UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1

Probabilitat i Estadstica, Groups 1 a 4

Examen Final

Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees

Nom i Cognom ................................................., Grup .....

NIA .............................

Nom i Cognoms ............................... 1 Test A

Llegiu aquestes instruccions:

1. NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI.

2. Poseu les vostres dades (nom, cognom, etc. en aquest full i tambe el vostre primer cognom i signatura al peu depagina de cada un dels fulls adjunts.

3. Temps maxim per fer aquest examen: 1 hora i 15 minuts.

4. Sota cap concepte, NO des-grapeu el quadarnet.

5. Aquest examen consta duna sola part, de 24 preguntes test de resposta multiple. Cada pregunta te tres respostespossibles, solament una es correcta. Marqueu amb una X la casella de la resposta que cregueu que es la correcta.Si voleu rectificar, marqueu amb NO la casella que haveu assenyalat, i poseu una X a la nova casella que assenyaleucom a correcta. Tota pregunta amb mes duna casella assenyalada sera considerada no contestada. A lhora dedecidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuacio delexamen sefectuara de la forma seguent:

Resposta correcta: +1.0

Resposta incorrecta: 0.5Pregunta no contestada: 0.0.

6. Full de Lectura Optica que sacompanya. Poseu les vostres dades personals i del tipus de test La respostavalida es la que passeu al Full de Lectura Optica.

Nom i Cognoms ............................... 2 Test A

Nom i Cognoms ............................... 3 Test A

1. Si A,B,C son tres esdeveniments dun experiment aleatori i A B, aleshores A (B C) es

A C B A

2. Si A,B son esdeveniments dun experiment aleatori i P (A) = P (B) = 0.6, aleshores, necessariament

A i B son independents A B 6= A = B

3. Suposeu una variable aleatoria X amb E(X) = 0; aleshores, necessesariament

Var(X) = (E(X))2

Var(X) = 0 Var(X) = E(X2)

4. Si X N (1, 2) (2 es la variancia) i Y = 3(X +X), aleshores la distribucio de Y es

N(3, 18) N(6, 72) N(6, 36)

5. En la tirada de 6 monedes (no trucades), el nombre de cares segueix una distribucio

de Poisson de Bernoulli simetrica

6. Si la distribucio de massa de probabilitat conjunta de X i Y es

YpX,Y 1 -1

X 1 3/12 3/12-1 3/12 3/12

Aleshores, X i Y son variables

incorrelacionades pero no independents incorrelacionades i independents independents pero correlacionades

7. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal bivariant. La correlacio entre les variablesX i Y es 0, els valors esperats de X i Y son 0 i les variancies de X i de Y son 1. El valor esperat de Y quanX = 1 sera:

0 0.5 1

8. Suposeu X1, X2 dues variables incorrelacionades amb la mateixa variancia, 2. Aleshores, Cov(X1, 2X1 X2) es

2

0 22

Nom i Cognoms ............................... 4 Test A

9. Suposeu dues distribucions binomials X B(n1, p) i Y B(n2, p), amb 0 < p < 1. Suposeu que n1 < n2.Aleshores,

La variancia de Y es mes gran que la de X La variancia de X es mes gran que la de Y Les dues variancies son iguals

10. De dues variables aleatories X i Y ens diuen que E(XY ) = E(X)E(Y ); aleshores, necessariament,

aquesta afirmacio no pot ser certa les variables X i Y estan incorrelacionades les variables X i Y son independents

11. Suposem que X es una variable aleatoria contnua amb funcio de densitat de probabilitat f(x) i E(X) = 0.Aleshores

f (x) = F (x), on F (x) es la funcio acumulada de distribucio f(x) pot pendre valors mes gran que 1

+ fX(x)dx = 0

12. Si X es binomial amb parametres n = 3 i p = 0.5, aleshores la probabilitat que X sigui different de 1 es:

0.375 0.625 0.5

13. Marca la correcta:

XY = (2X + 3, Y + 1) XY = cov (2X + 3, Y + 1) XY = (2X + 3,Y + 1)

