· UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARANÁ CÁTEDRAS ANÁLISIS MATEMÁTICO I ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Curso de Civil Turno Tarde 2016 TRABAJO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICANACIONAL

FACULTAD REGIONAL PARANÁ

CÁTEDRASANÁLISIS MATEMÁTICO I

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Curso de Civil Turno Tarde 2016

TRABAJO PRÁCTICOINTEGRADOR № I

Directores de Cátedra:Titular Ing. Celestino Benito Brutti (AMI)Titular Ing. Felicia Dora Zuriaga (A y GA)

Profesores de la Comisión :Adjunto Ing. Maria Alicia Gemignani (AMI)Adjunto Ing. Gabriela Adriana Martinez (A y GA)

Auxiliares:

JTP Ing. Milton Martin (AMI) JTP Ing. Roxana Ramirez (A y GA)

Alumnos y correos:…………………………………..…………………………………..…………………………………..

Grupo Nº: ……

AÑO 2016

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL PARANÁ

ANÁLISIS MATEMÁTICO I – ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICATRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR Nº1

CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD

REGIONAL PARANÁ

CURSO DE CIVIL TURNO TARDE

CÁTEDRAS: ANÁLISIS MATEMÁTICO I – ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRABAJOS PRÁCTICOS DE INTEGRACIÓN 2016

INSTRUCCIONES DE PRESENTACIÓN

1- El trabajo práctico debe ser presentado en papel obra alisado con formato A4 de norma IRAM. Losmárgenes deben ser:

2- Las hojas no estarán numeradas en forma correlativa.3- Las hojas serán escritas a máquina o computadora en las dos caras.4- Cada ejercicio se comenzará en una hoja aparte y se numerarán las hojas indicando ejercicio y página:Ejemplo: Ejercicio 1/pág. 1-1, 1-2,. . .5- En cada ejercicio debe constar el enunciado con los datos y luego la resolución a continuación.Ejercicio 1 …………………………..Solución: …………………………..6- Los gráficos deben realizarse en computadora.7- Cada trabajo debe venir acompañado de un CD que quedará para la cátedra (con los ejercicios corregidos).

8- Una vez presentado el trabajo, el mismo será evaluado verbalmente y en forma individual en un coloquio, conla presencia de todos los integrantes del grupo.9- El trabajo práctico será presentado anillado con tapa transparente o en una carpeta con tapa transparente.10- Los grupos tendrán 2 alumnos como mínimo y 3 alumnos como máximo.11 - Las condiciones de aprobación se deben ver en La Planificación de la Cátedra.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 1Dadas las siguientes funciones:

a) Dada y=f(x) determinar las intersecciones con los ejes coordenados, asíntotasverticales y horizontales, gráfica, dominio y rango. I. Graficar y=|f(x)| indicando dominio y rango. II. Graficar y=Ln|f(x)| indicando dominio y rango.

b) Dada y=g(x) I. Graficar la función del denominador. II. Graficar la función del denominador. III. Determinar las intersecciones de y=g(x) con los ejes coordenados. IV.Determinar las asíntotas verticales y horizontales de y=g(x). V. En un solo sistema de ejes coordenados graficar con distintos colores todas

las funciones anteriores. VI. Determinar Dominio y Rango de y=g(x)

c) Idem anterior para y=1/g(x)

d) Dada y= h(x). I. Graficar y=h(x), determinando las intersecciones con los ejes coordenados. II. Graficar conjuntamente y=h(x) e y=√h(x ) con distintos colores.

Determinar dominio y rango de y= (h(x)) 1/2. III. Graficar conjuntamente y=h(x) e y=Ln|h(x)| con distintos colores.

Determinar dominio y rango de y=Ln|h(x)|.

Grupo y =f(x) y =g(x) y=h(x)

1 y=−x+12 x

y=(x+2)(x+5)2

x2−4y=x4+2 x3−25 x2−26 x+120

2 y=−3 x−26 x

y=(x+1)2( x+7)x2−25

y=x4+6 x3−9x2−94 x−120

3 y=x+23 x−6

y=(x−3)(x+1)2

x2−4y=x4−27 x2+14 x+120

4 y=x−2x

y=(x−4)2(x+3)

(x2−1)y=x4+x3−19 x2+11x+30

5 y=x+1x−2

y=(x+7)2(x+4)

(x2−9)y=x4−x3−19x2+49 x−30

6 y=4 xx+2

y=(x+2)2(x+4)x2−25

y=x4−4 x3−19 x2+106 x−120

7 y=−2 x−42+x

y=(x−1)2(x+4)

(x2−9)y=x4−11x3+41 x2−61 x+30

8 y=1x+1

y=(x+4)2( x−3)

(x2−9)y=x4+10 x3+23 x2−34 x−120

9 y=4 x3 x−1

y=(x−4)2(x−3)

x2−1y=x4−8 x3+5 x2+74 x−120




10 y=x−23 x+6

y=(x+4)(x+5)2

x2−25y=x4+9 x3+21 x2−x−30

11 y=x−12 x

y=(x−2)2(x−7)

(x2−1)y=x4−9 x3+21 x2+x−30

12 y=x−12x+4

y=(x+2)2(x+7)

x2−1y=x4−27 x2−14 x+120

13 y=3 x+26 x

y=(x−4)(x+1)2

x2−9y=x4−x3−19x2−11 x+30

14 y=5x2−x

y=(x−7)2(x−4)

(x2−9)y=x4+4 x3−19 x2−106 x−120

15 y=−xx+5

y=(x−4)2(x+3)

(x2−9)y=x4+14 x3+71 x2+154 x+120

16 y=x+1x−3

y=(x−1)2(x+3)

(x2−4)y=x4+4 x3−19 x2−46 x+120

17 y=43−x

y=(x+7)2(x+3)

(x2−4)y=x4−6 x3−9 x2+94 x−120

18 y=x

4 x−2y=

(x+1)2( x+2)x2−49

y=x4−4 x3−19 x2+46 x+120

19 y=2 x+13 x

y=(x−7)(x−1)2

x2−25y=x4−14 x3+71 x2−154 x+120

20 y=4−2 xx−1

y=(x−2)2(x+4)

(x2−25)y=x4−6 x3+3 x2+26 x−24



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 2 Dadas las funciones y=f(x) e y=g(x). Graficar por separado cada una de ellas y luegograficarlas conjuntamente en un solo sistema de ejes coordenados. Determinar lospuntos de intersección entre ambas gráficas y graficarlos superpuestos con las gráficasanteriores.Realizar el gráfico de un tamaño que se visualicen correctamente las funciones.

Grupo y=f(x) [0;12] y=g(x) [0;12]1 −20 e(−0.4 x)sen(2−3.1x) 4 cos(1.75 x+5)2 −2e(−0.25 x)sen(5−5 x) sen (x)3 3e(−0.15x)sen(3.2 x+1) 4 sen(2x+1)4 −e(0.16x)sen (5−5 x ) −sen(5−x )5 30e(−0.2x)cos (1.6 x+0.6) 3cos(3x+0.5)6 ln(0.35x )cos (2−1.6 x) 4 cos(1.75 x+0.25)7 ln(0.23x )cos(0.5−3.2x ) −8cos(2 x+1)8 2(−0.18 x)cos(1.9 x+2.3) 4 sin(2 x+1)9 (7/5)(0.25 x)sen(1.9 x+0.7) sec( x)10 4 (0.4 x)cos(3.5 x+4) 3 sen (0.75−2.5x )11 (2/3)(−0.22 x)sen (2.4 x+0.7) −sen(5−x )12 −3(−0.17x)7(0.17 x)sen (0.7−1.9 x) 7cos (2−2.3 x)13 (4 /5)(−0.7 x)cos (4−3.3 x ) −2.2 sen(3−x)14 (2/9)(−0.28 x)cos (1.8 x+2.3) −3.8cos (7−1.8 x)15 (3/7)(−0.15 x)sin (2.3−1.9 x) −1.8cos (3.2 x+5)16 (8/7)(0.3 x)cos(3.5 x+4) csc (x )17 7e(0.14 x)sen(5 x ) 4 sen(2x+1)18 15e(−0.12 x)cos(1.6 x ) −csc (5−x )19 ln(0.28x )cos (1.6 x ) (5/3)cos(3 x+0.5)20 ln(0.27 x)cos(3.2 x) (5/4 )cos(1.75 x+0.25)




Ejercicio 3Dados los puntos P1, P2, P3, P4, P5, P6 y P7 determinar la ecuación de la función racional entera ( y=a0 x

6+a1 x

5+a2 x

4+a3 x

3+a4 x

2+a5 x+a6 ) cuya gráfica pasa por los

puntos dados.a) Determinar la intersección de la curva con los ejes coordenados.b) Determinar dominio y rango.c) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P1 y P7 y determinar los puntos

de intersección entre la función lineal y la función racional entera.d) Graficar las funciones. Los puntos datos y los puntos de intersección.

Ejercicio 3Grupo x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 x7 y7

1 -23 -24 -13 8 0 -16 14 8 29 -15 40 12 50 -92 -25 -24 -15 8 -2 -16 12 8 27 -15 38 12 48 -83 -7 -22 3 10 16 -14 30 10 45 -13 56 14 66 -194 -9 -22 1 10 14 -14 28 10 43 -13 54 14 64 -185 -11 -22 -1 10 12 -14 26 10 41 -13 52 14 62 -176 -13 -22 -3 10 10 -14 24 10 39 -13 50 14 60 -167 -15 -22 -5 10 8 -14 22 10 37 -13 48 14 58 -158 -17 -22 -7 10 6 -14 20 10 35 -13 46 14 56 -149 -15 -20 -5 12 8 -12 22 12 37 -11 48 16 58 -13

10 -19 -20 -9 12 4 -12 18 12 33 -11 44 16 54 -1111 -21 -20 -11 12 2 -12 16 12 31 -11 42 16 52 -1012 -23 -20 -13 12 0 -12 14 12 29 -11 40 16 50 -913 -25 -20 -15 12 -2 -12 12 12 27 -11 38 16 48 -814 -7 -24 3 8 16 -16 30 8 45 -15 56 12 66 -1715 -9 -24 1 8 14 -16 28 8 43 -15 54 12 64 -1616 -11 -24 -1 8 12 -16 26 8 41 -15 52 12 62 -1517 -13 -24 -3 8 10 -16 24 8 39 -15 50 12 60 -1418 -15 -24 -5 8 8 -16 22 8 37 -15 48 12 58 -1319 -17 -24 -7 8 6 -16 20 8 35 -15 46 12 56 -1220 -19 -24 -9 8 4 -16 18 8 33 -15 44 12 54 -11



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 4Dados los seis puntos Q1(x1,y1);Q2(x2,y2);Q3(x3,y3);Q4(x4,y4);Q5(x5,y5) y Q6(x6,y6):

a) Graficar los puntos.b) Determinar la ecuación de la función racional entera (

y=P5(x )=a0 x5+a1 x

4+a2 x

3+a3 x

2+a4 x+a5 ) cuya gráfica pasa por los seis

puntos.c) Graficar conjuntamente la función y los cinco puntos.d) Determinar los ceros de la función racional entera.e) Aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo [a;b] tal que f(a) = f(b) = 0 (siendo

x=a y x=b los ceros de mayor valor) y determinar el valor de x = c que verificael teorema.

f) Determinar la ecuación de la recta tangente en P1(a; 0) y en P2[c; f(c)].g) Graficar conjuntamente la función y las dos rectas tangentes.h) Aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (T. de Lagrange) en

el intervalo [d;e] tal que d = x1 y e = x3 y determinar el valor de x = f queverifica el teorema.

i) Determinar la ecuación de la recta tangente a y = P5(x) en el punto P[f; P5(f)].j) Determinar la ecuación de la recta secante a y = P5(x) que pasa por los puntos Q1

y Q3.

k) Graficar conjuntamente y = P5(x) y las rectas tangente y secante.

Ejercicio 4

Grupo1 (-9;-8) (-06;03) (01;-07) (05;02) (12;-10) (16;06)2 (-24;25) (-13;-11) (-02;19) (15;-11) (28;24) (35;13)3 (-25;24) (-14;-12) (-03;18) (14;-12) (27;23) (34;12)4 (-18;31) (-07;-05) (04;25) (21;-05) (34;30) (41;19)5 (-20;29) (-09;-07) (02;23) (19;-07) (32;28) (39;17)6 (-7;-6) (-04;05) (03;-05) (07;04) (14;-08) (18;08)7 (-6;-5) (-03;06) (04;-04) (08;05) (15;-07) (19;09)8 (-13;-12) (-10;-01) (-03;-11) (01;-02) (08;-14) (12;02)9 (-11;-10) (-08;01) (-01;-09) (03;0) (10;-12) (14;04)

10 (-15;33) (-07;-14) (-03;26) (10;-13) (16;34) (19;-07)11 (-13;35) (-05;-12) (-01;28) (12;-11) (18;36) (21;-05)12 (-16;-14) (-07;09) (02;-12) (12;07) (21;-17) (31;14)13 (-16;13) (-09;-08) (-03;09) (07;-08) (14;12) (18;-06)14 (-15;-13) (-06;10) (03;-11) (13;08) (22;-16) (32;15)15 (-17;12) (-10;-09) (-04;08) (06;-09) (13;11) (17;-07)16 (-19;-17) (-10;06) (-01;-15) (09;04) (18;-20) (28;11)17 (-13;16) (-06;-05) (0;12) (10;-05) (17;15) (21;-03)18 (-14;-12) (-05;11) (04;-10) (14;09) (23;-15) (33;16)19 (-18;11) (-11;-10) (-05;07) (05;-10) (12;10) (16;-08)20 (-13;-11) (-06;07) (01;-10) (10;06) (17;-14) (25;11)

Q1(x1,y1) Q2(x2,y2) Q3(x3,y3) Q4(x4,y4) Q5(x5,y5) Q6(x6,y6)



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 5Dada la función y = f(x)

a) Calcular las derivadas.b) Determinar la expresión de la derivada enésima.c) Calcular las derivadas en x = a.d) Desarrollar y = f(x) en polinomio de Taylor o Mc Laurin en x = a.e) Escribir la expresión del resto Rn(x) que corresponde al desarrollo de la función

y = f(x).f) Graficar conjuntamente y = f(x) y el polinomio de Taylor o Mc Laurin

considerando solo los cuatro primeros términos del mismo, en el intervalo [a-2;a+2]

Grupo y =f(x) en Grupo y =f(x) en

1 y=−36 x+5

x=-2 11 y=4

3 x+4x=2

2 y=4

6 x−7x=1 12 y=

52x−6

x=1

3 y=−52x−7

x=-1 13 y=2

2x+5x=1

4 y=2

5 x−6x=-2 14 y=

16 x−7

x=-1

5 y=3

5 x+5x=1 15 y=

35 x+4

x=2

6 y=3

4 x−7x=-1 16 y=

−44 x−6

x=-2

7 y=−43 x+4

x=2 17 y=5

5 x+5x=1

8 y=5

2x−6x=-2 18 y=

−26 x−7

x=-1

9 y=−24 x+5

x=1 19 y=−13 x+4

x=2

10 y=−34 x−7

x=-1 20 y=6

2x−6x=-2



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 6Dada la siguiente tabla de valores donde la primer columna corresponde a los valores dex y la segunda a los valores de la función y = f(x). Se pide:

a) Graficar la nube de puntos.b) Determinar la recta de aproximación y=a0x+a1 por el método de mínimos

cuadrados y calcular el grado de ajuste (R2) de la misma a la nube de puntos.Graficar conjuntamente la recta y la nube de puntos.

c) Determinar la parábola de aproximación y=a0x2+a1x+a2 por el método demínimos cuadrados y calcular el grado de ajuste (R2) de la misma a la nube depuntos. Graficar conjuntamente la parábola y la nube de puntos.

d) Determinar la parábola cúbica de aproximación y=a0x3+a1x2+a2x+a3 por elmétodo de mínimos cuadrados y calcular el grado de ajuste (R2) de la misma a lanube de puntos. Graficar conjuntamente la parábola cúbica y la nube de puntos.

e) Determinar el polinomio de grado cuarto de aproximacióny=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 por el método de mínimos cuadrados y calcular elgrado de ajuste (R2) del mismo a la nube de puntos. Graficar conjuntamente elpolinomio y la nube de puntos.

f) Si el grado de ajuste obtenido hasta ahora es R2<0,8 continuar el ajusteincrementando el grado del polinomio (grado 5, grado 6…) hasta obtener unajuste R2≥0,8

g) Para los items b) a f) anteriores determinar la ecuación de la recta tangente en elséptimo punto de la tabla (P7) y graficarla junto a la nube de puntos y elpolinomio correspondiente.

