UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE FÍSICA

Laboratorios virtuales: Electricidad y Magnetismo I

Uso de Mathematica: Campos Vectoriales y Sistemas de Coordenadas

ELABORADO POR: ROBERTO ORTIZ

“RECUERDE, MI AMIGO, QUE EL CONOCIMIENTO ES MÁS FUERTE QUE LA

MEMORIA, Y NO DEBEMOS CONFIAR EN LO MÁS DÉBIL”. BRAM STOKER

OBJETIVOS

I. Que el estudiante sea capaz de resolver problemas correspondientes a las operaciones

con vectores y funciones vectoriales en Mathematica.

II. Conocer los distintos sistemas de coordenadas y poder hacer el cambio de variable entre

estos sistemas para simplificar los problemas planteados.

III. Aprender a resolver Integrales de Línea (trabajo eléctrico) e Integrales de Superficie (flujo

eléctrico) en Mathematica.

IV. Comprender la importancia de los Campos Vectoriales y Campos Escalares en el área de

Electrostática.

PROCEDIMIENTO

1. Cargue el programa Mathematica, haciendo doble “click” izquierdo en el siguiente icono:

A continuación se presentan las operaciones vectoriales más comunes escritas en forma de

comando en Mathematica

Cantidad Representación Matemática Comando en Mathematica

Vector

{ }

Función Vectorial ( )

[ ] { [ ] [ ] [ ]}

Campo Vectorial ( )

[ ] { }

Suma y Resta de Vectores

Producto Punto

[ ]

Producto Cruz [ ]

Magnitud de un Vector | | √

[ [ ]]

Ángulos Directores (

| |) [

]

Vector Unitario

| |

[ [ ]]

Derivada de una Función

Vectorial ( )

[ ] [ [ ] { }]

Integral de una Función

Vectorial ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ [ ] [ [ ] ]

2. De acuerdo a la tabla anterior realice la suma, resta, producto punto y producto cruz de

los siguientes vectores

(

)

√ ( )

3. Encuentre un vector unitario en la dirección del vector

(

) √

4. Integre la función vectorial A y derive la función vectorial B

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para realizar las operaciones correspondientes a los Campos Vectoriales es necesario cargar

primero un paquete muy importante.

El paquete es el siguiente

[ ]

Adicionalmente es recomendable colocar el Sistema de Coordenadas (Generalmente Cartesianas)

[ [ ]]

Las operaciones más importantes en Campos Vectoriales son las siguientes

Cantidad Representación Matemática Comando en Mathematica

Gradiente ( ) [ ] [ [ ]]

Vector Normal a una

Superficie

| | [ ]

[ ]

[ [ [ ] [ ]]]

Divergencia ( ) [ ] [ [ ]]

Rotacional ( ) [ ] [ [ ]]

Laplaciano [ ] [ [ ]]

Laplaciano Vectorial [ ] [ [ ]]

5. Para cada Campo Vectorial encuentre la divergencia y el rotacional

( )

( ) ( )

6. Encuentre el Laplaciano y un vector normal a las superficies representadas por las

siguientes funciones escalares

( )

( ) ( )

No siempre es posible trabajar un problema en Coordenadas Cartesianas. Esto puede deberse a la

simetría del problema. Para trabajar en otros sistemas de coordenadas utilizamos los comandos

siguientes:

Cantidad Representación Matemática Comando en Mathematica

Coordenadas Cilíndricas [ [ ]]

Coordenadas Esféricas [ [ ]]

Uno de los elementos más importantes en Electrostática son las integrales. No existe un comando

en Mathematica para realizar inmediatamente las operaciones de Integrales de Línea e Integrales

de Superficie, pero podemos seguir un procedimiento (de la definición) para resolverlas.

Integral de Línea (Trabajo Eléctrico)

∫ ( ( )) ( )

[ ] [ ] { }

1) [ ] [ ]

2) [ ] [ [ ] [ [ ] ]]

3) [ [ ] { }]

Nota: a, b y c son las componentes de la

función vectorial

Integral de Superficie (Flujo Eléctrico, Densidad de Carga Superficial)

∫ ∫ ( ) (

)

[ ] [ ]

1) [ ] [ ] [ ]

2) [ ]

[ [ ] { [ [ ] ] [ [ ] ] }]

3) [ ] [ [ ] ]

4) [ ] [ [ ] [ ] ]

5) [ ] [ ]

∫ ∫ ( )√

[ ] [ ]

1) [ ] [ ] [ ]

2) [ ]

( [ ])√( [ [ ] ]) ( [ [ ] ])

3) [ ] [ [ ] ]

4) [ ] [ [ ] [ ] ]

5) [ ] [ ]

7. Evaluar la integral de línea del Campo Vectorial sobre la trayectoria de una hélice

( ) ( ) ( ) ( ) { }

8. Dado el Campo Vectorial F y la Superficie S de la semiesfera superior de radio 1. Evaluar la

integral de superficie cerrada.

( )

Problemas para el Informe

Deberá resolver los siguientes problemas en Mathematica y agregarlos al informe de

laboratorio que debe presentar.

1. (20%) Demuestre la validez del Teorema de Stokes para la función:

( ( ) ) ( ( ) ( ) )

alrededor de la trayectoria mostrada en la figura 1.

Figura 1. Figura 2.

2. (20%) Demuestre la validez del Teorema de la Divergencia para la función:

( ) ( ) ( )

Usando el volumen del cono de helado mostrado en la figura 2.

3. (18%) Por medio de cálculo directo demuestre que: a) ) ( ) = 0

en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

4. (6%) Por medio de cálculo directo demuestre que se cumple la ecuación (1-115) del libro

de Wangsness en coordenadas cartesianas.