14. Si X i Y son variables aleatories amb correlacio negativa, aleshores

V ar(X Y ) = V ar(X) V ar(Y ) V ar(X Y ) > V ar(X) + V ar(Y ) V ar(X Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

15. Suposeu una variable aleatoria X amb funcio de massa de probabilitat.

X -1 -2 1 2 apX 1/10 2/10 1/10 2/10 4/10

Si E(X) = 40, aleshores el valor de a es

200 100 20

16. Dema es 22 de desembre i, com cada any, se celebra a Espana el sorteig de La Grossa. Des del 2011 hi haen el bombo 100.000 numeros, del 00000 al 99999. En Josep va comprar un decim del numero 11111 a unaadministracio de Loterias y Apuestas del Estado del seu barri. La Josefina, molt mes curosa, va anar a Madridi a la famosa administracio de Loterias y Apuestas del Estado de Dona Manolita (veure foto adjunta de la cua,dhores, que va haver de fer) va comprar un decim de cada un dels numeros seguents: 45077 i 12514. En Josep ila Josefina no tenen altres numeros que els esmentats. En aquest escenari

Aquest any la probabilitat que el El Gordo sigui el numero 11111 es mes petita que la del 12514

Nom i Cognoms ............................... 5 Test A

La probabilitat que a la Josefina li toqui El Gordo es exactament el doble que la probabilitat que El Gordotoqui a en Josep

cap de les anteriors

17. Un casino estableix el joc seguent: tirada repetida duna moneda (no trucada) fins que surt cara i pagar al jugadoramb euros dues vegades el numero de tirades necessaries per aconseguir la cara. Per exemple, si la cara apareix ala primera tirada, el jugador cobra 2(= 2 1) euros. Si el preu dentrada a una jugada es de 4 euros, aleshores:

el casino te quany esperat de dos euros per jugada el casino te perdua esperada dun euro per jugada aquest es el joc de la Paradoxa de Sant Petersburg, en el que no podem calcular guany esperat

18. Suposeu un telefon on el temps despera X en minuts per una trucada segeuix distribucio exponencial ambparametre = 4; es a dir, f(x) = 4e4x, x > 0. Aleshores, el nombre esperat de trucades en un minut es:

0.25 0.5 4

19. Si A B = , P (A) > 0, i P (B) > 0; aleshores,

A i B son complementaris A i B no son independents A B

20. En sintaxis de R, definim un dau de deu cares: dau = 1:10. Despres simulem tirades independents del dau:monte = sample(dau, 1000 , replace = "T"). Finalment, calculem el promitg de les 1000 tirades del dau:m = mean(monte) . En aquest cas, m segueix distribucio:

uniforme de 1 a 1000 normal amb mitjana 5.5 i variancia 8.25 normal amb mitjana 5.5 i variancia 8.25/1000

21. Reordenem a latzar els numeros 1,2,3,4,5,6. La probabilitat que el numero de 6 xifres acabi amb 12 es

0.3333

Nom i Cognoms ............................... 6 Test A

factorial(4)/factorial(6) = 0.03333 2*factorial(4)/factorial(6) = 0.06666

22. Sigui A i B una particio de lespai mostral amb P (A) = 0.8. Sigui C un esdeveniment tal que P (C | A) = 0.1i P (C | B) = 0.9. Aleshores P (A | C) es igual a

0.3076923 0.969697 no es pot calcular amb aquestes dades

23. Sigui A i B i C una particio de lespai mostral . Aleshores el complementari de A B es

C Ac Bc (aqu ()c denota complementari) A B

24. Si X es una variable aleatoria, i V (.) denota variancia, aleshores una daquestes igualtats sempre es certa

V (3X 6) = 9V (X 10) V (3X 6) = 9V (X) 6 V (3X 6) = 3V (X 6)

Nom i Cognoms ............................... 7 Test A

Nom i Cognoms ............................... 8 Test A

Nom i Cognoms ............................... 9 Test A