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13/06/2011 Página 1 de 15 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS
CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD 6. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
CONTENIDO 6.1 INTRODUCCIÓN 6.2 DEFINICIÓN Y NOTACIÓN 6.2.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.2.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 6.3 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMACIÓN DE LA PLACE 6.3.1 TEOREMA: PROPIEDAD DE LINEALIDAD 6.3.2 TEOREMA: PROPIEDAD DE TRANSLACIÓN 6.3.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 6.4 LA TRANSFORMADA INVERSA 6.5 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE DERIVADAS E INTEGRALES 6.5.1 TEOREMA: DERIVACION DE F(t) - Primera Derivada 6.5.2 TEOREMA: SEGUNDA DERIVADA DE F(t)
6.5.3 TEOREMA: INTEGRACIÓN DE F(t)
6.6 TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 6.7 FRACCIONES PARCIALES 6.7.1 CASO-1 Factor real no repetido (s-a)
6.7.2 CASO-2 Factor real repetido (s-a)2
6.7.3 Factores Complejos- Expresión para la raíz imaginaria
6.7.4 CASO-3 Factor complejo no repetido [(S-a) (S-ā)] 6.7.5 CASO-4 Factor complejo repetido [(S-a) (S-ā)]2
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UNIDAD 6
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 6.1 INTRODUCCIÓN La transformada de Laplace es una integral, que al ser aplicada a una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes, la transforma en una ecuación algebraica, resultando como consecuencia, una manipulación más sencilla y adecuada para el desarrollo de ciertos tipos de problemas de valor inicial, puesto que una ecuación algebraica es más sencilla de resolver que una ecuación diferencial. Desarrollar una ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace, es menos dispendioso y más apropiado cuando el término independiente en la ecuación diferencial es una función continua por tramos, o sea que, presenta algunas discontinuidades finitas. 6.2 DEFINICIÓN Y NOTACIÓN 6.2.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea f(t) una función definida para todos los valores positivos de t, entonces, si se hace corresponder una nueva
función a f(t) tal que, F(S) = )( 0
S dttte f∫ −∞
, a la correspondencia u operación sobre f(t) se le llama ¨ Transformación de Laplace¨ y a la nueva función se le llama Transformada de Laplace de f(t) .
La anterior correspondencia se denotará por la expresión siguiente: F(S) = L (f(t)) = dt fe )t(
0
t S ∫∞ −
6.2.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ∞
6.2.2.1 Sea f(t) = 1, para t > 0, entonces: L (f(t)) = dt e
0
tS ∫∞ −
= - S1 e- S t
0 = S1 = F(S), o sea que:
∞
6.2.2.2 Sea f(t) = t , para t > 0, entonces: L (f(t)) = dt t e
0
tS ∫∞ −
= [S-
e t tS -
+S1 (-
S1 e- S t) ]
0 = 2S1 = F(S), o
sea que:
6.2.2.3 Sea f(t) = e a t , para t > 0, entonces: L (f(t)) = dt e e ta
0
ts ∫∞ −
= dt e
0
ts)-(a∫∞
= Sa
1−
[ e(a- s) ∞- e(a- s) 0]
L (f(t)) = Sa
1−− =
a - S1 = F(S), o sea que:
L (1) = S1
L (t) = 2
1S
L (e a t) = a-S
1
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6.2.2.4 Sea f(t) = Sen(b t) , para t > 0, entonces: L (f(t)) = dt Sen(bt) e
0
ts ∫∞ −
∞
[ 22
ts
(b)(-S)e+
−
(- S Sen(bt) – b Cos(bt) ] 0 = 22 bSb+
, o sea que :
6.2.2.5 Sea f(t) = Cos(b t) , para t > 0, entonces: L (f(t)) = dt Cos(bt) e
0
ts ∫∞ −
∞
[ 22
ts
(b)(S)e+
−
(- S Cos(bt) + b Sen(bt) ] 0 = 22 bSS+
, o sea que :
6.2.2.6 Hallar la transformada de f(t)) = Sen(w t + θ)
L (f(t)) = dt )Sen(wt e
0
ts θ+∫∞ −
; hacemos wt + θ = Z ; w dt = dZ ; reemplazando en la integral, tendremos:
we
Swθ d )ZSen( e
0w
SZ
∫∞ −
; haciendo a = wS − ; la integral quedará:
we
Swθ
dZ )ZSen( e
0
Za∫∞
Desarrollando la integral y volviendo a las variables iniciales antes de reemplazar los límites: ∞
F(S) = 22
tS -
wSe w+
[ - wS
Sen(wt + θ) – w Cos(wt + θ)] 0 = 22 wS)Cos( w )Sen( S
+θ+θ
6.2.2.7 Sea f(t) = t n , en donde (n ≥ 0) , para t > 0, entonces: L (f(t)) = dt te n
0
ts ∫∞ −
, hacemos s t = z ; t = z/s
Tomando diferenciales, tendremos: dt = dz/s, reemplazando en la integral, esta quedará:
s
dz ][ e nsz
0
z ∫∞ −
= 1ns1+
dz z e n
0
z ∫∞ −
= 1ns1+ 1ns
)1n(+
+Γ = 1ns n+
!
6.2.3 ALGUNAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE A continuación se encuentra una lista de transformadas sencillas, las cuales serán utilizadas a través del desarrollo de la unidad.
f(t) F(S) = L (f(t)) f(t) F(S) = L (f(t))
1 S1 t e a t 2)aS(
1−
t 2
1S
Sen(b t) 22 b Sb+
t2 3s 2 !
