UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE ......MOMENTO – CURVATURA POR EL MÉTODO DE FIBRAS PARA SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO Y PERFILES DE ACERO EMPLEANDO UN SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

TRABAJO EXPERIMENTAL PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL

TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

Tema:

“CÁLCULO DEL DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA POR EL

MÉTODO DE FIBRAS PARA SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO Y

PERFILES DE ACERO EMPLEANDO UN SOFTWARE DE

PROGRAMACIÓN ESPECIALIZADO.”

AUTOR: JOSÉ CARLOS FREIRE NAVAS.

TUTORA: Ing. Mg. CHRISTIAN MEDINA

Ambato – Ecuador

2017

II

CERTIFICACIÓN DEL TUTOR

Yo, Ing. Mg. Christian Medina, Certifico que el presente trabajo bajo el tema:

“CÁLCULO DEL DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA POR EL MÉTODO

DE FIBRAS PARA SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO Y PERFILES DE

ACERO EMPLEANDO UN SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN

ESPECIALIZADO” es de autoría del Sr. José Carlos Freire Navas, el mismo que ha

sido realizado bajo mi supervisión y tutoría.

Es todo cuanto puedo certificar en honor a la verdad.

Ambato, Enero del 2017

________________________________

Ing. Mg. Christian Medina.

III

AUTORÍA

Yo, José Carlos Freire Navas con C.I: 180446493-9, egresado de la Facultad de

Ingeniería Civil y Mecánica de la Universidad Técnica de Ambato, certifico por medio

de la presente que el trabajo con el tema: “CÁLCULO DEL DIAGRAMA

MOMENTO – CURVATURA POR EL MÉTODO DE FIBRAS PARA SECCIONES

DE HORMIGÓN ARMADO Y PERFILES DE ACERO EMPLEANDO UN

SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN ESPECIALIZADO”, es de mi completa

autoría.


________________________________

José Carlos Freire Navas.

IV

DERECHOS DE AUTOR

Autorizo a la Universidad Técnica de Ambato, para que haga de este Trabajo

Experimental o parte de él, un documento disponible para su lectura, consulta y

procesos de investigación, según las normas de la Institución.

Cedo los Derechos en línea patrimoniales de mi Trabajo Experimental con fines de

difusión pública, además apruebo la reproducción de éste Trabajo Experimental dentro

de las regulaciones de la Universidad, siempre y cuando ésta reproducción no suponga

una ganancia económica y se realice respetando mis derechos de autor.


Autor

________________________________

Freire Navas José Carlos

V

APROBACIÓN DEL TRIBUNAL DE GRADO

Los miembros del tribunal examinador aprueban el informe de investigación, sobre el

tema: “CÁLCULO DEL DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA POR EL

MÉTODO DE FIBRAS PARA SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO Y

PERFILES DE ACERO EMPLEANDO UN SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN

ESPECIALIZADO”, del egresado José Carlos Freire Navas de la Facultad de

Ingeniería Civil y Mecánica.

Ambato, Enero del 2017.

Para constancia firman.

Ing. Mg. Juan Garcés Ing. Mg. Jorge Cevallos

VI

DEDICATORIA

A DIOS, por haberme permitido alcanzar una de mis metas.

A mi Querido Padre, por ser siempre un maestro, por compartir momentos de alegría

y tristeza y más que todo compartir todos sus conocimiento.

A mi Querida Madre, por siempre una amiga y un apoyo incondicional en cada etapa

de mi vida.

A mi Querida Hermana, por siempre brindarme su amor y cariño, tú siempre serás la

razón y el motivo de todos mis esfuerzos.

A mis Queridas tíos que han sido una segunda madre, que han estado con migo desde

la niñez y me han brindado un poco de su amor.

VII

AGRADECIMIENTO

A DIOS, por siempre ser mi fortaleza en cada momento de mi vida.

A mis PADRES, por haberme dado la vida y siempre haber sido mi apoyo

incondicional.

A mi HERMANA, por haberme ayudado en la realización de este proyecto.

A cada uno de los integrantes de mi FAMILIA, por brindarme su apoyo que va más

allá del deber.

A mi Tutor Ing. Christian Medina por su asesoría y enseñanza de conocimientos en la

consecución de este proyecto.

A mis AMIGOS, COMPAÑEROS y HERMANOS de toda la vida, por todo ese apoyo

incondicional.

VIII

ÍNDICE DE CONTENIDOS

A.- PAGINAS PRELIMINARES

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO.......................... ¡Error! Marcador no definido.

AUTORÍA...................................................................................................................III

DERECHOS DE AUTOR ........................................................................................... IV

APROBACIÓN DEL TRIBUNAL DE GRADO ...........................................................V

DEDICATORIA ......................................................................................................... VI

AGRADECIMIENTO................................................................................................VII

ÍNDICE DE CONTENIDOS .................................................................................... VIII

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................... XI

ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................................ XV

GLOSARIO DE SIMBOLOS....................................................................................XVI

RESUMEN EJECUTIVO .........................................................................................XVI

B.- TEXTO

CAPÍTULO I ................................................................................................................ 1

ANTECEDENTES ........................................................................................................ 1

1.1 TEMA DEL TRABAJO EXPERIMENTAL .......................................................... 1

1.2 ANTECEDENTES .............................................................................................. 1

1.3 JUSTIFICACIÓN ................................................................................................ 3

1.4 OBJETIVOS: ...................................................................................................... 4

1.4.1 Objetivo General: ................................................................................................ 4

1.4.2 Objetivos Específicos: .......................................................................................... 4

CAPÍTULO II............................................................................................................... 5

FUNDAMENTACIÓN .................................................................................................. 5

2.1 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ....................................................................... 5

2.1.1 Hormigón ............................................................................................................ 5

2.1.1.1 Modelo de Whitney.............................................................................................. 5

2.1.1.2 Modelo de Mander ............................................................................................... 6

2.1.1.2.1 Modelo de Mander para hormigón no confinado ............................................. 6

2.1.1.2.2 Modelo de Mander para hormigón confinado.................................................. 8

2.1.2 Acero .................................................................................................................12

2.1.2.1 Modelo elastoplástico..........................................................................................13

2.1.2.2 Modelo trilineal ..................................................................................................14

2.1.2.3 Modelo de curva completa...................................................................................14

IX

2.1.2.3.1 Modelo de Park y Paulay ..................................................................................15

2.1.3 Hormigón armado..................................................................................................15

2.1.4 Diagrama momento - curvatura ..............................................................................15

2.1.4.1 Curvatura ...........................................................................................................17

2.1.4.2 Construcción del diagrama momento - curvatura...................................................18

2.1.4.2.1 Método manual ...........................................................................................19

2.1.4.2.2 Método de fibras o dovelas...........................................................................22

2.1.4.2.3 Método para perfiles de acero .......................................................................23

2.1.5 Software de programación especializado ..............................................................26

2.2 HIPÓTESIS........................................................................................................27

2.3 SEÑALAMIENTO DE VARIABLES ..................................................................28

CAPÍTULO III ......................................................................................................... 289

METODOLOGÍA ..................................................................................................... 289

3.1 NIVEL O TIPO DE INVESTIGACIÓN ...............................................................29

3.2 POBLACIÓN Y MUESTRA ...............................................................................29

3.2.1 Población ...........................................................................................................29

3.2.2 Muestra ..............................................................................................................29

3.2.2.1 Tipos de secciones de hormigón armado...............................................................29

3.2.2.2 Tipos de secciones de perfiles de acero.................................................................29

3.3 OPERACIÓN DE VARIABLES..........................................................................30

3.3.1 Variable independiente ........................................................................................30

3.3.2 Variable dependiente...........................................................................................31

3.4 PLAN DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN ...............................................33

3.5 PLAN DE PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS......................................................34

CAPÍTULO IV.......................................................................................................... 345

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ................................................ 345

4.1 RECOLECCIÓN DE DATOS .............................................................................35

4.1.1 Resolución manual..............................................................................................35

4.1.1.1 Diagrama momento – curvatura de una sección rectangular sometida a flexocompresión. ...........................................................................................................35

4.1.1.1.1 Gráfico del diagrama momento – curvatura en el software de programación especializado .................................................................................................................50

4.1.1.1.2 Comparación del diagrama momento – curvatura en Sap2000.........................52

4.1.1.2 Diagrama momento – curvatura de una sección de perfil de acero W sometida a flexocompresión. ...........................................................................................................58