Grupo Ejercicio 6

1(0;30) (0,3;28,0803) (0,6;23,0582) (0,9;16,8619) (1,2;11,8705) (1,5;10,0004) (1,8;11,9695) (2,1;17,022) (2,4;23,2178)

(2,7;28,1782) (3;29,9986) (3,3;27,9801) (3,6;22,8977) (3,9;16,7027) (4,2;11,7737) (4,5;10,0032) (4,8;12,0709)

2(0;29,2) (0,3;27,5185) (0,6;23,1316) (0,9;17,7547) (1,2;13,4904) (1,5;12,0063) (1,8;13,8827) (2,1;18,3859) (2,4;23,7548)

(2,7;27,8901) (3;29,1746) (3,3;27,1061) (3,6;22,4934) (3,9;17,1403) (4,2;13,1401) (4,5;12,057) (4,8;14,3146)

3(0;29,6) (0,3;27,8479) (0,6;23,2894) (0,9;17,7395) (1,2;13,4084) (1,5;12,0206) (1,8;14,1288) (2,1;18,8934) (2,4;24,4173)

(2,7;28,5007) (3;29,5178) (3,3;27,0634) (3,6;22,1149) (3,9;16,6428) (4,2;12,8261) (4,5;12,1847) (4,8;14,9738)

4(0;35,7) (0,3;33,6861) (0,6;28,432) (0,9;21,9922) (1,2;16,8851) (1,5;15,1076) (1,8;17,3549) (2,1;22,7482) (2,4;29,1785)

(2,7;34,1312) (3;35,6696) (3,3;33,1922) (3,6;27,6677) (3,9;21,2564) (4,2;16,4654) (4,5;15,1683) (4,8;17,8722)

5(0;36,2) (0,3;34,1283) (0,6;28,7306) (0,9;22,137) (1,2;16,9495) (1,5;15,215) (1,8;17,618) (2,1;23,2104) (2,4;29,7851)

(2,7;34,7479) (3;36,1402) (3,3;33,4126) (3,6;27,6416) (3,9;21,1043) (4,2;16,3806) (4,5;15,3345) (4,8;18,3787)

6(0;29,6) (0,3;27,8479) (0,6;23,2894) (0,9;17,7395) (1,2;13,4084) (1,5;12,0206) (1,8;14,1288) (2,1;18,8934) (2,4;24,4173)

(2,7;28,5007) (3;29,5178) (3,3;27,0634) (3,6;22,1149) (3,9;16,6428) (4,2;12,8261) (4,5;12,1847) (4,8;14,9738)

P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) P4(x4,y4) P5(x5,y5) P6(x6,y6) P7(x7,y7) P8(x8,y8) P9(x9,y9)

P10(x10,y10) P11(x11,y11) P12(x12,y12) P13(x13,y13) P14(x14,y14) P15(x15,y15) P16(x16,y16) P17(x17,y17)














7(0;35,7) (0,3;33,6861) (0,6;28,432) (0,9;21,9922) (1,2;16,8851) (1,5;15,1076) (1,8;17,3549) (2,1;22,7482) (2,4;29,1785)

(2,7;34,1312) (3;35,6696) (3,3;33,1922) (3,6;27,6677) (3,9;21,2564) (4,2;16,4654) (4,5;15,1683) (4,8;17,8722)

8(0;36,2) (0,3;34,1283) (0,6;28,7306) (0,9;22,137) (1,2;16,9495) (1,5;15,215) (1,8;17,618) (2,1;23,2104) (2,4;29,7851)

(2,7;34,7479) (3;36,1402) (3,3;33,4126) (3,6;27,6416) (3,9;21,1043) (4,2;16,3806) (4,5;15,3345) (4,8;18,3787)

9(0;29,6) (0,3;27,8479) (0,6;23,2894) (0,9;17,7395) (1,2;13,4084) (1,5;12,0206) (1,8;14,1288) (2,1;18,8934) (2,4;24,4173)

(2,7;28,5007) (3;29,5178) (3,3;27,0634) (3,6;22,1149) (3,9;16,6428) (4,2;12,8261) (4,5;12,1847) (4,8;14,9738)

10(0;35,7) (0,3;33,6861) (0,6;28,432) (0,9;21,9922) (1,2;16,8851) (1,5;15,1076) (1,8;17,3549) (2,1;22,7482) (2,4;29,1785)

(2,7;34,1312) (3;35,6696) (3,3;33,1922) (3,6;27,6677) (3,9;21,2564) (4,2;16,4654) (4,5;15,1683) (4,8;17,8722)

11(0;36,2) (0,3;34,1283) (0,6;28,7306) (0,9;22,137) (1,2;16,9495) (1,5;15,215) (1,8;17,618) (2,1;23,2104) (2,4;29,7851)

(2,7;34,7479) (3;36,1402) (3,3;33,4126) (3,6;27,6416) (3,9;21,1043) (4,2;16,3806) (4,5;15,3345) (4,8;18,3787)

12(0;29,6) (0,3;27,8479) (0,6;23,2894) (0,9;17,7395) (1,2;13,4084) (1,5;12,0206) (1,8;14,1288) (2,1;18,8934) (2,4;24,4173)

(2,7;28,5007) (3;29,5178) (3,3;27,0634) (3,6;22,1149) (3,9;16,6428) (4,2;12,8261) (4,5;12,1847) (4,8;14,9738)

13(0;35,7) (0,3;33,6861) (0,6;28,432) (0,9;21,9922) (1,2;16,8851) (1,5;15,1076) (1,8;17,3549) (2,1;22,7482) (2,4;29,1785)

(2,7;34,1312) (3;35,6696) (3,3;33,1922) (3,6;27,6677) (3,9;21,2564) (4,2;16,4654) (4,5;15,1683) (4,8;17,8722)

14(0;36,2) (0,3;34,1283) (0,6;28,7306) (0,9;22,137) (1,2;16,9495) (1,5;15,215) (1,8;17,618) (2,1;23,2104) (2,4;29,7851)

(2,7;34,7479) (3;36,1402) (3,3;33,4126) (3,6;27,6416) (3,9;21,1043) (4,2;16,3806) (4,5;15,3345) (4,8;18,3787)

15(0;29,6) (0,3;27,8479) (0,6;23,2894) (0,9;17,7395) (1,2;13,4084) (1,5;12,0206) (1,8;14,1288) (2,1;18,8934) (2,4;24,4173)

(2,7;28,5007) (3;29,5178) (3,3;27,0634) (3,6;22,1149) (3,9;16,6428) (4,2;12,8261) (4,5;12,1847) (4,8;14,9738)

16(0;35,7) (0,3;33,6861) (0,6;28,432) (0,9;21,9922) (1,2;16,8851) (1,5;15,1076) (1,8;17,3549) (2,1;22,7482) (2,4;29,1785)

(2,7;34,1312) (3;35,6696) (3,3;33,1922) (3,6;27,6677) (3,9;21,2564) (4,2;16,4654) (4,5;15,1683) (4,8;17,8722)

17(0;36,2) (0,3;34,1283) (0,6;28,7306) (0,9;22,137) (1,2;16,9495) (1,5;15,215) (1,8;17,618) (2,1;23,2104) (2,4;29,7851)

(2,7;34,7479) (3;36,1402) (3,3;33,4126) (3,6;27,6416) (3,9;21,1043) (4,2;16,3806) (4,5;15,3345) (4,8;18,3787)


























18(0;29,6) (0,3;27,8479) (0,6;23,2894) (0,9;17,7395) (1,2;13,4084) (1,5;12,0206) (1,8;14,1288) (2,1;18,8934) (2,4;24,4173)

(2,7;28,5007) (3;29,5178) (3,3;27,0634) (3,6;22,1149) (3,9;16,6428) (4,2;12,8261) (4,5;12,1847) (4,8;14,9738)

19(0;35,7) (0,3;33,6861) (0,6;28,432) (0,9;21,9922) (1,2;16,8851) (1,5;15,1076) (1,8;17,3549) (2,1;22,7482) (2,4;29,1785)

(2,7;34,1312) (3;35,6696) (3,3;33,1922) (3,6;27,6677) (3,9;21,2564) (4,2;16,4654) (4,5;15,1683) (4,8;17,8722)

20(0;36,2) (0,3;34,1283) (0,6;28,7306) (0,9;22,137) (1,2;16,9495) (1,5;15,215) (1,8;17,618) (2,1;23,2104) (2,4;29,7851)

(2,7;34,7479) (3;36,1402) (3,3;33,4126) (3,6;27,6416) (3,9;21,1043) (4,2;16,3806) (4,5;15,3345) (4,8;18,3787)









CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 7Realizar el estudio completo de la función. Para realizar el estudio completo se deben realizar los siguientes pasos:

a) Intersección con los ejes coordenados.b) Determinar todos los valores de la variable para los cuales la función es

discontinua, si hay saltos calcularlos y clasificar las discontinuidades.c) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.d) Determinar los máximos y mínimos relativos.e) Determinar los máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado de

longitud r=10 que contenga como mínimo a los valores de x donde se dan lamayoría de los máximos y mínimos relativos.

f) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad.g) Determinar los puntos de inflexión y hallar la ecuación de la recta tangente a la

curva en ellos.h) Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.i) Realizar la representación gráfica.j) Determinar dominio y rango.

NOTA: El ejercicio C de cada grupo debe ser realizado mediante software matemático adecuado.

G A B C1 (x3−x2+3)(1/3) (x+5)2(x−4)(x+3 /4)3 cosh (x−x2)E(−0.2x)

+12 |x3−3 x| (x+1)2(x−4)(x−1/3)3 16+8.5 cos(1.5 x)−3cos (2.7 x)

3 3√ x3+2 x2 (x−4 )2( x−3)( x+2 /7)3 arcsenh(0.5 x)cosec (2x )

4 |4 x3+2 x| (x−4 )2( x+3)(x+2/7)3 17+8.5cos(1.5 x)+3cos (2.5 x)

5 3√ x3−3 (x−3)(x−1/3)3(x+4)2 arcsenh(0.4 x )(cosec(2 x)−1)

6 |x2−2 x3| (x−1)2(x+3)(x−2 /5)3 5e(0.13 x)sin(4.7 x)+1.87 3√3x3−2 x2−1 (x−2)2( x−7)(x+2 /7)3 20+8cos (2.7 x)−4.5 cos (1.8 x)

8 3√2x3+3 x (x−4 )2( x+3)(x−1 /3)3 20+8.3cos (1.4 x)+6.4 cos(2.1 x )

9 |−2x2+3 x3−1| (x+7)2(x+4)(x−1/3)3 arcsenh(0.2 x)sin(2 x)e(−0.1x)

10 |x3−8| (x−5)2(x−2/5)3(x+2) 8 sen(1.6 x)−3.5cos(3 x)+32

11 |x3−x2+3| (x−1)2(x+4)(x−1/3)3 e(−0.06 x)sen (2.5 x)senh−1(0.4 x)12 3√ x3−3x (x−5)2(x+3 /4)3(x+4 ) 9.5cos (1.6 x)−3.5cos (3 x)+31

13 |x3+2 x2| (x−7)2(x−3)(x−2/5)3 (sec (2x )+1)senh−1(0.3 x)

14 3√4 x3+2x (x−2)2( x+2 /7)3(x+7) 2.4 cos (1.75 x)−3.4 cos(1.8 x )+18

15 |x3−3| (x−1)2(x−2/5)3(x+2) e(0.1x−1)(4cos(1.5 x+1)−2)16 3√ x2−2x3 (x−2)2( x+3 /4)3(x+4) 6.5cos(1.6x )−3.4 cos(2.75 x)+18

17 |−x3+7 x| (x−2/5)3(x+3)(x+7)2 e(−0.12x)sen(3 x)senh−1(0.1x )

18 3√7x−x3 (x−7)2(x−4 )(x−1/3)3 2.4 cos (1.75 x)+3.4 cos(1.8 x)+14

19 |2 x3+3 x| (x−4 )(x+3 /4)3(x+2)2 (sec (1.5 x )+1)senh−1(0.2 x)20 ln(4 x3+2x ) (x+2)2(x−7)(x+2 /7)3 Arcsenh(0.3 x)sen (2.4 x)e(−.07 x)



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 8Resolver los siguientes problemas aplicando sistemas de ecuaciones lineales.

Grupo Ejercicio 8 – Problemas1 48 146 29 141 2102 49 147 30 143 2113 50 148 31 144 664 51 149 32 145 835 52 161 40 150 926 53 162 41 154 957 54 163 42 155 968 56 166 55 157 1229 57 167 61 159 15110 58 168 65 160 15211 59 171 67 164 15312 60 172 70 165 15613 62 173 71 169 15814 63 176 72 170 18215 64 177 73 174 18516 68 188 74 175 19117 69 189 75 178 19218 80 190 76 179 19419 81 205 77 180 20620 1 84 78 181 207



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Problemas:

1. Dado un número de dos cifras. La suma de sus cifras es 13. Si invertimos elorden de las cifras obtenemos otro número cuya diferencia con el primero es 27.¿Cuáles son los números?

