.38260.0020 cK e= (1.19)

28

1.772n = (1.20)

donde c es la concentración volumétrica de sólidos.

1.6.5 Fluido Visco-Plástico Generalizado

Conocido en inglés como Generalized Viscoplastic Fluid (GVP) se expresa como:

0 cos sin nm gh Kτ τ φ ρ φ γ= + + (1.21)

donde τ0 representa el esfuerzo de cadencia, K el índice de consistencia, n la potencia , φ el

ángulo de fricción interna, ρm: densidad promedio del lodo, g la aceleración de gravedad y h la

profundidad total del flujo.

La suma de los dos primeros términos representa el esfuerzo de cedencia (que ahora requiere

de dos parámetros para su ajuste) en el fondo. El factor ρmgh representa el esfuerzo normal

(parte hidrostática) en el fondo, por lo que esta ecuación involucra una relación entre los

esfuerzos de corte y los esfuerzos normales.

Una variación del mismo fue introducida por Chen (1988) escribiendo los esfuerzos como:

1cos sin nzx c pτ φ φ µ γ= + + (1.22)

2n

zz pτ µ γ= − + (1.23)

donde c es la concentración volumétrica de sedimentos, p la presión, µ1 el índice de

consistencia y µ2 el índice de consistencia cruzada.

Esta relación fue utilizada por Arattano & Franci (2003) quienes concluyen que, desde el

punto de vista macroscópico, este modelo conduce en muchos casos a una descripción acorde

con eventos reales y pruebas de laboratorio.

29

1.6.6 Fluido inercial dilatante

Uno de los modelos mas utilizados es el denominado Fluido Inercial Dilatante. Según el valor

de un número adimensional denominado número de Bagnold, dos expresiones distintas se

utilizan para estimar el esfuerzo cortante. El número de Bagnold se expresa como (Takahashi,

1991):

1/ 2 2s

f

dN ρ λγ

µ= (1.24)

donde ρs es la densidad de los sólidos, λ la concentración lineal de sólidos en la mezcla agua-

sólidos, d el diámetro promedio de las partículas, µf la viscosidad del fluido, γij el tensor tasa

de deformación.

El esfuerzo cortante se calcula de acuerdo a

2 2 2sin si N 450sa dτ αρ λ γ= > (1.25)

3/ 22.25 si N 40fτ λ µ γ= < (1.26)

donde a es un parámetro experimental, α el ángulo de fricción interna del material granular

(tg(α)=0.75 (N<40)) y (tg(α)=0.32 (λ<12) y tg(α)=0.4 (λ>12) (N>450)).

Cada una de estas expresiones define un régimen de flujo: para N<40 se dice que el flujo es

macro-viscoso (dependencia lineal entre el esfuerzo y la tasa de corte) mientras que para

N>450 el flujo es inercial (dependencia cuadrática entre el esfuerzo y la tasa de corte).

1.6.7 Modelo Bilineal

Introducido por Locat (1997), este modelo se expresa como

00

cτ τ ηγ

γ γ⎛ ⎞

= + + ⎜ ⎟+⎝ ⎠ (1.27)

30

donde τ0 es el esfuerzo cortante, γ la tasa de corte, γ0 la tasa de corte en el punto de cedencia, η

la viscosidad plástica (τc/γ0).

Este modelo combina los modelos de Herschel-Bulkley (con n=-1) a bajas tasas de corte con

plástico de Bingham a altas tasas. Aun cuando su autor pregona la superioridad de este modelo

con respecto al de Herschel-Bulkley, luego de analizar diversas muestras naturales, su

receptividad en la comunidad científica internacional ha sido baja. Su comparación con los

modelos plástico de Binham y Herschel Bulkley para el ajuste reológico de muestras naturales

por Malet et al.(2003) condujo a mejores resultados con el modelo de Hershel-Bulkley.

1.6.8 Liu & Huang

Este modelo extiende el modelo unidimensional de Julián & Lan (1991) a tres dimensiones.

Las relaciones constitutivas se expresan como

00 ij d c II ij II

II

ττ µ µ ε ε τ τ

ε⎛ ⎞

= + + >⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.28)

00 ij IIε τ τ= < (1.29)

donde τij es el tensor de esfuerzos, εij es el tensor tasa de deformación, τ0 es el punto de

cedencia, µd la viscosidad dinámica, µc un parámetro dispersivo turbulento, εII el segundo

invariante del tensor tasa de deformación, τII el segundo invariante del tensor de esfuerzos.

Estas relaciones se introducen en un modelo de diferencias finitas con dos capas (la superior o

tapón y la inferior o capa limite). Comparando con soluciones analíticas en canales y con

eventos reales en Taiwan, Liu & Huang (2003) concluyen que el modelo permite predecir con

bastante éxito las etapas de detención y de deposición.

1.6.9 O’Brien & Julien

Este modelo se expresa como:

31

2y Cτ τ ηγ γ= + + (1.30)

donde τy es el esfuerzo de cedencia (incluye el esfuerzo de cedencia cohesivo y el esfuerzo

cortante de Mohr-Coulomb) η la viscosidad dinámica, γ la tasa de deformación, C el

coeficiente inercial de esfuerzo de corte dado por:

( )2 2,m m v sC l f C dρ ρ= + (1.31)

l la longitud de mezcla de Prandtl, ds el tamaño de los sedimentos y Cv la concentración

volumétrica de sedimentos.

Este modelo constituye la base reológica del software FLO-2D (O’Brien et al., 1993).

Aplicaciones recientes en el modelaje de eventos naturales en Italia por Aleotti & Polloni

(2003) y Venezuela (García et al., 2003) conducen a predicciones aceptables tanto en la

deposición final como en la predicción de áreas inundadas.

1.6.10 Fluido de Voellmy

Algunos modelos se expresan en términos de la pendiente de fricción. En el caso del fluido de

Voellmy (Hungr, 1995) la pendiente de fricción se expresa como:

2

2 2 cos tgfr

q qS

h C hα δ= + (1.32)

donde Sf es la pendiente de fricción, q el caudal de descarga, h la profundidad, hr el radio

hidráulico, C el coeficiente de Chezy, α la pendiente del canal y δ el ángulo de fricción

interna.

Este modelo fue desarrollado originalmente para describir avalanchas de nieve. Su

comparación con otros seis modelos (McArtell et al., 2003) condujo a excelentes resultados.

32

1.6.11 Modelo de Egashira, Miyamoto & Itoh

Presentado por Egashira et al. (1997) este modelo expresa el esfuerzo cortante en función de la

tasa de corte como:

( ) ( ) ( )5/32 1/3 2 2 2/3 2 21 1s s d fp tg k e c d k c c dστ φ ρ γ ρ γρ−= + − + − (1.33)

donde ps es la presión estática de contactos inter-partículas, φs el ángulo de fricción entre las

partículas, ρ la densidad del agua, Kd una constante empírica (0.0828), e el coeficiente de

restitución, σ la densidad de las partículas sólidas, c la concentración en volumen de

sedimentos, d el tamaño de partícula de los sedimentos y Kf una constante empírica (0.16).

Para la presión ps proponen la expresión:

( )1/

*

cosn

scp p g h zc

ρ θ⎛ ⎞

⎡ ⎤= − − ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

(1.34)

donde p es la presión, g la aceleración de gravedad, h la profundidad total, z la profundidad, θ

el ángulo de inclinación, c la concentración de sedimentos y c* la concentración de sedimentos

empacada.

La tabla 1-1 muestra la diversidad de parámetros que presentan los diversos modelos,

especificando tanto los parámetros utilizados como la dependencia funcional entre el esfuerzo

cortante y la tasa de deformación. Un análisis mas detallado de cada uno de estos parámetros

es detallado en el trabajo realizado por Blanco (2003).

Los parámetros que aparecen en la siguiente tabla representa µ: viscosidad dinámica, τ0 es el

esfuerzo de cedencia, K el índice de consistencia, n la potencia (adimensional), φ el ángulo de

fricción interna, c la concentración de sedimentos, c* la concentración de sedimentos

empacada, d el tamaño de partícula de los sedimentos, γ0 la tasa de corte en el punto de

cedencia, µt la viscosidad turbulenta o parámetro turbulento, Ch el coeficiente de Chezy, hr el

radio hidráulico y θ el ángulo de inclinación.

33

Modelo µ τ0 K n n=1 n=2 φ c c* d γ0 µt Ch Rh θParámetro

experimentalNúmero de parámetros

1 Newtoniano X 1

2Pástico de Bingham X X 2

3 Ley de Potencia X X 24 Herschel-Bulkley X X X 3

5Visco-Plástico Generalizado X X X X 4

6aInercial dilatante (inercial) X X X X X 5

6bInercial dilatante (macro viscoso) X X X 3

7 Bilineal X X X 38 Liu & Huang X X X X X 59 O’Brien & Julien X X X X 410 Voellmy X X X 3

11Egashira, Miyamoto & Itoh X X X X X X X X (3) 8

Tabla 1-1: Cuadro resumen modelos reológicos para Aludes Torrenciales

Los diferentes tipos de relaciones friccionar al flujo presentado anteriormente pueden ser

resumidas en tres grandes categorías de leyes de flujo monofásicas, según Iverson (1997) de la

siguiente manera:

Leyes del flujo turbulento (Ej.: ley del flujo Voellmy, Ecuación empírica de Manning,

Bartelt et al., 1999)

Leyes del flujo laminar (Ej.: ley del flujo Bingham, la formulación Herschell-Bulkley,

Coussot, 1997)

Leyes de flujo grano-cortante (Ej.: la formulaciones inercial-dilatante, Takahashi,

1991).

En este trabajo se modelará numéricamente el comportamiento de los aludes torrenciales

basándose en una aproximación determinística a través del modelo de profundidades

promedios usando las ecuaciones de conservación de masa y momento lineal en canales de

sección transversal tanto rectangular como no rectangular, incluyéndoles la pendiente de fondo

(por efectos de gravedad) y una comparación sistemática entre ciertas categorías de leyes de

flujo (pendiente de fricción) donde se seleccionó dos ejemplos de las tres categorías de las

relaciones de resistencia para ser desarrolladas y aplicadas: ecuación empírica de Manning,

34

flujo Voellmy, flujo Inercial-Dilatante, flujo Bingham simplificado, flujo Bingham con

solución de la ecuación cúbica y la formulación de Takahashi.

35

2 CAPITULO II

MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO

En este capitulo se presentan la descripción del modelo físico y matemático aplicado para

predecir el comportamiento de los aludes torrenciales. Basándose en los fundamentos teóricos

presentados en el capitulo anterior, se puede afirmar que el comportamiento de los aludes

torrenciales pueden ser aproximados matemáticamente al de una onda viscosa, considerándose

un flujo impermeable, incompresible, viscoso y con superficie libre por un canal de pendiente

pronunciada y lecho seco.

2.1 Ecuaciones que rigen los Aludes Torrenciales

La suposición básica para un tratamiento matemático en dinámica de fluidos es que el medio

es continuo: el material es caracterizado físicamente para que se comporte continuo en el

tiempo y en el espacio. Las características promedio son definidas por integrales en volumen o

superficie y pueden ser diferenciables continuamente en el tiempo y en el espacio.

El flujo unidimensional, impermeable de un fluido que fluye en un canal abierto inclinado,

esta regido por un sistema de ecuaciones no lineales en derivadas parciales, hiperbólicas, que

se obtienen por simplificaciones a las ecuaciones más generales de continuidad y momento

lineal. A continuación se expresan cada una de ellas en función de las velocidades promedio y

profundidades.

36

2.1.1 Conservación de Masa

Para el flujo de un fluido, la ecuación de conservación de la masa se expresa como:

. 0tρ

ρu∂+ ∇ =

∂

siendo u la velocidad y ρ la densidad del fluido.

Para el flujo unidimensional de un fluido incompresible tenemos que estas se expresan como

(Munson et al., 1976):

0A A VV At x x

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (2.1)

donde A es el área de la sección transversal del canal [L2], V la velocidad promedio del Flujo

[L/T], t es el tiempo [T], y x es el eje coordenado en la dirección horizontal [L].

2.1.2 Conservación de Momento lineal

La conservación del momento lineal se expresa como (Munson et al., 1976): 2

2

1sin

V V P VV g

t x x zθ ν

ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (2.2)

donde ν es la viscosidad cinemática [ML-1T-1]. P la presión [ML-1T-2], θ la pendiente del

fondo [adimensional], ρ la densidad del fluido [ML-3], g la aceleración de gravedad [LT-2], y x,

z los ejes coordenados en la dirección del lecho del canal de inclinación θ, y normal a ella [L].

El término de presión se expresa como:

1 1 1cos cos cosP P x P zg g gz z x x x

θ θ θρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.3)

Por definición el esfuerzo cortante [ML-1 T-2] es expresado:

0Vz

τ ρν∂

=∂

(2.4)

Sustituyendo las ecuaciones (2-3), (2-4) en la ecuación (2-2) e introduciendo la condición

cinemática (Munson et al., 1976), nos queda:

01cos sin

V V hV g g

t x x hτ

θ θρ

∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ (2.5)

37

La ecuación (2-5) con la ayuda de las condiciones de contorno en el lecho del canal: para h=0,

V=0 y τ=τo, puede ser expresada como:

1cos sin oV V h

V g gt x x h

τθ θ

ρ∂ ∂ ∂

+ = − + −∂ ∂ ∂

(2.6)

En la ecuación (2.6) se definen los términos de pendiente de fondo oS y la pendiente de

fricción fS de la siguiente manera:

sin oo fS S

ghτ

θρ

= = (2.7)

por lo tanto:

( )cos o fV h Vg V g S St x x

θ∂ ∂ ∂

+ + = −∂ ∂ ∂

(2.8)

2.1.3 Ecuación Conservativa de Saint Venant

Un canal abierto unidimensional es usualmente descrito en términos de profundidades y

velocidades, y la evolución de esas variables están gobernadas por la ecuación de Saint

Venant, ella explica simplemente la conservación de masa y momento lineal a lo largo de la

dirección del flujo (Cunge et al., 1980). Las hipótesis bajo las cuales está descripción es

aplicada se resumen a continuación:

La distribución de presión es hidrostática.

La pendiente de fondo es pequeña, la cual no será considerada en este trabajo visto

nuestro interés por el flujo en altas pendientes.

Las variaciones de forma del canal con la distancia son muy suaves.

La fricción en el fondo y las paredes del canal es dominante sobre los esfuerzos

cortantes internos.