Cos(b t) 22 b SS+
t n 1ns n+
! Senh(a t) 22 a - S
a
e a t a - S1 Cosh(a t) 22 a - S
S
L (Sen(b t)) = 22 b S
b+
L (Cos(b t)) = 22 b S
S+
L (tn) = 1ns n+
!
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6.3 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMACIÓN DE LA PLACE 6.3.1 TEOREMA: PROPIEDAD DE LINEALIDAD Sean f1(t) y f2(t) dos funciones para los que existe la transformada de Laplace y C1 , C2 dos constantes, entonces se tiene que: L [ C1 f1(t) + C2 f2(t) ] = C1 L [ f1(t)] + C2 L [ f2(t)] EJEMPLO: La función Sen2 (bt) se puede simplificar a ½ - ½ Cos (2bt), por lo tanto, la transformada de la
función será igual a: L [Sen2 (bt)] = L (½) - L (½ Cos (2bt)) = L (½) - ½ L (Cos (2bt)) = S 2
1 - ½ 22 b4SS+
Luego: L [Sen2 (bt)] = )b4S(S
b222
2
+
La función Cos2 (bt) se puede simplificar a ½ + ½ Cos (2bt), por lo tanto, la transformada de la función será
igual a: L [Cos2 (bt)] = L (½) + L (½ Cos (2bt)) = L (½) + ½ L (Cos (2bt)) = S2
1 + ½ 22 b4SS+
L [Cos2 (bt)] = )b4S(S
b2 S22
22
++
6.3.2 TEOREMA: PROPIEDAD DE TRANSLACIÓN Si F(S) = L (f(t)) existe para S > c, entonces L [ea t f(t)) ] existe para S > a + c y L [e a t f(t)) ] = F(s-a)
De otra forma: L – 1 ( F( s-a) ) = e a t f(t)), o sea que, la traslación de S a S-a de la transformada corresponde a la multiplicación de la función original f(t) por e a t.
F(s-a) = dt f e (t)
0
ta) - (s ∫∞ −
= dt )f (e e (t) ta
0
ts ∫∞ −
6.3.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 6.3.3.1 Hallar la transformada de e a t, Sabemos que: L (1) =
S1 , entonces: L (1 e a t) =
aS1−
, por lo tanto: L (e a t) = aS
1−
6.3.3.2 Hallar la transformada de e a t tn
Sabemos que: L (tn) = 1ns n+
! , entonces: L ( ea t tn ) = 1na)-(s n
+
!
6.3.3.3 Hallar la transformada de Cosh (at)
Se conoce que: Cosh (at) = [2
e e ta - ta +], por lo tanto, L (Cosh (at)) = L [
2e e ta - ta +
]= ½ L (ea t) + ½ L (e-a t)
Luego, L (Cosh (at)) = ½ aS
1−
+ ½ aS
1+
= 22 aS
S−
6.3.3.4 Problema: Sea f(t)) = K , para 0 < t < C y f(t)) = 0 , para t > C Aplicando la transformada de la Place a la función, tendremos:
L (f(t)) = ∫∞
0 (t) tS - dt f e = ∫
C
0
tS - dtK e + ∫∞
C
tS - dt (0) e
c
F(S) = - tS -e SK 0 =
SK [1 – e-C S ]
f(t)
K
c t(seg.)
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6.4 LA TRANSFORMADA INVERSA A la operación inversa a la transformación de Laplace se le llamará transformada inversa de Laplace y se denotará por L – 1 (F(S)), entonces se puede expresar que: f(t) = L – 1 (F(S)), la función en el dominio del tiempo es igual al transformada inversa de la correspondiente transformada de Laplace.
6.4.1 Hallar la transformada inversa, si F(S) = 3S
5+
; Solución: f(t) = L – 1 (3S
5+
) = 5 L – 1 (3S
1+
) = 5 e- 3 t
Por lo tanto: f(t) = 5 e- 3 t
6.4.2 Hallar la transformada inversa, si F(S) = 16S
22 +
; Solución: f(t) = L – 1 (16S
22 +
) = ½ L – 1 (16S
42 +
)
Por lo tanto: f(t) = ½ Sen(4 t)
6.4.3 Hallar la transformada inversa, si F(S) = 4S
4 - S2 −
; Solución: f(t) = L – 1 (4 S
4 - S2 −
)
f(t) = L – 1 [(4 S
S2 −
) – (4 S
42 −
)] = L – 1 [ 22 2S S−
] – L – 1 [ 22
2
2S2−
)] = Cosh(2t) – 2 Senh(2t)
6.4.4 Hallar la transformada inversa, si F(S) = b)-(S )aS(
1−
, para a ≠ b
Por fracciones parciales: Sí F(S) = )S(
)S(
HG
, en donde: G(S) = 1 y H(S) = (S-a) (S-b) = S2-bS-aS-ab , H´ = 2S-a-b
Entonces: b)-(S )aS(
1−
= a - S
A + b - S
B , en donde: A = )a(
)a(
HG′
= a- b- )a(2
1 = b- a
1
B = )b(
)b(
HG′
= a- b- )b(2
1 = a- b
1 , por lo tanto: b)-(S )aS(
1−
= a-Sb - a
1
+ b - Sa - b
1
= b- a
1 [a-S
1 - b-S
1 ]
Por lo tanto, f(t) = L – 1 [ b- a
1 (a - S
1 - b-S
1 )] = b-a
1 L – 1(
a-S1 ) - L – 1(
b - S1 ) =
b- a1 [ e - a t - e - b t ]
Algunas transformadas inversas:
F(S) L -1 (F(S)) = f(t)
22 b )aS(b+−
e a t Sen(bt)
22 b )aS()aS(+−
− e a t Cos(bt)
22 b - )aS(b
− e a t Senh(bt)
22 b - )aS()aS(
−− e a t Cosh(bt)
222 )b S(bS2+
t Sen(bt)
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222
22
)b S(bS
+− t Cos(bt)
222
3
)b S(b2+
Sen(bt) – b t Cos(bt)
222
2
)b S(bS2+
Sen(bt) + b t Cos(bt)
222 )b )aS(()aS(b2
+−− e a t t Sen(bt)
6.5 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE DERIVADAS E INTEGRALES La transformada de Laplace es un operador que también se puede aplicar a derivadas o integrales de funciones del tiempo 6.5.1 TEOREMA: DERIVACION DE F(t) - Primera Derivada Si f(t) es una función continua o seccionalmente continua y existe f ´
(t), entonces:
Demostración: L (f ´(t)) = ∫
∞′
0 (t) tS - dt f e , aplicando la derivación por partes, hacemos u = e- S t y dv = f ´
(t) dt.