X

4.1.1.2.1 Gráfico del diagrama momento – curvatura en el software de programación especializado .................................................................................................................66

4.1.1.2.2 Comparación del diagrama momento – curvatura en Sap2000.........................68

4.2 ANÁLISIS DE RESULTADOS...........................................................................73

4.2.1 Sección rectangular de hormigón armado sometido a flexocompresión. ..................73

4.2.2 Sección rectangular de hormigón armado sometido a flexión. ................................77

4.2.3 Sección circular de hormigón armado sometido a flexocompresión. .......................81

4.2.4 Sección W de perfil de acero sometido a flexocompresión. ....................................85

4.2.5 Sección W de perfil de acero sometido a flexión. ..................................................89

4.2.6 Sección C de perfil de acero sometido a flexocompresión. .....................................93

4.2.7 Sección C de perfil de acero sometido a flexión. ...................................................97

4.2.8 Sección tubo rectangular de perfil de acero sometido a flexocompresión............... 101

4.2.9 Sección tubo rectangular de perfil de acero sometido a flexión. ............................ 105

4.2.10 Sección tubo circular de perfil de acero sometido a flexocompresión. ................... 109

4.2.11 Sección tubo circular de perfil de acero sometido a flexión. ................................. 113

4.2.12 Sección ángulos de perfil de acero sometido a flexocompresión. .......................... 117

4.2.13 Sección ángulos de perfil de acero sometido a flexocompresión. .......................... 121

4.3 VERIFICACIÓN DE HIPÓTESIS ..................................................................... 125

CAPÍTULO V ........................................................................................................... 125

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.......................................................... 125

5.1 CONCLUSIONES ............................................................................................ 126

5.2 RECOMENDACIONES ................................................................................... 127

C.- MATERIALES DE REFERENCIA

1. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 128

2. ANEXOS ......................................................................................................... 130

XI

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2. 1: Modelo de Whitney para el hormigón armado. ....................................... 6

Figura 2. 2: Modelo de Mander para el hormigón confinado y no confinado. ........... 7

Figura 2. 3: Forma esquemática el área de concreto confinado y no confinado de una

sección rectangular. .................................................................................................... 11

Figura 2. 4: Factor de confinamiento, "" para elementos cuadrados

y rectangulares............................................................................................................ 12

Figura 2. 5: Modelo elastoplástico para el acero. ..................................................... 13

Figura 2. 6: Modelo trilineal para el acero................................................................ 14

Figura 2. 7: Modelo de Park y Paulay para el acero. ................................................ 15

Figura 2. 8: Curvatura de un elemento...................................................................... 18

Figura 2. 9: Deformación de un modelo bilineal en función de la definición de la

rótula plástica. ............................................................................................................ 19

Figura 2. 10: Diagrama esfuerzo – deformación para diferentes tipos de acero

estructural. .................................................................................................................. 24

Figura 2. 11: Cálculo del diagrama momento – curvatura para perfiles de acero. ... 26

Figura 4. 1: Diagrama esfuerzo – deformación de la sección rectangular……………….35

Figura 4. 2: Diagrama esfuerzo – deformación del acero..................................................38

Figura 4. 3: Sección rectangular de hormigón armado .....................................................40

Figura 4. 4: Método de fibras para la zona de compresión en una sección rectangular de

hormigón armado. ..........................................................................................................44 Figura 4. 5: Método de fibras para la zona de tensión en una sección rectangular de

hormigón armado. ..........................................................................................................47

Figura 4. 6: Equilibrio de Fuerzas ..................................................................................48

Figura 4. 7: Diagrama momento – curvatura resolución manual. ......................................50

Figura 4. 8: Ingreso de datos en el software de programación especializado. .....................51

Figura 4. 9: Diagrama momento - curvatura en el software de programación especializado.

.....................................................................................................................................52

Figura 4. 10: Pantalla de inicio del software especializado. ..............................................53

Figura 4. 11: Pasos para definir el material. ....................................................................53

Figura 4. 12: Pantalla para definir el material. .................................................................54

Figura 4. 13: Pasos para definir la sección. .....................................................................55

Figura 4. 14: Pantalla para definir la sección. ..................................................................55

Figura 4. 15: Pantalla secundaria para definir la sección. .................................................56

Figura 4. 16: Diagrama momento – curvatura de la sección. ............................................56

Figura 4. 17: Diagrama esfuerzo – deformación de la sección de perfil de acero................58

Figura 4. 18: Sección de perfil de acero W24X103. ..........................................................58

Figura 4. 19: Diagrama esfuerzo – deformación del acero................................................59

Figura 4. 20: Fuerza de compresión o tracción por áreas ..................................................61

Figura 4. 21: Distancia hacia cada fuerza para el cálculo de momentos .............................63

Figura 4. 22: Diagrama momento – curvatura resolución manual. ....................................66

Figura 4. 23: Ingreso de datos en el software de programación especializado. ...................67

XII

Figura 4. 24: Diagrama momento - curvatura en el software de programación especializado.

.....................................................................................................................................68

Figura 4. 25: Pantalla para definir el material A36. .........................................................69

Figura 4. 26: Pasos para definir la sección. .....................................................................70

Figura 4. 27: Pantalla para definir la sección. ..................................................................70

Figura 4. 28: Pantalla secundaria para definir la sección. .................................................71

Figura 4. 29: Diagrama momento – curvatura de la sección. ............................................71

Figura 4. 30: Dimensiones de la sección rectangular sometido a flexocompresión. ............73

Figura 4. 31: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección rectangular

sometido a flexocompresión. ..........................................................................................74 Figura 4. 32: Diagrama momento – curvatura del Software para una sección rectangular

sometido a flexocompresión. ..........................................................................................75

Figura 4. 33: Pantalla de introducción de datos en el software especializado para una

sección rectangular sometido a flexocompresión. .............................................................76

Figura 4. 34: Diagrama momento – curvatura del software especializado. .........................76

Figura 4. 35: Diagrama momento – curvatura entre los dos Softwares. .............................77

Figura 4. 36: Dimensiones de la sección rectangular sometido a flexión. ..........................78 Figura 4. 37: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección rectangular

sometido a flexión. .........................................................................................................78

Figura 4. 38: Diagrama momento – curvatura del software para una sección rectangular

sometido a flexión. .........................................................................................................79 Figura 4. 39: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección

rectangular sometido a flexión. .......................................................................................80

Figura 4. 40: Diagrama momento – curvatura del software. .............................................80

Figura 4. 41: Diagrama momento – curvatura entre los dos softwares. ..............................81

Figura 4. 42: Dimensiones de la sección circular sometido a flexocompresión. .................82

Figura 4. 43: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección circular

sometido a flexocompresión. ..........................................................................................82 Figura 4. 44: Diagrama momento – curvatura del software para una sección circular


Figura 4. 45: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección

circular sometido a flexocompresión. ..............................................................................84



Figura 4. 48: Dimensiones de la sección w sometido a flexocompresión. ..........................86 Figura 4. 49: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección W sometido

a flexocompresión. .........................................................................................................86

Figura 4. 50: Diagrama momento – curvatura del software para una sección W sometido a

flexocompresión. ...........................................................................................................87 Figura 4. 51: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección W




Figura 4. 54: Dimensiones de la sección w sometido a flexión. ........................................90

Figura 4. 55: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección W sometido

a flexión. .......................................................................................................................90

XIII

Figura 4. 56: Diagrama momento – curvatura del software para una sección W sometido a

flexión...........................................................................................................................91

Figura 4. 57: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección W

sometido a flexión. .........................................................................................................92



Figura 4. 60: Dimensiones de la sección C sometido a flexocompresión. ..........................94 Figura 4. 61: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección C sometido

a flexocompresión. .........................................................................................................94

Figura 4. 62: Diagrama momento – curvatura del software para una sección C sometido a

flexocompresión. ...........................................................................................................95 Figura 4. 63: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección C




Figura 4. 66: Dimensiones de la sección C sometido a flexión. ........................................98

Figura 4. 67: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección C sometido

a flexión. .......................................................................................................................98 Figura 4. 68: Diagrama momento – curvatura del software para una sección C sometido a

flexión...........................................................................................................................99