Expresando las ecuaciones (2.1) en forma de divergencia tenemos:

( ) 0AVA

t x∂∂

+ =∂ ∂

(2.9)

38

Multiplicando la ecuación (2.8) y la ecuación (2.9) por A y V, respectivamente, y luego

sumándolas, nos queda:

( ) ( ) ( )2c o f

AVV A gAy F gA S S

t x∂ ∂

+ + = + −∂ ∂

(2.10)

donde Fc es la componente de la fuerza hidrostática en la dirección x, y es la profundidad

desde la superficie libre hasta el centroide de la sección transversal del canal mojado. Las

ecuaciones (2.9) y (2.10) pueden ser integradas sobre una celda de longitud ∆x y escritas de

forma matricial de la siguiente forma:

x x x

dx dx dxt x∆ ∆ ∆

∂ ∂+ =

∂ ∂∫ ∫ ∫FU S (2.11)

donde las variables conservativas (U), flujos (F) y los términos fuentes (S) vienen dados por:

( )2

0

c o f

A VAy

VA V A gAy F gA S S

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U F S (2.12)

2.2 Relaciones de Resistencia al Flujo o Reología en Aludes Torrenciales

En esta parte se realizara la incorporación del término fuente de fricción Sf que se presenta en

la ecuación (2.10) dentro de los modelo reológicos seleccionados en la sección 1.6 (ecuación

empírica de Manning, flujo Voellmy, flujo Inercial-Dilatante, flujo Bingham simplificado,

flujo Bingham con solución de la ecuación cúbica y la formulación de Takahashi).

2.2.1 Ecuación Empírica de Manning

El flujo uniforme en un canal abierto obtenido de la ecuación de Manning se escribe de la

siguiente manera: 2

4 / 3fh

n V VS

R= (2.13)

39

donde n es el coeficiente de Manning [L-1/3T] y Rh es el radio hidráulico definido como

hARP

= [L] siendo P el perímetro mojado [L].

2.2.2 Fluido Voellmy

La relación de resistencia de fluido Voellmy fue inicialmente desarrollado empíricamente para

describir el flujo de avalanchas de nieves por combinación de un termino de fricción tipo

Coulomb para la resistencia del flujo sobre superficies inclinadas y el coeficiente de

resistencia de flujo Chezy. Hungr (1995) aplicó esta relación en el flujo de aludes torrenciales

obteniéndose excelentes resultados. Esta relación viene expresada:

2 cos tanf

V VS

hCθ δ= + (2.14)

donde δ es el ángulo de fricción interna, Rh: radio hidráulico [L] y C el coeficiente de

resistencia al flujo Chezy [L1/2T-1].

2.2.3 Fluido Inercial-Dilatante

La relación de resistencia de flujo inercial-dilatante es una versión simplificada de la obtenida

por Takahashi (1991), considera los efectos del flujo grano-cortante y es expresada como:

2

3 2fVS

h ζ= (2.15)

donde ζ es un parámetro que considera la rugosidad [L1/2T-1].

2.2.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica

La ley de flujo de Bingham (Bird et al., 1960),

40

0o B B o B

o B

si

si

τ τ µ γ τ τ

γ τ τ

= + >

= ≤ (2.16)

donde τo es el esfuerzo cortante en el lecho [ML-1 T-2], τB es el esfuerzo de cedencia o de

Bingham [ML-1T-2] y µB es la viscosidad plastica o de Bingham [ML-1T-1].

La relación para la pendiente de fricción en la línea centrada de un canal rectangular es

expresada (ecuación (1.15)) como:

ofS

ghτρ

= (2.17)

donde ρ: densidad del alud [ML-3] g la aceleración de gravedad [LT-2] y h la profundidad.

La relación entre el esfuerzo en el fondo, la velocidad y la profundidad se expresa por medio

de la ecuación cúbica (Hungr, 1995, Rickenmann, 1991):

3 2 322 3 2 0B

o B o Bq

hµ

τ τ τ τ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.18)

La solución de ésta ecuación para cada valor particular de la velocidad y la profundidad se

presenta a continuación. Manipulando la ecuación (2.18):

3

2 3

3 11 3 0.5 02

B BB

o o o

VAh

τ τµ

τ τ τ− − + = (2.19)

Sustituyendo en el tercer término de la ecuación (2.19) el esfuerzo cortante de la ecuación

(2.17) se tiene:

3

2 3

1 33 1 0.52

B BB

f o o o

VAh S gh

τ τµ

ρ τ τ τ= − + (2.20)

donde la pendiente de fricción es dada por

3

3 3

31 1.5 0.5B B B

fo o

S VAghµ τ τ

ρ τ τ⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.21)

41

2.2.5 Fluido Bingham simplificada

La relación de resistencia al flujo de Bingham tratada en la ecuación anterior (2.17) puede ser

simplificada para casos en los cuales la relación de esfuerzos τB/τ0 es menor que 0.5

(Rickemann, 1991) para obteniéndose en este caso una diferencia en la velocidad de flujo

promedio que esta en orden del 6% al ser aplicadas a una data de campo y experimental por

McArdell et al. (2003):

21.5 3o B BVAh

τ τ µ= + (2.22)

21.5 3B B

f

VAhS

gh

τ µ

ρ

+= (2.23)

2.2.6 Formulación de Takahashi: Efectos de Erosión-Deposición

Todos los modelos planteados anteriormente consideran la forma del perfil de fondo fija en el

tiempo. En algunas aplicaciones, la forma del perfil de fondo puede variar de manera

importante. Takahashi (1991) planteó un modelo, basado en los trabajos realizados por

Bagnold (1954) modelando los fluidos como dilatantes para considerar las variaciones de la

concentración de sólidos en el tiempo. Takahashi (1991) utilizó con éxito este modelo

logrando reproducir el comportamiento de los aludes torrenciales. Dos tipos distintos de flujo

fueron distinguidos para determinar la pendiente de fricción en función de la concentración de

sedimentos, c:

Para c ≤ 0.2, la ecuación de Manning para fricción usada en flujo canales abiertos

(Chow, 1959) es utilizada y se expresa como:

2 2

20.49fh

d VSgh R

= (2.24)

donde d es el diámetro efectivo promedio [L] y Rh es el radio hidraulico [L].

42

Para concentraciones de sólidos c > 0.2 plantean la siguiente ecuación:

( )

2

22 1 1 15 sin

fl

hB s

VSh c c gR

d aρ

λ α ρ

=⎡ ⎤⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(2.25)

siendo λ la concentración lineal dependiendo de la granulometría del sólido:

11* 3

1cc

λ

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.26)

donde ρs y ρl la densidad de sedimento y agua respectivamente [M/L3], C* la fracción de

sedimento en el lecho, α el ángulo de fricción interna y aB una constante empírica (Bagnold,

(1954) utilizó aB=0.042)

Los efectos de la erosión/deposición son controlados por los excesos de la concentración local

instantánea sobre la concentración de equilibrio. Egashira & Aschida (1987) y Honda &

Egashira (1997) calcularon la tasa de erosión-deposición por relaciones de promedios simples

de concentración de sólidos, pendientes de fondos y velocidades de erosión, considerando

condiciones de no-equilibrio. Takahashi (1991) propone una expresión semi-empírica (ver

sección 2.2) en la cual considera los diferentes efectos deposición a erosión y la erosión

producida en depósitos insaturados.

Para considerar estos efectos matemáticamente es a través de una mezcla de dos fases

constituida por fracciones gruesas de sedimentos y un fluido intersticial. El flujo de esta

mezcla sólido-liquido es descrito igualmente usando un esquema unidimensional del modelo

de profundidades promedias, donde la fase sólida esta constituida por partículas con una

distribución de diámetro promedio d. Puesto que ambas fases fluyen a la misma velocidad se

presenta una ecuación para la conservación de momento lineal (ecuación (2.10)) y a la

ecuación de conservación de masa (ecuación (2.9)) se le incluye los efectos de erosión del

fondo:

( )AVA ibt x

∂∂+ =

∂ ∂ (2.27)

donde i es la velocidad de erosión/deposición [LT-1] y b el ancho del canal [L].

43

Considerando los efectos de erosión-deposición sobre el fondo se introduce una nueva ley de

evolución del fondo:

( ) ( )v

hc hVcic

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

(2.28)

en la que c es la concentración de sedimentos promedia y cv un parámetro relacionado con la

concentración de sedimentos del fondo, dado por:

( )*

*

max , 0

0D

v

c c ic

c i

⎧ ≤⎪= ⎨>⎪⎩

(2.29)

siendo c* la concentración volumétrica en el fondo estático, c*D la concentración volumétrica

en el material depositado, el ángulo θ, es definido por la pendiente de fondo:

1sinzx

θ − ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.30)

z el nivel del fondo (variable en el tiempo )con respecto a una referencia horizontal fija.

Considerando un canal con paredes fijas, la evolución del nivel de fondo debido a la tasa de

erosión/deposición es dada por:

cos 0z it

θ∂

+ =∂

(2.31)

La velocidad de erosión/deposición se puede estimar a partir de la ecuación propuesta por

Egashira & Aschida (1987):

( )tan ei KV θ θ= − (2.32)

En la cual K=1 es un coeficiente empírico (Egashira & Aschida) y θe es el ángulo de equilibrio

del lechoel cual depende de la concentración de la mezcla.

44

3 CAPITULO III

MODELO NUMÉRICO

En este capítulo se presentan las técnicas numéricas utilizadas para resolver el modelo

matemático que describe el comportamiento de los aludes torrenciales presentado en el

capitulo anterior. Es importante destacar que en este trabajo se escogió como punto de inicio

para el desarrollo del modelo numérico la propuesta presentada por Sanders (2001) para flujo

de agua con superficie libre el cual resuelve las ecuaciones de Saint Venant.

El modelo unidimensional para la simulación de los aludes torrenciales aquí planteado

resuelve las ecuaciones de St. Venant modificadas para incluir altas pendientes, a través del

método de volúmenes finitos tipo Godunov, los flujos numéricos de masas y de momento

lineal fueron calculados utilizando tanto el método de Roe (1981) (RFF) para resolver el

problema de Riemann como una función de flujo simplificada (SFF) con el fin de obtener una

mayor eficiencia computacional. La aproximación MUSCL - Monotone Upwind Scheme for

Conservation Laws – (Hirsch, 1990) es aplicada para alcanzar una precisión espacial de

segundo orden. Una precisión de segundo orden en el tiempo es asegurada usando el esquema

temporal de Hancock a través de la aproximación del tipo predictor-corrector.

A continuación se describen detalladamente cada una de las técnicas numéricas empleadas.

3.1 Método de Volúmenes Finitos

El método de volumen finito tipo Godunov de segundo orden de exactitud en el espacio y el

tiempo es aplicado para resolver el problema de flujo en canales. Este esquema toma en cuenta

45

una solución monótona de alta resolución de ecuaciones hiperbólicas de primer orden, tales

como las ecuaciones de agua poco profundas, que admiten choques y discontinuidades.

El método está basado en expresar el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales (2.11) en

una formulación integral sobre volúmenes de control en los cuales se descompone el dominio

de flujo.

x x x

dx dx dxt x∆ ∆ ∆

∂ ∂+ =

∂ ∂∫ ∫ ∫FU S (2.11)

Para ello, el dominio espacial es discretizado en N celdas de igual longitud x∆ y aplicando el

teorema de Green la ecuación (2.11) se convierte:

( )1k kR L

t tx∆

∆∆

+ = − − +U U F F S (3.1)

donde los subíndices R y L que aparecen en los vectores de flujo numéricos refieren a los

flujos en los bordes derechos e izquierdos de cada celda respectivamente; los superíndices k+1

y k reflejan el nivel de tiempo t+∆t y t, respectivamente. Si el flujo y el termino fuente son

definidos para ser promediados en cada paso de tiempo, entonces la ecuación (3.1) es un

balance exacto de la conservación de masa y momento.

3.2 Esquema Tipo Godunov

Tal como se describió anteriormente, el modelo matemático para flujo en aguas poco

profundas es un grupo de ecuaciones hiperbólicas que representan típicamente la propagación

de un fenómeno. Orientados a reproducir correctamente tales fenómenos físicos, donde las

variables de flujo pueden ser discontinuas, fueron desarrollados esquemas upwind por Hirsch

(1990). Una familia de métodos que corresponde a ésta clase de esquema es el tipo Godunov.

El método original de Godunov es organizado en tres pasos:

El primer paso consiste de una aproximación de la distribución espacial de las

variables a través de un ajuste a una solución constante sobre cada celda.

46

El segundo paso es la determinación de la solución exacta del problema local de

Riemann en la interfaces de las celdas.

El último paso consiste de un promedio espacial de las variables dependientes

sobre cada celda.

En este orden se reduce el tiempo de cómputo y la solución exacta del problema de Riemann

es reemplazada por una solución aproximada. La información derivada de la solución exacta

es simplificada en el tercer paso, asegurandose que la pérdida de información debido al uso de

soluciones aproximadas no es significativa en la práctica.

3.3 Paso Predictor

La integración en el tiempo de segundo orden de precisión es realizada usando una

aproximación tipo predictor-corrector conocida como el método de Hancock (Van Albada et

al., 1982). Esta aproximación resuelve la forma primitiva de las ecuaciones de aguas poco

profundas (2.1) y (2.8) para avances en la solución temporal a nivel intermedio en la celda jth,

calculándose como sigue:

( )1/ 2

2k

k kj j j

tA A V A A Vx

∆∆ ∆

∆+ = − + (3.2)

( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 21/ 2 1 12 2 2 2

k k kkk kj j o f fj j jj

t g tV V g h V V S S S

x∆ ∆

∆ ∆∆

++ ⎛ ⎞= − + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.3)

donde el subíndice j indica la posición y el sobre barra indica que los gradientes en las celdas

son limitados (como se explica mas adelante).

Se puede observa que la ecuación (3.3) no trata explícitamente la fuerza hidrostática Fc, este

termino es considerado dentro del termino hgx∂∂

.

Los gradientes limitados prevén las oscilaciones comúnmente presentados en esquemas de

segundo orden. Los gradientes limitados de profundidad y velocidad en las celdas j están

dados por (Sanders, 2001):

47

( )1 1,j j j j jh avg h h h h+ −∆ = − − (3.4)

( )1 1,j j j j jV avg V V V V+ −∆ = − − (3.5)

La función promedio, avg(α,β), es obtenida aplicando el flujo de promedios no lineales o

pendientes limitantes (Sweby 1984). El límite Superbee es usado (Hirsch 1990):

( ) ( ) ( )( )min mod max mod , ,min mod 2 ,2 , 0,

0 0avg

α β α β αβα β

αβ

⎧ >⎪= ⎨<⎪⎩

(3.6)

donde minmod y maxmod retornan los argumentos con el menor y mayor modulo

respectivamente.