Entonces: du = - S e- S t dt y v = f(t) , reemplazando en la integral tendremos: ∞ ∞ ∞ L [ f ´
(t)] = f(t) e- S t 0 - ∫∞
0 (t) tS - dt f )(-se = f(t) e- S t 0 + S ∫
∞
0 (t) tS - dt f e = f(t) e- S t 0 + S L (f(t))
L [ f ´(t)] = S L (f(t)) + f(∞) e- S ∞ - f(0) e- S 0 = S L (f(t)) - f(0)
6.5.2 TEOREMA: SEGUNDA DERIVADA DE F(t) Si f(t) es una función continua o seccionalmente continua y existe f ´
(t), f ´´(t)entonces:
Demostración: Sea f ´(t) = g(t) , (A), entonces, f ´´
(t) = g´(t), (B); y por el teorema anterior: L [ g´
( t )] = S L (g ( t )) - g ( 0 ), (C) Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación B, y recordando la transformada de Laplace de la primera derivada, tendremos: L [ f ´´
(t)] = L [ g´( t )] = S L (g ( t )) - g ( 0 ) , luego L [ f ´´
(t)] = S L (g ( t )) - g ( 0 ) , reemplazando la ecuación A, en esta última ecuación quedará: L [ f ´´
(t)] = S L (f ´(t) ) - f ´
( 0 ) , reemplazando nuevamente la transformada de Laplace de la primera derivada, la ecuación quedará: L [ f ´´
(t)] = S[S L (f(t)) - f( 0 ) ] - f ´( 0 ) = S2 L (f(t)) - S f( 0 ) - f ´
( 0 ). NOTA: Utilizando un procedimiento similar al anterior podremos encontrar que: EJEMPLOS: Utilizando algunos de estos teoremas podremos encontrar las transformadas de Laplace de algunas funciones adicionales. Por ejemplo:
L [ f ´( t )] = S L (f(t)) - f( 0 )
L [ f ´´(t)] = S2 L (f(t)) - S f( 0 ) - f ´
( 0 )
L [ f ´´´(t)] = S3 L (f(t)) - S2 f( 0 ) - Sf ´
( 0 ) - f ´´( 0 )
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Sea f(t) = t Sen(bt) , por lo tanto, f( 0 ) = 0, si derivamos, la primera derivada quedará: f ´(t) = b t Cos(bt) + Sen(bt) y f ´(0) = 0, si derivamos nuevamente, la segunda derivada quedará: f ´´
(t) = 2b Cos(bt) – b2 t Sen(bt) Si aplicamos el teorema de la transformada a la segunda derivada, tendremos: L [ f ´´
(t)] = 2b L ( Cos(bt)) – b2 L (f(t)) = S2 L (f(t)) - S f( 0 ) - f ´( 0 ) , o sea que:
2 b 22 b SS+
– b2 L (f(t)) = S2 L (f(t)) – 0 – 0, reagrupando y despejando, tendremos
De igual forma:
6.5.3 TEOREMA: INTEGRACIÓN DE F(t)
Sí f(t) es continua o seccionalmente continua y g(t) = ∫t
0 (t) dt f , existe y es continua, entonces:
L (g(t)) = L [ ∫t
0 (t) dt f ] = S1 L (f(t))
Ejemplo: Aplicación de la fórmula en la determinación de la transformada inversa:
Sea, F(S) = )w(S S
1222 +
= L (f(t)) , determinar: f(t)
Se conoce que: L – 1( 22 w S1+
) = w1 Sen (wt) = g(t) , o sea que: L [ g(t) ] = ( 22 w S
1+
)
t
Por lo tanto: S1 L (g(t)) =
S1 ( 22 w S
1+
) = ∫t
0 (t) dt g = ∫t
0 w1 dt Sen(wt) = w
1− Cos(wt) 0 = cos(wt))-(1 2w1
O sea que: L – 1 [S1 ( 22 w S
1+
)] = cos(wt))-(1 2w1 , sí aplicamos nuevamente la fórmula al resultado obtenido
S1 [
S1 ( 22 w S
1+
)] = 2S
1 ( 22 w S1+
) = ∫t
0 w1 dt Cos(wt) 2 = 2w
1 ( t - w1 Sen(wt) )
Finalmente: f(t) = L – 1[2S
1 ( 22 w S1+
)] = 2w1 ( t -
w1 Sen(wt) )
6.5.3 .1 PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determinar f(t) , sí F(S) = S S
12 +
Si tomamos la transformada inversa tendremos: L – 1 [SS
12 +
] = L – 1 [S1 (
1S1
2 +)], por otro lado,
t
L – 1 (1 S
12 +
) = e – t , entonces: L – 1 [S S
12 +
] = ∫t
0
t- dt e = - e – t 0 = 1 - e – t , por lo tanto:
L (t Sen(bt)) = 222 )b S(S b 2
+ L (t Cos(bt)) = 222
22
)b S(bS
+−
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f(t) = L – 1 (1 S
12 +
) = (1 - e – t )
2. Determinar f(t) , sí F(S) = S1 (
a Sa - S
+)
Si tomamos la transformada inversa tendremos: L – 1 [S1 (
aSa - S
+)] = L – 1 [(
aS1+
) - S1 (
a Sa+
)]
= L – 1 [(a S
1+
)] - L – 1 [S1 (
a Sa+
)]
Por otro lado, L – 1 [(a S
1+
)] = e – a t y L – 1 [(aS
a+
)] = a e – a t entonces:
L – 1 [S1 (
a Sa+
)] = ∫t
0
t- dt e a = ( 1 - e – a t )
Luego, reemplazando en la expresión inicial, tendremos: L – 1 [S1 (
aSa - S
+)] = e – a t - ( 1 - e – a t ) = 2 e – a t – 1
Por lo tanto: f(t) = L – 1 [S1 (
a Sa - S
+)] = 2 e – a t – 1
NOTA: A menudo esta técnica resulta ser más conveniente para encontrar la transformada inversa de una
fracción de la forma (S)
n)S(
Q SP
, que el método de fracciones parciales.
6.6 TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Las ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes constantes se pueden resolver mediante el uso de la transformada de Laplace. Con la aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales convierte a estas en ecuaciones algebraicas de fácil manipulación. Sea la ecuación diferencial: y´´
(t) + a y´(t) + b y(t) = r(t) , donde a y b son constantes y r(t) es el término
independiente. Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, tendremos: L [y´´
(t) + a y´(t) + b y(t) = r(t) ] = L [y´´
(t) ] + a L [y´(t) ] + b L [y(t) ] = L [r(t) ] , aplicando las fórmulas
presentadas anteriormente, tendremos: S2 L [y(t) ] – S y(0) - y´
(0) + a (S L [y(t) ] – y(0) ) + b L [y(t) ] = R(S) Se hace: L [y(t) ] = Y(S) , y se reemplaza en la ecuación obtenida para obtener: S2 Y(S) – S y(0) - y´
(0) + a S Y(S) – a y(0) + b Y(S) = R(S) , reagrupando términos semejantes: Y(S) (S2 + a S + b ) – S y(0) - y´
(0) – a y(0) = R(S) , despejando Y(S) quedará:
Y(S) = b) S a S(
)y a (y´ y S2
(0)(0)(0)
++
++ +
b) S a S(R
2)S(
++ , la cual en términos generales se puede expresar como:
Y(S) = )S(
)S(
HG
. Expresión a la cual se le aplica la transformada inversa de Laplace para obtener la función
original f(t), o la solución específica de la ecuación diferencial a resolver o problema de valor inicial.
L – 1 [Y(S)] = L – 1 [)S(
)S(
HG
] = f(t)
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6.6.1 EJEMPLO: Dado el siguiente problema de valor inicial: y´´
(t) - 4 y(t) = 0 , con y(0) = 0 , y´(0) = -6. Encontrar su solución
particular o específica.. DESARROLLO: Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial, tendremos: L [y´´
(t) - 4 y(t) = 0 ] = L [y´´(t) ] - 4 L [y(t) ] = L [0] , aplicando las fórmulas de las transformadas
presentadas anteriormente, tendremos: S2 L [y(t) ] – S y(0) - y´(0) - 4 L[ y(t) ] = 0, reemplazando las condiciones
iniciales resulta: S2 L [y(t) ] – S (0) – (-6) - 4 L [y(t) ] = 0, la cual, simplificando y despejando L [y(t) ] = Y(S),
quedará: Y(S) = L [y(t) ] = 4 - S
62
− .
Tomando la transformada inversa de Y(S) , tendremos: L – 1 [Y(S)] = L – 1 [4 - S
62
− ] = -3 L – 1 [4-S
22 ],
resultando: f(t) = -3 L – 1 [4 - S
22 ] = - 3 Senh(2 t).
