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Universidad Simón Bolívar.

Matemáticas V (MA-2112).

Preparaduría nº 10.

christianlaya@hotmail.com ; @ChristianLaya

Integrales triples

Cambios de variable para integrales triples:

Coordenadas cilínricas:

Teniendo que:

Coordenadas esféricas:

Teniendo que:

Coordenadas geográficas:

Teniendo que:

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1. Sea D la región en el primer octante acotada por los planos coordenados y el plano

con , calcule:

Solución:

Graficamos la región:

Veamos pues de dónde a dónde varían las distintas coordenadas:

Variable “z”:

Vemos que ésta varía desde el plano hasta el plano dado, entonces:

Variable “x” e “y”:

Para ver de dónde a dónde varían ambas debemos proyectar el plano en el eje xy, es decir, en el plano

:

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Es decir:

Adicionalmente, vemos que el dominio es simétrico, por ende:

Entonces:

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2. Una integral triple viene dada por:

Determine y dibuje la región de integración.

Solución:

La integral dada está dada en coordenadas cartesianas. Vemos que:

Variable “x”:

Es decir, “x” varía desde la recta hasta la recta .

Variable “y”:

Vemos que “y” varía desde 0 hasta la semielipse

.

Tenemos:

Variable “z”:

Vemos que “z” varía el plano hasta el plano

Como se trata de una integral triple podemos pensar que la variación de las variables “x” e “y” representan

la región B, la cual, es la proyección de z sobre el eje xy:

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Finalmente, la región de integración, es:

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3. Sea T la región definida por . Calcule:

Solución:

Identificamos las superficies:

La expresión corresponde a la parte interior de un cilindro de radio 1 centrado en el

(0,0,0).

La expresión corresponde a la porción exterior de la parte superior de un cono centrado

en el (0,0,0).

Las expresiones e corresponden a la parte positiva del plano xy.

Para resolver la integral y, debido a la geometría de la región, lo más recomendable es tomar coordenadas

cilíndricas:

Debemos ver de dónde a dónde varía cada variable:

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Variable “z”:

Si observamos la región, vemos que z varía desde la base del cilindro (el plano ) hasta tocar la parte

lateral del cono, entonces:

Aplicándole el cambio de variable:

Variable “r”:

Como estamos utilizando coordenadas cilíndricas, r es la distancia que hay desde el origen de coordenadas

hasta cualquier punto del cilindro, básicamente, el r del cambio coincide con el radio del cilindro. Entonces:

Variable “ ”:

Como empleamos coordenadas cilíndricas vemos que nunca sale del plano xy. Esto lo obtenemos mediante

la proyección del cono sobre el plano xy:

Básicamente, la región D no es más que la “sombra” que genera el cono sobre el plano xy:

Observamos que ésta ocupa los cuatro cuadrantes, por ende:

Finalmente:

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4. Sea , calcule:

Solución:

Graficamos la región:

Tomamos coordenadas cilíndricas:

Debemos ver ahora de dónde a dónde va cada variable:

Variable “r”:

Como sólo nos interesa la región comprendida entre los cilindros, “r” deberá abarcar todo el espacio

comprendido entre el borde del cilindro interior hasta el borde del cilindro exterior, es decir, debe superar el

radio del cilindro menor pero no el del cilindro mayor:

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Variable “z”:

La propia región nos dice de dónde a dónde varía “z”, desde el plano hasta el plano :

Variable :

Ésta nunca sale del plano xy. Para observar su variación procedemos a proyectar:

Como la región abarca los cuatro cuadrantes, decimos que:

Finalmente:

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5. Sea el sólido definido mediante y . Calcule el volumen de .

Solución:

Tenemos que:

La región dada por es la parte interior a una esfera centrada en el origen y de

radio 2a.

La región dada por puede ser escrita como:

Lo cual representa la parte interior a un cilindro centrado en el (0,a,0) y cuya base tiene radio uno.

Graficamos la región:

Utilizamos coordenadas cilíndricas:

Veamos de dónde a dónde van todas las variables:

Variable “z”:

Si nos movemos a lo largo del eje “z” (de manera vertical), vemos que vamos desde la parte inferior de la

esfera hasta la parte superior de ésta, por ende:

Variable “r”:

Cómo el sólido no está centrado en el origen sino que está trasladado, por ende, debemos determinar cuál

es su máximo valor. Para ello, estudiamos la distancia que hay desde el origen hasta el borde de la esfera:

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El máximo valor que puede tomar r es mientras que el mínimo es (por definición).