La sección transversal del área es función de la profundidad, así que el gradiente del área de la

sección transversal puede ser aproximado de la siguiente forma:

( ) ( )1 1

2

j jj j j jj

A h h A h hA

∆ ∆∆

+ −+ − −= (3.7)

La profundidad es extrapolada hacia los centros de las celdas vecinas donde las áreas de la

sección transversal son calculadas. Las diferencias en dichas áreas permiten obtener sus

gradientes usando la ecuación (3.7).

Los términos fuentes que aparecen en la ecuación (3.3) son evaluadas usando las ecuaciones

de resistencia al flujo o modelos reológicos definidos en la sección 3.7, dando lugar a una

formulación semi-implícita, y la ecuación de pendiente de fondo en función de la elevación

del terreno es expresada de la siguiente forma:

( ) 1/ 2 1/ 2j jo j

z zS

x∆+ −−

= − (3.8)

Para el calculó de termino fuente de la pendiente de fricción será detallado en la sección 3.7.

En general una aproximación semi-implícita reduce los costos computacionales para

problemas de fondos secos comparado con una aproximación explicita ya que permite usar

pasos de tiempo relativamente grandes.

48

3.4 Extrapolación MUSCL

Para la extrapolación de las variables de velocidad y profundidad en el lado izquierdo y

derecho de cada cara de las celdas en nivel de tiempo intermedio (j+1/2) es utilizada la

aproximación MUSCL en la cual las variables extrapoladas en la interfaces de la celda son

limitadas y son dadas por:

( ) ( )111 12 2

j jL j R jh h h h h h∆ ∆ ++= + = − (3.9)

( ) ( )111 12 2

j jL j R jV V V V V V∆ ∆ ++= + = − (3.10)

Para el cálculo del área en las interfaces del lado derecho y izquierdo se utilizó las

profundidades extrapoladas de la ecuación (3.9) y la relación funcional entre el área y la

profundidad para obtener, en cada borde:

( ) ( )L L R RA A h A A h= = (3.11)

Con estos valores, el problema de Riemann es resuelto usando el esquema de Roe.

3.5 Flujos Numéricos

El esquema propuesto requiere disponer de un método de interpolación en varias etapas a

través de un proceso de cálculo, a saber:

Para evaluar los flujos numéricos no viscosos (flujo de Roe), en un esquema de alto orden,

se deben extrapolar los valores de las variables de flujo a las fronteras de los volúmenes de

control elementales (figura 3-1). Para ello se emplean desarrollos polinómicos de primer

orden definidos de manera independiente en cada celda. La construcción de estos

polinomios requiere de la estimación de los gradientes sucesivos de las variables en los

centros de las celdas.

49

Los flujos difusivos a diferencia de los flujos no viscosos, se calculan directamente en cada

interfaz. Para ello, se interpola velocidades, profundidades y sus respectivos gradientes

desde los lados de la celda.

Los flujos numéricos de masa y momento en las interfaces son resueltos a través del método

de Roe para resolver el problema de Riemann, dado por (Roe, 1981):

( )1 ˆ2l L R U ∆= + −F F F A U (3.12)

siendo FL y FR los flujos numéricos en el lado izquierdo y derecho en la interface de la celda

jth, obtenidos a partir de la ecuación (3.12):

2 2L L R R

L RL L L L R R R R

V A V AV A gA y V A gA y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠F F (3.13)

y ÛA es una aproximación a la matriz Jacobiana UA definida más adelante.

En la figura 3-1 se representan gráficamente los flujos numéricos en las interfaces j-1/2 y

j+1/2 y sus respectivos flujos al lado derecho e izquierdo de cada interfaz.

1/ 2j−F 1/ 2j+F

j-1 jj-1/2 j+1j+1/2

FRFLFL FR

1/ 2j−F 1/ 2j+F

j-1 jj-1/2 j+1j+1/2

FRFLFL FR

Figura 3-1: Flujos en la interfaces para la celda jth

La matriz Jacobiana UA es dada por /d dF U es definida a través de la linealización local del

sistema de ecuaciones de manera que:

x x∂ ∂

=∂ ∂UF UA (3.14)

Por definición la matriz viene expresada por = ∂ ∂UA F U , los elementos de esta expresión

vienen dados de manera a satisfacer:

50

t x∂ ∂

+ =∂ ∂UU UA H (3.15)

Sustituyendo las variables conservativas y los flujos, se tiene:

11 112

11 11

U U

U U

A AVA AA AV A gAy VAx x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.16)

Desarrollando la ecuación anterior:

( ) ( )11 12U U

VA VAAA Ax x x

∂ ∂∂= +

∂ ∂ ∂ (3.17)

( ) ( )2

21 22U U

V A gAy VAAA Ax x x

∂ + ∂∂= +

∂ ∂ ∂ (3.18)

Con el fin de obtener las componentes de la matriz Au se consideró un canal rectangular de

ancho constante 2y h= y desarrollando las derivadas del lado izquierdo de la ecuación

(3.18):

221 22 222 U U U

V A gA A A V AVA V A A A A Vx x b x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.19)

222 21 222 U U U

V gA A V A AVA V A A A A V

x b x x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.20)

de la igualdad (3.17) podemos obtener:

11 120 1U UA A= = (3.21)

y de la (4-20):

222 212U U

gAA V A Vb

= = − (3.22)

Para canales rectangulares se supone que T b≈ , T es el ancho de la superficie libre, de esta

manera se define la velocidad de onda a gA T= (Roe, 1981). Sustituyendo éste término en

la ecuación (3.22), se puede definir la matriz UA de la siguiente manera:

2 2

0 12UA

a V V⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (3.23)

51

Los autovalores Λ y los autovectores por la derecha R de la matriz AU se pueden hallar

resolviendo la ecuación algebraica:

UA R IRΛ= (3.24)

Los autovalores son obtenidos resolviendo la ecuación homogénea algebraica:

( ) 0UA I RΛ− = (3.25)

Este sistema admite solución no nula si la matriz ( )UA IΛ− es singular:

( )det 0UA IΛ− = (3.26)

luego

( )( ) ( )( )

( )

2 22 2

2 2 2

12 1 0

2

2 0

V a Va V V

V V a

ΛΛ Λ

Λ

Λ Λ

−= − − − − =

− −

= − + − =

(3.27)

Planteando la solución conocida para la ecuación de segundo grado resultante, queda:

( )2 2 2

11 22

2 4 4 2 22 2

V V V a V a

V a V a

Λ

Λ Λ

± − − ±= =

= − = + Para obtener (3.28)

La matriz de autovalores es entonces dada por:

00

V aV a

Λ−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.29)

Sustituyendo las ecuaciones (3.23) y (3.29) en la ecuación (3.24), queda:

1 12 2

2 2

0 1 02 0

R RV aR Ra V V V a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.30)

Resolviendo el sistema:

( )( ) ( )

2 1

2 21 2 22

R V a R

a V R VR R V a

= −

− + = + (3.31)

Suponiendo R1=1, las soluciones quedan de la siguiente manera:

52

1 21 1R R

V a V a⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.32)

Por lo tanto la matriz de autovectores por la derecha:

1 1R

V a V a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ (3.33)

Los autovectores por la izquierda son obtenidos a través de la inversa de la matriz R,

obteniéndose como el adjunto de la matriz entre el determinante de dicha matriz:

( )( )

1

12 2

1det2 2

V aadj R a aL R

V aRa a

−

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟

= = = ⎜ ⎟− +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.34)

Por lo tanto se obtiene para L:

1112

V aL

V aa+ −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ (3.35)

Los promedios de Roe representan un estimado no lineal de las variables V y a en la cara de la

celda, satisfaciendo diversas condiciones incluyendo la siguiente:

( )ˆR L U R L− ≡ −F F A U U (3.36)

La matriz ÛA es una aproximación a UA y contiene los autovalores y autovectores

expresados en promedios de Roe, las cantidades denotadas con un sombrero (^) son conocidas

como los promedios de Roe, para dar solución a la función de flujo de Roe (RFF) definida en

la ecuación (3.12), se define:

ˆ ˆˆ Û =A R Λ L (3.37)

Los autovalores y autovectores de la matriz jacobiana son ampliamente aplicados en el estudio

de propagación de ondas. Para flujo uní-dimensional las matrices son expresadas como

aproximaciones de (3.29) , (3.33) y (3.35) de la siguiente manera:

ˆ ˆ1 1ˆ ˆ0 11ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ2ˆ ˆˆ ˆ0 1

V a V aaV a V aV a V a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + −= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ++ − +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Λ R L (3.38)

53

La velocidad promedio de Roe es dada por (Alcrudo et al., 1992):

ˆ L L R R

L R

A V A VV

A A+

=+

(3.39)

Basándonos en la ecuación (3.15), a debe satisfacer:

( )2ˆR L R LR LgA y gA y a A A− = − (3.40)

Para el caso de una sección transversal trapezoidal con las propiedades:

2A bh mh= + (3.41)

2 3/ 2 /32

bh mhybh mh

+=

+ (3.42)

donde ( )b b x= es el ancho del canal en el fondo, ( )m m x= es la pendiente inversa de las

paredes del canal, el promedio de Roe de la rapidez de la onda:

( )( )

2 22 3 2 3 2ˆ

6L L L R R R

L R

g mh bh mh h bh mha

mh b mh+ + + +

=+ +

(3.43)

Para secciones transversales de una geometría natural, la velocidad de la onda en la interfaz de

la celda puede ser seleccionada como (Alcrudo et al., 1992):

( ) ( )/ˆ R R L L R L R L

L R R L

gA y gA y A A A Aa

a a A A

⎧ − − ≠⎪= ⎨= =⎪⎩

(3.44)

Para obtener una mayor eficiencia computacional, una versión simplificada de la solución de

Roe puede ser usada en lugar de la ecuación (3.13) (Nujié, 1995), la función de flujo

simplificada (SFF) es dada por:

( )12l L R α∆= + −F F F U (3.45)

siendo α un parámetro calculado a partir de:

( )max ,V a V aα = + − (3.46)

54

3.6 Paso Corrector

Con los flujos numéricos calculados como se mostró anteriormente, el avance en la solución

temporal para el nivel próximo (k+1) basado en el esquema de Hancock emplea una

aproximación semi-implícita en el paso corrector para evitar inestabilidades asociadas con la

pendiente de fricción en la interfase húmeda / seca, quedando de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )( )11/ 21 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 2

k kkk k K Kj j J J F S Sj j j

t tt S S Sx∆ ∆

∆∆

+++ + ++ −= − − + + +U U F F (3.47)

Siendo:

( )00

F Sc o fF gA S S

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S S (3.48)

Como se puede notar en la ecuación (3.25) la fuerza de presión cF y los flujos F son

evaluados explícitamente en el nivel de tiempo intermedio. Las pendientes de fondo y de

fricción son tratadas implícitamente, de la misma manera como se hizo en el paso predictor y

su cálculo es descrito en la siguiente sección.

3.7 Acople de los Modelos Reológicos o Relaciones de Resistencia al flujo

El acople de las modelos reológicos con las ecuaciones de conservación fue posible a través de

los términos fuentes presentes en la ecuación del paso predictor (3.3) y la del paso corrector

(3.25). Como se puede apreciar el término de resistencia, Sf, es discretizado implícitamente en

estas ecuaciones usando la regla trapezoidal. Este tratamiento es necesario cuando se modelan

propagaciones de ondas sobre pendientes con una capa seca/húmeda aguas abajo. En esta

sección se describirá las aproximaciones numéricas empleadas para cada uno de los modelos

reológicos propuestos.

55

3.7.1 Ecuación Empírica de Manning

La conocida ecuación de Manning (2.13) puede ser descretizada en la celda jth de la siguiente

manera:

( )( )

2

4 / 3j j

f jh j

n V VS

R= (3.49)

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (3.3) presentada en el paso predictor (k+1/2)

y reacomodando los términos, nos queda:

( )( )( )

( ) ( )

2 1/ 2 1/ 21/ 2

1/ 24 / 3

2 014

2 2

kk

k k j jj j kjk kk

h o fj jj

tV g h V Vn V V xg t Vg tR S S

∆∆ ∆

∆∆∆

+ ++

+

⎧ ⎫− + +⎪ ⎪⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

(3.50)

La ecuación (3.5) es resuelta como una ecuación algebraica de segundo grado que puede ser

escrita como

( ) 1/ 21/ 2 2 1/ 2 0kk k k

j j jjD V V E

++ ++ + = (3.51)

siendo:

( ) 12 2 2

kk

k kj j o fj

j

t g tE V g h V V S Sx

∆ ∆∆ ∆

∆

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.52)

y

( )2

1/ 24 / 31/ 24

kj k

h

t nD gR

∆+

+= (3.53)

Luego tendremos

1/ 21/ 2

1/ 2

1 1 42

k kj jk

j kj

D EV s

D

++

+

− ± −= donde

56

( )1/ 2

1/ 2 1/ 21/ 2

1 1 42

k kj jk k

j j kj

D EV sign V

D

++ +

+

− + −= (3.54)

Es necesario realizar la evaluación del signo que la variable de descarga podría tener, antes.

Siguiendo el esquema propuesto por Brufau et al. (2001):

( ) ( ) ( )1/ 2 12 2 2

kk

k k kj j o f jj

j

t g tsign V sign V g h V V S S sign Ex

∆ ∆∆ ∆

∆+

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.55)

En el paso corrector (k+1) se aplicó la misma técnica que en el paso predictor, obteniendo de

la ecuación (3.55) la expresión para el cálculo de velocidad:

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 22 1 1 1/ 2 1/ 21 1

114 / 3 1/ 2

1 1

2 20

22 2

2 2

kj k k k

k k j j jk kj j j jk

jkk k k

h ok kj jj jj j

A tVn V V A xAg t V

t t tgR SA A

∆∆∆

∆ ∆ ∆

+ ++ + + −+ +

++

+

+ +

⎧ ⎫− − +⎪ ⎪

⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭

F S

F F

S S (3.56)

La ecuación algebraica de segundo grado para el paso de tiempo k+1 es escrita como

( ) 11 2 1 1/ 2 0kk k k

j j jjN V V M

++ + ++ + = (3.57)

siendo:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1

1/ 2

1/ 2

1 1

2 2

2 22 2

kj k k k

j j jk kj jk

jk k k

ok k jj jj j

A tVA xA

Mt t tg S

A A

∆∆

∆ ∆ ∆

+ ++ −+ +

+

+

+ +

⎧ ⎫− −⎪ ⎪

⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭

F S

F F

S S (3.58)

( )2

14 / 312

kj k

h

t nN gR

∆+

+= (3.59)

y es resuelta tal como se hace con la ecuación (3.52). Este procedimiento se emplea

igualmente con todos los otros modelos reológicos abajo descritos.

