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Facultad Regional Mendoza. UTNÁlgebra y Geometría Analítica

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Trabajo Práctico Nº 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

Ejercicio 1:

Halle la ecuación normal y general de la circunferencia sabiendo que el segmento en los puntos (- 2; 3) y (4; -5) es diámetro de la misma. Represente gráficamente.

Ejercicio 2:

Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.

Ejercicio 3:

Halle la ecuación normal y general de la parábola cuyo vértice es el punto V(- 4; 3) y su foco es F (- 1; 3). Represente gráficamente.

Ejercicio 4:

Dos postes de alambrados ubicados en bordes opuestos de una carretera, distantes 8 m entre sí y con 10 m de altura cada uno, sostienen en sus extremos superiores un cable que forman un arco parabólico cuya proyección en el suelo es perpendicular a los bordes de la carretera. A un metro de la base de cada poste, el cable está a 7 m del suelo. ¿Cuánto dista de la carretera el punto más bajo del cable?

Ejercicio 5:

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Ejercicio 6:

Halle la ecuación normal de la elipse con eje focal paralelo al eje y, con centro C(1; 1), que tiene uno de sus vértices en A(1; 6) y cuya excentricidad es 3/5. Represente gráficamente.

Ejercicio 7:

Un río es cruzado por una carretera por medio de un puente cuyo arco central tiene la forma de media elipse. En el centro del arco la altura es de 20 m. El ancho total del arco elíptico es de 50 m.

a) Determine la ecuación de la elipse que describe dicho puente. b) A una distancia de 5 m de cada uno de los pilares, se encuentran estructuras de protección para los mismos. ¿Cuál es la altura del arco del puente en correspondencia con estos elementos?

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Ejercicio 8:


Ejercicio 9:

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Halle la ecuación de la hipérbola con centro en C(4; 2), con uno de sus focos en F(- 6;2) y con excentricidad e = 5/4. Represente gráficamente.

Ejercicio 10:

Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de la costa. Dos estaciones guardacostas Q y R, ubicadas a 200 millas de distancia entre sí, reciben la señal. A partir de la diferencia entre los tiempos de recepción de la señal, se determina que la nave se encuentra 160 millas más cerca de la estación R que de la estación Q. Elija un sistema de referencia apropiado e indique las coordenadas correspondientes a la ubicación de la embarcación. Represente gráficamente.

Por definición de hipérbola sabemos que es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano tales que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos permanece

constante y esta diferencia es igual a 2a, siendo a el semieje real.

Teniendo en cuenta esta definición, si consideramos que las guardacostas Q y R son los focos y que el barco es un punto ubicado sobre la hipérbola, entonces, conociendo la

ecuación de la misma, podremos determinar las coordenadas del barco.

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola será: x2

802 −y2

602=1

De donde si y = - 100 mi entonces x será: Reemplazando el valor de y en la ecuación y despejando x obtenemos x = 155,49 mi

El barco se encuentra a 100 millas al sur de la costa y a 155,49 mi al este medida desde el punto medio ubicado entre ambos guardacostas.

Ejercicio 11:

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Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine sus elementos principales y grafique. Escriba la ecuación trasladada respecto de las coordenadas del nuevo sistema.

a) 4 y2 + 9 x2 – 16 y – 20 = 0 b) x2 + 4 x – 4 y + 16 = 0c) y2 – x2+ 4 y – 2 x – 1 = 0d) y2+ 2 x – 10 y + x2+ 22 = 0

Ejercicio 12:

Dadas las siguientes ecuaciones:

i) 4 xy−3√2x+√2 y−12=0

ii) 5 x2 – 4xy + 8y2 – 36 = 0iii)9 x2 – 24xy + 16y2 – 40x – 30y + 250 = 0iv)x2 - 2xy + y2 – 2y – 2x = 0

v) xy – 2 = 0 λ1=−12; λ2=

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a) Exprese la ecuación en forma matricial.

b) Identifique la cónica a partir de los valores propios.

c) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática.

d) Verifique que la matriz hallada representa una rotación.

e) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.

f) Halle el ángulo de rotación.

g) Grafique

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Ejercicio 13:

Analice las relaciones que existen entre las gráficas dadas y las ecuaciones indicadas.

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Ejercicio 14:

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Ejercicio 15:

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