2. Calcular cuales son los números naturales tal que la suma de sus cuadrados es1037 y la diferencia es 315.

3. El triple de un número menos el quintuplo de otro es 59, mientras que el primeromenos el doble del segundo es 12. ¿Cuáles son los números?

4. Para preparar una ración se utilizan tres cereales: A, B y C. La ración I tiene 20Kg del cereal A, 50 Kg del cereal B y 100 Kg del cereal C. La ración II tiene 35Kg del cereal A, 60 Kg del cereal B y 80 Kg del cereal C. La ración III tiene 45Kg del cereal A, 45 Kg del cereal B y 50 Kg del cereal C. Se tiene 36000 Kg delcereal A, 40000 Kg del cereal B y 48000 Kg del cereal C. ¿Cuantas unidades decada ración se pueden preparar si se utiliza todo el cereal disponible?

5. El gerente de una empresa fue al banco porque necesitaba comprar dolares,euros y libras. El lunes el dolar estaba a $14,0, el euro a $15,5 y la libra a $24,3cada uno. El martes el dolar estaba a $14,0, el euro a $15,6 y la libra a $24,5cada uno. El miércoles el dolar estaba a $14,3, el euro a $15,9 y la libra a $24,7cada uno. ¿Cuantos dolares, euros y libras necesitaba comprar si el lunes hubieragastado $113087, el martes $113699 y el miércoles $115364?

6. Una empresa metalurgica produce tres tipos de rolos para cintas transportadoras:de 20 cm, 25 cm y 30 cm de largo y 10 cm de diámetro. Los rolos se preparanpor lotes. Para fabricar rolos de 20 cm se necesitan 4 minutos de corte, 22minutos de torneado y 8 minutos de armado. Para fabricar rolos de 25 cm senecesitan 5 minutos de corte, 22 minutos de torneado y 9 minutos de armado.Para fabricar rolos de 30 cm se necesitan 6 minutos de corte, 23 minutos detorneado y 10 minutos de armado. ¿Cuántos rolos de cada uno se puedenproducir si se trabajan 180 horas de corte, 910 horas de torneado y 333h 20m dearmado?

7. Los sueldos del padre, de la madre y de un hijo suman $56287,2. Si el sueldo dela madre es el 90% del sueldo del padre y el del hijo es el 60% del sueldo de lamadre. ¿Cuál es el sueldo de cada uno?

8. Se venden 3 calidades de aceite en envases de un litro cada uno. La calidad Atiene un costo de $ 120 el litro, la calidad B de $ 85 y la calidad C de $ 79 ellitro. Se venden 147 envases de un litro y se recaudan $ 14343 y se sabe que dela calidad B se vendieron el 75% de los de la calidad A. ¿Cuantos envases decada uno se vendieron?

9. Un productor agropecuario sembró soja, maíz y sorgo en su campo de 2160 Ha.Sembró el doble de Ha de soja que de maíz y la cantidad de Ha sembradas consoja superan en un 25% a las Ha sembradas con los otros dos cultivos. ¿CuántasHa sembró de cada cultivo?

10. Un productor compró para su tractor por $12000, 50 litros de aceite, 16 kg degrasa y 28 litros de anticorrosivo. Se sabe que el precio de la grasa es el 75% del



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016precio del anticorrosivo. El productor saco la cuenta que si hubiera comprado 6litros de aceite y 3 kg de grasa esto tiene un costo de $70 menos que comprar 5litros de anticorrosivo. ¿Cual es el precio del aceite, grasa y del anticorrosivo?

11. En una alcancía hay monedas de $0,25, $0,5 y $1. Hay 1200 monedas quesuman $750. El 60% de las monedas de 25 centavos más el 60% de las monedasde 50 centavos son igual cantidad que el 60% de las monedas de 1 peso.¿Cuántas monedas de cada una hay en la alcancía?

12. Este año ingresaron a la Facultad 240 estudiantes de ingeniería, para estudiaring. Civil, Electromecánica o Electrónica. En Electrónica ingresaron 40 alumnosmenos que en Civil, además los de Civil son 10 menos que los deElectromecánica. ¿Cuántos alumnos ingresaron en cada carrera?

13. Una empresa minera adquirió 18 equipos. Compró cargadores frontales a143000 dolares cada uno, topadoras a 184000 dolares cada una y excavadoras a158000 dolares cada una y en total invirtió 6613000 dolares. Si la cantidad decargadores frontales superan en cuatro unidades a las excavadoras, ¿cuántosequipos de cada tipo compró?

14. En la verdulería compré peras a 34 $/kg, bananas a 25 $/kg y ciruelas a 47 $/kgy pague $427. En total compré 13 kg de frutas y fueron 3 kilos más de bananasque de ciruelas. ¿Cuántos kg de cada fruta compré?

15. Para una reunión se compraron 20 gaseosas chicas,13 medianas y 9 grandes y sepago $ 837. Luego se compraron en el mismo lugar 23 gaseosas chicas, 17medianas y 4 grandes y se pagó $777.

1. ¿Cuál sería el costo de 8 gaseosas chicas, 7 medianas y 4 grandes?

2. Si el costo de la gaseosa chica más el de la mediana le faltan $3 para llegar alcosto de la grande, ¿Cuál es el costo de cada una?

16. En un examen con tres temas un alumno obtuvo 80 puntos. En el tema dosobtuvo 25 puntos más que en el tema uno y en el tema tres obtuvo 15 puntosmenos que en tema dos. Calcular el puntaje que obtuvo en cada tema.

17. Para una función en el teatro se ponen en venta tres clases de entradas: palco,platea y general. La relación entre los precios de las entradas entre platea y palcoes de tres quintos y la relación entre los precios de general y platea es de dosquintos. Se compró una entrada de cada clase y se pago $400. ¿Cuál es el preciode cada entrada?

18. Un grupo de alumnos va el lunes a la cantina de la Facultad y piden: 9milanesas, 8 gaseosas y 6 helados y pagan $807. El martes piden: 12 milanesas,10 gaseosas y 9 helados y pagan $1086. El miércoles deciden reducir los gastosy piden: 6 milanesas y 4 gaseosas y pagan $464. ¿A cuánto vende las milanesas,gaseosas y helados el cantinero?

19. Se compraron escritorios, bibliotecas y sillas para una oficina. En total secompraron 66 elementos a un costo de 9400 pesos. Por cada escritorio se pago$2520, por cada biblioteca $1970 y por cada silla $375. Las bibliotecas triplicanen cantidad a los escritorios. ¿Cuántos muebles de cada tipo se compraron?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201620. Un comedor vende tres tipos de picadas compuestas de tres ingredientes: salame,

queso y papas fritas, todas en porciones. La picada uno se prepara con unaporción de salame, dos de queso y tres de papas fritas. La picada dos se preparacon dos porciones de salame, dos de queso y dos de papas fritas y la picada tresse prepara con tres porciones de salame, una de queso y una de papas fritas. Lapicada uno se vende a $257, la dos a $ 288 y la tres a $270. ¿Cuál es el valorasignado a cada porción de los ingredientes?

21. Un señor envió a su secretario a comprar sillas y sillones, entregándole $16000.El secretario compró 36 sillas y sillones en total gastando solo $15740. Cadasilla la paga $370 y cada sillón $590. ¿Cuántas sillas compró?¿Cuántos sillonescompró?

22. Un señor tiene en su billetera billetes de $10 y de $50 solamente. En total tiene$1220 y 58 billetes. ¿Cuántos billetes de $10 y cuántos billetes de $50 disponenen la billetera?

23. Un grupo de alumnos de la facultad se inscribió en un curso especial. El costodel curso es de $60 para los alumnos, con un descuento de $15 para los alumnoscon promedio mayor a 7. Se compran 170 entradas pagando $9405. ¿Cuántosalumnos ingresaron pagando la entrada sin descuento y cuántos con el beneficiodel descuento?

24. Una tostadora de café elabora tres tipos de café a partir de la mezcla de café deColombia, café de Brasil y café de Perú. Se necesita saber el precio unitario decada café sabiendo que la composición de la mezcla y el costo de cada una estádad por la tabla:

Nº de kg decafé de

Colombia

Nº de kg decafé de Brasil

Nº de kg decafé de Perú

Costo de lamezcla

(en dólares)

Mezcla 1 3 1 3 61

Mezcla 2 2 3 2 57

Mezcla 3 2 1 4 59

25. Hoy la edad del padre es el doble de la suma de las edades de sus hijos Matías yLeonardo. Matías es 6 años mayor que Leonardo. En 15 años la edad del padresuperará en 15 años la suma de las edades de sus dos hijos. ¿Qué edades tienenel padre y los hijos?

26. Pedro nació en Paraná en el siglo XIX. Si la suma de las cifras del año que nacióes 18 y la cifra de las decenas excede en cinco a la de las unidades. ¿En que añonació?

27. Un envasador de maní ofrece al mercado bolsitas de maní de 75 gramos y 250gramos. Debe envasar 46,5 kg de maní pero le exigen que el número de bolsitasgrandes sea el doble de las pequeñas. ¿Cuántas bolsitas de cada una debeenvasar?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201628. El perímetro de un rectángulo es de 640m. Si disminuimos la base en un cuarto

y la altura en un tercio el nuevo perímetro es de 460m. ¿Cuáles son lasdimensiones de ambos rectángulos?

29. Se disponen tres lingotes con la siguiente composición química:

El primer lingote tiene 20g de oro, 30g de plata y 40g de cobre.

El segundo lingote tiene 30g de oro, 40g de plata y 50g de cobre.

El primer lingote tiene 40g de oro, 50g de plata y 90g de cobre.

¿Qué peso habrá que tomar de los lingotes anteriores para formar un lingotenuevo de 34g de oro, 46g de plata y 67g de cobre?

30. Determinar un número de tres cifras, sabiendo que éstas suman 12. Si al númerodado se le resta el número que resulta de invertir sus cifras, la diferencia es de198, y además la cifra de las decenas es la mitad de la suma de las otras dos.

31. El techo en el frente de un galpón parabólico tiene las siguientes coordenadas detres de sus puntos P1(0;2;5), P2(0;10;9), P3(0;20;4). Determinar la ecuación dela parábola.

32. Una empresa vendió 3 productos: A, B y C. Si vende todo el producto A a $80,el B a $35 y el C a $63 recauda $9190. En cambio si lo vende a 70, 30 y 55respectivamente recauda $8000. El empresario sabe que las cantidades sumadasde los productos A y B es la misma que la del producto C. ¿Qué cantidad deproducto A, B y C tiene el empresario?

33. Un alumno rindió una evaluación de 80 preguntas. Cada respuesta correcta valedos puntos. Por cada respuesta incorrecta o no respondida se le quita un punto.Si obtuvo 79 puntos. ¿Cuántas respuestas respondió bien? ¿Cuántas preguntasrespondió mal o no respondió?

34. Determinar el área de un rectángulo si su perímetro mide 224m y su altura es unsexto de la base.

35. Una ferretería vendió 90 amoladoras y recaudó $101950. Las de marca B lasvendió a $980 c/u y las de marca A a $1230 c/u. ¿Cuántas vendió de cada una?

36. Determinar las edades de dos personas sabiendo que la suma de sus edades eshoy de 60 años y dentro de 10 años el mayor tendrá el triple de edad que elmenor.

37. Un campamento de obra tiene habitaciones con 2 camas y otras con 1 cama. Hay135 camas y 83 habitaciones. ¿Cuántas habitaciones dobles y simples hay?

38. Determinar la base y la altura de un rectángulo tal que si se disminuye en 4m sualtura y se aumenta en 8m su base, el área no cambia, teniendo en cuenta que enel rectángulo original la base medía 14m más que la altura.

39. Si la base de un rectángulo fuera 10m más larga y su altura fuese 8m más cortaobtendríamos un cuadrado de la misma área que el rectángulo original.Determinar los lados y el área del cuadrado.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201640. Determinar 3 números tal que su suma sea 326, la mitad de la suma del primero

más el segundo más un tercio del tercero sea 194 y la media de los dos últimossea 115.

41. La suma de las edades del padre y sus dos hijos es ahora de 96 años. Cuando elhijo mayor tenía la edad que hoy tiene el menor, este tenía 2/3 de la edad delmayor y cuando el pequeño tenga la edad del mayor la suma de edades será de114 años. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?

42. Las sumas de las edades de tres hermanos sumadas de a dos son: 160, 158 y 154años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

43. El perímetro de un rectángulo es de 912 m y la base es el triple que la altura.Calcular el área del rectángulo.

44. Hace seis años José cuadruplicaba en edad a Pedro y dentro de seis años solo loduplicará. ¿Que edad tienen hoy José y Pedro?

45. Dos amigos tenían cierta cantidad de monedas cada uno. Uno le dijo al otro: sime das una de tus monedas yo tendré el doble de monedas que tu. El otro lerespondió: si tu me das una de tus monedas ambos tendremos la misma cantidadde monedas. ¿Cuántas monedas tenía cada uno?

46. He comprado 20 botellas de vino y 18 de licor y pague $1098. Luego compre enel mismo sitio 13 botellas de vino y 29 de licor y pague $ 1250. ¿Cuál es el costode la botella de vino y la de licor?

47. Una empresa vial tiene 39 equipos entre motoniveladoras y cargadores frontales.Cada motoniveladora tiene 6 cubiertas 23.5x25 y cada cargador frontal tiene 4cubiertas 23.5x25. Si en total tienen 182 cubiertas. ¿Cuántos cargadoresfrontales y motoniveladoras tiene la empresa?

48. En un depósito plano de 123m x 22m hay depositados cajones 3m x 3m x 2m dealtura y de 4m x 4m x 2m de altura. En total hay 123 cajones que ocupan lasuperficie. ¿ Cuantos cajones de cada tipo hay en ese depósito?

49. Una empresa minera explota dos minas. De la mina I extrae un mineral con 0.5% de niquel y 1.5 % de cobre y de la mina II extrae un mineral con el 1 % deniquel y 2.5 % de cobre. ¿Qué cantidad de mineral de cada mina debe extraerpara obtener 14 Tn de níquel y 24 Tn de cobre?

50. En un campo hay conejos y gallinas. En total hay 426 patas y 156 cabezas.¿Cuántas gallinas y conejos hay en ese campo?

51. En una clase hay varones y mujeres. Se retiran 5 varones y quedan el doble demujeres que de varones. Y si se incorporan 10 mujeres más quedan el doble demujeres que de varones. ¿Cuántos varones y mujeres había inicialmente en laclase?