57

3.7.2 Fluido Voellmy

La ecuación del fluido Voellmy (Hungr, 1995) dada en la sección (2.2.2) es descretizada

usando el mismo método presentado para la ecuación de Manning, donde los términos para

plantear la solución de la ecuación de segundo grado en el paso predictor son:

2 cos tanj jf j

j

V VS

h Cθ δ= + (3.60)

( ) 1 cos tan2 2 2 4

kk

k kj j o fj

j

t g t tE V g h V V S S gx

θ δ∆ ∆ ∆

∆ ∆∆

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.61)

1/ 22 1/ 2

14

kj k

j

tD gC h

∆++= (3.62)

En el paso corrector que M y N en el tiempo k+1 vienen dados:

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1 1

1/ 2

1

2 2 2

2 cos tan2 2 2

kkj k k k

j j jk k k jj j jk

jk k

ok jjj

A t tVA xA A

Mt tg tS g

Aθ δ

∆ ∆∆

∆ ∆ ∆

++ ++ −+ + +

+

+

⎧ ⎫− − +⎪ ⎪

⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + −⎪ ⎪⎩ ⎭

F

S

F F S

S (3.63)

12 1

12

kj k

j

tN gC h

∆++= (3.64)

3.7.3 Fluido Inercial-Dilatante

De igual manera que en las relaciones reológicas anteriores es este caso (ver ecuación (2.15))

también se resuelve una ecuación algebraica de segundo grado, donde:

2

3 2j

fj

VS

h ζ= (3.65)

58

Paso predictor:

( ) 12 2 2

kk

k kj j o fj

j


∆ ∆∆ ∆

∆

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.66)

( )1/ 2

32 1/ 2

14

kj k

j

tD ghζ

∆+

+= (3.67)

Paso corrector:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1

1/ 2

1/ 2

1 1

2 2

2 22 2

kj k k k

j j jk kj jk

jk k k

ok k jj jj j

A tVA xA

Mt t tg S

A A

∆∆

∆ ∆ ∆

+ ++ −+ +

+

+

+ +

⎧ ⎫− −⎪ ⎪

⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭

F S

F F

S S (3.68)

( )1

32 1

12

kj k

j

tN ghζ

∆+

+= (3.69)

3.7.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica

La discretización de la ecuación cúbica de Bingham (sección 2.2.4) viene dada por:

3

3 3

3 1 1.5 0.5B B Bf j

j o j o j

S VAghµ τ τ

ρ τ τ

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.70)

Como es de notarse en la ecuación (3.3) para el cálculo de la velocidad en el paso predictor, el

término de fricción requiere conocer τ0. Luego, al sustituir la ecuación (3.70) se nos presenta

el siguiente sistema de ecuaciones de dos incógnitas Vj y τoj:

( ) ( ) ( )1/ 2

1/ 2 1 12 2 2 2

kk kkk k o

j j o fj jjj

t g tV V g h V V S S

x ghτρ

∆ ∆∆ ∆

∆

+

+⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.71)

( ) ( )1/ 2 1/ 2 3

2 31/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2

3 11 3 0.5 02

k kj jB B

Bk kk ko j o jj o j

V A

h

τ τµ

τ τ τ

+ +

+ ++ +− − + = (3.72)

59

A continuación se presentan los pasos para obtener el perfil de velocidad y esfuerzos de las

ecuaciones (3.71) y (3.72):

1. Se supone una velocidad inicial igual a la velocidad en el tiempo k, ki j jV V= y el

esfuerzo cortante inicial igual al esfuerzo de Bingham i j Bτ τ= .

2. Se resuelve la ecuación (3.72) aplicando el método de Newton Raphson para raíces

múltiples, se obtiene un jτ% .

3. Luego, con el esfuerzo obtenido en el paso anterior se resuelve la ecuación (3.72)

se obtiene una velocidad aproximada jV% .

4. Se le asigna a la velocidad y esfuerzo iniciales los valores obtenidos en el paso 2 y

3, respectivamente, i j jV V= % y i j jτ τ= % .

5. Se repiten iterativamente los del paso 1 al 4, hasta alcanzar una tolerancia

establecida para la variación de ambas variables, obteniéndose la velocidad y el

esfuerzo en el paso predictor, 1/ 2kj jV V+ = % y 1/ 2k

o j jτ τ+ = % .

En el paso corrector se presenta el siguiente sistema:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 11

11

1/ 2

1 1

2 20

22 2

2 2

kj k k k

j j jk kkj jo j k

jkk k kj

ok k jj jj j

A tVA xAg t V

gh t t tg SA A

τρ

∆∆∆∆ ∆ ∆

+ ++ −+ ++

++

+

+ +

⎧ ⎫− −⎪ ⎪

⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭

F S

F F

S S(3.73)

( ) ( )1 1 3

2 31 11 1

3 11 3 0.5 02

k kj jB B

Bk kk ko j o jj o j

V A

h

τ τµ

τ τ τ

+ +

+ ++ +− − + = (3.74)

A continuación se presentan los pasos para obtener el perfil de velocidad y esfuerzos de las

ecuaciones (3.73) y (3.74):

1. Se supone una velocidad inicial igual a la velocidad en el tiempo k+1/2, 1/ 2k

i j jV V += y el esfuerzo cortante inicial igual al esfuerzo de Bingham 1/ 2k

i j ojτ τ += .

60

2. Se resuelve la ecuación (3.74) aplicando el método de Newton Raphson para raíces

múltiples, se obtiene un jτ% .

3. Luego, con el esfuerzo obtenido en el paso anterior se resuelve la ecuación (3.73)

se obtiene una velocidad aproximada jV% .

4. Se le asigna a la velocidad y esfuerzo iniciales los valores obtenidos en el paso 2 y

3, respectivamente, i j jV V= % y i j jτ τ= % .

5. Se repite de manera iterativa los pasos del 1 al 4, hasta alcanzar una tolerancia

establecida para la variación de ambas variables, obteniéndose la velocidad y el

esfuerzo en el paso corrector, 1kj jV V+ = % y 1k

o j jτ τ+ = % .

3.7.5 Fluido Bingham simplificada

En este caso se discretizará la ecuación (2.21):

21.5 3 jB B

jf j

j

V Ah

Sgh

τ µ

ρ

+= (3.75)

Como es de notarse la sustituyendo la ecuación (3.76) en la (3.3) resulta una expresión sencilla

para la velocidad en el nuevo paso de tiempo.

Paso predictor:

( ) 1/ 2

1 1.52 2 2 4

kk

k k Bj j o f kj

j j

t g t tE V g h V V S Sx h

τρ

∆ ∆ ∆∆ ∆

∆ +

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.76)

( )1/ 2

1/ 231/ 2

314

kB jk

j kj

t AD

h

µ

ρ

∆ ++

+= + (3.77)

La velocidad es calculada de la siguiente manera:

1/ 21/ 2

kjk

j kj

EV

D+

+= (3.78)

61

Paso corrector:

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1 1

1/ 2

1 1

2 2 2

1.522 2 2

kkj k k k

j j jk k k jj j jk

jk k B

ok kjjj j

A t tVA xA A

Mt tg tS

A hτρ

∆ ∆∆

∆ ∆ ∆

++ ++ −+ + +

+

+ +

⎧ ⎫− − +⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪+ + −⎪ ⎪⎩ ⎭

F

S

F F S

S (3.79)

( )1

1/ 231

312

kB jk

j kj

t AD

h

µ

ρ

∆ ++

+= + (3.80)

3.7.6 Formulación de Takahashi

La discretización en la celda jth de las relaciones reológicas propuesta por Takahashi (1991)

considerando los efectos de la concentración de sedimentos tenemos:

c≤0.2

2 2

20.49j

f jj h j

d VS

gh R= (3.81)

c≥0.2

( )

2

22 1 1 15 sin

jf j

lj j j h j

B s

VS

h c c gRd a

ρλ α ρ

=⎡ ⎤⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(3.82)

Al igual que en los casos anteriores, al sustituir las ecuaciones (3.81 y 3.82) en la ecuación

(3.3) resulta una ecuación algebraica de segundo grado para Vj cuyos coeficientes son para el

Paso predictor:

c≤0.2

( ) 12 2 2

kk

k kj j o fj

j


∆ ∆∆ ∆

∆

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.83)

62

21/ 2

1/ 2 1/ 24 0.49kj k k

j h j

t dDh R

∆++ += (3.84)

c≥0.2

1/ 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

14 2 1 1 1

5 sin

kj

k k k kLj j j h j

B S

tDh c c R

d a

∆+

+ + + +

=⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ρλ α ρ

(3.85)

De igual manera para el paso corrector:

c≤0.2

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1

1/ 2

1/ 2

1 1

2 2

2 22 2

kj k k k

j j jk kj jk

jk k k

ok k jj jj j

A tVA xA

Mt t tg S

A A

∆∆

∆ ∆ ∆

+ ++ −+ +

+

+

+ +

⎧ ⎫− −⎪ ⎪

⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭

F S

F F

S S (3.86)

21

1 14 0.49kj k k

j h j

t dNh R

∆++ += (3.87)

c≥0.2

1

1 1 1 1

14 2 1 1 1

5 sin

kj

k k k kLj j j h j

B S

tNh c c R

d aρ

λ α ρ

∆+

+ + + +

=⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.88)

3.8 Acople del Modelo de Erosión/Deposición

En la sección (2.3) se describen las consideraciones físicas y matemáticas aplicadas en el

modelo de erosión/deposición, las cuales serán la base para la discretización y acoplamiento al

modelo numérico general.

Este modelo esta caracterizado por la solución de la ecuación de la evolución de fondo:

63

( ) ( )v

hC hCViC

t x∂ ∂

+ =∂ ∂

(3.89)

Apoyándose en la ecuación de continuidad expresada en términos de la profundidad:

( ) 0hVh

t x∂∂

+ =∂ ∂

(3.90)

y derivando las ecuaciones anteriores queda:

j j j j j j j vh c h c Vc h c V h V h c ict t x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.91)

0h V hh Vt x x

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (3.92)

Multiplicando la ecuación (3.92) por (–c) se obtiene:

0

v

h V hc ch cV

t x x

h V h c cc hc cV h hV ict x x t x

∂ ∂ ∂⎧− − − =⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎨⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩

(3.93)

Restando las dos ecuaciones anteriores:

j j j Vc ch h V ict x

∂ ∂+ =

∂ ∂ (3.94)

La solución para el paso predictor es dada por:

( )1/ 2 1/ 2

4 2k k k k kvj j j j jk

j

c dt dtc c i i V ch dx

+ += + + − ∆ (3.95)

siendo la velocidad de erosión/deposición discretizada a partir de:

( )1/ 2 1/ 2 1/ 2tank k kj j j ei KV θ θ+ + += − (3.96)

c∆ es obtenido de la misma forma que los gradiente limitados de altura y velocidad (ver las

ecuaciones (3.4) y (3.5), respectivamente).

64

Es necesario reemplazar el cálculo del área en el tiempo k+1/2, realizada en la ecuación (3.2),

por una donde se incluyan explícitamente los efectos de la erosión/deposición:

( ) ( )1/ 2

2k kk k

j j jj

tA A V A A V tib+ ∆= − ∆ + ∆ + ∆

Ω (3.97)

Basándose en el método de los volúmenes finitos para obtener la solución el paso de tiempo

corrector (k+1) de la ecuación (3.89):

( )1k kR L

t tx∆

∆∆

+ = − − +U U F F S (3.98)

los términos están definidos de acuerdo a :

vhc hVc S ic= = =U F (3.99)

Aplicando la ecuación (3.98) bajo el mismo esquema que en el modelo numérico general

detallado anteriormente, el paso corrector nos queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 2

k kk k k kj j v vj j j j

t thc hc ic ic∆ ∆Ω

++ + ++ −= − − + +F F (3.100)

A los fines de obtener una simplificación numérica y computacional en la solución de la

ecuación (3.100) se utilizaron pasos de tiempo muy pequeños, con el fin de aproximar el

último término del lado derecho: ( ) ( )( ) ( )( )1

2k k k

v v vj j j

t ic ic t ic∆∆

++ ≈ .

El flujo numérico discretizado se expresó, con la finalidad de incrementar la eficiencia

computacional como:

( ) 1/ 21/ 21/ 2 1/ 2

12

kkj j

α∆ +++ +

= + −L RF F F U (3.101)

donde α, se utilizó tal como establece la ecuación (3.47) y, siendo FL y FR, los flujos en el lado

izquierdo y derecho en las caras (j+1/2) respectivamente de la celda jth obtenidos a partir de la

ecuación (3.99).

En este caso se consideran los efectos de erosión y deposición en la ecuación del área en el

tiempo k+1, reemplazando la ecuación (3.2) por:

65

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1/ 2 1/ 2 11/ 2 1/ 21, 1, 1,k k k k k k

j j j j jtA A j j j t i b+ + + +

+ −

∆= − − + ∆

ΩF F (3.102)

La ecuación (3.3) tiene implícitamente el término fuente en el cual, para considerar los efectos

de evolución del fondo en la pendiente, se utiliza la ecuación:

1 ( 1) ( 1)arcsink L Lz j z jdx

θ + + − +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 1sink koS θ+ += (3.103)

Tanto para el paso predictor (ecuación (3.3)) como para el paso corrector (ecuación (3.48)) el

término que considera la resistencia al flujo Sf considerando la concentración de sólidos, se

encuentra discretizado implícitamente y su acople con las ecuaciones de conservación está

detallado en la sección (3.7.6).

3.9 Condiciones de Bordes y Celdas Imágenes

En esta sección se presentan las aproximaciones numéricas empleadas para la imposición de

las condiciones de borde, en particular, en lo referente al cálculo de los flujos numéricos

másicos y de momento lineal ( )1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2,k k

nF F+ ++ el cual es uno de los problemas mas difíciles

de resolver en el modelaje de la dinámica de fluidos. Una aproximación usada con frecuencia

es desarrollar formulas especiales para usarlas cercas de los bordes, las cuales dependen tanto

del tipo de condiciones de bordes que son especificadas como de la clase de método a aplicar.

En general es más fácil extender el dominio computacional para incluir dos celdas adicionales

en los extremos, llamadas celdas imágenes; los valores de estas celdas son impuestos en el

comienzo de paso de tiempo dependiendo de alguna manera de las condiciones de bordes y de

la solución obtenida en el paso de tiempo anterior (k).

La figura 3-2 muestra una malla representativa con las dos celdas imágenes en cada borde. En

estas celdas imágenes las variables y los gradientes respectivos son especificados aplicando

extrapolaciones de orden cero y uno a partir de las celdas vecinas, permitiéndose de esta

manera, aplicar el esquema numérico para resolver el problema del tipo Riemann, de la misma

66

forma en que se aplica para todas las celdas del dominio, sin aplicar métodos especiales con

posibles consecuencias artificiales que limiten o estimulen artificialmente el flujo en las

salidas del dominio.