Entonces:

Variable “ ”:

Ésta nunca sale del plano xy, por ende, al proyectar tenemos que:

De la misma manera:

Observamos que la región sólo abarca el segundo y primer cuadrante, por ende:

Finalmente:

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Por cuestiones de comodidad resolvamos la integral por separado:

Resolvemos la indefinida mediante un cambio de variable:

Así:

Evaluando en los límites de integración:

Sabemos que:

Finalmente:

Sustituimos en la integral que nos permite calcular el volumen:

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6. Sea la región definida por y . Calcule:

Solución:

Tenemos que nuestra región de integración es una esfera de radio 2 centrada en el origen y la parte superior

de un cono cuyo vértice se encuentra igualmente en el origen.

Utilizamos coordenadas esféricas:

Hallemos la intersección entre el cono y la parte superior de la esfera:

Es decir:

Veamos de dónde a dónde va cada variable:

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Variable “ ”:

Si proyectamos el sólido en el plano yz vemos que:

Del triángulo rectángulo tenemos que:

Es decir, el máximo valor que puede tomar éste es .

Sabemos que que forma el sólido con el eje yz, entonces, se logra ver que éste debe partir desde

hasta llegar a

. Por ende:

Variable “r”:

Por definición, “r” será la distancia que hay desde el origen hasta el radio de la esfera. Entonces:

Variable “ ”:

Ésta nunca sale del plano xy, por ende, si proyectamos la intersección en dicho plano se tiene que:

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De dónde se puede observar:

Finalmente:

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7. Sea D la región definida por ,

calcule el volumen de D.

Solución:

Graficamos la región:

Buscamos la intersección entre las esferas:

Método 1: coordenadas cilíndricas.

Veamos de dónde a dónde va cada variable:

Variable “z”:

Si nos movemos verticalmente por el sólido vemos que vamos desde la parte superior de la esfera de radio

hasta la parte inferior de la esfera de radio 2, entonces:

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Variable “ ”:

Ésta nunca sale del plano xy, entonces, si proyectamos ambas esferas en éste vemos que:

Variable “r”:

Esta variable representa la distancia desde el origen hasta la esfera de menor radio, por ende:

Finalmente:

Método 2: coordenadas esféricas.

Veamos de dónde a dónde va cada variable:

Variable “ ”:

Ésta nunca sale del plano xy, entonces, si proyectamos ambas esferas en éste vemos que:

Para ver la variación de las demás variables debemos considerar que la región no es constante. Debemos

notar dos subregiones.

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Variable “ ” y “r”:

- Primera subregión:

Proyectamos el sólido en el plano yz:

Para lo cual obtenemos y respectivamente.

Tenemos que “r” va desde el origen hasta recorrer toda la esfera 1, por ende:

Adicionalmente, tenemos que el máximo valor que puede tomar es

. Entonces:

- Segunda subregión:

Proyectamos nuevamente el sólido en el plano yz:

Como se trata de una esfera trasladada tenemos que sustituir el cambio en la ecuación de ésta para ver cuál

es el máximo valor que “r” puede tomar:

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Así pues:

Ahora bien, si proyectamos el sólido en el plano “yz” (nuevamente), observaremos que éste ocupa todo el

espacio comprendido desde hasta

. Conocemos que la primera subregión abarca desde hasta

(básicamente el ángulo ); la segunda subregión, obviamente, deberá abarcar desde

hasta

, es decir:

Finalmente:

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8. Una integral triple en coordenadas cilíndricas está dada por:

Describa la región de integración mediante ecuaciones cartesianas de todas las superficies que la

limitan.

Exprese la integral en c rd adas cart sia as, i t gra d pri r r sp ct a “z”, g r sp ct a

“y” y p r ú ti r sp ct a “x”.

Solución:

Tenemos que:

Sabemos que las coordenadas cilíndricas están definidas por:

Variable “z”:

Teniendo que:

- representa un plano.

- representa una esfera centrada en el (0,0,0) y de radio 2.

Es decir, la variable “z” va desde el plano hasta la esfera.

Variable “r”:

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Lo cual queda representado por:

Variable “ ”:

Y como ésta nunca sale del plano xy tenemos que el sólido sólo abarca el primer cuadrante.

La proyección del sólido sobre el plano xy nos queda como:

Adicionalmente, tenemos la función:

Devolviendo el cambio:

La región de integración será la intersección de la esfera y los dos cilindros (todos en el primer cuadrante).

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La integral nos queda como:

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Christian Laya