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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111)
2do Parcial MODELO
MA-1111, MODELO II, Enero – Marzo 2007 JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS
1. a) Hallar
b) Definir formalmente LxfLimx
=+¥®
)(
c) Hallar y representar las asíntotas de la función:
2
55)(
2
+
++=
x
xxxf
d) Hallar ÷ø
öçè
æ --+¥®
xxLimx
312
e) Hallar 4
1272
4lim -
+-
® x
xx
x
f) Hallar ÷ø
öçè
æ
--
® 4
1)4(lim
4 xsenx
x
(1 Pto c/u)
2. Hallar los siguientes limites: a) Sean ( ) 4lim
1=
®xf
x y ( ) 1lim
4=
®xg
x.
Hallar de ser posible ( )( )xgfx
o4
lim®
,
( )( )xfgx
+®1
lim , ( )( )xfgx
o1
lim®
y
( )xg
f
x÷÷ø
öççè
æ
®4lim (4 Ptos)
b)
1
199 23
1lim -
-+-
® x
xxx
x
(3 Ptos)
c) ÷ø
öçè
æ -+-+¥®
15 2lim xxxx
(3 Ptos) d)
435 42
23 44 5 1lim
xxxx
xxxx
x +++
++++
+¥®
(4 Ptos)
3. Estudiar la continuidad de la siguiente función:
(6 Ptos)
4. a) Enunciar el Teorema del emparedado
(2 Ptos)
b) Mostrar que 1)(
lim0
=® x
xsen
x (2 Ptos)
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2do Parcial MODELO
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1. a) Hallar
Solución:
054
0
273.273.93
9323
2
==++-
-
b) Definir formalmente LxfLimx
=+¥®
)(
Solución:
e
e
<-Þ<
>$>"
LxfxM
queTalM
)(
:,0,0
c) Hallar y representar las asíntotas de la función: 2
55)(
2
+
++=
x
xxxf
Solución:
· Candidato a ser Asíntota vertical es la recta 2-=x
Como ( ) ( ) 15252 2 -=+-+- y
ïî
ïí
ì
->>+
-<<+
202
202
xsix
xsix
Entonces: +¥=+
++
--®2
552
2
limx
xx
x
y -¥=+
++
--®2
552
2
limx
xx
x
Por lo tanto: 2-=x es una asíntota vertical.
· Asíntotas Oblicuas u Horizontales:
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
121
15
151
2
55
2
552
55
2
2
2
2
2
2
2
2
+
++
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++
=+
++=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
++
Luego: 11
21
15
1512
55
2
2
=
+
++
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
++
+¥®+¥®
x
xxLim
x
x
xx
Limxx
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Además,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
x
xx
121
153
2
53
2
53
2
255
2
55 222
+
+=
÷ø
öçè
æ +
÷ø
öçè
æ +
=+
+=
+
--++=-
+
++
Luego: 31
21
153
2
552
=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
+
+=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ-
+
++
+¥®+¥®
x
xLimxx
xxLim
xx
En consecuencia existe una asíntota oblicua hacia ¥+ , de ecuación: 3+= xy y
no existen asíntotas horizontales, ya que +¥=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
++
+¥® 2
552
x
xxLim
x
Como los cálculos algebraicos no se alteran por que el valor de x sea negativo o positivo, entonces existe una asíntota oblicua hacia ¥- , de misma ecuación:
3+= xy
d) Hallar xxx
312lim --
+¥®
Solución:
xxx
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
13
11
18
31
18
31
18
31
91
31
31
3131
42
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
22
+-
--
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +-
÷÷
ø
ö
çç
è
æ --
=
+-
--=
+-
--=
÷ø
öçè
æ +-
÷ø
öçè
æ +-
÷ø
öçè
æ --=--
Como: 01
311
y81
8422
=+--=--+¥®+¥® xxx
Limx
Limxx
, llegando a 0 con valores
siempre positivos, ya que la expresión 42
11
xx- tiene sentido cuando x tiende a ¥+ ,
es decir:
÷÷ø
öççè
æ-<Þ<Þ<<<<Û<<<Û<<Û<
4224432322 11
011
1111xxxx
xxxxxxxxxx
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entonces xxx
312lim --
+¥®=
xx
x
x 131
1
18
2
2lim
+-
--
+¥®= ¥-
e) Hallar 4
1272
4lim -
+-
® x
xx
x
Solución:
( )( )3
4
43
4
1272
-=-
--=
-
+-x
x
xx
x
xx
Entonces: 14
1272
4=
-
+-
® x
xxLimx
f) Hallar ÷ø
öçè
æ
--
® 4
1)4(lim
4 xsenx
x
Solución:
÷ø
öçè
æ
--=÷
ø
öçè
æ
--
4
14
4
1)4(
xsenx
xsenx
Como: 14
1£÷
ø
öçè
æ
-xsen , se obtiene; 4
4
1)4( -£÷
ø
öçè
æ
-- x
xsenx
Por lo tanto: 44
1)4(4 -£÷
ø
öçè
æ
--£-- x
xsenxx
Como 04444
=-=--®®
xLimxLimxx
, entonces por el teorema del emparedado
04
1)1(lim
4
=÷ø
öçè
æ
--
® xsenx
x
2. Hallar los siguientes limites:
a) Sean ( ) 4lim1
=®
xfx
y ( ) 1lim4
=®
xgx
.