....1 2 n - 1 n n + 10

x = 0 x = L

....1 2 n - 1 n n + 10

x = 0 x = L

Figura 3-2: El dominio Computacional [0, L] es extendido con dos celdas imágenes para especificar las condiciones de bordes

En la entrada distinguiremos las condiciones de borde dependiendo de que el flujo sea

subcrítico o supercrítico. Para un flujo subcrítico, en el borde donde la velocidad Vo es

especificada, el área es extrapolada en primer orden usando los valores de las celdas

adyacentes, además la profundidad es calculada a partir del área extrapolada, de la siguiente

forma:

(0) , (0) 2 (1) (2) (0) ( (0))oV V A A A y h h A= = − = (3.104)

El gradiente de profundidad es extrapolado usando los valores de las celdas adyacentes y el

gradiente de la velocidad es igual a cero. Para flujo supercrítico, tanto la velocidad como el

área son especificados (Vo, Ao) y los respectivos gradientes son igual a cero.

En la salida, para cualquier condición de flujo tanto el área como la velocidad son

extrapoladas en primer orden utilizando los valores de las celdas adyacentes:

( 1) 2 ( ) ( 1), ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ( 1))V n V n V n A n A n A n y h n h A n+ = − − + = − − + = + (3.105)

mientras que los gradientes son extrapolados en orden cero. Si el área es especificada en el

borde de la salida, es decir asignada en la celda imagen, la velocidad será extrapolada en

primer orden.

1/2 n+1/2

67

3.10 Condición de Estabilidad

La estabilidad del esquema numérico es asegurada por la aplicación del criterio de Courant-

Friedrichs-Lewy (CFL), el cual es dado por (Sweby, 1984):

max j

tt CV a∆

∆ =+

(3.106)

siendo C el valor del número de Courant menor a la unidad.

Con una malla determinada y un número de Courant prefijado, se obtiene el valor de t∆ que

satisface la ecuación (3.106), al final de un paso de tiempo dado, este valor es usado para

incrementar el tiempo de simulación que da inicio al próximo paso (t+∆t), de esta manera se

optimiza el incremento en el tiempo que puede ser utilizados en cada paso, obteniéndose una

mayor eficiencia computacional.

68

4 CAPITULO IV

VALIDACIÓN DEL MODELO

En este capítulo, con el fin de validar el modelo físico, matemático y numérico presentados en

los dos capítulos anteriores, se consideraran varios casos de flujo de agua tanto clara como

cargada de sedimentos. En primer lugar se comprobará la estabilidad y convergencia del

modelo considerando problemas de rompimiento de presa sobre un plano horizontal e

inclinado, a través del análisis de la sensibilidad de las simulaciones ante variaciones del

número de Courant, número de celdas y el coeficiente de rugosidad n, suponiendo un fondo

húmedo sobre cuyo espesor (hmin) también se realizarán simulaciones con diferente valores a

los fines de determinar los valores máximos a utilizar para no introducir ruido numérico, no

físico, sobre las soluciones para los perfiles de profundidad y velocidad de los flujos

resultantes. Posteriormente se harán diferentes comparaciones con resultados obtenidos de

problemas de flujo en canales con solución analítica así como con las soluciones obtenidas

aplicando otros modelos numéricos. Adicionalmente se incluyen los resultados obtenidos

aplicando el modelo de erosión-deposición sobre una corriente de alud torrencial uniforme del

tipo granular y finalmente se realizará la validación del modelo numérico general con datos

experimentales. A continuación se detallan cada una de las validaciones efectuadas al modelo

numérico.

4.1 Estabilidad Numérica del Modelo

La sección presenta varias simulaciones obtenidas en planos horizontales e inclinados, con y

sin efecto de fricción, enfocados en la comprobación de la estabilidad numérica del modelo y

en verificar la convergencia del mismo.

69

4.1.1 Caso plano Horizontal sin Fricción

En el caso del plano horizontal sin fricción representa una de las validaciones fundamentales

que se emplean para el estudio de estabilidad y convergencia de modelos numéricos ya que

han sido ampliamente estudiados y soluciones analíticas para satisfacer las ecuaciones de

conservación pueden ser obtenidas con relativa facilidad.

Figura 4-1: Diagrama para rompimiento de presa horizontal

Fueron realizadas varias simulaciones para determinar el efecto del incremento del numero de

Courant y del espacio ∆x sobre los perfiles de profundidad de fluido resultante. Para ello se

determinó el perfil de profundidades 25 segundos después del rompimiento de una presa

sobre un canal de las siguientes características:

Parámetros Valores

m 0 [adimensional] - (rectangular) n 0 [m-1/3s] θ 0 [grados] - (horizontal)

b 100000 [m] - (infinito) L 1000 [m] h0 10 [m] L0 500 [m]

hmin 0.01 [m] Vo 0 [m/s] t 25 [s]

Tabla 4-1: Características de un problema de rompimiento de presa horizontal, sin fricción.

hmin

h0

LpresaL

70

donde m es la es la pendiente inversa de las paredes del canal, n es el coeficiente de Manning,

θ es la pendiente del fondo, b es el ancho del canal, L es la longitud del canal, h0 y L0 es la

altura y longitud de la presa, respectivamente, hmin es el fondo del canal aguas abajo se

consideró húmedo con una capa de agua mínima, Vo es la velocidad inicial del fluido en todo

el dominio. Un diagrama esquemático de estas condiciones es presentado en la figura 4-1.

La figura (4-2) muestra el ajuste obtenido para diferentes números de Courant con 1000 celdas

(∆x=1m), donde se puede observar que a medida que este número disminuye los resultados

convergen hacia una solución única. Para efectos de economía computacional y en tiempo de

simulación se pudo observar que un número de Courant igual a 0.2 es suficiente para asegurar

la convergencia en este tipo de problema. Con respecto a ∆x se observa su efecto sobre la

solución en la figura 4-3, notándose que un incremento ∆x≤1m es suficiente para asegurar la

convergencia de la solución. El efecto de los cambios en ∆x y el numero de Courant no afectan

en gran manera la parte inicial y media del perfil de profundidad, un efecto un poco más

notable se observa en el frente de la onda donde los gradientes de las variables son más altos.

0

2

4

6

8

10

0 200 400 600 800 1000

x(m)

Prof

undi

dad

(m)

N°C = 0.08

N°C = 0.2

N°C = 0.4

N°C = 0.6

Figura 4-2: Sensibilidad del perfil de profundidad ante variaciones del número de Courant

En la ecuación (3.1) supone que existe una capa de agua fina en todo el canal, porque la

existencia de un fondo seco (hmin=0) causa el colapso o indeterminación de los autovalores y la

ecuación integrada (3.47) no describe el problema estrictamente hiperbólico. En La figura 4-4

se observa el efecto con diferentes capas de agua para considerar un fondo húmedo; para una

hmin=0.00001 m, no se observa formación de un frente de agua el cual va apareciendo

71

progresivamente a medida que se aleja de este valor, teniéndose que para el caso de hmin=0.1

m el frente que se forma tiene una altura aproximada de 2 m; en fin esta figura muestra

claramente que a medida que aumenta el espesor de la capa de agua se observar la formación

de un frente de fluido mas definido en completo acuerdo con la solución de Ritter (1982) tal

como es presentada por Henderson (1966) para superficies horizontales sin fricción.

0

2

4

6

8

10

0 200 400 600 800 1000x (m)

Prof

undi

dad

(m)

D x = 0 .2D x = 0 .5D x = 1D x = 2D x = 10

Figura 4-3: Efecto del número de celdas (∆x) en el perfil de profundidad

0

3

5

8

10

0 200 400 600 800 1000x (m)

Prof

undi

dad

(m

hmin=0.1

hmin=0.01

hmin=0.001

hmin=0.0001

hmin=0.00001

Figura 4-4: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal horizontal

sin fricción

72

4.1.2 Caso plano Inclinado con Fricción

Con el fin de analizar el comportamiento del modelo en presencia de fricción en el fondo, se

consideró un rompimiento de presa sobre un plano inclinado como el mostrado

esquemáticamente en la figura 4-5.

Figura 4-5: Diagrama para rompimiento de presa inclinado

Se simula un canal con las siguientes características:

Parámetros Valores

m 0 [adimensional] - (rectangular) n 0.03 [m-1/3s] θ 2 [grados] - (inclinado) b 100000 [m] - (infinito) L 1000 [m] h0 45 [m] L0 500 [m]

hmin 0.045 [m] Vo 0 [m/s] t 5 [s] ∆x 1 [m]

Tabla 4-2: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción.

Para un tiempo de simulación de cinco segundos se indica la forma del perfil de profundidad

resultante en la figura 4-6, donde se observa un frente de fluido producido por el efecto de la

gravedad sobre el fluido debido a la pendiente del fondo y la resistencia al flujo que se

presenta en el frente como consecuencia de la pendiente de fricción ó rugosidad.

Lpresa

θ

h0

hmin

L

73

0

15

30

45

60

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000x (m)

Prof

undi

dad

(m)

Figura 4-6: Perfil de profundidad de fluido a lo largo de un canal inclinado con fricción

0

15

30

45

60

0 200 400 600 800 1000x (m )

Prof

undi

dad

(m)

n=0

n=0.001

n=0.005

n=0.01

n=0.05

n=0.07

Figura 4-7: Efecto del coeficiente de resistencia al flujo (n) en el perfil de profundidad de un

canal inclinado con fricción

El efecto de variaciones del coeficiente de Manning sobre las profundidades de fluido a lo

largo del canal con hmin=0.045 m, se refleja en la figura 4-7. A medida que aumenta este

coeficiente, el fluido recorre menos distancia y la forma del perfil cambia debido al

incremento en la resistencia al flujo, el cual actúa como un aumento en la viscosidad del fluido

simulado, en completo acuerdo con lo cualitativamente esperado.

74

Fijando un coeficiente de Manning igual a 0.001 m-1/3s, el efecto de la profundidad de la capa

de agua ficticia (hmin) sobre las velocidades de propagación del frente se presenta en la figura

4-8 obtenidas bajo las mismas condiciones iniciales del caso anterior.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 200 400 600 800 1000x (m)

Prof

undi

dad

(m)

t=0

hm in=0.000001

hmin/h0=0.001

hmin/h0=0.005

hmin/h0=0.01

hm in/h0=0.05

Figura 4-8: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal inclinado

con fricción

En esta figura se muestra claramente la presencia de un frente en cada una de las curvas, el

cual es más definido a medida que la capa de agua tiene mayor espesor, como consecuencia de

la resistencia artificial que este frente le proporciona al fluido, actuando como una especie de

obstáculo o barrera. Sin embargo para una hmin muy pequeña de 0.000001 m se observa la

formación de un perfil parabólico, tal como era de esperarse al no estar muy alejados del

dominio en la que es valida la solución de Ritter (1982), hasta aquellos resultados donde se

aprecia un núcleo con una elevación de agua bastante significativa como es el caso de un

hmin/h0 igual a 0.05.

En las pruebas numéricas realizadas para el estudio de la condición de estabilidad del modelo

se observó que el parámetro que tiene una mayor sensibilidad y afecta notablemente los

resultados es la profundidad o capa mínima de agua considerando fondo húmedo, lo cual

permitió tomar precauciones a la hora de seleccionar una hmin adecuada para cada caso a

simular.

75

4.2 Comparación con soluciones analíticas y con otros modelos

numéricos

En la sección se comparan los resultados del modelo presentado en este trabajo con soluciones

analíticas y con otros modelos numéricos obtenidos de trabajos realizados por otros

investigadores de este tipo de fenómenos.

4.2.1 Comparación del modelo con solución analítica

En este caso se plantea un problema de rompimiento de presa (ver tabla 4-3) con la solución

analítica de las ecuaciones de conservación obtenida por Henderson (1965), considerando un

canal con las caracteristicas resumidas en la siguiente tabla:

Parámetros Valores

m 1 [adimensional] - (triangular) n 0 [m-1/3s] – (liso) θ 0 [grados] - (horizontal) b 0 [m] L 1000 [m] h0 1 [m] para x≤500m L0 500 [m]

hmin 0.1 [m] para x>500m Vo 0 [m/s] t 112.9 [s] ∆x 1 [m]

Tabla 4-3: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, sin fricción con canal triangular.

Luego de 112.9 segundos se pueden observar el comportamiento de número de Froude a lo

largo del canal en la figura 4-9, obteniéndose los más altos valores en el frente de la onda,

debido a que es en esta zona donde se reflejan las mayores velocidades del fluido. Como es de

notarse el modelo presenta un buen ajuste a la solución analítica.

76

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 200 400 600 800 1000x (m )

Num

ero

Frou

deModelo Num érico (RFF)

Data Exacta

Figura 4-9: Comparación del modelo numérico con solución analítica

(Henderson, 1966)

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 200 400 600 800 1000x (m)

Num

ero

Frou

de

Modelo Numérico (RFF)

Modelo Numérico (SFF)

Data Exacta

Figura 4-10: Comparación del modelo numérico usando la RFF y SFF con la solución

analítica (Henderson, 1966)

El modelo presentado en la figura anterior esta basado en el cálculo de los flujos numéricos

usando la función de Roe; a continuación se presenta los resultados obtenidos con la función

de flujo simplificada presentada en la sección 3.5. En la figura 4-10 se percibe que la solución

obtenida a través de la SFF se ajusta muy bien al inicio del canal pero a medida que aumenta

la distancia se hace menos precisa, hasta llegar al final del canal donde presenta un porcentaje

de error promedio de 2.33 % con respecto a los resultados de la solución analítica. Sin

embargo es de destacar que los resultados obtenidos ocasionan menor gasto computacional al

ser comparado con los obtenidos usando RFF.

Solución analítica Este Modelo (RFF)

Este Modelo (RFF) Este Modelo (SFF) Solución analítica

77

0,001

0,01

0,1

1

10

0 20 40 60 80 100 120 140tiempo (sg)

% E

rror

(Vol

umen

)

RFF SFF

Figura 4-11: Comparación entre las variaciones del volumen total (% error) usando las

aproximaciones RFF y SFF en función del tiempo

Analizando un poco más los resultados obtenidos, se hicieron pruebas usando la función de

flujo tipo Roe (RFF) y la función de flujo simplificada (SFF) obteniéndose el porcentaje de

error en el cálculo de la conservación del volumen total dentro del sistema inclinado con

friccion sin considerar salida de masa de un canal durante 120 segundos; de la figura 4-11 se

obtiene que a medida que aumenta el tiempo aumenta el error volumétrico de forma

exponencial, presentándose con la RFF magnitudes de errores menores al 0.1% mientras que

con la SFF que alcanza un error de aproximadamente 5%, lográndose de esta manera mayor

precisión con el modelo usando RFF.