Por lo tanto, la solución específica o particular de la ecuación diferencial es: y(t) = - 3 Senh(2 t). 6.6.2 EJEMPLO: Resolver el problema de valor inicial siguiente: y´´
(t) + 2 y´(t) + 2 y(t) = 0 , para : y(0) = 0 , y´
(0) = 1. DESARROLLO: Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial, tendremos: L [y´´
(t) + 2 y´(t) + 2 y(t) = 0 ] = L [y´´
(t) ] + 2 L [y´(t) ] + 2 L [y (t) ] = L [0] , aplicando las fórmulas
individuales de las transformadas presentadas anteriormente, se transforma a: S2 L [y(t) ] – S y(0) - y´
(0) + 2 [S L(y(t)) – y(0) )] +2 L (y (t) ) = 0, reemplazando las condiciones iniciales resulta: S2 Y(S) – S (0) – (1) + 2 S Y(S) – 2 (0) + 2 Y(S) = 0, la cual, simplificando y despejando Y(S), quedará:
Y(S) = L [y(t) ] = 2 S 2 S
12 ++
= )S(
)S(
HG
Antes de tomar la transformada inversa, encontremos las raíces que tiene el polinomio del denominador, o sea: H(S) = S2 + 2 S +2 , la cual tiene raíces imaginarias. S2 + 2 S +2 = (S- a) (S – ā ) , donde: a = - 1 + i = α + β i y ā = - 1 – i = α - β i α = - 1 y β = 1 Por lo tanto, S2 + 2 S +2 = (S- a) (S – ā ) = ( S - α)2 + β2 = (S + 1)2 + 1, luego :
Y(S) = 2 S 2 S
12 ++
= 1 1) S(
12 ++
Tomando la transformada inversa de Y(S) , tendremos: L – 1 [Y(S)] = L – 1 [1 1) S(
12 ++
] = e – t Sen(t)
Finalmente, la solución específica o particular de la ecuación diferencial es: y(t) = e – t Sen(t) 6.7 FRACCIONES PARCIALES En el proceso de obtener la transformada inversa para determinar la función del tiempo, es conveniente analizar
la expresión Y(S) = )S(
)S(
HG
, en donde, G(S) y H(S) son polinomios de S. Al tomar la transformada inversa de
laplace, es más viable si, antes de aplicar la transformada inversa, se expresa a Y(S) en términos de fracciones
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parciales, o sea, expresar el término en función de la suma de fracciones en donde los denominadores sean las raíces del polinomio H(S). Para efectuar el proceso anterior se tiene en cuenta las consideraciones siguientes: ♦ Los polinomios G(S) y H(S) , no tienen factores comunes y sus coeficientes son reales ♦ El grado del polinomio G(S) es menor que el de H(S) ,
♦ Sea (S = a), una raíz del polinomio (H(S) = 0). Entonces el término Y(S) = )S(
)S(
HG
, se podrá expresar de la
forma a) - S(
A + W(S) , en donde: el término A es un coeficiente a determinar y el término W(S) indica la
suma de las fracciones parciales que corresponden a todos los factores lineales (repetidos o no) de H(S) que no se encuentran en el análisis en ese momento.
6.7.1 CASO 1 - FACTOR REAL (S-a), NO REPETIDO
Sí una raíz del polinomio H(S) es (S = a), entonces, Y(S) = )S(
)S(
HG
= a) - S(
A + W(S) , y la transformada inversa es:
f(t) = L – 1 [Y(S)] = A ea t + L – 1 [W(S)], siendo: A = Qa (S) a S= = (S)
(S)
HG a) - S(
a S =
EJEMPLO: Hallar f(t) , sí Y(S) = 3-S3S - S
1 - 2S - S323
2
+ , determinando los factores del denominador, tendremos:
Y(S) = 3 - S 3S - S
1 - 2S - S323
2
+ =
1) (S 3) (S1 - 2S - S3
2
2
+−; por lo tanto, Y(S) =
3) - S(A + W(S) , en donde: A = Qa (S) 3 S= , por otro
lado, Qa (S) = 1) (S 3) (S
1) - 2S - S3( 3) - S(2
2
+− =
1) (S 1 - 2S - S3
2
2
+, y A = Qa (S) 3 S = =
1) ((3) 1 - 2(3) - )3(3
2
2
+= 2, o sea que:
Y(S) = 3) - S(
2 + W(S) , la expresión para W(S) corresponde al caso 3, el cual se estudiará más adelante.
Tomando la transformada inversa de la expresión, tendremos: f(t) = 2 e3 t + L – 1 [W(S)]
EJEMPLO: Hallar f(t) , sí Y(S) = S 4 S
12 S2 ++ , determinando los factores del denominador, tendremos:
Y(S) = S 4 S
12 S2 ++ =
4) (S S12 S++ =
SA +
4) S(B+
; donde:
Qa (S) = 4) (S S
12) S(S++ =
4) (S 12) S(++ , por lo tanto, A = Qa (S) 0 S = =
4) ((0) 12) )0((++ = 3
Qb (S) = 4) (S S12) S4)( S(
+++ =
S12) S( + , por lo tanto, B = Qb (S) 4- S= =
412) )4((
−+− = - 2
Luego Y(S) = S3 +
4) S(2 +− ; y f(t) = L – 1 [
S3 ] + L – 1 [
4) S(2 +− ] = 3 - 2 e- 4 t.