Figura 4. 69: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección C

sometido a flexión. ....................................................................................................... 100

Figura 4. 70: Diagrama momento – curvatura del software. ........................................... 100

Figura 4. 71: Diagrama momento – curvatura entre los dos softwares. ............................ 101

Figura 4. 72: Dimensiones de la sección tubo rectangular sometido a flexocompresión. ... 102 Figura 4. 73: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección tubo

rectangular sometido a flexocompresión. ....................................................................... 102

Figura 4. 74: Diagrama momento – curvatura del software para una sección tubo rectangular

sometido a flexocompresión. ........................................................................................ 103 Figura 4. 75: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección tubo

rectangular sometido a flexocompresión. ....................................................................... 104



Figura 4. 78: Dimensiones de la sección tubo rectangular sometido a flexión. ................. 106

Figura 4. 79: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección tubo

rectangular sometido a flexión. ..................................................................................... 106 Figura 4. 80: Diagrama momento – curvatura del software para una sección tubo rectangular

sometido a flexión. ....................................................................................................... 107 Figura 4. 81: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección tubo

rectangular sometido a flexión. ..................................................................................... 108



Figura 4. 84: Dimensiones de la sección tubo circular sometido a flexocompresión. ........ 110 Figura 4. 85: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección tubo circular

sometido a flexocompresión. ........................................................................................ 110

XIV

Figura 4. 86: Diagrama momento – curvatura del software para una sección tubo circular


Figura 4. 87: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección tubo

circular sometido a flexocompresión. ............................................................................ 112



Figura 4. 90: Dimensiones de la sección tubo circular sometido a flexión. ...................... 114 Figura 4. 91: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección tubo circular


Figura 4. 92: Diagrama momento – curvatura del software para una sección tubo circular

sometido a flexión. ....................................................................................................... 115 Figura 4. 93: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección tubo

circular sometido a flexión............................................................................................ 116



Figura 4. 96: Dimensiones de la sección ángulo sometido a flexocompresión.................. 118

Figura 4. 97: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección ángulo

sometido a flexocompresión. ........................................................................................ 118 Figura 4. 98: Diagrama momento – curvatura del software para una sección ángulo


Figura 4. 99: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección

ángulo sometido a flexocompresión. ............................................................................. 120

Figura 4. 100: Diagrama momento – curvatura del software. ......................................... 120

Figura 4. 101: Diagrama momento – curvatura entre los dos softwares. .......................... 121

Figura 4. 102: Dimensiones de la sección ángulo sometido a flexión. ............................. 122 Figura 4. 103: Pantalla de introducción de datos en el Software para una sección ángulo


Figura 4. 104: Diagrama momento – curvatura del software para una sección ángulo

sometido a flexión. ....................................................................................................... 123 Figura 4. 105: Pantalla de introducción de datos software especializado para una sección

ángulo sometido a flexión. ............................................................................................ 124

Figura 4. 106: Diagrama momento – curvatura del software. ......................................... 124

Figura 4. 107: Diagrama momento – curvatura entre los dos softwares. .......................... 125

XV

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2. 1: Valores relevantes para modelos de la curva completa (Modelo de Park y

Paulay)........................................................................................................................ 25

Tabla 3. 1: Variable independiente ........................................................................... 30

Tabla 3. 2: Variable dependiente .............................................................................. 31

Tabla 3. 3: Plan de recolección de información ........................................................ 33

Tabla 4. 1: Efectividad del coeficiente Ce ................................................................ 41

Tabla 4. 2: Sumatoria de fuerzas y momentos del hormigón confinado a compresión.

.................................................................................................................................... 44

Tabla 4. 3: Sumatoria de fuerzas y momentos del hormigón no confinado a

compresión. ................................................................................................................ 45

Tabla 4. 4: Sumatoria de fuerzas y momentos del hormigón a tracción. .................. 47

Tabla 4. 5: Puntos del diagrama momento – curvatura de la resolución manual. ..... 49

Tabla 4. 6: Resultados que arroja el software especializado..................................... 57

Tabla 4. 7: Puntos del diagrama momento – curvatura de la resolución manual. ..... 65

Tabla 4. 8: Resultados que arroja el software especializado. .................................... 72

Tabla 4. 9: Comparación de puntos del diagrama momento - curvatura para una

sección rectangular sometido a flexocompresión. ...................................................... 77


sección rectangular sometido a flexión. ..................................................................... 81


sección circular sometido a flexocompresión. ........................................................... 85


sección W sometido a flexocompresión. .................................................................... 89


sección W sometido a flexión. ................................................................................... 93


sección c sometido a flexocompresión. ...................................................................... 97


sección C sometido a flexión. .................................................................................. 101


sección tubo rectangular sometido a flexocompresión. ........................................... 105


sección tubo rectangular sometido a flexión. ........................................................... 109


sección tubo circular sometido a flexocompresión. ................................................. 113


sección tubo circular sometido a flexión. ................................................................. 117


sección ángulo sometido a flexocompresión. ........................................................... 121


sección ángulo sometido a flexión. .......................................................................... 125

XVI

GLOSARIO DE SIMBOLOS

𝐴𝑏 = Área de la sección de la barra de refuerzo transversal.

𝐴𝑒 = Área confinada efectiva para Asx y Asy dependiendo si la sección es paralela

al eje x o al eje y.

𝐴𝑠 = Área de refuerzo a tensión.

𝐴𝑠𝑝 = Área de refuerzo transversal

𝐴𝑠𝑥, 𝐴𝑠𝑦 = Área de refuerzo transversal paralela al eje x o y.

𝐴𝑠′ = Área de refuerzo a compresión.

𝑏 = Base de una sección rectangular.

𝑏𝑖 = Desplazamiento del brazo de palanca inferior.

𝑏𝑠 = Desplazamiento del brazo de palanca superior.

𝑏𝑟 = Distancia a cada fuerza.

𝑏′ = Base del núcleo confinado de la sección.

𝑏𝑐 = Ancho de concreto confinado de una sección rectangular.

𝐶𝑒 = Factor de efectividad del confinamiento.

𝐶𝑡 : Distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más traccionada.

𝑐 = Distancia medida desde la fibra extrema en compresión al eje neutro.

𝑐 = Distancia medida desde el eje neutro a la zona de tensión.

𝑑 = Distancia entre la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo

transversal en tracción.

𝑑𝑠 = Diámetro de los estribos.

𝑑′ = Distancia entre la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo

transversal en compresión.

𝐸 = Módulo de elasticidad del acero.

𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del concreto.

𝐸𝑠𝑒𝑐 = Modulo secante del concreto confinado asociado al esfuerzo máximo.

𝐹𝑐 = Fuerza del concreto confinado a compresión.

𝐹𝑛𝑐 = Fuerza del concreto no confinado a compresión.

𝐹𝑡 = Fuerza del concreto confinado a tracción.

𝑓𝑐 = Esfuerzo del concreto inconfinado.

XVII

𝑓𝑐𝑐 = Esfuerzo del concreto confinado.

𝑓𝑐𝑜 = Esfuerzo a la deformación 2𝜀𝑐𝑜.

𝑓𝑐𝑡 = Esfuerzo máximo del hormigón a tracción.

𝑓𝑙 = Presión radial máxima efectiva de confinamiento.

𝑓𝑙𝑥, 𝑓𝑙𝑦 = Fuerza lateral de confinamiento efectivo en dirección x o y.

𝑓𝑠 = Esfuerzo del acero.

𝑓𝑠𝑝 = Esfuerzo post fisuración del concreto.

𝑓𝑡 = Esfuerzo del concreto confinado a tracción.

𝑓𝑢 = Esfuerzo de fractura del acero.

𝑓𝑦 = Esfuerzo de fluencia del acero.

𝑓𝑦ℎ = Esfuerzo de fluencia del acero del esfuerzo transversal.

𝑓′𝑐 = Resistencia a la comprensión del concreto a los 28 días.

ℎ = Altura de la sección rectangular.

𝐼 = Momento de inercia del elemento.

𝑘𝑒 = Factor de confinamiento efectivo.

𝑘𝑒𝑐, 𝑘𝑒𝑠 = Factor de confinamiento efectivo para secciones con estribos circulares o

con hélices respectivamente.

𝐿 = Longitud del elemento.

𝑀𝑐 = Momento del concreto confinado a compresión.