Hallar de ser posible ( )( )xgfx
o4
lim®
, ( )( )xfgx
+®1
lim , ( )( )xfgx
o1
lim®
y
( )xg
f
x÷÷ø
öççè
æ
®4lim
Solución:
o ( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) 4limlimlimlim1144
====®®®®
yfxgfxgfxgfyxgxx
o
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o ( )( ) )(lim)(limlim111
xfxgxfgxxx ®®®
+=+ , no es posible hallarlo , ya que no
se conoce )(lim1
xgx®
o ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1lim)(lim)(limlim44)(11
====®®®®
ygxfgxfgxfgyxfxx
o
o ( ))(lim
)(lim
)(
)(limlim
4
4
44 xg
xf
xg
xfx
g
f
x
x
xx®
®
®®=÷÷
ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æ, no es posible hallarlo, ya que
no se conoce )(lim4
xfx®
y no poseemos mas información sobre las
funciones.
b) 1
999 23
1lim -
+--
® x
xxx
x
Solución:
( )( )18
1
181
1
199 2223
+-=-
+--=
-
-+-xx
x
xxx
x
xxx
( ) 611.81181
199 22
1
23
1limlim -=+-=+-=
-
-+-
®®
xxx
xxx
xx
c) ÷ø
öçè
æ -+-+¥®
15 2lim xxxx
Solución:
( )
432
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
222
1115
1124
15
124
15
124
15
125
15
125
15
151515
xxxx
xx
x
xxx
x
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
-++
+-
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -++
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +-
=-++
+-=
-++
+--=
-++
-+-=
-++
-++÷ø
öçè
æ -+-=-+-
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Como 01115
2411
244322
=÷÷ø
öççè
æ-++=÷÷
ø
öççè
æ+-
+¥®+¥® xxxxy
xx xxLimLim , este
último llegando 0 con valores positivos, se obtiene:
+¥=
÷÷÷÷÷
ø
ö
ççççç
è
æ
-++
+-
=÷ø
öçè
æ -+-+¥®+¥®
432
22
1115
1124
15 limlim
xxxx
xxxxx
xx
d) 435 42
23 44 5 1lim
xxxx
xxxx
x +++
++++
+¥®
Solución:
2143
2232
43
2
23452
2
221445
23452
221445
223452
221445
435 42
23 44 5
112
11
11
2
1
2
111
xx
xxx
x
x
xxx
x
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
++
++++
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++
÷÷
ø
ö
çç
è
æ ++++
=
++
++++=
+++
++++=
+++
++++
Como
211
2y1
111
21432232
43=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ+++¥=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ++++
+¥®+¥®xxxx
x
xxxLimLim ,
Entonces:
+¥=
++
++++
=
+++
++++
+¥®+¥®2143
2232
43
435 42
23 44 5
112
11
11
1limlim
xx
xxx
x
xxxx
xxxx
xx
3. Estudiar la continuidad de la siguiente función:
Solución:
· )(xf es continua en )1,(-¥ , ya que es un polinomio en ese intervalo
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· )(xf es continua en )2,1( , ya que es un polinomio en ese intervalo
· )(xf es continua en ),2( +¥ , ya que es un polinomio en ese intervalo
· Estudiamos la continuidad en los puntos 2y1 == xx
o Punto 1=x
( ) ( ) 01)(y01)( 2
1111
=-==-=+®+®-®-®
xLimxfLimxLimxfLimxxxx
,
luego: 0)(1
=®
xfLimx
y como )(0)1(1
xfLimfx®
== entonces f es continua en 1.
o Punto 2=x
( ) 4)(y31)( 2
22
2
22
===-=+®+®-®-®
xLimxfLimxLimxfLimxxxx
,
luego: )()(11
xfLimxfLimxx +®-®
¹ y en consecuencia )(1
xfLimx®
no existe
Por lo tanto, f no es continua en 2.
Así, se puede afirmar que: )(xf es continua en RI \{ }2
4.
a) Enunciar el Teorema del emparedado Solución: Sean )(y)(),( xhxgxf funciones definidas en un intervalo [ ]ba, que contiene
al punto c .
Si las funciones satisfacen )()()( xhxgxf ££ y LxhLimxfLimcxcx
==®®
)()( ,
entonces LxgLimcx
=®
)(
b) Mostrar que 1)(
lim0
=® x
xsen
x
Solución: Se utilizara el teorema del emparedado.
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Por geometría se tiene: )()()( CáreaBáreaAárea ££ ,
Recordando que el área de una sección de ángulo a en un disco de radio r es:
2
2rárea
a= , se obtiene:
22 1.2
)(y2
)()cos()(),(cos
2)(
xCárea
xsenxBáreax
xAárea ===
Luego: 22
)()cos()(cos
22 xxsenx
xx
££ y dividiendo la expresión por 2
)cos(xx
que es positiva,
se obtiene: )cos(
1)()cos(
xx
xsenx ££
la cual es valida para 2
0p
<£ x , según la figura.
Para 02
<<- xp
, se procede de la misma forma y obtenemos la misma
desigualdad solamente que en el lugar de x aparece –x, es decir:
x
R=1
)cos(xCOS(X)
)(xsenCOS(X)
Región C
Región A
Región B
)cos(xCOS(X)
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)(cos22
)()cos(
222
)()cos()(cos
222 x
xxsenxxxxsenxx
x££Û
-£
--£-
- y
dividiendo la expresión por 2
)cos(xx que es negativo, se obtiene:
)cos(
1)()cos(
xx
xsenx ££
Por lo tanto se puede afirmar que:
Si ÷ø
öçè
æ-Î
2,
2
ppx , entonces
)cos(
1)()cos(
xx
xsenx ££
Como 1)cos(
1)cos(
00==
®® xLimxLimxx
, entonces por el teorema del emparedado
1)(
0=
® x
xsenLimx