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6.7.2 CASO 2 - FACTOR REAL (S-a), ES REPETIDO
Sí una raíz de H(S) es (S – a)m, donde m es un número entero mayor de uno, entonces, Y(S) = )S(
)S(
HG
, se puede
reescribir como: mm
a) - S(A + 1-m
1-m
a) - S(A + ………..+
a) - S(A1 + W(S) y la transformada inversa quedará:
f(t) = L – 1 [Y(S)] = Am ea t )!1m(
t 1m
−
−
+ Am-1 ea t )!2m(
t 2m
−
−
+ ………+ A2 ea t )!1(t + A1 ea t, o
f(t) = ea t [Am )!1m(
t 1m
−
−
+ Am-1 )!2m(
t 2m
−
−
+ ………+ A2 )!1(t + A1 ] + L – 1 [W(S)], donde,
Am = Qa (S) a S = = (S)
(S)m
HG a) - S(
a S = , como en el caso 1, y para el resto de coeficientes se utiliza:
Ak = )!km(
1−
km)S(
k-m
dSQad− a S = , donde: k = 1,2,3……(m-1)
EJEMPLO: Sí el término H(S) contiene (S – a)3, entonces: Y(S) = )S(
)S(
HG
= 33
a) - S(A
+ 22
a) - S(A +
a) - S(A1 , donde,
Am = A3 = Qa (S) a S = = (S)
(S)3
HG a) - S(
a S =
Am-1 = A2 = )!1(
1dS
Qad )S(a S = ; Am-2 = A1 =
)!2(1
2)S(
2
dSQad
a S =
EJEMPLO: Hallar f(t) , sí Y(S) = 22) - S(4S - 10 , determinando los factores del denominador, tendremos:
Y(S) = 22) - S(4S - 10 = 22) - S(
A +
2) - S(B , donde, Qa (S) = (S-2)2 22) - S(
4S - 10 = (10-4S), por lo tanto,
A = Qa (S) 2 S = = (10-4(2)) = 2, para el otro coeficiente tendremos:
B = )!1(
1dS
Qad )S(2 S = =
dS)S410(d −
2 S = = - 4
Luego: Y(S) = 22) - S(4S - 10 = 22) - S(
2 -
2) - S(4 y tomando la transformada inversa, la función del tiempo
quedará: f(t) = L – 1 [ 22) - S(2
] - L – 1 [2) - S(
4 ] = 2 t e2 t - 4 e2 t = e2 t (2 t – 4)
PROBLEMA: Desarrollar el problema de valor inicial siguiente: 9 y´´(t) - 6 y´(t) + y(t) = 0 , para: y(0) = 0 ;y´(0) = 1 DESARROLLO: Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial, tendremos: L [9y´´
(t) - 6 y´(t) + y(t) = 0 ] = 9L [y´´
(t) ] - 6 L [y´(t) ] + L [y (t) ] = L [0] , aplicando las fórmulas
individuales de las transformadas, se transforma a: 9 [S2 L [y(t) ] – S y(0) - y´
(0)] - 6 [S L (y(t)) – y(0) )] + L [y (t) ] = 0, reemplazando las condiciones iniciales y L [y (t) ] = Y(S), resulta: 9 [S2 Y(S) – S (0) - (1)] - 6 [S Y(S) – (0)] + Y(S) = 0, la cual, simplificando y despejando Y(S), quedará:
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Y(S) = L [y(t) ] = 1 S 6 - S 9
9 - S 27+
= ) S - (S 9
1)-(3S 9
91
322 +
= 231) -(S1) - S3( =
)S(
)S(
HG
Por lo tanto, Y(S) = 231 ) -(S1) - S3( = 2
312
) -(SA +
) -(SA
31
1 , en donde, Qa (S) = 231) - S( 2
31) - S(1) - (3S = (3S - 1), por lo
tanto, A2 = Qa (S) 31 S=
= (3(⅓) – 1) = 0, y para el otro coeficiente tendremos:
A1 = )!1(
1 Q´a (S)
31 S=
= dS
)1S3(d −
31 S=
= 331 S=
= 3 , luego: Y(S) = 231) -(S1) - S3( = 2
31) -(S
0 + ) -(S
3
31
Tomando la transformada inversa, determinaremos la función del tiempo Y(t) , o , la solución específica de la
ecuación diferencial, esto es: Y(t) = L – 1 [) -(S
3
31
] = 3 e 3t, la cual corresponde a la solución específica de
la ecuación diferencial. 6.7.3 FACTORES COMPLEJOS (EXPRESIÓN PARA LA RAÍZ IMAGINARIA) Sí el polinomio de H(S) contiene raíces complejas, aparecen en pares conjugados, por lo tanto se pueden tener en cuenta las expresiones siguientes: Toda raíz compleja se presenta de la forma siguiente: a = α + β i y ā = α - β i, en donde, α y β son números reales. Las raíces: S1 = a y S2 = ā Los polinomios que contienen las raíces: (S – a) = 0 ; (S – ā) = 0 El polinomio que contiene las dos raíces: (S – a) (S – ā) = 0, luego el polinomio se puede expresar como: [S – (α + β i)] [S – (α - β i)] = [S – α - β i] [S – α + β i] = S2 – 2 α S + α2 + β2 = (S – α)2 + β2. Luego, el polinomio con coeficientes reales que contiene raíces imaginarias se puede escribir como, (S – α)2 + β2 , cuyas raíces son: S1 = α + β i y S2 = α - β i EJEMPLO: Sea el polinomio S2 + 2S + 5, se puede escribir como S2 + 2S + 1 + 4 = (S+1)2 + 22, en donde,
α = - 1 y β = 2, por lo tanto, el polinomio tiene las raíces S1 = - 1 + 2 i y S2 = - 1 - 2 i
6.7.4 CASO 3 - FACTOR COMPLEJO NO REPETIDO [(S-a) (S-ā)] Sí el término H(S) , contiene un polinomio cuadrático no repetido, en donde las raíces son imaginarias conjugadas, la fracción parcial correspondiente se puede escribir de la forma:
Y(S) = )S(
)S(
HG
= 22 ) - S(B SAβ+α
+ + W(S) = )a - (S a) - S(
B SA + + W(S) , en donde A y B son reales.