𝑀𝑛𝑐 = Momento del concreto no confinado a compresión.

𝑀𝑡 = Momento del concreto confinado a tensión.

𝑛 = Numero de ramales del acero transversal que ayudan al confinamiento.

𝑛𝑐𝑐 = Numero de fibras en compresión.

𝑃 = Fuerza axial de compresión.

𝑃𝑦 = Carga última que puede soportar la sección.

𝑝𝑤 = Cuantía de confinamiento del refuerzo transversal en porcentaje.

𝑟 = Recubrimiento de una sección.

𝑠′ , 𝑠 = Separación entre estribos a paño interior y exterior respectivamente.

𝑤 ′ = Separación entre el acero transversal interior.

𝑦𝑐 = Altura media de cada dovela en compresión.

𝑦𝑐𝑔 = Centro de gravedad con respecto al eje y.

XVIII

𝑦𝑖 = Altura medida desde la centro del elemento haca la parte inferior del mismo.

𝑦𝑠 = Altura medida desde la centro del elemento haca la parte superior del mismo.

𝜆 = Factor de refuerzo confinado.

∆ = Altura de cada dovela en compresión.

∆𝑡 = Altura de cada dovela en tracción.

𝜀 = Deformación del concreto.

𝜀𝑐𝑐 = Deformación equivalente para para el esfuerzo del concreto confinado.

𝜀𝑐𝑜 = Deformación a esfuerzo máximo del concreto = 0.002.

2𝜀𝑐𝑜 = Deformación última del concreto inconfinado.

𝜀𝑐𝑢 = Deformación unitaria última.

𝜀𝑠 = Deformación del acero.

𝜀𝑠ℎ = Deformación de endurecimiento.

𝜀𝑠𝑝 = Deformación de fisura del concreto.

𝜀𝑠𝑢 = Deformación de fractura.

𝜀𝑡 = Deformación del concreto a tensión

𝜀𝑢 = Deformación última del concreto.

𝜀𝑦 = Deformación de fluencia del acero.

𝜃 = Valor de ductilidad por curvatura.

𝜃𝑠 = Rotación por corte.

𝜌𝑠 = Relación del volumen acero confinante entre el volumen de concreto

confinado.

𝜌𝑐𝑐 = Relación del área de acero longitudinal y el área del concreto confinado.

𝜌𝑐𝑐 = Relación de área longitudinal y el área de concreto confinada.

𝜏𝑏 = Esfuerzo promedio de adherencia.

𝜑𝜇 = Es la curvatura correspondiente a la falla de la sección, es decir cuando el

concreto alcanza su deformación de agotamiento cu.

𝜑𝑦 = Corresponde a la primera fluencia del acero de refuerzo en tracción.

XIX

RESUMEN EJECUTIVO

El presente trabajo se fundamenta en la investigación del diagrama momento curvatura

de secciones de hormigón armado y perfiles de acero (tipo W, tipo C, tubo circular,

tubo rectangular, ángulos) sometidas a esfuerzos de flexión y flexocompres ió n

mediante un análisis y calculo por el método de Fibras o Dovelas, para lo cual se

realizó la codificación de un software especializado en la obtención de dicho diagrama.

El programa computacional requiere secciones y características específicas del

material a calcular, las mismas que siguiendo parámetros establecidos en los teoremas

de Mander, Park y Paulay permitirán crear el diagrama momento curvatura de

cualquier tipo de sección impuesta.

1

CAPÍTULO I

ANTECEDENTES

1.1 TEMA DEL TRABAJO EXPERIMENTAL

CÁLCULO DEL DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA POR EL MÉTODO

DE FIBRAS PARA SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO Y PERFILES DE

ACERO EMPLEANDO UN SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN

ESPECIALIZADO.

1.2 ANTECEDENTES

A lo largo de la historia, investigadores de todo el mundo especialmente de Estados

Unidos como Charles Culver (1960) han realizado modelos matemáticos para el

cálculo del diagrama momento – curvatura. La cual tiene como importancia conocer

la capacidad de un elemento y la ductilidad de la estructura, para ello es necesario

aplicar modelos de cálculo para el acero Park y Paulay (1975) y hormigón Mander

(1988) los cuales ayudaran a construir de mejor manera los diagramas de momento -

curvatura.

En Ecuador alrededor del 60% de las edificaciones de hormigón armado son

susceptibles al colapso por acciones sísmicas, gran número de las estructuras yacen

construidas hace más de 40 años y sin supervisión de expertos por estas características

mencionadas el país en los últimos años ha sufrido grandes pérdidas económicas con

el colapso de las estructuras a causa de fuerzas sísmicas por ello las autoridades han

tomado medidas creando nuevas normas de construcción. [1]

En las normas actuales (NEC 2015) lo que se desea es evaluar el desempeño de una

elemento con el análisis estático no lineal el cual sirve para predecir demandas de

deformaciones que representan de una manera aproximada la redistribución de fuerzas

2

internas que se producen en un elemento para ello se debe conocer cómo se comportan

los elementos es ahí donde se aplica la relación momento – curvatura. [2]

En el cálculo de la relación momento – curvatura se utiliza diversos esquemas de

cálculo que están basados en compatibilidad de deformaciones y equilibrio de fuerzas

y momentos [3], el modelo que mejor se aplica para el cálculo del diagrama momento

- curvatura es el método de fibras o dovelas.

En la universidad se puede observar la investigación de Ing. Mg. Cristian Medina cuya

tesis “Estudio de la relación momento – curvatura como herramienta para entender el

comportamiento de secciones de hormigón armado” será de apoyo para la

determinación de los modelos del hormigón y acero. [4]

3

1.3 JUSTIFICACIÓN

El diagrama momento – curvatura empezó a ser estudiado en 1960 en la Univers idad

de Bethlehem, Pensilvania el cual inicio con las ecuaciones de equilib r io,

compatibilidad y la relación de adherencia del concreto – acero [5], pero no fue hasta

1982 que debido a resultados experimentales el método propuesto por Park se acercó

a la realidad y dio lugar al estudio de la capacidad de ductilidad de un elemento

confinado y no confinado. [1]

En el diseño estructural especialmente en el proyecto sísmico se debe realizar

diagramas momento-curvatura de las secciones de los elementos que la componen,

para de esta manera lograr el concepto de ductilidad a nivel seccional y cumplir con la

demanda obtenida en el diseño sismo-resistente de una estructura. [6]

Para conocer el diagrama de momento – curvatura es necesario apoyarse en el uso de

software especializado en el análisis estructural, para calcular los diagramas de

deformación y graficar los métodos elásticos. La obtención de estos parámetros se

llevará a cabo mediante un código de programación en un software.

En el País el Diseño Basado en Desempeño está convirtiéndose en una alternativa de

cálculo para el ingeniero, ya que explica los niveles de daño esperados durante la vida

útil de la estructura [7]. Para lo cual es necesario conjeturar el diagrama momento –

curvatura para conocer la capacidad de un elemento pero a su vez el cálculo manual

del mismo se convierte en modelo monótono y extenso, por ello es necesario construir

un software que ayude con el cómputo del diagrama y de esta manera reducir el tiempo

de deducción.

La implementación de este programa ofrecerá a los estudiantes de Ingeniería Civil de

la Universidad Técnica de Ambato una herramienta de cálculo para la obtención del

diagrama momento – curvatura y por consiguiente aportará información sobre el

comportamiento de las secciones de hormigón armado y perfiles de acero.

4

1.4 OBJETIVOS:

1.4.1 Objetivo General:

Calcular del diagrama momento – curvatura por el método de fibras para

secciones de hormigón armado y perfiles de acero empleando un software de

programación especializado.

1.4.2 Objetivos Específicos:

- Determinar la respuesta no-lineal de las secciones tipo circular y rectangular

de hormigón armado.

- Determinar la respuesta no-lineal de la secciones tipo W, tipo C, tubo circular,

tubo rectangular y ángulos de perfiles de acero.

- Comparar los resultados obtenidos del programa con métodos manuales y

software de cálculo estructural.

5

CAPÍTULO II

FUNDAMENTACIÓN

2.1 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

La investigación se basa el cálculo del diagrama momento curvatura para secciones de

hormigón armado y perfiles de acero para lo cual se requiere conocer conceptos de

hormigón, acero, modelos de cálculo, y demás aspectos mencionados a continuación.

