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Docente: Elmo David Leonardo Fabin CICLO 2014-IInidad: I Semana: 1CALCULO DIFERENCIAL

LMITE DE FUNCIONESSemana 05

NOCIN DE LMITE DE UNA FUNCINLMITE

ACERCAMIENTO Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:

SABERES PREVIOS -EJEMPLO 1Lim f(x) no existex 1

y

x1

521

Qu ocurre con f(x) cerca de x=1?

SABERES PREVIOS- EJEMPLO 2Qu ocurre con f(x) cerca de x=1?Lim f(x) = L =2x 1

y

x1

532

SABERES PREVIOS - EJERCICIO 3Qu ocurre con f(x) cerca de x=1?Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)x 1

x1y

521

SABERES PREVIOS - EJEMPLO 4Dado el grfico de f(x) :

35

-33-2

xf(x)

3.5

Encuentre:

DEFINICIN FORMAL DE LMITE

Definicin formal de lmite:Consideremos un intervalo abierto que contenga al nmero a. Sea f una funcin definida en todos los nmeros del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un nmero real. Entonces:

Significa que para todo > 0 existe una > 0 tal que: Si 0 < | x a | < , entonces | f (x) L | <

Interpretacin geomtrica:

L + a - La -

aL -

Ejemplo:1. Sea la funcin f definida por f (x) = 4x 7. Suponiendo que

a) Utilizando una figura, para = 0.01, determinar una > 0 tal que si 0 < | x 3 | < entonces | f (x) 5 | < 0.01b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una > 0 tal que si 0 < | x 3 | < entonces | f (x) 5 | < 0.01

Solucin:

5.014.9953x1x2

f (x) =4 x - 7

Solucin a)

4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 7 = 5.01

Como 3 2.9975 = 0.0025Y 3.0025 3 = 0.0025Se elige = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.

Solucin b) Para toda > 0 y > 0, se debe cumplir que:

Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x 7, = 0.01Entonces:0 < | x - 3 | < si y slo si | (4x 7) - 5 | < 0.01

Tomando la segunda ecuacin: | (4x 7) - 5 | < 0.01 ; | 4x 7 - 5 | < 0.01 | 4x 12 | < 0.01 : | 4 (x 3 ) | < 0.01 | 4 | | x 3 | < 0.01 ; 4 | x 3 | < 0.01

Si tomamos

entonces:0 < |x - 3 | < si y solamente si | (4x 7) - 3 | < es verdadero!

Puesto que: 0 < | x - 3 | < 0.0025 4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 ) | 4 (x 3) | < 0.01 | 4x - 12 | < 0.01| ( 4x 7) - 5 | < 0.01 | f (x) - 5 | < 0.01

QUEDA DEMOSTRADO!

PROPIEDADES DE LMITES

, c es una constante.

si n es par f(x)>0

Lmite de funciones Polinmicas, Racionales e IrracionalesRecurdese que una funcin polinomial f tiene la forma:

En tanto que una funcin racional f es el cociente de dos funciones polinomiales; esto es,

Lmite de una funcin polinomial y racional:Si f es una funcin polinomial o una funcin racional:

Siempre que el valor del denominador para c no sea cero, en el caso de una funcin racional.

Ejemplo 1: Hallar el siguiente lmite

Ejemplo 2: Hallar el siguiente lmite

Ejemplo 3: Hallar el siguiente lmite

EJERCICIOS - Hallar los siguientes limites:

3)5)