4.2.2 Comparación del modelo con otros modelos numéricos

Una vez comparado el modelo con soluciones analíticas, se simuló el caso presentado en la

sección 4.1.1 con hmin=0.1 m, para ser comparado los resultados obtenidos con un modelo ya

existente (Blanco & Garcia, 2006) en diferencias finitas basado en el esquema de

MacCormack en el que ha sido ampliamente validado. La figura 4-12 presenta las

profundidades a lo largo del canal luego de que el frente de onda ha recorrido 800 m,

mostrando una buena concordancia entre los resultados obtenidos con el modelo basado en el

78

esquema de MacCormack y usando la aproximación RFF para el cálculo de los flujos

numéricos. Cuando se utiliza la aproximación SFF se presenta un buen ajuste aguas arriba el

cual es menos preciso en el frente de la onda.

0

2

4

6

8

10

12

0 200 400 600 800 1000x (m )

Prof

undi

dad

(m)

M acCorm ackM odelo RFFM odelo S FF

Figura 4-12: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack

0

3

6

9

12

0 200 400 600 800 1000x (m)

Velo

cida

d P

rom

edia

(m/s

)

MacCorm ack

Modelo Num érico

Figura 4-13: Perfiles de velocidad comparados con el modelo MacCormack

A partir de este punto todos los resultados presentados fueron obtenidos usando la

aproximación RFF para el cálculo de los flujos numéricos. La figura 4-13 registra la

comparación de las respectivas velocidades promedias del fluido, donde las menores

velocidades están en aguas arriba (fluido en reposo) aumentando progresivamente hasta

obtenerse las mayores en las cercanías de la zona del frente de onda.

Este Modelo

79

Es de hacer notar que el modelo basado en el esquema de MacCormack presenta oscilaciones

en el frente de la onda aguas abajo. Los resultados obtenidos considerando un cambio en las

condiciones iniciales del caso anterior de h0=1 m se muestran en la figura 4-14, las

oscilaciones típicas del modelo de MacCormack las cuales no se presentan en el modelo

numérico aquí propuesto.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 200 400 600 800 1000x (m )

Pro

fund

idad

(m)

MacCorm ackModelo Num érico

Figura 4-14: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack (h0=1m)

0

6

12

18

24

30

0 200 400 600 800 1000x (m )

Pro

fund

idad

(m)

MacCorm ack

Modelo Num érico

Figura 4-15: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.01)

comparados con el modelo MacCormack

Este Modelo

Este Modelo

80

Considerando el mismo caso que el presentado en la sección 4.1.1 se hicieron comparaciones

de los resultados del modelo incluyendo los efectos de las pendientes de fondo (θ=2°) y de

fricción (n) como se muestra en las siguientes figuras 4-15 y 4-16

Es de notarse que a medida que aumenta la resistencia al flujo el problema toma mayor

complejidad y los resultados entre ambos modelos muestran mayores diferencias en la zona

del frente. El modelo MacCormack es más sensible a la condición en el nodo en el que se

ubicaba inicialmente la represa, notándose un pequeño salto (apenas apreciable) en el nodo

central en la Fig. 4-16. Esta sensibilidad no se presenta para el modelo basado en volúmenes

finitos.

0

10

20

30

40

50

60

0 200 400 600 800 1000x (m)

Pro

fund

idad

(m)

MacCorm ack

Modelo Num érico

Figura 4-16: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.03)

comparados con el modelo MacCormack

En la figura 4-17 se consideró cambiar la forma del canal, donde para un canal triangular,

horizontal y sin fricción (tal como el caso que se describe en la sección 4.2.1) se obtienen los

números de Froude a lo largo del canal y son comparados con los simulados por Sanders

(2001). Esta figura refleja un buen ajuste en los resultados obtenido por los modelos,

obteniéndose una mayor precisión con nuestro modelo numérico de acuerdo a la solución

analítica presentada en la sección anterior (ver figura 4-9)

Este Modelo

81

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 200 400 600 800 1000

x (m)

Num

ero

Frou

deModelo Sanders

Modelo Num érico

Figura 4-17: Perfiles de número de Fraude en un canal triangular comparados con el modelo

Sanders

4.3 Ajuste del modelo de erosión/deposición

Con el fin de evaluar la capacidad para representar fenómenos de erosión/deposición (ver

sección 3.8), se simuló un caso para aludes torrenciales del tipo granular. Las características

de los sedimentos gruesos y el fluido intersticial d,α, c* son definidas como valores de los

parámetros empíricos, por lo tanto para valores impuestos en el canal de θe y una descarga de

fluido constante (Q), los valores correspondiente para la profundidad de fluido, la

concentración y el cambio de nivel del fondo pueden ser calculado con las ecuaciones (2.25),

(2.28) y (2.31).

La simulación numérica presentada para este caso corresponde a un problema presentado por

Brufau et al. (2001), donde se tiene una corriente de flujo uniforme fluyendo en un canal:

Este Modelo

82

Parámetros Valores

m 0 [adimensional] - (rectangular) d 0.005 [m] θ 2θe y θe/2 θe 12.5 [grados] b 1 [m] L 30 [m] ρs 2000 [Kg/m3] ρl 1000 [Kg/m3] ho 0.043 [m] Vo 0.972 [m/s] t 0 - infinito [s] ∆x 0.1 [m]

Tabla 4-4: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica.

Donde para la fase sólida se consideró d como un diámetro promedio de las partículas, θe una

pendiente de equilibrio, ho una profundidad inicial fluido constantes, ρs una densidad del

sedimento y ρl una densidad de liquido. La concentración inicial se fijo igual a la

concentración de equilibrio. Se hicieron dos pruebas para pendientes iniciales uniformes, una

de θ= 2θe y otra de θ= θe/2, respectivamente.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28x (m )

z (m

)

t=0 st=500 st=1500 st= infinitot=0 st=500 st=1500 st= infinito

30

Figura 4-18: Estados inicial, intermedio y final del nivel de fondo

θe/2

2θe

83

De la figura 4-18 se infiere la dependencia de la velocidad de erosión/deposición con la

variación de la pendiente de fondo; donde a medida que transcurre el tiempo la deposición de

sedimentos para el caso θ=2θe o la erosión del fondo para el caso θ=θe/2 evoluciona hasta

alcanzar la pendiente de equilibrio en un tiempo infinito. Estos resultados muestran una buena

concordancia con los resultados presentados en los trabajos de Brufau et al. (2001) y Blanco

(2004).

4.4 Validación del Modelo Numérico con Experimentos de

laboratorio Una serie de experimentos para problema de rompimiento de presa parcial fueron realizados

en la Waterways Experiments Station (WES), U.S. corps de Ingenieros (1960). Los resultados

de los casos referenciados como 1.1 y 1.2 fueron usados en este trabajo con propósitos de

comparación y validación del modelo numérico.

Para efectos de los experimentos se utilizó un canal rectangular de madera plastificada con las

siguientes características:

Parámetros Valores

m 0 [adimensional] - (rectangular) n 0.009 y 0.05 [m-1/3s] θ 0.28648 [grados] - (Inclinado) b 1.22 [m] L 122 [m] h0 0.305 [m] L0 61 [m]

hmin 0.1 [m] Vo 0 [m/s] t 120 [s] ∆x 0.1 [m]

Tabla 4-5: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica.

El modelo de la presa fue ubicada en la mitad del canal, imponiéndole una altura de agua de

0.305 m (ver tabla 4-5). Los dos casos difieren sólo en el valor de la resistencia hidráulica de

84

la pendiente del canal, el caso 1.1 se refiere a una pendiente casi lisa, mientras que el caso 1.2

corresponde a una muy rugosa. Los detalles de la técnica experimental en cuanto a la

rugosidad de la pendiente del canal para simular la alta resistencia al flujo y una breve

discusión obtenida de los resultados experimentales de las pruebas WES, pueden ser

detallados en el trabajo de Sakkas & Strelkoff (1976).

La figura 4-19 representa en forma esquemática las condiciones iniciales del problema y la

ubicación de los sensores en las cuatro estaciones del canal (-30.5, 0, 24.4 y 45.7 m), para

determinar la profundidad del fluido, siendo x = 0 m el punto medio de la longitud del canal,

donde también es ubicada la presa.

En esta sección se presentaran los resultados obtenidos aplicando el modelo Reológico de

Manning.

Figura 4-19: Diagrama esquemático de la ubicación de los sensores a lo largo del canal en las pruebas WES

4.4.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1)

Este caso corresponde a una superficie casi lisa con un coeficiente de Manning de 0.009 m-1/3s;

la figura 4-20 contiene las profundidades de flujo resultantes obtenidas por el modelo

comparado con los datos experimentales, en cada estación en ciertos intervalos de tiempo

hasta alcanzar los 120 segundos. Es de notar que el modelo es bastante estable, demostrando

que el esquema es muy robusto.

θ

h0

-30.5 m

0 m

24.4 m

x

45.7 m

-61 m

61 m

85

Las tendencias simuladas corresponden a las obtenidas por los experimentos donde se pueden

observar sólo pequeñas diferencias entre los valores medidos en cada estación con los

predichos numéricamente.

0,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

0,00

0,08

0,15

0,23

0,30

0,38

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0 20 40 60 80 100 120

tiempo (sg)

h(m

)

X =-31,5 m X = 0 m

X =24,4 m X = 45,7 m

Figura 4-20: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios

hidrográficos del caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)

4.4.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2)

Con el propósito de incluir un caso de mayor fricción en el canal se tomó el de alta pendiente

identificado como WES 1.2, con un coeficiente n=0.05 m-1/3s, al igual que el punto anterior se

obtuvieron las curvas de profundidad en función del tiempo, en las cuatros estaciones, ver

figura 4-21, donde se nota un ajuste satisfactorio a los datos experimentales; para la estación

donde x=45.7 m no se cuenta con resultados experimentales, pero los resultados numéricos

muestran una tendencia similar a la esperada para el perfil de profundidad ,de acuerdo con las

secuencias de perfiles anteriores.

Luego de todas estas validaciones, se consideró, a partir de los resultados presentados en este

capítulo, que el modelo reproduce simulaciones con bastante exactitud, precisa, con una buena

86

estabilidad numérica que permiten aplicar el modelo de manera confiable para el caso de los

aludes torrenciales.

0,04

0,07

0,1

0,13

0,16

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

0,05

0,13

0,20

0,28

0,35

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

0

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

0

0,03

0,06

0,09

0,12

0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)

h (m

)

X =-31,5 m X = 0 m

X =24,4 m X = 45,7 m

Figura 4-21: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios

hidrográficos del caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)

87

5 CAPITULO V

RESULTADOS

En este capítulo se presentan la calibración del modelo numérico aplicando las diferentes

relaciones reológicas con la data experimental obtenida por Waterways Experiments Station

(WES) y con data de campo (datos reales) las cuales fueron recolectadas en el evento de alud

torrencial ocurrido en el Valle Kamikamihori en Japón el 3 de Agosto de 1976 (Okuda et al.,

1980). Estas simulaciones cubren dos aspectos muy importantes como lo son el problema del

escalamiento de modelos reológicos a escala de laboratorio y real respectivamente.

Finalmente se muestra una comparación con los resultados del simulador comercial FLO2D y

con los del modelo publicado por Rickenmann & Koch (1997) con los datos de este mismo

evento en Japón.

5.1 Aplicación del Modelo Numérico a una Data Experimental

Una vez validado el modelo general con la ecuación de Manning (ver sección 4.4) se probaron

los cinco modelos reológicos restantes que están acoplados en el modelo numérico general:

fluido de Voellmy, fluido inercial-dilatante, fluido de Bingham ecuación cúbica, fluido de

Bingham simplificado y la formulación de Takahashi (detallados en la sección 2.2). Con el fin

de calibrar estos modelos fueron usados los experimentos realizados por WES para baja y alta

pendiente hidráulica:

88

5.1.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1)

Como primera aproximación se utilizó el problema WES 1.1, para la obtención de los

resultados fue necesario ajustar cada uno de los modelos basándose en los obtenidos por la

ecuación de Manning (n=0.009 m-1/3s), los parámetros ajustados obtenidos se muestran en la

siguiente tabla:

Modelos Parámetros Valores

Manning n 0.009 [m-1/3s] C2 70.71 [m1/2s-1] Voellmy δ 0 [grados]

Inercial-Dilatante ξ 850 [m1/2s-1] τB 0.001 [Pa] Bingham

Simplificado µB 0.09 [Pa s] τB 0.001 [Pa] Bingham Cúbica µB 0.09 [Pa s] d 0.02 [m] θe 0.3 [grado] Takahashi ρs 1500 [Kg/m3]

Tabla 5-1: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.1

donde C2 es la constante de Chezy, δ es el ángulo de fricción interna, ξ es el parámetro de

rugosidad, τB es el esfuerzo de Bingham, µB la viscosidad de Bingham, d es el diámetro

promedio de sedimento, θe es la pendiente de equilibrio y ρs es la densidad del sedimento.

0,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0 20 40 60 80 100 120tiem po (s)

h (m

)

D ata W ES Ec. M anningF lu ido Voellm yF lu ido Inerc ia l D ila tanteF lu ido B ingham S im plificadoF lu ido B ingham Ec. CubicaM odelo T akahash i

Figura 5-1: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario

x=-31.5 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)

89

En la figura 5-1 se presentan las profundidades del flujo para la primera estación (-31.5 m)

reflejándose que los ajustes realizados en cada uno de los modelos permitieron reproducir el

comportamiento de la profundidad del fluido durante los 120 segundos de simulación. Para el

intervalo de tiempo entre 0 y 30 segundos se alcanzó un ajuste excelente del modelo a los

datos experimentales, el que es ligeramente sobre estimado al incrementar el tiempo hasta

alcanzar los 70 segundos donde todos los modelos coinciden en sus resultados, a partir de allí

se hallan pequeñas diferencias con los datos experimentales, hasta el final de la simulación

donde el mejor ajuste es obtenido por el modelo de Voellmy seguido del modelo de Manning.

La figura 5-2 corresponde a la segunda estación (0 m), donde se colocó originalmente la presa

removible. Ésta figura exhibe inicialmente ciertas diferencias entre los resultados obtenidos

por los modelos y el primer dato experimental. No es sorprendente que los resultados del

modelo aparezcan de esta manera, ya que para el tiempo t=0s representa el instante en el que

se remueve la presa, colocándose la profundidad del agua en 0.305 m, ésta disminuye

rápidamente los primeros 10 segundos, de allí en adelante los todos los modelos reológicos se

ajustan muy bien a los datos del experimentos.