La transformada inversa de esta expresión es:
f(t) = L – 1 [Y(S)] = L – 1 [ 22 ) - S(B SAβ+α
+ ] + L – 1 [W(S)] = β1 eα t [ Ta Cos(β t) + Sa Sen(β t) ] + L – 1 [W(S)], en
donde, Sa y Ta, son la parte real e imaginaria de Ra(S) a S= = Sa + i Ta , siendo, Ra(S) = [(S – α)2 + β2])S(
)S(
HG
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DEMOSTRACIÓN:
Sea: Y(S) = )S(
)S(
HG
= 22 ) - S(B SAβ+α
+ + W(S) , multiplicando a ambos lados de la ecuación por: [(S – α)2 + β2],
tendremos: [(S – α)2 + β2])S(
)S(
HG
= A S + B + [(S – α)2 + β2] W(S) , o
(S – a) (S – ā) )S(
)S(
HG
= A S + B + (S – a) (S – ā) W(S), por lo tanto:
Ra(S) a S= = [(S – a) (S – ā) )S(
)S(
HG
] a S = = [A S + B + (S – a) (S – ā) W(S)] a S= y en consecuencia
Ra(S) a S= = [(0) (S – ā) )S(
)S(
HG
] = [A a + B + (0) (S – ā) W(S)] = A S + B a S= = A a + B = A (α + β i ) + B
O sea que, Ra(a) = Ra(S) a S = = A a + B = A (α + β i ) + B = (A α + B) +A β i = Sa + i Ta , lo cual significa que: Ta = A β y (A α + B) = Sa , arrojando los resultados siguientes: Conocidos las magnitudes de los coeficientes A y B , retomamos la expresión inicial, para continuar con la determinación de la transformada inversa.
Y(S) = )S(
)S(
HG
= 22 ) - S(B SAβ+α
+ + W(S) = 22 ) - S(SA
β+α+ 22 ) - S(
B β+α
+ W(S)
Tomando la transformada inversa, tendremos:
f(t) = L – 1 [Y(S)] = L – 1 [ 22 ) - S(SA
β+α+ 22 ) - S(
B β+α
] + L – 1 [W(S)]
Sí a la expresión interna de la transformada inversa le restamos y le sumamos el término 22 ) - S(A
β+αα , la
expresión no se altera de valor.
f(t) = L – 1 [Y(S)] = L – 1 [ 22 ) - S(SA
β+α- 22 ) - S(
Aβ+α
α + 22 ) - S(A
β+αα + 22 ) - S(
B β+α
] + L – 1 [W(S)]
f(t) = L – 1 [Y(S)] = L – 1 [ 22 ) - S() - (SAβ+α
α + 22 ) - S(B A β+α
+α ] + L – 1 [W(S)], la cual simplificando, quedará:
f(t) = A e α t Cos(β t) + β+α B) A( e α t Sen(β t) + L – 1 [W(S)], la cual reemplazando los valores de los
coeficientes, la función del tiempo quedará: f(t) = β1 eα t [ Ta Cos(β t) + Sa Sen(β t) ] L – 1 [W(S)]
EJEMPLO N° 1: Desarrollar el problema de valor inicial siguiente: y´´(t) + 2 y´(t) + 5 y(t) = 0 , para: y(0) = 2 ;y´(0) = - 4 Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, tendremos: L [y´´
(t) + 2 y´(t) + 5 y(t) = 0 ] = L [y´´
(t) ] + 2 L [y´(t) ] + 5 L [y (t) ] = L [0] , aplicando las fórmulas
individuales de las transformadas, se transforma a:
A = β
aT B = Sa -
βα Ta
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[S2 L [y(t) ] – S y(0) - y´(0)] + 2 [S L (y(t)) – y(0) )] + 5 L [y (t) ] = 0, reemplazando las condiciones iniciales y
L [y (t) ] = Y(S), resulta: [S2 Y(S) – S (2) - (-4)] + 2 [S Y(S) – (2) )] + 5 Y(S) = 0, la cual, simplificando y despejando Y(S), quedará: Y(S) (S2 + 2 S + 5 ) – 2 S = 0
Y(S) = L [y(t) ] = 5) S 2 (S
S 22 ++
= )a - (S a) - S(
S 2 = 4 1) (S
S 22 ++
.