2.1.1 Hormigón

El hormigón está compuesto por varios materiales tales como cemento, agregado fino,

agregado grueso, agua y aditivos. El comportamiento estructural del hormigón puede

ser expresado en la relación esfuerzo – deformación, para lo cual se realiza pruebas

estándar de compresión estas consisten en aplicar una fuerza de compresión a cilindros

de 15 cm. de diámetro por 30 cm. de alto, de acuerdo al ensayo ASTM C469. La

resistencia a tracción del hormigón es muy baja pero tampoco indispensable por lo

cual en el presente documento se realizara el cálculo respectivo en su pertinente lugar.

[8]

Para entender el comportamiento del hormigón es necesario basarse en modelos

matemáticos ya definidos que se conocerá a continuación.

2.1.1.1 Modelo de Whitney

El modelo propone reemplazar la variación de esfuerzos parabólicos por un bloque

rectangular uniforme. Este bloque se usa para representar cualquier esfuerzo que exista

en el concreto. Whitney explica que mientras la variación de esfuerzos en el concreto

es prácticamente lineal ante cargas bajas, y parabólico para cargas intermedias, se

asumirá la forma rectangular cuando se acerque a la carga máxima. [9]

6

Figura 2. 1: Modelo de Whitney para el hormigón armado.

Fuente: José Freire

2.1.1.2 Modelo de Mander

Para realizar la curva esfuerzo - deformación del concreto se deberá apoyar en modelos

propuesto por investigadores que desear representar el comportamiento de dicho

material por lo cual se apoyará en el modelo de Mander (1988) para el concreto

confinado y no confinado.

2.1.1.2.1 Modelo de Mander para hormigón no confinado

Mander para el hormigón no confinado propone un estudio constructivo que define al

material inconfinado dichos parámetros se observan a continuación.

7

Figura 2. 2: Modelo de Mander para el hormigón confinado y no confinado.

Fuente: Mander et al. 1988.

Para una deformación del material

𝜀 ≤ 𝜀𝑐𝑜 (2.1)

𝑓𝑐 = 𝜀 ∗ 𝐸𝑐 (2.2)


𝜀𝑐𝑜 ≤ 𝜀 ≤ 2𝜀𝑐𝑜 (2.3)

𝑓𝑐 = 𝑓′ 𝑐∗𝑥∗𝑟

𝑟−1+𝑥𝑟 (2.4)


2𝜀𝑐𝑜 ≤ 𝜀 ≤ 𝜀𝑠𝑝 (2.5)

𝑓𝑐 = 𝑓𝑐𝑜 + (𝑓𝑐𝑝 + 𝑓𝑐𝑜)(𝜀−2𝜀𝑐𝑜 )

(𝜀𝑠𝑝−2𝜀𝑐𝑜 ) (2.6)

8

𝑥 = 𝜀

𝜀𝑐𝑐 (2.7)

𝑟 = 𝐸𝑐

𝐸𝑐 −𝐸𝑠𝑒𝑐 (2.8)

𝐸𝑠𝑒𝑐 = 𝑓′𝑐

𝜀𝑐𝑐 (2.9)

Donde:

𝜀 = Deformación del concreto inconfinado

𝑓𝑐 = Esfuerzo del concreto inconfinado

𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del concreto

𝐸𝑠𝑒𝑐 = Modulo secante

𝜀𝑐𝑜 = Deformación a esfuerzo máximo del concreto = 0.002

2𝜀𝑐𝑜 = Deformación última del concreto inconfinado

𝜀𝑠𝑝 = Deformación de fisura del concreto

𝑓′𝑐 = Resistencia a la comprensión del concreto a los 28 días

𝑓𝑐𝑜 = Esfuerzo a la deformación 2𝜀𝑐𝑜

𝑓𝑠𝑝 = Esfuerzo post fisuración del concreto

2.1.1.2.2 Modelo de Mander para hormigón confinado

Este modelo está definido por una curva continua, y también considera que el efecto

del confinamiento no solo incrementa la capacidad de deformación del concreto, sino

también la resistencia a compresión del concreto. Es aplicable para secciones

circulares y rectangulares o cuadradas. [10]


𝜀 ≤ 𝜀𝑐𝑜 (2.10)

𝑓𝑐 = 𝜀 ∗ 𝐸𝑐 (2.11)

9


𝜀𝑐𝑜 ≤ 𝜀 ≤ 𝜀𝑐𝑢 (2.12)

𝑓𝑐 = 𝑓′ 𝑐∗𝑥∗𝑟

𝑟−1+𝑥𝑟 (2.13)

𝑥 = 𝜀

𝜀𝑐𝑐 (2.14)

𝑟 = 𝐸𝑐

𝐸𝑐 −𝐸𝑠𝑒𝑐 (2.15)

𝜀𝐶𝐶 = 𝜀𝐶𝑂 [1 + 5(𝑓𝑐𝑐

𝑓′ 𝑐− 1)] (2.16)

Donde:

𝑓𝑐𝑐 = Resistencia máxima del concreto confinado

𝜀 = Deformación del concreto confinado

𝐸𝑐 = Módulo de elasticidad del concreto

𝐸𝑠𝑒𝑐 = Modulo secante del concreto confinado asociado al esfuerzo máximo

𝜀𝑐𝑜 = Deformación a esfuerzo máximo del concreto

𝜀𝑐𝑢 = Deformación unitaria última

𝑓′𝑐 = Resistencia a la comprensión del concreto a los 28 días

Para secciones circulares se tiene las siguientes ecuaciones:

𝑓𝑐𝑐 = 𝑓 ′𝑐(2.254√1 +7.94𝑓𝑙𝑒

𝑓′ 𝑐−

2𝑓𝑙𝑒

𝑓′𝑐− 1.254) (2.17)

𝑓𝑙𝑒 =1

2𝑘𝑒 ∗ 𝜌𝑠 ∗ 𝑓𝑦ℎ (2.18)

𝜌𝑠 = 4𝐴𝑠𝑝

𝑠∗𝑑𝑠 (2.19)

10

𝑘𝑒𝑐 = (1−

𝑠′

2𝑑𝑠)2

1−𝜌𝑐𝑐 (2.20)

𝑘𝑒𝑠 = 1−

𝑠′

2𝑑𝑠

1−𝜌𝑐𝑐 (2.21)

Donde:

𝐴𝑠𝑝 = Área de refuerzo transversal

𝜌𝑠 = Relación del volumen acero confinante entre el volumen de concreto

confinado.

𝜌𝑐𝑐 = Relación del área de acero longitudinal y el área del concreto confinado

𝑑𝑠 = Diámetro de los estribos.

𝑘𝑒 = Factor de confinamiento efectivo

𝑘𝑒𝑐, 𝑘𝑒𝑠 = Factor de confinamiento efectivo para secciones con estribos circulares o

con hélices respectivamente.


Para secciones rectangulares se tiene las siguientes ecuaciones:

𝑓𝑐𝑐 = 𝜆𝑓′𝑐 (2.22)

𝑓𝑙𝑥 = 𝐴𝑠𝑥

𝑠∗𝑑𝑐∗ 𝑘𝑒 ∗ 𝑓𝑦ℎ (2.23)

𝑓𝑙𝑦 = 𝐴𝑠𝑦

𝑠∗𝑏𝑐∗ 𝑘𝑒 ∗ 𝑓𝑦ℎ (2.24)

𝐴𝑒 = (𝑏𝑐 ∗ 𝑑𝑐 − ∑𝑤𝑖2

6

𝑛𝑖=1 )(1 −

𝑠′

2𝑏𝑐)(1 −

𝑠′

2𝑑𝑐) (2.25)

𝑘𝑒 = (1−∑

𝑤 𝑖2

6∗𝑏𝑐∗𝑑𝑐𝑛𝑖=1 )(1−

𝑠′

2𝑏𝑐)(1−

𝑠′

2𝑑𝑐)

1 −𝜌𝑐𝑐 (2.26)

Donde:

𝑓𝑦ℎ = Esfuerzo de fluencia del acero del esfuerzo transversal

𝜆 = Factor de refuerzo confinado

11

𝜌𝑐𝑐 = Relación de área longitudinal y el área de concreto confinada

𝐴𝑒 = Área confinada efectiva para Asx y Asy dependiendo si la sección es paralela

al eje x o al eje y

𝐴𝑠𝑥, 𝐴𝑠𝑦 = Área de refuerzo transversal paralela al eje x o y

𝑓𝑙𝑥, 𝑓𝑙𝑦 = Fuerza lateral de confinamiento efectivo en dirección x o y


Figura 2. 3: Forma esquemática el área de concreto confinado y no confinado de una

sección rectangular.