52. En una comisión el número de mujeres es igual a la mitad del número devarones más dos. Si se retiran 12 mujeres el número de varones queda es cuatroveces el de mujeres. ¿Cuántos varones y mujeres había inicialmente en lacomisión?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201653. Se compró un auto y un camión y de 200000 dólares sobraron 9000 dólares.

Sabemos que un cuarto del costo del camión es 4000 dólares mayor que el costodel auto. ¿Cuál es el costo del auto y del camión?

54. Dos números sumados dan 120 y restados dan 66. ¿Cuáles son los números?

55. Tres números sumados dan 338. Si al mayor le restamos los otros dos obtenemos16 y si al mayor le sumamos 145 sigue siendo el doble que la suma de los otrosdos. ¿Cuales son los números?

56. La suma de las dos cifras de un número es nueve. Si al número se le adiciona 45,el número que se obtiene tiene las mismas cifras pero en orden inverso.Determinar el número.

57. El triple de un número más el doble de otro es 736. Si al mayor le resto el menorobtengo el menor. ¿Cuáles son los números?

58. El cociente de una división es 31 y el resto es 7. Si el divisor disminuye en dos,el cociente aumenta en once y el resto disminuye en cuatro. Determinar eldividendo y el divisor.

59. El triple de un número más el doble de otro es 213 y el primero más el triple delsegundo es 204. ¿Cuales son esos números?

60. La suma de dos números es 201 y su diferencia es 27. ¿Cuales son los números?

61. En una alcancía hay monedas 10, 25 y 50 centavos. Hay 1000 monedas y 330pesos. El importe de las monedas de 50 centavos supera en $170 a la suma delimporte de las monedas de 10 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de cada una hayen la alcancía?

62. En una reunión los varones mayores están sentados en una mesa. Las mujeresmayores en otra y los niños en otra. En total son 78 personas. Si dos mujeres sepasan a la mesa de los varones en todas las mesas quedan igual cantidad depersonas. ¿Cuántos varones mayores, mujeres y niños hay en la reunión?

63. En un depósito hay motos y autos, en total hay 158 vehículos y 426 ruedascolocadas en los vehículos. ¿Cuántos autos y motos hay en el depósito?

64. En un restaurant hay 106 mesas y 272 sillas. Solo hay mesas con dos sillas y concuatro sillas. ¿Cuántas mesas con dos sillas y con cuatro hay en el restaurant?

65. En la Facultad hay tres cursos de álgebra, uno para estudiantes de ingenieríacivil, otro para ingeniería electromecánica y otro para ingeniería electrónica. Entotal hay 273 alumnos. Si de civil se pasan dos alumnos a electrónica, todos loscursos quedan con la misma cantidad de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay encada curso?

66. En el laboratorio de la facultad pidieron presupuestos por proyectores,impresoras, pantallas y notebooks. El proveedor cotizó cuatro opciones. Laprimera incluía 5, 3, 6 y 8 a u$s 25868; la segunda 8, 4, 5 y 3 a u$s 20947; latercera 7, 7, 7 y 7 a u$s 29785 y la cuarta 6, 3, 5 y 9 a $28316. ¿Qué costocotizó para cada item?

67. Un alumno rindió 3 exámenes y obtuvo un promedio de 80 puntos. En elsegundo examen obtuvo la mitad de puntos que en el primero y en el tercero



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016solo 10 puntos menos que en el primero. ¿Cuántos puntos obtuvo en cadaexamen?

68. En un restaurant hay 118 mesas con 6480 sillas. Hay mesas con dos, cuatro, seisy ocho sillas cada una. Las mesas de seis y cuatro sillas sumadas son la mismacantidad que las de dos sillas y las mesas de dos sillas son ocho menos que lasuma de todas las otras. ¿Cuántas hay de cada una?

69. En un hotel hay habitaciones simples dobles y triples. En total hay 190habitaciones y 354 camas. En las habitaciones con camas triples tienen 150camas menos que el total de las otras dos. ¿Cuántas habitaciones de cada unatiene el hotel?

70. Un productor sembró alfalfa, sorgo y trigo en un campo de 1190Ha. Sembró eltriple de Ha de alfalfa que de sorgo y de trigo sembró el 50% más que losembrado de alfalfa. ¿Cuántas Ha de cada cultivo sembró?

71. Un contratista compró puertas, ventanas y ventiluces. Compró 121 unidades a unimporte de $358940. Si hubiera comprado la mitad de las ventanas, ¼ de laspuertas y ⅓ de los ventiluces hubiera pagado $146750. ¿Cuántas ventanas,puertas y ventiluces compró?

72. Los sueldos de Andrés; Benito y Carlos suman $61600. Si Benito cobra ⅓ de loque cobra Andrés, y Carlos cobra el 40% de la suma de lo que cobran Andrés yBenito. ¿Cuál es el sueldo de cada uno?

73. Una biblioteca compró libros de inglés, francés e italiano. Un total de 99 libros ypagó $26490. Por los libros de inglés pagó $240, por los de francés $260 y porlos de italiano $310. Los libros de francés son el 70% de los libros de inglés¿Cuántos libros de cada uno compró?

74. La suma de la edad del padre, la madre y un hijo es de 164 años. El promedio dela edad de la madre y el hijo es 33 años menor a la edad del padre y el 80% de laedad del padre sumada el 50% del hijo supera en 4 años a la edad de la madre.¿Qué edad tiene cada uno?

75. Un señor compró en un supermercado tres veces según la siguiente tabla

Compra Yerba Arroz Gaseosa $

I 6 10 12 1000

II 12 12 9 1305

III 4 16 24 1440

¿Cuál es el costo de cada uno?

76. Un mercadito vende tres marcas de arroz A, B y C. El precio medio de las tresmarcas es de $7.1. Un señor compró 16 unidades de A, 28 de B y 34 de C y pago$1704. Otro señor compró 9 unidades de A, 17 de B y 26 de C y pago $1117.¿Cuál es el precio de cada marca de arroz?

77. Un librero vendió cuadernos grandes a $75, cuadernos medianos a $52 ycuadernos chicos a $26. La venta total sumó $6534 y vendió en total 113



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016cuadernos. La cantidad de cuadernos grandes duplicó a los medianos. ¿Cuántoscuadernos de cada tipo vendió?

78. Se dispone de un depósito de 96 l y tres tarros de capacidad A, B y C. Si el tarrode capacidad B tiene el doble de capacidad que el de A, si la capacidad de lostres tarros son la misma que la del depósito y si la capacidad de los tarros A y Bsuman la mitad de la capacidad del depósito ¿Qué capacidad tiene los tarros?

79. Para realizar asfalto se utilizan tres piedras A, B y C. La mezcla I tiene 300kg deA, 500kg de B y 800kg de C. La segunda mezcla tiene 350kg de A, 450kg de By 700kg de C. La mezcla III tiene 400kg de A, 600kg de B y 600kg de C. Sitienen 26tn de A, 42tn de B y 50tn de C. ¿Cuántas unidades de cada mezcla sepueden preparar si se utiliza toda la piedra?

80. Un señor compró en una vinoteca 40 botellas entre vino y champagne. La botellade vino la pagó a $190 cada una y la de de champagne $280 cada una. Pagó$8680 ¿Cuántas botellas de cada una compró?

81. En un examen de física a los alumnos se les realizaron 50 preguntas. Por cadapregunta respondida correctamente obtenían 3 puntos y por cada respuestaincorrecta o no contestada se quitaban 2 puntos. Un alumno obtuvo 90 puntos.¿Cuántas preguntas respondió bien?

82. Si sumamos la edad del padre y la de sus dos hijos obtenemos 124 años. Ladiferencia entre la edad del padre menos la suma de las edades de sus dos hijoses igual a la edad del hijo mayor. En 28 años la suma de las edades de los hijosserá igual a la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?

83. La cantidad de personas de los cuatro estamentos de la Facultad suman 3250personas. La cantidad de alumnos supera por el 50% a la totalidad de losintegrantes de los otros estamentos y la cantidad de egresados cuadruplica lacantidad de docentes. También se observa que por cada administrativo hay 5docentes. ¿Cuántos alumnos, egresados, administrativos y docentes hay en lafacultad?

84. En el bar de la facultad hay mesas con 4 sillas, otras con 6 sillas y otras con 8sillas cada una. En total hay 17 mesas y 94 sillas. La cantidad de mesas con 4sillas duplica al número de mesas con 8 sillas. ¿Cuántas mesas de cada tipo hay?

85. Tres amigos deciden comprar un auto, cuyo costo es de $250000. El primeropone el doble que el tercero y el segundo 2/7 de lo que pone el primero ¿Cuántoaportó cada uno?

86. La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 72 años. El hermanomayor tiene el doble de la edad del menor y la edad del padre duplica la suma delas edades de sus dos hijos. Calcular la edad de cada uno.

87. Se mezclan dos naftas cuyo costo es de $22 y $20 obteniendo una mezcla cuyocosto es de $20,69 el litro. Se obtuvieron 10000 l de mezcla. ¿Qué cantidad delitros de cada nafta se mezclaron?

88. La suma de los pesos de tres personas es de 224kg. La suma de los pesos de lasmás livianas es igual al peso del más pesado y la diferencia de peso entre las dosmas livianas es de 10kg. ¿Cuánto pesa cada una?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201689. En la facultad el doble de profesores varones menos el quintuplo de profesoras

es de 10 personas. Los docentes (profesores y profesoras) son 250 personas.¿Cuántos profesores varones y profesoras hay en esta facultad?

90. Tres fuerzas F1, F2 y F3 actúan en la misma dirección y tienen el mismo puntode aplicación. Si las tres hacen el esfuerzo en el mismo sentido realizan en total13644 kg. Si F3 cambia de sentido el esfuerzo resultante es de 2082 kg en elsentido de F1 y F2. Y si también cambia de sentido F2 el esfuerzo es de 1054 kgen el sentido que ahora tienen F2 y F3. ¿Calcular F1, F2 y F3?

91. En un obrador trabajan 218 personas en total entre obreros, técnicos eingenieros. Los técnicos e ingenieros sumados son el 9% de los obreros. Y lostécnicos quintuplican a los ingenieros. ¿Cuántos obreros, técnicos e ingenierostrabajan en el obrador?

92. En una explotación agrícola hay 250 personas trabajando, entre ingenierosagrónomos, capataces, administrativos y peones. De ellos 30 no son peones. Hay6 capataces por cada ingeniero y dos capataces por cada administrativo.¿Cuántos ingenieros, capataces, administrativos y peones hay?

93. Andrés, Benito y Carlos tienen total $2700. Andrés tiene el triple que Benito yéste el doble que Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?

94. Se necesitan preparar 3 raciones: la I, II y III. La ración I tiene el 30% del cerealA, el 35% del cereal B y el 35% del cereal C y su costo es de $1569/tn. Laración II tiene el 25% del cereal A, el 40% del cereal B y el 35% del cereal C ysu costo es de $1489,5/tn. La ración III tiene el 35% del cereal A, el 25% delcereal B y el 40% del cereal C y su costo es de $1684,5/tn. ¿Cuál es el costo portonelada de los cereales A, B y C?

95. Cuatro personas tiran un cuerpo. Cuando los cuatro (Juan, Pedro, Andrés yCarlos) tiran en la misma dirección y sentido suman una fuerza de 294 kg. SiJuan y Pedro tiran en un sentido y Andrés y Carlos en otros la resultante es de22 kg en el sentido que tira Juan. Si solo traccionan Juan, Pedro y Andrés en lamisma dirección y sentido el esfuerzo es de 227 kg y si lo hacen Pedro, Andrés yCarlos es de 213 kg. ¿Cuál es la fuerza que realiza cada uno?

96. En la biblioteca de la facultad hay libros de álgebra, análisis matemático, física yquímica. En total son 400 libros de estas materias. Los de álgebra más los dequímica son 24 menos que la suma de los de análisis y física. Los de matemáticason 64 más que los de física y química juntos; en cambio el 40% de los deálgebra más el 50% de los de química son la misma cantidad que el 54% de losde física más el 28% de los de análisis. ¿Cuántos libros de cada uno hay en labiblioteca?

97. En una empresa distribuidora hay 126 móviles entre autos y motos. ¿Cuántosautos y motos tiene la empresa si las cubiertas son 388?

98. En el estacionamiento de la facultad hay combis con seis ruedas, autos concuatro ruedas y motos con dos ruedas con un total de 154 móviles y 490 ruedas.Siendo las motos el triple de los autos. ¿Cuántos hay de cada uno?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201699. Un alumno rindió tres exámenes y obtuvo un promedio de 62 puntos. En el

segundo examen obtuvo la mitad de los puntos que en el primero y en el tercero22 puntos más que en el segundo. ¿Cuántos puntos obtuvo en cada examen?

100. En un restaurant hay mesas con una silla, dos sillas y tres sillas. En totalhay 158 mesas y 319 sillas. Las mesas con dos sillas tienen 12 sillas más que lasmesas con una sola silla. ¿Cuántas mesas de cada tipo hay?

101. Un hotel tiene habitaciones con dos camas por habitación y otras con unasola cama. Tiene en total 80 habitaciones y 123 camas. ¿Cuántas habitacionesdobles y simples tiene el hotel?

102. El perímetro de un rectángulo es de 122 m. Si se aumenta la base en 9metros y se disminuye la altura en 5 metros, el área no cambia. Calcular lasdimensiones del rectángulo.

103. Se mezclaron dos cantidades de gasoil cuyo costo es de $17,3 por litro y$19,2 por litro obteniendo una mezcla cuyo costo es de $18,4875 por litro. Lamezcla en total fue de 8000 litros. ¿Qué cantidad de litros de cada gasoil seutilizaron?

104. Tres hermanos deben reunir $123 para comprar un equipo. Han acordadoque el mayor debe poner el doble que el pequeño y el del medio el 68% de loaportado por el mayor. ¿Cuánto debe aportar cada uno?

105. Un padre tiene dos hijos. La edad de los tres en conjunto es de 132 años;además el hijo mayor tiene 2 veces la edad del hijo menor y el padre tiene lasuma de la edad de sus dos hijos. ¿Cuál es la edad del padre y la de sus hijos?

106. Al iniciar la carrera de ingeniería se les realiza a los estudiantesevaluación de 50 preguntas sobre matemática. Por cada pregunta bien contestadase le suman 6 puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se le quitan3 puntos. Un alumno obtuvo 78 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió bien?

107. Un señor compró 126 bolitas en total. Si el número de bolitas blancas esel doble de las negras. ¿Cuántas bolitas de cada color compró?