Donde a = - 1 + 2 i , ā = - 1 - 2 i , luego α = - 1 y β = 2
Por otro lado, Ra(S) = (S + 1)2 + 4) 5) S 2 (S
S 22 ++
= 2 S
Por lo tanto, Ra(a) = 2 (- 1 + 2 i ) = - 2 + 4 i = Sa + i Ta , o sea que: Sa = - 2 y Ta = 4 Tomando la transformada inversa de Y(S), o aplicando la fórmula determinada anteriormente, encontraremos la solución del problema de valor inicial.
f(t) = Y(t) = 21 e - t [ 4 Cos(2 t) – 2 Sen(2 t) ]
EJEMPLO N° 2:
Determinar la transformada inversa de: Y(S) = L [y(t) ] = 2S2S
12 ++
= )S(
)S(
HG
Antes de tomar la transformada inversa, encontremos las raíces que tiene el polinomio del denominador, o sea: H(S) = S2 + 2 S +2 , la cual tiene raíces imaginarias. S2 + 2 S +2 = (S- a) (S – ā ) , donde: a = - 1 + i = α + β i y ā = - 1 – i = α - β i α = - 1 y β = 1
Por otro lado, Ra(S) = (S2 + 2S + 2) 2S 2 S
12 ++
= 1
Por lo tanto, Ra(a) = 1 = Sa + i Ta , o sea que: Sa = 1 y Ta = 0
Reemplazando los valores en f(t) = β1 eα t [ Ta Cos(β t) + Sa Sen(β t) ]
Luego, la transformada inversa de Y(S) será: f(t) = e – t Sen(t) 6.7.5 CASO 4 - FACTOR COMPLEJO ES REPETIDO [(S-a) (S-ā)]2 Como en el caso 2, cuando el factor es repetido, las fracciones parciales para este caso donde el término en H(S) contiene el factor complejo repetido,[(S-a) (S-ā)]2 , se puede escribir como:
Y(S) = )S(
)S(
HG
= 222 ] ) - S[(B SAβ+α
+ + 22 ) - S(D SCβ+α
+ + W(S), donde A, B, C y D son números reales y las raíces del
polinomio son: a = α + β i , ā = α - β i Tomando la transformada inversa, tendremos:
f(t) = L – 1 [Y(S)] = L – 1 [ 222 ] ) - S[(B SAβ+α
+ + 22 ) - S(D SCβ+α
+ ] + L – 1 [W(S)], y la función del tiempo será:
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f(t) = L – 1 [Y(S)] = 3 21β
eα t [ (Ta – β Sa* - β Sat) Cos(β t) + (Sa + β Ta* + β Ta t ) Sen(β t) ] + L – 1 [W(S)], en
donde, Sa y Ta, son la parte real e imaginaria de Ra(S) a S= = Sa + i Ta , siendo, Ra(S) = [(S – α)2 + β2]2
)S(
)S(
HG
y
Sa* y Ta*, son la parte real e imaginaria de R´a(S) a S= = Sa* + i Ta* , siendo, R´a(S) = dSR d a(S)
EJEMPLO: Desarrollar el problema de valor inicial siguiente: y´´(t) + 25 y(t) = 10 Cos(5 t) – 20 Sen(5 t) , para: y(0) = 1 ;y´(0) = 2 Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, tendremos: L [y´´
(t) + 25 y(t) = 10 Cos(5 t) – 2 Sen(5 t)] = L [y´´(t) ] + 25 L [y (t) ] = L [10 Cos(5 t) – 20 Sen(5 t)] ,
aplicando las fórmulas individuales de las transformadas, se transforma a: [S2 L [y(t) ] – S y(0) - y´
(0)] + 25 L [y (t) ] = 10 L [Cos(5 t)] – 20 L [Sen(5 t)], reemplazando las condiciones
iniciales y L [y (t) ] = Y(S), resulta: [S2 Y(S) – S (1) - (2)] + 25 Y(S) =10 25 S
S2 +
- 20 25S
52 +
, la cual,
simplificando, quedará: Y(S) (S2 + 25 ) – S – 2 = 25S10) - S(10
2 + y despejando Y(S), tendremos:
Y(S) = L [y(t) ] = 22 25) S(10) - S(10
++ 22
2
25) S(25) (S 2) (S
+++ = 22
23
25) S(50) - S 35 S 2 (S
+++ .
Expresando el término Y(S) en función de sus fracciones parciales, tendremos:
Y(S) = 22
23
25) S(50) - S 35 S 2 (S
+++ = [ 22 ]52 S[
B SA++ +
)52 S(D SC
2 ++ ] = [ 222 ]5 )0 - S[(
B SA++ + 22 5 )0 - S(
D SC+
+ ]
donde a = 0 + 5 i , ā = 0 - 5 i , luego α = 0 y β = 5 Para obtener los coeficientes, determinamos Ra(S) y R´a(S)
Ra(S) = (S2 + 25) 22
23
25) S(50) - S 35 S 2 (S
+++ = S3 + 2 S2 + 35 S – 50 ; R´a(S) = 3 S2 + 4 S +35
Por lo tanto, Ra(a) = (5 i ) 3 + 2 (5 i )2 + 35 (5 i ) – 50 = - 100 + 50 i ; luego: Sa = - 100 y Ta = 50 Por otro lado: R´a(a) = 3 (5 i )2 + 4 (5 i ) + 35 = 10 + 20 i ; luego: Sa* = -40 y Ta* = 20 Tomando la transformada inversa de Y(S)
f(t) = L – 1 [Y(S)] = L – 1 [ 222 ] ) - S[(B SAβ+α
+ + 22 ) - S(D SCβ+α
+ ], o aplicando la fórmula presentada en el paso
inmediatamente anterior, podremos encontrar la solución del problema de valor inicial:
f(t) = L – 1 [Y(S)] = Y(t) = 2501 [(250 + 500 t ) Cos(5 t) + (250 t) Sen(5 t)]
Y(t) = ( 1 + 2 t) Cos(5 t) + t Sen(5 t)