Fuente: Núcleo efectivo de concreto confinado para una sección rectangular,

(Mander et al. 1988).

12

Figura 2. 4: Factor de confinamiento, "" para elementos cuadrados

y rectangulares

Fuente: Mander et al. 1988.

2.1.2 Acero

El acero es la fusión de varios elementos entre los principales hierro y carbón y como

secundarios cobre, cromo, cobalto, bronce, aluminio, estaño y zinc el porcentaje de los

materiales mencionados ayudan con sus propiedades físicas y mecánicas tales como

resistencia, dureza, corrosión, elasticidad entre otros.

El acero como barras es muy utilizado para formar el hormigón armado ya que es el

componente ideal para unirse al hormigón simple y de esta manera resistir

solicitaciones de cortante y torsión. [11]

El acero estructural laminado se utiliza para estructuras metálicas obtenido por una

laminación en caliente y conformación en frio del cual resultan varios perfiles pero

para el documento en estudio se trabajará con perfiles tipo I, C, tubos circular y

rectangular y además ángulos.

El acero de refuerzo es un material que posee una gran resistencia a tensión, cualidad

por la cual se usa para resistir principalmente los esfuerzos de tensión que se inducen

en los elementos estructurales de concreto reforzado por las acciones de diseño.

13

Además, cuando los esfuerzos de compresión actuantes son grandes, comúnmente se

usa refuerzo longitudinal a compresión que trabaja en conjunto con el concreto para

resistirlas, aunque para tal finalidad el refuerzo debe estar debidamente restringido

contra pandeo. [10]

Para describir la conducta del acero existen modelos que simulan el comportamiento

del acero estructural por lo cual a continuación se mencionarán los modelos más

utilizados.

2.1.2.1 Modelo elastoplástico

El modelo elastoplastico es el más sencillo pero a su vez el más práctico de todos.

Como se observa a continuación está formado por dos líneas rectas, la primera línea

recta corresponde a un comportamiento elástico y la segunda recta paralela al eje de

deformación pertenece a un comportamiento plástico [12], por lo cual se ignora la

resistencia superior de fluencia y el aumento en el esfuerzo debido al endurecimiento

por deformación. [9]

Figura 2. 5: Modelo elastoplástico para el acero.

Fuente: Allauca Leonidas, Desempeño sísmico de un edificio aporticado de cinco

pisos diseñado con las normas peruanas de edificaciones, 2006.

14

2.1.2.2 Modelo trilineal

El modelo trilineal como el modelo descrito anteriormente, se los realiza para en casos

de análisis y diseño sísmico, para exigencias de ductilidad, el cual implica evaluar el

esfuerzo de acero a deformaciones mayores de la de cedencia [12], con la diferenc ia

del modelo trilineal al modelo elastoplastico se emplea para aceros que además del

fenómeno de fluencia presentan endurecimiento y por tanto pueden someterse a

esfuerzos mayores al de fluencia. [9]

Figura 2. 6: Modelo trilineal para el acero.

Fuente: Allauca Leonidas, Desempeño sísmico de un edificio aporticado de cinco

pisos diseñado con las normas peruanas de edificaciones, 2006.

2.1.2.3 Modelo de curva completa

En este modelo el rango elástico y la fluencia se representan por tramos rectos y la

curva representa el endurecimiento del material hasta llegar a la ruptura del mismo,

este modelo es el más completo de todos tres pero el menos utilizado por su

complejidad a la hora de modelar, a continuación se menciona el modelo de Park y

Paulay con el que se desarrollará este documento.

2.1.2.3.1 Modelo de Park y Paulay

Park & Paulay (1975) indica que la ductilidad es la capacidad que posee una estructura

de admitir ciertas deformaciones una vez que ha alcanzado el esfuerzo máximo. En el

15

diseño sismo-resistente se deben evitar que ocurran fallas frágiles para lograr salvar

vidas, ya que una falla frágil se presenta de manera inadvertida produciéndose un

colapso brusco y repentino de la estructura. [13]

Figura 2. 7: Modelo de Park y Paulay para el acero.

Fuente: Park y Paulay et al. 1975.

Para el acero de refuerzo (Grado 60) se estudia la relación constitutiva del material, la

cual está definida en esta investigación por las siguientes ecuaciones. [2]


𝜀 ≤ 𝜀𝑦 (2.27)

𝑓𝑠 = 𝐸 ∗ 𝜀 (2.28)


𝜀𝑦 ≤ 𝜀 ≤ 𝜀𝑠ℎ (2.29)

𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 (2.30)

16


𝜀𝑠ℎ ≤ 𝜀 ≤ 𝜀𝑠𝑢 (2.31)

𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 [𝑚(𝜀− 𝜀𝑠ℎ)+2

60(𝜀− 𝜀𝑠ℎ)+2+

(𝜀− 𝜀𝑠ℎ)(60−𝑚)

2(30𝑟+1)²] (2.32)

𝑚 =(

𝑓𝑠𝑢

𝑓𝑦)(30𝑟+1)2−60𝑟 −1

15𝑟² (2.33)

𝑟 = 𝜀𝑠𝑢 − 𝜀𝑠ℎ (2.34)

Donde:

𝜀 = Deformación del acero

𝑓𝑠 = Esfuerzo del acero

𝑓𝑦 = Esfuerzo de fluencia del acero

𝑓𝑢 = Esfuerzo de fractura del acero

𝜀𝑦 = Deformación de fluencia

𝜀𝑠ℎ = Deformación de endurecimiento

𝜀𝑠𝑢 = Deformación de fractura

𝐸 = Módulo de elasticidad del acero

Para construir la relación esfuerzo – deformación del acero se debe iniciar de

parámetros establecidos para lo cual se basará en la hipótesis de PRIESTLEY,

2007 para un refuerzo del acero grado 60.

La hipótesis dice que para 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑝𝑎 se tiene los siguientes parámetros:

𝜀𝑦 = 0.002 (2.35)

𝜀𝑠ℎ = 0.008 (2.36)

𝜀𝑠𝑢 = 0.11 (2.37)

𝑓𝑢/𝑓𝑦 = 1.50 (2.38)

𝐸 = 2043000 𝑘𝑔/𝑐𝑚² (2.39)

17

2.1.3 Hormigón armado

El hormigón armado es la unión de dos materiales el hormigón simple y acero de

refuerzo, el trabajo integrado realizado por los dos materiales debido a la adherencia

entre ellos tiene el objetivo de resistir esfuerzos de compresión y tracción. [11]

El hormigón simple resiste a esfuerzos a compresión mientras el acero de refuerzo

resiste esfuerzos a tracción por ello el elemento conformado se transforma en una pieza

de mayor ductilidad dando lugar a una deformación precedente a una falla.

2.1.4 Diagrama momento – curvatura

Para el diseño de elementos de hormigón armado es ineludible lograr un

comportamiento dúctil frente a cargas gravitacionales y solicitaciones sísmicas de ahí

considerar características carga versus deformación de una sección transversal de un

elemento y por lo cual es de suma importancia elaborar el diagrama momento –

curvatura.

2.1.4.1 Curvatura

Al aplicar momentos en los extremos y fuerzas axiales iguales a un elemento de

hormigón armado que se encuentra inicialmente recto, se puede observar que los

planos laterales de la sección seguirán planos después de aplicar el momento flector.

[13]

La distancia al eje neutro será el radio de curvatura R como se muestra en la siguiente

figura. Usando las relaciones planteadas por Park y Paulay (1978) logramos encontrar

la curvatura, considerando un elemento de longitud dx de la siguiente manera. [13]

𝑑𝑥

𝑅=

𝜀𝑐 𝑑𝑥

𝑘𝑑=

𝜀𝑠𝑑𝑥

𝑑(1−𝑘) (2.40)

1

𝑅=

𝜀𝑐

𝑘𝑑=

𝜀𝑠

𝑑(1−𝑘) (2.41)

18

1

𝑅= 𝜑 (2.42)

𝜑 =𝜀𝑐

𝑘𝑑=

𝜀𝑠

𝑑(1−𝑘 )=

𝜀𝑐+𝜀𝑠

𝑑 (2.43)

Figura 2. 8: Curvatura de un elemento.