0,00

0,07

0,14

0,21

0,28

0,35

0 20 40 60 80 100 120tiem po (s)

h (m

)

Data W ES Ec. M anningF luido Voellm yF luido Inercia l D ilatanteF luido B ingham S im plificadoF luido B ingham Ec. CubicaM odelo Takahashi


x=0 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)

Para la tercera estación se presentan los resultados en la figura 5-3 donde al inicio se observa

una capa de agua que representa la consideración de una superficie húmeda, luego de estos

primeros diez segundos, el agua comienza a irrumpir en este punto, siendo simulado bastante

90

bien por los seis modelos los cuales a partir de allí se tienen ciertas diferencias entres ellos,

pero logran predecir satisfactoriamente la tendencia de los datos experimentales.

0 ,00

0 ,02

0 ,04

0 ,06

0 ,08

0 ,10

0 20 40 60 80 100 120tiem p o (s )

h (m

)

D ata W E S E c. M ann ingF lu ido V oe llm yF lu ido Ine rc ia l D ila tan teF lu ido B ingham S im p lificadoF lu ido B ingham E c . C ub icaM ode lo T ak ahash i


x=24.4m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)

Los perfiles de profundidades obtenidos en la figura 5-4 son simulados en la ultima estación

(45.7 m). Como era de esperarse el agua comienza a irrumpir en esta zona a los veinte

segundos y al igual que la figura anterior, en este tiempo se puede ver la presencia de una

capa de agua inicial. En general, se presentan muy pequeñas diferencias entre los modelos y

un buen ajuste a los datos experimentales.

0,00

0,03

0,05

0,08

0,10

0 20 40 60 80 100 120tiempo (s)

h (m

)

Data W ES Ec. ManningFluido VoellmyFluido Inercial DilatanteFluido Bingham SimplificadoFluido Bingham Ec. CubicaModelo Takahashi


x=45.7m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)

91

5.1.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2)

Con el propósito de tener un caso experimental con mayor fricción se simuló el caso WES 1.2.

Al igual que en el caso anterior se tomó como guía la ecuación de Manning (n=0.05 m-1/3s);

para el ajuste de los cinco modelos restantes se tiene que:

Modelo Parámetros Valores

Manning n 0.05 [m-1/3s] C2 12.247 [m1/2s-1] Voellmy δ 0 [grados]

Inercial-Dilatante ξ 104 [m1/2s-1] τB 0.01 [Pa] Bingham

Simplificado µB 1.1 [Pa s] τB 0.01 [Pa] Bingham Cúbica µB 1.1 [Pa s] d 0.02 [m] θe 0.4 [grado] Takahashi ρs 1500 [Kg/m3]

Tabla 5-2: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.2

0 ,04

0 ,07

0 ,09

0 ,12

0 ,14

0 ,17

0 20 40 60 80 100 120tiem po (s )

h (m

)

D ata W E S E c . M ann ingF lu ido V oe llm yF lu ido Inerc ia l D ila tan teF lu ido B ingham S im p lif icadoF lu ido B ingham C ub icaM ode lo T akahash i


x=-31.5 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)

92

0 ,0 5

0 ,1 2

0 ,1 9

0 ,2 6

0 ,3 3

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0t ie m p o (s )

h (m

)

D a ta W E S E c . M a n n in gF lu id o V o e llm yF lu id o In e rc ia l D ila ta n teF lu id o B in g h a m S im p lif ic a d oF lu id o B in g h a m C u b ic aM o d e lo T a k a h a s h i


x=0 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)

Las figura 5-5 refleja los perfiles de profundidad de flujo en la primera estación donde se tiene

un buen ajuste de los resultados, siendo el modelo de fluido inercial-dilatante y la formulación

de Takahashi los que logran las mejores predicciones de los datos experimentales. Esto es

luego confirmado en las figuras 5-6 y 5-7 donde estos dos modelos también muestran

excelentes resultados. La figura 5-7 exhibe como el fluido tarda mucho más tiempo (30

segundos) en irrumpir en la tercera estación con respecto al caso de baja pendiente. La figura

5-8 representa las simulaciones del punto x= 45.7 m, la cual no pudo ser validada por ausencia

de los datos experimentales, sin embargo los modelos coinciden en la forma de la tendencia de

la curva obtenida; basándose en los casos ya estudiados, se asegura que el perfil presentado es

el esperado en esta ultima estación.

0 ,00

0 ,03

0 ,05

0 ,08

0 ,10

0 ,13

0 ,15

0 20 4 0 60 80 1 00 120tie m p o (s )

h (m

)

D a ta W E S E c . M ann in gF lu ido V oe llm yF lu ido Ine rc ia l D ila ta n teF lu ido B ingh am S im p lif icadoF lu ido B ingh am C u b icaM od e lo T ak a hash i


x=24.4 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)

93

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 20 40 60 80 100 120tiempo (s)

h (m

) Ec. ManningFluido VoellmyFluido Inercial DilatanteFluido Bingham SimplificadoFluido Bingham CubicaModelo Takahashi


x=45.7 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)

Las consecuencias de estos resultados son sumamente importantes. La posibilidad de ajustar

distintos modelos reológicos a data experimental proveniente de un canal de una longitud tan

grande pone en entredicho la utilización de canales a escala de laboratorio para la

determinación de las propiedades de los fluidos que se movilizan durante un alud torrencial.

En efecto, la mayoría de las experiencias corresponden a canales cuya longitud es del orden de

los 10 m, la cual es sustancialmente menor a la utilizada en los experimentos de WES.

5.2 Aplicación del Modelo Numérico a un Evento Real

El evento de alud torrencial ocurrido en el valle de Kamikamihori en Japón se caracterizó por

contener un material de composición aproximadamente similar a la de un alud torrencial del

tipo alpino (Rickenmann & Koch, 1997).

La longitud del tramo donde se realizaron las observaciones fue de 3000 metros;

presentándose un ancho constante de 10 metros a lo largo del canal inicial, hasta llegar al

vértice del abanico a una distancia de 1900 metros, desde este punto es ampliado a un ancho

de 15 m en x= 2000 m; y más adelante, aguas abajo, tiene una ampliación de 10 m por cada

100 m de la distancia longitudinal. La figura 5-9 indica en forma esquemática los cambios de

ancho del canal así como su ubicación a lo largo del perfil longitudinal, en la que se puede

94

observar las fuertes variaciones de la pendiente de fondo a lo largo del tramo en estudio, la

cual se encuentra oscilando alrededor de un ángulo de 13 grados.

1 4 00

1 5 00

1 6 00

1 7 00

1 8 00

1 9 00

2 0 00

0 200 40 0 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 260 0 2 80 0 3 00 0x (m )

Elev

acio

nes,

z (m

)

11

5 m

15

m

10

m

10

m

1010

10

10

1 4 00

1 5 00

1 6 00

1 7 00

1 8 00

1 9 00

2 0 00

0 200 40 0 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 260 0 2 80 0 3 00 0x (m )

Elev

acio

nes,

z (m

)

11

5 m

15

m

10

m

10

m

1010

10

10

Figura 5-9: Perfil longitudinal (Japón) y cambios en el ancho del tramo del Valle

Kamikamihori seleccionado para el estudio.

En cuanto al hidrógrama en la entrada (x = 0m), se fijó una profundidad de fluido inicial (hj=0

= h0) de 2.5 metros y con una velocidad inicial de flujo (Vj=0 = V0) de 6.5 m/s, estas

condiciones de entrada permanecieron constante hasta alcanzar una longitud de 270 metros y

un volumen total del hidrograma (sedimento + agua) de aproximadamente 6500 m3; a partir de

este punto (t > 40 segundos) se realiza un cambio en las condiciones de entrada a Vj=0= 0 m/s y

(∂h/∂x)j=0 = 0 hasta alcanzar el tiempo total de simulación.

Los parámetros seleccionados de acuerdo al estudio de estabilidad realizado en el capitulo

anterior fueron para el fondo húmedo, hmin/h0 = 0.0004, un número de Courant de 0.2 y un

tamaño de malla ∆x = 1.5 m.

95

Las ciertas características del evento y condiciones de entradas se encuentran resumidas en la

siguiente tabla:

Parámetros Valores

m 0 [adimensional] θ Variados b Variados L 3000 [m]

hj=0 2.5 [m] Vj=0 6.5 [m/s]

hmin/h0 0.0004 [adimensional] ∆x 1.5 [m]

NºC 0.2

Tabla 5-3: Características y condiciones de entrada del evento real de alud torrencial.

Es necesario destacar que Rickenmann & Koch (1997) en su trabajo supuso en la data medida

y observada en el campo un margen de incertidumbre de +/- 20 % el cual también es supuesto

en el presente trabajo.

5.2.1 Calibración del Modelo Numérico

Los parámetros físicos obtenidos para el ajuste de los modelos reológicos contenido en esta

sección, han sido calibrados con el propósito de hallar los mejores ajustes para la reproducción

de las velocidades observadas con la cual el frente de fluido llega a cada uno de los puntos del

tramo del terreno perteneciente al valle de Kamikamihori. A continuación se presentan los

resultados obtenidos para cada relación reológica para tres valores diferentes en sus

respectivos parámetros de ajuste.

5.2.1.1 Simulaciones aplicando la relación de la ecuación de Manning

Seleccionando el modelo reológico con la ecuación de Manning al evento seleccionado, se

tiene que las curvas para los tres coeficientes de fricción se ajustan bastante bien a las

velocidades del frente de fluido, representadas en la figura 5-10.

En forma general, se puede observar que las mayores velocidades con la cual el frente de

fluido irrumpe cada uno de los puntos del canal, son obtenidas al inicio del evento, durante los

96

primeros 1000 metros, a partir de allí el flujo pierde energía debido a los efectos de la alta

resistencia hidráulica de la superficie, como se muestra en la figura 5-9, la pendiente de fondo

es mas suave para una distancia entre 1000 y 1900 m, disminuyendo los efectos de gravedad

sobre el flujo; finalmente para una distancia mayor a 1900 m el fluido se deposita

completamente perdiendo todo su movimiento (V≈ 0 m/s) debido a la presencia del abanico

aluvial.

Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976

0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

n=0.1

n=0.12

n=0.15


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

n=0.1

n=0.12

n=0.15

Figura 5-10: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning (n) y las

velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

La figura anterior revela que a medida que aumenta el coeficiente de Manning diminuye la

velocidad, lo cual era de esperarse de acuerdo a la ecuación (2.14); obteniéndose para n = 0.12

m-1/3s los mejores ajustes con la velocidad del frente medida a lo largo de 2500 metros. De

acuerdo a la literatura (Munson et al., 1990) el orden de este coeficiente corresponde a un flujo

con arrastre de árboles y vegetación.

5.2.1.2 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Voellmy

Para este caso se aplicó el modelo reológico del fluido Voellmy, las curvas para los tres

valores ajustados de Chezy (C2 igual a 80, 100 y 120 m-0.5s-1) se exhiben en la figura 5-11. Se

observo que a medida que se incrementa este valor, disminuye la pendiente hidráulica y por

ende aumenta la velocidad del fluido. El modelo de Voellmy tiene un buen ajuste a los datos

de campo, seleccionándose para C2 el valor de 100 m-0.5s-1 como la curva que presenta el

97

mejor ajuste en promedio entre los tres valores del coeficiente representados en la figura 5-11.

Las tendencias obtenidas con esta relación son similares a las obtenidas por la relación

newtoniana turbulenta de Manning.


0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

C2=80

C2=100

C2=120


0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

C2=80

C2=100

C2=120

Figura 5-11: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Chezy (C2) y las


5.2.1.3 Simulaciones aplicando la relación del fluido inercial-dilatante

El modelo reológico del fluido inercial-dilatante presenta una diferencia considerable con la

tendencia de los datos medidos, presentados en la figura 5-12. Como es de notarse

inicialmente tiende a sobre estimar la velocidad del frente (x>1000 m), ocasionando la

disminución de la velocidad, el modelo subestima la velocidades observadas en dirección

aguas abajo del canal. Es necesario destacar que varias simulaciones fueron hechas con este

modelo y una vez que se lograba ajustar la tendencia inicial de los datos de campos al final del

tramo del terreno se presentaban diferencias muy grandes y viceversa. Los mejores ajuste

promedios obtenidos fueron con los tres coeficientes de rugosidad presentados en la figura.

98


0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)E2=20

E2=31

E2=40


0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)E2=20

E2=31

E2=40

Figura 5-12: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de rugosidad (ζ2) y las


5.2.1.4 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham simplificado

Para el caso de coeficiente de Bingham simplificado se sensibilizaron dos parámetros el

esfuerzo y la viscosidad (τB y µB). En este trabajo se utilizaron diferentes valores para ambos

parámetros del modelo simplificado, observando que los resultados obtenidos en los intervalos

seleccionados de ajuste, los efectos por la variación de los valores del esfuerzos de Bingham

eran pequeños al compararse con los efectos ocasionados por los cambios en la viscosidad de

Bingham y es por esta razón que en la figura 5-13 solo se presentan variaciones en µB para un

valor de τB constante. Los ajustes presentados en esta figura revelan considerables diferencias

entre las tendencias de las velocidades del modelo y las reales. En este modelo la velocidad es

sobreestimada al inicio (como consecuencia de la ausencia de términos que tomen en cuenta la

turbulencia) y subestimada al final del canal (debido a la influencia del esfuerzo de cadencia)

en mayor porcentaje que en el modelo anterior.

Se considerará como mejor ajuste promedio de la relación simplificada de Bingham el caso

cuando τB= 100 Pa y µB= 650 Pa s.

99


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)tauB= 100 miuB=700

tauB= 100 miuB=650

tauB= 100 miuB=600


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)tauB= 100 miuB=700

tauB= 100 miuB=650

tauB= 100 miuB=600

Figura 5-13: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la

ecuación simplificada y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

5.2.1.5 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham

V e l. O b se rva d a (+ /- 20 % ), 3 A u g 1 9 76

0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cidad

del

frent

e (m

/s)

tauB=100 miuB=650

tauB=100 miuB=700

tauB=100 miuB=800

V e l. O b se rva d a (+ /- 20 % ), 3 A u g 1 9 76

0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cidad

del

frent

e (m

/s)

tauB=100 miuB=650

tauB=100 miuB=700

tauB=100 miuB=800

Figura 5-14: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la

ecuación cúbica y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

100

Para el modelo reológico de Bingham caracterizado por la ecuación cúbica (ver sección 2.2.4)

se observan tendencias muy parecidas a las del modelo simplificado pero mayores tiempos de

simulación y por ende un mayor gasto computacional. Se observa en la figura 5-14 que al

igual que los dos casos anteriores, en estas leyes de flujos laminares, la velocidad es

sobreestimada al inicio y subestimada al final del canal. El ajuste promedio seleccionado en

este caso para τB= 100 Pa y µB= 700 Pa s, a pesar de que no se diferencia en gran manera con

µB= 800 Pa s debido a lo alejado de la data real.