108. Una envasadora de agua vende botellas de agua de 1,5 y 2 litros. Si haenvasado 16625 litros en 10000 botellas. ¿Cuántas botellas de 1,5 y 2 litros haenvasado?

109. Se venden tres cereales: soja, trigo y sorgo. En total se vendió 348 Tn. LaTn de soja se vendió a u$s 400, la de trigo a u$s 200 y la de sorgo a u$s 120. LasTn de sorgo son el 65% de las de soja. En total recibió u$s 87360 ¿Cuántastoneladas de cada cereal se vendieron?

110. La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 147 años. Ladiferencia entre la edad del padre y la suma de las edades de sus hijos es la edaddel hijo menor. Cuando el hijo menor tenga el doble de la edad actual la suma delas edades de los hijos será igual a la del padre. ¿Cuál es la edad actual de cadauno?

111. El perímetro de un rectángulo es de 420 m y sus lados están en relaciónde 2/5. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016112. Determinar las edades de dos personas sabiendo que 10 años atrás la

edad del mayor era 7 veces la edad del menor, pero que en 15 años la edad delmayor será solo 2 veces la edad del menor.

113. En una distribuidora se han envasado 16500 litros de aceite en botellas de1,5 y 3 litros. Se utilizaron 8500 botellas. ¿Cuántas botellas de 1,5 y de 3 litrosse envasaron?

114. Un hotel ofrece habitaciones simples dobles y triples. El número dehabitaciones es de 205. El día que se ocupan todas las habitaciones ingresan u$s23470. Por la habitación simple se pagó u$s 77, por la doble u$s 121 y por latriple u$s 142. El número de habitaciones simples es el 40% de las dobles.¿Cuántas habitaciones de cada tipo hay?

115. Las edades de Leonardo, Marcelo y Matías suman 113 años. Leonardotiene tres años más que Marcelo y 13 más que Matías. ¿Qué edad tiene cadauno?

116. En una habitación hay moscas y arañas. En conjunto se contaron secontaron 74 cabezas y 508 patas. ¿Cuántas arañas y moscas hay en lahabitación?

117. La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas esigual a la suma de las cifras de las decenas más el doble de las unidades. Si seinvierte el orden de las cifras el número disminuye en 297 unidades. ¿Cuál es elnúmero?

118. José tiene ahora 30 años más que Pablo. Dentro de 17 años tendrá eldoble que Pablo. ¿Cuántos años tiene ahora José y Pablo.

119. Un señor compró en el mercado determinadas cantidades de bananas,manzanas y peras, a un precio de $23, $36 y $41 por kg respectivamente. Por lacompra pagó $1699 y el peso total de la compra fue de 54 kg. Compró 3 kg másde peras que de manzanas. ¿Cuántos kg de cada fruta compró?

120. Una universidad tiene tres facultades. El número total de alumnos en launiversidad es de 3684. El número de alumnos de la tercera facultad es solo unatercera parte de los alumnos de la primera. Además la diferencia entre losalumnos de la primera y los alumnos de la segunda es inferior en 18 alumnos aldoble de la cantidad de alumnos de la tercera. ¿Cuántos alumnos tiene cadafacultad?

121. Una terminal automotriz debe comprar motores diesel, cajas de velocidady diferenciales. Le ofrecen 75 motores, 93 cajas y 70 diferenciales a u$s 382089.Le ofrecen 83 motores, 92 cajas y 75 diferenciales a u$s 420351. Le ofrecen 82motores, 86 cajas y 76 diferenciales a u$s 409270. ¿cuál es el precio cotizadopor cada conjunto?

122. Para construir un tinglado se compraron 24 columnas, 9 vigas, 54clavadores y 85 chapas y se pagaron $215280. El costo de cada columnaduplica los costos sumados de cada chapa y clavador. El costo de cada viga esequivalente a los costos sumados de dos columnas, dos clavadores y dos chapas;



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016además el costo de tres columnas equivalen al de una viga. ¿Cuál es el costo decada componente del tinglado?

123. Para una parte de una obra se compraron: 2150 tn de arena, 8590 tn depiedra y 970 tn de cemento y se pago $14739400. La misma empresa para otraparte de la obra compro: 250 tn de arena, 750 tn de piedra y 152 tn de cemento ypagó: $1654020. El costo de 1 tn de cemento es igual a la suma del costo de 4tn de arena y 3 tn de piedra. ¿Cuál es el costo de la tonelada de arena, piedra ycemento?

124. En una comisión hay 54 personas entre varones y mujeres. El número demujeres duplica al número de hombres. ¿Cuántas mujeres y varones hay en lacomisión?

125. Se desea mezclar anticongelante de $63/l con otro de $74/l para obteneranticongelante de $69,6/l. ¿Cuántos litros de cada uno hay que colocar paraobtener 6250l de anticongelante de $69,6/l?

126. Se desea envasar 3254 l de aceite en envases de 1/2l, 1l y 4l. En total sellenaran 2064 envases y los envases de 1/2l son 200 más que los de 4l. ¿Cuántosenvases de cada uno se envasaron?

127. Juan le dice a Pablo: si me das 18 libros yo tendré el doble de libros quetú. Pablo le contesta a Juan. Si tu me das 15 libros ambos tendremos la mismacantidad. Cuantos libros tenian inicialmente cada uno.

128. Si del aula 1 se pasan 3 sillas al aula 2 en el aula 1 quedan el triple desillas que en el aula 2. Si paso 2 sillas del aula 2 al aula 1 en el aula 1 queda elquintuple que en el aula 2. ¿Cuántas sillas había originalmente en cada aula?

129. El costo de una mesa, un sillón y una silla suman $4532. La mesa cuestael doble que el sillón y éste el 50% más que la silla. ¿Cuál es el costo de cadauno?

130. Una empresa vial elabora mezclas asfálticas con tres tipos de asfaltos,haciendo 3 mezclas.

Asfalto 1 Asfalto 2 Asfalto 3 Costo en u/s

Mezcla 1 3 6 1 47,73

Mezcla 2 2 5 3 50,44

Mezcla 3 4 3 3 52,54

Se pide averiguar el costo de cada asfalto.

131. Determinar un número de tres cifras sabiendo que la suma de todas lascifras es 14. Si al número dado se le resta el número que resulta de invertir suscifras se obtiene 198 y las cifras de las centenas es el doble de las cifras de lasdecenas.

132. El perímetro de un rectángulo es de 440 m. Si disminuímos las bases en¼ y la altura en el 20% el perímetro nuevo es 338 m. ¿Cuáles son lasdimensiones de ambos rectángulos?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016133. Un electricista compró cables de 3, 6 y 13 mm2. En total compró 18803

m. Los metros de cable de 3 mm2 cuadruplican a los de 13 mm2. Si el cable de 3mm2 cuesta $15/m, el de 6 mm2 cuesta $28/m y el de 13 mm2 cuesta $55/m y sepagaron $788304 por todo el cable. ¿Cuántos metros de cada cable se compró?

134. Un tallerista compró 75 elementos entre arranques, alternadores yelectroventiladores. Compró el doble de electroventiladores que alternadores.Los arranques le costaron $12310 cada uno, los alternadores $9312 cada uno ylos electroventiladores $1042 cada uno y pagó en total $463638. ¿Cuántoselementos de cada uno compró?

135. Un constructor compró 189 m2 de mosaicos para pisos. Al porcelanato lopagó $323/m2, al granito $216/m2 y el cerámico $171/m2. En total pagó $48260.Compró el doble de m2 de porcelanato que de cerámico ¿Cuántos m2 de cada tipode mosaico compró?

136. El costo de tres sillas distintas suma $2250. El costo de las dos sillas demenor valor sumados es igual al de la de mayor valor y la de valor medio es el50% más cara que la de menor valor. ¿Cuál es el costo de cada silla?

137. Una empresa adquirió mesas y escritorios; en total 47 unidades. Por cadamesa pagó $1750 y por cada escritorio $2932. ¿Cuántas mesas y escritorioscompró si pagó $104708?

138. Un señor tiene en total 262 billetes. Solo tiene billetes de 10, 20 y 50pesos y suman $5320. ¿Cuántos billetes de cada uno tiene si los de $20 son eldoble de los de $50?

139. La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 154 años. Hoy laedad del padre supera en 2 años a la suma de las edades de sus hijos, pero en 10años la suma de las edades de los hijos superaran en 8 años a la edad del padre.¿Cuál es la edad de cada uno?

140. En un instituto hay alumnos en cursos de mecánica, electricidad ycomputación. En total son 332 alumnos. Los alumnos de mecánica duplican alos de electricidad y si a electricidad se le agregan 20 alumnos, la suma de losalumnos de electricidad y mecánica es igual a la cantidad de alumnos decomputación. ¿Cuántos alumnos tiene cada curso?

141. Andrés, Beltrán y Carlos distribuyeron 6400 folletos de promoción enuna exposición. Si Carlos hubiera entregado 80 folletos más que los que entregóhubiera entregado el 50% de los entregados por Andrés. Beltrán entregó 270folletos menos que Andrés. ¿Cuántos folletos entregó cada uno?

142. En una pirámide de base rectangular la suma de las aristas es de 1600 cm.La suma de las aristas de la base es el 60% de la suma de las aristas laterales yuna arista de la base duplica a la otra. ¿Cuánto mide cada arista?

143. En un prisma rectangular la suma de todas las aristas es de 1720 m. El40% de la arista mayor más el 20% de la arista media más el 50% de la aristamás pequeña es de 153 m, y la arista media es el 70% de la mayor. ¿Cuál es lamedida de cada arista?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016144. La suma de las tres cifras de un número es 16. La cifra de las unidades

sumada a la de la decena es igual a la cifra de las centenas. Si se invierten lascifras de las unidades y las decenas el número aumenta en 54 unidades ¿Cuál esel número?

145. Las edades de tres personas sumadas llegan a 164 años. La suma de lasedades de los menores es igual a la edad del mayor y dentro de 10 años el mayortendrá el doble de la edad del menor. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

146. María tiene 26 años más que su hija, pero en 18 años tendrá el doble de laedad de su hija. ¿Qué edad tienen ahora ambas?

147. Una empresa compra cubiertas para autos camiones y equipos. En totalcompró 160 cubiertas por 213844 dólares. Las cubiertas de autos las pagó 183dólares cada una, las de camiones 605 dolares y las de equipos las pagó 4372dólares. Las cubiertas de autos sumadas a las de equipos son la misma cantidadque las de camiones. ¿Cuántas cubiertas de cada tipo se compraron?

148. En un examen un alumno obtuvo 232 puntos en 100 preguntas. Cadapregunta bien contestada vale 4 puntos y cada pregunta no contestada o malcontestada resta 2 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó bien?

149. Marcelo tiene ahora 26 años más que Juan, pero en 30 años tendrá eldoble que Juan. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

150. La suma de las tres cifras de un número es 18. La suma de las cifras delas unidades y decenas supera en dos a la de la centena, pero si se invierte elorden de la cifra el número disminuye en 693 unidades. ¿Cuál es el número?

151. En una familia la suma de las edades del padre, madre y los hijos es de145 años. La suma de las edades de los hijos supera en dos años a la edad de lamadre y en tres años menos que la edad del padre. En seis años la suma de laedad de la madre y del hijo mayor será un año menor a la suma de la edad delpadre y del hijo menor. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?

152. Para fabricar rolos de cintas transportadoras se recibió de un proveedor 4alternativas.

Propuesta Rodamiento Retenes Tubos Ejes Oferta $

1 2050 2230 1080 1025 568550

2 1980 2100 1030 1054 551168

3 1482 1412 671 717 383022

4 1632 1635 819 816 441279

¿Cuánto cotizó cada elemento?

153. Para armar una planta se necesitan en total 4510 elementos entre bulones,pernos, bujes y rodamientos. La cantidad de bulones supera en un 50% a lacantidad de pernos y bujes sumados y solo supera en un 20% a la cantidad depernos, bujes y rodamientos sumados. La cantidad de pernos menos la de bujeses de 496 ¿Cuántos elementos de cada uno se necesitan?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016154. Un empresario teatral tiene funciones en las salas 1, 2 y 3. El domingo

asistieron 345 en total y se recaudaron $95900. El costo de la entrada a la sala 1,2 y 3 es de 160, 250 y 380 pesos respectivamente. Si las personas que asistierona la sala uno hubieran ido a la dos y viceversa hubieran recaudado solo 1350pesos menos. ¿Cuántas personas hubo el domingo en cada sala?

155. Andrés, Benito y Juan deciden hacerle un regalo a Pedro. Andrés pone eldoble que Benito y Juan juntos y Juan pone el 50% más que Benito. El regalocuesta $3750 ¿Cuánto aporta cada uno?

156. Una empresa de espectáculos presenta cuatro espectáculos distintos. Elcosto del espectáculo 1, 2, 3 y 4 es de 155, 230, 285 y 360 pesosrespectivamente. El sábado concurrieron en total 500 personas y abonaron untotal de $243125. Si la cantidad de personas que concurrieron al espectáculo 1 lohubieran hecho al 2 y viceversa se hubiera recaudado $240875 pesos. Ahora si lacantidad de personas que concurrieron al espectáculo 1 la hiciera al tres, la deltres al cuatro y la de cuatro al uno se hubiera recaudado $242725. ¿Cuántaspersonas concurrieron a cada espectáculo?

157. A la cantina de la facultad llegan 11 estudiantes y piden 3 gaseosas, 5cafés y 3 licuados y pagan 255 pesos. Luego llega un segundo grupo de 7estudiantes y piden 4 gaseosas 2 cafés y 1 licuado y pagan 150 pesos; luegoentra un tercer grupo de 9 estudiantes y piden 2 gaseosas 1 café y 6 licuadospagando $295. Por último llegó un cuarto grupo de estudiantes pidiendo tresgaseosas, dos cafés y licuados pagando $290 ¿Cuál es el costo de las gaseosascafé y licuado y cuantos alumnos tenía el cuarto grupo?

158. La suma de las edades del padre la madre y sus dos hijos es de 219 años.La suma de las edades de los dos hijos iguala la edad de la madre, pero en sieteaños la suma de las edades de los dos hijos superaran en 4 años a la edad delpadre y hace 10 años el doble de la edad del padre superaba en 16 años a la sumade las edades de su esposa y sus dos hijos. ¿Cuál es la edad actual de todosellos?

159. Un tornero compró 77 insertos, 77 plaquitas y 5 porta herramientas ypagó 3573 dólares. Luego compró 96 insertos, 73 plaquitas y 3 portaherramientas y pagó 3557 dólares. Y en una tercera compra adquirió 63, 47 y 2 ypagó 2317 dólares. ¿A cuánto dólares pagó cada uno?

160. En un torneo el equipo A ganó 13, empató 4 y perdió 3 partido y tiene 93puntos. El equipo B ganó 11, empató 5 y perdió 4 y tiene 85 puntos. Y el equipoC ganó 10, empató 6 y perdió 4 partidos y tiene 82 puntos. ¿Cuántos puntos seasignan a un equipo por ganar, empatar y perder un partido?

161. Si tengo 920 monedas. Algunas de 50 centavos y otras de 25 centavos.En total suman $390. ¿Cuántas monedas de cada valor tengo?

162. Las edades de mi hermano y de mi abuelo sumadas son de 132 años. Miabuelo tiene 62 años más que mi hermano. ¿Qué edad tiene cada uno?

163. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos es 18º mayor queel otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016164. Una empresa minera posee tres explotaciones mineras con minas de la

siguiente composición:Oro% Plata% Cobre%

Mina 1 0,2 0,4 3

Mina 2 0,1 0,3 2

Mina 3 0,1 0,1 2

¿Cuántas toneladas de cada explotación minera se deben emplear para obtener 0,9 toneladas de oro, 1,9 toneladas de plata y 16 toneladas de cobre?

165. Encontrar tres números que cumplan con las siguientes condiciones. La suma de todos sea 1316, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 155 y la media de los dos últimos sea 130.

166. En un aula hay alumnos y alumnas. El número de alumnas es igual al doble de alumnos menos dos. Con seis alumnos mas en el aula habría la misma cantidad de alumnos que de alumnas. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en el aula?

167. El cociente de una división es nueve y su resto es tres. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente aumenta en 5 y ahora el resto es 1. Hallar el dividendo y el divisor.

168. La base de un rectángulo es 23 m mayor que la altura. El perímetro mide 342 m. Calcular la longitud de los lados del rectángulo.

169. Dado un número de tres cifras; la suma de sus tres cifras es 16. La suma de las cifras de las decenas y centenas es igual a las cifras de las unidades. Si al número se le suma 69 el número obtenido tiene invertida las cifras de las unidades y decenas. Calcular el número dado.

170. Si sumamos las edades de tres personas obtenemos 174 años. La edad de la menor sumada a la de la de la mediana es igual a la de la mayor. La menor tiene 25 años menos que la mediana. ¿Cuál es la edad de cada una de las tres personas?

171. María tiene 26 años más que su hija Florencia y dentro de 22 años María tendrá el doble de la edad de Florencia. ¿Cuántos años tienen María y Florencia?

172. En una granja hay patos y conejos. Si contamos 110 cabezas y 314 patas. ¿Cuántos patos y conejos hay?

173. El perímetro de un terreno rectangular es de 894 m. Si el lado mayor mide 27 m más que el otro lado. ¿Cuánto miden los lados del terreno?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016174. Tres trabajadores T1, T2 y T3. Al finalizar el mes la planilla de tareas,

contando las horas trabajadas, los viáticos y los kilómetros recorridos:

Horas de trabajo Viáticos Km recorridos

Trabajador T1 146 12 480



Todos los trabajadores son de la misma categoría y cobran lo mismo por igual tarea. El primer trabajador T1 cobró en el mes $14828, el segundo $14344 y el tercero $17058. Calcular cuanto paga la empresa por hora de trabajo, por día de viático y por km recorrido.

175. Matías, Leonardo y Pablo colocan afiches de promoción en la ciudad. Pablo coloca el 18% de los afiches. Leonardo coloca 300 afiches más que Matías. Entre Pablo y Matías colocan 1738 afiches. ¿Cuántos afiches colocó cada uno?

176. Pablo y Cecilia son hermanos. Cecilia tiene el doble número de hermanosque de hermanas y Pablo tiene un hermano más que la cantidad de hermanas. ¿Cuántos hermanos y hermanas son?

177. Se desea mezclar vino de $78 por litro con otro de $103 por litro para obtener un vino de $96,575 por litro. ¿Cuántos litros de cada uno se deben mezclar para obtener mil litros del vino mezclado?

178. Leonardo y Marcelo hablan entre si:

Marcelo: si me das dos monedas tendré la misma cantidad que tienes tú.

Leonardo: si me das dos monedas tendré el triple de las monedas que te quedan a ti.

¿Cuántas monedas tienen inicialmente cada uno?

179. Una envasadora de aceite debe envasar en botellas de 1 litro, 5 litros y 4 litros. La cantidad de botellas a llenar es de 4915 y la cantidad de litros a envasares de 12950 litros. El operario observó que la cantidad de los envases de 1 litro es el triple de los de 2 litros. ¿Cuántos envases de cada capacidad se utilizaron?

180. Una empresa constructora tiene contratado tres camiones fleteros para transportar mezcla asfáltica de la planta a la obra. Los tres camiones llevan en total 40 tn. El primer fletero cobra $25 la tonelada, el segundo $23 la tonelada y el tercero $22 la tonelada. En cada viaje la empresa paga a los camioneros un



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016total de $922 que reparten entre ellos. La carga conjunta del segundo y tercer camión triplica a la del primero. ¿Cuántas toneladas lleva cada camión? ¿Cuántocobra por viaje cada camión?

181. Para armar una transmisión hay tres opciones. La primera con 23 poleas, 9 engranajes y 69 correas y su costo es de $157283. La segunda opción es con 26 poleas, 8 engranajes y 5 correas y su costo es de $169924. La tercera opción es con 17 poleas, 5 engranajes y 85 correas y su costo es de $128987. ¿Cuál es el costo de cada una?

182. Se compró el repuesto A, B, C y D y se pagó por ellos $30000. El costo sumado de los repuestos B, C y D es igual al del repuesto A. El costo sumado deC y D más las 2/15 avas partes de A son el costo de B y si A aumenta el 25% B el 10% C el 30% y D mantiene el costo se deberá pagar $35950. ¿Cuál es el costo de cada uno?

183. Un empresario compró 8 motores Perkins, 10 Caterpillar y 13 John Deerepor 109820 dólares. En una segunda oportunidad adquirió 7 motores Perkins, 14Caterpillar y 12 John Deere por 135900 dólares. En una tercera oportunidad adquirió 20 motores Perkins, 4 Caterpillar y 3 John Deere por 765000 dólares. ¿Cuál es el precio de venta de cada motor?

184. Una colonia aislada de agricultores decidió tomar como moneda de cambio el kg de trigo. Un productor compró 10 kg de azúcar, 12 kg de arroz y 6 kg de pan y pagó con 105 kg de trigo. Otro productor compró 15 kg de azúcar, 20 kg de arroz y 7 kg de pan y pagó con 149,1 kg de trigo. Un tercero compró 8 kg de azúcar, 17 kg de arroz y 9 kg de pan y pagó con 126 kg de trigo. ¿Cuánto kg de trigo se pagó el kg de cada uno?

185. Las edades de 4 amigos suman 292 años. Las edades sumadas de Andrés y Domingo superan en 2 años a la suma de las edades de Carlos y Beltrán; en cambio el triple de la edad de Andrés más la edad de Beltrán es 28 años mayor que la edad de Domingo más el doble de la edad de Carlos. Si consideramos 8 veces la edad de Domingo sumada a la edad de Andrés estos superan en 4 años ala suma del doble de la edad de Andrés más el doble de la edad de Beltrán más elcuádruplo de la edad de Carlos ¿Qué edad tiene cada uno?

186. Un productor agropecuario compró tractores, cosechadoras y sembradoras. En total compró 20 equipos y pagó en total u$s 1690000. Observó que la sembradora cuesta 17000 dolares menos que el tractor y la cosechadora cuesta el equivalente a cuatro tractores más 1000 dólares. También razonó que lacantidad de tractores duplicaba a la cantidad de sembradoras y que las



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016sembradores triplicaban a las cosechadoras. ¿Cuántos equipos de cada uno compró y a qué valor?

187. Tres personas disponen de cierta cantidad de dinero. Entre los tres tienen $620000. La media de lo que tienen el segundo y el tercero es de $220000. La suma de lo que tienen el primero y el segundo es de $20000 menor que tiene el tercero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

188. En dos comisiones de álgebra hay en total 100 alumnos. Si de la comisión uno se pasan 12 alumnos a la comisión 2, en ambos quedan la misma cantidad de alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene cada comisión?

189. El cociente de una división es 14 y el resto 5. Si el divisor se disminuye en 3 unidades, el cociente aumenta en 5 unidades y el resto ahora es 2. Determinar dividendo y divisor.

190. La altura de un rectángulo es 27 m mayor que la base y el perímetro es 318 m. Calcular la longitud de cada lado.

191. Un señor tiene 3100 monedas, entre monedas 0,25, 0,50, 1 y 2 pesos. En total tiene $4175. La cantidad de monedas de 0,25, 0,50 y 1 pesos son igual cantidad que las de 2 pesos y la cantidad de monedas de 0,25 y 0,50 pesos sumadas son 50 más en cantidad que las de 1 peso. ¿Cuántas monedas de cada valor hay?

192. En la ferretería compré arandelas, tuercas, prisioneros y espárragos. En total 6200 elementos y pagué $30100. La cantidad de arandelas es igual a la suma de las cantidades de los tres restantes y la cantidad de espárragos es igual ala suma de tuercas y prisioneros, y las tuercas son 50 más que los prisioneros ¿Cuántos elementos de cada uno hay?

193. Un estudiante compra un libro de matemática, física y química y paga $1472. Otro estudiante pasa meses después por la misma librería y el libro de matemática aumentó el 25%, el de física un 22% y el de química un 28% y le cobran $1838 por los tres libros. Para el primer estudiante el libro de matemáticas le costo 60% más que el de física. ¿Cuánto pagó el primer estudiante por cada libro?

194. En una obra las edades del capataz, oficial, medio oficial y ayudante suman 167 años. Dentro de 10 años la edad del oficial será 5/7 de la edad del capataz y la edad del ayudante de 3/5 la edad del oficial; pero hace diez años el capataz quintuplicaba la edad del ayudante ¿Cuántos años tienen ahora cada uno?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016195. Un mecánico compró llaves martillos y destornilladores. En total compró

142 herramientas y pagó $12428. Cada llave le costó en promedio $87, cada martillo $118 y cada destornillador $74. La cantidad de martillos es ¼ de la cantidad de llaves ¿Cuántas herramientas de cada tipo compró?

196. En una facultad se cursan tres carreras: administración, informática y negocios. En total hay 2581 alumnos. Los alumnos de negocios son el 60% de los alumnos de informática y los de administración superan en un 30% a los de informática ¿Cuántos alumnos de cada carrera hay en la facultad?

197. Una empresa transporta cereales en tres camiones A, B, y C. En un día hicieron entre todos 28 viajes. El camión A transporta 10 tn por viaje, el B 28 tn y el C 25 tn. En ese día transportaron en total 544 tn de cereales. Los camiones más grandes (B y C) hicieron en conjunto solo tres viajes más que el pequeño (A) ¿Cuántos viajes hizo cada uno?

198. Dispongo de billetes de $2, $5 y $10 y en total tengo $17757 y 2595 billetes. La cantidad de billetes de 2 y 5 pesos sumados superan en 39 unidades alos de 10 pesos. ¿Cuántos billetes de cada valor tengo?

199. La sumas de las edades de mi hermano, padre y abuelo suman 103 años. Mi abuelo tiene 37 años más que mi padre y mi padre 30 años más que mi hermano. ¿Qué edad tiene cada uno?

200. En un triángulo la suma de los ángulos agudos es de 18º menor que el ángulo obtuso y el agudo mayor es el triple del agudo menor ¿Cuáles son los ángulos?

201. Una distribuidora vende botellas con detergente de 0,5, 1 y 2 litros cada una. En total se envasaron 7335 l en 5280 botellas y la cantidad de botellas de 0,5 y 1 litro sumadas son la misma cantidad que las de dos litros ¿Cuántas botellas de cada una hay?

202. Se vendieron tres productos. La tonelada del producto 1 se vende a 650 dólares; la del producto 2 a 700 dólares y la del 3 a 1250 dólares; y se reciben 231650 dólares por 240 tn de producto. Si la cantidad de toneladas sumadas del producto 2 y 3 duplican a los del producto 1 ¿Cuántas toneladas de cada producto se vendieron?

203. La suma de las edades del padre y sus dos hijos es de 75 años. La diferencia entre la edad del padre y la suma de las edades de sus hijos es la edad del hijo menor. Hace 6 años la edad del padre era el doble de la edad del hijo mayor más la edad del hijo menor. ¿Cuál es la edad de cada uno ahora?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016204. Un obrero de la construcción trabajó 195 horas comunes, 25 horas extras

comunes y 14 horas extras especiales y cobró 15109 pesos. Al mes siguiente trabajó 190 horas comunes, 10 horas extras comunes y 8 horas extras especiales y cobró 12818 pesos. Al siguiente mes trabajó 183 horas comunes, 14 horas extras comunes y 13 horas extras especiales y cobró 13340 pesos. ¿Cuánto paga la empresa cada tipo de hora?

205. En una quinta hay cerdos y gallinas. En total hay 3812 cabezas y 10304 patas. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay en la quinta?

206. Las empresas A, B, C y D adquirieron tractores, cosechadoras, sembradoras y acoplados según indica la tabla, pagando lo consignado:

A B C D

Cant. de Tractores 10 8 7 12

Cant. de Cosechadoras 4 3 2 6

Cant. de Sembradoras 3 3 2 3

Cant. de Acoplados 8 7 5 9

Pagado en u$s 3054000 2436000 1880000 3972000Determinar el costo de cada equipo agrícola.

207. Los talleres A, B, C y D adquirieron tornos, fresas, rectificadoras y sierras según indica la tabla, pagando lo indicado:

A B C D

Cant. de Tornos 15 12 23 10

Cant. de Fresas 4 4 9 2

Cant. de Rectificadoras 5 3 8 3

Cant. de Sierras 4 2 2 3

Pagado en u$s 680000 532000 1142000 416000Determinar el costo de cada una de las máquinas herramientas

208. La suma de la edad del padre, la madre y los dos hijos es 174 años. La suma de la edad del padre y la madre duplica la suma de la edad de los hijos. La suma de la edad del padre y la del hijo mayor supera en 6 años a la suma de la edad de la madre y el hijo menor. El padre es 4 años mayor que la madre y el hijo mayor es 2 años mayor que el hijo menor. ¿Cuál es la edad de cada uno de los miembros de la familia?

209. Un señor tiene 2000 monedas que suman $1300. Hay monedas de $2, de $1, de 50 centavos y de 25 centavos. La cantidad de monedas de $1 mas las de 50 centavos son la misma cantidad que la suma de las de 2$ más las de 25



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016centavos. Además las de 25 centavos son la misma cantidad que la suma de 2$ mas las de 50 centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

210. Un ingeniero compró los productos A, B, C y D y pagó $49. En una segunda etapa compró 15, 5, 10 y 8 de cada uno de ellos y pagó $423. En una tercera etapa compró 17, 7, 10 y 10 de cada uno de ellos y pagó $491. En una cuarta etapa compró 21, 6, 10 y 15 de cada uno de ellos y pagó $613. ¿cuánto es el costo de cada producto?

211. Un profesional adquirió herramientas 4 veces según la tabla adjuntaCompra 1 Compra 2 Compra 3 Compra 4

Cant. de Pinzas 1 6 10 15

Cant. de Martillos 1 10 8 10

Cant. de Destornilladores 1 15 10 20

Cant. de llaves 1 10 5 18

Pagado en u$s 98 900 880 1370¿cuál es el costo de cada herramienta?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Ejercicio 9Resolver los siguientes problemas de optimización.

Grupo P1 P2 P31 49 95 1572 50 96 1583 51 117 1794 52 118 1805 53 119 1616 54 120 1627 55 101 1638 56 137 1819 57 103 165

10 58 104 16611 59 105 16712 60 106 16813 82 184 18514 97 56 8215 102 164 18316 111 177 19917 112 178 20018 115 113 11419 144 182 18920 159 187 190



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016Problemas:

1. Se debe agregar una valla a una pared de 13,5 m de largo, como se muestra en lafigura. ¿Cuánto debe agregarse para maximizar el área del rectángulo si la valla adicional tiene una longitud de: a) 82 m, b) 127 m, c) 252 m?

2. Un recipiente cilíndrico circular está diseñado para contener 8 m3 . El material dela base y de la tapa cuesta el 31,5% más que el de su cara lateral. Halle el radio yla altura del recipiente más económico.

3. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra tres veces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de las paredes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 873 m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por el suelo)

4. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Uno de ellos tiene de ancho 2,9 m y el otro 3,6 m. Halle la máxima longitud de un tubo que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.

5. Una araña que se encuentra en el vértice A de un cubo cuya arista tiene 4 m se propone capturar una mosca en el vértice opuesto B. La araña debe caminar por la superficie del cubo sólido y debe encontrar el camino más corto. Halle el camino más corto con ayuda del cálculo. Halle el camino más corto sin hacer uso del cálculo.

6. En un triángulo equilátero de lados 2m se desea inscribir un rectángulo de mayorárea. Calcular los lados del rectángulo.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 20167. Se necesita construir un depósito de base cuadrada a cielo abierto para contener

126000 lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 11 cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?

8. Se necesita construir un depósito de base circular a cielo abierto para contener 192000 lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 12 cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?

9. Una ventana tiene la forma que indica la figura. Es rectangular en su parte inferior y su parte superior es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la ventana es de 10,3 m, ¿cuáles deben ser las medidas de a y b para que la ventanatenga un área máxima?

10. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 53 cm arriba y abajo y 37 cm a la izquierda y derecha.

El área impresa debe ser de 16,5 m2. El fabricante cobra por metro cuadrado deárea total (a x h). ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el costo seamínimo?

11. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales debe construirse con unacantidad dada de material (4 m2 ). Determínese sus dimensiones si el volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos.

12. Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a uno de los lados. Dispone de 480 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de área máxima que puede encerrar?

13. Se trata de hacer una canaleta como la de la figura, con una chapa de 10 m de longitud y 4,5 m de ancho. La canaleta se hace doblando hacia arriba tiras de 0,75 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016volumen de la canaleta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la canaleta si l = 10 m.

14. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 17 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?

15. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de la construcción por metro cuadrado de área superficial es del 43% más caro para la semiesfera que para el cilindro. Determínense las dimensiones que han de utilizarse si el volumen es de 460 m3 y el costo de construcción ha de ser el mismo. Despréciense el espesor de la pared del silo y el desperdicio producidoen la construcción.

16. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 1536 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima.

17. Si la distancia OB es de 530 m y la distancia OA es de 118 m, siendo OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,6 u$s el m y AC un camino no consolidado donde se debe seleccionar la traza y el costo de transporte por m es de 2 u$s dólares. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.

18. En la ribera de un río de 0,35 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a L=3 km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 13,5 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 25 u$s por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿si L fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas y menor costo para L=1/2, L=3/4 y L=2.

19. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 4730 cm3 El material de las caras laterales cuesta el triple que el de la tapa y el de la base. Si la base tienelado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201620. En todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de 1170 cm3 de

volumen. ¿Cuál usa menos material?

21. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 4,4 m de ancho en el lado sur y norte y de 5,3 m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrarsea máxima si son 503 ha.

22. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 376 por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 227 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 567000.

23. Sean AC y BD dos postes de 27 m y 12 m de altura respectivamente distanciados entre sí 34 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 87 $/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 98$/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo delos cables utilizados sea el mínimo.

24. Con 3320 m de alambrado se deben cercar dos corrales rectangulares idénticos. Calcular las dimensiones del cercado para que el área encerrada sea máxima.

25. Con 4032 m de alambrado se desea cercar un terreno rectangular. Uno de los lados da a un río, por lo tanto solo deben cercarse tres lados. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para abarcar la mayor área posible?

26. Dada una superficie cónica de base circular determinar cuál es el radio y la altura para que el volumen sea de 9,25 m3 y la cantidad de chapa para recubrir los laterales sea mínima.

27. El momento de inercia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho de la viga y al cubo de su altura. Determinar cuáles son lasdimensiones de la viga de madera de mayor momento de inercia que se puede obtener de un tronco de sección circular de diámetro 47 cm.

28. Se necesita armar una ventana que en su parte inferior es rectangular y en su parte superior tiene un semicírculo de diámetro igual al ancho de la ventana. Si el marco tiene 7,8 m, determinar las dimensiones de la ventana para que su superficie sea máxima.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201629. Se desea construir un camino asfaltado desde A hasta C (no necesariamente en

linea recta). Desde A a B hay AB = 9,7 km. Desde B a C hay BC = 28,3 km. Se debe seleccionar la traza más económica para el camino, teniendo en cuenta que el costo del camino desde A hasta B es de 104000 $/km y el de B a C por la traza de un camino de broza existente es de 823000 $/km.

30. Se desea cercar un terreno rectangular, donde uno de sus lados es paralelo a unacalle. El cerco que está pegando a la vereda tiene un costo de 520 $/m , encambio los otros tres lados tienen un costo de 370 $/m. Si se dispone de $$95200. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse?

31. Se desea alambrar un corral rectangular de 7200 m² el costo del alambrado porm es de: $450/m en el lado sur, $395/m en el lado norte, $415/m en el lado estey $425 en el lado oeste. Qué dimensiones debe tener el terreno para que el costodel alambrado sea mínimo.

32. Se dispone de un alambre de longitud 12 m para hacer un círculo y un cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas para que la suma de las áreascorrespondientes sea máxima?

33. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un volumen de 10 m3. La anchura de la base ha de ser de 1,2 m. El material cortado a la medida cuesta 9 u$s/m cuadrado para la base, y 6 u$s/m cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor más barato?

34. El muro representado en la figura tiene a = 6 m de alto y dista b = 18 m del edificio. ¿Qué longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?

35. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 4750 cm3

de capacidad. ¿En cuál se usa menos material?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201636. Dos pasillos de a = 4 m y b = 5 m de ancho están unidos en un ángulo recto.

Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.

37. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 80 cm de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener uncajón de máximo volumen?

38. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe tener una capacidad de V = 2100 cm3 .Hállense las dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.

39. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura porel cubo de su altura, pero no está relacionada con su longitud. Hállense las proporciones de la viga más rígida que puede cortarse de un tronco de diámetro 32 cm.

40. Un río tiene un codo de 110º, como muestra la figura. Un empresario desea construir un corral limitado en dos lados por el río y en los otros dos por 12 m devalla ABC, como se muestra en la figura. Halle las dimensiones del corral de área máxima

41. Una caja rectangular con base cuadrada debe tener una capacidad de 12 m3. El material de la tapa cuesta $370 por metro cuadrado, el material de las caras laterales cuesta $560 por m2 , y el material de la base cuesta 710 por m2. Halle las dimensiones de la caja más económica.

42. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular que tenga una capacidad de 3800 cm3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

43. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 306 m de ancho. El punto P3 está a 796 m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016instalación del cable bajo el río es del 36% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

44. Un cartel debe incluir un grabado de 5,7 m2 con márgenes de 19 cm, en la parte superior e inferior, y 16 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

45. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1 m de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando loslados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?

46. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura. Hállense las dimensiones de la viga más fuerte que pueda cortarse de un tronco cilíndrico circular de radio 50 cm.

47. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 500 cm3 . Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.

48. Un cable de 10 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

49. Cortando en dos un alambre de longitud 6 m, una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habría que cortarel alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?

50. Una porción rectangular de tierra de 2600 m2 ha de ser cercada y dividida en dospartes iguales por una cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones delrectángulo exterior requerirá la menor longitud total de las dos cercas?¿Cuántacerca se precisa?

51. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma de trapezoide con dos de sus lados de a = 6 m y la base de b = 7 m;. ¿Cuál debería ser la forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.

52. Una persona dispone de 1020 m de alambre tejido para cercar una huerta en tresde sus lados, dado que el cuarto lado da a un tapial. La huerta es rectangular o cuadrada. ¿Qué medidas se deben seleccionar en el ancho y largo para que el área encerrada sea máxima?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201653. Una hoja de papel para un cartel debe tener 20 m2 de área. Las márgenes

superior e inferior deben tener 0,4 m, y las márgenes de los lados, 0,3 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

54. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectánguloes de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo el 40% de luz por cm cuadrado que el claro, y el perímetro total es 6,2 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.

55. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 6,2 m3 de volumen. ¿Cuál requiere menos material?

56. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de chapa de acero de 3,2 mm de espesor, de base circular que tenga una capacidad de 490 m3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de chapa requerida (área de la superficie)sea mínima cuando el contenedor es (a) una contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

57. Un cable de 135 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable paraque: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

58. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 138 m3 a un costo de 930 $/m cuadrado para la base y 670 $/m cuadrado para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.

59. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de acero de 3,2 mm de espesor de 2 m de ancho y 8 m de largo cortándole un cuadrado encada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo. No considere los 4 cuadrados de desperdicio.

60. Un cable de 18 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellasun cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable paraque: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de lasáreas de las dos figuras sea mínima.

61. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una semiesfera. Elcosto de la construcción por metro cuadrado de área superficial es del 53 % máspara la semiesfera que para el cilindro. a) Determínense las dimensiones que hande utilizarse si el volumen es fijo y el costo de construcción ha de ser el mínimo.Despréciense el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en laconstrucción. b) Determine las dimensiones si el silo tiene un volumen V=670m³

62. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 4755cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado paraconstruir la lata sea mínima.

63. Si la distancia OB es de 26700 m y la distancia OA es de 9070 m, siendo OB uncamino consolidado donde el costo de transporte es de 1,73 u$s el km y AC un



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016camino no realizado donde se debe seleccionar la traza y el costo por km es de1,98 u$s. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.

64. En la ribera de un río de 0,85 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otraribera, a 8 km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta13,5 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 36,3 u$s por cada m. ¿Cuál esla forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usarcálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿siL fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace lasrutas para L=1/2, L=3/4, L=1 y L=2.

65. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 32 cm3. El material de lascaras laterales cuesta el triple que el de la tapa y el de la base. Si la base tienelado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la cajamás económica.

66. Encuentre entre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de20000 cm3 de volumen aquella que tiene menos material para construirse.

67. Se debe agregar una valla a una pared de 27 m de largo, como se muestra en lafigura. ¿Cuánto debe agregarse para maximizar el área del rectángulo si la vallaadicional tiene una longitud de: a) 106 m, b) 159 m, c) 295 m?

68. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 52 m3. El material de labase y de la tapa cuesta el 35% más que el de su cara lateral. Halle el radio y laaltura del recipiente más económico.

69. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra cuatroveces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de lasparedes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 1244m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por elsuelo)

70. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Uno de ellos tiene de ancho 2,8 m y el otro 3,3 m. Halle la máxima longitud de un tubo que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201671. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 3540 cm3

de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

72. Dos pasillos de 5,1 m y 6,6 m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.

73. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 1,25 m de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener uncajón de máximo volumen?

74. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe contener 12357 cm3. Hállense las dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.

75. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura porel cubo de su altura, pero no está relacionada con su longitud. Hállense las proporciones de la viga más rígida que puede cortarse de un tronco de diámetro 47 cm.

76. Un río tiene un codo de 124º, como muestra la figura. Un empresario desea construir un corral limitado en dos lados por el río y en los otros dos por 17,4 m

de valla ABC, como se muestra en la figura. Halle las dimensiones del corral de área máxima

77. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales ha de construirse con una cantidad dada de material (43 m2 ). Determínese sus dimensiones si el volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos.


79. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 16 m de longitud y 9 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1,65 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la pileta si l = 16 m.




80. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 59 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?

81. Una araña que se encuentra en el vértice A de un cubo cuya arista tiene 3,2 m se propone capturar una mosca en el vértice opuesto B. La araña debe caminar por la superficie del cubo sólido y debe encontrar el camino más corto. Halle el camino más corto con ayuda del cálculo. Halle el camino más corto sin hacer uso del cálculo.

82. En una oficina de correos solo admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la altura sea igual al ancho y, además, la suma de sus tres dimensiones debe ser 104cm. Determinar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

83. Se necesita construir un depósito de base cuadrada a cielo abierto para contener 2063000 lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 10 cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?





CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201686. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 51

m arriba y abajo y 42 m a la izquierda y derecha.

El área impresa debe ser de 29 m2. El fabricante cobra por metro cuadrado de área total (axh). ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el costo sea mínimo?

87. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 3,3 m de ancho en el lado sur y norte y de 4,4 m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrarsea máxima si el campo tiene 306 ha.

88. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 940 por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 576 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 238000.

89. Sean AC y BD dos postes de 23 m y 12 m de altura respectivamente distanciados entre sí AB = 27 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cablesde acero de 220 $/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 281 $/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.


91. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1,22 m de lado, se hace una caja sin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 201692. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura

por el cuadrado de su altura. Hállense las dimensiones de la viga más fuerte que pueda cortarse de un tronco cilíndrico circular de radio 28 cm.

93. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 395 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.

94. Un cable de 4,8 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

95. Cortando en dos un alambre de longitud 9,8 m, una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habría que cortar el alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?

96. Una porción rectangular de tierra de 1670 m2 ha de ser cercada y dividida en dospartes iguales por una cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requerirá la menor longitud total de las dos cercas?¿Cuánta cerca se precisa?

97. De todos los pares de números reales cuyas componentes suman 106, encontrar aquellos pares para el cual su producto sea máximo.