Fuente: Ottazzi Gianfranco, Material de Apoyo para la Enseñanza de los Cursos de

Diseño y Comportamiento del Concreto Armado, 2004.

Para llegar a conocer la ductilidad y resistencia máxima de un elemento es necesario

la obtención del factor de ductilidad de curvatura al relacionar la curvatura última con

la curvatura de fluencia:

𝜇𝜑 = 𝜑𝜇

𝜑𝑦 (2.44)

Donde:

𝜑𝜇 : Es la curvatura correspondiente a la falla de la sección, es decir cuando el concreto

alcanza su deformación de agotamiento cu.

𝜑𝑦: Corresponde a la primera fluencia del acero de refuerzo en tracción. [14]

2.1.4.2 Construcción del diagrama momento - curvatura

La relación momento – curvatura de una sección transversal es la capacidad de un

elemento en razón de la variación de la dirección de una curva entre dos puntos para

19

los diagramas esfuerzo – deformación del hormigón simple y acero y de esta manera

conocer cuál es la capacidad de ductilidad por curvatura y la máxima capacidad a

flexión del elemento. [15]

2.1.4.2.1 Método manual

Existen varios métodos de cálculo que comparten la misma filosofía tal como

compatibilidad de deformaciones y equilibrio de fuerzas y momentos, por lo cual se

ha simplificado la metodología para la obtención del diagrama momento – curvatura

realizando un proceso manual con ecuaciones aproximadas que se asemeje al

comportamiento verdadero de un elemento. [3]

Figura 2. 9: Deformación de un modelo bilineal en función de la definición

de la rótula plástica.

Fuente: Aguiar Roberto, Análisis por desempeño, 2003.

Punto A

El punto se alcanza cuando el hormigón alcanza a su máximo esfuerzo a la tracción,

pero en este punto es donde empieza el rango elástico del elemento.

𝑀𝐴 =𝐼

𝐶𝑡(𝑓𝑐𝑡 +

𝑃𝑂

𝐴) (2.45)

𝐴 = 𝑏 ℎ (2.46)

𝑓𝑐𝑡 = 0.10𝑓′𝑐 (2.47)

20

𝐶𝑡 =ℎ

2 (2.48)

∅𝐴 =𝑀𝐴

𝐸𝐶 𝐼 (2.49)

𝐼 = 𝑏 ℎ³

12 (2.50)

Donde:

𝑀𝐴 : Momento en el punto A

𝐼 : Momento de inercia del elemento

𝐶𝑡 : Distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más traccionada.

𝑓𝑐𝑡 : Esfuerzo máximo del hormigón a tracción.

𝑏 : Base de la sección

ℎ : Altura de la sección.

𝑃𝑜 : Fuerza axial de compresión.

Las demás variables ya han sido definidas anteriormente.

Punto Y

Este punto se obtiene cuando el acero a tracción alcanza su fluencia.

𝑀𝑌 = 0.5𝑓′𝑐𝑏𝑑2[(1 + 𝛽𝑐 − 𝜂)𝜂𝑜 + (2 − 𝜂)𝑃𝑡 + (𝜂 − 2𝛽𝑐)𝛼𝑐𝑃𝑡′] (2.51)

𝛽𝑐 =𝑑′

𝑑 (2.52)

𝜂 =0.75

1+𝛼𝑦(

𝜀𝑐

𝜀𝑜)0.7 (2.53)

𝛼𝑦 =𝜀𝑦

𝜀𝑜 (2.54)

𝜂𝑜 = 𝑃𝑜

𝑏𝑑𝑓′𝑐 (2.55)

𝑃𝑡 =𝐴𝑠 𝑓𝑦

𝑏𝑑𝑓′𝑐 (2.56)

21

𝑃𝑡′ =

𝐴𝑠′ 𝑓𝑦

𝑏𝑑𝑓′𝑐 (2.57)

𝜀𝑐 = 𝜙𝑦(𝑑 − 𝜀𝑦) (2.58)

𝛼𝑐 = (1 − 𝛽𝑐)𝜀𝑐

𝜀𝑦− 𝛽𝑐 ≤ 1 (2.59)

𝜙𝑦 = [1.05 + (𝐶2 − 1.05)𝜂𝑜

0.03]

𝜀𝑦

(1−𝑘)𝑑 (2.60)

𝑘 = √(𝑃𝑡 + 𝑃𝑡′)2

1

4𝛼𝑦²+ (𝑃𝑡 + 𝛽𝑐𝑃𝑡

′)1

𝛼𝑦− (𝑃𝑡 + 𝑃𝑡

′)1

2𝛼𝑦 (2.61)

𝐶2 = 1 +0.45

(0.84+𝑃𝑡) (2.62)

Donde:

𝑑′ : Recubrimiento de la armadura a compresión.

𝐴𝑠 : Armadura a tracción.

𝐴𝑠′ : Armadura a compresión.


Punto U

Este punto se obtiene cuando el hormigón llega a su máxima deformación útil a

compresión.

𝑀𝑢 = (1.24 − 0.15𝑃𝑡 − 0.5𝜂𝑜)𝑀𝑦 (2.63)

𝜙𝑢 = 𝜇𝜙 𝜙𝑦 (2.64)

𝜇𝜙 = (𝜀𝑝

𝜀𝑜)0.218 𝑝𝑤−2.15 ≤ 1 (2.65)

𝜀𝑝 = 0.5𝜀𝑏 + 0.5√𝜀𝑏2 + 𝜃𝑠² (2.66)

22

𝜀𝑏 = [𝐶1 + (𝐶2 − 𝐶1)𝜂𝑜

0.3] ∅𝑌 (2.67)

𝐶1 = 1.05 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑃𝑡 ≠ 0 (2.68)

𝐶1 = 1 + 1.9 𝑃𝑡2.4 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑃𝑡 = 0 (2.69)

𝐶2 = 1 +0.45

(0.84+2𝑃𝑡′−𝑃𝑡) (2.70)

𝜃𝑆 =0.002𝐿

𝑑−0.5

𝜇 < 5 𝑜 𝐿

𝑑> 4 (2.71)

𝜃𝑆 =0.002𝐿

𝑑−0.5

[1 + 0.27(𝜇 − 5)] 𝜇 > 5 𝑦 2.5 <𝐿

𝑑< 4 (2.72)

𝜃𝑆 =0.002𝐿

𝑑−0.5

[1 +0.185 (𝜇−5)

√𝑝𝑤−0.4] 𝜇 > 5 𝑜

𝐿

𝑑< 2.5 (2.73)

𝜇 =𝜏𝑏

√𝑓′𝑐 (2.74)

Donde:

𝑝𝑤 : Cuantía de confinamiento del refuerzo transversal en porcentaje.

𝜃𝑠 : Rotación por corte.

𝜏𝑏 : Esfuerzo promedio de adherencia.

𝐿 : Longitud del elemento.


2.1.4.2.2 Método de fibras o dovelas

Para realizar el diagrama momento – curvatura es necesario apoyarse de métodos de

cálculo de Mander (1988) para el hormigón y Park y Paulay (1975) con lo cual se

aplicará el método de fibras o dovelas el que está dividido por los siguientes pasos:

[15]

23

- Se coloca la deformación del concreto.

- Se propone la profundidad del eje neutro.

- Se calcula las deformaciones para cada punto medio de las dovelas.

- Una vez calculadas las deformaciones de las franjas se calcula las áreas

correspondientes a cada una multiplicando la base de franja por la altura de la

misma.

- Para el punto siguiente se puede encontrar los esfuerzos para cada deformación

de las franjas de acuerdo a las gráficas esfuerzo – deformación para el

hormigón o acero tanto para compresión como para tracción respectivamente.

- Para obtener fuerzas a compresión para cada dovela se multiplica el esfuerzo

del hormigón por cada área de dovela respectivamente

- Para obtener fuerza a tracción se multiplica el esfuerzo del acero por el acero a

tensión.