5.2.1.6 Simulaciones aplicando la relación formulada por Takahashi

Con la aplicación de esta relación reológica propuesta por Takahashi (1991) se están

considerando aparte de los efectos de propagación de flujo los efectos de la deposición de

sedimentos. Basándonos en un estudio de calibración para este modelo, se variaron los

diámetros promedios de sedimentos y se fijaron los siguientes parámetros: θe= 15°, ρs=1500

kg/m3, α=20°, c*=cv=0.7 y un coeficiente empírico de erosión muy pequeño de K=0.001, ya

que las velocidades de erosión obtenidas fueron muy elevadas. La figura 5-15 corresponde a

los resultados obtenidos en este caso.


0

2,5

5

7,5

10

12,5

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l Fre

nte

(m/s

) d=0.6 m

d=0.4 m

d=0.3 m


0

2,5

5

7,5

10

12,5

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l Fre

nte

(m/s

) d=0.6 m

d=0.4 m

d=0.3 m

Figura 5-15: Simulaciones obtenidas para diferentes diámetros de sedimentos promedios (d) y

las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

101

Es de notar en esta figura que los resultados se ajustan satisfactoriamente a los medidos en

campo y concuerdan con los valores de diámetros promedios de sedimentos utilizados para

este tipo de evento, los cuales varían de 1 µm a 10 m (ver sección 1.1). Sin embargo se

requiere un conocimiento mucho mayor de la granulometría local a los efectos de determinar

el diámetro de partículas óptimo. Se considera la curva para un diámetro promedio de

sedimentos de 0.4 m como la que presenta el mejor ajuste usando este modelo.

5.2.1.7 Comparación de los seis modelos reológicos


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Manning (n=0.12)Dilatante (E2=31)Voellmy (C2=100)Bingham simplificado (tauB= 100 miuB=700)Bingham Ec Cubica (tauB= 100 miuB=650)Takahashi (d=0.4)


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Manning (n=0.12)Dilatante (E2=31)Voellmy (C2=100)Bingham simplificado (tauB= 100 miuB=700)Bingham Ec Cubica (tauB= 100 miuB=650)Takahashi (d=0.4)

Figura 5-16: Simulaciones de los mejores ajuste de los parámetros en las relaciones reológicas con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

Los mejores ajustes obtenidos en las secciones anteriores para las velocidades de propagación

del frente de flujo con el modelo aplicando las seis relaciones reológicas a la data observada

en campo son mostradas en la figura 5-16. Es de notar usando el modelo newtoniano de

Manning, Voellmy y Takahashi se obtiene un buen ajuste a la data de campo, además se

muestran tendencias similares en las curvas de estas tres relaciones. Sin embargo los modelos

de Bingham e Inercial-dilatante no logran ajustar completamente la data del evento; esto es de

esperar ya que estos últimos modelos son del tipo laminar presentan la ausencia de termino

que tomen en cuenta la turbulencia predicendo altas velocidades de frentes artificiales al inicio

del canal que decae bruscamente al alcanzar alrededor de los 850 metros del tramo en estudio

102

debido a la influencia del esfuerzo de cedencia, subestimando las velocidades del frente hasta

el final del canal.

5.2.2 Comparación del Modelo Numérico con simulaciones realizadas en FLO2D


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

n=0.12

n=0.15


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

n=0.12

n=0.15

Figura 5-17: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el

simulador comercial FLO2D y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

Usando el paquete comercial FLO2D (O’Brien et al., 1993) basados en el esquema numérico

de diferencias finitas, el cual es muy usado para la descripción de eventos de aludes

torrenciales, se utilizaron los datos recopilados del evento detallado en la sección 5.2.1.1 y se

hicieron dos simulaciones usando dos coeficientes de Manning n=0.12 y 0.15 m-1/3s. Las

velocidades de propagación del frente de onda a lo largo del canal obtenidas con FLO2D se

presentan en la figura 5-17, donde inicialmente se encuentran las oscilaciones típicas en los

perfiles aplicando este tipo de esquema numérico y luego se tiene un buen ajuste de las curvas

con los observados en campos.

En la figura 5-18 se comparan los resultados obtenidos por la herramienta computacional

FLO2D con los del modelo numérico usando la relación de Manning bajo las mismas

condiciones, donde para ambos la mejor calibración fue con un coeficiente de fricción igual a

n=0.12 m-1/3s. Además se tiene una solución más estable numéricamente y con una tendencia

103

más ajustada a la data observada durante el evento por parte del modelo numérico desarrollado

en este trabajo.


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Manning n=0.12Manning n=0.15FLO2D n=0.12FLO2D n=0.15


0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Manning n=0.12Manning n=0.15FLO2D n=0.12FLO2D n=0.15

Figura 5-18: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el simulador comercial FLO2D y en el modelo numérico con respecto a las velocidades

observadas para el alud torrencial en Japón

5.2.3 Comparación del Modelo Numérico con el Modelo de Rickenmann & koch

Rieckenmann & Koch (2003) incorporaron en su modelo cuatro relaciones reológicas

diferentes (Manning, Voellmy, Bingham con ecuación cúbica e inercial-dilatante), para

predecir las velocidades de propagación del frente de flujo en el mismo evento de alud

torrencial analizado anteriormente (ver sección 5.2).

La figura 5-19 expone la comparación entre las velocidades del frente de onda obtenidas a

través de la ecuación de Manning incluida en modelo numérico y a partir del modelo

presentado por Rickenmann & Koch con la data observada en campo; se puede apreciar que

usando un coeficiente de Manning igual a 0.15 m-1/3s inicialmente ambos modelos presentan

pequeñas diferencias y tendencias similares hasta alcanzar aproximadamente una longitud de

104

1000 metros donde los resultados son muy parecidos entre si, mostrándose un buen ajuste a la

data observada.

En esta figura se incluyó la calibración del modelo numérico obtenido para n = 0.12 m-1/3s, el

cual demuestra una mejor predicción de los datos reales a lo largo de todo el canal. El uso de

este valor del coeficiente de fricción esta más en acuerdo con lo esperado en campo

(Rieckenmann & Koch, 2003).

0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Modelo Sanders (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.12)

0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

0

2,5

5

7,5

10

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Modelo Sanders (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.12)

Figura 5-19: Simulaciones usando la Ec. De Manning – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial

en Japón

Los ajustes obtenidos en las velocidades para ambos modelos considerando el fluido de

Voellmy son graficados en la figura 5-20, existen ciertas diferencias en ambas tendencias

considerando C2=120 m s-2 pero reproducen de manera aceptable las velocidades del frente de

fluido; sin embargo una mejor calibración se tiene usando este modelo con un C2=100 m s-2.

Modelo R&K (n= 0.15) Este Modelo (n= 0.15) Este Modelo (n= 0.12)

Modelo R& K (n=0.15) Este Modelo (n=0.15) Este Modelo (n=0.12)

105

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)Modelo Sanders (C2=120)

Modelo Numérico (C2=120)Modelo Numérico (C2=100)

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)Modelo Sanders (C2=120)

Modelo Numérico (C2=120)Modelo Numérico (C2=100)

Figura 5-20: Simulaciones usando el Fluido de Voellmy – Comparando Modelo de

Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

17,5

20,0

22,5

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Modelo Sanders (ζ2=31)Modelo Numérico (ζ2=31)

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

17,5

20,0

22,5

0 500 1000 1500 2000 2500x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Modelo Sanders (ζ2=31)Modelo Numérico (ζ2=31)Modelo Sanders (ζ2=31)Modelo Numérico (ζ2=31)

Figura 5-21: Simulaciones usando el Fluido Inercial Dilatante – Comparando Modelo de

Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón

Modelo R& K (C2=120) Este Modelo (C2=120) Este Modelo (C2=100)

Modelo R& K (ζ2=31) Este Modelo (ζ2=31)

106

La mejor predicción de la data real es obtenida aplicando la relación reológica de fluido

inercial-dilatante se obtiene con el modelo aquí desarrollado porque la reproducida con el

modelo de Riecknmann & Koch se aleja demasiado de la data real, como se presenta en la

figura 5-21, en este caso ambos modelos coinciden en el parámetro de rugosidad ajustado

empíricamente a ζ2 = 31 m-1/2s-1.

La figura 5-22 contiene los perfiles de las velocidades de frente a través de la relación del

fluido Bingham con τB= 100 Pa y µB= 800 Pa s para ambos modelos numéricos, mostrándose

que este tipo de ley de resistencia al flujo no logra predecir el comportamiento de este evento

con ninguno de los dos modelos.

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

0 500 1000 1500 2000 250x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Modelo Sanders (τB=100 µB=800)Modelo Numérico (τB=100 µB=800)

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

0 500 1000 1500 2000 250x (m)

Velo

cida

d de

l fre

nte

(m/s

)

Modelo Sanders (τB=100 µB=800)Modelo Numérico (τB=100 µB=800)Modelo R&K (τB=100 µB=800)Este Modelo (τB=100 µB=800)

Figura 5-22: Simulaciones usando el Fluido Bingham (Ec. Cúbica) – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el

alud torrencial en Japón

Los perfiles obtenidos en las figuras 5-21 y 5-22 por el modelo numérico presenta la misma

forma de las curvas obtenidas por el modelo de Rickenmann & Koch, pero en este trabajo se

predicen de forma más precisa los datos observados durante el evento real.

107

5.3 Algunas observaciones finales

En este capítulo se presentó la aplicación del modelo con data experimental y de campo donde

se encontró un punto muy importante que ha sido obviado en trabajos anteriores, como es la

obtención de un buen ajuste con la aplicación de las seis relaciones reológicas a los datos

experimentales (WES), donde en unas estaciones se hace difícil saber cual relación se ajusta

mejor a la data experimental (ver sección 5.1) y en otras estaciones se montan unas curvas con

otras revelando un comportamiento muy similar a lo largo del canal con una longitud 122

metros. Las consecuencias de este hecho deberían ser tomadas en cuenta al tratar de ajustar

modelos en canales de laboratorio y pretender establecer luego consecuencias a escala real.

Sin embargo cuando se aplican estas relaciones reológicas a un evento real (valle

Kamikamihori) donde se tiene un tramo de canal de 3000 metros se encontró que los modelos

Manning, Voellmy y Takahashi producen resultados bastante exactos logrando reproducir el

comportamiento de los perfiles de velocidad del frente de onda del evento, a diferencia de las

relaciones de fluido inercial-dilatante y Bingham (ec. simplificada y cúbica) que no logran

predecir el comportamiento de los perfiles de velocidades en la data real, a diferencia de lo

observado para experimentos de laboratorio en los cuales presentaron, en muchos casos, los

mejores ajuste a la data experimental. Basándose en lo expuesto anteriormente es valido

afirmar que en este tipo de fenómeno influye en gran manera la escala y la formulación

empleada para modelar la pendiente de fricción con la que se realicen las simulaciones,

estableciendo que no necesariamente un modelo que sea validado a nivel experimental pueda

generar los parámetros reológicos necesarios para que un modelo dado pueda predecir la

magnitud de un evento real de aludes torrenciales.

Tanto este capítulo como el anterior muestran que este modelo basado en volúmenes finitos es

capaz de reproducir de manera estable y con un alto grado de exactitud el comportamiento

físico de los aludes torrenciales.

108

6 CAPITULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Las conclusiones más relevantes de este trabajo y recomendaciones de interés para trabajos

futuros se plantean a continuación.

Se generó un esquema numérico basado en el método de los volúmenes finitos que presenta

una alta resolución de la ecuación de St. Venant para canales no rectangulares y no

prismáticos usando el método de Volúmenes Finito tipo Godunov.

La función de Roe para resolver el problema de Riemann es más exacta que la función

simplificada para los cálculos de los flujos numéricos de las ecuaciones de conservación,

debido a que asegura una mayor conservación de volumen requiriendo sin embargo de un

mayor gasto computacional.

Física y numéricamente, el comportamiento de los resultados obtenidos usando el método de

Volúmenes finitos es más exacto, robusto y estable que los obtenidos con métodos basados en

Diferencias Finitas, para los distintos casos aquí analizados.

La comparación de los resultados del modelo con resultados de soluciones analíticas,

resultados de otros modelos numéricos y principalmente la validación con los datos

experimentales presentados en este trabajo, demuestran que el esquema es bastante preciso y

estable numéricamente, para el conjunto de relaciones de resistencia al flujo aquí

consideradas.

Las velocidades de propagación de onda obtenidas por el modelo son altamente afectadas por

la altura mínima de agua seleccionada para considerar fondo húmedo. La selección de la

profundidad a asignar a esta altura mínima de agua debería ser una variable a determinar

109

sistemáticamente para cada problema particular a resolver, de manera a garantizar la

independencia de los resultados de este parámetro numérico.

El modelo numérico predice muy bien el comportamiento físico de problemas de rompimiento

de presa y flujo continuo de agua tanto clara como cargada de sedimento.

El modelo con la incorporación de las diferentes leyes de resistencia de flujo y del modelo

erosión-deposición reproduce y describe satisfactoriamente el comportamiento físico de los

aludes torrenciales. La evolución de la elevación del fondo por efectos de erosión y deposición

de sedimentos es reproducida de manera satisfactoria por el modelo. Sin embargo la solución

numérica de la ecuación de concentración de sólidos es un punto que requerirá de mayor

análisis debido a que el modelo es fuertemente sensible cuando se consideran altas

velocidades de erosión o deposición.

Los resultados obtenidos son fuertemente influenciados por la selección del tipo de ley de

resistencia de flujo o modelo reológico que se aplique.

Los mejores ajustes al evento de alud torrencial que ocurrió en Japón en el año 1976 fueron

obtenidos con el término de resistencia de flujo Newtoniano turbulento de la ecuación de

Manning o con el coeficiente de Chezy considerando fluido tipo Voellmy.

Las predicciones de velocidades de propagación que se obtienen por el modelo numérico son

más precisas que las de otros modelos numéricos como el de Rickenmann & Koch.

Para la validación y calibración de las relaciones reológicas de un modelo numérico es muy

importante tomar en consideración los efectos de escalamiento; ya que un modelo que sea

validado experimentalmente no necesariamente puede reproducir el comportamiento de un

evento real.

El modelo numérico esta apto para incluir tributarios y/o servir de base para el desarrollo de

un modelo bidimensional (2D) que permita estudiar con más detalles el comportamiento de los

aludes torrenciales en la zona del abanico fluvial.

110

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