98. Se dispone de un alambre de longitud 23 m para hacer un círculo y un cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas para que la suma de las áreascorrespondientes sea máxima?

99. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un volumen de 7,58 m3. La anchura de la base ha de ser de 2,6 m. El material cortado a la medida cuesta 16,4 u$s por metro cuadrado para la base, y 10,3 u$s por metro cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor más barato?

100. El muro representado en la figura tiene 14 m de alto y dista 36 m del edificio. ¿Qué longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?




CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016102. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular

que tenga una capacidad de 1250 m3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.

103. Un cable de 315 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.

104. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 275 m3 a un costo de 785 $/m cuadrado para la base y 632 $/m para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.

105. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de 1,22 m de ancho y 2,44 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.

106. Un cable de 13,32 m de longitud se corta en dos partes formando con unade ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

107. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 16,6 m3. El material de la tapa cuesta 952 m2, el material de las caras laterales cuesta 1132 m2, y el material de la base cuesta 1723 m2. Halle las dimensiones de la caja máseconómica.

108. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular quetenga una capacidad de 12735 cm3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

109. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 820 m de ancho. El punto P3 está a 1945 m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 42% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

110. Un cartel debe incluir un grabado de 11,4 m2 con márgenes de 24 cm, en la parte superior e inferior, y 18 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

111. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 13,45 m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?

112. De una chapa se desea cortar un sector circular de la mayor área posible y cuyo perímetro sea 8,7 m. Determinar el radio r del sector circular de área máxima.




113. Una viga de longitud L tiene un extremo empotrado en un muro, mientrasque el otro se mantiene en el aire. Si la viga pesa 54 kg/m, su flexión a una distancia x del extremo empotrado satisface la ecuación y = (54/48EI)(2,2x4 – 4,8Lx3 + 3L2x2), donde E e I son constantes que dependen del material de la vigay la forma de su sección transversal. ¿A qué distancia del extremo empotrado se da la máxima flexión?

114. Un cilindro circular recto de diámetro d y altura h, con un domo semiesférico encima, constituye un contenedor cerrado. Hállese la relación entre d y h que maximiza el volumen para un área superficial dada. Ejemplificar con A=60 m³.

115. Un contratista que está removiendo tierra de una gran excavación puede conducir sus camiones por dos carreteras distintas. Hay que remover 73000 m3 de tierra. Cada camión carga 12 m3. Por una ruta, el costo por cada carga es de 1 + 2,25 x2 centavos de dólar cuando x camiones usan la ruta; la función registra los gastos por congestión. Por la otra ruta, el costo es de 1,97 + 0,96 x2 centavos de dólar por carga cuando x camiones usan la ruta. ¿Cuántos camiones deben despacharse por cada una de las dos rutas?

116. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho por el cubo de la altura de su sección. ¿De qué forma debe cortarse la vigade un tronco circular recto de radio r con el fin de que la rigidez de la viga sea máxima? Ejemplifique si r = 27 cm.

117. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma detrapezoide con dos de sus lados de 10,3 m y la base de 12,9 m. ¿Cuál debería serla forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.

118. Una persona dispone de 370 m de alambre tejido para cercar una huerta en tres de sus lados, dado que el cuarto lado da a un tapial. La huerta es rectangular o cuadrada. ¿Qué medidas se deben seleccionar en el ancho y largo para que el área encerrada sea máxima?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016119. Una hoja de papel para un cartel debe tener 18,5 m2 de área. Las

márgenes superior e inferior deben tener 0,52 m, y las márgenes de los lados, 0,38 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

120. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo el 36% de luz por pie cuadrado que el claro, y el perímetro total es 10,4 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.

121. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 15,2 mde longitud y 8 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1,35 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la pileta si l =11 m.

122. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 6,6 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?

123. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de la construcción por metro cuadrado de área superficial esdel 49 % más para la semiesfera que para el cilindro. Determínense las dimensiones que han de utilizarse si el volumen es de 1280 m³ y el costo de construcción ha de ser el minimo. Despréciense el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en la construcción.

124. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 2714 cm3 . Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima. El material de las tapas cuesta el 25% menos que el lateral. El costo del lateral es de 0,3 u$s/m².

125. Si la distancia OB es de 14750 m y la distancia OA es de 3410 m, siendo OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,63 u$s el km y AC un camino no realizado donde se debe seleccionar la traza y el costo por km es de 2,17 u$s el km. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.

126. En la ribera de un río de 0,53 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a 5,4 km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 21,4 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 32,7 u$s por cada m.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿si L fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para L=1/2, L=3/4, L=1 y L=2.

127. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 16350 cm3 . El material de las caras laterales cuesta el 1,74 veces que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.

128. Encuentre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de4757 cm3 de volumen. ¿En cuál se usa menos material? Calcule la medida de la base y la altura.

129. Se debe agregar una valla a una pared de 42 m de largo, como se muestraen la figura. ¿Cuánto debe agregarse para maximizar el área del rectángulo si la valla adicional tiene una longitud de: a) 406 m, b) 523 m, c) 673 m?

130. Un recipiente cilíndrico de base circular está diseñado para contener 27,2m3 . El material de la base y de la tapa cuesta el 21,5% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.

131. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un volumen de 4,44 m3. La anchura de la base ha de ser de 1,35 m. El material cortado a la medida cuesta 25,13 u$s/m por metro cuadrado para la base, y 16,4 u$s/m cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor másbarato?

132. El muro representado en la figura tiene 4,8 m de alto y dista 15,3 m del edificio. ¿Qué longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?

133. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 7642 cm3 de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

134. Dos pasillos de 4,8 m y 6,3 m de ancho están unidos en un ángulo recto. Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por esa esquina.




135. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 1,63 m de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?

136. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe contener 4440 cm3 . Hállense las dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.

137. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cubo de su altura, pero no está relacionada con su longitud. Hállense las proporciones de la viga más rígida que puede cortarse de un tronco de diámetro 28 cm.

138. Un río tiene un codo de 137º, como muestra la figura. Un empresario desea construir un corral limitado en dos lados por el río y en los otros dos por 23,3 m de valla ABC, como se muestra en la figura. Halle las dimensiones del corral de área máxima

139. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales ha de construirse con una cantidad dada de material (36 m2 ). Determínese sus dimensiones si el volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos.


141. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra 3,13 veces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de las paredes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 1094 m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por el suelo)

142. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Unode ellos tiene de ancho 3,75 m y el otro 4,44 m. Halle la máxima longitud de un tubo que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.




143. Una araña que se encuentra en el vértice A de un cubo cuya arista tiene 0,53 m se propone capturar una mosca en el vértice opuesto B. La araña debe caminar por la superficie del cubo sólido y debe encontrar el camino más corto. Halle el camino más corto con ayuda del cálculo. Halle el camino más corto sin hacer uso del cálculo.

144. Una huerta tiene actualmente 30 árboles que producen 800 frutos cada uno. Se tiene que por cada árbol adicional plantado en la huerta la producción decada árbol disminuye en 12 frutas. ¿Cuál debe ser la cantidad de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?

145. Se necesita construir un depósito de base cuadrada a cielo abierto para contener 1732000 lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 13,5 cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?



148. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 67 m arriba y abajo y 51 m a la izquierda y derecha.




El área impresa debe ser de 46,4 m2. El fabricante cobra por metro cuadrado de área total (axh). ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el costo sea mínimo?

149. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 5,2 m de ancho en el lado sur y norte y de 5,7 m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si son 406 ha.

150. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 603, por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 376 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 216000.

151. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos de un río recto de 515 m de ancho. El punto P3 está a 4236 m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 37,9% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?

152. Un cartel debe incluir un grabado de 11 m2 con márgenes de 28 cm, en la parte superior e inferior, y 18 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.

153. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1,10 m de lado, se hace una cajasin tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?

154. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura. Hállense las dimensiones de la viga más fuerte que pueda cortarse de un tronco cilíndrico circular de radio 48 cm.

155. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 354 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.

156. Un cable de 36,4 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

157. Cortando en dos un alambre de longitud 9,6 m, una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habríaque cortar el alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?

158. Una porción rectangular de tierra de 3750 m2 ha de ser cercada y divididaen dos partes iguales por una cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requerirá la menor longitud total de las dos cercas?¿Cuánta cerca se precisa?

159. Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 12 m² de superficie. El metro lineal de los tramos horizontales cuesta $640 y el de los tramos verticales $960. a) Calcular las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Calcular el costo del marco.

160. Se dispone de un alambre de longitud 14,9 m para hacer un círculo y un cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas para que la suma de las áreas correspondientes sea máxima?

161. Una hoja de papel para un cartel debe tener 41 m2 de área. Las márgenes superior e inferior deben tener 0,57 m, y las márgenes de los lados, 0,49 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

162. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite el 29% de luz por metro cuadrado que el claro, y el perímetro total es 11,7 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.


164. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular que tenga una capacidad de 1306 m3 . Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.


166. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 603 m3 a un costo de 1276 $/m cuadrado para la base y 953 $/m cuadrado para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.

167. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de 2,7 m de ancho y 10,7 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016168. Un cable de 29 m de longitud se corta en dos partes formando con una de

ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

169. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 34,7 m3. El material de la tapa cuesta 372$/m2 , el material de las caras laterales cuesta 462 $/m2 , y el material de la base cuesta 713 m2. Halle las dimensiones de la caja más económica.

170. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular quetenga una capacidad de 26710 cm3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.

171. Con 5219 m de alambrado se desea cercar un terreno rectangular. Uno delos lados da a un río, por lo tanto solo deben cercarse tres lados. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para abarcar la mayor área posible?

172. Dada una superficie cónica de base circular determinar cuál es el radio y la altura para que el volumen sea de 5,29 m3 y la cantidad de chapa para recubrirlos laterales sea mínima.

173. El momento de inercia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho de la viga y al cubo de su altura. Determinar cuáles son las dimensiones de la viga de madera de mayor momento de inercia que se puede obtener de un tronco de sección circular de diámetro 57 cm .

174. Se necesita armar una ventana que en su parte inferior es rectangular y ensu parte superior tiene un semicírculo de diámetro igual al ancho de la ventana. Si el marco tiene 13,4 m, determinar las dimensiones de la ventana para que su superficie sea máxima.

175. Se desea construir un camino asfaltado desde A hasta C. Desde A a B hayAB= 10,3 km. Desde B a C hay BC = 29,4 km. Se debe seleccionar la traza más económica para el camino, teniendo en cuenta que el costo del camino desde A hasta B es de 942000 $/km y el de B a C por la traza de un camino de broza existente es de 645000 $/km.

176. Se desea cercar un terreno rectangular, donde uno de sus lados es paralelo a una calle. El cerco que está pegando a la vereda tiene un costo de 786 $/m, en cambio los otros tres lados tienen un costo de 603 $/m. Si se dispone de $142170. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse?



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016177. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma

de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 9,9 m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?


179. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma detrapezoide con dos de sus lados de 8,3 m y la base de 9,9 m. ¿Cuál debería ser la forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.

180. Una persona dispone de 1240 m de alambre tejido para cercar una huertaen tres de sus lados, dado que el cuarto lado da a un tapial. La huerta es rectangular o cuadrada. ¿Qué medidas se deben seleccionar en el ancho y largo para que el área encerrada sea máxima?

181. Una hoja de papel para un cartel debe tener 27 m2 de área. Las márgenes superior e inferior deben tener 0,35 m, y las márgenes de los lados, 0,27 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?

182. Entre todos los recipientes cilíndricos circulares sin tapa y de 12,4 m3 de volumen. ¿Cuál requiere menos material? ¿Cuáles son las meddidas del diámetro de la base y la altura?

183. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular que tenga una capacidad de 646 m3. Hallar sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.




CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016185. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos

cuadrados para que tenga una capacidad de 535 m3 a un costo de 1032 $/m cuadrado para la base y 858 $/m cuadrado para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.

186. Encuentre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de2444 cm3 de volumen. ¿En cuál se usa menos material?

187. Dos coches circulan por dos carreteras perpendiculares. El primero sale de la ciudad A a 125 km/h y el segundo de la ciudad B a 140 km/h en sentido al cruce de ambas carreteras. La distancia de A hasta el cruce es de 130km. ¿En qué momento la distancia entre los dos coches es mínima?

188. Un vendedor de rodamientos ha observado que si vende sus rodamientos a $18 es capaz de vender 1000 unidades diarias, pero que por cada peso que aumenta el precio, disminuye en 70 unidades la venta diaria de rodamientos. Porotra parte a él le cuesta $9 fabricar un rodamiento. Averiguar a qué precio ha de poner para obtener el máximo beneficio.

189. Determinar dos números tales que el cuadrado de uno multiplicado por elotro sea máximo, si la suma de dichos números es 60,

190. Un agricultor sabe que si vende su cosecha hoy podrá recoger 65000 kg yle pagarán al precio de 18 $/kg. Por cada dia que espere, la cosecha disminuirá en 600 kg, pero el precio aumentará en 2 $/kg. ¿Cuántos días deberá esperar paraobtener el máximo beneficio?

191. Sean AC y BD dos postes de 37,5 m y 16,4 m de altura respectivamente distanciados entre sí AB = 50 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cablesde acero de 136 $/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 168 $/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.





193. Con 2429 m de alambrado se desea cercar un terreno rectangular. Uno delos lados da a un río, por lo tanto solo deben cercarse tres lados. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para abarcar la mayor área posible?

194. Dada una superficie cónica de base circular determinar cuál es el radio y la altura para que el volumen sea de 7,24 m3 y la cantidad de chapa para recubrirlos laterales sea mínima.

195. El momento de inercia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al ancho de la viga y al cubo de su altura. Determinar cuáles son las dimensiones de la viga de madera de mayor momento de inercia que se puede obtener de un tronco de sección circular de diámetro 44 cm.

196. Se necesita armar una ventana que en su parte inferior es rectangular y ensu parte superior tiene un semicírculo de diámetro igual al ancho de la ventana. Si el marco tiene 8,9 m, determinar las dimensiones de la ventana para que su superficie sea máxima.

197. Se desea construir un camino asfaltado desde A hasta C. Desde A a B hayAB = 30 km Desde B a C hay BC = 67 km. Se debe seleccionar la traza más económica para el camino, teniendo en cuenta que el costo del camino desde A hasta B es de 1004323 $/km y el de B a C por la traza de un camino de broza existente es de 747000 $/km.



CURSO DE CIVIL TURNO TARDE 2016198. Se desea cercar un terreno rectangular, donde uno de sus lados es

paralelo a una calle. El cerco que está pegando a la vereda tiene un costo de 1030 $/m, en cambio los otros tres lados tienen un costo de 794 $/m. Si se dispone de $246540. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse?

199. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 9,46 m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?


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