- Conseguidas las fuerzas se realiza una sumatoria de todas las fuerzas para de

esta manera obtener igualar las fuerzas a compresión con las fuerzas a tensión

si así es la profundidad del eje neutro o a su vez por medio de interacciones

calcular el verdadero valor de eje neutro para que satisfaga la igualdad.

- Luego de obtener la igualdad de las fuerzas se calcula el momento para cada

dovela multiplicando la fuerza por una distancia tomando en cuenta el eje para

la aplicación del brazo de palanca ya sea esté en el eje neutro o en zona de

tención.

- Se realiza sumatoria de momentos tanto a compresión como a tensión para

obtener el momento máximo.

- Finalmente para el momento máximo corresponde una curvatura siendo esta la

división de la deformación del concreto para su respectivo eje neutro.

2.1.4.2.3 Método para perfiles de acero

Para el cálculo del diagrama momento – curvatura de un elemento metálico como

perfiles de acero se debe basar en el modelo de Park y Paulay (1975) citado

anteriormente. El método es utilizado para conocer el comportamiento químico y

mecánico del acero dependiendo de cada composición [16]. A continuación se

24

mencionará los pasos para obtener el diagrama momento - curvatura de una sección

de perfil de acero.

- Se escoge la sección con cual trabajar ya sea esta tipo I, tipo C, tubo circular,

tubo rectangular o ángulos.

- Luego se selecciona el modelo del comportamiento del acero para con el cual

trabajar entre estos tenemos los modelos elastoplástico, trilineal y un modelo

de curva completa como el modelo de Park y Paulay (1975) mencionados

anteriormente.

- Se elige el tipo de acero con el que trabajar ya sea A36, A992, A913(50),

A709(50), A572, A709(70W) entre los más comunes.

- Adoptado el tipo de acero obtenemos los valores de fy, fu, y, sh y su para

obtener la relación esfuerzo deformación con el método Park y Paulay (1975).

Figura 2. 10: Diagrama esfuerzo – deformación para diferentes tipos de acero

estructural.

Fuente: Altos Hornos de México (AHMSA), Manual de diseño para la construcción

con acero, 2013.

25

Tabla 2. 1: Valores relevantes para modelos de la curva completa (Modelo de Park y

Paulay).

TABLA DE VALORES RELEVANTES PARA LOS MODELOS DE LA CURVA COMPLETA

fy fu y sh su

Ksi kg/cm² Ksi kg/cm²

A36 36 2531.05 58 4077.80 0.00124 0.020 0.200

A992 50 3515.35 65 4569.95 0.00172 0.015 0.17

A572 50 3515.35 65 4569.95 0.00172 0.015 0.175

A913(50) 50 3515.35 60 4218.42 0.00172 0.015 0.170

A709(50) 50 3515.35 65 4569.95 0.00172 0.015 0.170

A709(70W) 70 4921.49 85 5976.09 0.00241 0.015 0.170

Fuente: Altos Hornos de México (AHMSA), Manual de diseño para la construcción

con acero, 2013.

- Se coloca la deformación del acero.

- Se calcula las deformaciones para cada punto medio de las fibras partiendo

desde el eje neutro de la sección.

- Una vez calculadas las deformaciones de las franjas se calcula las áreas

correspondientes a cada una multiplicando la base de franja por la altura de la

misma.

- Para el punto siguiente se puede encontrar los esfuerzos para cada deformación

de las franjas de acuerdo a la gráfica esfuerzo – deformación para el acero tanto

para compresión como para tracción respectivamente.

- Para obtener fuerzas a compresión o a tracción para cada dovela se multip l ica

el esfuerzo del acero por cada área de fibra respectivamente

- Se calcula el momento para cada dovela está multiplicando la fuerza por una

distancia teniendo en cuenta en el punto de aplicación del brazo de palanca ya

se esté en el eje neutro o en zona de tensión.

- Finalmente para la calcular la curvatura se aplica la siguiente fórmula.

26

Figura 2. 11: Cálculo del diagrama momento – curvatura para perfiles de acero.

Fuente: Mora Edgar, Comportamiento de estructuras de acero con y sin disipadores

de energía tipo TADAS, ubicadas en la ciudad de Quito, por el método del espectro

de capacidad, 2015.

𝜙 = 𝜀𝑡

𝑦𝑖=

𝜀𝑐

𝑦𝑠 (2.75)

Donde:

𝑦𝑖 ∶ Altura medida desde la centro del elemento haca la parte inferior del mismo.

𝑦𝑠 ∶ Altura medida desde la centro del elemento haca la parte superior del mismo.


2.1.5 Software de programación especializado

Para el desarrollo del tema es necesario acudir a un software de programación que

ayude con el cálculo del diagrama momento – curvatura para lo cual se trabajará con

Matlab ya que es una de las mejores herramientas para el análisis matemático numérico

y gráfico.

El software Matlab es una plataforma virtual para principalmente trabajar con matrices

aunque también existe la posibilidad de trabajar con números reales y complejos en un

lenguaje de programación enfocado hacia el análisis de problemas numéricos para lo

cual es necesario guiarse en una metodología de cálculo. [17]

27

Figura # 2.12: Proceso de resolución de problemas en Matlab.

Fuente: Rodríguez Luis, Análisis numérico básico. Un enfoque algorítmico con el

soporte de Matlab, 2011.

El problema tiene como propósito obtener un resultado favorable siguiendo pasos

lógicos para su resolución.

En la etapa de análisis es indispensable estudiar y entender el problema. Entre sus

principales características se tiene las variables, datos requeridos y los procesos

matemáticos que intervienen.

En la etapa de diseño, una vez conocido las variables el siguiente paso es elegir un

método numérico apropiado para resolver el modelo matemático con la elaboración de

un algoritmo. [18]

En la etapa de instrumentación en sí se desarrollará los programas y funciones en un

lenguaje computacional hasta llegar al resultado esperado.

Además de los procesos mencionados precedentemente se debe complementar con un

a revisión desde el análisis hasta los resultados cruzando por el diseño e

instrumentación para de esta manera comprobar, retroalimentar y perfeccionar el

cálculo.

2.2 HIPÓTESIS

El uso de un software especial permite determinar el diagrama momento – curvatura

por el método de fibras para secciones de hormigón armado y perfiles de acero.

28

2.3 SEÑALAMIENTO DE VARIABLES

Variable Dependiente

Diagrama momento – curvatura para secciones de hormigón armado y perfiles de

acero.

Variable Independiente

Uso de un software especializado.

29

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1 NIVEL O TIPO DE INVESTIGACIÓN

La investigación que se aplica en este documento es de nivel aplicativo y descriptivo.

Nivel aplicativo ya que se realiza un software que ayude al cálculo de problemas

matemáticos de los ingenieros y estudiantes de la Facultad de Ingeniería Civil y

Mecánica de la Universidad Técnica de Ambato.

Nivel descriptivo debido a que se manifiesta información del diagrama momento –

curvatura y modelos de cálculo para los diagramas esfuerzo – deformación del

hormigón y acero. Además cuenta con información sobre el lenguaje de programación

que utiliza MATLAB.

3.2 POBLACIÓN Y MUESTRA

3.2.1 Población

- Secciones de hormigón armado y perfiles de acero

3.2.2 Muestra

3.2.2.1 Tipos de secciones de hormigón armado

- Circular

- Rectangular

3.2.2.2 Tipos de secciones de perfiles de acero

- W

30

- C

- Tubo circular

- Tubo rectangular

- Ángulos

3.3 OPERACIÓN DE VARIABLES

3.3.1 Variable independiente

Uso del software

Tabla 3. 1: Variable independiente

Conceptualización

Dimensiones

Indicadores

Ítems

Técnicas e

instrumento

Conjunto de

procesos

informáticos que

permiten realizar

determinadas tareas

en una

computadora

Programación

Métodos de

cálculo

¿Cuáles son

los parámetros

necesarios para

efectuar la

codificación?

- Investigac ión

bibliográfica

- Instrumentación

- Documentos

Agilizar

procesos de

cálculo

Rapidez

¿Cómo un

software

favorece con

los procesos de

cálculo?

- Investigac ión

bibliográfica

- Investigac ión

experimental

- Instrumentación

- Documentos

Fuente: José Freire

31

3.3.2 Variable dependiente

D

Documents

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE ......MOMENTO – CURVATURA POR EL MÉTODO DE FIBRAS PARA SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO Y PERFILES DE ACERO EMPLEANDO UN SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN